Numerical Evaluation of the Natural Gamma Radiation Field at Aerial Survey Heights - Løvborg,...

8/3/2019 Numerical Evaluation of the Natural Gamma Radiation Field at Aerial Survey Heights - Løvborg, Kirkegaard - 1975

http://slidepdf.com/reader/full/numerical-evaluation-of-the-natural-gamma-radiation-field-at-aerial-survey 1/54

O

Risø Report No. 317

h i

I Danish Atom ic Energy Commission

|

£ Research Establishment Risø

Numerical Evaluation of the

Natural Gamma Radiation Field

at Aerial Survey Heights

by Leif Løvborg and Peter Kirkegaard

February 1975

Sale* distributors; M. Gjellerup, ti, S«iv|Me, DK-1307 CepcnlMten K, Denmark

Available on exchange/rem: Library, DanMi Atomic Energy Contmiuion, Ru#, DK-4000 R M U M C , Denmark



/NIS Descriptors:

AERIAL MONITORINC

ANGU LAR DISTRIBU TION

COU NTING RATESDOSE RATES

ENERGY SPECTRA

GAMMA RADIATION

GAMMA TRANSPORT THEORY

NATU RAL RADrøACTIVrrY

NU MERICAL SOLUTTON

POTASSIUM

PI-APPROXIMATION

RADIATION FLUX

THORIUM

URANI UM

U LK 539.1ZM*3:550.g:553.495:6«1.3



February 1975 Risø Report No. 3? 7

Numerical Evaluation of the Natural Gamma

Radiation Field at Aerial Survey Heights

by

Leif Løvborg

Electronics Department

and

Peter Kirkegaard

Computer Installation

Danish Atomic Energy Commission

Resea rch Establishm ent Risø

Abstract

In computational studies of the count rates to be expected in airborne,

radiometric surveys of geological formations, knowledge is required of the

aerial gamma radiation field produced by the radioactive minerals in the

ground. The data presen ted in this work per m its calculation of the energy

and angular distribution of the gam m a-ra y flux at dista nc es of between 0

and 200 m from a plane, hom ogeneo us ground with known abundances of

thorium , uranium, and po tassiu m , A tabulation perm itting calculation ofthe gam ma do se rate in the air is a lso given. The data ar e applicable to

any normal ground material (rock or soil) in which uranium and thorium

are in sec ula r equilibrium with their resp ective daugh ters. B es id es , the

air denaity may have an arbitrary variation with the dista nc e to the ground.



I n c a l c u l a t i n g t h e f lu x o f g a m m a r a j s t h a t s t r i k e a n a i r b o r n e N a l ( T l ) d e

t e c to r i t i s sugge s t ed to re p r es en t t he bo t tom of t he a i rc ra f t by an equ iv

a l en t l a ye r of a i r . F i r u se i n t he nu m er i ca l eva lua t ion of a e r i a l t o t a l coun t

r a t e s t h e a n g u l a r g a m m a - r a y f lu x a t th e p o in t of d e t e c t i o n i s a p p r o x i m a t e di n a c c o r d a n c e w i th t h e d o u b l e - P . p o l y n o m i a l e x p a n s i o n m e t h o d . A d e t a i l e d

t abu la t i on o f f l ux expans ion coe f f i c i en t s , ca l cu l a t ed fo r 0 .05 -MeV wide en

e r g y i n t e r v a l s , i s p r e s e n t e d . T o e v a l u a t e t h e d i f f e r e n t i a l c o u n t r a t e s of

h i g h - e n e r g y T h - U - K g a m m a r a y s , i t i s c o n v en i e n t t o m a k e u s e of t h e w e l l -

known fo rm u las fo r a f lux of un sc a t t e red gam m a ra y s . W i th t h i s app l i ca t i on

in v i ew da t a fo r i n se r t i on in t hese fo rmu las a re a l so g iven .

ISBN 82 550 0338 9



- 3 -

C O N T E N T S

P a g e

1 . I n t r o d u c t i o n »

2 . M o d e l A s s u m p t i o n s a n d S o u r c e s of B a s i c D a t a ?

2 . ! . T h e T e r r a i n C o n s i d e r e d "

2 . 2 . N a t u r a l G a m m a R a y E m i t t e r s7

2 . 3 . G a m m a R a y I n t e r a c t i o n C r o s s S e c t i o n s 9

3 . T h e F l u x C o n c e p t a n d i t s U s e i n t h e C a l c u l a t i o n o t A e r i a l

D e t e c t i o n R a t e s ' 5

3 . 1 . A n g u l a r F l u x a n d A n g u l a r C o u n t in g C r o s s S e c t i o n '!

3 . 2 . S c a l a r F l u x a nd A v e r a g e C o u n ti ng C r o s s S e c ti o n!

3

4 . G e n e r a l E v a l u a t i o n o f t h e A e r i a l G a m m a R a d i a t i o n F i e l d I 4

4 . 1 . D c u b l e - P . C a l c u l a t i o n o f t h e A n g u l a r a n d t h e S c a l a r F l u x '"*

4 . 2 . A b s o r b e d D o s e R a t e i n t h e A i r ' '

4 . 3 . N u m e r i c a l E x a m p l e ' 6

4 . 4 . Ex tend ed A pp l i c a t ion s o f t he F lux and D ose Ra te Da ta . .2^

5 . E v a l u a t i o n o f a F l u x o f U n s c a t t e r e d G a m m a R a y s2~

5 . 1 . F o r m u l a s a n d D a t a - 2

5 . 2 . N u m e r i c a l E x a m p l e 24

6 . M e t h o d S u g g e s t e d f o r t h e C a l c u l a t i o n of A e r i a l C o u n t R a t e s . . . 2 5

7 . D i s c u s s i o n 2 8

R e f e r e n c e s 2 9

A p p e n d ix I: T h e P l a n e G a m m a - R a y T r a n s p o r t E q u a t i o n f o r

P u r e C o m p t o n S c a t t e r e r s 31

A p p e n d i x I I: T h e E x p a n s i o n C o e f f i c i e n t s i n t h e D o u b l e - P .

R e p r e s e n t a t i o n of t h e A n g u l a r C h a n n e l F l u x 3 3

T a b l e s 3 6



1. I N T R O D l t ' T I o N

Ae r i a l pro sp ec t ing for ra d io ac t iv e m in e r a l s i s base d on the u s t f i a r^ ; e

sc int i l l a t ion c r y s t a l s ( N a l ( T l) c r y s t a l s ) w hi ch a r e c a r r i e o by a i r c r a f t a t lowal t i tudes t o de t ec t t he ga m m a rad i a t i o n em i t t ed f rom the t n iu : : ; :. I he t o l a ;

c r y s t a l v o l u m e r e q u i r e d f o r a n a i r b o r n e r a d i o m e t r i c s u r v e y i s .JJ< t a ted by

counting s t a t i s t i c s n e e d s . G e n e r a l l y , t he h i g h e r a nd f a s t e r it i s n e c e s s a r ; ,

to f ly , the i a r p e r t h e c r y s t a l v o l u m e m u s t h e . B e s i d e s a s p e c t r o m e t r i c

data a c q u i s i t i o n s y s t e m r e q u i r e s m o r e c r y s t a l v o l u m e t ha n a s y s t e m t h a t

o n l y r e g i s t e r s t h e g r o s s c o u r t r a t e of g a m m a r a y s . O fte n t h e d e t e c t o r i s

c o m p o s e d of s e v e r a l c r y s t a l - p h o t o m u i t i p l i e r a s s e m b l i e s o p e r a t e d in p a r

a l l e l . In t he des ign of such a de t e c t o r t he que s t ion a r i s e s of how to choose

the d imens ions (d i ame te r and th i ckness ) o f t he i nd iv idua l sc in t i l l a t i on c ry s

t a l s . C l e a r l y on e w i s h e s to o b t a in t h e g r e a t e s t p o s s i b l e a e r i a l c ou n t r a t e s

p e r cub ic ce n t im e t re of Na l (T l ) to be i nv es t e d . F o r e xam ple , if a t o t a l of3

abou t 7000 cm of Na l( I I ) i s co ns ide re d ne ce ss a r y fo r a pa r t i cu l a r su rve y ,

the de tec to r cou ld be des igne d on the ba s i s of e i t h e r fou r 6 " x 4" c r y s t a l s3

o r t h r e e 8" x 3" c ry s t a l s . In bo th c as es t he de t ec to r would con ta in 741 3 cm"

of Nal (Tl ) , but which of the two con figu ra t io ns wo i ld pro duc e the h ig hes t

c o u n t r a t e s ?

A p ro b lem s i m i l a r t o t ha t p r e s en ted abov e was exp e r i en ced by the

p r e s e n t a u t h o r s s e v e r a l y e a r s a g o w h en t h e R i s ø I ' .l e c tr o o i c s D e p a r t m e n t

b e c a m e i n v o lv e d in a i r b o r n e u r a n i u m p r o s p e c t i n g .n G r e e n l a n d . W e t h e r e

fore began c o m p u t a t i o n a l s t u d i e s o f t h e r e s p o n s e o f N a l ( T l ) d e t e c t o r s t o

natura l , e n v i r o n m e n t a l g a m m a r a d i a t i o n . In t h e s e s t u d i e s k n o w l e d g e i s

required of th e e n e r g y a n d a n g u l a r d i s t r i b u t i o n o f t h e g a m m a r a y s s t r i k i n g

the sc int i l la t ion c r y s t a l s . T h e p a r t of o u r c o m p u t a t io n a l m o d e l d e s c r i b i n gthe aer ia l rad i a t i on f i e ld p roduced by the rad ioac t ive mine ra l s i n t he g round

i s n ow c o m p l e t e . G e n e r a l l y s p e a k i n g , w e h a v e s t u d i e d a p l a n e , t w o - m e d i a

g a m m a * r a y t r a n s p o r t p r o b l e m , c o m p i l e d b a s i c d a ta f o r u s e i n t h e n u m e r i c a l

so lut ion of t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n , a nd p r e p a r e d t a b l e s f o r s t r a i g h t f o r w a r d ,

approx imat ive d e t e r m i n a t i o n o f t h e a n g u l a r g a m m a - r a y f l u x i n t h e a i r a b o v e

ground mater ia l w i th k n ow n a b u n d a n c e s of t h o r i u m , u r a n i u m , a nd p o t a s s i u m .

Gamma rays penetra t ing rocks and a i r ar e m ul t ip l e - sc a t te red , for

which reason gamma-ray transport ca l cu la t ions are very complex even in

plana , sem i - inf in i te geom etry . In the compu ta t iona l me thod u sed by u s t he

f lux of scattered gamma rays i s div ided i n t o o n e c o m p o n e n t d i r e c t e d away

from the ground and another c o m p o n e n t d i r e c t e d a g a i n s t t h e g r o u n d ( th e

"sky shine" f lux) . Each of the se c o m p o n e n t s i s r e p r e s e n t e d by t he z e r o ' t h



- 6 -

and th*> f ir .s i o r de r t e rm s o f an expans ion o f t he an gu la r ga m m a- ra y f l ux i n

h a l f - r a n g e L e g e n d r e p o l y n o m i a l s . W e h a v e e x p l a i n e d t h i s s o - c a l l e d t i o u b le -

P . a p p r o x i m a t i o n i n r e f e r e n c e 1, i n w h i c h w e a l s o d e s c r i b e t h e i m p l e m e n

t a t i on o f t he f l ux ca l cu l a t i on me thod in t he fo rm o f a ve rsa t i l e da t a p ro c e s s i n g s y s l e n , c o n s i s t i n g of p r o g r a m s a n d d a t a f i l e s . I n r e f e r e n c e 2 i t

w a s i n f e r r e d , fr om s p e c t r o m e t r i c m e a s u r e m e n t s i n w a t e r o n l a r g e , r a d i o

a c t i v e c o n c r e t e s l a b s , t h a t t h e d a t a p r o c e s s i n g s y s t e m i s f r e e fr o m e r r o r s

to wi th in the l imi ta t ions se t by the qual i ty of the bas ic da ta used and the

a c c u r a c y of t h e d o u b l e - P . a p p r o x i m a t i o n .

