Numeri cko prou cavanje kvantnih gasova na niskim ......Uvod Rotiraju ci kondenzat Interakcije...
Transcript of Numeri cko prou cavanje kvantnih gasova na niskim ......Uvod Rotiraju ci kondenzat Interakcije...
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Numeričko proučavanje kvantnih gasovana niskim temperaturama∗
Ivana Vidanović
Laboratorija za primenu računara u nauciInstitut za fiziku Beograd
∗Finansijska podrška: Ministarstvo za prosvetu i nauku
(ON171017, NAD-BEC) i DAAD - German Academic and
Exchange Service (NAD-BEC)
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Sadržaj
Uvod
Boze-Ajnštajn kondenzacijaHladni kvantni gasovi
Termodinamika idealnog rotirajućeg Boze-Ajnštajn kondenzata
MotivacijaMetod - egzaktna dijagonalizacija evolucionog operatoraGlavni rezultati
Opis slabo interagujućeg Boze-Ajnštajn kondenzata
Aproksimacija srednjeg polja (Gros-Pitaevski jednačina)
Nelinearna dinamika Boze-Ajnštajn kondenzata
Kolektivne mode Boze-Ajnštajn kondenzataEksitacija moda modulacijom interakcijeNelinearni dinamički režim
Zaključak
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Kvantna statistika
Osnove kvantne mehanike:Talasno-čestična priroda materije (Šredingerova jednačina)Nerazličivost čestica - bozoni/fermioni
λdB =√
2π~2β/Mβ = 1/kBTn - gustina čestica
Kvantna statistika dolazi do izražaja ako važi: λdB ∼ n−1/3
Fermi-Dirak raspodela n̄(E) = 1eβ(E−µ)+1
za fermione
Boze-Ajnštajn raspodela n̄(E) = 1eβ(E−µ)−1 za bozone
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Boze-Ajnštajn kondenzacija (1)
Boze-Ajnštajn raspodela jeuvedena 1924. radikompletnog objašnjenjaPlankovog zakona zračenjacrnog tela
U velikom ansamblu N = N0 +∞∑n=1
1eβ(En−µ) − 1︸ ︷︷ ︸
termalni atomiT ↘⇒ µ↗, ali µ ≤ E0Kada T → 0, broj termalnih atoma dostiže zasićenje idolazi do makroskopske naseljenosti osnovnog stanja -Boze-Ajnštajn kondenzacija
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Boze-Ajnštajn kondenzacija (2)
V (~r) =1
2M(ω2xx
2 + ω2yy2 + ω2zz
2)
E~n = ~»„nx +
1
2
«ωx +
„ny +
1
2
«ωy +
„nz +
1
2
«ωz
–Nth =
∞Xn=1
1
eβ(En−E0) − 1
Iz uslova Nth = N odredujemo temperaturu kondenzacije:
kBT0c =
~ω̄ζ
1/33
N1/3, ω̄ = (ωxωyωz)1/3
Za T < T 0c , pojavljuje se makroskopska naseljenost osnovnog stanja:
N0N
= 1−„T
T 0c
«3Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Boze-Ajnštajn kondenzacija (3)
Razlikovanje kondenzovane inormalne faze:
ravnotežni profil gustinaekspanzija gasa pooslobadanju iz zamke
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
evap2.movMedia File (video/quicktime)
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Eksperimentalna realizacija
Direktna eksperimentalna potvrda Boze-Ajnštajn kondenzacijeje ostvarena tek 1995. god. Za rezultat je dodeljena Nobelovanagrada za fiziku 2001 (Kornel, Viman & Keterle).
Atomi alkalnih metalaRb, Na, Li, K . . .T ∼ 1 nK, ρ ∼ 1014 cm−3(λdB ∼ n−1/3)Konfinirajući potencijal(odgovarajuće magnetno ilielektrično polje)V (~r) = 12Mω
2(ρ2 + λ2z2)
Lasersko hladenje, hladenje isparavanjemTehnike za karakterizaciju sistema
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Današnji eksperimenti
Hladni bozonski atomi, hladni fermionski atomi, hladnimolekuliRazličiti spoljašnji potencijali: harmonijske zamke, optičkerešetke (periodični potencijali)Kratkodometna interakcija, dugodometna dipolarnainterakcijaVeoma kontrolabilni kvantni sistemi - moguće je podešavatigustinu čestica, dimenzionalnost, jačinu interakcijaMotivacija: proučavanje jako korelisanih faza materijeGlavni rezultati: direktno posmatranje superfluid - Motizolator prelaza (Habard model), BEC-BCS prelaz, ...
