NUMERIČNA ANALIZA TOKOVNIH RAZMER PRI IZPARILNIKU ...

NUMERIČNA ANALIZA TOKOVNIH RAZMER PRI IZPARILNIKU HLADILNIKA,

NAREJENEM PO SISTEMU ROLL-BOND Diplomsko delo

Študent: Matej GRABROVEC

Študijski program.: Univerzitetni študijski program; Strojništvo

Smer: Energetika in procesno strojništvo

Mentor: red. prof. dr. Leopold ŠKERGET

Somentor: red. prof. dr. Matjaž HRIBERŠEK

Maribor, 2009

Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo

- II -


- III -

IZJAVA

Podpisani Matej GRABROVEC izjavljam, da:

• je bilo predloženo diplomsko delo opravljeno samostojno pod mentorstvom

red. prof. dr. Leopolda ŠKERGETA in somentorstvom Matjaža HRIBERŠEKA ;

• predloženo diplomsko delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev

kakršnekoli izobrazbe na drugi fakulteti ali univerzi;

• soglašam z javno dostopnostjo diplomskega dela v Knjižnici tehniških fakultet

Univerze v Mariboru.

Maribor, 1. september 2009 Podpis:


- IV -

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju red. prof. dr. Leopoldu

ŠKERGETU in somentorju red. prof. dr. Matjažu

HRIBEŠEKU za pomoč in vodenje pri

opravljanju diplomskega dela.

Zahvaljujem se se pojetju Talum, d.d. za

štipendiranje v času študija.

Posebna zahvala velja staršem, ki so mi

omogočili študij.


- V -

NUMERIČNA ANALIZA TOKOVNIH RAZMER PRI IZPARILNIKU HLADILNIKA, NAREJENEM PO SISTEMU ROLL-BOND

Ključne besede: izparilnik hladilnika, računalniška dinamika tekočin, CFX 11

UDK: 536.422.1(043.2)

POVZETEK

V diplomskem delu so predstavljene tokovne razmere v izparilniku hladilnika, pridobljene s

pomočjo programskega paketa Ansys CFX 11. Izparilnik je bil narejen po sistemu ROLL-

BOND.

Modeli uporabljeni v preračunih so bili ena ravna plošča, dve ravni plošči, tri ravne plošče

ter dve plošči s motilniki. V preračunu je bil uporabljen standardni k – ε turbulentni model.

Predstavljeni rezultati prikazujejo značilno mejno plast vzdolž plošč izparilnika. Prav tako

padec povprečne temperature na izhodu iz izparilnika, padec tlaka in hladilno moč.

Določeni podatki, ki so bili primerjani z rezultati iz drugih virov, potrjujejo pravilno izbiro

računskih modelov in potrjujejo uporabo numerične analize tokovnih razmer kot primerno za

preučevanje tovrstnih problemov.


- VI -

NUMERICAL ANALYSIS OF FLOW CIRCUMSTANCES IN EVAPORATOR DESIGEND ROLL-BOND SYSTEM

Key words: evaporator, computational fluid dynamics, numerical methods(CFD), CFX 11

UDK: 536.422.1(043.2)

ABSTRACT

In this diploma work we performed a numerical analysis of flow circumstances through

evaporator calculated with Ansys CFX 11.

In my diploma I presented current situation in refrigerator evaporator, obtained through the

software package ANSYS CFX 11th. Evaporator was made under the system ROLL-BOND.

Models, used in my recalculations, were one flat plate, two flat plates, three flat plates and

two plates with disorders. In my calculations I used a standard k – ε turbulent model. Results I

have showen in my diploma show significantly limit layer along the evaporator plates. They

also show the fall of evarage temperature at the outlet of evaporator, pressure drop and

cooling power.

Certain results, which were compared with results from other sources, confirm the correct

choice of account modeling and confirm the usage of a numerical analysis of current situation

as appropriate for studying theese kind of problems.


- VII -

KAZALO

1 UVOD .................................................................................................1

1.1 OPIS SPLOŠNEGA PODROČJA DIPLOMSKEGA DELA ...................................................................................... 1

1.2 STRUKTURA DIPLOMSKEGA DELA .............................................................................................................. 2

2 PREGLED STANJA OBRAVNAVANE PROBLEMATIKE ................3

3 OPIS PROBLEMA .............................................................................4

3.1 POSTOPEK IZDELAVE IZPARILNIKA ................................................................................................ 8

3.1.1 Valjanje izparilnih plošč .................................................................................................................. 8

3.1.2 Žarenje in ohlajanje izparilnih plošč ............................................................................................... 9

3.1.3 Napihovanje izparilnih plošč ........................................................................................................... 9

3.1.4 Pravokotni razrez na škarjah in pakiranje ...................................................................................... 9

3.1.5 Izsekovanje , kalibriranje in pakiranje .......................................................................................... 10

3.2 PREVOD TOPLOTE .................................................................................................................................... 10

3.3 KONVEKTIVNI PRENOS TOPLOTE, TOPLOTNA PRESTOPNOST ..................................................................... 13

3.4 DOLOČITEV TOPLOTNIH PRESTOPNOSTI IN BREZDIMENZIJSKA ŠTEVILA ................................................... 18

3.5 TOK V CEVEH IN KANALIH ........................................................................................................................ 20

3.6 BREZDIMENZIJSKA KRITERIJALNA ŠTEVILA ............................................................................................. 21

4 RAČUNALNIŠKA DINAMIKA TEKOČIN .........................................23

4.1 OPIS RAČUNALNIŠKE DINAMIKE TEKOČIN ................................................................................................ 23

4.2 ENAČBE OHRANITVENIH ZAKONOV LAMINARNEGA TOKA ........................................................................ 23

4.2.1 Kontinuitetna enačba (ohranitev mase) ......................................................................................... 24

4.2.2 Zakon ohranitve gibalne količine .................................................................................................. 25

4.2.3 Zakon ohranitve energije ............................................................................................................... 25

4.3 TURBULENTNI TOK .................................................................................................................................. 26

4.4 OHRANITVENI ZAKONI ............................................................................................................................. 31

4.4.1 Zakon o ohranitvi mase ................................................................................................................. 32

4.4.2 Zakon o ohranitvi gibalne količine ................................................................................................ 33

4.4.3 Zakon o ohranitvi energije............................................................................................................. 34

4.5 DISKRETIZACIJA OBMOČJA REŠEVANJA .................................................................................................... 34

4.6 APROKSIMATIVNA METODA ..................................................................................................................... 35

4.7 REŠEVANJE ENAČB ................................................................................................................................... 37

4.7.1 Konvergenčni pogoj ....................................................................................................................... 38

5 NUMERIČNI PRERAČUN MODELA ...............................................39

5.1 NUMERIČNI MODEL Z ENO RAVNO PLOŠČO ............................................................................................... 39


- VIII -

5.1.1 Geometrija modela ........................................................................................................................ 39

5.1.2 Robni pogoji .................................................................................................................................. 41

5.1.3 Diskretizacija ................................................................................................................................. 44

6 REZULTATI ......................................................................................46

6.1 ENA RAVNA PLOŠČA ................................................................................................................................ 46

6.2 DVE RAVNI PLOŠČI ................................................................................................................................... 49

6.3 TRI RAVNE PLOŠČE................................................................................................................................... 52

6.4 DVE PLOŠČI Z MOTILNIKI ......................................................................................................................... 55

6.5 PRIMERJAVA REZULTATOV ...................................................................................................................... 60

7 DISKUSIJA ......................................................................................61

8 SKLEP ..............................................................................................62

9 SEZNAM UPORABLJENIH VIROV .................................................64


- IX -

UPORABLJENI SIMBOLI

Veličine

d - premer [ ]m

- ekstenzivna veličina

f - intenzivna veličina

H - višina [ ]m

L - mera dolžin, običajno dolžina [ ]m

m - masa [ ]kg

m& - masni pretok [ ]skg

p - tlak [ ]Pa

Q - volumski pretok [ ]sm3

R - polmer [ ]m

t - čas [ ]s

V - prostornina [ ]3m

v - hitrost [ ]sm

x - karakteristična dolžina [ ]m

α - kot [ ]o

η - dinamična viskoznost [ ]sPa ⋅

λ - parameter [ ]s

ρ - gostota [ ]3mkg

σ - normalna napetost [ ]Pa

τ - strižna napetost [ ]Pa

F


- X -

Indeksi

Matematični znaki

Δ - razlika

d - diferencial

∂ - parcialni diferencial

∇r

- nabla operator, gradient

⋅∇r

- divergenca

( )zyxf ,, - skalarna funkcija

( )zyxv ,,r - vektorska funkcija


- XI -

UPORABLJENE KRATICE

CEL - CFX Expression Language

MKE - Metoda končnih elementov

MKR - Metoda končnih razlik

MKV - Metoda končnih volumnov

MRE - Metoda robnih elementov

RDT - Računalniška dinamika tekočin


- 1 -

1 UVOD

Hladilnik je danes eden izmed nepogrešljivih hišnih aparatov v marsikaterem gospodinjstvu,

saj ga uporabljamo za shranjevanje in hlajenje živil. Potreba po hladilniku se izkaže še

posebaj v poletnih mesecih, ko so zunanje temperature visoke in je potreba po hlajenju živil

toliko večja.

1.1 Opis splošnega področja diplomskega dela

Izparilnik je zraven kondenzatorja, kompresorja in ekspanzijskega ventila ena izmed osnovnih

štirih enot hladilnika, ki so potrebne, da le ta deluje. Hlajenje hladilnega prostora v hladilniku

se vrši s pomočjo krožnega procesa hladilnega sredstva, pri katerem vzeta toplota iz

hladilnega prostora preide v okolico. Na tak način prenašamo toploto iz sistema z nižjo

temperaturo v sistem z višjo temperaturo.

V izparilniku izpareva hladilni medij, ki ga je kompresor skomprimiral iz par, ki so

ekspandirale na ekspanzijskem ventilu. Hladilniki z NO FROST sistemom v širši prodaji,

imajo cevno lamelne izparilnike, kateri imajo zaradi velike površine dober prenos toplote na

zrak v hladilniku. Ta izvedba izparilnika je tehnološko zahtevna, zato je tudi cena takega

izparilnika visoka. Zato se je pojavila potreba po iskanju novih tehničnih rešitev na tem

področju. Izparilniki narejeni po sistemu ROLL-BOND so cenejši od klasičnih cevno

lamelnih izvedenk. Prenos toplote je sicer nekoliko manjši saj je površina izparilnika po tem

sistemu mnogo manjša.

Cilj diplomskega dela je določitev toplotnih tokovnih razmer v modelu izparilnika hladilnika

s pomočjo računalniške dinamike tekočin.

Ker je fizikalni pojav, ki se odvija znotraj izparilnika narejenega po ROLL-BOND

tehnologiji zelo zahteven, smo se omejili pri postavitvi numeričnega modela ter ga

poenostavili. Glavna poenostavitev je konstantna temperatura izparilnika po vsej površini.

Poenostavili smo tudi temperature sten hladilnika ter določili uniformen vstop zraka na vstopu

v izparilnik z predpostavljeno temperaturo, ki je konstantna.


- 2 -

1.2 Struktura diplomskega dela

V diplomskem delu smo prvo predstavili pregled stanja obravnavane problematike, nato smo

zaradi boljšega razumevanje fizike in osnovnih izrazov ter numerično pridobljenih rezultatov

opisali osnove izbranega fizikalnega problema. Za tem smo dodali fizikalne osnove za

razumevanje tokovnih razmer, območje reševanja ter pomembne parametre in

brezdimenzijska kriterijalna števila, ki so pomembna za proučevanje tokovnih razmer.

V naslednjem poglavju smo podali nekaj osnov računalniške dinamike tekočin.

Predstavili smo vodilne enačbe, ki smo jih reševali. Dodali smo še opis aproksimativne

metode, ki jo uporablja programski paket Ansys CFX 11 za reševanje vodilnih enačb.

Poglavje numeričnega modela predstavlja postavitev numeričnih modelov za določitev

tokovnih razmer v območju reševanja. Tako je predstavljen način pridobitve geometrije,

postavitev robnih pogojev ter začetnih vrednosti, izbira mreže ter časovnega koraka in

reševanje numeričnega modela.

V šestem poglavju smo podali rezultate numeričnega preračuna tokovnih razmer v

obliki slik in komentarjev.

Za tem poglavjem je sledilo poglavje, v katerem smo pojasnili pomen lastnih končnih

rezultatov dela. Podali smo tudi opozorila na tiste ugotovitve, ki odpirajo še nova neraziskana

področja.

Na koncu smo dodali še sklep, ki vsebuje objektivno oceno rezultatov in jih povezuje s

problemom zastavljenim v uvodu. Nakazali smo tudi napotke za nadaljnje delo.


