Notes du mont Royal ← · crut in dextra parte extrema. parabolae. I p. 244 in figura ducatur...

Notes du mont Royal

Cette œuvre est hébergée sur « Notes du mont Royal » dans le cadre d’un

exposé gratuit sur la littérature.SOURCE DES IMAGES

Google Livres

www.notesdumontroyal.com 쐰

ABOHIMEDIS

OP E RA OMNIACUM COMMENTARIIS EUTOCH.

B CODICE FLORENTINO RECENSUIT, LATINE UERTIT

NOTISQUE ILLUSTRAUIT

J. L. HEIBERGDE. PHIL.

UOLUMEN Il.

l LIPSIAEIN AEDIBUS B. a. TEUBNERI.

maccpxm.

LITIIAI: En" I. 0. MISES.

PRAEFATIO.Cam in uolumine primo satis, ut opinor, de con-

silio, genere adiumentisque huïus editionis praefatussitu, huic praefationi nihil relinquitur, niai ut pencequaedam uel addam uel corrigea

In adnotatione igitur critica uolumînis I huer:addantur, de quibus postes demnm, quem prodieratuolnmen illud, ab Henrico Lebègue certior fœtus3mn:

I p. 56, 17 etiam in A est nepupepslag; quare scrib.,,corr. ed. Basilff.

1p. 116, 2 post "ed. Basilff ponenda. erat stellula.(nam ubi stellula. nomini editoris recen-tioris adponitur, hoc significatur, codicesParisinos denuo inspectos cum cod. Flo-rentino congruere).

1p. 122, 7 post ,,uulgoff stellula ponatur.I p. 132, 13 deleatur ,,corr. cd. Basilff nam in omni-

bus codd. est zo’ (excepto Florentino).p. 132, 18 post ,,ed. Basilff ponatur stellula.

I p. 150, 3 post ,,ed. Basilff ponatur stellula.p. 190, 19 pro ,,corr. ed. Basilff scribatur ,,corr. B

manu 2".I p. 216, 17 cod. C prorsus idem habet, quod F; in

B ita scribitur: û 56 1969 61’ En: aux!à; 1:6 Érato au zoos 2.6 1j (36 zoos ôzt

. «son ml (63 a; (in; si). cet.I p. 452, 20 0171:5 cum omnibus codd. Parisinis raci-

piendum erat.postremum moneo, sicubi signum interrogationis scrip-turae cod. Florentini adponatur, hoc non signifierai,me de collations mea. dubitare, sed codicem ipsumIectu difficilem esse, ita. ut promus certo dignosci ne-

IV PRAEFATIO.queat, quae sit scriptura. eius. unus tamen lecus ex-cipiendus est Il p. 352, 19. ibi enim ad Torellii scrip-turam rpépatog nihil e cod. Florentino adnotaui; sedcum et ante et post in eadem pagina legamus zpfipa,non dubito, quin errauerim, et hoc quoque loco n incod. Florentino reperiatur.

In uolumine altero p. 359 sq. recepi interpretatio-nom Tartaleae librorum, qui sunt 25.991 61012115110011,quia. intellexeram, Commandinum suo Marte plurima.mutasse, ita ut forma genuina, in qua libri illi nobistraditi sunt, ex Tartalea solo cognosci posait. itaguecum liber eius satis rarus sit, interesse putaui, utdenuo cum fide ederetur quasi fundamentum boscolibros emendandi. sed hac ipsa re accidit, ut libriilli forma corruptissima et ita, ut interdum intelleginon possint, prodirent. sed cum intellexerim, eos tamfideliter e Graeco conuersos esse, ut pristina formaubique fera adpareat, constitui, postes. aliquando, siotium mihi contigerit, hos libros Graece conuertere.tum demum licebit de lacunis explendis et erroribusplurimis foedissimisque corrigendis seuere cogitare.dum hoc fiat, habitu barbaro et dilacerato, quo adnos pemenerunt, hic quoque prodeant. hoc loco inter-ponere libet, quae Carolus Thurot u. d. ad emen-dandos libros illos contulit (Recherches sur le prin-cipe d’Archimède. Revue archéologique 1868-69).Il p. 356, 4: Maman] delet C. Thurot.Il p. 356, 6: «liman: mimi) péquin] mima 6è rà m’y-

- 105 péon idem.Il p. 357, 10: taoflaçfi iam suspicatus est Thurot.Il p. 358, 10: nutafiaëvœdt] uazafiaîoz idem.II p. 358, 2: Zooflapfi iam Thurot.praoterea in u rbis Tartaleae citandis saepe es uel cor-rigit uel explioat additis .Graecis, in quo saepe in

PRAEFATIO. Veadem incidit, quae ego in adnotationibus posai. delacune. p. 369, 5 haec habet: peut-être y avait-il: eneffet, si a n’était pas entièrement au-dessous de la.surface, le volume du liquide égal à la. portion plon-gée aurait un poids moindre que ad. idemuir doctus(Revue critique 1880 nr. 2) quaestionem obscuram acdifficilem, utrum TartaIea ipse codicem Graecum ha-buerit necne, ita solucre conatur, ut putet, libros illosTartaleae causa ab homine Graecae linguae satis pe-nto, sed qui mathematicam non calleret, e Graeco

qconuersos esse. praeterea consensum Thuroti (Recher-ches etc. p. l2 not. 2) de auctoritate editionis Tar-taleae laetus commemoro, de que ita iudicat: nousmontrerons plus bas que cette publication est la seulebase authentique qui puisse jusqu’ici servir à. établirle texte de ce traité d’Archimède. -- sero animaduerti,pro littera æ usurpandam fuisse litteram 31’, ut fecitCommandinus; nam apud Tartaleam haec littera, quaesaepius formam litterae x prae se fert, interdum ta-men litterae IF simillima est, ita ut ueri simile sit,Tartaleam semper banc litteram reddi uoluisse.

De lemmatis hoc addendum uidetur, MauritiumCantor (Vorlesungen über d. Gesch. der Math. p. 255-57) nuper pluribus de quibusdam eorum propositio-nibus egisse. quae Curtzius et Steinschneiderus dehuius libri apud Arabes fatis disputauerunt, breui re-censere in animo mihi est.

De codice Parisino problematis bouini e litterisHenriei Lebègue haec cognoui. codex Graecus 2448inter alia hoc epigramma et id quidam tertio lococontinet. de eo in Catalogo codd. mes. bibliothecaeregina Il p. 504 haec leguntur:

MMCDXLVIII.,,- 3°. Archimedis supposititia ad Eratosthenem

V1 PRAEFATIO.

epistola sive problema Alexandrinis versibus scriptumde bobus solis sacrîs -.

Codex bombycinus, olim Colbertinus.Is codex saeculo decimo quarto exaratus videturfi.

conspectus scripturae discrepantiae, in quo de accenti-bus

Il.

hoc

FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

et L subscripto (quod saepe omittitur) tacui, hic est:4: ôaddape’vn] 64160;qu cod. Paris. 2448.5: 0210266011141] alterum 6 supra Paris. 2448.

12: niçoise) ce] sic cod. Paris. 2448.13: 156w] sic. eod. Paris. 2448.16: atlas] mimais.16: loœgopévovg] [6:21.onon19: 15179:2’197] sic.

20: perpétra] sic.22: miens] 1026m9.22: sexopëvng] élongerais.23: àys’lnç] 6’ àys’lng (et sic Struuius).

24: scrotum capeya: i27: 4300511] fiées.

29: 1964m] moufla.30: lirai] Âa’ymo.31: évapiômoç] sic.38: âpfioloiônv] àpfioldvônv.40: oïiz’ ëxLÂæLzopa’vmv] oüt’ «démoucheta

41: agazéôeadw] «pommeau.41: amadous] 45691731419.42: a; 35’118] Serve roi.

44: 151161.71] môme.

problema Archimedi re uera tribuendum esse,quamquam dubitari posait, an ipsi uersiculi ab eo con-scripti non sint (quad ipse admiseram Quaest. Archim.p. 26 net. 1), etiam Krumbiegelius censet; quem deexplicando uerbo ulivôov u. 36 (si modo explicaripotest) mecum consentire (l. 1. p. 134) gaudeo. sed

PRAEFATIO. VIIin eo sententiam meam minus recto intellexit, quodputauit, me causis a me adlatis demonstrare uoluisse,Archimedem huius epigrammatis auctorem esse. namhoc solum ostendere conatus sum, nihil esse, cur aben discederemus, quod traditum est, his uersibus con-tineri problema ab Archimede propositum. de re ap-tissime me monuit L. ’Oppermannus, eo quoque confir-mari originem problematis Archimedeam, quad numeritam scite eleeti sint, ut cito ad ingentes numeros per-ueniatur, in quo ipso auctor problematis praecipuam eiusdifficultatem inesse uoluerit. coniecturam meam in u. 24:

araucan iodoifipov «Millas Exova’ êtpoimy,

quàm palaeographice explicare passe uideor, tamennunc improbaui, quia momifia] tum de grege vaccarumvariarum, non de toto grege varie, accipiendum erat,quod fieri uix potest. - etiam iudicium Mauritii Can-tor u. d. de hoc problemate adferre iuuat: Vorlesungenüber d. Gesch. d. Math. I p. 268: Zu einem Ergeb-nisse kommen wir allerdings auch hier: dass nâmlichein Grand das Rinderproblem damm für untergescho-ben zu erklâren, weil Archimed es nicht habe lôsenkônnen, in keiner Weise vorliegt.

Inter fragmenta catoptricorum recipere potueramMichaelisPselli locum in synopsi mathemat. p. 73 cd.Xylandri: (lova-56v pâmai nul duras abrogiez choucaszfi 54.996691 xmjoufirûm, unifiât (Matou and Embauche39 arc-55’ 1:ch épope’vmv 1) 1:te :179 1571? 6’1va «coapt-

ôog, 69:66:] du du zà pëyefloç, zip! (502136011 étolpmç5961.01: «ces raja! Æ ânon mis xvpœplôog uœtaanfëag

dandy, n59 très clapota; 7179 ce 60213601; nul. tfig nuqu-çu’ôog ü i601) dmaazoatepazoûo’rûai 6mois. and 6150 év-

zeôfiev àuorelæ’aaç touyniwœ aûtôôev êmjyœysv’ 312

1.67011 1) à) âmm’dço napalm] omà zig (505236011 npôg aIÏv’njv

1) épouserois Xylander.

k vu: pneumo.515: suiv édfiôov, 1:61: «261611 and 1j à: shuntât,» ni; aupa-

pL’ôog and smog «61:53:; Exel. zip: nvgaplôœ. nul. lomôv

tfi diaperçojoa a"); matis tfig nvçapiôog 170 mît; avouai-ôog dams par; t’emmerde: ôfilov xatëo’rnaev. nam ueri

simile est, banc narratiunculam inde ortam esse, quodin catoptricis Archimedis inueniebatur propositio ali-qua de altitudinibus ex umbra dimetiendis, qualis estEuclidis optic. prop. 18.

ultimo loco adnotabo errores typographicos,quos quidem adhuc deprehenderim.

Scriptum est: Scribendum erat:I p. 24, 15: negtyoîwat nsçtypoîwm.I p. 46, 7: 560154217 looôdnî.

I p. 106, 9: 1] .I p. 240, 20: rufian à; rufian, n59I p. 380, 25: 9:09an accompli:I p. 424, 5: ovôè oûôè

Il p. 146, 20: 51mm. ËZŒ’IJ’H; et in notisp. 147 addendum: ,,2*.510w: F, uulgoff

in figura I p. 360 littera F excidit, quae ponendacrut in dextra parte extrema. parabolae. I p. 244 infigura ducatur linea AK.

praeterea non raro in accentibus more Doriensiumponendis erraui, uelut quod in futuri tertia persona.num. sing. circumflexum non posui, et omnino in dia-lecto restituenda fortasse parum mihi constiti. sedhuic rei aliquatenus mederi me pesse spero, collectisomnibus dialecti Doricae uestigiis, quae apud Archi-medem occurrunt. hoc et materiem disputandi abe-riorem et, ut arbitror, fructuosiorem, carte mihi fami-liariorem, quem praebet quaestio de codicibus aesti-maudis, praefationi uoluminis tertii sepono.

Scrib. Hauniae Cal. Februariis MDCCCLXXXI.

DE LINEIS SPIRALIBUS.

Archimedu sa. Heiberg. Il. 1

10

16

20

3401111156119 400119191 10105111.

T1511 1101?. K6111ro110: 61061011501010 0501011110210111,

1511159 0511 0135?. 111:5 111106515019 511516151151; (.101. yçâwm,

10511 11511 111511010111 511 1013 1511:0 e1100111151560: 11011160511-

1566111 5151.9 75700111115009, 11110:; 61 011511511 110:1 5’11 19565

195 131131591 71902111019 511101511011 101.. 11.17 6011111016119 65’,

51’ 11115150110: 10611011 11011360211159 àn6l60peg 111:; 111110651210;

«1311511. dupflaive: 7019 101310 ysyevfidôœ: 61.13: 10 130v-1566011 115 11106150011 616611511 10tç 11501 11?: 1112815110110:

npœypanvope’vou; 110:1. 110:615155111 11111113: 11110111001111.4001;

116110: 7010 10511 6’11 y5œp510iq: 6500011110211011 0111: 513111.50-

060: 511 01910? 111011151111: 1961191 10:11 58597016150111 1111111302-

1101111; Kôvaw 11111 01111 0131 [110111011 10431011 à; 113111 p.05-

0151111111 011511511 10611011 p.510É111xës11 1011 fltov’ fi 61710:

5110151311511 1:11: 101510: 11011110: 51590511, 110:1. 151’110: 110110: 5E-

51100511 511:1. 10 111151011 npooîyayev y5wp51pla11. 51116102-

psôa 70:9 15110195260111 01151,15 6151156111 013 10111 111x01îea11

11501 10 11011911110: 110:1 01110110115011 157159002110060111. 11510:

6è 10:11 K611011101; 151511111111 110110511 515’011: 51117575111)-

p5’110111 0116" 1301’ 500g 0116511 11511 110013117p1i10011 011’600:-

11611560: 1:51:11113111’11011. 130v1611a1 65 1:0:6’ 311 511061011

0:1310511 110051157110200111’ 110:1 70:0 61111431111151 6110 11113:

1. 210001059: F, nulgo. 2. 05001211011001: F. 3. 011065:-Eiac] scripsi, ut lin. 7; 011106516 cum com . ne F; 11301111511;nulgo. 7. 511616011511 F, uulgo. 11. 11600: Barrowins; 11010: F,

Archimedes Dositheo s.

Eorum theorematum, quae ad Cononem miseram,quorum demonstrationes semper me perscribere iubes,plerasque demonstrationes in iis llibris perscriptas habes,quos Heraclides ad te pertulit, nonnullas autem etiamhoc libro perscriptas ad te mitto. neu miratus sis,si diutius moratus demonstrationes eorum edidi. hocenim ca de causa factum est, quod prius ea uolui per-mittere mathematices studiosis, et qui ipsi ea scru-tari malint. quot enim geometriae theoremata, quaeinitie difficilia inuentu uidebantur, postes tandem con-fecta sunt? Conon igitur, antequam satis temporis adca perscrutanda ei contigit, mortuus est; alioquin eaillustrasset, his omnibus inuentis, et multis aliis in-süper de suo inuentis geometriam amplificasset. sci-mus enim, ei fuisse et peritiam mathematices singu-larem et industriam praecipuam. sed multis iam postmortem Cononis annis interiectis nondum ullum pro-blematum illorum quemquam adtigisse comperimus.singula autem hoc loco adferam. accidit enim, ut duo

uulgo. -18’500m1.a1m11 F. l2. 111111] 11711 par comp. F; corr.Torellius. 13. 01311] addidi; 0m. F, uulgo. 14. fi 617101]Mad ’ ’us; 0161110: F, nulgo; 110:1 0161210: ed. Basi1., Torellius.15. 1:0: scrîpsi; 110:1. F, uulgo. 16. 31:1] scripsi; 1:01: en: F,uulgo. 10:11 ysœparçfav? 17. 0111150 cum camp. 1111 F.l9. K001100110: F, nulgo.

1*

10

15

20

4 HEPI EAnmN.0:1110511 5’11 01151013 11,511 nezco910p5’va, 15’101; 65 11095116-

951112, 511019 al 91121151101. 11.511 110111111: 51591511115111, 0111:6-

651ëw 65 «1311511 01165111011 5119159611159 é15yu051110u alu

11060111010y1p:615g 515915015111 101 0161111111101. 10:11:11: 611

«on: 10511 1190131qu10111 511115, ml. 1l110111 111:9 02110651301;

5’151; 615010:11:5an, 1111:1 11050111 5’11 19’565 193 131151691

uoplÇop5g, 601196:01:59 51191091153121. 101. 119051011 61)10511 119013117111111011 fiv’ «palpas 6065ldag 511K1156011

lamier 51595111 [6011 19? 51119111115159: 1&9 69101190:g’ 3 61)

1111:1 1119051011 57511510 1p1x1159ô11 511609511109 1017 11:59). 16:11

69101190111 1111111011. 65110511103 7019, 311 micas 111110:19:13

0’: 5111911111510: 15191211101051: 5011 1013 1157611011 1111111011

10511 511 11,3 09111l991, 6111011, à; 61111011611 5’611. 10191011

511111156011 51595111 10011 11,? 5111911111519: 1&9 691011:90:51. 6511-

159011 65” 110511011 609511109 ü 1:1111’1169011 6910:190111 56-

95511 [60:11 195 11151191 fi 195 1:1111’116990. 19111011 65” 10:11

600517:10:11 apat9a11 15111115690 1511.5111 .5615 10: 141112:10:10:

whig 11:01’ 61111110: 1011 1011051110: 167011 515111. 1510:9-

1011 6a” 10:11 6065tda11 6910690111 5111115691 15115111 15615

11?: 151111:11:11: 101g inupavstag 1011 101x65’v10: 1611011 5151.11

11:01’ 11110401. 11511111011 6e” 10 600111 11:01:10: «palpas

193 60951111. 11.1021101111. 119111:59:19 51101016011. 5111011 65”

6150 60651111011 11101110510011 11911119019 51’15 10":; 01151019 51’115

1. 011310511] scripsi; 10011 F, uulgo. 511 côtoie] scripsi cumNizzio; et 01111:0: F, uulgo; 5111131101 retentis 10’111 et mi Madui ’us.

p51] p11 F; con. ad. Basilfl 11510940115110: F; con-.B*; 5 11.51111510091011590: Torellius cum Barrowio. 1510; Niuius; 151011;F. un] o. 31105061151112] soriplqi; 3015011011511 , uulgo; n°1011-009511 w; étouuèôpsn: orellius; 01305006115110: uel 01365-1100’ 55111110: Niasius; fort. 1510111; 611 11011656115101. 2. 910100:F. 51191111: cum camp. 1111 F, ut lin. 4, 9, 14. 3. aïe: 11000:-poloynuésec] seripsi; 0:1:000011010711m15c F, uulgo; et :00’ 6110-loynxôuc Barrow, Torellius. 5. 011206515 cum camp. ne F.

6. fizflllp] alterum a, supra manu 1 F. 7. 110111:09:51:

DE LINEIS SPIRALIBUS. 5quaedam eorum inter en. collocata aint, confiai autemnon possint, ut isti, qui se omnia innenire dictitent,nullam autem demonstrationem eorum in mediumproferant, aliquando redarguantur, quippe qui absurda.etiam se inuenire posse professi sint. en autem pro-blemata. qualis. sint, et quorum demonstrationes per-scriptas habeas, et qualium demonstrationes hoc libroadferamus, mihi nisum est tecum communicare. pri-mum igitur problema. hoc erat: data sphaera plenumspatium inuenire superficiei sphaerae aequale [de sph.et cyl. Il p. 190], id quod etiam primum palam factumest, edito de sphaera libro. cum enim demonstratumait, superficiem sphaerae quadruplo maiorem esse cir-cula maxima sphaerae [de sph. et cyl. I, 33], ad-paret fieri posse, ut inueniatur spatium planum super-ficiei sphaerae aequale. secundum autem hoc erat:dato cono uel cylindro sphaeram inuenire cono uelcylindre aequalem [de sph. et cyl. Il, 1]. tertiumautem: datam sphaeram plana secare, ita ut segmentaeius inter se datam rationem habeant [ib. Il, 4]. quar-tum autem: datam sphaeram plana secare, ita ut seg-menta superficiei inter se datam rationem habeant [ib.H, 3]. quintum autem: datum segmentum sphaeraedato segmento sphaerae simile reddere [chu ib. Il, 5].sextum autem: datis duobus sphaerae segmentis sine

F; corr. Torellius. Jouzpâtopeâ] scripsi; doumatowuc F,nul o. «ËWWŒŒ B; imputera orellius; émanant: A, ed.B . 8. 800m1 cum comp. ne F; com Torellius. 10. du:manieur] scripai; 1m! (comp.) «meneur F, unlgo; füc aquatiqueTorellius. 16. ne cum comp. m: F, ut lin. 17, 19, p. 6 l. 117. tangara F; corr. Torellius; sic semper in omnibus 1min:uerbi formis in hoc libro, niai ubi contra adnotatum est.18. au"); F; corr. Torellius. 21. 7mm": F.

10

15

20

25

6 IlEPI EMMN.60.11419 5139553: u ruilant amadous, 3 ëaaeirat 4161:3) phiôuomv 195 515’993 145v tynpoizmv, rôw 6è ëmqwîvezav

l’ami êta 1:9? émouvais: 1:05 ên’pov 74.4024441109. Efiôopov’

aïno 1&9 600516419 «palpas quina ânonnai: êmne’ôç)

1561:5 zô ruina and son: 91050012 161i fléau! 510mo: du!«618w 193 mémo aux), W09 taon; 1:61! taxûe’vm 1.6701!

515w (tatoua 106, 31’ 515L rà rota and rà 6150. zod-raw pèv 0151! 170511 simpe’vm’u 1:02me rôts 021066425419

’Hpaulelôaç âuôuzëev. to ü puât mâta nexœozo’ps’vov

wsôôog in Eau 65” et aux amadou Ëfitflê’ôlp 151M sis52mm, 1:6 perçai; 155462510: «01:1 1:6 51056601! ôdec’ova

1.67012 555L, fi à palan: êmqaévew and du: ëÂâao’oæm.ô’u ôîs 1051:0 wsôôo’g éon, ôbà 14.511 «pomearalue’vœv (pa-

vepôv écu. nexmplfazat 7&9 à) mitois tôôe’ si aux amadou

érafléôç) 1:an et; ëmda noz’ 69813:9 ôzape’tptp un)! 145v

à; 1:97 «palpe: 1&9 ph! êmcpavstuç «à 41.555012 rpâpa un)

1:6 511160011 1561! «616v 58a 2.67011, 31’ 1:6 smilax t6gaïac; 1&9 ôzape’rpov «012 1:6 514260011, to 6è 41.512011

mêla: 1&9 dqmc’pag «où «a 51.416001; adonniez phi fi 6L-

zléo’zov 1.67011 au soif, au 515L à pékan: 15115430111514

un! du! 151056601141, Faitout: 6è fi ûptôhov. fis! 6è nulra gnomon xexmpwue’vov 11151! «90131th0211 41517609,(in, a! un: «palpas uvôg à ôtéparpog fumâfi (56:5 1:6duo son? (LSŒ’ËO’IIOQ 14402414709 terpéynwov tptulédtov

dm 1:05 tatpayaîvov 1’05 0211:6 toô 0.432600on quipo;-

7. p, pagaya F; con. Nizzius. 8. 061:] par comp. F;0m. ed. aveu. «1065:5ch F, uulgo. 9. sua un F, uulgo.10. r 7101411]; corr. Torellius; et sic per totum une librum inomnigus uius uerbi formis (etiam in compositis), ubi nihil ad-notstum est. 16. not’] zoés par com . F; con. Torellius.16. zâc ph! incantions] addidi Neue J b. Suppl. XI p. 897;0m. F, uulgo. «et! tô llanos --- 19. t6 6è mitas quipo;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 7eiusdem sine alius segmentum sphaerae inuenire, quadipsum alteri, segmenta aequale sit, superficiem autemalterius segmenti superficiei aequalem habeat [ib.Il, 6]. septimum: a data sphaera segmentum planaabscindere, ita. ut segmentum ad conum basim sandemhabentem, quem segmentum, et altitudinem aequalemdatam rationem habest maiorem quam 3: 2 [ib. Il, 7].harum igitur omnium, quae nominauimus, proble-matum demonstrationes Hemclides ad te pertulit. sedquad deinde positum erat, falsum erat. est autemhuiusmadi: si sphaera plana in partes inaequales secu-tur, mains segmentum ad minus duplicem rationemhabet, quam maior superficies ad minorem. hoc autemfalsum esse ex iis, quae antea ad te missa sunt, ad-paret. in iis enim hoc positum est: si sphaera inpartes inaequalss secatur plana ad diametrum aliquamsphaerae perpendiculari, superficiei segmentum mainsad minus eaudem habebit rationem, quam maior parsdiametri ad minorem, sphaerae autem segmentummaius ad minus minorem quam duplicem rationemhabet, quam maior superficies ad minorem, maioremuero quem sesquialteram [ib. Il, 8]. uerum etiamproblema ultimo loco positum falsum ont: si alicuiussphaerae diametrus ita secatur, ut quadratum partismaioris tripla mains sit quadrato partis minoris, etpet hoc punetuml) plenum ad diametrum perpen-

1) Se. in quo diametrus ita diuisa est.

delet Nizzius. 18. dé] scripsi ibid.; 7410 F, uulgo. 19. Élus-mw] am. FV. 21. un! mir] 11:90; (comp.) sur (comp.) F; corr.Torellius. 23. fi F; cor-r. Torellius.

8 i IIEPI EAIKSÆN.rag, nul ôtà roi) camion 1:06:00 ëzlneôov âxûèv «01’

69002; râ daups’tpço vélum du: cardigan), 1:0 toaoütov193 51’651. enflant, oîôv écu 1:0 (ÆÆÏCO’II 1&9 amadous zpâpa,

péycdrôv écu 145v film: maudirai! 1051: ëxôwaw l’amib du: émtpoîvemv. du de 1:05170 111513669 éon, M1101: 6L6:

14.511 ngoanedwlpëvmv ôempnpoîrmv. ôsôelxrao 7029,51L tô ûqumlpwv manda» écu 1.151: nepzexoue’vœv132:0 tous êxcçava’aç 693040119 marmita»). (and; 615101510;

and 105 univav apofisfilæyue’va 561:1 réda’ et na 6900-10 yawo’ov 39051100 tout (1.5110150119 rüg chapiteau materez-

81], (5616 siam: demie: du: ôtépsrpov, sa «amalgames!01mm 1571:0 râg 1:05 600070011500 3:61:00 17041.07; 5603110-

ezôèg uaÂslo’âœ. aux). a! un: vos? unwoeuîéog cylindras

sulfatation. gnlîllü’ljn, amplis 6è 1:0 ézzwaôav ënlnsôov 3Mo

15 ëxéatsôav élidés! duodi"; u tpâfla 1’05 umvosaôêoç, son.)

ânozpaôéwog rudpatog [3020:3 très; ualadaôœ 1:0 âno-n’uvov êm’zeôov, xopvtpà 6è 1:0 604181011, uuô’ 3 3m-

1pmîu sa Êtepov ëxlzeôov 1:05 mvoeaôéog. si 65’ aux

sa sipqpévov 0117m: êmaréôcp spuôfi zor’ 6006:9 11,5

20 350m, 51:1. ph: à topât miaulas finalisa, ôfilav’ 5m 6èra ànotpaôèv rpâpa muséum) ëaastfzm 105 m6000vos? fiédw 51011109 1&1! 01316111 1:93 méplats aux). ôzpag

i000, défia: dei. zut si aux un? mvoaôe’og 6150 moï-pata 021014:42:35va êmm’ôocg 610360171: àyps’vozg, 51:1.

25 ph! 013v ont topai écamhmu 63070311174012 uoîvmv tapai,ôfilov, et au: rôt ànoze’pvma ëntateôa (la) 69m) 5mmand 1:01) â’ëova’ du 6è 1:6: guipant noz’ (filant 1017-

1. ("muon F; corr. Torellius; et sic per totnm librum, ubinihil adnotatum est. 1:06:00] scripsi; 1:0 F, nulgo; u? 2. 1&9]sur F; corr. Torellius. 8. au!" F. 12. me (comp.) . . .rom]: F; 001T. Torellius. 16. üxmpah’noc] sic F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 9diculare ducatur et sphaeram secet, figura talis specie,quale est mains segmentum sphaerae, maxima estomnium segmentorum aequalem superficiem haben-tium. hoc autem falsum esse, ex iis theorematis, quaeantea ad te missa sunt, adparet. ibi enim deman-stratum est, hemisphaerium maximum esse segmento-mm aequali superficie sphaerae comprehensorum [ib.H, 9]. deinde de canal) hase orant proposita: sisectio coni rectanguli manente diametro circumuolui-tu, ita ut diametrus ait axis, figura sections coni rect-anguli comprehensa conoides uocetur [chu de conoid.p. 274]. et si planum conoides cantingit, et aliudplanum contingenti parallelum segmentum aliquodconoidis abscindit, segmenti abscisi basis uoceturplanum abscindens, uertex autem punctum, in quealterum planum conoides contingitu sin autem figura,quam commemorauimus, plana ad axem perpendicu-lari secatur, sectionem circulum fore, adparet; sed seg-mentum abscisum dimidia parte maius futurum essecana basim eandem habenti, quam segmentum, etaltitudinem aequalem, demonstrandum est [de conoid.21]. et si a canoide duo segmenta planis quouismodo ductis abscinduntur, sectianes conorum scuti-angulorum sectiones futures esse, si plana absein-dentia ad axem perpendicularia non sint, adparet [deconoid. 12]; segmenta autem eam inter se ratianem

1) Uidendum est, ne scribendum sit r05 nævofldéoc lin. 9.

17. maman F, unlgo. 18. M] on F; corr. ed. Basil.* v un]scripsi; au: F, nulga. 25. dEvymllov saison Nizzius cum C,Cr. 26. «somas (cum camp. 01) tu F0.

10 HEPI aman.1:01: êEoüvu 1:01; 10’701), 312 5’10er 61112021050 zor’ 0’511:

las 0d 021:0 50’212 110012920712 011500511 &yys’vab 1501902 ni

5220110: (05’190 511:2 1131 510110560: fà répvowa, 05515555 65

101550012 6’ a! &noôszëtsç ointe) son ànoazeuôwm. p.81:

5 de m1310; 15501 raïs 57.51109 151; «pofisfilnuéva 10113:0ëml 6è 1561050 5Mo 1:0 751101; 1000131qu50111 0156511 3m11010010561154.1111 rots upascgnpe’vozg’ 150m1 0511 à: .1936

1,6 fifilles 1&9 ânoôstgfœg yeypaqafixœpég 10L. 50’101! ô

50265’ 5l au 5602m 790111100? 5’11 3150155600 10511012109 001

10 515’901: «épuras (0010515009 15500505105100 02150110115016er

10021.00, 6’351; 15911016511, 54001 6è réé y01140110? nepcqasçopévç

0259150010 a 604105501: [cornéens 011510 5’011)ng mais tés si»

050’015- 0’1950210511011 du?) 1’017 1550012109 m’auras, 1:0 601105101:

57.an 7100511150 à; 1:95 àmze’ôcp. 020ml dû sa ncçzlaqæfl’èv

15 1009001; 15106 se 0&9 32.01109 110115029 01519500; 1&9 02150100110;-

o’tœfistaag, 3’380 1501000511, 5001-011 105’009 sium; 5017

1115111101: 1013 71901921512103 uévtpçs phi 195 (dévora 60111010),

ôcaatfipan dt a? 51505001 10? ôcmamfaqz 151:0 1013 a0:-uelov 5’11 1:0? me? 1050090000? 1&9 515050019. ml si au 5&5,

20 57.5110; 3150111011517 1L9 sôôstœ and: ta négus 1&9 au: isa Ëaxatov 7511610511011, 017.101 65’ mg 5605M 1:0? meazôsio’gz au! ânomœataôslaqz 70040100? «00’ 6000:; «il

aïno 1:06 10512011104; 150011109 mirés, 03’015 épuceras 1

(51500010013001, (papi. 5021: 01050110510041: 51585t0w l’eau Élu

25 1:0": 5013 111511101: mpupcadgz. and et 010: à 115010701111107005111143: and 1:0 camion sa 9150611511012 m’ 01150623 151.51

1. 5101m] scripsi; 51mm F, uulgo. 3. bal rai] scripsïîtu F, uulgo. tà rémora] scripsi; 502 0m. F, un] a. 4. au6515 cum camp. ne F; ânodslêuç uulgo. adorai Torellius eNizzius; 01mn F, nulgo. a. 5111101: F; corr. Buowœvsôwaw] scripsi; unewœvemu F, nulgo; 3121310110!5101m: Barrowius; enflamma 5169100 Torellius; "communi-

DE LINEIS SPIRALIBUS. Ilhabitua esse, quem habeant quadrata linearum, quae.a uerticibus eorum asque ad plana abscindentia axipmHelae ducant-ur, demonstrandum est [ib. 24]. ho-nni autem demonstretiones nondum ad te mittuntur,post haec autem de linea. spirali haec proposita orant;sut autem quasi aliud problematum genus, quaecum fis, quae adhuc commemorauimus, nihil communebabent; de quibus hoc libre demonstrationes tibiperscripsimus. saut autem hase: si linea recta, ma-nente altero termine, in plano aequabiliter circumactarursus in enm locum restituitur, unde coepta estmoueri, et simul dam linea circumagitur, punctumaliquod aequabiliter sibi ipsi in linea promouetur atermine manants incipiens, punctum in plano spiralemdescribet. dico igitur, spetium comprehensum spiraliet linea. in cum locum restituta, unde moueri coeptaest, .tertiam pattern esse circuli, cuius centrum sitterminus manens, radius autem linea a puncto in unalineae circumuolutione permeata [prop. 24]. et silima in extremo termino spiralis spiralem conting-it,alia autem linea a termina manente ad lineam circum-actam et in suum locum restitutam perpendicularisducitur, ita ut in lineam contingentem incidat, dico,lineam ita [ad contingentem] ductam circuli ambituiaequalem esse [prop.-18]. et si linea, quae circum-agitur, et punctum, quad in se. monetur, pluribus

and Cr. . 8. ysyouqmuausv F, uulgo. 10L]Torellius; son F,vulgo. 9. me; 21men F mg. 16. comme» F. 23. négus:côte-:9] me; se une F; con. Torellius. 24. (pan F; corr. To-rellius. "(321036111 F; cors. Torellius; fort. agoazeeïauw’.

12 IIEPI EAIKQN.6110:9 zepcqaopàg nepzavsxôæ’awn ml &azoxa1ad1aâe’œv-z

2102111, 58512 disputeur, «papi 105 gazole!) 1m? à, aôswéggz «sommet; moulutpâe’wog 15:16 1&9 glanas 1:

44h; à: 19? 19mg: uraniums.) ôurléazov 5666160051, 1:.5 6è à! 19? union; 1917110561011, 1è 6è à; 19? 1185511114

1s19aatloîo’aov, ml 0252 1è à: 1at9 56159011 «somment

nouletpfiavôpsvœ 1mm: and 10139 ëëfig &pufipoùg 1102.

Mandate: évaluant, 106 à: 1& 65121:!ng «soumet? nonlaœôs’wogi 1b 6è ëv 19? 11911519: 51891412009? zœzlatpôè

10 1019101 31101 pépog 515m: 1017 à: 1g? 65121599; 11591112094

nouletqrfiæ’vtog papion. Ml si aux (En), 1&9 57.43109 1&1à: (ne? 515940099? yeypappe’vaç 6150 dupera laçôe’mvta

un), &11’ 4161611 êmçevxôëmwz 6151355114 fini 1è pepswmôg

négus 1&9 neptevsxôsfdag ypaypà’g, au), adulai, 015c15 ypupéœwz admet,» phi 195 papævmôn auguste)», macro]-

540215664. 6è 10m3 énztevzôêtdazg éd 1è papsvaxôç 1159425

1&9 dadas, ml à êlâaaaw 1&1; ëzagsvxlfiswâv garum".fifi, (papi 1è negzlatpflèv xmpfov 13116 1e 1&9 105 psiçovoguôxlov mpupcçstaç 1&9 3111143: «1’213! 19:" 514m mugi; 1&1:

20 aôôsa&v 15066019 ml 1&9 52.11109 nul 1&9 51508!on 1&9 3x-filnôelaag :1012 1è nsçblatpôè’u lamiez: 15916 1e 1&9 toi

éléaaovog mimiez: mpupspsiag aux), 1&9 aü1&9 57.13409 and1&9 5131954219 1&9 ëmçevyvoüaaç 1è m’ont: mî1&v 10510:»

étau: 1ôv 1.67012, 311 5st à à: 105 21151119012 105 fléa-

25 601109 mission: 51516: 6150 1pt1apoplow 1&9 ônspoxâg, il;

1521595154 à à: 105 dv1901: 1013 pettovog xtbclov 1&9à: 105 ue’v1pov 105 üdddovog mission 1m11 1&1; à:

2. and cum comp. 111 F. 10. 105] 1a F; com B.Il. shunte F; corr. B. 16. yçuqéœrn] scripsi; ysyçaçeawnF, m1130. 19. 19?] addidi; 0m. F, unlgo. 21. 5159111793057 F.

23. uôrâv] «mon supra scripto compendio m1 uel circum-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 13circumuolutianibus chaumaguntur et rursus in eumlocum restituantur, unde moueri coepta est [linea recta],dico, spatia in secunda circumualutione a spiraliadiecta dupla mains fare spatium in tortis. adiectum,tripla autem mains spatium in quarta adiectum, qua-drupla autem spatium in quints. adiectum, et omninaspatia in sequentibus circumualutionibus adiecta multi-plicia fore, quem spatium in secunda circumualutiaueadiectum, secundum numerorum insequentium seriem;spatium uera in prima circumuolutione comprehensuml)sextam partem esse spatii in secunda adiecti [prop. 27].et si in spirali in ana circumuolutione descripta duopuncta sumuntur, et ab iis ad manentem terminumlineae circumactae ducuntur lineae, et duo circulidescribuntur, quorum centrum est punctum manens,radii autem lineae ad manentem terminum lineaeductae, et miner linearum ductarum producitur, dico,spatium comprehensum eo ambitu circuli maiaris, quiin eadem parte est, in que est spiralis, inter lineaspasitus, et spirali et linea producta ad spatium cam-prehensum ambitu circuli minoris et eadem spiraliet linea terminas earum iungenti eam habiturum esseratianem, quam habeat radius circuli minaris cumduabus partibus excessus, quo radius circuli maiorisradium minoris circuli excedat, ad radium circuli minoriscum tertia parte eiusdem excessus [prop. 28]. harum

1) Puta scribendum esse: «191101970451 lin. 9.

fiexu F. 24. sis: F, unlgo. 25. a; F; aorr. Torellius.26. petto": adulas - p. 14, 1: neumes» 1m": am. F; carr.

Torellius, nisi quad am. alterum 1m": lin. 27.

10

15

20

25

14 HEP! EAIKQN.1017 115111000 105 11111000109 1115111101: 115161 51:09 101111-

1100100 1&9 sioqpévag 13116001&9. 1061m: ôn’ 1101 ml

51’va me). 1&9 57.11109 a! 011106518159 à: 19565 195 fifille)

7101101611111. 1100115101011 dé, n59 ml 1151: &Maw 115175011181000118’1101, 1è 10111111 5101210: 119 1&1; &xôôugw

011510511. nuptiale) dt and à! 10191019, 059 à! 1019 1106-150011 àuôeôope’vozg 13113115019, 113111101 16651 1&1! &vtaav

700:va 11111 107w &m’aaw zozotant 1&1: 13111001111, ë1511105161 1è (111011 1013 5112660109, 11151611: 501019? auv-

11ôspæ’vav 601111101 sïysv 11111169 151110161111: 1017 zoa-

1501’0109 10512 «01’ &Mala 1.5701151071.

Ia .

El’ au: 1101112 111109 7014111519 infini 11 aupatov tao-11111119 011316 5110195 9150611511011, aux! laçâæ’œw1 à: 011311;

6150 70114111111, a! &naÂacpôeidm 1012 minou êëaôvn 2.6-

7012 7101’ (indium, 5121150 0l 1061101, à: aïs 1a duperas!1&9 70111141019 3210956917.

31111151001 7&9 11 611115100 1101102 1&9 AB 710011111139

13011115019, ml Âelépôoio’av à; 111511? 6150 79111141111 ai

FA, JE. 50101 6è ô 106109, à: 95 1&1 FA 2:0an 106111111011 615110qu, ô ZH, à; 9; 6è 1&1! JE ô H8.ôs1x11’av, 511 1611 1115101; 510m1 1.6101 à FA 700111111)

11012 1&1! A E y00441020, au ô 1061109 ô ZH 101?. 161: H 8.

dvyxsidôœaav 7&0 à: 1&1: FA, 4E 7011va aiA4, dB ypappal M3, 15111110511 61511060111 051109,15615 151150151511 1&1: A4 1&9 A B. 11012 56051119 [dudv71151’1a1 à FA y00111161 à: 1g? 4.4. 1061101021119 av?-

1. ne? ed. Basil., Torellius. 8. 111108115 cum camp. 719F; (baconiens nulgo. 4. sqôautou Nizaius. I 6.. 69] soripsi;111w per camp. F, nulgo. 7. lfippu 1661] soupai; 1mm tout:

DE LINEIS SPIRALIBUS. 15igitur [thearematum] et aliarum quarundam de spiralidemonstrationes hac libra a me perscribuntur. prae-mittuntur autem, ut etiam in ceteris scriptis geome-triais, quae fad en. demanstranda utilia sunt. et hicquoque, sicut in libris antes. editis 1), hac lemma suma:excessum linearum uel spatiarum inaequalium, quamains excedat minus, sibi ipsi adiectum excedere passequamuis magnitudinem datam earum, quae inter secomparari passant.

I.

Si in linea aliqua punctum aliquod sibi ipsi aequo.-biliter fertur, et in en. duae lineae sumuntur, lineaesumptae eandem ratianem habebunt, quam tempora,quibus punctum lineae permeauit.

feratur enim aequabiliter punctum aliquod in lineaAB, et in ea duae lineae P4, 4E sumuntur. tempusautem, qua punctum lineam F4 permeauit, sit ZH,et qua lineam 4E, ait HQ. demonstrandum est,esse F4: 4E: ZH:H0.

companantur enim ex lineis F4, 4E lineae A4,48, quotiescunque sumuntur lineae illae, ita ut linea.44 lineam 4B excedat’) et quaties linea. F4 inlinea A4 cantinetur, toties contineatur tempus ZH

1) H. e. «sa! «pulsa: au) 11011118000 (I 111113. 5 p. 10) et111907. «coup. praef. (Quaest. Arch. p. 45).

2) Bac fieri patent per lemma illud lin. 7-11.

F, supra scripta (1 et 111 manu prima (et sic aulgo); 111111121111:1661 Nizze. 18. 11111000 F, un] a. 22. hmm] scripsî; 2101911F, unlga. F4] 44 F; cart. arellius; a7 ed. Basil.; ,,cduCr. 24 111w - nappons (comp.) F; cart. Torellius.

16 IIEPI 3mn.11515600) ô 1961109 ô ZH à: 195 1961191 195 AH’ 60’de

dt 61.1711111111 à 4E 7901111161 à! 191" 4B, 1060112102111

’ 1 ais-Î;à i1 à i If60711511189) ô ÜH "61109 à! 195 KH 1961:9). 151162 a1?1511011611111 -1ô 611111101: 36010115109 1191115113111 1111161 1&

5 AB yoa1111&9, ôfilav, 939, à: 51m 1961191 1&1: F4 à:17121911011, à; 10601519) ml 51112610111 ëvnvénm 1&1; [son

19? P4. 92111159611 0151:, 511 au! 60711511111011: 1&1! 44791211116111 1’12 100015191 196119) ëvnve’x’tm, 5’609 écula 1

AH 1061109, âne1ôù 1001101121119 611701511011 & 15 FA

10 7901111131 à: 19": A4 7901111191, aux). ô ZH 1961109 à:195 AH 196129» 6161 1111511? 6’); 11112 1&1: B4 79011111611.

à! 1011015191 x9619) 1a 11011115101: 15111115111011, 3009 130111

ô KH 196109. sans). 0512 peignas! 1112.1 à A4 79111151111&9B4, 6131.01, 511 à: «111’011 1961191 1b 611115101 1&1

15 4A ô1aazaoavs’1a1 790111111111, fi 1&1: B4. 15015 ô zoa-009 ô AH 1151:9") 1’612 105 KH 190’101). 61101919 6è

6811871651411, 111d. et aux 1’11 1051! 196mm: 10171! ZH, H6dmeôæ’awu 1961101 mi? 1211111101311 61511056111, 15611

1311591515111 101: 3159011 1017 15152101), 511 aux). 1&1: à: 1&1!

20 79111111151; 1&1: F4, 4 E un? 1&1 «13113:1: 6611010111 ouv-

1sôsw&v 1311195251 à 611610709 195 1311595101211 1961197.

ôfilav 01511, 311 1011 01151011 58.51 167012 à F4 11012 1&1

4E, 31’ ô 1961209 ô ZH 1101i, 1612 19611011 161: H9.

1. nous cum com . 179 F, ut lin. 2, 9. 6. 110090111 F-aust cum camp. 111 ; son. Tarellius. 11. 1è «au: Tarel-lias. 17. «tu Torellius, ut fera semper.

DE LINEIS SPIRALIBUS. l7in tempore AH. quoties autem linea 4E in linea dBcontinetur, toties contineatur tempus 6H in temporeKH. iam quoniàm suppositum est, punctum in lineaAB aequabiliter ferri, adparet, quo tempore lineamFA permeat, eo etiam singulas lineae FA aequalespermeare. manifestum igitur est, punctum illud etiamlineam compositam AA eo tempore permeare, quan-tum est tempus AH, quoniam, quoties linea. FA inlinea A4 continetur, toties continetur tempus ZHin tempera 11H. eadem igitur de causa etiam lineamBd eo tempore permeat punctum, quantum est tempusKH. iam quoniam AA BA, adparet, punctum longioretempore lineam 4A permeare quam lineam Bd.quarts erit A H K H. et eodem modo demonstrabimus,etiam si ex temporibus ZH, Hé? tempera componantur,quotiescumque in iis illa. tempera. contineantur, ita utalterum excedat alterum, etiam linearum ex lineisFA, 4E toties sumptis, quoties tempera ZH, H Q,compositarum eam excedere alteram, quae temporiexcedenti respondeat. adparet igitur, esse FA : A E: ZH: H3 [EucL V def. 5].

Archimedes ed. Heiberg. Il. 2

10

15

20

26

18 nm mu.13’-

El’ na 6150 dapetaw êxan’pov zani rams flammésâvszôe’wog [Là 1&9 aüâç lactaxe’œg 11151013 50512195 (papa.

giron laçaûe’œvn à; êxats’gçz 1&1! ypappâv 6150 youp-

lml, 51; aï te amuïrai. à; faon; 1961101.; 15m3 115v 6a-pelaw ôLma’dôœv ml al deme’oau, 1611 «616v êêoôvfl

lôyov not’ «main; ai laçôu’o’al. nappai.

561m nard: mis AB 79115444079 ëvnvsype’vov u 6a-(Lstov idoraxe’mg «1316 50112193, aux), 3Mo zani 1&9 K A.

laldqyômo’av 6è à! tç- AB 6150 al FA, 4E nappai,nul à! mg? K11 a! ZH, H0, à: 1’69) 6è 1961191; 1:6 zani

raïs AB ypappâg âvnvayye’vov «matou tàv FA 7901p(du! ôtanopsve’aôco, à: 3650 t’ô 555901; xatà 1&5; K11

êmyveyue’vov ràv ZH’ (moins aux), min! 41E 7190;va

à) la? ôtanopsve’aôœ 16 dapstov, à; 5697 16 5:54:01!1&1: Hfl. ôemte’o’u, au rôv 41131131; fixez. 167012 à FA

azor), tôw 4E, 311 à ZH azor), ràv HÛ.56:60 à) ô 1961109, à) (,5 du: FA 790:va (hexo-

osz’vsto 1:6 dapel’ov, ô MN. à! 1015W) 61) 193 196119)

aux! r6 5559012 daguerai: ôtanoçwe’mz tàv ZH. «021w

6è nul, à) 9; du! 4E 719015151011; damogsüeto 1:6 6a-psl’ov, fait» ô NE 1961109. à: rozkp à) oral rô 3n-pov caneton; ôtomopeve’tm rôw H8. tôv «1518111 à?)

10’701! 52017111; 3 t6 FA n01! fàil 4E remania), 31’

ô 1961209 ô MN «et! NE, and à ZH and du:H9, 311 ô 1961109 ô MN «or! :611 NE. 6131.01: 051:,3a du; «616v 5101m 10’701) à FA nazi tàv 4E, 30à 2H 101i 1&1! H3.

3. m5105] acripai; «un» F, uulgo. 4. loupâevmnt F.5. 5:1] nddidi; 0m. F, nulgo. aman] sic F. 9. 5mm F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 19Il.

Si duo puncta in sua quodque linea sibi ipsauquabiliter femtur, et in attaque linea duae lineaemmuntur, quarum linearum et priores et posterionsæqualibus temporibus a punctis permeentur, lineaemptae eaudem inter se rationem habebunt.

fmtnr in linea AB punctum aliquod sibi ipsumequabiliter, et in linea K11 aliud punctum eodemnodo. aumantur autem in linea. .43 duae lineae111, 4E, et in linea K A lineae ZH, HO, et punctum,luod in linea AB fertur, eodem tempore lineam FAœmeet, quo alterum punctum, quad in linea. K11Futur, lineam ZH permeat. et eodem modo etiam3mm 4E eodem tempore permeet punctum, quoahmm lineam H0 permeat. demonstrandum test,me FA: AEru ZH: H0.

tempus igitur, quo punctum lineam FA permeauit,ait MN. itaque hoc tempore alterum punctum lineamZIH permeat. rursus autem tempus, quo punctumhmm 4E permeauit, ait NE. hoc igitur temporeetiam alterum punctum lineam HG) permeat. erit

A r 4 E BA z H a? K; M N aÇ: 4E: MN: NE et ZH:H0:MN:N,E’ peut igitur, esse FA: JE: ZH: H6).

êvnvsypévov] scripsi; nave-yua-T ut lin. 12. 21. 81.5] To-

urius) n90; per comp. F;27. mon": F.

2*

5

10

15

20 I 1mm EAlKSZN.Iy .

Küxlœv 60051110111 61106011101711 1:95 11115851 ôvvazô

50’011! 51385170111 101135111 1155:000: 50560111 150-111 I151! 901510112)

11501915951621).

«amalgamâmes 7&0 me), 5110161012 11511 11151110111 21’011;

70611011 ôfilov, 159 15 5x 11016021; 60711511151101 1&1: 10591

115100011 51305001 115mm: 5665km. 150166211 1&1; 115v 9015111011

n5911p5ps1â11.

6’.

4150 70a1111â11 ôoâ5160î11 0211100211, 561956015 r5 aux.

1115111011 10501015055019, 61111010611 561:1 104351711 51305112111 c021

11512 11512011013 10212 6035160211 1100111116211 51026601101, 162g 62

51.0266011013 11515501101.

5002m1; 71310 à 1510590102 , 0? 1510595151 à 115120311 7901111101

1’029 êloîGo’ovog, 01131:0: 5011210? 60121165115111! 1571505251. tés

568550113, 513g 106011710: [au 61011953506019 1:07; 515355019 1:6

’51; 111071101 57.016001; 566550011 1&9 152150011513. et 11.511 0151!

1101 à à 1150101595101 115120111 1079 513055019, 51109 tyéparoç

11001151951110; 115011 113w 51335170111 1&9 11511 5102660110; 11’511

20 6035166211 ôfilov 05g 115mm; 5665151011, 0&9 65 11512011095’10î0’0’œ11. «si 65’ un 5102660112, 51109 ryépœrog amure-

35’11109 11011 10111 10591915951011! 61105019 15a; 11511 éléa-

001109 1151550011 511651315011, 17029 65’1151IÇ01109 51.0211110111. 1101i

7&9 à 71:0er511151101 5102660111 5602 0&9 15n500xâg.

2. 61:00 cum compp. 01111 et 051 F. 3. 011110111 F, uulgo-6. "mon: F, nulgo. 00101511151117 un F, uulgo. 7. 300511121]acripsi; 501’111 par comp. F: unlgo. 11. 11:43 cum comp. 111F. 15. «in? fautât] scripsi; «me: F, unlgo. 16. 513g scripsî;un". 513 F, uulgo. 17. 50115km] acripsi cum B; 1m11 parcamp. F, uulgo. 18. au à] scripsi; 11011. F, uulgo. 20. 118’-:001] guipai; 1151:0, F, unlgo. 1151.2011 cum comp. a: F. 2l.et 65’ aux asque ad 11.54000; 31112011011: lin. 23 addidi; 0m. F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 21

Il].Datis circulis quotlibet numero fieri potest, ut

sumatur linea maior, quam ambitus circulorum. cir-cumseripto enim circum singulos circulas polygoneadparet, lineam ex omnibus eorum perimetris com-positam maiorem futuram esse, quem omnes ambitus

circulorum [de sph. et. cyl. I, 1]. I1V.

Datis duabus lineis inaequabilibus, recta linea etcirculi ambitu, fieri potest, ut sumatur linea rectaminor maiore linesrum datarum, minore autem maior.

nam quoties excessus, quo maior linea minoremexcedit, sibi ipse adiectus lineam rectum excedet 1), intot partes aequales diuisa linea recta. une, pars minorerit excessu. iam si ambitus maior est linea recta,adparet, si unam pattern ad lineam rectam adiiciamus,summam maiorem fore minore lineamm datarum,minorem nero maiore. sin minor est [ambitus quemlinea. recta], si unam partem ad ambitum adiicimus,summa rursus minore linea maior erit, maiore autemminor. nam quae adiicitur, minor est excessu.’)

1) Hoc fieri potest par lemme. p. 14.2) Sit p ambitus, l linea. recta; erit igitur, si p m1,

"(p-DNMP-Dâl, plein quarepweàpz.sin l)p, erit: n(z-p)e1a:z-peàz,zep.l.àz;

1quare lmp-I-Îlmp-

22 nm 12mn.I

E.1615111011 606511109 11011. 51516515019 51516110066019 101

1115111011 61111011611 561’111 0511:6 5015 1151110011 1’017 151532.01

02711751711 51565170111 and 56111 511111111501161111, 15615 113w 11.5

5 150181) 1&9 51516101006606; aux), 6&9 1013 9115111011 mpbmspeûzq

51565170111 azor), 116111 à: 1015 1151110011 51056601101 163101

5151,11, fi à 11550101505101 17017 1115111011 à 11560156 1&9 âqzüg

un). 1&9 61011135156019 115011 156111 6065260111 61501011101711 m5-

xÂov 15016150510111.

10 65666001 151511109 ô ABI’, 1151170011 65 011511015 16 KJ

ami 51111101115110 1:01? 11151011011 à dz 11011:6; 1:6 B. 65666301

65 and 1115111011 11550111150510: 6115010101311. 61111011611 615 5’611

1’079 606556019 15501915054019 1011351111 111101 51505170111 1151201101,

11011 56600 à E 515195101 pstëow 1&9 6065(6019 1501-15 11150515019. 61000 65 051:6 1’013 K 3151100011 1501061 1611 Al

à AH, and 1151561901 à H0 [du 19? E 11515011601 5101 16B, 0511:6 65 1:05 K 11151110011 5155 1:6 8 5151:51116517601 5x-

55161156603. 1611 01151611 6è 1611011 5’151 à 8l ml 1:61!

8K, 311 à 80 11:01:! 1’611 6H. à 151’001 26 101:1 1:15:11

20 0K 51056601101 167011 5’151 17013, 611 à B6 15501111505111

1501:3. 1611 6005l’60111 65016150510111, 616131. à 11511 39

515651501 5105660111 561:3. 1&9 B8 mpupapdœg, à 65 OHpsftaw 1&9 6065156019 15010150515019. 51056601101 01511 1.0’-

7011 5’151 and à Z0 1501:1 1:13:11 5’11 1015 1151110011, fi à Be

25 115019505101 azor), :611 6005160111 15501916951011.

2. 51511110100001]: F; con. Torellius. 12. 6153 scripsi; 65F, qugo. 15. été] 611i? 17. 66] seripsi; n F, unifo.l9. 611] (un) scripsi; 1p F, unlgo. 20. 39 5’151 à auspice utToto ius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 23V.

Dato circulo et linea circulum contingenti fieripotest, ut a centro circuli ad contingentem linea du-catur, ita ut linea inter, contingentem et ambitum cir-culi posita ad radium eam rationem habeat, quamambitus circuli inter punctum contactus et lineam pro-ductam positns ad quemlibet datum ambitum circuli.

dams ait circulus ABF, et centrum eius ait K, etdz circulum in B contingat. datus ait etiam qui-libet ambitus circuli. fieri igitur potest, ut sumaturlinea aliqna dam ambitu maior [prop. 3], et ait Edato ambitu maior. ducatur autem a centro K lineaedl parallela linea AH, et ponatur H0 linea lineaeE aequalis ad punctum B uergensfl), et [linea] a K

1 puncto ad 8 ducta produca»tur. erit igitur

A 3 z 02:9K-B8:8H.’)itaque 26:0K minorem ra-tionem habet, quam ambitus

V 30 ad datum ambitum, quiaE linea 80 minor est ambitu

B0 [de sph. et cyl. I lump. lp. 8], et linea. 0H [quia

lineae E aequalis est] maior ambitu data [cfr. Eucl.V, 8]. itaque 20 ad radium minorem rationem habet,quam ambitus 30 ad datum ambitum.

1) Quod quo modo fieri posait, Archimedes non (lioit; cfr.Zeitachr. f. Math., hint. Abth. XXV p. 66 nr. a.

2) Nam cum AZ à: AH, erit L BZO - GKH; etL nez a. x4911;-quinte BOZ N KGH; tum u. Encl. V1, 4.

x

10

15

20

25

24 - man EAIKszN.5’.

Küulov 604915:11:09 nul à: 1:93 mîulça ypappâg fléo-

o’ovoç 15629 dzaye’tçov 61212051761; du?) mû xévroov 1:06

zoulou un), 1&1; negtpe’pswv afitoü amnfialsl’v 51’2-

mm répvovdav du: à; t9; uüxlça ôeôope’vœv wap-yoîv, 45618 tàv ànolacpflsïoav 513mm: pavanât) tâgmgupepu’ag and. ni; E’ÔÛGL’ŒQ zig à! 1795 2:63:11p dédo-

ys’vag nazi du: ëzzçsvzôsïdav (in?) 1:05 71559051703 ni;

nounaooüoag 1013 ënl mis 3569492895!ch «01:3 1rd 3159011

négus raïs à) 1793 115x190 ôsôopa’vaç 56051213 16v raz-

ôa’vw 167011 515w, si? au ô dormis 2.6709 51102661011 à

toi, 311 515L à 131456540: râç à; 193 xüxlcp 6.960415an11:01:! 1:13:11 (in?) mû n’aimez) uéôstov ên’ mirât: àyps’vav.

65666041) xünlog ô JET, us’wpov 6è «15101? rô K,

ml à; «13195 6366630) 56mm êloîo’o’œv 1&9 dmpe’tgov

à FA, aux), 1670;, 311 518L à Z mû H, 31056642111 zoô,311 5181, à FQ 715011 1&1: K 6), 3100951011 3066119 râç K 8.

ëxôto 6è ciao mû 245111900 impôt du: AI" à KN, aux).

gy t9? K F 71:01? 6936:9 à FA.I-m- épata 61j éon rôt FQK,

1? FKA toL’yœva. 561w 0151;,05g à. F69 «01:1 1:43:11 6K,

01’5th à K F nazi du; FA.yëléaaovu 51’941 167011 au.

à Z nazi têtu 11,130? KFnov! ràv FA. 311 d’à lôyov

515L à Z nul 156w H, coûtai: 315’101 à KF un), [Lei-Covœ râg FA. .êxe’tœ and 156:1! BN. nidifia) 6è à BN

garait) raïs notonectes un), râç 56mm; ôtà :05 F’

10. négus] psoas F; corr. Torellius. 11. na] acri si; unF, uulgo. fi] scripsi; 719 F, nulgo. 13. 0:7va ; con.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 25VI.

Data circula et in circula linea minore, quam dia-metrus est, fieri potest, ut a centra circuli ad ambitumeius ponatur linea lineam in circula datam secans, itaut linea. inter ambitum et lineam in circula datamcomprehensa ad lineam, quae ducitur ab eo terminalineae ad ambitum ductae, qui in ambitu est, adutrumuis terminum lineae in circula datas datam ra-tianem habeat, si ratio data minor est ca, quam babel;dimidia pars lineae in circula datas ad lineam acentra ad eam perpendicularem ductam.

ait datus circulus ABF, et centrum eius K, et ineo datasit linea FA minot diametra, et ratio, quamhabet Z : H, minar ca, quam habet F8 : K9, perpen-diculari ducta linea K9. ducatur autem a centralinea KN lineae AI’ parallela, et linea FA ad KFperpendicularis. erit igitur 1’6le FKA [Eucl. I,29]. quare F0 : 0K a: KF: FA [Eucl. V1, 4]. eritigitur Z : H d K F : FA. itaque quam ratianem habetZ :H, eam habebit K F ad lineam maiorem linea FA[Eucl. V, 10]. habeat ad lineam BN. et panaturlinea BN per punctum I") inter ambitum et lineam[KN].’) fieri enim potest, ut ita secetur.’) et cadet

1) Cfr. Zeitacbr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 66 not.2) Par nie aimions lin. 29 uidetur significari linea AP.

quad cum ferri nequeat, fartasse addendum zée KN.a) Hoc problema eodem fera redit, quo problema p. 23

sot. 1 commemoratum.

Torellius. 16. and] a: oc par camp. F; cart. Torellius. 17.01mm; F, uulga. 18. dg un! B, ed. Basil. 19. 1:11 F, nulgo.27. au.» à] 552L à? and] «pas et camp. F; con. Torel-lins. 28. and] 0m. F; carr. Tare ius; fort. dal. héro).

26 HEP! EAIKSÆN.dwatôv dé écru; 05m); repeïv’ nul nectaire". ëxtôfinal actéon; 361111 mais FA. émet aria à K3 and B.10v «6:6» 515L 10’701), 31: à Z and H, and a? E.mail BF 10v aimai: gis; 167011, 311 à Z nazi, HZ

5 :2T4511 «616v dadapévœv ami, 762g à: rç5 3:63:19) sifiletas êuflafllnye’wag dominai: affina du?) 1:05 ue’wpm

1:01leer azor). du: énflefllnps’vav, (561:5 zàv perdezraïs «commettais nul 1&5 ëanfllnpe’vœg 101:1 du: gym.

10 Çsvxrfletdow dard 1:05 m’auras raïs ëmalamôsldug 9:01;1:6 «épars 7&9 êxflsfilnpa’vag du: raxôéwa 1.67011 51501:.

si na ô 6005:9 layas peignai: 1:06, 31! 518L à indagua1&3 à 795 mini? ôeôom’vag «01:1 1&1: dard 1:05 x159-raav Mana» ëar’ mitan; &ype’vow.

15 6566630 1rd mitât, ml 56150) à ëv 74,5 3:62:11p nappai;êxflsfllnpë’uu, ô 6è 600539

A 1’ , u c1.0709 Sono, av Égal. a Znazi 7&1: H, peigna! 1:06,311 515L à F8 mati du: 0K.

A autem! 0171: écacha: andmû, 311 au à K F un! FA.3v dû 1.6702: 516L à Z flot)

lit-- H, zaürov 385:. à KF naziz------ 45102660110: tüç FAe 5115m)

25 71:01:). IN 981501:64:11 dal 1:0 F’ ôwœtôv 68’ 361w 051m9

régwew’ nul usuel-raz 512169 1&9 FA, àuzôù adam4.36172 1&9 FA. étal 0151! rôv «628w 515L 1.67011 à KF

2. KB] KBI’ expuncta F F; KF BC’; FI VD; 8K ad.Basil., Torellius. and] avec; par camp. F; carr. 0*. 8.1&0 H ad. Basil., Tarellius. 8. admirait un! ansp. Torellius;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 27extra [lineam FA] 1), quia maior est linea FA. iamquoniam KB : EN: Z:H [nain K8 - KF], eritetiam EBzBF:Z:H [nam KBzBNzEB:BF;Eucl. VI, 2].

VII.

Iisdem dafis et linea in circula posita productafieri patent, ut a centra ad lineam productam ponaturlinea, ita ut linea inter ambitum et lineam productamad lineam, quae a termina lineae [in circula] com-prehensac ad terminum productae ducitur, datam ra-tianem habeat, si data ratio maior est ca, quam ha-bet dimidia pars lineae in circula datas ad lineam acentra ad eam perpendicularem ductam.

eadem data sint, et linea in circula posita pro-dncatur, et data ratio sit Z : H, maiar quam F8:8K.quare etiam Z : H ) KF:FA.’) quam igitur ratia-nem habet Z: H, eam habebit K F ad lineam mino-rem linea FA [Eucl. V, 10]; habeat ad lineam INad punctum F uergentem. fieri autem potest, utita secetur.’) et intra lineam FA cadet, quoniam

1) Pute, basa uerba audiri passe, asque nouasse esse cumNizzio icribere: fermant, in). manitou être; 1&3 FA lin. 1.V1 2) Nain KFCNKFA; quine F9: 0K :- KF: FA (Eucl.

4).’ 3) U. prop. 5 p. 23 nat. 1.

probat Nizzius. 10. suanolnqzôuaac F. 12. au scripsi;un F, uulgo. 15. 501m Fpar com ., addita «ne F; araire C.21. nazi] «pas par camp. ; cart. arellius, ut lin. 22, 23, 26,. 28 lin 1 (ter). 26. "un cum camp. ne F. me F; cart.orellius. 27. un par camp. F; corr. Tarellius.

10

15

20

25

28 IlEPI muras.arori IN, 311 à Z arori H, ami à EI arori IF rôvmirai) Égal. 167011, 31: à Z arari ràv H.

11’.

KtîuÂav doflr’vroç ami à; tu; 311590.97 790;ng éléa-

dovog râg (immergea ami 02111629 êarupavoüa’ag r05 miaulai)

and: rô négus 17079 à; r95 x6249) 686014531419 ôwarôvàarô 17015 xénon 1:05 mixiez) arorrflalel’v riva 5685m1:

arori rait: 56mm, aidera rôw àarolatpûstaav àar’ mirés

(ratafia raïs roi” minima arepupeger’ag ami râg à! r95miaula) ôsôaae’vag marauds arari ràv àarolmpôsl’aavdard râç êmapavaüaaç rôv taxâe’vra 1.6701: 515w, et

aux ô 6005i; 1.6709 éloiddaav à r05, 311 fixer à indusie:mais à: r95 m5119: dedoplvaç arari ràv du?) roi m’y-raov r01? adulai: unifierai: ëar’ «13176:1: &ylu’vav.

561:0) miaulas dedaps’voç ô AB FA, mi à: r95 inhalez

sinisiez 6566680) âlâdo’œv raïs (imprimai: à FA, amià EA eurwava’rm raïa minima azurât ra F, ami 1.6on,312 au â Z arari H, ÊÂéddûnl r05, 311 516L à F6 arari

OK. garnirai d’à éléadmv ami r05, 31: 515i à FKarari FA, si au ampélhllog àzôfi à K A r9? GF. éliradû à K F arori F5 r61: «in» layai), 31! à Z arori H.greffon! dû 561m; à EF raïs FA; ysyanîcpôm xôxlov«conquérant: mai rà K, A, E. brai 05v éon page»: à

EF râg FA, ami arar’ 6906i; gain (fluides a! KF,SA, ôwarôv éon, a; MF l’ami ânon! 354m: niai IN

2. sinuai F; corr. Tarellius. 8. mari du mon.» erroream. Rîualtus; prob. Torellius. une]. 905m1: F; carr. Ta»rellius, ut lin. 10. 11. 1&9] me me TF0. 12. scripsi;son F, nulgo. 18. un! (bis)] nous par camp. F; corr. oreillon,ut lin. 20, 21 (bis); . sa, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14 (bis).H] H Pour BC, cd. asil., Torellius. 20. à] n F; carr. To-

DE LINEIS. SPIRALIBUS. 99aminor est linea FA. iam quoniam est KF: IN aZzH, erit etiam EI:IF--: Z:H.1)

VIH.

Data circula et in eo linea, quae minor est dia-metro, et alia linea circulum in termina lineae incircula datae contingenti, fieri potest, ut a centracirculi ad lineam [datam] linea ponatur, ita ut enpars eius, quae inter ambitum circuli et lineam incircula datam abscinditur, ad partem contingentis 1i-neae abscisam datam ratianem habeat, si data ratiominor est ca, quam habet dimidia pars lineae in cir-cula datae ad lineam a centra ad eam perpendicula-rem ductam.

datus sit circulus ABFA, et in circula data sitlinea FA miner diametra, et linea SA circulum inpuncto F cantingat, et [data sit] ratio Z : H, minoren, quam habet F69 : 0K. erit igitur etiam

Z : H a FK : FA,si K A lineae ÛF parallela ducitur.’) sit igitur

CKF: ne: : z : H.

itaque erit EFm FA [Eucl. V, 10]. describatur am-bitus a circuli per puncta K, A, E. iam quoniamEF a FA, et KF .L EA, fieri potest, ut ponatur

1) Nam FIEN KIN; quare K1: IN: El: IF; sedKI:KF.2) Nam KGFN KFA; tum u. Eucl. V1, 4.

telline. 11,2] r71 F; corr. Torellius. 22. 67]] de F; cart.Torellius. 24. annulais F; 001T. Torellius.

15

20

25

30 nm man.116601160111 ëari rd K. rd da) nepiaxdpevav dard ré?EI, IA arori rd dard rà’v KE, IA rd11 adrdv Ex:

11691011, 311 à SI 1:01

KE, ami rd dard tu".KI, IN arori rd 15:1:-râ11 KI, FA rd11 0115161

5101. 1631011, 311 à I Iarari FA. 1501:5 ami. cIN arori FA écru», a3,à E1 arori KE. 03’617.

ami à FM arori FAami à ET arori KF ara]arori K B 301m1, à; â El

arori KE, ami lamai 0°; IF arori BE rd11 aôrdv 5x8:1.67011, 311 à 54T arori ràv FK, ami 311 à H arori Z.aréarrœarev 0511 à K N arari rà11 30110015006010, ami Ëzu

à lierait) rois «801018005019 ami râg mimai; à BE arorirà11 àaraÂatpâei’aav dard raïs 31111100015601; rd11 aôrdv

1.67011, 311 à Z arori rôw H.

’9’.

To511 miroir deôape’vœv ami rà’g ëv r95 111510193 65-

ôaus’rag 70014141079 6543513111515an ôwardv dard r06 x511-

rpav r06 11151111011 arorifialeîv arari rà11 ëuflefllnpe’vav

saiôeïav, (dans rà’u pacifia raïs arsgupsgeûxg ami rai;ëxflsfllnpe’vag aralri rà11 daroÂacpôeïa’av dard râç ém-

1. niai] r00 F; 001T. Tarellius. 2. E111 F; corr. AB.roba] un! ; cart. Tarellius. 4. râv] un: er camp. F; corr.Torellius, ut lin. 6. -5. K I N F; corr. ed. gazai]. 6. 167 mi-rda il» 1.67011, 311 à IN arori FA] am. F; cart. Commandi-nus. 8. à] a; F; corr. Torellius, ut lin. 10, Il, 12, 13, 14.

14. loran; F, uulga. 15. Z] scripsi; r0 Z F, uulgo. 18.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 31linea IN lineae MF aequalis ad punctum K nergenef)

erit igitur EIxIdszxIA - EI:KE, etKIXINzKIxFJI-ËIsz’A. quareeritIN: FA - SI: KE.’) quare etiam

FM : FA - 11 : K E[mm IN-a- FM], etEl": K1": if: K8 [nam KF- KB] - SI: K15?)et IF:BE::,ET:I’Kd)-H:Z.itague linea KN ad lineam contingentem ducta est,et linea inter ambitum et lineam [AF] posita, h. e.BE, ad partem lineae contingentis [a KN] abscisam[h. e. I I’] eandem rationem habet quam Z : H.

1X.

Iisdem datis et producta linea in circulo data fieripotest, ut a centro circuli ad lineam productam po-natur [linea], ita ut linea inter ambitum et lineamproductam posita ad eam partem lineae contingentis,

1) Quod quo mode per sectiones conîcu fieri panait, Osten-dit Pappns I p. 298 (cfr. p. 272 duobus lemmatis ruminais;de cuius loci emendatione u. eitachr. f. Math, ist. Abth.XXIII p. 117 aq.; Baltzer apud Hultech: Papp. Il! p. 1231 sq.

2) Nam SIX [A a- KIx IN (Eucl. III, 35),et KExIA-KIxI’A,quia EP4: K11 (tum u. Eucl. V1, 2).

a) Nam FM: FA - au": K1" (Eucl. 111, sa).4) Nam cum ait ET: KB - il: KE, erit halldi

EF:EI:-KB:KE,mais àraarçérpawz El" : IF - K8 : BE :- FK :BE; 1mmbaud; 5:1": PX - IF: BE.

«noImpOuaav F; corr. Torelliua. «un» au loyov F; corr.gallium 19. 39 [tu Torelline. H 10101 F, vulgo; 101ml

e uni.

32 HEPI 15111115211.11101110156019 1101?. 10111 071120111 1011 1axm’111a 1.671011 518w,

a! aux ô 003529 1.6709 pelëœv 1017, 311 5151 à figi-aeza 117g 1’11 193 111511191 6560111!an 11011 10711 07110 1017

1153119011 11071351011 ëx’ 011310111 07701115111111.

à 6006111800 111511109 0 ABFA, and 311 195 111511191 513-1351701 51107660111 1&9 610111519011 à FA 61071001, ml 3m-

1bœ118’1œ 1013 9115x1011 07 EF 5101107 10 F, 110d 1.63109, 311

5st 07 Z 11017 10111 H, (15050111 1015, 311 fixez, à F0 11011

10711 9K. 006511011 61) yelçaw aux), 1017, 311 0’st à K F

10 1101?, 10111 FA. élémi) 01511 07 KF 11011 10111 F5 101101131011 1.671011, 311 à Z

11011 10111 H. ëldddaw61’901 1361111 0115107 1&9 FA.

11021111 60 7157de1301 mî-

xlog 010; 11511 E, K, Adupait-011. 6’115). 01511131070-

60311 361111 07 ET 1079FA, au), 1101’ demisÉva 0711021011; ai KM,

20 Il EF, 61111011011 107 FMi----i [00111 13571511 10711 IN

1151501160111 Sari 10 K. étal 01711 10 15710 10711 SI, IA

11011 10 13110 1&1 AI, KE 361w, 03g SI 11011 KE,0711.01 195 pèv 15710 10711 EI, I A i’o’011 émir 10 15110 1&1

25 KI, IN, 11,5 6015110 10711 AI, KE 130011 361E 10 1571010711 KI, FA 61,07 10 1711511, 059 10111 KE 11012 IK, 05-1039 10111 AF 11011 AI, 110d 05g 51’901 à SI 11011 KE,

051w; 10 15710 10711 KI, IN 11011 10 15110 10711 KI, FA,10111561111 (09 NI 11011 FA, 10111501111 à FAM 11011 FA.

2. fi] acripei; 0m. F, uulgo; 1’111 Torellius. 6. 61111001 F;corr. Torellius. 9. 300111011] scripsi; («au per coup. F, nulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 33quae ad punctum tactionis uersus abscinditur, datamratianem habeat, si data ratio maior est sa, quemhabet dimidia pars lineae in circula datas ad lineama centra ad eam perpendicularem ductam.

datus sit circulas ABFA, et in circula linea FAducatur miner diametro, et circulum in puncto F con-tingat linea En et [data ait] ratio Z:H maior ea,quam habet F8 z 0K. erit igitur etiam

Z : H n K F: FA .ait igitur K F: FIE a Z: H. itaque exit F5 ( FA[Eucl. V, 10]. rursus igitur circulus par puncta E,K,A describatur. iam quoniam EF(I’A, et K M.LEF,fieri potest, ut ponatur lineae FM aequalis linea INad K uergensf) iam quoniam

EIXIA:AIxKE:,EI:KE,et KIX IN: HI)1 IA [Eucl. HI, 35], et

KIXFA: AIxKE,quia KE:IK: AF: AI’), erit igitur etiam51: KE a KIxIN:KIxFA:----NI:FA-:FM:FA.

1) De hoc problemate cfr. p. 31 not. 1.2) Quia KIA m PIE, erit PI: [A a: E1: 1K (Eucl. VI,

4), unde 111111041111 FA : IA a: KE : IK.

10. 51:10 F. 13. 111111; me F; corr. Torellius. 17. 1m F;,com Torellius. 19. 911; 510w F, unlgo. 01111710110 F;con. Torellins. 20. 111 ; corr. Torellins. 21. La cumcomp. m F; corr. Torellius. 00111011 11711 F; corr. Torellius.22. 10711] 1m11 (comp.) F; corr. Torellius, ut lin. 23, 24 (bis), 25,26, 28 (bis). 51A F, nulgo, ut lin. 24. 23. 11011 (bis)]1:00; par comp. F; con. Torellius, ut lin. 26, 27 bis, 28, 29 bis,p; 34 lin. 1 bis, 2 bis. AI KE] AXE supra scripta Imam. 2. 24. 105] 10 F. 26. tian] 2mn per comp. F; corr. To-

rellius. 27. 11 F; corr. Torellius, ut lin. 29, p. 34 lin. 1 bis, 2.

Archimedn, 0d. Humus. Il. 3

34 HEPI 3mn.501111 ô.) 110d 039 à FM 11011 FA, à EIF 11012. K11011102111 11011. KB. 5011.11 ëga, 039 à SI 11011 K Eà il" 11012 KB’ and 1.011101 07 IF 11011 101110111 1071BE 6’61111, 059.01 ET 11010 FK. 311 00 1691011 5x81 a

5 EF 1101?. FK, 10171011 au à H 1101i Z. 11011118’111œxs1dû à K E 1101i 10111 01113161112111.1011, ml à 11510151) 1&5

31113813112115.1119 110d 1&9 11091015955019 à ,BE 1101?. 1&1

FI 10111 07110 1&9 51111110006609 «71101091885601 1011 0113-

1011 5151 167011, 311 à Z 11011. 10111 H.

10 1’.El aux y90111107), êëfig 15015011111 011060110511 195 i169;

07110710111 01189510150011, à. 00 07 1511590107 17601 14,7 gla-

xûnçz, and 0211071 719071111013. 151957111111 195 10011 11148.51

mon, 1071510719, 107 ôè 1154155351 511076101 107 115710191, 107

15 15190771011101 101 07110 10711 101711 11,7 1153156107 11011101101302-

11011101 16 1e 07110 1079 (1871501019 16190270111011 1107?. 10 11891-

51611811011 15116 1s 1&9 élongions 110d 1079 [6019 11026011910719 155 la,» 07110710111 1511595101560119 190111020101 ëdo’o1511-

1011 11511 18190411610111 11071110111 11511 07110 16211 195 1769)

2o 07110710711 01159110001711.

5610111 710011111017 0110001101711 39255159 1150111511011 193 (769)

07110710111 01100010156011, 0d A, B, F, A, E, Z, H, 8, à6è (19 [du 50’101 107 1311500197. 1101111050601 6è 1101i 1à11

B 1’001 107 Q 07 I, 11011.61). 10111 F à K tu 107 H, 11012

25 ôè 10711 A à A [au 107 Z, 1101i ôè 10711 E 07 M [au 107

1. 0171m9 à ET ed. Basil., Torellius. 3. n F; con. To-rellius (bis), ut lin. 4 bis, 5. 11011] 11009 per comp. F; corr.Torellius (bis), ut lin. 4, 5 bis. leur" et 101111111 F, nulgo.8. «11011101851001 F. 18. 101179] addidi; 0m. F. unlgo. 21.fanny scripai; son» F, uulgo; fanant AV et Nizzius. 25.à] (prias) 0m. F

DE LINEIS SPIRALIBUS. 35est autem etiam

FM: FA : 5T: KI’ [Eucl. HI, 35] a ET: KB.erit igitur En KE z En KB, et IF: BE a En F10)sed ET : FK a H : Z. itague linea KE ad lineamproductam ducta est, et linea. BE, quae inter lineamproductam et ambitum posita est, ad lineam FI,quae a linea. contingenti abscisa est, eandem ratianem

habet, quam Z : H. ’X.

Si quotlibet lineae deinceps dutae sunt aequalispatio inter se excedentes, et excessus minimae acque-lis est, et praeterea alise lineae datas sunt î1umeroüs aequales, magnitudine autem singulae maximae[aequales] 5’), quadrata lineamm maximas aequaliumadiecto et quadrato maximae et rectangulo compre-henso minima. lineaque omnibus simul lineis interse aequali spatio excedentibus aequali triplo maiora.emnt omnibus quadratis linearum aequali spatio interse excedentium.

lineae quotlibet deinceps datae sint aequali spatiointer se excedentes A, B, F, A, E, Z, H, ê), et Q aequa-lis sit excessui. et lineae B adiiciatur linea. I lineae9 aequalis, F autem lineae linea K lineae H aequa-lis, A autem lineae linea. A lineae Z aequalis, Eautem lineae linea M lineae E aequalis, Z autem

1) Nain inné; est: SI: EF: KE : KB, unde 8&EIOIIITGIF : 5:11: BE : KB; tum Évalué;

2) Fortasse scribendum lin. 14: imine: Isa «li.

3*

36 HEP! 11mnE, nazi 6è 1&1! Z à N [au 19? d, nos! 6è 1&1; H àE in: a? F, 71:01! ôë 18cv a à O [du sa; B. ëadoôvtat.61) ou? ysvops’vm l’au: &ÂÂOZÂaLg and 14,2 psytdrgz. 65m-

n’ov 013v, 51:1. tôt tnpâyœva tôt ànô nattés: 1&9 se A

5 ml :6211 yavoue’vav uonlœflôwa t6 se (in?) 1&9 A tarpé-

yawov ami 16 uepzszôusvov 1371:6 sa té; a and 1&9 [dag«dans 105179 A, B, I1, A, E, Z, H, 6 zpznlémâ 31m105v rapayaôvœv mimais; mais; du?) si"! A, B, F, A,,E, z, H, a.

10 fait?! à) 16 ph; &zô tés BI tarpoîyœ’uov l’ami sot;

021:6 mais; I, B rezpœym’vocg nul 6150 sots 15m3 du B, InepLsxouËvozg. tô 6è àflô 152g K F 1’601: rots (in?) du

K, I’ 13190570511003 ml 6150 soifs 152:6 1&1: K, F nept-ezopè’vozg. 6min); à) and tôt &nô du 02111.51: 1&1! fait:

15 sa? A 1519027421110: Ïdœ 5111:! rots &nô tés; spagwÉtmv

rupuyœ’vozg oral 61:62 rot;

1 l KÏ 15m5 115v ryaguitœv nanzo-A M gênons. rôt 50h; 015v 021:6 râv

-îNE Â,B,IËA,E,Z’H,ÛW2o A i 0 «à 027:6 très! I, K, A, M, N,

B p A i 3, 0 noulaflôwa, rô du?)E I 1&9 A retgoîyowov ômlédui

Z H, v 3111:4 un «in raïa! A, B, r,a g - - - fil A, E, z, H, a tarpayaivmv.

25 lomôv 6è êmôetâousg, 5a si!ômloîaux mais: xsçzszopëvœv 151:6 145v niaisoient: suiv

à; 51051599: 7904450455 du: Mû?! mg? A noulafiôvta 1:6zepzezôusvov 1516 sa 1&9 Q aux! tâg fans miam; sans

3. dû] Nizzius; de F, uulgo; "igiturii Cr. 11. 1&7 (prias)scripsi; son: F, uulgo, ut etiam lin. 13, 14. ôv’o 617d orellim.ut lm. 13 (h. l. etiam B). 12. me F; corr. Tore ius. 13. amu-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 37lineae linea N lineae A aequalis, H autem lineaelinea. E lineae F aequalis, O autem lineae linea 0lineae B aequalis. itaque quae oriuntur lineae, interse et lineae maximae aequales erunt. demonstrandumigitur, quadrata omnium lineamm, et lineae A eteamm, quae ortae sunt [adiiciendo], cum quadratolineae A et rectangulo comprehenso linea. 0 et linea.omnibus simul A, B, F, A, E, Z, H, O uequali triplamaiora esse omnibus quadratis linearum A, B, F, A,E, z, H, (9.1)

est igitur (B 4- I)’ a: 1’ 4- B’I 4- 2BI [Eucl. Il, 4],et (K -l- F)’ a: K’ 4- F’-l- 2KF. eodem modo igitur

etiam ceterarum lineamm lineae A aequalium qua.-drata aequalia sunt quadratis partium et duobus rect-angulis a. partibus comprehensis. iamAî4-Bî-i-I’3-I-Az-i-E8-ç-zî-l-HH-e’4-Iî

-i- Kz-i-Æ-l-M’i-NLI-Eg-l-O’i-A’e2(424-324-I’2-l-43-ç-E3-1-224-112-4499)

deinde restat, ut demonstremus, dupla rectangula-rum partibus uniuscuiusque linearum lineae A acque-lium comprehensorum cum rectangulo

1) H. e. demonstrandum est esseA’-I-(B-i-1)’-t-(P-i-K)’-i-(4-I-A)’-i-(E-I-M)’

-I-(Z-I-N)’-i-(H-i-E)’-i-(9-l-0)’-l-A’-i-

9x(A-f-B-i-I’-f-A-I-E-i-Z-I-H-1-G)-3(A’-l-B’-I-I”-i-A’-I-E’-l-Z’-i-H’-I-8’).

o 2) Nain 1:9,KaH,A:-Z, M:E, N:d,E-F,:3.

nounou: F; con. B. 14. ahi] dé Torellius. 17. 61:6]scripsi; ouzo F, un] o. 2l. O 110141561101] OH on (comp.)lapone: F; corr. A . 23. 1&9] un F, uulgo. 25. sm-damer F, uulgo. 26. suiv h] scripsi; tain: 0m. F, nulgo.

38 IIEPI EAIKRN.A, B, F, A, E, Z, H, 6 [ou ëvrl rotg (in?) raz-w A, AF, A, E, Z, H, 6. Ml: hm. 6’60 phi rôt 151:6 B,nsçzsxôpsvu tu 6061 rots 6x6 1&1! B, 6 negzexopbàwons, 6150 (il: de 1571:6 1&1: K, F [du tu? neçcsxope’vg

5 1511:6 sa 1&9 6 and 1&9 terpanladûxg 1&9 I’ au)? a; reinK 6191510161000: alun 1&3 6, 6150 6è si; 15m5 1&1) d, 1.l’au 1:93 in?) 1&9 6 and saïs êâaatladtag râg A ôbà t8

1&1: A rpznludûw sium: zâg 6. (moisas 61) aux), 1:6fille: de (indéfini tôt nsçoszôpsva 151:6 1.1511 empâtent

10 [du âvrl fifi mammouth)? 157:6 1:5 162g 6 ml 1&9 wolla-azÂœdlag de! un? ses); êtfig àgvflgsoûg àprlovg tüg âno-

m’wzg youpin-:9. tôt 0152: 615an141 uoulafiôwa 16nspzsxôpwvov 611:6 se 1&9 6 mil 1&9 taras médius ratsA, B, F, A, E, Z, H, 6 écumâmes; [au tu? nouno-

15 5»!ch 157:6 se ni; 6 and :529 [dag miaous 19’? se A nulrqî sommoit; whig B and se"; «mandatait; râç F andde! sa? ’[mpwdgî] un? ses); 5’51"12; «5903110139 uspzdaoôg

nollmludlqc 1&9 êzopæ’vag ypapmüg., s’ils! 6è ml tà

datô niai A, B, F, A, E, Z, H, 6 terpéyœvu tout 1:9520 nspzsxoue’mp 1571:6 1&1! «ôtât: 719415150511. 561:; 7&9 1:6

(221:6 1&9 A terpéyowov 1’601! 14,5 uspcsxopæ’mp futé ta

1&9 6 aux), 1&5 tous [mimas] se": se A and sa; 1’69: sur;lamais, 45v 53102610: l’au se? 11’ 3602m3 7&0 page)! a se

6 tain; A, and à A 1&9 tous aère": arnicas Gin; r9? A.25 1561s 1’601: édit t6 ànô A sergéymvov 14,5 «5005101453193

15m5 se 107g 6 and 1&9 tous se": A ml se? maladie:du: B, F, d, E, Z, H, 6’ aï 7&0 l’eut tu; A miam

l. un! F, nulgo, ut lin. a, 4. 2. un! bu] scripsi; un:un: F, unlgo. 8. ôq’] se ’ si; de F, uulgo. 10. ullu-zlucnac F. 17. nommait] de eo. 18. 1011131016191] soripei;noüuzlumovç F, nulgo. 19. 1&7] un! F, unlgo. 22. né-

DE LINEIS SPIEALIBUS. 399x(A-l-B-l-I’-l-A-i-E-l-Z-l-H-l-9)

.equalia. esse omnibus simulA’ -I-- B’ -i-I”-I-zI’-i-E’-f-H’-l-6’.

est enim 2B XI:2BX6, et2KxFaûx4F,luiaK :26, et2AxA:6x64,quiaA:36.aodem modo igitur etiam dupla ceterorum rectan-gulorum partibus comprehensorum aequalia sunt rect-mgulis comprehensis linea 6 et linea semper secun-ium numeros pares deinceps positos multipliai lineaeseqnentis. omnia igitur [rectangulorum dupla] cumrectangulo

6X(A-I-B-l-I’-i-A-l-E-i-Z-l-H-I-6)aequalia. erunt6x(A-i-3B-I-5F-I-7A-l-9E-I- 112-1-13H-I-156).sed etiam

AS-I-BS-I-Iû-l-A’fl-Eg-I-Z’i-H’fl-O’

eidem rectangulo aequalia sunt. nain 11’ aequale estrectangulo comprehenso linea. 6 et linea, quae aequalisest et lineae A et lineae aequali ceteris, quamm quae-que lineae A aequalis est.’) [1mm quoties linea. 6 li-neam A metitur, toties etiam linea. A omnes lineassibi aequales cum linea A]. quare eritA’:6x(A-I-2(B-f-F-I-d-l-E-I-Z-I-H-l-6».