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
U ovoj tezi ...
... razmatrana su dva specifična fizička režima ostvarenakorǐsćenjem hladnih bozonskih atoma:
Termodinamičke karakteristike rotirajućeg idealnogbozonskog gasa[Phys. Lett. A 374, 1539 (2010)]
Nelinearna dinamika Boze-Ajnštajn kondenzata izazvanaperiodičnom promenom jačine meduatomske interakcije[Phys. Rev. A 84, 013618 (2011)]
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Motivacija (1)
Rotacija je jedan od načina da u sistem neutralnih atomaunesemo efektivno magnetno polje
Ĥrot = Ĥ − ~Ω · ~̂L
=1
2M(p̂2x + p̂
2y + p̂
2z) +
1
2Mω2(x̂2 + ŷ2 + λ2z ẑ
2)− Ω~ez · (~̂r × ~̂p)
=1
2M(p̂x +MΩŷ)
2 +1
2M(p̂y −MΩx̂)2
+1
2M(ω2 − Ω2)(x̂2 + ŷ2) + 1
2Mp̂2z +
1
2Mλ2zω
2ẑ2
Za brzu rotaciju, Ω→ ω, ~B ≡ 2M~ΩMedutim, u zanimljivom graničnom slučaju, atomi vǐsenisu zarobljeni
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Motivacija (2)
Uvodenje dodatnog kvartičnog potencijala
VBEC =M
2(ω2 − Ω2)(x2 + y2) + M
2ω2zz
2 +κ
4(x2 + y2)2
Eksperiment:Phys. Rev. Lett. 92, 050403 (2004)
Oblik potencijala zavisi odη = Ω/ω i κ
-1
0
1
2
3
4
5
6
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
ρ
η = 0η = 1η = 1.04
Kako promena spoljašnjeg konfinirajućeg potencijala utičena svojstva neinteragujućeg Boze-Ajnštajn kondenzata?
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Metod (1)
Odredivanje kondenzacione temperature:
N =∞∑n=1
1eβc(En−E0) − 1
Za egzaktan numerički odgovor, potrebno nam jepoznavanje čitavog energetskog spektraU tu svrhu smo razvili efikasan numerički metod -egzaktnu dijagonalizacija prostorno diskretizovanogevolucionog operatora[Phys. Rev. E 80, 066705 (2009), Phys. Rev. E 80, 066706 (2009)]
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Metod (2)
Šredingerova jednačina
Ĥ|ψ〉 = E|ψ〉 ⇐⇒ e−tĤ |ψ〉 = e−tE |ψ〉
Diskretizovan oblikNcut−1∑
m=−Ncut
Hnm〈m∆|ψ〉 = E(∆, L) 〈n∆|ψ〉
Ncut−1∑m=−Ncut
Anm(t) 〈m∆|ψ〉 = e−t E(∆,L,t) 〈n∆|ψ〉
Metod se oslanja na analitičke rezultate za amplitude prelaza zakratka vremena propagacije [Phys. Rev. Lett. 94, 180403 (2005)]
Diskretizaciona greška exp(−2π2t/∆2) pokazuje optimalnijeponašanje od standardne polinomijalne diskretizacione greške
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Metod (3)
Odstupanje numeričkevrednosti energije os-novnog stanja od egza-ktnog rezultata, zaanharmonijski potencijalV (x) = k2
2x2 + k4
24x4, u
funkciji diskretizacionogkoraka ∆. Korǐsćene vred-nosti parametara L = 6,k2 = 1, k4 = 48. 10-25
10-20
10-15
10-10
10-5
1
105
1010
1015
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
| E0(
∆, L
, t)
- E
0 |
∆
Ht = 0.005t = 0.01t = 0.02t = 0.03t = 0.04
10-4 10-3 10-2 10-1
0.3 0.2 0.1
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Fazni dijagram
Udeo kondenzovanih atoma N0/N u zavisnosti od temperature T zanerotirajući (η = 0) i rotirajući kondenzat (η = 1)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100 120 140
N0
/ N
T [nK]
η=0, N=1·104
η=1, N=5·104
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Temperatura kondenzacije
Temperatura kondenzacije u funkciji frekvencije rotacije zakondenzate od N = 3 · 105 i N = 1 · 104 atoma 87Rb,sa kvartičnim anharmonicitetom zamke κ = κBEC.
