novas perspectivas com o uso de Passeios Aleatórios
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Aplicação rotineira de
Simulação
Geoestatística na
mineração: novas
perspectivas com o uso
de Passeios Aleatórios
Diniz Tamantini Ribeiro
Vale ferrosos / UFRGS
“Tenha em mente que modelos teóricos, não importa
o quão sofisticados, levam apenas a aproximações da
realidade. A melhor visão prática da realidade advém de
dados de produção em áreas já mineradas.”
Prof. Daniel Krige – 2007
“Representamos a geração de profissionais que
acompanhou a evolução geoestatística: desde as
primeiras krigagens de modelos geológicos digitais até a
caracterização da incerteza geológica através da
simulação. Contar um pouco dessa história é reforçar o
papel da geoestatística no crescimento de um setor tão
importante ao país.”
Assis, Anglo American, e Diniz, Vale - 2007
Sumário
- Introdução
- Métodos de simulação
Bandas Rotativas (TBA)
Simulação Sequencial Gaussiana (SGS)
- Nova Proposta – Simulação MRWS
Passeios Aleatórios (RW)
Combinação de RW e Krigagem
- Aplicações Práticas de simulação MRWS
Planejamento curto prazo
Reconciliação
Controle de qualidade
Introdução
A Simulação por Múltiplos Passeios Aleatórios
(MRWS) é um projeto em desenvolvimento na Vale
Ferrosos com o apoio da Universidade Federal do Rio
Grande do Sul com o objetivo de criar e validar novos
métodos de simulação geoestatística que permitam
quantificar a variabilidade/incerteza de teores, de massa
ou de outro atributo geológico importante na avaliação
econômica e de risco de um projeto mineiro.
Introdução
Expectativa de ganho:
-maior aderência nos planos de lavra (longo, médio e
curto prazos).
-incorporação da incerteza nos modelos usados nos
planos de lavra para avaliação e/ou mitigação de risco.
-definição de faixas de tolerância de teores/massa
em reconciliações de lavra.
-otimização do tempo de simulação.
Introdução
Dois trabalhos sobre o assunto já foram publicados
Multidirectional random walk: an alternative to local simulation of Gaussian
Data. In: Nith International Geostistics Congress, 2012, Oslo.Ribeiro, D. T. ; Costa, João Felipe C. L. ; Tamantini, T. B. F. ; Cunha Filho, E. M. ; Roldão, D. G.
Local Geostatistical Simulation Based on Multidirectional Random Walk. In:
International - Symposium on the Applications of Computers and Operations
Research in the Mineral Industry, 2013, Porto Alegre. Ribeiro, D. T. ; Costa, João
Felipe C. L. ; Tamantini, T. B. F. ; Cunha Filho, E. M. ; Roldão, D. G. ; Monteiro Filho, C. G.
Métodos de simulação
As técnicas de simulação geoestatística são bem antigas e foram
propostas inicialmente por Matheron e publicadas em trabalhos
de A. Journel (1974) e de J. P. Chiles (1977). Essas técnicas
permitem representar melhor a complexidade dos fenômenos
naturais através da geração de modelos probabilistas com
diversos cenários equi-prováveis.
Os cenários simulados podem variar do mais otimista ao mais
pessimista. Cada cenário simulado é uma realização de uma F.A.
que deve honrar a heterogeneidade e a variabilidade espacial da
variável regionalizada através da reprodução dos momentos
estatísticos, média e variância, além do variograma.
Métodos de simulação: bandas rotativas
1-normalização dos dados nos pontos amostrados, Z( x ) para Y( x )
2-simulação não condicional nos pontos adensados segundo malha
regular (xi) e nos pontos conhecidos, condicionantes, x , Ys(xi)
3-nos pontos condicionantes, x , cálculo dos erros Y( x ) - Ys( x )
4-krigagem nos pontos em malha regular, xi, com a covariância
C(h), da diferença Y( x ) - Ys( x )
5-soma da simulação não condicional com a krigagem dos erros ou
das diferenças
Ys(x) + )]()([ xYxY s
Métodos de simulação: bandas rotativas
1 banda 10 bandas
1000 bandas100 bandas
Dxtodopara
lxzN
xYN
i
iin
1
0,10 ).(1
)(D1D2
D3
D4
YM2
YM3
YM1
YM1
YM(xo)
Métodos de simulação: bandas rotativas
x
Y(x)
Ys(xi)
Y( )x
Simulação não
condicional
Pontos condicionantes
Erro = Y( )xYs(xi) -
x
E(x)
Krigagem do erro
ou resíduo
Ysc(x)
Ys(xi)
Ysc(xi) Simulação condicional
Métodos de simulação: sequencial gaussiana
O valor simulado é obtido a partir da soma de valores
krigados e de um erro aleatório. Onde N(0,1) é a função
gaussiana com média 0 e variância 1 multiplicada pela
variância de krigagem simples.