)H-e-A’:-0x)(AJr(84-1)Jr(r4-K)Jr(dJrA)1

-HE-l-M)-i-(Z-I-N -I-(H-I-5)-I-(91-I-0)):9x8â;sedeng.me] delco. 23. à: en? F, nulgo. mon; cum com . ne F.24.6157] si! F; con. orellius. 27. sûr] un: F, uufgo.B] A8 F; con. B, ut p. 40 lin. 1.

4o IIEPI EAIKSÆN.103919 1&9 A (immolai 5111?. 1&1: B, I’, A, E, Z, Il, é6540151219 6è ml. 16 02716 1&9 B 18190279111011 [cou :5111193 nepzszope’mp 15116 1e 1&9 6 ml 1&9 tous 19’: 1e Jml 19? ôLnÂada’çz 107v I’, A, E, Z, H, 6. and 110211111 1:.

5 in?) 1&9 I’ 16190279111011 [vos 193 15116 1&9 6 and a?

leus 19’? 15 F ml 19:" amusa; 16211 A, E, Z, H, 6ôpoc’œg 6è nul 1è (in?) 1&1: cillois: 151902700110: i’o’a être

toïg usçtsxopbëvozg 5:16 1s 1&9 6 nul 1&9 [dag «15191a and. 19? 6191141659: 1&1 lomâv. ô’filov 01511, 311. 1d

10 ànô nuois! 1819027111110: [du (3111?, 193 11591510115119) 15716

1s 1&9 6 and 1&9 [dag mimas 192 1s A and 19": 191.711,11-dtqz 1&9 B Ml 19? uewaasluaa’çc 107g F and 19? muât 10139

êgfig épzôpoùg 715946601); 71011017110164): 1&9 êzogss’vag.

HOPIEMA.

’ I ç I H b I I15 Ex 1ov1ov 01m 92121150012, ou 1a 1519417911141 navra1è (in?) 1&1; fait: 19? myûnqt 1611 yèv 1s1payoiww 145vaïno 1&1: 195 [691 0211021411 15915951006511 5102660102 561w

a? nimbâmes, ézssôr) 71011141561114: 1wà 19111102640? ému,

14511 6è lamois: xœplç 105 aïno 1&9 41571561419 151905716-

; M I s i20 vov pagaya y 191211056405, 6151011 1a zouluqim’wœ311026601105 361w 17 «amusies: 105 vînt?) 10?; 4457431419

5. 111c 1” F; con. Torellius. 6:16 1s 1&3 6 B. 6. a]0m. F; corr. Torellins. 9. 111w lourons F, uulgo. l4. 116-9454142] 0m. F, nulgo. 19. in: payions F; corr. D. Pont15190:1de in F nuent spatium adpositis 1V punctis.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 41[nam (BHHŒJrKHM ’i- A) 1L (EJrM)

1L (zeN) Jr (H-I-E)-l-(g-I-N):2(B--i-I’-l- d-l-E-l-Z-l-H-l-6)].

eodem autem mode etiamB’:6x(B-l-2(I’-l-A-l-E-i-Z-f-H-I-6)),

et rursusF’:8X(F-I-2(4-I-E-tz-l-H-i-9))l);

et eodem modo etiam ceterarum quadrata aequaliasunt rectangulis comprehensis linea 6 et linea aequaliipsi lineae et duplo ceterarum. adparet igitur, qua-drata omnium [linearum] aequalia esse rectangulocomprehenso linea 6 et linea, quae aequalis estA4- 3B 4-5F-I-7A-1-9E-l-llZ-l- l3H-l-156.’)

COROLLARIUM.

Bine igitur manifestum est, omnia quadrata linea-mm maximae aequalium minora esse quam triplamaiora [omnibus] quadratis linearum aequali spatiointer se excedentium, quoniam adiectis demum qui-busdam [spatiis]3) tripla maiora sunt, reliquis autempraeter quadratum maximae maiora esse quam triplomaiora, quoniam quae adiecta sunt, minora sunt quam

1) Cam littera A lin. 6 in cadd. desit, fartasse sic scri-bendnm est lin. 6: au). 19? 61.7114161426 1&1: d, E, Z, H, 9. au).un... 16 45116 107c A 1e1çéymvov [vos 193 61:6 1&9 8 au!1E; [une 1c; 1s A n°11193? 61.1111141191 16h E, Z, H, 6.

2) Huius demonstrationis tenor mire praeposterus est; quamsuspicari licet, hic illic quaedam explicandi causa interposita.esse, quae in interpretatione Latina uncis inclusi. demonstratioipsa magis perspicue exposita est et simul. en, rations, quanunc utimnr, confecta ab Nizzio p. 126-27; cfr. Quaest. Arch.p. 52-53.

3) Se. A’-I-6x(A-f-B-I-F.-I-A-I-E-[-Z-l-H-l-6).

10

15

42 HEPI EMMN.1819417051101). and 100’001; si au 600m attisa 02041700:-tps’awu 02116 710566311 àmi se 1&0 195 1’091 022.1021011! 60100-

szavo’âv and 02716 1&1: (dûs; 19? psyL’a19z, 16 alliez 16

02116 1&1: tao-w 19? aérium 105v (0&1! 05116 1&1: 195 1’091

021110210111 62159510064211 53650011 31.056601!!! 366015111410 fi

19Lasloî0z0z, 1150 66 1.01.1161 zonois 1017 0iaz6 1&9 psyl-

d1ag slôaoç nattai": fi 101711050001. 16v 76:0 «616vêâoôvn 1.6700 16: (mon: attisa 1053 15100:703’11009.

’ 000,.El un: flambai. êâfig 1.5015011210 67106055061! 193 1’69)

611.021.000 61150510150010, aux! (îlien gigawatt 1efls’mvu 195

(Lès! 711.9850 m9? 31.0161161159 1521: 195 [69) ouléma: insép-

szovdâv, 193 6è "même; 53402010: [du 19? agitant, 1618100270100: mima 16: 0116i 1&1! (0&1; 19? "spitant 11011aèv 10? 10100Éyœva 16: 02116 1&1: 193 1’091 021.161.411! imag-

szovaâv 100013 1&9 âÂazt’dmç êléo’aova lôyov 510911,,

’ fi 16 1s10é7œvov 16 02016 1&9 (seyants; 110d 16 1’601!

20

26

âpqaan’çozg 193 15 11500310505119) 1526 1s 15g paginasand 1&3 êlœza’dmg aux). 195 100’191 m’est. 105 0i116 1&9

611500159 151auy00’vov, 9? 611505150 à peyldw 1&9 éla-

xlo’mg, 1101i. ôë 16 amuïrait": 16 6:16 10h: 193 1’69)

022.1021010 ônsçexovdâv 1mois 1017 05716 1&9 rufians1510017061100 peigna 106 0061017 1.67012.

5010060011 7&0 700441.05! 61000100511 195 1’69) 0211021127

6115051066020 573179 uupe’vm, à 50611 AB 1029 FA, à dt

1. dynamisant] scripsi; avaysyoaqisœvu F, nulgo. 3.16 en": . . psytnç] 0m. F; con. Commandinus. Ante prop. 11in F spatium quasi figuras relinquitnr; in mg. adscripsit ma-nas 2: ,,vacat spâu. 16. me 5101110117; FB’; fort. 105 âxàsi; ü. l9. 105 . . 1019117057011] scripsi; 10 . . 1510417010: F,vulgo. 24. Faraday] per camp. F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 43triplo maiora quadrato maximisa!) et etiam si speciessimiles construuntur in omnibus lineis, et iis, quaeaequali spatio inter se excedunt, et quae maximaeaequales sunt, species in lineis maximae aequalibusminores emnt quam triplo maiores, quam [omnes]species, quae in lineis aequali spatio inter se exce-dentibus eonstrnctae sunt, reliquis autem praeter eam,quae in maxima constructa est, majores quam triplomaiores. nam species similes eaudem rationem habe-bunt, quam quadrata [Eucl. V1, 20].

XI.

Si lineae quotlibet deinceps ponuntur aequali spatiointer se excedentes, et aliae quoque lineae ponunturnumero una pauciores lineis aequali spatio inter seexcedentibus, magnitudine nero singulae maximaeaequales, omnia. quadrata linearum maximae aequa-Iinm ad quadrata lineamm aequali spatio inter seexcedentium praeter [quadratum] minimae minoremrationem habent, quam quadratum maximae ad spa-tium utrique aequale, et rectangulo maxima et minimacomprehenso et tertiae parti quadrati excessus, quomaxima minimam excedit, ad quadrata autem linea-rum aequali spatio inter se excedentium praeter qua-dratum maximae ratianem maiorem eadem ratione.

sint enim quotlibet lineae aequali spatio inter seexcedentes deinceps positae, ita ut linea AB lineam

F-i-KH-(d-i-A)-l- H-i-æ-i-(O-f-O))(P.39 not.1)f-f-E-i-Z-i-H-i-G). itaque quae

10

15

20

25

44 HEPI EAIKSZN.FA tâg EZ, à 6è EZ 1&9 HO, à 5è H9 1569 1K,à 6è IK du; AM, à «fi AM 1&9 NE. «momifiiez6è and au 16cv FA tout mg? ônapoxqî à F0, azor! ôëdu: EZ l’au (iodla: ônspozœïg à EH, ami 6è ràv H6

[au m6111 émoulais à HP, and and 1&9 tillas 1:61:miton 19671.01). êo’aoüwm 69] al ysvoyæ’vm 021105114144;

tout, and. émiant 19"? psytdtçz. ôsmrs’ov 05v, En niaïno murât: r51! yevopè’vav 151902703110: and ph: mima

ni: terpéyœva tôt (in?) «0566211 1&1; n’a; log) 022.1deôzsçszovdâv zonois 1:01? aïno 1&3 N E 1519417de éléa-

dova 1.671011 515L, fi t6 aïno 1&5 AB 7819027071101! mlt6 l’aov àpcpon’çozg 195 15 nêptsxopè’vçæ 15m3 tâta AB,

NE ml 1’93 1791193 pépa tu? aïno tais N T inoxyd-vov, net), 6è ni: 151902707110: tà aïno 1&1: mirât: 10:92;

r06 du?) 1&9 AB retoayw’vov nettoya 1.631011 51a. 101?416105 1.6701).

ânolsla’tpôœ àtp’ êxédwg râv 195 l’o’çæ âllélav

ôuepszovaâv [au réé 131890192". 311 (N7 1.6701! 5151. t6

ànô 1:59 AB azor! dvvawôzaoa r6 u a’mô tâv AB,(DE nêpcezôlwuov and 1:6 194’101: Mous nô duo raïsA0 13170417051100, roüzov 515L :611 1.67m! 16 ne me) 1&5

04 tatooîyawov and ne to usoisxôpsvov in?) 1&1!04, A X and tô 1905m: péons r05 du?) tüg X 0 retou-yœ’vov, ml rô rugdyawov t6 aïno 1&9 HZ n01), t618905165451101! 151:6 1&1! HZ, EFZ and 1:6 miton M909105 (in?) mis am 15817941705700, and tu? (inti 162v «511511

rezpdyawa azor), tôt ôyolæç lapfiavôpsva zozota. mltôt mima 61) 1:6; 02m3 amodiai 1&1; 04, HZ, P6, 2K,TM, TE azor! t5 aréna ni: zapaszôpeva 151:6 ce ris

3. 82’] Nizze; au F, uulgo. nia] tu F; con. B. 6. a1-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 45F4 excedat, FA lineam EZ, EZ lineam HO, H9lineam IK,IK lineam AM, AM lineam NE. etlineae FA adiiciatur linea F0 uni excessui aequalis,lineae autem EZ duobus excessibus aequalis lineaEH, lineae autem H3 tribus aequalis linea H P, cete-risque eodem modo. itaque quae oriuntur lineae,inter se aequales erunt, et unaquaeque maximae[aequalis]. demonstrandum igitur, quadrata omniumlineam, quae [adiiciendo] ortae sunt, ad omnia qua-drata omnium linearum aequali spatio inter se exce-dentium praeter quadratum lineae N E minorem ratio-nem habere, quam AB’: AB x NE -I- à» NT’, ad

quadrata uero earundem linearum praeter quadratumlineae AB rationem maiorem eadem rationeo

a singulis lineis aequali spatio inter se excedentibusabscindatur [linea] excessui aequalis. itaque erit:

ABzzlex qui-Fixesa 0.42: on x dix-H; XO’:IIZ’:IIZx îPZ-l-â zani,

et eandem rationem habebunt quadrata ceterarum [li-nearum] ad spatia similiter composite. quare etiam erit[Eucl. V, 12]

1111m9 F; corr. Torellius. 13. H5 F. 28. P9] P0 F.29. roi] addidi; 0m. F, vulgo. ’

46 IlEPI mm.NE 11012 1073 tous miaous 10153 eôpqye’vmg y90415101:1011 1è 1911011169101 10511 15190170611001; 10311 dm) 16

0X, 11W, P52, Zrà, TQ, TN 1611 01131611 Ëgq’ôv’1.67011, 311 16 02116 1&9 AB 15190231131011 11011 1è dm

5 0111111615901 16 1e 15116 10’211 AB, 0B 11591816115701; au

16 1961011 "son 106 02116 0A 15190171161101). si 0611 :16811W 16 1e 11591616951101! 6116 1s 1519 NE aux), 11El’avis mîdoug 10119 04, HZ, Péd, 2K, TM, TE me10? 191’101 111’950: 1611 15190111061112"; 10311 02116 1&1: 0X

10 1111?, P52, 27A, TQ, TN 10311 11611 16190171611101! 1151ànô 1&1: AB, FA, EZ, Hg, IK, AM éÂd11ovu, 11516è 1519011105110"; 10311 02116 10711 FA, EZ, Hg, IK, AM

NE guigna, 61651711511011 fiacre!!-A-O-HÎP-ZT T-T- 1011 16 1190150511. 51:11 61) 16 11141

15 pi ! I 11591ax611wo11 15116 1a 1&9 NE andE- I 1&9 tous 110260119 rats 0.4, H Z,

Ë l PC"), 2K, TM, TE 11012 1èï 191’101 515’950: 1051: 15190170311001! 10511

" 02716 1511 0X, me, P32, 295,20 A] TQ, TN [du 101g 18190171151101;

sis-Lama æ-q N- rots 02216 X4, lP2, 620, 23K,Bidizlgï QM, NE 11012 193 71091510115191

15116 1s 1&3 NE 11011 1&5 [dag 110i-

60119 101179 0X, 11W, P62, Zib, TQ, TN 11011 193 191’191

25 115’981 10511 15190170511071; 10511 &116 1071: 0X, IIîP’, P62,

EiÀ, TQ, TN. 1è de 02716 1&1: A3, F41, EZ, HQ,I K , AM 15190î7awa 1’601 1012; 02116 1&1: Bd), X4, aP’Z,

2. 19110111009101 F. 3. E&] 2A F, ut lin. 10 et infra sae-pius; nam æ in F plerumque ita deprauatum est, ut similli-mum sit litterae A, et eaudem formam grabat ed. Basil. (A).Tq] hic et lin. 10 littera q in similitu cm compendii :900compta est. 9. 11191) F, nulgo. 10. ph] addidi; 0m. F,

HI

DE LINEIS SPIRALIBUS. 4704’ 4- IIZ’ -l- PO’ 4- 23K” -l- TM’ 4- TE’:

NEX (04 4- 112 4- P6 .1- 2K4- TM-l- me)».1- 1(0);? 4- 111p2 4- 1°51’ 4- 2W 4- TG’ 4- TN’)

a: ABzzABx (DE-I- 1» 04’.itaque si demonstrauerimus

NEX(04-l-IIZ-]-PG-f-2K-]- TM-I- TE)-]- â (OX’ -I- 11W -l- PQ.’ 4- 22g -l- TQ’ -]-TN’)

( AB’ -]- F42 4- E2il 4- HG’ 4- IK’ -]- AM3,sed

mI’4’ 4- EZ’ -]- H0 -I- IK’-I- 4M -I- NE’,

demonstratum erit, quod propositum est [Eucl. V, 8].erit igitur

NEX(04-]-IIZ-]-PC9-l-2K-I- TM-l- TE)4- g, (0X2 4- 1mn 4- 1°52’ 4- 22w 4- TQ’-l- TN’)

.-.. (suril 4- M” 4- 52w 4- 2.510 4- GM’ 4- NE’)

-]-NEX(OX-]-H?If-l-P62-]-2(à-l- TQ-«f-TN)-]- à (0Xa -I- 11111” -I- P623 -I- 232)” -l- TQ’ -I- TN’).’)

1) Nana 4X: IFZ : 9.9 : Kæ - Mq - NE. Archi-medes enim tacite supponit, hic quoque minimum lineammaequali spatio inter se excedentium excessui aequalem esse (necalioquin in demonstrando pro . X uti potuit), quamquam necad demonstrationem confioien am par se necessarium est, necpostea, ubi hac propositione utitur (prop. 26 et 26), ab eo ad-sumitur.

2) Nain 04 a OX-I- X4, HZ a: 17W -]- lIIZ cett., etNE - X4 a 412 cett.

nulgo. 12. 1901703110011 F. 17. TE] TN F; con. Torellius.18. mon F, nulgo. 21. .529] pro .9. in F est compendiumnerbi ovtmç mire corruptum. 23. aux! 1&g] 10":; 0m. F, nulgo.

5

10

15

20

48 IIEPI EAIKQN.62Û, (ÆK, QM 15190170611019 11011 1ol’9 01116 15111 4115,

FX, EËI’, H62, FA, Aq 11111 195 11591510116119) 13116 1&9

B115 11011 1019 611110166019 1&1 40, FX, ET, H62, 16k,AQ. 11011101 11611 0611 61111 611011691011 161 15190271101111 1131

01116 10111 360’211 19? NE. 16 66 11591516115101 6116 1&9

NE 11011 1019 1’609 10119 0X, 11W, 62P, 6&2, (1T, TN510166611 6611 1017 11591510961101) 15116 15 1&9 B (D 1101?.

1079 61111016K019 10711 .4115, FX, EÎPQ H62, Fà, JIQ 610116 1619 11511 5591211531019 719011111619 101179 11611 F0, EH, PH,

I 27, 4T, TN 176019 5ï11511, 16111 66 lomâv 1151:611019. 11111

161 15190171011101 6è 101 0111610711 40, FX, ET, H62,I (à, AQ 1111201101 61111 1013 191’101: 1169509 10511 01116 1&0

0X, 11W, P62, 27(Æ, TQ, TN’ 65656111011 71619 101310511 10179 611011110. 611021101101 51’901 5’111! 101 91116611101 11091501

10511 15190170511000 11511 01116 1â11 4B, F4, EZ, H8,I K, 4M 10111611 66 65115051159, 511 1151201102 61111 11511

15190170511021 10511 02116 10’111 F4, EZ, H9, IK, 4M,NE. 11011111 61] 101 1519027011101 161 02116 10711 F4, EZ,Hg, IK, 4M, NE 1’601 61111 1019 15 02116 10’211 XF,

EPPQ H62, Ph, 1m 1101110179 02116 10711 X4, W2, 628,rAK, QM, NE 11011 195 11591510116119) 15116 15 1019 NE11011 1019 6111101615019 111166511 10211 FX, E1P’, H62, Ph, AQ.

11011’ 6611 11011161 11611 101 6116 1&1 X4, ËP’Z, 62Q, 6ÀK,

MG, NE, miton 6è 16 6116 15 1&9 NE 11011 1&9 long

2. H62] M62 F supra scripto Hmanu 1. I ] FA suprascripto I manu 1 F. 3. 10111 B115 F; corr. A?, ed. asil. H61N62 F. In figura. pro æ in F scribitur H, pro littera9. 190111110119 F; con. Torellius. P0] F9 F, se con. ma-nus 1. 12. nettoyai 61111. . . . lin. 13: TN] 0m. F; corr. To-rellius (nisi quod 1169009 habet lin. 12) et Commandinns (6011,1169009, 107w 11190110510011 10’511 aîné). 15. 117111] 10011 et comp.

F; corr. Torellius. 16. 6515011511 F, nulgo. 20. ne: 1oï9 . . .lin. 21: N E] 0m. F; corr. Commandinus. 22. Ha] H 0m. F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 49ed

AB’-I- FÆ-I- EZ’-l-H6’-I-IK’-l-AM’:(BÇID’ -f- XA’ -I- ËFZ’ 4- 520 4- hK’ -I- QM’)-;- (49’ -l- un 4- E11" 4- HSZ’ 4- me 4- AQ’)

*BIP x 2(Adî-I-FX-i-EZ-I-HQ-i-PA-l-AQ)Eucl. II, 4]. itaque utrinsque partis communia suntluadrata linearum lineae N E aequalium, et pmtereaat NE x (OX-l- NEF-l- QP-l- 932-1- QT-l- TN) BŒX 2(AÇD-l-I’X-f- E211-I- HSZ-i-Fà-f-AQ),quia. hac lineae aequales sunt lineis

FO-l-EII-I-PH-I-IZ-l-AT-I- TN,sed reliquis [PX -i- E? -I- H .524- I & -I- 1m] maiores

[et 0X 4- 1121:4 5213-1- æz-i- QT-l- TN: (F0 4- EH-i-PH-I- 12-]- AT-i- TN)4- (PX-k E11? -i- H62 4- 19,; 4- 11(3)].

sed etiamA1153 -I- I’X’ -I- E11” 4- HSZ’ -I- 19j -I- AQ’

)«k(OX* -f- IN!” -I- P6223 4- EFA’ -I- TQ’ -I- TN’).

hoc enim supra demonstratum est [prop. 10 coroll.p. 40]. itaque [omnia simul], quae commemorauimua,Spatia. erunt

( AB’ -l-- FA’ -I- EZ’ -I- HO’ -I-IK’-I- AM’.

deinde autem demonstrabimus, majora. en essequam Fd’ -!- EZ” 4- HÊ’ -I- IK’ -I- AM’ -l-:N,E’.

rursus igitur erit:Pd’ -I- EZ’ 4- HÛ’ 4- IK’-f-AM8 4- NIE,”Î

.-.- (XF’ 4- E2112 --f- H52.a 4- Pà’ -I- AQ’)

4- (x4î -*- WZ’ -l- .9631 4- æK’ -I- QM’ .4- NE’)

-i-NEX 2(FX-l- EW-f-HSZ-l-FA-f-AIQ) [Eucl.II,4].et communia sunt

La” -l- Il”? -I- 62.094- àK’ -I- ng -I- N53,

Archimedel, 9d. Heiberg. Il. 4

a!

10

15

20

50 1mm EAIKQN.10260109 tafs 0X, H217, P62, L"A, TQ, TN 105 15m:raïs N E 100:2 1&9 ôLzÂadlag manip 1&1) FX, E ’1’, H52

I (À, Aq. ëvzl 6è 000d, rôt retgdymvœ tôt 02m3 1:0"w X C11111, 5015932, qT, TN 10511 àarô 1&1: FX, Eur, H52

I (à, Aq pattova fi 1907011026001.- ôeôeo’umo 7&9 au), roôu

neigeait: 5290: ëwl rôt ênfls’vta 101950; 1’051! tsrçœym’vœ:

1.1511 024:6 1&1: FA, EZ, H0), IK, AM, NE.

HOPIEMA.

K00). 105mm et? aux (mon: àvaypaQs’œvn àarô zaouïa

0271:6 ne 1&1: 1:95 1’691 022.1021001 âneçazovo’âv anal 022:2

107v [607v rqî’ysyfdrq: al’ôsa, «021100: rôt 027:6 du [6&1

1:9": (1.575619: arez), rôt 02m3 zâv 1:05 1’69) 021.1021051: 151059-

sxovdâv papis 105 &zô 1&9 0510411161015: elôsog êÂoîao’ova

lôyov Ëëoôvu, fi 16 tsrpoîymvo’u 16 a’mô 1&3 y57561055

and rô 1’601: 0250920159009 197 ra 7059061on9) 157:6 u1629 peyu’drag ami 1023 êluxidmg nul t9; 190’192 (n’es:

105 àarô tifs Ônagoxâg, ë Ôzegëzu à y67156105 râg éla-

ztazàg, azor), 6è rôt 02m5 166v «610’212 517650: zœçlg roi

0221:6 aïs paginas (16020110: 1:05 0:61:05 167101). 16v 0413161)

yàç 5306m lo’yov rôt épata sl’ôsa rots 15179007015000;

OPOI.

œ’. El am 5138510: ëmçevxôfi 719044043: à; fumât?

000:2 pévovrog 1:05 Ërëgov 005900109 0:61:29 taorazs’mg

1. 17W] IIP F. 3. toi] (priua) addidi; 0m. F, nulgo.6. êm’] un] F. 8. nôçwpa] 0m. F, unlgo; ,,corollariumruemisaae’0 Cr. 10. «001790:49:sz F; con. B. 11. (div... n. 12: 021:6 16:13] 0m. F; corr. Torellius. 14. 16] (prima) un F.

20. 0500m F, un go. 21. 80041110111. F, uu1g0; ,,definitioneflCr. 23. and] 0m. F; con. Tare ’us. Lou-rap; me F; con. B.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 51etNEx(OX-l-II1P-I-PSZ-l-Eiæ-l- Tq -I-TN)mNEx 2(FX-l- E?-I- H5: 4- Iiæ x AG).’)et praeterea sunt

XO’-l- 111’17’-[--.2P’4-(b2’-l- QT’-l- TN’

m 3 (FX’ 4- E2)” 4- HSZ’ 4- I’Æ’ 4- AQ’).

1mm hoc quoque demonstratum est [prop. 10 coroll.p. 40]. itaque [omnia simul] spatia, quae commemo-ranimas, maiora sunt quam

FA’ 4- EZ’ -l- HG’ 4»- IK’ 4- AM’ -l- NEF.

COROLLARIUM.

Quare etiam si in omnibus lineis, et iis, quaeaequali spatio inter se excedunt, et iis, quae maximasaequales sunt, similes species construuntur, omnesspecies in lineis maximae aequalibus constructae adspecies in lineis aequali spatio inter se excedentibusconstructas praeter speciem in minima construètamminorem rationem habebunt, quam quadratum maximaelineae ad spatium utrique aequale, et rectangulo lineamaxima et minima comprehenso et tertiae parti qua-drati excessus, quo maxima minimam excedit, adspecies nero in iisdem lineis conatructas praeter spe-ciem in maxima constructam rationem eadem rationemaiorem. nain species similes eandem ratianem habe-bunt, quam quadrata [Eucl. VI, 20].

DEFINITIONES.

I. Si in plane recta linea ducitur et manentealtero termine aequabiliter circumacta rursus in cum

1) Nain FO-f-EII-l-PH-I-IZ-i-AT-I-TNmFX-FEW-I-Hfl-i-Iài-I-Aq;

tum n. p. 49, 12 aq.4*

5

10

15

20

25

52 1111m 12111115211.01591515185260: 021101:0110101aflfi 1102111, 5951: 15911016515

0211131 6è 10? 7901111102 «59Layo115’qu 11159171011: 11 611115191:

[6010115013 011’216 êamçî 11011131 1&9 eûôstœç 029502115101:

02116 1013 11510110; 015901109, 16 601115501: 51m0; 791511:51

à: 196 15111115300.

fi’. 11011556001 0121: 16 1011: 11590:3 10?; 512851119 16118’101: «69111701115an 01121029 029161 1019 511.1103.

7’. à 6è ôédLg 1079 79011111013, 021p’ 029 62950110 à

51385101 «5919159568011, 029102 102g 1159111109023

à". 512135101, 621: 11.11: 51: 102 1190519: 1159191091; 610111:0-

951131’] 16 6011151701: 16 1001181 1029 5139515019 111596115101, 11916111

11111515011, 521: 6’ 31: 1g? 651215901 015911170902 16 011316

601115191: 610111561], 6512115901, aux! 0d 6211011 6110m9 10:15-

10ug 611101:151Lœg 1al’g 1159191090111: na15fdfimdav.

5’. 16 6è 1009m1: 16 11591101910131: 13116 15 1529 511-

uog 1&9 31: 19’: 019115101 11.59qu099? 790191556019 un), 1&9

51219515019, 52 130’111: 119115101, 11915101: 111115568111, 16 6è

115911atpæ9è1: 1311:6 15 1&9 âmes 1629 à: 10"; 65111590; 11591-

111091; 7901915116019 1101?. 112g 5131955019 1029 65m5’9œg 651515-

901: 11111151.3190), 11011 1è 621101 55119 0131m 110115116001.

ç’. 11012 a! 1101 02116 1017 6011151501), 3 50’111: 029102 1&1;

3111109, àzôfi 119 51313511: 7901111102, 102g 5153515019 10115112;

161 5’111, 1è 0113102, àp’ 62 1101 à 11591910902 751111011, 0190-

ayo151151:0: 110115176801, 1131 6?. 5113 00215901 5316115111.

Ç’. 5 15 y90191519 11151110g 115’11991 11h: 193 61211859),

5 ému: 029102 1&9 5111105 61010111110111, 6è 1g? 5130541, ü

561w 119115101, 11915109 110115111801, 6 6è 79019:le 11511991

3. 501110 F; con. BC.* 11. 16 1101102] 16 0m. F. Nu-meros ipse addidi. 23. 102 bd] ecripsi; 102 0m. F, vulgo.81’ 1’12 aux] addidi; 0m. F, nulgo. 1190017015115101] h. e. 1:90-1110121151101, scripsi; 11900110115101 F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 53locum restituitnr, unde moueri coepta. est, et dumlinea. circumsgitur, punctum aliquod sibi ipsum ae-quabiliter in linea fertur a. manente termine inci-piens, punctum in piano lineam spiralem describetf)

II. Terminus igitur lineae, qui, .dum ipse circum-agitur, manet, principium spiralis uocetur.

III. Positio autem lineae, unde circumagi eoepta.est, principium circumactionis.

N. En linea, quam in prima circumactione punctumpermeauerit, quad in linea fertur, prima uocetur; quamin secunda circumactione idem punctum permeauerit,secunda, et ceterae eodem modo circumactionumcognomines sint.

V. Spatium autem spirali in prima circumactionedescripta et linea, quae est prima, comprehensumprimum uocetur; quad spirali in secunda. circum-actione descripta et linea secunda comprehenditur, se-cundum uocetur, et cetera quoque deinceps eodemmodo nominentur.

VI. Et si a. puncto, quod principium spiralis est,recta linea. ducitur, quae in eadem eius lineae partesunt, in quam fit circumactio, praecedentia nocen-tur, quae in altera. parte sunt, sequentia.

VU. Et circulas, cuius centrum est punctum,quod principium spiralis est, radius autem linea, quaeest prima, primus uocetur, circulas autem, cuius

1) ce. Pàppu. I p. 234 av, 30), ubi similiter linea. spi-relis definitur.

54 HEPI EAIKRN.ph: r95 1:61:95, ôtœo’f’rîyafl 6è au; ôzarladiq: 3158859: 651

nous uœlso’Wœ, sont ct 68.2.01, 6è 52179 toutou; 1’611 on

tôv quinone

, L5,. .5 El aux and 1&1; Sima 1&1: à; (1d «soupape? 6mm;05v yeyçaupæ’vœv (in?) 1&9 0101073 raïs 51mg 868850:ëpnsdôwa ôzodouoôv [dag «01.915611; ymvûxg not’ aîné

las, 1:93 la,» ôzsça’xovu éliminai.

son» ÈME, êcp’ ë; ut AB, AI”, .44, AE, .42 560:510 7101115419 101.0150711, zoz’ àlÂaïÂag. ôemn’ov, 617L 193 1’69:

Ônsgs’xu à AI"v tés AB, seul à A4 1&9 AI", and aiau» ôyorfœg.

à: 95 7&9 1961190 à zsçzayope’vœ 794151456: abri) 1:5;

A8 31:1 176w AI" équanime, à; 10619) 193 méjuge 1:615 canezou r6 mut de aôflsfag 9259611511011 du; insouci";

ôtœnogavëmo, 9? «51:59:!st à

FA 1&9 AB, à! 95 6è 196092ànô du; AI" t’ai 1&1! A4, à:106:9: ôtanoçsve’tac du: 15me-

ozév, q? 1511695154 à 114 zigAI". à! 1’69) 6è 1961190 à 11691-

ayoyévœ youpin) aîné u raïs A B

fini du; AF àtpmwi-rm ml 021:6 zig AI" à) 1&7 .44,êmLôù ai yœw’au [d’un 3111:5. à: I693 âge: 10609) 16

25 mû 1&5 515mm; pspôpevov capiston: ômnppauétœz du!

ôzsooxdv, a; mesas; à FA 1&9 AB, nul zàv (m’ap-

1. raft] addidi: 0m. F. nulgo. 5 5 chum F. fait 5,7]scripsi; un pu F; om. Torellius; "in (du ad. Bail, unlgo.6. yayqappnu F; corr. ad. Basil. 8. maquons F. 17. mais]un F; com B. 26. FA] P4 F; AI" uulgo.

I DE LINEIS SPIRALIBUS. 55centrum idem est, radius autem linea duplo major,secundus uocetur, et ceteri deinceps eodem modonominentur.

X11.

Si ad spiralem qualibet circumactione descriptama principio spiralis lineae quotlibet ducuntur aequalesangulos inter se efficientes, aequali spatio inter se ex-

cedunt. . Isit spiralis,- in que. lineae AB, AI", A4, 4E, Alsint 1) aequales angulos inter se efficientes. damon-strandum, aequali spatio excedi lineam AB a lineaAF, lineam .41” a. linea 144, ceterasque eodem modo.

nain quo tempore linea, quae circumagitur, abAB ad AI1 peruenit, eo tempore punctum, quod inlinea fertur, excessum permeat, quo excedit linea FAlineam AB, et quo tempore ab AI" ad dz! peruenit,ce permeat excessum, que AA linea excedit lineamAH sed aequali temporis spatio linea, quae circum-Igitur, ab .43 ad AF et ab AI" ad 114 peruenit,quonism anguli aequales sunt. eodem igitur temporisapatio punctum, quod in linea fertur, excessum per-meet, quo linea FA lineam AB excedit, et quo linea

1) Fort. scribendum lin. 9: w à: [3è A, B, r, A, E, z, H.bêta à) viciai flic 511.qu ni 4. tu! and 105 A infiltrant]a "1..

56 nm EAJKQN.01020, 0l 15105915150 à AA 1&9 AI". 1:95 l’au) 390: 15150

ézu à? se AI" 10?; AB, ml à AA mais AI’, and 0lourai.

07’.

5 E1? un 56351:0: remuait raïs S’ILnog ëzuponîy, and)En 5061101; êmzpœüau caneton

être) 31.05, àp’ de 1:0: A, B, 1", A. gaza) 6è niez:50è! 1&9 31mg il) A admirai), âozà (il 150?; nepupoçâà A A 8635204, nul âmtpavëzm 1&9 311,109 26651302 un; 1

10 2E. (papi dû uaô’ Su 10611011 duperai; énupaüaw mités

Ëmzpavs’rœ 7&9, si 6011411612, 200ml 6150 dupent 1:6

I", H, and 36315184116411: aï AI", AH, and à 7mm?

il Z 65x04 1511102600) à m590-Exops’vœ 13206 1&1: AH,

AI". xaô’ 3 6è captantà 61:10: répvovaœ tolu710311150111 00:" 5’).sz aron-

m’mu, Euro) 1:6 0. 04,5dû i891 1510595151. â 18 AH

20 0&9 AÛ, seul à A0 ni; AI", 52mm) tous glandas atem-e’xovu uor’ 021.1021059. 4561:5 ômladtm 3121?. ai AH,

AI" 1&9 A8. «un; 1&9 à; 19; 17907105119) [0&9 A8]60’105 regwoüaag 113w yœm’av (Lamine; 311d fi 601011:65:10.

6752.01: 015v, du, zaô’ 3 culmina; daueïov se"; PH25 sôôerfç à Aû, pâmât) 1.1511 0, A étau dapez’mv. régala

590: à EZ 143w gluau, éraflé u 115v à! fg": FGH da-

12. à] 11 F; corr. Torellius, ut lin. l3. 13. "ennemi F,nulgo. moutons"; mu "w (comp.) F; con. Torelhus. 16.cm! F; con. Torellius. 20. me A8 F; corr. Torellius.mouton cum comp. 171! F; corr. VA. 22. si; A9 alterumlldelco. 28. pute)? F; con. B.’ 24. se 011mm F; to uncis in-cluait ad. Bail; de]. Torellius. 26. PH D, ed. Bail, Torelliul-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 57AA lineam A1" excedit. quae AI" lineam AB etAA lineam AI’ aequali spatio excedunt [prop. l], etceteree eodem modal)

XIII.Si linea. recta. spiralem contingit, in uno solo

puncto continget.sit spiralis, in que. sint puncta A, B, I", A. princi-

pium autem spiralis sit A punctum, et principiumcircumactionis linea. A A, et linea. aliqua. EZ spiralemcontingat. dico igitur, eam in une solo puncto con-tingere.

contingat enim, si fieri potest, in duobus punctisI", H, et ducantur lineae AI", AH, et in danspartes aequales secetur angulus, qui lineis AH, AI"comprehenditur. et punctum, in que linea angulumin aequales partes secans in spiralem incidit, sit 0.qusre aequali spatio excedit. linea. AH lineam A6,et linea. A0 lineam AI", quoniam aequales angulosinter se efficiunt [prop. 12]. quare AH -[- AFE2A9.sed AH 4- A1" maiores sunt quem duplo majoreslinea. in triangule angulum in aequales partes se-canti.’) adparet igitur, punctum, in quo linea. A0 inlineam PH incidat, in’œr puncta 8, A positum esse.quare EZ spiralem secat, quoniam quoddam punctumlineae PH intra. spiralem est?) et suppositum est,

1) Banc propositionem citat Psppns I p. 284 (1V, sa).2) De hac propositions: duo simul lutera cniusuis trian-

guli maiora. esse quam duplovmaiora linea, quae angulum abfis comprehensum in dans partes aequales secet, cfr. Zsitschr.f. Math. hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 5, Nina p. 188, Sturmp. 403.

3) Cfr. Eucl. 111, 16 zôqzapu.

5

10

15

20

25

58 un?! 10mn.0050m; 060069 :5600 0&9 510x09. 15208305000 6è 031001104015on

mat? 311 00’900 5060011 50100040100 à EZ 0&9 51.01009.

0d".

E0300: 1000?, 0&0 51.01000 0&0 à; 090" 10905000 0000190099":

yeyçamu’vav 10000105645000 6150 568515000 dîna 0017 da-

psfov, 5 456000 020100 0029 51.03009, aux! 05051118503000 10001

0&0 0013 70906001; 201501.00 10.590935050000, 000 0015001:5&05000 1.6700 a! 100d 003w 51.00000 00007007000660", «00’

àlÂoËÂag, 311 ce! 70590059515000 005 006301.01; ai 50500050 005

005900009 0&9 51.02009 ml 0051: 0059050030 0&0 33613117000659

sûôaâv 00511 t’ai 0079 10590926980009 ywops’vmv, du! 0è

10900070600500: lapfiowope’vav 0&1! 00090000950620 02000 001":

10090009 0&9 3100009.

56000 500g à ABI"4E9 à! 0g? 70905000 0059092090;- ys-ypappe’va, 020x00 8è 0&9 pèv 5100009 160m 0è A 602505000,

à 6è 84 5685000 020160 0&9 105009209629 56003, and mî-ulog 6 QKH 5600) ô 10903009. 10000000100600010 (il 0’210

0cv" A 600500000 00000 0&0 51.09000 a! AE, A4, scat ê:-1007006v00w 1000i 0&0 0017 006901.00 70590920050000 in! 0è

Z, H. 65000015012, 300 060 006000 Exovn lôyov à AE:0001 0&0 A4, 311 à 6K2070590qie’9500: 1000?. 0&0 OKH00090920950000.

10590070500009 7&9 0&9 AS ypœppâg ôfilov, 059 0è

(du 9 600508000 2m06: 0&9 0013 QKH 1015x100 005909:5-950’009 Mvsypé’uov 36010 36000015019, 06 et A mû 0&9

56880009 925065050011 0&0 40 7000va 10005000000, ml0è 9 60405000 0001000 0&9 0015 miaulai: 70690935050009 925-"

96400001: 0&0 9K Z 90800920’080000, 0è 6è A 0&0 AE

1. tu; F; cart. Torellius. 2. EZ] EH F; cart. B mg.7. un par camp. F; cart. Torellius. 9. 3.] in F. 20.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 59eam contingere. itaque in uno solo puncto linea El

spiralem tangit. iXIV.

Si ad spiralem prima circoncisions descriptamduae lineae a puncto, quad principium est spiralis,ducuntur et ad ambitum primi circuli producuntur,lineae ad spiralsm ductae eandem inter se ratianemhabebunt, quam ambitus circuli inter terminum spi-rslis et terminas linearum productarum, qui in am-bitu surit, pasiti, si ambitus a termina spiralis adpraecedentia uersus sumunturfi)

sit spiralis ABI’4E0 primacircumactiane descripta, et prin-cipium spiralis sit punctum A, et

l - linea 8A principium circumactio-anis ait, et circulus GKH primus

ait. ab A autem puncto ad spi-ralem ducan’tur lineae AE, A4et producantur ad ambitum cir-

euli ad Z, H. demonstrandum, esse

AE:A4::6KZ:0KH.nam si circumagitur linea 40, adparet, punctum

8 in ambitu circuli 9K H aequabiliter ferri, A autempunctum, dum in linea feramr, lineam A6 permeare, etpunctum 0, dum in ambitu circuli femtur, arcum 9K Zpermeare, A autem lineam AE’), et rursus punctum

1) Cfr. Pappus I p. 234 (1V, 32).2) Se. eodem temporis spatio.

010m0 F; son. Torellius. 24. me F; corr. Torelliu , ut lin.,25, 27. 26. noceuéuu] scripsi; 10000090000000 F, nulgo.

10

15

20

25

60 1mm 10mn.56050000, na? 1000.00 06 .05 A 000005000 0&0 A4 09000.-00020, aux? 06 6 0&0 QKH 1059006950000, 500605900 10’0-00015’009 00606 5000005 059605000. 6filo0 0’60, 500 060

006060 510000 2.6000 & AE 1000?. 0&0 A4, 60 à 9K Z005900595000 7000?. 0&0 OKH 1059006950000. 656563000000&9 00600 31002000 50 0009 0090059009. 60000009 65 6501-017060000, 0000?, 50’ 0000 à 505’900 0&0 700001000000000’20 éd. 06

005’909 0&9 5’1on9 1000000000071, 600 06 00606 00005000050.

05 .

Et 65’ 0000 0000?. 0&0 50 090" 6500599 105900090": 05-090000060000 5103000 20000100000000 56050000 &006 0&9 &91&9

0&9 57.00009, 060 0060605206000 2.6000 ai 56050000 «00’

601.161.009, 60 ai 509110060000 0059005950000 1.054"? 61.009 0&9

006 006002.00 7059005950009 Aapfi0000505’0009.

5’000) 51.05, 50’ &9 & ABF4Ü, 60 0050 ABF4850 00? 70906000 1059000900" 05090000506000, à 65 ÜAEM à:

00’? 65006900. :000? «00000000060000 561950000 al AE, AA.

650000500, 600 060 006060 510000 11.6000 à AA :000? 0&0AE, 60 & 6K Z 005900695000 0058’ 61.009 0&9 0017 10600100

1059005950009 0000? ÛKH 005W 61.009 0&9 006 006201.00

0059005950009. l50 600 0&9 x9600 06 A 000005000 200006 0&9 560502090596005000 0&0 AA 7900000060 60000095060000, un? 06 0000005000 3000060 0&9 006 00620100 00590059505009 0596005000

61.000 05 0&0 006 00600100 1059006950000 «a? E00 0&0 9K2

0059006950000 60001095060000, aux? 106100 06 A 0005050000&0 AE 5649515000, 1000? 06 6 61.000 05 0&0 005 306200100

0059005950000 0000? 500 0&0 9K H, 5300205900 30000016019

’ 4. 510000 F. 6. 3006000] scripsî; 550 F, un] a. zoo-059009] scripsi; 009001009 F, uulgo. 8. 6’00] addidi; 0m. F,

DE LINEIS SPIRALIBUS. ’ 61

A lineam A4 et 0 arcum ÛKH, utrumque aequa-biliter sibi ipsum. adparet igitur, esse

AEzAASÛKZ:0KH.hoc enim supra in prioribus demonstratum est [prop. 2].et eodem modo demonstrabimus, etiam si altera linea-mm ad spiralem ductarum in terminum spirslis inci-derit, idem futurum esse.

XV.

Sin ad spiralem secundo. circumactione descriptama principio spiralis lineae ducnntur, esndem rationeminter se habebunt, quam arcus, quos commemorauimus[prop. ,14], adsumpto toto circuli ambitu.

sit spiralis, in qua. sit linea ABI’AÜ, ita ut.4de9 prima, ÛAEM secunda circumactione de-scripta ait. et ducantur ad spiralem lineae AE, 21A.demonstrandum, habere lineam AA ad lineam JEeaudem rationem, quam arcus 0K Z adsumpto totocirculi ambitu ad &KH adsumpto toto circuli ambitu.

nam quo tempera 1) punctum A, quad in linea fer-tur, lineam A11 permeat, etiam punctum 0, quod inambitu circuli fertur, et totum circuli ambitum etpraeterea arcum ŒK Z permeat, et rursus [quo tem-pore] punctum A lineam AE permeat, etiam punctum0 totum ambitum circuli et praeteres. arcum üKH,

1) Ut foeda uitetur anacoluthia (lin. 26 sq.), fartasse prae-stat lin. 22: à: i’azp 702g.

m1130. 14. 31:15 lamparo ému? 15. ABFAOEAM To-relhns. 17. noumntœm ; corr. B. 18. axant-u F; corr.Torellius. 20. nerf] noce pet camp. F; con. Torellius. 23.au! 1:6 a] sans: t0 E F; son. Torellius.

58 DE?! W.peton: ëwâç éon si; autos. rhénan 6è 31511141150110

M0, à! 65941 W01: «funéral; à El tût; autos.

46’.

El’xa 101:3 176w and 1&1: à: ré 1961:9: nepupog5 yeypuppéuau 1:01;ch 6150 51385121; &zô 105 64

gelai), 5 561w (ÏQZà ni; Slang, nul ’ëxplnôémwz ne:du: 1:01") 19:61:00 115111.01; zeçzpe’çsmv, tôt) «été

53059:; 2.6701: a! un! tàv Sima zonmmrmîo’m 1:01àlldlag, 31: est nspupegu’m un)" 162101: ai paraëû to

10 m’en-mg du; 51mm; ml :451: apaiser» m’ai ëxfilnôewü

sûôæuïv 176v 31:2 raïs zapaçspsùzg 7cvoys’vaw, 31:1 174

«poayoüçæva lapfiavopévav 1&1; zeoquaçsw’w (in?) 101

mémos sis âmes.être: Ski à ABFAEO à: ni 1:96:95 uepchoçë pas.

15 ypaype’w, 02918: 83 1&9 (LEV 51m0; tout) 16 A dupeümà 6è 8A 5154km delà tâg zsçzqzopâg 54mn, aux) mi«les ô GKH 51mn ô 1:96:09. zœcmxrôwœv a); âne106 A dapu’ov and «En: me a! AE, A4, aux! én-mmôvraw «01:2 1&1: 1:01? 1";qu mpupe’çeuw à!) 1è

20 Z, H. ôscns’ov, (in Tôt! aôtôv 5101m 169:0» à 11E«01:1 du: A4, ôv à 0K Z nepups’çsux au! 16cv GKH«coupe’çsmv.

nsçcayom’vug 7&9 7&5 .49 790:ng ôfilov, n53 16

(du 8 capela: mât 1&9 un") QKH 36x101) mon)?25 (nias Mveypè’vou êulv imaginas, 1:6 6è A mû 1&9

51305013 (papôpevav 143w A6 nappàv aopsm’uu, mltô 9 duperas: mât 1&9 son? x6110!) naqzqaspdag (pe-pôpwov 1&1! 8K Z ingambe-mai, 16 6è A du! JE

1. me F; son. Torellius. 2. EZ] EH F; son. B m8.7. un par camp. F; con. Torenim. 9. 3U] in F. 20-

DE LINEIS SPŒALIBUS. 59contingere. itaque in uno solo puncto linea. El

alem tangit. IXIV.

Si ad spiralem prima circumtione descriptsme lineae a. puncto, quad principium est spiralis,untnr et ad ambitum primi circuli producuntur,se ad spiralem ductile enndem inter se ratianemvebunt, quam ambitus circuli inter terminum spi-s et terminos lineamm productarum, qui in am-1 suint, positi, si ambitus a termina spiralis adeeedentia. uersus sumunturd)

sit apiralis ABFAE8 primacircumactione descripta, et prin-cipium spiralis sit punctum A, et

X - linea 04 principium circumactio-nia ait, et circulas ÛKH primassit. ab A autem puncto ad spi-ralem ducan’tur lineae A E, 44et producantnr ad ambitum cir-

lli ad Z, H. demonstrandum, esse

AE:AA::0KZ:0KH.mm si circumagitur linea A0, adparet, punctum

Mn ambitu circuli 9K H aequabiliter ferri, A autemmm dam in linea femtur, lineam .49 psi-mente, et9mm 9, dum in ambitu circuli foutait, arcum 0K Zmante, A autem lineam AE’), et rursus punctum

x1) Où. Pappus I p. 234 (1V, 32).2) Sa. eodem temporis spatia-

0

[in Fi °°"- T°r°mm 24. un F; con. Torelliu, ut lin.’27’ 26- ’WQWËWI] solipsi; maronnent: F, uulgo.

10

16

20

25

62 IŒPI EAIKRN.alita «13193 (pepôywov. Milan 015v, du 1:61: mirai:5101m 167012 à .411 ygaçmà au). du; AE, du à 9K Znegupe’pam psô’ 3110:9 zig 106 minima IEQLÇJEQEÛZQ nazi

du: QKH negupe’gsmv pafi’ 51a; 176243 1:06 minou15944128985119

16v mirai: 6è marlou ôsaxônae’raz, au). si au andtàv à; 1:9? rein; 159147099? yeyçappe’vav 511.240: aton-atsaaâvn 56mm, du 176v «6:61: 16701: ËEoôer 7:01?dllélaç, 31: al signye’vaz neozqnaçêb’m [LEV 51:19 1&9

1:05 minima uegupspslag 61g lapflavops’vag. épatais6è and a! and 1&9 5.11a; 5115x059 nounmroziam du»www», du tôt: «61:61: 5101m. la’yov, 311 a! etgqpe’wu

usçzçegeûxt ne? 510:9 1&9 son? mixiov mpupspetagtoa’œvtoîxLç lauflœvope’vag, 5609 4361111 ô êvl êÂdo’aœv

459435169 1&1: neptqnogâv, «al a! ou! à natmünovo’œ à

êxate’ça un). 1è: négus aïs 51m0; ullum.

L; .

El au: mis élimas raïs à" se"; «gain; «cabanage; 75-79appévag 5605m 7911515149: 511411:42:63], nui du?) 1&9 épi;

615mm nappai àmçwæflfi en). rô sandow, 3 étira:&pzà 1&3 Slang, dg zonai? yœm’aç à àpamope’va nazi

ràv ëmçwxml’aav, dv5001. êddoüvmz, ami à pli-w à: rot;

«pouyavus’vozg «influa, à 6è à: rots ênopa’voag dicta.

faire) ÈME, àp’ du; rôt A, B, P, A, 0, ëv a; murin;

negupaçq? ysyçapm’va. ami 561m 1:6 phi A dupera?

2. 81411911. F; cart. Torellius. 19:!va F. 8. au] 0m.F; cart. Niuius. 12. 51mm F; con: Torellius. à u"-pna ZEQLçEQEu! F; cart. Torellius. l4. roquant; F; cart.Torellins. fait] 51 F; cou. B; am. ed. Basil.; ,,uno mino-remtt Cr. 18. en une)"; F; corr. Torellius. 22. nounouF, nulgo. 23 «nappent; F, nulgo.

DE LINEIS SPIMLIBUS. 63utrumque sibi ipsum aequabiliter, permeat. adparet igi-tu, eandem habere ratianem AA:AE, quam urane ûKZ

cum toto ambitu circuliad arcum 6K H cum totoambitu circuli [prop. 2].

et eodem mado de-monstrabimus, etiam siad spiralem tertia cir-cumuolutione descriptamlineae ducantur, eas ean-dem inter se ratianemhabituras esse, quam ar-

cus, quos significauimus, cum toto ambitu circuli bissumpto. et eodem modo etiam lineae ad acteras spi-rales ductae eandem ratianem habere demonstrabun-tut, quam arcus, quos significauimus, cum toto ambitucirculi toties sumpto, quoties indicat numerus unominor [numero] circumactionum, etiam si altera linea-mm ductarum in terminum spiralis incidat.

XVI.

Si spiralem prima circumactione descriptam linearecta contingit, et a puncto tactionis ad punctum,quad principium spiralis est, linea recta ducitur, an-guli, quos linea contingens cum linea ad eam ductaefficit, inaequales erunt, et angulus, qui in prae-cedentibus est, obtusus erit, angulus autem, qui insequentibus est, acutus.

sit spiralis, in qua sînt puncta A, B, F, A, (il), primacircumactione descripta. et ait punctum A principium

64 IIEPI EAIKSEN.àoxà mais glanas, à 6è A0 51385512 àplà 1&9 napzqaoçâ

5 se 11945109 ZÜZÂOQ ô ÛK H. êmùave’tm dé mg 515861

nappât zig 314x09 à EAZ muât sa A, nul 02m3 1cA sa zô A ênsfieüxôm à 4A. ôezxre’ov, du à A

5 notl 1&1; A4 àpfilsl’av 1:01.517 741311150511.

ysyodçpôm inhalas ô ATN xévrpgn au 1:95 j.dmamiyœu 5è t,AA. àvayuatov 6’1015100 1:05 mixiezdu; un à! raïs n90

ayovpévozg 21:59:.-(pe’psmv ëwôg ultima.

si; 311x09, tàv à]à; rots ênogzs’vozs

3x16; ôlà sa têtdu?) 1017 A and. du51.an nonmmovdâvêôôuâv des Misa: à!

rots nooayovpe’vozç

20 1154:6an 534ml 1&9 .44, 1&9 6è à! rots ëuoye’vozg31.05666an. du pâti 05v à yawls: à neocexoye’va inti)

1&1! zizi, A Z 017x 561w 655m, 6171011, fusai?) mitan!in). 1&9 1013 fiycxvullfov. du 6è 6906: 05x écru, deut-n’ov oikmç’ fiel-m 7029, et demandai, 69’902. à 59a

25 EAZ ëmlpaüel 1:05 ATN mîxlov. dwatôv 61j .36er&nô toi A «011134:1er 560550"; nazi rôti; ëmlpœüovauv,

aîné 1&1; assagi) 1&9 êmzpœvoüdag aux! 1&9 roi? x6310!)

nepupsgelœç 513mm; nazi du: à: 1:05 uéwpov 105mixiez; êloîaaova 1.6701: 515w .105, 31; 515L à and!)

2. nomme au F. 3. 4E2 F, nulga. 7. 1:95] 19": TO’rellius. 10. du] tu F; cart. BC.* monogame F»

DE LINEIS SPIRALIBUS. 65spiralis, linea autem A9 principium circumactianis,et primus circulas ÛKH. contingat autem linea rectaE42 spiralem. in puncto 4, et a puncto 4 ad Aducatur linea 4A. Vdemonstrandum, lineam 4Z cumlinea 44 obtusum angulum efficere.

describatur circulas 4TN, cuius centrum sit A,radius autem A4. itaque necesse est, huius circuliambitum, qui in praecedentibus est, intra spiralemcadere, qui in sequentibus est, extra, quia lineammab A ad spiralem ductarum quae in praecedentibussunt, maiores sunt linea A4, quae in sequentibussunt, minores. angulum igitur lineis A4, 42 com-prehensum acutum non esse, adparet, cum maior sitangulo semicirculi. 1) rectum uero eum non esse, itademonstrandum est: sit enim, si fieri potest, rectus.itague linea. E4 Z circulum 4TN contingit [Eucl.III, 16 nôpzdpa]. fieri igitur potest, ut ab A lineaad lineam contingentem ducatur, ita ut linea intercontingentem et ambitum circuli posita ad radiumcirculi minorem ratianem habeat, quam habet arcusinter punctum tactionis et lineam ad contingentem

1) H. e. angulo inter lineam A4 et arcum 4PT com-prehenso, qui maior est quolibet acuta angulo rectilineo (Eucl.1H, 16); quare cum hic angulus pars sit an nli A4 Z, adparet,hune acutum cette non esse (Eucl. I uow. w. 9).

nulgo. 18. survenu! F. 22. 1mm A 4 Z F, nul o. 23.00017 F; cart. Torellius. 24. 05mn] per compendium pauloinsolentias scriptum F; 51’ B, ed. Baall., Torellius. 09011. àF; corr. Torellius. 26. aîné] si F.

Archimedes, cd. Esther-g. Il. 5

6

10

15

20

25

66 nm 12mn.1&9 oignis ml 15g noumatroüdag areazqaéasm «est du:6005560": ne9zq7e’9uav. noummézm dû à AI. espardû «ôtât 143w phi glana zonât sa A, 143w 6è 1:05 4N T

nspcçpë9swv minou aunât sa P. and 33’101 à PI sû-ôsl’a «or! du: AP éléddova 1.6701; sur"), 311 au à 4P

m9upe’9ua 101:2 1&1; 4N T naozqae’9smv. ami 51a 59aà I A nazi 1&1; AP 67.026601!!! 1.67011 ëxsz’, fi à P4N T

n59ups’9ua azor). 149w 4N T ne9aqæ’9uav, matériau du

5"st à 2H K Q n59upê9sm and. 1&1! H K Ê neazœéosuw.

311 6è à ZHKË nepups’oem nazi, si") HKO 9:59»-(pe’95Low, 1051011 515L à A11 86mm nazi, 1&1; A4. 65-6553:15:21, 7&9 voûta. éldaaova 6590: 1.67012 518L à AInazi 1&1! AP, 47’169 à AA mari 1&1: A4’ 5m59 016*15-

varov. [au 716:9 à PA sa? A4. 013x 5590: écria; 6934ià zs9iszops’va 1371:6 du A4, 4 Z. 6565151110". de, dumidi: égara. damera â’9a goth]. (561:5 à lourd ôteraisa"). 654.0in 6è 6541017651041, aux). et aux à émanati-ovaa 1&9 31mg xarà sa arê9aç êmzpaüy, du çà «ôta

dvyflnaâtm.

LÇ’.

Karl solum: et aux râg à! sa? devre’pqz m9upapq’z

yey9apps’vœg 510x09 armada à 513mm, 16 mira dup-flnds’rai.

entamasse: 7&9 à EZ même... raïs à; réé deme’9ç

7:59upo9q? yey9appévag 5111.2109 muât sa 4, m2 se? d’un

rà «ôtât rots «961559011 nazsdxevddfiw. 64mm dû tés

105 PN4 M9up59sa’ug nivation 1:6: (LEU à! taïg- «9041701:-

1. nepupé9ua] sari si; nepupspsmc F, nulgo. 6. 4TNTorellius. 9. HKGS H supra sari tum manu 2 F. Il.44] 44, peltes? à a IA ni: AA ommandinus, Taramas,Nizzius. 09011 F; corr. Torellius, ut p. 68 lin. 3, 4. 15.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 67ductam positus ad datum arcum [prop. 5]. ducaturigitur ad lineam contingentem linea AI. ca igiturspiralem in puncto A, ambitum autem circuli 4N T l)in puncto P secabit. et sit PI: AP(4P:4NT.quare etiam [A : AP ( P4NT: 4NT’), h. e.421m0 :HKûfl) sed ZHKQ : HKÛ e 44 :44.hoc enim demonstratum est [prop. 14]. itaque

AI:AP(ÀA:44;quad fieri non potest. nam PA :--- A4 [et I A ) A A][Eucl. V, 8]. itaque angulus lineis A 4, 4 Z compre-hensus rectus non est. et demonstratum est, ne acu-tum quidam eum esse. itaque obtusus est. quarereliquus angulus acutus est. et eodem mado deman-strabitur, etiam si linea spiralem contingens in ter-mina contingat, idem futurum esse.

XVII.

Iam etiam si spiralem secunda circumaetione de-scriptam linea contingit, idem futurum est.

contingat enim linea EZ spiralem secunda circum-actione descriptam in puncto 4, et cetera eodem modo,qua supra [prop. 16], comparentur. itaque, ut supra,ea pars ambitus circuli PN 4, quae in praecedentibus

1) Miras uerborum ordo lin. 3-4 defenditur simili locolin. 27.

2) Sa. avvfls’vn; Pappus VII, 46 p. 686.3) NamP4NT: 4NT: L PAT (n 180°): 4AT(a 180°)

a ZHKQ : HKG (Eucl. V1, 33).

un et camp. F; carr. Torellius. A4Z F, nulgo. dé]am. F; cart. AB. 13. au] addidi; am. F, nulgo. 24. EZ]AZ F. 25. flamand] scripsi; «591920911: F, nulgo.

5*

68 HEPI EAIKSZN.pérou; zâgê’lmog être); nsdoüvzac, zà 6è à; :on âne

néron; gazés. à 015v 70)an à tin?) zâv A4, 4Z 05:ëazw 6964i, &ÂÂà damera. 56m) 7029, si 612111:01:61

69302. incantasse ô?) à E Z zoü PN 4 miaulas; nom

- zô 4. üxvfiœ aï) au?in! nazi zàv âneapaüovaav à 4 I, na.zspvézœ zain pi:51mn nazà zô X,zàv ôi zoü PNAmiaulai: ns9iqæ’9sian-

nazi: zô P. âze’zai

6è si PI nazi PAêÂdo’davœ layai! zoü,

in: fixai à 4P ne9i-«pe’95m nazi 31m»

zâw 105 4PN minima nspiqae’9szav nui [nazi] zoiv4N T. 68660,?!de 7&9 zoôza dwazôv écima. ami 51aâ’9a à IA nazi zàv 4P 5105660110; 1.67011 ëzsi, fi à

20 P4N T ns9iqyé9sm n55 51.119 zig zoô minou nagi-qw9siag nazi zàv 4 N T ns9upé9smv yeô’ ding zigzoé minima ns9Lças9sL’ag. &ÂÂ.’ du 5st 1.67011 à P4N T

ns9ups’9sm pefl’ 51mg zâg zoé 4NTP minima nept-ços9si’œg nazi zôw 4N T n59upe’95mv ysô’ 5kg zig

25 zoô 4NTP adulai) ns9iqas9eùzg, zoüzov fixai zôv 110’-701: à EHKÛ ns9ups’96m psû’ 31mg zêg zaô 9:64.011

n59upe9si’ug zâg &EHK nazi zoiv H Kâ nsaiqw’çsmf

ysô’ 510:9 züg 1:05 02H K miniez) ns9upepêi’ag. (il!

ôi 16W; 5101m a! 56zs9ov 839171452141; ns9upE9ez’ah

2. A4 Z F, nulgo. 6. rois] w F. l3. and] 1:9prcamp. F; corr. Torellius. 17. nazi] delco. In figun Pï°

DE LIN E18 SPIRALIBUS. 69ntra spiralem cadet, quae in sequentibus est, extra.lus igitur lineis A4, Al oomprehensus rachisest, sed obtusus. sit enim, si fieri potest, rectus.nget igitur linea. EZ circulum PNA in pnnctoEucl. 111, 16 répugna]. rursus igitur ad lineamingentem ducatur linea. AI, et spiralem in punctoimbitum autem circuli PNA in pnncto P secet.st PI: PA ( AP: APN1) 4- ANT. nain damon-tum est, hoc fieri pesse [prop. 5]. quam erit [p. 672] 1.4 : AP( PANT 4- 4PN: ANT 4- 4PN.

autemP4NT-f- ANTP’) : 4NT-f- 4NTP

2mm 4- 021m8) :HKa 4- 021110: XA:AA.

1) Significaui hoc modo ambitum totnm circuli 4PN; utms h. pag. lin. 10 bis.2) Pei- 4NTP hoc loco idem significatnr, quad supra pet

’N (u. net. 1). s3) H. e. tatas ambitus circnli GEHK. pro ortie autem

:modo seqnitur: ait PANT- P , 4NTP-:- , 4NT-P,me: 10,, OZHK- c, axé- . erit igitnr P :a: c (Eucl. v1, sa «69.; Zeitschr. f. un, un. mm. 1121N181 nr. 14); quarta P, -l- 0:1), É- c - P yl; praeterea.:p::0:c et P-i-Czp-l-c: :p; sed , :pl :Pzp.67’not. 3). ’ ne P -f-0:p, -I-c-P-I-0:p-i-c, et«un; 1314-0: -l»-C’:p, -1-c:p-i-c, q. e. d.

in F est O. 26. flâQWÊQEIü! F. 29. unau F; con.menins.

70 1mm 11mn.1051m! ëxaz 1:61: 1.67011 à XA 81’135th 101:2 «in: A4sôflai’av. ôeôeûmu 7&0 10131:0. éléddova 55’941 16701

Spa à IA «:011 1&1; AP, fi à AX un). du! AA’ 51:54àôüvatow l’au 51.1512 76:9 à RA tâAA, (1,5th 6è 4

5 1A 1&9 AX. 6771011 01512, (in âpfileîoî ému! à «auexamina 15m6 du; A4,. AZ. 45015 à louvât égaré 6’617;1:8: 6’ aïno? dvpfinde’zm, ml et ne: a? ënzzlzuüovdœ and

16 négus 1:59 51;on émwaüy.

; nomma.10 e041015015; 6è 6511312651415 Mal a! au! 1&9 à; ônocilzoôza

«soupape; ysyoayps’vaç glanas êmzpaôy us 51505512, aux!

et aux xœtà r6 négus minis, 5m àm’dovç amnios; [zàç]yœvL’ag and 1&1: vînt?) râg âqaüg ëmëevxôaî’dav Ënl 1&1:

dplàv de flancs, and 1&1; yèv à; rots atocayovue’vozç15 &pfilëïav, du; 6è à; tous ânoue’vocg ôgstow.

un .

El aux 1&3 515x09 1&9 à; té? 5906159; nomma; ys-youlme’vag aimera nappât ëmzpaün aunât 16 négus ré;

filmas, 027:6 6è 1:06 camion, 5 E6101! &ozà 1&9 511.303,20 avor’ 6986:9 1221815 us 1:97 029m? 1&9 napupopâg, à 021.9511741

dvynsdeûtm :9? âmzpavmîaqz, and à (tardif) 51335121 si;ëmzlmvoüdaç ml si; 0291629 162g 574309 [du ào’o’az’tat

a; 1:06 11:96:01: mîxlov usocqasgsz’qz.

561m 51.1.5 à A 31”40, En) 6è rô A duperai! même?

a. à] (alt.) 0m. F; corr.Torellius. 4. un; F; con. Torellius.à (bis) 17 F; con. Torellius, ut lin. 5, 6. fait] m F; com

orellins. 5. de] me F; con. Torellius. amazone"; F;cou. Torellius. 6. 441Z F, nulgo. leur); F; con: Torel-lius. 11. menaçât] addidi; 0m. F, nulgo; nquaeunque re-uolutligneu Cr. l2. flic] deleo. 21. sarmenter; F. à]on. .

DE LINEIS SPIRALIBUS. 7lhoc enim demanstratum est [prop. 15]. quai-e eritIdzdPnAXuld; quad fieri non potest. [nainPAÈAA, et IAnAXF) adparet igitur, angu-lum lineis A4, AZ comprehensum obtusum esse?)quare reliquus angulus acutus est. eademhautem eue-nient, etiam si linea contingens in termina spiraliscontigerit.

COROLLARIUM.

Eodem autem mode demonstrabimus, etiam si spi-ralem quolibet circumnctione descriptam linea. uliqua.contingat, etiam si in termina eius, inaequales cumangulos eifeoturam esse cum linea. a puncto tactionisad principium spiralis ducta, et angulum in prae-cedentibus positum obtusum fore, qui in saquentibus

positus ait, scutum?) -lXVIII.

Si spiralem prima circumactione descriptam linearecta cantigerit in termina spiralis, et a puncta, quadprincipium est spiralis, linea ad principium circum-actionis perpendicularis ducta erit, linea [ita] duata. ineontingentem incurret, et linea inter contingentem etprincipium spiralis pasita. aequalis erit ambitui circuli

primi. .sit spiralis ABI’JO, et punctum A principium

1) Putauerim, nerba [au nés lin. 4-tüc AX lin. 5 sub-ditius esse, cum quia formas nulgares in cod. F hoc loco con-stante: traditae surit, tum quod.Archixnedes, si coussin planeadferre uoluisset, hoc sine dubio non hoc loco, sed supra. p. 66,14, ubi leuis tamtam significatio additur, fecisset.

2) Nm ne acutus quidem est; u. p. 65 not. 1.3) Cfr. prop. 15 corollarium.

10

16

20

72 HEPI EAIKSZN.1&9 amas, à 6è 9A roupillât àçxà zig negupooâg, ô6è 911K xüxlog ô 115903109, émipœva’rœ 63’ a; raïs

31mg zani sa 6), à 02, ml ciao 15017 A ëzôœ not’6986:9 se? (9A à Al. avyneaetwl. 61) «été mon! du:02, 15ml al 20, 011 515mm yœvlav motivant. dup-mms’rœ un? sa Z. ôemn’ov, au à 2.4 [au 49’611 a?

1:05 OKH nandou napzqaegss’qz.

si 7&9 mi, 41’100 peignai! écria: fi 51102660011. in!»

«96169012, et ôvvaro’v, mitan]. flafla» 615 une: 5130511112

«in; AA 1&9 pâti ZA écimions àloîoaova, 15429 6è 105

QHK zoulou nsacqaspa’ag mitard. 50m: ô!) :6110;mg 6 OHK, ml à; r95 4:61:19) ypappà éléaaœv si;ômpe’zçov à 0H, ml 16709, 31: 5st à 0.4 sur). 11.4,page»; mû, 31: au à aiglefin: 1&5 HQ and «in: en):05 A miasmv ëx’ «ôtât! &ype’vav, monacal 1:06, 311

au à 0.4 and Al. ômmrôv 05v 541w aïno tu? Anouflalel’v nazi 156w âxflsfllnpe’vav «in; AN, (nous zàv

muât) 1:59 uepzqaepeùxg and. zig éufiefilnps’vas du: N P

«et! 0P vos! «ôtai; 515w 1.67011, 31: à 9A un). du!4A. été: 05v à NP and «in PA 2.67011, 311 à 8P5605m mon! 1&1: 1111. à 6è 0P ml «in: .411 éléa-oovœ 1.67011 5154, 1) à 0P menaçaient: azor! du: nô

8. 148,] nous par camp. F; con. V. 5. mangeons F;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 73spiralis sit, linea autem 9.4 principium circumactionis,circulus autem 911K primus. contingat autem [linea]aliqua 02 spiralem in puncto 6, et a puncto A adlineam 04 perpendicularis ducatur linea Al. en igî-tur in lineam 92 incurret, quoniam lineae Z0, 9.4acutum angulum comprehendunt [prop. 16; tnm u.Eucl. I air. 5]. incidat in eam in puncto Z. deman-strandum, lineam 2A aequalem esse ambitui circuliOKII.

nam si aequalis non est, sut maior est aut minor.sit prius, si fieri potest, maior. sumpsi igitur lineamaliquam AA minorem linea 2A, maiorem autem amb-itu circuli GHK [prop. 4]. itaque datus est circulusquidam 0H K, et in circula linea 6H minor diametro’),et ratio 6A : 411 maior ce, quam habet dimidia lineaH9 ad lineam a puncto A ad eam perpendicularemductam, quia ea quoque minor est, quam habet

0.4 : Al?)fieri igitur potest, ut ab A ad lineam productam A Nlinea. ducatur, ita ut sit N P : 0P a: 9A : A4 [prop. 7].erit igitur NP: PA a: 0P: 4.4.3) sed linea 0P adAA minorem ratianem habet, quam arcus 8P ad amb-

1)Nam 9Z, spiralem contingens, extra eam cadet, necper punctum A transira potest; tum u. Eucl. III, 7.

2) Nam 4.4 a ZA (tum u. Eucl. V, 8 . Et si ducitur 1i-nea ab A ad H 9 perpendicularis, eam in uas partes aequalessecabit (Eucl. lII, 8), et efficietur triangulus similis triangulaAOZ (Eucl; V1, 8); tum u. Eucl. V1, 4.

3) Nam Évauâê: NP: 94 a: 8P: AA, et 8A - P4.

con. Torellius. 13. and] 1:ro per camp. F; con. V (? u.Torellius p. 236 e), ut lin. 16. 17. fait (prius) tout tu: F;corr. D. 19. azor! «in! 9P nihil" dubi Nizzius.

74 HEPI sansOHK 2415x1011 usurpe-butai. à ah: 7&9 8P 51336éléadœv sed 162g ûP nepapspsz’ag, à 6è 44 5158.5

zig 1017 ÛH K adulai; zepzwspdqg pattern. 15145660105v 1.67011 55a. and à NP 2:01:1’P4, fi à 0P mg

6 (pipeur «est zob: 1:05 011K minou «5049150544111. 2c

51a 015v à N4 nazi du; 4P 0.026601": 1.67101: Ex:52:59 à 8P zsçche’psza .psô’ 51m; raïs 105 2:62:11

nepzqasçsûxç 2:01). ràv 1:05 QH K mixiez) nspçcpe’gsm

312 6è 1.67011 515L à âP negupe’oua (urf 5141:3 si; ra10 911K mîxlov nepaqasçu’aç mort nia: 1017 OHK 2:62:24

zepzqae’çemv, zoüzov au à X4 nazi du: 46. ô.ôslnrmyào 10131:0. 3105000110: (fait 2.6701: 51a. à N.101:3 si": 4P, fine à X4 nazi 7&1: 49’ 52:59 éd!m1011. à (L311 7&04N4 mitan: en). 1:55 4X, à d

15 4P in 301:1 réé 04. 015x âge nattai; à Z4 mais saandalou nspzœspeûxg 101? ÜHK.

faire dû «021w, si dvvatdv, éléoomv à Z4 sa":vos? 011K minima «aimantas. flaflas: (M une: 61305:70:11 quam nia; 44 rüç (du 4 Z natteriez, 1&9 a; 1:01

20 OHK uùlovlnepupspetag êÂaÊGfiova, au! d’un data m

Q min; 0M méllnlov if; 4Z. milan 051: 2:62:10:361111 ô (ÊHK, au), à; 05151795 êÂoZdo’œv nappât zig du!

gâteau à 9H, and. d’un: êmzpaüovea 105 minima and

ra 0, and 16709, du 515L à 40 «et! 1&1: 44, adam

1. 611K] 9H F; cart. Torellius. 4. sont] zoo: p9!camp. F; cart. V0). 11. tà’v 40] Torellius; ros comp..49 F, uulgo. 12. in] 0m. F; con. AB. 17. :0’ ; 0Pnulgo, sed infra pro prop. 19 in Cr. est prop. 20, et sic dem-ceps. l9. un ; con. Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. V 75

itum circuli QH K. nam linea. 8P miner est arcu0P, et linea A4 major ambitu circnli &HK [ex hy-pothesi]. quam etiam linea N P ad FA minorem ra.-tionem habebit, quam nous 0P ad ambitum circuliGHK. itaque etiam tota. linea. NA ad lineam APminorem rationem habet, quam arcus 0P cum totoambitu cireuli ad ambitum circuliÛHKJ) sed quamratianem habet nous 8P cum toto ambitu circuliGHK ad ambitum circuli GHK, eam habet XA:AO.hoc enim demonstratum est [prop. 15]. quam eritNA:AP(XA:AG; quad fieri non potest. namNA d AX, et AP sa 9.4.7 quine linea. 2A major nonerit ambitu circuli CHIC.

rursus, si fieri potest, linea 2A minot ait ambitucirculi ÜHK. sumpsi igitur rursus lineam quandamAA linea Al maiorem, ambitu autem circuli 0HK

minorem [prop. 4], et a puncto û lineae A Z parallelamduco lineam 3M rursus igitur datas est circulus 011K,et in eo linea: diametro miner 8H [p. 73 not. 1] , etalia. linea. [0M] circulum in puncto 0 contingens[Eucl. III, 16 1569.], et ratio A8 : .411 miner ca, quam

1) Se. «rufian; u. p. 67 not. 2.

76 1mm 11mn.105, 31: 5154. à ûptdam raïs H9 and 1&1; dard 1:06unifiant: ën’ aôzàv àyps’vav, 37151.61) and 1:05, 311 à

à QA mû AZ, adam» 1561!. ôvvurô’v 015v à:aïno tu"; A dyayel’v 1&1! AH 1101:2 nia: 15341114115006

5 «361:5 1&1: PN 176w paruëù tâç à! au? x1311? 515815

and ré; negupepelag «01:2 ràv 0H &zolaæôal’dœv 0’

1&9 ëmzpœvoüaag mûron: 515w 176v 1.67011, 312 âge:

0A 21:th du: A11. raye! 61) à AII rough 2:15:55un? a; P, du: 635 51mn: and: rô X. and 5881, a

10 ëvaÂÂàE rôt; 12131611 1.67011 à NP ml 1,131,131! à 6

nul AA. à 6è 9H and. du; AA pagaya 2.6701: 51fi à 8P negcqye’osm «0d ràv 1017 (9H K adulai) une.(pipe-mu. à 51,351: 7&9 QH sôôsta Mitan; «En! ré; énepzqaepelag, à 6è A11 éléddmv 1&9 1:06 ÛHK min].

15 mpupspelag. petgova â’pa 1.67m: 5st à» NP and 1:.AP, fi à 8P nepupe’guœ «01:2 tàv mû OHK miminepzqae’paoav. «Hors ml à PA and. tàv AN [1:85:011.67011 515L, 1’) à c013 ÛHK mîulov nagzqab’çam ne

du: ÛKP 15949915954411]. 311 6è 1.6701; 515L à 1:05 0H

20 andalou navigant «et! du! GKP nepcqae’pewv, torov au à 0A 5605m «et! ràv AX. 6568111111. y:10’510. y81201105 59a 1.67011 515L à FA 1:01). du! A1

fi à 8A «01:2 têtu AX’ 31:59 &ôüvatov. 015:: àpelâow écrin oôôè éldddœv à ZA 1&9 roi? GHK au

25 12.00 mpzqzspaz’ag’ [du â’ça. A

3. and] zoo; Ëer comp. F; con. V0), ut lin. 10, 11 (pria:18. 911K] ONK ; con. manne 2. 25. un] F; con. T4telline.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 77habet dimidia linea H0 ad lineam a puncto A adeam perpendicularem ductam, quoniam miner est ca,quam habet ÛA : AZ [p. 73 not. 2]. fieri igitur pot-est, ut ab A ducatur linea AH ad lineam contingen-tem, ita ut ait PNzâHa: 0A: A11 [prop. 8]. ita-qne linea AH circulum in puncto P secabit, spiralemautem] in puncto X. et etiam uicissim erit [Eucl. V,16] NP: PAl) : 0H: A11. linea autem 0H ad AAmaiorem rationem habet, quam arcus (9P ad ambitum .circuli (9HK; nam linea N11 maior est arcu ÛP’),et A11 miner ambitu circuli âHK [ex hypothesi].itaque maiorem ratianem habet N P: AP, quam arcus0P ad ambitum circuli QH K. ouate etiam PAzNAmaiorem ratianem habet, quam ambitus circuli GHKad arcum QKR’) sed quam rationem habet ambituscirculi ÜHK ad arcum âKP, eam habet 9A:AX,hoc enim demonstratum est [prop. 14]. erit igiturPA : AN a flA : AX; quod fieri non potestf) itaquelinea ZA neque maior est neque miner ambitu cir-culi ÜHK. itague aequalis est.

1) Nam FA - 9,4.2) Si ducitur H11, erit H11 -I- H8 maior arcu H 9 (de

spb. et cyl. I 1.1113. 2 p. 8); sed HII -I- H9 -: 28H (Zeitschr.f. Math, hist. Abth. XXlV p. 181 nr. 15), et. nous

H0 ---- 29?):811 b 9P.3) Nam chéneau est A? : NP ( QHK : 9P (Pappus VII,

49 p. 688), et &vaatos’warfl A P: A N ) OHK : 0K P (PappnsVII, 48 p. 686).

4) PA : 9A, et AN) AX; tum u. Eucl. V, 8.

78 mm EAIKæN.Lô’.

El 65’ au aïs à; a; devre’gçt nommer? ysygapps’vc

511mo; amuît t6 m’ont; s’atLtpaüy 513mm, and tint?) ni

459x559 râg Elmoç aîxflfi us «01’ 693029 19? lippée" 16

5 araquJogâg, avanso’sltaz (x1318; azor), du: ëmæpaüovamml êo’o’eizm à 51men; à (tardif) tâg êmzpowoüo’aç un

qui; &çxâg 1&9 51mm; ômlao’la 1&9 105 ôsmégov ml

. Mou usgcqasgsiag.être: yàç à p.251: ABFÛ 5ng à; 19? «9:61:95 nsgL

10 (pool; ysyçaaps’va, à 6è ÜET à: 1:9? ôsvn’çqz, aux) 4

phi QKH uüxÂog ô «9:51:09, ô 6è TMN ô 651515909fait» dé mg yçappà s’ampuüovda 1&9 Shows xatà riâ, à TZ, à 6è ZA «01’ 696029 â’xflm 14;? TA. 0’va

nædslzm à) aimât au; TZ du)? zô ôsôatxôar. 1&1; ymvc’m

15 6855m; 5056m; du! 13m) 165v AT, TZ. demtëov, 5mà ZA 56mm ôtatlœdfa 3111i tâg 1015 TMN 9:61:10!)«commodats.

et 7&9 (si écru dmÂaGL’a, 1’7’10L peignai: 456121; fi 6L-

arÂadia fi êÂddoaw 56th) fi ôLatÂadia. 561m nçôrepov,20 si ôvværôv, 986;ch fi ôzatÂœGL’œ. nul lslétpôw mg 615-

ôêîîa à 11A 1&5 phi ZA sûôu’ag 151056va, 1&9 6è 105

TMN xÜxÂov nequasgatag Mitan; a] ôLnÂao’L’a. 567w

dû mg xüxÂog ô TMN, ami à; 1:95 1:63:19) pagayait ds-ôoae’va êÂoîodœv raïs ôzapæ’rpov à TN, and 311 5st à

25 TA nul 1:43:11 A11, péléen; r05, 311 5x81. à fiaient): 1&9

TN and ràv aîné roi A néberov si mima: damai-vav. ôwarôv 06v 361w (in?) 105 A noufialsîîv in?"A2? and. du; TN âxfiæfilnpe’vav dicta 15cv pâmât) 159

1. u’ F. 2. au] scripsi; une: F, nulgo; de]. Nizzins-3. summum F; corr. Torellius. 5. commuta; F. 7. «une

DE LINEIS SPIRALIBUS. 79XIX.

Sin spiralem secunda circumactione descriptam intermina contingit linea, et a principio spiralis lineaad principium circumactionis perpendicularis ducitur,ea in lineam contingentem incidet, et linea inter con-tingentem et principium spiralis posita duplo maiorerit ambitu circuli secundi.

nam spiralis A B FÛ prima circumactione descriptaait, ûET autem secunda, et circulus 8K1! primassit, TMN autem secundus. et linea aliqua TZ spi-ralem contingat in puncto û, et linea ZA ad lineamTA perpendicularis ducatur. ea igitur in lineam TZincidet, quia demonstratum est, angulum lineis AT, -TZ comprehensum acutum esse [prop. l7]. deman-strandum, lineam ZA duplo maiorem esse ambitu cir-

culi TMN. Inam si duplo maior non est, aut maior est autminor quam duplo maior. sit prias, si fieri potest,maior quam duplex. et sumatur linea AA minor quamduplo maior linea. ZA, sed maior quam duplo maiorambitu circuli TMN [prop. 4]. itague datus est cir-culus TMN, et in circulo linea minor diametro, TN[p. 73 not. 1], et [ratio] TAzAA maior ea, quamhabet dimidia linea TN ad lineam ab A ad eam per-pendicularem ductam [p. 73 not. 2]. fieri igitur pot-est, ut ab A linea A2 ad lineam TN productam ita

au: tu: F; corr. B. 14. dû] scripsi; de F, uulgo. cuirai]Nizzius; tu «me: F, uulgo. 15. avec": F, nulgo. 1&9] fil-n!par comp. F; corr. V. ATZ F, nulgo. 23. yeappà dada-

,ps’m] scripsi; ysyçaapsm F, uulgo; nappai B; ,,linea dataitCr. 24. 515c 16109 BOD, ed. Basil, Torellius (non 0*).

80 IIEPI aman.negupeçeiag ami 1âg 374361511114!an 1&1 P2 :1011 1&1TP 1611 «15101 Ëxsw 167011, 31 à TA 11011 1&1: AA.155465 61) à A2 161 ab: 211521101: 540115016 P, 1&1; 6è

- 31.an M16: 1è X. nui évallàâ 101; «13160 8551 2.67011

5 à P2 11011 1&1! TA, 311 à TP 11011 143w AA. à dtTP 11011 1&1! AA êloidaova 1.67011 5181,, a] à TP nept-(ps’psm 11011 1&1: 61111056451111 101? TMN miniez; nept-

(ps’psmv. 561w 7&9 à phi TP 513051541 31.056di 1âç

TP 215910:50:51qu, à 6è AA 5695m (Laiton: fi dallait:10 mais 105 TMN 911511.01: 21594980515419 éléao’ova 59a

1.67011 5x54. à P2 :1011 1&1: AP, fi à TP mgupépem11013 1&1: (immolera: 1&9 1017 TMN même!) mpzqaepeiaç.

51a 013v à 2A 1101) 1&1: AP ëÂdddova 2.67011 5151, fià TP 1159102159510: and 1&9 106 TMN 9115111011 :159:-

15 (175051213 62g 5501150832419 11011 143w 105 TMN 3:15vanepups’pemv 629 83942515111111. 311 6è 1.6701 5101m. aï

stpnps’vao nepupspetao, 105101 515:. 101: 1.67011 à X1!11011 16m AT. ôsôætxmz 7&9 10610. 5102660110: 50a1167011 5st à A2 11012 16W AP, a] à XA 11011 1&1 TA] Ï

20 31159 026191111101. 013x 59a palma: ëo’1lv fi diminuiez à

2. :12: F; con. B. 7. madame: F. TMN] MN F; i

DE LINEIS SPIRALIBUS. 81ducatur, ut sit P2: TP:: TA: AA. A2 igitur cir-culum in puncto P secabit, spiralem autem in puncto X.et uicissim erit [Eucl. V, 16]: P2 : TA t: TP: AA.sed ratio TP: AA minor est ea, quam habet arcus TPad duplicem ambitum circuli TMN. nain linea TPminer est arcu TP, et linea AA maior quam duplomaior ambitu circuli TM N. quare linea P2 ad A P1)minorem rationem habet, quam arcus TP ad dupli-cem ambitum circuli TMN. itaque tota. linea 2AadAP minorem ratianem habet, quam arcus TP cumambitu circuli TMN bis numerato ad ambitum cir-culi TMN bis numeratum.’) sed quam rationem ha-bent ambitus, quos significauimus, eam habet X A : A T.hoc enim demonstratum est?) itaque

A2:AP(XA: TA;quod fieri non potestf) itague linea ZA maior non

1) Nain A P a AT.2) Se. awâs’wn; u. p. 67 net. 2.

3) Prop. 15; hoc loco altera linea in terminum s iraliscadit; sed hoc nihil ad demonstrationem refene, diserte ictumest prop. 14 p. 60, 6 et 15 coroll. p. 62, 15. tum arcus a lineaad terminum spiralis uersus abscisus nullus est.

4) Nam A2) XA et AP: TA; tum u. Eucl. V, 8.

M ed. Basil., uulgo; con. Torellius. 14. 1013] addidi; 0m.F, uulgo. 15. 50.1154549019 et lin. 16 5311741415011 Torellius..16.Fszovmv F, uulgo. 19.. A P fi à XA 71011 1021 repetunturm .

