numerikus módszerek 6
Transcript of numerikus módszerek 6
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
1/50
1
Numerikus mdszerek 6. Parcilisdifferencilegyenletek numerikus megoldsa
Vektoranalzis, sszefoglal
Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek
Mdszerek elliptikus egyenletekre
Mdszerek idfgg egyenletekre
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
2/50
2
Vektoranalzis, sszefoglal. Differencilopertorok
Legyen RR n
u : differencilhatskalrfggvny, nnE RR : differencilhat
vektorfggvny.
Az ufggvny gradiense:
nx
u
x
u
x
u
u ,...,,:grad21
(vektorfggvny)
Az ),...,,(: 21 nEEEE fggvny divergencija:n
n
x
E
x
E
x
EE
...:div
2
2
1
1 (skalrfggvny)
Az ),,(: 321 EEEE fggvny rotcija:
2
1
1
2
1
3
3
1
3
2
2
3 ,,:rotx
E
x
E
x
E
x
E
x
E
x
EE (vektor)
A Laplace-opertor:2
2
2
2
2
2
1
2
...:
nx
u
x
u
x
u
u
(skalrfggvny)
0gradrot u
0Erotdiv
uu graddiv
)grad()div()div( uEuEuE
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
3/50
3
Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek
Gauss-fle divergenciattel: dnEdEdiv
Kvetkezmnye:
d
n
udu
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
4/50
4
Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsittelek
Gauss-fle divergenciattel: dnEdEdiv
Kvetkezmnye:
d
n
udu
dn
udnududu )grad(graddiv
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
5/50
5
Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek
Green 1. ttele:
dvn
udvudvu )grad()grad()(
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
6/50
6
Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek
Green 1. ttele:
dvn
udvudvu )grad()grad()(
Legyen vuE )grad(: , akkor
)grad()grad()()grad()grad()graddiv())ugrad((divdiv vuvuvuvuvE .
A Gauss-ttelt alkalmazva:
dvn
u
dvudnvudvu
dvudvudvu
)grad()grad()(grad)grad()grad(
))div((grad)grad()grad()(
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
7/50
7
Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek
Green 2. ttele:
dun
vdv
n
uduvdvu )()(
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
8/50
8
Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek
Green 2. ttele:
dun
vdv
n
uduvdvu )()(
Az 1. Green formula szerint:
dv
n
udvudvu
)grad()grad()(
us vszerepcserjvel:
dun
vduvduv )grad()grad()(
Kivonva ezt az elz egyenlsgbl, az llts addik.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
9/50
9
Vektoranalzis, sszefoglal. Integrltalaktsi ttelek
Green 3. ttele (2D-ben):
yyy
ydyuyxd
n
yuyxdyu
yx
nyxxu )(||||log
)(||||log)(
||||
)()(
2
1
2
1
22
1
Megjegyzs: a ||||log:)( yxyV fggvny xy esetn mindentt harmonikus, azaz 0V .
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
10/50
10
Numerikus mdszerek 6. Parcilis differencilegyenletek numerikus megoldsa
Vektoranalzis, sszefoglal
Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek
Mdszerek elliptikus egyenletekre
Mdszerek idfgg egyenletekre
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
11/50
11
Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek
Elliptikus egyenletek: fu
(Poisson-egyenlet; haf= 0, akkor Laplace-egyenlet)
ltalnosabb elliptikus egyenlet: fu graddiv
(Stacionrius hvezets; elektromos rameloszls; szivrgs; szlkeltette ramls seklytavakban)
Konvekci-diffzi-reakciegyenlet: fuduu graddivgradv
(Stacionrius transzportfolyamatok; szennyezanyagterjeds folyadkokban, gzokban)
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
12/50
12
Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek
Parabolikus egyenletek: fuDtu
(diffzis egyenlet)
ltalnosabb parabolikus egyenlet: fut
u
graddiv
Konvekcis-diffzis egyenlet: fuut
u
graddivgradv
(Transzportfolyamatok; szennyezanyagterjeds folyadkokban, gzokban)
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
13/50
13
Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek
Hiperbolikus egyenletek: fuctu
22
2
(hullmegyenlet)
(Hullmterjeds)
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
14/50
14
Mellkfelttelekelliptikus egyenletekre: peremfelttelek
uelrsa a tartomny peremn (1. vagy Dirichlet-fle peremfelttel)
n
u
elrsa a tartomny peremn (2. vagy Neumann-fle peremfelttel)
usn
u
egy lineris kombincijnak elrsa a tartomny peremn (3. vagy Robin-fle
peremfelttel)
A perem egyes darabjain akr klnbz tpus peremfelttel is tehet (kevert peremfelttel).