40
50
60
70
80
90
100
110
120
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tc
[nK
]
η
κBEC, N=3·105
SC
10 15 20 25 30 35 40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
κBEC, N=1·104
SC
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Raspodela atoma
Ravnotežna raspodela atoma za ne-rotirajući (η = 0), kritičnorotirajući (η = 1), i nadkritično rotirajući (η = 1.04) kondenzatsačinjen od N = 3 · 105 atoma 87Rb na temperaturi T = 30 nK
0 2·104 4·104 6·104 8·104 10·104
-4-2
0 2
4x -4
-2 0
2 4
y
0
4·104 4·104 6·104 8·104
10·104
n(x, y)
0
4·104
8·104
12·104
-8-4
0 4
8x -8
-4 0
4 8
y
0
4·104
8·104
12·104
n(x, y)
0
2500
5000
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Ekspanzija atomskog gasa
Širenje atomskog gasa po oslobadanju iz potencijalne zamke - slučajnadkritične rotacije η = 1.04
0
2500
5000TOF = 0 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
0
2500
5000TOF = 8 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
0
2500
5000TOF = 16 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
0
2500
5000TOF = 24 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
0
2500
5000TOF = 40 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
0
2500
5000TOF = 60 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Tip interakcijaTeorija srednjeg polja
Interakcije u kondenzatu
Kratkodometne van der Valsove interakcije atomaU sistemima retkih, hladnih gasova moguće je opisatiinterakciju jednim parametrom - dužinom rasejanja a(s-wave scattering length)
Vint(~r, ~r ′) = g × δ(~r − ~r ′), g = 4π~2a/M
Hamiltonijan sistema
Ĥ =
Zd~r
„−ψ̂†(~r) ~
2
2M∇2ψ̂(~r) + V (~r)ψ̂†(~r)ψ̂(~r) + g
2ψ̂†(~r)ψ̂†(~r)ψ̂(~r)ψ̂(~r)
«Tipičan broj atoma u eksperimentu N ∼ 104 − 106
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Tip interakcijaTeorija srednjeg polja
Teorija srednjeg polja
U neinteragujućem bozonskom sistemu, u kondenzovanojfazi, svi atomi su u istom stanjuOčekujemo da slabe interakcije ne menjaju sliku suštinskiUvodimo talasnu funkciju kondenzata 〈ψ̂(~r, t)〉 = ψ(~r, t)Za niske temperature i slabe interakcije, ψ(~r, t) je opisanaGros-Pitaevski jednačinom
i~∂ψ(~r, t)∂t
=[− ~
2
2M∆ + V (~r) + g|ψ(~r, t))|2
]ψ(~r, t)
V (~r) = 12Mω2(ρ2 + λ2z2) - harmonijski potencijal
g = 4π~2Na/M , N - broj atoma u kondenzatu
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Ekscitacije kondenzata (1)
Ekscitacije karakterǐsu fazu materije na veoma precizannačinBogoljubov je 1947. izveo ekscitacioni spektar homogenogsuperfluida - kolektivna fononska modaKolektivne ekscitacije hladnog atomskog oblaka:dipolna moda, dǐsuća moda, kvadrupolne mode
kvadrupolna kvadrupolna dǐsuća
moda (1) moda (2) moda
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Ekscitacije kondenzata (2)
Standardni eksperimentalni način pobudivanja kolektivnihmoda je modulacijom spoljašnje zamke
Rezultat preuzet iz rada [Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999)]Frekvencije kolektivnih moda se mere sa tačnošću od 1%Teorijski, kolektivne mode se računaju polazeći odvremenski zavisne Gros-Pitaevski jednačineDobro slaganje eksperimenta i teorije u linearnom režimu