- 3 -

2 PREGLED STANJA OBRAVNAVANE PROBLEMATIKE

Preučevanje tokovnih razmer za tok v kanalu in pod pogoji obratovanja, kot so prisotni

v našem primeru, je dokaj dognano. Toda numeričnih izračunov tokovnih razmer za naš

primer, ki bi bili pridobljeni s pomočjo programskega paketa CFX 11, skorajda ni zaslediti v

strokovni literaturi.

Razvoj oblike izparilnikov narejenih po sistemu ROLL-BOND je v podjetju Talum do

sedaj potekal izkustveno iz prakse in po željah in potrebah kupcev. Razmere na trgu so tiste,

ki so vzpodbudile svoj razvoj izparilnka, ki bo narejen po sistemu ROLL-BOND, ki je mnogo

cenejši proizvodnji sistem, vendar pa po prenosu toplote enako zmogljiv kot cevno-lamelni

izparilnik.

Za primer obtekanja ravne plošče in le te z motilniki v kanalu so že znani tokovni

vzorci, ki jih opiše tekočina. Podatkov o tem koliko se pa prenese toplote pa nismo zasledili.

Ostali podatki, ki bi bili praktično uporabni, pa v večini primerov niso javno objavljeni, kajti

vsako podjetje, ki se ukvarja z razvojem izparilnikov narejenih po sistemu ROLL-BOND, te

podatke skrbno varuje. Tako, da je zanimivo preučiti obnašanje določenih parametrov, ki so

pomembni na prenos toplote iz izparilnika na zrak, ki ga obteka.


- 4 -

3 OPIS PROBLEMA V hladilnikih s samodejnim sistemom odmrzovanja izparilnika, komercialno prepoznavnih

pod oznako »NO-FROST« so sedaj uporabljeni cevno-lamelni izparilniki.

Slika 3.1: Hladilnik BOSCH z vgrajenim cevno-lamelnim izparilnikom

Hladilniki s tem sistemom so praviloma večjih izvedb in s tem povezano imajo tudi večjo

količino zraka, ki ga je potrebno ohladiti. Do sedaj poznane konstrukcijske izedbe

izparilnikov narejenih po sistemu ROL-BOND niso zadostile tehničnim zahtevam, saj je bila

površina takega izparilnika premajhna, so se proizvajalci hladilnikov poslužili sicer dražje

izedbe izparilnika, ki pa zadosti potrebam in sicer cevno lamelne različice.

Slika 3.2: Cevno lamelni izparilnik


- 5 -

V podjetju Talum d.d. vidimo poslovno priložnost v izdelavi izparilnikov po sistemu ROL-

BOND, ki bi v bodoče zamenjali obstoječe cevno-lamelne izparilnike v hladilnikh s sistemom

»NO-FROST« na osnovi osvojene tehnologije zgibanja in s tem močno povečane površine

izparilnika.

Slika 3.3: Skica izparilnika pred upogibanjem v končno obliko

Slika 3.4: Končna oblika izparilnika narejenega po sistemu ROLL-BOND

Izparilna plošča je toplotni izmenjevalec, ki se uporablja predvsem v beli tehniki, v hladilno

zamrzovalnih aparatih in s svojimi lastnostmi daje optimalne rezultate glede porabe energije

aparata, konstrukcijska izvedba pa omogoča tak način gradnje aparatov, da je možna uporaba

hladilnih medijev, ki ne vsebujejo Cl. Izdelana je iz dveh Al- pločevin med katerima je

oblikovan kanalski sistem.


- 6 -

Na liniji Expandal platiramo dva trakova navita v kolute ki se odvijata z odvijalnikov in

vodita sozi naprave za ravnanje, krtačenje stičnih površin, sitotiskarski stroj, skozi tunelsko

peč za predgrevanje, valjarno, tunelsko peč za popuščanje, skozi hladilnik, ravnalni stroj in

na razrez. Uporabljena tehnologija, kjer se s postopkom toplega valjanja trakova zvarita

skupaj (pri 60% redukciji) v dvoplastni kompaund-bimetal se imenuje ROL-BOND. Oba

koluta, ki ju valjamo v paru imata ob različnih kombinacijah premerov in debelin cca 1100m

traku.

Glede na debelino valjane izparilne plošče poteka upoštevaje redukcijo na valjarni kontinuirni

proces valjanja do izteka dolžine traku v kolutu, na kar proces prekinemo in namestimo na

odvijalnika novi par kolutov. Prekinitev ima za posledico porušitev nastavljenih parametrov

procesa, ki jih je potrebno za zagon novega para ponovno vzpostaviti in stabilizirati. Zagon

pomembno vpliva na tehnološki izmet in s tem na porabo Al - traku/enoto proizvoda, ter na

kapaciteto na operaciji platiranja, ker je potrebno koluta namestiti na odvijalnika, konca

predhodnih trakov zvariti z začetkom naslednjih nato pa postopno približati delovne valje na

nazivno debelino in doseči izenačitev temperature trakov v predgrevni peči. Z instaliranjem

naprav za avtomatsko menjavo kolutov med pogonom linije se št. zagonov zmanjša na 1/6,

kapaciteta linije pa se poveča za čas trajanja menjave kolutov in čas potreben za nastavitev in

stabiliziranje parametrov valjanja.

Proizvajamo dve vrsti izparilnih plošč po zahtevah kupcev, glede na način vgradnje oziroma

vrsto uporabljenega hladilnega medija v aparatu:

ONI: debelini in kemijski sestavi obeh plasti sta enaki – Al 99,50%

ENI: debelina AlZr plasti je vedno enaka, debelina plasti čistega Al je različna, glede na

zahteve – Al 99,50% /AlZr

ONI - obojestransko napihnjena izparilna plošča

Obojestransko napihnjena izparilna plošča je dvoslojna, s simetrično oblikovanimi kanali,

izdelana iz dveh enakih trakov sestave Al 99,5 %, ki sta platirno valjana v toplem.

Oblikovanje/napihovanje kanalov poteka v hladnem med dvema vzporednima ravnima

ploščama v hidravlični stiskalnici, z vpihovanjem suhega zraka visokega tlaka med obe plasti

odžarjenega kompozita, kjer je odtisnjena slika kanalov.


- 7 -

Razrez na dimenzije izvedemo glede na zahteve (po načrtu tipa izparilne plošče) kupca v variantah kot :

• pravokotno obrezane na čelnih mehanskih škarjah na predpisane dimenzije • izsekane z štančnim orodjem vključno z vsemi konturnimi izseki in detajli (izvleki,

prebodi, odtisi) na končne dimenzije

Slika 3.5: Obojestransko napihnjena izparilna plošča ENI - enostransko napihnjena izparilna plošča

Enostransko napihnjena izparilna plošča je dvoslojna , z enostransko oblikovanimi kanali,

izdelana iz dveh Al trakov enake ali različne debeline, iz Al 99,5 % (Al 1050) za mehko plast

in Al 99,0 % z dodatkom Zr do 0,20 % (Al 1230) za trdo plast.

Valjane izparilne plošče po toplotni obdelavi (žarenje v komorni žarilni peči) ,

preoblikujemo/napihujemo v hidravlični stiskalnici, kjer v ustreznem razmerju napihovalnega

in držalnega tlaka oblikujemo kanale in pridržujemo kompozit ob mizo stiskalnice z

namenom preprečitve obojestranskega oblikovanja kanalov in zagotovitve ravnosti trde plasti

izparilnika. Razrez na dimenzije vršimo glede na zahteve kupcev enako kot pri ONI.


- 8 -

Slika 3.6: Enostransko napihnjena izparilna plošča

3.1 POSTOPEK IZDELAVE IZPARILNIKA

Izparilna plošča , je dvoslojna, enostransko(ENI) ali obojestransko(ONI) oblikovana

izaparilna plošča, izdelana iz dveh Al trakov enake ali različne kvalitete -kemijske sestave,

enake ali različne debeline posameznega traku, platinirno valjana v toplem.

Izparilniki so namenjeni upoarabiv hladilni tehniki, kot toplotni izmenjevalci v proizvodnji

hladilno zamrzovalnih aparatov.

Tehnologija izdelave izparilnih plošč obsega delovne operacije:

platirno valjanje na temperaturi tople predelave,

rekristalizacijsko žarenje žarenje v komorni peči,

napihovanje vtisnjenih kanalov na izparilni plošči na hidravličnih preoblikovalnikih,

razrez na končne dimenzije po zahtevi kupca na mehanskih škarjah in pakiranje,

izsekovanje z izsekovalnim orodjem na ekscentričnih stiskalnicah in pakiranje.

3.1.1 Valjanje izparilnih plošč

Dva aluminijasta trakova z odvijalnikov vodimo preko ravnalnega stroja na stroj za krtačenje,

kjer dve stični površini trakov očistimo z vrtečimi jeklenimi krtačami.

Na očiščeno površino traku s tiskarskim postopkom in grafitno pasto natisnemo kanalski

sistem na izparilni plošči. Oba trakova nadalje potujeta skozi ogrevno peč, kjer jih ogrejemo

na 430 ± 20 ºC. Na duo valjarni z 60% redukcijo zvaljamo oba trakova v enoten valjanec.


- 9 -

Valjanec iz valjarne nato potuje preko 1. vlečnega valja skozi rekristalizacijsko peč (samo v

primeru proizvodnje objestrasko napihnjenih izparilnih plošč). Na izhodu iz žarilne peči,

valjanec potuje skozi vodno prho, kjer se ohladi na sobno temperaturo.

Ohlajeni valjanec za 2. vlečnim valjem vodimo na ravnalni stroj in leteče škarje, kjer valjanec

razrežemo na surove platine.

Avtomatizirani manipulator razrezane platine zlaga na žarilne palete. Nato vršimo pripravo

žarilnega vložka (šarže) za žarenje enostranskih izparilnih plošč v komorni peči.

3.1.2 Žarenje in ohlajanje izparilnih plošč

Pripravljeni žarilni vložek z manipulatorjem vložkov zapeljemo v žarilno peč in startamo

žarilni cikel. Žarilni cikel poteka 7 h na temperaturi 315 º C. V žarilni komori se vrši prenos

toplote sevalnih cevi gorilnikov na žarilni vložek z intezivnim mešanje atmosfere v žarilni

peči brez izpusta v okoliško atmosfero. Po končanem žarilnem ciklu se vložek prestavi v

hladilni agregat , kjer z intenzivnim prepihovanjem z zrakom, ki ga zajemamo in vračamo v

ozračje, ohladimo vložek v času 7 ur na temperaturo okolice (manj kot 35 º C).

3.1.3 Napihovanje izparilnih plošč

Napihovanje izparilnih plošč poteka na avtomatiziranih napihovalnih linijah. Napihovanje

vršimo z vpihovanjem suhega zraka visokega tlaka med obe plasti surove valjane platine.

Po končanem napihovalnem ciklu, komprimirani zrak iz napihnjene izparilne plošče

izpustimo v atmosfero.

3.1.4 Pravokotni razrez na škarjah in pakiranje

Na tej operaciji izvajamo razrez izparilnih plošč na zahtevane dimenzije po načrtih kupcev in

pakiranje v embalažne enote. Polne embalažne enote predajajo v prodajno skladišče, odrezani

material in izločene plošče pa kot povratni material na nazaj v predelavo - pretopitev.


- 10 -

3.1.5 Izsekovanje , kalibriranje in pakiranje

Na tej operaciji izvajajo izsekovanje izparilnih plošč na zahtevane dimenzije po načrtih

kupcev , kalibriranje termokanalov , če so prisotni in pakiranje v embalažne enote.

Polne embalažne enote predajajo v prodajno skladišče, odrezani material in izločene plošče pa

kot povratni material na predelavo - pretopitev.

3.2 Prevod toplote

Prevod toplote je transport energije med sosednjimi molekulami na osnovi temperaturnih

gradientov. V kovinah prenašajo energijo tudi prosti elektroni. V trdnih telesih, ki so

propustna za toplotno sevanje, se energija transportira samo s prevodom toplote, medtem ko

se v plinih in kapljevinah proces prevoda in energijskega transporta povečuje s tokovnim

gibanjem (konvekcijo) in toplotnim sevanjem. Omejili se bomo na fenomenološko

obravnavanje prevoda toplote z veličinami, ki jih poznamo že iz termodinamike, kar za

tehnični pristop k zanimivimi problemom popolnoma zadostuje.

Transport energije v prevodni snovi lahko popišemo z vektorskim poljem gostote toplotnega

toka

( ).,τxQQrr

= ( )1.3

Glede na pomen teorije nepretrganih zvez vsebuje vektor gostote toplotnega toka na mestu

označenem z vektorjem xr velikost in smer energijskega toka, ki je odvisen še od časa τ .