In t h i s work we in t ro du ce the app l i ca t i on o f t he dou b le - P j app rox im a t io n

t o t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e c o m b i n e d f l u x o f s c a t t e r e d a n d u n s c a t t e r e d g a m m a

r a y s ; T h e r e s u l t i n g d o u b l e - P j e q u a t i o n s a r e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 4 . T o

ge t he r wi th t he f lux expans ion coe f f i c i en t s g iven in t ab l e 6 t h es e equ a t io ns

a r e c o n s i d e r e d s u i t a b l e f or c a l c u l a t i o n of t o t a l g a m m a - r a y c o u n t r a t e s . I n

o rde r t o do so , t he angu la r f l ux i s mu l t i p l i ed by the angu la r coun t ing c ro ss

s e c t i o n f o r t h e s c i n t i l l a t i o n c r y s t a l s , s e e r e f e r e n c e 2 , a f t e r w h i ch t h e

p r o d u c t i s i n t e g r a t e d o v e r a i l a n g l e s o f i n c i d e n c e a n d o v e r a i l e n e r g i e s

above the coun ting th re sh o ld . As i t m ay be o f i n t e re s t t o c om p ar e t he

g r o s s a e r i a l c o u nt r a t e w it h t h e g a m m a d o s e r a t e , a t t h e s u r v e y a l t i t u d e

o r a t g round l eve l , we have inc luded the dose ra t e va lues g iven in t ab l e 7 .

G a m m a - s p e c t r o m e t r i c , a e r i a l s u r v e y s a r e n o rm a l l y b a s e d o n a r e

co rd ing of t he s ign a l s f rom d i f fe ren t i a l cou n t ing cha nne l s ce n t e r ed a t t he

e n e r g i e s 2 . 61 5, 1.765, a n d 1 .4 6 1 M e V , c h a r a c t e r i s t i c r e s p e c t i v e l y o f

t h o r i u m , u r a n i u m , a n d p o t a s s i u m . I t i s c o n v e n i e n t t o s t u d y t h e s e s i g n a l s

n u m e r i c a l l y f r o m a c a l c u l a t i o n of t h e r a t e a t w hi ch u n s c a t t e r e d s o u r c e

g a m m a r a y s i n t e r a c t w i th t h e s c i n t i l l a t i o n c r y s t a l s i n t h e a i r p l a n e . W i t h

th i s app l i ca t i on in v i ew we p r es en t , i n Ch ap t e r 5 , da t a on the an gu la rd i s t r i bu t ion o f t he s ign i f i can t unsca t t e red f l ux componen t s a t t he po in t o f

d e t e c t i o n .

T h e i n f o r m a t i o n g iv e n i n t h i s r e p o r t d e p e n d s o n s e v e r a l m o d e l a s s u m p

t i o n s a n d s o u r c e s of b a s i c d a t a . In C h a p t e r 2 w e d i s c u s s th e a s s u m p t i o n s

a n d m a k e r e f e r e n c e s t o t h e d a ta s o u r c e s . T h e c o n c e p t s of a n g u l a r a n d

sca l a r gamma-ray f l ux and the u se o f t hese f i e ld quan t i t i e s i n t he eva lua t ion

of ae r i a l de t ec t ion ra t e s a r e exp la ined in Ch ap te r 3 . In Ch ap te r 6 we ou t

l i ne ou r i n t ended app l i ca t i on o f t he da t a g iven in Chap te rs 4 and 5 .

Ca lcu l a t i on of t he expans ion coe f f i c i en t s i s d i s cu ss ed in Append ix I I ,



- 1 -

2 . MODEL ASSU MPTIONS AND SOLRCES OF BASIC DATA

2 . 1 . T h e T e r r a i n C o n s i d e r e d

The terr ain to be surve yed rad iom etric a l ly is su pposed to have the

f o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s :

1 . The ground mater ia l i s homogeneous and in f in i t e in ex tens ion .

2 . The rad ioact ive minera ls are even ly d i spersed in the ground .

3 . The ground-a ir in terface i s p lane .

M oreo ver , we neg lec t var ia t ions in the a ir dens i ty w i th d i s tan ce to the

g ro u nd ( s e e , h o w e v e r , s e c t i o n 4 . 4 ) .In es t imat ing the val id ity of these model assumptions we point out that

m ost gam ma rays e m itted from the ground co m e from, a shal low su rf ac e

la ye r. Even a one m etr e th ick formavion can be regard ed as inf in ite in the

ver t ica l d irect ion . F or the sa m e rea son a po ss ib le grad ient in the depth

d is tr ibut ion o f the rad ioact ive minera ls jus t be low ground leve l mus t be

expected to in f luence the aer ia l ga mm a rad ia t ion fie ld qu i te s ign i f icant ly ,31

cf . the inve st iga t ion by Bec k and de Planque . Whether the gro und -air

interface can be regarded as p lane or not depends on the survey alt i tude.

In the f irs t p lace i t must be demanded that the terrain be v iewed at a so l id

angle that nearly equals 2 % . B es id es , the d is ta nce to the ground m ust be

much greater than the magnitude of the natural terrain undulat ions .

Two common ground mater ia l s f requent ly encountered in aerorad io -

m etr ic f urveya are co ns ide red in th i s work: So i l and gran i te . The d en s i t i t e s

a nd t h e c h e m i c a l c o m p o s i t i o n s a s c r i b e d to t h e s e m a t e r i a l s a r e g i v e n i n

tab le 1 . The so i l data ar e ident ica l to those cho sen in re fe ren ce 3 , whi le

the den s i ty and the comp os i t ion o f gran i te wer e taken from r efe re nc es 4 and

5 r e s p e c t i v e l y .

2 . 2 . N a t u r a l G a m m a R a y E m i t t e r s

Tab le f shows that pota s s ium ox ide i s the th ird m os t comm on cons t i tuent

of a t y p i c a l g r a n i t e . T h i s i s b e c a u s e p o t a s s i u m fo r m s c o m m o n m i n e r a l s l i k e

fe ldspar (orthoc lase) ana m ica (mu scov i te and b io t i t e ) . The spontaneous

decay o f the i so t op e K ( i so top ic abundance 0 ,011 9% ) in to s tab le Ar byo r b i t a l - e l e c t r o n c a p t u r e i s f o l l o w e d b y t h e e m i s s i o n o f a g a m m a r a y h a v i n g

the ene rgy 1 .461 MeV ' . Th e va lue s found in the l i ter atu re for the s pe cif ic71

gamm a act iv i ty o f pota s s ium show a rem ark able d i sp ers ion , Houtermans '

r e p o r t s 2 4 d e t e r m i n a t i o n s m a d s i n t h e y e a r s V 9 4 7 - 1 9 6 5 . T h e v a l u e s r a n g e



- 8 -

fro m 2. 6 to 3 . S Y /(s • g) . In thi s w ork we re ly on the va lu e of 3 . 30 Y /(s . g}81

p r e s e n t l y r e c o m m e n d e d i n t h e N u c l e a r D a t a T a b l e s \

T h e r a d i o a c t i v i t y of t h o r i u m a n d u r a n i u m , w h o s e n o r m a l a b u n d a n c e ?

9)in g r an i t e a r e of t he o rd e r of 10 -2 0 ppm and i -4 ppm res pe c t i ve ly . i s" > 3 " > *»3g "*3S

ch a r ac t e r i z ed by the decay cha in s fo rmed by *" "T h , " U, and ~ U.•»35

Owing to i t s low i so t op i c abun da nce (0 .71 % by we ight ) , ** I co nt r i bu te ss i

l i t t l e t o t h e g a m m a - r a y e m i s s i o n f r e m a r a d i o a c t i v e m i n e r a l ' . T h e p r i n -232 238

c i p a l c h a r a c t e r i s t i c s of t h e T h a n d t h e L d e c a y c h a i n s a r e s h o w n in

t ab l e s 2 and 3 . I t i s a bas i c a s su m pt i on in t h i s work tha t t ho r iu m and

u r a n i u m a r e in s e c u l a r e q u i l i b r i u m w i th t h e i r d a u g h t e r s a n y w h e r e in t h e

23 ** 238g r o u n d . T h e g a m m a - r a y e m i s s i o n s p e c t r a of " T h a n d U w i th d a ug h te r s-w e r e r e - e x a m i n e d b y B e c k i n 1 972 . W e ha ve adopfcsd his d at a to ge th er

I 21v i t h t he "b es t va lu es " g iven by Hyde e t a l . ' fo r the spe c i f i c ac t i v i t i e s of

the pa ren t i so top es , i . e»

2 3 2T h : 4 1 0 0 d i s / ( s - g T h )

2 3 8U : 1 2227 d i s / ( s - g U)""*

T h e m o s t i n t e n s i v e g a m m a r a y s e m i t t e d by t h e d a u g h t e r s o f t h o r i u m

a n d u r a n i u m a r e l i s t e d in t a b l e s 4 an d 5 i n o r d e r of i n c r e a s i n g e n e r g y .232

W h e r e a s t h e r e a r e f o u r s i g n if i c a nt g a m m a - r a y e m i t t e r s i n t h e T h d e c a y

c h a i n , t h e g r e a t m a j o r i t y o f u r a n i u m g a m m a r a y s c o m e s f r o m o n l y t w o

i so top es ( Pb and B i ) . T h e r e a r e d«scay p ro du c t s o f rado n ( Rn -218

P o , s e e t a b l e 3 ) . O n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t s o u r c e s o f d i s e q u i l i b r i u m236

in th e U de cay cha in i s t h e exha la t i on o f rado n f rom the g rou nd in t . t he

s i r . T h i s p h e n o m e n o n i s p a r t i c u l a r l y p r o n o u n c e d f o r w e a t h e r e d ,222

l o o s e l y - b o u n d m a t e r i a l s l i k e s o i l . A s s u m i n g t h a t o n e R n a t o m i s t y p i c a l l y e x h a l e d f r o m t h e g r o u n d p e r s e c o n d , J a c o b i a n d A n d r e ' h a v e d e r i v e d

t h e v e r t i c a l d i s t r i b u t i o n o i r a d o n a n d i t s d a u g h t e r s i n t h e a i r u n d e r v a r i o u s141

m e t e o r o l o g i c a l c o n d i t i o n s . T h e r e s u l t s w e r e u s e d b y B e c k ' i n a c a l c u l a -

t i on o f t he ga m m a rad i a t i on f ie ld p ro duc ed by a i rb o r ne P b - B i . I t

w a s c o n c l u d e d t h a t f o r n o r m a l a t m o s p h e r i c t u r b u l e n c e 2 - 5 % o f t h e g a m m a -

ra y flux above a t h i ck l ay e r o f so i l m us t be a s c r ib ed to ra do n em ana t ing

at 235' T h e g a m m a - r a y e m i s s i o n s p e c t r u m o f U + d a u g h t e r s a d o p te d b y u s

16)w a s d e r i v e d f r o m t h e m o s t r e c e n t A t o m i c a n d N u c l e a r D a t a T a b l e s ' ,

F r o m r e f e r e n c e 2 i t f o ll ow s t h a t m o r e m a n 99% o f t h e a e r i a l g a m m a238

d o s e r a t e p r o d u c e d b y u r a n i u m m u s t b e a s c r i b e d t o d a u g h t e r s o f U ,

"* ' The spec i f i c ac t i v i t y o f2 3 5

U i n n a t u r a l u r a n i u m i s 5 62 d i s / ( s , g t j) .