Archimedel, ad. Heiberg. II. 6

10

15

20

25

82 mm EAIKQN.2A 81538511 1&9 mû TMN amadou zsquJsgsIfaç. 651.0516è ôstBnde’mL, 5m oôôè élohim; fi ômÂam’a. 6172..

013v, 51:1, ôLxÂam’a ëarlv.

HOPŒMA.

6L6: 6è 105 afiroü rpônov ôsmza’ov, ml et au: nà! ônooqoôv negupogq’c yaygappa’vag aimas éraflai

tu; sôôeïa nacrât 1:?) népag tâç Emacs, nul 021:6 téciguë; 1&9 ËÂmog noz’ 6996:9 &xôsïda a? demi té

zspupopôig «murrhin nazi 1:43:11 àmzpafiovo’av, (in «ou:

«ladin far! tés 105 xüuÂov nsgzqasgsz’ag mû zuttôv dgtôpôv 15:9 negupopâg 151101163201) 193 on?!029085195.

Iu .El’ aux 1629 âmes 17079 à! a? nocive: nêquJogqî y:

yçappa’vag 6138m: ygappà êmzpaüy m) and: rô mégot

raïs ghxog, &nô 6è raïs épris gal 143w 029x651! 1&9 3’11

mg 81335170: ëmçwzflfi, and 15321993 M11 ré? 02919:" tu?

glucog, ômdtfipun 6è a? êmÇwxflu’o’ç mîxloç 79mm]

âarô 6è 1079 059x079 rüg 514x03 âgé??? a; azor’ ôgôàg n

(in?) 1&9 àqaâç En! 149w 02916:1! 1&9 glucog âmçsvzôeidq

dvpxsdelfml, aérât 10:1 1&1: êmwaüovdav, and facettaà parait) 51536170: aïs ne dvpnzœ’dwg aux! râç 02910?!

1:55 51mg Ida il; negtœagslçz 17013 ypozqas’vtog xüxlma; pâmât) raïs 029253 and 1&9 101.0079, xaô’ 52v ts’yvs.

ô yçaqaelg xüxlog 1&1) &pxàv 1&5 naçanopâg, ëul 16

9. au] Nizzius; 0m. F, uulgo. l3. uœ’ F. 19. ni:0m. F; corr. ABC. Initie prop. 20 apatium uacat in F. 21,êacu’tan] maman F. 22. culminâmes] scripai; augureront; F,uulgo. . 24. 252] me F; con. B man. 2*. av] scripsi; à 1?. nulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 83est quam duplo maior ambitu circuli TMN. et si-militer demonstrabimus, eam ne minorem quidam essequam duplo maiorem. adparet igitur, eam duplo ma-iorem esse.

COROLLARIUM.

Eodem modo demonstrandum, etiam si spiralemqualibet circumactione descriptam linea in terminaspiralis contingat, et a principio spiralis linea adprincipium circumactionis perpendicularis ducatur etin contingentem incidat, eam toties multiplicem essequam ambitum circuli ex numero circumactionis nomi-nati, quoties indicet idem numerusf)

XX.

Si spiralem prima circumactione descriptam rectalinea contingit extra terminum spiralis, et a punctotactionis ad principium spiralis linea ducitur, et de-scribitur circulus, cuius centrum est principium spira-lis, radius autem linea ducta, et a. principio spiralislinea. ducitur ad lineam a. puncto tactionis ad prin-cipium spiralis ductam perpendicularis, ea in lineamcontingentem incidet, et linea inter punctum concur-sionis et principium spiralis posita. aequalis erit am-bitui circuli descripti inter punctum tactionis et sec-tionem posito, in qua. circulus descriptus principium

1) Cfr. pr0p. 15 coron. et. prop. 17 coron.

68

84 IIEPI EAIKSÆN.apoayoüpeva lapflavouévag :079 næupspstaç 027d) zdaguiez: toi? à) 1:0? dom? 1&9 15909200509.

56m» ÈME, àp’ aïs à ABI’A, à) rqî zonâtes me.

(pagé? 75790405051101, nul ëmzpavs’rœ 1L9 admît; 81385170;

5 E42 nard 1è A, 0’mô 6è me? d azor! 113w âçxàv 132.1.3009 ëxsçedxôm à A4, ami 915121993 phi 195 A, dt

crânait, 6è ce; A4 301550109 yeypoîqaôm ô AMlV. 1guérir 6’ 06mg du; dolât; 1&9 zepupogâç zani rô.â’xôm 6è à ZA 9001?, du! A4 59’305. du pè’u 01

10 admît «malaria un! 1&0 Zd, ôfilove du 6è nul ü361311 à ZA 5608m te? K MN A mpupsçsig, damnée

et yàp (ni, 51’100 (0.5!;an écriai fi flânerai. 5614

si dvvatdv, ngdrspov peignai). leÂoËqJôm d’5 tu; à A

N4

rd1&5- yèv 2A 51535!ch éléeamv, 0&9 6è KMNA me!

15 975915:50:5- pelçnw. mêla; à) 901530109 50’121) ô K MN, tu

à; 14,5 x6349) yçappà 61.026an12 1:62; ôLapLe’tgov à AN

mû 1:57:09, 311 fixa à 4.4 1001?, AA peignai: roi), 31è’xu à 1391680: raïs AN azor! 1:43:11 02m3 :05 A 210219510:

Ën’ aüràv 02795110511. ômlazôv 015v 30’va dab 106 A

20 noufiaÂsîv du! AE 101:1 ràv N A ëuflefilnpe’vav, 45de

10h; EP au), mir AP 1612 0:61:61: 515w 167011, 305AA «cri ràv AA. dsdelxmc 7&9 :0510 ôvvarôv 10’".

’ 1. agoaypsva F, supra scripto compendio ov insolente!

DE LINEIS SPIRALIBUS. 85circumactionis secat, ambitu a puncto in principiocircumactionis posito ad praecedentia uersus sumpto.

ait spiralis, in qua sit ABI’A, prima circumactionedescripta, et eam contingat linea aliqua EA Z inpuncto A, et a puncto A ad principium spiralis du-catur .44, et describatur circulus AMN, cuius cen-trum sit A, radius autem AA. hic autem principiumcircumactionis in puncto K secet. et ducatur linea ZAad lineam .44 perpendicularis. adparet igitur, eam inlineam Z4 incidere [angulus enim AAZ acutus est;prop. 16]. sed demonstrandum est, lineam ZA etiamaequalem esse arcui K .MN A.

nain si non est, aut maior est eut minon sit prius,si fieri potest, maior. sumatur igitur linea AA minerlinea. ZA, sed maior arcu K MN A [prop. 4]. rursusigitur datus est circulus KMN, et in circule lineaAN minor diametro [p. 73 not.1], et ratio 44:44maior ea, quam habet dimidia linea AN ad lineam abA ad eam perpendicularem ductam [p. 73 not. 2].fieri igitur potest, ut ab A ducatur linea AE ad 1i-neam N 4 productam, ita ut Bit EP:AP:AA:AA.nain demonstratum est, hoc fieri posse [prop. 7]. qunre

ducto; nec-275050500: ed. Basil. 3. 105909091? Torellius; 0m.F. uulgo. 4. na! supra scriptum manu 1 . 5. E4 Z]Niuins; AEZ F, AEZ unlgo. 8. mais F; com Torellius.10. 1001:1. 1&1: ZA] addidi; 0m. F, uulgo. 13. flQœtEQOi! F.612] scripsi; de F, unlgo. 17. and] avec; per camp. F; com

Torellius. t

86 IŒPI man.3550 0512 mi à EP nazi «in: 4P 10v «610v 11670312 à 4P nazi 1&0 44. à 6è 4P mati du: 43105660120: 167012 5160, fi à 4P nagiqaépem nazi 1:6KMA nsgiqae’aemv, ênsi à nia! 4P 53102660911 édti n

5 4P nepupspeiaç, à 6è 44 (05550311 1&9 KMA n59cpepaiaç. 69102660110: 01512 2.67011 5151. à EP 5605m ne

P4, fi à 4P nepupe’aem nazi 10h) KMA neaLÇe’gew

dicte ami à 4E nazi 4P èÂdao’ova lôyov 5150, fiK MP negcqæe’aem 7001i nia) KM 4 naanaa’aewv. à

10 6è 2.67011 au à KMP nazi ràv KMA negupe’gsm’.

roüzav 5st à X4 nazi 44. flânai"): ëaa Àa’yo5x50 à E4 nazi 4P, fi à 4X nazi 44 5x59 étuiâôümxtov. afin 5500: 41.55va à 24 1&9 KM4 une:angélus. épatais 6è raïs 1096159012 ôsLxônae’taL, 51

15 0136i ëÂâo’dœv édrlv’ [du ëga.

HOPŒMA.

duit ôi :05 0161013 19611501! ôsixônde’rat, nui si au

râg à; 10? devre’pçt nsquaoae? ysygagme’vag glaças 5m.

dandy 5150510: gai; zani ta négag’râç (simas, ni 6è du:

20 roi 0:61:02 xaraaxevaaflëœWL, du à 11.500551) 81365170: a

nazi 1&1: êmzpae’vovaav 60070157070060: 1&9 1:5 augurai-

o’wg ami 1&9 oignis 107:3 510x09 [au écrin 6’10; 10? roi

ygaqae’wog 311530101) nsquJsçsiqz ami 51:1. a? panifia rai:

sipnyê’vœv Captation), nidatîtœg 1079 neçupepsb’ag implic-

26 001.05an. nui si na mais à! 621009101311 yeypappe’wsnepupopqï Shows êmzpaüy us 6605170: M1 aussi 1:6 a!

2. à 4P] de 4P F; corr. Torellius. 6. au! naos p6!camp. F; cart. Torellius, ut lin. 8, 9, 10, 11, 12 is).suiv] addidi; am. F, nulgo. 12. à E4] 17 E4 F; corr. T ,relhus. a AX] à 0m. F. 15. un; F; corr. Torellius.20. uaraaxwaoflsvn F; cart. Torellius., à] (11115.) scripsi;1*

DE LINEIS SPIRALIBUS. 87etiam erit [Eucl. V, 16] EP: 4P: AP: 44.*) sedAP ad 44 minorem ratianem habet, quam arcus 4Pad arcum K M4, quoniam linea 4P minor est areuAP, linea autem 44 maior areu K MA [ex hypo-thesi]. itaque EP ad P4 minorem ratianem habet,quam arcus 4P ad arcum K MA. quare etiam 4Ead 4P minorem ratianem habet, quam arcus K MPad arcum K MA?) sed quam ratianem habet arcusKMP ad arcum KMA, eam habet X4:44 [prop. 14].erit igitur E4:4P( 4X: 44; quad fieri non pot-ests) quare linea Z4 arcu K M4 maior non est. eteodem modo, quo supra, demonstrabimus, ne minoremquidam eam esse. itaque aequalis est.

COROLLARIUM.

Eodem autem modo demonstrabimus, etiam si spi-ralem secunda eircumaetione descriptam linea cantingatextra terminum spiralis, et cetera eadem comparentur,lineam in contingentem incurrentem inter punctumeoncursianis et principium spiralis comprehensam ae-qualem esse toti ambitui circuli descripti et praetereaamuï inter puneta, quae commemorauimus [p. 82, 24],eomprehensa, arcu eodem modo sumpto. et etiam sispiralem qualibet eireumactione descriptam linea con-tingat extra terminum spiralis, et cetera eadem com-

l) Nain 44 a: 4P.2) avvôém; u. p. 67 not. 2.a) Nam 4P a .44 et E4 a 4X; tum u. Eucl. V, 8.

F, uulgo; 0m. B. 21. avpmmodaaç Torellius. 1&9 Ireoupazrnicnoç] addidi; 0m. F, uulgo. 22. and] and ed. Basil.,Torellius. 26. moumoute F; cart. A.

15

20

25

88 HEPIEAIKSÀN.

0019 1&9 514109, 10? dt 51.10: 1è «1’116: m1ao’zsvao’0e’m1m,

511. à panât) sôôsta 115v sigqyê’ww dapsfaw noua-11101660: 11:9 écu 1029 1013 4104102832109 115x100 11504025951541;

mât 1611 êvi 31026601141 0290044611 106, uaô’ du ai mp0-

b (papal 187601411, ami in [au 10? pâmât) 1161: stalinisaientadmirai: 6500m9 lapfiavops’vç.

I

na.Aupfioîvowa 1a 1400101: 1a nepzszômvw and 15

1&9 üma9 1&9 à! 1g? 1100510: naupogê 7531904416111910 nui 1&9 8136545419 1&9 719051019 à: 11; dam? 1&9 «sat-

(poaâg 6011011611 361L usai 01610 climat 3111356012 area;-yçézpw, nui 62Mo êyypa’wm 33 épatera muent: amét-

pevov, 03015 1d xsçaysygamœ’vov 105 ëyysyaapps’vav

païÇov ainsi! 3742260004 111112169 1013 71901513550109 langiez].

561m E742, 31;” de à 4BF4, à) 10;" 7190510: 71:91-tpoaqî ysyaayps’va. 561m 6è delà pin 1&9 51mm; 16 8damna, 029102 6è 1&9 neazqaopâg à 64, ô 6è 11945109

111511109 ô 2H14, ai di4H, ZI 60015141001, «61017

«01’ 6906:9 àllélucg. dei

a) 1&9 ôpôâç 7mm:65x05 marcassin ami 10151044019 105 143w 60198:0

1. untenwaaûmmvu F.6. lapflavaps’vq] scripsi; lzpfiuvopsvaç F, nulgo.

7031150112 nepze’xowog èc-

dsltal. 1è xa1aÂsmdgsvov105 10115039 51016601: 106

119015050109. nui 501e)75750715153109 ô 1mm); ô

4. fat] Torellius; 0m. F, nulgo.7. 14’ F.

DE LIN EIS SPIRALIBUS. 89parentur, lineam inter puneta, quae significauimus,comprehenam toties multiplicem esse quam ambitumcirculi descripti, quoties indieet numerus uno minereo, quo eireumaetiones nominentur, et praeterea aequa-lem [areui] inter puncta, quae commemorauimus, ea-dem made sumpto.’)

XXI.

Sumpta spatio eamprehenso spirali prima circum-actiane descripta. et linea prima earum, quae in prin-cipia cireumaetionis sunt, fieri potest, ut cireum hocspatium circumscribatur figura plana et alia inscriba-tut ex similibus sectoribus eompositae, ita ut figuracireumscripta exoedat inscriptam spatio minore, quamest quodlibet spatium datum.

sit spiralis, in qua ait 4BF4, prima. eircumactionedescripta. et principium spiralis sit punctum 0,principium autem eircumactionis linea 64, et primuscirculas ZHI4, et diametri 4H, ZI inter se perpen-diculares. angula igitur recta et sectore, qui rectumangulum comprehendit, semper deineeps in duas partesaequales diuisa, quae relinquitur pars seetoris, [ali-quando] miner erit data spatio [Eucl. X, 1]. et artus

1) Cfr. prop. 15 corall., prop. 17 eoroll.

8. lapfioîvavta] laflâvra? 12. 1011m1 F; cart. Nizzius; idemuerba 5g ôpatœv 101155007 007315405101 post mguyqohpaL collacat.20. 1101,] 11009 per camp. F; coi-r. Torellius. «mica; F ad-dita com endio a9 supra. 1.; com Torellius. 23. 1m: camp:F; corr. orellius. In figura ordo litterarum turbatus est in F.

10

15

20

25

90 IIEPI EAIKQN.4QK éié66œv 1017 ngwsôs’woç zœplav. ôLaLpn’60w-

60w dû ai yawûu ai 156604989 (iodai 539 1&9 [desy03011019 145E «ammoniac; 13116 1&0 4g, 0K, ami ai :104-01560u 1&9 7071115019 edflelm Ë615 501i 1&1 gitan 62100-6040. xaô’ 3 dû 15mm aupstav â QK 1&1: Sima, ë61a

16 A, ami 54550199) 195 (9, ôzaarfipan 613195 û4 nazie;yaygoiqaâœ. 7156551011 à) 426106 à ph: 539 1d 1100417015-

psva zaatqaépsm ëwôg 1&9 (simas, à dt. 839 1è émutpeut! 391169. 757002611300 61) à nepupe’asm, 5615 au: 6044-

uéay 10"; (’94 un? 1è O, à 0M, ami 19"; peut 1&1! 6K5130511112 1101i 1d"! gitan: 110111:me15691. zéiw 61) and

xaô’ 3 même; 113w Sima daguai: à QM, En) 1è N,ami 21.91090 193 û, ôza61fipa1l. 6è 193 EN uüxias 75-700294103, 561J.D aux 604111562] à «amadoua 105 411511.00

1g": 69K ami 10? 11.5102 143w (9M 71011114110660: 1101i 1&1

Sima. ôpoz’mg 6è ami du? 1051: diiow 1102010711, m’

ô? n’aimant 1&1: Sima ai 1&9 [60:9 yœm’ag 71010156414,

mixiez. yayaoîtpflœmw 41511109) 105 â, 561’ du 6vpxs’6y

ëxé61a à nepzqæs’psw 10? 1a 11000470011600; 8150559: mi

1d 5310146116. 5662111011. à? 1L mai 1è impôtv zonaient

71504757911110.8101! 58 64101000 101450211 amatpevov and62Mo ëyysyaapys’vov. du dt 16 nepzysypappe’vav quina

101": Ëyysyaaaps’vov 1.051751 361w s’id66om 105 zao-1505’0109 1000500, 68400651011. 561w 7&0 ô pina 940

1051.5139 [609 195 0M4, ô 6è GNU 193 ONP, ô 630X2 195 ÜXT, 561w 6è nui 105v d’iiaw mais»!

2. ô!) ai] (in 001 F; corr. B. 3. me «sanza avec F;cart. Torellius. 4. En: and scripsi; sa 1139 une: lit, nulgo;laps iridiums! ê61’ dt 1101102 orelhus. 071000660] B; 0:10.-619 , nulgo; calmira Torellius. 7. fifi] a. F; cart. BF. zoo-ayadpsvat] scripsi; 0100670014210; F; uaaaya’pwa unlgo. 8. mol-çspuou F. 9. En: aux] scripsi; Edtal (comp.) un F, m1180;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 91sit sector AÜK data spatio minor. diuidantur igituranguli recti quattuor in angulos ci aequales, quilineis A6, 6K comprehenditur, et lineae angulosefficientes usque ad spiralem producantur. punctumigitur, in quo linea 0K spiralem secat, sit A, et de-scribatur circulas, cuius centrum ait Ü, radius autem611. es. igitur pars ambitus eius, quae in praecedenti-bus est, intra. spiralem cadet, quae in sequentibus est,extra. describâtur igitur ambitus usque eo, ut occurratet lineae 6L! in puncto 0 et lineae post ÜK ad spi-ralem ductae, et sit 0M rursus igitur punctum, inquo linea. 0M spiralem secat, sit N , et describaturcirculas, cuius centrum ait Q, radius autem ON, usqueeo, ut ambitus circuli lineae QK et lineae post 0Mad spiralem ductae occurratn et eodem modo etiampar cetera omnia puncta, in quibus lineae aequalesangulos efficientes spiraleni secant, circuli describanturquorum centrum sit Q, usque eo ut singuli ambituset praecedenti lineae et sequenti occurrant. itaquecircum spatium sumptum [figura] quaedam circum-scripta erit et alia inscripta. ex similibus sectoribuscompositae. demonstrabimus autem, figuram circum-scriptam excedere inscriptam spatio minore, quamest datum spatium. est enim 0A0 a QMA,GNU: ÛNP, 0X2 --- ÛXT, et ceterorum quoqueën’ «in: B m3., Torellius. 11. unnmnroôcçz sari: r6 M To-rellius. 13. QN ON supra scripta K manu 1, ut uidetur,F; 9K H C. 14. (ne au] scripsi; sont. son (utrumque camp.)F; lu’ «"1: B, Torellius (gui addit 0K). 15. a; OK] 0m.F; com B. 16. mô’ a Torellius. 19. Exact-x: F; corr.Torellius. nooayovps’vç] scripsi; apanagent F, uulgo. 20.incitai] scri si; actai par camp. F. uulgo. 2l. nsqiyeyqup-pérou azimut orellius. taponnas F.

10

15

20

92 IlEPI EAIKSZN.émettes 10512 à: 195 ëyyæyçappa’vça effluait. 1’609 r95

uowàv 5101m nlsvgàv topai: 15451! à» 195 negiysypuypévç)

grigna tapecul. 6131011 05v, (in nul mimes ot rouetsnévraddw 1’60» êddoüww. 1’601: 6290: ëarlv 16 ëyye-

rpappe’vov dxfipœ à; 1.115 10191590 1’93 nepiyeypapgæ’mp

and rô 10095011 axfipau 100ng r01? QAK ragréois. y6-vog 7&9 05:09 01’: leldnraz 115v à! 1:95 «591.7572941,-uéwp dxfiuau. 657’101! 015v, (in 1:6 neozyeypagpévov

fixfipa 1:05 êyysygappêvov 9855611 éon r93 1K8 rouet,39 310566011: écrin: mû agozsôéwog.

HOPIEMA.à: mérou 6è maugréai, (in ôvvœrôv être» mg! t6

slpnpëvov ganglion exigu, OZOII sign’tm, 7905m"), (561:8tô nepzysygaupa’vov O’Zfiflœ (tatou du?» 15017 zœgi’ov

êldddom navrés r01": 190150511109 10196011, ami mil»!ëyygoîqaew, (5618 1:6 Implov 65406009 perçai) sium: 706

êyyçatps’vrog enflures êÂcz’ddow nawôç 1:05 argentier;-

roç lamier).

ufi’.

Aaflôwa zô xmgiov tô «59451651451101: 15m3 tic; 5h-uog raïs év 1:9? ôsvte’pç nommer; ysypapps’vag and mais

eôfleüxg, à? écu ôsvts’pa tût: à: a; 02919": mais «soupo-

pâg ômwno’v eau mol at’nô 61mm êntzsôov aminé-

10m. â: 61.005011! tope’aw duyusiywov and ëllo ëyypéwat,

1561:5 1:6 negiygaqaèv 105 37790192.!va ysŒov ailier!üaîdaom atawôg 106 mouflant; xœglov.

4. nounou F, nulgo. 5. tafs] (alterum) to F. 7. 06addidi cum Nîzzio; 0m. F, nulgo; zénana; B. 9. ("EnBCD; page"! F, uulgo. 14. alpes] Torellius; rivai pet comp. F,uulgo. 16. aviation] 51410009 riper F; cor-r. B. tu]. cum

DE LINEIS SPIRALIBUS. 93sectorum unusquisque eorum, qui in figura. inscriptasurit, aequalis est sectori latus commune habenti eorum,qui in figura circumscripta. sunt. adparet igitur, etiamomnes sectores omnibus aequales fore. itaque figuraspatio inscripta aequalis est figurae circumscriptsepraeter sectorem QAK. hic enim solus non adsump-tus est eorum, qui in figura circumscripta sunt.adparet igitur, figuram circumscriptam excedere in-scriptam sectore AKQ, qui minor est spatio dato[ex hypothesil.

COROLLARIUM.

Hinc autem manifestum est, fieri posse, ut circumspatium, quod commemorauimus, figura huiusmodi de-scribatur, ita ut figura circumscripta spatium excedatspatio minore, quam est quodlibet spatium datum, etrursus inscribatur, ita ut spatium eodem modo figuram.inscriptam excedat spatio minore, quam est quodlibetdatum spatium.1)

XXII.Sumpto spatio comprehenso spirali secunda. circum- ’

actione descripta et linea secunda earum, quae inprincipio circumactionis saut, fieri potest, ut circumid [spatium] figura. plana circumscribatur et alia in-scribatur ex similibus sectoribus compositae, ita utfigura circumscripta excedat inscriptam spatio minore,quam est quodlibet datum spatium.

1) Nain spatium mains est figura inscripta, minus nero cir-cumscripta.

comp. ne uel w F. 16. par; cum comp. un! F. 19. 17’ F.20. 01:6 u B, Torellius.

10

15

20

94 HEPI EAIKQN.56m) SALE, âtp’ dg à ABFAE, à: tu? ôsms’pç

mgupogq? 75790505551101. and. 56107 1:0 phi Ü antistarâme? 1&9 (filmas, à 6è 116? àazà 7&9 «sommois, àde EA à Gémeau 5605121 1&1; à; au? (i910? 162g atem-çopâg. ô 6è AZH minas 56101 ôszîrspog, aux! a!AFH, ZI dmpæ’rpoz 0:15:05 «01’ ôgôàg àlldlatç.fldÂLU 0’511 ôlzœ 1541.1100!an 1&9 6005;; yœm’ag au!

1017 ragréais 15015 du) 6005:1: yawlow zapiëzawog 366d-wl. 10 xaraÂemôysvav 510566011 1017 «00150534109. sur!50’100 ysyevnpe’vag ô (9K1! rouet); êlda’aœv rat"; arço-

nôæ’wag. ôtatpsôudâv ô?) 1&1; ôçôâv yawuîv sis ut;

i’a’ag ywvtaç ce": 1521:6 1&1! K (N), ÜA nul 1611 5111m

umadusvua’ôa’wwv and 1:8: 0561:8: rot; apôtspo’u 3066!-

taL 1:0 nsgzyaypamie’vov 6177500: jar? ëyysyçappëvovamiantes 41541011 éléaaovL, fi ô 10545139 ô üKA. nattai:yàp Ëddôh’ul. ce? 15150075415, a; 1515605151. ô 0K1! 17051.51);

1:05 ûEP. -HOPIEMA A:

6171011 01511, au 601105161: 561:1. ami. 10 zepwpatpèv

61mm 1017 105026531109 graciai: Matou ducal gamma«and; 105 naotsôe’vrog zœpt’av, and mais» 1:6 laqûèv

140011011 peïçov duaux 7017 êyygaqas’wog dxfipazog éléa-

aaw navtôg 1:05 «paraffinas zonation

6. APH] aFH F; cart. ACD; PH B, cd. Basîl.; AHTo-rellius. 1:05] naos per camp. F; cart. Torellius. aun-long F; corr. Torellius. 7. aux). cum camp. au uel w F, utlin. 21. ciel 6710; Torellius. 8. 1117 008m (comp.) F; con.Torellius. 9. aux). Forum ad «paraffinas lin. 11 mg. F, manu 1,signa sdpasito, quad idem in textu exstat; 1010100 addidit (lin.11) ed. Basil., Torellius. 12. tâfl] un per camp. F; con.Torellius. K 94 F, nulga. 16. purot] (alt.) page», parcamp. F; cart. Torellius. 16. té] Torellius; à F, uulga. 20.layqaôsvtoç F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 95sit spiralis, in qua. sit ABI’AE, secunds. circum-

sctione descripta. et punctum 0 principium sit spi-ralis, linea. autem A0 principium circumactionis, lineaautem Ed secunda enrum, quae in principio circum-actianis sunt. et circulus AZH secundus sit, et AFH,ZI diametri eius inter se perpendiculares. rursusigitur recto angulo et sectore rectum angulum com-

prehendenti in partesaequales diuisa, quad re-linquitur, minus erit dataspatia [Eucl. X, 1]. etortus sit sector GKAdata spatia minor. an-gulis igitur rectis [quat-tuor] in angulos aequa-les angulo lineis K a 0Acomprehenso diuisis etceteris eodem modo, quo

antea, comparatis figura circumscripta excedet in-scriptam spatio minore, quam est sector 8K1. ex-cedet enim spatia, quad est QKA e QEP.

COROLLARIUM I.

Adparet igitur, fieri passe, ut figura. circumscripta.spatium sumptum excedat spatio minore, quam estquodlibet spatium datum, et rursus ut spatium sump-tum figuram inscriptam excedat spatio minore, quamest quodlibet datum spatium [p. 93 not. 1].

10

15

20

25

96 1mm EAIKSEN.HOPIÈMA B’.

Ôtà 60 1017 05151017 1061101: 00011250611, 01611. 00110101

Âaflôwa 10 1000501; 10 11000016115101: 0116 1s 1&93,101105- 1039 à: 01101010131: 51501010002 yeyçapps’vag mi

1&9 8138515019 1&9 à; 10? 020197 1079 715900909079 9m10: 10v

01151011 àptflpôv layape’vaç stLyadipar, dxfipa, aïovafghan, ènlnaôov, 00’015 10 11591710010701; axfipa perçoir

eïpsv 1017 11010119511109 zmptov 3102600111. 110111105 1013

nponôêwoç 750105011, and 71022.11; ëyyaéwai, 03’015 10

10103001) xwpiov psîêav eïpsv 1017 êyyauqaêwog ovipa-

1oç 0102000110 710111103 1017 71001519531109 10105012.

a); .

11043612101 1:0 1010m1: 10 nsçiaxôpsvov 13716 15 1&9

57.01105, ë 361w 3102000112 1025; à! p10? 9150107090? 75790:1;-

pa’vag, 01’211 exaüaag négus 113w 02910211 1&9 52.1.1013, and

1&1) 51513506211 10211 0i110 11511 11590210111 1&9 31.11109 0270

pâma: ôwa1011 écu usai 10 10105011 fizfipa énûzaôov

negbygoiwai 52 0poz’r011 104100111 dvyxeipwov scat 52Mo57171002111010, 03’015 10 11501700102012 61171001 101"; ëyyputpéwoç

psîëov sïpav 151102000111 110111109 1013 1100151951109 10791501).

50101 37.113, àp’ aïs à ABI’AE, 11000110; 00 01015;

1à A, E, 50107 00 aimât 1&9 52.1.1103 10 é), 110:2 37153151-

ôœaav a! AQ, 9E. ysyçétpâm 00 1115x109 11511199

ph! 193 â, ôLaanipan ô) 195 62A, ami aupmmêtm té(9E 111110; 10 Z. 0252 01) 1029 ywviag 1&9 1101i 105 9au! 1015 1011.5019 1013 62.42 (fixa 1epvopêvaw écachai10 xa1aÂemôpwov 1017 nponôe’mog 510506012. 56m01102000111 0 1041509 0 ûAK 1013 11001519512109. 01101015

.1. «écuma ’9’] mg. 110010110: (comp.) F. 2. 61614515

Nizzius. 7. mate] 501m par camp. F; corr. AB. 9. sa!

DE LINEIS SPIRALIBUS. 97COBOLLABIUM Il.

Et eadem ratione manifestum est, fieri posse, utsumpto spatio cçmprehenso spirali qualibet circum-actione descripta. et linea eodem numero nominataearum, quae in principio circumactionis sunt, figuraplana. eius modi circumscribatur, ita ut figura. circum-scripta spatium sumptum excedat spatio minore, quamest quodlibet spatium datum, et rursus inscribatur, itaut spatium sumptum figuram inscriptam excedat spatiominore, quam est quodlibet datum spatium.

XXIII.

Sumpto spatio comprehenso spirali, quae minor est.spirali une. circumaCtione descripta, sed cuius terminusnon est principium spiralis, et lineis a. terminis spi-ralis ductis fieri potest, ut circum id spatium figura.plana. circumscribatur et alita. inscribatur ex similibussectoribus compositae, ita. ut figu:a circumscripta ex-cedat inscriptam spatio minore, quam est quodlibetdatum spatium.

sit spiralis, in qua. ait ABI’AE, et termîni eiusA, E puncta, et principium spiralis sit 9, et ducanturlineae A0, 0E. describatur igitur circulus, cuius ’centrum ait Q, radius autem 6A, et in lineam 8Eincidat in puncto Z. itague angulo ad 8 posito etsectore 9A2 semper deineeps in duas partes aequales

cum comp. 111 uel w F. 12. uâ’ F. 14. un F, nul o. 16.toi) zieuta; Biualtus, Torellius. 25. M] scripsi; a. , uulgo.n25] scripsi; 10 F, nulgo. 26. écachant] scripsi; sema parcomp. F, m1130.

Archimedel, cd. Ramuz. Il. -7

93 nm nm.07) rots 11596159011 ysypoîlpôœdav 141530101. du? 105v da-

miez», M3, à? wigwam"; du; 31mn ai tàç [dag 7min;«01.015611; nazi 1:93 0, 56:5 duueçanspsLâ’u 5102614111 dup-

azturaw réé 1:5 zçoayovpëvç

w214i 5109.5114. 5665km ôn’ u

flapi 1:6 zaçaaxôpævov 1091507

1521:6 ra 1&9 ABI’AE fluo;aux). raïa: Aû, QE 51388451!uepoyayçaupe’vo’u affina bd-

atsôov Æ 5mois": royëmv dv7-

xelpavov aux), 51’110 3775794140-

pe’vov, and 1:6 xsptysypappe’vov 1:05 éyysypappévov

5102660111. 151595151, 1015 1901585511109 xœpiov. adam

15 7059 361m: ô 0.4K topais.

HOPIEMÀ.à; 1015101: (punch 361w, (in ôwurôv ému ne!

1:6 atgnpe’vo’u xœçlov dlfilla èztneôou, oïov signifia,

acotygéwm 4561:5 rô nepzygmpëv axfipa (urgea: signa!20 mû zmptov élideront. auprès 1013 upatsfle’vtog zmptov,

aux). mil"; 3779021110". 4.5’ch rô slpnus’voæz gabelou perçai:

alun: 101": s’yyçanéwog apfyazog (5102660111, zawôg un?

«901266511109 xwptov.

uô’.

25 Tô nepzlamôèv zœçfoy 1516 u aïs 31mg 159311a; «pain; 1594420991" yaypapye’vag and tâ’g Midas raïs

19461419 1&1: à: a; aïeux" :079 mpupoçâg 19h01: 442’905

361:3. 1:05 uüxlov 1013 «pérou.

2. tlpfo’vdw 1179 F; con. Torellius. 3. :93] Torellius:

DE LINEIS SPIRALIBUS. 99diuisa, qnod relinqnitnr, minus erit spatio dato. sec-tor 041K ait ùto spatio minon eodem igitnr mode,quo antea, circuli describantur per sa puncta, inquibus lineae aequales angnlos ad û punctum efficien-tes spiralem secant, ita ut musquisque arcus et prae-cedenti lineae et sequenti mourrai). erit igitur circumspatium comprehensum spirali A8121 E et lineis A3,0E figura. plana. circumseripta et alia. inscripta. exsimilibns sectoribus compositae, et figura circumscriptaexcedit inscriptam spatio minore, quam est datum spa-tium. eo enim minor est sector 64K.

COROLLARIUM.

Hinc manifestum est, fieri passe, ut circum spatium,quad commemorauimus, figura plana. eiusmodi circum-scribatur, ita ut figura circumscripta exèedat spatiumspatio ’minore, quam est quodlibet datum spatium, etrursus inscribatur, ita ut spatium illud figuram in-scriptam excedat spatio minore, quam est quodlibet 2datnm spatium [p. 93 not. 1].

XXIV.

Spatium comprehensum spirali prima. circumactionedescripta. et linea. prima earum, quae in principio cir-cumactionis sunt, tartis. pars est circuli primifi)

1) Hoc theorema suis uerbis propositum et propria. rationsdemonstratum habet Pappns 1V, 34 p. 236-38.

tu F, unlgo. 4. "une: F; com Torellius. 7. mot] 0m.F; corr. Torellius. 14. dans cum comp. ou F. 18. 61mm]Iddidi; 0m. F, nulgo. 21. au! ndlw ad lin. 23 100th 0m.F; con. Riualtus. 24. us’ F.

7*

100 un?! m.56m7 5113, àp’ dg à ABFJEO, à: zq’z xpdzç no:-

«popê yeyçappe’va. 56110 6è zô phi 8 6apetov épiât

zig 51.5109, à 6è 9.4 5138510; squine zâv à: a; cinq-zzâç zaçzçaopâg, ô 6è AK ZH I 21511109 xpaîzog, 06 qu’-

5 zou péçog iam ô, à! ç; Q, miaulas. ôaxze’ov, ("in I607

en! zô apoezpnpëvov papion! zçî Q x6119.

si 7&9 (ni, in; peltés: 361:4 fi 51166011. 5610 :96-zeçov, si ôwazôv, êla66ov. ôvmzzôv dû 36a and, zôzappiez zô neçzazôpevov 1516 za zig ABFAEO autos

10 nul zig A0 5136515419 saponifiai, flâna êm’zzsôov SE6510116311 zops’aw 6vyuelfysvov, 1561:8 zô uepzypatpèv 61mm

perças: eïpev zoü zappiez:

3105660111. zâg 131390159, ë

131595151. ô Q 115x105 zoé

519115453101: papion zam-yeyçécpôm (bi, aux). 56W

n51: zope’aw, 3E 151! 607-xu’zm. zô slçnpe’vov 61mm,

yëywzog ph! ô 8A K, élé-

1L6zog 6è ô 8E0. Gilet!013v, 5m zô www.9319414445-

vov flâna 52.016661: in:zoü Q 216201011. ëxfiefihi-

600160": 6è al" 61585641; tu"

25 azozl z95 8 1500015641; zàçMas yawiag, Ëdz’ En and

zàv zoé 9:69:10!) napzqaa’pswv neaaîvzz. 45sz 1M zwaç

flamant a! &nô zoû 8 azozl zàv 51m0: azozuzmzoümuz95 [693 021.1021111: ônsçazoüo’at, du Ëdzs (tartina ph à

3. zâv] sddidi; orne-F, u . 4. AKZHI ANZHIsnpnscripta K manu, ut uidetur, 2 . 5. ô] Midi ; 0m. F, nulgm

DE LINEIS SPIRALIBUS. 101sit spiralis, in qua sit ABI’AEO, prima. circum-

sctione descripta. et punctum 9 principium sit spi-ralis, linea autem 8A prima caram, quae in principiocircumactionis sunt, et A K ZHI circulus primus, cuiustortis. pars sit circulus, in quo est littera G. demon-strandum, spatium illud circnlo Q aequale esse.

1mm si non est, sut mains est ont minus. sitprias, si fieri potest, minus. fieri igitur potest, utcircum spatium comprehensum spirali .4de E6 etlinea. A6 figura plana circumscribstnr ex similibussectoribus composite, ita ut figura circumscripta spa-tium excedat spatio minore, quam excessus est, quocirculus Q spatium illud excedat [prop. 21]. circum-scribatur igitur, et sectorum, ex quibus figura illa.composite. est, maximas sit ÜAK, miniums autem8E0. adparet igitur, figuram circumscriptam mino-rem esse circula Q?) producantur igitur lineae, quaead punctum 0 aequales angulos efficiunt, asque eo,ut ad ambitum circuli perueniant. sunt igitur lineaequaedam, eae scilicet, quae a. puncto 0 ad spiralemductae sunt, aequali spatio inter se excedentes, qua.-

1) Bit spatium illud R. figura autem circumscripta. F; tumeritex hypothesi F-ch-R3:F(q.Il. a usinerai] 0m. F; con. Torellius. 21. 3a] comp. F.24 «H (prius) addidi; 0m. F, nulgo. ut] 0m. F; con. To-rellius. 25. and] zoo: par camp. F; con. Torellius. 14,5]lori si; zo F, nulgo. 28. «[1 addidi; 0m. F, nulgo. 29.M , nnlgo. payloza] scrîpsi; patin F, unlgo.

102 IIEPI MN.311, ëÂaxL’6za 6è à ŒE’, aux! à gamma 1’601 1391:5

omît. &qu 6è and 551.101; zwêg gigawatt 010 &avô 1:05nazi zôw «59111715951011: zoô 1115111011 xanmazzoéaap z

ph: 21.168151. tout. zutizmç, zçô 6è 111311508; ânée-w: tu

5 zqî peyfazq, 2111?. àvayaywoîwz àazô- mafia: 61101501. 1:1

(zées, aîné ze zob: zçô [69’ 1511121121111 13155915100651: ou

1511:6 zâv finir: àÂÂoZÂmg za and zçî paréage ois 1’729

zonés; et: aïno zâv M1511 zç’Z psyidzqc 51.0166611159 6’sz

zpmlom’or. zaîv zopæ’uw zôv 0211:6 zàv zçB 1’69) 512.1102212

10 énepsxovaâv. 656191!qu 911319 zoôzo. 5sz 6è o[zope’sg a! aïno züv 3615311 &ÂÂéÂuLg za au! 111,2 1187km

11’601. fifi AZHI 11Mo), ot 6è zope’ag 05 aïno zâv ce;

En) 151110211111 ôuspazovaâv 1’601. z95 noçtysypaugdug

6xri11az1. 1511115660011 62901 ô AZHI 911511103 zoô 1591.-

15 rayonpyévov axâpazog î] zpmluaimu’ zoô 6è Q Midaszpcvzluaz’œv. éléadmv üpa ô Q 311511110; zoô www.29191215-

pévov dzfiyuzog. 06x éon de, cillât peignai. 017m 39aë6zîv zô zapLszôpsuov 75111915011 1371:6 za zâç ABFAEG

élimas ami züg dû 510166011 zoô Q 1112915011.

20 mîôè zm’vvv garçon. è’ozm 7&9, si ôwazôv, 11.512011.

51m 61) mêla: ôvvazôv si; zô zozotas: zà nsçtsxôpsvov1511:6 zâg ABFAEÛ guanos 1111i zâg .40 afiôu’ag s’y-

79é1pou. affina, 156zs zô 85917111511011 7511291011 zoû 15779121-

çve’vzog dxfiuazoç 11512011 6111511 êÂâadovL, fi 1,5 fineçs’zu

25 zô 53912141511011 xœgL’ov zoü Q mixÂov. êyysygdtpôœ 1M,

1. fluzloza] (prius) scripsi; 51.0161112011 F, m1130; u. Quaest.Arch. p. 138. 2. aï] addidi; 0m. F, unlgo. 5. érafleront-quina scripsi; avuysycanzou F, nulgo; defendit Ahrens: de gr-ling. in]. II p. 338. aucun F; com V. 9. 1:11qu F. l4.AZHI] scripsi; AZH 1K F, nulgo; ,,afgi** Cr. 19. 11691011]111511115011 Torellius. 20. 15’ F. 22. A8129 F; corr. To-re us.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 103mm maxime est 011, minima autem 9E, et minimaexcessui aequalis est.1) sed etiam alias lineae sent,eue scilicet, quae a. puncto 8 ad circuli ambitum duc»tee sunt, numero illis aequales, magnitudine autemsingulee eequales maximas, et in omnibus similessectores constructi sunt, et in iis, que aequali spolieinter se excedunt, et in iis, quae inter se et maximseaequales sunt. sectores igitur in lineis maximne aequa-libus constructi minores sunt, quam tripla maioressectoribus in lineis aequali spatia inter se excedenti-bus constructis. hoc enim demanstratum est [prop. 10corail. 3]. sed sectores in lineis inter se et maximaeaequalibus constructi aequales sunt circula AZHI,sectores autem in lineis aequali spatio inter se exce-dentibus constructi aequales sunt figurae circumscrip-tee. itaque circulus A2 HI miner est quam triplamaior figura. circumscripta; circula autem q triplamaior est. iteque circulus Q minar est figure circum-scripta. erat autem non minor, sed maior. quarespatium comprehensum spirali ABFAEÜ et linea A9minus non est spatia Q.

sed ne mains quidem est. sit enim, si fieri pot-est, mains. itaque rursus fieri potest, ut spatio com-prehenso spirali ABFAEÜ et linea. AÛ figura in-scribatur, ita. ut spatium, quad commemorauimus,figurera inscriptam excedat spatio minore, quam quantaspatium illud circulum q excedit [prop. 21 coroll.].

1) Lineas 0E, 0.4, 01”, 93 cett. aequali spatio inter semedere, adparet ex prop. 12, quia engulos eequales faciunt.lineam autem 0E excessui aeqnelem esse, sine 9E a: 16.4,sequitur ex prop. 1; nain cum anguli aequales sint, tempnstempore duplo mains est.

104 ’nEPI sans1101?. 56m: zaîv zope’œv, 58 15v 6melz011 zô 13317159191:

(1511011 61mm, 115’716zog 113v ô ÛPÆ’, è102116zog 6è

OÛE. ôfi1o’u 01511, 5m. zô 37757911111153.1011 «neigea. pu

C611 é6z1. zoô Q 116x100. ëxflsfl1fi6ôm60w dz) 016 61:01.0

5 6011 zàg 1’601; 7071111013 nazi zrfi 6), ëaz’ 3211 nazi. 1:1

zaü 1115x100 «machaon; 1151105sz. 110111.11 01511 êvzl zvas 79011111013. zçô les) &110î10w 13705951015601. ai 0161:6 zc

8 nazi. zàv 511.1101 zozumzzoüdaz, du é6z1 peyt’o’za 11.3

à 6A, ê1011l6z01 6è à ÛE,’ :1015 É6zw à 3111x1600: la

10 zçî 1310590151. êvzl. 6è au51’1101. 79011111011 011T du

zoü 8 nazi zôw rot": AZH111511100 mpupe’pemv «on

11110156011. z15 nèv 111531

18011 zaz’vzalg, zçî et psys,

1951. 5111km 1’601 zq? 11571km

1101i àvuysypalpôvzaz oint10016â11 611.010. zonées du

zls zâv 161311 0111é10119 z1

aux). zq’î (157!sz :1012 0211i

zâv zç5 E69) 02111i10w 61:59-

szovo’âv. et 5001 zonées 01’

ciao zâv [65111 zq? peyfc’zqt

115146115; 15sz fi zonau-25 61’01. zôv zoys’aw zain data zâv zç5 l’ego 01110210111 15mg-

exovaâv 103029 zoû «me zâg peyz’azag. ôeôeluzaz 7&9

zoôzo. ësz 63 a! (1h: zonés; 01? 0211:0 zâv 16511 n)?psyfazçz 1’601 zç5 AZHI 111511190, cf 6è 021d) zâv zçi 1’697

01110210111 ôneoexovdâv 100019 zoü du?) zâg 10576M019 1’601

2. ÉMzzazoç] B; 510100000 F, nulgo. 3. 09E] sel-ipsi:9E F, nulgo; 9E0 Torellius. 067] pet camp. F. ou]

DE LINEIS SPIRALIBUS. 105inscribatur igitur, et sectornm, ex quibus compositeest figura inscripta, maximas sit OPE, minimus autem08E. adparet igîtur, figuram inscriptam maioremesse circule 6.1) producantur igitur lineae ad punctum8 aequales angulos efficientes usque eo, ut ad emb-itum circuli perueniant. rursus igitur lineae quaedamsunt aequali spatio inter se excedentes, eue scilicet,quae a puncto 0 ad spiralem ductae sunt [prop. 12],qnarum maxima est 8A, minima autem 0E, et mi-nima. excessui aequalis est [p. 103 not. 1]. et prae-terea alise quoque lineae sunt, quae a pnncto 8 adambitum circuli AZH I ductae sunt, numero illis ae-quales, magnitudine autem singulae maximas aequales,et in omnibus sectores similes constructi sunt, et iniis, quae inter se et maximae aequales sunt, et in iis,quae aequali spatio inter se excedunt. sectores igiturin lineis maximae aequalibus constructi meiores suntquam triple maiores sectoribus in lineis aequali spatiointer se excedentibus constructis praeter sectorem inmaxima constructum. hoc enim demonstratum est[prop. 10 coroll.]. sed sectores in lineis maximaeaequalibus constructi aequales sunt circulo AZHI,sectores autem in lineis aequali spatio inter se ex-cedentibus constructi praeter sectorem in maxime cen-

1) Bit figura. inscripta. f, spatium illud R; erit ex hypo-thesiR-f(R-q3:fmq.

0m. F; corr. B. 6. 197;] scri si; 10 F, unlgo. 7. ut] ad-didi; 0m. F, vulgo. 8. on , unlgo. 11. 411m me; To-rellius. ut] addidi; 0m. F, nulgo. 17. âwuysyçuqaécm B.29. aîné] aïno F; con. Torellius.

10

15

106 HEPI 15mn.1:95 ëyysypappæ’vçæ «Mitan. neigeux 559d ô AZH I u

sans i) nominale": 1017 êyyeypaym’vov qfipmog’ a6è Q 111534100 rpaatlœolfœv. (balzan; 61’901; 561321! ô q se

112.09 toi: ëyyeypapps’no’v dzfipatog. 01’)”: éon 63’, (il)

amidonna 013x 39a écria: oûôè matou 1:6 10091507 1151:6 se raïs ABFAEQ glmog aux). 7&9 me afiôafaç teQ uüulov. îoov âge; éculai [zçî GEEQLÂIZÇÛÊWL 153:6 ri

31m0; and raïs 118 2138815053].

xs’. .Tô negtlaqaôèv 103915011 137:6 ce zig 51m0; raïs à

a I un l le ’se! âamepçc mpupoçq 753190140415an M2. mg aussi?aïs ôsvre’gag 15ml à! se? dom? :629 negupoçâg altos). 10’.

656159011 mixiez: mûron 5151. roi) 1.67011, 311 5154, 1:1

I t I H f , t I. h !Ç mort tu 143 , og 361w o «un; up, ou 5st tu au!apportent: 1:6 se mozexôpavov 131:6 11079 à: me? us’wçm

1:05 650114900 nivation and 1&9 à: me? 3571901; roi1906101; mînÂov and 1:6 tottov 545’909 me? zerpayoivoz

1:01? du?) 1&9 151.5901429, 9? chapeau à à; 1:05 5453119011

1017 68018,90!) minime: 175:9 à: 1:06 dingos: 106 espéras20 anémiai; and, ce) 15190270111012 «à du?) mais à; 1:05 név-

zço’u mû âme-22m: minou.

561m ÈME, à” aïs a? ABFAE, à! ni ôsvza’çç steep-

quççî yeyoapps’vœ. être: 6è to ph: O saperez: 02915:

107g 51.1.9109, à 6è 0E eôflsïa à! 113c" âme; mais «59L-

25 «mais à amuïra, à 6è AE à: 1:9": éon? 1&9 75594920959

à ôsvre’oa, ô 6è 9:61:10; ô AZHI ô 651515909 fait»,

and al AH, I Z ômye’tpoo «01’ 6936:5 àMnîÂazg. 65m-

zs’ov, (in 1:6 «wagonnier 101915011 151:6 se raïs ABI’AE

6. ABHEG F. 7. l’une Torellius; sed de spatio afin",non de cil-0111m] quare refinandum fan (camp. F) et de and!

DE LINEIS SPIRALIBUS. 107structum aequales sunt figuree inscriptae. itague cir-culus AZHI maior est quam triplo maior figura. in-scripta; sed circulo Q triplo maior est. quam circulas Gmaior est figura inscripta. sed maior non est, uerumminer. itaque ne maius quidem circula G erit spatiumcomprehensum spirali ABFJEG et linea .40. itagueaequale est.

XXV.

Spatium comprehensum spirali secunda circum-aetione descripta et linea secunda enrum, quae inprincipio circumactionis sunt, ad circulum secundum«un habet ratianem, quam 7:12, quae eadem estratio, quam habet rectaugulum comprehensum radiosecundi circuli et radio primi une cum tertia partequadrati eius excessus, quo radius secundi circuli ra-dium primi excedit, ad quadratum radii secundi circuli.

ait spiralis, in que ait ABI’AE, secundo. circum-actione descripta. et punctum é) principium sit spi-ralis, linea autem 6E prima. earum, quae in principiocircumactionis snnt, JE autem secunda; et circulusAZHI secundus sit, et AH, I Z diametri interse perpendiculares. demonstrandum, spatium spirali

uerbs. 14,5 zeçtluqufiévu . . 21505104,- lin. 7-8; 0m. Cr. 9. 1L"F. 1.0; 1:6 neqnlaqaûé’u] addidi; 0m. F, uulgo. 16. dau-vê’ow] p F; et sic saepius infra (Faut lin. 17, 19 bis, 21).27. 11903 (comp.) cabote allumas ; corr. Torellius.

108 un?! mm.glucog ami raïs AE sôflstag nazi 16v AZHI mincit1167012 Elsa, 31; si: 5’ mari Lfi’.

être: 615 tu; 115x109 ô Q, à 6è à: roi? ue’wçov a

Q 115x101) ôwdpu leur 1:9; se inti) râv A6, 8E «se5 examina) nui t9; taira) m’est 1:01": dard râg JE 151:9:

7612012. 358i dû ô Q x6110; nazi tin: AHZI, nôs.nazi 45’, dada nui à à: roi us’wçov aérai") «cri 1rd

à; roi) xéwpov son AZHI 115x101) mûron 515L 61veinez son 1167012. ôscxôflae’tm 013v taos ô q x6301:

tu? usaiexope’va) zappé

137:6 te 1&3 ABFAE 511nos ami si; A E niaisiez!si yàa mi, 13’701. gratter

écria fi aérien). Eau67) naôtepov, si duvet-:61)pattern). ôwatôv dû à)?

moi si; xœplov usaiypégùai affina àn’nsôoz

v 5E ôpolœv touée"! av)»

20 xsiusvov, 6’615 us angi-yçutpiv 61mm miton si-

va 1013 icoglan ÉÂÉO’O’O’W,

13 a; 151595180 ô Q mî-

nlog son zozotai). aspi-26 yeyaoîçpôœ, ami 561m, a; 05v omettez: zô asparagine!!!-

w’vov enfiliez, yéyadrog un ô ÊAK rowing, éléztaroç

dt ô 004. ôfilov 015v, (in nô neçzypmpèv azfipaflattât! écu r06 mîulov. ëufiefllfiaôraaav ai 56mmai armorient; nazi tu; 9 long yœvlug, Edr’ à! 101i zain!

2. zoo; per comp. F; con. Torellius. 3. q] s sempercd. Basil., Torellius. 6. nous pet comp. F; con. Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 109ABFdE et linea AE comprehensum ad circulumAZHI eam ratianem habere, quam 7:12.

sit igitur circulas quidam Q, et radius eius qua-dratus ait a: A0 x OE-l- âAE’. itague circulas (àad circulum AHZI eam ratianem habebit, quam 7:12,quia radius eius quadratus ad radium circuli AZHIquadratum banc ratianem habet [Eucl. X11, 2].*) de-monstrabimus igitur, circulum Q aequalem esse spatiocomprehenso spirali ABFAE et linea JE. nain siaequalis non est, aut maior est aut minor. sit igitur,si fieri potest, prias maior. fieri igitur potest, ut cir-cum spatium circumscribatur figura plana ex simili-bus sectoribus composite, ita ut figura circumscriptaspatium excedat spatia minore, quam quanta circulas Qspatium excedit [prop. 22]. circumscribatur, et [sec-toram], ex quibus composite. est figura circumscripta,maximas sit 9.4 K, minimus autem 604. adparetigitur, figaram circumscriptam minorem esse circula[p. 101 not. 1]. Iproducantar lineae ad punctum 8aequales angnlos efficientes, asque sa ut ad ambitum

1) Nam A9x9E-l-i4E’:AO’:-29E’-i-i9E’:49E’a 60E’ -I- 8E’:128E’ a 7:12, quia 8E :AE; nam aitambitus circuli primi p; erit ex prop. 15: 8E:81-p:2p.

ut lin. 7 bis. 23. «sans; F. 25. Fana mais tapit Torel-lius. 28. un? q adulas; Nizzius. 29. m5] scripsi; ra F,nulgo. In figura 0, A cum F posai; sed pro Aæasui A, etP addidi.

110 a HEM EAIKQN.son? damâpov adulai) ansprqas’çuav arracha. fini da;

raves yaapaai tu? 1’69) du.de darspsxadadr ai dzd106 0 avari raid 3’le arauanavradaar, dv in; mitardardu d 0A, Élaxfdru (id d 0E. ëvri dt ami dura

5 yQaprai ai dard rad 0 arori ràv rad AZHI mmzeprqas’asmal arorrauaarodaar, r95 (Liv muffin and aumimes mandai, r95 6è (raréfiai dlldlarg r5 [dan ami sim’aimer, ami draysyaaqidrar dilatai ragrées dzd ria:dada! r9? payant; ami dard raïa! r95 laça dandin dup-

10 statufia), dard dt rdg blafards odac dvayaatpérar. 01’d’au rouies al dard raïa fada: au? perlera; arori rodg ra-pidos; rad; dard rdv r95 la,» deÂew darseszavo’daa zo-pig rad dard raïs âÂaziærag ëldaaava 1.6.7011 ëxaarrr, fi

1d rmdyuwav rd dard rdg payions 0&9 0A arari 1d16 Maaqaôrsaa r6 ra dard râv A0, 0E «8046va ami

rd talma: arénas rad dard râg EA rerpayaivav. de-ôséarrar aida 10510. ëvri 6è rots pin ragréent rots dzdrüv dada! dandinas ami raz" (raflera [0’09 d AZHI ard-ulog, rots 6è rapiécer rots dard raïa) r95 1’690 02110211419

20 dxagsxavadal zannis rad dard raïs glapirai; [son idnepryeygapps’vov maxima. 5102660110: doc; 16707 Elsa d

adulas arari rd areaLysyaauue’vov maxima, a)" rd urod-yawov rd dard raïs A0 arari aï avvagupôrepa 16se dard raïa) A0, 0E ami rd natron arénas rad dard

25 rdg AE rnaayaa’vov. dal 6è 1.67012 5154 rd urod-yœvov rd dard raïs 0A arori rd dard rdv 0A, 0E amird rotrovîaëpog rad dard rois AE rsraaym’vov, radrav515L d AZHI xdxÂog arori rdv Q andalou. üdaaaam

3. aronauarrovan F; cart. B. au! F, nulgo. 6. sort]scripsi; tau F, unlgo. 6. dans cum camp. on F; corr. To-rellius; flairions B. 7. raturât] scripsi; saurira F, anisa.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 111circuli secundi perueniant. sunt igitur lineae quaedamaequali spatia inter se excedentes [prop. 12], eae sci-lieet, quae a puncta 0 ad spiralem ductae surit, qua-rum maxima est 0A, minima autem 0E. sed etiamalise lineae sunt, quae a puncto 0 ad ambitum cir-culi AZHI ductae saut, namero ana pauciores illis,magnitudine autem et inter se et maximas aequales,et constructi saut sectores similes in lineis maximasaequalibus et in iis, quae aequali spatio inter se ex-cedunt, in minima autem nullus constructus est. ita-qae sectores in lineis maximas aequalibus constructiad sectores in lineis aequali spatia inter se excedenti-bus constructas praeter sectorem in minima construc-tum minorem ratianem habent, quam habet

0A’ : A0 x 0E -I- &EA’.

hoc enim demonstratum est [prop. 11 coroll.]. sedsectoribus in lineis inter se et maximae aequalibasconstructis aequalis est circulas A ZHI , sectoribusautem in lineis aequali spatio inter se excedentibusconstructis praeter sectorem in minima constructumaequalis est figura. circumscripta. itaqae circulas[AZH I ] ad figuram circumscriptam minorem ratianemhabet, quam A0’ :A0 x 0E 4- &AE’. est autem

AZHI:G:0A2:0AX0E-I-&AE’[Eucl. V, 7 ardoisant]. quare circulas AZHI ad figu-

dudlarç] la; supra scriptnm manu 1 F. 8. dvayeyadqaonarTorellius. 10. ufadeîfiE’taL F. 12. «un» F. 14. pe-ylaruc] p. supra scriptum manu 1 F. 17. ragréent] scripsi;rouerai F; mais; cd. Baail., aulgo; ramier Torellius. 18.allah; F; corr. A. AZH F; corr. B. 19. ra env F; ro-utin Torellius. 21. ô uduloç AHZI (debuit a AHZI ani-ues) Torellius; habet Cr. 26. 0E] scripsi; 4E F; AE uulgo.2a- une par camp. F; corr. Torellius.

112 IlEPI EAIKSÆN.015v 1.67011 fixa. ô AZHI nénies nazi 16 maremma-ps’vov opina fi and 16v Q minier. 03615 51.416601:56th! ô G 4:63:10; toi? metyeygappévov (trépanas. 05:écu ôé, 02Mo? mitan). 013m 59a mitan: 56:21! ô Q :6-

5 x105- roü xœglov 1:05 napaexops’vov 131:6 n raïs A B PAIE

filmes aux! 1&9 11E Malus.oôôè tatami! 51026641111. 50”56) yoîg, si ôwmôv, flic»

641w. milan 051! ômwmîv ému

si; 1:6 100915011 1:6 mouflâte-

vov 671:6 te mais Shows andmais AE 513055429 ëyypoîdnu

axfiya Énixeôov 132:6 ôpoim ( topæ’œv duyxu’psvov, 45615 tô

nepbazôpevov xmçtov imo’ a

1&9 ABI’AE 51m0; un! ni;A E 56051119 (1:81:01! aigu

Z 1017 àyysygapps’vov «mémo;éléadom, fi ç; 13115915154 16

m’nô 1009601; :017 Q mixiov.

20 êyyaygoîçpôœ 01511, nul 56m171512 topëœv, 55 n51! 6min;16 ëyweawè’vov dzfiw, 416’-

yunog plu: 6 ûKP tomés,guipons 6è ô 9E0. ôfilov 05v, au rô 377579144-

25 pivot: exigu peïgôv écu 105 Q 315x100. ëxfiefllfiaôar642w ut amadoua [dag yœw’ag amuï 193 0, êaz’ ëv ami

râw mû uüxlov negupépsmv 1:66:5er. nâÂHI 0151: étui

rwsg 79054445411 1:93 laça âlldlav ôneçsxoüdm al été

1013 0 and du: 5.1an norzmflroôdaa, à! psycho: (duâ 8A, 31mm; 6è à 8E. fait) 6è and 07111111. y9094-

nw 23. OKP] supra scriptum X manu, ut aido-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 113mm circumscriptam minorem rationem habet quamad circulum Q. quare circulus q minor est figure.circumscripta [Eucl. V, 10]. sed non est minor, uerummaior. itaqae circulas q maior non est spatio com-prehenso spirali ABI’AE et linea. AE.

sed ne minor quidam est. sit enim, si fieri pot-est, minot. rursus igitur fieri potest, ut spatio com-prehenso spirali et linea 4E figura plana inscribaturex similibus sectoribus composite, ita ut spatium com-prehensum spirali ABFAE et linea AE figuram in-scriptam excedat spatio minore, quam quanto idemspatium circulum Q excedit [prop. 22 coroll.]. inscri-batur igitur, et sectorum, ex quibus figura inscripta.composite est, maximus sit 0K P, minimus autem ÛEO.adparet igitur, figuram inscriptam maiorem esse cir-cula (à [p. 105 not. 1]. producantur lineae ad punctum0 aequales angulos efficientes usque eo, ut ad amb-itum circuli perueniant. rursus igitur lineae quaedamsont aequali spatio inter se excedentes, eae scilicet,quae a. puncto â ad spiralem ductae sunt [prop. 12],quamm maxima est âA, minima autem 0E. sed

tur, 1 F. 26. "(me per com . F; corr. Torellius. r95]nez-ipsi; to F, uulgo. 29. au , nulgo.

Ambimedes, et]. Helberg. Il. 8

10

15

20

25

114 IŒPI EAIKSàN.pal ont me) 105 é) 21011 113w 1:06 9115111012 augupa’çew

nouammniam 1:93 phi «Méfiez me? 51.0266on rawâz195 6è usyéflsL tout. 021.141.0119 ne ml mît 115756191, unàvaysyçaqxitm o’mô 1&1) 195 1’691 durillon! imagezovo’ât

6110501, rouées aux! (in?) 1&1: [6621: a; 1157121191. et figrouées ot aïno 1&1; tain! 1:91" 11571619: 2101:3. 10139 topait:

100g (in?) râv 193 laça 02110111011: 13115021006131; 101935 toio’mô 1&9 116711:61:42; 118(C011a 10’701: 5101111, ü 1:0 targué

yawov 10 0511:6 1&9 ûA 101?. tôt awapqiôzegœ ni ta11150181611sz 15210 1&1) Aéô, 0E ml 16 tokay 1:01? aîné

1&9 EA 15100170511011. 561w 6è rots ph; 17011586611»rots (in?) 1&1! 195 mon élidiez!) ônsgezovao’w zonois 1013

0211:6 162g 1157561019 i001! 1:0 êyysyoaupe’vov azimut à! 171,5

1109591, tais 6è Etégozg ô 111591109. pslëova 01511 10’701;

5151. ô AZHI 911521109 71012 ni ëyyeygapps’vov dxfipa,

fi 1:0 rnoéymvov 10 aïno 1&9 &A 1101:). 10 157:6 1&1!0A, QE aux), 10 101’101; 111’009 1013 02110 1&9 AE 15100:-

yaivov, 10111156sz ô AZHI 111591109 11:01), 10v Q 1115911012.

11.555101! âge: 561w ô q 9115111043 1017 ëyysyoapm’vov 611i-

paros" 5st àôüvarov’ fiv 7&0 êÂoËo’aœv. 01331 niions

456121; oôôè 5102660212 ô G miaulas 1017 21501510051101) 1m-

piov 15156 ce 162g ABFAE (531mo; nul raïs A E 513195111;

0361:8 [609.

HOPIEMA.ôtât 6è 1015 «1315015 17067101) 65111911651011, 11012 61611

a) nagLÂaqnôèv xœoiw 15716 1:5 1&9 311x09 mais à;675019101311 aegupogçï 757100111115an and 163g EÜ’ÜSÛZQ 1&5

muât 1011 11151011 02011911011 raïs monnayais 187011531119

.2. 111111115; corr. B*. 111111451] scripsi; mon; F; «in? AB, cd.Baal; favrâv Torellius. 3. 1211111011: F. 4. vivaysyçétpowm

DE LINEIS SPIRALIBUS. 115etiam alise lineae sunt, quae a puncto 9 ad ambitumcirculi ductae sont, numero une. pauciores illis, magni-tudine autem et inter se et maximas aequales, et sec-tores similes constructi sunt et in lineis aequali spatiointer se excedentibus et in lineis maximae aequalibns.itaque sectores in lineis maximae aequalibus constructiad sectores in lineis aequali spatio inter se exceden-tibus constructos praeter sectorem in maxima con-structum maiorem rationem habent, quam

(9A3: 110 x 8E -I- &EA’ [prop. 11 coroll.].sectoribus autem in lineis aequali spatio inter se ex-oedentibus constructis praeter sectorem in maximaconstructum aequalis est figura spatio inscripta, alterisautem circulas. itaque circulus AZHI ad figuraminscriptam maiorem rationem habet, quam

AŒ’ : au x 0E 4- «êAEi,

h. e. quam AZHI z q [ex hypothesi]. itague circulus(à maior est figura inscripta. [Eucl. V, 10]; quod fierinon potest; erat enim minor. itaque circulas Q neminer quidem est spatio comprehenso spirali ABFAEet linea AE. quare aequalis est.

COROLLARIUM.

Eadem autem ratione demonstrabimus, etiam spa.-tium comprehensum spirali qualibet circumactione de-scripta et linea. eodem numéro nominata, quo circum-actiones, ad circulum nominatum eodem numero, que

Torellius. 10. 151:6] scripsi; mm sa F, uulgo. toltov pégoçB, Torellius. 11. repava": F, nulgo. 13. timi] 1511:0 F;corr. Torellius. 16. zoos pet comp. F; cor-r. Torellius, utlin. 18. 1&7] 1m11 et comp. F; corr. Torellius. 19. parËov F. 25. 61611] drafiizzius. 28. and] scripsi; «ou F, uulgo.

8*

116 HEPI 11111115211.11011. 1611 115x101) 101! and 1012 0113101; 020101161! layé

11512011 10m; aegaqaogatg 1.67012 fixez, 311 01121101109161.1390!

16 1s 15110 1&3 à; 1013 91511001; 1013 110116: 1012 01131:6;

02910060 1115911011 ml 1&9 in 1015 14121001) 105 nard: 1:615 E121 51026601101 10’211 1189192006211 1.57on01: 010d 10 106101

110’009 1013 18100170611011 1013 02:10 1&9 15015001029, 0? 151189

5’st à à; 1013 us’v10011 1013 patÇovog 111511101) 105v de"

10510011 1&9 à; 1017 010121001: 106 élédaovog 011511101: 1051

53017111511021! 1101i 10 1s10é70wov 10 duo 1&9 à: 10110 315121001) 1017 1001201209 111311101: 1151: sipæyps’vwv.

ne".To 71501516115101: 10195011 1511:6 1s 1&9 ümog, 15E êo’1w

15102060112 1&9 à! me; 7159101000? yayoapps’vag, 01311 5x06-

15 001g 71159019 1&1) oigzàv 1075 51.13109 0101?. 1&1: 51519511511 1&1!

duo 1051: 7159021071 01131029 (En). 10111 0201011; 10’25- 511x09

0131101511011: 1101i 1ôv 1010.40: 1011 5101101 113w 111311 à: 1017

31511901) 100w 10? 11312010 1&1 02:10 11511 1130021101! 3:121&1! 029113112 1&9 511.100; âype’vav, 1&1) 6è 71500025080011),

20 51’ éon 115101513 1&1! 51911115110111 8138516211 0’711 1è 011310: 102

311m, 1013101 5150 101i 1.67101, 31! 5160 60101100361590: 161s 11501516115101! 15110 1&1! 02110 1151i 7150021001! 1’112 1&1:

dolai"! 1&3 3111105 02711511011; aux), 10 191’101) 110’009 1013

1310017061101: 101"; du?) 10?; innomés, 0? 1311595151 à pei-

25 (un) 10.11) signye’vav 813851011 1029 üédo’ovog, 71011 16

1510017001101 1d du?) 1&9 uslëovog 1&1 02716 1051 napé-10:w sa), 10W 02913:1! 1&3 5111109 êmÇevzôswâv.

56103 ÈME, àp’ dg à ABI’AE, 3110166011) 1&9 à;

(tu? 1159102091; 707190111115an, «sont! 6è minis 5610) 10?

4. 161 57E] scri si; 10: par en F; par en COD; peu V;1a p.01! A, ed. Bas ; 193 ph 51! 3*, Torellius. I 8. de

DE LINEIS SPIRALIBUS. 117circumactiones, eam ratianem habere, quam rectan-gulum comprehensum radio circuli eodem numeronominati et radio circuli numero uno minore, quamnumerus circumactionum est, nominati simul cumtartis. parte quadrati eius excessus, quo radius circulimaioris radium circuli minoris eorum, quos commemo-ranimas, excedit, ad quadratum radii circuli maioriseorum, quos commemorauimus.

XXVI.

Spatium comprehensum spirali, quae minor estspirali una circumactione descripta, et cuius terminusnon est principiumjspiralis, et lineis a terminis eiusad principium spiralis ductis ad sectorem, cuius radiusaequalis est maiori linearum a terminis ad principiumspiralis ductarum, arcus autem arcui inter lineas filasposito ad eandem partem uersus, in qua. est spiralis,eam rationem habet, quam habet rectangulum lineisa terminis ad principium spiralis ductis comprehensumsimul cum tertia parte quadrati eius excessus, quomaior linearum, quas commemorauimus, minorem ex-cedit, ad quadratum maioris lineamm a terminis adprincipium spiralis ductarum.

sit spiralis, in qua sit ABI’AE, minor spirali unacircumactione descripta, et termini eius sint A, E.

à: 1:06 aérium 1:05 flâneras 31511.01: 1031! alçnpévmv mg. Fmanu 1, adposito signo V, quo ad sunm locum referantur; 0m.ed. Basil. 11. :0’ F. 16. zou (comp.) napalms F; corr.Torellius. 20. 561:1. tu FV; fort. scrib. mçups’qaww tout: 19":[45101515. 25. un (comp.) 219175137001! 2008m9 F; corr. To-renias.

10

15

20

25

118 IIEPI 12mmA, E. 5mm 6è 02918; 1&9 âmes 1:6 â dapæïov. andxéwgço phi :93 6, mua-râpait. 6è 14,5 9A utîulog ys-mwîtpôm, aux! dynamita) 1:9? asçzqnegslîç 0:15:05 à 0E

une? t6 Z. demtæ’ov, du 16 «configurai: glapit»!15:16 ne mis ABI’AE flancs and 1&1: 563514321) 1&1: .46,

0E «:012 16v touée: 16v A02 1061m: 5181. 16v 167w,311 515L awapqâo’nga t6 ta 1521:6 raïa) A6), QE and 1:6

zgttov figes mû (in?) râg EZ and t6 tarpéyowov16 02m3 raïs 0A.

ânon aï] daïmios, à; 95 GX, tàv êx 101? xs’vtpov

ëzœv [dom ôvvéyu 1:95 178 152:6 1&1) Afi, 0E nul 155:9139) yégu mû aînô 1&9 EZ, 21071 6è :93 9251219910413105 70311150: [au la; ami 195 0. ô 61) 10505139 ô QX

2101:1 rôti topai: 1:61! ÛAZ 16v

’ !’ I n(www 5st 107011, ou auq 16 15m3 156211 .463, ûE nui

tô mima; (M690; 1:05 02m31&9 EZ razpayœ’vov n01! 16

’ a - I rune un; 67A tamaynwova ou7&9 à; tu?!) xéwpnw toûtov5101211. tôîl 1.671011 ôvvoîpst

Z d p B not’ cubilots. demandant0 z dû ô XG topaùg [609 ëàv

0” 193 xœgüp t9? nsgwxom’vç)151:6 ne 1&9 ABFA E 51m0;ami 1&1; AÊ, 0E sôôezâv.

V si yàg mi, 35101. petto-w s’arlvfi êloînmv. fait» à?) arpé-

npov, si ôwatôv, palÇmv. 61211411761) 05v écu 159116

2. 195] (bis) to F; con. Torellius. 12. 193 scripsi cumCOD; 10 F, nulgo. us’vrçov A, ed. Baei1., orelhns.

DE LINEIS BPIRALIBUS. 119principium autem spiralis ait 9 punctum. et descri-batur circulas, cuius centrum sil: 8, radius autem 0.4,et linea 9E in ambitum eius incidat in puncto Z.deliionstrandum, spatium comprehensum spirali ABFAEet lineis A0, (9E ad sectorem A692 eam habere ra-tionem, quam A0 X 9E -f- &EZ’ : 0A3.

Bit igitur circulus, in quo sit (1X, cuius radius qua-dratus aequalis sit A69 X 60E -I- «yEZ’, et ad centrum

eius angulus ponatur aequalis angulo ad G) posito.itague sector QX ad sectorem 0A Z eandem ratianemhabet, quam A6 x QE-f- &EzgzûA’; nam radiiquadrati banc inter se rationem habentfi) demonstma-bimus igitur, sectorem Xq aequalem esse spatio spi-rali ABFAE et lineis A6), (9E comprehenso. namsi aequalis non est, aut maior est aut miner. priasigitur, si fieri potest, maior sit. itaqae fieri potest,ut circum spatium, quod commemorauimus, figura

1) Nam sectores aimiles, sine quorum anguli aeàuales sunt,eam rationem babent, quam circuli; tum u. Eucl. Il, 2. cfr.Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 181 m. 14.

13. nous par com . F; cou. Torellius. 21. 81mm F. 23. «wF, nulgo. 27. 6th] addidi; om. F, uulgo; ost flâneur in-seruit Torellius. 28. dû] scripsi; 10:9 F, un go.

120 HEPI W.810114151101: zapiov miroita: olim! MW à; crioienttopéaw 13274654151101, 561e 16 nyypapôpevov dry-maperfora 5h49! 105 slmpêm 1091501: Mâcon, fi élût?61595151, ô QX must); 106 slqnpêm 1091m). x84»-

5 yeypéqflhn «hi, and 561D 16v repérant, à: c511 GWZGL

1è zapcysyoappévov exigu, régnons p.31! 6 GAK,guiperas 6è ô 0041. ôfilov 05v, du 1è :1891prpâma! 6117m; 51416661: 361L 105 XG topâtes. 0145100-6421; 61) et 513mm ai 101015641: 1&9 [dag 70115419 ml

10 193 8, êar’ üv 21011 162v «soupéæuw 105 GAZ 1opéog

zeaaîwz. ëv-rl dû 11mg 5131985411 193 la,» 0?le 15:59-

ezoæiaou, ai àzô 1013 0 21011 du flua: 11011141101560,du éon (14571614: ph) à 81, fluxion! 6è à 9E. à":6è and 52Mo". 568517411. 193 phi aurifiez rugi üao’dôvsg

15 tannin), 155 6è 415751951 [au &ÂÂa’Âatç 15 and a; pe-

ylærçz, aï du?) 1017 0 :1011 143w 1013 .402 topémg Item.-çéçauw 11011113106641; 103919 10?; 82, aux). àvayeyça-

quina ôpoz’oz 1041.5259 «i116 mdâv «i116 1s 1&1: fait:

«indium 1e aux! 1g": (1576619: aux), du?) 1&1; 14,5 la?20 àllélav ânéesxovaâ’v, (in?) 6è 1&9 0E 06:; âm-

7eyçoîvr1m. muées 015v cf du?) 1&1: [dab «511.021.414: 1s au!

197 44575619: 1101i 10139 zope’ag 10139 aïno 1&1! 14,5 1’69)

éliminai ônepaxovaâv zonois 105 aïno 1âg fluxionsmuâtes flâneur 1671m: Ëzowr, fi 1o 02:16 1&9 8A 110d

25 1è dwalupônga 16 1e 15116 1&1! A8, 8E ml 1è qu’-1ov 518’903 105 me; 107g EZ 181902761101). 561w ôë10R; (Av 1ope’eaow 1oïç 02:16 1&1: to’üv àlloîlazg 15 au!

a

6. ahanas] scripsi; autan F, nulgo. BAH ed. Bail,Torellius (qui etiam in figura H pro K habent); OAK F, unlgM

7. Élégance] scripsi; einem! F, uulgo. 8. dragonna!F, nnlgo. 9. à) ut] scripsi; ai 0m. F, nulgo. 10. 11,3]

DE LINEIS SPIRALIBUS. 121plana circumscribatur ex similibus sectoribus coin-posita, ita ut figura circumscripta spatium illud ex-cedat spatio minore, quam quanto sector QX spatiumillud excedit [prop. 23]. circumscribatur igitur, etsectorum, ex quibus figura circumscripta compositeest, maximus ait 0.4K, minimus autem QOA. ad-paret igitur, figuram circumscriptam minorem essesectore QX [p. 101 net. 1]. producantur igitur lineaeaequales angulos ad punctum (à efficientes usque eo,ut ad ambitum sectoris GAZ perueniant. sunt igiturlineae quaedam aequali spatio inter se exeedentes,quae a puncto 0 ad spiralem ductae sunt [prop. 12],quarum maxima est 8A, minima autem 0E. sedetiam aliae lineae sunt, numero une pauciores illis,magnitudine autem et inter se et maximae aequales,quae a puncto Û ad ambitum sectoris AÜZ ductaesurit, praeter 02, et in omnibus lineis, et iis, quaeinter se et maximae aequales sunt, et iis, quae aequalispatio inter se excedunt, similes sectores constructisurit, in ÜE autem nullus eonstructus est. sectoresigitur in lineis et inter se et maximae aequalibus con-structi ad sectores in lineis aequali spatio inter seexcedentibus constructos praeter sectorem in minimaconstructum minorem rationem habent, quam

(9A’ : AQ x (9E -l- «&EZ’ [prop. 11 coroll.].

sed sectoribus in lineis et inter se et maximas aequa-

scripsi; 10 F, nulgo. 13. on! F, au o. 14. and cumcom . un F, uulgo; corr. Torellius; êlaaaovc B; 51020001: ad.Baud). 15. «11.177.011; F; corr. Torellius, ut lin. 19. 17. cim-reyçcîcponw Torellius. 18. 10’181; F, nulgo. 25. 16 12]scripsi; un 1s F, vulgo. 27. 1051511619 F, uulgo. aunionsF; corr. Torellius.

122 IIEPI mm.1c; 11.575610: [vos 6 ÜAZ 100869, 10179 66 0,5716 1&1! I1’693 61.102100! ôasgsxovdâv 16 xsgzysyoappè’vov. 51101

00110: 060 110’700 510:. 6 ûAZ 100869 71011 16 715475700104051100 61731105, fi 16 101002y0wov 16 027:6 1629 6

5 7101i 16L 00110100761600; 16 1s 6716 1&1) FA, 69E ml1915101! 00’909 105 02716 1&5 ZE. 611 6è lôyo’u Ëzu l

ânô 10’25- ÜA 71012 16 05077051111, 105101! 160 1.67012 51

6 âAZ 100569 71011 1611 XI: 10080. 05’015 ibidemémia) 6 KG toyeùg 101": nsgzyeygauus’vov 6175500110

10 01’571 5010 65’, 021,16: peignai. 06x 6200: gonfla; 6 X1050565 mitan! 1017 nEQLsxops’vov xœçtov 6716 1e 16

ABI’AE élimas and 10711 AQ, QE 068516211.01566 101!va 67.611071). 50’102 yào 310200030, aux) 1

d’un 16; «6102 ua1sdusvé08œ. 7102.1"! 66 6011001611 écu

dg 16 10005011 Ëyygoîuval, dxfifll

571157156012 ëg 65min"! 1ops’0r

0077055050011, 65’010 16 013072053101

107011011 0&7sz 5171161: 1015 à:

700107511109 01600510; 510mmi) 022.13(c)) 6715953501, 16 «616 101

ploc; 1017 X0. 10105073. L37-7sy002tpn9m 06v, ami 50’100 1030

100550212, 5g 060 607705151421. 16

êyyeyçapps’vov exigu, Méytdfoç

40611 6 (9BH, 451.611.6103 666OQE. 677.100 06v, 61L 16 Ey-yeyçapue’vov dlfiycx [1,51260 3cm

1013 X Q 105052209. 7106101) 061: M5

nues 700100002 195 [097 021102111111 6715081015000, ont 02716101.!

à. «20078700005001 «pipa Torellius. 5. 16 15] 1m n F-8. Xq] X F; corr. Torellius, ut lin. 9. 10. sana par camp.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 123libus constructis aequalis est sector GAZ, iis autem,qui in lineis aequali spatio inter se excedentibua con-structi sunt, [figura] circumscripta. itaque sector 0A Zad figuram circumscriptam minorem rationem habet,quam QA’ : ûA X âE -l- &ZE’. est autem

QA” : (91 X 0E 4- &ZE’ -: ÛAZ : XQ.quai-e sector XQ minor est figura. circumscripta [Eucl.V, 10]. sed minot non est, uerum maior. itaguesector X q maior non erit spatio comprehenso spiraliABFAE et lineis Aâ, 0E.

sed ne minor quidem est. ait enim minor, et ceteraeadem comparentur. rursus igitur fieri potest, ut spatioinscribatur figura plana ex similibus sectoribus com-posita, ita ut spatium, quod commemorauimus, figuraminscriptam excedat spatio minore, quam quanto idemspatium sectorem Xq excedit [prop. 23 coroll.]. inscri-batur igitur, et sectorum, ex quibus figura. inscripta com-posita est, maximus ait üBH, minimus autem 00E.adparet igitur, figuram inscriptam maiorem esse sec-tore XQ [p. 105 not. 1]. rursus igitur lineae quaedamsuint aequali spatio inter se excedentes, quae a puncto

F, nulgo. 13. 1’ F. 7&9, il ôvvurôv Torellius. 19. clun-cor FI; corr. B*. 24. pipa-mg] scripsi; gantant F, nulgo26. CEP F, nulgo* (etiam in figura. F pro H); 08K ed.Baail.; corr. Torellius. Éloi mais] scripsi; 514106091! F, uulgo.26. 8E F. nutriment à com BD. 28. Xq] scripsi; X F,unlgo. 29. aï] 0m. F; corr. Torellius.

5

10

15

20

25

124 man EAIKRN.â 11011 1&1: (57.an uoummoüaaz, oh; Ëfitt 115741610; phûA, 3101166111 6è à 0E. ëv1l 6è mû 5110:1 9:90:54;ai (in?) 101": û 11012 1&1! 1013 (9A2 toye’mg «agaçâtes

no1umt1o156m xmplç 107g ÊA 195 M11 11111351. (tu? élu661159 1&1! 1115 [691 (311.412.0111 ôzepezovdâv, 197 6è ç

rifla, âÂÂdÂaLç 15 nul 1532 peyltnç [6111, and âvayeyg

(paî1m (in?) 5210261019 6110601, 1014559, obtô 6è 1&9 (1.571561

1&1: 195 1’691 151.1451011: 15115951006651: 01511 âvaysyQDÉM4

05 1011559 0151; 05 àatô 1&1: 360711 Étudiant; TE ami 1(15715611; 11011 10139 10115019 10139 (in?) 1&1; 193 la? 021.2.

la": ùnspsxovaâv 107919 105 (in?) 107g parfums pslçm1.67011 5101111, fi 1è 1519d7awo11 1è (in?) 1&9 0.4 :101è 13116 1&1: (9A, ËE aux! 1è 1911011 pépog 105 (in1&9 EZ. 15615 nul 6 ÛAZ 10115139 1101), 1è âyysyçaq116’101: spina pagaya 167011 fixez, 11’115? 11011 16v X G 101111

03’618 11.512131) ô XQ topeûç 101? ëyysypappe’vov fixé!"

1:09. 01’511 561L 65’, aillât êÂéaawv. 015x 59a 56111: 015d

êÂoîwav ô XQ 1oyeùg 101") «59151011151101; 1009501) in!

1a 1&9 ABFAE 3111109 and, 1&1: A8, 0E 515081071lacs à’ga.

xÇ’.

T451: zmplm: 11511 nagzaxops’vaw 1511:6 15 1&1; élision

au), 1&1! sôôszâv 1&1: à) 19? 11.5914110951 16 ph) 19t1011017 ôsv1e’gov ôLuÂâdaôv 6’611, 1è 6è 151119101) 19111M-

61011, 1è 6è 1151171101; 1e19a1110î6w11, mal de! 1è 15116545-

1Io11 110116: 10139 êgfig âgzôpoùg noÂÂazÂdGLov 1015 au»

1. «w F, nulgo. 3. ai] 0m. F; com Torellius. 4. pariF; con. Torellius. 5. 1&1] nov F; corr. Torellius. 195]addidi cum V(?); 0m. F, nulgo. 6. avasyçuanm F, unlgo:évuyeyçqîqum Torellius. 7. tous"; F. un payant" F;con. B. 8. 1&1! 193] 1&1: 0m. F; corr. Torellius; 161 B

DE LINEIS SPIRALIBUS. 1250 ad spiralem ductae sunt [prop. 12], quarum maximaest 9A, minima autem ûE. sed aliae quoque lineaesunt, quae a. 9 ad ambitum sectoris QA Z ductae sunt,praeter lineam GA, numero une pauciores iis, quaeaequali spatio inter se excedunt, magnitudine autemet inter se et maximae aequales, et in omnibus simi-les sectores constructi sunt, in maxima autem eamm,quae aequali spatio inter se excedunt, nullus construc-tus est. sectores igitur in lineis et inter se et maxi-mae aequalibus constructi ad sectores in lineis aequalispatio inter se excedentibus constructos praeter sec-torem in maxima constructum maiorem rationem ha-bent, quam ÊA’:ÊAX ÛE-i- &EZ’ [prop. 11 co-

roll.]. quare etiam sector ÛA Z ad figuram inscriptammaiorem ratianem habet quam ad sectorem X Q. quamsector XQ maior est figura inscripta. [Eucl. V, 10].sed maior non est, uerum minor. itaque sector XQne minor quidem est spatio spirali ABFAE et lineisA0, ûE comprehenso. itaque aequalis est.

XXVII.

Spatiorum comprehensorum spiralibus et lineis,quae in circumactione sunt, tertium duplo mains estsecundo, quartum nero triple mains, quintum neroquadruplo maius, et semper deinceps insequens spa-tium toties multiplex erit, quam spatium secundum,

manu 2. 10. 1:53] 0m. F; corr. B. l3. 9E] AE F; corr. B.*14. 45112] "un per comp. F; corr. B0. 15. nous pet camp.

F; con. Torellius. X q] scri si cum Cr; X F, unlgo, ut lin. 16,18- 20. un: F; con. Tare lins. 21. lai F. 23. miroir]1 F, et sic semper in hac propositione, nisi quod interdumacribitur u’ (p. 126 lin. 7).

10

26

126 man 1111111211.15’000 10101:011, 10 0è 1015101 10105011 3111011 116’00g in!

1013 6511150011.

561m à 10qu9: 311g 5’11 1: 11? 11010191 150191001275701111116310 11a). 311 11? 651115001 1111i. 511 rats êxopêmug

01106111601311. 56101 6è 510101 113v 1&9 3.111109 10 8 sandow,

à ôè 8E 1130511: à0xà 151g 116019100159 11511 6è 11001101!

561m 10 110.11 K 10 10151011, 10 6è A 10 6615150011, 10 ôë M

10 1051011, 10 0è N 10 11511101011, 10 0è E 10 népmov.ÛGLMê’W, 0’11 10 11h K 11005011 3111011 115’00g ëerl 1013

510141100, 10 6è 4M 61111131011 1013 A, 10 6è N 101-xlédwv 106 A, 1111i 11511 êâfig (de! 10 511611511011 110.11.11.

11M61011 1013 A 110110 1009 êgfig â0u911015ç.

6’11. pèv 01511 10 K 5111011 111’009 3111?. 101T A, 15131

6511111151121. émet 10 K A 11005011 11011 1011 681518001!11151111011 656551111111 1013101

51011 1011 2.07011, 311 51111è Ç’ 11013 101 Lfi’, 0 13è

651515009 111511109 1101:1 1011

110151011 11151111011, à; 15’

11011 1è y" 6111011 7&0êG1111’ ô 0è 11015109 1115-

uÂog 1101i 10 K 110010115151, 1.09 71’ 1101?, a’, 5111011

30a 1’611 10 K 1101011011 1013 A. 11021111 0è un! 10K AM 10705011 1101B 1011 1051011 1115111011 ôeôsixnu 511

1051011 5151, 1011 167011, 311 5151, 00111111016150011 101:1571:0 F0, 08 110d 10 1051011 115’009 1013 1511:0 1&g F B

3. 11001151115111» F. 5. dé] addidi; 0m. F, unlgo. 10. N1011110201011] H PH FC”. 11.110111111110101011F. 16. :1011] scripsiâ

5.15111 F, nnlgo. 17. 11009 par comp. F; corr. Tore lins, utlin. 23. 28. 5111011] s’ FBCO; au! A; 1’001 ed. Basil., unlgo.24. A] A F; corr. A. 27. F93 F, uulgo.

