NUMERO R
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I.E “Santa María Reina” Lic. HUGO TOMAS RIVERA PRIETO QUINTO A.B.C.D
NÚMEROS REALES
Desde los tiempos más remotos de la humanidad, el hombre a utilizado de muy variadas Formas, los números; al único en el proceso de contar o medir, por medio de ciertos símbolos o señas los cuales gradualmente a través de la historia han sido estructurados científicamente, alcanzado a la fecha un desarrollo increíble que hoy conocemos y que diario comprobamos. No te olvides que la teoría de los números constituye el pilar fundamental de la matemática y está su vez es imprescindible para el desarrollo de las demás ciencias.
Actualmente, el estudiante está familiarizado con cuatro conjuntos numéricos: Números naturales (N), Números enteros (Z) Números racionales (Q) y números irracionales (II). Por lo tanto, a hora estas en condiciones de conocer un nuevo conjunto numérico denominados número reales (|R). Por razones didácticas, previamente es necesario hacer una revisión muy rápida de los conjuntos numéricos ya mencionados.
Conjunto de Números Reales
1. Naturales (N): El conjunto de los números naturales tiene como elementos al número cero y a todos los números que el hombre utiliza para contar.Sí representamos el conjunto de los números naturales simbólicamente y por extensión tenemos:
N: {0,1,2,3,4,5,...}
2. Enteros (/Z): El hombre para resolver los casos de imposibilidad de la sustracción en |N, creó los números enteros.
Z={...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Donde : Z+UZ-
Nota:
El cero es nulo, puesto que no es positivamente ni negativo Con los Z, no hay restricción es la sustracción. Ejemplos:
a) 7 - 4 = 3 d) 4-6 = -2b) 10-2 = 8 e) 2-9 = -7c) 5 –5 = 0 f) 1-3 = -2
Problemas para la clase
1) – 43-72-115+223 9) –225-(48-22-15) + (-17+2)Rpta:-7 Rpta: -251
2) –16+15-19-25-142 10) +8-3+(17-42)-(17-42)-(51-7-8)Rpta: -187 Rpta: -31
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3) –117+185-242-315 11) –6 +(-5-(48-17-1)-6)Rpta: -489 Rpta: -47
4) –6 –25-13+2-55 12) –2-(-3(+6+8+(-3-7-1))+2Rpta: -87 Rpta: 2
5) –62+57-13+2-99+56 13) –10-(-5+(8-6-7+1))+(73-8)Rpta: -59 Rpta: -82
6) –13 +2-19+29-58 14) –46 –(-1+(-17+(-6-9-1)))Rpta: -59 Rpta: -12
7) –1+19-27+56-(7-2) 15) +5 +7-1+(-62-4+68)-(-17+1-6)Rpta: +28 Rpta: +35
Práctica Domiciliaria
1) –15+(-61-55-(-17-(-29+1+3))-3
2) –62-(-17-6-(-1+6-9-11-1))
3) –18+(-9-6-7-(+6-7-8-10)-1
4) (-62-17-8+29-(63-75))
5) –16-(-16+16-(16+16-16)+16
6) –9-(9-9+9-9-(-9+9-9-9)-9
7) –16-(+8-5-(16-46-8-(-15-1)-6))
8) –6-9+(+6-17-(+65-13-(-16+8)-1))
9) –42-55-(+8-5-(16-46-8-(-15-1)-6))
10) –69-17+(-19-6-(17+18-46)+(51-76))
11) –8+12-(-4-(-6+1-(-6+3-2)))
12) –16+15+(15-6-29)-(+17-46-1)
13) +78-715-(-919+(617-815-1)-(-171+2))
14) –16-(-48-(-57+(+15-16-17)-(69-48))-1)
15) –11-11+(-11-(-11+11+(-11-11)-11)-11)
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Q
Z
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3. RACIONALES (Q): Los conjuntos Q de los números racionales se crearon para poder resolver los casos no posibles de división entre números enteros, es decir se crearon como ampliación de /Z.
