Numero Dorado

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Nmero ureoEste artculo trata sobre un nmero algebraico. Para otros usos de este trmino, vaseureo (desambiguacin).Elnmero ureo(tambin llamadonmero de oro,razn extrema y media,1razn urea,razn dorada,media urea,proporcin ureaydivina proporcin2) es unnmero irracional,3representado por laletra griega (phi)(en minscula) o (Phi)(en mayscula) en honor al escultor griegoFidias.La ecuacin se expresa de la siguiente manera:

El nmero ureo surge de la divisin en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud totala+bes al segmento ms largoa, comoaes al segmento ms cortob.Tambin se representa con la letra griegaTau( ),4por ser la primera letra de la raz griega, que significaacortar, aunque es ms comn encontrarlo representado con la letrafi (phi)(,). Tambin se representa con la letra griega alpha minscula.5Se trata de unnmeroalgebraicoirracional (su representacin decimal no tiene perodo) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigedad, no como una expresin aritmtica, sino como relacin o proporcin entre dos segmentos de una recta, o sea, una construccin geomtrica. Esta proporcin se encuentra tanto en algunas figuras geomtricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos rboles, en el grosor de las ramas, en el caparazn de un caracol, en los flsculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritmticas ms curiosas es que su cuadrado (2= 2,61803398874989...) y su inverso (1/ = 0,61803398874989...) tienen las mismas infinitas cifras decimales.Asimismo, se atribuye un carcter esttico a los objetos cuyas medidas guardan la proporcin urea. Algunos incluso creen que posee una importanciamstica. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusin en el diseo de diversas obras dearquitecturay otrasartes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemticas y el arte.ndice[ocultar] 1Definicin 1.1Clculo del valor del nmero ureo 2Historia del nmero ureo 2.1Antigedad 2.2Edad Moderna 3El nmero ureo en las matemticas 3.1Propiedades y representaciones 3.1.1ngulo de oro 3.1.2Propiedades aritmticas 3.1.3Representacin mediante fracciones continuas 3.1.4Representacin mediante ecuaciones algebraicas 3.1.5Inecuacin algebraica 3.1.6Representacin trigonomtrica 3.1.7Representacin mediante races anidadas 3.1.8Relacin con la sucesin de Fibonacci 3.2El nmero ureo en la geometra 3.2.1El rectngulo ureo de Euclides 3.2.2En el pentagrama 3.2.3El teorema de Ptolomeo y el pentgono 3.2.4Pentgono estrellado 3.2.5Trigonometra 3.2.6Relacin con los slidos platnicos 3.3Teora de nmeros 4El nmero ureo en la Naturaleza 5El nmero ureo en el arte y en la cultura 6Vase tambin 7Referencias 8Bibliografa 9Enlaces externosDefinicin[editar]El nmero ureo es el valor numrico de la proporcin que guardan entre s dossegmentosde rectaayb(ams largo queb), que cumplen la siguiente relacin: La longitud total, suma de los dos segmentosayb, es al segmento mayora, lo que este segmentoaes al menorb. Escrito comoecuacin algebraica:

Siendo el valor del nmero ureo el cociente:Surge al plantear el problema geomtrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.Clculo del valor del nmero ureo[editar]Dos nmerosaybestn en proporcin urea si se cumple:

Sientonces la ecuacin queda:

La solucin positiva de laecuacin de segundo gradoes:

