PAPERMETODE NUMERIKMETODE ITERASI SEDERHANA DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

Disusun oleh:Kelompok 41. Adnan Widya Iswara(M0513003)2. Bara Okta Pratista J.(M0513012)3. Moechammad Alvan P. U.(M0513032)4. Shofwah Dinillah(M0513043)

JURUSAN INFORMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS SEBELAS MARETSURAKARTA2015A. Dasar TeoriSistem persamaan nonlinear merupakan suatu sistem persamaan yang tidak memenuhi prinsip superposisi, dengan bentuk umum atau , di mana merupakan anggota himpunan bilangan riil, dan , merupakan suatu variabel. Persamaan nonlinear juga didefinisikan sebagai suatu kalimat matematika terbuka di mana pangkat variable lebih dari satu atau mengandung nilai fungsi nonlinear (log, sin, cos, dan lain-lain). Persamaan nonlinear dapat diamati dengan lebih mudah ketika direpresentasikan dalam suatu bentuk grafik, di mana hasil grafik dari bentuk persamaan ini berupa garis lengkung.Penyelesaian dari suatu persamaan nonlinear dapat ditemukan dengan menghitung akar persamaan dengan satu variabel , atau dapat dituliskan sebagai . Metode yang digunakan dalam menemukan akar persamaan nonlinear ini dapat digolongkan dalam dua kelompok, yaitu:a) Metode tertutup/metode langsungMerupakan suatu metode penyelesaian yang mencari sebuah penyelesaian di dalam rentangan di mana rentang tersebut pasti memiliki satu akar. Contoh dari penerapan kelompok metode ini adalah penggunaan metode eliminasi Gauss-Jordan, metode invers dan metode dekomposisi LU.b) Metode terbuka/metode tak langsungMerupakan suatu metode penyelesaian yang terlebih dahulu menetapkan suatu tebakan akar persamaan, kemudian dilakukan perhitungan untuk mengetahui hampiran akar tersebut. Contoh penerapan kelompok metode ini adalah penggunaan metode iterasi.

B. Definisi dan Rumus Umum Metode Iterasi SederhanaMetode iterasi sederhana, atau juga sering disebut dengan metode lelaran titik tetap, merupakan suatu metode yang memisahkan dengan sebagian yang lain, sehingga diperoleh hasil . Bentuk umum dari metode iterasi sederhana ini, adalah memisahkan persamaan nonlinear sedemikian hingga menghasilkan bentuk . Sebagai contoh, dilakukan perhitungan terhadap persamaan nonlinear , untuk melakukan penyelesaian maka persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk atau . Variable hasil dari inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana. Metode iterasi sederhana dapat ditunjukkan dalam grafik berikut ini:Gambar 1-Grafik metode iterasi sederhana

Adapun langkah yang harus dilakukan untuk mencari akar penyelesaian persamaan nonlinear dengan menggunakan metode iterasi sederhana adalah sebagai berikut:1) Definisikan nilai dari dan , dengan penyusun persamaan ke dalam bentuk .2) Menentukan toleransi eror () dan iterasi maksimum .3) Menentukan sembarang kondisi awal pendekatan kemudian hitung dengan ketentuan untuk masing-masing iterasi , memiliki .4) Nilai terakhir dari merupakan nilai yang diperoleh sebagai akar persamaan.

C. Sifat-sifat dan Syarat Umum Metode Iterasi SederhanaMetode iterasi sederhana, sebagai salah satu bentuk implementasi dari metode terbuka atau metode tak langsung, memiliki ciri sebagai berikut:1. Tidak memerlukan bentuk rentang yang berbentuk akar.2. Mencari akar penyelesaian persamaan dengan terlebih dahulu menentukan secara sembarang suatu angka sebagai tebakan awal.3. Menghitung akar dari masing-masing iterasi yang terbentuk.4. Akar-akar baru yang terbentuk dari hasil perhitungan, dimungkinkan mendekati akar sejati/nilai akar yang sesungguhnya (konvergen) atau menjauhi nilai dari akar yang sesungguhnya (divergen).5. Tidak selalu menemukan nilai exact dari akar persamaan. D. Contoh Soal dan Penyelesaian 1. Selesaikan persamaan dengan menggunakan metode iterasi sederhana hingga dua angka di belakang koma tidak berubah! (Adnan Widya I / M0513003)Jawab:Persamaan diubah ke dalam bentuk sehingga diperoleh dan diambil titik awal , maka iterasinya adalah , dan akan diperoleh perhitungan seperti pada table di bawah ini:Iterasi ke-Hasil Hasil Nilai

10,6065-0,10650,5

20,54520,06120,6065

30,5797-0,03450,5452

40,56000,01960,5797

50,5712-0,01120,5600

60,56480,00060,5712

70,5684-0,00030,5648

80,56640,000190,5684

Dengan demikian, hampiran akar yang diperoleh dengan menggunakan metode iterasi sederhana adalah 0,5684.2. Selesaikan persamaan ! (Adnan Widya I. / M0513003)Jawab:Persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk dan dengan menggunakan , maka hasil perhitungannya adalah sebagai berikut:Iterasi ke-Hasil Nilai

022

122

222

Dengan demikian, berdasarkan perhitungan maka diperoleh hasil penyelesaian dari persamaan adalah 2.

