Nuevo Docum Microsoft Word (5)

7/26/2019 Nuevo Docum Microsoft Word (5)

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República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para La Educación

U.E.P Profesor Antonio Jos Pi!a

"to a!o #ección $%&

'isciplina( 'ibu)o *cnico

Profesor: Alumno:

Gedis Chourio José Lugo

Ciudad Ojeda, 22 de Marzo del 201

Índice:



1! Cir"unferen"ia # los elemen$os de la "ir"unferen"ia2! %&alo # su "ons$ru""i'n(! O&oide # su "ons$ru""i'n)! *s+irales # su "ons$ru""i'n

! *li+se # la "ons$ru""i'n de una eli+se+. Par-.ola # la "ons$ru""i'n

Introducción:



*l di.ujo $é"ni"o es esen"ial +ara nues$ra &ida "o$idiana #a /ue "on él,+odemos sa.er e in$er+re$ar "osas /ue &emos en nues$ro da a da, "omo lasformas de los o.je$os en nues$ro alrededor!

*n el +resen$e $ra.ajo se e+li"ara de forma "lara # +re"isa la defini"i'n dealgunas formas Geomé$ri"as Cir"unferen"ia, %&alo, O&oides, *s+irales, *li+se #Par-.ola3, sus elemen$os # "omo se $razan o "ons$ru#en las mismas!

1. Circunferencia y los elementos de la circunferencia:

4na "ir"unferen"ia se define "omo el lugar geomé$ri"o de los +un$os del +lano

e/uidis$an$es de o$ro, llamado "en$ro de la "ir"unferen"ia!



4na "ir"unferen"ia es el "onjun$o de +un$os si$uados en el +lano $odos a la

misma dis$an"ia de un mismo +un$o "en$ral!

Los elementos que la conforman:

• Cen$ro: +un$o "en$ral /ue es$- a la misma dis$an"ia de $odos los +un$os

+er$ene"ien$es a la "ir"unferen"ia!

• 5adio: +edazo de re"$a /ue une el "en$ro "on "ual/uier +un$o +er$ene"ien$e

a la "ir"unferen"ia!

• Cuerda: +edazo de re"$a /ue une dos +un$os "ual/uiera de una

"ir"unferen"ia!

• 6i-me$ro: ma#or "uerda /ue une dos +un$os de una "ir"unferen"ia! 7a#

infini$os di-me$ros # $odos +asan +or el "en$ro de la "ir"unferen"ia!

• 5e"$a se"an$e: re"$a /ue "or$a dos +un$os "uales/uiera de una

"ir"unferen"ia!

• 5e"$a $angen$e: re"$a /ue $o"a a la "ir"unferen"ia en un solo +un$o # es

+er+endi"ular a un radio!



1. Ovalo y su construcción:

Definición:

Un óvalo es un elemento geométrico compuesto por cuatro arcos de

circunferencia enlazados. Dichos arcos son iguales dos a dos. Un óvalo tiene un

eje mayor y un eje menor que sirven para definirlo. Si los dos ejes fueran iguales

tendríamos una circunferencia

8am.ién +odra definirse "omo una "ur&a "errada # +lana "om+ues$a +or un

n9mero +ar de ar"os de "ir"unferen"ia enlazados en$re s # simé$ri"os res+e"$o

sus ejes ma#or # menor normales en$re s!

Construcción de un óvalo:

Construir un óvalo conociendo el eje mayor :

Primer método:

6ado el eje ma#or A, lo di&idimos en $res +ar$es iguales! Por susdi&isiones $razamos dos "ir"unferen"ias O1 # O2 de radio la $er"era +ar$e del eje

A, es$as se "or$an en los +un$os O( # O)!

O1, O2, O( # O) son los "en$ros de los "ua$ro ar"os /ue "om+ondr-n el'&alo! Los ar"os de "en$ro O1 # O2 $ienen "omo radio la $er"era +ar$e del ejema#or # son $angen$es a las $razadas "on "en$ro en O( # O), los +un$os de enla"e

82, 8), 81 # 8( de las "ir"unferen"ias O1 ; O2 "on O( # O) res+e"$i&amen$ees$-n donde los segmen$os uni'n de "en$ros "orres+ondien$es "or$en a las"ir"unferen"ias de "en$ros O1 # O2! *l radio de los ar"os de "en$ro O( # O) ser-+or $an$o la dis$an"ia eis$en$e en$re ellos # sus "orres+ondien$es +un$os deenla"e O(<823!



e!undo método:

6i&idimos en "ua$ro +ar$es iguales el eje ma#or dado A o.$eniendo los"en$ros O1 # O2 de dos de los ar"os en sus di&isiones in$ermedias! Con "en$ro enlos e$remos A# dados # radios AO1 # O2 $razamos dos ar"os /ue se "or$an enO( # O), "en$ros de los dos ar"os res$an$es! Los +un$os de enla"e se de$erminanuniendo los "en$ros O1 # O2 "on O( # O) # "on es$os /uedan a su &ezde$erminados los radios de los ar"os de "en$ros O( # O) O(<823!