que es el valor del nmero ureo, equivalente a la relacin.Historia del nmero ureo[editar]Algunos autores sugieren que el nmero ureo se encuentra como proporcin en varias estelas deBabiloniayAsiriade alrededor de2000a.C.Sin embargo, no existe documentacin histrica que indique que el nmero ureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboracin de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fcil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Adems, para que se pueda afirmar que el nmero ureo est presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hiptesis que defienden la presencia del nmero ureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el nmero ureo.6Antigedad[editar]El primero en hacer un estudio formal del nmero ureo fueEuclides(c.300-265a.C.), quien lodefinide la siguiente manera:"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razn cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor".EuclidesLos ElementosDefinicin 3 del Libro Sexto.Euclides demostr tambin que este nmero no puede ser descrito como la razn de dos nmeros enteros; es decir, es unnmero irracional.Platn(c.428-347a.C.) vivi antes de que Euclides estudiara el nmero ureo. Sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el nmero ureo debido a que el historiador griegoProcloescribi:"Eudoxo... multiplic el nmero de teoremas relativos a la seccin a los que Platn dio origen".ProcloenUn comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.Aqu a menudo se interpret la palabra seccin () como la seccin urea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretacin ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusin de que la palabraseccinno tuvo nada que ver con el nmero ureo. No obstante, Platn consider que los nmeros irracionales, descubiertos por lospitagricos, eran de particular importancia y la llave de la fsica del cosmos. Esta opinin tuvo una gran influencia en muchos filsofos y matemticos posteriores, en particular losneoplatnicos.A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nmero ureo, Platn se ocup de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intent usando los cincoslidos platnicos, construidos y estudiados porTeeteto. En particular, combin la idea deEmpdoclessobre la existencia de cuatro elementos bsicos de la materia, con la teora atmica deDemcrito. Para Platn, cada uno de los slidos corresponda a una de las partculas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada alcubo, el fuego altetraedro, el aire aloctaedro, el agua alicosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con eldodecaedro.Edad Moderna[editar]En1509el matemtico ytelogoitalianoLuca PaciolipublicDe Divina Proportione(La Divina Proporcin), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al nmero ureo:1. Launicidad; Pacioli compara el valor nico del nmero ureo con launicidad de Dios.2. El hecho de que est definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con laTrinidad.3. Lainconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del nmero ureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.4. Laautosimilaridadasociada al nmero ureo; Pacioli la compara con laomnipresenciae invariabilidad de Dios.5. Segn Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a travs de la quinta esencia, representada por eldodecaedro, el nmero ureo dio ser al dodecaedro.En1525,Alberto DureropublicInstruccin sobre la medida con regla y comps de figuras planas y slidas, donde describe cmo trazar conregla y compslaespiral ureabasada en la seccin urea, que se conoce como espiral de Durero.El astrnomoJohannes Kepler(1571-1630) desarroll un modelo platnico delSistema Solarutilizando los slidos platnicos, y se refiri al nmero ureo en trminos grandiosos:La geometra tiene dos grandes tesoros: uno es elteorema de Pitgoras; el otro, la divisin de una lnea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa.Johannes KeplerenMysterium Cosmographicum(El misterio csmico).El primer uso conocido del adjetivo ureo, dorado, o de oro, para referirse a este nmero lo hace el matemtico alemnMartin Ohm, hermano del clebre fsicoGeorg Simon Ohm, en la segunda edicin de 1835 de su libroDie Reine Elementar Matematik(Las matemticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie:"Uno tambin acostumbra llamar a esta divisin de una lnea arbitraria en dos partes como stas la seccin dorada".Martin OhmenDie Reine Elementar Matematik(Las matemticas puras elementales).A pesar de que la forma de escribir sugiere que el trmino ya era de uso comn para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edicin sugiere que el trmino pudo ganar popularidad alrededor de 1830.En los textos de matemticas que trataban el tema, el smbolo habitual para representar el nmero ureo fue, del griego, que significa corte o seccin. Sin embargo, la moderna denominacinola efectu en1900el matemticoMark Barren honor aFidias, ya que sta era la primera letra de su nombre escrito en griego (). Este honor se le concedi a Fidias por el mximo valor esttico atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribua tambin al nmero ureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apndices matemticos del libroThe Curves of Life, de sir Theodore Cook.El nmero ureo en las matemticas[editar]Propiedades y representaciones[editar]ngulo de oro[editar]razn nmero ureoPropiedades aritmticas[editar] es el niconmero realpositivo tal que:

posee adems las siguientes propiedades:

Las potencias del nmero ureo pueden expresarse en funcin de una suma de potencias de grados inferiores del mismo nmero, establecida una verdaderasucesin recurrentede potencias.El caso ms simple es:, cualquiera seanun nmero entero. Este caso es una sucesin recurrente de ordenk= 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.Una ecuacin recurrente de ordenktiene la forma:,dondees cualquiernmero realocomplejoykes unnmero naturalmenor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es,y.Pero podemos saltar la potencia inmediatamente anterior y escribir:. Aqu,,,y.Si anulamos las dos potencias inmediatamente anteriores, tambin hay un