3. Selesaikan persamaan !(Bara Okta P.J. / M0513012)Jawab:Persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk atau .Kemudian ambil titik awal di , maka hasil masing-masing iterasinya adalah sebagai berikut: Iterasi 1 .Sehingga hasil dari iterasi pertama adalah . Iterasi 2 .Sehingga hasil dari iterasi kedua adalah . Iterasi 3 Sehingga hasil dari iterasi ketiga adalah Iterasi 4 .Sehingga hasil dari iterasi keempat adalah . Iterasi 5 .Sehingga hasil dari iterasi kelima adalah .Dengan demikian, diketahui pada iterasi kesepuluh hasil dari adalah dengan nilai .4. Selesaikan persamaan ! (Bara Okta P.J. / M0513012)Jawab:Persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk dan menghasilkan persamaan , dengan menggunakan nilai Bila diasumsikan nilai , maka table hasil iterasinya adalah sebagai berikut:Iterasi ke-Hasil Nilai

13,316620,683375

23,103750,212877

33,034390,0693622

43,011440,0229455

53,003810,0076291

63,001270,00254088

73,000420,000846722

Dengan demikian, dapat diketahui bahwa akar dari persamaan adalah 3.5. Selesaikan persamaan dengan menggunakan metode iterasi sederhana!(Moechammad Alvan P.U. / M0513032)Jawab:Persamaan diubah ke dalam bentuk dengan menggunakan . Maka table perhitungannya adalah sebagai berikut:Iterasi ke-Hasil Nilai

12,8438671

23,0556862,843867

33,0782053,055686

43,080583,078205

53,080833,08058

63,0808563,08083

73,0808593,080856

83,0808593,080859

93,0808593,080859

Dengan demikian dapat diketahui bahwa hasil penyelesaian dari persamaan adalah .6. Carilah akar dari persamaan yang sketsa grafiknya ditunjukkan dengan gambar berikut ini:(Moechammad Alvan P.U. / M0513032)Gambar 2-Grafik persamaan

Jawab: Persamaan di atas dapat diubah ke dalam bentuk dan berdasarkan sketsa grafik, dapat diketahui bahwa akar positifnya terletak antara 0 dan 1, sementara yang lainnya terletak di antara 1 dan 2. Aproksimasi awal dipilih nilai . Maka, hasil perhitungannya adalah sebagai berikut:No+1)

0110,571

10,5710,1860,339

20,3390,0390,297

30,2970,0260,293

40,2930,0250,293

50,293....

Dengan demikian, dari table di atas diperoleh informasi bahwa hasilnya merupakan sebuah akar konvergen, dengan nilai akar eksak adalah .7. Carilah penyelesaian persamaan dengan menggunakan metode iterasi, dengan = dan nilai ! (Shofwah Dinillah / M0513043)Jawab:Persamaan diubah ke dalam bentuk , dan dilakukan perhitungan dengan menggunakan tabel sebagai berikut:No

24.9588510772E-01- 3.6152064094E-033.6152064094E-03

34.9516206644E-01

- 6.3607376796E-04

6.3607376796E-04

44.9503485169E-01- 1.1193905084E-041.1193905084E-04

54.9501246388E-01

- 1.9700320991E-051.9700320991E-05

64.9500852381E-01- 3.4671138565E-063.4671138565E-06

74.9500783039E-01- 6.1018728138E-076.1018728138E-07

84.9500770835E-01- 1.0738949641E-071.0738949641E-07

94.9500768687E-01- 1.8899299903E-081.8899299903E-08

104.9500768309E-01- 3.3287506085E-093.3287506085E-09

Dengan demikian, didapatkan hasil dengan nilai .8. Tentukan akar dari persamaan bila nilai dari = 0,001 dan nilai dari ! (Shofwah Dinillah / M0513043)Jawab:Persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk dengan hasil perhitungan seperti yang ditunjukkan di dalam tabel berikut ini:Iterasi ke-Hasil Nilai

1-2

20,33331,6667

30,40741,2593

40,39730,8619

50,28090,5810

60,13510,4458

70,04620,3996

80,01300,3866

90,00340,3831

REFERENSI

___. Solusi Persamaan NonLinear. https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/solusi-persamaan-non-linear.pdf. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 13.20 WIB.___. Persamaan Non-Linear . http://dina_indarti.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/28386/Persamaan+Non-Linier.pdf. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 09.25 WIB.___. Praktikum 4 Penyelesaian Persamaan Non Linear Metode Iterasi. http://ira.lecturer.pens.ac.id/metnum/Praktikum2_4.pdf. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 09.12 WIB.___. Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel. http://mafia.mafiaol.com/2014/04/cara-menyelesaikan-sistem-persamaan-nonlinear-dua-variabel.html. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 10.00 WIB.___. http://mohtar.staff.uns.ac.id/files/2009/05/kuliah-2.pdf. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 09.55 WIB.___. http://raesyagusmiyanti.blogspot.com/2012/02/v-behaviorurldefaultvmlo_09.html. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 09.56 WIB.___. Sistem Persamaan Linear. http://rerimeitasari.blogspot.com/2012/03/sistem-persamaan-linear.html. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 10.10 WIB.___. Penyelesaian Persamaan Nonlinear. http://sutedjo.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/12113/3-PersNonLin(IterasiNRSecant).pdf. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 12.43 WIB.Ramadijanti, Nana. Persamaan Non Linier. http://www.slideshare.net/dagangku1/metode-numerik-persamaan-linier. Diakses tanggal 14 Maret 2015 pukul 13.19 WIB.

8