- 9 -

from the so i l . In aer ora diom etr i c prospec t ing radon in the a i r rep rese nts

a source o f gamma-ray background tha t has no interes t in the present con

text.

2 . 3 . Gamma Ray Interac t ion Cross -Sec t ions

The energies of the gamma rays that s tr ike an a irborne Nal(Tl ) crysta l

range from alm os t z er o to 2 .61 5 MeV . In recording the tota l gam m a-r ay

count rat e the counting thresh old i s norm ally se t at a value of 0 .1 MeV o r

greater , for which reason the f lux of gamma rays with energies below 0 . !

MeV i s disre gar de d in this work. Th is m ean s that we can confine the

po ss ib le gam m a-r ay intera c t ions in the ground and the a i r to the pr oc es ses

of incoh eren t (Compton) sca tte r in g , pho toelectr ic e ffect , cohe rent sc atter ing ,

and pa ir product ion . Our sou rce o f micr oscop ic c ro ss se c t ion s for these

p ro ce ss es i s the L iv erm ore library DL C- 7D ' which i s par t of the U .S*

evaluated nu clear data f i l es . Of the e lem ent s determining the ma jor com

posi t ion of com m on ro ck s , iron i s the one having the highest a tom ic num ber

(Z « 2 6) . The f igur es 1 and 2 show the re lat ive contr ibutions from the four

pr inc ipa l in terac t ion processes to the cross sec t ions o f the e l ements from

hydrogen through iron for 0 .1 -MeV and 3-MeV gamma rays .Fo l lowing com m on pra c t i ce in gam m a-ray sh ie ld ing ca lcu la t ions we

neglec* the 0 . 511 -MeV gamm a radiat ion em itted when the po si tron s l iberated

in the pair-production process are annihi lated in the ground and the a ir .

Bes ides we cons ider coherent sca t ter ing a process tha t ne i ther changes the

dire ct ion nor the ene rgy of the interact in g gamm a ray . The tota l mac ro

scopic cross sect ion »(E) ( the l inear attenuation coeff ic ient) for the materia l

in ques t ion i s consequen t ly taken as the sum of the m acros copic cr o ss se c

t ions fo r incoh eren t sca tte r in g , ph otoelectr ic e ffect , and pair production.

The gran i te and the so i l desc r ibe d in table 1 have averag e atom ic num bers

of 10 .1 and 8 .2 re sp ec t iv e ly , and the ave rag e atom ic num ber for dry a ir i s

7 . 2 ' . In the energy interva l con s ider ed the photoe lec tr i c cr os s sec t ion i s

gre a te s t for E • 0 .1 MeV, wh i l e the pa ir -product ion cr os s sec t ion i s grea tes t

for £ • 3 M eV . It fol lo w s from figures I and 2 that gam m a ra ys pr ed om i

nant ly inter ac t with gran i te , so i l and a i r by incoherent sca t ter in g . Th ere

fore our gam m a-r ay transport mo de l im pl i e s , typ ica l ly , that the source

gamma rays ar t de f l ec ted and degraded in energy by a ser i e s o f sca t ter ing

*' In thia work a ir i s a ssu m ed t o co ns ist o f 79% nitrogen and 21 % oxygen

by weight .



10

m%

to

so

40

20

coNTiteunoN reCROSS SECTION

E»0,tM»V

•COHERENT SCATTEWNG

PHOTOELECTRIC EFFECT

O S » * » 25

Fig. 1. Percen tage contribution« from incoherent scatterin g, photo

elec tric effect, and coherent scattering to the elemental interaction cr.>ss

sectio ns up to Z • 26 for gamma rays with the energy 0.1 MeV.

w % , _ _ _ _ - _ , , , . — - r -

80

60

40

20

, C0NTRJ8UTI0H TO

! CROSS SECTION

•COHERENT SCATTERS«

E-3MtV

COHERENT SOVTEMNO

PHOTOELECTRIC EFFECT

P WR P R 0 0 U C 7O N

0 S »3 % 20 If

Fi g. 2. Percentage contributions from incoherent scattering , pair pr o

duction, coherent scattering, and photoelectric effect to the elemental

interaction cross sections up to Z • 26 for gamma rays with the energy



- 1 1 -

events that terminates when the energy drops below 0.1 MeV. For each

scat ter ing event the relat ion between deflect ion angle and energy loss is

desc ribed by Com pton's wel l-known form ula. The ang ular variat ion of the

sca t t e r ing c ross sec t ion is given by the Klein-Nishina formula, see forexample reference 16 or 1.

3. THE FLUX CONCEPT AND ITS USE IN THE CALCULATION

OF AERIAL DETECTION RATES

3 . 1 . Angular Flux and Angular Counting Cross Sect ion

Cons ide r a cyl indrical Nal(Tl) crystal whose axis is or iented perpen

dicular ly to the ground onboard an aircraft flying at constant alt i tude z,

see f igure 3. It fol lows from the assumptions made in Chapter 2 that the

gamma radiat ion f ield is constant along the f l ight l ine and axisymmetricai

wi th respect to any ve rt ica l l ine. The la t te r im plies that the angular pro p

e r t i e s of the field are fully described in t e r m s of the polar angle 6 between

the vert ical and the uni t vector Q.

////////////////////J//////////////////////Fif . 3. Definition of the parameter! z and « used in the calculation of

aerial detection rates.

Neglect ing the gamma-ray a t tenuat ion in t he a i r c ra f t s t ruc tu re , the

different ial rate of detection for the scint i l lat ion crystal can be wri t ten as



- 12 -

(1)

(2)

T h e fu n ct io n F ( z , E , » ) d e s c r i b e s t h e e n e r g y a n d a n g u l a r d i s t r i b u t i o n

o f ga m m a r ay s a t t he a l t i t u de z and wi l l he re fo r b rev i ty be ca l l ed t he

an gu la r f lux . F (z , E ,*») g ive s t he nu m be r of ga m m a ra ys wi th ene rgy E ,

t r a v e l l i n g a c r o s s a u n i t a r e a p e r p e n d i c u l a r t o Q, p e r u n it t i m e , u n it e n e r g y

i n t e r v a l , a n d u n it s o l i d - a n g l e e l e m e n t . T h e o t h e r f u n c ti o n , o ( E , » ) , e n t e r i n g

t h e e q u a t io n ( I ) , i s t h e a n g u l a r i n t e r a c t i o n c r o s s s e c t i o n ( co u n ti n g c r o s s

s e c t i o n ) of t h e s c i n t i l l a t i o n c r y s t a l f o r a b r o a d p a r a l l e l b e a m of g a m m a r a y s

wi th en e rg y E and d i r ec t ion fi, s e e re fe re nc es 2 and 1 7,1 8.

Th e an gu la r f lux i s o f fundam en ta l im po r t a nc e fo r a de t a i l ed de sc r ip t i o n

of t he rad i a t i o n f i e ld . In o r d e r t o ca l c u l a t e F( z , E ,w) above g round m a t e r i a l

w i th k n ow n a b u n d a n c e s of t h o r i u m , u r a n i u m , a n d p o t a s s i u m , a t i m e - i n d e

p e n d e n t g a m m a - r a y t r a n s p o r t e q u a ti o n ( B o l t z m a n n e q u a t i o n ) * m u s t b e s o l v e d .If w e c h a r a c t e r i z e t h e e m i s s i o n l i n e s f r om t h e r a d i o e l e m e n t s in t h e g r o u n d

by a se qu en ce num be r ( i) , we can exp re ss F (z , £ ,* •) a s t he su m

F ( z , E . « ) = ^ F ^ z . E , « ) . (3)

i

w her e F- (z , E ,w) i s t he an gu la r flux re su l t i ng f rom the i ' t h em iss ion l i ne .

In t h e t r a n s p o r t e q u a ti o n f o r F , ( z , E , » ) t he g a m m a r a y s t h a t a r r i v e a t t h epo in t o f de t ec t ion wi thou t hav ing been sca t t e red in t he g round ma te r i a l o r

the a i r a r e co ns ide red s ep a r a t e l y , i . e , t he so lu t ion o f t he equa t ion i s

wr i t t en i n t he fo rm

F . ( z , E , * ) » u i ( z , « ) * ( E - E i ) + • ^ z . E , « ) , (4)

w h e r e E i deno tes t he ene rgy of t he i ' t h em iss ion l i ne , and w here 6 s t an ds

fo r D i r a c ' s de l t a func t ion . Th e two t e rm s on the r i g h t - ha nd s ide o f fo rm u la

(4) a r e t he con t r ibu t ions t o F , (z , E , m) f r o m u n s c a t t e r e d a n d s c a t t e r e d g a m m a

r a y s r e s p e c t i v e l y . T h e e n e r g y d i s t r i b u t i o n of * . ( z , E , # ) i s c h a r a c t e r i z e d by

_-

' Cf . re fe re n ce s t and ! 6 and Ap pendix I .

P ( z , E ) = 1 F ( z , E , « ) o ( K , - } d Q ,J4m

w h e r e

w = cos © >

d C = 2 « d » = 2 « s i n © d 6 > .



- 13 -

having disco nt inu i t ies at the energ ies Ej and E . * E. / ( t + 2 E./O. 5 J I) (the

Com pton-edge ene rgy) . In the energ y interval*

to E. •.{«, E ,» ) is a con tinuo us function of E .

Com pton-edge energy ) . In the energ y interv als f rom 0 to E • and from E ,

3 .2 . Sc ala r Flu« and Av erag e Counting Cr os s Sect ion

It is intere st ing to co m pa re the different ial detect ion ra te P(z, E) for

the actual Nal(Tl) crystal with the different ial detect ion rate P Q(z, E) for a

hypothet ica l, sp he r ica l ga m m a-ra y detec to r . The la t ter i s def ined as a

detector whose angular count ing cross sect ion o (E) is constant in aU

dire ct io ns , the value of e _(E) being given by

' ° ( E ) = * * L ° i E ' m ) d - - (5 )

The quantity on the right-hand side of formula (5) is the average counting

c ro ss sect io n for the actu al cr ys ta l , i . e . the ang ular counting cr o ss sect ion

av era ge d ov er al l ang les of inc ide nc e. Fro m formu la (1) i t follows that

P {z, E) can be written as

P 0 ( 2 , E ) - N ( * , E ) * 0 (E ) , (6 )

w h e r e

N(z ,E ) - | F ( z ,E , i* )d O . (7), E ) - ( F ( z , E , - ) d y .

The function N(z, E) is the diffe rentia l , sc al ar ga m m a- ra y flux, in this

work simply called the s c a la r flux, at the dista nc e z from the grou nd.

The scalar flux is a useful quantity as i t describes the overall energy-

distribution of the aerial radiation field as a function of the survey height.