Gostota toplotnega toka Qv

je definirana tako, da za toplotni tok Qd & skozi poljubno orientiran

površinski element dA velja

( ) .cos, dAQdAnxQQd βτvvvv& == ( )2.3

Tukaj je n enotni vektor v smeri normale na površino, z Qv

tvori kot β , slika 3.7 .

Če stoji Qv

pravokotno na ( )0=βdA , potem je toplotni tok Qd & največji. Dimenzija

toplotnega toka je WsJ =/ , energija, ki se nanaša na čas. Gostota toplotnega toka se

označuje z dimenzijo – toplotni tok na površino, t.j. .// 22 mWsmJ =


- 11 -

Slika 3.7: Gostota toplotnega toka

Temperatura t se spreminja v snovi krajevno in časovno. Skupek temperatur tvori polje

temperatur ( )τ,xtt vvv= .

Stacionarno temperaturno polje ni odvisno od časa τ . Vse točke telesa, ki imajo v določenem

času enako temperaturo τv , lahko spojimo v eno površino. Ta izotermna površina ali kratko

ime izoterme delijo tiste dele telesa, ki imajo višjo temperaturo od tistih delov z nižjo

temperaturo. Največje temperaturne spremembe normalno sledijo izotermam in so dane s

temperaturnimi gradienti

zyx ezte

yte

xtttgrad

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇= ( )3.3

kjer so zyx eee ,, enotni vektorji v smeri treh koordinat. Vektor gradient stoji pravokotno na

opazovano točko izoterme in kaže v smeri največjih temperaturnih povečanj.

Če gledamo na temperaturne gradiente kot na vzrok toplotnih tokov v prevodnem materialu,

obstaja enostavna proporcionalnost med vzrokom in učinkom. Za gostoto toplotnega toka

potem velja

tgradQ λ−=v

. ( )4.3

To je osnovni zakon prevoda toplote, ki ga je l.1822 postavil J.B. Fourier. Negativni predznak

v enačbi upošteva 2. Glavni zakon termodinamike: toplota teče v smeri nižjih temperatur,

slika 3.8 .


- 12 -

Slika 3.8: Prikaz drugega glavnega zakona termodianmike

V en. (3.5) je proporcionalna konstanta snovska lasnost – toplotna prevodnost

( )pt,λλ = .

Odvisna je od temperature t in tlaka p. Pri zmeseh je dodatno odvisna še od sestave. Toplotna

prevodnost λ je skalar, dokler je material izotropen. V neizotropnih materialih je toplotna

prevodnost tenzor druge stopnje, vektorji Qv

in grad t tvorijo potem drugačen kot od tistega

na sliki 3.8 . V izotropnem materialu je vektor gostote toplotnega toka pravokoten na

izotermno ploskev. Za toplotni tok Qd & skozi poljubno orientiran ploskovni element dA

dobimo iz en. (3.3) in (3.5)

( ) dAntdAntgradQd

∂∂−=−= λλ v& . ( )5.3

Pri tem pomeni nt ∂∂ / odvod t v smeri zunanje normale na ploskovni element.

Toplotna prevodnost, katere enota je w/mK, pripada k pomembnim lastnostim snovi pri

prevodu toplote. Odvisnost od tlaka moramo upoštevati le pri plinih in kapljevinah. Odvisnost

od temperature pa največkrat ni močno razširjena, tako da jo lahko zanemarimo. Znano je da

imajo kovine zelo velike toplotne prevodnosti, trdni električni nepreveodniki znatno manše,

medtem ko kapljevine in predvsem plini izkazujejo posebno majhne toplotne prevodnosti. Na

tem sloni npr. majhna sposobnost prevajanja toplote penjenih snovi, ker vsebujejo veliko

število majhnih s plinom napolnjenih praznih prostorov. Tudi prazni prostori so obdani s

trdno snovjo, ki ima majhno toplotno prevodnost.


- 13 -

3.3 Konvektivni prenos toplote, toplotna prestopnost

V toku tekočine se energija ne transportira samo s prevodom toplote, ampak tudi z

makroskopskim gibanjem tekočine. Skozi navidezno površino teče toplota s prevajanjem na

osnovi tremperaturnih gradientov, potem pa še energija kot entalpija in kinetična energija

zaradi premeščanja mas okoliške tekočine.

Govorimo o konvektivnem prenosu toplote in mislimo istočasno delovanje prevoda toplote in

energijskega transporta skozi tok tekočine.

Posebnega tehniškega pomena je prestop toplote ali konvektivni prenos toplote med tokom

tekočine in trdno steno. Za jakost tega prestopa toplote je pomembna debelina tekočine v

bližini stene, imenujemo jo mejna plast. L.Prandtl je l. 1904 osnoval teorijo mejne plasti, ki je

posebna pomembna za prenos toplote in snovi. V mejni plasti se spreminjajo vzporedno s

steno usmerjene komponente hitrosti strujanja od nič na steni do maksimalne vrednosti pri

manjši oddaljenosti stene oziroma v jedru toka, slika 3.9 .

Tudi temperatura tekočine se spreminja vzporedno s steno, predvsem pa v mejni plasti od

temperature stene tw do vrednosti tT v neki razdalji od stene.

Slika 3.9: Tokovna in toplotna mejna plast

Če je wT tt > , je transport toplote usmerjen nasprotno, tekočina se ohlaja. Na steno padajoča

gostota toplotnega toka wQ je odvisna od temperaturnega in hitrostnega polja tekočine. Z

odvisnostjo

( )Tww ttQ −= α ( )6.3


- 14 -

je dana definicija za lokalno (krajevno) toplotno prestopnost, ki je

Tw

w

t-tQ:=α . ( )7.3

Z definicijo pa nismo rešili problema, ker ne poznamo gostote toplotnega toka wQ in prav

tako ne toplotne prestopnosti α . S to nalogo se je ukvarjalo več raziskovalcev, ki so uvedbo

α videli tudi kot odvečno. Uporaba α pa je smiselna, če jo poznamo, lahko odgovorimo na

obe vprašanji konvektivnega prestopa toplote. Kako je velika wQ , če je temperaturna razlika

( )wT tt − dana in katera temperaturna razlika se vzpostavi, če prestopa določena gostota

toplotnega toka med steno in tekočino.

Da bi združili toplotno prestopnost s poljem temperatur v tekočini, opazujemo neposredno

bližino stene (razdalja od stene 0→z ). Razen pri ekstremno razredčenih plinih se tekočine

oprijemljejo stene, njih hitrost je enaka nič in energijo lahko transportira samo s prevodom

toplote. Zato velja namesto (3.2) fizikalno osnovana odvisnost (Fourierov zakon)

wyt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−= λwQ .

( )8.3

Tu je toplotna prevodnost ( )wtλ tekočine pri temperaturi stene. Gostoto toplotnega toka wQ

dobimo iz naklona temperaturnega profila v tekočini, slika 3.9 . Iz definicijske enačbe (3.7)

sledi za toplotno prestopnost

( )Tw t-t

yt/ w∂∂−= λα . ( )9.3

Potem α lahko določimo z naklonom temperaturnega profila na steno in z razliko temperatur

med steno in tekočino. Za izračun toplotne prestopnosti moramo poznati temperaturno polje v

tekočini, ki je odvisno od hitrostnega polja. Poleg energijskih bilanc je poznavanje tokov

osnova za teoretično obravnavanje prestopa toplote.


- 15 -

Iz slike 3.10 je vidno, da pomeni razdalja αλ / na višini Ttt = ležečo subtangento

temperaturnega profila na steno. Razdalja αλ / ima red velikosti debeline mejne plasti. Po

pravilu je debelina termične plasti nekaj večja od αλ / . Tanek mejni sloj pomeni zato bolj

ugodne toplotno prestopne razmere in obratno, debelejša mejna plast ima za posledico majhne

vrednosti za α .

Slika 3.10: Temperaturni profil na steno

Če tekočina telo obteka (external flow), razumemo pod Tt temperaturo v veliki razdalji od

površine telesa, tako da na toplotno prestopnost komaj kaj vpliva. Tt imenujemo temperaturo

prostega toka in jo označimo z ∞t . Nasprotno pa, če teče tekočina v kanalu (internal flow), bo

na temperaturo tekočine na vseh mestih prereza kanala vplivala toplotna prestopnost na steno

kanala. Vzpostavi se temperaturni profil, kot je vidno na sliki 3.11 . Tukaj definiramo Tt kot

srednjo temperaturo tekočine v prerezu kanala in sicer tako, da je Tt tudi karakteristična za

transport energije v smeri na osi kanala.

Ta definicija Tt poveže od stene kanala prestopajoči in zα okarakterizirani toplotni tok z

energijskim transportom toka tekočine.


- 16 -

Slika 3.11: Temperaturni profil v kanalu

Zaradi pomembnosti definicije Tt opazujemo majhen odsek kanala, slika (3.12) . Od stene

kanala s površino dA je toplotni tok, ki prestopa na tekočino

( )dAtt Tw −= αQd & . ( )10.3

Po 1. glavnem zakonu termodinamike velja, če zanemarimo spremembo kinetične energije,

( ) HdHHdH &&&&& =−+=Qd . ( )11.3

Toplotni tok vpliva na spremembo entalpijskega toka H& tekočine. Srednja vrednost

temperature tekočine Tt po prečnem prerezu je definirana tako, da se entalpijski tok

( )( )

( )TAp

p thmdAtwhH && == ∫ ρ . ( )12.3

zapiše kot produkt masnega toka

( )∫=Ap

pwdAm ρ&

In specifične entalpije ( )Tth pri srednji temperaturi tekočine Tt , ki jo lahko označimo tudi kot

adiabatno mešalno temperaturo. Pod tem razumemo vsako srednjo temperaturo, ki se

vzpostavi pri adiabatnem mešanju vseh elementov tekočine v prečnem prerezu posode, tako

da jo zapušča s konstantno temperaturo.


- 17 -

Slika 3.12: Detajlni pogled na temperaturni profil v kanalu

Po 1. Glavnem zakonu termodinamike mora biti potem entalpijski tok H& , s katerim tok snovi

še ni pomešan in vstopa v adiabatno posodo, enak entalpijskemu toku ( )Tthm& , s katerim

tekočina zapušča mešalno posodo.

Ob izračunu adiabatne mešalne temperature Tt zanemarimo odvisnost entalpije od tlaka in je

( ) [ ] ( )00 0ttchth t

tp −+= in

( ) [ ] ( )00 0ttchth T

ttpTT −+=

kjer je [ ] ttpc0 srednja specifična toplota tekočine med t in izhodiščno temperaturo t0 , pri kateri

je h(t0)=h0 .

Tvorjena adiabatna mešalna temperatura se vzpostavi v vsakem prerezu kanal in povezuje

lokalno teplotno prestopnost α in entalpijski tok tako da sledi

( ) TpTw dtcmdAtt && =−= αQd . ( )13.3

Adiabatna mešalna temperatura tT se razlikuje od integralske srednje temperature po prerezu

kanala. Temperaturi sta enaki samo v primeru, če je hitrost na vsakem mestu prereza enaka,

torej imamo opravka z batnim tokom in w=konst.


- 18 -

Do sedaj so bile opisane le krajevne toplotne prestopnosti, ki so lahko na vsakem mestu stene

različne. V praksi večkrat potrebujemo le srednje toplotne prestopnosti mα , da bi izračunali

celotni od površine A na tekočino prestopajoči toplotni tok

tAQ m Δ= α& ali

tAQ

m Δ=

&α . ( )14.3

V definicijski enačbi je tΔ poljubna temperaturna razlika. Če so krajevne toplotne

prestopnosti α poznane, lahko mα določimo z integracijo. Za preneseni toplotni tok dobimo

( )( )

( )( )∫∫ −==A

TwA

dAttdAAQ αQ& . ( )16.3

Če je tok tekočine v kanalu, lahko Q& določimo z integracijo preko celotne prenosne površine

kanala A ali enostavneje izračunamo po

( )Twp ttcm −= &&Q . ( )17.3

kjer sta tTod in tTdo srednji temperaturi tekočine na izstopu in vstopu v kanal.

3.4 Določitev toplotnih prestopnosti in brezdimenzijska števila

Izračun toplotnih prestopnosti predpostavlja, da poznamo polje temperatur toka tekočine, ki

ga lahko določimo šele na osnovi poznavanja polja hitrosti. Samo v relativno enostavnih

primerih lahko z rešitvijo osnovnih parcialnih diferencialnih enačb za hitrostno in

temperaturno polje natančno izarčunamo toplotne prestopnosti. Primeri za to so prenos toplote

pri izoblikovanem, laminarnem toku v ceveh, pri toku vzdolž ravne plošče z laminarno mejno

plastjo. Pri turbolentnem toku moramo uporabiti poenostavljene modele in ker so problemi

glede na toplotno prestopnost komplicirani, je teoretično obravnavanje še bolj otežkočeno.