DE LINEIS SPŒALIBUS. 127quoties indicant numeri ordine saquentes, primumautem spatium sexta pars est secundi.

spiralis proposita in prima, secunda, reliquisquequotlibet circumactionibus descripta ait. principiumautem spiralis ait punctum 0, linea autem 6E prin-cipium circumactionis. spatial-nm autem primum aitK, secundum A, tertium 1M, quartum N, quintum E.demonstrandum, spatium K sextam pattern esse spatiisequentis [A], spatium autem M duplo mains spatioA, spatium autem N tripla mains spatio A, et reli-quorum spatiorum semper deineeps insequens totiesmultiplex esse, quam spatium A, quoties indicent nu-meri ordine sequentes.

iam spatium K sextam partem esse spatii A, hocmodo demonstramus. quoniam demonstratum est, spa.-tium K 4- A ad secundum circulum eam habere ra-tionem, quam 7: 12 [prop. 2.5], secundus autem cir-culas ad primum circulum eam ratianem habet, quam12:3 (hoc enim manifestum est) 1), primus autem cir-culus ad spatium K eam ratianem habet, quam 3: 1[prop. 24], erit igitur spatium K sexta pars spatii A?)rursus autem demonstratum est, etiam spatium

K -f- 11 -l- Mad tertium circulum eam habere rationem, quam

Fû X (9B 4- «àI’B’ : Fûg [prop. 25 coroll.];

1) Ex Eucl. X11, 2; nam 98 a 20A.2) Sit enim circulus primas 0,, secundus 0, cett. erit:

K-l-A : 0, :- 7 :12, C,l : C1 a: 12: 3; inde ôL’ tout: (Eucl. V,22: K-f-A:C’,:7:3. est autem C,:K::3:1; itaqae6: hou: K-I-A:K:7:l; siueK-i-A:7K,A :ôK.

128 IIEPI 2mn.1519aym’vov 1m11 16 à116 Fû 1s1péyawov. 6 6619(109111321109 5st 11016 16v 6515189011 40611011, 31: 16 02:16 15;

F0 15190270011011 :1012 16 6916 107g 9B. 6 66 651515909

2:62:10; au 91011 16 K11 Implov, 61: 16 (5116 88 re-6 zpdywvov 1m12 1è dwampüepa 16 1s 61:6 1&1: B8,

QA un! 16 195101: 446’909 1017 (5916 1&9 AB re1payoîvov.

and, 16 KAM 0’594: 21011 16 K11 1.6701! flet, 31! 16 6:61&1; Fû, ûB ami 16 191’101: (46’903 1013 6716 1&9 F B

11011 16 6116 15cv 3&9, âA au), 16 1961011 M909 101710 6116 1&3 AB 1e1oayaîvov. 10:51:25 66 5151 91012 élida

1.67011, 611 13’ :1011 1è Ç’. 45615 ml 16 KAM 1010107

11013 16 AK zmçlov 106101! ëzeL 161: 1.67011, 31: 10’

1101?. 1è Ç’. «1316 06v 16 M 71012 16 K11 1.6701: 51:4,

31: 1è L,B’ 1101?, 16: Ç’. 16 66 K11 1101?, 16 A 16709

16 515L, 31! 1è Ç’ 11012 16: s”. 6fiÂov 06v, au ôanÂddLôv

ému 16 M 105 A. 51L 6è 1è ënâpwa 16v 10311 Eëfiç

6910510511 1.6701; 515L, ôezxôflas’taz. 16 7&9 KAMNE11012 16v 5115161012, 06 (561M: ëu 106 xa’wçov à QE, 106-

101! 5151 16v 167011, 31: 5st awayqaôueov 10’ 1s 61680 102v E6, Q4 zepzsxôusvov and 16 19151011 M909 1017

6216 1&9 4E 1e1payœ’vov 71012 16 011:6 mis 6E 15196-

7mv0v. ô 66 51151409, 015 561w 534.105 1501000 à 8E,:1011 16v 9115211011, 06 661w à; 105 ue’v1pov à 04, 1013-

101: 5x51, 16v 1.67011, 31; 16 02:16 1&9 9E 1e1péymov26 21:01), 16 ànô 1&9 Q4 151gé7œvov. 6 6è adulas, m”

561w 3x 105 ua’wçov à .418, 11013 16 K A MN 109M105101: 5151 16v 16701:, 611 16 02:16 142c; (9.41 1519670-

2. a); F9 F; corr. Torellius. 7. and 16 KAM in us-?ne ad 1013 &116 1&9 AB 15190: 061mo lin. 10 0m. F, nulgo, etortasae abesse ponant; supp Commandinus (103v pro tu?!

lin. 9; corr. Torellius), nia qnod omisit 12160:7de lin. 10.qnod ipse addidi. 10. zoos per camp. F; con. Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 129circulas autem tartina ad secundum eam rationem ha-bet, quam FQ’ : QB’ [Eucl. XII, 2]; secundus autemcirculus ad spatium K -]- A eam rationem habet, quamB63: 30 X 04 4- èAB’ [prop. 25]; erit igitur etiam

K .1- 11 4L- M: K 4- A: r0 x 03 4- 11133:130 x 0.4 4- 1.432, 1)

h. e. : 19 : 7.2) quare etiamK-f-A-I-M:A-]-K-----19:7.

ergo M: K 4- A : 12: 7 [Eucl. V, 17]. sedI K -]- 4 : A : 7 : 6.

[ergo M : A : 12 : 6 (Eucl. V, 22)]. quare M : 24.iam demonstrabimus, spatia insequentia cas ratio-

nes habere, quas numeri deineeps ordine sequentes.nom spatium K 4- 4 -]- M4- N -]- E ad circulum,cuius radius est linea 0E, eam rationem habet, quamE0 x 84 -I- 1 4E’: ÛE” [prop. 25 coroll.]. circuluaautem, cuius radius est gE, ad circulum, cuius radiusest 84, eam rationem habet, quam QE’ : (94’ [Eucl.

XII, 2]. circulus autem, cuius radius est 4g, adspatium K -I- 4 -I- M -]- N eam rationem habet, quam

1) Nam K-l-A-i-MzC’, :POXOB-I-âPB’: FG’,Cs : C, : FO’ : 03’, h. e.(Euc1. V, 22) K-I- A -I- M: C,

z F0 X 88 -I- «&FB’: 98’;sed C, :K-I-A1QB’:BGXOA-I-âAB3; tutu u. Eucl. V, 22.

2) Nam r0:39,4, 93:29.4, FB---:AB:GA (p.109net. 1); quam F9 x 93 -I- QFB’ : B0 X 8A -I- AB’a 69A9-i- un! z MAN-.3911?! a 199A’ : 76A a 19 : 7.

allyle: FBCO. 15. 06v 511.] ou 0m: utrumque per camp: F.17: HKA, MN :51 F. 20. nov pet camp. F; corr. Torelhua.26. la] scripsi; duo F, uulgo.

Archimodel, cd. Boiborg. n. . 9

130 IIEPI EAIKszN.12011 7101?, 1è ovacp61spœ 16 1e 6216 1&1! (94, 0P ou16 1951012 (1.6903 106 02116 1&9 411 1519057165101). x016 KAMNE 6590; 71011 16 KAMN 2.67011 5151, 311 1:6:16 1&1: 0E, û4 nul 16 1951011 yéyog 101") 02216 102

5 4E 71012 16 6116 1&1; 4(5), (91” and 16 191’101) p.690

105 6116 1&9 4P. 61.516111 ml 16 E 1639501: 71011 1KAMN 1.6704: 5151, 312 à 61159016 105 15 6116 E6(94 51516: 101"; 196101; pégases 1015 6116 1&9 E4 aux), 10:6216 107v 46), âI’ 11516: 105 191’100 515’950; 106 «in.

10 1&9 41” :1011! 1s 16 6716 1&1! 48, QI" nul 16 191’101415’909 1017 02716 1&5; 41”. 611896151 6è 16: dvvapqnôragc

11511 ovvapcpon’gmv, 1,5 and 16 6216 1&1) EÜ, Q4 1m6716 1&1 4Q, 01”. 61189:5st 66 14,5 616 10711 43, FE16 E 69a 71016 16 K4 MN 1.67011 glu, 311 16 6116 1&1

15 (’94, TE 71011 16 6:16 1&1; 4Q, 6H” aux), 16 191’101.

115’903 101? 02:16 1&9 F4 1szgayoôvov. 616: 66 105v a6-

10512 654317661011. nul 16 N 11016 16 KAM 10096011 1.6-yov 5x01» 10151011, 611 16 15716 1&1: 01”, B4 :1012 1661210169361590: 16 1s 6716 F69, QB aux! 16 1951011 (15’909

20 105 6216 FB 1a19œyoôvov. 16 N 6590: 71011 16 K AMN

r

14696011 1051011 au 1611 Âôyov, 61; 16 6116 QI’, B411016 16 6716 211, B4 and 16 6216 Q1", 8B mû 161961011 65’905- 106 6:16 107g FB [and 611027105111] 10:51:21

4. 1&1] 10W F; con. Torellius, ut lin. 5, 10, 13 (3115.), 14 Stlin. 12, 13, 15 (GOmp. F). 5. 49] A9 FD. 7. n 011800111 F;corr. Torellius. 8. sçovç F, nulfo. nul roi 6116 . . ad1&9 41” lin. 10 0m. ; com Torel ius, niai qnod 1&1 lin. 9omisit. 10. 11011] nooc F; corr. Torellius. 12. E94 F;con. Torellius. 13. 401" F; con. Torellius. 14. au 16]av n F; con. A; 61 15 16 B. 16. un F; corr. Torellius.19. 16 1s] 1m 1E F. F03 F, nulgo. 22. 16 6116 9P, BJnui] addidi; 0m. F; post FB lin. 23 addunt Commandinus etTorellius: nul 16 61:6 9P, B4. 61:6] 0m. F; corr. B. 23-1ml 616116741] deleo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 13164’ :6011 x ÛI’4- à AF’ [prop. 25 coroll.]. quam

erit etiamK-l-A-Æ-M-l-N-I-Edf-I-A-i-M-IL-N

:GEXQA4-âAE’:Aé)X0F-I-âAI”.1)

et dirimendo [Eucl. V, 17] erit -E:K-i-A-l-M-I-N::EGXQA4-ëEA’

ë-(dQXQP-I-àdf’):48x0F-l-gAF’.sed EQXQA-f-iEA’-:-(AÛX (91" -I- à AF’)

:E XâA-:-A0x8F[quia Ed : AF] : 410 X FE. erit ’igiturEzK-I-A-I-M-i-Naûdxl’EzzIGXÛF-I-èfd’.et eadem ratione demonstrabimus, esseNzK-f-A-I-MvgétDFXdefûxûB-f-QI’B’.erit igitur NzK-i-A-i-M-I-N:ûFXBA:(9Fx8B4-«yFB3-I-QI’XB49)

sed êI’xBA-I-QFxûB uyFB’ .48 x QF-f- à; Fd’ [nam FA s: FB].

1) Est enimK-l-A-j-M-F N-I-E:C,:-E0x94-f-àdE’:9E’

et a, z C4 à 9E. : 94 ; Il de Eucl. V, 22):K4-A-l-M-i-N-I-E: 0.:E9x044- MEIÆÆ;sed 0.:K-1- A -l- M-[- N: 04’:94x ÛF-Fwfidf”; tum

u. Eucl. V, 22. 2) Cam aitN: K, A4v-M: GFde : Fax axa-iræ,

erit etiam avénalwK-FA-f-MrN: POXOB-i-gFB’:9Fde,

et uwôévu

K4-A-l-M-FN:N-FaxaB-HFBH-eFxBAÆFde,et ârdnalwN:K-1-A-q-M4-N:9rx34:rox934-5FB’-l-9rxç4.Hinc simul intellegitur, ineptum esse additamentum ml vives-nalw lin. 23; nam proportio N : K -I- A -I- M -l- N ipse. ava-ualw orta. est. his uerbis deletis hoc quoque adipiscimur, utuerbum mâta lin. 23 habeat, quo apte referatur(se. 01” x Bd 4- 91’v x 9B -I- âFB’, proxime antecedens). .

9*

132 nm max.6è Ida Étui 195 1s 6:6 1&1! 48, 8P and 195 191’191péon 1013 1216 15g F4 1519ayvov. 3:51 061! 16 ph!E lapin :011 16 KAAWN 106101! 5151 161! Â6yov, 31!16 6:6 1&1! 84, TE :1011 1è awupcpôupa 16 15

5 61:6 1&1! 48, 8P au! 16 101’101! 115’909 101? 616 1&9

F4 taoaïaîvov, 16 66 KAJIN :011 16 N, 31! 16swaptpônpa 16 1e 616 1&1! 48, 81" and 16 191’101!116909 1013 6216 1&3 F4 151967051101! ml 16 1316 1&1!91”, 4B, Élu (791: and 16 E 1016 16 N 161! 116161! 167w,

10 31! 16 15116 1&1! 84, TE 31011. 16 15116 1&1! 8P, 4B.16 66 631:6 1&1! 84, TE 1016 16 151:6 1&1! 8P, 4B161! 4215161! 51.51 167w, 61! à 84 :011 16v 81”, 31151

faon fini ai I’E, B4. 651.01! 06v, 511 nui 16 5 1101116 N 1017101! 51a, 161! 116701, 31! à 84 71011 1&1! 81".

15 (mottas 66 6511611651411 and 16 N :1011 16 .M 106-101! 5101! 161! 1.6701, 61! à 8P and 161! 8B, and. 16.M 91011 16 A, 31! à B8 71011 161! 48. ai 66 [E8]48, F8, 88, 49 56651211 161! 1151! êâfig âpzôpoîi!1.6701! 5101m.

20 mf.El’ au 6’111 1&9 37.11109 1&9 à! 6110190131! 115016001;

75791411151119 660 cayeux 1119319501111 p.6 1è 115211216,021:6 66 1151! 111070511001! 611116km! ënzçsvzôe’œwz 56654211

8’712 1&1! 69161! 1&4; 5111109, ml 1éme? ph! 1g? 6011i25 1&9 5111109, 6111161111161an1 66 1oîg 6:16 1151! 6111151417

En! 1&1! 029161! 1&9 51.11109 11611101 yçams’mvn, 16 71591-

10:qu61! 1019101! 15716 1a 162g pen’Çovog 1&1! negupagszâv

3. nous par comp. F; con. Torellius. 4. 16] (SIL) scripli;1m F..uulgo. 5. 481" F, nulgo. 6. 16 65’] tu 61 F; con.

.Torelhus. 7. 4 01” F, unlgo. 8. 16 6:6] 1a un F; con.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 133iam quoniamE:K-f-A 4- M-I- N:(’B4XI’E: 48X8F-i- 4,121!etK-l-4-l- M-I-N:N:: AQxQF-HI’ÆÆPXAB[Eucl. V, 7 1169161111], erit igitur etiam [Eucl. V, 22]

IE:N:O4XFE:(9I’X4B:04:(9F(quoniam TE sa B4). adparet igitur, esse

El : N : 84 : (91".et eodem modo demonstrabimus, esse etiam

N:M:QF:QB,M:A-:BÛ:AÛ.sed lineae 40, F8, 89, 4G) eam rationem habent,quam numeri ordine segmentes. 1)

XXVIII.

Si in spirali qualibet’) circumactione descriptaduo puncta sumuntur, quae termini eius non sunt,et a punctis [ita] sumptis ad principium spiralislineae ducuntur, et circuli describuntur, quorum cen-trum est principium spiralis, radii autem lineae apunctis ad principium spiralis ductae, spatium com-

1) Erit igiturE:N:M:Aa 94:81": 6B:QA. bineautem intellegitur, lineam E0 male additam esse lin. 17. ne-que enim ei ullum spatium respondet.

2) Propositio de omni spirali uera. est, sed ab Archimedeîle spirali une. circumectione descripta. sole. demonstratur; quare010191651! lin. 21 suspectum est; cfr. p. 12, 12.

B. 1&1] 1a F; con. ABD. 10. 16 15116 1&1! 94, FE «ourepetuntur in FVA. 11. (.943 8.4 F; corr. manus 1. 17.un] 101! F; con. B. E8] de eo. 19. excava F. 20. un’]0m. F. 21. 611010101711 p.19? Nizzius. 22. lamûœwz F uulgo.23. 51115211060111] soupai; 11141111001611 F, uulgo; 61:1th-0151m Torellius. 25. manqué-nua] scripsi; 61120111111161 F0;ôtanfipau uulgo; 61050117116601. Torellius. camionna] sic F.26. 1a and F; corr. Torellius.

10

15

20

134 HEPI EAIKszN.1&1! 11.510136 1&1! 56651511! ml 1&9 511.1109 1&3 115105!1&1! a61&1! 51365161! mû 1&9 566511019 151g 61151136556114;

1013101! 886L 161! 16701! 11012 16 01110101011961! 10101501! 6116

1s 1&9 6102060701; 11500925055019 110:2 1&9 01151629 6’11on

nul 1&9 5151955119 1&9 61120070006001; 16 11600110: 0:61:20,61! à 6’11 101"! ue’wgov 1013 6102060705- 111511101: 11.518: 660

19011110095031! 1&9 157156901559, a; 671695760 à à; 1013 név-

1çov 1017 (Latëovog 11611101! 1&9 à; 106 11671901! 10C616060709 11611101! 7101?. 1&1! à: 101"! 111501001: 106 6166-601109 11611101! 118161 5’769 1001011100501! 1&9 aôtâg 61m»

01629.

60’101 E102, à,” &g à 4BF4, à! mg? 1150102006? 7é-

700111115’1101, 1101?. 1810292601 61’ 0161079 6150 601115101 1è A.

F, 1561s 16 8 6011151701! 0297611! 551151! 1&1; 3101109. un!

0211:6 1151! A, F êusÇaszôœaav 6111 16 8. 1m). même?115 8, 610161010021560’1 66 1oi’g 84, 8P 11611101. 75796111-

00100:0. 651111607, 51L 16 E 7109501! 1101?. 16 H 161!0113161! 6’st 167cv, 61! 6st 60701091615909 61’ 15 48

ml 660 1001011169001 1&g H4 11016 awaycpôngov 16115 A8 11016 31! 1901011069001! 1&9 H A.

16 7619 70001501! 16 N II 11012 161! HF8 1011601 68-660111010 1013101! 6x01! 161! 167011, 61! 6’st 16 1s 15116 1&1!

H8, A8 1101?. 16 190’101! 115’009 1013 0211:6 1&g 4H15101-

1. 1&1! 11510156] scripai; 1019 10610151; FI uulgo. 2. 511611;-Ouuc F. 3. 1150110193067? 6. 6102000109 0m. F; 00m To:telline. 7. 011500151 F. 9. «01). 1&1! 11 1:01"! 115’9th un6102000009 1161110131] 0m. F; con. ed. Basil. (1106;; 1121! pro ami1021!, quad con. v orellius). 10. 1011171000100 F. 12. lu] ad-didi; 0m. F, 011130. 16. 1051 1017 per comp. F. 51561111la! ed. Basi1., Torellius (non B *). 16. 195] 10 F. 18. 1;]addidi; 0m. F, nulgo. 48] H8 FBCO; 8A nulgo, ut 1m.20. 19. 101.1 ou: FCO. HA] H FBCO. 20. HA] MlFBCO 22. 1111!] 3*, Nizzius; 51001! FCOV; 61511! nulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 135prehensum maiore eorum arcuum, qui sunt interlineae, et spirali inter easdem lineas posita et linea.productal) eam habebit ratianem ad spatium com-prehensum ârcu minore et endem spirali et linea. ter-minas eorum iungenti, quam radius circuli minoriscum duabus partibus excessus, quo radius circuli ma.-ioris radium circuli minoris excedit, ad .radium cir-culi minoris cum tertia. parte eiusdem excessus.

ait spiralis, in qua ait ABFA, une. circumactionedescripta, et sumuntur in ea. duo puncta A, 1”, ita. utpunctum (,7) principium ait spiralis. et a punctis A, Fad punctum (9 [lineae] ducantur. et de.scribantur cir-culi, quorum centrum sit 0, radii autem 91, (91". de-monstrandum, esse E: Un: 1484- âHAzAÛ-F «&HA.

1mm demonstratum est, esse N -I- H : HI’Q

r: H0 x de? 4- &AH’ : HW [prop. 26].

1) Indicandum erat, radium circuli minoris ad ambitumcucnh mulons producendum esse.

5

10

15

20

25

136 IIEPI EMKQN.y12611011 1101i 16 0211:6 1&9 H69 1s1goîyawov. 01-616 51’901 16

E 1101i 16 N11 105101) 5st 1611 2.67011, 61) 5st 16 6161&1; HA, AH 115113: 6150 19110111095111: 1013 02116 1&3 HA

1s19aynîvov 11011 1:6: 60101119161590: 16 1a 15116 1&1: A8,

0H ami 1:6 190101; 115’909 106 0211:6 1&9 HA. ml âne! 16

N17 zmgtov 1101:1 161: N115 1051.61: 1061011 5st 1612 2.67011,

312 6151 awapqa61sgov.16 1s 15116 10711 69A, ûH 1111116191’101; 115’903 1015 02116 1079 HA 1101?, 1:6 02116 1&9 8H

15190272101011, 6 66 N 17 E 1011563 11011 1611 N 1011612 1013-

1012 fixez 1611 167’011, 311 16 02116 162g 0H 1101i 16 0211:6 1&5

ÛA, 5251 ami 16 N11 papion: 1101), 161; N 1611 011316111167011, 311 51a. avvawôngov 16 1e 1511:6 63A, 0H ml16 191’101! pégog 106 02116 1&1; HA 11011 16 02116 6A.

16 âge: N11 11016 16 H 110’701: 5151, 311 dwupcpônpov

16 1e 6116 16211 Hâ, QA ami 1:6 195101: 515’909 1017 05116

1&9 HA 1101i dvvaytpôngov 16 1a 1511:6 1&1; HA, 8Aaux! 16 1961011 ys’gog 1017 12116 1&9 HA 15190171611011.

étal 061: 16 E 10096011 11012 16 N17 10131011 5151 1611.67011, 611 6x51 avvœmpôngov 16 1s 15116 (9A, AH and6’60 1911011169111 1013 à116 1&9 HA 15190171611011 1101i 1è

dvvapqaônga 16 1s 1511:6 1&1: HGD, QA 120d 16 191’109

115’909 1013 0’1116 1&5 HA, 16 66 N II 75139501: 11:01! 16 II

10131011 ëzst 1611 Âôyov, 311 1:6: 60101119161590: 16 1e 15116

1&1: H9, ÜA and, 16 19(1011 118’909 1017 02116 1&9 HA

1519117161101: 11012 awauqaôngov 16 1a 15116 1&1; HA.A6) and 16 191’101: ps’gog 1013 02116 162; HA 15190176-

11011, 5251 ml 1:6 E 1101i 16 H 105101; 161: 2.67011, 5V

1. 1119 F; corr. Torellius. 3. OAH F, uulgo; similiterlin. 4. 6. NUE] NHE FD; NE unlgo; con. Torellius. 7.1&1] 111w par camp. F; corr. Torellius. 8. 1&9] tau par comp.F. 9. NHE FV. 11. N 101160: B, ed. Basîl., Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 137quam erit’)

E:N-i-]I:üAxAH-I-&HAzzAGXÛH-i-àHA’.et quoniam estN-i- 11: N-l-H-I- EnûAx QH-f- 131142:01:13,et N-l- 114- E:N: 6H2 : ÜA’,’) erit igitur

N-f- II: NeâAXQH-i- âHAzzûAz [Eucl. V, 22].itaqueN-I-II:]I::H0X 3A -i- àHAËHAXûA-I-JgHA’P)iam quoniam est:1"qu- H:(9AxAH-l- çHdîzHexeA 4- iHA’et

N4-H:H:H8x&A-f-&HA’: HAXAÛ-I-JgHA’,

l). 151021101111: HFO: N-I- 11: HO*:HGXA0-Ç-&AH’;unde 61816711.:E:N4-H: He’1(Heer-HAH*): Heer-HAH’.sed HO’ 4.- (HQ x A9 -l- àAH’):IIA’-l-AG’-i-2H XAe-æHAer-z-Aeî-z-Mm

(Eucl. 11, 4) :HAx 441m.2) Zeîtschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 181 un 14. cfr.

p. 119 not. 1.3) 61401010511101"; (Eucl. V def. 17) erit

Nâæ-H:H:04x9H4-1HÆ:eAer-quie 94’.se erit9,4 x OH-I-æHA’e 9.4” :- an(0H-:- 0104-1111:!

:- 9A x HA 4- Hua

Figura. in F panna aliter descripta. est, numeris additis. 14.N11 1mm ed. Basil., Torellius. 1101i] 119° F; con. Torel-lius. HA F. «11101119701890; F; corr. B. 15. H 9AF, nulgo; s1militer lin. 19, 21, 24, 25. 16. HA] (prias) MA F.

110115] 0m. F;’corr. B. 9A 9E FV. 21. 11116 1&1]mon: F. 27. E 1109101 ad. Bai ., Torellius.

10

138 HEPI EAIKSàN.515L 60110111916159011 16 1:5 15116 1&1; HA, HA 1101i, 61191101116910: 1015 02116 1&9 HA 1101i 60110111112615901! 115 15116 10’211 (9A, HA ami 16 191’101; 115’909 1015 021

1&9 HA. 16 65 60110111112615901 16 15 15116 10’211 ÛA, H

1101i 6150 1911011169101 1015 05116 1079 HA 1101i 611110111.th

159011 16 15 15116 10’211 (9A, HA 1101i 16 191’101: 11.591

1015 0511:6 1&9 HA 151901ym’vov 10151012 5’151 161: 1.670-

61! 515L 6wœ111p015’91x (ï 15 0A 1101i 6150 191101116910: 107

HA 7101i dwapqao1é90w 10211 15 0A ami 16 191510115’909 1079 HA. 6132.01; 01511, (5’11 1101i 16 [il zœ9lfov 1101

16 II xœ9iov 10151011 5’151 1611 167011, 61! fivvaptpon’e

61’ 1:5 HA 1101i 6150 1911011169101 1&9 HA 1101i dwap92615901: 10212 15 (9A nui 16 191’101: (15’909 1&9 HA.

1. 8A] 9H F, ut lin. 3. 4. 9A].6H.FV, ut lin. E9, 12, 13. 5. avvapcpo15901 F, uulgo. 6. 6A, HA] QHA Fcorr. A. 11. Il] scripsi; N F, uulgo. 12. avvap1p015’9av

13. 15] addidi, 0m. F, uulgo. In fine Apzmnôovç 11591. 51.1110w

DE LINEIS SPIRALIBUS. 139erit etiam [Eucl. V, 22]

E:II:ûAxAH-l-QLHA2:HAXAQ-f-«yHA’.sed erit

0A xHA 4- êHA’ : 04 x HA -i- âHÀ’

:-- (9A -f- &HA : (9A -1- èHA.

adparet igitur, esse etiam

E:H:âA-f-âHA:QA-i-âHA.

DE PLAN ORUM AEQUILIBRIIS.LIBRI II.

’Eamrs’ôœv [Goççomoîv fi xs’vtça flaquât:

éman’dow a’.

a’. 113101511580: rôt [ou 4302950: o’mô mon: pauëœv laco-

poxeîîv, tôt 6è [du 1302950: aîné 1:61; àvlcaw paus’mv M

5 3609905151711, 021.113: éëzaw 151:1 1:6 1302909 rô 027:6 106 (m’-

Çovog (Minos.13’. si? aux [305950011 faoçgonso’wœv 0221:6 1411m pa-

m’aw azor), 16 3159011 105v 1341950311 n°1415835, (a) 1’609-

çoazeîîv, àÂÂà (5&9;va 571:1 r6 fléçog énerva, 4,5 norae’ôq.

10 7’. ôpolmg 6è ml, a! ne: aîné 106 515’901: 1:61: fia-ps’aw àtpmpaâfi n, m) idoçpomsïv, àÂÂà (Harem 431116

flâçog, àçp’ 015 013m &zpnpe’ôn.

6’. 105v [641w ml opoiaw dxnydtmv êxmæ’ôæv ËW

54050455210911 âz’ 6511.1Mo: au! 1:6; xénon niai flamba!15 ëqaœopôëu ëx’ â’MaÂa.

5’. 1:61: 6è 0212160011, ôçiolaw à); tôt xénon: 1:51!

gémi ôpolmg êo’delzaz uet’psva. épucions 6è léyopê;

www xss’aôœz «cri tôt fôpoîîa axfipaw, àq)’ 05v hl

rôts l’au; 7001115059 àyopa’vm 8151951015 flOLËOWL 703121541; Ida;

20 nazi tàç ôpoÂôyov; «11.509029.

3. 1.609901: cum comp. mu uel w F, ut lin. 5 bis. 6. mo-çonsw F, ut lin. 7. 8. n, pn’ Torellius. 9. same Î:con. Riualtus. 12. âcp’] corr. in up’ manu 1 F. Il. c1-lnla F; corr. Torellius, ut lin. 15. 15. êqzuçpâtur Torellim-17. émana] scripsi; un: per comp. F, uulîo; d’un Torel-lius. 17. léyopsv F, aulgo. 19. «omnia , nulgo.

De planorum aequilibriis sine de centris grauitatis

planorum I. II. Supponimusl), aequalia. pondera ex aequalibus

longitudinibus suspensa aequilibritatem semare, aequa-lia nero pondera ex inaequalibus longitudinibus sus-pensa. aequilibritatem non seruare, sed ad pondus emaiore longitudine suspensum uergere.

Il. Si, ponderibus e quibusdam longitudinibus sus-pensis aequilibritatem seruantibus, alteri adiiciaturaliquid, aequilibritatem ea non seruare, sed ad pondus,cui adiectum ait aliquid, uergere.

HI. Eodem modo si ab altero pondere auferaturaliquid, en. aequilibritatem non seruare, sed ad pondus,a quo nihil ablatum sit, uergere.

N. Figuris planis et aequalibus et similibus con-gruentibus, etiam grauitatis centra inter se congruunt.

V. Figurarum nero inaequalium, sed similiumcentra grauitatis similiter posita erunt. puncta. autemin figuris similibus similiter posita esse dicimus, a.quibus quae ad aequales angulos ducantur lineae, cumlateribus inter se respondentibus aequales angulosefficiant.

1) ’O ’Apppfifînç 1457 aîwcoooomaîv datifuwç ahuv’yeâa,

Mol, iù l’au «on du?) n51! l’ami [mua-w aoggonei’r’ m1110;tonka pâlies! à («and fait tu; nooaetnbL. Proclus in Eucl. p. 181, 18.

144 EHIIIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPQN EHIII. A’.

S’. El’ un 987519511 027:6 www (muser); [609901:8’00’Vt

nazi tôt l’au aürol’g aïno 1:05?! 411510311 maximal 360991

112,66!"

Ç’. navrôg oxfinarog, 015 ne; à «5915951909 En), t5 aimât xoüa fi, 1:6 ue’w90v 1:05 43029809 ëwôg sïpsv ô:

17015 axfiyarog. - 101510311 6è ânompe’væv

Ia . .Tà (in?) i’o’ow (Lancez; i60990àze’ovw 1302950: fou âpre

sïxs9 7&9 â’wda 566551045 &qaœL9eôsL’aag 0271:6 toi

10 materas tâg finagozà’g qui lourât 013x toc99ozndoûvnemmi) tao99ox56vtaw 02m3 1:06 ête’9ov &qm9’âtaL. (361:4

1:6; aïno 1:61! l’ami! paus’mv 4302980: 56099oata’ovra [du inti

I3,

To? aïno :4511 i’dœv patagon: â’wda [M9501 01’»: Z609-

15 9omydoûvu, aillât és’zpu ënl 16 psîgov.

àqaat9aôat’6ag 7&9 ni; ôze9oxà’g ido99onnaoôwz,

ëzssôù zù ü!!! du?) 1,1511 [60011 (Lamina; laoççozëowz.

atonieôe’vrog 01511 roi? épacpeôs’vzog ëézpel. en to 95E-

Çov, final i0099oarsôvrcov 195 515993 atours’ân.

2. laoçqomfiosw Torellius. b. mon pet comp. F; cart.Torellius. 6851: Torellius. 7. a’ 0m. F; con. Torellius.11. u. En! Torellius. 13. p’] 0m. ; con. Torellius. 14.laopponqaoüm] scripsi; manoquent F, nulgo. 19. n51 "sont"

m norsréôn] scripsi; flonflon; F, uulgo; nouuflfi u To-re un.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 145

V1. Si magnitudines e quibusdam longitudinibussuspensae aequilibritatem semant, etiam magnitudinesiis aequales ex iisdem longitudinibus suspensae aequi-libritatem semabunt.

V11. Cuiuslibet figurae, cuius perimetrus in eandempartem cana estl), centrum granitatis [intra figuramesse necesse est. - His autem suppositis

I.

Pondera, quae ex aequalibus longitudinibus sus-pensa aequilibritatem semant, aequalia sunt.

nam si inaequalia erunt, excessu a maiore ab-lato, quae relinquuntur, aequilibritatem non serua-bunt, quoniam aequilibritatem semantibus. ab alteroaliquid ablatum est [postul. 3]. quam”) quae ex aequa-libus longitudinibus suspense. aequilibritatem semant,aequalia sunt.

II.

Pondera inaequalia e longitudinibus aequalibussuspensa. aequilibritatem non seruabunt, sed ad mainssergent.

nam ablato excessu aequilibritatem seruabunt, quo-niam aequalia ex aequalibus longitudinibus suspensaaequilibritatem semant [postuL 1]. adiecto igitur,quad ablatum est, ad mains uergent, quoniam aequi-libritatem seruantibus alteri aliquid adiectum est[post 2].

1) Cfr. de sph. et cyl. I def. 2.2) Nam illud absurdum est ex postal. 1.

Archimedes, cd. Heiberg. Il. 10

146 EHHIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPQN EHIH. A’.

I7 .Tà 55ch0: 1305950: aïno 1051) àvlfiaw Hannibal (60990-

xnaoôvu, zut 1:0 9512011 (in?) 1017 éléaaovoç.

561:0) 551mm flé95a tà A, B, aux). 50’100 9.51201! t6 A,

5 aux). 3609902156111:ko aïno 1.1511 A F, FB (Luxation 6513415011,

317L 5102660011 501711: à AI’ mis FB.

m) 716:9 501cc 5102664011. àqvaz9535L’0ag M7 1&3 61:59-

oxâg, ç? 151595154 çà A mû B, émût) 360990156waw«in 1:05 515’900 dqay9fitat, 95’051. 52:2 10 B. 01’; (5531m

10 65’. site 7&9 [au 5613.1: à FA a? FB, tao9901maoôvn’1:43: yà9 l’au ànô 115v km: pâment: l6099om’owr du

mitan: à FA 1&9 FB, (55’351. fait nô A’ 1:02 7&9 [au

t laïno tôv àw’aaw muscat: 063:1609907rëom, tillât 9515;

in! to aïno 1:05 mitons gainas. ôtât (N; mira éléa-15 6m; écriai à AF 1&9 FB. - 92051259011 65’, au un! à

aïno 105v 0211560011 ponceau! i609901z5’owa 551114105 391L, aux!

9:55:61: 5cm. 1:0 du?) 105 êÂoÊdaovog.

6’.

El aux 6150 fait 95752350: ph çà (1131:6 ue’m’gov :06

2° fié9503 51001111, 1:06 55 ânqaoz5’9œv 145v 9578053011 avr-

l. 7]] a’ et 5’ F. 3. mitoit] pet comp. F, ut lin.,4.flânons per comp. (in mura), F, ut lin. 6, 7. 7. ne]

DE PLANORUM AEQUILIBRHS etc. 147

HI.Pondera inaequalia ex inaequalibus longitudinibus

suspensa aequilibritatem semabunt 1), et maius e minorelongitudine suspensum erit.

sint A, B pondera inaequalia, et mains sit A, ete longitudinibus AF, FB suspense. aequilibritatemsement. demonstrandum AF ( FB.

nam minor ne sit. ablato igitur excessu, quo ex-cedit A magnitudinem B, uergent ad B, quoniamaequilibritatem semantibus ab altero aliquid ablatumest [postuL 3]. sed non uergent. nam sine FA a:F8, aequilibritatem seruabunt; aequalia enim ex ae-qualibus longitudinibus suspensa aequilibritatem set,-uant [postul. 1]. sine FA n FB, ad A uergent;nam aequalia ex inaequalibus longitudinibus suspense.aequilibritatem non semant, sed ad pondus ex maiore llongitudine suspensum uergunt [postuL 1]. quareerit AFe FB. - et adparet, etiam pondera, quae exinaequalibus longitudinibus suspensa aequilibritatemsemant, inaequalia esse, et pondus e minore longitu-dine suspensum maius.’)

IV.

Si duae magnitudines aequales idem centrum grani-tatis non habent, magnitudinis ex utraque magnitu-

1) H. e. si pondera inaequalia aequilibritatem semant,longitudines inaequales saut.

2) Connersio est propositionis 3.

per comp. F. 61j] scripsi; Je F, uulgo. Il. laaopous’ovu]orin. F; corr. Torellius. 14. bd] 0m. F; corr. Torellius.tu] 0m. F; con. Torellius. 16. 16009901120711! F. 18. fl’ F.20. 2101m F, nulgo.

10’

148 EHIIIEAQN IZOPP. H KENTPA BAPQN EIIIII. A’.

115110511011 11511553509 1151119011 560501011 105 501’950; 10

1056011 1073 51319515019 1029 êmgevyvvaüa’ag 10511 11575051311

101 11511190: 1017 5&9509.

56100 1017 11.511 A 1151119011 1013 5029509 10 A, 1017

b 05 B 10 B. nul 5111:5111’851’011 à AB ramifiât» alla1101102 10 F. 15’700, 51L 105 55 0114101591011 1611 10575-

350111 00711511151100 115758505 1151119011 561?. 10 F.

et 7&9 1M, 5’010: 105 52 âpqao15’9m11 10511 A, B 115

*-. 75050011 1151119011 10510 9509 10 A, 51’ 0011411011.

A A .1" 9,-IB 51L 7&9 561w 5:11 1&9Î AB, 71906565011011. 5’153

9 a r01111 10 A aœpeîav zw-19011 561111 105 5159509

15 1013 5x 10511 A, B 60711511151101; 11571553509, 11011510115000

105 A 13609901115651. 101 1’590: A, B 11575050: 1700990-myaoûvu 02110 14511 AA, AB (101115011? 31159 0261511011011è 7&9 [au 02110 14511 0111000111 11121150111 0131; 36099011501114.

ôfilav 0011, 311. 10 F 1151119011 561?. 105 5029509 106 à:20 11511 A, B 6071x51115’vav (157153509.

I5 .

El 1101 191.611 11575850011 1è 115111901 1017 5029509 51’

50356019 5011111. 115151151101, au! 101 115755950: (0’011 Mon;

51011111, and a5 11510120 11511 11511190111 5133515011. [du 5mm,

25 106 51: 11021110011 10511 11.5115050111 61171151951101; (157519509

1151119011 5005151011. 1017 5029509 10 60110517011, 3 mi 105

(15’000 10 011310 1151119011 5012 1017 5029509

1. 11515000; F, unlgo, ut lin. 7. 5005km] scripsi; onÊer camp. F; Écrou uulgo. 2. (15150 cum com . on F; con.

arellius, ut lin. 6, 8. 5. 1511117030) F; cart. orellîus. 7-5011 105 5029509 Torellius. 8. 11.5751950011 00711511051100 115750006


dine compositae centrum grauitatis punctum mediumerit lineae centra grauitatis magnitudinum iungentis.

sit A centrum grauitatis magnitudinis A, B autemmagnitudinis B, et ducatur linea. AB et in punctoF in duas partes aequales secetur. dico, I’ punctumcentrum [grauitatis] esse magnitudinis ex utraquemagnjtndine compositae.

nam si non est, sit punctum A centrum grauitatismagnitudinis ex utraque magnitudine compositae, sifieri potest. nam [centrum grauitatis] in linea ABpositum esse, antes. demonstratum est.1) quoniamigitur punctum A centrum grauitatis est magnitudinisex A, B compositae, aequilibritatem semabit punctoA sustento. itaque magnitudines A, B ex longitu-dinibus A4, dB suspensae aequilibritatem semabunt;quod fieri non potest. Dam pondera. aequalia ex longi-tudinibus inaequalibus suspense. aequilibritatem nonsemant [postul. 1]. adparet igitur, punctum F cen-trum grauitatis esse magnitudinis ex A, B compositae.

V.Si trium magnitudinum centra. grauitatis in eadem

linea recta posita sunt, et magnitudines eiusdem suntponderis, et lineae inter centra [grauitatis] positaeaequales sunt, magnitudinis ex omnibus magnitudini-bus compositae centrum grauitatis erit punctum, quodidem mediae magnitudinis centrum grauitatis est.

1) sine dubio in libre «sel vaofir; Quaest. Arch. p. 32.

ed. Basi]., Torellius (non ABCDO). 11. me F; oorr. Torellius.12. ôs’âsmrm Eutocins. 16. 1:06] to supra. scripto zou

manu 1 F. 18. maçonnant F; corr. Torellius. 21. 1’ F.

150 EIIIIIEASÀN IEOPP. H KENTPA BAPQN EHIII. A’.

54mn me; (Leye’ôea rôt A, B, F, xénon: 6è 01131:5

1:05 13029504: fà A, B, F dupent ên’ 860515049 356mm

être) 6è ré se A, B, I’ Ida, and. «5411", FB l’aneüeiaz. légua, 517L mû à: animaux 705v 54.8750511111 m

5 muséum; payéôeog xénon 1:05 M9563 être; 1E; Faapaîm

finet 7&9 rôt A, B psys’ôea [60v flânas 515L, us’v

190v 5665151011. 1:01? M9509 ce) I’ caneton, ëzstôî] [dm

s’en). al AF, FB. fana: 6è and mû F ue’wpov 1066029509 1:6 I’ canezou. 613,101! 05v, (in ml 1017 à:

10 mima-n; avyusme’vov 5657559509 xe’woov écachai. zoé

fléçeog 16 canezou, 3 nul mû péo’ov xéwoov 36:1 105

[3029509.

HOPIEMA A’.

’Eu ô?) 10:51:01; (paumoit, au, 61:66:01: un: 1:95 muffin15 159466611 peyeôæ’œv tôt m’aime: 1:05 6029509 ën’ 51505541;

5mm scalperiez, et ou: toi se l’ami ànëxowu aïno 105(56’601) psyéfisa l’ami fidgog 51mn, and ai 564mm «f

putatif: 145v uéwoow trônât: tout, 5mm, me? à: név-zaw raïa! peyaôs’œv quecpévov 5157559509 xéwçov 56-

20 calma 1:06 (302950; 1:6 camion, 3 and roi m’ont: «151451!

21531219011 .4611 1:05 fluions.

2. mutent F («un in hoc libre fera capoter saunait); con.Torellius. 9. 011v] sddidi; 0m. F, unlgo. 13. FI mg. F.18. 1:61 fluons] Torellius; zou angon F, unlgo.

DE PLANORUM AEQUILIBBHS etc. 151

sint tres magnitudines A, B, F, et centra grani-tatis earum A, B, I’ puncta in eadem linea recta.posita. et magnitudines A, B, F aequales sint, etlineae AI”, FB aequales. dico, magnitudinis ex omni-bus magnitudinibus compositae centrum grauitatis essepunctum F.

nam quoniam magnitudines A, B aequale pondushabent, centrum grauitatis erit punctum F, quoniamAI’ : FB [prop. 4]. sed F etiam magnitudinis Fcentrum grauitatis est. adparet igitur, etiam magni-tudinis ex omnibus compositae centrum grauitatisfore punctum, quod idem mediae magnitndinis cen-tram grauitatis est.

COROLLARIUM I.

Hinc manifestum est, quotcunque magnitudinumimparium numero centra grauitatis in eadem linea.recta. posita sint, si et magnitudines aequali spatioa media. distantes bequale pondus habeant, et lineaeinter centra earum positae aequales sint, magnitu-dinis ex omnibus magnitudinibns compositae centrumgrauitatis fore punctum, quad idem mediae earumcentrum grauitatis -sit.

152 EImIEASZN IEOPP. H KENTPA BAPSàN EIHII. A’.

HOPIEMA B’.

El 1101 11016 65-91101 3011111. 195 111151951 161 1157158501

11012 161 115111901 105 13029509 011511611 ën’ 51518515019 502111,

9 l ! , l 1 , .’ fi l ’ 1 * 1 * l L

l i11551151101, 1101?. 161 115’601 011511511 1101?, 16 l’au âzézowa âz’

5 111511511 i601 1302909 51011111, aux). al 11510156 11511 11511190111

5151951011 l’au 5101111, 1013 511 11021110111 10511 1157581511111

01171151951101) 1157559509 1151119011 5065151011 101: flé9509 16

115’601 1&9 513355019 1&9 5111:511711110150’019 161 115111901 1013

5029509 11511 1157519511111, 059 61107157902111111.

I

10 5 .T61 615111151901 11591558501 (6099011501111 0211:6 11011150011

02111171511011fiô1œ9 16119. 01131611 1671011 5161110011 10179 fioi-

950’111.

50’101 615111151901 1153150501 16 A, B, 0511 115111911 161

15 A, Bt 110d (Minos 56110 11 16 Ed, 11013. 059 16 A 7101i.16 B, 051m9 16 AI" 11611109 1101?. 16 TE 1115110; 65111-15011, 6’11 1013 55 02119301590111 11511 A, B 60111151951100

115753509 1151119011 5611 106 13029509 16 F.

51151 71119 561111 169 16 A 1101?. 16 B, 01710192o 16 AF 1101) 16 TE, 16 65 A 195 B 6151111519011,

11011 16 FA 51’901 193 TE 0151111519011, 10111561111 513195111

4. un). 161 l’au 151151011101 a’m’ 01610511] addidi; 0m. F, nulgo;and ftp, 5110215901 10311 11511009 Barrowius; 110211101 1e? 115’001 Nizzius.

5. 511111111] scripsi; 510911 F, 1111130. 10. à" F. 11. 100990-


COROLLARIUM Il.

Etiam si magnitudines pares sunt numero, etcentra earum grauitatis in eadem linea. recta. positasunt, et mediae magnitudines, quaeque ab iis aequalispatio distant, aequale pondus habent, et lineae intercentra. [grauitatis] positae aequales sunt, magnitudinisex omnibus magnitudinibus compositae centrum grani-tatis erit medium punctum lineae centra grauitatismagnitudinum iungentis, sicut infra descriptum cati)

V1.

Magnitudines commensurabiles aequilibritatem ser-uant suspensae ex longitudinibus, quae in contraria.proportione sunt ac pondera.

commensurabiles magnitudines sint A, B, quarumcentra. [grauitatis] sint puncta A, B. et longitudesit aliqua E41, et sit A : B : AT: TE. demonstran-dum, punctum T centrum grauitatis esse magnitudinisex utraque simul A, B compositae.

nain quoniam est A : B :- AIT: TE, et A, Bcommensurabiles sunt, etiam longitudines, h. e. lineaerectae, TA, TE commensurabiles sunt [Eucl.-X, 11];

1) Cfr. n01. I p. 13 not. 1. hic semel moneo, sermonem etdisputandi rationem, quae in his duobus libxis occurrat, ab ea,que. in ceteris libris nsns ait Archimedes, aliquantum discre-pare. hoc utmm recensioni posteriori debeatur, an ideo fac-:Ium ait, quod adolescens bos libros ediderit, longioris disputa-

’onis est.

15101111 F; corr. Riualtus. 12. 011111115110110010111 F (0111- supraseripsit manus 1); corr. Torellius. 16. 11909 pet comp. F;con. Torellius, ut lin. 16. 16. 061m9] per comp. F, ut infra.supins.

154 EIIIIIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EIIIII. A’

11,2 515195591, 15615 11511 ET, TA 5611 110111611 11519011.56110 61) 16 N, 1111?. 1151561301 19’? 11.511 ET 1’601 5111115911

15111 AH, AK, 107 6è AT 1’601 à EA. 11011 51151 f601 à AH

10? TE, 1’601 11016 à AT 10? EH. 03615 11011 à AE I611

5 10? EH. 61111016501 61’901 a? (.1611 AH 1&9 AT, à 66 HK

1&9 TE. 03615 16 N 1101i. 511011591111 15111 AH, HK1151951, 511516151159 11011 101 151156501 01151611. 11013 51155 561111,

059 16 A 1101B 16 B, 0171019 à AT 11011 TE, 059 661iAT 11011 TE, 051009 à AH 11011 HKi 611111016501 769

10 5110115901 51101159019’ 1101?, 169 61’901 16 A 1101i 16 B, 05109

à AH 7101?, HK. 66061101650111 65 561111 à AH 1&9 N,10600161110651011 561m 16 A 1013 Z. 561111 61’901 0591?

AH 1101i N, 051019 16 A 7101?, Z. 561L 66 11011 1691iKH 11011 AH, 051109 16 B 11011.11. 61’ [6011 59!

15 561111 169 à KH 11011 N, 051009 16 B 1101i Z. 5611311;ü901 11011061065010 561111 à KH 1&9 N ml 16 B 10EZ. 565511317 65 1013 Z 11011 16 A 11011011110161011 561.

15615 16 Z 11511 A, B 110111611 5611 11519011. 610119585!-

6019 0611 1079 11611 AH 539 1619 10? N [6119, 1013 661420 539 161 11,5 Z 13601, 161 511 191" AH 11161101101 36011575956

a; N [601 566551111 195 7111195351 10179 511 193 A 111011111,-

3. 10211] Torellius; 101w par camp. F, ut lin. 6. 6. sans


quare longitudinum E1", FA communia est mensura.sit igitur N, et ponatur AH: AK ---- EI’ et EA :-AI’. et quoniam est AH a: FE, erit etiam AF-EH; quarta etiam AE z EH. itague AH: 2zII1 etHK : 2FE. quam N etiam utramque lineam AH,HK metitur, quia dimidias metitur [Eucl. X, 12].et quoniam est A :B sa AF: FE, sed AF:FE a:AH: HK (nam utraque [linearum AH, HK] duplomaior est utraque [linearum AF, FE]), erit etiamA :B --: AH: HK. quoties autem linea N in lineaAH œntinetur, toties continentur Z in A. est igitur[Eucl. V def. 5] AH :N mA :Z. sed etiam KH:AH a B : A [Eucl. V, 7 nôptapa]. quam ex aequali[Eucl. V, 22] KH :N :n B : Z. itaque quoties N inKH continetur, toties etiam Z in B continetur. seddemonstratum est, Z etiam A magnitudinem metiri;quare Z communis mensura est magnitudinum A, B.diuisa igitur linea. AH in partes lineae N aequales,et magnitudine A in partes magnitudini Z aequales,partes lineae AH aequales lineae N numero aequaleserunt partibus magnitudinis A magnitudini Z aequa-

cum comp. ou F; com Torellius. 7. muon F, uulgo.8. 11909 per com . F; corr. Torellius, ut semper in hac p8.-gina. 12. toi: t0 F. l7. «ondulera cum camp. mv F;con. Torellius. «w F, nulgo. 19. ni] 0m. F; corr. BC.20. 1.5011575011 F, uulgo. 21. l’au] mon Ë; con. BC. écuei-1:î]8 scripsi; Battu pet camp. F; éon qugo. tympans F,u 0.

156 EHIIIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPQN EIIIH. A’.

un"! [Boas 50176"; 195 Z. «sans êv àp’ Sunna?) 1.151tyapoêuov 105v à) se? AH émiai??? 9575603 [60v 19; Zzô xéwaov roi? 1302980; 510v ënl uéaav 106 anémias,té ne anima peya’flsa la: Ml tu? A, ami 1013 à: suiv-

5 142w amsme’vov xëvzpov écachera 105 [3029509 16 E.591w? ne 7029 561:1. tà «d’un: tu? «jaffiez, au! ni àp’

éminça mû E lad tu? uléma ôtà ra [dom dual tàvAE a; HE. ôpoc’mg rît 654811651115 5m. nul et auxâcp’ Samurai; 115v à) mg? K H tynpoîzwv émuôfi yéyé-

10 :309 1’601; 14,5 Z zéwpov toi? 5029509 51011 énl 105 pé-

dov mû zpépatog, ré ce même: payéfiea tu émietta195 B, and 1015 à: artimon: avyxaLpe’vov aæ’wpov tu?

fioipeog écoutas 16 A. écachai, 013v sa phi A én-uu’ywov azurât 1:6 E, zô 6è B amuît 16 A. êaasüm t

15 ôù payéôea l’au &Mélozç in? afiôsûxg xeiuwa, 05v tù

ue’vrpa :013 [3029809 [au o’m’ 021.1021.ko ôLs’o’taxw, avr-

usfpæva (fana 193 «115351.. ôfiÂov 0151:, 51:; toi: àflâneur avyuame’vov psye’ôsog xs’waov étui 105osas à digamma tés eûfieüxç n’as 575015:54:43 tôt mon!

20 105v pécari: usyeôe’m. émet 6’ tout évrl à p31! AE

19": FA, à 6è EI’ 1:9? AK, ami 51a 559d à AF [au ré

FK. 45cm 106 à: même"; 5057623809 us’wpov 1:06

1. ovow F, uulgo; Masseur? 2. 1435] supra scriptopmanu 1 F. 3. axa cum camp. ou F. 6. un) ni 30’ Eu-tsQa toi E in: 19.) nlfiûu] addidi; 0m. F, uulgo. 7. un:par camp. F; con. Torellius. 8. uaL’] scràpsi; un F, nulgo-13. émettoit] (alt.) scripsi; saron par camp. , ut lin. 14. lb.«unau; F; cart. Torellius, ut lin. 16. 20. psysômv F; cart.Torellius. hart] scripsi; slow par camp. F, uulgo.


libus. itaque si in singulis partibus lineae AH magni-tudo ponitur magnitudini Z aequalis centrum grani-tatis in media partis habens, omnes simul magnitudinesmagnitudini A aequales sunt, et magnitudinis exomnibus composites centrum grauitatis erit punctumE. nam et omnes simul pares sunt numero, et quaein utraque parte puncti E positae sunt, numero aequa-les, quia AE : HE [tum u. prop. 5 coroll. 21’)similiter demonstrabimus, etiam si in singulis partibuslineae K H [lineae N aequalibus] magnitudo aequalismagnitudini Z ponatur centrum grauitatis in mediapartis habens, omnes simul magnitudines magnitudiniB aequales erunt, et centrum grauitatis magnitudinisex omnibus compositae erit punctum A.’) itaguemagnitudo A in E puncto posita erit, magnitudeautem B in A. et magnitudines quaedam inter se aequa-les in eadem linea recta positae emnt, quatum centra.grauitatis aequali spatio inter se (listent, omnes simulsumptae’) numero pares. adparet igitur, centrumgrauitatis magnitudinis ex omnibus compositae me-dium fore punctum lineae eius, in qua centra magni-tudinum mediarum4) posita sint. et quoniam A E:FA, et EI’ ---- AK, erit igitur etiam AI’ : FK.quare magnitudinis ex omnibus compositae centrum

1) Nam et omnes magnitudini Z aequales sunt, et spatia,quibus centra in eadem linea. pasita distant, lineae N aequalia.

2) Nam Z metitur magnitudiuem B; tum u. prop. 5 co-roll. 2 et not. 1.

3) Uereor, ne in uerbo ovyuêfpsva lin. 16 mendum latent.4) Ex prop. b coroll. 2; nain punctum medium tatius li-

neae centra iungentis idem medium est lineae centra. mediarumlnngentis.

158 EIIIIIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPQN EIIIII. A’.

950; sa I’ caneton. taf: (LEU 55’901 A xszpëvov zani: 1

E, 106 6è B ’xarà sa A 560990111601")sz zani: 1:6 4

Ë’.

Karl 1015m et na âoüppavpa ëœvu sa? 4157558515 6410le idoppoamaoüvu o’mô paxs’œv àvrmaatovôôtœ

16v miton layon Éxôvuov 10:9 (Leye’ôww.

56m) (idéalisme! infime: rôt AB, F, poissa: 6è nAE, EZ. ëzë’m 6è zô AB nazi a; I’ 1:61; 411513):1.67011, 311 deal sa EA nazi zô EZ gênas. 15’711), 3:

10 r05 3E àpcpore’pœv 105v AB, F 153119011 son" fiégao’g

s’en si) E.

si 326:9 in) laoaaomiau sa AB Rôti! âne! 195 ZF reâëvu ënl 155 A, fiiez sans; éon ra AB toi; I

A Zfi (3618 laoppoatatv 1:93 F, fi 05. fait.) nattai). and

15 àqayquaôœ vina roi: AB 514166011 1&9 ûaapozâg, çË

nattai) éon ra AB roi! F fi «5615 taoppozaîv, (5615[1:6] Âomôv sa A commerçai: sium! 1:55 I”. émet 05v 615p-

pstpaî éon un? A, F psyéôaœ, ml êÂéaaova layon 518

16 A nazi 1:6 F, 1’) à AE and EZ, 06x [60990101-20 605er tu? A, I’ o’mô 105v AE, EZ panerai), tefls’woç

3. ’2’ F. 6. antzsnovflot cum camp. on F; con. ed-Basil. 13. tu") Al] scripsi; ta A F, nulgo. 14. fi] addidicum B; 0m. F, un go. F, fi] PH F. 193 P am. Eu-


grauitatis est punctum F. itaque magnitudine A inpuncto E posita, B autem in A, ex puncto F sus«pensae aequilibritatem semabunt.

VII.

Iam etiam si incommensurabiles sunt magnitudines,eodem modo aequilibritatem semabunt ex longitudini-bus suspensae, quae in contraria proportione sunt acmagnitudines.

magnitudines incommensurabiles sint AB, F, lon-gitudines autem aliquae AE, EZ, et sit AB : F :EA : EZ. dico, centrum grauitatis magnitudinis exattaque AB, F compositae esse punctum E. l)

nam si aequilibritatem non semabunt AB magni-tudo in puncto Z posita, F nero in puncto A, autmaior erit AB magnitudine F, quam ut aequilibritatemsemet, aut non maior. sit maior, et a magnitudineA8 auferatur magnituda minor excessu, quo ABmagnitudine F maior est, quam ut aequilibritatemseulet, ita ut, quae relinquitur magnitudo A, commen-surabilis sit magnitudini F [u. Eutocius]. quoniamigitur A, F magnitudines commensurabiles sunt, etest A: F A A E : EZ, magnitudines A, F ex longitu-dinibus AE, EZ suspensae, ita ut A in puncto Zponatur, F autem in puncto A, aequilibritatem non

1) Se. magnitudine AB in Z posita, F autem in A.

tachas. 16. astres] cum Eutocio; (1.8!.th F, nulgo. fi] ad-dldi; 0m. F, uulgo. 17. t6] delea cum Eutocio. mon per .comp. F; corr. Torellius. :95] sa F; con. Torellius. 19.F, à] PH F. n90: pet camp. F; cart. Torellius. wago-znoovvu F.

10

15

20

160 EHIIIEASÆN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EIIIII. A’.

rot": ph: A t’ai 195 Z, 105 6è F 311:2 r95 A. ôtà mâté6’ oôô’ si nô F psïëôv 361w fi mais idoppomtv 193 A B.

12’.

El." na aîné zwog peye’ôsog âmabpeôfi n. [1,575305

p.1) çà mita ue’wpov 510v r95 5,19), 1027 lamai? peye’fisoç

xe’vrpov ëazî taf) 13059509, ËuflÂ’qôsfaag 1&9 56855:1; zig

ëmçavyvvoüaag rôt m’aime: 105v flape’œv toi 1:5 510v

payéfisog and 1:05 âmpnpévov En) rôt aéré, àp’ a 16

xs’wpov 105 510v ysyéôsog, ml ânolacpfletaug twôçdata [1:59] ëxfllqûu’aœg 1&9 êmçwyvvoüaœç ni donnent:

ua’wpa, 15618 ton miton 516w 167011 nazi. du: mugi14511 24511190111, iiv Ëxu sa flâpog r05 âmnçnpa’vov payé-

ôeog «on ra roi? 10mm? fldpog, zô négus mais ciao-Âacpôstdug.

son» 41.5711549569 mog 1:05 AB us’vtpov 1013 fiépæoç

1:6 F. ml &mypfiaôœ (in?) 105 AB to AA, 015 név-zaov roi: [3029509 fana zô E. êmÇavxôsiaaç 6è si;EI and ëxflÂnôetaaç ànoÂaloîqaôœ à FZ nazi «in; F E

layon ëzovaœ son aürâv, 311 Ëxu sa AA péyeôog and

sa AH. ôsms’ov, au r06 AH peys’ôæog uéwpov tari

[3029569 561:1. a; Z occasion!ni; 71029, âM’ et 612111117611, faire) ra Û capiston. inti

015v roi? ubi AA peys’ôsag 151219012 1013 [3059569 3m

sa E, roi? 6è AH a; Q caneton, toi» 55 àptpotè’pmv2b 1.1511 AA, AH 41.5718354311 xëvtpov 105 [3059509 gamina

1. :133] scrîpsi cum B; ra F, uulgo (bis). "2. sa? AB] To;rellius; sa A F, un] o. 3. 5’ F. 8. 50’ a] scripsi; sa oF, uulgo; (En! Tare ius. 10. zée] delco. 11. ne: m!(compp.) F; cart. Torellius. 12. mon manquassent! paysans F;carr. ed. Basil. 13. naos par camp. F; corr. Torellius. 8LdgHPOIEQOv F, uulga. 25. flaquas F.


semabunt [prop. 6]. et eadem de causa. hoc ne tumquidem flet, si F magnitudo maior est, quam ut cumAB aequilibritatem semet.1)

V111.

Si «a,magnitudine aliqua magnitudo aufertur, ouiidem centrum non est, quad tati, reliquae magnitu-dinis centrum grauitatis est: producta linea centraet totius et ablatae magnitudinis iungenti in eandempartem, in qua est centrum totius magnitudinis, etablata linea a producta linea centra illa iungenti, itaut eandem habeat ratianem ad lineam inter centrapositam, quam pondus. magnitudinis ablatae ad pon-dus reliquae, terminus ablatae.

magnitudinis cuiusdam AB centrum grauitatis sitF. et ab AB auferatur A A, cuius centrum grani-tatis sit E. ducta autem linea EF et producta [uersusF] abscindatur FZ, ita. ut sit FZ : FE : AA : AH.demonstrandum, centrum grauitatis magnitudinis AHesse punctum Z.

nain ne sit, uerum, si fieri potest, sit punctum 0.quoniam igitur magnitudinis AA centrum grauitatisest E, magnitudinis autem AH punctum û, magni-tudinis ex utraque magnitudine AA, AH compositae

1) Demonstratio imperfecta et paullo obscurior ita. sup-plenda est: cum A : F ( AE : EZ, ad punctum A uergent,quad fieri non potest, cum minus excessu ablatum sit ab AB.eodem mode ratiacinandum, si F maior est. quare cum ABnegue maior sit neque minor, demanstratum est, quad propa-smmus.

Archimedes, ad. Heiberg. Il. 11

162 EHIIIEASZN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EHIII. A’.

371:1 1&9 EÜ tpœôetdag dicte rà racinant ouïrais 02er-areatovôæ’pev nard ce» «151611 1167011 rats psye’ôeo’ev

(dans oz’m Ëddu’zal. t6 F dapsïov xarà 113w âvdloyoz

A H m-fiNæ

A Btamia a? etpoypæ’qu. afin â’pa édit 1:6 F xévrpav 1017

5 âx 145v AA, AH amupa’vav psyéûsoç, rameau 1013AB. fait. de” Mécano 7&9. 015x â’pa en), tô 6 xén-

zpov 5029809 106 AH psyéôeog.

15”.

Nanas 10590511171107.9021»va rô xévtpov 105 1302986;

10 garni ënî tâg 515355049 1&9 êmÇsvywoüdag 1&3 61.10-

rom’ag réa xar’ ëvavrlov 106 napœunloyaéppov

arlequinêtre) napallnlo’ypappov rô ABFA, inti 6è "in!

dilatante!) nia AB, FA à E2. muni, 612, du r0615 ABFA napaÂÂnÂoypoZypov zô xévtpov roü [3029809

566651111. sa 1:62; EZ.(L41 amie, àÂÂ.’ si ôvværo’v, 561cc 176 0, nul ëxôæ

napà du; AB à 03L 1&9 6è dû EB ôLzoroyovps’uagahi gonflai. «and à xaralsmope’va êléo’aœv 7&9 16.

20 and ôznpn’aôœ ënazé’aa 7&1; AE, EB si; rôts 1:9? EK

1. avrznsnoâsvpsv F. 3. finirai] sari si; and; percamp. F, uulgo. 4. névrqov :05 pdasoç Torel ius. 7. parpoue . . paysans F, uulga. 8. C F. Il. tac . . flaveursF; corr. Torellius. 14. réal] 10W per comp. F; con. Torel-


centrum grauitatis positum erit in linea E0 ita diuisa,ut partes eius in contraria ratione sint ac magnitu-dines [prop. 6 -- 7]. [sed punctum F positum estin linea EZ ita diuisa, ut partes eius in contrariaratione sint ac magnitudines].1) quare punctum F insectione ei, quam commemorauimus, respondenti posi.tum non erit. quare punctum F magnitudinis exAA, AH compositae, h. e. magnitudinis AB, centrumnon est. uerum est; hoc enim suppositum est. ita-qae punctum 9 magnitudinis AH centrum grauitatisnon est.

1X.

Cuiusuis parallelogrammi centrum grauitatis in ealinea positum est, quae media puncta laterum sibioppositorum parallelogrammi iungit.

pareallelogrammum sit A BFA, et ad medium punc-tum laterum AB, FA [ducta sit] E Z. dico igitur,centrum grauitatis parallelogrammi AB FA in lineaEZ fore.

nam ne sit, uerum, si fieri potest, sit 9, et duca-tur QI lineae AB parallela. itaque linea. EB semperdeineeps in duae partes aequales diuisa, quae refin-quitur, aliquando minor erit linea I (à. et utraquelinea AE, EB in partes lineae EX aequales diuidatur,

1) Ex hypothesi; neque fieri potest, ut sit FZ: FE aequa-h’s ratiani partium lineae F69. ceterum adparet, ante monlin. a lacunam esse, quam hune in madum expleo: a; 6è Fin! 15;; EZ éon rpœûslaac, agars 1:6: racinant &vunsnovôéawrot; neyéôsaw.

lins, ut lin. 20. 16. son" per camp. F, nulgo. 19. nouai]Torellius; nom F, nulgo. à] addidi; am. F, uulgo.

11*

164 EIIIIIEASZN IEOPP. H KENTPA BAPQN EHIH. AC

[0009, 10000 du?) 00311 0000000 11309 600009565009 60010500011 axâm-

60011 1000900 06:11 EZ. ôwuçsônas’rm 611 1:6 52.011 arap-

aÂÂxnÂôyçayyov 509 napaÂÂnlôyçapyoî 1101100 [du and

A E K B

I F Z A6100000 193 K Z. 00511 01511 napallnloypoîppœv 01511 [60W5 100d 610000011 1:95 K Z êqaaçpoëops’vœv 5’11? 5112.0010: uni

rôt 1015110900 105 5029509 001300511 51’ 607.1001100 0056015110000.

5660151117000 617 10571529502 101m, zapallnlôygaupœ Ida 193

K Z, 59-0000 1:95 «111’050, 000d 1:00 005310900 1013 5069509 mî- 0

00511 51’ 51349515009 10501051100, 100d rôt 105’600 l’au, 00000 10021110

10 160 àp’ 5100215901 01511 10560011 001310? 15 1’600 5111:5, aux! aï 1

105110051) 11511 005311190011 564950000 [0000. 1017 5x artimon 1

0213141311 üpa 01171050105001) 1057153509 ri) 0051109011 506501010

1:05 5029509 571:0 0079 515050009 0&9 émÇwyvvoüaaç 13!

105110901 1017 [3029509 10511 10560111 1009110011. 01310 5’600 65” *

15 zô 7&9 Q 510069 5610 11511 105312111 naçaÂÂnÂoypépyaw. 1

012001159611 01511, 310 5’100 1&9 EZ 515850009 16 1051110001 1

5000 roi; [3029509 0017 ABI’A napaÂÂnÂoypoîppov.

I0.

170011009 napaÂÂnÂoyçdgmov zô 1053109011 005 M9569

20 561:0 06 6001055011, uaô’ 3 aï 60001050900 00100003000010.

fait» maçaünlôyçayuov ’06 ABI’A, 10001 5’11 001’109;

à EZ (fila 051011011600 1&9 AB, FA, à 55 KA 0009 AI;

1. 60001050 cum comp. 179 F; 60000950519 aulgo. 3. un]


et a. punctis diuisionum [lineae] ducantur lineae EZparallelae. itaqae totum paraHelogrammum in paral-lelogramma quaedam diuidetur parallelogrammo K Zaequalia. et similia. parallelogrammis igitur aequa-libus et similibus parallelogrammo K Z inter se con-gruentibus, etiam centra grauitatis eorum congruent[postuL 4]. erunt igitur magnitudines quaedam, paral-lelogramma aequalia. parallelogrammo K Z, numeropares, et centra grauitatis earum in eodem linearecta posita, et mediae magnitudines aequales, etomnes in utraque parte mediarum positae et ipsae ae-quales, et lineae inter centra. positae aequales. itaquecentrum grauitatis magnitudinis ex omnibus illis com-positae in en. linea positum erit, quae centra grani-tatis spatiorum mediorum iungit [prop. 5 coroll. 2].sed non est; nam punctum Q extra. parallelogramma.media positum est. 1) adparet igitur, centrum graui-tatis parallelogrammi .4de in linea. EZ esse.

X.

Cuiusuis parallelogrammi centrum grauitatis idpunctum est, in quoldiametri inter se concurrunt.

parallelogrammum sit ABI’A, et in eo linea EZlineas AB, FA in duas partes aequales diuidens, K11

4) Nam EK ( 19 ex hypothesi.

soripsi; 1:00 F, nulgo. 5. emagpotopwov (ou comp.) F; corr.Torellius. 001117100 F; corr. Torellius, ut lin. 6. 6. au: cumcomp. ou F; con. B mg. 12. final. pet comp. F, nulgo. 14.flamme F; con. V. 18. H’ F.

5

10

15

20

166 EIIIIIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EHIII, A’.

Bd. 560011 66] 005 ABI’A 10009611121079000010011 06 005’11-

09011 0017 [3009509 6100 0009 EZ’ 65650300000 91609 000300.

6060 00015060 60 00000 5100 0009 K11. 06 Q 60900 600105000

A E Bî a AF Z A9001109011 006 [3009509. 0000060 6è 06 0 000 60001050900 0017

000090011011079000000011 10030001100. 03’605 65650300000 06 1090-

0560511.

AAAQE.560011 60 00000 6011019 06 00606 6502000.

56000 66961101679000.0900 06 ABI’A, 60001050909 60

006001": 56000 à dB. 060 60’900 ABA, BAI" 090703110006a 31100 00000 6100000 0011001009, 05605 êqaa910050105’11m11 31’

601100100 00511 090705110011 00000 060 0000110900 0015 6009509 a6-

00511 5’10, 601100100 0056015110000. 56000 661 0013 ABA 090-

70611011 0061109011 0017 6009509 06 E 6001050011, 00000 ênsêaüxfla

60 E0 00000 ëxfl5fl11i6ôœ, 10000 00700151006160) à 26 [au

0030" 8E. êqm9100C0105’11011 61) 005 ABA 090710511011 300

06 BAT 090310011011 00000 00195105011009 0&9 00011 AB 101511-

969 610:0 06011 AIT, 0609 60 .44 6000 06011 BI’ 692009106200

90000 60 (9E 56850700 5’700 06011 Zû, 00000 06 E 6000050011 0’000

06 Z 0056500000’ 601160 00000 6100 06 1053109011 0017 6009009

7. 07110:9] 0m. F, nulgo. 10. 4B] AB F. 11. aun-1009 F; corr. Torellius, ut lin. 12, 13. 59200910009010.5000 F-Post 6000050700 lin. 14 addunt ed. Basil. et Torellius: aux! u-0101Ïoflœ (05010000600) 60’100 60 4B 0000060 06 9. 15. 00100017190.


autem lineas AI", BA eodem modo diuidens. itaquecentrum grauitatis parallelogrammi ABI’A in lineaEZ positum est; hoc enim demonstratum est [prop. 9].sed eadem de causa etiam in linea K11 est. itaguepunctum 8. centrum grauitatis est. in 8 autem punctodiametri parallelogrammi concurruntf) quare damon-stratum est, quod proposuimus.

ALITER.

Sed etiam aliter idem demonstrari potest.parallelogrammum ait ABI’A, et diametrus eius sit

AB. itaque trianguli ABA, BAI’ aequales et simi-les sunt [Eucl. I, 34]. quare triangulis inter se con-gruentibus etiam centra granitatîs eorum congruent

ïpostul. 4]. sit igitur punctum E centrum grauitatistrianguli AB A, et ducatur linea EéD et producatur,et abscindatur le) aequalis lineae QE. itaque trian-gulo AB A cum triangulo BAI’ congruente et positolatere AB in AF et A A in BF, etiam linea (9E cumZÜ congruet, et punctum E in Z cadet. uerum etiamin centrum grauitatis trianguli BAT cadet [postuL 4.itaque punctum Z centrum grauitatis est trianguli

1) Fortune scribendum 00100001000000 lin. 5. ceterum cfr.Zeitschr. für Math, hist. Abth. XXIV p. 180 nr. 10.

F,uu1go. 16. ARA] ABPA FV. 17. BAF] .4411 FV.18. «papota Fpuulgo; 5012009006650 Torellius.

10

15

168 EHHŒAQN IEOPP. H KENTPA BAPQN EHIII. A’.

0017 BAT 090710511011. 61050 01111 00171 10011 ABA 190710511011 005’1109011 0015 6009509 06 E 6001050011, 005 60 ABJ

06 Z, 61711011, 609 0013 êë 00106100590111 00011 090710501061

60760501061100 105715501509 00551109011 0017 6009569 5’600 06 paf

6011 0&9 EZ 511050009, 51059 ë600 06 Û 6001050011.

000 .

’E6011 6110 09071001100 6100000 0011001009 00000 5’11 001300079

600105000 61006009 00501051100 10000 060 09071001100, 00000 06 31

6001050011 0013, 5’11 95 5’600, 090710011011 0050109011 0013 600-

9509, 00000 06 10010611 60010507011 0051109011 5’600 0013 6009505

0017, 5’11 95 6600, 090710011011. 610005009 6è 167101059 600105000

005566000 10000 060 6100000 16x111000000, 00(p’ 0611 000T 5’000 0009

06009 71001105009 0071010501000 5151950000 06009 0000501100 71061105009

10000 00009 61001671009 101511900079.

56001 6110 09071001100 060 ABT, AEZ, 00000 56000 069

à AT 00000 AZ, 0170009 ë 05 AB 00000 AE, 0000060 BT

A Aa 9 rE z00000 EZ, 00000 611 0009 5091710511009 090710011009 600105000

61000009 00501051100 66000 060 Ü, N 10000 060 ABT, AEZ09071001100, 00000 56001 06 â 0050109011 0017 6009509 005 JET

1. BAT] 04.41” F; con. B. 2. 00’] 0011 per camp. F-6. 0’ F. 7. 0011171009 F; cart. Torellius. 8. 10909 per comp.F; corr. Torellius. 11. 61001019 dé ad "151190009 dolomie cen-


BAF]. iam quoniam trianguli ABA centrum grani-tatis est punctum E, trianguli autem ABI’ punctum Z,adparet, magnitudinîs ex utroque triangulo compositae[h. e. parallelogrammi ABFA] centrum grauitatis essepunctum medium lineae El, quod est punctum 0;!)

XI.

Si dati sunt duo trianguli inter se similes et iniis puncta. similiter posita, et alterum punctum eiustrianguli, in quo est, centrum grauitatis est, etiamreliquum punctum eius trianguli, in quo est, centrumest grauitatis. puncta. autem in figuris similibus simi-liter posita esse dicimus, a quibus quae ad aequalesangulos ducantur lineae, cum lateribus inter se respon-dentibus aequales angulos efficient?)

sint duo trianguli ABF, AEZ, et sitAI": AZ:AB:AE:BF:EZS),

et in triangulis illis similiter posita sint puncta (N), N,et (9 punctum centrum grauitatis sit trianguli ABI’.

1) Nam ex hypothesi est E0 sa 02. audiendnm est,punctum 9 id esse punctum, in que diametri concurrent.

2) Mihi quoque haec uerba ex postul. 5 inutiliter repetita.suspecta saut, sed satins duxi, nunc saltem ea. relinquere, cumpostulats. illa. eodem modo saepissime par totum hune librumrepetantur, qui loci aut omnes subditiui sunt aut omnes ge-nuini; utrum ueri eimilius Bit, tum dîiudicari poterit, si quandode integritate huius libri quaesitum erit.

3) H. e. ait 41mm AEZ (Eucl. V1, 4).

sent Byrrowins, censor Ienensis, Nîzzius. 15701181! F, uulgo.13. notovaw F, nulgo; nouan Torellius. l4. naos per camp.F; con. Torellius, ut lin. 16 bis, 17, 18, p. 170, 9.

10

15

20

25

170 EHIHEASZN IEOPP. H KENTPA BAPQN EHIH. A’.

19011419001). un), Su and rà N m’aimer [3159569 écu1013 AEZ mayœ’vov.

(A?) 7&9, du’ et ôvvmrôv, 5050) zô H us’vrgov fié-

gsog 1:05 AEZ tçtym’vov. aux), êneëeüxôœeav ont 81,

en, en AN, EN, ZN, AH, EH, ZH. en: duépatez: in; ri) ABI’ tgt’yœvov 11,5 AEZ teayüvç,nul 1511790: 115v paginai: 361?, tôt Ü, H empara, n51? «ilôpoz’nw GZflya’flD’v tà xéwga raïa: flaçe’œv 655015039 à!!!

assigna, (561:8 feus nomaoüvu y41375019 n°12 raïs 6m-ÂôyoLg alevgaïg Sumatov êuoîarmg, [au 59a à 131:6 HAE

yawla a; in?) ÊAB. 021.143: à 15m3 QAB 703111511 tufini 79? imô EAN ôtât r6 61105029 24556801; rôt 6, N(musiez. nul à 15m3 EAN 17mm! 59a l’au étui 19? faitEAH, à petëaw a? ëloîaaow’ 51mg &ôüvarov. 01’):

6290; aux ëau ub’vrpov 1:05 fiâçeoç 15017 AEZ rgzyaîvov

rô N damier. 561m: 6290;.

Lfl’.

El aux 660 tçlyawa ôpoî’a 51mm, 1:05 6è ëvôg qu-

yoôvov ue’wçov 105 13029509 t’ai 1&9 561955119, il 3m

aîné raves y02715059 t’ai (1530:1) ràv fléau! &yope’va, sa!

r01? lourai? 1591420511011 rô ue’wgov écacha; 105 M950;137d 1&5; 6510!:ngx àyops’vaç yçamzâg.

être: 660 rptyœva rôt ABI’, AEZ, anal 561m à;

à AI" mari Al, 051009 a? ne AB and AE, xal à Br«ce! ZE. and tuaôez’o’ag ré; AF 64’105 amuît rô H

ënsçezîzôm à BH, ami être) r6 xëwgov 105 541959; 1’05

10. 5:0:ro ëuéorwç] Quaest. Arch. p. 144; Enfants: faimTorellius. un] F; con. Torellius. 12. BAH F. 13.Ed H et EdN F, nulgo; permutuui propter sequens àgseftflni Hindou. 17. 1’ F. 24. none par comp. F (bis); con.Torellius, ut un. 25.

DE PLANOR-UM AEQUILIBRIIS etc. 171

dico, etiam N punctum centrum grauitatis esse trian-guli AEZ.

nain ne ait, sed si fieri potest, punctum H centrumgrauitatis sit trianguli AEZ. et ducantur lineae ad,83, 0P, AN, EN, ZN, AH, EH, ZH. iam quoniamsimiles sunt trianguli A31”, AEZ, et centra grani-tatis sunt puncta Ü, H, et similium figurarum centra.grauitatis similiter posita sunt [postuL 4], ita ut sin-gula cum singulis lateribus inter se respondentibusaequales angulos efficient [postul. 5], erit igitur

LH A E a: L014 B.

sed LQABaLEAN, quia puncta û, N similiterposita sunt [postul. 5]. quare etiam angulus EANaequalis est angulo BAH, maior minori; quad fierinon potest. quare fieri non potest, ut N punctumcentrum grauitatis trianguli AEZ non sit. est igitur.

XII.

Si dati sunt duo trianguli similes, alterius autemtrianguli centrum grauitatis in en. linea positum est,quae ab angulo aliquo ad mediam basiml) ducta est,etiam reliqui trianguli centrum grauitatis in linea.similiter ducta positum erit.

duo trianguli sint A31”, AEZ, et sit

AF:AZ::AB:AE:--BF:ZE[cfr. p. 169 not. 3]. et linea AF in puncto H induas partes aequales diuisa, ducatur linea BH, et

1) H. e. lutas angulo oppositum.

10

15

172 EIHIIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EIIIII. A’.

ABI’ raiyaz’vov fini 1&9 EH ’tô Q. 15’110), au aux), il

EAZ 701.7206000 ue’mpov 1:06 Brigade 561w gui r.ouatons 033’005an sôrfletag.

ÎET’MIIUÛŒ à AZ ôi’xa zani 10 M, mi éneësüxô

EB

AI A M zà EM, nui nmmfiaflw, 055 à 3H nazi 30, 051’009ME nazi EN. Mai éneêsüxfiœoav ou? A0, QI", AliNZ. in! son 7&9 (Liv FA 130mm à AH, raïs àAZ fiplÎGEm à AM, 567w 65’005 and, «in; à B11 1:01

EA, dans à AH nazi AM’ ami mai [dag 7min:al flÂEani 0212021071611 301L. [au 1:5 (3500: écria à 15m

AHB 7mn?! sa? 152:0 AME, and 561w 059 à AH starAMI, 0515033 à BH nori EM 507w ôi and, 05g à 1315«cri BE, oô’zœç à ME nazi EN. ami à? 1’600 âge

me», 055 à AB nazi AE, 051m; à BQ nazi ENami assai tous yawlag ouï alarmai 021102107611 Éva. si (il101310, [au écrin: à 131:6 BAÊ 70mm n; 15:10 EAN. 56aami lamai à 15m3 E11" yawls: tu êdri se? 15m3 NAZ 720711543!-ôLà tôt mirai 6è à ph! au?) BIT? 7mm?! 1’60: fieri 191’151?)

EZN, à et 1571:6 0FH a; me) NZM un. gardien

3. ouatine] supra «ne in F manu 2 scriptum est a. 5-14301120000] 7570025100 cd. Basi1., Torellius. «et! nous pffcamp. F; con. Torellius, ut lin. 6, 8, 9, 11, 12, 13 is, 14 b1!-6. 49] 30 FV. AN] AH F, ut uidetur; V. etiam Il!

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. l 173

centrum grauitatis trianguli ABF in linea BH posi-tum ait, uelut a. dico, etiam trianguli AEZ centrumgrauitatis in linea. similiter ducta positum esse.

secetur linea AZ in puncto M in duae partesaequales, et ducatur linea EIW, et fiatl)’

BH:BÛ::ME:EN.et ducantur lineae AE, 91”, AN, N Z. iam quoniamest AH: iI’A et AM: àAZ, erit etiam

BA : EA z AH: AM9);et latere. aequales angulos’) comprehendentia. propor-tionalia. sunt. quare erit L AH B : A ME [Eucl. VI, 6]et AH: AM: BH: EM [Eucl. VI, 4]. est autemetiam BH : BQ a ME: EN [ex hypothesi]. quareetiam ex aequali erit AB : AE --- BQ : EN4); et la.-tera. aequales angulos 5) comprehendentia proportionaliasunt. hoc si est, erit L BAQ : EA N [Eucl. VI, 6].quare etiam qui relinquiturs) angulus 9A1"1 : N A Z.et iisdem de causis erit

LBI’Q : EZN et LQFH: NZM

1)1rs1ronjm?m lin. 5 pro ysytws’tm uestigium recensianisposterioris est; u. Quaest. Arch. p. 70.

2) Nain ex hypothesi est BA : Ed :- AP: AZ.3) Nam BAH- EAM, quia. ABPN AEZ.4) Nam 9011025 erit AH: BH : AM: EM; tum u. Eucl.

V, 22.

5) Nam ABE - AEN ex Eucl. VI, 6; u. lin. 8 sq.6) Se. ablato LBA9 ab BAH et EAN ab EAM, aequa-

libus ab aequalibus (Eucl. I «ou». ëw. 3).

figura H pro N praebet F. 7. NZ] HZ FV. Gui 0591cm? 9. AH AN F; corr. manus 1. I 10. Éva] scripsi;En per camp. , ut lin. 15. 17. à] addrdi; 0m. F, nulgo.

174 EITIIIEASZN IEOPP. H KENTPA BAPSlN 1511111. A’.

65 ami à 1571:0 ABÊ 19? 1511:0 AEM 17’601. 15015 amilamât à 0110 ÛBI’ yaw1’a [ou 561i 19"; 071:0 NEZ. du?

10113101 à) 111112101 0110110; 11551011 101 0, N 601115101 [nori

1019 611016720119 711.5110619 [0’019 721012109 1101517]. 515i 015v

5 01105019 115151011 1è (1?, N 6011151701, ami 5’611 10 Q 915111001!

1015 13029503 101"; ABI’ 101yœ’vav, ami 10 N 51’001 115’11-

19011 [3020505 1013 AEZ.

e 17’.

110112109 10171012011 10 3151110011 501i 101? 13029503 ëzi

1o 1&9 5130515015 51’ 561w 5’11 1111013 700115019 fini (15’001) dya-

115’1201 113w 43026111.

5’610: 10570111011 10 ABI’, nazi à; 0113155 à AA t’ai

115’001! 1&1; B1" 13026111. 0519115011, 511 511i 1&9 AA 10

1151110011 501i 1017 13010509 1015 ABI’.

15 p.1) 7029, àM’ 51’ 01111011611, 5’610) 10 â, nui (in? 1015-

A

la 55

171171? K

j .0rl’âEH j, ZE lBa Al! EP!’100 amati 113w BF 651810 à ûI. ahi 61) 61’111 15111:0-115’11019 1&9 AF 566551011 710x01 à 31111121517100.5110: 510’0-

3. 1115m] Torellius; 1a 011.1101 F, uulgo. 4. sur). Pour; To-


sed demonstratum est L A38 a A EMl) quare etiamqui relinquitur’) angulus ûBF n: NEZ. itaque prop-ter haec omnia puncta Û, N similiter posita sunt[1mm cum lateribus respondentibus aequales angulosfaciunt].3) iam quoniam puncta Q, N similiter positasunt, et û centrum grauitatis trianguli ABI’ est, etiamN centrum grauitatis erit trianguli AEZ [prop. 11].

XIII.

Cuiusuis trianguli centrum grauitatis in ea lineapositum est, quae ab angulo aliquo ad mediam basim4)ducitur.

triangulus sit ABI’, et in eo linea AA ad me-diam basim BI’ [ducta]. demonstrandum, centrumgrauitatis trianguli ABF in linea AA positum esse.

nam ne sit, uerum, si fieri potest, sit punctum é),et per id ducatur QI lineae BF parallela. linea igiturAF semper deineeps in dues partes aequales diuisa,

1) Sc.’p. 172, 8 sq.; u. not. 5.2) Se. ablatis LABG 4- BFG -]- QFH-I- HAQ 4- 9A3

1 summa. angulorum trianguli ABI”, etAEN 4- EZN 4- NZM .1- MAN 4- NAE

1 summa angulorum trianguli AEZ, aequalibus ab aequalibus.3) Uerba. 1101i 161g 011016700;- 11150905; lin. 3 necessario ad

lequentia: tous 70171019 110155 trahenda sunt, et omnia haeclerba interpolatori tribuo.

4) U. p. 171 not. 1.

rellius; tous 7&0 Nizzius. 8. 101’ F. 10. 1170;] scripsi;un; F, uulgo. 1151m F. 01110170115001 F; corr. Torellius etRiualtus. 15. duit 1015100] scripsi; aux 100 F, nulgo; 61451:013 9 B; 61’ 01131013 ed. Basil., Torellius. 17. 500511011] scripsi;11mn per comp. F, nulgo. amena F; corr. Torellius.

