Nouvelles techniques numériques pour la simulation des ... · 0 + a2tŸ0 = PŸ 1 + a2tŸ1...

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Stage de fin d’étude

Nouvelles techniques numériques pourla simulation des écoulements diphasiques

dans les conduites pétrolières

Linda LINISE

Master Mathématiques et ApplicationsSpécialité Ingénierie Mathématique

(Parcours MPE)Université Pierre et Marie Curie

Direction Technologie, Informatique etMathématiques AppliquéesDépartement Mathématiques AppliquéesInstitut Français du Pétrole

Nouvelles techniques numeriques pour la simulation des ecoulements diphasiques dans les conduites petrolieres – p.1

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Plan de l’exposé

. Présentation

. Entreprise

. Équipe

. Écoulements diphasiques en conduites

. Contexte industriel

. Modèle mathématique

. Nouveau schéma : Lagrange-Projection. Approximation numérique. Conditions aux limites. 2nd ordre et terme source. Simulations numériques

. Bilan

Nouvelles techniques numeriques pour la simulation des ecoulements diphasiques dans les conduites petrolieres – p.2

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Entreprise

. Recherche. Recherche appliquée

. Études

. Formation. École du pétrole et des moteurs. Thèses — Post-doctorats

. Diffusion des connaissances. Colloques. Publication d’articles et d’ouvrages

∗ Oil & Gas Science and Technology

Presentation de l’Entreprise – p.3

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Recherche et Développement

. La R&D de l’IFP est organisée autour de 3 Centres de Résultats :. Exploration - Production. Raffinage - Pétrochimie

. Moteurs - Énergie

. 10 Divisions de recherche, dont la Division Technologie,Informatique et Mathématiques Appliquées.

. Les compétences de cette Division sont réparties dans 4départements, dont le Département Mathématiques Appliquées.

Presentation de l’Entreprise – p.4

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Présentation de l’équipe

. Institut Français du Pétrole

. Quang Huy TRAN (responsable)

. Nikolaï ANDRIANOV (post-doc)

. Linda LINISE

. Laboratoire Jacques-Louis Lions

. Marie POSTEL

. Frédéric COQUEL

Presentation de l’equipe – p.5

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TACITE

. TRANSPORT POLYPHASIQUE

. depuis la plate-forme deforage jusqu’à l’unité deproduction

. à travers les conduitesmunies d’équipementsvariés

. CODE COMMERCIAL (Fortran)

Transcient Analysis Code IFP Total Elf

Contexte industriel – p.6

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But d’une simulation

. Étant donnés. l’état initial (t = 0) des variables physiques le long de la conduite. un scénario imposé sur les conditions aux limites

- le débit total qT = qT(0, t)- le débit de gaz qG = qG(0, t)- la pression P = P(L, t)- une condition de non-retour : v(L, t)< 0 ⇒ Y(L, t) = 1.

Liquide

Gaz

Pression

. Prédire l’évolution de toutes les variables physiques dans le pipelineau cours du temps (t > 0)

Contexte physique – p.7

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Hypothèses et Équations physiques

Hypotheses :

. Écoulement isotherme diphasique (Gaz/liquide)

. Conduite horizontale

. Loi de glissement nul (v = vl = vp)

Equations : Lois de conservations moyennées par section

. Conservation de la masse de la phase

∂t(ρpRp) + ∂x(ρpRpv) = 0

. Conservation de la quantité de mouvement

∂t(ρv) + ∂x(ρv2 + P) = S

Modele physique – p.8

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Propriétés Mathématiques

On utilise le Drift-Flux Model :

∂t(ρ) + ∂x(ρv) = 0∂t(ρY) + ∂x(ρYv) = 0∂t(ρv) + ∂x(ρv2 + P) = 0

(∂tU + ∂xF(U) = 0

)

+ loi de fermeture (thermodynamique) : P = P(ρ, ρY)

. Le système obtenu est hyperbolique.

. 3 valeurs propres

. 2 correspondant aux vitesses des ondes acoustiques (rapides)

. 1 correspondant à la vitesse d’une onde cinématique (lente).