- 19 -

Pomembna metoda za določanje toplotnih prestopnosti je eksperiment. Iz izmerjenih toplotnih

tokov ali gostot toplotnih tokov in izmerjenih temperatur na steni in v tekočini lahko

določimo krajevne in srednje toplotene prestopnosti. Da bi toplotno-prestopnostne probleme

v celoti rešili, se morajo pri meritvah spremljati vse veličine, ki vplivajo na prestop toplote. K

tem vplivnim veličinam sodijo poleg geometrijskih dimenzij še karakteristična hitrost in

lastnosti tekočine: gostota, viskoznost, toplotna prevodnost in specifična toplota.

Število vplivnih veličin, ki se spreminjajo, je praviloma, med pet in deset. Da bi vpliv neke

določene veličine kvantificirali, moramo izvesti poskuse z najmanj n (npr. n=5) različnih

vrednosti te veličine, pri tem pa moramo držati vse ostale konstante. Če imamo m vplivnih

veličin, ki jih moramo upoštevati, je potrebno izvesti nm posameznih poskusov. Pri 6 vplivnih

veličinah in n=5, dobimo 56 =15 625 poskusov. Ti zahtevajo torej veliko časa in sredstev.

Učinkovito zmanjševanje števila poskusov dosežemo z uvedbo podobnostne ali modelne

teorije. Pri tem izhajamo iz osnovnih zakonov, da lahko popišemo hitrostno in temperaturno

polje z brezdimenzijskimi veličinami ali števili. To je izraz splošnega principa, da je rešitev

fizikalnega problema neodvisna od slučajno izbranega merskega sistema in se zato lahko

predstavi z brezdimenzijskimi spremenljivkami. Za tvorjenje le-teh delimo krajevne

koordinate s karakteristično dolžino, hitrosti s konstantno izhodiščno hitrostjo in temperature

s karakteristično temperaturno razliko. Temperaturno in hitrostno polje, ki se v

brezdimenzijskih koordinatah ujemata, označujemo kot podobna polja.

Hitrostna in temperaturna polja so podobna samo takrat, kadar se ujemajo tudi

brezdimenzijska števila, od katerih so polja odvisna. Ta brezdimenzijska števila vsebujejo

geometrične veličine, odločilne hitrosti in temperaturne razlike, kakor tudi transportne

lastnosti tekočine. Število brezdimenzijskih veličin je znatno manjše od števila celotnih

vplivnih veličin. Eksperimentalna poraba se precej zmanjša, ker za probleme prestopa toplote

potrebujemo samo še določitev funkcionalne odvisnosti med brezdimenzijskimi števili in

usmerjenimi eksperimenti. Pri tem primarno spreminjajo vrednosti števil in ne vrednosti

posameznih veličin, iz katerih so sestavljena brezdimenzijska števila.

Tudi teoretične rešitve toplotno prenosnih problemov lahko jasneje strukturiramo, če delamo

z brezdimenzijskimi spremenljivkami in števili. Zato se za začetek teoretično-računskih

obravnav problemov priporoča vpeljava brezdimenzijskih veličin. Ovrednotenje in prikaz


- 20 -

najdenih rešitev se poenostavi, če število neodvisnih napram spremenljivim veličinam po

možnosti držimo majhno, ker delamo z brezdimenzijskimi spremenljivkami in veličinami.

Da za prenos toplote najdemo ustrezne brezdimenzijske veličine, izhajamo iz diferencialnih

enačb za hitrostno in temperaturno polje. Enačbe dobijo brezdimenzijsko obliko in tako

nastanejo brezdimenzijski potenčni produkti iz izbranih karakterističnih veličin in transportnih

lastnosti tekočine.

3.5 Tok v ceveh in kanalih

Najprej poglejmo laminarni tok tekočine v cevi polmera r0, slika 3.13 , v katero vstopa

tekočina z enako hitrostjo w v smeri koordinate x. Po določenem delu cevi dobimo

popolnoma razviti tok s parabolično porazdelitvijo hitrosti. Za turbolentni tok je porazdelitev

bolj sploščena zaradi turbolentnega mešanja v radialni smeri. Re – število za tok v cevi je

Slika 3.13: Laminarni tok tekočine v cevi

ηρ Dwe m

D⋅⋅=R , ( )18.3

kjer je wm srednja hitrost tekočine v cevi premera D. Kritično Re – število, ko preide tok v

turbolentnega, je

2300R , =krDe . ( )19.3

Za laminarni tok lahko določimo hidrodinamično vstopno dolžino iz


- 21 -

Dlam

h

Dx Re055.0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ . ( )20.3

Za razvito turbolentno strujanje velja

6010 ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤

Dxh . ( )21.3

Za nestisljiv tok tekočine je srednja hitrost

( ) ( )∫∫ ==r

Am rdrxr

rAxrww

02

0

,2/, ρρ . ( )22.3

Aksialna hitrost toka je odvisna samo od polmera cevi r, torej je w(x,r)=w(r), ker je pri

popolnoma razvitem toku radialna hitrost enaka nič in gradient aksialne hitrosti ( )xw ∂∂ / je

enak nič.

3.6 Brezdimenzijska kriterijalna števila

Brezdimenzijska kriterijalna števila se uporabljajo z namenom določitve podobnost med

dvema sistemoma. Tako lahko, če sta si sistema podobna, rezultate enega sistema prenesemo

na drug sistem. Sistema sta med seboj podobna, če sta si geometrijsko, kinematično in

dinamično podobna.

Sistema sta geometrijsko podobna v primeru konstantnega razmerja vseh ustreznih

dolžin. Kinematična podobnost pomeni podobnost gibanja, kar pomeni geometrijsko podobne

tokovnice in konstantno razmerje hitrosti in pospeškov ustreznih delcev tekočine. Dinamična

podobnost pa je zajeta v konstantnem razmerju sil.

V izbranem problemu prevladuje v toku tekočine viskozna sila, zato je kriterijalno število, da

sta si sistema dinamično podobna, Reynoldsovo število - Re . Reynoldsovo število je bilo

definirano kot:


- 22 -

ηρ⋅⋅= xvRe , ( )23.3

kjer je v povprečna hitrost, x karakteristična dolžina, ρ gostota tekočine in η dinamična

viskoznost tekočine.

Ker je problem časovno odvisen, je drugo kriterijalno število Courantovo število – RC ,

ki je definirano kot:

xtvCR

Δ⋅= , ( )24.3

kjer je tΔ časovni korak problema. Pri določitvi Courantovega števila uporablja programski

paket Ansys CFX 11 za karakteristično dolžino x velikost mreže. Tako mora biti pri

obravnavi časovno odvisnih problemov Courantovo število blizu ena, zato da je časovna

diskretizacija problema zadovoljiva.


- 23 -

4 RAČUNALNIŠKA DINAMIKA TEKOČIN

Reševanje izbranega fizikalnega problema je bilo izvedeno s pomočjo računalniške dinamike

tekočin, zato je v tem poglavju predstavljen opis računalniške dinamike tekočin.

4.1 Opis računalniške dinamike tekočin

Računalniška dinamika tekočin (RDT) je računalniško orodje za reševanje zahtevnih

fizikalnih problemov toka tekočin in s tem povezanimi prenosnimi pojavi, kot je na primer

prenos toplote in snovi.

Osnova RDT so numerični modeli z enačbami ohranitvenih zakonov in enačbami stanja

tekočine. RDT se je začela obširneje uporabljati s pridobitvijo dovolj zmogljivih

računalnikov, ki so bili zmožni numerično preračunati veliko podatkov, s pomočjo

računalniških algoritmov na podlagi aproksimativnih metod. V praksi se uporablja več

aproksimativnih metod, kot na primer metoda končnih razlik (MKR), metoda končnih

volumnov (MKV), metoda končnih elementov (MKE) in metoda robnih elementov (MRE).

Pri tem je MKV danes najbolj razširjena aproksimativna metoda za reševanje problemov

dinamike tekočin.

Večino aproksimativnih metod lahko izpeljemo iz splošne metode utežnih ostankov.

4.2 Enačbe ohranitvenih zakonov laminarnega toka

Gibanje tekočine lahko spremljamo na majhnem elementu tekočine, ki se po določenem času

premakne iz določene lege v novo. Med translacijo se po vsej verjetnosti delec tekočine tudi

zavrti v prostoru ter spremeni volumen in obliko.

Slika 4.1: Gibanje elementa tekočine [14].


- 24 -

Translacija tekočine se pripisuje pojavu konvekcije, medtem ko se sprememba delca zgodi

zaradi gradientov hitrosti v toku tekočine in procesa difuzije. V kompleksnejših pojavih toka

tekočine imajo vpliv na gibanje delca tekočine še izvori oziroma ponori energije v tekočini.

Vsi pojavi, ki vplivajo na gibanje in obnašanje tekočine, so vključeni v enačbah ohranitvenih

zakonov mase, gibalne količine, energije in snovi. Enačbe sledijo vplivu konvekcije, difuzije,

izvorov in ponorov na delec tekočine v nekem določenem času. Povezava med enačbami je

taka, da ima sprememba neke spremenljivke (npr. temperature) v eni enačbi vpliv na

spremembo neke druge spremenljivke v drugi enačbi (npr. tlaka).

4.2.1 Kontinuitetna enačba (ohranitev mase)

Pri izpeljavi kontinuitetne enačbe je treba upoštevati, da je masa nekega sistema konstantna

veličina. Na sliki 4.2 je predstavljen tok tekočine z gostoto ρ, preko šestih ploskev nekega

kontrolnega volumna.

Slika 4.2: Kontrolni volumen tekočine [8].

Opazuje se tok tekočine v vseh treh koordinatnih smereh s hitrostmi vx, vy in vz. Vsota vseh

masnih tokov, ki pritekajo in odtekajo preko ploskev kontrolnega volumna, mora biti enaka

nič.

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0=ΔΔ−ρ+ΔΔ−ρ+ΔΔ−ρ yxvvzxvvzyvv vst,zizst,zvst,yizst,yvst,xizst,x . (4.1)

Enačbo (4.1) se deli z zyx ΔΔΔ in zapiše v diferencialni obliki za stacionarni tok stisljive

tekočine:


- 25 -

0=∂∂ρ

∂∂

ρ+∂∂ρ

zv

yv

xv zyx . (4.2)

Ker se gostota spreminja s časom in prostorom, je treba zapisati razširjeno enačbo zakona o

ohranitvi mase:

0=∂∂ρ

∂∂

ρ+∂∂ρ+

∂ρ∂

zv

yv

xv

tzyx . (4.3)

Najpreprostejša oblika kontinuitetne enačbe se dobi za tok nestisljive tekočine, ko je gostota

tekočine konstantna vrednost in velja za stacionarne in nestacionarne tokove:

0=⋅∇ vrr

. (4.4)

4.2.2 Zakon ohranitve gibalne količine

Enačbo ohranitve gibalne količine se zapiše za vse tri smeri koordinatnega sistema. Te tri

enačbe ohranitve gibalne količine se pogostokrat imenujejo Navier-Stokesove enačbe

( ) ( ) iiijk

k

i

j

j

i

jiji

j

i Fgxv

xv

xv

xxpvv

xtv +ρ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ

∂∂−

∂∂

+∂∂μ

∂∂+

∂∂−=ρ

∂∂+

∂ρ∂

32

. (4.5)

Na levi strani te enačbe so konvekcijski členi, na desni strani enačbe pa so tlačni gradient,

difuzijski člen, gravitacijska sila in ostale sile in izvori, ki vplivajo na sistem.

4.2.3 Zakon ohranitve energije

Enačba zakona ohranitve energije se izraža s pomočjo entalpije. Prenos toplote je

razumevajoč kot prenos energije, ki teče v smeri padajoče termodinamične temperature


- 26 -

sistema, kar pojasnjuje drugi glavni zakon termodinamike. Energija se lahko tudi sprošča ali

pa porablja pri kemijskih reakcijah. Enačba ohranitve energije (entalpije) se glasi:

( ) ( )( ) ( ) hj

effijji,jji

effi

ii

SvJhxTk

xpuv

xtu +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∂∂

∂∂=+

∂∂+

∂∂ ∑

′′′ τρρ

, (4.6)

kjer je

.v21hu 2⋅+= (4.7)

Prvi člen desne strani enačbe (4.6) opisuje prenos toplote napram prevodu toplote z efektivno

prevodnostjo keff, ki vsebuje korekcijo za turbulentni tok. Drugi člen te enačbe opisuje prenos

toplote napram difuziji snovi, kjer je Jj´,i difuzijski tok. Izguba toplote zaradi viskozne

disipacije je opisana s pomočjo tretjega člena na desni strani enačbe (4.6). Zadnji člen te

enačbe pa opisuje izvore energije, kot so sevanje, kemijske reakcije ali ostali procesi. V

enačbi pomeni oznaka u notranjo energijo sistema.