Szabad felszn problma
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
15/50
15
Mellkfelttelekparabolikus s hiperbolikus egyenletekre: kezdeti- s peremfelttelek
Trvltozk szerint: peremfelttelek (idfgg is lehet)
Id szerint: kezdeti felttel
parabolikus egyenletek esetn: uelrsa egy 0tt idpillanatban
hiperbolikus egyenletek esetn: u st
u
elrsa egy 0tt idpillanatban
A mellkfelttelekkel elltott parcilis differencilegyenletnek (ltalban) egyrtelm
megoldsuk ltezik.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
16/50
16
Numerikus mdszerek 6. Parcilis differencilegyenletek numerikus megoldsa
Vektoranalzis, sszefoglal
Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek
Mdszerek elliptikusegyenletekre
Mdszerek idfgg egyenletekre
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
17/50
17
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
A Fourier-mdszer a Poisson-egyenletre
Modellfeladat: fu a2
),0(),0( R ba tglalapon, 0:u a peremen.
1.lps: Fejtsk szinuszos Fourier-sorba a jobboldaliffggvnyt:
1 1
sinsin),(k j
kjb
yj
a
xkcyxf
A Fourier-egytthatk:
a b
kj dydxb
yj
a
xkyxf
abc
0 0
sinsin),(4
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
18/50
18
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
A Fourier-mdszer a Poisson-egyenletre
2.lps: A fenti Fourier-egytthatkkal ksztsk el az albbi szinuszos Fourier-sort:
1 12
22
2
22 sinsin),(
k j
b
j
a
k
kj
b
yj
a
xkcyxu
Az gy nyert ufggvny megoldsa a modellfeladatnak.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
19/50
19
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
A Fourier-mdszer a Poisson-egyenletre
2.lps: A fenti Fourier-egytthatkkal ksztsk el az albbi szinuszos Fourier-sort:
1 12
22
2
22 sinsin),(
k j
b
j
a
k
kj
b
yj
a
xkcyxu
Az gy nyert ufggvny megoldsa a modellfeladatnak.
b
yj
a
xk
b
j
a
k
a
xk
b
yj
yb
yj
a
xk
xb
yj
a
xk
sinsinsinsinsinsinsinsin
2
22
2
22
2
2
2
2
ezrt
),(sinsinsinsin),(
1 11 1 2
22
2
22
2
22
2
22 yxf
b
yj
a
xkc
b
yj
a
xkcyxu
k j
kj
k j b
j
a
k
b
j
a
k
kj
A tglalap peremn pedig 0u , mert itt 0sinsin
b
yj
a
xk.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
20/50
20
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
A Fourier-mdszer a Poisson-egyenletre
Megjegyzsek:
A Fourier-sorfejts s Fourier-sor-kirtkels realizlsa FFT-vel trtnhet.
Csak tglalaptartomny esetn hasznlhat (hasonl mdszer vezethet le mg ms nagyon
specilis tartomnyokra pl. krre).
Csak Poisson-egyenlet esetn hasznlhat (hasonl mdszer vezethet le mg ms nagyonspecilis differencilegyenletre).
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
21/50
21
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Vges differencia mdszerek
Modellfeladat: fu egy2
R tartomnyon, uelrt a peremen.
Alaptlet: Bortsuk le a tartomnyt derkszg egyenkz rccsal, s a rcs-pontokban a derivltakat kzeltsk vges differencia smkkal.
A Laplace-opertor kzeltse tpontos centrlis smval:
222422~)(
huuuuu
huuu
huuuu CESWNSCNWCEC
gy a C rcspontra felrt diszkrt egyenlet:
CESWNC fhuuuuu 2
4
mely rvnyes minden, a tartomny belsejben fekv rcspontra. A tartomny peremre esrcspontokban uelrt (peremfelttel).