In analogy to form ula (4), th e sc a la r flux N,(z, E) con tributed by the i ' th

ga m m a-r ay em iss ion l ine f rom thor ium , uranium , or potass ium is g iven

by an expression of the form

N ^ z , E) - U jU J M E -E p + »jCz, E) . (8)

w h e r e the two t e rms on the r ight -hand s ide are the sca lar f lux cont r ibutedby unscattered and scattered gam ma -rays respect ively.



- »4 -

4 . G E N E R A L E V A L U A T I O N O F T H E

A E R I A L G A M M A R A D I A T IO N F I E L D

4 . 1 . D ou b le -P . C a lcu l a t i o n of t he An gu la r and the Sc a l a r F lu x

In de sc r ib in g the ene rg y dep end ence o f t he flux qua n t i t i e s F( z , E ,« ) and

N{z, E) we d iv ide the en erg y ra ng e f rom 0 .1 to 3 MeV in to c on se cu t iv e

in te rv a l s o f the wid th AE = 0 . 05 MeV. Giv en the su rv ey a l t i tu de z and the

abundan ces of t ho r ium , u ran ium , and po ta ss iu m in t he g ro und , we sha l l

p r e s en t da t a pe rm i t t i n g ca l c u l a t i o n of t he func t ions

e ( z ,E , « ) = I F ( z , E ' , - ) d E -

•1(E)(9)

and

* ( z . E ) = j N ( z , E » ) d E » , ( ! 0 )

w h e r e t h e i n t e g r a t i o n i s ex t e n d e d o v e r t h a t of t h e c o n s e s e c u t i v e i n t e r v a l s

1(E) wh ich con ta in s E . In acc o r da nc e wi th t he s im i l a r i t y be twee n the f l ux

e n e r g y s p e c t r a t h u s d e f i n e d a n d t h e s p e c t r a r e c o r d e d w i t h a m u l t i c h a n n e l

a n a l y s e r w e s h a l l c a l l f ( z , E ,» ) t he an gu la r ch ann e l f lux and * (z , E ) t he

sc a l a r channe l f l ux . T he se f ie ld qua n t i t i e s va ry s t e pw ise wi th t he en e r gy

2 2

E , and they a re ex p r es se d in un i t s of Y/ (cm • s * s t e r a d ) a n d ¥ / ( c m • s )

r e s p e c t i v e l y .

In t h e d o u b l e - P . r e p r e s e n t a t i o n , o n w h i ch o u r flu x c a l c u l a t i o n m e t h o d

r e l i e s , the angular channel f lux i s g iven by the equat ions

f ( z . E , w ) = f+

( z , E , « ) + f " ( z , E , « )

f+

(z , E ,» ) * fo+

(z , E ) • 3 » 1+

(z , E) (2» -1)

t ~ ( z , E , « ) » f o - ( z , E ) + 3 , ] - ( z , E ) ( 2 « + 1)

O f )

ws

co s 0 ( f ig ure 3) .

The f i r s t equa t ion exp resses t ha t t he f l ux i s t aken a s a sum o f two

c o m p o n e n t s , ? (z , E,w) and ?"(z, £ , « ) . T h e former i s de f ined t o be equa l

to ?(z , E , ») fo r 0 ( » « l ( 0 « 8 ( » j ) and t o b e z e ro o th e rw i se . C o nv e r se ly

t " ( z , E , « ) e q u a l s e ( z , E , » ) fo r -1 * w < 0 (w ( • * « ) a nd z e r o o t h e r w i s e .

Th i s im p l i e s t ha t • ( z , E , w) i s t h e flux c o n t r i b u t e d b y g a m m a r a y s



- 15 -

trav el l ing aw ay from the ground, while e"(z , tl.m) i s to be in terpreted as a

f lux of gamma rays that have been backscattered against the ground at

ae ria l heigh ts gr ea te r Hum z. T he next two equa t ions show that the two f lux

comp onents a re app roxim ated by l inea r ex pr es s io ns in 2*» - 1 and 2« + 1

res pe ct iv e ly . Such an approx ima t ion corr espo nds to an expan s ion o f

»{z, E, w) in ha lf -r an ge , sp he ric al har m onic s ' wher e only the ze ro 'th and

the f i rs t order expans ion term s are re ta ined . The po ly nom ia ls in which

« ( z , E,m) i s expanded ar e orthogonal , f rom which i t fo l low s that th t s c a l ar

channel f lux only depends on the zero'th order terms in the expans ion:

• ( z .E ) - 2« U o+ ( z , E ) + f o > , E ) } . 0 2}

+ -t-

T ab le 6 g i ve s the f lux expa ns ion co eff ic ien ts * (z , E) , * (z , E) ,

e 0 (z , E) , and ?j" (z . E) at ae ri a l sur vey heights of z s 2 5, 50 , 7 5 , . . . , 2 0 0 m .

S ince i t i s o f genera l in teres t to compare the rad ia t ion f ie ld a t the actua l

sur ve y alt i tude with the radiat ion f ie ld nea r the ground lev el , tab le 6 a ls o

inc lud es the exp ans ion co eff ic ie nt s for z - 0 and z = I m. Th e tab le was

prepare d a t the Ri sø Com puter Ins ta lla t ion us ing the m ult i - f i l e tape GAMMA-

BANK and the prog ram GAM P I de scr ibe d in re fer en ce 1 . In cons truct ingtab le 6 i t was dec ided to represent the ground mater ia l by gran i te ( tab le 1 )

and to asc r ib e a den s i ty of 0 .001 293 g /c m to the a ir , corr espo ndin g to an

atm ospher ic pr es su re o f i a tm and a t em pera ture o f 0°C ". T o per m it

ca lcu la t ion o f the gamma-ray f lux produced by arb i trary contents o f thpr ium,

uranium, and po tas s iu m in the ground, table 6 inc lud es thr ee s e t s of f lux

expans ion coe f f ic ie n t s , g iv ing , re spe ct iv e ly , the contr ibut ion to the f lux

from t ppm Th , 1 ppm U , and I % K. An exa m ple of the u se of table 6 is

g iven in s ec t ion 4 . 3 , The app l icab i l i ty o f the f lux expa ns ion coef f ic ien t s in

ca se s w here the ground do es not co ns i s t o f gran i te , and whe re the den s i ty3

of t he a i r i s d i f f e re n t f r o m 0 . 0 0 1 2 9 3 g / c m , i s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 4 . 4 ,

4. 2 . Ab sorbe d D o se Rate in the A ir

O n e o f t h e b a s i c p r o b l e m s i n a e r o r a d i o m e t r i c p r o s p e c t i n g i s t o c o r r e l a t e

the total count rate of gamma rays with the overal l abundance of the radio

a c t iv e m i n e r a l s i n t h e g r o u n d . T h e r e s u l t s r e p o r t e d in r e f e r e n c e 2 in d i c a t e

that for a cer ta in s e t t ing o f the count ing thresho ld the to ta l g am m a- ra y

count ra te w i l l be a lmos t proport iona l to the aer ia l gamma dose ra te a t the

- ,' T e m p e r a t u r e s c l o s e t o f r e e z i n g p o in t a r e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e c o n d i ti o n s

for a irborne uran ium prospect ing in Green land .



- 16 -

su rv ey a l t i t ude , i ndependen t of t he ra t i o Th :U:K fo r t he g round m a t e r i a l .

If t h i s a s sum pt io n i s va l id , ae r i a l g r o s s coun t ra t e s can be con ve r t ed in to

dos e ra t e un i t s . M oreo ve r , if t he de c r ea se in t he dos e ra t e wi th t he d i s

tance to the ground i s known, i t should be poss ib le to deduce the dose ra te

a t g round l eve l , t he quan t it y t ha t ap pe a r s t o be t he m os t su i t ab l e m ea su re

of the rad ioac t iv i ty of the ground .

The ab so r bed g am m a do se - r a t e D(z) a t t he su rv ey a l t i t ude z i s g iven by

E" max

D ( z) = j . N ( z , E ) H e a ( E ) E d E ( 1 3 )o

wi th E = 2 .61 5 MeV. In t h i s fo rmu la N(z , E) i s t he s c a l a r ga m m a- ra yf lux , w hi le | t (E) (cm /g ) i s the ene rgy ab so rp t io n coeff ic ien t ' fo r a i r .

Our p rog ram GFX pe rmi t s ca l cu l a t i on o f D(z ) exp ressed in un i t s o f

MeV • g " • s " . Us ing the sa m e re fe re nc e cond i t i ons a s i n t he p r ec ed in g

se c t i on , tab le 7 was co ns t ru c te d , in which the va lu es of D(z) a r e g iven in7

un i t s o f t t r ad /h (1 rad = 6 .24 2 x 10 M eV /g) . As i s we l l known, ga m m a

d o s e s ( i n r a d s ) r e c e i v e d by p e o p l e a r e n u m e r i c a l l y e q u a l t o t h e r a d i a t i o n

e x p o s u r e m e a s u r e d i n R d n tg e n u n i t s ( R ), T h e a b s o r b e d d o s e in s t a n d a r d

a i r (0 °C , 1 a tm ) i s re l a t ed to t he rad i a t i on e xp osu re by the c on ve rs i on

equa t ion

1 n • 0 . 86 9 ra d , (14)

wh ich re l i e s on the a s su m pt ion tha t 33 . 7 eV i s re qu i re d to c re a t e one ion1 9 )

p a i r ' . T h o u gh r a d i o m e t r i c i n s t r u m e n t s f or g e o l o g i c a l f ie ld w o r k a r e

o f ten ca l ib ra t ed in ex pos u re ra t e un i t s , we f ind i t m or e na tu ra l t o s t a t e

t h e r e s u l t s of t o t al g a m m a - r a y m e a s u r e m e n t s i n d o s e r a t e u n i t s ,

4 . 3 . N u m e r i c a l E x a m p l e

To eva lua t e an ae r i a l gam m a rad i a t i on f i e ld , t he re sp ec t iv e f lux and

do se r a t e da t a in t ab l e s 6 and 7 a r e to be com bined in acco rd an ce wi th the

ac tu a l abun dances of t ho r ium , u r an ium , and po ta ss iu m in t he g ro un d . The

g r a n i t e f o r w h i ch t h e t a b l e s w e r e d e r i v e d c o n t a i n s 4 . 1 1 % K , 0 ( t a b l e 1 ),

co r re sp on d in g to 3 .41 2% K. In t he fo llowing we a s su m e tha t t he abun dances

o f t h o r i u m a n d u r a n i u m i n t h e g r a n i t e a r e 1 2 p p m a n d 3 p p m r e s p e c t i v e l y .

Th e ene rgy d i s t r i b u t io ns of t he re su l t i ng f lux expans ion coe f f i c i en t s e (z ,E)

and f "( z, E) for z * 1 m and z • 100 m ar e show n in fig ur es 4 and 5. I t

wi l l be re ca l l e d t ha t t ( z , E ) g ives t he f lux of gam m a ra y s t rav e l l i ng away



- M

10

P H I 0 - A P H [ 0

u

n

u

0 . 5 1 . 0 ! . S 2 . 0 2 . 5 ffc 'U

Fi g. 4 . The energy distribution of the f lux expansion co ef f i c i en t » + {z . Ej

and * Q ( « . E) « t the altitude i « 1 m »bove gra nite co ntaining I ? ppm Th,

3 ppnt V, and 3.41 2% K.

f rom the ground, wh ile » (2 , E ) r e p r e s e n t s t h e s k y s h i n e " c o n t r i b u t i o n t o

the f lux. S ince 9 {z, E) includes the expans ion coe f f i c i en t s for the fluxof unscat tered gam m a ray s , the graphs o f 9 ( z , E ) a r e c h a r a c t e r i z e d b y

peaks . The m os t prom inent peaks i n t he two f igu res a r e l abe l l ed acc o rd ing

to the rad ioe lements by which they a r e p r o d u c e d .