"ercer método:

6ado A, eje ma#or, lo di&idimos en "ua$ro +ar$es o.$eniendo O1 # O2 enlas di&isiones m-s "er"anas a A # ! Con "en$ro en el +un$o medio del eje ma#or,$razamos una "ir"unferen"ia "u#o radio mida la "uar$a +ar$e de di"ho eje /ue "or$aa la media$riz de A en O( ; O) "en$ro de los ar"os simé$ri"os res+e"$o de A!Para de$erminar los +un$os de enla"e # radios de es$os dos 9l$imos ar"os, unimoslos "en$ros "orres+ondien$es "omo en ejer"i"ios +re"eden$es!

Construir un óvalo conociendo su eje menor:

Los e$remos del eje menor dado ser-n "en$ros de dos de los "ua$ro ar"osde es$e '&alo O( # O)3 # "u#o radio ser- igual al +ro+io eje menor! 8razamos una"ir"unferen"ia auiliar de di-me$ro igual al eje menor dado /ue "or$ar- a sumedia$riz en los +un$os O2 # O1, "en$ros de los dos ar"os res$an$es! Los +un$osde enla"e se "al"ulan uniendo "en$ros # "on ellos los radios de los ar"os de"en$ros O1 # O2, ar"os /ue "or$ar-n a la media$riz del eje menor en A # ,e$remos del eje ma#or!

Construir un óvalo conociendo sus dos ejes:

6ado el eje ma#or A # el menor C6, $rasladamos so.re la +rolonga"i'n delmenor, la magni$ud del semieje ma#or, o.$eniendo el +un$o *! Con "en$ro en ele$remo C, $razamos un ar"o de radio C* /ue "or$a al segmen$o CA en =! La



media$riz de =A de$ermina en su in$erse""i'n "on el eje ma#or el +un$o O1, "en$rode uno de los ar"os, su ar"o simé$ri"o $endr- su "en$ro O2 $am.ién so.re el ejema#or, a igual dis$an"ia de O # en sen$ido o+ues$o! Los radios de es$os ar"os losde$erminan las dis$an"ias a los e$remos "orres+ondien$es del eje ma#or A!

La media$riz de =A de$ermina asimismo en su in$erse""i'n so.re el ejemenor o su +rolonga"i'n el "en$ro O) # +or sime$ra "on res+e"$o al eje ma#or /ueda de$erminado O(! Los +un$os de $angen"ia # los radios de los ar"os de"en$ros O( # O) se de$erminan "omo en ejer"i"ios an$eriores!

Construir un óvalo inscrito en un rom#o dado:

*s$e $razado se em+lea asiduamen$e +ara sus$i$uir, en +ers+e"$i&aisomé$ri"a, la eli+se +or el '&alo!

6ado el rom.o AC6, $razamos desde los e$remos de la diagonal menor,re"$as normales a los lados del o+ues$os rom.o o.$eniendo 81, 82, 8( # 8),+un$os de enla"e de los ar"os de "en$ros O1 # O2, si$uados en las in$erse""ionesde las normales $razadas! C # 6 son los "en$ros de los ar"os res$an$es! Los radiosde los ar"os /uedan de$erminados +or las dis$an"ias de los "en$ros a los +un$osde enla"e "orres+ondien$es O1<813!

$. Ovoides y su construcción:

Definición:

*s una "ur&a "errada # +lana "om+ues$a +or dos ar"os de "ir"unferen"ia de

igual radio, # o$ros dos de dis$in$o radio, uno de ellos una semi"ir"unferen"ia!

8iene un eje de sime$ra /ue "on$iene a los "en$ros de los ar"os desiguales! >e

denomina di-me$ro en el o&oide al di-me$ro de la semi"ir"unferen"ia normal al eje!

Construcción de ovoides:



Cons$ruir un o&oide "ono"iendo su eje:

6ado el eje A lo di&idimos en seis +ar$es iguales siendo las +ar$es 2? # ?los "en$ros O1 # O2 de la semi"ir"unferen"ia # ar"o desigual! Con "en$ro en la 2?di&isi'n # radio 2, $razamos un ar"o /ue "or$a en O( # O), "en$ros de los ar"osiguales, a la +rolonga"i'n del di-me$ro! *l radio de la semi"ir"unferen"ia es O1<A #sus e$remos 81 # 82 +un$os de enla"e! *l radio del ar"o desigual de "en$ro O2 esO2<! Para de$erminar los +un$os de enla"e 8) # 8( unimos O) # O( "on O2"or$ando en su +rolonga"i'n al ar"o $razado "on "en$ro en O2! Los radios de losar"os iguales son O)<8) o O(<8(!