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
22/50
22
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Vges differencia mdszerek
A vn
u
Neumann-peremfelttel diszkretizlsa:
Naiv megolds (a kzelts csak elsrend):h
uu
n
u WCC
~ ,
innen a Cperempontra: CWC vhuu
Javtott (msodrend) kzelts: CCSNWC hvfhuuuu 224 2
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
23/50
23
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Vges differencia mdszerek
)(21 32
2
2
hOh
x
uhx
uuu CCCW
, s CCC f
yu
xu
2
2
2
2
, innen
)(2
1
2
1 3222
2
hOhfhy
uh
x
uuu C
CCCW
2
2
y
uC
-t centrlis smval kzeltve: )(2
222
2
hOh
uuu
y
uSCNC
:
)(2
1)2(
2
1 32 hOhfuuuhx
uuu CSCN
CCW
ahonnan:
)(2
1
2
2 2
hOhfh
uuu
h
uu
x
u
C
SCNWCC
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
24/50
24
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Vges differencia mdszerek
Numerikus jellemzk:
A rendszer nagymret, de mtrixa ritka mtrix.
Direkt mdszerek: nagyon mveletignyesek.
Egyszer itercis mdszerek: ltalban lassak.
Aperem kzeltse durva.
A megoldand f problma: az egyenletrendszer gyorsmegoldsa.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
25/50
25
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Vges trfogatmdszerek
Modellfeladat: fu egy2
R tartomnyon, uelrt a peremen
Alaptlet: Bortsuk le a tartomnyt egy cellarendszerrel, s integrljuk azegyenletet minden egyes Ccelln:
C
C
dn
udu
C
Ezekutn mr csak a normlis irny derivltnak az egyes cellaoldalak mentn
vett integrljait (a fluxusokat) kell kzelteni pl. cella-kzpponti differencia-smkkal:
CESWNCECSCWCN
C
CCC
uuuuuhh
uuh
h
uuh
h
uuh
h
uudn
u
fhdfdu
C
4~
~ 2
gy a Ccellra felrt diszkrt egyenlet: CESWNC fhuuuuu 24 , mely rvnyesminden, a tartomny belsejben fekv cellra. A tartomny peremre illeszked cellkban uelrt (peremfelttel).
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
26/50
26
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Vges trfogatmdszerek
A mdszer nagymret, ritka mtrix egyenletrendszert ad. Ennek gyors megoldsaproblematikus. De:Nem felttlen szksges tglalapcellkat alkalmazni, gy jobban lehet aperemre illeszkedni. Csak elsrend derivltakat (fluxusokat) kell kzelteni, msodrendeket nem. A Neumann-peremfelttel diszkretizlsa sokkal egyszerbb.
Ha pl. a Ccella keleti oldala a peremre illeszkedik, s ott Evn
u
elrt, akkor a keleti
cellaoldalra vett fluxus szmthat.
hvuuuuhvhh
uuh
h
uuh
h
uudn
uECSWNE
CSCWCNC
C
3~
A Ccellra felrt diszkrt egyenlet:
hvfhuuuu ECSWNC 23
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
27/50
27
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Multigrid mdszerek
Modellfeladat(lineris): Au = fEkvivalens (itercira alkalmas) formban: u = Bu + gltalban ez egy egyszer Jacobi- vagy Seidel-itercit rtelmez.
Alaptletek:
tbbszint diszkretizls simts (Jacobi- vagy Seidel-itercival)
javts a maradkegyenletalapjn:
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
28/50
28
Mdszerekelliptikus egyenletekre.
Multigrid mdszerek
Modellfeladat(lineris): Au = fEkvivalens (itercira alkalmas) formban: u = Bu + gltalban ez egy egyszer Jacobi- vagy Seidel-itercit rtelmez.
Alaptletek:
tbbszint diszkretizls simts (Jacobi- vagy Seidel-itercival)
javts a maradkegyenletalapjn:
Legyen u~ egy kzelt megoldsa azAu = f egyenletnek. Akkor a pontos umegolds elllwuu
~alakban, ahol wjavt tag megoldsa a maradkegyenletnek:
uAfAw ~
Ha wmeghatrozsa nem pontos, akkor gy a megolds egy jabb kzeltst kapjuk.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
29/50
29
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Kthls mdszer
Legyen HX
egyHlpskz (durva) hl, hX
pedig egy hlpskz (finom) hl.