4.3 Turbulentni tok

V praksi se večkrat kot laminarni tok pojavi turbulentni tok. Pri študiju dinamike tekočin je

bilo razvitih že kar nekaj brezdimenzijskih števil, ki bi določile vrsto in karakteristike toka

tekočine. Najprimernejše število za opis teh lastnosti je Reynolds-ovo število Re, ki podaja

razmerje med vztrajnostno in viskozno silo. V geometrijsko si podobnih primerih se dve

tekočini z enakimi Re števili obnašata enako. Izraz za Reynolds-ovo število v cevi okroglega

prereza je:

μ⋅⋅ρ= dvRe , (4.8)

kjer je ρ gostota tekočine, v je aksialna komponenta hitrosti tekočine v cevi, d je premer cevi

in μ je dinamična viskoznost tekočine.


- 27 -

V področjih turbulentnega toka se pojavijo oscilacije hitrosti in ostalih spremenljivk. Take

spremembe v toku tekočine so opisane s pomočjo turbulentnih modelov.

Za upoštevanje turbulence v Navier-Stokesovih enačbah je uporabljenih kar nekaj metod.

Večina teh metod ima v primeru turbulentnega toka razdeljeno vrednost spremenljivk na

časovno povprečno vrednost in oscilirajoči del ´vv~ ii + . Po postopku povprečenja so

povprečne vrednosti oscilirajočih komponent enake nič. Edini člen, ki je pozitiven, je tisti, ki

opisuje produkt dveh oscilirajočih členov. Enačba ohranitve gibalne količine (4.5) se lahko

zapiše kot Reynolds-ova enačba turbulentnega toka:

( ) ( )

( ) iijij

ijk

k

i

j

j

i

jiji

j

i

Fg´v´vx

xv

xv

xv

xxpvv

xtv

+ρ+ρ−∂∂+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ

∂∂−

∂∂

+∂∂μ

∂∂+

∂∂−=ρ

∂∂+

∂ρ∂

32

, (4.9)

kjer se enačba (4.9) ohranitve gibalne količine turbulentnega toka razlikuje od enačbe

ohranitve gibalne količine laminarnega toka (4.5) za člen ´v´v ji , ki se imenuje člen Reynolds-

ovih oziroma turbulentnih napetosti.

Za izračun turbulentnih napetosti so potrebne dodatne zveze, tako imenovani turbulentni

modeli, ki povezujejo omenjene izraze z vrednostmi časovno povprečnih spremenljivk in

njihovih odvodov. Temelj turbulentnih modelov so modelne predpostavke in empirični

podatki.

Modeli se v splošnem delijo v skupino integralnih in diferencialnih modelov. Integralni

postopek obravnave turbulence je zelo omejen in primeren le za obravnavo preprostih strižnih

tokov, medtem ko se pri diferencialnem postopku rešujejo diferencialne enačbe (npr.

Reynolds-ove enačbe z dodatnimi enačbami predpostavk o Reynolds-ovih napetostih).

Najpreprostejša delitev diferencialnih modelov je odvisna od števila dodatnih enačb. Tako so

poznani naslednji turbulentni modeli:

• modeli ničtega reda – algebrajski modeli,

• enoenačbni modeli,

• dvoenačbni modeli:

o standardni k-ε model,


- 28 -

o RNG k-ε model,

o standardni k-ω model,

o BSL k-ω model,

o SST (Shear Stres Transport) k-ω model,

o model Reynolds-ovih napetosti (RSM model),

o LES (Large Eddy Simulation) model.

V nadaljnjih podpoglavjih bodo opisani turbulentni modeli, ki jih srečujemo v inženirski CFD

praksi.

Boussinesqueova aproksimacija

Z Boussinesqueovo aproksimacijo lahko Reynolds-ove napetosti opišemo s pomočjo

gradientov hitrosti. Spodaj izpisana hipoteza uporablja novo konstanto, ki je dimenzijsko

enakovredna viskoznosti:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂μ+δρ=ρ

i

j

j

itijji x

vxvk´v´v

32

. (4.10)

Nova konstanta, zapisana v zgornji enačbi, je turbulentna oziroma vrtinčna viskoznost μt. Z

vstavitvijo enačbe (4.10) v enačbo (4.9) je možno zapisati izraz z efektivno viskoznostjo:

teff μ+μ=μ . (4.11)

Prav tako je v omenjeni hipotezi (4.10) možno zaslediti še novo spremenljivko k, ki je

povprečna turbulentna kinetična energija turbulentnih fluktuacij:

´v´vk ii21= . (4.12)


- 29 -

Naloga turbulentnih modelov je torej računanje vrednosti parametrov k in μt (ali k in μeff), ki

se nato vstavijo v enačbo (4.11) oziroma (4.10). Za izračun teh parametrov je vedno potrebna

uporaba primernih aproksimacijskih metod.

Standardni k–ε model

Tako je zelo uporabljan dvoenačbni k–ε model, ki vsebuje dve individualni diferencialni

enačbi. Model je računsko stabilen tudi pri bolj kompleksnih fizikalnih problemih. Uporaben

je za različne oblike turbulentnih tokov in je delno empiričen model. Individualni

diferencialni enačbi, ki ju je treba rešiti, sta za turbulentno kinetično energijo k in disipacijsko

hitrost turbulentne kinetične energije ε:

( ) ( ) ερ−+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σμ+μ

∂∂=ρ

∂∂+

∂ρ∂

kik

t

ii

i

Gxk

xkv

xtk

, (4.13)

( ) ( )k

CGk

Cxx

vxt k

i

t

ii

i

2

21ερ+ε+

∂ε∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σμ+μ

∂∂=ερ

∂∂+

∂ερ∂

ε

. (4.14)

Števila C1, C2,σk,σε so empirične konstante. Medtem ko je člen Gk generacijsko število

turbulence, ki vsebuje produkt gradientov hitrosti, in je odvisno od turbulentne viskoznosti:

i

j

i

j

j

itk x

vxv

xvG

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂μ= . (4.15)

Enačbama (4.13) in (4.14) je možno dodati tudi člene, ki bi vključevali vrtinčnost,

deformacijo ali pa stisljivost tekočine. Turbulentna viskoznost, ki je potrebna za rešitev enačb

(4.13) in (4.14), se izračuna s pomočjo k in ε ter eksperimentalno dobljenega števila Cμ=0.09:

ερ=μ μ

2kCt . (4.16)


- 30 -

Pri uporabi k-ε modela se uporabita parametra k in ε za izračun turbulentne viskoznosti μt. S

pomočjo parametrov k in μt se na osnovi Boussinesqueove aproksimacije izračunajo

Reynolds-ove napetosti in se le te vstavijo v enačbo ohranitve gibalne količine. Ko je rešena

enačba ohranitve gibalne količine, se izračunajo nove komponente hitrosti in se le te

uporabijo za preračun generacijskega števila turbulence Gk. S tem postopkom se računska

zanka ponavlja, dokler ni dosežena želena konvergenca rezultatov.

RNG k–ε model

RNG (renormailization group) model je modificirana verzija k–ε modela. S tem modelom so

izračunani rezultati natančnejši v primerih vrtinčnih tokov ter pri ločevanju tokov. Sam model

je v primerjavi z k–ε modelom manj matematično stabilen.

Model Reynolds-ovih napetosti (RSM model)

RSM model ne uporablja Boussinesqueove hipoteze in v preračunu ni prisotne turbulentne

viskoznosti μt. Standardni RSM model bazira na preračunu enačbe disipacije hitrosti

turbulentne kinetične energije ε. Za preračun turbulence se rešuje enačba Reynolds-ovih

napetosti direktno. Z uporabo RSM modela so pri 2D modelih vključene štiri individualne

diferencialne enačbe, pri 3D modelu pa je prisotnih šest individualnih diferencialnih enačb. Z

zamenjavo anizotropnih koeficientov difuzije z izotropno formulacijo v Reynolds-ovi enačbi

turbulentnega toka kot tudi v enačbi disipacije hitrosti turbulentne kinetične energije ε se

poveča stabilnost RSM modela.

Celoten vpliv turbulentnega toka je opisan v enačbi ohranitve gibalne količine z večjo

natančnostjo kot pri k–ε modelu. Uporabnost tega modela pa je v vseh tipih tokov, vključno

pri vrtinčnih tokovih, pri ločevanju tokov in pri raznih oblikah curkov. Ker poteka reševanje

Reynolds-ovih napetosti direktno, so potrebni daljši časi računanja, kot jih zahteva računanje

z uporabo k–ε modela.

Ena od prednosti RSM modela napram standardnemu k–ε modelu je zmožnost simulacije

anizotropije Reynolds-ovih napetosti napram Coriolis-ovim silam, ki nastanejo v rotirajočem

območju mreže.


- 31 -

LES (Large Eddy Simulation) model

Najnovejši model, ki je prišel v uporabo, je model simulacije velikih vrtincev oziroma LES

model. Velikost velikih vrtincev se običajno določa glede na obseg fizikalnega področja.

Majhni vrtinci imajo podobne lastnosti in se obnašajo podobno v vseh področjih ne glede na

velikost in namen področja. Z uporabo LES metode se kontinuitetna in enačba ohranitve

gibalne količine filtrirata preden se začne proces računanja. Proces filtracije loči medij in

velike vrtince od malih vrtincev, ki so manjši od osnovne velikosti celice. Vpliv majhnih

vrtincev je zajet v filtrirni enačbi z uporabo mejne površine med ločenimi področji. Za ta

model je potrebna prehodna simulacija procesa, zaradi katere so časi računanja z uporabo tega

modela dosti daljši od časov računanja pri uporabi RSM ali pa k–ε modela. Za spremljanje

zelo majhnih vrtincev je potrebna velika zgostitev mreže oziroma smiselno majhna velikost

mrežne celice.

4.4 Ohranitveni zakoni

Opis ohranitvenih zakonov je najti v delu, ki ga je napisal Škerget [3], tu pa so predstavljeni le

zaradi popolnosti.

Ohranitvene zakone za poljubno ekstenzivno veličino F (masa, energija, gibalna količina,

snov) lahko izpeljemo s pomočjo Reynoldsovega prenosnega teorema, ki se v integralski

obliki za določen kontrolni volumen glasi:

( ) ( ) 0 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅⋅⋅∇+

∂⋅∂

∫ dVvft

fkV

γρρ rr, ( )16.4

kjer je f intenzivna veličina, ρ gostota tekočine, vr hitrostno polje tekočine znotraj

kontrolnega volumna in γ ponori ali izvori veličine F . Intenzivna veličina pa je določena

kot:

mFf = , ( )17.4


- 32 -

kjer je m masa. Iz integralske oblike ( )16.4 lahko dobimo diferencialno obliko, saj bo za

poljubni kontrolni volumen integral enak nič le v primeru, ko bo integrand enak nič. Tako je

diferencialna oblika zapisana kot:

( ) ( ) 0=−⋅⋅⋅∇+∂

⋅∂ γρρ vft

f rr. ( )18.4

V splošnem lahko člen izvorov ali ponorov ločimo na produkcijski člen in difuzijski člen,

tako da lahko enačbo ( )18.4 zapišemo kot:

( ) ( ) ff

SfQ

vft

f +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅∇=⋅⋅⋅∇+

∂⋅∂ rrrr ηρρ , ( )19.4

kjer je η dinamična viskoznost tekočine, fQ difuzijski faktor in fS izvor in ponor. Prvi člen

na levi strani enačbe ( )19.4 označuje časovni prirastek oziroma akumulacijo veličine F .

Drugi člen je konvektivni člen, ki označuje prenos spremenljivke F z mehanizmom toka

tekočine oziroma konvekcijo. Prvi člen na desni strani enačbe ( )19.4 je difuzijski člen, ki

opisuje prenos veličine zaradi molekularnega gibanja snovi. Zadnji člen pa opisuje izvor ali

ponor veličine F .

Enačba ( )19.4 predstavlja osnovno prenosno enačb, ki jo v splošnem označujemo kot

konvektivno difuzivno parcialno diferencialno enačbo. Z ustrezno izbiro spremenljivke

oziroma ekstenzivne veličine F , difuzijskega faktorja fQ in izvorov ali ponorov fS , lahko

tako zapišemo poljubno enačbo ohranitve spremenljivke.

Tukaj se bomo omejili samo na predstavitev zakona o ohranitvi mase in gibalne

količine, saj smo za pridobitev tokovnih razmer uporabljali samo ta dva zakona.