Modele mathematique – p.9

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Schémas existants

Il existe déjà 2 schémas en explicite et en semi-implicite :

. VFRoe

. coûte cher

. robuste mais ne garantit pas la positivité

. Relaxation

. coûte moins cher que VFRoe

. robuste et garantit la positivité en explicite uniquement

=⇒ Recherche d’un nouveau schéma

Schemas existants – p.10

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Lagrange - Projection

Idée : Décomposer le flux du modèle en une partie acoustique (nonlinéaire) et une partie transport (linéaire).

⇒ à chaque pas de temps, le schéma s’effectue en 2 étapes :

- étape Lagrangienne

ρ ∂t

τ

Yv

+ ∂x

−v0P

=

000

- étape de Projection

∂t

ρ

ρYρv

+ v ∂x

ρ

ρYρv

=

000

Nouveau schema – p.11

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Variables et notations

Introduisons

. deux nouvelles variables :

. le co-volume τ = 1/ρ

. et la variable lagrangienne y définie par

dx = vdt + τdy

. et de nouvelles notations :

Temps n n +12

n + 1

Variable X X X

Table 1: Corrélation temps - variable

Approximation numerique – p.12

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Relaxation

En “relaxant” les deux phases, on obtient :

. Phase Lagrange :

ρ∂t(τ) − ∂x(v) = 0ρ∂t(Y) = 0ρ∂t(v) + ∂x(Π) = 0ρ∂t(Π) + a2∂x(v) = 0

(1)

. Phase Projection :

∂t(ρ) + v∂x(ρ) = 0∂t(ρY) + v∂x(ρY) = 0∂t(ρv) + v∂x(ρv) = 0∂t(ρΠ) + v∂x(ρΠ) = 0

(2)

Schema en continu – p.13

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Discrétisation de la phase lagrangienne

Après discrétisation de (1), on obtient :

ρiτi − τi

∆t−

v∗i+1/2 − v∗i−1/2∆x

= 0

ρivi − vi

∆t−

Π∗i+1/2 − Π

∗i−1/2

∆x= 0

(3)

avec

Π∗i+1/2 =

Πi + Πi+12

+ avi − vi+1

2,

v∗i+1/2 =vi + vi+1

2+

Πi − Πi+12a

(4)

où (4) est la solution du problème de Riemann Eulérien (direct).

Schema explicite – p.14

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Discrétisation de la phase de projection

Après discrétisation de (2), on obtient :

ρi = ρi −∆t∆x

[(v∗i−1/2)

+(ρi − ρi−1) + (v∗i+1/2)−(ρi+1 − ρi)

]

(ρY)i = (ρY)i −∆t∆x

[(v∗i−1/2)

+((ρY)i − (ρY)i−1) + (v∗i+1/2)−((ρY)i+1 − (ρY)i)

]

(ρv)i = (ρv)i −∆t∆x

[(v∗i−1/2)

+((ρv)i − (ρv)i−1) + (v∗i+1/2)−((ρv)i+1 − (ρv)i)

]

(5)

avec ()+ la partie positive et ()− la partie négative.


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Relations

. Identite de Lagrange

ρi = ρi[1 +

∆t∆x

(v∗i+1/2 − v∗i−1/2)]

(6)

=⇒ Vérification de la consistance du schéma.

. Condition de positivite

1 +∆t∆x

((v∗i+1/2)

− − (v∗i−1/2)+)

> 0 (7)

=⇒ borne maximale pour∆t∆x

.


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Discrétisation de la phase lagrangienne (1)

En semi-implicite, la discrétisation du système (1) donne :

ρiτi − τi

∆t−

v∗i+1/2 − v∗i−1/2∆x

= 0

ρivi − vi

∆t−

Π∗i+1/2 − Π

∗i−1/2

∆x= 0

(8)

avec

Π∗i+1/2 =

Πi + Πi+12

+ avi − vi+1

2,

v∗i+1/2 =vi + vi+1

2+

Πi − Πi+12a

(9)

Schema semi-implicite – p.17

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Soient les incréments suivants :

δτi = τi − τi , δvi = vi − vi et δΠi = Πi − Πi

En posant ν =∆t

2∆x, et en considérant l’équation δΠi + a2δτi = 0 le

système (8) devient :

δτi −ν

ρi(δvi+1 − δvi−1) −

aν

ρi(δτi+1 − 2δτi + δτi−1) =

ν

ρiResi(τ)