10

15

20

176 EHHIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPSàN EHIH. A’.

6007 1029 E1 * 0001i 61179156000 5010115901 1&7 BA, AF fg1&9 [6029, 1101i 611i 1127 1011027 7101902 1&7 AA 0271900607,

2101i 5715:51570006027 ai E2, HK, AM 56601571111 61)«1310i 1101901 1&7 B1”. 101") 61] 110901117107902114100 100

p.57 MN 10 01571907 561i 1017 73029509 511i 1&9 T2,1013 65 K3 10 01571907 1013 5029509 521i 1&9 TT, 101765 ZO 511:1 1029 TA. 1017 02901 in 010271007 6071251115700

115750509 10 11571907 100 [3029569 56117 511i 1&9 2A51305109. 56100 61) 10 P, 0101i 511555151810 à P8 0101i ë:-

fi5filn’6000, 0101i 521000 1101902 1017 AA à F4). 10 dû

AAF 196700707 1101i 01027101 102 1915700701 102 0201:0 1&7

AM, MK, KZ, ZF 02701757901410.5701 07101701 115 AAT1013107 5’751 107 1.6707, 37 5’151 02 FA 1101i AM, 611i

10 [6019 5Î1157 1&9 AM, MK, ZF, KZ. 51:81. 6è x4110 AAB 195700707 7101i 11027101 10 02110 1027 AA, AH.HE, EB 12270175791141.7570: 05101701 1915700701 107 010100

5’751 116707, 37 à BA 7101i AA, 10 02901 ABF 191’701-

707 1101i 11027101 101 56911715701 191700701 105107 5’751 107

1.6707, 67 5151 à FA 1101i AM 021.16 à FA and .AM (155:0701 16707 5’151, 077159 à 0P 7101i P0. 0 7&01029 FA 1101i AM 16709 0 010169 5’611 1,15 [51.019] 11?;

(PP 0101i PH 61è 10 01101701 51’057 1è 19(700701. mi10 AB F 02901 195700707 7101i 102 53917115701 (1512071: 2.67011

1. QI] 91E FV. 1&7] 1007 per camp. F; cart. Torel-lius, ut lin. 11, 15. 2. 1007 1011007 F, unlgo. 3. 50007100 F;corr. Torellius. 7. ZO] Z9 FV. 9. 50100] 5011:1 pet comp-F; eorr. Torellius. 13. 11909 pet camp. F; corr. Torelliusut lin. 17, 19 bis, 20, 21, 22, 23. 14. 510011 per camp. F;com Torellius. MK] MZ F; corr. B*. K2, ZF B , siBasil., Torellius. 19. 0217.02 à FA 11011 AM in m . F. il.51.10119] deleo cum Eutocio. 22. 517011 per comp. ; con. Tore ius.


aliquando, quae relinquitur, miner erit linea âI, etutraque linea Bd, AI" in partes [illi] aequales diui-datur, et per punaisa sectionum [lineae] parallelaelineae A4 ducantur, et ducantur lineae EZ, HK, A Meae igitur lineae BF parallelae erunt [u. Eutocius].itague parallelogrammi MN centrum grauitatis inlinea T2 positum erit, parallelogrammi autem K3in TT, parallelogrammi autem ZO in TA [prop. 9].itaqae magnitudinis ex omnibus compositae centrumgrauitatis in linea. 2A positum erit [prop. 4]. aitigitur P, et ducatur Pfl et producatur, et lineae A4parallela. ducatur F45. triangulus igitur AAI’ adomnes triangulos triangulo AAF similes, qui inlineis AM, MK, K Z, ZF constructi sunt, eam ratio-nem habet, quam FA : AM, quia lineae A M, MK,ZI’, K Z aequales suntl) [u. Eutocius]. et quoniametiam triangulus AAB ad omnes triangulos similesin lineis 1111, AH, HE, EB constructos eandem ra-tionem habet, quam B A :1111, triangulus igitur ABI’ad omnes illos triangulos eam rationem habet, quamhabet szAM’) sed FA : AM ŒPzPQ; namFA:AM 0P:PII, kquia. trianguli similes sunts)[u. Eutocius]. quare etiam triangulus ABF ad eos,

mus praebet riper tôt; réifiiez; lin. 14; quampnto, litteras lin. 14 ab interpolatore pro genuino subatitutasesse (prauo ordine).

2) Sint enim aummae triangulorum s et 81. eritAAP:8:FA:AM .44st, :BA:AA;sed FA z AM: RA: A11, quia AMO BF(Euc1. VI, 2). ita.

que AAI’ : A43 a s : 81; unde «naira:ABF:AAB:s-i-s, :81;

h. e. Aszs-l-sl :AdBurl :BA:AA:FA:AM3) Uerba. 0L8: :6 ôpoïa aïpw ni rpfymm lin. 22 non ha.-bnit Eutocius.

Archimedu, 0d. Heiberg. 11. 12

178 W EOPP. H SES-TPA BAPSlX EUH. A’.

51a, fisse c2 0P zorî P6. à": lai 6::sz tôt MN,K 5, ZO zapaürgiôïgapga 201i 16: malemôpsvargiycwa mitera lôyov 5’161, E159 à 00 ml 8P.75701:5th 05v e’v 195 16v zapailqloypéppæv and ni

5 fpiymva 167p à X8 1071 8P. 5’152 06v .4761! u pé-78305 16 ABF. 05 16 u’vrgov tu? M9569 361:; 16 8,ml émeri-nu (21’ «1’706 yéyêôog 16 dvyxeipevov à

145v .WN, K S, ZO ragdiqioygdyymv, and guru: 101";émgnys’vov peyæ’ôeo; 1511901! roi» M9609 1:6 P 6a-

10 patati, mû 59a 1.01.106 ysys’ôsog mû awxupe’vov à:tin: neptlemoyæ’vmv requirent: xé’vtgov 1:05 1302956;36er En! 1&9 P6 568515419 êxfllqôæz’o’aç sôôsiag «ixo-

Âaqaôu’aaç n01! tàv 9P minou êzoüo’aç 161: 1167011,

311 515L 16 éqwupsôàv 54575809 rad t6 1011611. 16 au:15 X (muerai: xa’wgov 561?. 1:05 1302950; 1:06 dvyxups’vov

peye’ôaog à): r61: zspclsmopæ’vaw’ 37:59 âôüvatov. tâç

7&9 ôtât 105 X 5133m5 1:47:96 161v A4 âyopè’vaç t’y

fg? imagé? 52:1 mâté créma ëvu’, rows’dtw t’ai fid-

rapov (15’909. ôfilov 05v t6 argouôs’v.

20 AAAQE TO ATTO.56m; 191574:11:01! r6 ABF, ml 621m: à A4 57:3 yé-

Gav tàv BI’. 1157m), 5m ënl rôts A4 16 us’vrpov :5th1:06 13029505; 1:05 ABF 1:9Lyœ’vov.

M] 7029, &M’ si ôvvatôv, 56m1 1:6 û, and 511:5th-

25 8136m! aï 15 Aâ, (93, 41” nul ou? E4, ZE gui p5-

1. 315L] 0m. F. «on; pet camp. F; con. Torellius, utlin. 2, 3, 4, 5. «e. KZ, :50 F. 12. P9] E9 FV. e6-ûelac] (3.16.) scripsi; un". F, uulgo. 13. and] Torellius; EnF, nulgo. 17. rob] compendio singulari F. 18. si":lui] landau mina tà xénon (rqumwu?) Eutociua.

3L


quos commemorauimus, maiorem ratianem habet, quamŒP: P6. quare etiam dirimendo parallelogramma.MN, KE, Z0 ad triangulos reliquos maiorem ratio-nem habent, quam 11509 : 0133) fiat igitur rationi par-allelogrammorum et triangulorum aequalis ratio

XQ : 631-12)

iam quoniam est magnitudo quaedam ABI’, cuiuscentrum grauitatis est Û, et ab ea. magnitudo ablata.est, quae composita est ex parallelogrammis MN, K E,ZO, et magnitudinis ablatae centrum grauitatis estpunctum P, reliquae igitur magnitudinis, quae extriangulis relictis composite. est, centrum grauitatis inproducta linea. P0 positum est, linea ab es. abscisa,quae ad (9P eam rationem habet, quam magnitudoablata ad reliquam [prop. 8]. itague punctum X cen-trum grauitatis est magnitudinis ex [triangulis] re-lictis compositae; quod fieri non potest. nam omnes[trianguli] in eadem parte sunt lineae per X in planaductae lineae A4 parallelae, h. e. in altera parte.itaqae constat propositumî”)

IDEM ALITER.

Sit triangulus ABI’, et ducatur A4 ad mediamBF. dico, centrum grauitatis trianguli ABI’ in lineaA4 positum esse.

na.1n ne sit, uerum, si fieri potest, sit Q, et ducau-tur lineae AQ, 0B, 8P, et lineae E4, ZE ad me-

1) Cfr. Pappus V11, 45 p. 684 et supra uol. I p. 235 not. 1.2) Adparet enim, X Q maiorem esse quam ÔQ (Eucl. V, 8).3) Ras ipse. satis adparet ex postul. 7, sed uerba. Archi-

medis obscuriora. sunt, nec es. Eutocius intellexisse uidetur.12*

180 EHIIIEASàN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EIIIII. A’.

0’019 1313:9 BA, A I”, ml 110196; 1&1; AÛ 62180160111 ai EK,

Z4, Mal énaçsüxrfiœo’av ai K4, 44, 4K, 49, M N.51151 (matât: éon t6ABI’ 11913111111011 15,6

421-1 191421151191 duit t’ô

11019011111101! 511181! 1&1:

BA 1:9? Z4, zou: écu105 ABI’ 101710511011

xévtpov 105 fiépeoç

1:6 0 Gapsïov, aux! 105W Z41’v 52901 rptyaivov

N 1501901: 105 1502956;B d 1, 156171, ’50 4 aunera?

011.0th me ëvu x51.-15 [1500! tôt O, 4 dupent à: êuazépço 11511 70171151211112, âne;-

ôfinap 11101:1 1&9 6110167101); 715151194319 l’aag 1:01.50sz yawtag’

92011159611 7619 10570. du)? rôt 01516; à) 11011 1:05 EB4 115’11-

1901! 105 fidgsôg 5611 16K 61111517011. 111’615 105 5801114110-

ze’gœv 10511 EB4, Z4F 11917115121111: 61171511151101) myé-

20 0505 115111901! 105 fldçsôg En": 311:1 picas 1&9 K4afiôu’ag, ênszôfizag tu 31111 1:6; EB4, Z41" 191571011111.

scat 50m 151g K4 (15’601! 16 N, émet écru], 1159 à BE

1101:1 EA, 05rœg à BK 1101?. (9K, à; 6è à F2 mortZA, 051m1; à F4 1101:1 40. si 61 10510, 561w à BI’

25 a; K4 11119011111109. ami 57155915111041 à 4 6). 561w 59a, i

063 à B4 1101:1 41”, 0511119 à KN 1101:1 16111 NA.15615 705 35 01110101521011: 11511 53017111512101; 19170111011! avr-

10

3. 61:51 0511? 6. un: par camp. F; con. Torellius.toit] vos F; com Torellius. 14. «muez en: F; con. Torel- ilins. 16. «on; par comp. F; corr. Ton-131111111, ut semper hacin pagina. 1101111911 F, uulgo. 26. 41”] B F. 1

l

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 18]

dies lineas B4, AI", et lineae 46) parallelae ducau-tur EK, 24, et ducantur K4, A4, 4K, 40, MN.iam quoniam 4BI’N 421”, quia B4 t Z41), et tri-anguli A BI’ centrum grâuitatis est punctum 8, etiamtrianguli Z41” centrum grauitatis est punctum 4[prop. 11]. 1mm puncta 8, 4 similiter posita. sunt inutroque triangulo, quoniam cum lateribus inter se re-spondentibus aequales angulos faciunt; hoc enim mani-festum est?) eadem igitur de causa etiam trianguliEB4 centrum grauitatis est K. quare magnitudinisex utroque triangule EB 4, Z41" compositae centrumgrauitatis in media. linea K4 positum est, quoniamEB4 a: Z4F”) [prop. 4]. et medium punctum li-neae K4 est N, quoniam est BEzEAaæBK:8K[Eucl. VI, 2; nam EK1F AQ] et FZ : Z4 a: FA : 46[nam 244:48]. hoc si est, erit BI’tKAf) etducta est 48. quare erit B4:4I’::KN:N4.5)quare magnitudinis ex utroque triangulo compositae

1) Nam AF: 21":: BF: 4P:- 2; tum u. Eucl. VI, 2b.2) Nain cum 46 * Z4 et L BAT:- 4ZF, erit

GAZ a AZF et B48 a 424;praeterea 21”11, AF4 communes sunt, et quoniam est

ZP:AF:4F:QF:1:2:4F:BP,erit 44 à: B9, et L .44? a 984; quam etiam reliquusZ4 A 430. ceterum cfr. Eutocîus, ex cuius lemmate: 61101111;1&9 bu ne! "a tà O, K, A êv tore 19170611019 concludi pessenidetur, eî a. iam huius loci formam sub coulis fuisse.

3) Eucl. I, 38; mm Bd a 4P et EZ :f BI’; quam alti-tudines aequales.

4) Nm BE : E4 :- FZ: 24; quam etiamF4149: BK:9K;tum u. Eucl. V1, 2.

5) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 3.

182 EHIHEAQN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EHIH. A’.

115111512011 (1871519509 1151119011 3611 16 N. 561w 6è aux

105 4E4Z zaçallnloypoîupov 115311901: 105 502950116 M mission 66’018 105 éx 110211111111 65711511151101) ne,

75’816; 16 115111001: 105 [3029569 561w éd 1&9 MN 65-

5 851’119. En"; 6è nul 1:05 ABFMs’wçov 105 [3450503 16Ü 6011151011. à MN 6’90: 31150111011510: 110051151111. ôtai

105 8 6011151505 31189 026512111012. 051; â’pu 16 14121901.

105 fioîçeog 105 ABF 101721151011 0511 361w 1511:1 1&9A4 55851219. 561w 50a 31’ 1151625.

10 16’.111111169 191721151101) 1151119012 1’611 105 43029209 16 0a-

païov, uafl’ 3 05111167110111 105 10171051101) ai à: 1&1!71111110711 in). pédants 169 111511069 dyouéval. 55651111.

A 5610) 19010112011 1615 ABI’, 11011 â’zôœ à (du

l 4 4 3111 11561111 1&1: BI’,à 615 BE 15111 (1560111 1611

4R 5065151011 61) 105ABI’ 19171151101; 16 115’11-

20 a 19011 105 5119503 397,ëuazêgag 162v 44, B E’

B 1., tîsôelmuu 7&9 * 10510.4 mon 1:0 Ü 6111151011 x511-

19012 105 [3029569 Emmy.

25 15’.111111169 190115:1’01: 169 650 111512069 Ëxowog arag-

aÂÂqilovg 0211110210119 1:6 us’wçov ë011 105 [3019509 9l:

101g a5ôatag 1&9 ëauëavyvvoüaag 16:9 61.1010115019 1&1!

1. 5611105 5020803 Torellius. 6. chai] de du! F. 10. Lfi’ F.


centrum grauitatis est N. sed etiam parallelogrammiAEAZ centrum grauîtatis est M [prop. 10]. itaquemagnitudinis ex omnibus compositae centrum grani-tatis in linea MN positum est [p. 149 not. 1]. sedetiam centrum grauitatis trianguli ABF punctum 6est. itague linea. MN producta pet punctum (9 ibit;quod fieri non potestJ) quam fieri non potest, utcentrum grauitatis trianguli ABF in linea A4 posi-tum non ait. itaque in en. est.

XIV.

Cuiusuis trianguh’ centrum grauitatis est punctum,in quo lineae ab angulis ad media latere. ductae con-currunt.

triangulus sit ABF, et ducatur A4 ad mediamBI”, BE autem ad mediam AF. erit igitur trianguliÀBÎ’ centrum grauitatis in utraque linea. A4, BE;hoc enim demonstratum est [prop. 13]. quarta punc-tum û centrum grauitatis est.

XV.

Cuiusuis trapezii duo latere. inter se parallela. ha-bentis centrum grauitatis in en linea positum est,quae media puncta. parallelarum iungit, ita diuisa, ut

1) Nam EM:MZ, KN: NA; quam MNO ZAzçAO.

12. tous! comma: F, ougo. 18. êaostraLIscripsi; a F. uulgo;En; B, orellius. 19. :6] addidi; 0m. F, unlgo. 21. tourpet camp. F; con. Torellius. 26. Ly’ F. 27. annule F;con. Torellius. 28. 155:9] un F, nulgo.

f

184 EIHIIEASZN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EHHI. A’.

xapaMfilmv âmesôsioaç, in; tô quina «ôtât; 16légats 510v ràv ôqotopiav aïs élédo’ovog 15v napal-

Vhflaw ami fô lourât: quina mûron: 515w 1611 1.6707,31: 51e; avvalupéupoç à tu té maladie; 1629 peigna;

5 pêtà 1&9 éléaaovog m2 du: 01.1141615411: 1&9 510266070;

pué zig peigna; dufait.) rpazéÇLov tô ABFd 14191111151.on 510v 1&9

A4, Br, à 6è El 311:5th tàg 640101145114; duAn, BF. 5a 015v gal zig EZ écu 1:6 ue’wçov :05

3,0 2E:10 managiez), (poinçon ëàv 7&9 Ëzflalfig tàg FAH, ZEH, 1

BAH, ôfilov, on 37:1, t6 aôtô Camion! 391612141!" 36-65km. 015v toi HBF mwœ’vov to xêwpov 1:05 fluions312 :629 HZ, ami épata; 105 AH4 tpzynivov 1:6 adv- ,190v 105 fidgsoç gui aïs EH. anal lomoô 59a un?

15 11de monnayai) 1:6 xéwçov toi? fiéçsoç écachai. 3131&9 EZ. ëmçavxôeïaa 6è à Bd ôzyprio’ôm si; fait

l’au nard rôt K, Û capital, and ôL’ 41151611 zapâ tàv

l. un cum comp. ne F. 2. réa] un F; con. maltai.


pars eius terminum habens punctum medium minorisparallelarum ad reliquam partem eam habeat ratio-nem, quam habet linea duplici maiori aequalis simulcum minore ad duplicem minorem simul cum maioreparnllelarum.

trapezium sit ABFA latere. A4, BF parauela.habens, et linea EZ media puncta linearum A4, BFiungat. iam centrum [grauitatis] trapezii ln linea EZesse, manifestum est. nam si produxeris lineae FAH,ZEH, B AH, adparet, eas in idem punctum incidere[u. Eutocius]. itaque trianguli HBF centrum grani-tatis in linea. HZ positum erit [prop. 13], et eodemmodo trianguli AHA centrum grauitatis in linea EHpositum erit [prop. 13]. itaque quod relinquitur, tra-pezii ABI’A centrum grauitatis in linea. EZ positumerit [prop. 8]. ducta. autem linea. Bd in tres partesaequales diuidatur in punctis K, 6, et per en. lineae

tir] un par comp. F, nulgo, ut lin. 6. 4. me chalande F; .con. B. 5. noce par comp. F; corr. Torellius. 7. roa-mtszor F. 10. sufialn F. 11. lutina 0117]] scripsi; tatar.(comp.) to F, nulgo. l3. :6] addidi; 0m. F, un go. 15. rou-zetuov F; corr. Torellius. t6] addidi; n deletum manu 1F; 0m. unlgo. son; pet comp. F, uulgo, ut p. 186 lin. 2.

10

15

20

25

186 EHIIIEASZN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EHIH. A’.

BI’ 51191060111 a5 AQM, NK T, aux). ëxsÇeüxôœo’av

AZ, BE, DE. écachai. 617 1:05 11è! ABF 191.7161uévtpov 1013 5020509 1511i tâg QM, 31516151150 19151

115’003 à 69E 1&9 BA, and du)? 1013 6 capelan m021.1171109 1:9? fléau. (fuma à M6). 501w 6è 1:0 11151210

1017 13059503 1:01? ABF rpuyaîvav 110d éd 1&9 A Z. 173c1:0 E 1153110011 1:01") fidçsag 15017 signpe’vov 1017051101). à

m1318; 6è 110d. 1:0 0 6011151011 1115121001: édit 105 fiées

1:05 ARA 191.7061101). 1:01? 59a à: àpcpazs’pmv 11ABA, BAT rpzynîvaw 60711511115101) 11575195051, 311:étui 1:0 1001113521011, ta 110110011 106 5029509 fait). rà’ç 0

eôôsiag. 561w 6è 1:01? stpnuévav tpansÇL’av 1:0 né

1’001: 1:01") [3020509 ml à) 1&5- EZ. (5615 15013 A31"managea 11151110011 6’61). 1:05 flépaog 1:0 H caneton Ë;

6’ 5211 10 BAT 19170111011 nazi 10 ABA 16701:, 3110H 71:01:). HE. &ÂÂ’ 059 1:0 BAF tgiymvov nazi 1ARA tçlyœvov, ofitœg êvrl à BF nazi A4, 05g tà 0H 1101:3. HE, 051m1; à PH 15012172. aux). 059 àà BI’ nazi A4, 0171m9 à P11 11:01). H2. (Bats au«55’ 6150 ou? BI’ 1151:6: 1&9 AA 1m53. 6150 du; .44 par

1&3 BI’, 0171m9 6150 al PH parât 1&5 HZ 1101?. 615

1&9 H2 parât 1&9 HP. 02Mo? 8150 pèv ai PH pet1&9 H 2 avvapmdteçdg écru: à EPII, 15001156111: à 11E

6150 ôè a! H2 p.513: tâç HP dwapqadtspdg ëdtwP211, toméfiflv à HZ. 658513115111 fion 1:8: «0016883111

V 11. 10 rçunëttov] cum B; 10017113:st F; 150011:48:01: qugo100111:11:11 V, Torellius. «il, addidi; am. F, uulga. 12. si051w; émir? zoantuoa ; corr. V. 16] addidi; am. Fnulgo. 14. 1500111055100 F; cart. Torellius. 16. «on; p!camp. F; cart. Torellius. ut semper hac in pagina. 23. 1:faîw] par camp. F, ut lin. 25. 25. P211] scripli; P1127 V

un go. i


BF parallelae ducantur AûM, N K T, et ducanturAZ, BE, DE. erit igitur trianguli ABF centrumgrauitatis -in linea. 9M positum, quoniam ûB : àBd[u. Eutacius et prop. 14], et pet punctum Û basi par-allela ducta est linea M 0.1) sed centrum grauitatistrianguli .481” etiam in linea A Z positum erit [prop.13]. itague punctum E centrum grauitatis est illiustrianguli. et eadem de causa. etiam punctum 0 cen-trum grauitatis est trianguli ABA. magnitudinis igi-tur ex utroque triangulo A B A , BAI" compositae,h. e. trapezii, centrum grauitatis in linea DE positumerit. sed centrum grauitatis huius trapezii etiam inEZ positum est. quare trapezii ABFA centrum gra-uitatis est punctum H. erit autem

BAF: ABA : 0H: H27 [prop. 6 et 7].sed BAF: ARA: szAA [Eucl. VI, 1], et

0H: HIE: PH: H212)quare BI’: A4 z: PH : H E. quare etiam2BF-l-AA: 2A4 -1- BF: 2PH-I- H2 : 2H24- H23)sed 2PH-I- HZ :2 EP4- PH: HE4); et

2H21 -I- HP: P2 -]- ZH: 112.5)itaqae demanstrata sunt, quae proposita orant.

1) Haec uerba: nul 616: 1017 9 lin. 4 -- 51mn à M9 lin. 5Eutacins habuîsse non nidetur.

2) Nain OPHN 211.51; tum u. Eucl. VI, 4.3) Cfr. Quaest. Arch. p. 48.4) Nam EP a P2 a 22, quia. AN a NA : BA et

NTOAMOBRa) Exit igitur 231*4- A4 : 2.4.4 4- BF: 11E :112.

’Eamræ’dœv [600001110512 13’;

Ia .El 1m 6150 10001501 11501516115114! 15116 15 515855419 rai

606071011501) 110511015 topais, 52 6151505115011 111106; 1&1: do-

5 35100:1: edôeïav 11019050115111, 111) 16 01510 1153110011 tu?

[3050809 51011211, 1015 3g 05110501159031! 111510311 61571511153101!

pays’ôsos 10 105111001; 1015 [3059509 êcaelwz 311:2 10?; ni-

âec’ag 1&9 ëmêævyvvodcaç 1è 141’190: 1013 peignas m5161

6101195’011 o1’51a1ç 1&1: 53917115110512 513mm, 03’618 1è qui.

10 peut m5159 «51111151010611»; 1612 11151011 16701: 51m

1otç xmplfazg.

561m 6150 10910: 1è AB, FA, aïe: slpfitou’ xér-10a 6è 111510311 1015 [3050509 5611:1 1è E, Z damera, and

611 51:1 1.6701: 16 AB 1101?. 10 FA, 10171011 3151013

g.05?W

1V K 115 26 1101?. 6E. 6511115011, 611 101": 38 02110301521101: nil

NHFT’E»la -. Kmfià

1. 11000011111011 p F. 2. 11’] am. F. 5. angon] culcamp. n11 uel 11v F. 6. 51mm] scripsi; 1101m: , unlgo

De planorum aequilîbriis liber Il.

I.

Si duo spatia comprehensa linea recta et sectianecani rectanguli, quae datae lineae adplicare passu-musl), idem centrum grauitatis non habent, magnitu:dinis ex utraque compositae centrum grauitatis inlinea. centra grauitatis eorum iungenti ita positumerit, ut lineam illam ita diuidat, ut partes contrariamhabeant propartionem ac spath?)

duo spatia, qualia diximus, sint A B, FA, et centragrauitatis eorum sint puncta E, Z, et ait

AB:FA:ZQ:ÜE.

1) H00 demonstratum est in libro de quadratum para-bolae scripta; u. Eutacius.

2) Haec proportio nihil continet nisi peculiarem quendamcasum libri I prapp. 6-7, quae Archimedes propria deman-stratione adiecta ad segmenta parabolarum, de quibus hoc libraagit-ut, transferri uoluit; quad cette necessarium non erat.

53501011 Riualtus. 9. 6101195001! F; cart. Torellius. 10. 011’14-1mzo10901 cum camp. (ou F; cart. Torellius. 15. «(me percamp. E; cart. Torellius.

10

15

20

190 EHIIÏEASZN IEOPPOIIIQN B’.

AB, FA 103950111 61111165415001: 1157553509 1151119011 1013

[3059569 5611 1è 0 0a115i’o11.

50’101 61?; 10? 11.511 Eû 5110115911 i005 10’211 ZH, 2K,

1d 65 26, 101115011 10? HE, [au à EA. 566511011. 590:aux? à A9 10? K0 l’au, 1101?. 5’11, 059 â AH 1101?. HK,

051m5 10 AB 1101?. FA ’ 61.7111010101 7&9 5110115901 51111159013.

«09013501156801 61] 110190? 18111 AH 10 10195011 1015 AB 50’

5110515901 1079 AH, 03015 55’050 10 MN [0011 105 AB.

566551011 61) 1013 MN 1151119011 1015 [3159503 10 E ca-11517011. 61111715111139050810 61) 10 NE. 3:51 61) 10 MN7101?. 10 NE 167011, 311 à AH 11011 HK. 5’151. 65 aux?

10 AB 11:01? 16 FA 1011 1&9 AH 1101?. HK 1.157011.scat 05g 6590: 10 AB 11011 FA, 0171m9 10 MN 7101? N5-ua? 51101111052. i600 65 10 AB 105 MN. 176011 151’912 au?

10 FA 105 NE. un? 10551119011 561:?11 01151017 1017 505950;

1è Z 0011153011. aux? 5115?. 1’00: 561?.11 à Aâ 107 (9K, ni ;

51a à AK 1&9 05115001111500 111.5119019 61510: 1511.1151, [1017]

67.011 1017 H M 1151119011 1015 flé9569 561L 10 (9 caneton

05116: 10 MH [6011 105 à: 02119301590111 10511 MN, N5.03615 aux? 1017 à: àyq1015’90111 11511 AB, FA 115111907

561? 1015 13059503 10 0 calalou.

3. 615 scripsi; 65 F, nulgo. 1&1] 10011 par camp. F:corr. Tare ius. 4. H E] H9 F; eorr. manne 2. 51mn pucamp. F, nulgo, ut lin. 9. 5. n90; par camp. F; cart. arallias, ut semper hac in pagina. 7. taupier] 001051011 F; corr.Torellius. 1015] 16 Torellius. 10. ôn’] 65 F; con. To»rellius. 17. 1013 deleo.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS Il. 191

demonstrandum, magnitudinis ex utroque spatio AE,FA compositae centrum grauitatis esse punctum Q.

sit igitur ZH: 2K:- EC”) et E11 a: Zû : E3)erit igitur etiam

AÛ : KGV), et AH: HK : AB : FA;attaque enim [AH, H K ] duplo maior est utraque[ZQ 8E?) adplicetur igitur lineae AH spatium ABin utramque partem lineae AH, ita ut ait MN a A B.itaque spatii MN centrum grauitatis erit punctum E[1, 10].4) expleatur igitur spatium N E. erit igiturMN: NE a AH: HK [Eucl. VI, 1]. sed etiam

AB:1"A::11H:HK.qusre

AB:FA:MN:NE.et uicissim [AB:MN:FA: NE; Eucl. V, 16]; etAB: MN. itaque etiam FA a: NE. et centrumgrauitatis [spatii N E] punctum Z erit [1, 10; u. not 4].et quoniam AQ : 69K, et 11K tata latere. sibi oppo-sita in duas partes aequales diuidit5), totius spatiiIIM centrum grauitatis est 9 [1, 10; u. not. 4]. sedMII --: MN -l- N E. quare etiam magnitudinis ex A8,F45) compositae centrum grauitatis est punctum (a.

1) Nam E8 :- HZ; auferatur igitur linea H 9 communia.2) Addendo E9 : ZK et E11 a 82.3) Est enim AB :124 a 20 : 9E a: 2Z9 : 29E; sed

AH:EA-I-EH:2ZG et HKaHZ-I-ZK-2E9.4) Nam unctum E id est, in uo dismetri concurrunt; u.

Zeitachr. f. ath., hist. Abth. XXI , p. 180 nr. 10.5) Auditur, spatium MN ita. positum esse, ut linea AH in

dans aequales partes diuidatur; hic enim sensus est uerborum59’ 511021290: 1&6 AH lin. 7.

6) 8c. in pnnctis E, Z suspensis; ideo enim demonstrs-tum est, hsec puncta. centra. grauitatis esse spatiorum MN, NE.

(

10

15

20

26

192 ETHIIEAQN IEOPPOIIISZN B ’.’3’.

E! aux dg quina nsgtsxôuevov 15m3 &üflu’ag neôgôoymw’ov 160’va roulis zgiyawov êyygaqafi 113w a:du; [3020111 510v 1:95 immun and 1711109 13’601), aux), zâÂL

589 rôt xawlsmôywa ménure; wigwam 631790505031111&9 aïnàg flaflas Ëzovw rots ryaçwîteadw au), fivel’aov, nul ciel sis 1:5: naralemôpwa tpdpam rpéyœvs’yygacps’mvn rôv «61:61; tçânov, 16 ysvôpsvov 6193p,

à: :55 rpéyau 7vœ9iycag âyyçaqne’dôar. Âsys’o’ôm. (pain

96v 65’, au 1:01? 051m5 ëyygmpe’wog dzfigarvog al Id!

glaviots ëmêsvyvvoüdm rois se 5771.6105 (in?) râg xogvcpâg 1:06 ruéyarog and 185g êgfiç ampà 1&1; fléau à:

60’6th 1013 rpdparog, and (fixa spaôndôvtm 157:6 nison? zpdyato; ômpe’zpov, nul 1&1! ôux’psrgov 1551017111

sis coin; :0511 52479 stagwaaîv àçLôuôv lôyovç, ëvô

ÂsyOye’vov «lori a; «:0ng9? 1:05 zydparog. tafia: ôôemte’ov à) rats séguia).

Et 6:! aux et; quipo: nepaaxôuavov 131:6 5139515015. r.and 693070311501; um’vov rouâç eôôüypappov yvmgu’pms

ëyygatpfi, 16 r06 s’yypacps’vzog xéwçov toi flépsog

émiettai. 575?. 15075- 1013 tailladas ôzaps’tpov.

561m zpâpa rô ABF, oïov eiç’âuu, anal ëyysypoîtpôœ

sis «13:6 eôôüyçapuov yvmgipœg 1:6 AEZHBQIKF.ôsmre’ov, 51:4 rô us’vzgov 106 flépeog 1:05 5660790244101:

6’6er ënl raïs Bd.

4. fifi] to F. 5. syyqotqasvœvn F. 6. pour cum camp.ne F; [3&0ng uulgo. maganant F; cors. Torellius. 7. Post.l’an! repetit F: au! sic tôt natalsmôysva . . . [son con. ed.Basil. 9. 7100pr, cum comp. on; FA. 14. 61021551909 du:-pstgm. F: chapé-tour uulgo; cors. Torellius. "pot-nm; sonF; corr. Torellius. 15. sotie] me F. 16. tus-11:? cum Eu-tocio; routa F, nulgo. 18. un] scripsi; mu F, u go. 20.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 193

Il.Si segmento comprehenso linea recta et sectione

coni rectanguli triangulus inscribitur eandem basimhabens, quam segmentum, et altitudinem aequalem, etrursus segmentis reliquis trianguli inscribuntur easdembases habentes, quss segmenta, et altitudinem aequalem,et semper deineeps segmentis reliquis eodem mode trian-guli inscribuntur, figura. inde orta. pro prie segmentainscribi dicatur. adparet autem, in figura. ita. inscripta.lineas angulos iungentes et uertici segmenti proximoset ceteros basi parallelas fore, et diametro segmentiin partes aequales diuisum iri, et diametrum in pro-portionibus numerorum imparium ordine sequentiumdiuisuras esse, unario numero ad uerticem segmentinumerato. haec autem suis locis demonstranda. sunt.1)

Sin segmenta comprehenso linea recta et sectioneconi rectanguli figura rectilinea. proprie inscribitur,[figurae] inscriptae centrum grauitatis in diametrosegmenti positum erit.

sit ABF segmentum, quale diximus, et ei inscri-batur proprie figura rectilinea. AEZHBûIKI’. de-monstrandum, centrum grauitatis figurae rectilineae inlinea Bd positum esse?)

1) U. Eutocius, ex cuius nota adparet, haec omnia. in Fl’acte cum prop. 2, non cum prop. 1 coniungi.

2) Auditur igitur, lineam Bd diametrum esse.

:6] addidi; 0m. F, nulgo. 21. sauna F. 23. A] A F.24. Ante ôsmzs’ov in ed. Basil. (et apud Torellium) sdditur:ôtépsrpoc 6è 1:01": guipures gara) à Bd.

Archimedes, sd. Heibsrg. Il. 13

194 EIIIIIEASZN IZOPPOHISZN B’.

31:52 7&9 1:06 uèv AEKF maneêc’ov 1:6 ue’vtçc

1.015 fidpaog 311:1 1&9 A4 361L, 1017 6è EZIK 1:9.mçz’ov rô 3153219011 57:2 nig- MA, 1015 6è 2H81 1:94

W rneÇL’OU 10 115111901! 37:1 raïs MN, Ëu 6è aux! 1:05 H B4

5 1917051201) 10 ue’vrpov 1:01"; fléçsoç 6’112 1&5 BN, 6132.01

51:1. ami 1017 3.1.01: sûôvygdmzov 16 névrgov 101.5 [305950

ëarl 1&9 Bd 361w.

Iy .El’ aux 6150 11101110210311 ôuoùml 18918101151001: 157:1

10 513355019 se and. 69807111121501) 31051201) 1011159 61’s 5110218901

sôflüyçappov êyygacpfi 712109511009 5101m 6è 1:6; 3779m(pâma sôô’ôyçaww ràç nlsvoàç 176019 195 salifiez cillé.

11mg, 1151: sûôvyooîupœv se) 218311901 un?!) flapê’œv 61104105

15511120er ràg 61051185590119 11511 rpapoîrœv.

15 56m) 6150 111021111101 rôt A B F, SOIT, and ëyysypéqwmdg 0115113; sôflv’yçappa 71110915111319, and 1&1! 15056511! arko-

gâv 1:61: 02916114311 èzôvraw àMoîÂozg E6011. 61011551901

5è 56110611111 115v tyapétmv ai BA, OP, and. 511555151-

00160"; al EK, ZI, HQ aux) 2T, TO, X912 être)

1. AEKF] VËÎ Ï]? FV. mandat") F, qugo, ut lin. 2, 3.


Dam quoniam trapezii AEKF centrum grauitatisin linea AA positum est [1, 15T), trapezii EZIKin linea MA, trapezii ZHGI in linea MN, portotrianguli HBQ in linea BN [1, 13; u. not. 1], adparet,etiam totiu figurae rectilineae centrum grauitatis inlinea BA positum esse [cfr. I, 4 not. 1].

III.Datis duobus segmentis aequalibus’) comprehensis

linea recta. et sectione coni rectanguli, si attique figura.rectilinea. proprie inscribitur, et figurae inscriptae la.-tera numero inter se aequalia habent, centra grani-tatum figurarum similiter diametros segmentorum se-

cant. nduo segmenta sint ABI", E017, et iis inscriban-tur proprie figurae rectilineae, et numerum omniumsimul laterum inter se aequalem habeantf’) et dia-metri segmentorum sint BA, 0P, et ducantur lineaeEK, ZI, HG) et 2T, TO, Xël’. iam quoniam et

1) Nm ON a NH, 1M: MZ, 1M : AE, FA : 4.4;u. p. 192, 13 sq.

2) U. Eutocius; cfr. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXVp. 46 nr. 3; Apollon. V1 def. 7.

3) 516111001: lin. 17 imperatiuus est.

l2. 01111110113 FV. 14. 121111101111 F. 16. nul tint] scripsi;une: F, uulgo. 116201113 111.8179021; Torellius. 17. 510mm: To-rellius. «1111101; F; corr. Torellius. 19. ZI] ZI’ FV.

13*

196 EIIIIIEÀQN IEOPPOIHQN B’.0611 ë 1:5 Bd 611119551111 151:6 1&1) 11119111161011! dg 106;

1.1511 êëfig 6919110311 11591660311 16701:5, ml à P0, aux!11,5 11116351 1:81 1116111110: «ôtât: la: êvu’, 6151011, (à; 16

1:5 111611:11:01 1&1! ôwys’tocov à: 1:05; 111310171; 167015 t’a-â

5 65515111, 110:1 ou? 11019111161101 106g 01610133 lôyovg 12061111.

11011 115v zoaneÇIÏrov 1017 te AEKF aux), 1:01? 52 T11là 11611191: 103v [301960311 566811111 (fait 1’511: AA, 9P561951âv 61105109 11551151101, âne) 1611 11131611 5101m. 16701

al AF, EK mais EH, 2T. 110211111 6è 11011 1’151: EZIK.10 ETCDT roaneêëmv 1:0? 116121590: 1.1512 501961171: êao’oôvtœ

61101’œg 61011960111501 mis AM, 525A, xalÆaîv ZHOI,

TXËFCD 190111412011 1rd 116121901 115v fiaps’aw 1566061111:

1. un F, uulgo. 106;] 1:01) F. 2. à P0] scripsi;


Bd et P0 in proportionibus numerorum impariumordine sequentium lineis parallelis secantur, et partesearum numero aequales eunt, adparet, et partes dia-metrorum in iisdem proportionibus fore, et parallelaseasdem rationes habituras essefl) et trapeziorum AEKI’

et 52TH centra grauitatum in lineis A4, 9P simi-liter posita erunt, quoniam est AszK : EH:2T.’)rursus autem etiam trapeziorum EZI K, ZTŒT cen-tra grauitatum lineas AM, SPà similiter diuident’),et trapeziorum ZHûI, TX’FÇD centra grauitatum

1) Nam BN:NM:MA:AA:1:3:6:7 (p. 192,14):Oq:qF:1à.Q:.QP;

inde BN:BM:BA:BA:: 1:4:9:16 a: Oq:OF:OQ:OP.est autem (quadr. parab. 3)

HN’:ZM’:EA3:AA’::BN.:BM:BA:BA:Oq:Oæ:OSÆ:0P::Xq’:TF’:2Q’:EP’3:1H91ZI;EK:AF:: X’F: T915: ET: EH(p. 192,13).2) Nam situa centrorum ex ratione laterum AF, EK, En,

27T pendet (I, 15).

HPO F, uulgo; P’O épatons ed. Basil., Torellius. 3. avtœvF, vulgo. 4. tu"! F, uulgo, ut p. 19S lin. 3. Ëv] 0m. F;con. Torellius. 6. tournetumv F, uulgo, ut lin. 10, p. 198lin. 4. 7. rœw-svflsmv F, nulgo. 8. bref] Torellius; unF, vulgo. 9. 65’] scripsi; au F, unlgo. 11. :029 AM, 9.9.,ad ôpolmg ôwugëowa p. 198 lin. 1 0m. F; suppleuit cd. Basil.,niai quod à! toi; Z6), T? tqanafælmç lin. 11-12 praebet,quod ex usa Archimedis con-en.

198 EIIHIEAQN IEOPPOIIISÆN B’.

ôpolœg ômcçe’ovw 1&9 MN, 1&1; 4566511011. 6è 111111151 .

HBQ, X01? 191705110111 rà 11511190: 1:61: flape’aw à)

du; BN, 0G 611.0150113 neigeux. ëxovu ôù du! 11616116701; rôt tonifia aux), 1:8: 1957011105. ôfilov 0131:, au

5 1017 5101; eûflvygégmov 1:05 à: r93 dBF 11102111211 ëyyt»

ypamze’vov 1:6 11151119012 1:01") fioigaog 61106019 61,011.95: 1&1

Bd, ami 1:06 à: 1:55 30H maman ëyyayçappe’vov 16ue’wpov 1:05 finîpaog 7&1: 0P. 51:59 5651 ôsz’ëou.

à".

10 110111105- 19021:an «59115101119101; 1311:6 mimais n un!6919070111501) 111131101) 1:011âg rô xs’wgov 1:05 [3059569 ému

511:3 1&9 1:06 111011101109 610111151901).

En» 111511.01, cils 83961011., 1:6 ABF, 015 ôLépætpoç

561:0: à Bd. ôumrs’ov, 31:1 1:05 etgnye’vov rpémoç

15 1:6 31151219012 1:05 fléçaôg 561w ënl 1&9 Bd.

si yàg mi, 561:1» 1:6 E, nul 61’ 0:61:05 61’130) M931

1:6"; Bd à EZ. and ëyyeygoîqaôm dg 1:0 quipo: 194’-yawov 1:0 dBF du: 011513112 fléau; 5x01! nul 131,009 laov’

aux), 31! 5151 Âôyov à FZ 71:01:), dl, 10171011 flâna 1:020 ABF 79670111011 1101:2 1:0 K xœgfov. ëyyeypéœôœ 6è

and süôüypœppov 513g rô tfiâw 71111191111019, 1561:5 tà

«59115111611570: 11102111210: 32.0511601201 521ml 1017 K. 101:

61) ëyygacpops’vov eôMpoZyyov 16 xénon 1017 Man’s

561w 45:11 7&9 Bd. 561:0) 1:6 à, nul ëarsçeüzôœ a? 8E

1. æq scripsi (quae litterae etiam in figura. cum F re-atitui) C T , uulgo; s’q Torellius. tatou par camp. F, 1111130.3. 51111er F; corr. Torellius. 61j] scripsi; de F, unlgo. 6.1:0 O F; com AB. 8. un un: F; com Nizzius. 15. :15] ad-didi; 0m. F, 1111130, ut lin. 17. 19. 1:90; pic? comp. F ; con.Wcramas, ut lin. 20. 22. ewcu pet comp. ; con. Torellius.


lineae MN, 950 similiter diuidentf) et etiam trian-gulorum H B G), X 011? centra grauitatum in lineis BN,0G similiter posita erunt.’) itaque trapezia. et trian-guli eandem rationem habent.’) adparet igitur*), etiamtotius figurae rectilineae segmento ABI’ inscriptaecentrum grauitatis ’lineam Bd similiter diuidere acfigurae segmente 50H inscriptae centrum grauitatislineam OP; quod erat demonstrandum.°)

1V.

Cuiusuistsegmenti comprehensi linea recta et sec-tione coni rectanguli centrum grauitatis in diametrosegmenti positum est.

ait dBF segmentum, quale diximus, cuius diama-trus sit Bd. demonstrandum, segmenti illius centrumgrauitatis in linea Bd positum esse.

nam si non est, sit E, et pet id lineae Bd par-àllela ducatur linea EZ. et segmenta inscribaturtriangulus ABF eandem basim habens et altitudinemaequalem. et sit FZ: d Z :-- ABF: K. praeterea figurarectilinea segmento proprie inscribatur, ita ut seg-menta reliqua spatio K minora sint [u. Eutocius].itague figurae rectilineae inscriptae centrum grauitatisin linea Bd positum est [prop. 2]. sit punctum Q,et ducatur linea QE et producatur, et lineae Bd par-

1) Cfr. p. 197 not. 2.2) Ex I, 14 et Eutocio ad I, 15.3) Nam cum’trabezia. respondentia. et triangule. similis.

sint, eae rationes habent, quae lutera quadrette. (Eucl. VI, 20)3:.4112 : 5H9, EK’ : ET’ cett, quae aequales sunt.

4) Ex I, 6-7. omnino u. Nizzius.5) Hanc propositionem etiam de segmentis non similibus

ueram esse, entendit Niuius p. 30 0.

200 1211an115211 IZOPPOHIQN 13’.

and 51165131156190), nul nage? ràv Bd «flâna à FA. ô:1011 65’, 6’11. 1151201101 1671011 fixa. ’tà ëyyeyoappe’vov sa

91591901111101! à) 193 quipou: 1101:2 rît laminant enligna

J Zfi 1:6 ABI’ «1131001101; 115MB 1:0 K. &ÂÂ’ éon, 059 1:1

5 dBI’ rotyœvov nozî t6 K, 051m9 à FZ mati Zdand 16 âyysyçappëvov 6’90: 51386790111001! 2501:1 1:6: 7159!.-

Âsmôysva mainate; peigna 1.67011 5x51, fi à FZ «onZd, 10121561111 à AE 71:01:), E6). 31555:0 015v à ME71:01! EQ 1612 aôtôv lôyov tôv 1:05 sôfivyçéppov :1:th

10 Tà ipépœra. émit 0’511 1:0 p.251: E 915019011 1:05 3101.1

111021101109, 1015 6è ëyyeypapps’vov à! 0113195 51380790511-

yov r6 (9, 6151011, 51:1. 10mm? 1013 61279151115001; payé-ôeog à»: 11511 mpzlamope’vœv 1110111111011: 1:6 ue’vrçov 1’013

(3029569 à!er ênfilflôu’dag 1&9 ÜE 1m! ânolazpôaz’ôa;

15 nvôg eûôelaç, ü 1167011 5st nazi 113w (9E, 311 10 5775-

yoapps’vov s’ôôüyoawwv azor), tôt 55911817160800: 1:11.05-

paw. 156w si?" aux 1:05 dvyueme’vov 1157529509 ëx 115vneptlemope’vœv 11101110210311 2151119011 1:01? [3029509 1:0 M

Gapsïov’ 37:59 551011011. 1:59 7&9 ôLà 1:05 M ampli 1&7

20 Bd 0270111.!an gui minât édôozîvmz mima rôt 11591»

4. âu’ 51m ad 16 K lin. 5 0m. F; con. cd. Basil. 5. :90; ï


allela. ducatur linea. FA. adparet autem, figuram in-scriptam segmente ad spatia relique. maiorem ratio-nem habere, quam triangulum ABF ad K3) est autemFZ : Zd : dBF : K. quare figura inscripta ad seg-menta relique. maiorem habet rationem quam FZ : Zd,h. e. quam 11E : E0?) habeat igitur ME: Eâ ipsamrationem, quam habet figura rectilinea ad segmenta”)iam quoniam punctum E centrum grauitatis est totiussegmenti, punctum (9 autem figurae ei inscriptae, ad-paret’), reliquae magnitudinis ex segmentis reliquiscompositae centrum grauitatis inueniri producta. linea.9E et linea quadam ab ce. abscisa, quae ad lineam0E eam ratianem habeat, quam figura inscripta. adsegmenta relique. quare punctum M centrum grani-tatis est magnitudinis ex segmentis reliquis com-positae; quad absurdum est. nam omnia. segmentarelique. in eadem parte lineae pet M lineae Bd par-

1) Nam figura. inscripta maior est triangulo ABF, seg-ments. nero minora spatio K.

2) U. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 2.3) Itaque, cum ratio maior esse debeat, quam AE : E0,

punctum M extra punctum A cadere necesse est.4) Ex I, 8.

per comp. F; corr. Torellius, ut lin. 6, 7, 8, 9 bis, 16. 8.Zd] Z om. F. 10. E] B F. 12. 10m cum comp. ov F;con. A. 17. aux] scripsi; 1mm F, uulgo; sa! Torellius; avaussi B. 18. 115111:91:01! F. 19. râc Torellius; tu F, nulgo-M eôôslaç Torellius. 20. accouru , uulgo.

202 EIIIIIEAQN IEOPPOIIIRN B’.1511161151101 111011101101. ôfilov 01511, au 571:1 1019 Bd 1:0

1151119011 561?. 1:01? [3019509

I5 .

El’ 1101 51’s 111131101 «59151611511011 131:6 5136515011; se 11111

5 ôçôoymvlov 11051101) 0011071; 51519157901111.1011 57179010317 701a-

91’11039, 1013 51.011 111021101109 16 11111119011 1:05 5029509 37-

7115059611 561:1 1&9 11091101029 1:01? 1110111011709 1? 1:6 1017

57719010253110; 56011790110901) 11151159011.

561:0) rô dBI’ moine, oïo11 539171011, 6102115790; dê

10 0113105 à dB. 11011 57115790210601 51’5- 01131:ô rolymvov

1119051011 711029110019 1:6 ABI’, 11011. 15111026301 02 Bd 1111111

16 E, 15615 5î11511 6015101010111 10111 BE 1019 Ed. 501w

ù 0511 1:01? dBF r91yœ’110v 1151119011 0013 fié950g et) E60111.5î011. 151110201000 61) 61’101 5110115901 1:0?11 dB, BI’

15 1101701 1:61 Z, H, 11011 6101 11511 Z, H 1101961 16111 Bdëzôœo’av al ZK, «AH. 506551011. 01’901 101"; 11.511 AKB

1111021101009 1:6 1151119011 101") [3119509 En) 1&9 ZK, 101’116 y

BFA 111011001009 16 1151159011 1017 13019509 5711?. tés HA.

8. 5001179011111. cum camp. ou F; con. B. 11. 151111100-

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS 1L 203

allelae ductae posita eruntf) adparet igitur, centrumgrauitatis [segmenti totius] in linea Bd positum esse.

V.

Si segmente comprehenso linea recta et sectioneconi rectanguli figura. rectilinea proprie inscribitur,totius segmenti centrum grauitatis uertici segmentipropius est quam centrum figuras inscriptae.

ait ABI’ segmentum, quale diximus, et diametruseius dB. et primum ei triangulus proprie inscribaturABF, et linea. Bd in puncto E ita Secetur, ut aitBE a 2E4. itaque punctum E centrum grauitatisest trianguli 113F [1, 14; Eutocius ad I, 15 p. 186, 3].utraque igitur linea. A8, BF in duas partes aequalessecetur in Z, H punctis, et per Z, H lineae Bd par-allelae ducantur lineae ZK, AH. itaque segmentiAKB centrum grauitatis in linea ZK positum erit[prop. 4] 5’), segmenti autem BFA centrum grauitatis

1) I postal. 7; cfr. I, 13 p. 179 not. 3.2) Nam ZK diametrus est. segmenti A K B, quia AZ a ZB

et ZK1: Bd. u. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 51nr. 14.

F; eorr. Torellius. 14. du Torellius; un per comp. F,vulgo. 15. 107w] scripsi; tu , uulgo. 16. acron par camp.F, nulgo. 17. 1:6 addidi; 0m. F, uulgo. In figura in F0m. E et pro N acnbitur T.

10

15

20

204 EnmEAszN IZOPPOIIIQN B’.561m) 6è rôt (9, I, ami Ensgsüxôœ à QI. and 5’152 Mgr

«110716794:va éon rô ûZHI, and l’au Sari ré ZNà NH, 561w 59a and à XQ Ida t9? XI. 150’115 m75E âpœors’çœv 105v AKB, BAF rpapérœv 6mm!-vov peys’ôeog r6 9151119011 1:06 (3059569 2’er hi IKIGEQ

râg (’91, êzstôfimg [du 51111 tà rpuîpæm, IO’Uü’GfHI r6

X dapsïov. garai 6è roi) phi ABF rçbyaîvov xê’vrporroi) fidpao’ç fait tô E Camaïeu, 1013 6è avyxæms’vov (E

&pqaon’gaw 115v AKB, BAF t6 X, 6521011 015v, au51.01) 1:05 ryeîparog 1:05 ABF 16 3151119011 1:06 fidpaôç

301w à), 1&3 X E, tonifia pâmât) 1:61: X, E 611mm.03’61’ si?) aux ëyyüragov 1&9 r05 guipures; xopupâg 16

xe’vrgov mû 510v rpépatog fi rô 1017 ëyyguæops’vov

rçLyaîvov 711099511039.

ëyysygdqzôw 10211,11 si; rô quipo: nevréyœvov 511m1

7941pr yvœgz’ng r6 A K BA F. aux), 5610:) mû ph: 510vamputas ôwîpsrgoç à BA, êxan’gov 6è 105v ryaydtaw

ëuœrs’pa 1&1; K Z, A H 61.1225181909. ami étai à! 193 AKB

guipait. ëyysypdanal, eôôüygappov 7114239544039, r05 510v

rpdyarog us’vrçov 1:06 [3059569 361ml 39715159012 ré;

uopvqxîg fi t6 r06 aûflvyçtîypov. 56m) 05v r01? pêr TILDÎ’LŒKOQ rô ne’vrçov 1:06 [3029509 1:6 Q, r05 ôè r91-

2. 92H FVCr. ZN] ZH F. 3. NE] HH F. 5.t6] addidi; 0m. F, unlgo. 6. roi addidi; 0m. F, vulgo.8. E] 0m. F; corr. AB. 9. BAT AF F. 10. :6] ad.dîdi; 0m. F, uulgo. 13. a? 1:6] scripsi; n F, nulgo. 15.516055101110: F; 539 tô ABF quipo: Nizzius. 17. 65’] de un: 6EF. expuncto de tov manu 2. raïa: AXE, BAF tynpnïnfNizzius. 18. râv] un: pet comp. F; corr. Torellius. 6mperças] Nizzius; 610418129009 F, nulgo. 19. æüôüyoapeun] un”70mn! Nizzius. 510v] 0m. B; delet Nizzius. 2l. vaw’P’pcïv] rQLyaîwov Nizzîus. 22. AKB tydpuroç ed. B3511, TO’re lins.


in linea H41) sint 6), I puncta, et ducatur linea. QI.et quoniam parallelogrammum est (92H12), et

N H : ZN3),erit etiam XQ : XI. quare magnitudinis ex segmen-tis AKB, 311F compositae centrum grauitatis inmedia. linea QI positum est, quia segmenta aequaliasunt4), h. e. punctum X5) et quoniam trianguli ABI’centrum grauitatis est E, magnitudinis autem ex [seg-mentis] AKB, BAF compositae punctum X, adparet,totius segmenti ABI’ centrum grauitatis in linea X Epositum esses), h. e. inter puncta. X, E. quare cen-trum grauitatis totius segmenti propius uertici seg-menti est quam centrum trianguli proprie inscripti.

rursus segmento proprie inscribatur figura recti-liuea. quinque laterum AKBAI’, et totius segmentidiametrus sit Bd, et segmentorum [AKB, B11 F] dia.-metri sint KZ, 11H. et quoniam segmento AKBfigura. rectilinea7) proprie inscripta est, totiuss) seg-menti centrum grauitatis uertici propius est quamfigurae7) centrum [p. 202, 10 sq.]. sit igitur segmenti

1) Cfr. p. 203 not. 2.2) U. Eutocius. inde colligitur etiam KZ a AH.3) Nam cum BZ : ZA : BH: HP, erit ZH 2k AF; ita-

que (Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 3)ZN:NH:AA:AI’:: 1.

4) Nam AKZ :- KZB, quia AZ:ZB, et BAHaAHP;et praeterea K ZB a BHA, quia. bases KZ, AH aequales sunt(net. 2), et altitudo eadem (nam KZ :1: Bd à: AH). itaqueA AKB : BAF; tum u. quadt. parab. 17.

5) Debuit sic dici: quam-e cum segmenta. aequalia sint. cen-trum grauitatis magnitndinis compositae erit punctum X.

6) Cfr. I, 4 not. 1.7) Debebat esse: triangulus et infra: trianguli.8) Abesse debebat.

5

10

15

20

206 .EIIIIIEAQN IEOPPOIIISZN B’.705101) 16 I. 11022.11 6è 561m 106 11h; BAT 1pépatoç16 1151219011 106 fiépsog 16 M, 106 6è 191761101: 16 N

[nul ëzetsüzôœ 16; G), ln, I, N. l’au 39a 36121 â 6X

19? XM, à ôè I T 1g? TN. 021.16: aux). 1917051193 195AKB 1’601; :3612 16 BAF, mène: 6è 16 AKB mima:193 BAR 65651311411 76:9 à: 52111019, 16: mima éti-19110: gipsy 14511 19176110111]. écuma» 61) 101") ph! 3E&pœon’gaw 1611 AK B, BAF 15105510216311 avyuapëvw

peyæ’ôeog 3153119011 105 fléçsoç 16 X, 105 66 fig âp-

tpo1e’çœv 1451 AKB, BAF maniaient! 16 T. zébu0611 être), 1017 ABI’ 19174151101) 34511901; 1017 fléçaôg En:

16 E, 101:" 6è à: &Wors’pœv 14511 AKB, BAI” nut-poî1œv 16 X, ôfiÂov, (69 [101:] 510v 106 ABI’ guipure;16 39151219011 1017 [3029869 4561W 5212 1&4; XE 15441051341;

051009, «5616, au 51a 1167011 16 ABF 1gb’yawov and16: dwawônça 16: AKB, BAT 151024101101, 1611 «616v

1.67011 515w 16 quipo: 41151079 16 zëpag 510v 16 X ami16 51.016601 quina. 106 6è AK B A1" 2151101761101; név-1901! 105 5029565- ê61w 6711 1&9 ET süôez’ag 11112195164;

051639, 15615, 312 5151 1167011 16 ABF 1plymvov 10T;1è AKB, BAF 1957011105, 1051011 515w 161 16701! 15

3. aux! grstsûzôm ad 1151 19174151411: lin. 7 0m. FVABCD CL;


[AK B] centrum grauitatis 6, trianguli autem I. rur-sus segmenti BAT centrum grauitatis sit M, trianguliautem [BAT] N. magnitudinis igitur ex segmentisAKB, BAT compositae centrum grauitatis est X,magnitudinis autem ex triangulis AK B, BAT com-positae T3) rursus igitur quoniam trianguli ABTcentrum grauitatis est E, magnitudinis autem ex seg-mentis A K B, BAT compositae X, adparet, totius seg-menti ABT centrum grauitatis in linea XE positumesse ita diuisa, ut, quam ratianem habeat triangulusABT ad utrumque simul segmentum AKB, BAT,eam habeat pars lineae XE, cuius terminus sit X, adpartem minorem’) [I, 8P) figurae autem quinqua la.-terum AK BAT centrum grauitatis in linea ET po-situm est ita diuisa, ut, quam ratianem habeat trian-gulus ABT ad triangulos AKB, BAT, eam habeat

1) U. Eutoeins; et cfr. p. 205 not. 4 et p. 204 lin. 3--7.2) Nam triangulus ABI’ maior est segmentis AXE 4- 3A F

(quad. parab. 21 et 17); tum cfr. I, 6-7.3) Sit enim centrum segmenti ABT punctum y inter X, E

positum; erit m ’tudinis relictae, segmentomm AKB, BAT,centrum granitons (X) in linea Ey producta ita. positum. utlit yX: Ey a A ART: segm. AXE -l- BAT. poterat idemetiam ex I, 6-7 concludi (cfr. not. 2). eodem modo infra. lin.18 sq. ratiocinandum est.

habent Tartalea, ed. Basi1., Torellius’; sed manifesta recentissimotempore interpolata. snnt; ex adnotatione Eutocii adparet, eumhsec uerbo non habuiase, et ipse. forma. Archimedea non est(Étatsôzûœ de punctis, quipo; 16 AKB). [fanfan 611]Scripsi; sont: (comp.) 58 F, unlgo, niai quod un ed. Baal],Torellius. 11. uswoou F. 13. 106] deleo. 14. Écran Ém’]Torellius; 301w om. F, nulgo. 17. tzar F.

203 EmnmæN IZOPPO [mm B’.

quipo: 0:610îg 16 71000:3 51011 16 T 11012 16 loua6115?. 061! paiêovo: 1.6701: 515: 16 ABT 1915710311011 m16: K AB, ABT 195700110: fi :1011 16: 151.021.0010, ôfiÂ.

061:, 51L 105 ABT 100Épa1og 16 36911001: 105 1305955 ëyyüngôv 361L 1&9 B xopvcpâg 13 16 105 âyygaæops’vc

56190700250000. ual’ 5716 71031110112 56190790200011! 10ëyygaqaops’vwv êg 16: 1:00îy,0:10: 700191540009 6 «616g 167:

IS .Tyoîpwwog 601960105; 71590810505100 6716 813055119 x

10 6930700111500 50061100 1000:9 6010161! 361w à; 16 qui:61336790414501! 3111010551,an ëyypoizpou, 05615 16:11 (1510:2

566517011 10511 30531190011 1017 13029509 105 1002012109 x.

105 67741092531109 56190790204000 8102660110: sima; 010:6:

1&9 7190151960609 56:95:09.

15 656664902 100’500: 16 ABT, 0601: 5396100, 06 13’:1001: 561m 106 [3029509 16 Q nul êyysygoîqiôœ si; 0:61

1000011011 7110095002; 16 ABT. 300:1 561m 0": aponôêïasûôsïa 0°: Z, au), 60 1.6701: 515: à B9 0101i. Z, 101310161: 1.6701: 615’103 16 ABT 19157001101: 7101?. 16 K 14:00:01

20 ëyysyçoîqwûœ 61) 56g 16 ABT 1:10:00: 8133157941000

920009150099 16 AKBAT, 0361s 16: «59015071605110: un?00:10: êÂoêadow: 51’051: 105 K. 400:1 5610) 105 37790:

0511103 8600710020000 305111901: 105 fldgsog 16 E. «puy61) 16:11 &E 5102660110: 0540511 10k Z.

25 et? 76:0 mi, 1’510: [au è61îv fi mitan). 13ml 6è riAK BAT süôüyçœmwv 7101?. 16: mgdsmo’psva 15:0,-

pa10: pBÏËO’IIu 1.6700 5150, a 16 ABT 10570111011 21011

2. 11009 per comp. F; com Torellius, ut lin. 18, 19, 26, 213. 102 (a1t.)] supra. scriptum manu 1 F. 6. me B www:(comp.) F; con. Torelhus. 6. nul] supra. scriptnm manu 1


pars lineae ET, cuius terminus ait T, ad reliquam[I, 8]?) iam quoniam triangulus ART maiorem ra-tionem habet ad triangulos K AB, ABP quam adîseg-manta [Eucl. V, 8] , adparet segmenti ABI’ centrumgrauitatis propius esse uertici B quam centrum figu-rae inscriptae.’) et in omnibus figuris rectilineis seg-mentis proprie inscriptis eadem ratio ualet.

VI.

Data segmente comprehenso linea recta et sectioneconi rectanguli fieri potest, ut figura rectilinea seg-menta proprie inscribatur, ita ut linea inter centragrauitatis segmenti et figurae inscriptae posita minorait quauis linea. data.

datura ait segmentum, quale diximus, ABI’, cuiuscentrum grauitatis sit Q, et ei inscribatur proprietriangulus ABI". et data linea sit Z, et sit

AABI’:K----Bû:Z.iam segmente ABF proprie inscribatur figura. recti-linea. A K B AI", ita ut spatia reliqua minora sint spa.-tio K?) et figurae inscriptae centrum grauitatis ait E.dico, lineam ÜE minorem esse linea Z.

nam si non est, aut aequalis est 3.111: maior. quo-niam autem figura. rectilinea AKBAF ad segmentareliqua maiorem rationern habet, quam triangulus

1) Cfr. p. 207 not. 3.2) U. Eutocius.3) U. Eutocius ad prop. 4 p. 198. 20.

F. 5120127901441, cum comp. ou F. 10. 501w] addidi; 0m. F,nulgo. 18. Z (prius) A2 FV. Z (a1t.)] E2 FV. 22.1013] to cum comp. ou .

Archimedes cd. Heiberg. Il. 14

210 EIHIIEAQN IEOPPOIIIRN B’.K, roms’cnw à (’93 mort Z, fixez 6è nul à B6 10112du Éléonore: 1.67011, fi 312 au azor). 0E, 6L6; zô pi)

0472660110: d’un: zàv 9E

nig- Z, aroMçî 6’90: là

5 K E ’ AKBAF 5158157041pr1:01! rôt negcÂemôpæwrpéyæm 155120110: 1.61m

5x54, fi à 50 «011612.1561:5 3&1) nozs’œpeç, à;

ré AKBAF sôôüypap-

nov «et! zà 159115:16-

pwa quinaud, 05mgânon) zwà un). 6E,ëzscôr) me? ABF qui-

15 yang 16 ue’wpov r01") 13029869 écu to 0, éxfllflâæi-au; 1&9 E0 aux), &zolatpôu’dag zwôç 5138515419 31m3-

Gag 1.67011 nazi du! E64), 31: to AKBAI’ 81581511944:-(40v azor! tôt nepzlsmôywa rpéyœw, s’dda’rm miam!

mis ÛB. Ézérœ 015v à H9 un). &E. to H fieu n’u-20 190v 1:05 flépeoç roi; duyxszpæ’vov à: n51! 159115110545-

vow wapérœv’ 52mg àôüvatov. 1&9 7&9 Gui 1:05 H&zôæddaç ampà du: AF éd zà «été êdrw 1:8: inégaux.

6172.01! 0’510, 51:1, à 0E aviation: 3611 1:59 Z. En à?miro ôelâau.

10

A

’25 ç’.4150 mayoêrœv ôpoz’œv zeçzszope’vmi 152:6 n cô-

ôsûxg au). 693070011501) 54061101) roués rôt xs’wpa r61!fiaçe’mv de 16v mérou 1.67011 15551201211. rôts ômpe’roovç.

1. à 9B) 1) 93 F; con. Torellius. avec: (bis) par coup.F; con. Tore lins, ut lin. 2, 6, 8, 11, 13, 17, 18, 19. 9. sur


413F ad K1), h. e. quam 8B:Z, et 03 ad Z nonminorem rationem habet, quam 8B : 0E, quia 0Eminor non est linea Z [Eucl. V, 8] , figura igitnrAKBAF ad segmenta reliqua multo maiorem ratio-nem habet, quam 39 : 0E. si igitur feeerimus rationi,quam habet figura AKBAF ad segmenta reliqua,aequalem ratianem, quam habet alia linea ad 9E,producta. linea E0, quoniam segmenti ABP centrumgrauitatis est 8, et abscisa linea ad E9 eam habentiratianem quam figura A K B11 F ad segmenta reliqua’),

maior erit [linea illa] quam 03 [Eucl. V, 8]. sitigitur H9 : 8E [sa AKBAF: segmenta reliqua]. ita-que punctum H centrum grauitatis erit magnitudinisex segmentis reliquis compositae’); quod fieri nonpotest. nam segmenta [omnia] in eadem parte lineaepar H lineae AI’ parallelae ductae posita eruntfi) ad-paret igitur, esse 8E a Z, quod erat demonstrandum.

V11.

Duorum segmentorum similium comprehensorumlinea recta et secfione coni rectanguli centra grani-tatum diametros eadem rations diuidunt.

1) Nam AKBAI’m ABP, et segmenta ( K.2) Cfr. I, 8.8) I, 8; u. p. 207 not. 8.4) I postal. 7; u. p. 179 not. 3.

«un F, unlgo. Mirum est, litteram K bis usurpatam essein figura. 18. Garou per com . F, uulgo. 22. Ëauv] scripsi;fiant! F, nulgo; Éva :159 ed. asi]., banian TOI-algue. tu?minuta] Nizzius; un tympan F, uulgo. 23. 01W] 0m. F;corr. Torellius. zée] b1s F (semel pet coup). ZE duF. 28. Belon! F. 15;»an F,

14”

212 EIIIIIEAQN IEOPPOITISZN B’.

5610) 660 tpdpata, oÎu aigriront, rôt ABI’, EZI:1511 51.0511855901. ont BA, 29. and. force roi M11 A B.emmuras ue’wpov 1013 fidpsog c6 K fiayôlÎO’ll, mû ô

EZH a) A. ôsmu’ov, 315L si; tôv aôzôv 167011 tép5 110sz zàg ôzuaérgovg cd; K, A.

et 7&9 mi, faire) :159 à KB 7501?, K4, 05m); 4ZM azor). ÜM, and ëyyeypéqpôœ 56g zô EZH rua-2914815015790:qu 7110194109, 45’615 1&1! mugi: 1017 xévrpm

- Z 105 rudyazog and 1:0110 êyyçatpopéflov 860vA y90254101: flânant si

au; 1:12; AM ml Etna5’ 1015 s’yyoaqae’wog 568v

moignon xéwoov 1:01?

E flâgsog 1:6 E canetonàyfsyçoîtpôm 8è si; to

ABF quipo: r95 à! 195EZH âyyeygapps’mp

I, eôôvypélmtp (matousûfiüyçapyov, rom-

s’o’rw ouata); 71107915914129, 015 us’wpov 1:05 fléeaog 1&9 amov-

qJâg ëyyûrapov fine 1è roi) tuépatog’ 5Mo 026131:41-

1011. ôfiÂov 015v, du 10v uôrôv 1.67011 5st à BK flot!

K4, 31: à Z11 n01), A0.

I

25 n .Havrôg ménures «sozazom’vov 1521:6 5138515415 ra and]

ôçôoyawtov xüvov repris to xéwçov r06 5029509 dm-

4. A] A F. ZËMOVIL] scripsi; têllilœ’llt’t F, vulgo. 5-nous par comp. F; con. Torellius ut lin. 7, 23, 24. 8. Unpet comp. F; corr. Torellius. 18. éyysyoapps’vqo séhyoaïml


duo segmenta, qualia diximus, sint A31”, EZH,quorum diametri sint BA, 20, et segmenti A31" cen-trum grauitatis sit K, segmenti autem EZH punctumA. demonstrandum, puncta K, A diametros eadem ra-

tione diuidere. anain si minus, sit KB:KA : ZM:Q1W, et seg-mente EZH inscribatur proprie figura rectilinea, itaut linea inter centra [grauitatis] segmenti et figurasinscriptae minor sit quam linea A M [prop. 6]. etfigurae inscriptae centrum grauitatis sit E punctum.’)inscribatur autem segmento ABI’ figura rectilineafigurae segmento EZH inscriptae similis, h. e. simi-liter proprie [u. Eutocius], cuius centrum grauitatisuertici propius erit quam centrum segmentai”); quodfieri non potest [prop. 5]. adparet igitur, esse

BKzKA:ZA:Aû.

VIH.

Cuiusuis segmenti comprehensi linea recta et sec-tione coni rectanguli centrum grauitatis diametrum

1) Cadet hoc punctum infra punctum A (prop. 5), sed supraM, quia A3 ( AM (ex hypothesi).’ 2) Debuit sic dici: itaqae centrum eius uertici propius eritcett, et fortasse lin. 21 pro 05 scribendum: 1:6 013v. cetemmhoc uerum esse, sic intellegitur: centrum figuras segmentaABF inscriptae ait y; erit igitur (prop. 3)

Byzyd:ZE:E8;sed ZE: E6 ( 2M: M9; itaque By : yd ( KB: Bd, et y

supra K cadet. . lmoineau Eutocius. 21. 015 1:6 Nizzius. 22. 1:6] addidi; 0m.

F, nulgo. ’ -

214 ’ EmnEAsaN IZOPPOHIQN B’. g

est 113w 1017 1uoî1m1og 610211510011, 15613 d’un 51111611011

16 115’909 «15159 1o and 1g? 110911029? 1013 111121101109 105

1:01). 1g? fléau.

501m 1è A,BI’ quina, oïov aiçfimz, ôwîyetpog 6è

5 11151013 56100 à BA, 1181119011 6è 1017 5029505 10 6 ou.

peton. dem1e’01z, du émoud écrin à B8 1&g en.ëyyeygdtpôm. 159 1è ABF mina 7120191111179 1915713110!

1è ABF, 015 11151110012 1017 M9509 561111 1è E. un! 1s-111éo’ôœ «fixa 511111590: 1&1; B A, BF, au). âzôaw a! K Z,

110 HA 1101913: 1&1: B A. 61111151001 51’001 51111 11512 AKB,

B

E

A l 1’BAT 11mpcoî1m1l. 561m 01511 105 peu AK B 111épœrog

1151119011 1013 5029503 1è M, 1017 6è BAF 1o N, mlénaëeüxhœeav a5 ZH, MN, K11. 1017 51’912 Æ 0’111-

çaon’paw 11511 11111110510111 61110151115101) payâmes 1151110011

15 101": flânais .6011 1o X. and âne! 361w, 059 à ne 10116’41, 0171m9 à KM 11011 MZ, and owôéwæ and éval-

Âoîë, si; à Bd 11011 KZ, 0171œg à 40 11013. Ml, ne.191111111612: 6è à Bd 1&9 K Z’ 101710 111319 3111 15151

651111151011, 015 6011151011 dt 1e19a111a6tm11 61’901 anal à

20 40 1&9 MZ. 15618 nul 10111131 à 30 lomâç 1&9 K M,

1. 51111011011 F, 11111611011 V. 3. 1g? péan] scripai; un flans


segmenti ita diuidit, ut pars eius ad uerticem seg-menti posita dimidio maior sit parte ad basim posita.

ait ABF segmentum, quale diximus, et diametruseius sit Bd, et centrum grauitatis punctum 9. de-monstrandum, esse B0 a &Qd.

segmento dBI’ proprie inscribatur triangulus .431”,

cuius centrum grauitatis Bit E. et lineae Bd, BI’ indans partes aequales [in punctis Z, H] diuidantur, etlineae Bd parallelae ducantur lineae KZ, H11. ita-que diametri sunt segmentorum AKB, 311F [p. 203not. 2]. ait igitur segmenti AKB centrum grauitatisM, segmenti autem BAT punctum N [cfr. prop. 4],et ducantur lineae ZH, MN, K11. magnitudinis igiturex utroque segmenta compositae centrum grauitatisest X [p. 205 not. 6 et not. 4]. et quoniam est

KM: MZ a: B0 : Œd [cfr. prop. 7 et Eutocius],et eomponendo [KZ : 2M: Bd:Üd; Eucl. V, 18]et uicissim [Eucl. V, 16] Bd: KZ a: ne) : MZ, sedBd a: 4K2 (hoc enim in fine demonstratur, ubi estsignum J)1), erit d9:4MZ. quare etiam quae

1) U. Eutocins.

F, nulgo. 4. oïov] Torellius; opozov (comp.) (a; F, unlgo; oïovà: ed. Basil., C. 7. ABd FV. 8. tu] r6 Nizzius. 9. sûr] To-rellius; tu FV; raïa: nulgo. BF] AF F; corr. ed. Basil. Post81” ed. Basil., Torellius addunt nard 1:6; Z H et post 510ml: «a ània: Bd, quae uerba. post HA lin. 10 inserui. 10. HA] Hl2. us’nçovkpsefipsi; 10 nanan F, uulgo. N] H FV. 14.tu nanan , nulgo. 16. «pas pet comp. F; com Torellius,ut lin. 16, 17. 17. me (par coup.) KZ F, nulgo; 1:6": KZ0d. Basi1., Torellius; malui mg dolera. d’une à de ad KZlin. 18 0m. F, nulgo; suppleui ex Eutocio; minus recta Torel-lius cum cd. Basil.: 05m: à 8d and (1:96; ed. Baail.) rob MZ’à sa: Bd "1912121420th flic K Z. 19. d] ô "un F, nulgo; 16 8Torellius; ô 8 ed. Basil.; ego hic quoque Eutocium secutus sum.

216 EHIIIEASEN IEOPPOIIIQN B’.

zovzêan 1&9 27X tarpanlaaimv. and louai 5590: dm«(manégez à B27, XŒ rytxladimv 162g 2X. Ëo’tco to.

antidata à B27 1&9 ZE. mû à XQ 5290: 107g EX à)".somnola. and 45ml rezçœnlao’z’œv à Bd 1&9 B2? x0

5 7&9 miro ôamvümr à 6è B2 1:59 2:5] tçLnÂadL’mà ,EB âge: 1&9 Bd 1961011 pêgog [561511]. Ëtn’w 6è aux

à Ed 1&9 dB 19517011 (15’909, ënuôæfneç xëvtgov’ 10]

même; 1:01? ABF tgLyœ’vov 561?, tô E. aux). 10m0? 594

à 5E 1951011 péons jais Bd. and. fatal 705 pèv 510110 zpépazog xêvtpov tO’Ü 1302956; éon rô Q dapeïov, 1:01

6è ëâ épuporéçaw 1.151! AKB, BAT ryagwîtœv auna

(1451101) payéôsog rô xévrgov 1:05 fléçsog 16 X, toô ô;

ABF rpzynîvov rô E, 566561115 (69 1:6 ABI’ tpL’yowoz

and tôt xatalsmo’pavœ 1514229005141, 05mn; à X6) «cri

15 0E. rçlnléamv 6è r6 ABF 191570111011 14511 ryapdtœz[énaôrfazsç r6 510v quipo: énizpwôv éon 1:05 ABItptyaîvov]. mandala 5290: ml à X69 râg QE. ëôez’zôn

6è à X8 meulerait); aux), 1&9 X E. newanlam’a 554mémia; à 5E râç EQ, 1012156sz à dE têg E8. [du

20 7029 éden! «finît. 03’615 êëaatlada’a 361211 à dû tâç 9E.

aux! ëvu 1&9 dE mmÂam’a à Bd. limona â’ga finià B3 râg Qd’ 5mm) 565L ôsŒaL.

a,EE aux tê’ddaçêç yçappal 45110510701! 5mm, à! 15?

25 dwaxeî àvaloyz’qz, and 311 515L 167011 à 51021456141 «cri

1:43:11 ônspoxaî’u, q? ôazage’zal. à peyt’dta 15g âÂazL’o’taç,

1. lourd] sol-ipsi; 10m cum camp. on: F, nulgo; 7.0le1!Torellius; 1.01161: fortune ratineri otest; u. Hultschii inde!Pappi p. 68. 2. somnola] cum et Nizzio; souda (in finelineae) F, unlgo. 3. 2E] ES FV. à"!!! à Eutociul-6. Écris] 0m. Eutocius. 12. papous F, nulgo. 13. un:


relinquitur B 0 1: 4K M : 4210) quam etiam quaerelinquiturg) 32 4- xe : 3 2X. sit 32 a: 32:5.erit igitur etiam X0 : BEX. et quoniam est

Bd : 432(nam hoc quoque demonstratur [u. Eutocius] ), et

32 a 3 2s,erit igitur EB : â Bd [u. Eutocius]. sed etiamEd : àdB, quoniam trianguli ABI’ centrum gra-uitatis est E [1, 14 coll. Eutocio ad I, 15]. quareetiam quae relînquitur SE : àBd. et quoniam to-tius segmenti centrum grauitatis est punctum Û, magni-tudinis autem ex utroque segmente AK B, BdI’ com-positae centrum grauitatis X, et trianguli ABI’ punc-tum E, erit ut triangulus ABF ad segmenta relique,ita. X6) : (9E [1, 8]. sed triangulus ABF triplo maiorest segmentiez?) quare etiam Xû : 3QE. sed etiamdemonstratum est esse X19 z 3 X E. itaque EE a 5Eâ,h. e. dE -: 5Eé9; nam dE : wE. quare déâzôûE.et est Bd--- 3dE. quare est B69 a êâd [u. Eu-tocius]; quad erat demonstrandum.

1X.

Si quattuor lineae in continua proportione propor-tionales sunt, et quam habet rationem minima addifferentiam maximae et minimae, eam linea aliqua

1) Nnm patellelogrammum est KMXE.2) Subtracto 245 communi ab B9 :- 42X.3) U. Eutocius, qui sequontia nerba lin. 16-17 non ha-

buisse uidetur.

par comp. F, uulgo. 14. 1:90; (bis) par camp. F; con. Torellius.15. zgznldam] scripsi; tout). cum comp. 01W F, nulgo, Eutocius.22. 37:29 au ôsŒou] o-L FVA; 0m. nulgo; habet Eutocius.

10

15

20

25

218 EHIIIEASÆN IEOPPOIIIQN B’.105’001! ëzov6a’ us latpôfi «ont rôt 101’111 n51mzapôpw

1&1; ônsgozâg, à, 1310505151, à 11571116011 1&1; 02120210701: té; ;

mitas, du 65 515L 1.67011 à la; 1:0? 1:5 6070111612; 1&51057561019 170’311 02110210701; ml se? 15190611016001 1&9 dév- 1

15’901; aux). 002 5201101016001 raïs toisas ml 1:0? 60015112601;

1&9 ranimas and 1&1; 1:60:12 se? 1:5 nêvtanladç fgpayifiwç 110d 19? 65110111101600: zâg 65121059015: aux), 1:1; âm-

nla6tçz raïs 10150019 91012 r13? 11511101211160? aïs raderas,1051011 51011602 us 2.019101] 1001?, son; 131:5çoz02v, ë 13159-

5151 à 115711610: 1&1! 151102107011 aïs 10151013, amappœs’pm

al 10111219506011, 566015111011, 6150 «51110101116911: 1&9 10571M125.

A 5610160111 156601059 79011111013 àwEÂoyov aidB, BF, Bd, BE, 310d 311 (.1511 5151. 1671011à BE azor! Ed, 00131011 515’110 à 2H azor!

la 1:6: rota «5117m: 1&9 Ad, 31! 65 2.6701: ëzaà [601 1:0? malade: 1&9 dB aux). 05601125141642;mis BI’ aux), 5511211016501 râg Bd aux), 191.1110101;

zâç B E me), ràv [60:11 11;? 10512112110164: si;

dB and 65210115101601; 1&9 FB 110d 65910110111651;

1&5 Bd aux). 71511101316651; 1&9 BE, 1:06:01: 515’101

1:01; 2.6701; à Hé? mort 1&1! Ad. 6513115011,31:1 à lé? 6150 nepmapôowî 5111:1 1&9 AB.

5155?, yàg 511102107611 51111. a! dB, Br,Bd, BE, nul 0:13.41", Fd, dE à) 1:55 1:61:151671p 51ml. un! 61111011111161.5909 à dB, BFmort 1&1! Bd, 1012156er a? 616101651 611v-

apœou’pov :0073 dB, BF 11:01:). 10111 61.1510160011: si;

Û

l1;

l. 11511151111111.0910: F; corr. Torellius. 2. à] à: F; con. Ilzob] z F; ’ addidit manas 2; sa; A, ed. Basil. a. emmy]fi F, ut saepissime in hac propositions; con. fera cd. Bail;ego semper totum nerbum posui sundente Ninio. 4. éni-107m] 11191111071011 F; con. ed. Basil. 5. au) a; 19:31:60.1]

DE PLANORUM AEQUILIBBJIS II. 219

adsumpta habet ad g ditïerentiae maximae et tertiaelinearum proportionalium, et quam habet rationemlinea. aequalis duplici maximae proportionalium etquadruplici secundae et tertiae suies; sumptae et tri-plici quartae ad lineam aequalem maximae quinquiessumptae et secundae decies sumptae et tertiae decieasumptae et quartae quinquies sumptae, eam babel: 1i-nea. aliqua adsumpta ad ditïerentiam maximae et ter-tiae proportionalium, utraque simul linea adsumpta ferit maximae.1)

quattuor lineae AB, B1”, B A, BE proportionalessint’), et Bit BE: EA : ZH: 12.44, et

2AB -i- 4BF-f- 6B4 -I- 33E:5AB -I- lOFB -!- IOBA -i- 5BE:: H0 : AA.

demonstrandum, esse 20 x: iAB. Inam quoniam AB, BI’, BA, BE proportionales

sunt, etiam AF, FA, JE in eadem ratione sunt.°)et erit AB -*- BF: BA, h. e.

l) Huiua propositionis pamphrasim dedit Eutocius; deman-atratio magie conspicua. u. Qnaest. Arch. p. 48-50; breuioremdemonstrationem ex ratione recentioria arithmetioea dederuntSturmîus p. 273, Nizzius p. 38.

2) H. e. Bit AB:BF:BF:BA:-BA:BE.3) Nam cum ait AB : BF - BI” : BA, erit 6451.6th:AI": Br: FA:BA,et 574111025: AF: FA a BF: Bd. eodem modo, cum

BF:BA-BA:BE, erit Fd:Bd:-AE:BEet FA:AE:B4:BE;h. e. AF:I’A: FA:AE : ABtBF: BF:BA:- deBE.

0m. F. 8. navranlnom F. 10. tâv] 1ms F; con. Torellius.11. nepzmpugm F; corr. Torellius. 13. Bd 0m. F. 14:.une (prias) par comp. F; con. Torellius, ut n. 26. 22. ale] tu A28 F; com A. 24. BE] 4E F. 26. un! 3:4ad 8P un! lin. 27 suppleui; 0m. F, unlgo; chahutai: mais lm.27 0m. ad. Baai1., Torellius.

220 EHIIIEAsaN 12013110111911 13’.

Bd 5151. 1611 11151611 1167011, 311 à A4 and. 1:13:11 Al

aux). avvœptpôrsgog à dB, BF 101:1 16111 EB, au:«vivra 11:01). mima. 1611 «151611 51’901 1.611011 512L 1

Ad 11:01:). 16111 dE, 311 à l’au 1:9? 175 ôtatlafilfgz 7&9 Al

5 aux). 19? 1911510161791 1&9 FB aux! 1:13? dB and :5111 leur

19? 1:6 maladie; 1&9 Bd and a? BE. 311 6è 167101au à [au 191" 1:5 61111010191 mais dB aux! a? rezganlam’qzig BF un! 1:91 15190211101651; 115g Bd «a! il; ômlao’iç

1&1; BE azor). 1:13:11 [61x11 a; ne 61111016691 raïs dB aux]

1o a)": EB, 10151011 3&1 à dz! and 51026601101 mis 4Eêxs’rœ 01511 nazi d O. and àptpota’çac 6è 1101?. rôts non-5-

ms 1611 11151611 ëgofnm. 1.671011. 3551 01511 à 0A «criAd.rô11 01131611 1.671011, 311 à [au a? 1:5 61.1111161591 1&5

AB nul retganÂaac’qz 1&9 FB 1101?. 5511110161591 raïs Bd

15 nul 19111101615131 1&9 BE 11:01:). têtu avyxstps’vav à: te 107g

611111165019 dwœuqaon’gœg 1&9 dB, EB ml ingagna-alfas fiwampon’çov 1&9 FB, Bd. 5151. 6è nul à Adnazi HÛ :611 011315611 1.611011, 311 à «51111013101650: 61111-

œmpozs’pov ni; dB, BE une? 110?; ôaxwzladfaç dm!-2o «111110159011 1&9 FB, Bd un). 1:13:11 61173184151010 En 1:5

1&9 ômÂadûxg 1&9 dB and 1&9 retpanlafl’ag tâg F Baux! 1&9 rondam’ozg râg EB ml êEanÂaGL’œg 1&9 Bd.

àvopolœg 6è roîv 16310711 15101714511100, 1011156er 5’11 ts-

rœçœyye’vçz àvœÂoytqz, 61’ 176011 rôv aïnôv 5st 2.67011

25 à 0A 110d HQ, 311 à newœazlaaûx dwaptpors’pov aï;

AE, BE une? 16g ôsxaazlaaiag 16211 FB, Bd «et!1:13:11 amazps’vav En: ra 1&9 ômÂam’ag avvœpcpore’pov

râg dB, BE aux! 1&9 zerçanlaatag awœptporê’çov 1129FB, Bd. &U.’ à «11111151111110: En 1:5 raïs newmlam’ag

3. «(me pet coup. F; corr. Torellius. ut lin. 10, 11 (prias).12, 18, 20, 26. 5. aux! :132] scripsî; mu a F, ougo. 6. té BE]


2(dB -)- BI’) : 2Bd ---- dd:dE1),et dB -i- BF z E89), et omnia ad omnia.3) erit igitur

dd:dE:2dB-I-3FB-I-dB:2Bd-I-BE.itaqae quam rationem habet

2dB -)- 4BF-i- 4Bd -l- 2BEz2dB -f- EB,eam habebit dd ad lineam minorem linea. dE [Eucl.V, 8]. habeat ad lineam d O. et etiam utraeque si-mul sumptae ad primas eandem rationem habebunt.quare erit

Od:dd--- 2dB -I- 4FB 4- GBd -I- 3BE:2(dB 4- EB) -l- 4(FB 4- Bd).4)

sed etiam [ex hypothesi] eratdd : Hg: 5(AB -I- BE) -I- 10(FB -)- Bd)

:2dB -lv- 4FB -1- 3EB -I- 6Bd.proportionibus autem inaequaliter ordinatis, sine inperturbata ratione, ex aequali erit [Eucl. V, 23]

0A : Ha a: 5(dB 443E) 4- 10(FB -I- Bd):2(dB -I- BE) 4- 4(FB -I- Bd).