4.4.1 Zakon o ohranitvi mase

Diferencialno obliko zakona o ohranitvi mase imenujemo tudi kontinuitetna enačba in jo

dobimo s pomočjo nastavka mF = . Za zakon o ohranitvi mase velja tudi, da nimamo izvorov

ali ponorov mase, saj se masa sistema ohranja. Intenzivna veličina je po enačbi ( )17.4 enaka

1=f , kar privede diferencialno enačbo ( )18.4 v obliko:


- 33 -

( ) 0=⋅⋅∇+∂∂ v

trr

ρρ . ( )20.4

Iz zakona ( )20.4 izhaja, da sta polji gostote ( )tr ,rρρ = in hitrosti ( )trvv ,rrr = medsebojno

odvisni. Tako lahko kontinuitetno enačbo ( )20.4 za izbrani fizikalni problem, saj

obravnavamo tok nestisljive tekočine zapišemo tudi kot:

0=⋅∇ vrr

, ( )21.4

saj je gostota konstantna veličina. Enačba ( )21.4 velja tako za stacionarne in nestacionarne

oziroma časovno odvisne pojave.

4.4.2 Zakon o ohranitvi gibalne količine

Gibalna količina delca tekočine je definirana z enačbo:

vmG rr⋅= , ( )22.4

kjer je m masa delca tekočine in vr hitrost delca. Tako je ekstenzivna veličina F za izpeljavo

zakona o ohranitvi gibalne količine GFr

= in intenzivna veličina vf r= .

Osnovna za izpeljavo zakona o ohranitvi gibalne količine v diferencialni obliki je enačba

( )18.4 , ki se z upoštevanjem kontinuitetne enačbe ( )20.4 in intenzivne veličine f zapiše kot:

( ) γρρρ =∇⋅⋅+∂∂⋅=⋅ vv

tv

DtvD rrr

rr

. ( )23.4

Izvore in ponore v enačbi ( )23.4 lahko opišemo z nastavkom:

AV γγγ ∇+=r

, ( )24.4


- 34 -

kjer člen Vγ predstavlja volumske sile, ki delujejo na tekočino, člen Aγ pa površinske sile.

Člen volumskih sil podamo z izrazom:

mV fr

⋅= ργ , ( )25.4

člen površinskih sila pa z napetostnim tenzorjem, kot:

σγ =A , ( )26.4

kjer je mfr

vektor gostote masnih sil in σ napetostni tenzor, ki ga lahko izrazimo tudi kot

vsoto statičnega tlaka p in viskoznega napetostnega tenzorja τ . Tako dobimo zakon o

ohranitvi gibalne količine zapisan kot:

( ) τρρρ ⋅∇+∇−⋅=∇⋅⋅+∂∂⋅

rrrrrrr

pfvvtv

m , ( )27.4

kjer je viskozni napetostni tenzor τ je odvisen od uporabljenega konstruktivnega modela.

4.4.3 Zakon o ohranitvi energije

Gibalna količina delca tekočine je definirana z enačbo:

vmG rr⋅= , ( )28.4

kjer je m masa delca tekočine in vr hitrost delca. Tako je ekstenzivna veličina F za izpeljavo

zakona o ohranitvi gibalne količine GFr

= in intenzivna

4.5 Diskretizacija območja reševanja

Z diskretizacijo opišemo območje reševanja z mrežnimi točkami in elementi. Zbirko mrežnih

točk in elementov, s katerimi smo opisali celotno računsko območje, imenujemo računska

mreža. Tako vsak element računske mreže opišemo z njegovimi mrežnimi ali geometrijskimi

točkami, ki opišejo geometrijo elementa in vozlišči, v katerih računamo vrednosti izbranih

funkcij (tlake, temperature, hitrosti).


- 35 -

V osnovi ločimo tri vrste računskih mrež:

Strukturirane mreže

Nestrukturirane mreže

Blokovne mreže.

Programski paket Ansys CFX 11, ki smo ga uporabili za izračun uporablja za kreiranje

računske mreže nestrukturirano mrežo.

Glavna značilnost nestrukturiranih mrež je da jih ni moč opisati z nekim splošnim

algoritmom, ampak je potrebno zbrati informacije o vseh elementih posebej (položaj in

oštevilčenje geometrijskih točk in vozlišč). To sicer pomeni veliko več potrebnega računskega

spomina, vendar omogoča veliko prilagodljivost računske mreže realni geometriji problema.

Najbolj pogosto uporabljeni elementi nestrukturirane mreže so tetraedri in heksaedri.

4.6 Aproksimativna metoda

Metoda končnih volumnov je aproksimativna metoda, ki jo uporablja uporabljen programski

paket, za pretvorbo zakonov ohranitve v diferencialni obliki v algebrajske enačbe. Tako je

algebrajske enačbe moč rešiti na nivoju diskretnih točk oziroma elementov, ki opisujejo

območje reševanja. Metoda za razliko od MKR za izhodišče uporablja integralsko zapisane

zakone ohranitve. Integracija vodilnih enačb pa poteka na nivoju majhnih kontrolnih

volumnov, ki jih definiramo v okolici vsake vozliščne točke.

Ohranitvene zakone v diferencialni obliki integriramo za kontrolni volumen pri tem

upoštevamo še Gaussov divergenčni stavek, s katerim nekatere volumske integrale

spremenimo v površinske. Tako dobimo zakon o ohranitvi mase zapisan za kartezijeve

koordinate kot:

∫∫ =⋅⋅+⋅⋅S

jjV

dnvdVdtd 0ρρ ( )29.4

in zakon o ohranitvi gibalne količine, kot:

∫∫∫ ∫∫ ⋅+⋅⋅⋅+⋅−=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅V

vS

jijS S

jjijV

i dVSdndnPdnvvdVvdtd

iεηρρ &2 , ( )30.4


- 36 -

kjer se V nanaša na prostornino kontrolnega volumna in S na površino le tega, jdn pa

predstavlja komponento normale na površino. Tako volumski integrali v enačbi ( )29.4 in

( )30.4 predstavljajo akumulacijo ali izvor veličine ( )ivS , medtem, ko površinski integrali

predstavljajo neto pretoka skozi površino kontrolnega volumna. Ti dve enačbi veljata za

nedeformabilni kontrolni volumen, saj je odvod časa pisan pred integral.

Na sliki 4.3 je prikazana tvorba končnega volumna v programskem paketu Ansys CFX 11.

Slika 4.3: Tvorba končnega volumna

Tako je razvidno, da površina končnega volumna ne sovpada s površino elementa mreže, kar

pomeni, da element mreže ni enak končnemu volumnu. Tako programski paket konstruira

končne volumne okoli mrežnih točk, kot je to prikazano na sliki 4.3. Vrednosti funkcij, kot so

hitrost, tlak, temperatura, gostota, itd. pa se shranjujejo v te mrežne točke oziroma vozliščne

točke končnih volumnov.

Za pridobitev zakonov ohranitve v algebrajski obliki je potrebno člene integralske oblike

diskretizirati. Tako dobimo integralske enačbe zapisane v diskretni obliki kot:

( ) 00

=Δ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ− ∑

ipipjj nv

tV ρρρ , ( )31.4

( ) ( ) ( ) VSnnPvmt

vvV

ivip

ipjijip

ipiip

ipiipii +Δ⋅⋅+Δ=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ− ∑∑∑ εηρρ

&& 200

, ( 32.4 )


- 37 -

kjer je V prostornina kontrolnega oziroma končnega volumna, tΔ je časovni korak, jnΔ je

diskretna oblika normale površine, m& je masni pretok tekočine, P tlak, eksponent 0 se

nanaša na vrednost v prejšnjem časovnem koraku in indeks ip se nanaša na vrednosti v

posameznih integralskih točkah. Položaj integralskih točk prikazuje slika 4.4.

Slika 4.4: Položaj integralskih točk

Masni pretok v enačbi ( )32.4 oziroma v vsaki integralski točki pa se določi s pomočjo

enačbe:

( )ipjjip nvm Δ⋅⋅= ρ& . ( )33.4

4.7 Reševanje enačb

Ko zapišemo zakone ohranitve skupaj z dopolnilnimi in povezovalnimi enačbami za vse

kontrolne volumne območja reševanja, dobimo linearni sistem enačb, ki ga lahko zapišemo

kot:

[ ][ ] [ ]bA =φ , ( )34.4

kjer je [ ]A matrika koeficientov , [ ]φ vektor neznank (rešitve) in [ ]b matrika na desni strani

enačbe. Tako linearni sistem algebrajskih enačb rešimo iterativno s približno rešitvijo [ ]nφ , ki

je korigirano z [ ]φ′ , zato da bi dobili boljšo rešitev. Tako je enačba za novo rešitev enaka:


- 38 -

[ ] [ ] [ ]φφφ ′+=+ nn 1 , ( )35.4

kjer je eksponent n korak iteracije. Korekcijo rešitve pa določimo s pomočjo enačbe:

[ ][ ] [ ]nrA =′φ , ( )36.4

kjer je [ ]nr ostanek rešitve linearnega sistema enačb oziroma:

[ ] [ ] [ ][ ]nn Abr φ −= . ( )37.4

4.7.1 Konvergenčni pogoj

Za konvergenčni pogoj predpišemo ostanek rešitve linearnega sistema, ki ga lahko

predpišemo kot maksimalnega, kar pomeni, da mora biti ostanek sistema enačb v vsaki

mrežni točki območja reševanja manjši od predpisanega. Predpišemo ga lahko tudi kot RMS

(Root Mean Square) konvergenčni kriterij, kar pomeni povprečno vrednost ostanka za celotno

območje reševanja.


- 39 -

5 NUMERIČNI PRERAČUN MODELA

Pri numeričnem preračunu modela je bistvenega pomena poznavanje fizikalnega pojava

problema. V našem primeru je bil fizikalni pojav prenos toplote iz izparilnika na zrak v

hladilniku.

Hladilnik, ki je bila izbrana za preučevanje oz. numerično analizo tokovnih razmer, je

BOSCH KSU 40623 in je služil zgolj kot grob okvir za izbiro dimenzij za izdelavo

numeričnega modela.

5.1 Numerični model z eno ravno ploščo

Numerični preračun smo začeli s poenostavljeno obliko izparilnika, katerega smo simulirali s

samo eno ravno ploščo v ohišju z željo pridobiti informacije o debelini mejne plasti.

Numerični model s katerim je bil pridobljen rezultat je bil narejen s programskim paketom

Ansys CFX 11. Potrebno je bilo narediti geometrijo območja reševanja, le tega diskretizirati

ter določiti robne pogoje.

5.1.1 Geometrija modela

Pri uporabi računalniške dinamike tekočin za reševanje tokovnih problemov je potrebno

najprej izdelati zaključen volumen v 3D obliki.

Za modeliranje geometrije je bil uporabljen programski paket ANSYS Workbench 8.1, ki

združuje orodja za modeliranje (Geometry) in mreženje geometrije modela (CFX-Mesh).

V našem primeru smo modelirali poenostavljeno geometrijo zaradi zahtevnosti modeliranja

oziroma same poenostavitve fizike problema. Modelirali smo volumen zraka med ohišjem

izparilnika in izparilnimi ploščami hladilnika narejenim po sistemu roll-bond. Kanale v

ploščah, kjer teče hladilno sredstvo smo zanemarili.

Geometrijo plošč in ohišja izparilnika smo določili glede na že obstoječe izparilnike in je

prikazana na sliki 5.1.1. Prav tako je prikazana pozicija oziroma postavitev plošč v ohišju

izparilnika.


- 40 -

Slika 5.1.1: Geometrija modela


- 41 -

5.1.2 Robni pogoji

Robni pogoji so bili določeni izkustveno in okvirno iz obstoječij NO FROST hladilnikov le da

ti imajo cevno-lamelne izparilnike. Robni pogoji so bili so bili konstantni za vse različne

geometrije plošč. Na sliki 5.1.2 je prikazan položaj predpisanih robnih pogojev.

izstop

ohišje izparilnika

plošče izparilnika

vstop

Slika 5.1.2: Položaj predpisanih robnih pogojev

Za tekočino, ki obteka plošče je vzet zrak s konstantnimi snovskimi lastnostmi in znašaj1:

gostota ρ=1,185 kg/m3

specifična toplota pri konstantnem tlaku cp=1004,4 J/kgK

dinamična viskoznost η = 1,831.10-5 kg/m.s

toplotna prevodnost λ = 0,0261 W/m.K.


- 42 -

Te snovske lasnosti veljajo za zrak pri temperaturi T = 25oC in tlaku p = 1,013 bar.

Na vstopu v model izparilnika je bila predpisana vstopna hitrost zraka, pravokotno na prečni

prerez. Hitrost je bila predpostavljena kot konstanta po preseku in je bila dobljena iz

volumskega pretoka ventilatorja.