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Modulacija interakcije (1)
Novi način pobudivanja kolektivnih moda je demonstriranu nedavnom eksperimentalnom radu [Phys. Rev. A 81, 053627(2010)]
Razmatran je kondenzat 7Li uaksijalnoj zamci
Postignuta je vremenski zavisnamodulacija interakcijekorǐsćenjem Fešbah rezonance
Ekscitovane su kolektivne mode,ali u nelinearnom dinamičkomrežimu
300 µm
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Modulacija interakcije (2)
Dužina rasejanja atoma zavisi od spoljašnjeg magentnogpolja - Fešbah rezonanca
[Phys. Rev. Lett. 102, 090402 (2009)]
7Li : a(B) = aBG
„1 +
∆BB −B∞
«aBG = −24.5 a0, B∞ = 73.68 mT,∆B = 19.2 mT 55.0 60.0 65.0 70.010
-2
100
102
104
106
Magnetic Field (mT)
Sca
tterin
g Le
ngth
(a 0
)
54.0 54.2 54.4 54.6 54.8 55.0
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Modulacija dužine rasejanja magnetnim poljem
B(t) = Bav + δB cos Ωt, a(t) ' aav + δa cos Ωt
aav = a(Bav), δa = −aBG∆BδB
(Bav −B∞)2
Bav = 56.5 mT, δB = 1.4 mT, aav ∼ 3a0, δa ∼ 2a0Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Gausovska aproksimacija (1)
U cilju pojednostavljivanja računa i dobijanja analitičkoguvida u problem, aproksimiramo gustinu atoma gausijanomZa aksijalno simetričnu dinamku
ψG(ρ, z, t) = N (t) exp»−1
2
ρ2
uρ(t)2+ iρ2φρ(t)
–exp
»−1
2
z2
uz(t)2+ iz2φz(t)
–Varijacioni pristup - ekstremizacijom odgovarajućeg dejstvadolazimo do sistema običnih diferencijalnih jednačina kojeaproksimairaju Gros-Pitaevski jednačinu[Phys. Rev. Lett. 77, 5320 (1996)]
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Gausovska aproksimacija (2)
U bezdimenzionalnom obliku
üρ(t) + uρ(t)−1
uρ(t)3− p(t)u3ρ(t)uz(t)
= 0
üz(t) + λ2uz(t)−
1
uz(t)3− p(t)u2ρ(t)u2z(t)
= 0
p(t) =q
2πN a(t)
`H0⇒ p(t) = p+ q cos(Ωt)
15
20
25
30
35
0 200 400 600 800 1000 1200
Axi
al c
onde
nsat
e w
idth
t
variationalGP numerics
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
0 50 100 150 200 250
Rad
ial c
onde
nsat
e w
idth
t
variationalGP numerics
1
1.1
1.2
220 225 230 235 240
Eksperimentalni parametri: λz = 0.021, p = 15, q = 10, Ω = 0.05
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Linearni dinamički režim
Glavni rezultat dobijen Gausovskom aproksimacijom jeanalitički izraz za osnovne ekscitacije kondenzataPrimer - sferno-simetrični kondenzat
ü(t) + u(t)− 1u(t)3
− pu4(t)
= 0
Ravnotežna širinau0 =
1
u30+
p
u40
Frekvencija dǐsuće mode
u(t) = u0 + δu(t)⇒ δü+ ω20δu = 0
ω0 =
s1 +
3
u40+
4p
u50
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Nelinearni režim - motivacija
Naš cilj je opisivanje kolektivnih moda pobudenihharmonijskom modulacijom interakcije
p(t) ' p+ q cos Ωt
q - amplituda modulacije, Ω - frekvencija modulacijeOsnovna jednačina koja opisuje dinamiku je nelinearnaKada je Ω blizu neke svojstvene mode kondenzata,očekujemo rezonance - oscilacije velikih amplituda, kojepojačavaju nelinearne efekte
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Dinamika kondenzata
ü(t) + u(t)− 1u(t)3
− pu(t)4
− qu(t)4
cos Ωt = 0
p = 0.4, q = 0.1, u(0) = u0, u̇(0) = 0, ω0 = 2.06638 . . .