Diszkretizlt feladatok: hhh fuA ill. HHH fuA hasonlan: hhhh guBu ill. HHHH guBu .
Az egyes hlkkzti tvitelek: Hh XXR : (leszkts a durva hlra),
hH XXP : (kiterjeszts a finom hlra)
A kthlsalgoritmus lpsei:
Elsimts: hhhh guBu ~
:~ vgrehajtsa nhnyszor
Durvahls korrekci: Hhh Pwuu ~:~ , ahol )~( hhhHH uAfRwA
Utsimts: hhhh guBu ~:~ vgrehajtsa nhnyszor
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
30/50
30
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Tbbhls mdszerek
Legyenek LXXX ...21 egymsba gyazott hlk( 1X
a legdurvbb. LX
a legfinomabb).
Diszkretizlt feladatok: kkk fuA hasonlan: kkkk guBu (k= 1,2,,L)
Az egyes hlkkztti tvitelek: 1: kkk XXR (leszktsek)
kkk XXP 1: (kiterjesztsek).
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
31/50
31
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Tbbhls mdszerek
Legyenek LXXX ...21 egymsba gyazott hlk( 1X
a legdurvbb. LX
a legfinomabb).
Diszkretizlt feladatok: kkk fuA hasonlan: kkkk guBu (k= 1,2,,L)
Az egyes hlkkztti tvitelek: 1: kkk XXR (leszktsek)
kkk XXP 1: (kiterjesztsek).
Kaszkd mdszer:
Lemegynk a legdurvbb szintre, s ott pontosan megoldjuk a feladatot:
1
1
11 :~ fAu
A finomabb szinteken csak az elz szintrl thozott megoldsokat javtjuk:
1~:~ kkk uPu (thozatal)
kkkk guBu ~
:~ (simts, nhnyszor) (k= 2,3,,L)
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
32/50
32
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Tbbhls mdszerek
Legyenek LXXX ...21 egymsba gyazott hlk( 1X
a legdurvbb. LX
a legfinomabb).
Diszkretizlt feladatok: kkk fuA hasonlan: kkkk guBu (k= 1,2,,L)
Az egyes hlkkztti tvitelek: 1: kkk XXR (leszktsek)
kkk XXP 1: (kiterjesztsek).
Multigrid ciklus (MGC): iteratv javtsTeljes multigrid algoritmus (FMG): nem iteratv
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
33/50
33
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Tbbhls mdszerek
Multigrid ciklus rekurzv defincija:
A legdurvbb szinten pontosan megoldjuk a feladatot:
11
1111 :),~,1(:~ fAfuMGCu
A finomabb szinteken:
thozatal az elz szintrl: 1~
:~
kkk uPu
elsimts: kkkk guBu :~ vgrehajtsa nhnyszor
maradk kiszmtsa: kkkk uAfr ~
:
multigrid ciklus vgrehajtsa (csak 1-szer vagy ktszer (V-ciklus ill. W-ciklus)) amaradkegyenletre az eggyel durvbb hln: ),,1(: 11 kkkk rRwkMGCw . A kezdetikzelts lehet 0.
durvahls korrekci: 1~
:~
kkkk wPuu
utsimts: kkkkk guBfukMGC ~:),~,(
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
34/50
34
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Tbbhls mdszerek
Teljes multigrid algoritmus rekurzv defincija:
A legdurvbb szinten pontosan megoldjuk a feladatot:
11
111 :),1(:~ fAfFMGu
A finomabb szinteken:
)),1((:~
1
kkk
fkFMGPu
)),~,(:),( kkk fukMGCfkFMG
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
35/50
35
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Multigrid mdszerek
Megjegyzsek:
A simts feladata: a hiba nagyfrekvencis komponenseinekerteljes cskkentse (nem agyors konvergencia). A hiba alacsonyfrekvencis komponenseit a durvahls korrekcicskkenti.
Mveletigny: az ismeretlenek szmnak elshatvnyval arnyos
ltalnosthat nemlineris feladatokra is (Full Approximation Scheme)
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
36/50
36
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Varicis mdszerek, vges elem mdszerek
Modellfeladat: fu egy 2R tartomnyon, 0u a peremen.