Volumski pretok skozi presek je definiran kot

AvV ⋅=& , ( )1.1.5

Kjer je v povprečna hitrost skozi presek A in maksimalni pretok za ventilator znaša 50=V&

m3/h. Tako je bila določena povprečna hitrost na vstopu v izparilnik iz enačbe (5.1.1) kot

AVv /&= . ( )2.1.5

Prečni presek vstopa je določen z enačbo

lbA ⋅= , ( )3.1.5

kjer je b širina izparilnika in znaša b=120 mm ter l dolžina izparilnika in znaša l=510mm.

Tako je prečni presek

mmA 51,012,0 ⋅= ,

0612,0=A m2

In povprečna hitrost zraka za maksimalni pretok ventilatorja

2

33600

50

0612,0

/

m

smv =

2,0≈v m/s.

Tako je bila na vstopu določena maksimalna hitrost zraka v =0,2 m/s. Na vstopu je bila tudi

predpisana vstopna temperatura zraka, ki je bila ocenjena glede na izkušnje in znaša T1=0oC.

Na vstopu lahko določimo tudi vrednost Reynoldsovega števila, ki nam je v pomoč

zaradi določitve narave toka. Reynoldsovo število je definirano kot


- 43 -

νdv ⋅=Re , ( )4.1.5

kjer je v hitrost tekočine, d karakteristična dolžina in ν kinematična viskoznost tekočine. Z

upoštevanjem povezave med dinamično in kinematično viskoznostjo po enačbi

ρνη ⋅= , ( )5.1.5

kjer je η dinamična viskoznost in ρ gostota tekočine, lahko Reynoldsovo število zapišemo

tudi kot

ηρ⋅⋅= dvRe . ( )6.1.5

Za karakteristično dolžino je bil vzet hidravlični premer na vstopu, ki je določen kot

oAdh

⋅= 4 , ( )7.1.5

kjer je o omočen obseg. Omočeni obseg je

lbo ⋅+⋅= 22 , ( )8.1.5

Tako je hidravlični premer

)(24

lblbdh +⋅

⋅⋅= , ( )9.1.5

in znaša

)520120(25101204

mmmmmmmmdh +⋅

⋅⋅= ,


- 44 -

mmdh 25,191=

Vrednost Reynoldsovega števila na vstopu za vstopno hitrost v =0,2 m/s znaša

smkgmkgmsm

⋅⋅⋅⋅= − /10831,1

/185,119125,0/2,0Re 5

3

,

smkgmkgmsm

⋅⋅⋅⋅= − /10831,1

/185,119125,0/2,0Re 5

3

,

Re = 2475.

Na podlagi dobljenega rezultata pridemo do ugotovitve da je tok ravno na meji med

laminarnim in turbolentnim. Problem smo reševali s turbolentnim modelom, saj

predpostavljamo, da je tok na vstopu zaradi ventilatorja turbolenten.

Na izstopu iz izparilnika je bil predpisan relativni statični tlak p2=0 Pa.

Ohišje izparilnika je bilo obravnavano, kot adiabatna stena. Torej skozi ohišje ne prehaja

toplota, kar je bila predpostavka pri poenostavitvi fizike problema. Tako je qwall=0 W/m2 in

hitrost zraka na steni oziroma ohišju izparilnika enaka vwall=0 m/s.

Na ploščah izparilnika je bila predpisana konstantna temperatura Tpl=-30oC zaradi

poenostavitve. Pri tem je bila vrednost temperature dobljena glede na izkušnje proizvajalca

izparilnika. Hitrost zraka na ploščah izparilnika je bila enaka vwall=0 m/s.

Tako smo določili vse robne pogoje za računsko območje.

5.1.3 Diskretizacija

Pri diskretizaciji območja reševanja smo uporabili nestrukturirano mrežo. Končni volumni te

mreže so v obliki tetraedrov. Na sliki 5.1.3 je prikazana površinska mreža ohišja izparilnika

in prikaz zgostitve mreže ob izparilni plošči.


- 45 -

Slika 5.1.3: Diskretizacija računskega območja

Računsko mrežo sestavljajo tetraedri in tristrane prizme. Tristrane prizme so bile uporabljene

na ploščah uparjalnika in ohišju. Razlog za uporabo le teh na trdih stenah je v velikih

hitrostnih in temperaturnih gradientih. Na ta način boljše opišemo dogajanje v hitrostni in

temperaturni mejni plasti, ki pa ima velik vpliv na glavnino toka. Zato je v tem delu mreža

zgoščena oziroma so elementi zelo tanki in z oddaljenostjo od stene naraščajo.


- 46 -

6 REZULTATI

6.1 Ena ravna plošča

Prvi izračun je bil narejen za ravno ploščo širine 420 mm, višine 350 mm in debeline 1 mm, ki

ponazarja eno ploščo izparilnika. S tem izračunom smo želeli prikazati razvoj mejne plasti.

Zrak je dotekal na ploščo s hitrostjo v =0,2 m/s. Iz slike 6.1 je razvidno, da je debelina mejne

plasti vzdolž izparilnika narašča in je na koncu plošče okrog 10 mm.

Slika 6.1: Hitrostno polje ob izparilniku s eno ravno ploščo.

Slika 6.2: Temperaturno polje vzdolž izparilnika s eno ravno ploščo.


- 47 -

Hitrostni profil toka je parabola in je prikazana v grafu 1.

Graf 1: Hitrostni profil toka

Temperaturno razporeditev na izstopu iz izparilnika prikazuje slika 6.2. Temperatura zraka na

robovih je večja , zaradi zraka, ki teče mimo plošč. Povprečna izstopna temperatura zraka pri

tem znaša

=izT -1,85oC.

Slika 6.2: Porazdelitev temperature na izstopu iz izparilnika s eno ravno ploščo.

Toplotni tok izparilnika je eden izmed najbolj pomembnih faktorjev učinkovitosti. Gostota

toplotnega toka na površini izparilnika je prikazana na sliki 6.3.

0,00E+00

1,00E+07

2,00E+07

3,00E+07

-5,00E+06 5,00E+06 1,50E+07

Velocity [ m s^-1 ]

Velocity [ m s^-1 ]


- 48 -

Slika 6.3: Gostota toplotnega toka na plošči izparilnika.

Kot je razvidno iz slike 6.3 je gostota toplotnega toka največja na robovih plošče, kjer prihaja

do povečanja hitrosti in s tem tajnšanja mejne plasti in temperature. Zmanjšanja toplotnega

toka se pojavlja na recirkulacijskih območjih in območjih mirovanja tekočine.

Povprečna gostota toplotnega toka med zrakom in ploščo izparilnika znaša

=q 105,92 W/m2 .

Tako je toplotni tok izparilnika določen z enačbo

P = ⋅q Apl , ( )1.6

kjer je Apl površina plošče. Površina plošče znaša

Apl = 0,2955 m2

in toplotni tok izparilnika

P =105,92 W/m2 . 0,2955 m2,

P = -31,3 W.


- 49 -

6.2 Dve ravni plošči

Drugi izračun je bil narejen za izparilnik s dvema ravnima ploščama, ki ponazarjata dve plošči

izparilnika. Razmak med ploščama smo določili na podlagi dosedanjih praktičnih izkušen in

prvega izračuna pri katerem smo dobili okvirno debelino mejne plasti za dani primer. Razmak

med ploščama je 10 mm.

Slika 6.4: Hitrostno polje izparilnika s dvema ravnima ploščama .

Na sliki 6.4 in sliki 6.5 je razvidno da zrak hitreje teče na zunanji strani plošč kar je posledica

širšega kanala in s tem povezanega manjšega odpora na tok.

Slika 6.5: Vektorji hitrosti zraka pri izparilniku s dvema ravnima ploščama.


- 50 -

Slika 6.6: Temperaturno polje izparilnika s dvema ravnima ploščama.

Temperaturno razporeditev na izstopu iz izparilnika prikazuje slika 6.6. Temperatura zraka na

robovih je večja , zaradi zraka, ki teče mimo plošč. Povprečna izstopna temperatura zraka pri

tem znaša

=izT -3,7oC.

Slika 6.7: Porazdelitev temperature na izstopu iz izparilnika s dvema ravnima ploščama.

Kot je razvidno iz slike 6.8 je gostota toplotnega toka največja na robovih plošče, kjer prihaja

do povečanja hitrosti in s tem tajnšanja mejne plasti in temperature. Zmanjšanja toplotnega

toka se pojavlja na recirkulacijskih območjih in območjih mirovanja tekočine.


- 51 -

Slika 6.8: Gostota toplotnega toka na plošči izparilnika.

Povprečna gostota toplotnega toka med zrakom in ploščama izparilnika znaša

=q 104,38 W/m2 .


P = ⋅q Apl , ( )1.6


Apl = 0,5911 m2


P =104,38 W/m2 . 0,5911 m2,

P = -61,69 W.


- 52 -

6.3 Tri ravne plošče

Tretji izračun je bil narejen za izparilnik s tremi ravnimi ploščami. Razmak med dvema

sosednjima ploščama smo določili na podlagi izkušen in je 10 mm.

Slika 6.9: Hitrostno polje vzdolž izparilnika s tremi ravnimi ploščami.

Slika 6.10: Vektorji hitrosti zraka pri izparilniku s tremi ravnimi ploščami.

Na sliki 6.9 in sliki 6.10 je razvidno da zrak hitreje teče na zunanji strani plošč kar je

posledica širšega kanala in s tem povezanega manjšega odpora na tok.


- 53 -

Slika 6.11: Temperaturno polje vzdolž izparilnika s tremi ravnimi ploščami.

Temperaturno razporeditev na izstopu iz izparilnika prikazuje slika 6.12. Temperatura zraka

na robovih je večja , zaradi zraka, ki teče mimo plošč. Povprečna izstopna temperatura zraka

pri tem znaša

=izT -6,85oC.

Slika 6.12: Porazdelitev temperature na izstopu iz izparilnika


- 54 -

Slika 6.13: Porazdelitev gostote toplotnega toka pri izparilniku s tremi ravnimi ploščami.

Povprečna gostota toplotnega toka med zrakom in ploščami izparilnika znaša

=q 108,84 W/m2 .


P = ⋅q Apl , ( )1.6


Apl = 0,8866 m2


P =108,84 W/m2 . 0,8866 m2,

P = -96,5 W.


- 55 -

6.4 Dve plošči z motilniki

Pri tem izračunu je bil narejen izparilnik z motilniki po celotni dolžini plošč s kotom 90o, kot

je razvidno iz slike 6.14.

Slika 6.14: Geometrija izparilnika hladilnika s dvema ploščama in z motilniki.

Takšna postavitev motilnikov nudi velik upor proti gibanju zraka ob ploščah. Iz tega razloga

zrak pri obtekanju plošč lažje teče ob robu ohišja izparilnika, kjer je lažji upor. Iz tega razloga

smo širino modela zmanjšali na 45 mm.

Slika 6.15: Hitrostno polje vzdolž izparilnika s dvema ploščama in z motilniki.


- 56 -

To se vidi tudi na sliki 6.15, kjer je prikazano hitrostno polje v prečnem prerezu in vzdolžnem

prerezu. Vidimo lahko, da je hitrost največja na robovih in presega velikost vstopne hitrosti.

Detajlni vpogled v hitrostno polje nam razkrije, da zrak prehaja iz ene strani plošče na drugo

stran pri tem pa se hitrost zraka lokalno povečuje na mestih zoženega prereza. Opazimo lahko

da se zrak zadržuje pod motilniki, kot že prej omenjeno zaradi velikega upora le-teh. Zaradi

naglih sprememb smeri toka se pojavijo velike recirkulacijske cone v predelih, kjer zrak

menja stran plošče, prav tako tudi okoli motilnikov in na ohišju izparilnika. Iz tega lahko

sklepamo da pride do velikega tlačnega padca v izparilniku slika 6.16.

Slika 6.16: Tlačno polje vzdolž izparilnika s dvema ploščama in z motilniki.

Tako je tlačni padec vzdolž izparilnika

izstopvstop ppp −=Δ

=Δp 0,3501 Pa

Temperaturno polje v prečnem prerezu izparilnika prikazuje slika 6.17. Kot je razvidno iz

slike temperatura vzdolž izparilnika upada, ker pa zrak v večini potuje mimo izparilnika, ob

robovih, je temperatura v tem področju še zmeraj visoka.


- 57 -

Slika 6.17: Temperaturno polje vzdolž izparilnika s dvema ploščama in z motilniki.

V detajlnem pogledu na temperaturno polje je razvidno, da imamo nizke temperature zraka v

območjih kjer zrak miruje oziroma v recirkulacijskih območjih. V teh območjih prevladuje

prevod toplote, kar nakazuje na slab prenos toplote.