)1,0(.** NYY ksksS
Métodos de simulação: sequencial gaussiana
)1,0(.** NYY ksksS
Fonte: apostila Geovariances
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Esc
olh
a a
leató
ria
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Passeios aleatórios (RW) de uma partícula seguem direções aleatórias ao
longo de uma linha real. A posição da partícula é descrita por incrementos
aleatórios independentes, cada um com probabilidade igual, de 50%, de
ser igual a 1 ou –1.
-15
0
15
1 11 21 31
t
X(t
)
-15
0
15
1 6 11 16 21 26 31 36
t
X(t
)
h
Mean = 0
Variance = 2h / 3
Mean = 0
Variance = h
+1 ∙ f
-1 ∙ f
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de função aleatória em uma dimensão a partir de duas
realizações de passeios aleatórios partindo de dois pontos condicionantes
distanciados de 100 m.
Ponto1 Ponto2
RW1
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
rx1
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de função aleatória em uma dimensão a partir de duas
realizações de passeios aleatórios partindo de dois pontos condicionantes
distanciados de 100 m.
Ponto1 Ponto2RW2
RW1
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de função aleatória em uma dimensão a partir de duas
realizações de passeios aleatórios partindo de dois pontos condicionantes
distanciados de 100 m.
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Ponto1 Ponto2RW2
RW1
FA
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de nove realizações 1D de passeios aleatórios partindo de
dois pontos condicionantes distanciados de 100 m.
-10
0
10
1 26 51 76 101
RW_1
RW_2
RW_3
RW_4
RW_5
RW_6
RW_7
RW_8
RW_9
Ponto1 Ponto2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
2
4
1 51 101
Incerteza
desvio
pondm
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de dez realizações 1D de passeios aleatórios partindo de dois
pontos condicionantes distanciados de 100 m – parâmetros de incerteza,
ponderador da média e desvio padrão entre simulações
Ponto1 Ponto2
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de dez realizações 1D de passeios aleatórios - parâmetros de
incerteza levando em conta novos valores para dois pontos
condicionantes
-6
-4
-2
0
2
4
6
1 51 101
Ponto1
Ponto2média
Média -1dp
Média_1dp
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de seis realizações 2D de passeios aleatórios - parâmetros de
incerteza levando em conta novos valores para mais pontos
condicionantes
Section - x=41
-2
-1
0
1
2
3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y(m)
Gau
ss(%
)
gau_condit
gau_6
gau_5
gau_3
gau_2
gau_condit
gau_1
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de função aleatória em 2D a partir de duas realizações de
passeios aleatórios partindo de dois pontos condicionantes. Variograma
com três estruturas esféricas mais efeito de pepita
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de função aleatória em 2D a partir de quatro realizações de
passeios aleatórios partindo de quatro pontos condicionantes.
Variograma com três estruturas esféricas mais efeito de pepita
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de função aleatória em 2D a partir de doze realizações de
passeios aleatórios partindo de doze pontos condicionantes. Variograma
com três estruturas esféricas mais efeito de pepita
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de função aleatória em 2D a partir de realizações de
passeios aleatórios partindo de trezentos pontos condicionantes.