- 18 -

* 0 ° ~P H I O - 4 C H I O - 2 - ! 0 0 n

114

, < « a >

^ 0 "2

t

^ « I!

S/ w »

•C'^fc

! ! S

b J

s p i

i !

I!

1

' . 5 2 . 0 2. S r e v

Fig . 5 . The energy distribution of the f lux expansion coeff ic ients • ( i , E)

and • " (z , E) a t the a l t itude f l O O m above gran ite contain ing t 2 ppm Th,

3 ppm l . and 3.41 Z% K.

F ig . 6 sho ws the vari; t ion of the angular channel f lux f (z, E , «*) withthe polar angle d for E = 0.1 25 MeV at the alt itu de s z * 1 m and z » 100 m .

S ince none o f the emis s ion l ines o f the natura l rad ioe lements have energ ies

in the interva l from 0.1 0 to 0 . 15 MeV, the f igure exem plif ies the angular

prop ert ies of a flux of s ca t ter ed low-en ergy gamm a ra ys . Th e sm al l

jum ps se en in the graph of s(z, £, w ) for z * 1 m in the tra nsi t io n from

pos i t iv e to negat ive va lues o f w * co se ar i se f rom the t runcat ion er ro r in

the do ub le-P j approx imation. I t i s se en that c l os e to the ground {% • 1 m)

the gam m a-ray f lux per s terad ian var i es l e s s than a factor o f two as ø i s

in cr ea se d from 0 to s . At both alt i tude s con s ide red the contribut ion from

"skysh in«" ( « ( 9 * s ) to *he sc al ar chann el f lux amo unts to about 40%.



1 9 -

u*eo$ e

fim * * K » I * I

Fi g. 6. The variation of the angular chann el flux fyrens"- e • s t e r a d ) j with

the polar angle • in the energy interv al from 0 .1 0 to 0 . I 5 MeV at the

alt itude« t • I m and z * 100 m.

In fig. 7 we il lu str at e the re lat ive diroinuation in the total ga m m a- ray

flax * t o t (z ) and the dose ra te D(st) res ult ing from an in cr ea se in z from 0

to 200 m . Since gam ma ra ys with en er gi es of le ss than 0.1 MeV a re d is

regarded in this work, the total gamma-ray flux is given by

W *> = fm ax

'E ,m m

N(z ,E)dE « ?« { L e *(z .E ) + E f j z . E ) } (15)

with Em in 0.! MeV and E m a x = 2 .6 ! 5 MeV. Values of £ • J (z , E) and£ t j (z , E) ar e deriv able from the row s label led "su m " in table 6. The

figure shows that the total flux decreases less rapidly with alt i tude than the

••Jose ra te . The rea son is that the m ultiple sca tte rin g even ts caus e the

spectrum of gamma rays to be shif ted towards lower energies as the aer ial

a l t i tude increases .



- 20 -

Qtø i 1 i i i 1 i i 10 » SD 15 »O 125 M ffi 200 m

Fig . ?. The re la t ive diminuaU on in the total ga m m a-ra y flux and the

gam ma do se rate with the dista nce z to ground m ater ial (gran ite) con

taining thorium, uranium, and pota ss ium in the proport ions 12:3:341 20.

4 .4 . Extende d Ap plica tions of the Flux and D os e Rate Data

After having presented data on the f lux and the dose rate in standard

air above granite of the com pos it ion g iven in table 1 , we shal l now show

that tables 6 and 7 can be used for approximate calculation of the gamma

radiat ion f ie ld produced by al l normal ground materials in a ir of arbitrary

den s ity . M oreo ver, i t wi l l appear that the radiat ion f ie ld can be evaluated

even i f the a ir dens ity v ar ies with a lt i tude. S ince the ma in purpo se of th is

work i s to es ta bl ish a ba s is for the calcu lat ion of ae ria l count ra tes , we

sha l l a l so ment ion how the s tructura l mater ia l s surrounding an a irborne

Nal(Tl) detec tor can be taken into con s ide rat ion . The fo l lowing d isc us s io n

is b ased on the fact that so i l and al l com m on r oc ks , the atm osp her e, and

most of the materia ls used in an aircraft and a detector hous ing cons is t of

ele m en ts with low atomic nu mb ers (Z * 26) . In se ct io n 2 . 3 i t was pointed

out that gam ma ra ys with ene rg ies of betwee n 0 . f and 3 MeV interac t with

low-Z e lem ents a lm os t exc lus ive ly by incoherent s ca t ter ing . It appea rs

from Appendix I that the e lect ro n den s it i es for the m at er ia ls involved ar e

es sent ia l in descr ib ing the t ransport o f gamma rays through pure Compton

s c a t t e r e r s . T h e e l e c t r o n d e n s i t y n f o r a h o m o g e n e o u s m a t e r i a l i s g i v e n

by



- 21 -

n e ' * N o h r . < , 6 >i

i

wh e r e

P = bulk de ns ity of the m ate ria l23

N = Av ogad ro's num ber (6 .o 25 x 10 )

(w- , 2 . , A.) = (abundance by weight , a tom ic num ber, a tom ic weight)

for the i ' th e lement in the composi t ional code for the

m a t e r i a l .

It fol lows from the formulas (AS) and (A6) in Appendix I that the radiat ion f ie ld above s uni form mixture of Compton scatterers with e lectron

dens i ty n and gam m a-r ay em i t te rs with sou rce dens i ty q xs proport iona l

to the rat io q/n . Th is im p l ie s that the aer ia l radiat ion f ie ld produced by

unit weight con cen trat ion s of thor ium , uranium , or potass ium in the ground

is in ve rs ely prop ortiona l to the .quantity

< *> • Iw

i * 7(17)

for the ground m at er ia l . Th e gra ni t e for which tab les 6 and 7 w ere deriv ed

has ( TT ) * 0 . 49 65 . T he ref or e , to det erm ine the f lux and the do se rate

above a ground having another value of ( -r) , the f igures in the two tables

should in pr inc ip le be mu l t ip l i ed by a factor of 0 . 49 65 / ( T ) • Gen era l ly the

cor rec t ion i s quite sm a l l and can often be om itted. Th is i s be cau se the

quantity r va rie s by as l i t t l e a s from 0 .4551 (ma ngan ese) to 0 . 5000

(oxygen) for the e l em en ts , wi th the exception of hydrogen , which enter the

comm on rock - form ing m in er a l s . Fo r exam ple , the va lue o f ( jr ) for the

so i l de sc r ib ed in table 1 i s 0 . 5026 , s o the f ie ld quanti t ies pe r 1 ppm Th,

I ppm U , and 1 % K are only 1 .2% sm al l e r for so i l than for gran i te . S ince

hydrogen has j - • 0 . 9921 i t m ay be n ec es sa ry to inc lude the cor rec t ion in

calculat ing the radiat ion f ie ld above materia l that i s soaked with water .

The formulas (A4) and (A5) (Appendix I) show that the vert ica l distr i

bution o f the gam m a-r ay f lux in an ass em bly o f Compton sc a t te re rs , whose

electro n den si ty n J z) v ar ie s with the dist anc e z to a plane , inf inite so u rc e2

med ium, i s a funct ion of the tota l num ber of e le ct ro ns pe r cm in a ve rt ic a l

co lumn of the height z . I f w e le t the Compton sc at te re rs r ep res en t the

atm osph ere , i t fo l low s that ta ble s 6 and 7 per m it ca lculat ion of the ra di -



- 22 -

a t ion t i ek i in ax r whose dens i ty v a n e s ac co r d in g to a func tion ø(t). T h u s .

if z . deno tes me >f the a l t i tu de s for which the f lux expa nsion coe ff ic ie n ts

and the dose ra t e a re t abu la t ed , t hese f i e ld quan t i t i e s a re the s a m e a t t h e

a l t i t ude z.y i n t he a i r ch a r ac t e r i z ed by tha funct ion P(z ) , whe re z 0 i s

de r ivab le f rom the equa t ion

, * • - >

0. Oil 293 - 2 = - o f z ' J dz ' - { '8)

r»

In t he no rm a l ca se i n wh ich the a i r dens i ty ca n be re ga rd ed a s con s t an t ,

p(s) -9 . i t a l t i t u de s of be tween 0 and - 2 0 0 m , z 2 i s s imp ly g iven by

z.y = z, • 0. mi 293/o . (19)

If t he a i r t e m p e r a t u r e t ( C ) a nd t h e a t m o s p h e r i c p r e s s u r e p ( a t m ) a r e

spec i f i ed , p i s ca l c u l a t e d by m ean s of t he we l l -know n ex p r ess ion

p = 0 . 0 0 1 2 9 3

rr ^ m - ( 2 0 >

In o r de r to eva lua t e t he f lux of gam m a r ay s t ha t s t r i k es an a i rb o r ne 2Na l (T l ) de t ec to r one has to ca l cu l a t e t he t o t a l nu m be r of e l ec t ro ns p e r cm

in a ll m a t e r i a l p r e s e n t b e tw e e n th e d e t e c t o r a n d t h e g r o u n d . In s u c h a

ca l cu l a t i on i t i s conven ien t to ex p r es s t he t h i ck ne ss of t he de t ec to r hous ing

and the bo t tom o f t he a i rc ra f t a s an equ iva l en t l aye r o f a i r wh ich has t o be

added to t he su rv ey a l t i t u de . F o r exam ple , a 1 cm th i ck l ay e r of an3

alum iniu m a l loy having a den si ty of 2 g /c ra i s equiv a len t to a 1 5 m h igh

c o l u m n of s t a n d a r d a i r . W e p o i n t o u t t h a t o n ly t h e u p w a r d s - d i r e c t e d

g am m a- ra y f lux , ex p r es se d by the expan s ion coe f f i c i en t s •_ (z . E ) and• . ( z , E ) i n tab l e 6 , i s i n f luenced by the s t ru c t u r a l m a t e r i a l s su r ro un d in g

t h e d e t e c t o r . T h e " s k y s h i n e " f lu x i s u n c h a n g e d , b e c a u s e i t s e n e r g y and

angu la r d i s t r i bu t ion a re i ndependen t o f t he pos i t i on o f t he sca t t e r ing

e l ec t rons above the po in t o f de t ec t ion .