Cons$ruir un o&oide "ono"iendo su di-me$ro:

6ado el di-me$ro A, su media$riz de$erminar- la u.i"a"i'n del eje!8razamos la semi"ir"unferen"ia "on "en$ro O1, +un$o medio de A # radio O1A #$rasladamos la magni$ud de es$e radio so.re el eje a +ar$ir de O1 /uedando asde$erminado O), "en$ro del o$ro ar"o desigual! Los +ro+ios e$remos A # deldi-me$ro dado son los "en$ros O( # O) de los ar"os iguales de radio A! A # sonasimismo los +un$os de enla"e 8( # 82 de la semi"ir"unferen"ia "on sus ar"osad#a"en$es, de$erminaremos los +un$os de enla"e 81 # 8) # el radio del ar"o

desigual de "en$ro O) median$e los segmen$os /ue unen los "en$ros O(<O) # O2<O) # su in$erse""i'n "on los ar"os iguales!

Cons$ruir un o&oide "ono"iendo su di-me$ro, su eje # el radio del ar"o desigual

menor:

>iendo A el di-me$ro, C6 el eje # r el radio dados, $razamos una"ir"unferen"ia de di-me$ro A # $razamos su di-me$ro or$ogonal # o.$eniendo Cdesde donde $rans+or$amos la magni$ud del eje dada 6C o.$eniendo 6! Lle&amosa +ar$ir de A # # so.re el di-me$ro, la magni$ud r del radio dado # desde 6 so.reel eje o.$eniendo O) "en$ro del ar"o desigual so.re di"ho eje! 4nimos los +un$oso.$enidos so.re el di-me$ro "on O) # $razamos las media$ri"es de es$ossegmen$os /ue "or$an al di-me$ro o su +rolonga"i'n en los "en$ros O( # O2 de los



ar"os iguales, de radios O(<! 6e$erminamos los +un$os de enla"e 81 # 8)uniendo O( # O2 "on O) has$a "or$ar a los ar"os iguales o al ar"o de "en$ro O) #radio r!

%s&irales y su construcción:

Definición:

*s la es+iral una "ur&a a.ier$a # +lana generada +or el mo&imien$o de un+un$o /ue se aleja de o$ro u o$ros fijos denominados "en$ros! Puede es$ar "ons$i$uida +or ar"os de "ir"unferen"ia enlazados en$re s # de radios

gradualmen$e ma#ores! >e denomina es+ira al fragmen$o de "ur&a /ue des"ri.e el+un$o en una &uel$a "om+le$a!

Construcción de es&irales:

Construcción de la es&iral de dos centros conocido el &aso:

6ados los dos "en$ros A # , se unen en$re s # se +rolonga el segmen$o/ue de$erminan, es$a re"$a ser- ini"io # fin de los su"esi&os ar"os /ue de$erminanla es+iral! La magni$ud del +aso es igual al do.le de la magni$ud del segmen$o A!

Para $razarla, ha"emos "en$ro en A o # des"ri.imos unasemi"ir"unferen"ia de radio A /ue "or$a en C a la re"$a, "am.iamos de "en$ro a en la ilus$ra"i'n3 # $razamos o$ra semi"ir"unferen"ia "on el mismo sen$ido # a"on$inua"i'n de la an$erior, a +ar$ir de C, de radio C # +or $an$o igual a P

o.$eniendo en su in$erse""i'n so.re la re"$a el +un$o 6 desde donde $razamoso$ra "on "en$ro en A # radio (P@2 # as su"esi&amen$e! O.ser&aremos /ue el radiode las semi"ir"unferen"ias aumen$a P@2 en "ada o"asi'n!

Construcción de la es&iral de tres centros conocido el &aso:



Cons$ruimos el $ri-ngulo e/uil-$ero AC siendo la magni$ud de su lado la$er"era +ar$e del +aso dado P! A, # C ser-n los "en$ros de los su"esi&os ar"os!Prolongamos en un mismo sen$ido los $res lados del $ri-ngulo # ha"emos "en$roen uno de los &ér$i"es, $razando un ar"o de radio P@( "en$ro en A # radio AC3, /ue"or$a a una de las +rolonga"iones en 6 la +rimera +rolonga"i'n in$er"e+$ada A3!Con "en$ro en el &ér$i"e ad#a"en$e en el mismo sen$ido /ue se $ra"e el ar"o 3,se $raza o$ro enlazado "on el an$erior # +or $an$o a +ar$ir del +un$o 6 has$a "or$ar ala +rolonga"i'n siguien$e # as su"esi&amen$e! Los radios aumen$an P@( "ada &ez/ue $razamos un ar"o!

Construcción de la es&iral de cuatro centros conocido el &aso:

6i.ujamos un "uadrado AC6 de lado P@) siendo P el +aso dado #

+ro"edemos de igual forma /ue en el ejer"i"io an$erior! *l radio de los ar"os$razados aumen$a P@) en "ada o"asi'n!