Variograma com três estruturas esféricas mais efeito de pepita
-5 0 5
VAR_5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Frequencies
Nb Samples: 120701
Minimum: -7.37
Maximum: 6.34
Mean: 0.00
Std. Dev.: 1.77
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Interpolação de função aleatória em 2D a partir de realizações de
passeios aleatórios partindo de trezentos pontos condicionantes. Correção
de suporte
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Para um dado ponto x no espaço, simula-se seu valor pela soma da
variável gaussiana com o ruído aleatório, ponderada pelos pesos de
krigagem, simples ou ordinária, como é mostrado na relação abaixo:
Considerando um volume V, contendo todos os pontos x da malha
simulada, a média estimada da variável gaussiana mais o ruído aleatório é
dada a pela esperança matemática de todos os valores estimados de
Y*srw(x), conforme relação a seguir:
n
i
rwixisrw YYxYi
1
* )(
0))((
)()())((
)())((
*
11
*
1
*
xYE
YEYExYE
YYExYE
srw
rwi
n
i
ix
n
i
isrw
n
i
rwixisrw
i
i
0 0
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
A variância da variável simulada (Ysrw(x)) tem relação com os
incrementos do passeio aleatório e pode ser decomposta pela variância da
krigagem da variável gaussiana somada à variância do ruído do passeio
aleatório.
22*
2
1
2
2
1
2*
1,1,1,1,
*
1,
*
*22**
))((
)(
*
)())(())((
)()()()())((
)())((
))(())(())((
afxYV
ayE
yfY
YExYVxYV
YYEYYEYYEYYExYV
YYYYExYV
xYExYExYV
sk
jiji
ji
ysrw
rwi
n
i
i
rwirwi
rwi
n
i
isksrw
rwjrwi
n
ji
jixrwi
n
ji
jirwjx
n
ji
jixx
n
ji
jisrw
rwjx
n
ji
rwixjisrw
srwsrwsrw
0 0
Va
riâ
nci
a Y
srw
Fator de escala f2
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Variável
Z(xi)
Gaussiana
Y(xi)
Struc.
model
Gaus.
anamorph. Krigagem
Simples Y*(xo)
Variância
suavizada de
Y*(xo)
Multiplos RW de
Yrw(xi,xo)
fator f
Krigagem Simples
Y*(xo)+Y*rw(xi,xo)
Variância de
Y*(xo) )+Y*rw(xi,xo)Regressão
Variância x fator (f)
Variância Unitária
Y*(xo) )+Y*rw(xi,xo)
como função de f
Multiplas realizações
de Ysrw(xo) usando
fator f
Struc.
model
Gaus. back
Transf.Dados
Simulados
Zsrw(xo)
SK
Diferentes fatores; f = 0, f = 0.14, and f = 0.2 e respectivas variâncias
das simulações para cada f são 0.82, 0.91 and 1.01.
0 50 100
x
-3
-2
-1
0
1
2
gau
0 50 100
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
gau
0 50 100
x
-3
-2
-1
0
1
2
gau
0 50 100
x
-3
-2
-1
0
1
2
gau
A B
C D
0 50 100
x
-3
-2
-1
0
1
2
gau
0 50 100
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
gau
0 50 100
x
-3
-2
-1
0
1
2
gau
0 50 100
x
-3
-2
-1
0
1
2
gau
A B
C D
YskY afsrw
222
YskY afsrw
222
YskY afsrw
222
f 2Opt. f 2
Simulação por múltiplos passeios aleatórios
Aplicações práticas MRWS
Exemplo 1 - dados empíricos: simulação MRWS de variável gaussiana
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
gau_1
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Frequencies
Nb Samples: 10000
Minimum: -3.284
Maximum: 3.254
Mean: 0.066
Std. Dev.: 1.009
Histogram (gau_1)
Isatis
Aplicações práticas MRWS
Mean : 2.02%
Standard Deviation : 2.51%
Mean: 2.31%
Standard Deviation : 2.86%
Exemplo 1 - variável gaussiana krigada (Y*sk), ruído krigado (Y*rw) e
gaussiana simulada (Y*srw) com respectivos variogramas decompostos -
estrutura embricada γsrw = γrw + γsk
Aplicações práticas MRWS
Exemplo 1 : coerência entre simulação local e global – reprodução da
média e variância local ao simular apenas parte do depósito
-1 0 1 2
gau_1
-1
0
1
2 gau_local
rho=0.767
Scatter Diagram (gau_1, gau_local)
Isatis
-1 0 1 2