1) Erat (p. 219 not. 3) AB z BF: AF: Fd,11.6. dB -l-BÎ’: 31131141: F4. sed BF: Bd: Fdsz;

quam 61’ faon AB 4- BI’: Bd a Ad: dE.2) BF: Bd : AF: Fd (p. 219 not. 3); unde

BF-f-Bd:Bd:Ad:Fd;sed Bd : BE :- Fd : dE (p. 219 not. 3); quare .

BF-I-Bd:BE-::Ad:dE.3) Erat 2(AB4-BF):2Bd:BF-i-Bd:BE:Ad:dE;tup: u. Eucl. Y, 12, unde intellegitur, mina n01). mina esse:nana tôt fiyo’uusva «gos 7105111112 to? 571161161101.

) I4) H. e. «110111:12le et avvû’évn.

acripsi; un BE F, uulgo. 7. AB B F; con. AB. 10.11,2] scripsi; un F, nulgo. 11. d O de F; con. Torellius.12. 0A] 9A F; con. ed. Basil. 14. 11121181911111.0164! 1:62; FB]0m. F; corrid. Basil. 25. 0A] A F; corr. ed.Basi1. auv-wnlaatu] dE F; con. ad. Baail. 26. 1&1] scripsi; me F, .nulgo.

222 EIIIIIEAQN IEOPPOIIISÀN B ’.

61111011101015’0011 10?; d B, BE 115131 1&5- 6511011110160019 61)

11119201159011 1&9 FB, Bd 1101i 113111 60111510600111 En

101g 311111161501; 60001092015001: 107g dB, BE 1101i 18191110166119; 61111011111101.6000 1&9 FB, Bd 1.67011 5x51, i

5 même 1101i 360. 1101i à AO 31’001 1101i H 9 1.611011 Ex:

311 11151115 1101i 660. 110111111 5115i à 0d 1101i dd té0161311 5x51 11611011, 311 02 EB 1151131 1&9 311010161501; 11’

Bd 1:01). 13111 [60111 11; 60711511151191 511 1s 1&9 6171111650

6v11011upo1ëpov 101g dB, BE 115131 1019 15101111101650

10 6v11a111p015’0011 1&9 FB, Bd, 5611.11 63 and, 033 à A.1101i dE, oô’rœg à 60101511161101 En 15 1&9 61111016150

1629 dB 1101i 1011110165019 1&9 FB 1101i 162g Bd 1101i 1è,[60111 101" 15 EB 1101i 10? 31101016001 1&5- Bd, 151101401500

01511 10511 1.671011 15101706110111, 10121661111 15109017115311:

15 é066019 10?; 01110111011tag, 31’ 1’600 5611511, 0’19 à 0d m

dE, ohms à 61111016501 1&9 dB 115131 1&9 malouin!101g BF 1101i à Bd 1101i 13111 611111151115’110111 à: 1&9 dz-

nÂa6l019 61111a11q101æ’çov 1&9 dB, BE 1101i 1&9 151901-

11016601; 15111 FB, Bd. 03618 1101i 05g à DE 101i Ed20 ë61111, 0171m3 à FB 11.9102 1&9 17901610166011; 101g Bd 11013

61111016t019 1019 EB 1101i 10111 61101116170111 60001003016900

1&5 dB, BE 11012 1arpwzla6ia11 60110119016001: 15g FB,’Bd. 561111 3è 1101!, 05g à dE 1101i EB, 05107; E 1eAI" 101i FB’ 5115i 1101i 1101131 66111906111’ 1111i 0°1 101-

25 1110161511 1&9 Fd 1101i 10111 19111101650111 1&9 dB , 1111i à

31111016101 1&9 dE 1101i 13111 3111101600111 1519 EB. 5611

1101i à 60101511161101 Su 15 107g dF 1101i 101xla6tag 1&9Fd 1101i 61111016501; 1&9 dE 201i 113111 60711511150010 à

15 115g FB 1101i 1011111166019 1&9 dB 1101i ômÂaalag 159

2. «(me par camp. F; con. Torellius, ut lin. b bis, 6 bis.s, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 28. 6. on] en F;


sed 5(AB-f-BE)-I- 10(FB-i-Bd):2(.43 4- 33) 4- 4(33 4- 310;: 5:23)

quam etiam A0 : H 0 -: 5 : 2. rursus qnoniam estOdszaEB -I- 2BA:2(AB-f-BE)-f-4(FB-l-BA)[Eucl. V, 7 coroll.], et etiam34: 43:2.43 4- 333 4- 34:3); 4- 23.4,

inaequaliter ordinatis rationibus sine proportione per-turbata, ex aequali erit [Eucl. V, 23]

on : AE:: 2,43 4- 333-1- 3.4: 2(113 4- 33)-1- 4(33 4- 34).

quare etiam

0E:EA::FB-I-3BA-f-2EB:2913 4- 33) 4- 4(33 4- 34)

[àvoz’amlw Eucl. V, 7 coroll. et âvaatoe’tpavu V, 19

coron. et àvaîatahv]. sed etiam JE : EB r: AF : F13(quoniam etiam componendo

[est ,43 : Br 43 : EB])’) x: 3121:343a 2 JE : 2 EB.

quare etiam143-3334324114:

:334-343-1-233 [: 43:33]?)1) Cfr. Quaest. Arch. p. 48.2) Hinc enim ôzelôvu (Eucl. V, 17) AF:BF:AE:EB;

cfr. Quaeat. Arch. p. 147.3) Nam 43:33 :- 24E22E3 --. P4 :43 (p. 219not. a)

a: and : 3413; nnde ex Eucl. V, 12:417-1- 243 4» au : 33 4- 233 4443 a 24E : 233.

corr. B. 8. un: ouyusmevuv F; corr. B. 10. A dB F;con. A. 13. Bd] HBA F; con. A. 14. têtafll un] re-rpnpwmv FV. 15111941732on F. 15. cucu; F, nulgo.êaztr] 0m. FV. 04] 94 F; con. ad. Bail. 19. duscripai; me F, vulgo; wvupqwn’mu qui; Torellius. 0Eunifiai; 9E F, uulgo; E0 cd. Baail., Torellius. 20. 05mgm9 . 27. remuable] 1’" F, nulgo; à 7 ad. Beau, Torellius.

224 EIIIIIEASZN IEOPPOIIISÆN B ’.

310

15

20

2b

EB. 02110301500; 0131; mêlai raîv lôyaw retaype’vcozovrédrw à! ferapayps’vqc 02114110911191, ôl.’ l’an: 1,1311 a

1:61! êta 1.67011 à E0 gravi EB, 311 à JF pétât 14tçznladiag aïs FJ ami ômlœm’ag rôts JE and riâmÂadiav dwapçqrs’oov 1&3 JB, BE "un? 1&9 1:19051510565419 dwapqaora’oov 1&9 F B, BJ. 51a 013110B azor). BE 1611 «131611 5x51. 1.67011, 311 à tu la; -.tQLWÂadlÎq 1&9 AB maïa 1&9 ëganladlfag raïs I’B sa

rçî 191.1105659: raïs BJ nazi du; ôLnÂaalÎav awauqaozs’po

1&9 JB, BE une? 1&9 tszçœnÂaaL’ag awapqnozs’go

1&9 FB, BJ. ami été! aï 1:5 EJ, JF, FA à: 1g4115193 1.6793 511d and 61111414114263.5009 émiant 1&1: E5

BJ, JB, BI’, FB, BA, 456651515411. ami, n59 à EJ n01JJ, 05mm avvapœo’tsgoç à EB, BJ azorl dvvapcpo’

159011 têtu JB, BF pétât 1&9 dvvawon’pov aïs F5BJ. nazi 6111135er à’pa éculai, (139 à JE «:031 JJ05’:an avvaptpôtsçog à EB, BJ parât ovvaptpore’goz

raïs JB, BF mû avvapqaors’çov 1&9 FB, B J, 5 s’en61211115149361.5909 à EB, BJ p.518; 162g ôLnÂœm’ag 6m!-

ampo’ts’gov 1&9 JB, BF fieri dvvaptpôreçov 1&1; BJ,BJ parât 1&9 ômÂam’aç 162g BI’. 15615 nul à ômÂaGL’a

150d 1&1) 61.7311161311; 1611 afirôv 5564 1.6707, remédia

à; à EJ un). AJ, côte-1g à maladie: avvampore’pov1&9 EB, BJ parât 1&9 rsrganlœdlfaç dvvayqzota’pov7&9 FB, BJ and du) ôLnÂao’L’av 60111153930151)qu cd;

JB, BJ pétât 1&9 retpanladz’ag râg FB. 03m mi

3. E0 E9 F; con. ed. Basil. nec; par camp. F;corr. Torel ’us, ut semper in hac pagina. 4. tçzulam’aç tic]6m. F; con. A. un] addjdi; 0m. F, uulgo. 7. 0B] EBF; con. ad. Basil. 13. Écrou par comp. F, vulgo. 16. 05;]on. F; con. A. à JE] à addidi; om. F, un o. 18.FBJ F; cou. Torellius. 19. EBA F, nulgo, ut ’ . 24.


rursus igitur rationibus inaequaliter ordinatis sine pro-portione perturbata, ex aequali erit:

30: 33 a 434- 334-1- 243:2(43 4- 33) 4- 4(33 4- 34)

[Eucl. V, 23]. itaqae [ovvôe’vn Eucl. V, 18]:03:33: 3,43 4- 633 4- 3341)

:2(AB -f- 8E) -lv- 4(FB -F BJ).et quoniam lineae EJ, JI’, FA et

33 4- 34,43 4- 33,33 4- 34in eadem ratiche sunt’), erit etiam

34:44:33-1-34:433334-333343!)quare etiam componendo [Eucl. V, 18] erit.43: 44: EB-l-BJ-«l-AB-4-BF-lv-FB-1-BJ:344- 344-233: EB-f-BA-F2(JB-l-BF):344- 34-1-233: 2(334-34)-]-4(43-g-33)

:2(34 4- 34) 4- 433.

1) Nam 33-33343243323332334-433-1-434:2ABHA3-1-33H3(344-34)-1-2(43-1-33)-i-3334-34

:3333333-1-234-1-333-1-34.2) H. e. E4:43:43:34:EB4-34:434-33: 434-33: 334-34;

quod facile ex p. 219 not. 3 et Eucl. V, 12 concluditur.3) Est enimEJ:JF: FA:EB-i-BJ:JB-i-BF:FB-*-BA;quare

E4 : 43-1- 33 : 33 4- 34 : (4B,-1- 33) 4- (33 4- 33);cfr. Quaest. Arch. p. 48.

20. 433F, uulgo, ut lin. 25, p. 226, 3: 334; lin. 26: 334;p. 226 lin. 2 ABE; ibid. lin. 5: ABJ. 21. Bd] JA F. 24.puât 107g remmanche ad tâç AE, BJ lin. 26 repetita. in F;com B. 26. FB] FE F; com Basil.

Archimedea ed. Heiberg. Il. 15

10

15

20

25

226 EIHHEAQN IEOPPOIIISZN .B ’ .

259 à EA and. rôt rein: «ganta 1&9 A J, 0131m9 à au)»

stupéfiiez En n 1&3 âmlaoiag dwapqwte’gov mais JB,BE nul 75191131016505; Gwaptporéçov 1&9 FB, B J lorirôt relu négation 1&9 6373533532419 à; te 1&9 ômladiaç

6330433015903 1&5 JB, BJ aux), rnpaarlaaiag ni; FB.&M’ 259 à EA nazi tôt rota mignot 1&9 JJ, 051:6);ëarlv à EB 301:1 ZH. un), 059 â’pa à EB azor! ZH,013’er à ôLnÂaab’u dwapœots’çov 307g JB, BE paré

1&9 1519331361419 awaptpotégov 1&9 JB, BF azor! àrota 1:33.310: tés Gvynupè’vag En le tâg’ ômÂacn’aç dv11-

uguporépov raïs JB, B J pietà tâg retpauladùzg à;FB. 336551321 6è and, à; à OB 7301:1 EB, 051m5 àmeulerait: 63114233015900 mis JB, BJ pétât 1&9 Éga-ulam’ag 3&9 FB and ràv ômÂœdlav fiwapcpon’pov1&9 JB, BE nul tupœnladlfav dwœucporéoov tés FB,BJ. seul ôL’ l’aov 5590: écriv, 239 à 0B azor). ZH, 05-

1009 à dvyxsméva En: ré 1&9 tpmÂaGL’ag fivvapqzou’pov

zig JB, BJ nul êëanlam’ag 1&9 TE and. tôt qui:négaton 1&9 avyuups’vœg à: 1:5 raïs (hamadas qu’appo-

15’901) 1&9 JB, BJ nul retpuzlada’ag 1&9 FB. dmà dvyuupe’va Ex ra 3&9 rçanÂadz’aç dvvalupozs’çov 15g

JB, B J and éganladz’ag 1:5; FB azor), phi du: Guy-xeme’vav En: ra 1&9 ômlao’lag vaapcpots’pov 1&9 JB,

BJ and tsiganlao’iag rag FB Âôyov 5152, 311 rota m16150, and 6è tà qu’a zénana 1&9 «ôtés 167011 5x62, 31:

2. 1:8] r supra. scripta s F. 3. nçoç per comp. F;con. Torellius, ut semper in hac pagina. 12. 08] AB F;con. ed. Baail. 16. 0B] EB F; con. ad. Bail. 22.Einnluoluc] saron FVA; g’ nulgo. 23. ABJ F, nulgo, utlin. 11,1a,1s,2o,22; sic etiam lin. a: .433; lin. 9: 433:lin. 16: 333; ibidem: 334. 24. and] a; F; con. T3rellius.

DE PLANOEUM AEQUILIBEIIS Il. 227

quare etiam43: 4344-.- 2(33 4-34) -;- 4(43 4- 33)

d :g(2(34-l-34)-F433).se 434114:33:23?)quare etiam

33: ZH-: 2(43 -1- 33) -]- 4(43 4- 33):g(2 (43 4- 34)-1- 433).

sed demonstratum est, esse .03 : 33 a 3(43 -)- 34) 4- 633:2(43 -;- 33) 4- 4(33 4- 34).

itaque etiam ex aequali [Eucl. V, 22] erit03:23:3(43 4- 34) -p- 633

:43 (2(JB -f- BJ) 4- 41”B).

sed .3(JB-l-BJ)-f-6FB:2(AB-;-BJ) 2433:3:21),et3(43;34)-ç-633:;(2(43-ç-34)-;-433):5:2.

1) Quia ex hypotheai est EB : 4E - ZH: i144; tumbandé.

2) Eucl. VI, 16; 1mm .2 x (3(43 -g- 34) 4- 633) - 6(43 4- 34) 4- 1233

a a x (2(43 4- 34) 4. 433).e 3(AB-l-BJ)-I-6FB:&(2(AB-I-BJ)-I-4PB)

-3:2xè-5:2.

15”

a!

10

15

20

228 EIIIIŒASÆN IEOPPOIIIQN B ’.

71:51:13 nazi 6150. 365515194] 6è nul à J0 and, H6 1.63101510060, 311 35111:5 301:1 6150. ml 6’10: 600: à B11 azor511ml 1&1! Z0 167011 5x81, 311 36’375 301:3 6150. si ô30171:0, 6150 «51.1336116010? 1:?er à ZÛ raïs AB. 31334

5651 6555m.

lL .

116111763 361101) du?) ôçôoyawiav 310511011 tapis ém-

619012115’1101) 16 us’vrpov 3013 fiépeag à), 2&9 515386ch

émût), ü 61021153069 édit 1:01? 161101), 36065 1611 1061502

35611512013 61.3105855609 3&9 süôelag et; [61x 155’er ënî

118’601) 35113361100601), 1561:5 170 quipo; 0131017 rô 59171?-

zspav râç âld66ovag [30261.09 17017 1611.01) 71:01:), 10 2.01361)

mâpamàv 6133611 515w 1.67011, 31; 5st 176 617505611 1013026111 phi 51011 16 1810027033011 176 du?) 1:63; 5151:0on3&1: [366150112 1017 1:63.011, 511209 6è ràv [6611 61mœpcporëçqz

a; 175 613166159; raïs 51026601109 1&1) 666150311 and ce? 11.5!-

Çam mari 16 6689861! 170 fioÎGW ph: 5x01! 10 tarpé-yœvav 1:6 (in?) 3&9 â1â66avag 3&1; [361650011 1013 360011,1711209 6è 178w 13’661! 02110103509; a)? 1:5 6131.6659: 3&9 (161’-

Çavoç nul 19’? 31.026601". «131611.

563026611 à: 696070211601) 305301) tout)? 6150 513355411

ouï JI’, JE. 61051153009 63 561:0) 6015 ABF ryeîguztoç

à BZ. 0261150511 61?, 5m mi 1017 JJEI’ 2611.01: 61.05-

1. and (bis)Lper camp. F; corr. Torellius, ut lin. 2 bis, 3.40] A F; 001T. . 2. BA] B9 F; 001T. AB. 4. «spam;-popm F; cart. Torellius. AB] J8 F; corr. AB. 3:59 Encagou] 07 FV; 51:50 565:. uulgo; cart. Torellius. 9. 62’ am.F. 1:60] addidi; 0m. F, uulga. 14. fipfaavc ni; ne fWOSet lin. 18: finitions raïs êlaîaaovaç ed. Basil., Torellius. 15.un par camp. F; cart. Torellius, ut lin. 16. pacson: F, 1111130.ut lin. 16, 18. 16. tu? (alt.)] 1:0 F, nulga; 1:6") BD; corr. F0;rellius. 19. 611112033991] scripsi; ŒMÇOondç F, nulgo; ap-

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS H. 229

sed demonstratum est etiam AO:HÜ : 5:2 [p. 222, 5][itaque 0B: ZH : 110 : H6 «--- 5 :2]. quare etiam8.4 : Z9 : 5 : 2 [Eucl. V, 12]. itaqae

Z0 : fix AB;quod erat demonstrandum.

X.

Cuiusuis frustil) a sectione coni rectanguli ablaticentrum grauitatis in ea linea, quae diametrus estfrustiz), ita positum est: linea in quinqua partes aequa-les diuisa in media. quinta parte ita. positum, ut parseius minori basi propior ad reliquam partem candemrationem habeat, quam magnitudo solida. basim ha-bens quadratum maioris basis ïfrusti, altitudinem autemaequalem simul duplici basi minori et maiori basi admagnitudinem solidam basim habentem quadratumbasis minoris frusti, altitudinem autem lineam aequa-lem simul duplici basi maiori et minori earum.

in sectione coni rectanguli duae lineae [parallelae]sint 41’, JE; et segmenti ABI’ diametrus ait BZ.adparet igitur, etiam frusti AAEI’ diametrum esseZH, quia lineae AI”, 21E parallelae sunt lineae in

1) Intellegitur pars parabolae duabus lineis parallalia abs-cisa, quasi trapezinm quoddam, cuius duo lutera parallala,duo partes parabolae sunt; cfr. I, 15.

2) H. e. linea, quae puncta. media laterum parallelorumconiungit; u. Eutocius.

(pozs’çmg Torellius. 21. ëw] 0m. F; com Torellius. topa;F; con. Torellius. 23. Gai] Torellius cum Eutocio; ôs F,nulgo. AzIEI1 ad à ZH p. 230 lin. 1 0m. F, uulgo; ex En-tocio suppl. ed. Basil. (0m. minou) et Torellius (HZ pro ZH).

5

10

230 EHIHEASÆN IEOPPOIIISZN B ’.

perpôg êo’rw à ZH, étal ont 111”, 21E nagallfiloa 31:1

r9? nazi: 16 B êqmanops’qu râg roués. aux! 1&9 H.56mm; ôLaLçsôetaœg de flâne [sa 445’601: 561m «sparte

41.691.011 à &K. à 6è 01 «cri du: I K du) uô’côv 5151:1

1.67011, 311 5x51, 1:8) 6359561) 16 [3026"! phi 5x01! 176 «in:1669 A Z rezpoîyœvov, Üwog 6è tâta; [60:11 àyæpoœ’pmg r.

ce maladie: 1&9 AH nul a? AZ fieri rô 61595611 1:60261,11 5x01! 1:6 aînô 1&9 AH tnçéynwov, 1711209 6è 1:02:

[60:11 àytpotëpmg 19": ôLatÂaatqt raïs A Z nul 1:97 Aliôuuze’ov, 5m 1:06 AAEF régal; niangon: :5612 1015 fié

9509 16 I camaïeu.561:0) 61] té? pèv ZB la! à MN, 19? ôè HB la;

à N0, aux! laloîqafiœ tu?!) (Là! MN, N0 pétiez 021102107’011 à NE, raréçm 6è àvâloyov à TN. aux), (à; à

l5 TM nazi TN, 051m9 à ZQ and avec 021:6 1017 L

20

5mm æv âpxfiwz 1:6 5159011 camaïeu] oüôèv 7&9 âm-

eps’pu, être aux). patch) tu?» Z, H ahé aux), (4510521) 115w

H, B’ 1&1! I P. and étal à! ôgôoyawz’ov mérou tolu;

614221195969 En roi mépazog à ZB, à BZ fini. (fuma?écu 1&9 tapés 1] 1m98: 113w ôLdyargov 622mm, a! 6èA Z, AH sis afirà’u tetœyye’vmg Kami uamypa’wu, êneaôî)

napœllfilm ëvtî 19? fini toi B 1&9 roulis àpamopa’vq.

1. in). ai] scripsi; 0m. F, nulgo; ed. Basil. et Torellius:nul ont péan 2. HZ] EZ FV. 4. naos par comp. F; con.Torellius. 6. 151;] tu; F; 001T. V0). A Z] AZ F; con. B.rezgayœvœv (comp.) F; con. Torellius. 7. AH] ZH F; corr.AB. 1o. AAF FV. 12. ZB] ZE FV. 13. à NO] «N9FV. minimum!) F, nulgo. MN, N O] Torellius; MNG F;MNO nulgo. 14. M E F. autem F; con. Torellius.à TM] û TM F, uulgo. 15. 11ml] 11:90; par com . F; con.Torellius, ut nom er posthac in hac prop. 16. au] un F;corr. B. Sueur «nageai: F; corr. B. 18. un F; con. To-rellius, ut lin. 20. 19. «9117m F; «91m, nulgo; 829115 ed-Buil; «fait Torellius. 20. me topas (comp.) F; con. To-


puncto B segmentum contingenti!) et linea HZ inquinqua partes aequales diuisa, media. pars quinte. sit

8K. et sit 4OI:IK:: AZ’ X (2AH-l- Al):AH’ x (2112 -l- AH).’)

demonstrandum, frusti AAEI’ centrum grauitatis essepunctum I.

ait igitur MN:: ZB, NO:HB, et fiat, M N : N E a N E: N O

et MN:NO a: NE: TN et TM: TN : 2mn»,sumpta. a puncto I linea. aliqua, quocunque alterumpunctum cadit; nam nihil interest, utrum inter Z, Han inter H, B cadat. et quoniam in sections coni rect-anguli diametrus segmenti est ZB, sut axis est sectio-nis sut diametro parallela”); et lineae AZ, AH ordi-nate4) ad eam ductae sunt, quoniam lineae in B sec-tionem contingenti parauelae sunt. quam erit

1) Ex Eutocio adparet, Archimedem diserte addidisse, esseAH a HE et AZ :- ZF; tum u. qusdr. parab. 1, b. ceterumuerba. in!) al lin. 1 ad zig topai; lin. 2 uix germinal. sunt, necen habuisse uidetur Eutocius.

2) In ipse, propositions banc proportionem signifient:AI" x (2AE 4- AF) : AE’ x (2,41" 4- AE),

sed cum AI": 2112, AE a 2AH, eritA!" x (2AE 4- AF) : AE’ x (241" 4- AE)

a. 442! x (4AH 4- 242) : 4AH’ x (uz .4- 2AH)-.-. AZ’ x (2AH 4- AZ) : AH’ x (242 4- AH).

3) U. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 51 nr. 14.(inné est axis sine, ut apud Archîmedem uocatur, ôzapstqàç1:5: roués; idem par ôtépærçov lin. 20 significatur.

4) Cfr. Apollon. con. I def. 17.

rallias. manu F; con. Torellius. 21. mit cum eomp. 17vF; con. Torellius. du par com . F, nulgo. ramperai.F, nulgo. 22. du" F, unlgo. 1:5] scripsi; auto F, unlgo.apanagera; FV.

232 summum IEOPPOIIIQN B’.et 6è raina, 561w ais à AZ nazi AH ôwoîpsi, 05mgà ZB nori BH mixai, roms’drw à MN noti N5(invaincu nui à; â’oa à A Z nervi AH 600021554, 05:0;à MN nazi NE ôwoîpei. «son nui pénal. à» 14,5 «été

6 1,6792.- ami (à; 39a ô 02m3 AZ xüflog nori tin; linoAH x6601), 051m3 ô aïno MN xtîfioç nori du; aïnoNE mîflov. oiM.’ ois (Liv ô aïno AZ x6509 noti 161!

ânô AH xüfiov, 051ng 16 BAI" quina nazi 1:6 ABEquina, à; ôi ô oinô MN mîflog nazi 1611 oinô NE

10 mîfloaz, dans à MN nori N T. 5ms ami ôwlôwécria; 03g ô AAFE topos nori ce) ABE tpâpa, 05-1m; à M T nazi N T, rowe’au 1:6: rota népnra toi;HZ nori I P. nui ênei rô 01595611 1:6 fléau) phi 5101!1:6 ànô A Z zeroéymvov, 511:0; 6è rôw ameips’vow En

15 n 1&9 ôinladi’ug 1:59 AH nui 1&9 AZ novi rôt! (illiAZ 1155011 1.67m! ëxsi, 311 à ôinlaai’a 1&9 AH paré

1&9 AZ nori ZA, 03’615 mi, 311 à ôinladi’u 1&9 N5

ont)? râg NM nazi N.M, fait 6è. and, 05g ô ànô Alnüfloç nori du; oinô AH 115,301), 0171m9 à MN nazi

20 N T, :59 6è ô aïno AH x1560; nazi a; (nageât! 1:0on; 5th) 5x01) nô oinô AH tarpoîyœvov, W09 ôi du!dvmiys’vav à: ra raïs ôinlaai’ag râç A Z geai ni;

AH, 051m9 à AH nori têtu (imaginai: En ne ré;ôinluo’éag 1&9 AZ nazi 1&9 AH, «5615 nui à TN loti

1. à AZ] 17 A Z F; corr. Torellius. 4. Post MN sddnnted. Basil. et Torellius: nazi NO. à; 6è à MN nori N Oau, mitons à MN (noôç ed. Basil.). 11. topos] scripsi; to-peut; F, uulgo. AB FV. 13. IP N T F; con. Torellius14. nie AZ Eutocius. 17. 51v] om. ; con. Torellius. l9.AH] AN F. 21. 1m dvyxëlpëflflli (camp. 17v) F; con. To-rellius, ut lin. 23; 515055217 addit Eutocius. 22. si; (hulula;mais] me me FC; me; vulgo; ômluolaç add. cd. Basin Cr; si:con. Torellius. perd] aux! Eutocius. 24. ômluotaç] on. F;con. ed. BasiL, Cr.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS Il. 23312’: AH’ : ZB : 3H1),

h. e. MN’ : N212?) itague AZ’ z AH’ : MN8 : NEF.

quote etiam AZ : AH a: MN: NE. itaque etiamAZa : AH’ a: MN’ : NE’. sed

.423 z AHa a BAI”: ABE [u. Eutocius],et MN° : N53 a MN: NT.3) quote etiam dirimendo[Eucl. V, 17]

AAFEzABEzMTzNTË-ËHZ:IPÏ)et quoniam

AZ’x (2AH-I-AZ):AZ’::2AH-l- AZ:AZ2 2N,’E-l- NM: NM5),

Æ 5’ 0T N

à]

et AZ’:AH3:--- MN:NT[1in. 5 sq. et 9],et AH” : 4H2 x (2 AZ-i- AH) a: 411242.4- AH

: TN: 20N-l- TNG),

1) Quadr. arab. 8; Apollon. con. I, 20. Zeitschr. f. Math,hist. Abth. XX p. 50 or. 12.

2) Nain MN:NE- NE: N0; undeMN: NO:- MN’: NE’ (Eucl. V clef. 10) a ZB : BH.

13)an MN:NO:MN’:NE’-NE:TN;et MN:NE-MN:NE’;tum multiplicando.

4) Nam MT:NT:Z8:IP (ex hypothesi) et 29:-gin.5) Nm AZ : AH:MN:NE; tum u. Quaest.A.rch. p. 48.6) Nom AZ:AH-MN:N,E’::NO:TN (ex hypothesi,

boudé); tum u. Quaest. Arch. p. 48.

10

15

20

25

234 Enmmsm 1202120111912 B’.

2&2 duynstpë’uæu En 2s 2&9 ôLnÂadi’ag 2&9 ON ami 2&9

TN, 757011511 0611 25660190; peyi’ôsa, 26 61:50:61: 26 fié-

6w un 5x09 26 oin6 AZ 2529027012011, 51:09 ôi tirduyuazys’vav à: 2s 2&9 ôinlaai’ag 2&9 AH ami 2&9 AZ.

ami 6 0’026 Al nôflog, ami 6 02126 AH mîflog, ami 26

62698611 26 fléau; (1.61! 5102 26 ânô AH 252902707201,171009 66 2&2 (imams’vav En 25 2&9 6212112615029 2&9 Al

ami 2&9 AH, 252205961, (1.5715356211 02202107102 661: chio

Âœpfiavops’vmg a; 25 duyamys’vqt En 25 2&9 62221261542;

2&9 NE ami 2&9 NM ami 525’003 (25724852 29:" MNami 5511.92 ëâfig 29? N T ami 2aÂev2atov a; amuïra;En 25 2&9 ôinlaai’aç 2&9 N O ami 2&9 N T. ôL’ [60v

59a 75213652055 059 26 62505611 26 fléau! p.611 5101: 16àn6 A Z 2s29027mvov, 511109 ôè 26m ameips’vav En 16

2&9 ôinlao’i’ag 2&9 AH ami 2&9 AZ 22021 26 dtspsàv

26 fléau! p61! 51011 26 oint) AH 2erpoîyœvov, 51:09 ôi

26W omeiys’vav En 178 2&9 ôinlœoi’ag 2&9 A Z ami rai;

AH, 052009 à omems’vœ En 25 2&9 ôinladi’ag 2&9 N S

ami 2&9 MN n02i 243w dvyuupæ’vow in 28 2&9 charla-o’ùzg 2&9 NO ami 2&9 N T. oiÂÂ.’ 059 26 signps’vov

6250562 nori 26 5301142831011 62896611, 052m9 à QI amiI K. ami 059 â’oa à QI no2i I K, 052019 à dvyampæ’va

nori 26v dvynups’vav. 45625 ami ovvôs’vn ami 26!670142511011! roi nswanloîam’ 562w 65’902 039 à ZH ami

I K, 052039 à nswunlaoi’a dwayqaoréoov 2&9 MN, N T

ami ôsuanlaai’a Swapcpore’pov 2&9 N E, N O nazi à"

(immolai) 2&9 ON ami 26m N T. ami 059 à ZH 1013ZK ëoôaau «1525:9 6150 népnm, 052039 à newanlaoia

1. un ovyuscpwnv (172 per comp.) F; 00m Torellius, utlin. 7, l4, 17. 2. 11.27507; F, nulgo. 4. maclas F in finelineae, nulgo. 6. ml 6 «’16 AZ] 0m. F; con. ad. Boni].


ergo quattuor 1) magnitudines sunt, magnitudo solida.basin habens AZ’, altitudinem autem 24H -I- A Z,1123, 4H3, magnitudo solida basim habens A H 2, alti-tudinem autem 2 AZ 4- A H, proportionales cum quat-tuor magnitudinibus binis simul sumptis, 2 N E -i- N MMN, N T, 2N0 -f- N T?) itaque ex aequali [Eucl.V, 22] erit

AZ’ x (24H 4- Al) : AH’ x (2 ,42 4- AH)

d :2NE-f-MN:2NO-f-NT.se

AZO x (2 AH-l- AZ) : AH’ x (2 AZ 4- AH)

, a 01: IK. .quare etiam 2NE-I- MN: 2NO-l- NT: ÜIzIK.quare etiam componendo [Eucl. V, 18] et anteceden-tibus quinquies sumptis:ZHzIK25(MN-I-NT)-f- lO(NE-I-NO):2ÛN-f-NT3)

1) Hinc paraphrasim dedit Eutocius, Archimedis uerbis suaadmiscens; quare ex eo iam nihil ad Archimedis nez-ba. amen-danda. petendum est.

2) H. e.AZ’x(2AH-l- AZ):AZ’: AH’:AH’x(2AZ .1- AH)

:2NE-I-NM:MN:NT:2NO-i-NT. Ia) Nam ZH: 59K.

7. mg F; com Torellius, ut bine semper in hac propositions.ni; AZ] un 1:17; AZ F. 9. m n 61:71:54»er F; corr.

Torellîus. 10. NM nul] NM un zou FA. 1515901: pe-yaôeoç F; con. Torellins. r91] scripsi; 1119 F, nulgo; ni;Torellius. 11. 49.1.90] scripsi; allo F, unlîo. 1:15]; (bis) f7F; com Torelliua. N F F. ovyuupwn ; con. , orellius.12. chahutas] f’H F. 17. tés A Z ad ni; (hautains lin. 180m. F; con. e . Baal, niai quod n pro a pmebet, quod con.Torellius. 19. 1m: constipant! F; com Torellius; et omninohinc nusquam in hac proportions a Doricum in codd. sema.-tnm est, sed ubique n irre ait. 25. nevranlucta] scripsi;0m. F,’u o; nevzanlfi ed. anil., Torellius. 27. un] 0m.F; com A . 28. 01mn F, nulgo.

10

15

20

25

236 EIHIIEASZN IEOPPOHIQN B’.6m01111po15’90v 1&9 MN, N T 11011 65110121111612! 611111111-

92015’900 1519 NE, N 0 11013, 10111 611110161011; 6011121100-

15’900 1519 MN, N T 11011 15106111116106! 6v1101111p015’pov

1&9 NE, N O. 566511011 01511, 1159 ZH 7101?, ZI, 05199à 71511611101610 60001111015001) 1&9 MN, N T ml 653w-1110161’01 60101119015901) 1&5 EN, N 0 1101?, 113w 6672151»

115310111 5’21 15 1&9 611111165019 1&9 MN :1011 15190111101610;

10’213 NE :1011 52017110161019 1âg ON :1011 1017110161019 15;

N T. 5115i 0511 156601953 5151956011 5519 611101107011 ai

MN, NIE, ON, NT, 21011 561w 05g 11511 à NT :1011TM, ohms 15101111151101 11g à PI 1101?. 101 1911: 715111111

1013 ZH, 101215611 1&9 M0, 039 65 à 6vyn51115’v01 En 11

1079 617110161019 1&9 NM 11011 15100611016101; 1519 NE and

53017110161011; 1&9 N O 91012 19111101615013 1&9 N T :1012 ràv

61196151115120"! 5’91 15 1&9 11511101711661019 6vw1111po15’pov ri;

MN, N T 1101?. 65910611016111; 60061192015901) 1&9 EN.N O, 051m3 515’901 119 15101111151101 à I Z 11011 113w ZH.

10111561111 11011 119w M 0, 5665111011 6161 16 119615900 à

PZ 6150 1151111101 101g MN, 101215611 101g ZB. 15m1151119011 13029569 5611 1017 ABI’ 111011101105 1è P 601115Iov.

E6107 61) 1101?. 105 ABE 1110111011og 1151119011 1302050; ri

X 6011151012. 105 5901 AAEI’ 161101: 5665151011 16 115’11-

1pov 106 13029509 5111 1&ç En? eôôeûzg 11,5 XP 16v au,»

16v 11011. 011510111 1.67011 ëxoüdag, 311 5151 ô 161109 :011

1è 1.011161) 111071101. E6111! 65 1è I 6011155011. 51151 7&9

1&9 11511 ZB 191’121 7151171101 561112 à BP, 1&9 65113

1. 65116711010101] I FV; 6suanlfi uulgo. 2. N il, N O] acriplî:N E0 F, uulgo; ENO Torellius; eadem omnia lin. 4. 3. MN TF, nulgo, ut lin. 1, 6, p. 234. 25. 4. 561011 per camp. F.unlgo. 03s à? 6. EN, NO] scripsi; ENC’F; ENO m1180-9. :1611 015 Torellius 0mn Eutocio. 10. MNE, ONT F.uulgo. 11. 5111211115117 F, uulgo, ut lin. 17. 14. N 0] N9]


et ZH: ZK a 5(MN-f- NT) -]- 10(N5 -]- NO):2(MN-l- NT) -I- 4(NE -l- NO),

quia ZK a: fZHÉ) quare etiam [01110511011114 addenda,02110211011111] erit

ZH: ZI : 5(MN-i- NT) -]- 10(EN-l- NO):2MN-1’- 4m; -l- 60N-I- 3NT.

iam quoniam quattuor lineae in continua proportionesunt, MN, NE, ON, N T [ex hypothesi], et

NT1 TM: PI: gZH: PI: fiMO”),et

2NM-]- 4NE-l- 6NO --]- 3NT: 5(MN-l- NT)-]- 10(EN-I-NO) a: IZ:ZH:--- IZ:MO,

erit propter praecedens [prop. 9]PZ a: ê M N : ë ZB.

quare punctum P centrum grauitatis est segmentiABI’ [prop. 8].] ait autem segmenti ABE centrumgrauitatis punctum X. quare frusti AAEF centrumgrauitatis in linea XP producta positum erit, lineaabscisa candem rationem habenti ad X P, quam habetfrustum ad reliquum segmentum [I, 8]. eiuamodiautem est punctum I. nam quoniam B P: firZB et

1 Et5111131 NT)-I-10(NE-]-NO):2(MN-l-NT)4-4(N.E’-I-NO)

:5:2 (Eucl. v1, 16).2) Nm MOuMN5N02-ZB-1-HB-ZH.

FV. 16. MNT F, uulga. ENO F, uulgo. 18. encum camp. ou F, nulgo. 16] F; 1a1’ uul o. 20. papousF, nulgo, ut lin. 21, 23. 2l. 111011101109] me F, un a. 22.du] 0m. F; 001T. Torellius. 161111 (jet camp. F, u o. 23.

îni] scripsi; 101c F, uulgo. 24. 16110 scripsi; 101150; , nulgo.

10

238 EIIIIIEASZN IEOPPOHIRN B’.19101 715117111: 561111 à BX, 71011 lomâg 61901 1&9 HZ191’111 7161111101 E6110 à XP. 57151. 0611 661111, 059 11611 6

AAEF 161109 11011 16 ARE 111511101, 0171109 à MT71011 NT, 059 65 à MT 71011 10111 TN, 051019 16191’01 116117111: 1&9 HZ, 51’119 561311 à XP, 71011. PI, éo-

651’1011 61’911 11011 059 6 AAEI’ 161109 11011 16 ARE

111511101, 051019 à XP 71011. PI. 11011 15611 101": 116.11 51.00

111021101109 1161119011 1017 13019509 16 P 6011151011, 1:01? 66

ARE 7161119011 13019509 16 X. 117011159611 0611, 311 un!1013 AAEI’ 161100 1161119011 1017 1369509 16 I 6011151011.

8. 161109] scripai; 1011509 F, nulgo. 5. H Z] N Z FV.501011 par camp. F, nul a. 6. 161109] scripsi; 10115119 F, unlgo.7. PI. 1101! 0.11 1161119011 in. 8 0m. F; suppl. ed. Bail, TOI-8113m.niai quad 11h 101": ruchent. 8. pagaye F, un] a, ut lin. 9.10. 10. ABER V. 1611011] scripsî; 10112009 , unlgo.

DE PLANOBUM AEQUILIBRIIS Il. 239

EX: gHB, erit igitur etiam XP: :3112 [Euc1. Iuow. 51111. 3]. iam quoniam est

AAEF: ARE a MT: NT [p. 232, 11],et MT: TN: irHZ : PI :XP:PI, erit igitur etiamAAEI’: ABE a: XP: PI. et totius segmenti cen-trum grauitatis est P, segmenti autem ABE centrumgrauitatis punctum X. adparet igitur, frusti AAEI’centrum grauitatis esse punctum 1.1)

1) I, 6-7 (Eutocius); poterat etiam ex I, 8 concludi; u.p. 207 not. 3.

ARENARIUS.

Archimodu, ad. Heiberg. XI. 16

Tauuitng.1 I. 036121011. 111159, 1301611517 Fëlaw, 1:01") 11105111101) ri

029101.61; â’amgov 6111511 193 nlfiàec’ 15’701 6è 015 11.6121

17017 15.591 21100010156129 n aux), têtu 5111111 211151105 13110201011109, 45Mo? and 105 une? ara-:0011; x0590": du 1

05111711511111: nul 1&1; 020611111012. Mi nues 65’, oî «1’110

511510012 11h: 5111.81! 013x ônolapfiévowa, 111165310; 115’011

1011110131011 nurmvoyadyæ’vov badgxsw, 50mg ôuapfldÂ

2 la 1:0 11.171909 0151013. 015 6è 051m9 60501:6st 61710:10 059 si vofio’awv à: 1017 11102111101) 10111110171011 570101: avr

115611612011 tôt 11h! 51.1141, âÂL’uog’ ô raïs 7&9 37x09, du!

meulnçmps’vm 6è à; 0115195 1,151: ne 115113175101: «imam

and :1511 11011010021011: 1&9 yâg dg 17601! 1711105 rots 151M-

Âonizoag 170311 695’521], nouunlaatœg par) 7110366111111 un

16 68’111: aux ônlflfipsv àçoflpôv énepfiduowa 10 nlfiâog tu;

3 1013. âyà 6è «51001601511111, 101. 661111113va 61’ 51506515101

ysmpewmâv, aïs nagauolovflficisag, 011. 103v 154p’ 1111450

uarœvopaape’vmv 02010110511 nul 51165601150011; év rots

11:01:), 2515511111011 yaypappe’vozg 15115060511001! nm 06

2. mons F. 8. &ozfipôv] 0m. F; corr. manas 3, W811i4. 1:01": un: per comp. F; con. cd. Basil. 6. 39:1] 31 F31con. iualtua; 0m. B; si Wallis. oî’] 0m. F; con. Blum!-7. ph: alun] 125111187 F; con. Torellius. 01101111131190ered. Basil. 9. 03:10;] pet comp. F. 10. nouveau F.tu? ph ânon] Gertzius; rap!!! F, nulgo; 5111511 Wallis. .un! F, au ra. scripta L nel comp. av manu 1; con. Walln.tâç] au: g; 00m Wallis. yâç] yoga F; con. Wallis. "a

Arennrîus.

I. Sunt, qui existiment, rex Gelo, numerum arenae 1infinitum esse magnitudinel); dico autem, non solumains, que ciron Syracusas et reliquam Siciliam est,sed etiam quae in qualibet regione siue culta sine in-culta. alii autem infinitum eum esse non arbitrantur,nullum uero tantum nominatum esse, ut multitudinemeius superet. quod qui putent adparet, si globum ex 2arena colleetum esse fingant, cetera quantus globusterme ait, expletis autem et maribus omnibus et cauisterme lacis ad altitudinem aequantem montes altissi-mos, multo minus 00s intellecturos esse, nominariposse numerum multitudinem eius sùperantem. ego 3uero tibi demonstrare conabor demonstrationibus gec-metricis, quas cogitatione adsequi poteris, numeroruma nabis nominatorum et in libro, quem ad Zeuxippummisimus, propositorum quosdam superare non mode

l) H00. tritum prouerbium ont Graecis; Pindarus 01. Il,98; Paroemiogr. Gr. p. 11, 167, 260 ad. Gaisford.

65’] Gertzius; 0m. F, nulgo. 13. de] addidi; 0m. F, utilgo.01017119101101; FV. 14. mosan: F0. (la) 7111006111411] scri si;("770120111112 (w pet comp.) F, nulgo. n’aura un: 611017112111591011611] scripsi; 11116511 auner] embuai. F, uulgo. 16. 1011;]un: (comp.) F; con. Bultsehius, Gertzins. «manitou! ,nulgo. 18. 11121011011110 "un F; con. VAB. 91106601131: cumcomp. ou F0; 511656011. son Wallis. 19. campanes"; F.

16*

10

16

20

25

244 TAMMITHE.11611011 1011 02911811011 106 1p021111011 100 11671809 5101110;

[0011 10? 11131" 11111112911111.6101, 11018021159 1511011189, 02111.01 11111

1011 1013 11671001; 1’001 51011109 195 11601193. 110116111; 01’.

61611 110111111011 11601101; 15110 11011 10511 11111010111 020190-

16111011 à 0111011901, aïs 6’011 1161119011 11011 10 10?; ri;

1161119011, à 0è 1’31 1013 1161119011 1’001 11,32 5150115131 101" 11111150

1013 1161119011 1017 1511.1011 11012 1013 1161119011 107g 1112;.

10117101 7029 151111 101 11901016115101, 059 1101901 10311 010190.

16110011 0101110110013. ’A91’o’1119ZOQ 00 0 20111109 01108101011

11110311 051500011511 7901111029, ë11 aïs 1’11 11511 15110st1111101

61111130111151 1011 116011011 11011111110201011 01511111 101": tu?!

51911111511011. 0110111861011 7019 101 11011 011110111601 115v 5019m

1101?. 1011 0711.1011 116115111 0211111141011, 10111 60 110711 1191-

4159600011 1159Z 1011 517.1011 11011131 1115111011 11591111691111.

51,- 1’01111 1511 111’119) 115 696111,» xstpsvoç, 10111 6è 1151

02111011160111 610190111 011101190111 1109?. 10 011’110 116111901 193

6111190 1151116110111 11,5 111719951 10111110610111 d’un, 15011 101

1115111011, 11010’ 311 10111 70211 0110110151011 11091015950011.

101011510111 511111 02110110710111 110111 10111 10311 &zlavëm

61106101010111, 01’0111 51551 10 1161119011 1&9 01110119019 mi

115111 51110105151011. 101310 71’ 8176171011 001; &061101161 30m.

10183. 7019 10 1&9 60101119019 1161119011 oôôëu fia 115718009.

01’160. 1.67011 515w 00661101 1101i 10111 61119011151011 1E;

09201159011; 01101011116011 011516. éuôsme’ov ôè 1011 3191-

01019x011 01111105160011 1665’ 3115101) 10111 710’211 011011111.

1361101119 1501159 1111511 10 11151119011 1013 116011011, 311 1’111

1.611011 0? 110? 11011 1011 15119 0211.0511 1191111611011 11601101,

2. 11110111111 F, uulgo. 3. 111110011; F; con. B. 6. iln F; corr. V. à] 0m. F; com Wallis. [ou] 0m. F.lacune. reliota; con. Wallis. 011 111011011 F; com Maman8. écu 1è 1901961111101, 009] scripsi; 111 tous 1911901111111; F.

ABENARIUS. 245numerum arenae magnitudinem habentis aequalem ter-rae ita expletae, uti diximus, sed etiam numerum arenaemagnitudinem habentis mundo aequalem. nouisti autem, 4mundum a plerisque astrologis uocari sphaeram, cuiuscentrum sit centrum terme, radius autem aequalis lineaeinter centra salis et terme positae. haec enim uulgoscribuntur, ut ex astrologie cognouisti. Aristarchus ueroSamius libres quosdam edidit, qui hypotheses inscri-buntur, in quibus ex iis, quae supponuntur, adparet,mundum multiplicem esse, quam supra. diximus. sup- 5ponit enim, stalles fixas solemque immobilia manere,terram uero circum solem in medio cursu positumsecundum circuli ambitum circumuolui, sphaeram au-tem stellarum fixarum circum idem centrum positam,circum quod sol positus sit, tamtam esse, ut circulus,secundum quem terram circumuolui supponit, eamrationem habeat ad distantiam stellarum fixarum, quemhabeat centrum sphaerae ad superficiem. hoc cette 6fieri non posse manifestum est. nain quoniam cen-trum sphaerae nullam magnitudinem habet, ne ratio-nem quidem ullam ad superficiem sphaerae habereputandum est. sed credendum est, Aristarchum hocsentirez quoniam supponimus, terram quasi centrummundi esse, sphaeram, in qua. est circulus, secundum

uulgo. 9. âidnwauc] scripsi; manganeux: F, nulgo. ds]addidi; 0m. F, nulgo. 10. yçmpdç] scripsi; noubas F, nulgo.13. par cum comp. mi uel w F. aunai! F. 16. «Muni: F,nulgo, ut lin. 12: «aluna. 17. âne] son» F; con. ad. Ba-sil.; à; Gertzius. 18. 81a] au F; corr. ed. Basil. 20. meF; corr. Wallis. 21. 7’] 6’ ed. Basil., Wallis, Torellius.22. :6] tu F; corr. B. 23. s; cum comp. ma ne] w F. 24.au: cum comp. m: F; corr. B. 25. énolappavopsv F, ougo.26. 50mg sïpsv] scripsi; à: mon. par F, uulgo.

10

815

20

246 111W.1061m! 515w tôv 1.6701! du: «parquai, à: ë ènwôadulas, mô’ 311 «in; 7&1: ôzwws’ma npweps’côu,

and du: 145v &zlava’œv üdtpaw candeur. du; yinàmôuêz’aç 145v (pawous’vœv 05mn; «inculpât,» évap-

pdtu, nul radinera (pawêmt. zô pêyeooç 1&9 6Mà; q? flOLÊL’TŒL 113w qui": uwovpa’ww, l’aov Moufle’m

195 ôcp’ 51m5!) 51911515319) 360’449). gadgets 67j, aux) si 75’-

vono à: 1:05 vidimer: «poliça tahxat’mz 16 péysâoç,622.1344211 ’Apz’awozog étauflêwo rôw 16v «induvie»

üdtçwîl (manteau! signal, and) 0:71:09 11113:9 (humât!

1:61: ëv biglais du: movoyaglfav êzôvtaw 13159M-Âdwag 1:95 rubéfia. 1:61! àpwgô’u 161i 1:06 (même!) nô

44575009 ëzowog 1’601: 1:9? sipqpe’qu aQaL’ng, 151015423

vœu rôvôs’ «9051011 ph; tain; asptpstçov. zig qui; du»

059 1’ (.wpzdôœv 6105610011 and mi) psiçova, naine n-vôv nemapaye’vœv &xoôemvüew, M0639 aux), a) zap-axolovôstç, êoüdav at’rràv à; 1’ pvçzdôaw Gradin.

Éyà 6’ Ônapflauôpwog and 0le rô 41.575009 zig ri;059 ôsxaarléazov 1:06 in?) 115v apatéçmv ôeôoâuapæ’vov

du: motustoov admis ôuowfiéuao (5sz 059 t’ impié-ôow Gradin]: and M2 usJÇova. (sur?! 6è toôzo «in: dui-

1. à] 1l F; con. Wallis. 2. 37 ou F; com cd. BuiL8. mimi cum comp. un! F; con. W31 ’s. 1029] cum C etTorellio; 0m. F, nulgo. 4. ôzouupémp Gertzins; 1’:mecum comp. or F, uulgo; àzonupéwœv B , Wallis, Torellius;hlm scribendum erat à: ravira»! pro 05:01;. 5. 511100: F.6. norme-rut F; con. Riualtus. 7. «page F, unilgo. 10.(pumas! F. animions] Ahrens; (influa cum comp. ne adw F, unlgo; ôezzûriuahc Torellius. 11. 1&9 surmontât] iscripsi; une amovopuêmw F, nul o; mais! 1:42:01")wa Wallh, iTorellius. 12. domptés: comp. . 13. ptyaline: F; cart. B.nono F0. en aquitain ; corr.Wallis. 16. pommâmF; con. JB0, ut lin. 17. gui] 0m. F; corr. Wallis. petto-vu] «ripai; tputain! F, uulgo; perça» V, alii, ut lin. 21. un; ne: F; com

ARENABIUS. i 247quem terram oircumuolui supponit, ad sphaeram stel-larum fixarum eam habere rationem, quam habeatterra ad mundum, qui uulgo uocaturfl) nam demon-strationes phaenomenorum eiusmodi suppositioni ad-commodat, et maxime magnitudinem sphaerae, in quaterram moueri fingit, aequalem mundo, qui uulgo noce.-tur, supponere uidetur. dicimus igitur, etiamsi ex arenatante. sphaera. colligatur, quantam Aristarchus sphaeramstellarum fixarum esse supponat, sic quoque demon-strari passe, quosdam eorum numerorum, qui in Prin-cipiis nominati sint, magnitudine superare numerumarenae magnitudinem habentis tali sphaerae aequalem,bis suppositis:

1. primum pefimetrum terme 3000000 stadia longamesse nec maiorem; quamquam quidam’), ut tu quoquenouisti, demonstrare conati sunt, eam 300000 stadialongam esse. ego uero [hune numerum] excedens etmagnitudinem terrae magnitudini a prioribus propo-sitae decies fera sumptae aequalem esse supponensperimetrum eius 3000000 fere stadia longam nec ma-iorem esse suppono.

1) Potins sententia Aristarchi haec fuisse uidetur, distan-tiam stellarum tamtam esse, ut circulas, in quo terra moneatur,cum ea comparatus punctî locnm obtineat; cfr. Arist. de di-stant. 2; Ptolemaeus 607T. Il, 6 p. 74. Cfr. Quaest. Arch.p. 202; Nizze p. 210-11.

2) Significatur Entosthenes; Bemhardy Eratosth. p. 67 ;Quaest. Archim. p. 202.

Wallis. urina] scri si; son F, uulgo. 16. ni Riualtus;tu F, nulgo. 18. aux Gels] scripsi; sumac F, u o. 10.(intitulas; cum camp. on! F; corr. Wallis. ôsâoèmmwœv F;

corr. ed. Basil. 20. pvmdôm] A?! F; corr. Wallis.

7

248 WAMMITHE.51.510011 1&9 yâg ustgova ainsi; mais dangérpov 1:6calmiras, and 16cv duipnpov 1013 âh’ov Faitout alpe

’ 1&9 (imprima) 162g 7&9, ôpoz’mg ne: m’y-ni hypéron! roi

QzÂsz’atoLg 1451: 119.0115907» 02619016310012. and: 6è 10:61

5 1&1 ôcdpszoov 101": 5:11:01) 1&3 âmys’zçov 1&3 déifiait:

si; 1pmxov1aatladtfav sium; and aï; pagaya, statue.145v 219015110011 0261001671111! Etiôôëov phi «59 évasa

111.1261010; àzoqiawope’vov, (badin: 6è 105 3431061142190

059 [1M] ôœôsnanladlav, umadoxov 6è uenetpape’vm10 6511111155111, 51L émiai à ôtdpsmoç 106 021.501) 1&9 du:

515’190!) 1&9 651.15an mitan: ne" ü ôn1muatôexa1rlœdlm

flânait: 6è fi atuodazlaalfœve éyà 6è àspflauôwogand 1051W, 311019 1è 2190915551st11 &vapçnlôyœg fi de651751531011, énorzôe’ym 1&1; chaînage!) 106 ânon 1&5

16 damnâmes; 1&9 delrivag ais 191mov1aazlam’av alpes: M2

10 54.17 wigwam 1101Z 6è 106101.5- 1àv ménage» 105 (51.601)

nettoya eïpw 1&9 106 lepaynivov 111.5119079 1013 si; 16vus’yzdtov 26x101: àyypmpops’vov 105v év 1go" 26641.92.

10510 6è ôzozoâs’pm ’prnîpxov ph! 6150173610; 106

20 3:62:10!) 103v (9065001! 16v 51.1.01; (pawduwov à; 1è 51x0-61ôv nul êmauodzoardv, minis 6è êmduszlzdpsvoç 1676516v 1961101! Émzçéô’qv dpyawuoîg laflsi’v 1&1: 7min,

dg 5211 ô 521w; êvagpôgu 143w xopvqiàv 51006411; 101511119:" ô’tpu. 1è phi 01511 àzptflèg Âaflsïv 06x sôzspe’g 361;

25 duit 16 ("in 1&1; 6’1va min 1&9 xstpag mite 1è ô’pyava,

1. saupes F; corr. B. 2. calciums B. 6. lâchent,(banchas . F. au; «un F, con. Wallis. 7. hirsutisme]F; con. wallis. 8. Zxoônarooc] ,,latet nomen patrinm Phl-diae significansu Maduigins. 9. dû] delet Wallis. 10. toi]addidi; 0m. F, nul o. 13. 1190191518101] Gertzius; www.107 F, nulgo. arapmtldymc] scripsi; un 11.0101: F, 1111130.14. 105 oilles: 107c ôzuuéroov] 0m. F; com allie. 16. 65’

ARENARIUS. 2492. deinde diametrum terras maioremesse diametro

lunae, et diametrum solis maiorem diametrc terras,rursus eadem sumens, quae plerique astrologorum

priorum. 13. deinde diametrum solis aequalem esse diametr09lunae tricies sumptae nec maiorem; quamquam exastrologie prioribus Eudoxus eam diametro lunae no-nies sumptae aequalem esse declarat, Phidias autemduodecies sumptae, Aristarchus autem demonstrareconatus est, diametrum solis maiorem esse diametrolunae duodeuicies sumpta, minorem uero eadem uiciessumpta [Aristarchus de distant. prop. 9]. ego uerocum quoque excedens, ut propositum pro certo sitdemonstratum, suppono, diametrum solis aequalemesse lunae diametro tricies fare sumptae nec ma-iorem.

4. praeterea autem diametrum salis maiorem esse 10latere figurae mille laterum circule maximo mundiinscriptae. hoc uero suppono, cum Aristarchus in-uenerit, solem partem septingentesimam fere circulizodiaci esse adparere, ipse autem hoc modq scrutatuspet instrumenta cum angulum deprehendere conatussum, cui sol aptatur uerticem in oculo habenti.uemm quidem ipsum deprehendere difficile est, quia 11neque uisus neque menus neque instrumenta, quibus

lésas B. 16. putes: F; cors. B. 19. adonnâtes] scripsi;nonante; F, unlgo. 20. 161:] 1m er comp. F; con. B23. et; 31v] scripsi cum Wallisio (à; av); à; du F, uulgo.s avec F; corr. BC. 24. 0613 scripsi; mon cum comp. ou F.atomes] scripsi; campez F, u go. ne cum comp. ne: uelw F, ut p. 260 lin. 1, 3, 5, 7.

250 emmuras.61’ 051! 6&3 lufietv, 02516511610: siam! 10 60:01.0); âno-

11 920110560011. 7159?, 6è 1061001! sut 1017 m6710; et?!553101001! méfia! &Mmg 1s and 311.50002an 101015101éMsmavaf’vœv. 0211on dé (LOI! ê; 1&1! &nâôuâw 106

5 «peaufinai! 7méa1! Âuflsl’v, &nç sain! 015 pattern! 1E;

y02015419, etc; 521! ô 6511.09 évappôçea 1&1! :1on 5101!-

dm! 2101:2 143i avec, and «au! &Muæ! rondin! Aafislv,51’114; 456121! 06x flair-1M! 1&9 renvias, et; 52v ô &hog

129110110151. 1&1! zoquaàv 5100601! 1101?. 19’; 04m. re-

10 05’110;- odv M1005 uavôvoç sa :1664! 60801! à! 161e)asiywov, 5’981! fipsÂÂev &vaæ’Maw ô &Àaog ôoéaôtu,

scat uvuvôpov pcxpoô 1001508151103" aux). mâtines M101! maniant 60005 eôôe’mg peut 1&1! 0210:1on 106&ÂL’ov, 511541’ êdwog (215105 1101?. 195 (30!sz ml dv-

15 101415100 [105] &wzfllsars’aôm êzsdrpdcpn ô gamin! 51g

101! 50.100, aux). à 0’11»; 914118610281) sa 10 501901! 105

mvdvoç. 6 6è milwdçog év m5690 31515115009 1017 a512.501! nul 1&9 510109 151586316151, 195 &Mço. &uozmpttô-

paves 0151! [105 uvuvôgov] c’mô 1&g 51h09, à! ë &pëato

20 nagacpaws’dôm 105 sillon 01.21001! Écp’ éminça 105

13 uvltvôpov 3141156sz ô milwôpoç. et ph! 051! avu-s’flawsv un! 511M! &(p’ 8’709 dansiez! filézaw, êI’JÔElËÜ

«218516611! &11’ &upov 1015 navôvog, à! qui 161191 à 51m;

1141156102017, êmzpawovaâv 106 aulivôpov à «amazo-

25 peut: 701w!!! 15710 1&1! &xôawâv êléddm! au fig 1&3yawtag, si; 621! ô &lbog àvapydçu 1&1! xopvqaàv 5100-

1. dei] scripsi; 6m F, un] o; 0m. ed. Basil., Rînaltus,Wallis, Torellius. 85162110145 scripsi, nonante Hultschio;aéromancie F, nulgo. 5. 30111! mi] scripsi; au: F, u ;son mi Wallis, Torellius. 6. sic] ou; F, unlgo; le B, iualtus, Wallis, Torellius. 7. 19?] 0m. F; corr. Wallis. 8.de] à: F; con. B (à). 9. 15041014051; F; corr. B, ut lin. 6.

ARENAEIUS. 251utendum est, satis certa sunt ad usrum inuenien-dam. de bis uero rebus hoc tempore nihil adtinet 11pluribus disputare, praesertim cum talia saepius illu-strata sint. sed mihi ad demonstrationem propositisatis est angulum deprehendere non maiorem angulo,oui sol aptatur ucrticem in oculo habenti, et rursusalium angulum deprehendere non minorem angulo,oui sol aptatur uerticem in oculo habenti. itague 12longa regula in pede perpendiculari posita, qui in clus-modi loco collocatus erat, unde sol oriens conspici pos-set, et cylindra parue tomato et in regula posito per-pendiculari statim post ortum solis, cum sol prope hori-zontem esset, et oculi ex aduerso eum intueri possent,regula aduersus solem conuersa est, et oculus in extremaregula positus est; cylindrus autem in medio salis et oculipositus soli officiebat. cylindrus igitur, qui ab oculo sen-sim remouebatur, ubi paululum solis in utraque partecylindri adparere coepit, inhibitus est. iam si oculus 13re uera ab uno puncto prospectant, lineis ab extremaregula, quo loco oculus positus erat, Cylindrum con-tingentibus ductis angulus lineis ita ductis comprehensusminer esset angulo, cui sol aptatur uerticem in oculo

tu] mon F; con. C. A 10. néant] Gertzius; «:5601! F, uulgo.11. Mural). cum camp. on F. 14. 10111109 F; corr. Wallis.camp» cum comp. ou F; cou. B. 16. nô] 0m. Wallis;«6105 B. 16. à 51mg] nunc F; cou. Riualtus. 18. ano-zmootopw cum camp. os F; &uozœoLzops’vou B, editores. egomalui 1:05 xyllvôçov delere. 19. 05v] addidi; 0m. F, uulglg.

9’: énigme Gertzius; in: 95? 20. (une cum comp. ou ;com Wallis. 21. 0131:] scripsi; me; cum comp. me F, nulgo.

24. smapavowa F; com Riualtus. 25. fic] scripsi; surF, unlgo; çà] Wallis. 26. etc] ou; F; com B (59). samo-uotq F; con. BC. rob] tu F; con. B0. 810mm; F; com

6d. Basil. t

252 wmnmiz.601v 1101?. 11;? 611151, 61.61 16 zaozfllsm’aôm 11, 106 6111:0

êcp’ éminça 1013 1111113169011. âne). 6’ al 61111:5; 06x rio

5’169 6111186011 5159101111, 021.161 51116 111109 payé-8505

61.01an 11 116751809 6190771151011 06:1 510111011 31111055 aux). 1501511105 106 1157150803 En). 16 51319011 1017 11011161101

év 9; 16119: à 6’1ng 11011561051812, 0210511511 560515111 6’711

11101110116611 105 1e 1157559509 and. 106 1111111169011 à 0151

11591510118311: 70011101 6116 1&1 02103166111 151112110111 fig 1&1

ywviaç, sis 6311 6 51.1.09 évaopôçez 16111 110911916111 flou

65160111 :1012 162 6111.31. 16 6è pëyaôog 16 0611 510111011 1&5

61111.09 161165 1611 10611011 56916111’1011’ 6150 1111115116910

16111311151011 1.511161 1101111111511 àMoÉÂoog, 16 11611 151111611,

16 ôè 06, aux! 11901131311111 2106 107g 61111.09, 16 pèv lav-11611 0111166101116; 0171’ 111131079, 16 66 06 181111611 051; 561w

15 éyywoî1œ 101g 61111013, 15616 and ûzyyoîww 105 apod-

aîazov. et 11.611 0611 aux 16 1011110531101 uvltvôpta 1m6-15901 5611111. 16’s 61111.09, usoalayflavérm 6116 11521; 13’1pr

16 137176; 11111611601011, 111111 691’111", 6216 0161629 16 1m67,

et "5’11 un: 111111961 110116 1.5111615901 Sunna, 71511, si 65’ 11a

20 116 1101961 110116, M9502 111111 105 15111106 60015111011. 36’

15 15110115901 1013 157769 1&9 5111109. 10161814111001 6è 1051165

11511 11111116910211 êmmôslœv 21mg 195 mixa émauoteî16 5159011 011510311 195 511’990 11012 015 111110111 161197. 16

66 11111111061011 (Léyæôog, 61.611011 k1! 16 mixas 11511

25 11011116950111 10511 10610 7101061110011 (1011161111 mais 561w

013m 510111011 1&1; 6111109. à 6è 7110111501 à 0611 51102111111!

1&3 yœvlaç, dg 6111 6 517.109 Évaopôçso 1611 11091161611

I 1. nagapleuécâm Gertzius. 2gî 013101111] anpstvF; corPWallis.4. 0111106] «me F; corr. Walhs; n 011111; A, Exualtus; 11 à un;Gertzius. 5. 106100 un? Gertzius. 6. 0110215101 51105101 F; con.Wallis. 51111110100101: F;corr. Wallis. 9 si; mgF;corr.B(lc);111019110511 F; con. BD. 210110019 F; corr. izzius. 12. 10

ARENARIUS. 253habenti, quia ex utraque parte cylindri pars salis con-spiciebatur. sed quoniam oculi ab une puncto nonprospectant, sed a magnitudine quadam, magnitudinemquandam rotundam oculo non minorem ’sumpsi, etmagnitudine in extrema. regula. posita, quo loco ocu-lus positus erat, lineis et magnitudinem et cyliancontingentibus ductis, angulus lineis ita ductis com-prehensus minor erat angulo, oui sol aptatur uerticemin oculo habenti. magnitudo autem oculo non minor 14hoc modo inuenitur. sumuntur duo cylindri tenueseadem crassitudine, alter albus, alter uero non, etante oculum ponuntur, ita ut albus ab eo aliquantumabsit, qui aute’m albus non est, oculo quam proximusBit, ita ut etiam contingat faciem. si igitur cylindri,quos sumpsimus, oculo tenuiores sunt, cylindrus pro-pior ab oculo comprehenditur, et albus ab eo conspi-citur, si multo tenuiores sunt, totus, si minus, partesquaedam albi ex utraque parte cylindri oculo propiorisconspiciuntur. bis autem cylindris crassitudine aptis 15sumptis alter alteri officit, nec maiori spatio. eius-modi igitur magnitudo, qualis est crassitudo cylindro-rum sic se habentium, baud dubie oculo minor nonest. angulus uero non miner angulo, oui sol aptatur

111511] tu un F; corr. BC. 13. 7106] 11000 per camp. F; comB. 14. 161;] os F; corr. C; 30011 Nizzius. 15. 191110111 cumcomp. m1 uel w F. 16. 1101] addidi; 0m. F, uulgo. 7.51110-101101 F; con. Wallis. 19. [n’y] 110 F; con. Wallis. 151110-1200111 F; corr. Wallis. 501111 F; corr. WaIIis. 2l. 1069761;] 1a: (comp.) 271111; F; con. B. 22. 1111111600111 F; corr.Wallis, ut lin. 25. 51101101611511 F; con. Wallis. 51110110st]F; retinui cum Gertzio mutata interpunctione; 5111011011511 C,Wallis, Torellius. 26. à min] scripsi; à 0m. F, uulgo. 27.de] me F; cou. B (5;). v

254 1111111111112.510110011 11011 101" 61051, 0171009 510101012. 011100100511106112 1013 1101110115011 1015 1111111160011 01116 1019 610109 05’001

169 5111011015111 1611 1115111160011 6101 193 0111501 1101 011051

00’111 51101117111 0211’ 0110011 1015 1101161109, 511 1,5 16119 .

6 611119 1101150101017, 51111000000011 1013 1111111160011, à 11501

5101151101 91011150 15116 10711 0110510011 560510111 01’111 31111

10211 711115101. 1&9 1101111019, 519 6111 6 611109 5110011655

161011 110011010111 510110011 11011 10’ 611151. 10179 611 110711011;

10179 051019 1010105100119 110101151012051’009 60009 110111150;

10 57511510 à 611 195 0117101 6101105051009 1&9 60009 539 0565101110111 fi 311 (15’009 101510111, à 65 5101110111 6101105051-

009 1019 60009 559 0’ 05km 1] S11 115’009 101510011. 615-

1011 0611, 611 110?. à 70111101, 519 6211 6 011109 511010116Ç5116111 110011010111 5101100111 11011 10’? 611151, 5101110111 p.511 501111

15 13 61011050515009 1&9 600019 5139 0E6l 101510111 311 115’009,

051Cm0 65 fi 6101105055009 1&9 60009 5179 0’ 10151011117 S11 115’009. 15111015005000 65 101110111 651101105101 1101

à 61111151009 106 011’011 115120111 50600 1&9 1017 11110.

710511011 111511009 1017 519 1611 067101011 1115111011 5771011-

20 01011511011 10311 511 105 11600.01. 410510001 7010 51111560051165011705000 6101 15 1017 1151110011 106 0111011 1101 106

1151110011 1&9 71019 1101 610 1019 510109, 111110611 15050 1611

605:01110 5611109 1013 011011. 1511115100 65 16 511010051511151156011 1611 11.511 11600011 1101161 1611 ABF 1115111011, 101

25 65 710111 1101101 1611 4E2, 1611 65 011011 11010 1611 2H

2. 3116] 01110 F; con. D. 3. 169] 0501’ Wallis, Torelliula .51111100111111 F; corr. cd. Basil. 5. 511110011000 cum comp. a!F; con. Wallis. 7. de] 019 F; corr. B (de). 511000051)? 3con. B. 10. 195] addidi; 0m. F, uulgo; à p.511 paît-w WNizzins. 11. 61010505100 1m11 0001011 (0111 par camp. bis) F:corr. cd. Basil. 13. de] 09 F; corr. B (39). que; F;con. C. 51100 0:1; F; corr. AB. 15. 1079 60009] 0m. F; lcon. AB. 519 59 F; corr. ABC. 511 115009] 0m. F; corr- .

ABENARIUS. 255uerticem in oculo habenti, hoc modo sumptus est. cy-lindre in regula ita ab oculo remoto, ut soli toti of-ficiat, et lineis ab extrema regula, quo loco oculuspositus ont, cylindrum contingentibus ductis, anguluslineis ita ductis comprehensus non minor est angulo,oui sol aptatur uerticem in oculo habenti. itague 16cum angulis ita deprehensis angnlum rectum metirer,angulus ad pnnctum positus l) minor ont nua parte,recto angulo in partes 164 diuiso, minor uero angulusmaior uns. parte, recto angulo in partes 200 diuiso.adparet igitur, etiam angulum, oui sol aptatur ner-ticem in oculo habenti, minorem esse une parte, an-gulo recto in partes 164 diuiso, maiorem uero une.parte, recto angulo in partes 200 diuiso. bis autem 17oonfirmatis demonstrabimus, diametrum salis maioremesse latere figuras mille laterum circula maxime mundiinscriptae. fingatur enim planum par centra solis etterme et par oculum positum, cum sol paullo supra.horizontem est. et planum ita positum mundum incirculo ABI’ secet, terram autem in circule AEZ,solem autem in circula EH. et terme centrum sit Q

1) H. e. sngnlns, cuius nertex est punctum illnd in ex-trema regula. positum (lin. 4), cum uertex anguli minoris (lin. 11)extra regulnm cadat propter cylindras illos, in eo inueniendousurpatos. Quaest. Arch. p. 204.

ad. Basil. Deinde in F VCD repetuntur uerbs: à 6è flânantlin. 11 --îw péon; lin. 16 ita. ut plerique encres corrigantur(bah. 107c 6901i; lin. 15; lès: péons lin. 16; 3140: lin. 13; prode à” lin. 13: a tout; pro se lin. 15: en). 17. âeczânas’rm]scripsi; ôz’ «w F, uulgo; âetmnnm Wallis, Torellius. 18.141.01100on F; corr. B. 20. 145v ma F; con. Wallis. 21.toi (ilion; nul me? névroov] midi i; 0m. F, nulgo; post 7&3lin. 22 in B additur: and 1013 021.101), et sic Wallis et Torellius:28. êxfllnâs’v] scripsi cum Wallisio; summums F, nulgo.

256 1PAMMITH2.9415921012. n°1119011 6è Sara) de; 5143.1: 7&9 çà 9, 1:06 JE

àh’ov to K, 6’ng 6è Eau» 16 A. and à’zflœaœv 5138554:

ëznpavoôdm 1013 2H 101520.00, aïno (Là: 1:06 A ai 4A,

AIE." émwavôwmv 6è amuï to N ml «a Te duo 025 1:05 0 ont QM, 60’ Ëmvpavôwœv 6è and: t6 X and

r6 P. ton! 6è ABI’ 441530.01: uçwôwaw ai 8M, 8018 and; to A and «à B. fait, 61) (Mitan; à 0K 1&9 4K,

âne! incanta; ô â’ÀLog ônèo zou épigastre: ducats 6m

à yawls; à usgcsxous’va 13m3 1&1: 411, AS palan; far!

10 1&9 7mm; tais «sobazous’vœg 13116 si": QM, 80. à üneçLszogLe’va 7min 131:6 râv 41A, AS 5151.2001! ye’v 30ml

fi ômuocuodrôv pépoç demis, adam: 6è fi zig 6985;

8. 4] 0m. F; con. A13. 4. sumpavmwv F, ut lin. 5-

ARENARIUS. 257salis autem K, oculus autem sit A. et ducantur li-nese circulum 2H contingentes, a. puncto A lineae41A, AS, quae in punctis N, T contingent, a Q autempuncto 0M, 30, quae in punctis X, P contingent.et lineae 8M, 00 circulum ABI’ in punctis A, Bseeent. iam est 6K n 41K, quia. suppositum est, so- 18lem super horizontem esse!) quare angulus lineis4.4, AIE comprehensus maior est angulo lineis 91W,00 comprehensus.’) sed angulus comprehensus lineis41A, AIE maior est quem pars ducentesime. angulitecti, miner sutem une. parte angulo recto in pertes

1) ltaque LOAK obtusus est (si snim sol in horizonteesset, rectus esset, quia. horizon inuenitur linea. in puncto A adde perpendiculari erecta).

2) H. e. LAAE) M90 ex Euclid. opt. 24.

6. X et P permutat Torellius. 6. QIVI] 9H F; corr. ed. Ba-sil. 7. 9K] OK F; corr. ed. BasiL L 9. 1621!] nov par com .F; corr. Wallis. 10. un pet comp. F; con. B0. (EN 1?;con. ed. Besil. 11. un! par camp. F; con. Wallis. Figu-ram 0m. F lacuna reflets.

Archimedss, ed. Heibsrg. Il. 17

258 transmis.61111958556059 si; 9Eô’ 601510111 311 105’909 1760: 7029 6’6’

60-2 70311505, dg 0211 ô 6511,09 ëva9pôëu 16:11 110911670:

Exovdow 11011 1:0? 31050 (3615 à 70111116 à «59Lezops’11

151:0 1&0 0M, (90 6111160011 361111 fi 1&9 69059 64619.5 851’604; sis 9Eô’ 101510111 311 115’909, à 6è A8 5685i

ê1énco11 3611 1&9 13100150006669 311 111.4511101 ôtan9sôel60

19159 1:01? .481" 1115x1011 110910189sfag ég- xvs’. à 6è to

5391791511011 75010700115011 718941151909 1001?, Tà’ll à; 1:0

1151119011 1:01": ABF 1115111011 ê10înova 167011 5154, 1"; r10 (16’ 1001:1 rà Ç’, ôtât 1:0 100111109 10010710115011 ëyysypay

11.511011 6’11 111511190 10111 159510519011 1:01). 18:11 ëu 1:06 zée

19011 ê10îno110: 167011 5151.11, fi 1:05 06’ «:011 1:0; Ç’. écu

610km yà9 65651711481011 116? 02111611, au nomes x6110:à 159ane’9ua (05550111 361111 fi r9m1a6law 1&9 ôcaps’z9o1

15 5105660111 1? 5,366119) 105’951" 1011517019 0è ë1oînœ11 36121

à 115961051909 6017 ëyy90zqae’vrog 11010710115011. 0.021.100:

01511 1671011 fixez à BA «0:2 du: 6K, fi rôt m’ «onrôt [019111. 03’610 shimmy 561111 à B11 n’as QK fi Exa-

20170617011 110’909. 1:0? 6è BA 1’60: 660111 à 60051056909 toi

20 2H 1015111011, 61,611, un! à 151111565101 0:61:01; à (FA 1’60

561:1 1:01 KP. 566211 7&9 6’0060711 16211 3K, 0A 0211:6 1:05:J

1590210011 110095601. ëzeçsvyps’val, .3011 151:6 60111 0161011

y01111101. 651011 01511, 311. à 61.1111519013 roi) 2H 111511100

3102110111 0161111 510011061011 105’90g ni; QK. and à26 EST ôtoîpsr9og â10ênow sari râg 61011151900 1:05 EH

1115111011, gazai flâna-011 5’6th ô AEZ 1115x109 1:06 211

1115111011. â1anô1159 51’901 ëwl 0111610159011 ai 0T, K

l. in: 7029] 16011 (comp.) yeoman F; corr. Wallis. 2. sou; F; corr. B (Ëç). 7. ABN F; corr. AC. 9. un? 18111531011 ad Ëu 1:01; névt9ov lin. 11 repetuntur in F; toi dB1115111011 ex un-xit manne 1, ut uidetur. 12. sa? F; con; .15. 20115101; scripsi; me F, qugo; 0m. Riualtus, orellius; a

ARENABIUS. 259164 diuiso. nam aequalis est angulo, oui sol aptaturuerticemin oculo habenti. quare angulus lineis QM,60 comprehensus minor est una perte recto anguloin partes 164 diuiso, et linea 11.8 minor est linea subImam partem subtendenti, ambitu circuli ABI’ in par-tes 656 diuiso. sed] perimetrns polygoni illius ad ra- 19dium circuli .481" minorem rationem habet, quam44:7, quia perimetrus cuiusuis polygoni circule inscriptiad radium minorem rationem habet, quem 44: 7. no-uisti enim a nobis demonstratum esse, cuiusuis circuliambitum maiorem esse quem triplo maiorem dia-metro spatio minore, quam est septime, pars [dimetri][ML pite. 3]. eo autem minor est perimetrus poly-

.goni inscripti [mol au). ml un)" I p. 10, 23]. quareRA :ÛKE 11 :1148. itague BAE-rh 9K. sed lineae 20B11 aequalis est diametrus circuli EH, quia.

0A -: sur a KP; -nam cum est 8K a: 0A, ab terminis earum perpen-diculares ductae sunt [lineae (FA, K P], ita ut sub eun-dem angulum subtendantÂ) adparet igitur, diametrumcirculi EH minorem esse quam T431; 9K. et diametrusE81" minor est diametro circuli EH, quoniam cireu-lus AEZ minor est circula EH [hypoth. 2]. itague

1) H. e. A en a en; Eucl. I, se.

Wallis. flâneur écula: ad nolwmvtov lin. 16 addidi; 0m. F,nulgo. 16. aluna relicta. lacuna quinque littemrum F; corr.Riueltus. 17. âàn a F; corr. B. 20. EH] EH F; corr.ed. Basil. 21 . A] scripsi; tu 94 F, nulgo. 22. nêçu’fmvK A Gertzius. ênsCeuypévuL lui] scripsi; smfsvyvvpsvm F,nulgo. 23. EH] ABI’ F; con. B manu 2. 26. (hépa-tgoç] 709w F; corr. Riualtus, B mg. EH] ABH F; comB manu 2. 26. EH] EH F; corr. B.

17”

260 WAMMITHE.fi êxaroazôv pëçog zâg QK. (5sz à (9K nov). t’à’

TE flânant 1.671011 515L, 1"; tôt 9’ 150d tôt QO’. un

État à (th! ûK mitan: étui 1&9 QP, à 6è ET 67.021:170311 1&9 AIT, flâna: 51’941 and 1.671011 5st à 9P ne:

251nîw 41T, ï) tôt 9’ and rôt (38’. émet 6è :0511 QKI

4K T ôpôoyœm’œv 6’611th ad phi K P, K T 751811911

tout. 15111:2, al? 8è 9P, A T &vtaoc, and (tatami à QIà rendu à nsgLsxopæ’vu 152:6 1&1! AT, AK 11:th 1&1yawûw têtu arspcsxope’ku 151d) mît! 0P, QK 5051550114

n10 phi 515L 1.671011, fi à 0K and 143w AK, Mm) 65’,à 0P and du: 4T. si 7029 aux 60451; 1914106ch1 6900-yawtaw al un inégal. alangui al? and tâta! 6985511 703;vinai leur. fana, aï 6è âtëgou divin», à pélican; yawùniai azor), rats àvio’mg auvents and 1:13:11 ÊÂCZ’I’UOUD

15 matou: p.431: fixa 167w, fi à neigeux 79044481 1&1: 157:6du: 6996:1; 7031154211 énonwovaâv nazi rà’u éldnovd,êloînova 65’, 1] à "sigma; nappât 7&1! me). 1&1: 6936:1:

22710011150511 ami zàv élimera. (56:5 à yawta à «amazo-ys’vu 15m3 1&1: 411, AS; 101:2 1&1: yawlmx tàv zam-

20 azopb’ww 137:8) 15v ûO, ÜM flâna) 1671011 518L, fi à

ÛP and 1&1; A T, â’ug avina: 1.632011 518L, fi tu? 0’

and tà (i5. «Sens ml à renvia à nagzezops’va inti)1&1; 411, 4,217 nazi tàv yowlow «in! nsçæxopb’vav 1516

rob: (91W, 00 adam 167m: 515L fi 1:43: 9’ un). 1:6: Qfl’.

25 aux). âne! 6’6er à 7min: à zeçzsxopéuu 157:6 zâv 4A,

AS peignai: fi ôLauoo’oodtôv pëçog 6919629, du un: à

1. site] un: par comp. F; corr. Riualtus (1’59). 3. 9Ksitar] scripsi; DIV alarma: F, uulgo; 9K min flânaianis, Torellius (min iam A). 4. 51m FB. 5. rab] tu

F; con. B0. but] son F; con. Wallis. 85’] addidi; on.F, uulgo. 6. 4K T nuyaévaw ed. Basil., cett.; probat Gamins.7. 8P, à] OPA F; con. Wallis. 8. 7m10: à] à addidi; ont

260 1summums.fi ênazoazôv (45’904,- züç ûK. âme à (9K nazi zà

TE èÂaÉzzova 1.67011 fixai, fi zà 9’ nazi zà (10’. ne

ênai à (Liv QK païen; ëazi zâg QP, à 6è ET 1511051zaw zâg 4T, flâna) âge: ami 167’011 5154. à û? n01

251zôw 4T, a] zà 9’ nazi zà (38’. ânei 6è mais: QKIAK T ôçfloyœvi’œv 6’612sz ad ph: K P, K T 252.5090:

1760:1. ëvzi, ai ôi 0P, AT évidai, nui peignai; à QIà glanda à nagiexopæ’va 152:6 zain AT, 4K nazi zà:yæviœv zàv nsçiexays’vav ônô zâv 8P, 6K gazon

5410 yin; 5151. 1.671011, ü à âK nazi zàv AK, éloîzzm 68’, 6

à 9P nazi zàv AT. si yoîp na 6m51: zçiyaîvaw ôçôo

yœvimv ou? phi (idem nlsvçai a! napi zàv ôpôà’u yœm’ai; tout. 5mm, ont 6è âzéçou 0214601., à "site!!! 7011151

zâv nazi axis évidais nlsvgai’ç nazi zain; éldzzow15 gélifiant: ph; 5st 1.67011, fi à peigna! 790555556: zob! inti

zôw 6900111 yœvlav ônozswovo’âv nazi zàv éÂoîzzova.

êlézzova 63’, fi à (LGËËŒ’II 79041416; zain: nsçi zàv 69.902»

22 y50115411; nazi zàv êlézzovœ. dans à 7m60; à nspisxa,ué’uu ana zob: 4A, d’5; nazi zàv glandai! zàv 189L-

20 810514511421: fini) züv Q0, âM flâna) 1.67011 è’xei, fi É

QP nazi zùv 4T, 55’ng flâna: lôyov 5151., fi zà p,nazi zà qô’. (sans mi à 7mm): à nsçisxopéva 1516zâ’u 4A, 4E nazi zain yawlav zàv nspiszopévav Ônôzâv film 30 flâna) Âôyov ëxai ï) zà 9’ nazi zà (68’.

25 mi âne! 30’sz à 7min à neaiaxope’va fini) zâv 4A,AS uléma! 1] ôiauamoo’zôv pépog ôgôâ’g, sin aux à

1. mais] zou par camp. F; corr. Rîualtus (zig). 3. 9Knattant] scripsi; DIV 81:2:sz F, nulgo; 9K Mia 51.02110!Wallis, Torellius (min iam A). 4. 51m FB. 5. mir] aF; con. B0. 3nd] am. F; cart. Wallis. si] addidi; 9mnF, nulgo. 6. 4K T tamisant ed. Basil., cett.; probat (frettant7. 8P, à] OPA F; cart. Wallis. 8. 7m10: à] à addidi; om-

ARENARIUS. 261ÛT -]- KE ( T431; 0K.

quare (51K: TE ( 100 : 99. et quoniam 8K 2 0P etET ( ATi), erit igitur etiam 9P: 4T d 100 : 99. et 21quoniam in triangulis rectangulis 0K P, 4K T lutera.KP, K T aequalia sunt, latere autem 6P, A T in-aequalia, et OPE AT’), angulus lineis d T, 4K com-prehensus ad angulum lineis 0P, 6K comprehensummaiorem rationem habet, quem 8K : A K, minoremautem, quam 9P: AT. 1mm si duobus triangulisrectangulis duo laterum rectum angulum comprehen-dentium aeqnaliar sunt, duo inasqualia, maior angu-lorum ad lutera inaequalîa positorum ad minoremmaiorem rationem habet, quam major linea. earum,quae sub angulum rectum subtendunt, ad minorem,minorem autem quem maior linearum angulum rectumcomprehendentium ad minorem?) quare 22L A43: 00M(8P: AT; sed 9P: AT( 100 z 99.quare etiam erit L445: OâMd 100 : 99. et quo-niam est L A 432 151,3, erit etiam

L OOM m 71,191,951; R.

1) Quia ET omnium linearum duo puncta. circulorum dEZ,EH iun entium minima. est; Nizze p. 214 not. fi.

2) nia 8K ) 4K; nam arum anguli lineis contingenti-bus comprehensi eo majora sunt, quo longius uertex anguli a.centra circuli abest.

3) Demonstrationem huius propositionis geometricam de-dit Commandinus fol. 62 (Quest. Arcb. p. 204-5), trigono-metricam Nizze p. 214 net. y.

F, uulgo. 1&1] zona et com . F; corr. VD. 9. mir] 1mmpar com . F; corr. W3 lis, ut ’n. 19, 20, 25, . 262, 1. 15.zâv] tu ; cart. B. 16. vnorswovau F; corr. allia. naziam. F; con. B. 20. 90 91: F; corr. Wallis. 23. 2&1:nov per com . F; son. VA , ut lin. 24. usoiszopsvu F.26. du un] n une: F; con. B; location Wallis, Torellius.

262 WAMMITHE.7min à neptsxopéza ônô zâv 0M, 90 actéon; fi 1:65,693529 ôLmaefistaag êg didpüpm zoéznw QO’ 412’951:

(Seize miton: à;in ü ôcuipsâstaqg zâg 6905m dg ami 7’ zoüzaw à! (115’909 à 131’911: Bd peignai: âdzi 1&4

5 Ônozswozîdag En quipo: ôiypnpe’vug zig zoü ABF mi

11101; nepiqzspstag dg mfl’. qui dt AB [du ëvzi à zoi(ilion ôtéyszgog. ôfilov 013v, ô’zz mitan: êo’ziv à zoi

«ilion ôtépezçog züg zoô xzhayaivov nÂsvpâg.