Gráficamente:
Un número racional puede ser expresado de la forma
a, siendo a, b números enteros, b0b
Ejemplo : 1 , 3 , -5,... 2 4 3
También : 2 =0,4 se expresa en decimales 5
Decimales exactos: Son los que la parte decimal son exactos Ejemplo:
1) 0,3 2) 3,4 3) 3,06
Decimales Periódicos: Son los que sus cifras se representan constantemente
1) 0, 3 2) 3,1 3) –25,35
Decimales Periódico Mixto: Son los que en su porte decimal tienen 2 tipos de cifras una pura y otra exacta.Ejemplo:
1)0 ,35 2) 1,4 8 3) −20 ,50 6
GENERATRIZ DE UN DECIMAL
Es el paso que consiste en convertir un decimal en una Fracción.
a) Exacto:Ejem: 0,25=25, 2,5 = 25 100 100
b) Periódico Puro:Ejem:
0 ,3=39 ,
3 ,5=3+ 59=27+5
9=32
9
c) Periódico Mixto: _
Ejem: 0,16 = 16-1= 1590 90
_2,153=2+153-15 =2+138 = 323
900 900 50
Problemas para la clase
I) Reducir las siguientes Fracciones:
a) 1+1+1 b) 2 + 1 - 1 2 3 4 3 2 5
c) 2+ 4 - 3 d) 1+4 - 3
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N
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3 5 2 5 7 2
e) 5 7 + 6 3 f) 3 + 0,25 – 0.25 2 2 2
_ _ _
g) 3,5 + 2,5 – 20 h) 2 1 – 4 + 0,23 3 3
II) Escribe la expresión más simple equivalente
a) 42 e) 5 +1 15 3 -35 3 - 2 10 3
b) –4 x 3 x 12 f) 2 x 10 + 1 15 2 3 5 3 2
1 + 1 6
c) 1 – 1 g) 2 – 3 x 5 2 5 3 2 3
41
d) 2 +1 h) Efectuar: 3 2 E = (0,0004)3
3 (0,02)5
6
i) Calcular: a + b, si:se sabe que:
__0,ab = 12
25 a) 3 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
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TAREA DOMICILIARIA
Reducir los siguientes problemas a su expresión más simple
1) 1 . 1 + 1 2) 2 + 3 – 1 3) Cual es el valor de b – a, si se cumple 4 2 3 3 2 que: __ 1 4 – 2 0,ab = 7 24 6 15
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 64) 5 + 1 5) 2 – 3 + 1 6) Hallar a, si cumple que: 3 5 2 _ 1 2 . 3 – 1 a,8a = 9 – 2 5 9 5 2 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7) 2 . –3 –3 8) 4 . 5 – 1 . 3 9) 1 – 4 + 5 9 40 3 2 2 4 3 5 2 1 – 3 . 5 1 + 3 7 4 4 5 2 6 30
10) 5 1 – 3 2 11) 3 + 2 4 12) Hallar d, si: 2 3 2 3 __ 1 + 1 5 – 4 0,2c = d 2 2 3 11
4. IRRACIONALES : Toda Expresiones decimales no periódica se identifica con los números irracionales ( II ) ( infinitas cifras decimales no periódicas)Ejem:
a) √2 = 1,414213... c) 3√3=1 .44227 . ..
b) √3=1 ,732050 .. . d)π=3 ,1415926
RAÍZ CUADRADA
Es el resultado de multiplicación 2 números iguales, que me va a dar el número inicial.
Raíz Cuadrado; Exacta: Es cuando el resultado es un número entero.Ejemplo:
√4=2 ,√16=4 ,√81=9 ,√225=15
Raíz Cuadrada inexacta: Es cuando la parte decimal tiene infinitas cifras no periódicosEjemplo:
1.Extraer la Raíz cuadrada de 73450
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Problemas para la clase
1) Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números
1. √251 2. √3421 3. √456
4. √1024 5. √3654 6. √2125
7. √43527 8. √10521 9. √6243
Tarea Domiciliaria
1. Hallar la Raíz cuadrada de los siguientes números
1) √753 2)√4315 3) √7629 4) √988
5) √501 6) √1813 7) √5629 8) √5703
9) √9515 10) √808 11) √754 12) √3861
13) √2305 14) √4305 15) √8351 16) √5432
“Recuerda los problemas no son una carga si no un desafío a tu inteligencia”V. Estrada
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
a) Adición y Sustracción : Son casi los mismos casos solo en la sustracción se suma con número negativo.
Adición: M + S = D
Sustracción:Ejemplos
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1) Efectuar con aproximación al centésimo _
S= 7 + 2 + 0,438
2) Efectuar con aproximación al centésimo _
S= + 5 + 17 27
b) Multiplicación y División: Son también operaciones parecidas, sólo que en la división se multiplica por el divisor no nulo.