Legyenek N ,...,, 21 adott bzisfggvnyek, s N ,...,, 21 adott tesztfggvnyek., melyekszintn eltnnek a peremen.
Keressk a megoldst
N
jjjuu
1
: alakban. Mindkt oldalt k -val szorozva s integrlva:
),...,2,1(gradgrad1
Nkdfdu k
N
jkjj
Msodrendderivltak nem fordulnak el!
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
37/50
37
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Varicis mdszerek, vges elem mdszerek
Numerikus jellemzk:
A rendszer nagymret, de mtrixa ritka mtrix (a bzis- s a tesztfggvnyeketalkalmasan megvlasztva)
Direkt mdszerek: nagyon mveletignyesek.
A perem kzeltse kellen finom lehet.
Az elemstruktra ltrehozsa azonban kln problma.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
38/50
38
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Varicis mdszerek, vges elem mdszerek
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
39/50
39
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
A perem-integrlegyenlet mdszer
Modellfeladat: fU egy 2R tartomnyonKevert peremfelttel:
Uelrt a perem egy 1 rszn;a perem fennmarad 2 rszn a nU / normlis irny derivlt adott
3.Green-formula: jellje
|:,|:
n
UvUu , akkor minden bels(-beli)zpontban:
yyy
ydyfyzdyvyzdyu
yz
nyzzU )(||||log)(||||log)(
||||
)()(
2
1
2
1
22
1
A jobb oldal tagjai: kettsrteg potencil, egyszer rteg potencil, logaritmikus potencil.
Alaptlet: Legyen x egy perempont; xz mellett kiszmtjuk mindkt oldal limeszt, gyegy integrlegyenletet kapunk, melyben az ismeretlen fggvnyek (us v) csak a peremenrtelmezettek.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
40/50
40
A perem-integrlegyenlet mdszer
A logaritmikus s az egyszer rteg potencil folytonosakzszerint.
Ha ufolytonos, akkor a kettsrteg potencil limesze:
))(2()()(
||||
)()(
||||
)(lim
22 xxudyu
yx
nyxdyu
yz
nyzy
yy
y
xz
ahol )(x a perem bels trsszge azxperempontban.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
41/50
41
A perem-integrlegyenlet mdszer
Az us vperemfggvnyek kielgtik az albbi perem-integrlegyenletet:LfRvKuu
ahol
yy
yy
dyfyxxLfdyvyxxRv
dyuyx
nyxxKu
)(||||log:))((,)(||||log:))((
,)(||||
)(:))((
2
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
42/50
42
A perem-integrlegyenlet mdszer
Az us vperemfggvnyek kielgtik az albbiperem-
integrlegyenletet:
LfRvKuu
ahol
yy
yy
dyfyxxLfdyvyxxRv
dyuyx
nyxxKu
)(||||log:))((,)(||||log:))((
,)(||||
)(:))((
2
Elvgezve ui. a xz hatrtmenetet:
y
yyy
dyfyx
dyvyxxxudyuyx
nyxxu
)(||||log
)(||||log))(2()(2
1)(
||||
)()(
2
1
2
1
22
1
s innen a perem-integrlegyenlet mr addik.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
43/50
43
A perem-integrlegyenlet numerikus megoldsa kollokcis mdszerrel
Legyenek N ,...,, 21 adott peremfggvnyek, Nxxx ,..., 21 adott perempontok (kollokcis
pontok). (Legegyszerbb vlaszts: a peremet rcspontokkal Nrszre bontjuk, s k legyen az afggvny, mely a k-adik szakaszon azonosan 1, msutt zrus).
Keressk u-t s v-t ezen fggvnyek lineris kombincijaknt:
N
jjj
N
jjj vvuu
11
~,~
Ezeket a perem-integrlegyenletbe helyettestve, s az egyenlsget az Nxxx ,..., 21 perempontok-ban megkvetelve, az ismeretlen egytthatkra lineris egyenletrendszert nyernk:
)))((:),)((:()(11
kjkjkjkjk
N
jjkj
N
jjkjkk xRRxKKxLfvRuKu
),...,2,1( Nk
EzNdb egyenlet. A peremfelttelek tovbbiNegyenletet adnak.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
44/50
44
A perem-integrlegyenlet mdszer
Numerikus jellemzk
A perem-integrlegyenlet (kzelt) megoldsa csak peremen elhelyezett rcspontokatignyel. A tartomny diszkretizlsa nem szksges.