5 . E V A L U A T I O N O F A F L U X O F L N S C A T T E R E D G A M M A R A Y S

5 . 1 . F o r m u l a s a n d D a t a

I n t h i s c h a p t e r w e s h a l l p r e s e n t d a t a f o r inser t ion in the we l l -known

f o r m u l a s f o r a flux of unsca t tered gamma ray s . We nave prev iou s ly

(Chap te r 3 ) i n t ro duc ed the qua n t i t i e s u . (z ,» ) and \iAz\, descr ib ing the



- 23 -

thf angular and the scalar flux produced by source gamma rays of the

energy E-. The fo rm ulas {4) and (8) show that u(z,*») and U (z) ar e ex

pr ess ed in uni ts o f '» /(cm" - s - s terad ) and V/{c m" • s ) resp ect ive ly . Th e

ex pr es sio ns for u-(z,w) and l ' ,{z) can be written as (cf. ref er en ce 2)

Q iu (z , * ) = r fcxp(-x/*)

4 " * m * E i >

Ll<

2>

=TTT^T

E2«"> '

(21)

m i

wh e r e

» » cos © » © (fig. 3)

x =* A ( E ) p z

m v9 - density of the air

xS* (E-) " tota l c ro ss sec t ion without cohe rent scatter ing

for ai r, in cm"/g

ti ' (E .) * ditt o for the ground m ate ria lQ . * em is s i o n rate of gam ma rays with energy E.

per gram of the ground materia l .

G AT h e c r o s s s e c t i o n s p J* (E .) and » (Ej) ar e often refe rre d to as the

m * m i

m as s attenuation coe ff ic ie nts for the ground and the a i r . The funct ion

K 0(x) i s a specia l case of the exponentia l integral o f the order n:

C D !

E n (x) * x n " ' j e x p < - t ) / t n d t * J * n " 2 e x p ( - * / - ) d « . (2 2)

X O

201E„(x) has be en tabu lated, for exa m ple, by Tr ub ey ' . In fig . 8 we

show the graph of E 2 (x) for 0 * x * 3 . 5 .

Ta ble 8 sh ow s the va lu es of Q . , norm al ized to abundances of T ppm Th

>r 1 ppm U in the ground ma ter ia l , for the thorium -uran ium gam ma ray s

whose en erg ies and inte ns i t i e s ar e l i s ted in tables 4 and 5 . The va lue of

Q | for po tass ium (1 % K ) i s a l s o g i v e n . B e s i d e s , t a b l e 8 g i v e s t he m a s s

attenuation coef f ic ien ts o f gra ni te , so i l (c f . table I ) , and a i r for the ga m m a-

ray en erg ies in ques t ion . The m as s at tenuation coe f f i c i ents w ere ca l cu la ted

by means of the data fi le GAMMABANK and the program GBCR06 1 \ For

mater ia l tha t can b e regarded as a pure Compton sc a t t er er , the m as s



- 24 ~

Q.001

Fig. 8 . Graph of the seco nd-o rder exponential integr al E„(x) entering

formula (21).

at tenuat ion coeff ic ien t i s p roport ional to the quant i ty (, •*•) defined by

f o r m u l a (1 7) . The ra t io s be tween the va lu es of ( -%•) fo r g r an i t e , s o i l , and

a i r equa l 1 :1 . 01 2 :1 .0 07 , and s ince t he ra t i o s be tw een the t h re e se t s of

m as s a t tenua t ion coe f f i c i en t s in t ab l e 6 a r e in fa i r ag re em en t wi th t h i s

p r o p o r t i o n , t h e t a b l e f u r t h e r i l l u s t r a t e s t h e f a ct th a t i n c o h e r e n t s c a t t e r i n g

i s t h e p r e d o m i n a n t g a m m a - r a y i n t e r a c t i o n p r o c e s s i n t y p i c a l g r o u nd m a

t e r i a l s a n d a i r .

5 . 2 . N u m e r i c a l E x a m p l e

F ig . 9 exem pl i f i e s t he va r i a t i on of t he ang u la r f l ux of u ns ca t t e r ed

2 .61 5 -MeV ga m m a ra ys f rom th o r iu m wi th t he po la r ang le © . The p lo t

pe r t a i ns to gr an i te and s ta nd ar d a i r ( p * 0 . 001 293 g /c m ) . As one would

expec t , t he f l ux d i s t r i bu t ion i s upward peaked a t ae r i a l su rvey a l t i t udes(z • 100 m) bu t ne ar ly ha l f - i so t ro p ic c l os e to the gro und (z « 1 m ). I t m ay

be u se fu l t o i n t ro duc e the f rac t ion a of ga m m a ra ys wh ose d i r ec t ion s a re

confined to the in te rv a l f ro m 8» 0 to 8 > 0 . G ive n a, th e an gle 6 •

o • o



- 25 -

XalOOm i . lw

F i g . 9. Th e var iatio n of the angu lar flux ( V ^ c n i " - s - s t e r a d • MeV)) of

unacat tered 2 . 6 1 5 - MeV gamma r a y a at the a l t i t u d e s z « t m and z - ! 00 rn.

0 (z, E., o) is derivable from the equation

E 2 (x / cos8 J

— E 7 * r -c o

* o * ' - • • <23

>

where % is given by for m ula (21) ff. Sin ce z and e define a con e who se

intersect ion wi th the a i r -ground interface is a c i rc le wi th the radius

R * ztanf t , the interf ace can be divided into con cen tr ic , c i rc ula r a re as ,

each contributing a specified fraction of the scalar f lux at the survey

al t i tude con sidere d ("c i rc l es of invest igat ion" , cf. refe ren ce 21). In the

p re se nt exa m ple we find fo r a * 0, 5 thai (8 , R) = (45 °, 101 m) at z = 100 m

and (* 0 . R) • (59° , 1 .7 m ) at z = 1 m.

6. METHOD SUGGESTED FOR THE CALCULATION

OF AERIAL COUNT RATES

We have now concluded the m ain objective of this re po rt , namely to

int roduce formulas and tables for numerical evaluat ion of the aer ia lgamma-ray f lux f rom the radioact ive minerals in rock or soi l making up

a plane, uniform te rr a in . Since the data have been compiled with a view

to thei r appl icat ion in the opt imum design of a i rborne Nal(Tl) detectors ,

cf. ch ap ter 1, we sh all round off the re po rt by briefly m entioning the



- 26 -

me thod we in t end to u se fo r t he ca l c u l a t i o n of ae r i a l coun t ra t e s .

The f i r s t o f t he s imp l i fy ing a s su m pt i on s on wh ich the me thod r e l i e s i s

t h a t t h e p u l s e - h e i g h t s p e c t r u m d e r i v e d f r o m a d e t e c t o r , w h ic h c o n s i s t s o f

t w o o r m o r e c r y s t a l - p h o t o m u l t i p l i e r u n i t s , i s t h e s u m of t h e p u l s e - h e i g h tsp ec t r a p rodu ced by the i nd iv idua l un i t s . In o t he r w ord s , we neg le c t the

sc re en in g and the sc a t t e r i ng e f fec t s i n an a r r a y o r a b lock of a i rb o r ne

sc in t i l l a t i on c ry s t a l s . Le t f (z , V) be t he coun t ra t e of pu l ses wi th am p l i

tud es be tw een V and V + dV obta ine d w i th a s in g le N al (Tl ) c ry s ta l f lown

in an a i rc ra f t a t t he a l t i t ude z {fig . 3 ) . T he sp ec t ru m f (z ; V) ca n b#> w ri tte n

a s

E 1

.- m ax r-f ( z , V ) = 2 n j J F ( z . E,»») o ( E , « ) G ( E , V .« }dwdE ( 24 )

o -1

w i th E = 2 . 6 1 5 M e V . F ( z , £ ,* ») d e n o t e s t h e a n g u l a r g a m m a - r a y flux

a t t he po in t o f de t ec t ion . In sec t ion 4 . 2 we hav e exp la ined how the g am m a-

r a y a t t e n u a t i o n i n t h e a i r c r a f t s t r u c t u r e a n d t h e d e t e c t o r h o u s i n g c a n b e

t aken in to co ns ide ra t i on in t he ca l c u l a t i o n of F (z , E ,*»). Th e ang u la r coun t ing

c r o s s s e c t i o n a (E , » ) fo r t he Na l (T l ) c ry s t a l h as been de f ined in sec t ion 3 . 1 .

The th i rd func tion , G(E , V,w) , app ea r in g in t he fo rmu la i s t he r e s po ns e

funct ion fo r t he c r y s t a l -p ho tom ul t ip l i e r a s s em b ly . G(E , V,*») i s to be

i n t e r p r e t e d a s a n o r m a l i z e d p u l s e - h e i g h t s p e c t r u m , g e n e r a t e d by a p a r a l l e l

bea m o f ga m m a ra ys hav ing the ene rg y E and fo rm ing an ang le of 8 =

a r c c o st * w i th t h e c r y s t a l a x i s . A s i s w e l l k n ow n , m o n o e n e r g e t i c g a m m a

r a y s i n t e r a c t i n g w i th a N a l ( T l ) c r y s t a l a r e e i t h e r t o t a l ly a b s o r b e d , i n

wh ich c a s e t hey g ive r i s e to a fu l l - ene rgy peak (and two ann ih i l a t i on e s ca pe

p e a k s i f t h e e n e r g y i s g r e a t e r t h a n 1 . 0 2 2 M e V ) , o r t h e y a r e s c a t t e r e d o u t

of t h e c r y s t a l w h e r e b y a C o m p t o n c o n t i n u u m i s f o r m e d .

As t h e n e x t si m p l if y i n g a s s u m p t i o n w e d i s r e g a r d t h e a n g u l a r d e p e n d e n c e

o f t he re sp o n se func tion , i . e . we se t

G ( E , V , » ) = G ( E , V ) . (2 5)

I t i s com m on p r ac t i c e t o wr i t e G(E , V) a s t he convo lu t ion o f an e ne rgy

dep os i t i o n s pe c t ru m D(E , E ' ) and a G au ss i an re s o lu t ion func t ion R(E» , V) , i , e .

E

G ( E , V ) * J D ( E , E » ) R ( E ' , V ) d E » . ( 2 6)

o



- 27 -

T h u s , t o c a l c u l a t e a n a e r i a l p u l s e - h e i g h t s p e c t r u m k n o w le d g e i s r e

qu i r ed of t he fo llowing quan t i t i e s de sc r ib ing the pe r fo rm an ce o f t he de t ec to r

uni t :

1 . Th e ang u la r coun t ing c r o s s sec t ion o(Ef»» )

2 . The components o f the funct ion D(E, E ' )

( p h o t o f r ac t i o n , e s c a p e - p e a k i n t e n s i t i e s ,

a nd p a r a m e t e r s c h a r a c t e r i z i n g t h e C o m p to n c o nt in u um

3 t The pa ra m e te rs g iv ing the wid th a t ha lf m ax imu m

(FW HM ) of the funct ion R(E», V),

W h e r e a s t h e c a l c u l a t i o n of a n g u l a r co u n t in g c r o s s s e c t i o n s i s a c o m

p a r a t i v e l y s i m p l e n u m e r i c a l p r o b l e m , cf. r e f e r e n c e 1 8 , ene rgy depos i t i on

s p e c t r a m u s t b e e v a l u a t e d f r o m e x t e n s i v e M o n te C a r l o c a l c u l a t i o n s , o r

t h e y m u s t b e d e t e r m i n e d e x p e r i m e n t a l l y . In r e f e r e n c e 2 w e h a v e d e r i v e d

the re s po ns e funct ion fo r a 3 " x 3 " N a l (T l ) de t ec to r u s ing in fo rm a t ion on

D ( E , £ ' ) a v a i l a b l e i n t h e l i t e r a t u r e . A s f a r a s w e k n o w , d e t a i le d r e s p o n s e -

func t ion da t a fo r l a rge sc in t i l l a t i on de t ec to rs have no t been pub l i shed so

f a r , a n d t h e r e f o r e f u r t h e r a p p r o x i m a t i o n s h a v e t o b e i n t r o d u c e d .

