Numeri figurati

Numeritriangolari

fine

Abbiamo delle monete ...

e le disponiamo in modo da formare dei triangoli ...

Il numero di monete disposte in modo opportuno a formare un triangolo rappresenta un

fine

Quantemonete?

Costruiamo i numeri triangolari

1

fine

Costruiamo i numeri triangolari

Il primo numero triangolare che indichiamo con T1

… proseguiamoproseguiamo ...

= 1

Quantemonete? 1

fine

Costruiamo i numeri triangolari

T1 = 1

1

T1

Quantemonete?

fine

Costruiamo i numeri triangolari

T1 = 1

1

T1

Quantemonete?

fine

Costruiamo i numeri triangolari

T1 = 1

1+1

T1

Quantemonete?

fine

Costruiamo i numeri triangolari

1+1

T1 = 1

T1

Quantemonete?

fine

Costruiamo i numeri triangolari

1+2

T1 = 1

T1

Quantemonete?

fine

Quantemonete?

Costruiamo i numeri triangolari

… proseguiamoproseguiamo ...

1+2

Il secondo numero triangolare che indichiamo con

T2 = 3T1 = 1

T2 è uguale alla somma dei primi due numeri naturali

T1

fine

Quantemonete?

Costruiamo i numeri triangolari

1+2

T2 = 3T1 = 1

T1 T2

Partiamo da T2 che

abbiamo già costruito

fine

Quantemonete?

Costruiamo i numeri triangolari

1+2+1

T2 = 3T1 = 1

T1 T2

fine

Quantemonete?

Costruiamo i numeri triangolari

1+2+2

T2 = 3T1 = 1

T1 T2

fine

Quantemonete?

Costruiamo i numeri triangolari

1+2+3

T2 = 3T1 = 1

T1 T2

fine

Quantemonete?

Costruiamo i numeri triangolari

1+2+3

T2 = 3T1 = 1

T1 T2

fine

Quantemonete?

Costruiamo i numeri triangolari

Il terzo numero triangolare che indichiamo con T3 = 6

1+2+3

T2 = 3T1 = 1

… proseguiamoproseguiamo ...T3 è uguale alla somma dei primi tre numeri naturali

T1 T2

fine

Quantemonete?

Quanto vale T4?

T3

T2

T1

T3 = 6T2 = 3T1 = 1

T1 T2 T3

Partiamo da T3 che

abbiamo già costruito

fine

Quantemonete?

T3

T2

T1

T3 = 6T2 = 3T1 = 1

1+2+3

T1 T2 T3

Partiamo da T3 che

abbiamo già costruito

Quanto vale T4?fine

Quantemonete?

T3

T2

T1

T3 = 6T2 = 3T1 = 1

1+2+3+1

T1 T2 T3

fine

Quanto vale T4?

Quantemonete?

T3

T2

T1

T3 = 6T2 = 3T1 = 1

1+2+3+2

T1 T2 T3

fine

Quanto vale T4?

Quantemonete?

T3

T2

T1

T3 = 6T2 = 3T1 = 1

1+2+3+3

T1 T2 T3

fine

Quanto vale T4?

Quantemonete?

Quanto vale T4?

T3

T2

T1

T3 = 6T2 = 3T1 = 1

1+2+3+4

T1 T2 T3

fine

Quantemonete?

Quanto vale T4?

T3

T2

T1

T4 = 10

T3 = 6T2 = 3T1 = 1

1+2+3+4

T4 è uguale alla somma dei primi quattro numeri naturali

T1 T2 T3

Abbiamo aggiunto 4

monete per costruire T4

partendo da T3

fine

Riassumendo ...

T2T1

1 3 6 10

T3 T4

… e poi?

fine

Riassumendo ...

T2T1

1 3 6 10

T3 T4 T5

?

… e poi?

fine

Riassumendo ...

T2T1

1 3 6 10

T3 T4 T5

?

T10

?

… e poi?

fine

Riassumendo ...

T2T1

1 3 6 10

T3 T4 T5

?

T10

?

T17

?

… e poi?

fine

Riassumendo ...

T2T1

1 3 6 10

T3 T4 T5

?

T10

?

T17

?

… e poi?

In generale, quanto vale TM?

fine

Quantemonete?

In generale, quanto vale TM?

Per avere TM, si deve costruire un triangolo avente M monete come base e M monete in altezza

TM = ?

Mmonete

M monete

fine

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza

Prima strategia Seconda strategia

fine

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza

T5 = 15

5monete

5 monete

Proviamo a spostare le

monete

fine

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

T5 = 15

5monete

5 monete

Proviamo a spostare le

monete

fine

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

T5 = 15

5monete

5 monete

Proviamo a spostare le

monete

fine

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

T5 = 15

5monete

5 monete

Proviamo a spostare le

monete

fine

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

Il numero di monete è uguale a 5*3, cioè a 5*(6:2), allora

T5= 5*(6:2)

possiamo anche scrivere

T5= 5*[(5+1):2] oppure

T5= 5*(5+1):2

fine

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

fine

Seconda strategia

Il numero di monete è uguale a 5*3, cioè a 5*(6:2), allora

T5= 5*(6:2)

possiamo anche scrivere

T5= 5*[(5+1):2] oppure

T5= 5*(5+1):2 congettura

T5 = 15

Proviamo a disporre

altrettante monete

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

5monete

5 monete

Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza

fine

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

T5 = 15

5monete

5 monete

fine

Proviamo a disporre

altrettante monete

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

T5 = 15

5monete

5 monete

fine

Proviamo a disporre

altrettante monete

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

Ci sono 5*6 monete, ma per T5 ne abbiamo bisogno della metà, cioè

T5= (5*6):2

possiamo anche scrivere

T5= [5*(5+1)]:2 oppure

T5= 5*(5+1):2

fine

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

Ci sono 5*6 monete, ma per T5 ne abbiamo bisogno della metà, cioè

T5= (5*6):2

possiamo anche scrivere

T5= [5*(5+1)]:2 oppure

T5= 5*(5+1):2 congettura

fine

Prima strategia

Quantemonete?