Diszkretizls utn a kapott egyenletrendszer mrete sokkal kisebb, mint vges differenciamdszer alkalmazsa esetn,de a rendszer mtrixa teljesen kitlttt mtrix s ltalban nemszimmetrikus.
A multigrid technika itt is alkalmazhat, s ez tovbb cskkenti a mveletignyt.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
45/50
45
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Az alapmegoldsok mdszere
Modellfeladat:0U
egy
2R
tartomnyonKevert peremfelttel:Uelrt a perem egy 1 rszn;a perem fennmarad 2 rszn a nU / normlis irny derivlt adott
Nxxx ~,...,~,~ 21 adott kls pontok (forrspontok)
221121 ,...,,,,...,, NMMM xxxxxx adott perempontok (kollokcis pontok).
||||log2
1:)( xx
(alapmegolds), akkor 0
)~(:)(1
j
N
jj xxxU
Az ismeretlen egytthatka peremfelttelekbl szmthatk:
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
46/50
46
Mdszerek elliptikus egyenletekre.
Az alapmegoldsok mdszere
)~(:)(1
j
N
jj xxxU
Az ismeretlen egytthatk a peremfelttelekbl szmthatk:
),...,2,1()()~(
),...,2,1()()~(
1
1
NMMkxn
Uxx
n
MkxUxx
kk
jkk
N
jj
kjk
N
j
j
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
47/50
47
Az alapmegoldsok mdszere
Numerikus jellemzk
A mdszercsak peremen elhelyezett kollokcis pontokat s kls forrspontokatignyel.A tartomny diszkretizlsa nem szksges.
Rendkvl egyszeren programozhat.
Az egyenletrendszer mtrixa teljesen kitlttt mtrix s ltalban nem szimmetrikus.
Az egyenletrendszer mtrixa ltalban nagyon rosszul kondcionlt: minl tvolabb vannaka forrspontok a peremtl, annl rosszabbul kondcionlt a mtrix.
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
48/50
48
Numerikus mdszerek 6. Parcilis differencilegyenletek numerikus megoldsa
Vektoranalzis, sszefoglal
Parcilis differencilegyenletek s mellkfelttelek
Mdszerek elliptikus egyenletekre
Mdszerek idfgg egyenletekre
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
49/50
49
Mdszerek idfgg egyenletekre.
A Fourier-mdszer
Modellfeladat: fuDt
u
a2
),0(),0( R ba tglalapon
Peremfelttel: u:= 0 a peremen (minden 0t esetn).Kezdeti felttel: ),(),,0( 0 yxuyxu .
1.lps: Fejtsk szinuszos Fourier-sorba a jobboldaliffggvnyt minden 0t esetn:
1 1
sinsin)(),,(k j kj b
yj
a
xktcyxtf
2.lps: Fejtsk szinuszos Fourier-sorba a kezdeti felttelt is:
1 10 sinsin),(
k jkj
b
yj
a
xkayxu
3.lps: Keressk a megoldst is szinuszos Fourier-sor alakban, egyelre ismeretlen Fourier-
egytthatkkal:
1 1
sinsin)(),,(k j
kjb
yj
a
xktuyxtu
-
7/25/2019 numerikus mdszerek 6
50/50
50
Mdszerek idfgg egyenletekre.
A Fourier-mdszer
Behelyettestve a felttelezett megoldst a differencilegyenletbe:
1 12
22
2
22
sinsin)()()(k j
kjb
j
a
kkj
b
yj
a
xktuDtuuD
t
u
Az egyenlet megoldst nyerjk, ha az kju Fourier-egytthatfggvnyek kielgtik az albbi
kznsgesdifferencilegyenletet s kezdeti felttelt:
kjkj
kjkjb
j
a
kkj
au
tctuDtu
)0(
)()()()(2
22
2
22
Specilisan, ha a kjc fggvnyek konstansok (a jobboldaliffggvny nem fgg az idtl):
2
22
2
22
:)(b
j
a
kkj
tD
kj
kjkj
kj
kjkj
kje
D
ca
D
ctu
Ez esetben a kezdeti felttel hatsa gyorsan lecseng, s a megolds tart a fuD Poisson-egyenlet megoldshoz.