E v e n t h e m o s t a d v a n c ed a e r o r a d i o m e t r i c r e c o r d i n g s y s t e m s r a r e l ys o r t th e d e t e c t o r p u l s e s i n to m o r e th a n f o u r c o u n t in g c h a n n e l s . O f t h e s e

o n e i s u s e d f o r m e a s u r e m e n t of t h e t o t a l g a m m a - r a y c o un t r a t e , w h i le t h e

t h r e e o t h e r s f or m a g a m m a s p e c t r o m e t r i c d a ta a c q u i s it i o n s y s t e m , b y

m e a n s o f w h i c h o n e e n d e a v o u r s t o d e t e r m i n e t h e a b u n d a n c e s o f t h o r i u m ,

u r a n i u m , a nd p o t a s s i u m i n t h e t e r r a i n b e n e a t h t h e a i r c r a f t . N o r m a l l y t h e

s p e c t r o m e t e r c h a n n e l s a r e ab o u t 0 . 2 - M e V w i d e a n d c e n t e r e d a t t h e e n e r g i e s

2 . 615 , 1 . 765 , and 1 .461 MeV re sp ec t iv e l y , c f. sec t ion 2 . 2 . In an a t t em pt

t o d e t e r m i n e t h e o p t i m u m c r y s t a l d i m e n s i o n s f o r a r e c o r d i n g s y s t e m t o b e

f lown a t a g iven a l t i tu de , i t i s re as on ab le to confine the exa m inat io n to th e

in t eg ra l coun t ing channe l and the d i f fe ren t i a l coun t ing channe l wi th cen t re

ene rgy 2 .61 5 MeV . Rec a l l i ng tha t P (z , E ) deno tes t he ra t e of de t ec t ion fo r

t h e s c i n t i l l a t i o n c r y s t a l ( s e c t io n 3 . 1 ) , t h e f ol lo w in g a p p r o x i m a t e f o r m u l a s

can be e s t ab l i sh ed fo r t he t o t a l coun t ra t e " . . ( z ) and the d i f fe ren t i a l coun t

r a t e n 0 R 1 ( i ( z ) :



- 28 -

Q o E

r m axn t o t (z ) - j f (z .V)dV * J P(z ,E )dE

(27)

E E r t

o o

1• — f*

* 2 * ) j * ( z . E . » ) e ( E . « ) d «

i -1

i

n 2 61 5 (z ) » 2« p o (E.) J U i ( z . « ) o ^ . * )d « . ( 28 )

In formula (27) E i s the counting threshold expr ess ed in MeV, whi le

• ( z , E ,» ) i s the angular channel f lux g iv en by the do ub le-P . equations (11) .

In the last exp res s ion in (27) , the sym bol ) i s understood a s a sum ma tion

over the "energy channels" of width & E = 0. 05 MeV introduced in se ct ion

4 . 1 , beginning with the channel to which E be lon gs. Fo rm ula (28) ex

presses tha t n„ g . Az) is taken as the count rate in the total absorption

peak produced by un scattered 2 .61 5-MeV gamm a rays from thorium (cf .

form ula (21) and table 8). T he re for e both the counting cr o ss sec tion

« ( E . , «) and the pho tofraction p (E ,) m us t be known for E. - 2. 6f 5 MeV.

7. DISCU SSION

It may be quest ioned whether the doub le-P . represe ntat ion of the

angular channel f lux (formula (11)) is sufficiently accurate for determinationof ae r ia l to ta l gam m a-r ay count ra te s ( formula (27)) . To com me nt on this

problem we f irst observe that two types of error occur:

(i) No ha rm on ics of or de r 1 ) 1 are retained in the expansion of the flux.

(i i ) The calculation of the zero 'th and the fir st harm on ics is not exact,

c f. refe ren ce 1 .

E rr or s of both types w i l l a ffect the accur acy of re sp on se ca lcu lat ion s

for anisotropic d ete cto rs , w her eas only type ( i i) er ro rs wi l l do so in the

ca se of an i sotr op ic (sp her ica l ) de tect or* . Regarding the scat tere d f lux ,

' The accu racy of the do se rate va lu es in table 7 a ls o exclu sive ly depen ds

on type ( i i ) errors .



*>o

which va r i e s ra th e r s lowly in t he i n t e rv a l s -1 * *» ( 0 and 0 { « * 1, we1 ? )

h a v e s t r o n g e v i d e n c e * " ' t ha t t he t ype ( i i) e r r o r s a r e sm a l l ; fo r t he uu -

sc a t t e re d f lux they a r e ze ro . Aga in , e r ro r« o f t ype ( i) a r e exp ec t e « to be

sm a l l fo r the sc a t te re d f lux , bu t unfo r tunate ly th i s : s no t t r ue for the un-sc ar te re d f lux . In fac t , we ha ve to adm i t tha t the an gu la r d i s t r i bu t io ns -A

t he un sc a t t e r ed f lux (g ra phs l i ke those in f i ^ . 9} a r e ra th e r po o r ly r e

pro du ced by re t a in ing on ly the t e r m s I = 0 and 1= ! in the d o ub le -P . e x

pans ion {cf. Append ix I I ). We be l i e ve , n ev e r th e l e ss , t ha t t he e r r o r i n t r o

duced by the s t ro ng an i so t rop y o f t he un sc a t t e r ed f lux can be t o l e r a t e d ,

be ca us e t he nu m er i c a l eva lua t ion of fo rm u la (27 ) i nvo lves i n t e g ra t ion wi th

r e s p e c t t o d i r e c t i o n s a n d s u m m a t i o n o v e r e n er g y i n t e r v a l s , b y w h i ch th e

e r r o r t e n d s t o b e d i lu t e d .

R E F E R E N C E S

!) P . K i rk eg aa r d and L . Lø vbor g , Co m pu te r Mode l li ng -A T e r r e s t r i a l

G a m m a - R a d i a t i o n F i e l d s . R i s ø R e p o r t N o . 3 03 ( 19 74 ) '6'a pp .

2) L . L øvbo rg and P . K i rk eg aa rd , Re spo nse of 3 " x 3 " Na l (TI) De t ec to r s

t o T e r r e s t r i a l G a m m a R a d ia t i o n . N u c l. I n s t . M e t h . 1 2) (I 974) 23 t i -2 5 t .

3 ) H. Beck and G. de P lan qu e , Th e Ra dia t ion Fie 'd in Air due to D is t r i

bu ted Ga m m a- R ay S ou rc es in the G rou nd. 11ASL-1 95 (! 968) 53 pp .

4) R .A . Daly , G. E. M an ge r , and S. P . Cla rk , J r . , in : Handbook of

P h y s i c a l C o n s t a n t s . R e v i s e d e d i t i o n . E d i t ed by S . P . C l a r k , J r .

5 ) S . P . C la rk , J r . , i b id 1 -5 .

406) J . D. King , N. Neff, and H. W. Tay lo r , The Energy of t he K G am m a

Ray and i t s Use a s a C a l ib ra t i on S t a nd a rd . Nuc l . In s t . Me th . 52

( 1 9 6 7 ) 3 4 9 - 3 5 0 .

7 ) F . G. H ou te r m an s , i n : P o t a s s i um Argon Da t ing . Ed i t ed by O. A.

S c h a e f f e r a n d J , Z S h r i n g e r ( S p r i n g e r V e r l a g , B e r l i n , 1 96 6 ) 1 - 6 .

8) M . J . M a r t i n a n d P . H . B l i c h e r t - T o f t , R a d i o a c t i v e A t o m s . N u c l . D a t a

T ab le s A8 (1970) 1-198.

9) J . J . W . R o g e r s a n d J . A . S . A d a m s , i n : H a nd bo ok of G e o c h e m i s t r y .

Ed i t ed by K. I I . Wedepo h l . Vo l . 11/2 (Sp r in ge r Ve r i a g , B e r l i n , 1970 ) .

C ha p t e r s 90 and 92 .



- 30 -

1 0) W . W . B o w m a n a nd K . W . M a c M u r d o , R a d i o a c t i v e - D e c a y G a m m a s .

At. Data Nucl . Data Tables ]_3 (1974) 89-292.

11 ) H. L . Beck , The Ab so lu t e In t e ns i t i e s o f G am m a Ra ys from the Decay

of 2 3 8 U and 2 3 2 T h . H A S L - 2 6 2 (1 972) 1 4 pp .

12) E. K . H y d e, I . P e r l m a n , a nd G . T . S e a b o r g , T h e N u c l e a r P r o p e r t i e s

of t he Heavy E le m en t s . Vo l . 2 ( P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w ood C l if f s, N. J . ,

1964) 1107 pp.

13) \v . J aco bi anrl K. A r.dré , Th e V er t i c al D ist rib ut i on r»f Radon 222,

R a do n 2 20 a nd T h e i r D e c ay P r o d u c t s i n t h e A t m o s p h e r e . J . G e o p h y s .

R e s . 68 (1963) 3799-3814.

14) H. L . Beck , Gam m a Rad ia t ion f rom Radon D aug h te r s in the A t m o s p h e r e .

J . Geop hys . Re s . 79 (1974) 221 5 -2 221 .

1 5) W. H. Mc M as te r , N . Kee r De l G ran de . J . H . Mal l e t t , and J . H . H ubbe l ,

Com pi l a t ion of X -R ay C ro ss Se c t ions . UCRL-501 74 (Sec . 1 -4 ) (1 9 6 9 - 7 0 ) .

1 6) H. Go lds t e in , Fu nd am en t a l A spe c t s of R ea c to r Sh ie ld ing (Add i son -

W e s l ey , R e a d in g , M a s s . , J 959) 41 6 p p.

1 7) A. Sc ha a r sch m id t and H. - J . K e l l e r , C a lcu l a t i on of Ef f i c iency andC r o s s S e c ti o n of C y l i n d r i c a l S c i n t i ll a t o r s in A x i s y m m e t r i c a l G a m m a -

Ray F ie ld s . Nu cl . In s t . M eth . 72 (1969) 82 -9 2 .

1 8) H . - J . K e l l e r a n d A . S c h a a r s c h m i d t , E m p f i n d l i c h k e it u nd W i r k u n g s -

q u e r s c h n i t t z y l i n d r i s c h e r S z i n t i l la t o r e n in a x i a l - s y m m e t r i s c h e n

G a m m a - S t r a h l u n g s f e l d e r n v e r s c h i e d e n e r W i n k e l v e r t e i l u n g e n , B M w F - F B

K-69-20 (1969) 125 pp .

1 9) F . H . A t t i x a n d W . C . R o e s c h , R a d i a ti o n D o s i m e t r y . 2n d e d i ti o n . V o l . 1( A c a de m i c P r e s s , N ew Y o r k , 1 968) 405 pp.

2 0 ) D . K . T r u b e y , A T a b l e of T h r e e E x p o n e n t i a l I n t e g r a l s . O R N L - 2 7 5 0

(1 959) 63 pp.

21 ) J . S . Duva l J r . , B . Cook , and J . A . S . A dam s , C i r c l e o f Inves t iga t ion

of a n A i r - b o r n e G a m m a - R a y S p e c t r o m e t e r . J . G sop hy s . R e s . , 7_£

(1971) 8466-8470 .