Multiplicación: a x b = qDivisión: a x 1= q b0
b
Ejemplos:
1) Efectuar: _7,15 (7 + 3 ) con aproximación al centésimo
5 _
2) Dividir: 142 : 7 con aproximación al centésimo 3
PotenciaciónEs un caso de la multiplicación
an= p Donde: n: indica la cantidad de veces que se repite la base real como factor a: la base, p: potencia
Ejemplo
1.(-2,5 )3= (-2,5) (-2,5) (-2,5) = -15,625
2. (-2)2= ( -2 ) (-2 ) = 4 3 3 3 9
Problemas para la clase
1. Indica el símbolo que debe ir en cada caso: (>, < ó =)
a) (2 + 0,3 + ) (3 + 0,51 + 5 ) c) (- 0,6 + 1 + 3 ) (5 – 2 +1) 4 2 3 5
_ _ _ _b) (-1 + 5 – 3) (+ 4 – 2) d) (4 - 3 + 5 (5 - 2 +2 ) 3 4 5 3
matematicafutura Página 95
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2). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones correctas?
2
I) 22 = ( 22 )2
3
II) 32 = ( 32)3
4
III) 52 = 516
a) solo I b) sollo II c) solo IIId) I y II e) I y III
3) Al operar: _2 – 0,4142..., se obtiene
a) un real b) un racional c) un reald) 1 e) T.A
4) Resolver con aproximación al centésimo
_ _ _a) 23 – 3 ( 2 ) + c) 1 + 0,256 + 5
__ __ _
b) 5 + 2 d) (7,12) ( 3)
5) Al efectuar:
0,3333.... + 2, el resultado tiene un 7
periodo de:
a) 3 cifras b) 2 cifras c) 4 cifrasd) 6 cifras e) N.A.
6) ¿A qué es igual 0,55555?
a) 0,5 b) 5 c) 5 d) 5 e) N.A. 9 10 100000
7) Si a IN; b II , entonces (a + b) es número:
a) natural b) entero c) irracionald) racional e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
I.- Efectuar las siguientes operaciones de Adición y Sustracción en |R con aproximación al centésimo.
__(1) 3 + 1 + 1
2 9 __ __ __
(2) 2 + 3 + 5 + ___ __
(3) 5 + 11 + 7 + 14 2 ___
(4) 2 + 13 + 0,36825
__(5) 5 + 0,925673 + 1
11 __
(6) 7 + 0,8668 + 110
__ __ __(7) + 2 + 3 + 5
II.- Efectuar las siguientes operaciones de Multiplicación y División en |R con aproximación al centésimo.
__(1) (3,75 + 2,148) (5,13 + 2)
(2) (1,108 + 1,73) (5,17) __ __
(3) ( 2 + 1) ( 3 – 1) __
(4) ( + 2) ( 2 – 1)
__(5) (2 2) ( + 3,8)
__(6) (7,032) ( + 2)
__(7) 8 3 : 4
5
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III.- Responder:_ _
a) ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso? b) 1 + 3 + 0,5, da como resultado:
a) –72 es número entero a) un naturalb) –0,0775 es número real b) un enteroc) 3,7 es número racional c) un racionald) 51/2 es número racional d) un irracionale) 2 es irracional e) todos son correctos
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES
1. Multiplicación de Potencias de Bases Iguales.
am . an = am + n
__ 5 __ 7 __12
Ejemplo: 3 . 3 = 3
2. División de Potencias de Bases iguales
am : an = am – n ó a m = am – n
an
Casos particulares:1. Si m = n, entonces: a m = a m – n an
1 = a0 / a 0
Toda potencia de base real distinta de cero y exponente nulo es igual a 1.
Ejemplos: ___ 0 __ 0
(1) 11 = 1 (2) - 5 7 = 13
2. Si m = 0, entonces a 0 = a0 – n 1 = a –n
an an
ó a –n = 1 / a 0 an
Ejemplos:
(1) 5– 7 = 1 (2) 0,87 – 3 = 1_ 57 0,873
(3) 3 – 2 = 5 2
5 3
3. Potencia de una Multiplicación
(a . b)n = an . bn
Ejemplos: __ 3 3 __ 3
(1) 1 . 5 = 1 . ( 5 ) 7 7
__ 5 __ 5 5
(2) 2 x 1 = 2 x 13 3
4. Potencia de una División
a n = a n / b 0b bn
Ejemplos: __ 5 __ 5
(1) 2 = 2 3 35
5. Potencia de Potencia
(am)n = amn
Ejemplos:
(1) [ (0,5 )2]3 = (0,5)6
Ejercicios:
1. Efectuar : _
E = ( -2 )3+ ( - 762 )0+ ( 5 )-1
7
matematicafutura Página 97
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2. Efectuar: _
F = ( ) 7 : ( )6 - 2,625 ) 20}7
7 7
RADICACIÓN:
Es decir n√a = r rn =a
Ejemplo:
1.√5 = 512
2. 3√24=2
43
Problemas para clase
Efectuar las siguientes operaciones de potencia y radicación.