gau_3
-1
0
1
2
gau_local
rho=0.800
Scatter Diagram (gau_3, gau_local)
Isatis
-1 0 1 2
gau_4
-1
0
1
2
gau_local
rho=0.881
Scatter Diagram (gau_4, gau_local)
Isatis
-2 -1 0 1 2
gau_6
-2
-1
0
1
2
gau_local
rho=0.608
Scatter Diagram (gau_6, gau_local)
Isatis
-1 0 1 2 3
gau_5
-1
0
1
2
3
gau_local
rho=0.721
Scatter Diagram (gau_5, gau_local)
Isatis
-1 0 1 2
gau_2
-1
0
1
2
gau_local
rho=0.889
Scatter Diagram (gau_2, gau_local)
Isatis
Exemplo 2 simulação 2D Fe – banco de uma mina
Samples Simu_8
Simu_4 Simu_1
SK E_type
Fe% <20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
Aplicações práticas MRWS
Exemplo 2 - simulação local teor de ferro
Fe% <20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 58 59 60 61 62
Fe_Etype
0.00
0.05
0.10
0.15
Frequencies
Nb Simulat:100Minimum: 57.84Maximum: 62.23Mean: 59.83Std. Dev.: 0.844
Aplicações práticas MRWS
Exemplo 2 - simulação local mapa de incerteza
teor de ferro
Aplicações práticas MRWS
Exemplo 2 simulação local mapa de incerteza
teor de ferro com novas informações
Média=59.97% Desvio=0.73Média=59.83% Desvio=0.85
* Amostras existentes
● Novas amostrasLS1 LS2
Aplicações práticas MRWS
Exemplo 3 simulação 2D – espessura de canga
de uma mina de ferro
Aplicações práticas MRWS
KO
simulação f2 variância
KS 0 0.517
S1 0.035 0.961
S2 0.035 0.928S3 0.035 1.049
S4 0.035 0.907
S5 0.035 0.986
S6 0.035 1.003
S7 0.035 0.956
S8 0.035 1.074
S9 0.035 0.946
S10 0.035 1.028
f2_otimo= 0.036215
f_ótimo= 0.190302
30
30
40
40
50
50
60
60
70
70
FEGL
FEGL
0.00 0.00
0.05 0.05
0.10 0.10
0.15 0.15
Frequencies
Frequencies
Nb Samples: 305457Minimum: 26.396Maximum: 69.813Mean: 48.853Std. Dev.: 10.458
Exemplo 3 simulação 3D – teor de ferro
Aplicações práticas MRWS
KO
S8S7S1
ET
KS S1 S7KO
Exemplo 3 simulação 3D – teor de ferro
Aplicações práticas MRWS
Exemplo 3 Sequência de lavra com incerteza
Fe(%)
Área 2
40 m
70 m
Área 1
25
30
35
40
45
50
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
Teo
r Fe
(%)
Tempo
Série Temporal do minério com teor de corte (Fe> 37.5% ) e diluição
média simulações por período
media+1s
media-1s
média simulações por período
média KS
media simu
tempo
Limites +- 1dp
Etype MRW
Media SK
Media MRW
IncertezaDiluição
Série Temporal – Fe Teor não
Diluído
Aplicações práticas MRWS
Os dados de LP contém 4685 amostras de sondagem (imagem à esquerda)
e os de LP+CP 20725 amostras de sondagem e de frente de lavra coletadas
em malha irregular (imagem à direita). Os parâmetros estatísticos são
desagrupados em células de 200m
Z(x) Y(x)
N.AMOST. 4685 4685
MAXIMO 68.863 3.431
MINIMO 10.220 -3.173
MEDIA 45.580 0.002
VARIANCI 120.826 0.999
DESVIO 10.992 0.999
C.VARIA. 0.241 514.044
Z(x) Y(x)
N.AMOST. 20725 20725
MAXIMO 69.664 3.337
MINIMO 5.400 -3.198
MEDIA 45.226 0.001
VARIANCI 132.957 0.996
DESVIO 11.531 0.998
C.VARIA. 0.255 1283.246
LP LP+CP
Exemplo 4 simulação no planejamento curto prazo
Aplicações práticas MRWS
0
2
4
6
8
10
12
0 20 40 60 80
Fre
q (
%)
Fe (%)
Histograma Fe
Z(x) Y(x)
N.AMOST. 20725 20725
MAXIMO 69.664 3.337
MINIMO 5.400 -3.198
MEDIA 45.226 0.001
VARIANCI 132.957 0.996
DESVIO 11.531 0.998
C.VARIA. 0.255 1283.246
0
2
4
6
8
10
-4 -2 0 2 4
Fre
q(%
)
Gaussiana Fe
Histograma YFe
* Linhas em vermelho – histog. LP
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 100 200 300 400 500 600 700 800
gam
a(h
)
Distância em metros - h
Variograma YFe
gamaexp(h)
gamateo(h)
variância
Exemplo 4 simulação no planejamento curto prazo
Aplicações práticas MRWS
Duas simulações do teor de ferro são mostradas abaixo em pontos espaçados