- 31 -

APPENDIX I

THI CLANK GAMMA-HAY TRAN SPOR T EQUATION

KOK P I K E C O M P T O N S C A T T E R E R S

The p l ane , one -d im ens iona l Bo l tzmann equa t ion gove r rung the t ran sp o r t

of gam m a ray s t h rough m a t t e r can be fo rm u la t ed a s

w %-; F(z , E ,* ) + it (z, E) K(z, E,w ) =

(AI)

n (z) j K(z, E>, u*) o( E ' - E . u' - i ) d fcfiK' + 'fyL )

(- a> < z < u>)

w h e r e

- ' -! - i

E(z, E,w) = an gu lar gam m a -r a y flux (V • > !i, " • s . s t e ra d )

7. = d i s t an ce a long the z -a x i s (cm)

E = g a m m a - r a y t-uer^y (MeV)

a = un it vec to r in the d i r ec t ion o f g am m a- ra y

m o v e m e n t

<* - j _ • C, wh ere _i i s a un it vec tor pa ra l le l to the z -a x i s

ii{z, E ) = t o t a l m a c r o s c o p i c c r o t s s e c t i o n w i th o ut c o h e r e n t

s c a t t e r i n g ( c m " ' )n j z ) = p o s i ti o n d i s t r i b u t i o n of e l e c t r o n d e n s i t y

( e l e c t r o n s • c n r ^ )o(lZ'- K, U' — i* ) = m i c r o s c o p i c t r a n s f e r e n c e c r o s s s e c t i o n fo r

~ ~ i n c o h e r e n t s c a t t e r i n g f r om ( E ' ( Q*) into (E, 0)

(cm*-- MeV " ' . s t e r ad " ' pe r e l ec t ro n )q (z, E ) = pos i t i on and ene rgy d i s t r i b u t io n of i so t ro p ic a l ly

r a d i a t i n g s o u r c e (V - c m ' ^ • MeV"' • s " ' )

The doub le i n t eg ra l on the r i gh t -hand s ide o f t he fo rmu la i s ex t ended

o v e r a ll p r e v i o u s e n e r g i e s an d d i r e c t i o n s .

We now sup pose t ha t t he ga m m a- ra y in t e r ac t ion s a r e conf ined to t he

p r o c e s s of i n c o h e r e n t s c a t t e r i n g , t he m a c r o s c o p i c c r o s s s e c t i o n t»(z, E )

be ing taken as

K The tran s fere nce cr o s s s ec t ion for incoherent s ca t ter ing i s d er ivab le

from Compton's and Klein -Nish in a 's form ulas , cf. r e fe re nc e 1 .



- 32 -

» { « . £ ) = n e ( z ) t,JE) . <A2)

w h e r e

o { £) = . o ( E - E \ w - ^ M ^ ' d r " . * < A3)

i s t h e i n c o h e r e n t - s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n ( c m " p e r e l e c t r o n ) fo r a f r e e

e l ec t r on . This im pl ie s tha t the m a te r ia l in the in te rv a l - o> { z ( oo i s

re ga rd ed r .s a c loud of e l ec t ro ns wh ose den s i ty v a r i e s acco rd i ng to n (z ) .

I t i s conven ien t t o re p l ac e t he d i s t an ce z bv the nu m be r of e l e c t r on s pe r2

c m , C» in a co lum n of the heig ht z , i . e . we d ef in e

z

C = n e (z ' )d z ' . (A4)

o

W i th t h i s n ew p o s i t io n v a r i a b l e th e t r a n s p o r t e q u a t io n r e a d s

- ^ - F (C . E . - ) t ce<E) F(C, E.u) =

tA5)

i Fil,E',»>)°(E' - E . & '- 6 ) d C ' d E ' -*• 3 i^£_Ei ( - æ < C < oo)

w he re Q(C . E) . t he so u r ce dens i ty pe r e l ec t ro n , i s g iven by

Q (C .E ) - ffiffi . (A6)



. 33 -

APPENDIX I I

T H E EX P A NS IO N C O E F F I C I E N T S IN T H E D O U B L E - P .i

REPRESENTATION OF THE ANG ULAR CH ANN EL FLUX

I n s e c t i o n 4 . 1 e q u a t i o n s ( I I } w e c o n s i d e r e d th e d o u b i e - P , r e p r e s e n t a t i o n

of the angular ch an n el flux e( z, E,%»):

, ( z . E.*») « « *( z. £ . . . ) + jiz.E.m) . (A7)

and j

• ? { z . E . t » ) * ( 21 +1 ) e * ( z , E ) P . C 2 . + I ) . ( A8 )l«o

P , be ing the Le ge nd re po lyno m ia l uf t he o r de r i . The expans ion coe f f i c i en t s

* .* (z , E) a r e g iven by '

+

»j (z . E) = j 9 (z . E .* ) P.(2 • + ! ) d *

• I - o

(Ia

0 , 1 ; s : J and = I ) .

o - !

(Ay)

and i t i s th e ob jec t ive of th i s appe ndix to d is c u ss the . eva lua t ion of the r i» ,rht-

hand s ide of (A 9). In do ing so , w e fi rs t p ar ti t i o n #" (z, E.w ) in*;.- :n un-

c o l l i d e d a n d a s c a t t e r e d p a r t :

9 ( i , E , n ) * f u ( z , E . - ) + » " ( I . E . - ) (A in )

a n d m a k e a s i m i l a r p a r t i t i o n i n g of t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s ;

«- • •

t j (z . E) * f j " u (z . E ) + ^ m (z . E) (A! ?}

• +

f" ( z , E) are c lo se l y re la ted to the expan s ion coef f ic ien t s + ' ( z , K ) forthe angu lar ener gy flux (L e , ene rgy x angular f lux) d i sc us se d in I ) and

ava i lab le in the GAMMABANK da ta- f i l e s ys te m (> . denotes the wavelength

in Com pton un its , that is X. » 0 . 5 1 1 / E L In / a c t , • ". r e s u l t s f r om a

"chann el integ rat ion ", l ike that in equat ion (10) , of + . (z , k) .



- 34 -

+ +t~ g ( z . E ) = j * ~ ( z . V j / E ' d E ' . (A l 2)

1(E)

H e r e , t he i n t eg ra t ion range 1(E) is the channel interval corresponding

to E ( see s ec t ion 4 . 1 ) , and V' = 0 . 51 l / E ' . The num eric al integrat ion

technique app l i ed in evaluating (A1 2) is the sa m e a s u sed in the p rog ram

G F X 1 } .

Next we t u r n to di sc us s the "unco llided" part of (A? I) , viz .

+

?• (z .E ) = | 9 ( z , E , » ) P ( 2 « - 1 ) d « . (A13)1, u j u l

As th e " s k y s h i n e " d o e s not include uncol l ided g a m m a r a y s , w e h a v e

f" u ( z . E ) = 0 , (A14)

and we need on ly consider the plus term

1

^ u ( z , E ) = J f * ( z , E 1 # ) P 1 ( 2 « . | ) d « . ( A 1 5 )

o

qp (z, E,w) = t (z, E,w) is the ang ula r chann el flux of unc ollided ga m m a

ra ys ; it is e xp re ss ib le as the following channe l inte gr al (cf . equation (4)

in s ec t ion 3 .1 ) :

? u ( z .E , w) = J^u^z,*) b{E< - EjdE' ,

(A! 6)KE) i

o r

• ( z . E , « ) = u ( z , w ) . (A 1 7)u

U1

E . € I ( E )

As ind icated , the summ at ion i s r es tr ic te d to sou rce l ine e ne rg ie s

belonging to the channel interval 1(E); from (A15) we get

t [ f U ( z , E ) » £ J U jtz.tOP j^n- 1)d« (A18)

E ^ K E ) o



- J3 -

Now , for z * 0 and w ) 0 we ha ve '

Uj(z.») * 4 „ y ( g ) e x p ( j — 2) . (A I9)

G i

q . i s the so u rc e s t re n gt h of l ine no i (V/cm s)) ; M,.(E ) and y ,(E )1 . Cj 1 A 1

a r e t he l i ne a r a t t enu a t ion coe f f i c i e n t s (cm " ) i n t he g round and the a i r ,

r e s pe c t i ve ly , t aken a t t he l i ne ene rgy E . R es t r i c t i ng 1 to 1 = 0 and i - '

and in se r t in g P (2w - 1) = ! , P . ( 2w - 1 ) * 2 w- ?.. we final ly a r r i v e a t t he

e x p r e s s i o n s

and

f ^ u ( z . K ) = c t [2 E3{x t) - K^xfl ( A 2 I )

K^TtE)

qi

wi th t he ab b re v ia t i on s c ; -% re«-r an d x ; u , (E )z . L (x) s t an dsl 4* j* r(E7) i F A ' i n ' 'fo r the n t h- or d er exp on ent ia l in te gr a l Qefined in equa t ion (22) , s ec t io n ">. I .

The t e r m in b r ac ke t s i n (A2I ) can be equ iva l en t ly ex p r es se d a s

[ ] « exp (- xj - (1 + x.) E 2 (x x ) , (A22)

so wp sha l l on ly re qu i r e an a lg o r i t hm fo r t he E , , - func t ion .



- 36 -

T a b l e i

D en s i t i e s and com pos i t i o ns of the g roun d m a t e r i a l s cons ide rs« : ::. t r, .s W-TR

P e r c e n t a b u n d a n c e

G r a n i t e Soi l

3 Ip = 2 . 67 g / c m ! p = 1 . 6 g /

N a 9 0

H . , 0

('(^

7 0 . 1 8

0 . 3 9

1 4 . 4 7

!. 57

J . 7 8

0. 1 2

0 . 8 8

1 .99

3 . 4 8

4 . 1 1

0 . 8 4

0 . 1 9

61. =>

1 3 . 5

4 . =>

i 0 . 0



a

Tabi«? 2

23 .P r i n c i p a l c h a r a c t » » r is t a c s o f t h e " T h d e c i v c h a i n

Isotope

2 3 2 ,"Th

228R a

228A c

228 T h

224Ra

Radiat ion

«

§

8 . T

« . t

Half-

1.39 x

life

I 01 O

v

i

164%

2 1 2 -P oi

2 2 0R n

!2j

6P o

2]»Fb

2 1 2 B i

136%

2 0 8 T i

2 0 8 p b

1

P . T

• K64%)

« (36%)

•

8.T

s t a b l e

5 5 . 3 s J

0 . 1 5 s |

1 0 . 6 4 h

6 0 . 6 m

i

!

3 x 10*7 s

3.1 m



- 38 -

Table 3

Principal charac teristics of the U decay chain

Isotope

O T A

1 Th

2P a

2

(

3 4u

2 3 0T h

2 2 6 _

i Ra

22 2Rn

2(

, 8P o

2 | 4 P b

2|

4B i

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- 40 -

Tab le 6

Expan sion coe ff ic ients 9 (z, E) , *. (z , E) , » (z, E), and t " ( z . E ) in

c m ' • s~ to be use d with the equa tions (11 ) fo r ca lcu la t io n of the ene rgyand angular distribution of the n a t u r a l g a m m a - r a y f l u x a b o v e a g r o u n d

(granite) wi th known abund ances of t ho r ium , u ra n iu m , and po ta ss ium . The

expans ion coeff ic ien ts a r e g iven in 0 . 05 - MeV wide ene rg y i n te rv a ls fo r3

alt i tudes z of between 0 and 200 ni in ai r having a de ns ity of 0.00 1 293 g / c m ' .



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Numerical Evaluation of the Natural Gamma Radiation Field at Aerial Survey Heights - Løvborg,...

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