NUMERI COMPLESSI E DINTORNI. NUMERI REALI Linsieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle...
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NUMERI COMPLESSI
E DINTORNI
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NUMERI REALI
• L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, : Questo significa che la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente di 2 numeri reali è un numero reale.Non vale il viceversa!
2
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NUMERI COMPLESSI
• Sia , x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo.
• Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:
3
1xx
12 i
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NUMERI COMPLESSI
• Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo:
• L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.
4
biaz
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NUMERI COMPLESSI• Siano dati due numeri complessi
• SOMMA:
• DIFFERENZA:
• PRODOTTO:
5
biaz dicv
idbcaidcibavz )()()()(
idbcaidcibavz )()()()(
icbdadbca
idbicbidacaidcibavz
)()(
)()( 2
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NUMERI COMPLESSI
Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero:
• Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):
6
dicv v
v
vdcdicdicvv 22)()(
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NUMERI COMPLESSI• QUOZIENTE:
7
iv
dacb
v
dbca
idc
dacb
dc
dbca
idc
idc
idc
ibaidcibavz
2222
)()(
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COORDINATE POLARI• P ha coordinate cartesiane (1, 1)
Le coordinate polari di P sono:
Nell’esempio:
8
O
P
1P
2P
x 1Px
1Py
4
2
y
)4
,2(,
OP POxasse ˆ
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COORDINATE POLARI
• Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:
• si osservi che:
9
cosx siny
22 yx
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COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
• Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria.
10
O
P
1P
2P
x axP
y
byP
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COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
• Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:
11
)sin(cossincos iiibaz
O
P
1P
2P
x axP
y
byP
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RICORDI DI TRIGONOMETRIA
• Formule di somma e sottrazione:
sincoscossinsin
sincoscossinsin
sinsincoscoscos
sinsincoscoscos
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COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
• Dato il numero complesso z:
e il numero complesso v :
Il prodotto tra z e v è:
13
)sin(cossincos iiibaz
)sin(cossincos iiidcv
)sin()cos(
sincoscossinsinsincoscos
)sin(cos)sin(cos
i
i
iivz
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COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
• In particolare se z=v si ottiene:
e in generale:
Sono util le Formule di De Moivre:
14
2sin2cos22 iz
ninz nn sincos
tite
titeti
ti
sincos
sincos