Dinamika zavisi od vrednosti Ω
1.02 1.04 1.06 1.08 1.1
1.12 1.14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
u(t)
t
= 1, analytics = 1, numerics
0.6 0.8
1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40t
= 2, analytics = 2, numerics
0 1 2 3 4 5 6
0 50 100 150 200 250 300 350 400t
= 2.04, numerics
1.07
1.08
1.09
1.1
1.11
0 5 10 15 20
u(t)
t
= 4, analytics = 4, numerics
0 0.5
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.5
0 50 100 150 200 250 300 350t
= 4.1, numerics
1.08
1.09
0 5 10 15 20t
= 5, analytics = 5, numerics
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Ekscitacioni spektri (1)
Ekscitacione spektre dobijamo iz Furijeovog transformaširine u(t), p = 0.4, q = 0.1 and Ω = 2
10-610-510-410-310-210-1100101102103
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40Frequency
= 2
10-210-1100101102
0.05 0.06 0.07 0.08Frequency
-
10-210-1100101102
1.9 2 2.1 2.2Frequency
10-410-2100102
4 4.05 4.1 4.15 4.2Frequency
2 +
2
10-310-210-1100101
6 6.05 6.1 6.15 6.2Frequency
3
2 + + 23
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Ekscitacioni spektri (2)
Frekvencija dǐsuće mode je značajno pomerena urezonantnoj oblasti
10-210-1100101
1.98 2.02 2.06 2.1Frequency
0
= 1
10-210-1100101102
1.98 2.02 2.06 2.1 2.14Frequency
0 = 2
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Analitički perturbativni pristup (1)
U linearnom režimu, nalazimo frekvenciju oscilacija ω0 okoravnotežne širine u0:
u0 −1
u30− pu40
= 0, ω0 =
s1 +
3
u40+
4p
u50
U cilju računanja kolektivne mode do vǐsih redova po q,najpre uvodimo smenu s = ωt:
ω2 ü(s) + u(s)− 1u(s)3
− pu(s)4
− qu(s)4
cosΩs
ω= 0
Koristimo perturbativne razvoje po amplitudi q:
u(s) = u0 + q u1(s) + q2 u2(s) + q
3 u3(s) + . . .
ω = ω0 + q ω1 + q2 ω2 + q
3 ω3 + . . .
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Analitički perturbativni pristup (2)
Perturbativni razvoj nam daje hijerarhijski sistem linearnihjednačina:
ω20 ü1(s) + ω20 u1(s) =
1
u40cos
Ωs
ω
ω20 ü2(s) + ω20 u2(s) = −2ω0 ω1 ü1(s)−
4
u50u1(s) cos
Ωs
ω+ αu1(s)
2
ω20 ü3(s) + ω20 u3(s) = −2ω0 ω2 ü1(s)− 2β u1(s)3 + 2αu1(s)u2(s)− ω21 ü1(s)
+10
u60u1(s)
2 cosΩs
ω− 4u50
u2(s) cosΩs
ω− 2ω0 ω1 ü2(s)
gde je α = 10p/u60 + 6/u50, β = 10p/u70 + 5/u60.
Pomeraje frekvencije, ω1 i ω2, odredujemo iz uslovaskraćivanja sekularnih članova - Poenkare-Lindštet metod
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Analitički perturbativni pristup (3)
Objašnjenje sekularnog člana
ẍ(t) + ω2x(t) + C cosωt = 0
x(t) = A cosωt+B sinωt− C2ωt sinωt︸ ︷︷ ︸
deo linearan po t
Radi regularnog ponašanja perturbativnog razvoja,namećemo skraćivanje sekularnog člana, podešavanjemvrednosti ω1 and ω2Drugi način razumevanja sekularnih članova
u(t) = A cosωt+A1t sinωt ≈ A cosωt cos ∆ωt+A1∆ω
sin ∆ωt sinωt
u(t) ≈ A cos[(ω −∆ω)t]⇒ ∆ω = A1/AFizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Rezultati (1)
Frekvencija pobudene dǐsuće mode zavisi od ΩRezultat u drugom redu perturbativne teorije
ω = ω0 + q2P(Ω)
(Ω2 − ω20)2 (Ω2 − 4ω20)+ . . .