1 II. Toüzow 6è Ônoxsms’vœv demvz’vzou. nui nids10 ô’z1. à didpszpog zdô 9161m0!) zig ôiœps’zaov zâg 7&9

üoîzzaw 50’in fi pvpbonlao’lmv, nui fin du à didpszpogzaü 596611.01) êlézzow ëdziv 1’] dzaôz’œv popwimg pupini-

ôsg 9’. ënsi 311319 Manchon zôw doduszoov zoô 1511.1012

(à (idéaux gipsy a] zoiauovzanlao’i’ova zig diapézpov

16 zâg 651.1511119, zôw 6è diépszçov zig 75g nettoya cipalzüg diauézpov zoîg dahfvag, 6171011, 16g à (Ménages

zoü 511.501; ëldzzow éazi’u 1] zpianovzunludtmv zig 61.11-

pe’zaov züg yüg. ndlw dt énsi ëôu’xôfl à duiyæzpoç

zoé 1511.6011 "site"! êoüo’u züg zoü 11110171611011 nlevpüg

20 zoô dg zôv (Lb’wo’zov 91151111011 ëyyaacpopb’vov zoîv 5’11

zçï adagio), (pavepôu, 51:1. à zoô xLÂLayoôvov negz’yszpoç

zoü aigqys’vov flâna"; fait: fi xthonÂadtmv zâg ôta-(Lézçov zoii cillai). à 6è ÛLÉILE’UQOQ zoü aillez) êlézzaw

fait; fi zoiauovzanladtœv zâ’g dmpézpov zâg 7&9-25 15st à moignons zaû xLÂLayaîvov êloîzzaw êdziv 1]

2 zaidpvgzonlaalœv zâg 61.1151515901: zâg 707g. 3nd 01511à negipezaog 1:05 14114171151101: zoîg 11è» ôwpézçov aïs

l. à] am. F. 2. psoas- F; con. Wallis. 4. à du Bi]scripsi; mon: a Bd F, uulgo. 6. de] ou; F; con. B (le).zq’z] zuv F; con. BVAD. 10. du] scripsi; ou»v F, n°180.11. du , addidi; am. F, uulgo. 12. [moulu cum camp. ne F-14. au tofu] put cum camp. en F; 001T. B. minaudait"!

ARENARIUS 263quare LOGM m si]; R3) quare linea Bd maior estlinea sub unam partem subtendenti, ambitu circuli ABI’in partes 812 diuisa. sed lineae dB aequalis est dia.-metrus salis?) adparet igitur”), diametrum salis maïo-rem esse latere figurae mille laterum.

II. His autem suppositis haec quoque demonstraripassunt: diametrum mundi minorem esse diametro ter-me decies millies sumpta, et praeterea, diametrummundi minus quam 10000000000 stadia langam esse.nam quoniam suppositum est, diametrum salis nonmaiarem esse quem diametrum lunae tricies sumptam[hypoth. 3], et diametrum terme maiorem esse dia.-metro lunae [hypoth. 2], adparet, diametrum salis mi-norem esse quem diametrum terme tricies sumptam.rursus autem quoniam demonstratum est, diametrumsalis maiorem esse latere figurae mille laterum circulamaxima mundi inscriptae, manifestum est, perimetrumfigurae illius mille laterum minorem esse diametrosalis millies sumpta. diametrus autem salis minor- estquem diametrus terme tricies sumpta. quare perimetrusfigurae mille laterum minor est diametro terras triciesmillies sumpta. iam quoniam perimetrus figuras millelaterum minor est diametro terme tricies millies

1) Nam 99 m T3,, x 20000.2) H. e. diametrus circuli EH; u. p. 268, 19.3) Quia. latera palygonarum inscriptorum, quo plura, sa

minora saut; itaque latus figuras 812 laterum, quad minus estlima AB, mains est latere figuras mille laterum.

cum camp. 1m! F; corr. B. 16. cslfivag] du cum camp. a;F, ed. Basil., ut lin. 16. mitons] au: cum camp. au F;corr. B.

1

264 urAMMITHE.7&9 ëÂoZzzaw ëoziv fi z9La’pv9LonÂ1de’œ7, zâç ôi dur-

;Le’z9ov zoü 11667.07 (Laiëczw fi z91nla61fm7’ 6.56st

7&9 z0L, ôiôzi na7zôg 311511107 à ôLoîpsz9ag guitranëazi7 fi z91.’z07 108’905; nat7zôg 700177017507 zâg m91-

5 péz9ou, ô’ aux fi iaônlêv907 nui nolv7m76z59a7 tu?5801705707 37757901975707 à: z95 2115911934 eh] aux à dui-

75z9og zoô 21667.07 éloizzcov fi 7.79aanlaatco7 zig ôta-7e’z907 zà’g 7&9. à 7.357 057 chiasmas zoü 1166901!

êloêzzow ëaûaa 1’) 77910nlaatm7 zig diaps’z9ov zig 76;

10 ôêôsluzai. 31:1. dt élézzow àa’ziv à ôLdpsz9ag roi:

1166707 a] azaôi’aw pv9zoîmg (manicles 9’, à: 1.015101:

3 6151.07. ainsi 71319 Manchon 171317 ns91.’p.ez907 zâg 76;m) 7.512070: signa; fi z9ianaatfag p.79wîôag azaôL’aw, à

6è ne9L’paz9og zâg 7&9 7.512017 ëaziv fi z91nla61a zig

15 diaus’z9ov duit zô na7zôg 116112.07 zà7 ne9z1pé9smv psi-

Çovœ eïuw 7’) z9LnÀa64’o7a zâg diauéz9ov, dilav, à;

à diéyezpog zâg 75g élézzaw éazi7 fi 0701615107 9’ au

91.02689. ënsi 007 à zoû 20667.07 duiyæz909 flânai!561i!!! fi (1.091.0n1œ61’œ7 zâg diaps’z9ov zâg 707g, 617109.

20 mg à 1:01? 51667.00 diéusz9og êÂoZzzaw êo’zi7 fi audion

4 779Ldmg (lapicides 9’. ns9i 7&7 007 z157 767:05’011ami z157 ânoaznpoîzuw zaôzœ ônozwæ’uat, ns9i 15è 105

1120274407 zoîôs’ si un u 677915575707 7.57.5009 à: zoé

1120274107 pi] perçu aduawog, 1:07 &908707 «ôtai; pu]25 7.512070: siyêv 779m7, ami zà7 ôiâusz907 zâg (zézayas

m] üoîzzova 5541.57 13 zsz9œnoazapiô9io7 ôaxzülov. 132w

6. 3 au] a un; F; carr. Wallis. fi] addidi; am. F, nulgo.[0611157907] scripsi; sur a 50 7:15de7 (1:7 par camp.) un F,uulgo; iconhapov 567 Wallis, Tarellius. nalaymzazspov]scripsi; nolvynwov on (par camp.) F. uulga; noloymuérrpovWallis, Tarellius. 6. syyrypuppevov F; corr. Wallis. à193 adulas] scripsi; 11.57 zou zoulou F, nulgo; 1437 rai 19’119

ARENARIUS. 265sumpta, maior autem quem triplo maior diametromundi (1mm demonstratum est, cuiusuis circuli dia.-metrum minorem esse tertia parte perimetri cuiusuispolygoni circula inscripti, quod aequilaterum sit etplus quam sex latere habeat)1), diametrus mundi minererit diametro terme decies millies sumpta. itaquedemonstratum est, diametrum mundi minorem essediametro terme decies millies sumpta. diametrumautem mundi minus quem stadia. 10000000000 longamesse, inde adparet. nam quoniam suppositum est, pari-metrum terme non plus quam 3000000 stadia longamesse [hypoth. 4], et perimetrus terme maior est quemtripla maior diametro, quia. cuiusuis circuli ambitusmaior est quam triplo maint diametro [miam une. 3],adparet, diametrum terras minus quem 1000000 sta-dia longam esse. iam quoniam diametrus mundi minotest diametro terme decies millies sumpta, adparet, dia-metrum mundi minus quem 10000000000 stadia longamesse. de .magnitudinibus igitur et distantiis haec sup-pono, de arena autem haecce: si ex arena. magnitudocolligatur non maior semine papaueris, numerum are-nae non maiorem esse quem 10000, et diametrum se-minis papaueris non minorem esse quadragesima parte

1) Nm perimetrus hexagoni triple major est diametro (Eucl.IV, 5 nâçch.), et quo plus. sunt latere, eo maieres nant peti-metri.

Wallis, Torellius. 9. ra; yüç ad (hémione lin. 10 suppleui;0m. F, uulgo. 12. zob] tu pet oomp. FD, ed. Basil. 13.à] com (comp.) à F; con. Wallis. 14. 17] 0m. F; son. AB.16. reculas; cum comp. a!!! F; corr. B. 21. promu cumcomp. ne F. ph: 06v 105v] addidi; 0m. F, nulgo. 24. paî-tov] pet; cum camp. m1! F; corr. B. 26. zazoœuoatopo’qu]Ahrens cum V menu 2; rsrçœuonopoçzov F, unlgo.

b

.110

215

20

266 WAMMITHE.raôépal. 6:9 70610 êmo’nsüæépevog 1:61:65 :611 1:96am

ézéew ëxl innova Àsïov (muchas êz’ eôôsûxg fait plia

uezps’vm 0251055821421. àÂlaÂâ’u, nul àveloîfiov ai xs’ ne

naïves «15’000: 161w ôuxzvÂmL’ov minas. suivront: oz;

111.8819 156w ôwîpstpov 1&9 (minores énonôæ’gml. (69 u

rçmuodzouôpwv sïpsv ôgamîlov ml (Là éloinova, flou

loustics and ôtât mûron! évapwloyoîtara ôsmvüo’ôa

:6 zçouslpevov.III. "A (Leu 015v énouôa’pm, mâta. 19150151011 ô

ainsi; énolayfloîvœ «in; uavovôpagw 1.1511 &pvfipAôv à?)

mimi), 51mg aux). r61; fille"; ci 193 [31.511590 ne) nagefêtê’UZO’fêç 1:95 «et! Zuîëwmov yeypapue’mp (la) nia»

mimai. Ôtà 1:6 unôèv sium! limée mâtins ëv 19365 a;flLfiM’ço «poecgnpévov. 6141430515118; 61) rôt émincera 1:45:

029113114511 ëg to (Le!) 11511 y42960011 futaine": 024m: zapa-ôsôopa’va, nul ûnèç rô n51; pugimv [yèv] ânozpao’wœg

éyycyvm’duopag nvpadômv (591.011.611 157611189 5615 nazi

tàg (L’UQL’ng (wQLéôag. ânon: 0’511 épiai al? ph: 116v

signpëvor. (intimai 5g 1&9 (motus yvgzéôag 11905:0:ualovm’voz. r61; 0è zoarium: âpLflpôv ai (melon. p.1:-pwîôeg (tout; xalalo’ôm ôsvn’çœv àpzôgpôv, aux). «i903-

pu’aômv 14511 ôsvzépcov gauchies nul à: 1&1; novâônw

ôaudôêg scat êuarowéôsç and gauchies ami pvpLéôsg a?

rôts (moûts (4094026059 «021w 6è and. al (motus [mon

3. «Malus F; corr. C. 4. Junon ut F. mis] addidi.’0m. F, nulgo. 7. àvapqnloyaîruw] scripsi; uvapgadoyœmtovF; uulgo. 10. me,» cum comp. or F. 11. meneau 6m]monevat’ ée F; corr. Nizze. 12. n35] 170 F; com W lis.14. Mosmpnœv F; corr. Rimltus. 15. :6] tu F; corr. Wil-i . tu] corruptum? 16. 16] addidi; 0m. F, nulgo.

ph] deleo. ünèç n51: usagé-van: &uozpeônœç Gertzius. 17vlyyzyvœ’auopsç] scripsi; sywvœaxopsv F, uulgo; 14.7906010536Gertzius. En; and] scripsi; se son; zou F, nulgo; à; W -

ARENARIUS. 267digiti. hoc autem suppono re hoc modo examinata:in regula laeui semine. papaueris in eadem linea, recta.posita sunt, ite. ut inter se tangerent, et uiginti quin-que semine. spatium mains longitudine digitali ex-pleuerunt. diametrum igitur seminis papaueris mino-rem ponens eam quedragesimam fera partem digitinec minorem esse suppono, propositum etiam, quodad banc rem pertinet, quem certissime demonstraricupiensf)

III. Haec sunt igitur, quae suppono. utile autemesse existimo, denominationem numerorum exponi, utceterorum quoque qui in librum ad Zeuxippum mis-sum non incidemnt, ne haereant, quod nihil de es. hocin libre dictum sit. accidit igitur, ut nomina numerorumad 10000 nabis tradita sint, et super 10000 satis saintellegimus myriades numerantes usque ad 100000000.hi igitur numeri usque ad 100000000 primi uocentur.sed decem minis. myriadum primorum numerorum

2

unitas uocetur secundorum numerorum, et numerentursecundorum numerorum unitates et ex unitatibus de-cades et hecatontades et chiliades et myriades ad de-cem millia. myriadum. rursus autem etiam decem

1) Cfr. Kâstner: Gesch. d. Met-hem. lI p. 746.

lis, Torellius. 18. pvçluç] om. F; con. Wallis. forant]Wallis; sans F, unlgo. 19. tu myome: (moud cum comp. «wF; com Wellis. 21. 19914041059] 0m. F; con. Wleis.&oyûwlaêœv] scripsi; dominer F, uulgo. 22. deutéqmv de».p.151! Wallis, Ter-allias. u 2&0] scripsi; Emmy F, uulgo; utabri» n51: B, énà du: Wallis, Torellins. 23. à; 1029] saron F;æn. Wallis. 24. me; (cum comp. nov) (lambadas! F; com

allie.

268 WAMMITHX.02659 11511 ôsvn’çaw (5948514511 (Louis micmac) 1951m

01900410512, ml àçwpsldômv 105v retirai: domptait: nevéda; ml c’est?) «in novéôœv ôsxâôeg nul. êuavovm’ôsç

and y15026199 nul. numides ès 1&9 ravelins pwgwïôcç.ë zôv «151611 6è 196101: ml. 145v 19610011 dompta-w (vaûn

nvçzéôsg novât; nankin) varaigne»: àçzôpuôv, au! aï

145v 15102916011 âçcô’pa’iv "voûta pvgcéâsg novés za-

Àsldôœ neume"; âptôpa’îv, ml de! 0511119 «goayôvteç

olÎ (imago). 1:6: ôvo’pam ëxôvzow 4.39 du; imputant-10 pvpLooroîv aîçLôpoîv (motus "validas. ânozçéovu ph

01511 ami fini zoaoürov oI 029404102 ywvmo’xope’voz. 525cm

4 6è deal. éd «15’011 19002715111. faim: 7&9 05 phi 91-71sipnns’voz &pLflpol apaisas «5956600 xalovné’uoz, ô JE

éclatas o’cçLôpôg si; «905m9 neptôôov Maudits 141155680

15 ôsmëgag xeçzôôov 75941km! «59.04.4351,. min à mlou? pontai. (1129142265; mis ôswëçag nagcôôov «poirer

02910514511 novois nabisme) aïs damépag «691.6601: dev-re’çmv domanial. épatons ôè ml, 101510211 ô 561mo;(Lovàg naÂu’dflm 6512159419 grepzôôov mitan; âpaôpôr.

20’ and 0252 eûmes olÎ (intimai agoayôvzsg zà (inégaux (163v-

zaw raïs ôsvts’çag neçzôôov s’y rôts pupaamapvpzoaziv

dompta-v (motus pvçaéôag. mil": 6è nul. ô 5611:0;0291.3546; tâg (lev-râpas «591.6601: novois 2001513680) mira;

mmo’ôov «poireau 02943M311, aux). dal. 017th 31904176th

25 à; zâg yvpoauwnvçwo’râg zeçLôôov nvçcaucdu-vadrôv

2. âgzôpst’câœv] scripsi; «empauma: F, nulgo; Je.» 4’60.-

oow Wallis, Torellius. 3. un au une F, uulgo; a deleui.4. É;- ta’ç] «son F; con. Wallis. (nous! maquât; F ; con.Wallis. 6. 019w 05v ç’ë F, ut infra. supins. 9. nous; F:com Wallis. ç me] sans; F; corr. Wallis. 10. "ou:[monades F; con. Wellis. amusant F; corr. VB. Il.Ënl 10606201] scripsi; une recourt cum camp. un F; sa; ro-

ARENARIUS. 269millia myriadum secundorum numero’rum unitas uo-cetur tertiorum numerorum, et numerentur tertiorumnumerorum unitates et ab unitatibus decades ethecatontades et chiliades et myriades ad decemmillia, myriadum. et eodem modo etiam tertiorum 3numerorum decem millia myriadum unîtes uoceturquartorum numerorum, et quartorum numerorum de-cem millia myriadum unitas uocetur quintorum nu-merorum, et semper hoc .modo procedentes numerinominentur usque ad decem millia myriadum nume-rorum centies millies millesimorum. et satis quidamest, ’numeros hune ad finem cognosci. sed licet etiam 4ultra progredi. nam numeri, quos adhuc commemo-rauimus, primas periodi numeri uocentur, et ultimusnumerus primae periodi unitas uocetur primorum nu-merorum secundae perlodi. rursus autem decem milliamyriadum primorum numerorum secundae periodi uni-tas uocetur secundorum numerorum secundae periodi.et eodem mode etiam hornm ultimus unitas uoceturtertiorum numerorum sebundae periodi, et numerisemper hoc mode procedentes periodi secundae no-minentur usque ad decem millia myriadum numerorumcenties millies millesimorum. rursus autem ultimusnumerus secundae periodi unitas uocetur primorumnumerorum tertiae periodi, et semper hoc modo pro-cedant asque ad decem millia. myriadum numerorumcenties millies millesimorum periodi centies millies

0061m unlgo. 13. nous": F; com Wallis. 14. noircie]0m. F; corr. B. 16. nuai-tau! ad "mon lin. 17 0m. F; corr.Wallis. 21. Ë: mais] sont; F; corr. Wallis. 22. aveignez; (w-omôsç F; avoina Mendôeç uulgo; cou. Wallis. 25. rée] unF; con. Wallis.

270 111mm.5 &aLôanîv 011015019 14.1101026019. 10610014 6è 0171109 ne:

01001006081101), et 11a 5401114. 020105003 03710 001102609 du

1.0701! 58179 11511051101, ô 6è 7101961 1&1: 1101060: 68913:9 v

611100 40h; 011510511 al 11905104. 61311 10? 100110264. 103v 1190

6 10112 0201814451; 10011001150001! 0100150100, 0l 6è au? a1

10139 film. 611105 10511 65121500011 11011004050011, ml 4film 1011 01151011 10611014 10151009 14511 1000214150001; x4

1.0000110112 11366015111014. 10;" 0211003102050 1&9 611102609 105

69418414514 dard 1&9 110051019 011102609 1051) 02016101511: 145

10 ahi 0’514 710051019 611102609 10511 01010100514 ô 576069 6’611-

020101109 pneu. 1000105659, 1&9 6è 65141159019 ôu1a’609

71015109, .6153 ôex’anladùnv 50111; 1017 1100 «15106, au

plat. 11120102609 (360545101. 015109 61’ écu 41012019 10511 660

10230111 (1018144511. ô 6è ô’yôoog 1&9 6501511019 610102605

15 é0’1l 11150:4. (0110102659 10511 ôsmëçaw 02009111511. 111’111

6è au! 1&9 19km; 611102609 ô 11915109, 151152 681011141011

660w 6’611 106 1100 01151015, 14.00104. (1120102659 156651104

103v 6801500112 691.344.0511. 015109 6ë ému: 11011619 1451

10510111 àawaâv. 9011180012 6e’, 514. 1141?. 61106011061

23611141659 êëoôvu, 059 510111021. xaaimaov 65’ 5’610 nul

166e 71710001111014.5001). et un 55909111511 (in?) 1&9 1101105609

021021072014 éôvmw noÂÂœzÂaawîÇœvu’ 111189 61102100911511

à; 1&9 «131029 0211001075019, ô 751464151109 ôaotmg émiettait

à; 1&9 whig 61101410745429 àna’xmv &nô ah; 1015 nettoya;25 10511 noÂÂanÂadLaâoîwmv àlloîlovg, 30009 ô 04102114411!

10511 nolianladwëdwœv 02710 1001102609 00202107011 02115161,

1. Maïa; 1009100659 F; cart. Wallis. 114210110 0101150011 F.ed. Basil. 4. ph] scripsi; un F, uulgo; 0m. anis, Tonal-lius. 6. 11411001051104. F; corr. Wallis. 8. 19":] addidi; 0m. F1nulgo. 9. 1&9] alt.) à F; corr. B. 19. 311] écu pafcamp. F; corr. ed. asil.; 50111: 511 B. 5110000009] scripll;11011.00 F, nulgo. 21. me par camp. F; cart. V. 22. em-

ARENARIUS. 271millesimae.1) his autem ita denominatis, si numeri 5aliquot dati sunt ab unitate in eadem proportions, etnumerus unitati proximus decas est, acta eorum primicum unitate ex numeris primis, qui uocantur, erunt, actaautem eos proxime sequentes ex secundis, et ceterieodem mado ex numeris erunt eodem numero deno-minatis, qui distantiam octadis numerorum a primaoctade indicat. primas igitur octadis numerorumoctauus numerus est mille myriades, secundae autemoctadis primus, quoniam aequalis est praecedenti de-cies sumpto, decem millia myriadum erunt. haec autemunitas est secundorum numerorum. et octauus nu-merus secundae octadis mille myriades sunt secun-dorum numerorum et porro etiam tertiae octadisprimus numerus, quoniam aequalis est praecedentidecies sumpto, decem millia myriadum eruntsecun-dorum numerorum. haec autem unitas est tertiarumnumerorum. et manifestum est, quotlibet octades itafore, ut dictum est. uerum hoc quoque utile est 6cognitu. si ex numeris ab unitate in eadem propor-tione positis, aliqui inter se multiplicantur eorum, quiin eadem proportione sunt, etiam productum in eademerit proportione a maiore multiplicatorum tot numerosdistans, quot minor multiplicatorum ab unitate distat

1) Conspectus hornm numerorum systematis u. Quaest.Arch. p. 59; Nizze p. 218; Nesselmann: Algebra d. Griechenp. 122 sq. ultimus est 108- 1015.

un F; carr. Riualtus. nolluulœawîtœvn] scripsi; 1101102110:-amtoweç F, nulgo. 23. ysvôasvoc] 10:1! ; cart. Wallis, de-leto 6001009. 24. m 100 nettoyas] scrîpsi; ps1! cum camp.ou F, qugo; nettoyas Wallis, Torellius. 26. d’un F; corr. V.

10

815

20

272 WAMMITHE.02116 6è 1&4,- (Lowîôog niquiez à!) êla1161mg, fi 560ë61îv ô âpvôpôg 6vvauq201e’çow, 0139 02115101211. 02116 [L6

1105609 ou? noManÂaflaEâweç àlloîlovg. 561m 70:029104105 1ans àvéloyo’u dab yovoîôog, o! A, B, F, A

E, Z, H, 8, I, K, A, (00120:9 6è ë61œ ô A. aux). ne71011051110161026600 ô A 105 Q, ô 6è 70126400009 56101 ô A

ÂsÂdqyflm M] à; 107g dvaÂoyL’ag ô 11 0271514011 datô 10’

8 10601510123, 56009 ô A 02716 1001102609 511115150. 6810111501

51L lacs 3613,11 ô X 193 A. ème), 0131) 02110210701) (fémur

02918504511 [600g (ËWE’ZEL 6’ 1a A ànô 105 A, aux). ô 1

02710 1015 0, 161) 01131611 5’st 1.67012 ô A 11012 10v A311 ô A 21013 1612 0. 71011057110161.0111 65’. ë61w ô A 1oi

A 195 A. noliamladëmv â’pa ë61lv nul ô A 1013 Q 193 A

(5615 [des 561111 ô A 14,5 X. 8171011 01521, 51L ô 7’506,

patios à: 1&9 àvaÂoyiœç 15’ ému; nul 02716 105 pantoum

1051; nouanladmëéwœv éludions [6019 021151011, 560125ô üdnaw 02716 1029 5001102609 âne’xeo. (pommât! ôë, 514

ml 02710 4001202609 ânéxea ëvî ëÂa11ôvag, ï] 5609 56110

ô âpzmbôg dwapcpme’pnw, 0139 4571510011. aînô 1&9 p.0-

voîôog 00’ A, 0. 00’ (1011 7&9 A, B, F, A, E, Z, H, 6106015101, 6’015, 5600s ô 0 02110 (101102609 02710151., ni 63

I, K, A 5122 ËÂa11ôvsç, fi 5601:9 ô A 02110 pova’ôoç

02715!st- o’îw 7&0 195 8 106015101. évu’. .

1. alatrœvaç F. 2. ô] addidi; 0m. F, nulgo. 039] meF; corr. Wallis. 01110100011 F; corr. V. 110001609] Iguane F.ut lin. 4, 8. 6. X. lalétpâœ] scripai; 1.4, surmena , unlgo;A 0m. Wallia, Torellius. 7. En] acri si; ô 9K F, u o; oin Wallis, Torellîua. 1&9 minis W31 Fa, Torellius. A f4F; corr. Wallis. 9. face] par comp. F. 10. tégument]unifiai; mon par comp. F; [un B, alii. 11. un 01151040 F VA,ad. asiL 15. nié dénie Wallis, Torelliua. 16. 1’603)acrâpai; mon! per comp. F, uulgo. 20. et A, 9. oI ph 1410senpsi; ou): pu yaç oz F, nulgo. 22. 511] un F; com BD.23. Hic spatium mon. in FVBCDv.

4

ARENARIUS. 273in proportione, ab unitate uero distabit uno pauciores,quem queutas numerus est utrorumque, quos numeriinter se multiplicati ab unitate distant. sint enimnumeri aliquot A, 3,11, A, E, Z, H, Q, I, K, A ab uni-tate in eadem proportione positi, et unitas sit A. etmultiplicentur A, Q, et productum sit X. sumaturigitur ex proportione A ab Q tot numeros distans,quot A ab unitate distat. demonstrandum, esse X a A.iam quoniam inter numeros inter se proportionales Aab A tot loca, abest, quot A ab Q, erit igitur

z! : A :- A : Q.sed A:AXA. quare 11.-:AxQ. quare A:X.adparet igitur, productum et ex eadem proportione esseet a. maiore numerorum inter se multiplicatorum totloca. abesse, quot minot ab unitate absit. manifestumest autem, productum etiam ab unitate uno paucioraloca. abesse, quem quantus est numerus utrorumqueIocorum, quae ab unitate absunt A, Q. nam A, B,1”, d, E, Z, H, Q tot sunt, quot Q ab unitate abest,et I, K, A uno pauciores, quam quot A ab unitateabest; nam adsumpto Q totidem suntf)

1) De hac propositione cfr. Quaest. Arch. p. 58. nos Bic

1 2 3 nidem demonstraremus: sit serîes l, ah a’, . . . . (ln-1,n-Æ-l m-Æ-l "ut-2 m-kn-I-l010.... am, am-l-l, . . . .am-i-n.

itague an . am : am-I-n, quod ab am abest loca. (n 4- 1), abunitate uerom-t-fl-t-1:(m-*-l)-*-(n-*-1)-:-1,

Archimedea, ed. Heiberg. Il. 18

q

1

5

10

2

15

20

26

274 emmurais.1V. Tmî10w 65 10311 11511 67101511150011, 10511 65 0271:4

65651711511101) 1è 71001551151101: 6511817651011. 5115?, 701

15710115151011. 1&1: 610201510011 1&9 (10211001109 111) 5110166012

m1512 fi 15190311061011691012 60111115101), 6131011, 11596970117901 à 61111121101101) 51017601 1&1! 610211510011 0’13 115.

(au; 561111 fi 03’615 10395111 1101110511019 5’E01m61wpl019 111

15111017116111.0019 1&9 yàg 6990159019 1&9 ëxo1Ïv6019 101

610î11510012 15190071061011691011 60111115101: 71011017110161

561111 11,5 5lpn115’11ço 02011911115. 65651311011 7&9 101, 6’11 a

69701159011 1917110261011 167011 55301111 7101i &lÂoËlœg 1&1

6101115190111. 57152 6è 1571071551011 71012 1013 11111111101) 1è;

02911811611 1015 176011 11,5 1&9 110271071109 11575851 5101210:

11575809 1111 1151201101 5511512 1111951012, 613.011, 059, 51’ 7111]

900195617 111021111011 à «puant à 60111011015011: 51012601 1&1

610211510011, 015 05mm) 1101 5m ô &pvflpôg 106 1002111101

fi 011701021119 101 53001161115910; 1101i 1519011116z1’1101. 015109

65’ 561111 ô 510101169 1101:0?659 15 5’ 11511 65121590111 don?-

110511 11011 11511 7190510011 11119111659 151pa1116x1M011. 51020-

60011 01’711 561111 13 1’ 110110É659 11512 651215an11 15918110311.

à 65 10511 0’ 601111510012 52011601 10111 610211510011 6q2a1’90t

710111101711016511 561111 1&9 61111111015011) 5710156019 1&1: 6101-

11510011 6970150019 11119 0’ 11119102656611) 61.131 16 19171M-

61012 1167011 5,15111 7101’ 511.100.019 1&1: 6101115190011 1&9 60mi-

9019. et 01511 751101.10 5x 1017 1110pr01: 61;)«0901 10:11-ua15101 10 115751309, 151151101 5613.11 à 61170117001 0°; 51017601 113w

610211519011 6117111510011 9’, 652.011, 0’79 5105110011 56651101

ô 1015 11102111101) &0181169 1017 751101151101) 02911911013 710111.01-

5. «(padou à] scripsi; à 0m. F, uul o. 8. 151901110010;11091011 F; corr. Ahrens. 10. 51001111 ; corr. V. 12. 100E6011 105] scripsi; 519 1o F, nulgo. 11011101109 F; corr. BC.11575051 51011109] addîdi; 0m. FI uulgo. 13. 1151; cum camp.av F; con. Wallis. 14. 106 1002111101: Gertzius. 16. (tu;

ARENARIUS. 2751V. Bis autem partim suppositis, partim demon- 1

matis, propositum demonstrabitur. nain quoniam sup-positum est, diametrum seminis papaueris non mino-rem esse quem partem quadragesimam digiti [II, 4],adparet, sphaeram diametrum digitalem habentem ma.-iorem non esse, quem ut 64000 seminum papaueriscapiat. hoc enim numero multiplex est quem sphaera.diametrum habens pattern quadragesimam digiti. namdemonstratum est; sphaeras triplieem rationem habereinter se, quam diametri habeant [Eucl. XII, 18]. quo- 2niam autem hoc quoque suppositum est, numerumarenae magnitudinem habentis magnitudini seminispapaueris aequalem maiorem non esse quem 10000[II, 4] , adparet, si sphaere diametrum habens digi-talem arena compleatur, numerum arenae maioremnon fore quam 640000000. hic autem est sex uni-tates secundorum numerorum, et quattuor millia my-riadum primorum. quare minor est quam decemunitates secundorum numerorum. sphaera autem dia-metrum habens centum digitos longam centum myria-dibus multiplex est quem sphaera diametrum digita-lem habens, quia. sphaerae inter se triplicem rationemhabent quam diametri [Eucl. XII, 18]. si igitur exarena. tante. sphaera. efficitur; quanta est sphaera dia-metrum habens centum digitos longam, adparet, nu-merum arenae minorem fore numero multiplicatis de-

cum camp. ov F; con. Wallis. du] w F; corr. Wallis.19. numides pupmôeç F; corr. A. 21. mais son F; corr. B0.22. «(poliças scripsi; up?) F, nulgo; Ëul W lis, Torellius.pvçtaôscw 23. hausse cum camp. op F; son. Wallis.

24. mignotera F; com Wallîs. 27. uollanlaaflswav F;con. ABC.

18*

276 ’PAMMITHE.«1061016195160211 1&11 65’110: 11.0110260111 10511 ôsmépœv dotâ-

3 110511 105179 0’ 11091026566111; final 6’ al 11511 ôemëpm

02010110311 653105 11010659 603101169 5611.11 0101131109 02110

1101111609 011105107011 ë11 10? 10311 60101110105010 591011 éva-

5 1011101, ai 6è 531051011 10110102689 513601109 0’211?) (101115609

511 1&9 01151029 5611051075059, 6fi1o11, 039 ô 7151161151109 11013.

009 6’005:me 10’511 à: 1&9 0161029 0211051071019 Emmaü-

xatog 02116 5101102609. 6s6stu10u 7020, 0’11. 5’112 31056661101;

021153151 0511:6 1029 1101102609, fi 5609 E1111 ô 0190181109 au»

10 ayœoréoœv, 0139 àazs’101111 02110 1101102609 o[ 7101101110-

dLagoi11159 0’5110210119. 10311 6è 51111016651101 101110111 620153

11.3511 ou? 11005101 61311 10? 110110261 10511 1190510111 11111011-

115’110111 ë1111’, cf 6è 115105 101510119 611103 10311 651115110111.

x05) ô 561505169 ëd1111 011510511 11115051 11110002609 6sv1ëgaw

I5 01910100311. 91051150011 01511, 51L 1017 1101011011 10 11117009

1015 péyefiog 553011109 176011 10,? 692015005 10? 10111 chips-

10011 0’ 605111510011 535015605 510511611 1561111 fi 11.11051 par

4 01.02659 10311 65111500011; 02918110511. 71:0?1111 6è ml. à «païen

0°5 10511 1111950311 6051111510111 5101160: 10511 600211519011 x0111:-

20 711061505 â61lv 1&9 4510156019 10511 61011519011 0’ 6011116107

1011:9 9’ 1111010265661. si 01511 75110110 à; 106 11102141100

6900117005 10511110511105 10 1157151909, (flûta 5613,11 à 5101160

6010551101 10:11 61.0211510011 pvolmv 605111510111, 6131011, à;

é102660111 êaoetuu ô 101Î 111021111011 029101109 1017 y8110-

25 (1,511011 no11an1aamaflewâ11 10711 751110111 1111000260311 161

2. (1.1101060051! FVBD. 3115!] un F; corr.Wallis. 6’ cf]Gertzius; se F, uulgo. 4. 10?] 15 F; con. Wallis. «leurmaalmv] scripsi; 62101111509101 F, uulgo; defendit Ninins(Quaest. Arch. p. 205); 651101111051 Wallis, Torellius. 0’190-1.0qu1] 011101107 cum comp. 011 F; com Wallis. 6. a? 4011.69]scripsi; 211109 F, uulgo; 3909 Wallis, Torellius. 8. est] nF; com Riualtus. 9. 02115151] addidi; 0m. F, uulgo; post

ARENARIUS. 27 7cem .unitatibus secundorum numerorum et centummyriadibus orto. et quoniam decem unitates secun-dorum numerorum decimus ab unitate numerus est inproportione terminorum pet decem crescentium, etcentum myriades septimus est ab unitate in eademproportione, adparet, productum fore sextum decimum Ïab unitate in eadem proportione. demonstratum estenim, id une pauciora. loca ab unitate abesse, quemquantus est numerus utrorumque locomm, quae nu-meri inter se multiplicati ab unitate absint [111, 6].horum autem sedecim primi octo cum unitate ii sunt,qui primi uocantur, octo sequentes ii, qui secundiuocantur, et ultimus eorum mille myriades sunt se-cundorum numerorum. manifestum est igitur, mul-titudinem arenae magnitudinem habentis aequalemsphaerae diametrum centum digitos longam habentiminorem esse quam mille myriades secundorum nu-merorum. rursus autem etiam sphaera. diametrumhabens decem millia digitorum longam centum my-riadibus multiplex est quam sphaera diametrum ha-bens centum digitos longam. si igitur ex arena. tantesphaera. efficitur, quanta. est sphaera diamqtrum de-cem millia digitorum longam habens, adparet, nume-rum arenae minorem fore numero multiplicatis millemyriadibus secundorum numerorum et centum myria-

I1101102609 addidit Wallis. fi sans] 00009 F; corr. Wallis.à 02010069] 5101110011 F; corr. Walhs. 011001090 Je F; corr.Wallis. 10. 01101111111 F; son. VB. 12. 111 F; oorr. Wal-lis. 14. 11511 ôsvtépaw Wallis, Torellius. 16. 1a 1s 1011F; corr. Wallis. 17. 010mm F; con. Wallis. 51011 cumcomp. m1 F; corr. Wallis. 21. 0110106201 F; con. B. 24.75000110100 F.

278 111mm.65111590111 02918111511 1051.9 9’ (11191056566111. 51151 6’ 051

11.111 10311 65111590111 059110110511 filial. 11119105659 5111105165-

110510’9 5611.11 0291181109 0’510 1101111609 011105107011, 055 65 9

11119505659 319601509 0’510 1101105609 511 10’? 0515103 0211051071I05,

6 6131011, 039 ô 751161151109 066561051. 60010151106109 10315 151c 1&9 05151039 02110510715059 0511:0 1101105609. 11511 6è 6150

15011 5111061. 101510111 615103 11511 01 11905101. 61111 10? 100110561

10311 1590511011 11111009511010 5’015, 015105 65 017 115105 1015-

10119 10311 65111591011 15051000511010, 01? 6è 101.1101. SE 10311

10 191510111 11051000511010. 11051 ô 56105109 0515111311 5’611. 65’150:

15119505659 10311 191510011 05958110311. 01051159011 01311, 511. 10

1013 111021111011 11113009 1013 1515751909 51011109 10011 103

6010515905 105” 113511 610515519011 51015601 1111950011 6051511510711

5105661511 561111 13’] 1’ 11119505659 19510111 059118110311. 15051

15 5151 5105660111 561111 à 61056105110511 51011605 10’511 61.0511519011

6050517905 1&9 6010169059 1039 510156019 10511 610511519011 1111-

9150111 6051111510011, 6fi1011, 0’11, 11051 10 1013 111051115011 11113-

1909 1013 115015009 51011109 [6011 105" 601055905 103 10511 61.05-

11519011 31015605 6105610550511 5105661511 5611.11 1.’ 11119105659

20 10311 19610011 1559118110511. 110511.11 65 0’5 601051905 0’5 1151011605

10511 610515519011 9’ 61016151011 11011051110561fœ11 561E 1&9

6010159059 .1029 ëxo156059 10111 610511519011 61056110515111! 111179 9’

(11191026566111. si 01311 781101.10 5’11 1013 111051111011 601615941

10515151515105 10 1150151909, 0110505 561111 à 51011601 10511 6505-

25 11.519011 9’ 61016150011, 6131011, 0’11. 5102661011 566551055 ô 1013

111051111011 0591131109 1013 7511011511011 0291311013 110110115111-

61.056951605’11 1&11 65’105 1511910560111 19111011 059119110311 101i;

3. 02110210 011 ut] 0111111011011 F; corr. Wallis. 4. 051ml F:com I 11 1&9 05131559 0511051011059 Gertzius. 5. 0’19] a En8: 11.1105 101110119] scripsi; 115105 10119 F, nulgo; 1111’ 051110159 Wal-hs, Torellius. 9.11511] (prius) addidi; 0m. F, unlgo. SE] 111F;

ARENARIUS. 279dibus orto. sed quoniam mille myriades secundorumnumerorum sextus decimus ab unitate numerus est inproportione, et centum myriades septimus est ab uni-tate in eadem proportione, adparet, productum uicesi-mum secundum ab unitate fore in eadem proportione.horum autem uiginti duorum primi octo cum unitate 5ü sunt, qui primi nocantur, octo autem sequentes ii,qui secundi uocantùr, reliqui autem sex ex iis, quitertii uocantur; et ultimus eorum est centum milliatertiorum numerorum. manifestum est igitur, mul-titudinem arenae magnitudinem habentis aequalemsphaerae diametrum habenti decem millia digitorumlongam minorem esse quam centum millia tertiorumnumerorum. et quoniam sphaera diametrum habensstadium longam miner est sphaera diametrum habentidecem millia digitorum longam’), adparet, etiam mul-titudinem arenae magnitudinem habentis aequalemsphaerae diametrum habenti stadium longam minoremesse quam centum millia tertiorum numerorum. rursus 6autem sphaera diametrum centum stadia longam ha-bens centum myriadibus multiplex est quam sphaeradiametrum stadium longam habens. si igitur ex arenatante. sphaera colligitur, quanta est sphaera diametrumcentum stadia longam habens, adparet, numerum arenaeminorem fore numero decem myriadibus tertiorumnumerorum et centum myriadibus multiplicatis orto.

1) Heron. defin. 131: tô noiôzov Ëzu . . . ôaunîlovc lof.

com Wallis. 10. miton] un cum camp. on F; corr. B.12. azyme»; F; con. B. 20. 65’] scripsî; au F, nulgo. 28.pvçzaôscw F; con. B. 24. à] 0m. F; con. Wallis.

10

20

230 tsusurras.0’ 100940365661. zut émet 0d uèv 10511 191500011 0290010151

65’110: uvptéôsg ôvoumemofiro’g .6er11 02m3 povdôoç 1’110?-

Âoyov, 0d 6è 0’ uvgzdôsç 55601009 0211:6 pavéôog à: tâç

01151079 02120110711019, ôfilov, 035 ô ysvôpevog édasitat

ômmumemoazôg à: 1&9 «ôtés balayions 021;?) 100110560;

103v 6è 6x10?) 110d aimez 1015120111 ômcà (du; 05 7:06:016011 se? 100120261, I051! 190600011 xalovpæ’vmv 311’015, et 62

actât zoüzovg 5191100 6:11:03 150311 ôevze’pnw, ami ot parai

10151on 6mm?) r61: miton), et 6è louvet téddapeç tu?!050029:01:11 10011000511030, scat ô 56101109 011300511 écu 11-

Mo". 1001102659 105v reniera") 0290911151). 411011150011 0131!.

3m rô 1017 11202101000 nÂfiôog mû péysôog 51012150; leur

a? 6900115901 1:0? 1:13:11 ôzoîparpov exodes); 6171610011 9’ 5100-

6611 éo’uv 77 x0160; (101102689 00511 retâçzœv 0190911159.

mil"! 6è a? 6090117901 à 5101160: 1&1! 610210809011 14va6101650111 noÂÂanÂadL’a êazl 1529 6900159019 1&9 3101560;

ràv 610210500011 60016110111 9’ rats 9’ 11001056566011. si

0511 75110110 éx toi? vampai: «palpa ralmaüza tô 116’-yeflog, 02115110: 15613,11 à dtpaïça à 51011601 120w 6102143001

dzaôlœv 1000150111, ôfiÂov, 51L ËÂdddO’V 3665111010 t0 105

100?qu nÂfiôog 1:05 yevopæ’vov 0290914017 100110111001-

afiâewâv 0&1; 11116211 11.0110260011 10511 zstoîgtmv damât

raïs 0’ 11091026566111. âne), 6’ ai phi 1:61; renierai!âgaôunîv 11.115010 100110859 ômœuaæmodzôç 30’011! 01:6

povoîôog 02110210700, 0d ô’ 15110117011 10001035; 55601109

ànô (101105609 a”; des «(moly 02110110716019, 6131011, 5116

751161181109 ëfiesz’wz à; 17029 011312079 àvaloyc’ag rétamas

me). 1010111061709 0’110 1001205609 00512 (là 1500020010 rai

15. M] scripsi; 611 F, nulgo. pamplœr- (baigneront lin. 17repetuntur in F; expunxit manne 1. 17. 110910160041 F; con.B. 19. 61010er cum camp. au: F; con. B0. 20. au;

ARENARIUS. 281et quoniam decem myriades tertiorum numerorumuicesimus secundus ab unitate numerus est in pro-portione, et centum myriades septimus est ab unitatein eadem proportione, adparet, productum fore duo-’detricesimum ab unitate in eadem proportions. horumautem uiginti octo primi octo cum unitate ii sunt,qui primi uocantur, octo autem sequentes ii, qui se-cundi uocantur, et octo deinde sequentes ii, qui tertiiuocantur, reliqui autem quattuor ex iis, qui quarti uo-cantur, et ultimus eorum mille unitates sunt quarto-rum numerorum. manifestum est igitur, multitudinemarenae magnitudinem habentis aequalem sphaeraediametrum habenti centum stadia longam minoremesse quam mille unitates quartorum numerorum. rur-sus autem sphaera diametmm decem millia stadiorumlongam habens centum myriadibus multiplex est quamsphaera diametrum centum stadia longam habens. siigitur ex arena tante sphaera efficitur, quanta estsphaera diametrum decem millia stadiorum longamhabens, adparet, numerum arenae minorem fore nu-mero mille unitatibus quartorum numerorum et cen-tum myriadibus multiplicatis orto. quoniam autemmille unitates quartorum numerorum duodetricesimusest ab unitate numerus in proportione, et centum my-riades septimus ab unitate in eadem proportions, ad-paret, productum fore tricesimum quartum ab unitatein eadem proportions. horum autem triginta quattuor

cum comp. un F. 23. 00011160011» F; corr. B. 25. une:F. 26. ôfilov-âwaloylaç mg. F, signo adposito, cui respon-det aliud post àvaloyz’ag lin. 27.

15

20

25

282 WAMMITHE.101021101110 101510111 6111106 11511 05 11002101 0’611 102 110110261

10311 1100510011 11010005110011 51115, 05 65 115’102 101310119

611’106 10311 651111501011, 1105 05 115102 1101510119 6212.01 611116 n31

10510111, 1105 05 1151102 101510119 611106 10311 15102010111, 01’

65 2.011105 6120 10311 115111110111 11010110511011: 5660611101.

1105 6 5610109 01310311 5611 65’110 1101102659 11511 1151111101

02013110311. 6131011 01311, 6’11 16 1013 111021111011 zlfifiog 1013

115715809 51011109 56011 102 6010500 102 15111 610115100151015602 6106110111 1111050011 511066011 56655101 fi 1’ 110110265;

10311 115111110111 02016510311. 11021111 65 02 6010500 02 5101160

10211 610211510011 610650111 0’ 1111010260111 11011011106150 5’61!

1&9 60205009 1&9 10211 61020510011 531012609 610650111 110-050011 1059 0’ 1111010265661. 55 01311 y51101170 511 17013 100’11-

001) 6001700 110111101510 16 115754309, 02115110 561511 02 6010100

02 5101160 16111 610211510011 6101650111 0’ 1111010260111, 6131011.

039 5102660111 56655101 6 1013 10021111011 020181169 1013 75

1100511011 0201190013 110110010610685160211 10211 65’110 par

110260311 10511 115111110111 02016110311 101179 0’ 11110102656611.

1105 51155 05 (.1511 10311 115111110111 02018110511 65’110 4101102659

151001169 5611 1105 1101011106169 02116 1101102609 0211021071011. ai

6è 0’ 11110102659 36601109 02116 1101102609 à: 1&9 0131i;

02110107509, 6131011, 511 6 751161151109 5x 1029 01îtâ9 02111-

1011509 56655101 1510011106169 12116 1101102609. 10311 65

15660002001110 101510011 611106 (.1511 05 11005101 6611 102 110-

110261 10311 1100510111 11010005110011 5111:5, 05 65 p.510 101311

5212.01 611106 10311 65111500011, 1105 05 115161 10121009 521101

611116 10311 10510111, 05 65 (151102 11069 10510119 6111116 1151

15102010111, 05 6è 1.15161 101510119 611106 10311 1151111170111 xa-

Âovpa’vaw, 1105 6 5610109 01210311 561:1 yuan 0111010656

3. 01 01101 F; cou. ed. Basil. 6. 1101106 cum comp. I!F; con. B. 8. 11511500119 F; con. B0. 9. 11000 cum 00mn

ARENARIUS. 283primi octo cum unitate ii sunt, qui primi Ilocantur,octo sequentes ii, qui secundi, octo deinde sequentesii, qui tertii, octo deinde sequente ii, qui quarti uo-cantur, et reliqui duo ex iis erunt, qui quinti uocan-tur, et ultimus eorum est decem unitates quintorumnumerorum. adparet igitur, multitudinem arenae mag-nitudinem habentis aequalem sphaerae diametrum ha-benti decem millia. stadiorum longam minorem forequam decem unitates quintorum numerorum. rursusautem sphaera diametrum centum myriades stadiorumlongam habens centum myriadibus multiplex est quamsphaera diametrum habens decem millia stadiorumlongam. si igitur ex arena tenta. sphaera efficitur,quanta est sphaera. diametrum centum myriades sta-diorum longam habens, adparet, numerum arenae mi-norem fore numero multiplicatis decem unitatibusquintorum numerorum et centum myriadibus orto. etquoniam decem unitates quintorum numerorum tri-cesimus quartus est ab unitate numerus in proportione,et centum myriades septimus ab unitate in eademproportione, adpai-et, productum fore quadragesimumab unitate in eadem proportione. horum autem qua- Çdraginta primi octo cum unitate ii sunt, qui primiuocantur, octo sequentes ii, qui secundi, octo deindesequentes ii, qui tertii, octo deinde sequentes ü, quiquarti, postremi octo ii, qui quinti uocantur, et ulti-mus eorum est mille myriades quintorum numerorum.

m F; con. AB. 10. dé] scripsi; (in F, unlgo. 11. pu-omâw; F, ut uidetur, in mura; con. ed. Basil. 12. râc ni?scripsi; un F, nulgo. 18. qudôeaaw] scripsi; momon: ,unlgo. 24. 19?] to F; con. menus 2. 25. nappons, F0 ed.Basil.; com F manu 2. mira] taureau Wallis, Torellius.

560

10

15

20

25

284 WAMMITHE.10512 népmcov âçzôpoôv. (pavspôv 015v, En toi» d’ép-

pov rô «1.03809 1:05 5453154905 Ëzowoé [60v 1:9? agada;a; du: ôzoîpergov Ëxoüo’gx irradiai! 9’ yvpzdôaw 514w-

dôv écru! fi pliai uvçbéôsg mir négunœv épandu.à 6è rôti! ôzdysrçov Ëxovaa Gemma audion; pvpLivuvçzoîôcov nolÂanladL’cov étui 1&9 «palpas 1&5- élation,-

1&1; ôm’petçov 61056511711 9’ pvgzoîôaw raïs 9’ impavides-

dw. si M1 fluorure à: 1:05 moignon (matou raÂLxœz’vta 1:6péysôoç, élixir 36’511; à 690111790; à 510mm min! 6115981909

madéfiai! yvpzâv pvçzâôœv, 4311115961), ("in Éladdov ÉG-

o’ez’raa rô r06 wdppov mlfiôog mû ysvopb’vov 519095106

woÂÂanÂaamaôsLo’âv du; zLÂLâv pvgcoîôaw raïa! néga-

mw (591.8510511 raïs 9’ pugwîôeddw. final 6’ al fait

1451) ashram &waoôv pilou, invalidas 151949:06:69ému: (in?) gavéôog 1511021011011, aï 6è 9’ pvaîôeç élido-

(L09 du?) y01102809 à; 1&9 mitois 02114110711419, 615100, à;

ô 751164451109 émiettai, âcres aux? tszpœxodrôg 0216 po-voîôog. 170’511 6è reddaçéxowa nui SE fO’Ü’L’œ’lI tintai ph

on? zgüroz dùv a; gauchît 105v npœ’tœu mlovpæ’vm

fini, âme) 6è 05 panic toüzovg 170511 damëpœv, aux). oi

perd; 101510123 521.101. damai 115v mitan), o! 6è pétai: roi);

rçézovg 651101. durai 170511 renfermai, nul 05 mû sofa;

tetoîçrovg 69min n51: népmœv, on? 6è lamai 2; tir3mm! ualovpe’vaw 312d, nazi ô 5610:1ch «616v éon 5’çwçwîôeg r61; 5mm: àçzôunîv. cpavspôv 015v, du 1:6 tu?

daignai: 5111115904,- toô péyeôog 51m0; Nov a; ovates: a;

3. (nigaudes F; corr. Wallis. 51cm cum camp. on F;corr. V. 5. «(pana cum comp. as F; con. manus 2 et B.myome F; corr. Wallis. 7. neptunium F; con. B. 8. ’]scripsi; de F, nulgo; du» Wallis, Torellius. 10. puma; ;corr. Wallis. aluna cum comp. M F, cd. Basil. 12. zoua-adam cum comp. ou F; con. B. 13. pvçldôEGGlV] scripli:

ARENARIUS. 285manifestum est igitur, numerum arenae magnitudinemhabentis aequalem sphaerae diametrum habenti cen-tum myriades stadiorum longam minorem esse quammille myriades quintorum numerorum. sphaera autemdiametrum habens decem millia myriadum stadio-rum longam centum myriadibus multiplex est quamsphaera diametrum habens centum myriades stadiorumlongam. si igitur ex arena tanta sphaera efficitur,quanta est sphaera diametrum habens decem milliamyriadum stadiorum longam, manifestum est, nume-rum arenae minorem fore numero multiplicatis millemyriadibus quintorum numerorum et centum myria-dibus orto. quoniam autem mille myriades quintorumnumerorum quadragesimus ab unitate numerus est inproportione, et centum myriades septimus ab unitatein eadem proportione, adparet, productum fore qua-dragesimum sextum ab unitate. horum autem qua-draginta sex primi octo cum unitate ii sunt, qui primiuocantur, octo sequentes ii, qui secundi, octo autemdeinde sequentes ii, qui tertii, octo autem tertios se-quentes ii, qui quarti, octo autem quartes sequentesii, qui quinti uocantur, sex autem reliqui ex iis sunt,qui sexti uocantur, et ultimus eorum est decem my-riades sextorum numerorum. manifestum est igitur,numerum arenae magnitudinem habentis aequalem

momon F, nulgo. 14. remmenas F, nulgo, ut lin. 17.17. Essaim: êu 1&9 «ôtois êwaloytuç gaïac Gertzius. 18.tintai m’y] 5mn F; con. Wallis; aï ph: durai B. 21. une:un); F; corr. CV. 23. SE] 0m. F; corr. Wallis. 24. avrcum comp. 0g F; corr. B. 25. potQLaôœv F; wigwams nulgo;con. Wallis.

9

236 îPAMMITHE.nia; (infusion activa entôla»: avezdôm mimât! fluo-

10661! ému fi l.’ numides 145v être!!! àçuflpaîv. à 6è

1&1; ôzéuatpov Exovda 69241590: audion! invendus pu-çwîdœv 9’ minaudiez édit 1&9 dgmtçaç 1&9 310136419

5 min) duipsrgov dmôlœv uvçcédow plagia-w tout; 9’ pu-

piâôeao’w. si 015v 75320410 à: mû 11102505401; «padou

rahxaüm 1:6 4483151309, élima: 3617111 à amadou à 510w:

min) 610544819012 dtaôluw pvgbâmç popwiôaw 9’, (pan-

gôv, (in. rô 105 wdppov nlfiôog 52.056601: écacha; tu?10 761104483101: âgwpo’ü noÂÀanÂamadôswà’v zâv L’ impui-

ônw r61: 5mm) émanât; un; 9’ yvptâôsao’w. 33:16’ a! pèv 105v 5mm: 45908114511 déca yvpzoîôsç être;scat rezçœuod’côg écru! ân’ô (10110200; àvaîzloyov, al dt

9’ yvçzdôsg Sflôopos ânô povdôog à: mais «été; éva-

15 10750:9, 6172.01), du ô 75764151209 s’anime ânonnas":-uodrôg (in?) y01102609 à: aïs mimis &vaÂoylag. 1451: 0è

660 aux), nevmîuovw 101km! on? "à; durai aux! tacau-pa’novm dîna 19’; pomma oï se 215946104 nalovps’voc. hui

ami, et ôsmépoo «a! mimi, and tetoîpzot. aux). mémo:

20 and 5mm, on" 6è lento! recoupes 115v ëflôôlmw m100-ps’vœv 5121:5, nul ô 56141109 mitoô’v écu pua; ganoïdes

tu?!) Ëfiôôpaw (591.641,61). (pæuêpôv 013v, (in 105 dirimant!

1:6 zlfiâog r06 yéyeôog 510mo; 1’601! a; agaalçç simini ôcdpnçov ëzoüdgz Gradient; imbibas pupwiôœv 9’

25 511166611 361w fi la (401202659 121511 êfiôôpœv inhumait

11 in! 015v 3656167] à 1:05 xôdpov ôaépszpog aérium

1. pnçwîdmv impair scripsi; au tonus immixtion! puent! F.nulgo; pupzdmc pvçtmv allia, Tore lins. aluna cum comun! F; corr. Riualtus. 3. 8100611; F; corr. BC. 6. papu-duw paganisa] scripsi; panada; (coup. ac) pagure (comp. as) F,nulgo; aucuba; avoinas Wallis, Torellius. in! ldôEGIV F;son: B. 10. «omnium cum comp. on F; con. . pneus

ARENARIUS. 287sphaerae diametrum habenti decem millia myriadumstadiorum longam minorem esse quam decem myria-des sextorum numerorum. sphaera autem diametrum 10habens decies centena millia myriadum stadiorumlongam centum myriadibus multiplex est quam sphaeradiametrum habens decem millia myriadum stadiorumlongam. si igitur ex arena tanta sphaera efficitur,quanta est sphaera diametrum habens decies centenamillia myriadum stadiorum longam, manifestum est,numerum arenae minorem fore numero multiplicatisdecem myriadibus sextorum numerorum et centummyriadibus orto. quoniam autem decem myriadessextorum numerorum quadragesimus sextus est ab uni-tate numerus in proportione, et centum myriadesseptimus est ab unitate in eadem proportione, adparet,productum fore quinquagesimum secundum ab unitatein eadem proportione. horum autem quinquagintaduorum primi quadraginta octo cum unitate ii sunt,qui primi, secundi, tertii, quarti, quinti, sexti uocan-tur, reliqui autem quattuor ex iis sunt, qui septimiuocantur, et ultimus eorum est mille unitates septi-morum numerorum. manifestum est igitur, numerumarenae magnitudinem habentis aequalem sphaerae dia-metrum habenti decies centena millia myriadum sta-diorum longam minorem esse quam mille unitatesseptimorum numerorum. iam quoniam demonstratum 11est, diametrum mundi minus quam decies centena

dur F; com B. 11. un: o lavandes F; corr. Wallis. 18.tsooupauaatoç F, nulgo. 16. avoummwnnoaroç F; cors. ed.Basil. 20. uaÂovpévmv ad ëfiôôpaov lin. 22 repetuntur in F;expuuxit manne 1. 24. rois] rmv per comp. F; corr. VB.25. 51mm cum camp. on F; son.

288 TAMMITHE.âoôaa 6106150011 pvaîmg pvçzdômv 0’, ôfilov, du and

1015 wéppov 1:0 «1.1700; 1015 péysflog 51011109 [601! 1,5

11661491 è’10166611 in"! 13 la povéôsg 11512 513661101

oiçLôpoôv. du 1113001511 10 r05 vampai) nlfiôog toi6 péysôog è’xom’og [6011 195 1311:0 6051! 61151567001! &619016701

xaÂovpe’vço 91661191 511116661! 15611.11 17 la (101102659 161

ëflôo’paw âpLôyoôv, ôsôaùcrm. (in 6è and 1:0 «Mm

1013 1poippov 1:01? 51.157.900; 51011109 1’601! la; 60:6qu ta-Âmœ’ôrqz, àliuow 340i6mpxog 15110108151011, du; tôv dala-

10 115’011; 556600311 60211590111 dual, 5,166661! 33611.12 17j la in.»

12 guides 10311 67660111 0290951150, detxô’qœ’zm. été! 7&9

énoxsirm, du! 725w 10v 05151011 515w 1.6701: un) tinÔq)’ 541.0031! siçnps’vov M6000, 312 fixât 1167011 ô sign-

ya’voç 14661105 :6011 min: 105v àmlave’œv 556190111 69mi-

15 90:11, 5311 ’Agiaragzog ùnorLôe’raL, and ai daupe’rçoz si:

60261410712 1:01; 0515601: 5101m 110’701! nor’ 021.1021019, à 63

1017 M6001) ôzéysrpog 1&9 ôzaus’rçov n’a; qui; 6565131101

31102660111 5050W î) pvpzonladiœv, 6171.01! 01511, 51; andà ôzéuergog 1&3 10511 &nÂavs’mv 526790112 6021:1:qu Élab-

20 60111 561211 fi yvpLonÂœdimv râç ôtaae’rgov 1:05 1:66pm

in), 6è ou? aqu’Qm rpmlémov 1.671011 5101111 11:01’ il:

10210:9 du; 61.0405600311, 09051150611, du à I151! ànlavê’m

526mm: apanagez, 621: 249116109109 énumérai, ËMTIM

in": if pngoÉuLç [aveins pvgzéôedm uoÂÂaxÂa6iar25 1017 16611.01). ôedeimm 65’, du 1:0 1017 0102114501: 111’180;

r01? pëysôog Ëxowog i601) 1:95 1661.00) 51.66661: 36m i

1. 11091001: F mg., B mg. 4. 051:] scripsi; open»; pas:lacunam 6 litterarum F, uulgo. 10. 51.0106 cum comp. un F:corr. AB. 12. 11:01:! 1561:] non un (comp.) FV; corr. V cadetsmanu, BC. 16. «moue cum comp. on F; corr. BC. 51mF; corr. BV. uor’ allas F; corr. B. 18. 1409:0:chF; corr. Wallis; pleonlaat’u B, V e corrections. 21. égal 617

ARENARIUS. 289millia myriadum stadiorum longam esse [II, 1], ad-paret, etiam numerum arenae magnitudinem habentisaequalem mundo minorem esse quam mille unitatesseptimorum numerorum. itague demonstratum est,numerum arenae magnitudinem habentis aequalemmundo, qualis a. plerisque astrologis fingatur, minoremesse quam mille unitates septimorum numerorum.restai: autem, ut demonstremus, etiam numerum arenaemagnitudinem habentis aequalem tali sphaerae, ue-lem Arisfgarchus stellarum fixarum sphaeram esse sup-ponat, minorem esse quam mille myriades oetauorumnumerorum. nana quoniam suppositum est, terram 12ad mundum, qualis nulgo a nobis fingatur, eam ratio-nem habere, quam idem ille mundus habeat ad sphac-ram stellarum fixarum, quam Aristarehus supponat[1, 6], et diametri sphaerarum eendem inter se ratio-nem habent [EucL XII, 18], et demonstratum est,diametrum mundi minorem esse diametro terme de-cies millies sumpta. [II, 2], adparet, etiam diametrumsphaerae stellarum fixarum minorem esse diamettomundi decies millies sumpta. quoniam autem sphac-rae triplicem inter se rationem habent, quam diametri[Eucl. XII, 18], manifestum est, sphaeram stellarumfixarum, quam Aristarchus supponat, minorem essemundjs 1000000000000. et demonstratum est, nume- l3mm arenae magnitudinem habentis mundo aequalemminorem esse quam mille unitates septimorum nume-

mszôn F; con. Wallis. clown F; corr. BV. 24. Melons]scripsi; 0m. F, nulgo; 921911:26:01: AC, coni. Riualtus, Wallis,Torellius. 25. 51L] 0m. F; corr. Riualtus. 26. dans cumcamp. un: F; com B mg.

Archimedes, ad. Heiberg. Il. 19

10

15

290 WAMMITHE.,0; uovdôeç 115v 5566110711 &çzôpoôv. ôfilov 0511, au, et 75’-

vono à: r06 wéppov «païen; rahatmîta 16 444575005, éli-

ma: ô ’Aotfdtapxog énonôs’zm 1&1; 1:61! 02110512521312 5610m

«poliçai: affin], êÂàdGaw écachai. ô 1:01? vignot: àpoôpôç

toi? ysvoya’wov âçuflyoü noÀÂanÂamadfluo’âv 1&1) 11.14421

povcx’ôœv tout; puçwîmg 444194th pvçzdôsn’aw. and été!

ai (131! 115v êfiôôyœv la 4101102689 ôvoxamswazoatôçâdtw 0271:6 y01205605; àva’loyov, a! ôë gwçm’mg pwçüu

yvaîôsg rQLduaLôe’uarog du?) (101102609 à; aïs «été;

àvaloyùxç, ôfiÂov, 51L ô yavo’usvog êddst’zaL rémoras

aux). 51217106169 021:6 yovdôog à: zig 11151629 àvaÂoylag.

oôtog ôe’ éon 146v 671666011 576003, 59 au! et?) 11W

pvozdôsg r61! 6766m: 029149440511. cpowsgôv. mimai, 3aroi] wéppov 1:6 711117003 mû péysôog 51012104; [60v tu?120512 ânlavéæv ëdtpæv «poliça, à: ’Açz’dwpzog ôto-

nôa’mz, 51056661: 36121.11 ô la yvptéôsg tin: 676609

14 &çbôpnîv. mira 65’, fiamlsü Füœv, tors ph: nouois

20

and (Là usxowœvnuôtsao’l. 1,1511 paôwwdtow 06:: 55mm

quwæidsw ôxolayflaîvm, rots 6è peralelaflnuôtsddw niand r61! àzoarnpdrœv aux). 145v peysfls’œv 1&9 te 75;

aux! 1:06 0211500 ml 1&5 adiras nul 105 510v 166mneqapowmo’zsddw mari: ôLà du! 02166ng141 hauban.&de 95’60"11 ne: and th; 01’»: àvappoarsl’v [fic] ân-

85œ91io’m mâta.

4. sauna F. 5. nollanlumuv F; cou. B. 1:14 cumcom . au: F; con. B. 6. pariâtes! 107w 53136me «59005561 B.Wsl is, Torellius, Gertzius. 7. êfiâôpmv «29.0..an B, Ring!-tns, Wallis, Torellius, Gertzius. 8. ai] 0m. F; con. Wallis12. 5c sa aisé) scripsi; un «and F. cd. Basil.; aux! astreint;uulgo; sa! allie, Torellius; 3; nul 30m ai Gertzius. 14.se? 0m. F; corr. Wallis. 28. aux and] Maduigius; un F.nu o. th] un; F, nulgo; con. Gomperz. avuçpocrsiv]Maduigiul; uvaçpouav en; F, nulgo; àvéçpoflov sîpn Gom-perz. fra] delet Gomperz. ln fine damnons cpappcrq: F.

ARENARIUS. 291rorum [à 11]. adparet igitur, si ex arena tantesphaera efficiatur, quantam Aristarchus supponat sphae-ram stellarum fixamm esse, numerum arenae mino-rem fore numero multiplicatis mille unitatibus [septi-morum numerorum] et 1000000000000 orto. quo-niam autem mille unitates septimorum [numerorum]quinquagesimus secundus est ab unitate numerus inproportions, et 1000000000000 tertius decimus est abunitate in eedem proportione, adparet, productum foresexagesimum quartum ab unitate in eadem proportionenumerum. is autem octauus est numerorum octauo-mm, qui est mille myriades numerorum octauorum.manifestum est igitur, numerum arenae magnitudinemhabentis aequalem sphaerae stellarum fixarum, quamsupponat Aristarchus, minorem esse quam mille my-riades octauorum numerorum. haec autem, rex Gelo,nulgo hominum mathematices imperito incredibilia.uisum iri puto, peritis uero, qui distantias et magni-tudines terme et solis et lunae et totius mundicognouerint, credibilia propter demonstrationem fore.quare putaui, tibi quoque conuenire haec cognoscere.

19”

14

QUADRATURA PARABOLAE.

5

10

15

Terga-yœmdpôç uagafiolfiç.

’Apzmrfiông douché,» 513 «guitran.

’Axoüdag Kôvawa "à: tuslsvmna’vm, 39 fia: En

filënœv mm; à) «une, du à)? Kôvowog 711059145011 ys-

yeænfaôm un! remangiez; oiustov aluni mû ph! ters-Âevtnuôroç sïvsxsv ëlvzfiônpeg à; aux! (pilou ton? dv-

6965 yevœpévov and à: 10:79 MaupénGm ôavpamïtwoç, engoxszpcgémôœ 6è ànoarellm. son prdWEg,175g Kôvœm yooîçasw âvazôtsg fipsç, ysœpatpmîw 0505-

9121102 à, 3 «96159012 ph: 0131 fiv tsôsœpnpe’vov, vüv6è ôtp’ figeât: tsôswpvjtm, noétsçov psy ôLà (unan-

uaîv 513980511, fatma 6è nul ôlà 105v ysœmpmôv ém-

ôszxôe’v. 115v phi 015v «gâtsçov mol 780)prupaypatevôéwœv employai?) rwsg ypoîqasw nôs 6mm-tôv âôv mîxlço 11,5 60851"; and 211590.01: quipou; t5600:!sz zœçlov 5159m! aôôüyçappov [cor nul parémima: rô zepzsxôusvov xœplov 151:6 ta 1&9 5101) vos?ouléma: toués nul sôâstœg rsrçaymvtësw ênszçnîvro

Âœuflavôwsg 015x Mapaxoîgnm Âfippata, (56h? RÔtOIç

4. plénum] scripsi; 13mm: F, nulgo; louré: Torellius. 94’-la: Torellius. tir] scripsi; mu F, nulgo; té"; Torellius.6. champ" F, nulgo. 7. «amura; F, nulgo. 8. tu]0m. F; con. Torellius. 9. 51306152: Torellius. espar F,nulgo; figes Torellius. ysmpscçmàv 0505ng tu] scrîpsi;ysmpuçmœv 05009711511101: F, uulgo. 13. 05v] sddidx; on. F.uulgo. 16. empan F; com Torellius. 17. 510v] cor-

Quadratura parabolaef)

Archimedes Dositheo s.Cum audiuissem, Cononem martuum esse, qui, dum

uixit, nabis amicitia coniunetus crut, te autem Canonifamiliarem fuisse et geometriae esse peritum, demortuicausa. dolore adfecti sumus, quippe qui et amicus et inmathematicis admirabili acumine prœditus esset, susce-pimus autem ad te per litteras, sicuti ad Cononem mit-tere constitueramus, geometricum theorema. quoddammittere, quad antes, perspectum non crut, nunc uero a. lnabis perspectum est, prias per mechanica. inuentum,postes. autem etiam pet geometrica demonstratum.eorum enim, qui antea in geometria uersati sunt, qui-dam’) conati sunt scribere, fieri passe, ut spatium recti-lineum inueniretur data circula et data circuli segmentaaequale; et deinde spatium tatius’f coni sectione et linea

recta comprehensum quadrare conabantur lemmataminime manifesta adsumentes; quare plerique agno-

1) Archimedes sine dubio hune lilirum inscripserat me!si); 1313 ôaôoymvlov m5101! tapis, ut habet Eutocius ad pl.aeq. , 8.

2) De circuli quadrature. egerant praeter alios Antiphon,Bryson, Hippies, Hippocrates.

ruptum; Quaest. Arch. p. 149. 19. 45’015] scri si; aura F,uulgo; 646Mo Torellius. uôrot-eôçwuo’pwoz orellius.

10

1

2

2

5

0

on

296 TETPAFQNIZMOZ HAPABOAHE.du?) raïa nictation; afin sûazdûôusva mâta xareyvaic«98v. 1:6 de 61’ 813055059 1:5 and ôaôoyœw’av 21415110

tamis tulipe: 7189551611,sz aôôe’va r61! 71901590111 3715191560212150: tsraayœw’gsw Émanîusôa, 3 à?) 11512 ôtp’ fine;

gémina. ôemmîwl. 7029, (in «à; quina neptszôpevo-151:6 EÛÛ’EL’KIQ un). 693071311501) xœ’vov royâç extraira:

eau r05 rpzyœ’vav 1:05 1602m1; Ëxavrog min! miniez un

1’5wa mon 1:93 :4102sz lapflavous’vov :0565 toi hipparos à; du: ànôôuèw mirai? raïa âviamv ZŒQL’Œî

143w amendai, a? ônspa’xu sa uætÇov mû éléo’aovog

damnai! 631.0511 mitan! 5mm? dvvuôsps’vav navrôç 61:69

s’xml r06 nacrefls’vrog «ansaaaue’vov xmac’ov. fixative

un 6è and ai «9615901; yemye’rgm 79566 195 l’imamrang 1:5 yàp uôuÂovg ômlam’ava 11671011 515w 7:01"àÂÂaËÂovg 10712 ôLaps’raœv ànoôsôu’xadw «131:9; 1015191

r55 Âfippau Zçœuévm, au), mais amaiaœg 31:1, multiflore16701; ëxovu nat’ 0211021419 1&1; ôzayæ’zoœv, En 6è and

5m. «(in nvpayîg rai-1:01! Mao; à)?! 1:05 «planifias1:05 1:43:11 arétin! fléau: Exavtoç sa? aveuglât ml 511:0;

l’aov’ ami daim 1:59 noëvog 1911101! guipas fieri 105 zw-

h’vôgav 105 du: (rônin; fléau; ËZOV’ZOQng. univga and

Üwog 1’601), épatai; 195 npoezpnpëvço Amusez u lamini-vôvrsg âyaéqaov. 61151431151181. 6è raïa! naoszgmæ’vœv «9m-

pnuétow Ennemi: ’mlôèv 7566011 105v 521150 matou un?

ln’çmœrog ânoôsôswm’vmv nemdzsvuévm. fion 6è fg

du: anomal «(atavizoôtmg àvayps’vmv 10512 ûqa’ finit!

2. 6è ôn’ sôôu’aç] 0m. F; con. Torellius. 3. tamia F;con. Torellius, ut lin. 5, 8. nQOîÉoœv] scripsi; somma F.uulgo. 11. t’aurai: addidi; 0m. F, uulgo. 14. une"; ne;per camp. F; con. (nazi). 15. 011171101); F; cart. .un par camp. F; con: Torellius. tariras] sddidi; am. F,uulga. 17. :90; par camp. F; 001T. Toreliius (nazi). a1-

QUADRATURA PARABOLAE. 297

uerunt, haec ab iis inuenta. non esse. segmentumautem linea. recta. et sectiane coni reqtanguli compre-hensum neminem ex priorith quadrare conatum essescimus; id quad iam a. nabis inuentum est. demon-stramus enim, quoduis segmentum linea recta. et sec-tione coni rectanguli comprehensum tertia. parte mainsesse triangula besim candem habenti quam segmen-tum et altitudinem aequalem, hoc ad demonstrationemadsumpto lemmate 1), spatiorum inaequalium cxcessum,quo mains excedet minus, sibi ipsum additum quoduisspatium datum terminatum excedere passe. sed prioresquoque geometrae hoc lemmate usi sunt; nain circulasduplicem rationem habere inter se, quam diametri habent[Eucl. XII, 2], hac ipso lemmate usi demonstrauerunt,et sphaeras triplicem inter se rationem habere, quamhabent diametri [E110]. XII, 18]; et porto quamuis py-ramidem tertiam esse partem prismatis candem basimhabentis, quam pyramis, et altitudinem aequalem [Eucl.XII, 7], et quemuis conum tertiam esse partem cy-lindri candem basim habentis, quam canus, et altitu-dinem aequalem [EucL XII, 10], demonstrabent lemme.illi simile adsumentes. accidit autem, ut omnia i113.theoremata. non minus iis, quae sine hoc lemmate de-monstrata sunt, confirmauerint. et cum sa, quae nunc

1) De hoc lemmate cfr. uol. I p. 11 not 1.

11110:; F; cart. V. 18. du] addidi; am. F, nulgo. pagayasF. 20. duit; dû du Torellius. 22. ô oîov] scripsi; anal.cum camp. me , un] o. 23. ëyqoîqyov F; 27191!an nulgo.dé] 0m. F; corr. Tare lins. 24. 5411691] scripsi; Man cumcamp. a; F, uulgo. 26. mérous] scripsi; tourna F, uulgo;ratinai: Torrellius. évaypëvmv] scripsi; «vaquerai: F, nulgo;drayouéwœv Torellius.

5

10

15

20

298 TETPAPSZNIEMOE IIAPABOAHZ.âuôLôoue’vmv àvayaatpéweç 015v «151013 rais 0210551861

àuoau’lloueg 119151011 11h, 159 ôtà 1.151: ("mutinaiêflsmafiôvn, par?! 10161:0! de mi, à; ôLà :151! 75011151901

pépon: àatoôsuzmîtm. upaypmpéml, de .xœl drOLZé’i

xmvmà matou; Emma à; du: ànôôuâw. 59911160.

Ia .El un: fi 69807111111501) 11051201: topé, àp’ aïs à ABI

fi et à (1h: Bd traçât 1&1! ôtépezaov 1] mitât ôtépstpog

à 6è 41’ amatît 1&1; and; 1:6 B ëxbwaôavaav 15g tOf11051101: mais, l’au êaasz’rm à A4 1:9? AH 11521: la.fi à A4 1:91" AI", 11101911116101 émouvra 51’ te .41” aux

à and: 12) B 1911111101150an 1&1; toi

E :106va topois.5’.

El un 693071110501) 2111511011rayât à ABI’, 6è à (du: Bdtraçât du: 610111819011 17 1:61:61 dui-

pwraoç, à 6è AAF «qui: 1’611: nard:

l ra B émzpaüovdaw tés 1:06 310511011

i roués, à 6è EI’ 1129 1017 3111511011

d A u I 1 1tapas ânupuvavdu natal to F, 6’6-daüvrcu a! Bd, BE [6111.

1. 11106815214 anoarsllopsv F, uulgo. 8. à p.511] am. F;cart. cd. Basil. 10. saron pet camp. F, uulgo. 41’] AFF. un; F; cart. Torellius. 11. a; 41"] am. F; cart. B.une F; cart. B. 12. envasement F; cart. B.

QUADBATURA PARABOLAE. 299edimus, nuper ad sandem fidem perducta sint, demon-strationes eorum a nobis conscriptas mittimus, prius,quo modo per mechanica. perspècta. sint, deinde autemetiam, quo modo par geometrica. demonstrentnr; pras-mittuntur autem etiam conica. elementa ad demonstra-tionem utilia. uale.

I.

Si data. est sectio coni.rectanguli, in qua est ABI”,

B et linea B A diametro parallelaest uel ipse. diametrus, AI" au-tem lineae in B sectionem conicontingenti parallela, erit

114 :: AI".et si .441: AF, linea AF et

17 A A linea in B sectionem coni con-tingens parauelae erunt [Apollon I, 46]?)

Il.Si ABF sectio est coni rectanguli, et linea. B d

diametro parauela est uel ipse. diametrus, et linea. AAI’lineae in B sectionem coni contingenti parallela. est,et linea ET sectionem in puncto I’ contingit, eritBd : DE [Apollon I, 35]?)

1) Cfr. Zeitscbr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 61 nr. 14.2) Cfr. ibid. p. 63 un 16.

10

15

20

300 TETPABQNIZIMOE HAPABOAHE.

Iy .

El un ôpôoyœm’ov natrium) tond à ABF, à dt.2? Bd naçà ràv ôzâpuçov fi «614i

ôwîgœtpog, ml âzôë’awtt au;

a! A4, EZ azaçà rôw muai t6E Z B êmzpaüovo’av n’es 105 salivai:

tapés, êdo’u’rm, à; à Bd and

16cv BZ, ôvvoîpu à AA azor!

A J T 7&1) EZ.àzoôæôu’umz 6è mâta à; 10:79 xœvmotg amadou;

6’.

"E6107 quipo: zeçzezôywov 157d) 515055129 nul (980-yœm’ov univov topâg 1:6 ABF. à 6è Bd dard péan;15079 .41” ampli: du: dufpszpov â’xôœ, fi mitât duipætgo;

561w, and à B1" 513mm ëmCsvxôeîaa ëufiefihâdôœ. si

dû un: 011877 mg 3Mo; à lé? nuoit du: Bd zépvovôadu: duit 105v A, F eôôsüxv, 1611 0:61:61! EESL lôyov à

le) nov! ràv ÛH, au à 4A nazi du: dz.551800 76.9 du): roi H m2965 qui": AF à K11. En"

5290:, à; à Bd nazi 102v BK même, 051039 à AI" and1&1! K H ôvvdpsc. ànoôaôu’urm 716:9 106m. écacha:

2. à] su ra. scri tum manu 1 F. oçôoymn cum coup.on: F. à a n de ; com Torellius. 3. «un: tu F, 1111130:ne deleni; «and à B, Rinaltus, Torellius. 4. chaperon F;corr. B. nomma: F0; 151060; nulgo. 5. «and: du sati1:6 BJ 0m. F; corr. B. 7. Bd pénal. A, ed. Basi1., Torellins8. ont»; ômroîpu ed. Basil., Torellius. 10. de scripsi; il:F, nulgo. 12. tungar F, ut lin. 14: mon], lm. 16: «un.lin. 19: 1m90; con. Torellius. 16. un: :5107); scripsi; m-11108131] F, nulgo. 17. Énuréeav 1&1 AF un FB- 560d:Torellius; Euazéçav du: ouf? sôôsLâv mg. ed. Basil. 19. Il]I FV. 21. KH] K1 F; com ed. Basil.


III.Si ABI’ sectio est coni rectanguli, et linea. B4

diametro parallela uel ipse. diametrus, et ducunturlineae quaedam A4, EZ lineae in B sectionem conicontingenti parallelae, erit B4: BZ : 44’ : EZ’Ë)

Haec autem in elementis conicis demonstrata sunt.’)

IV.Sit ABI’ segmentum linea recta et sectione coni

rectanguli comprehensum, et a media linea AF du-catur B4 diametro parallela, uel ipse. diametrus sit,et ducatur linea BF et producaturf’) si igitur alia.linea. lé? lineae B4 parallela ducitur, ita ut lineamper A, F ductam secet, erit ZQ: ûH: 4A : 4Z.

ducatur enim par punctum H linea K H lineae 41”0..

.1. 2.a.3.

1 1 K0

A 42.1742 4 rparallela. erit igitur B4: BK : 4F’:KH2. hoc

1) Apollon. I, 20; Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 50tu. 12.

2) In elementis conicis Aristaei et Euclidis; ibid. p. 42.3) Respicitur ad fig. 2 solam, sed cfr. Zeitschr. f. Math.

1. c. p. 58".

309 TETPAPSZNIEMOZ IIAPABOAHE.d

don, 059 à B1" nazi zàv BI (ténu 05m); à B1" nazizàv BQ dwéysz. âvdloyov d’au êvzl al BI’, B9, BI

ygappaû 45cm 16v aôzôv au 1.6701: à BI’ nazi duBÜ, 311 à FQ nazi zàv QI. Ëfittv 39a, ais à F4 nm!

5 zàv 4Z, aû’zmg à 02 nazi zàv QH. a; 6è 4P [saioda: à 4A. ôfilov 05v, (in zôv caltait 515L 167012à 4A nazi. zàv 4Z, 311 à ZÛ nazi zàv 0H.

a .

"Eau: zyüya nsgLszôyevov ônô 5138515119 aux! 6900-

10 yowlm) 1415001) zoyâç zô 4B1", anal. 51mn ânô zoô A

nagà zàv ôuipæzpav à ZA, aïno 6è zoô I’ 31mmzâç zoô unirai: zapoîç and zô F à FZ. si ôfi a;àzâeû] à) toi 241" zpcyaivç: nagà zàv Al, sa; :61!aôzàv 11672011 à 0113517641 zezmjae’zaz 15m3 zâg zoé 6900-

15 y01111101: uoîvov zopàg and à AF ùnô zâg 021851612;

[évdloyov]. ôpôloyov ôè 3665km zô zpâpa zig A!" pzô nazi zçî A zçâ zpdluzu zâg âzâu’oag 13,5 nazi zçî A.

â’xôœ 7029 ng a? 4E nagà zôw Al, nul. zslwe’w

ngaîzov à 4E zàv 41” 61510:. fatal. 05v .36th 69190-20 glandai) mérou zonât à ABI’, and ânière: à B4 and

zàv ôzépszgav, ai 6è 114, 41" tout, 366513011. zgî AF inagdllnlag à xazà zô B ëanpaüovoa zâg zaô 6980-

1. nazi du! BO-af BI” lin. 2 suppleui; am. F, nul .5. 42 - nazi. zain am. F lacuna post 8H relicta; cart. cd. vsil. 8. Hinc propasitionum mimeras 0m. F, sed initia petlineolam transuersam in mg. ductam designat. 9. tpljpu F ;cart. Torellius. 13. et; addidi; am. F, unlga. 16. évé-loyov] uncis inclusit ed. asil.; am. Torellius. 17. si: mlzqî] scripsi; non zo F, nulgo. ng A] scripsi; tu A F, m1130;fort. zâ A11 18. nagé] non F; corr. A. 20. «un F;cart. Torellius.

QUADRATURA PARABOLAE. 303enim demonstratum estl) [prop. 3]. erit igitur

BF: B1 a: BF’ : B6’.’)

quare lineae B1", Bâ, B1 proportionales sunt’); quamerit BF: Bfl a: F0 : ÛIÉ) erit igitur

F4 : 42 a: oz : (911.5)sed 4A z 41”. adparet igitur, esse

44:4Z:ZÛ:âH.V.

Sit 4B1" segmentum linea. recta et sectione conirectanguli comprehensum, et ducatur a puncto A dia-metro parallela linea ZA, et a F linea FZ sectionemconi in puncta I’ contingens. iam si linea. aliqua.in triangula ZAI’1 lineae AZ parallela. ducitur, in ea-dem ratione et linea. ducta a sectione coni rectanguliet 41’ a ducta linea secabitur; et pars lineae 41” adA sita respondebit parti ductae lineae ad .4 situe.

ducatur enim linea aliqua 4E lineae A Z parallela,et primum linea 4E lineam AF in duas partes ae-quales secet. iam quoniam ABÏ1 sectio est coni rect-anguli, et B4 diametro parallela, et A4 a: 41”, eritlinea in puncto B sectionem coni rectanguli contingens

1) Sa. a prioribus, il! zoi’c anuitai: «toastois; neque enimin prop. 3 demonstratum est. debuit esse 44’ : KH’, sed14 - 4P.2) Nain B4 : 3K:- BP: 31 (Eucl. v1, 2) et

41’: KHa- 41’; Z4:-BP: Be,

quia. B4 à: 28 (Eucl. V1, 2). -8) H. e. BF: 30 - BO:BI(Euc1. V def. 10).4) 5114111025, omôévu, Évalué ex ET: 30 - Be : BI.

5) Nam BI”: B9 :- F4 : 42, quia Bd * 92, etF9:01-8Z:ÛH,quia HI a: 41” (Eucl. V], 2).

304 TETPAPSZNIEMOE HAPABOAHZ.yawz’ov mémo zapâg. nabi") gazai naaà zàv ôiépszpôv

Ësz à 4E, ami vina zaû F à FE limai âniwmîavaazâç zoü 6930701121011 nival: zapâ;

xazà zô F, à 6è 41’ naadünioç

5 a? nazi: zô B ëniwavoüaqz, [sas’aziv à EB zg’î B4. «San tin

aüzôv 515L 167011 à 44 nazi mir

4T, 31) à 4B nazi zàv BE. si(bic! 015v 61:10: zipper. à 021mmzàv 41’, ôsôsi’zztu’ si ôi paf. 5100

zig 51’114! à K4 nüpà zàv 41.ôsmzê’av 01511, Su ziw miton 51s:

10’701: à 4K nazi zàv K1", Bilé

K0 nazi zain; E4. ênsi fixa (auËaziv à BE zqî B4, l’au êazi ami

à 14 zig? K1. zôv aôzôv 5590: 1.67011 515i à K4 amizàv K1, 31) à 41” nazi zàv 44. 515L ôi nui à Klzotî

zàv K9 zôv aôzôv 1.67011, du à 44 nazi zàv 4K.ôsôu’nzai 7&9 à; a); npôzeaov. «5m zôv «613w 1.6707

20 Ëzai â KQ nazi zôw 94, 311 à 4K nazi zdv KIÎôsôaz’nzai 06v zô ngazsôs’v.

Z

10

.1

154K4K r

lg .

Nosi’aôœ à) zô zs [.36sz za’] à! zq? 3501942; azoo- 1

wigwam! [ôgaiywav] éninsôav 69061: nazi zàv 691:0er i25 nui zig 4B ygapyâg [Encan] zà [Liv fini zà (n’ai ré

4 min) 1205161907, zà ôi ëni même: 31103. zô ôi BAT

zgiyawav 56sz 60907de01! 6906:1) 510v zàv nazi rêB y07111011! :xai zôw BF nlsvpàv l’ovni ra? vinifiait; 101:

13. nia! KP] me: (camp) K P F; con. Torellius. l4. t".F; cart. Torellius, ut lin. 15. 16. à KA] am. F; con: To-

QUADRATUBA PARABOLAE. 305

lineae 41’ parallelaf) rursus quoniam linea 4E dia-metro parallela est, et a puncto F linea FE ducta estsectionem coni rectanguli in I’ contingeus, et linea41’ lineae in puncto B contingenti parallela est, erit

EB a B4 [prop. 2]. quate 44: 4P: 4B : BE.si igitur ducta linea lineam 41” in dues pattes aequavles diuidit, demonstratum est propositum. si minus,alia linea K4 lineae 42 parallela ducatur. demon-sttandum igitur, esse 4K :KI’:K9:64. nam quo-niam BE a: B4, erit -etiam 14 a: XI?) itaque

K4:KI::4F:44.uerum etiam KI:K("):44:4K. hoc enim in prao-cedenti [propositione] demonstratum ests) quare eritK6 : Û4 a: 4K : K1?) itague constat propositum.

VI.

Fingatut iam planum, quad sub coulis est, ad horizon-tem petpendiculare, et quae in endem parte lineae 4Bsunt, in qua est punctum 4, infra esse fingantut, quaein altera, supra. et B 41” triangulus sit rectangulusangulum ad B positum rectum habens et latus B F

1) U. prap. 1 b.2) Zeitscht. f. Math, hist. Abth. X-XIV p. 178 nr. 3.3) Ex prop. 4 erit KI: I8 :- 44 : K4; tum a. Eucl. V,

19 minutant.4) ôi’ l’eau (Eucl. V, 22) K4 : K9 - 41": 4K; tum dis-

lôni et ciminalw.

telline. 19. Past naôzzoov addit Torellius: et; âge: à K 8nazi zàv K4, «in»; à 4K nazi zain 41’. San] ma F; cart.Torellius. 23. dû] scripsi; de F, nulga. êazw ra] delea.1:11 F; cart. Torellius. 24. 60614127014] delco. 26. and] ôtéNiuius; nazi ôtai Ian. Ënuza] deleo. 26. mima] une: F.27. 090m! F; cart. Torellius. r93] scripsi; tu F, uulga; zoTorellius.