regularmente de 12,5 x 12,5 x 10 m
Exemplo 4 simulação no planejamento curto prazo
Aplicações práticas MRWS
49 50 51 52 53 54 55
fe_sim_cp x lp
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Frequencies
50.5 50.9 51.6
49.3 51.8 54.5
49 50 51 52 53 54 55
fe_sim_cp
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Frequencies
Nb Samples: 20Minimum: 50.45Maximum: 51.59Mean: 50.94Std. Dev.: 0.27
49 50 51 52 53 54 55
fe_sim_lp
0.0
0.1
0.2
0.3
Frequencies
Nb Samples: 20Minimum: 49.28Maximum: 54.47Mean: 51.78Std. Dev.:1.28
Distribuição dos teores de ferro simulados com amostras de sondagem de
longo prazo (vermelho) e amostras de curto prazo (verde) redução da
incerteza no modelo de CP, dentro da faixa de aceitação do modelo de LP
50,6 % Fe –Apontamento produção
LP LP+CP
Exemplo 4 simulação e reconciliação de teor
Aplicações práticas MRWS
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
-
10
20
30
40
50
60
70
80
90
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Gra
des
To
nn
ag
e
Mill
ion
s
Cutoff
Parametrização Plano Mar/2014 á Dez/2015
Tonnage etype fe_min fe_max fegl
Fe_min Fe_maxFe_med
Exemplo 4 parametrização plano de lavra bianual com incerteza
Duas realizações Fe máximo, à esquerda, e Fe mínimo, à direita. Curvas de
parametrização dos teores de ferro máximo, mínimo e médio das simulações
Aplicações práticas MRWS
Exemplo 5 – simulação local reserva - sequenciamento de lavra
com incerteza (Ailton Rodrigues)
102 10998 103 99 106 107 109
30
35
40
45
50
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
2019 2024 2029 2034 2039 2044 2049 2054
Teo
r (%
)
Mas
sa (
Mt)
ITMI_VGR: Simulação KO F 0.1386 - TC 56% fe
massa fes_media fe+2s fe-2s fekrig
Aplicações práticas MRWS
Exemplo 5 – simulação local planejamento de curto prazo
(Janaína Gonçalves)
Aplicações práticas MRWS
Amostras LPAmostras
LP+CP
Lavra 2013 –
Modelo SIM - FE
Lavra 2013 – Modelo
oficial com domínios - FE
Simulação MRWSConsiderações finais
O Projeto Simulação MRWS está em fase desenvolvimento e
estudos futuros serão realizados, considerando múltiplas estruturas com
anisotropias e diversos dominios variográficos. Devido à sua
simplicidade, esse algorítmo pode ser facilmente adaptado em softwares
comerciais.
A simplificação no processo de simulação altera a forma como se
faz o controle de qualidade nas minas, pois introduz a análise de incerteza
de teores de maneira sistemática e contínua.
As simulações MRW podem ser utilizadas pelo planejamento de
lavra de longo e curto prazos para fazer análise de risco ao longo de todas
as etapas da vida útil da mina e avaliar a diluição do plano.
Outra aplicação importante é definir qual o erro aceitável para
reconciliações tendo em conta o suporte (períodos de lavra).
Simulação MRWS
Novos desenvolvimentos Vale/UFRGS
Krigagem Ordinária x Krigagem Simples
Correção de suporte
Relações entre suavização de variância x malha de amostragem x
malha simulação x fator f.
Generalização para outros modelos variográficos com
anisotropias
Desenvolvimento de novos algoritmos para habilitar o uso de
MRWS em softwares de domínio público
Otimização do tempo de processamento
Agradecimentos
Agradecemos à Vale por dar suporte a esse
projeto e à todos aqueles que tem colaborado ou
que estão desenvolvendo novas pesquisas com
esse tema.
Especial agradecimento ao professor João
Felipe da UFRGS, à equipe de geoestatística da
Vale Ferrosos e às turmas de planejamento de
longo prazo e operacional das minas de Brucutu e
Complexo Vargem Grande.