δvi −a2ν

ρi(δτi+1 − δτi−1) −

aν

ρi(δvi+1 − 2δvi + δvi−1) =

ν

ρiResi(v)

avec,

Resi(τ) =v∗i+1/2 − v∗i−1/2

∆xet Resi(v) = −

Π∗i+1/2 − Π

∗i−1/2

∆x


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Il est commode d’introduire les variables suivantes :

{δC−

i = δvi − aδτiδC+

i = δvi+1 + aδτi+1

Ce qui permet d’écrire

2ν

ρiδC−

i−1 +1a(1 +

2aν

ρi)(δC+

i − δC−i ) − 2

ν

ρiδC+

i+1 =∆tρi

Resi(τ)

−2aν

ρiδC−

i−1 + (1 +2aν

ρi)(δC+

i − δC−i ) − 2a

ν

ρiδC+

i+1 =∆tρi

Resi(v)

=⇒ Systèmes matriciels en C−i et C+

i


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Conditions limites à l’amont (1)

A l’amont Les conditions imposées sont :

v0 = qT τ0 le débit totalΠ0 − av0 = Π1 − av1 l’annulation de l’onde v − aτ

Π0 + a2τ0 = Π1 + a2τ1 l’annulation de l’onde v

Par linéarisation de ce système, on obtient pour la dernière ligne

δΠ0 + a2δτ0 = δΠ1 + a2δτ1

orδΠ1 = −a2δτ1

donc,

δΠ0 = −a2δτ0.

Conditions limites a l’amont – p.20

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En linéarisant la deuxième condition imposée et d’après l’équationprécédente, on a

−a2δτ0 − aδv0 = −a2δτ1 − aδv1

c’est-à-dire(δC+)0 = (δC+)1

De la première équation v0 = qT τ0, on déduit une relation entre δC−0 et

δC+0 :

(1 +qTa

)δC−0 + (1 −

qTa

)δC+0 = τ0δqT


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La matrice du système en δC+ est :

1 −1 0 0 · · · 0

0 1 +2aν

ρ1−

2aν

ρ10 · · · 0

.... . .

. . .. . .

......

. . . 1 +2aν

ρi−

2aν

ρi

. . ....

......

. . .. . .

. . . 0... · · · · · · 0 1 +

2aν

ρN−

2aν

ρN0 · · · · · · · · · 0 ?


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Conditions limites à l’aval (1)

A l’aval Les conditions imposées sont :

ΠN+1 = P la pressionΠN+1 + avN+1 = ΠN + avN l’annulation de l’onde v + aτ

ΠN+1 + a2τN+1 = ΠN + a2τN l’annulation de l’onde v

Par linéarisation de ce système, on obtient pour la derniAère ligne

δΠN+1 + a2δτN+1 = δΠN + a2δτN

orδΠN = −a2δτN

donc,

δΠN+1 = −a2δτN+1

Conditions limites l’aval – p.23

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En linéarisant la deuxième condition imposée et d’après l’équationprécédente, on a

−a2δτN+1 + aδvN+1 = −a2δτN + aδvN

c’est-à-dire(δC−)N+1 = (δC−)N

De la première équation ΠN+1 = p, on déduit une relation entre δC−N+1 et

δC+N+1 :

δC−N+1 − δC+

N+1 =δΠN+1

a


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La matrice du système en δC+ est :

? 0 · · · · · · · · · 0

−2aν

ρ11 +

2aν

ρ10 · · · · · · 0

. . .. . .

. . ....

0 −2aν

ρi1 +

2aν

ρi

. . . · · · 0

.... . .

. . .. . .

. . ....

0 · · · 0 −2aν

ρN1 +

2aν

ρN0

0 · · · · · · 0 −1 1


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Point fixe

Idée : Avoir une méthode de résolution exploitant l’idée d’un “balayage”Soient

. H− l’algorithme de descente permettant d’obtenir δC−N+1 à partir de

δC−0 et,

. H+ l’algorithme de remontée permettant d’obtenir δC+0 à partir de

δC+N+1

La fonction

F : (δC−)0 7−→ (δC−)N+1 7−→ (δC+)N+1 7−→ (δC+)0 7−→ (δC−)0

est affine et contractante.

=⇒ Unicité du point fixe.