Construcción de la es&iral de #ase rectan!ular dada:

6ado el +aralelogramo re"$-ngulo AC6, +rolongamos sus lados a +ar$ir dedos de sus &ér$i"es o+ues$os # ha"iendo "en$ro en uno de los &ér$i"es "on$iguo a

es$os, A +or ejem+lo, $razamos un ar"o de radio igual a la magni$ud de la diagonal/ue de$erminar- el +un$o * en su in$erse""i'n "on la +rimera +rolonga"i'n /uein$er"e+$e! Con "en$ro en # radio * $razamos o$ro ar"o /uedando de$erminado! Con "en$ro en C # radio C de$erminamos G e$"B O.ser&aremos /ue los"en$ros se &an $omando en un sen$ido # los ar"os se $razan "on sen$ido o+ues$o!Los ar"os "on$iguos no aumen$an de radio de forma gradual "omo en es+iralesan$eriores # la dis$an"ia en$re dos es+iras "onse"u$i&as es igual a la magni$ud dela diagonal del re"$-ngulo dado!

Construcción de la evolvente de un &ol'!ono:

*&ol&en$e es un $érmino sin'nimo o similar de es+iral! *l $razado +ara un+olgono regular de lado "ono"ido es idén$i"o /ue +ara el $ri-ngulo e/uil-$ero o"uadrado #a resuel$os! La magni$ud del lado del +olgono es n@P, siendo n eln9mero de lados del +olgono # P el +aso!



*n el ejer"i"io hemos resuel$o la e&ol&en$e de un he-gono regular AC6* de lado "ono"ido! 8omando "omo "en$ro uno de los &ér$i"es # radio ellado dado $razamos el +rimer ar"o # o.$enemos el +rimer +un$o so.re las+rolonga"iones 1, $omando el "en$ro "on$iguo a A en el mismo sen$ido /ue hemos$razado el ar"o, , # "on radio 1 $razamos el segundo ar"o # as su"esi&amen$e!

Construcción de la espiral de Arquímedes, dado su paso y número de vueltas:

>iendo el +aso P # el n9mero de &uel$as dos, $razamos dos "ir"unferen"ias"on"én$ri"as de radios P # 2P! Las di&idimos en un n9mero "ual/uiera de +ar$esiguales, 1 en la ilus$ra"i'n di&idiendo en el do.le n9mero de +ar$es el radio 2P,+or ser dos las &uel$as!

Por las di&isiones de los radios $razamos "ir"unferen"ias "on"én$ri"as a las+rimeras, (2 en $o$al en la ilus$ra"i'n has$a in$er"e+$ar a las di&isiones"orres+ondien$es efe"$uadas en las "ir"unferen"ias, la 1? "ir"unferen"ia"on"én$ri"a "on la 1? di&isi'n3, o.$eniendo de es$e modo +un$os de la es+iral /uese unir-n ordenadamen$e a mano alzada o "on +lan$illa de "ur&as!

%li&se y su construcción:

Definición:

*s una figura geomé$ri"a "ur&a # "errada, "on dos ejes +er+endi"ularesdesiguales, /ue resul$a de "or$ar la su+erfi"ie de un "ono +or un +lano no+er+endi"ular a su eje, # /ue $iene la forma de un "r"ulo a"ha$ado!



Construcción de una eli&se:

(ediante radios vectores:

8enido 8eniendo en "uen$a la defini"i'n de la eli+se, "omo el lugargeomé$ri"o de los +un$os del +lano, "u#a suma de dis$an"ias a los fo"os es iguala 2a, longi$ud del eje ma#or de la eli+se, solo ne"esi$aremos "oger +ares de radios&e"$ores, "u#a suma sea 2a, +ara ello de$erminaremos una serie de +un$os so.reel eje ma#or, 1) 2) ( e$"!, # "ogeremos "omo +arejas de radios &e"$ores, lossegmen$os .A1<1) A2*2) A(*(, # as su"esi&amen$e, de$erminando los+un$os 1) 2) (, e$"! de la eli+se!

Con "ada +areja de radios &e"$ores, se de$erminar-n "ua$ro +un$os de laeli+se, uno en "ada "uadran$e de la misma!

Cuan$o ma#or sea el n9mero de +un$os, ma#or ser- la +re"isi'n del $razadode la eli+se, /ue de.er- realizarse, o .ien a mano alzada o median$e reglasflei.les, o +lan$illas de "ur&as es+e"iales!

Por +aces &royectivos:

8razaremos el re"$-ngulo AOC*, # di&idiremos los lados AO # A* en unmismo n9mero de +ar$es iguales!

>eguidamen$e iremos $razando las re"$as C1*61) C2*62, e$"! # en susin$erse""iones iremos o.$eniendo +un$os de la eli+se! *s$o se re+e$ir- +ara los"ua$ro "uadran$es de la eli+se

Por +aces &royectivos dados dos ejes conju!ados:

8razaremos el rom.oide AOC*, # di&idiremos los lados ,-O- # ,-%- en un mismon9mero de +ar$es iguales!



>eguidamen$e iremos $razando las re"$as C1*61) C2*62, e$"! # en susin$erse""iones iremos o.$eniendo +un$os de la eli+se! *s$o se re+e$ir- +ara los"ua$ro "uadran$es de la eli+se!