In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.

Congettura:

per ogni M > 1, il numero triangolare TM vale:

TM= M*(M+1):2

Prima strategia Seconda strategia

fine

Congettura: per ogni M > 1, il numero triangolare TM vale:

TM= M*(M+1):2

Abbiamo una bella congettura.Se fossimo sicuri che è valida, potremmo

affermare (senza costruire) che T17= 17*(17+1):2=17*18:2=153

cioè che il 17-esimo numero triangolare è costruito con 153 monete.

Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?

fine

Peano ci aiuta con ilPrincipio (o Metodo) di Induzione

Matematica(Assioma dell’Induzione)

Il metodo si compone di due passi:1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1)2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1

L’assioma afferma che:Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).

fine

Applico nel nostro caso ilPrincipio (o Metodo) di Induzione

MatematicaPasso 1

1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (il primo numero triangolare):- per costruzione sappiamo che T1 = 1- con la formula: T1 = 1* (1+1) : 2 = 1.

fine

Applico nel nostro caso ilPrincipio (o Metodo) di Induzione

MatematicaPasso 1

1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (il primo numero triangolare):- per costruzione sappiamo che T1 = 1- con la formula: T1 = 1* (1+1) : 2 = 1. OK

fine

Procedo con il passo 2

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è

Tm = m (m + 1) : 2

allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare èTm+1 = (m + 1) [(m + 1) +1] : 2

cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

m(m+1):2 monete

mmonete

m monete

Abbiamo Tm

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Abbiamo Tm

Costruiamo Tm+1

m(m+1):2 monete

mmonete

m monete

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Abbiamo Tm

Costruiamo Tm+1 aggiungendo m+1 monete

monete

m+1 monete

m+1

m(m+1):2 monete

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Abbiamo Tm

Costruiamo Tm+1 aggiungendo m+1 monete.

Quant'è Tm+1? Quante monete?

monete

m+1 monete

m+1

m(m+1):2 monete

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Allora di ha:

m(m + 1) : 2 + (m + 1) =

monete

m+1 monete

m+1

m(m+1):2 monete

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Allora di ha:

m(m + 1) : 2 + (m + 1) =

[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =

monete

m+1 monete

m+1

m(m+1):2 monete

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Allora di ha:

m(m + 1) : 2 + (m + 1) =

[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =

[m2 + m + 2m + 2] : 2 =

monete

m+1 monete

m+1

m(m+1):2 monete

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Allora di ha:

m(m + 1) : 2 + (m + 1) =

[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =

[m2 + m + 2m + 2] : 2 =

[m2 + 3m + 2] : 2 =

monete

m+1 monete

m+1

m(m+1):2 monete

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Allora di ha:

m(m + 1) : 2 + (m + 1) =

[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =

[m2 + m + 2m + 2] : 2 =

[m2 + 3m + 2] : 2 =

(m + 1)(m + 2) : 2 =

monete

m+1 monete

m+1

m(m+1):2 monete

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Allora di ha:

m(m + 1) : 2 + (m + 1) =

[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =

[m2 + m + 2m + 2] : 2 =

[m2 + 3m + 2] : 2 =

(m + 1)(m + 2) : 2 =

(m + 1)[(m + 1) +1] : 2 monete

m+1 monete

m+1

m(m+1):2 monete

fine

2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Allora di ha:

m(m + 1) : 2 + (m + 1) =

[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =

[m2 + m + 2m + 2] : 2 =

[m2 + 3m + 2] : 2 =

(m + 1)(m + 2) : 2 =

(m + 1)[(m + 1) +1] : 2 monete

m+1 monete

m+1

m(m+1):2 monete

Fatto!La proprietà

vale per ogni M !!!

fine

Abbiamo trovato e dimostrato una formula

per calcolare l’M-esimo

TM= M*(M+1) 2

Abbiamo usato strategie di tipo figurale

cioè basate su aspetti percettivi.

Abbiamo trovato e dimostrato una formula

per calcolare l’M-esimo

TM= M*(M+1) 2

Avremmo potuto usare anche una strategia aritmetica

come C. F. Gaussuno dei maggiori matematici di

tutti i tempi

Gauss frequentava la scuola elementare.Si racconta che un giorno il suo precettore assegnò il compito di calcolare la somma dei primi 100 numeri naturali.Gauss scrisse subito sulla lavagnetta il numero:

5050

Come lo aveva calcolato?

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

1 + 2 + 3 + ……………..+ 98 + 99 + 100

101

101

101

.

.

.

.

50 addendi

1 + 2 + 3 + ……………..+ 98 + 99 + 100

101

101

101

.

.

.

.

50 x 101 = 5050

Gauss frequentava la scuola elementare.Si racconta che un giorno il suo precettore assegnò il compito di calcolare la somma dei primi 100 numeri naturali.Gauss scrisse subito sulla lavagnetta il numero:

5050

Come lo aveva calcolato?

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

50 x 101 = 5050

Numeri figurati

fine

Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.

Numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..

Numeri figurati

fine

Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.

Numeri quadrati: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …..

Numeri figurati

fine

Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.

Numeri pentagonali 1, 5, 12, …..

Numeri figurati

fine

Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.

Numeri pentagonali 1, 5, 12, …..

E così via