2
2.02
2.04
2.06
2.08
2.1
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Freq
uenc
y
0analytical numerical
1.9 1.95
2 2.05 2.1
2.15 2.2
2.25 2.3
1 2 3 4 5 6
Freq
uenc
y
0analytical numerical
p = 0.4, q = 0.1 p = 1, q = 0.8
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Rezultati (2)
Eksperimentalni parametri: p = 15, q = 10, λ = 0.021,ωQ0 = 2π × 8.2 Hz, ωB0 = 2π × 462 HzωB � ωQ, Ω ∈ (0, 3ωQ),velika amplitudamodulacijeJaka ekscitacijakvadrupolne modePrimetna ekscitacijadǐsuće modePomeraji u frekvencijikvadrupolne mode uslednelinearnih efekata od oko10%
0.03
0.032
0.034
0.036
0.038
0.04
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Freq
uenc
y Q
Q0Q, (a)Q, (n)
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Zaključak (1)
Motivisani eksperimentalnim istraživanjem rotirajućih hladnihgasova, proučavali smo kako modifikacija spoljašnjeg potencijalautiče na svojstva Boze-Ajnštajn kondenzata
Ispitivali smo osobine faznog dijagrama i našli da temperaturakondenzacije opada sa porastom rotacione frekvencije
Izračunali smo profile gustina kondenzata i termalnog oblaka narazličitim temperaturama i simulirali širenje hladnog bozonskoggasa po oslobadanju iz potencijalne zamke
Za velike ugaone brzine rotacije, identifikovali smo nestandardnidinamički režim širenja atomskog oblaka po oslobadanju iz zamke
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Zaključak (2)
Inspirisani eksperimentalnim rezultatima, proučavali smonelinearnu dinamiku Boze-Ajnštajn kondenzata izazvanuharmonijskom modulacijom interakcije
U proučavanju smo koristili analitički perturbativni metod,numeričke simulacije zasnovane na Gausovskoj aproksimaciji, kaoi numeričke simulacije Gros-Pitaevski jednačine
Predstavili smo relevantne ekscitacione spektre, identifikovalismo i objasnili nelinearne karakteristike: sprezanje moda,prisustvo vǐsih harmonika i primetne pomeraje u frekvencijamakolektivnih moda
Predstavljeni rezultati su relevantni za buduće eksperimente ukojima će biti proučavan dinamički odgovor smeše hladnih atomana harmonijsku modulaciju interakcije
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
-
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Radovi na kojima je bazirana teza
I. Vidanović, A. Balaž, H. Al-Jibbouri, and A. Pelster,Nonlinear Bose-Einstein-condensate Dynamics Induced by a HarmonicModulation of the s-wave Scattering Length,Phys. Rev. A 84, 013618 (2011)
A. Balaž, I. Vidanović, A. Bogojević, and A. Pelster,Ultra-fast converging path-integral approach for rotating idealBose-Einstein condensates,Phys. Lett. A 374, 1539 (2010)
I. Vidanović, A. Bogojević, A. Balaž, and A. Belić,Properties of Quantum Systems Via Diagonalization of TransitionAmplitudes. II. Systematic Improvements of Short-time Propagation,Phys. Rev. E 80, 066706 (2009)
I. Vidanović, A. Bogojević, and A. Belić,Properties of Quantum Systems Via Diagonalization of TransitionAmplitudes. I. Discretization Effects,Phys. Rev. E 80, 066705 (2009)
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodKvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Rotirajuci kondenzatMotivacijaMetodRezultati
Interakcije hladnih atomaTip interakcijaTeorija srednjeg polja
Nelinearna BEC dinamikaEkscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Zakljucci