Por envolventes:

*s$a "ons$ru""i'n se .asa en el he"ho de /ue la "ir"unferen"ia +rin"i+al deuna eli+se, es el lugar geomé$ri"o de los +ies de las +er+endi"ulares $razadas

desde los fo"os a las $angen$es a la eli+se!

Para es$e $razado +ar$iremos de +un$os de la "ir"unferen"ia +rin"i+al, "omoel P, indi"ado en la figura! 4niremos di"ho +un$o "on el fo"o , # $razaremos+or P la +er+endi"ular al segmen$o P, o.$eniendo la re"$a $, $angen$e a la eli+se!5e+i$iendo es$a o+era"i'n, o.$endremos una serie de $angen$es /ue ir-nen&ol&iendo a la eli+se!

, &artir de circunferencias afines:

Comenzaremos $razando las "ir"unferen"ias de "en$ro O, # di-me$ros A #!

>eguidamen$e $razaremos radios "omo el O1, /ue "or$a a las"ir"unferen"ias an$eriores en los +un$os 1 # 2! Por di"hos +un$os $razaremos las+aralelas a C6 y A res+e"$i&amen$e! 6i"has +aralelas se "or$an en el +un$o (,/ue es de la eli+se! *l n9mero de radios $razados, ser-n los ne"esarios +aradefinir sufi"ien$emen$e la eli+se!



, &artir de dos dimetros conju!ados &or trin!ulos semejantes:

Par$iendo de los ejes "onjugados A # C6, "omenzaremos $razando la"ir"unferen"ia de "en$ro O # di-me$ro A!

>o.re la "ir"unferen"ia an$erior, $razaremos "uerdas +er+endi"ulares a A,"omo la 1<2! 4niendo 2 "on C, # 1 "on 6, o.$endremos los $ri-ngulosO2C # O16!>olo res$ar- "ons$ruir en el res$o de "uerdas $ri-ngulos semejan$es a es$os "omoel MPD, de lados +aralelos al $ri-ngulo O2C, o.$eniendo as +un$os de la eli+se!

La &ar#ola y su construcción:

Definición:

La +ar-.ola es una "ur&a a.ier$a # +lana, /ue se define "omo el lugar

geomé$ri"o de los +un$os del +lano /ue e/uidis$an de un +un$o denominado fo"o,

# una re"$a denominada dire"$riz, o.ser&ando la figura, P E PF E r!

*l eje de la +ar-.ola es la re"$a +er+endi"ular a la dire"$riz, /ue +asa +or el

fo"o ! La dis$an"ia 6, del fo"o a la dire"$riz, se denomina +ar-me$ro de la

+ar-.ola, el +un$o medio del segmen$o 6, es el +un$o , /ue se denomina &ér$i"ede la +ar-.ola!

Construcción de una &ar#ola:

(ediante radios vectores:



8eniendo en "uan$a la defini"i'n de la +ar-.ola, .us"aremos +un$os

e/uidis$an$es del fo"o , # la dire"$riz d! Para ello de$erminaremos una serie de

+un$os so.re el eje, 1, 2, (, e$"!, +or los /ue $razaremos +aralelas a la dire"$riz!

8razando ar"os de "ir"unferen"ia de "en$ro en , # radio lasdis$an"ias 61, 62, 6(, e$"!, de$erminaremos so.re las "orres+ondien$es +aralelas

an$eriores, los +un$os 1H, 2H, (H, e$"!, +un$os de la +ar-.ola .us"ada!

Con "ada +areja de radios &e"$ores, se de$erminar-n dos +un$os de la

+ar-.ola, uno en "ada rama de la misma!

Cuan$o ma#or sea el n9mero de +un$os, ma#or ser- la +re"isi'n del $razado

de la +ar-.ola, /ue de.er- realizarse, o .ien a mano alzada o median$e reglas

flei.les, o +lan$illas de "ur&as es+e"iales!

Por ha"es +ro#e"$i&os:

Comenzaremos o.$eniendo un +un$o P de la "ur&a +or radios &e"$ores, #

$razaremos el re"$-ngulo APC, # di&idiremos los lados AP # PC en un mismo

n9mero de +ar$es iguales!

Por las di&isiones de AP, $razaremos +aralelas al eje de la "ur&a, #

uniremos las di&isiones de CP, "on el &ér$i"e de la "ur&a! La in$erse""i'n de

es$as re"$as "on las +aralelas an$eriores, de$erminar-n +un$os, "omo el P,

+er$ene"ien$es a la +ar-.ola .us"ada! *s$o se re+e$ir- +ara la o$ra rama de la

+ar-.ola!

Por en&ol&en$es:



*s$a "ons$ru""i'n se .asa en el he"ho de /ue la "ir"unferen"ia +rin"i+al, en

es$e "aso, la $angen$e a la "ur&a en el &ér$i"e, es el lugar geomé$ri"o de los +ies

de las +er+endi"ulares $razadas desde el fo"o a las $angen$es a la +ar-.ola!