Conditions aux limites – p.26

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Pas de temps optimal (1)

Une condition suffisante pour avoir la condition de positivité est :

1 − 2λ maxi

|vi+1/2| > 0

or |vi+1/2| ≤ |vi+1/2| + |δvi+1/2|

Le but est d’obtenir |δvi+1/2| ≤ λMi+1/2

On impose alors sur chaque arête

1 − 2λ[ |vi+1/2| + λMi+1/2] > 0

Il faut prendre un λ telle que

λracine<

1|vi+1/2| +

√|vi+1/2|2 + 2Mi+1/2

Pas de temps – p.27

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Pas de temps optimal (2)

Majoration de |δvi+1/2| :

|δvi+1/2| ≤ 2ϕ(|S−|1≤j≤i ;

1 + θ

2τ0|qT | bb θ|S+|1≤j≤i

)

+ ϕ(|S+|i+1≤j≤N ;1a|δp| bb |S−|i+1≤j≤N)

où

. le paramètre θ est défini par : θ =1 − qT/a1 + qT/a

= 1 −a − qTa + qT

. S+ et S− sont, respectivement, le max des valeurs absolues de :

S+i = λ(Res(vi) + aRes(τi)) et de S−

i = λ(Res(vi) − aRes(τi))

. la fonction ϕ est définie, pour tout triplet A , B, C positifs, par :

ϕ(A; BbbC) =

max (A; B) si C ≤ |B − A|

A + B2

+C4

+(B − A)2

4Csi C > |B − A|

(10)

Pas de temps – p.28

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Lagrange-Projection : 2nd ordre

. Montée en ordre: Phase lagrangienne

=⇒ Méthode de Crank-Nicholson

. Montée en ordre: Phase de Projection

. Reconstruction linéaire

. Limitation sur les variables conservatives

. Respect du prinicipe du maximum

=⇒ Limitation sur Y − Ymin et Ymax − Y .

Lagrange-Projection : 2nd ordre – p.29

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Lagrange-Projection avec terme source

Procedure de SplittingSystème initial sous forme conservative

∂tU + ∂xF(U) = S(U)

. sans source :∂tU + ∂xF(U) = 0

. lié uniquement au terme source :

∂tU = S(U)

=⇒ Traitement de la Source dans la phase de Projection

Lagrange-Projection avec terme source – p.30

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Simulation : Variations du débit de liquide

On diminue le débit de liquide ql jusqu’à 0 en maintenant le débit de gazqG constant et en augmentant la Pression P.

Relaxation

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000Temps (s)

Debit total

0

20

40

60

80

100

120

140

0 200 400 600 800 1000Temps (s)

Debit Gaz

500000

1e+06

1.5e+06

2e+06

2.5e+06

3e+06

3.5e+06

4e+06

4.5e+06

0 200 400 600 800 1000Temps (s)

Pression

Lagrange−Projection

0

=⇒ Le schéma Lagrange-Projection supporte mieux les perturbations.

Simulations numeriques – p.31

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T EXprosper

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Simulation : Variations du débit de gaz

On augmente le débit de gaz qG en maintenant le débit de liquide ql et laPression P constants.

Ordre2 en espace

900

910

920

930

940

950

960

0 50 100 150 200 250 300Temps (s)

Debit total

90

100

110

120

130

140

150

160

0 50 100 150 200 250 300Temps (s)

Debit Gaz

2.3e+06

2.35e+06

2.4e+06

2.45e+06

2.5e+06

2.55e+06

2.6e+06

0 50 100 150 200 250 300Temps (s)

Pression

Ordre2 en espace et en temps

890

=⇒ Oscillations engendrées par Crank-Nicholson.


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T EXprosper

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Simulation : Variations du débit de gaz

On double le débit de gaz qG en maintenant le débit de liquide ql et laPression P constants.

Relaxation

1000

1002

1004

1006

1008

1010

1012

0 200 400 600 800 1000Temps (s)

Debit total

100

120

140

160

180

200

220

0 200 400 600 800 1000Temps (s)

Debit Gaz

460000 470000 480000 490000 500000 510000 520000 530000 540000 550000 560000

0 200 400 600 800 1000Temps (s)

Pression

Lagrange−Projection

998

=⇒ Les résultats des deux méthodes sont comparables.


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Bilan

. Travaux accomplis

. Mise en place des conditions aux limites- en explicite- en semi-implicite

. Majoration optimale de ∆t

. Mise en place du 2nd ordre

. “Approche” du terme source

. Travaux a accomplir

. Amélioration de l’intégration du terme source

. Conditions aux limites à l’ordre 2

Conclusion – p.34

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