Slika 6.18: Detajlni pogled na temperaturno polje izparilnika s dvema ploščama in z motilniki.

Slika 6.19: Temperaturno polje izparilnika s dvema ploščama in z motilniki na izstopu.


- 58 -

Temperaturno razporeditev na izstopu iz izparilnika prikazuje slika 6.19 . Povprečna izstopna

temperatura zraka pri tem znaša

=izT -4,45oC.

Slika 6.20: Porazdelitev gostote toplotnega toka pri izparilniku s dvema ploščama in z

motilniki na izstopu.

Kot je razvidno iz slike 6.20 je gostota toplotnega toka največja na robovih motilnika in

odprtin, kjer prihaja do povečanja hitrosti in s tem tanjšanja hitrostne mejne plasti. Do

zmanjšanja toplotnega toka pa na recirkulacijskih območjih in območjih mirovanja tekočine.

Povprečna gostota toplotnega toka med zrakom in ploščama izparilnika znaša

=q 158,21 W/m2 .


P = ⋅q Apl ,



- 59 -

Apl = 0,6059 m2


P =108,84 W/m2 . 0,6059 m2,

P = -95,86 W.

Glede na tlačne izgube smo definirali tokovni izkoristek, ki zajema tlačne izgube in je

definiran, kot

ppid

p ΔΔ=η ,

Kjer je idpΔ tlačne izgube v izparilniku brez motilnikov in pΔ tlačne izgube realnega

izparilnika.

Tlačne izgube v izparilniku brez motilnikov je bil prav tako izračunan in znaša

idpΔ =0,0141 Pa

Tako je tokovni izkoristek

PaPa

p 3501,00141,0=η ,

=pη 0,040 ,

Kar nakazuje, da se veliko kinetične energije izgublja oziroma spreminja v tlačno.

Za učinkovitost izparilnika smo definirali še toplotni izkoristek, ki je definiran z enačbo,

idT P

P=η ,

Kjer je P realni tok uparjalnika in Pid idealni toplotni tok. Kar pomeni, da bi ves zrak, ki

prehaja skozi izparilnik ohladili na temperaturo plošč, to je plT =-30 oC.

Idealni toplotni tok lahko določimo z enačbo,

)( 1 plpid TTcmP −⋅⋅= & ,

Kjer je m& masni pretok zraka določen z enačbo


- 60 -

Am i ⋅⋅= νρ& ,

Tako je idealni toplotni tok

)( 1 plpiid TTcAP −⋅⋅⋅⋅= νρ ,

In znaša

)300(/4,10040612,0/2,0/185,1 3 CCKkgJsmmkgP ooid +⋅⋅⋅⋅⋅= ,

=idP 437,05 W

Toplotni izkoristek pa je

05,4378,61=Tη ,

=Tη 0,141

Sedaj lahko določimo tudi skupni izkoristek, ki je definiran, kot zmnožek tokovnega in

toplotnega

pT ηηη ⋅= ,

In znaša

040,0141,0 ⋅=η ,

=η 0,00564

6.5 Primerjava rezultatov

Izparilnik Povprečna

temperatura na izstopu

TOPLOTA Površina

rebra Tlačni padec Masni pretok Število

elementov Število vozlišč

1 plošča -1,8 [ C ] -31,3 [ W ] 0,2955 [m2] 0,01098 [Pa] 0,0145 [kg s^-1] 618658 154177

2 plošči -3,7 [ C ] -61,7 [ W ] 0,5911 [m2] 0,01410 [Pa] 0,0145 [kg s^-1] 1035333 248496

3 plošče -6,8 [ C ] -96,5 [ W ] 0,8866 [m2] 0,0241 [Pa] 0,0145 [kg s^-1] 500277 206658

2 plošči s motilniki

-21,7 [ C ] -95,8 [ W ] 0,6059 [m2] 0,3501 [Pa] 0,0054 [kg s^-1] 840742 170778

Tabela 1: Primerjava rezultatov numerične analize izparilnika, dobljenih s programskim

paketom Ansys CFX 11.


- 61 -

7 DISKUSIJA Konstruiranje izparilnikov hladilnikov se je do sedaj v podjetju Talum, d.d. izvajalo na

podlagi delovnih izkušen in eksperimentalnih primerjav med različnimi izparilniki. V tej

diplomski nalogi pa so prikazane osnovne numerične simulacije toka zraka ob izparilniku in s

tem povezane termodinamične karakteristike.

Na podlagi rezultatov dobljenih s programskim paketom Ansys CFX 11, je

razvidno, da je masni pretok pri ravnih ploščah enak. Iz tega podatka lahko nadaljujemo

primerjavo pri prenosu toplote iz izparilnih plošč na obtekajoči zrak. Razvidno je da je

prenesena toplota premo sorazmerna površini izparilnika. Masni pretok pri izparilniku s

motilniki se razlikuje od modelov s ravnimi ploščami, kar je posledica zmanjšanja vstopne

površine zraka v model izparilnika pri čemer je ostala vstopna hitrost zraka enaka. Pri

tokovnem polju, ki ga opisujejo vektorji oziroma tokovnice v izparilniku, je razviden značilen

hitrostni profil parabole med gladkima ploščama, kar je razvidno tudi iz slike 6.5.

Rezultati numerične analize tokovnih razmer v izparilniku hladilnika so zadovoljivi

glede na uporabljene računske metode, vsekakor pa bi bilo potrebno za nadaljnje delo modele

in metode približati realnemu modelu.


- 62 -

8 SKLEP Numerična simulacija toplotno tokovnih razmer v izparilniku hladilnika je bila narejena z

namenom grafičnega prikaza tokovnih razmer in pridobitve izhodiščnih podatkov za izdelavo

komercialnega izparilnika hladilnika.

Območje reševanja je bilo skrčeno na izparilnik hladilnika, to je izparilne plošče in

ohišje, brez ventilatorja oziroma vstopnega dela in hladilnega prostora hladilnika. Geometrija

je bila poenostavljena, predvsem zaradi poenostavitve fizike problema. Ključna poenostavitev

je razširitev vstopnega območja na celotno vstopno površino. Vstopna površina je bila

povečana za faktor pet. Pri poenostavitvi fizike problema smo predvidevali, da je toplotni tok

na strani hladilnega sredstva dovolj velik in da se zmanjšuje prenos toplote na strani zraka.

Modeliran je torej bil samo prestop toplote iz zraka na izparilnik. Problem smo obravnavali

kot stacionaren. Robni pogoji in snovske lastnosti so bili ocenjeni glede na izkušnje in ne

odražajo realnih razmer, vendar so za primerjavo različnih konfiguracij primerni. Tok zraka

skozi izparilnik je laminaren oziroma v prehodnem območju. Klub temu smo izračun naredili

s SST turbolentnim modelom, saj predpostavljamo, da je tok zraka, ki ga vpihuje ventilator

turbolenten. Predpostavljena je 5% intenziteta turbolence na vstopu v uparjalnik, čeprav

vzdolž izparilnika turbolentna kinetična energija disipira. Ugotovljeno je tudi, da so rezultati

odvisni od površinske diskretizacije plošč izparilnika, kot tudi od volumske diskretizacije

območja reševanja.

Iz simulacije je razvidno, da se s povečevanjem površine izparilnika tudi prenos toplote

sorazmerno povečuje, kar velja za izparilnke, ki smo jih simulirali s ravnimi ploščami.

Vstopna hitrost zraka je bila določena iskustveno na 0,2 m/s pri čemer menimo da se ta hitrost

v bodočih raziskavah naj poveča vsaj za faktor tri. S tem bi dosegli tudi večji odvzem toplote

oziroma bi lahko zmanjšali površino izparilnika. Površino izparilnika bi lahko povečali tudi z

lepljenjem prevodnih materialov na izparilnik.

Simulacija s motilniki po celotni širini plošč in z ozkim kanalom je pokazala da je v tem

primeru mnogo boljši prenos toplote, saj zrak vodimo tako da se večkrat približa izparilnima

ploščama. Hitrosti zraka so tem primeru višje, mnogo večji je tudi padec tlaka.

Pri nadaljnjem razvoju izparilnika bi bilo potrebno zmanjšali tlačni padec in sicer da bi

kot motilnikov iz sedanjih 90o spremeniti v kot med 30 o in 45 o. Namesto enega motilnika po

celotni širini je potrebno tega zamenjati z več krajšimi motilniki, zraven tega pa še le te

zavrteti za nekaj stopinj s čimer bi dosegli dobro zamejavo zraka na izparilniku.


- 63 -

Kot že omenjeno, je za določitev eksperimentalnih vrednosti tokovnega polja pri

kompaktnih prenosnikih toplote skoraj nemogoča zato je računalniška dinamika tekočin

primerno orodje za reševanje fizikalnih problemov toka tekočine. Tako lahko dobimo s

primernim modeliranjem boljši vpogled v samo dogajanje, medtem ko z eksperimentalnimi

metodami to ni mogoče


- 64 -

9 SEZNAM UPORABLJENIH VIROV

[1] ANSYS, Inc. CFX-11 Help [svetovni splet]. USA : ANSYS, Inc. Technology

Engineering Software, 2006. Dostopno na http://www.ansys.com/poducts/cfx.asp.

[2] Hriberšek Matjaž, Leopol Škerget. Računalniška dinamika tekočin. Maribor : Fakulteta

za strojništvo, 2005.

[3] Škerget Leopold. Mehanika tekočin : univerzitetni učbenik. Maribor : Fakulteta za

strojništvo, 1994.

[4] Kraut Bojan. Krautov strojniški priročnik, 14. slovenska izdaja / izdajo pripravila Jože

Puhar, Jože Stropnik. Ljubljana : Littera picta, 2003.

[5] Alujevič, Andro, Škerget Leopold. Prenos toplote : univerzitetni učbenik. Maribor :

Tehniška fakulteta, 1990

[6] Marić Mića. Termodinamika i prenos toplote. Mostar : Prva književna komuna, 1986.

[7] Zadravec Matej. Numerična analiza tokovnih razmer v mešalni posodi : diplomsko delo

univerzitetnega študijskega programa. Maribor : [M. Zadravec], 2004.

[8] Rant Zoran. Termodinamika : [knjiga za uk in prakso]. Ljubljana : Fakulteta za

strojništvo, 2000 .

[9] Marn Jure. Termodinamika. Maribor : Fakulteta za strojništvo, 2006.

[10] Marčič Milan. Hladilna tehnika : [učbenik]. Maribor : Fakulteta za strojništvo, 2003.

[11] Oprešnik Miran. Termodinamika. Ljubljana : Fakulteta za strojništvo, 1987.

[12] Zgaga Franc. Toplota. Maribor : Tehniška fakulteta, 1991.

[13] Tement Milan. Analiza upravičenosti naprave za avtomatsko menjavo Al-trakov med

pogonom linije Expandal v podjetju Talum d.d. : diplomsko delo

. Maribor : [M. Tement], 2005.

[14] Iljaž Jurij. Numerična analiza tokovnih razmer pri aortni zaklopki : diplomsko delo.

Maribor : [J. Iljaž], 2007.

[15] Štimec Teodo. Računalniška analiza tokovnih razmer v izločevalniku kapljic :

diplomsko delo. Maribor : [T. Štimec], 2008.

[16] Talum, d.d.. Interno gradivo. Kidričevo.

[17] Reknagel, Šprenger. Grejanje i klimatizacija. Beograd : IRO »GRADEVINSKA

KNJIGA«, 1984.

[18] Damjanič, Škerget, Bičanič. Computional fluid dynamics. Ljubljana : TEMPUS -

ACEM, 1994.


- 65 -

[19] Pečornik Miroslav. Tehnička mehanika fluida. Zagreb: Školska knjiga, 1985.

[20] Rogers, Mayhew. Engineering thermodynamics work and heat transfer. Essex:

Longman Scientific & Tehnical, 1992.

[21] Škerget Leopold, Iljaž Jurij. Optimizacija ploščnega uparjalnika : [poročilo raziskave].

Maribor: Fakulteta za strojništvo, 2008.


- 66 -

ŽIVLJENJEPIS

Ime in Priimek: MATEJ GRABORVEC

Stalno prebivališče: Podlehnik 3, 2286 Podlehnik

Datum rojstva: 06.04.1983

Kraj rojstva: Ptuj

Državljanstvo: Slovensko

Osnovna šola: 1990-1998, Osnovna šola Martin Kores Podlehnik

Srednja šola: 1998-2002, Srednješolski center Ptuj, Strojna šola Ptuj

Maribor, 01.09.2009 Matej Grabrovec

NUMERIČNA ANALIZA TOKOVNIH RAZMER PRI IZPARILNIKU ...

Documents

Transcript of NUMERIČNA ANALIZA TOKOVNIH RAZMER PRI IZPARILNIKU ...