Para es$e $razado +ar$iremos de +un$os 1, 2, (, e$", de la "ir"unferen"ia+rin"i+al! 4niremos di"hos +un$os "on el fo"o , # $razaremos +or los +un$os

an$eriores +er+endi"ulares a los segmen$os l 1, 2, (, e$"!, o.$eniendo las

re"$as $angen$es a la +ar-.ola! La "ur&a se de$erminar- median$e $angen$es a

di"has re"$as!

*n .ase a la defini"i'n de la "ur&a:

*s$a "ons$ru""i'n se .asa en la defini"i'n de la +ar-.ola, "omo el lugar

geomé$ri"o de los "en$ros de "ir"unferen"ia /ue +asan +or el fo"o /, # son

$angen$es a la "ir"unferen"ia fo"al!

Comenzaremos $razando las re"$as 1, 2, (, e$"!, /ue unen el fo"o de la

"ur&a , "on +un$os de la dire"$riz d!

>eguidamen$e $razaremos las +er+endi"ulares a los segmen$os an$eriores,

en su +un$o de in$erse""i'n "on la "ir"unferen"ia +rin"i+al, en el "aso del

segmen$o 1, en el +un$o s! *s$a +er+endi"ular resul$a ser la media$riz del

segmen$o 1, # $angen$e a la la "ur&a!

8razando +or el +un$o 1, una +aralela al eje de la "ur&a, di"ha +aralela

in$er"e+$ar- a la $angen$e an$eriormen$e $razada en el +un$o 81, +un$o de la

+ar-.ola!

5e+i$iendo "on el res$o de +un$os, o.$endremos los sufi"ien$es +un$os de la

"ur&a +ara +oder ser $razada!



5e"$a $angen$e # normal en un +un$o de la +ar-.ola:

La $angen$e a la +ar-.ola en un +un$o de ella P, es la .ise"$riz del -ngulo

/ue forman los radios &e"$ores en di"ho +un$o!

La normal en P, es la +er+endi"ular a la $angen$e en di"ho +un$o!

5e"$as $angen$es a la +ar-.ola desde un +un$o e$erior, +or "ir"unferen"ia fo"al:

*s$a "ons$ru""i'n se .asa en la defini"i'n de "ir"unferen"ia fo"al dire"$riz3,

"omo el lugar geomé$ri"o de los +un$os simé$ri"os del o$ro fo"o, res+e"$o a las

$angen$es a la +ar-.ola!

6ado el +un$o P e$erior a la +ar-.ola, "omenzaremos $razando la

"ir"unferen"ia de "en$ro en P, # radio PI, la "ual "or$a a la fo"al dire"$riz3, en los

+un$os 1 # 2! 6i"hos +un$os son los simé$ri"os del res+e"$o a las $angen$es ala +ar-.ola desde el +un$o P!

>olo res$a $razar las media$ri"es de los segmen$os I1 # I2,

o.$eniendo as las re"$as $1 # $2 /ue ser-n las $angen$es a la +ar-.ola .us"adas!

Para de$erminar los +un$os de $angen"ia, $razaremos las re"$as +or 1 # 2,

re"$as +aralelas al eje de la "ur&a, /ue de$erminar-n so.re las $angen$es $1 # $2,

los +un$os 81 # 82, +un$os de $angen"ia .us"ados!

5e"$as $angen$es a la +ar-.ola desde un +un$o e$erior, +or "ir"unferen"ia+rin"i+al:



6ado el +un$o P e$erior a la +ar-.ola, "omenzaremos $razando la

"ir"unferen"ia +rin"i+al $angen$e en el &ér$i"e3, # a "on$inua"i'n la "ir"unferen"ia

de "en$ro en C, # di-me$ro PI! Am.as "ir"unferen"ias se in$er"e+$an en los

+un$os 1 # 2!

Las re"$as PI1 # PI2, ser-n las $angen$es $1 # $2 .us"adas! Para

de$erminar los +un$os de $angen"ia, haremos 1I1E1I # 2I2E2I, #

+or 1 # 2, $razaremos re"$as +aralelas al eje de la "ur&a, /ue de$erminar-n

so.re las $angen$es $1 # $2, los +un$os 81 # 82, +un$os de $angen"ia .us"ados!

5e"$as $angen$es a la +ar-.ola, +aralelas a una dire""i'n dada, +or "ir"unferen"ia

fo"al:

*s$a "ons$ru""i'n es similar a la del $razado de $angen$es desde un +un$o

e$erior, solo /ue en es$e "aso el +un$o es un +un$o im+ro+io si$uado en el infini$o!

6ada la dire""i'n d, "omenzaremos $razando la re"$a +er+endi"ular a la

dire""i'n d, # /ue +ase +or el fo"o ! 6i"ha re"$a de$ermina so.re la "ir"unferen"ia

fo"al dire"$riz3, el +un$o 1!

La media$riz del segmen$o I1, ser- la $angen$e a la +ar-.ola $ .us"ada!

Para de$erminar el +un$o de $angen"ia, $razaremos +ro 1, la re"$a +aralela al eje

de la "ur&a, /ue de$erminar-n so.re la $angen$e $, el +un$o 81, +un$o de $angen"ia

.us"ado!