3 _ 3 __ ___ 3 __1) (-1 + 7)0 + 105 6) 1 + -8 11) 100 + -27 2
_ 4 ___ __ 3 _
2) 7 + ( 5 )-1 + ( 5 )-1 7) -16 12) 16 + -1 3 7
_ ___ __ 5 __3) ( 5 5 )2 8) -64 13) 17 0 + 32 10
_ __ 5 ___ _4) ( 23 )2{38 74 ) 50}18 9) -32 14) (1 )-1 – ( 2 )4
2
_ _ 3 _ 3 _ _
5) 37 .311 10) -8 - 64 15) 24 . 8-1- 730
matematicafutura Página 98
Donde: n: índice; n /N ; n> 2a : es el sub radical ó radicando _: operadorr: raíz, r /R
Recordar
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Tarea DomiciliariaI) Efectuar las siguientes operaciones combinadas
4) 7,25 x 15, 02 0,5 –2 09) -8 + 35 0
0 6
__ 5 __7 5 __11 17 5
5) (32)0,252 10) 310 + 4 + 32 . 32 : 2 0
3 ___ 3 __ 2 2
6 __11) (-22)0,5 – -27 + 50 15) -8 + 64 + ( 1 )-1
2
12) (-7)0 -70 5 ___
13) (1 )–2 + -32 - 30
0
3 ___ 22
14) (0,2)-2 – -64 + 2
Ejercicios de aplicaciónEjemplos -1
2
-11) E = 100 2) Reducir
a) 1 b) 10 c) 100 d)100 M = 81 ½ + 9 ½ + 16 0,25
a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16
3) Reducir: 4) Reducir: 13
2 -1 0
3 2 _____ 5 – (0,2) 17 -2 -1
= 2 – (2 3 ) + 52,62 E= 52 + (-1 ) – ( 1 ) 82 8 7 a) 4.48 b) 64 c) 8 d)7 a) 89 b) 96 c) 82 d)57
5) Efectuar: 6) Reducir:
E = 2570
2
Q =( 1
2 )−2
+ 5√−32−30
matematicafutura Página 99
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I.E “Santa María Reina” Lic. HUGO TOMAS RIVERA PRIETO QUINTO A.B.C.D
a) 2 b) 5 c) 48 d) 41 e) 116 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)-1
7) 230
+ 5√−32−( 14 )
−2
8) 350
−(−3 )0+(√5 )0
a) 2 b) –4 c) –16 d) 16 e) N.A. a) 2 b) 3 c) –2 d) 5 e) N.A.
Tarea Domiciliaria
1) Hallar la Raíz Cuadrada de 2) Reducir:
E = 25 ½ + 36 0,5 + 16 ¼ +81¼ [ (−2 )3 ]2+( 3√−8 )5
a) 1 b) 2 c) 4 d) 16 e) 256 a) 66 b) 64 c) 62 d) 60 e) N.A
3) Efectuar: 4) Efectuar
√( 13 )
−2
+( 14 )
−2
_ _a) 11 b) 13 c) 5 d) 58 a) 2 b) 5 c) 25 d) 16 e)125
5) Reducir: 6) Reducir:
-7 0 +3√576581−100
+(−7 )0 3 10 -2 8 39 (-24) ( -23)
a) 1 b) 2 c) 0 d) 13 e) 7 a) 3 b) 2 c) 3 d) 4 e) -17) Reducir : 8) Reducir la siguiente expresión 0 1 0,5
35 + 22 + (3 2 ) P= √811/2+91
2+160,5
a) –2 b) 1 c)4 d) 6 e) –1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
9) Reducir 10) Hallar el equivalente de:
A = √( 12 )
−1
+( 13 )
1
+( 14 )
−1
[75−5 x 60
−(−5+7 )0 ]0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
matematicafutura Página 100
0
-50
4
M = 5 16