5e"$as $angen$es a la +ar-.ola, +aralelas a una dire""i'n dada +or "ir"unferen"ia+rin"i+al:

6ada la dire""i'n d, "omenzaremos $razando la "ir"unferen"ia +rin"i+al

$angen$e en el &ér$i"e3, # seguidamen$e la re"$a +er+endi"ular a la dire""i'n d, #

/ue +ase +or el fo"o ! 6i"ha re"$a in$er"e+$a a la "ir"unferen"ia +rin"i+al en el

+un$o 1, +er$ene"ien$e a la $angen$e .us"ada!

>olo res$ar- $razar +or 1 la re"$a $, +aralela a la dire""i'n dada, siendo es$a

las $angen$es .us"adas!

Para de$erminar los +un$os de $angen"ia, haremos 1I1E1I, #+or 1 $razaremos una re"$a +aralela al eje de la "ur&a, /ue $erminar- so.re la

$angen$e $ el +un$o 81, +un$o de $angen"ia .us"ado!

Pun$os de in$erse""i'n de una re"$a "on una +ar-.ola:

*s$a "ons$ru""i'n se .asa en la defini"i'n de la +ar-.ola, "omo el lugar

geomé$ri"o de los "en$ros de "ir"unferen"ias /ue +asan +or el fo"o, # son

$angen$es a la "ir"unferen"ia fo"al del o$ro fo"o dire"$riz3!

Comenzaremos $razando una "ir"unferen"ia "ual/uiera "on "en$ro en la

re"$a r, # /ue +ase +or el fo"o ! *n nues$ro "aso hemos $razado la "ir"unferen"ia



de "en$ro O! >o.re di"ha "ir"unferen"ia de$erminaremos el +un$o 1, simé$ri"o del

fo"o , res+e"$o a la re"$a r!

Los +un$os de in$erse""i'n .us"ados, ser-n los "en$ros de las

"ir"unferen"ias si$uados en la re"$a r, /ue +asando +or 1 # , sean $angen$es a la"ir"unferen"ia fo"al dire"$riz3! Por lo $an$o el +ro.lema se redu"e al $razado de

"ir"unferen"ias /ue +asando +or dos +un$os sean $angen$es a una re"$a dada

dire"$riz3, Lo /ue resol&eremos +or +o$en"ia!

Prolongando la re"$a I1, de$erminaremos so.re la dire"$riz el +un$o Cr,

"en$ro radi"al de $odas las "ir"unferen"ias de "en$ro en r # /ue +asen +or # 1!

Con "en$ro en +m, +un$o medio del segmen$o ICr, $razaremos la

"ir"unferen"ia de di-me$ro ICr, # +or 1 la +er+endi"ular a di"ho di-me$ro,

de$erminando so.re la "ir"unferen"ia an$erior el +un$o 1!

Con "en$ro en Cr $razaremos el ar"o de "ir"unferen"ia de radio CrI1, /ue

nos de$erminar- so.re la dire"$riz, los +un$os 81 # 82! Las +er+endi"ulares a la

dire"$riz en di"hos +un$os, de$erminar-n so.re la re"$a r los +un$os 1 e 2, de

in$erse""i'n de la re"$a "on la +ar-.ola !

Cons$ru""i'n de la +ar-.ola +or ar"os de "ir"unferen"ia! 5adios de "ur&a$ura:

Para de$erminar el "en$ro de "ur&a$ura en un +un$o P de la +ar-.ola,

$razaremos la normal en di"ho +un$o, .ise"$riz de los dos radios &e"$ores de di"ho

+un$o!

La normal $razada, "or$ar- al eje en el +un$o 1! Por di"ho +un$o $razaremos

la +er+endi"ular a la normal, /ue de$erminar- so.re la re"$a $razada +or P #+aralela al eje, el +un$o 2! Por di"ho +un$o $razaremos la +er+endi"ular al eje, /ue

in$er"e+$ar- a la normal en el +un$o C+, "en$ro de "ur&a$ura .us"ado!

*l "en$ro de "ur&a en el &ér$i"e de la "ur&a C&, lo de$erminaremos ha"iendo IC



Conclusión:

;a +ara "on"luir +odemos de"ir /ue la defini"i'n de /ue es una

"ir"unferen"ia, un '&alo, un o&oide, una es+iral, una eli+se, +or su+ues$o una

+ar-.ola # la "ons$ru""i'n de las #a men"ionadas, "on es$o ha"emos m-s am+lio

el "ono"imien$o /ue se $iene de esas formas geomé$ri"as # a#uda a fu$uros

$ra.ajos en el /ue se re/uiera su uso!



13

23



(3

)3



3



0i#lio!raf'a:

1 +tt&:22333.san!a4oo.com2es2temas2definicion*y*elementos*#asicos*de*la*circunferencia

$ +tt&s:22sites.!oo!le.com2site2&ortaldetra#ajos2di#ujo*tecnico2construccion*de*ovalos*y*ovoides

+tt&:22comunidadesinteractivas.com.ve2inde5.&+&2&royectos*3e#*$*62item2167*&ro&uesta*&ara*la*construccion*de*ovalos*y*ovoides

+tt&s:22es.3i4i&edia.or!23i4i28C7897valo

+tt&:22di#ujotecni.com2!eometria*&lana2ovalo*ovoide*es&irales2

7 +tt&:22comunidadesinteractivas.com.ve2inde5.&+&2&royectos*3e#*$*62item2167*&ro&uesta*&ara*la*construccion*de*ovalos*y*ovoides

+tt&:22di#ujotecni.com2!eometria*&lana2ovalo*ovoide*es&irales2

+tt&:22comunidadesinteractivas.com.ve2inde5.&+&2&royectos*3e#*$*62item2167*&ro&uesta*&ara*la*construccion*de*ovalos*y*ovoides ;%n este se consi!ue las es&irales

< +tt&:22333.di#ujotecnico.com2saladeestudios2teoria2!&lana2coni

cas2eli&se61.&+&

= +tt&:22333.di#ujotecnico.com2curvas*conicas*la*&ara#ola2+tt&:22333.di#ujotecnico.com23&*content2u&loads2$61<26>2Para#ola*69*tan!ente*desde*un*&unto*e5terior*&or*circunferencia*&rinci&al.&n!

http://www.sangakoo.com/es/temas/definicion-y-elementos-basicos-de-la-circunferencia


https://sites.google.com/site/portaldetrabajos/dibujo-tecnico/construccion-de-ovalos-y-ovoides


http://comunidadesinteractivas.com.ve/index.php/proyectos-web-2-0/item/103-propuesta-para-la-construccion-de-ovalos-y-ovoides



https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93valo

http://dibujotecni.com/geometria-plana/ovalo-ovoide-espirales/





http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/conicas/elipse01.php


http://www.dibujotecnico.com/curvas-conicas-la-parabola/

http://www.dibujotecnico.com/wp-content/uploads/2015/07/Parabola-09-tangente-desde-un-punto-exterior-por-circunferencia-principal.png








https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93valo








http://www.dibujotecnico.com/curvas-conicas-la-parabola/








?losario:

0isectri@: >emirre"$a /ue +ar$e del &ér$i"e de un -ngulo # lo di&ide en dos+ar$es iguales

6ire"$riz: 4na dire"$riz se di"e de a/uello /ue mar"a las "ondi"iones en /uese genera algo!

o"al: La dis$an"ia fo"al o longi$ud fo"al de una len$e es la dis$an"ia en$re el"en$ro '+$i"o de la len$e # el fo"o o +un$o fo"al3! La in&ersa de la dis$an"ia fo"alde una len$e es la +o$en"ia, # se mide en dio+$ras!

*u"ldeo: es un $i+o de es+a"io geomé$ri"o donde se sa$isfa"en los aiomasde *u"lides de la geome$ra! La re"$a real, el +lano eu"ldeo # eles+a"io $ridimensional de la geome$ra eu"lidiana son "asos es+e"iales dees+a"ios eu"ldeos de dimensiones 1, 2 # ( res+e"$i&amen$e! *l "on"e+$oa.s$ra"$o de es+a"io eu"ldeo generaliza esas "ons$ru""iones a m-s dimensiones!

*&ol&en$e: es un $érmino sin'nimo o similar de es+iral

Media$riz: 5e"$a +er+endi"ular a un segmen$o /ue se $raza en su +un$omedio!

Paralelogramo: 4n +aralelogramo es un $i+o es+e"ial de "uadril-$ero "u#oslados son +aralelos dos a dos!

5adios de "ur&a$ura: *l radio de "ur&a$ura es una magni$ud /ue midela "ur&a$ura de un o.je$o geomé$ri"o $al "omo una lnea "ur&a, una su+erfi"ie om-s en general una &ariedad diferen"ia.le em.e.ida en un es+a"io eu"ldeo!

8angen$e: *s$a no"i'n se +uede generalizar, desde la re"$a $angen$e a un"r"ulo o una "ur&a, a figuras $angen$es en dos dimensiones es de"ir, figuras

https://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_(l%C3%B3gica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

https://es.wikipedia.org/wiki/Lente

https://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(%C3%B3ptica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_(%C3%93ptica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Euclides


https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real

https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/Tridimensional

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana

https://es.wikipedia.org/wiki/Curvatura

https://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_riemanniana

https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo

https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente

https://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_(l%C3%B3gica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

https://es.wikipedia.org/wiki/Lente

https://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(%C3%B3ptica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_(%C3%93ptica)



https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real

https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/Tridimensional

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana

https://es.wikipedia.org/wiki/Curvatura

https://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_riemanniana

https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo

https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente



geomé$ri"as "on un 9ni"o +un$o de "on$a"$o, +or ejem+lo la "ir"unferen"iains"ri$a3,

8angen"ia: Pun$o de "on$a"$o en$re dos lneas o en$re un +lano o una lnea# una su+erfi"ie /ue son $angen$es!

https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_inscrita




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