Archlmedes, ad. Heibetg. Il. 20

10

20

25

306 TETPAILQNIEMOZ musons.:0705 [ôvnÂovo’zL long 0’561]; zig 4B zfi BI’]. 20514000

ôi zô zai’yawov à: zain B, F capelan, mandatiez) ô)osai 55’110 1439501; zô Z à: zoü êze’pov 415’950; zoô C0706

and zô 4, ami taoaganu’zoa zô Z xœçz’av and zô A

nçsgiaiywov zç5 B41" zgiyaimp oÜzmç Ëzasz, ais 0137

mima. «papi (M, zô Z 142195012 zaü B411 zgiym’vov(11909 zaL’zov siam).

ênei 7419 dnaueizau. iaogpone’œv ô Çvyag, du mut i

4P wapiti; nuaà zôv ôatÇavza, au? 6è noz’ 6084i;àyopa’vaazç? 4T à! zçî 691995 ËnLnb’ôcp nazi zôz 604’-

A 3 1* r gaina «(mâtai énumér-zaL Ëni zôv 695mm.zszydarfim 61) à Br790151516: nazà zô E 05-

zœg, (Sons dinlaaz’ova

511m! zàv TE zâg E8.

A ami 55’130!) nugà zàv 48à K E, mi zszpéaflm ôi’za zani zô 0. zaô dû BATzgiyœ’vav xëvzçav [3029569 am zô 0 60511817011. 6565i:-

zau 7&9 zoôzo à: zotg anxavmoî’g. si na 015v 1:05 B4I’

zpiyaivav à niai uazà zà B, F anémiais lvôfi, and diza E noeyaaôfi, pénal. zô zQi’yœvov, à; 1217m fla.Êxaazav 7&0 zaîv apanageaient), 32 015 capelai) au: zam-azaâfi, pâma, (son xazà uoîôszov siam! zô zs dupera?zoô nasaaazaü mi zà xe’vzaov zoü 611’950; zaô nargui-

pis’vov. ôsôeixzai 7&9 nazi zoôza. Ënêi 013v zàv catin!

1. JnIowôzL- BI’] deleo. 2. «miston: F; corr. Toreliim.3. argons F, uulgo. 5. sont F; cor-r. Torellius. 7. sans parcamp. F; cart. Torellius. 8. 10090011001! F, uulgo. si?) a]scripsi; enim F, en au nulgo; facettai ’l’orellius cum B. 9.nuqà raz ôatÇonu, aï] «azor cartonna F; cart. Torellius.11. unifierai; F; cart. ed. Basil. 13. zszpnaôm F; cart. To-

--’QUADRATURA PARABOLAE. 307

dîmidiae librae aequale. suspendatut autem triangulusex panctis B, 1", et in altera. patte librae aliud spa-tinm Z ex puncta 4 suspendatur, et spatium Z ex 4suspensum cum triangulo B41" ita se habenti, utinunc positus est, aequilibritatem semet. dico igitur,spatium Z tertiam pattern esse trianguli B41".

nain quoniam suppositum est libram aequilibrita-tem semate, linea 41" horizonti parallela. erit, et lineaead 41" perpendiculares in plana ad horizontem pet-pendiculari ductae, ad harizantem perpendicularestirant?) secetut igitut linea B1" in puncto E ita, utait 1"E : 2EB, et ducatur linea KE lineae 4B par-Allela, et in puncto Û in duas pattes aequales sece-fur. itaque punctum 0 trianguli B41" centtum gra-uitatis est. hoc enim in mechanicis demonstratumest [ënLneâ [6099. I, 141)) iam si trianguli B41" ex.punctis B, 1" suspendium’soluitur, et ex E suspendit-ut,

ilrisngnlus manet, ut nunc se habet. nam omnia sus-ipensa, in .quocunque puncto posita sunt, ita manent,Exit punctum suspendii et centrum grauitatis suspensiin perpendiculari posita sint. nam hoc quoque de-monstratum est.°) quoniam iigitur triangulus B1"4

1) Nam linea 4P ei lineae, in qua plannm perpendiculatebornantem secat, parallela erit (Eucl. XI, 16); quate lineaeId A!” arpendiculates etiam ad illam lineam perpendicularesmut uel. I, 29). tum u. Eucl. XI def. 4.

2) Cfr. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 179 nr. 6.3) Sine dubio in libro næai goyot-w; Quaest. Aral]. p. 32.

I lus, ut lin. 18. 19. fiançons F, nulgo, ut lin. 25. 21. à]F; cart. Torellius. 10W] scripsi; 11:02:17 F, uulgo. 22.nanar F; cart. A. 23. onusien F; cart. Torellius. ne:tldtaoü] scripsi; nazaazaîhv F, unlgo. 26. 7024:] scripsi;

F, uuigo.

20*

308 TETPAI’QNIXMOE IIAPABOAHE.

En 141111611!le zô BI"4 zpiynwov nazi zôv gavé[saponifiez ôpoiæg zô Z 10291500. ênsi 6è [dopan’a-vu zô pita Z 19515414115110? and zô 4, zô 6è B4and zô E, 651.011, «5g dwznënavôs zaiîg pointeau), a:

5 s’a’zw, 6g à 4B nazi zàv BE, afizœç zô B141" z;

7m01: nazi zô Z zmalov. zarzuela 6è à 4B zâç B.mi zô B41" d’au 1963:va zainiaïduiv éon 10171439101).

(pavanât! ai [du] and, et au: zptnlaîaiav zô B410 zçiymov zaô Z papion, au iaappanfiasz.

Ë,-

"Eazm 1021:1: :0763 à 41" yçamui, 515’601: 6è «and

fait zô B, ami 1951502630) mû zô B [zô F411 zpyawov]. «à ôi1"4H Enta zaL’yœvav &pfilvyaimav fie

15 div phi E101: zain 4H, 511109 6è zàv tout) évidai! zfiguriste: zoé guyot"). mi 1955141630 zô 41"H zai’yœvo

à: zaîv B, I." dupaimv, zô 6è Z 1009501: acoquineraand zô 4 iaapponiç fana :95 1"4H zpzyaîmp 05m

4. -3 F 5101m, à; 1161; naira.20 épatais dt) ôsizâqae’zai 1

Z 10015011 zgtfzav p.500

Z zaô 1"4H zaiyaivav.A magnicide: gaie a auxA duo 10195011 à: zaô

25 zpc’zav pipa; s’ôv zoé B1"H zaiyœ’vav. Baoaaontjau

zô B41" zac’yawov «,5 ZA. étai 015v zô pin: BI" H r

h 2. thmt F; cart. Torellius. 9. 3m] delco.au] pet camp. F; ôpolaç Torellius. 12. yqappn F; cart.rallias. cm; F; cart. Torellius. 13. zô F411 1911,07.deleo. 15. ego cum camp. a, F. zain BI’ (au N17. caneton F; cart. Torellius. 18. lGGDQQouEç F. :95] 1°

QUADRATURA PARABOLAE. 309eandem positionem habebit ad libram, ut antes. [cumeo] aequilibritatem semabit spatium Z. et quoniamspatium Z ex A suspensnm et triangulus BAI’ ex Esuspensus aequilibritatem semant, adparet, en. in con-traria longitudinum proportione esse [ému 36099. I,6-7], et esse BAF:Z a ABzBE. sed AB :BBE.quare etiam BAT: 3Z.

et manifestum est etiam, si triangulus BAI" triplamaior sit spatio Z, aequilibritatem ea seruatura esse.

V11.

Rursus linea AF libre. ait, et medium eius sit B,et ex B suspendaturf) FAH autem triangulus sitobtusiangulus basim habens lineam AH, altitudinemuero lineam dimidiae librae aequalem. et triangulusAFH ex punctis B, F suspendatur, spatium Z autemex A suspensum cum triangulo FAH ita. se habenti,ut nunc positus est, aequilibritatem semet. iam eo-dem modo demonstrabimus, spatium Z tertiam par-tem esse trianguli FAH.

suspendatur enim etiam aliud spatium [A] expuncto A, quod tertia pars sit trianguli BI’H. ita-que triangulus B AI" cum spatio Z -I- A aequilibrita-tem seruabit?) iam quoniam triangulus BI’H cum

1) Se. libra; cfr. prop. 8. nam triangulus FAH non ex B,sed ex B et I” suspenditur (lin. 17).

2) Nam suppositnm est, Z et PAH aequilibritatem samare,et ex prop. 6, b A et B H I’ aequilibritatem semant. bine autemhoc quoque sequitur, esse BAF a 3 (Z 4- A) (prop. 6).

20. M] scripsi; de F, nulgo. 24. une: F. 1009501! tô ANiuins. 25. M] scripsi; de F, vulgo.

x

310 TETPAPQNIEMOE HAPABOAHZ.

www É609907t5t :93 A, rô 6è BFA r95 ZA, aux! 19.10v fait 1:06 BI’A 16 ZA, 9211115967, 51:1. un! 1:6 F4119i7œvov thfiÂDÎGLOII 105 Z.

In .5 ”E61:co :0769 ô AF, 95’601! 6è 0:15:01") t6 B, ml 9:98

(1.02630) and: 1:6 B, rô dt FAE 1:9L’yawov ô9ôoyoîwo.

69196:1; 510v du: and 1:95 E yawlav, ml amplifiât» à1:06 C0706 scat-tôt rôt F, E, du 6è Z zœ9fov magnifiât): nom

rô A, aux), 56099onsz’rm 1:95 [ME 051œg 5101m, 1159 vin

10 mima. 31! 6è 2.67011 515L à AB «01270211 BE, 170’510!

fixent) tô FAE r9lyawov n01! 16 K 10395011. (papi 65rô Z zœ9c’o’u 1:05 (th; FAE r9tyœ’vov Élaadov sigma

1:05 6è K gallon.laléœôœ 7&9 rot"; AEF 19Lya5vov rô 94151119011 roi

15 J 3 E I 17 fié9eog, and 561:0) r6 0,aux), à 0H 54’181» 2:42:93!

V 1&1; A E. étal 013v i609-9oneï tô FAE z9z’yœvov

Z r93 Z 11119591, 16v «616v2o A I 5st 1671012 16 FAE 1m-

9lfov un! t6 Z, 31: àAB une) tôw BH. (son 514166611 éon rô Z mû FAE.au), faire), 1:6 FA E t9L’7nwov azor! peu 16 Z toôtov5st 1:61; 1672012, 31: à BA and ràv BH, 11:01:! se 16K,-

25 31) à BA 11:01:), du; BE, 6172.01), 059 41.51.2090: lâyov 5154

tô FAE r9z’yœvov 101:1 16 K fi 2101:2 zô Z. 15618

gamin écu 16 Z toi) K.

1. A] A F; con. Torellius. 2. 24] 2,4 FV. a: 41"]AB F; con. RiuaItus. usuçepafiôm F. 6. dé] add1d1(".

QUADRATURA PARAB OLAE. 3 1 l

spatio A, et triangulus BFA cum Z -f- A aequilibri-idem semat, et tertia. pars est trianguli BAT spa-tinm Z -I- A [et trianguli BHI’ spatium A]1), mani-festum est, triangulum FAH tripla maiorem essespatio Z.

V111.

Libra. sit A11, et medium eius punctum B, et expuncto B suspendatur, FAE autem triangulus sitrectangulus anguîum ad E positum rectum habens,et in libre ex punctis I”, E suspendatur, et spatiumZ ex A suspendatur et cum FAE ita. se habenti, utnunc positus est, aequilibritatem seruet. et sit

AB:BE:FAE:K.dico igitur, spatium Z minus esse triangule FAEmains autem spatio K.

sumatur enim trianguli JET centrum grauitatiset sit Ü [p. 306, 18], et ducatur 0H lineae 4E par-allela. iam quoniam triangulus FA E cum spatio Zaequilibritatem seruat, erit

FAE: Z : AB : BH [&th [6099. I, 6-7].quare Z x FAE. et quoniam est

FA E : Z z B11 : BHet FAE : K z BA : B E [ex hypothesi], adparet, esse

l FdEanI’AE:Z. quare le K [Eucl. V, 10]. c

1) Fortune lin. 2 aèdendum est: 1:05 6è BFH 1:6 A.

p. 309 not. 1); 0m. F, nulgo. 7. 193] scripsi; un! F, unlgo;t6 Torellius. 24. 515L] azor F; corr. Ien.

312 TETPAI’QNIXHOE HAPABOÀHE.

0’.

"E6101 115021.11! t6 phi AF çôyaov, 116’601! 62 1261013

tô B, 10 6è FAK 159131011101: âpfllvynîvwv péan; ph!

5101: 176w 4K, 171109 ôë du: En nul xpeguidôm à

SA pl proôçvyoômàtànfiI :0 6è Z 1019101! upspéctôo

mû 10 A 11111 [60990-1:56:01 11,5 AFK nursing)051019 flafla, à; 111311 m’-

10 Z A un. 31! 13è 167w 516111J AB «01:2 156w B E, 1015107

êxe’ra) tô FAK 19011111011 nov! zô A. 91111.11, 01) :0 Z

101-1 ph; A 1151201; 5511511, m1") as AFK 5110166011.

0511311651011. 611.0501; 1:95 11:96:59ov.

I

15 1. ."E6101 «021w 10 peu ABI’ (15711011, aux). 115’601: 1:13:01?

rô B, 16 6è BAHK tanE’ËLO’U rôts ph: «et! rot; B.H 6011161301; 7101115019 699319 510v, 1&1: ôè K A 115091719

371:1 nô F 115150116011). aux! 311 fixez. 116701! à Bd and

20 ràv BH, minou 515m1 1:6 BAKH t9a1te’twv and16 A. 1198110261301 6è zô BAHK 19111521012 à: 1’013

guyoô une? tà B, H 601mm, 119511026301 6è aux! t6 Z1019m1! muât t0 A 110d i609901reo’1m 195 BAKH 1911.11:15:59) 051019 5101m, 05g 121311 ûnoxu’zm. (papal r0 Z

2510195011 511166011 5111.81) 1:01? A.

1815110261903 7&9 à AF xarà r6 E 0171m9, 156w 31!5151. 10’701) à 61110161511 1&9 dB mû à KH 11:01! du!

61110165111) aïs K H and tàv Bd, tOÜtO’U Ëzsw tàv EH

4. 11511951406301 F; corr. A. .6. 15119511116801 F; con. AB.

QUADRATURA PARABOLAE. 31.3

1X.

Rursus sit AI’ libra, et medium eius punctum B,et triangulus FAX obtusiangulus lbasim habens 4K,altitudinem autem EP; et in libra. ex 1”, E suspen-datnr. Z autem spatium ex A suspendatur et cumtriangulo AFK ita se habenti, ut nunc positus est,aequilibritatem seruet. et sit FA K : A :- AB : BE.dico igitur, spatium Z mains esse spatio A, minusautem triangulo AFK.

demonstrabitur eodem modo, quo praecedens pro-

positie. IX.

Rursus sit ABF libre, et medium eius pnnctum B,et BAHK trapezium angulos ad puncta B, H positosrectos habens et latus K A ad F uergens. et sit

BAKH: A: BA : BH.et trapezium BAHK in libre. ex punctis B, H sus-pendatur, et etiam spatium Z ex A suspendatur etmm trapezio B4 K H ita se habenti, ut nunc positumest, aequilibritatem semet. dico, spatium Z minusesse spatio A.

secetur enim linea. AIv in puncto E ita, ut sit2AB-I-KH:2KH-I-BA:EH:BE,

8. AEK F; corr. Torellius. 17. rganstezov F, nulgo; et haecforma F in hoc libre semper praebet. 18. 017115101; F; con.menus 2. 21. A langiez: Torellius. 11511959120001 F, uulgo.22. toi B, H 6111451701] scripsi; 1m11 B, H capelan: F, uulgo."19511001210 F, qugo. 24. 11111111 F; corr. Torellius. 26.1511190001 F; eorr. Torellins, ut p. 314 lin. 2. 27. 1719 F;torr. Torellius. 28. 10212] (prius) scripsi; me F, nulgo; 1&9gorçiillius. 515w] 011 axez. F (07 supra. son manu 1); com ed.

au. .

314 TETPAPQNIEMOE IIAPABOAHE.nazi 113111 BE, 11011. 6161 :017 E «01901 1:11:11 Bd 01185156

à EN 151110161901 61’101 1101161 :6 0. 1017 613 BAH.r90m:5Ç1.’ov 1151119011 5611 1017 5029509 t6 0. 6565151111

A B 11 E117 7&9 101310 511 rots 11.1111:11111013. fiv 0611 16 BAHJ190171521011 11011:6 11.511 t6 .

119511016317, &1116 66 1:11.511 1

H 601115150111 Àvôfi, 1151151. 1:6

0115113111 51011 1101101611261

616 1:01 01131:6 rots 71:96159011, 1101?. l609901t5ï 1:15 1’

10195121. 31151. 01111 5609901t51’7 16 BAHK 1090111551011 111m

16 E 11950010511011 1:05 Z 10191591 1100001 16 A 11951001115319:

5’6651’1011, 053 à B11 11:01), 10111 BE, 1:6 BAHK 1:91:015’

15 C1011 and 16 Z 10195011. 11151201101 0611 161011 ë151. 11

BAHK 190111521011 710:1. 16 Z 11’159 75011 :6 A, 51:51nul à AB 7101:1 10111 BE 1151201112 1.67011 5151. 15:11:59 11011

10111 BH. 1561:5 510166011 5665111011. 16 Z :017 A.

1.01 .

20 "E6000 100111111 16 11.611 AF Çüy1011, 11011 11.56011 0113105

A 3 9E 17 16 B, r6 ôè KATP 1911-. 11521011 56:01 101g 11.1511 K A,

TP «15119819 51011 5’112 16

F 115110116019, 0131; 6è dB

K T umfie’tovg 511:2 101v

BI’, 11011.61 4P 311:1 16 B

P tannâtes. 311 66 1.670?5151 à AB 11’011 10111 BH, zoôtov 15155101 16 AKTP

3. 13019003 F, 1111110. 8. 61114510111 F; con. Torellius. 1091]scripsî; 7.085117 F, nu go. 9. 21011101 F. 11. 101199011111’] scnpâlî


et linea. EN per E ducta lineae B41 parallela in puncto0 in duas partes aequales secetur. itaque trapeziiBAH K centrum grauitatia est a. hoc enim in mechta-nieis demonstratum est (Eaux. 36099. I, 15]. si igiturtrapezium BAH K ex puncto E suspenditur, ex B, Hautem punctis soluitur, manet eaudem positionem ha-bens propter eadem, quae supral), et cum spatio Zaequilibritatem semat. iam quoniam trapezium BAHKex E suspensum cum spatio Z ex A suspenso acqui-Îibritatem seruat, erit B11 : BE a: BAHK : Z [émut16099. I, 6-7]. quare BAHK: Z Z BAHK:11, quia.etiam AB : BE Z AB: EH?) quare Z ( A [Eucl.V, 10].

XI.

Rursus ait AI’ libra, et medium eius punctum B,et K4 TP trapezium sit latere. KA, TP ad punctumF uergentia. habens, latera autem 4P, K T ad BFperpendicularia, et AP in B cadat. praeterea sit

’ AB:BH:AKTP:A,1) Prop. 6 p. 306, 23.2) Nam BEA( BH.

maçonna) F, qugo; laoqçomjau ed. Basi1., Torellius. 15.peigna 013v] scripai; peut (cum comp. av) on: F; miton: 0D;(letton; 59a nulgo. a; cum camp. ou! F; corr. AB. 16.tommy F. 18. unau par comp. F, uulgo. 26. n F; corr.Torellius.

316 TETPAmNIzmoz IIAPABOAHE.19415152101: 1101?. 16 A. 16 66 4K TP 1çaxs’twv x9541.056190) à: 105 :0705 zani 1è B, H aux). 16 Z aux-1616 A, ml 66090021545100 16 Z 195 AKPT musâfç0514.09 4510011., 05; 1251! mima. 6540m; à?) 10:79 2196-

5 159011 651131166101 gluant! 16 Z 1100601! 106 A.

Lfl .

ZE6107 xa’Âw 16 0612 AF Çüytov, 06’601! 6è 0:61:01?

16 B, 16 6è AEKH tgazs’gzov 50101 1&9 ph: 1101i 10475

E, H empalois glandas 6906; 510v, 169 6è K4, EH10 nappât; 7101Z 16 F 115001560592 and 30 ph: 1167011 Élu

à AB 21011. 10311 BH, 1051011 4515103 16 AKEH 10a-ms’ÇLou 71011. 16 M, 31: 66 1167011 5151. à AB 11011 1&1;

BE, 1013101! 160 lôyov (518’101 16 4K EH 10411182101

I B , 1101616 A. 195002000215 A Il I lrôè 16 AKEH 10a-

ne’va in 1013 :0706

0 K zani 16: E, H, 16Z E 66 Z 10095011 ups-1’ miam: x4116 16 A,

2o anal 6609901151510) 193M manette) 051m; 51011-4 l 1L, 059 12171: 15mi-

1aL. papi M] 16 Z 106 0:51: A paîtov cipal, 105 66M 51.060012.

25 5104301 7&9 105 AK EH 1çamsçc’ov 16 xs’wgov 10:7fléçsog, 561m 66 16 Û’ laœlîhzde’nu ôè ôyoz’œg 193 106-

1590110 aux), 570) 1&1! 6U 710596: 16W JE. 511 061! 16100511524012 à: 105 C0705 4105000317 9m16: 16 I, «i216 ü

11511 E, H 101917, 0512517 ràv 05131611 flou xa10201a0w

1. usugæyaaôm F, 1111130. 3. 16 Z] 10) Z F; con. B. 9.


et trepezium 41K TP in libre. ex B, H euspendaturet Z ex A, et Z epatium cum trapezio AKPT ita sehabenti, ut nunc positum est, aequilibritatem carnet.eodem igitur mode, quo in praecedentibus propositio-nibus, demonstrabitur Z ( A.

XII.

Rursus sit AI" libra, medium autem eius punctumB, et AEKH trapezium ait angulos ad puncta. E, Hpositos rectos habens et lineas K4 EH ad punctumF uergentes. et sitABzBH:zIKEH:M et ABzBEHAKEHzA.et trapezium A K EH in libra ex punctis E, H suspen-datur, Z autem spatium ex A suspendatur, et cumtrapezio ita se habenti ut nunc positum est, aequili-britatem seruet. dico igitur esse M x Z x A.

sumpsi enim trapezii AKEH centrum grauitatis,et ait 8; sumetur autem eodem modo, quo supra.

6 [p. 306, 18]; et duco 691 lineae 4E parallelam. siigitur trapezium in libra ex puncto I :suspenditur etex punctis E, H soluitur, manebit eandem positionem

0110.5ng F; cou. Torellius. 14. usngepaoflm F, uulgo. 18.upspoiaôœ] scripsi; euugspuoôœ F, 110130; xexgspdafiœ Torel-lins. 26. papous F, uulgo. lnqfifnoemz F; com Torellius.28. uçegmoôfi] scripsi; 31050008110510; F, uulgo.

31 8 TETPAPQNIEMOE IIAPABOAHE.and 360900:1n’6sl. 195 Z 606: 1è 01316: 10:79 1196159011-

5115?. 66 [600907155 16 194171521011 maudyevov «0:16: 16 I1,6 Z 11955060641197 muât 16 A, 1611 «6161 5E5; 116701!16 1000161101: 11011 16 Z, 611 à dB 2101?. 16m BI. 61’1-

5 .1011 06v, 51L 16 A K EH 7101?. 5061: 16 A 5051550110: lôyov

fixer. fi 11012 16 Z, 2101?, 66 16 M 6102660110: fi 11011 16 Z.05’615 16 Z 105 0611 A patch: 6’610, 105 6ÈM 52.666011.

1.7 .

"E6100 21022.01; 16 p.611 AP Çüywv, 114x16: 05’601; 6è

10 0131013 16 B, 16 635 K A TP 10001551011, (5618 169 061JK A, TP nlsvçàg 115120156019 550.511 ënl 16 F, 16g 639AT, K P 310095510129 Ënî 16W B1". 919800261902 61: à: 1013

507015 x0516: 1è E, H, 16 6è Z exceptai: 91980026303 x6161

16 A ml (609901155103 105 AK TP managiez 05107;15 53501211, 059 11611 90551051.. nul 61: p.61; 5181. 16701; à AB

2101?. 1611 B E, 10131011 515’161 16 41K TP 10001111012 21011

16 A 1030501), 611 63s 1.67011 au âHAB 1101?. 10h; BH,1051011 êzs’uo 16 00616 1pam’ÇLov 11011 16 M 6540!ch

6è 105 1106159011 65Lzm9n68’1w. 16 Z 105.11.31: A 0.51200,

20 1013 66 A! ËÂaGGOII.

16’.

"E6100 100mo: 16 BQF 21501516051101; 6:16 51519515419 aux!

601907011500 215051100 101169. 56140 66 11905101 à BI’ 7101’

1. 19;] 10: F; con. AB. 2. 36099011517] -e:. in mura F;6. A] A V. 7. page cum comp. 00 F. 9. x0102] sa! tuTorellius. 13. H] 0m. F. numerum» F, vulgo. 22.11mm: F; corr. Torellius. 23. nor’] 1:00; par camp. F; con.Torellius (1101!).

QUADRA TUBA PARABOLAE. 319

habens et cum Z aequilibritatem semabit propter ea-dem, quae supra. [prop. 6 p. 306, 23]. et quoniamtrapezium ex I suspensum cum Z ex A suspensoaequilibritatem semat, erit A K EH : Z : AB : BI.adparet igitur, esse AKEH: A Z AKEH: Z et a

AKEH : M( AKEH : 2.1)quare erit [Eucl. V, 10] M Z ZZ A.

X111. ,Rursus sit A1" libra, et in media. en positum punc-tum B, et K41 TP trapezium eiusmodi, ut latera K A,TP ad F uergant, latere. autem AT, K P ad BF per-

pendicularia sint. suspendatur autem in libra ex punctisE, H, et spatium Z ex A suspendatur et cum tra-pezio AK TP ita se habenti, ut nunc positum est,aequilibritatem seruet; et sit AB : BE : AKTPzA,et AB : BH ---- 4K TP: M éodem igitur mode, quosupra, demonstrabitur esse M Z Z Z A.

XIV.

Sit BQI’ segmentum linea. recta et sectione conirectanguli comprehensum. prius igitur BI’ ad diama-

1) Quia. BHZ 131Z BE.

1K.

10

15

20

25

320 TETPAPQNIEMOE HAPABOAHE.ôpôàg 19’? ôtagérqç), aux), 5210m 4616 ph) 1017 B dapa’ov

à Bd 210106 16v ôcoîysmov, 02116 à 1017 F à FAémapaüovad 1&9 106 2061101: 1041129 M16 16 F. écui-1a1 611 16 BFA 19570311011 ôpboyaîmov. ôzypfio’ôm JE

à BF ès Ida 14102M101 61100010511 1è BE, EZ, ZB.HI, I F, aux), àzô 1&1; 10pâv 67100064212 impôt 16v ôté-

[18179011 aï E2, ZT. HT, I3, «i116 6è 10511 camion.xœô’ 52 1épvov11, «1510:2 143w 105 31061101; 10min, 5’16-

(3515190260111 ënî 16 F nul ëuflsfiln’dôœfiav. (papi M) 16

101.7431201; 16 BAI" 145v 41611 manetz’œv 14511 K E, Al.

MH, NI and 106 EIF 101705901! 52.420001 sipevi1012110261011, 10511 66 190516:50:11 1031i ZÇD, H9, I Il tu!105 I 01” 1917iaîvov païëôv êo’1w fi 1011110261011.

6102190: 7&9 5619511: à ABI’, and énolsléqpômâ

AB [au 1g? BI’, ml 110556010 5157101! 16 AI’, (18’607

66 016105 366551411 16 B, aux), xçaguiaôœ à: 1013 B. ne!»

1402600) 66 and 16 BAI" à: 105 tvyoô and: 16 B, F.à): 6è 1017 fimëpov 11511509 105 mm; xçsydo’bm 1è P.

X, Il”, .52, 4 10391541 910116; 16 A. and [600901151101 15

p.61; P 10095011 195 JE 1pa215ÇL’go 051109 5101m, 16 JE

X 14,5 227 10ansëûp, 16 66 a11’ 195 TH, 16 6è .52 155

TI, 16 66 4 193 EIF 1917161190. 131009016651 à?) ni16 310v 14,5 82.92. (5615 1911110261011 6212 du 16 BAT10157031012 105 P1015124 loupiot). and âne! 361w 1515444

16 BI’â, 3 flEQLExë’flu 15116 15 613856019 nul 69807M111?

4. dé] scripsi; on F, nulgo. 5. [ou] scripsi; tu F, unlgo:16 mépam (au Nizzius. amputa: F; corr. Torellius. 6-IF] 0m. F; com Nizziua. me tapon; (a: bis par comp.) F:con. Torellius. 8. zzpwouow F, nulgo. 1m! . . tout F;corr. Torellius. 9. bd] scripsi; mm: F, unlgo. 14. ôt-1110m F; corr. Torellius. 1) AFB F; à F8 Taramas; il)!A, cd. Basil.; cou. BC D. 18. puma; F, unlgo. 19. .31


tram perpendicularis sit, et ducatur a puncto B dia-metro parallela. linea Bd, et a F linea FA sectionemconi in puncto I’ contingens. erit igitur BFA trian-gulus rectangulusf) diuidatur autem BF in partesaequales quotlibet BE, EZ, ZH, HI, I F, et a punctisdiuisionum diametro parallelae ducuntur E2, ZT, H T,15, et a punctis, in quibus eae sectionem coni secant,lineae ducantur ad F et producantur. dico igitur, tri-angulum BAT minorem esse quam triplo maioremtrapeziis KE, AZ, MH, NI cum triangulo [511",maiorem autem quam triplo maiorem trapeziis Z45,Hg, IIT cum triangulo 101".

ducatur enim linea ABI’, et abscindatur AB lineaeBF aequalis, et fingamus, AF libram esse, cuius me-dium erit punctum B, et ex B suspendatur. suspen-datur autem etiam BAT in libre. ex punctis B, I”, etin altera. parte librae ex vpuncto A suspendantur spa-tia P, X, 2P, 52, et aequilibritatem seruet spatiumP cum trapezio 4E ita se habenti, X autem cumtrapezio 22, ’1’ autem cum trapezio TH, sa autemcum trapezio TI, et 54 cum triangulo E1 F. quareetiam totum cum toto aequilibritatem seruabit. itaquetriangulus BAI’ tripla maior erit spatio

P-I-X-I- W-I-Q-I- 4 [prop. 6].et quoniam BI’Q segmentum est linea recta. et coni

1) Quia. BF ad diamètrum perpendicularem esse supposi-tum est; tum u. Eucl. I, 29.

scripsi; A F, uulgo. 20. 510111, à; 1’51 natta; Torellius.22. gr] scripsi; A F, uulgo, ut lin. 24 et in figura. ZIF F.24. 141mm F; com Torellius.

Archimedes, ed. Heiberg. Il. 2l

322 ’IETPArsaNIzMOE IIAPAISOABE.

atrium: 1041629, ml 61116 p51) 101? B 7101902 143w ôzépetpov

ânon à Bd, à916 ôè 105 F à FA ézzwaüowa 1&5101") 51051100 1051629 314116; 16 F, final, 65’ 119 un! au

A BEZIII’

IF I1V

P A yX

3p. TÆ 24 .4214298: 1&1! 610211510011 à 2E, 16v «6161 5’151 167075 1

BI’ 1101i 1&1: BE, 31 à 2E 1101?, 16W Ed). (5015 andà BA mati 161J BE 1611 «131611 5x51. 110’701, 31: 16 JE

194111521011 2101?. 16 KE. 651011029 66 6511817651111 6A3

21011 1&1: BZ 161: 4115161 51501160: 2.67012, au 16 Ilmanitou 71012 16 AZ, 21012 65 1&1 BH, 312 16 TE:1011 16 MH, 11012 66 1&1 BI, 611 16 TI 11011 161W 151151 015v 5’611 100111551011 16 4E 16:9 5161: 1101?. 10133.

E canulais 710125119 691969 5’101), 1&9 ôè 11151196; 51W! 6

F numides, 66009011547 65’ 1L 102915011 «13155 16 Plein

4105415101 à: 105 Çvymîv 210116 16 A 0510); 510010; foi

19an5Çlov, 069 115v 315111115, nui 561w, 059 à Bd 1mz

16m BE, 051m9 16 4E 191221521011 71012 16 K E, p61!"

J

2. muon. F; com Torellius. 8. 510111 F; con. B. 9. Æ


rectanguli sectione comprehensum, et a B diametroparallela ducta, est linea. Bd, a puncto I’ autem linea.FA sectionem coni in F contingens, et alia quoquelinea 2E diametro parallela ducta est, erit

BF: BE: ZEzEd) [prop. 5].quare etiam BA : BE : JE: KE.1) et eodem mododemonstrabitur esse A B : BZ : 22 : AZ et .

ABzBH: TH: ME et AB:BI--- TI:NI.iam quoniam trapezium est AE angulos ad punctaB, E positos rectos habens, latera autem ad F uer-gentia, et spatium aliquod P in libre ex A suspen-sum cum eo ita se habenti, ut nunc positum est,aequilibritatem semat, et est Bd : BE1 41E: KE,

1) Nam BA a: RI" et 41E : KE a 27E: E0; u. Zeitschr.f. Math, hist. Abth. XXIV p. 180 nr. 11. .

AZ F. 10. B1] EH F. 12. ("muets F; corr. Torellius.13. 16 P] 1450 uno ductu F.

21”

324 TETPAmNIzuoz IIAPABOAHE. *61’901 Eddy 16 K E 1m91’0v 1013 P 10395011. 6565131111

76:9 101510. «élu; 66 and 16 ZE 19a115’ç1ov 16:9 p61

21016 10E; Z, E 71001511; 6986:9 6’100, 113w 66 ET 156000w 6’216 16 F, 56099011517 66 0115195 zœ9z’ov 16 X à:

6 105 Çvyoô 11954105515001: 211116 16 A, 0171039 6101m 195

manglier, 06g 1:51: usina, and 361w, 16g 11611 à BA :01216:! BE, 0171009 16 22 191131121011 11016 16 ZÇD, 16966à A B :1016 161v BZ, 01710); 16 22 19a115’çwv 1101216

A Z. et”) 060 me 16 X 1019101! 1017 116v 112 190115:1’0110 5311166011, 1013 66 20 1151011. 65651311011, 7619 01016101310.

6116 161 «616 61) and 16 1P 11091’01! 1013 p61: MH 190-

xæÇL’ov 67.116000, 106 66 6H (tatou, and 16 52 1019m1017 p61: N01 H 190515:1’00 61.126601), 1017 66 III pâton

69.01119 66 and 16 11091’011 1017 516v SI F 1917050016

15 57.066011, 106 66 F10 pâton 32156 06v 16 p61: KE19011152101: pêÎËÔI’ in; 1017 P zœ9iov, 16 66 A Z 106.1".

16 66 MH 105 ’1’", 16 66 NI 1013 52, 16 66 511’101-

ynwov 105 4, (pav59dv, 511 and mima 16 51911961:101911: 51612006 5’611 105 PXEP’SZgI 10191501). 5011162

20 16 PX W94 191’101: 515’903 1017 B F d 191yaîvov. (filer

69a, 511 16 BFA 1947121000 51116661! 361w fi 1941H-o’tov 115v K E. A Z, .HH. NI wasabi! m6 106 En191yœ’vov. 161w 5’156 16 96v 20 19111152401: 51.06661

6’611 1017 X 10191015 16 66 8H 106 11’, 16 66111101:

25 Q, 16 66 IOF 191’yawov 1017 4, 93411159610, 511 lai

suivra 16 519111153111 ëldaaovnï in: 106 452 EP’X 15391601:

(pavægôv 06v. 511 sur? 16 BdF 191701201: 5151611601116 6

3. un F; con. B. 9. 96:] scripsi; au F, nulgo. Il.scripsi; un F, unlgo. l4. 090i»; 66’] scripu; 090m; au R6uulgo. 4] scripsî; J F, nulgo, ut lin. 18, 19, 20, 25. 9°-


erit K E e P. hoc enim demonstratum est [prop. 10].mrsus autem etiam 227 trapezium estl) angulos adZ, E positos rectos habens, et lutas 2T ad F uer-gens, et cum trapezio’) ita se habenti, ut nunc posi-tum est, spafium X in libre. ex A suspensum acqui-libritatem semat, et est B11 : BE : Z2 : ZÇD, etA8: BZ : ZE:AZ. quare erit 112 e Xe Z45.nam hoc quoque demonstratum est [prop. 12]. eademîgitur de causa erit etiam MH e ail?) ÛH, et

N OI H e 52 e HI.et eodem modo etiam En”) fiefIO [prop. 8].iam quoniam est

KEe P, 11sz:; JUIH) 11T, NIeSZ, EIFe 64,manifestum est, etiam omnia spatia i118. maiora essespatio P-I-X-I- W-I-SZrI- sed

P-I- Xe-I- ’F-I- 62-]- 4:4,3121 [prop. 6].adparet igitur, esse

BIBI s 3(KE-I- AZ -I- MH-f- NI -I- En").rursus quoniam est 24: s X, âHs 11’, IHs 62.,lors 4, manifestum est, etiam omnia illa spatiaminora. esse spatio SA -I- .52. -I- 11? -I- X. manifestum I

est igitur, etiam triangulum B AF I-naiorem esse quam

1) Auditur écu lin. 2.2) Ueri simile est, scribendumïesse lin. 5: flanc; 106

19ansgc’ov ut p. 322 lin. 14.

31”41] 4121 F; corr. Nizze. 26. gQIIJ’X] sic F; 452W)!nnlgo.

.10

15

20

l9ç!

326 TETPArszmzmoz IIAPABOAHE.1911111056001: 1031: (DZ, 0H, I H 190010:51:11: ml 1013 IFO

1017:05000, 51016601: 6è fi 101101026101: 1051: moyenna:-

pivœv.

18’.

”E6101 0002111: 10 BÜI’ même: 11000510110901: 13110 ef-

ôu’ag 110d 6919070111101: 1:61:01: 10115:9, à 6è BP p.1) E610

1101’ 69190:3 10? 610111151901. 02101711011701: ôù fi101 1&1: 616

105 B 6011151501: 110196: 1&1: 61021151901: 1571151011: a: 1è

01310; 195 111.0200111, ü 1&1: 02016 1013 F 0211131517011: 1101m

74005011: 1101?, 1&1: BF. 56110 à 1&1: &pfllsïœv 110101360

à 11012 105 B. me). 61’190) 11a0à 1&1: 61021151901: 021101017

B à Bd, ami 02116 1013 F à FA êmdmüovcu 1&9 10171106001: 1011079 1101102 10 F. 110d ômefiaôm à BF sis 111d-

pœ1a i601 67006050131: 1è BE, EZ, ZH, HI, I F, daté ü

1051: E, .Z, H, I 110506: 1&1: 0101101001: 0313006011: aï E2.

ZT, H T, I E, ml 02116 1031: aduslaw, xaâ’ 02 12’000":01151012 1&1: 1013 1105001: 101102v, ënsçeüzôœ6œ1: 6’052 10 F

110d éxfiefllfifiômduv. 0301112 61] ami 1:51: 10 BdI’ 101’-

7001101: 1051: 1101: 190111555021: 1151: 845, AZ, MH, NI110:2 1017 FIE 190705101: 511116601: aîpæv fi madéfiant 1

1151: 6è 2d), H6, III and 1017 FOI 100705901: 06mn

fi 1907110î600v. - s31113813112600) à A B en 80215001. àyayàv 0131: 11028501

1&1: FK 10? FK 1760:1: ànélafioæ: 1&1: AK. 1:051’61901611 0

’ 11021111: Çüytov 1è AI", 111’601: 6è 01131017 10 K, aux! 1106- t

M6000 6’11 1013 K. 110511026001 6è ml 1è FKA 101’-

6. 111mm F; corr. Torellius. ut lin. 9, 13. 7. fifi] scripsi;de F, 1111130. 8. 0171150001: F. 9. 0113102 0m. F; 00ml?11. nous par comp. F; corr. V. 01116 1015 B imine. 14.10] 110:1: F. 16. aï] o F; con. Torellius. 17. smânfiuflF; con. Torellius. l9. 1031: 10251:] 1m par F. MH, 2V]9H, HI F; con. Torellius. 23. 11 F; com Torellius on

J

l

ï

1

QUADRATURA PARABOLAE. 327triplo maiorem trapeziis (DZ, ÛH, I H cum trianguloIP01), minorem autem quam triplo maiorem spatiissupra. nominatis.

XV.

Sit rursus BQI’ segmentum linea. recta et conirectanguli sectione comprehensum, et BF ad diame-trum perpendicularis ne sit. necesse est igitur, eutlineam a puncto B ductam in eandem partem, in queest segmentum, diametro parallelam, sut lineam a I’ductam obtusum angulum cum linea BF facere. lineaigitur obtusum angulum faciens en sit, quae ad B est.et a. puncto B diametro parallela ducatur Bd, et aP linea FA sectionem coni in I’ contingens. et lineaBF in partes aequales quotlibet diuidatur BE, EZZH, HI, I 1”, et a punctis E, Z, H, I diametro par-allelae ducantur E2, ZT, H T, 1E, et a punctis, inquibus eae sectionem coni secant, ad punctum I’ du-cantur [lineae] et producantur. dico igitur, sic quo-que esse 3(BID-I-AZ-I-MH-I-NI-l-FIE)0BAFB3(ZÇD-I-H0-I-III-I-I’OI). ’

producatur dB in alteram partemf) ducta igiturlinea FK perpendiculari posui AK lineae FK aequa-lem. fingamus igitur rursus, libram esse AF, et me-dium eius punctum K, et ex K suspendatur. suspen-datur autem etiam triangulus FKA in dimidia libra.

1) Nana BAT) 3(Ê1 -l- .9. 4- 711-!- X).2) H. e. non in eau: partem, in qua. segmentum est.

addidi; 0m. F, nulgo. 24. 16171 F; con. Torellius. 26. 115-11051101000) F, unlgo.

10

15

20

328 TETPAPQNIEMOE HAPABOAHE.

701707 511 1013 fi11565og 1013 :7705 11011131 101 F, K 5101:.03g 1:57 11511011, 11112. 5x 1013 00115001: 115’050; 106 :1001?

10511016601607. 1101161 16 A 102 P, X, l1”, .9, 1110111.

11012 16 1157 P 193 A E 100115:192 5600001151110 0171101;

510711, 039 751: 11511011, 16 65. X 115 ZZ 101111551111, 16

65 1P 11,5 TH, 16 65 .52 105 TI, 16 65 105 FIE101701700. 5600001111651 61) 11012 16 6’101: 115 6’101. 15611

5117 611: 11012 16 ABF101’700707 101711026107 105 PX 11’524

10105011. 61105019 611 105 110615007 65111911651011 16 15 80

10010152107 1015 P 70301501: 1151107, 11012 16 1151: 6E 10a-n5’Ç107 1151:01: 567 1017 X 7010107, 16 65 ZÇD 51011107,

11112 16 1157 MH 1001115Ç107 11517:07 567 1017 aP 1010100,

16 65 Hâ 51016607, 11012 511 16 1121: NI 1001115601:1151507 567 101? sa 7010100, 16 65 III 51016607, 11111 161157 EIF 1015700707 1151207 1015 SA 70305011, 16 65 FIG

51016607. 615101: 0157 56117, 6’ 5651 6515011.

1s”.

"E6101 1102111: 111011101 16 BQF 11501576115701: 13165136515019 11012 6019070171101: 1105701: 1011079, 11012 511’301 6111

1151: 101") B à Bd 1101001 11311: 61021151007, 02116 651013 F

61 FA 51111011607601 1&9 1013 1116701: 101169 1101111 16 Ï.

1. 7111100119 F uulgo. 2. 11011 addidi; 0m. F, un] . -0000 F, 1111130. ’ 3. 102] 1007 F . 4] scripsî; A F), 011Go(ut in figura et lin, 15). 4. 10’] 101 F, ut lin. 6 (111L), 6 (prias).6. 4,1] F; A uulgo, ut lin. 8. 7. fifi] scripsi; 65 F, unlgo.8. P] O F. 10. P] PX F. 16. 3 5651 6515011] addidi (scrip-tum crut 61’); 0m. F, 1111130; 16 110015851: Torellius. 18. 1111mF; oorr. Torellius. 20. 610111510 (cum comp. on) 07 F.


ex punctis F, K ita se habens, ut nunc positus est,et in altem parte librae ex puncto A suspendantur

A K T spatiaP, la!!!) 62.,, r V 4, et spatlum Pcum trapezio 4Eita se habenti, utnunc positum est,

aequilibritatemseruet, et spatiumX cum trapezio22, et ïP’ cum

TH, et sa cum

; , TI, et 4 cum1M 4 triangulo FIE.quare etiam totumcum toto aequili-

britatem semabit. itaque erit [prop. 7]ABF: 3(P-I-X-I-êF-I-Q-I-ad).

eodem igitur mode, quo supral), demonstrabimus, esseBaieP, âEsxdeÏ, MHe 11’s H8,

NIesze HI, EIFe 4eFIO.itaque adparet id; quad demonstrandum erat.

43’ a

a . a" "av-tasEst-ms

n XVI.

Rursus sit BûI’ segmentum linea recta. et sectioneconi rectanguli comprehensum, et per B ducatur Bd dia-metro parallela, et a F puncto linea FA sectionem coniin F puneto contingens. et spatium Z tertia. pars ait

1) Prop. 14, sed pro propp. 10, 12, 8 usurpandae suntpropp. 11, 13, 9.

330 TETPAPQNŒMOZ mPABOAHE.fait.) 6è 1:06 BAF rpzym’vov 19mn: (18’909 1:6 Z la-plov.’ (papi 6;; 1:6 BÛI’ rpâpa [60v eîpev 195 Z 10919

si yàp mi ëfitw l’ami, fins fiétËâv ëo’tw fi fluctua

56m) à] figé-559011, si ôvvœrôv, peiÇov. à 59a immolé,

a; lônsps’za 16 BFÛ flafla 105 Z zœçiov, amwma’w«été 5111m3? Ëfifiêbl’fllb gazon) 1:01? BFA 191705701). ôzL

vatôv 65’ âme Âafisïv 1:1. xœplfov 51.416601: 1&5 15159015;

3 étréciras (sipo; r05 BAI’ 19141051100. fait.) 61316’BFE rpiymvov 510566611 1:5 1,129 algflpæ’vœç 15159015;

10

16

20

and pégog r06 BAI1 rgzyoôvov. ëo’asinu 6è r6 «été

à BE pégog 1:07; BA. ômçfiaôœ 05v à BA ë; rà (Légal, and 561m tôt 1,1512 ôzabgeo’fmv dupent un? H, I, K.

and 02ml 1:61; H, I, K Gamba) girl 1:6 F sôôez’tu Ë:-eÇeüzôœaave répvowz à?) «ôtai 1:49:11 roi? xm’vov tomba

âne), à FA ëzawatîovaoî 6’sz aérais zani tô F. nul 6d: î

1.1511 Gapsimv, naïf ë 15551410er du! zombi a! EMEIIŒ.521190:60:11 11:42:96: 1&1; ôwîysrgov (Il M (D, NP, :58, 110.

ëaaoüwm 6è «13ml aux). nagé zàv BA. haï, 015v Elaado’v

ËGu t6 BFE tpz’yawov 1529 ônspoxâg, q? 151559515: rô BOF

quipo; r05 Z 1117915011, ôfilov, (:39 rôt dwapçpôreoa f5

1:5 Z 101915012 ml r6 BFE roiymov éliminé Ë?"105 zpâyarog. ml 195 B TE recyaîvço [du si: toa-nétwî in», ôl.’ 05v à roi? unîvov rouât nogeva’wu, à

ME, (15A, (9P, ÛO, and ri) F02 rpiyœvov. r6 p5

2. nugget F; con. Torellius, ut lin. 5. 1:95] 1:0 F. LJeu] addidi; 0m. F, unlgo. 5. BIS] scripsi; BFA F; BOTuulgo. 6. acron par camp. F, nulgo. 8. 67j] scripsi; Je Ennlgo. 12. pëçea] scripsi; (15971 F, nulgo. ôwzqsctm euulgo. mussa F; com Torellius. 13. 1:21 F] tu F5con. Torellius. 511mm F; con. Torellius. 16. "0’ l.0m. F; con. Torellius. 17. H0] no, ut nidetur (potest tu?!legi HO) F; con. Torellius. etiam in figura. F pro O barbe"-19. BOF] ROI F. 20. 111mm F; eorr. Torellins, ut lm. il

QUADRATURA PARABOLAE. 331trianguli BAI”. dico igitur, segmentum BûF aequaleesse spatio Z.

nam si aequale non est, sut mains est aut minus.prias igitur, si fieri potest, mains sit. excessus ig’itur,

a 4M- N il l 17 quo segmentum BFG’ , spatium Z excedit,’ sibi

ipse additus maidr erittriangulo BFA [p. 296,9]. et fieri potest, utsumatur spatium aliquodexcessu minus, quad parssit trianguli BAF. sitig-itur triangulus BFE etexcessu i110 minor etpars trianguli BA F. ea-dem autem pars lineaeBA erit linea. BE [Eucl.VII, l]. diuidatur igiturlinea. B A in partes [ae-quales lineae BE], etpuncta diuisionum sintH,

I, K. et a. punctis I, K ad punctum F lineae ducau-tur. secant igitur sectionem coni, quoniam linea FAeam in puncto F contingit. et per punéta, in qui-bus lineae illae sectionem secant, diametro parallelaeducantur lineae Md), NP, E67, H0. itaque etiamlineae BA parallelae erunt. iam quoniam est

BFE A BÛF e Z,adparet, esse Z-I-BFE ( B6911 triangulo BFE autemaequalia. sunt trapezia, pet quae coni sectio ducta est,ME, (15A, ûP, (sa cum triangulo F027. nam tra-

5

10

15

20

26

332 TETPAmNIzMoz muons.7&9 ME 1pam’Çwv uowôv, 16 66 M11 1’601: 195 (15A

ml 16 113 l’aov 193 8P, aux! 16 X5 mon 193 09, un:16 FXII 1plyœvov 14,5 F02 19Lyœ’vç). 16 à) Z la)play 514166611 561L 14511 19uneÇtfœv 10311 MA, EP, Hé

and 1017 HOF 1917051101). aux! 561L 16 BAF 195700110:19mié6zov 105 Z 14139501). 16 (DE BAF 51016661! écru

fi madéfias: 14511 M11, PIE, QII 1905715;me nul 101H OF 19170611011: 5Mo àô’o’wmov. ëôsixôn 7&9 (Largo:

561! fi 1pmÂoî6Lov. 0151401711 013 purgés! écu 16 BÛI

quipo; 1017 Z 1039601). 18’700 ôfi, 51L 01566 ëÂœadov50’103 yég, si 61211121611, ËÂœddov. 710211.11 figez à 151150010?

a; ônspëxeb 16 Z xmgfov 1017 BâF 1puipux109, aîné

5mm; dmzôeys’va 611595st ml 106 BAF 19Lya-5vov61211111611 ôe’ son Âufieïv 10395011 ëlœaaov râg 15115901129,

3 êddec’rm péons 105 BAF 19Lya5vov. 56100 06v 16BFE 1902021101! 52.046601! 1629 6115901029 ml pépoç 1013BAF 191911151101), and 16 62Mo; 1è (21516 xanaxevéoflœ.

gazai 015v 5611, 16 B FE rplyawov 51.116601: 1&9 1511590155ë 6715969551: 16 Z 100911011 106 BQF 151025441109, 16 BEI1piyawml nul 16 B GF 150625142: 025441261890: êÂoîo’GovoÉ 361L

105 Z. 661w 66 ami 16 Z xœptov Ëluddov 11511 18-1gaatlaüçœv 115v E51, (PN, 41E, .11 T and 105 F1121payaôvov’ Ëdtw 769 16 B AF 105 un Z 191711026101,105v ôè 51391251511031: 1411950211 êÂaddov fi 1914110561011, 159

à; 193 7196 10151ov ëôslxôn. 511266011 59a 16 BFE

9. av F, unlgo; 0m. ed. Basil., Torellius. 10. 114mm F6con. Torellius ut lin. 12, 19, 20. 11. 6’912] addidi; on. F.nulgo. 20. 201L] pet camp. F.


pezium ME commune est, et MA : (15A, et AE:ÜP,et 11E: 0&1), et F1111: FO2.’) itaque erit

ZAMA-I- EP-i- 118-!- 1101"?)et BAF: 3Z. itaque erit

BAF( 3(MA -I- PE-I- (911-!- 110F);quod fieri non potest. nam demonstratum est, maïo-rem eum esse quam triplo maiorem [prop. 14-15].itague segmentum BÜF mains non est spatio Z. dicoigitur, id ne minus quidem esse. sit enim, si fieripotest, minus. rursus igitur excessus, quo spatiuin Z vsegmentum 867F excedit, sibi ipse additus etiam trian-gulum BAF excedet [p. 296, 9]. et’ fieri potest, utsumatur spatium excessu minus, ita ut pars sit trian-guli BAF. sit igitur triangulus BFE et minor ex-cessu et pars trianguli BAF, et cetera. eodem modo,quo supra. [p. 330, 10], comparentur. quoniam igiturtriangulus B FE minor est excessu, quo spatium Zsegmentum BŒIF excedit, triangulus BEF et segmen-tum BÛF simul sumpta minora. sunt spatio Z. sedetiam ZAEM-i- ŒN-I- 413’54- IIT-I- F112; namBA F : 3 Z, sed

BAF(3(EM-I- (DN-I- 415-!- IIT-i- F112),

1) Nain MA : 515A a NA : AP (Zeitschr. f. Math, hist.Abth. XXIV p. 180 nr. Il); sed NA :- AP, quia.

NA : APa BE : EH (ibid. p. 178 nr. 3),et BE:-EH. t

.2) Nain 11X: 02, quia. BE : KA (ibid. p. 178 nr. 3),et altitude communie est.

a) Nana ME-i-No-q-zzp-ç-HT-I-nzrp Ber etME 4.4511449134- QO-I-FOerBFE

. MA 4- EP 4- 1m 4- Horp Ber -:- BFE.sed B9F-Z- BFE ) Z.

le 11,5 Z 102959).

16

20

25

334

zçt’yævov au). 16 BOF 1,116110: 1151: tuçanlsüpaw 161 .

MPAFSÀNEMOE IIAPABOAEE.

EM, (DN, :511”, IIT and 106 F112 rpLyaôvov. (561:xowoô êqymgsâæ’woç 105 11.145.114!on 514.1114501: .911) au sud

16 FBE 1çt’7awov 1151: 11591154211091.9031: xœçëaw’ 5159

5 36121: âôüva1ov. 36511313 769 1601: ëôæ: 16 B EF 191’-

yæyov 1019 monnayais 1019 EM, (15A, 0P, 80 and163 F02 rpzyaivçæ, â :5111. psiçova 1451: nagzlautopê’vm

16391711111. 06:1 590x 51016601: 16 BÛF guipa 1017 Z za-pc’ov’ 356551811 62’, 51L 0666 ustçov. mon: âge: 16 quina

LÇ’.

I . I . 1 r n a a.Tov1o1: ôeôecyysvov Çavsgov, on mm: quam 1:ch-exôpevoæ: 15:16 513855419 1s ml ôçôoyowlov x6101: 10-

1? Il

A

17 guis 911194161: éon. 106 magnétos1017 ëzowoç péan: 1&1: - «616v 1:5

1pdpa1l. nul 511:0; 1601:.561m 7&9 quipo: zepaezôpwov

15716 8130511119 18 au). ôpfloyam’ov

9:61:01: tourie, accompli: 0è «6105

56100 16 Û camion and 8’77!-ypâqaôco si; 11131:6 tgfyowov 16 BOF

1&1: «1316:1: fléau: 5101: 195 quipou

nul 17wa 1’600. 37182 051: 16 9 6a-ysïov uoçvqmî 361L 1013 antigang.à àzô 105 0 51335111 7:42:96 1&1: Gui»

gnou: âzôsïaa ôtza 15mm 161: Br.

ml à BF éon 710196 161: snim?

1. 1;:an F; eorr. Torellius, ut lin. 3, 8, 9, 12, 16, 17. ë3. sa] addidi; 0m. F, nulgo. 13. une F. l7. qui" r0B 9 F Nizzius. 27. sur] En! Nizzius.


ut in propositione praecedenti 1) demonstratum est.itague

BFE-FBQI’(EM-I- (DN-I- EŒ-FHT-F F112.quam ablato, quod commune est, segmento triangulusPBE minor erit spatiis reliquis; quod fieri non pot-est., nam demonstratum est, triangulum BEF aequa-lem esse EM-I- (D11 -l- QP-I- 610 -I- F02 [p. 330,22], quae majora. sunt spatiis reliquis. itaque seg-mentum BâI’ minus non est spatio Z; et demonstra-tum est, id ne mains quidem esse. itaque segmentumaequale est spatio Z.

XVII.H00 demonstrato manifestum est, quoduis segmen-

tum linea recta et sectione coni rectanguli compre-hensum tertia parte mains esse triangulo eandembasim habenti, quam segmentum, et altitudinem ae-qualem.

sit enim [BQI’] segmentum linea recta. et sectioneconi rectanguli comprehensum, uertex autem eius sitpunctum (0, et ei inscribatur triangulus 8&1" eandembasim habens, quam segmentum, et altitudinem aequa-lem. iam quoniam punctum â uertex est segmenti,linea a. puncto Q diametro parallela dueta lineam BFin duas partes aequales diuiditg), et linea BF lineaein 0 sectionem contingentai parallela est [prop. 1, b].

l) H. e. prop. 14-15, quae fartasse in unum coniungendae

mut. s2) Par conuersam prop. 18. mirum est, Archimeden’n iamhoc loco nomina fichus tu": unipare; et uoqvqaà roi; manettesumimasse, quae infra. demum (p. 336, 12) definiuntur.

10

15

20

25

336 TETPAmNIzMoz 1111313011112.00111 1&9 101151; 1101101 1è Q. 021301 6è à Eû 1101116111 610211519011, 15111901 ôè 11011 02116 105 B 1101913: 11

610111119011 à Bd, 01110 6è 1017 F à FA ë1111p0115001

1&1; 10171 1111311011 1011629 11011131 10 F. 151151 01511 à 11è11 K

11019131 113111 310211519611 561111, à 3è FA 51111111601160: 1.

1011079 1101101 1è F, a? 6è EF 11019011111169 1’611 1132 1’11

11101110156131 1&9 101101; 1101101 1è G), 16 BAF 1915703111

1519011110161611 1’611 1013 BQF 191710611011. 151151 6è 1

BAF 191710211011 1017 11.111 BQF 111011101109 19111101611

é611, 1013 6è BâF 191111611011 15191111016101, ôfilov, a51111911611 1’611 10 B6011 111011101 1013 BflF 1911101511011.

To511 11111110210111 10511 11591510051011 15116 15 61506151

11011 11011111151019 119011111019 13016111 11è11 11011811 10111 515351011

1711109 61 10111 115711610111 11011961011 01110 101g 11011111151019 790111

11âg 02110116310111 3111 10111 130111111 105 111011101109, 1109qu?!

6è 10 6011151011, àq)’ 015 à 1157116101 1101195109 011151011.

111’.

El’ 1101 511 11102110111, 3 115915151011 13110 51588101; 1111

69190110111100 11061100 1o11ûg, 01110 11156019 1019 13016109 0&3]

513351701 11019131 16111 610111519011, 1109091131 3665151011 1013 111é

110110; 16 6011151011, 110111? 3 à 1101901 10111 61011111901

àxôei’da 15111151 113111 1013 110611011 10110211.

56100 71019 111011101 1è ABI’ 11591516110101 1311:6 1E 51’1

351019 11011 69301101111011 110511011 1011019, 11011 01110 111’611

101g AF 01’180) à AB 1111961 18111 610211519011. 51151 01;!

ë11 69307111111011 1111511011 1011137 a? B A 3111011 1101911 1è!

9. 111171101101; F, nulgo. 11. 111511101 1017 BOF] 100 BAFF; com B (111111101; corr. Torellius). - 12. 1111711011011 F; con,Torellius, ut lin. 15, 18, 20, 23. 13. 11011011 F, nulgo. unciné] 01110 un FC. 16. 01111011110111 F; corr. B. 19. humF, unlgo. 22. 16111 1013] 101 1011 F. 25. 051] pet 001111113:26. 09801100111011 F,-uulgo. 11061100] 0m. F; corr. Torellius.


ducatur autem E0 diametro parallela, et etiam a.puncto B diametro parallela ducatur Bd, et a F lineaFA coni sectionem in puncto F contingens. quoniamigitur linea K 6 diametro parallela est, FA autemsectionem in F contingit, et ET lineae sectionem in8 contingenti parallela est, erit BAF : 4B6I’.1) etquoniam triangulus BAF tripla maior est segmentoBOF [prop. 16], et quadruplo maior triangulo B81",adparet, segmentum B91" tertia parte mains esse trian-gulo B9B

Segmentorum linea recta et curua aliqua lineacomprehensorum basim uoco lineam rectam, alti tu-dinem autem maximum earum lineamm, quae a. curua.linea. ad basim perpendiculares ducantur, uerticemautem punctum, unde perpendicularis maxima ducatur.

XVIII.

Si in segmento linea recta et coni rectanguli sec-tione comprehenso a. media basi linea diametro par-allela ducitur, uertex segmenti erit punctum, in quolinea diametro parallela coni sectionem secat.’)

sit enim ABF segmentum linea recta et conirectanguli ectione comprehensum, et a media linea.AI’ ducatur dB diametro parallela. quoniam igiturin sectione coni rectanguli linea B41 diametro par-

1) Nam EK:BA :- EF:BF:1:2; sed EQ:GKgrog 2). et BOF : BFA a Eû : Bd (Zeitschr. f. Math, hist.bth. XXIV p. 178 nr. 7) : 1 1 4.

2) Linea. dB diametrus segmenti erit (cfr. Zeitschr. f.Math, hist. Abth. XXV . 44 et p. 51 nr. 14). tum efr. Apol-lo11.I def. 11: 110911911711 à 11"); 110111116an 190111111]; 1è 115901; 11"];811011119 (h. e. 1119 810111419011) 1è 1196; 11’] 79011111fi.

Archimedel, ed. Heiberg. II. 22

338 TETPAPQNIEMOZ IIAPABOAHE.610111519011, 11013 10011 31110 011T A4, AF, 6111011, 059 11019

012.1111169 51111 51’ 1e AI" 11011 à 1101101 10 B é1111l111150110’1

B 1&9 1017 110511011 1011019. (pava9011 01511, 0’11 1&1 01110 1&9 1o

6 11019 5111 10111 AF 01110110111111 aux8510111 1115716101 5665151011 à 02111

A d 1’ 1017 B 021101151101. 11091111101 01511’61111 1017 111011101109 10 B 00111017011.

10’.

10 ’E11 11101110111 11591510115110: 0110 515351019 110d 6900-

110111101) 1101511011 1011519 à &110 11.5’6019 1079 13016109 01118517601

1019 02110 1156019 1029 13111651019 027011011019 51115191109 36051!-

1011 11011151.

56101 1109 10 ABF 111071101 «5910x6111511011 15110 s15-

15 19151019 11011 69190701111100 110111011 1011029, 11010 0111901 1101901

10111 610111519011 à 11011 Bd 03110 110’601; 1029 AI", à 0è

EZ 02110 1106019 1&9 A4. 01’100) 60 110d à ZQ 1101901 .41".

51110 0011 1’11 69307011115011 110511011 10110? à B A 1111901 10111

61001519011 01111011, 11010 011 A4, 20 1101901 10111 1101101 10

20 B 13111111011501.1601 1079 1011019 01111, ôfiÂov, 109 1011 01151011

Ëxov11 1.67011 151 Bd 1101i 10111 B6) 11021151, 311 à A41101i 10111 2&9 01111021151. 15190111101611: 01’901 561211 11011 à

Bd 1&9 B9 1100151. 01011109011 0011, 0’11 5111191169 061111

à Bd 1019 EZ 11011161.

1. 11010011111101? 4. 1&0] 0m. F; com Torellius. 6.1ayo11511010 F; con. Torellius. 11018010011] seripsi; 110101109 F1nulgo. 8. 11101101109 F; corr. Torellius. 10. E11 1111111111!11191510110010] scripsi; cfr. Quaest. Arch. p. 153; un 1111;11591110115101 F, uulgo; d’un si; 1111.7111: 11501510118101! cd. Baal],Torellius («l’un-111511101). Il. 130101009 F, nulgo. 18. 11mm) F.20. 1&9 1011519 51111] scripsi; 0111101111 F, unlgo; Inn 111’111»ed. BaeiL; F1111 11011101 Torellius. 10111 01111019 F. 21. 510mE151 Ien.; fort. pro 511 lin. 21 scrib. 111d.


allela. ducta est, et A4 z AI", adparet, lineam AFet lineam in puncto B sectionem coni contingentemparallelas esse [prop. 1, b]. itaque manifestum est,lineam, quae a. sectione ad lineam AI" perpendicu-lares ducantur, maximam fore lineam a. puncto Bductamf) itaque punctum B uertex est sectionîs[p. 336, 15].

XIX.

In segmente linea recta et sectione coni rectan-guli comprehenso linea a media basi [diametro par-allela]’) ducta. tertia parte maior est longitudine quamlinea a. media basi dimidia [eodem modo] ducta.

ait enim ABF segmentum linea recta et sectioneconi rectanguli comprehensum, et diametro parallelaeducantur a. media linea AI" linea. B A et a. media.

B linea .44 linea EZ. et ducatura etiam 26? lineae AI" parallela.

quoniam igitur in sectione conirectanguli Bd diametro parallela

d ducta est, et lineae A4, melineae in B ectionem contingenti parallelae sunt”),adparet, esse Bd : B6) a 142:2("73 [prop. 3]. ita-gue etiam B4 : 4BQ.4) mgnifestum est igitur, esseBd : êEZf’)

1) Nm si allias puncti sectionis distantia. major esset, parslectionis extra lineam in B contingentem caderet. itaque coniæchonem secaret, quad contra hypotheaim est.

2) Fortasse lin. 11 peut 151051760: addendum: «0:93: 1&1 6m?-www.

3) Quia A4 a AI"; tum u. prop. 1, b.4) Nam 44 : 220.5) Nam en a 339 : EZ.

22*

340 TETPArsaszOE IIAPABOAHE.Iu .

El aux et; 110â1m 11501516105101: 13116 15 515055019 nul

6930701115012 11051101) 101155 191710011011 êyypœtpfi 1&1! 0:15.

1021i fléau: 51011 11,5 11102110111. un), 171009 10 011516, 1151:0:

5 éddetzm 1è éyyçmpèv 19t70wo11 fi 1751100 106 111021101109

56102 yàp 10 ABF 111021101, oïov 560151011, nul émia

700292303 si; 011510 10010211011 10 A31" 1&1: 011510112 5’101

[3026011 195 311,0 1101?. 1511105. 17601). 51151 0512 10 10671101101

195 11102110111 10111 011310111 5151 [3026111 aux! 1711109 10 011316,

10 àvuyxœïov, 16 B 00111517011 140911020211 5111511 1015 méga-

. 4 3 11 105. 21010021117109 61’001 50110à AF 10’? 110116: 10 B èm-1p0wov’601 1&9 101.1079. âzôm

à JE ôLà 1015 B 11000?

15 1021! AF, 1101?, 02710 1051; A,A 17 F ai A4, TE 7101001 119wôtépnpov. 1156015121011. 61] 01131011 êmôg 1017 111021101109.

151151 01511 17111613 301L 10 ABI’ 191710911011 1015 AAEF

«09011111079111.1000, (12011159611, 51L 115176612 561w 1310

20 1511161) 1017 111021101103.

HOPIEMA.To1î1012 6565171051100 613’101), 51L [059] 5g 101310 1è

11051101 8121101161! édit 1101157031101: 5711005112011, 03015 511W

1è 11512115171610.5110: 111021101101 110111169 57.0217601101 1013 1190-

25 158512103 xmçlov. 02900000005101) 11019 0252 yetÇovog 101.

2. 111521101] 1mm F; com Torellius; quipo; uu1go. 3. 5!-çaqn; F. 5. 50101:. par camp. F, uulgo. 11111101110; F; con.orellius, ut lin. 6, 9, 10, 17, 20, 23. 10. 511m par 009121

F; con. Torellius. 15. 1151] 10:11 F. 21. 7160101101 addde-22. 1015100] 0m. F; com Torellius. 059] deleo. 24. si?"110115101 F; con. BC


H.Si segmente linea recta et coni rectanguli sectione

comprehenso triangulus inscribitur eandem basin: ha-bens, quam egmentum, et altitudinem eandem, trian-gulus inscriptus maior erit dimidia parte segmenti.

sit enim ABF segmentum, quale diximus, et eiinscribatur triangulus ABF eandem basim habens,quam totum [segmentum], et altitudinem aequalem.quoniam igitur triangulus eandem basim habet, quamsegmentum, et altitudinem eandem, necesse est, puncotum B uerticem esse segmentiÈ) itaque AF lineae inB sectionem contingenti paralleIa est?) ducatur perpunctum B lineae AI" parallela linea 4E, et a puna?tis A, I’ diametro parallelae lineae A4, FE. cadentigitur extra segmentumf’) quoniam igitur

ABI": iAAEF [Eucl. I, 41),manifestum est, maiorem eum esse dimidia partesegmenti.

COROLLARIUM.

H00 demonstrato adparet, fieri posse, ut tali seg-mento polygonum inscribatur, ita ut segmenta reliquaminora sint quouis spatio data. nam si semper spa-tium, quod prop’œr banc propositionem [20] mains est

1) Nm altitndo trianguli linea. est a. B ad AP perpendi-cularis, quae cum etiam segmenti ait altitudo, maxima eritlineamm a sectione ad AI" perpendicularium (p. 336, 14); tumu. p. 336, 15.

2) Nam linea a B diametro parallala fluets. lineam AI’ indans partes aequales diuidet (pei- conuersam prop. 18; cfr. prop.17 p. 334, 26); tum u. prop. 1, b.

3) H291 1110110516. 16; Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXVp. 53 nr. 19.

342 TETPAPQNIEMOE IIAPABOAHE.11111650g 6101 10510, 01011150611, 511 é101660151115g 0251 1è

1510161151101 111021101111 710111001159 10115101 151110001101 110111165

105 1100153531109 xœpiov.

1101 .

5 ç El ne: 51’s 11101110: 11501516115101; 15110 513051119 aux!

ô0ôoyawlov 01161100 1011âg 10171011012 311700111217 113w m”-

1àv fla’dw 5101: 10,5 11102111111 01011 1711203 10 111516, gyna-

(pe’œvu 6è 11012 61’110: 101702110: ès 1è 1511161151111 111021101111

10112 0113113111 13020111 ëxoma 1013 10111102156611! 11011 171:0;

10 10 011316, 5310115000 10511 1011105110111 10511 51’s 1è 11501151-

115611.5110: 11102110110: éyyçaæs’wmv 61101111026101: 566511111

1è 101571011011 10 dg 10 31011 111011101 57170011121511.

501m 16 ABF 111011101, 05011 530111011, 11011 1511111680à AI" 61’101 1,05 A, à 6è Bd 61’130) 7101001 1&1! 610’115-

15 10011. 10 B ëpa 00111517011 110009002 561w 1013 1110211111013.

1è 51’001 ABI’ 101570011011 10111 011310111 fléau! 5151 11,5 111i-

110111 11011 151le 1è 011316. 11011111 15111016310 (11’101 à Ad

. A I J I711,5 E, 1101?, 51’100) à EZ 1101061 113w 610211510011, 1511101680

ôè à AB 1101161 1è 9. 1è 61’001 Z 6011151011 110ng 31m

20 1013 111011101109 101": AZB. 10 61) AZB 10170111011 1&1

1. 11111000: F. nulgo. 2. 111171101101 F; con. Torellius. utlin. 5, 7, 8, 11, 12, 13, 15, 16. 1101110011511 F, uulgo. 9. 1013-


parte dimidia, abstulerimus, manifestum est, nos spa-tia reliqua. semper minnentes [aliquando] es. minorafactums esse quouis spatio dato [Eucl. X, 1].

XXI.

Si segmente linea. recta et coni rectanguli sectionecomprehenso triangulus inscribitur eandem basim ha-bens, quam segmentum, et altitudinem eandem, etetiam segmentis reliquis alii trianguli inscribuntureandem basim habentes, quam segmenta, et altitudi-nem eandem, triangulus toti segmento inscriptus ae-qualis erit utriuis triangulorum segmentis reliquis in-scriptorum coties sumpto.

ait ABF segmentum, quale diximus, et linea AI"in puncto A in duas partes aequales diuidatur, et Bddiametro parallela ducatur. itaque B punctum uertexest segmenti [prop.18]. itaque triangulus ABF eandembasim habet, quam segmentum, et altitudinem eandemfi)rursus linea A4 in puncto E in duas partes aequalesdiuidatur, et diametro parallela ducatur EZ, et ab sa.linea. AB in Q secetur. itaque punctum Z uertex estsegmenti AZB.’) quare triangulus AZB eandem ba-

1) Nam altitudo trianguli linea. est ab B ad AP perpen-dicularis, quae eadem altitudo est segmenti, quia. B uertex est(p. 336, 15).

2) Nam E9 à: Bd; itaque AE’: E41:- AQ: 93; sedAE a E41; quam 49 : 93; tum u. prop. 18.

(mon F; tunpatsam nulgo; maganant Torellius. 11. 54mnet coup. F, nulgo. 13. tarpnoâm F; corr. Torellius, utln. 17, 18. 19. munster F. noovqn] F; com Torellius.20. 1:06] alterum supraser. manu 1 F. magyares F.

344 TETPAPQNIXMOE IIAPABOAHE.admira fléau: 518L 1:95 AZB rpdpan m2 ÜÛOQ r6 côté.

ôewtæ’ov, 51:, ônmlédzôv fion tô ABF tpiyawov toi

ABZ rpLyaîvov.

En"; 015v à Bd 1&9 phi EZ êntrpnoç, 1&5 dt5 E0 ôLnladc’œ. maladie: 39a 561111 à E8 1&9 82.

56:5 and 1:6 AEB 190mm; madéfiât: 561:4 1:01": ZBA’16 pèv 7&9 AEQ ômloîo’tôv écu 105 A92, tô à

ÛBE mû ZÛB. 03cm rô ABF 1:05 AZB écu 6:14:-m’lédwv. fumions 6è ôêtzônde’tal, aux), toi) dg tô BEF

10 quina êyypatpa’wog.

ufl’.

El ne; même: nsçzsxôpsvov 1316 sûôea’ag ml âp-

ôoyawiov xévov topais, and 1009m "36’le 5519 ôto-aaoûv à; 1:95 retpunladz’om 1.67190, 6è tô 51.571610?

15 n51! 1469m1; E6011 195 1:91.705an 1:95 fléau! 510w; 1&7m’nàv 195 ryépau ml 51009 tô aéré, démuni-ra té

zappiez éléddovœ écachai, 106 ménures.

gava) yàg unifia zô JABEF neçzszôpevov été te515835129 and ôçôoyœvzfov maillon rouais, page: 6è 54mn

20 67506010511 Ëëfig analysant rôt Z, H, 0, I, tstganlémov6è Sam 1:6 àyoüpevov 105 ênopévov, pëywtov 6è Etna

1:6 Z, and 56m) 1:3) Z mon; zçî recyoôvço 195 fléau5’10er du; «1318:1! 1:95 immun and 1711:0; 1’601). 15’701,

3m rô quina 10511 Z, H, Û, I 10995021! gémît! Kawa.

25 faro: 1:05 ph: 510i; rpdyatog uopvqaà rô B, tu?!) 6ènepclemoyæ’vmv ryapoëzœv rôt A, E. été! 015v 16 ABF

rolyœvov ôxwatloîdaôv 1?er ëxu’tæ’pov n51) A B A, BEF

1. :95] f0 F. fpflpdfl F; corr. Torellius, ut lin. 12, 16,17, 18, 23, 24, 25, 26. 10. immunes F; con. B. 13. repu


sim habet, quem segmentum AZB, et altitudinemtandem. demonstrandum est, esse ART: 811B Z.

iam est Bd g «jEZ [prop. 19], sed etiamBd 2 E093)

itaque E6) s: 2692.3) quare etiam AEB : 2ZBA;mm AEQ a: 2Aez et 08E -.-. 2zeB [Eucl. V1, 1].quare est ABF: 8,42113) et eodem modo demon-strabimus, esse etiam ABI’: SBHF.

XXII.

Si datum est segmentum linea recta et coni rect-anguli sectiorge comprehensum, et ponuntur spatia.quotlibet, quae deinceps in quadrupla proportione sunt,et maximum spatium aequale est triangulo basim ha.-benta’ candem, quam segmentum, et altitudinem eau-dem, omnia simul spatia minora erunt segmento.

sit enim AABEI’ segmentum recta linea et conirectanguli sectione comprehensum, et ponantur quotlibetspatia deinceps, Z, H, é), I, et praecedens quadruplomains sit sequenti, et maximum sit Z, et Z aequaleait triangule basim eandem habenti, quam segmentum,et altitudinem aequalem. dico, segmentum mains essespatiis Z, H, (N), I.

totius segmenti uertex sit B, et segmentorum reli-quorum uertices A, E. quoniam igitur

ABF a: SABA a 8BEF [prop. 21],

1) Nam AE:AA:EQ:BA-1:2.2) Nam E8 a: ;EZ; itaque QZ a âEZ.a) Nam A81": 2ABA .--« 2(ABE -f- BEA) a. 443E.

F. 17. "un per comp. F, unlgo. 19. unôvov] cm. F;com V. 21. 1710045512010 F, uulgo. 26. but] un F.

346 TETPAPSZNIEMOE HAPABOAHE.1pLyn5ww, 552’101), 51L [55g] àpqaws’gœv «616v écu 1e-

19aanïoidzov. and 51151 1è ABI’ 1plymvov [60v 301!195 Z 107959), m1143: 1è «615: 6è aux). 1è .448, BEF19lyœva l’au Édrl 195 H 10091590, 6510m9 6è chancira

B.4

5

5

J 1’5 and 1è si; 1è neptlstato’psvœ 1udpa1œ ëyypatpôpm1911713110; 113w (11515:1: 5026111 5101210; 10:79 15104102156647

aux). 511209 15 111515 [au 561210: 195 0, ml 1è ég 1è 5611.

9011 78116515110: 15102510510: ëyygaqpôpwa 196701110: tu 195

I 1039597, 615117105110; 59a 1è 7190150151210: zappiez [au 36-

10 6015111051 nolvyœ’mp 1mn êyypaqzéwz. si; 1è 1min (pa-vapôv 015v, 51L éloîddovoî 561L 105 151021111109.

:17 .

El aux 4151155350: 15495001111. fifi; êv 195 18194111246101;

16797, 1è 2102111: peye’ôæa ami 511, 105 fluaient) 1è 104’-

. 15 1011 (16’005; 59 1è «1516 6011150511141 échoua 366015110

1017 515756101).

56100 015v 671060501511 payéflslx êgfiç minera 1è A, B,

F, A, E 1s19anladtova 5711161011 105 êzope’vov, pé-7Ld1ov 6è 56102 1è A. E6100 8è 15 (LEV Z 191’101) 105

203,15 ôèH1oôI’,1o 625010174, 1è ôèItoôE.

1. à; deleo. 3. 11,5] 10 F. 5. ou au: F, unlgo; Endeleui. tympan: F; con. Torellius, ut lin. 8, 10, Il. 6.tanguant F, uulgo. 7. [du bina 195] scripsi; un» mm n

QUADRATURA PARABOLAE. 347adparet, esse ABI’ :1 4(ABA.-l- BEF). et quoniamABF: Z, et eodem mode AAB 4- BEFa- H, etï)similiter demonstrabimus, etiam triangulos reliquissegmentis inscriptos eaudem basim habentes, quam

a

Z HLue-l LIsegmenta, et altitudinem eandem aequales esse spatio0, et triangulos segmentis deinde .ortis inscriptosaequales spatio I, omnia igitur simul spatia dataaequalia. erunt polygono cuidam segmento inscripto.manifestum est igitur, minora sa. esse segmento.

XXIII.

Si magnitudines quaedam ponuntur in quadrupladeinceps proportions, omnes magnitudines et praeterea.tertia. pars minimae simul sumptae tertia parte ma-iores erunt maxima?)

ponantur igitur deinceps quotlibet magnitudinesA, B, F, A, E, singulae quadruplo maiores sequenti,et maxima sit A. sit autem Z ---1 4&3, H: il”, 0:54,

1) Lin. 3-4 suspicor, potins sic scribendum esse: nous?1115141 dû nul. . . . gazoles. (malais 61;.

2) Cfr. Quaest. Arch. p. 67-58. Figure. aliter descriptaest in F (u. infra).

(un bis par comp.) F, nulgo; l’au 511! 145 B, Torellius. tu? à?Ecripsi; se F, uulgo. 9. I] q-mi F; con. B. 11. ÉlémentScripsi; claquoit F, uulgo. 13. 1801505111] scripsi; 6111808151111F; ovvuvfiéœffl. uulgo. 55139 6110611059 Torellius. 18. 1e-fQuzMacow Nizzius.

10

15

25

348 TETPAPSÆNIEMOE HAPABOAHE.

émet 05v 1è 51h: Z 105 B 1051011 (15’903 56151, 16 65B 105 A 1510191011 (06’909 30’151), 1511461500: 1è B, Z

VU

B

rA

IE

I- e I

Z El

pégas- 106101! 1561?. 105

A. .615: 1è 0514i 67)

scat 15; H, F 105 B,and. 1è Q, A 105 F,and 1è I, E 105 A.nul 1è 65117111111701 à?)

1è B, F, A, E, z,H, Ü, I 195101! (1.5905

fient 14511 0514911;me

10511 A, B, F, A. 51mlôè scat (x5111 1è Z,

H, Ü 195101; (15909«510511 10511 B, F, A.Mal 1è lamât 55’941 1è

B, F, A, E, I 1051101.7105 101’101; (15’430; tînt 105 A. 651011 05v, 511 1è

655121121210: 1è A, B, F, A, E ml 15 I, 1ov1ë011 1620 195101 105 E, 105 A ému: 52115191141.

xd’.

H051 15162510 1è WEQLSZÔHE’VO’II 5716 55085013 scat 69190-

ymvtov 31051105 1051053 57151911612 à"; 1(uyaîvov 105 1&1!

’ a I ’ U H«015w flac") 510111og 0519: nul 1:11:09 1’601).fana 7&0 1è AdBEI’ 14162410: 11891575608101 5116

55955013 aux! 6900720112505 31051101) mués, 16 6è ART1915714011011 50103 16m 05515511 fléau! 510v 195 11102514111. and

10. H E F. I 1” F.12. A, E ; corr. Tore ’us.11. 1051] 100 per comp..F.

. 22. 141mm F; con. Torellluëyut 1m. 26, 27. 23. un camp F; con. Torellius. 27. mm: F.

QUADRAT URA PARABOLAE. 349

I: «3E. quoniam igitur est Z : «èB et B n: 1nd,erit B -i-- Z a: kA. eadem de causa. etiam erit

1H- F:«yB, 94-A:J;F, 1442:;szerit igitnr etiam -

B r 4 E z H a f’ :â(Â-l-B-I-F-F4)-est autem etiam Z -l- H-I- 8 a: «ME -I- F-l- A) [exhypothesi]. quam etiam B -l- F -l- A -l- E -i- I a «kA.adparet igitur, esse A 4- B -I- F-I- A -l- E 4- I, h. e.

A-I-B-i-F-l-A-f-E-l-QE:4LA.

XXIV.

Quoduis segmentum linea recta. et coni rectangulisectione comprehensum tertia parte mains est trian-gule eandem basim habenti, quam segmentum, et alti-tudinem aequalem.

ait enim AABEF segmentum linea. recta et conirectanguli sectione comprehensum, et ABF triangulusait eandem basim habens, quam segmentum, et alti-

350 TETPAPSÀNIEMOE HAPABOAHE.

Wos ïfiov, tu? 6è ABI’ 191.7415001) être: énhçnov :5

K gabelou. ôsmre’ov, 31L la»; édit :95 .44 BEFrpdgm’n.

et 7&9 (ni 361w [6011, fizoz ysïgôv ëarw fi flacon.6 561m ngônpov, si ôvvœtôv, (1512012 1:6 AdBEI" guipa

3

Ai 1’1013 K 1639101). êvéypazpa 657 tôt AdB, BEF rçiyow,nôs afghan. ëvsygawœ 6è and si; tôt negülemôpævainégaux ailla «algie-nm 143w «15143:1: fioifiwlzowa rot;zpœpérwfiw aux), 51h09 1:6 «été, aux), éd dg rôt 5615907

1o ywôuwa unipare; 37790?qu [6150] rotyawa du; aérât:flécha) 5101m: rois ruauénao’w and 17wa rô (tâté.ëaaoüwaz 61’] tôt xazalsmôusva quinone: 3102660114: ri;

ôzsoozâç, a; ônape’xu zô AdBEF quina mû K ze-çz’ov. (5615 tô ëyygdqaômvov nolüyawov pâton 3665i-

15 un. mû K. 57559 &ôæîvœrov. âne! 7&9 ëfitw 55135 ui-

pwa xœçc’œ à; 195 terganlaalom lôyço, amiral: p39tô ABF zçz’ymvov rezçazloîmov :1511 AAB, BEFrpzyoâvœv, 51mm 6è u’ÔZà m6110: retpanldam r61: si;rôt Élégant: quinaud âyygœqas’wœv, and ciel 05m), ôïr

2. 16 to F. 4. brut] (alterum) par coup. F. 5. AAEBFF; corr. orellius, ut lin. 18. 14411440: F; con. Torellius. utlin. 3, 8, 10, 12, 13. 6. A43] 44 F. 9. tympan! F, nulgo.ut lin. Il; zpépam Torellius. 10. 660] delco. 12. mon

QUADRATURA PARABOLAE. 351tudinem aequalem, et sit K r: fABIÏ demonsttandumest, esse K: JABEI’.

nam si aequale non est, eut mains est eut minus.prias, si fieri potest, sit segmentum AdBEF mains

9 mspatio K. inscripsi igitur triangulos 114B, BEF ita,ut dixim’us. et etiam segmentis reliquis alios trian-gulos inscripsi eandem basim habentes, quam seg-menta, et altitudinem eandem, et semper segmentisdeinde ortie triangulos inscribo eandem basim haben-tes, quam segmenta, et altitudinem eandem. eruntigitur [aliquando] segmenta relique. minora. excessu,quo segmentum AdBEF spatium K excedit [prop. 20coroll.]. itague polygonum inscriptum mains erit spa.-tio K; quod fieri non potest. 1mm quoniam deincepsposita sunt spatia quaedam in quadrupla proportione,primum triangulus ABI’ quadruplo maior triangulisJAB, BEF [prop. 21; cfr. p. 346, 1], deinde hiipsi quadruplo maiores triangulis segmentis sequenti-bus inscriptis, et semper eodem modo, adparet, omnia.

au F. 16. 7029 addidi; 0m. F, nulgo. 18. mitât mira]scripsi; tu aura , nulgo.

5

10

15

20

352 TETPAI’QNIZMOZ HAPABOAHZ.

10v, ais 61511111211112 1:6 zozota êléo’dové écru) fi M1911:

1013 1187561012. 16 ôè K ênizçwo’v écu 1013 minot

xœolfov. 01511 51’911 36th! (1:81:01! 16 AdBEF 1min1013 K papion faire 66’, si 612111:51:61), 510166011. adobeà) 1:6 (1611 ABF 19570011012 1’601; t9? Z, :01": 6è Z n’-

rap’rov 1:6 H, and 611015009 1013 H 16 Q, and ciel 5’66;

uôe’aôœ, Sang un yemfimz 1:6 561051011 51.056601; si; 131:9-

oxâg, q? ômçe’xeL 76 K xœolov 1017 111021111109, and Eau

511266011 tÔ I. 561w 61) rôt Z, H, 6, I laçât un! f0tokay mû I faitout: 1:01") Z. 561w 6è ml 1:6 K tu?Z êzirgnov. [60v 52911 16 K tors Z, H, 6), I un! 115son? 115’981 105 I. en! 015v 1:6 K 111191101! 16v phZ, H, Ê), I lamier!) 15715915151. 5115660111. 1013 I, tu? dttyaîyàzoç 115120111 1013 I, ôfilov, 059 nettoyai 51m si:Z, H, (N), I impie: 1015 tyâputog’ 51mg àôtîvatov.âôelxôn 7&9, 515’361: 61061101312 1619m êëfig alpes:

à) rsrçazlao’rfow 1.6791, 16 66 pëytaro’u 1’601; à :95 si;

16 quina fiyyçaqnoye’mp rgzyczîvga, 1:61 dépanna 10961

êléaaovœ 56655111; roi rudpmos. 01’»: 391x :6 JABEI’

quina 510166611 51m 1017 K 1009101). 5655181] 65’, 511oôôè (LEÏCOII. [601: 62901 561111 11,5 K. 16 6è K 1169101

êm’rgnôv eau roi) 191711511012 101": ABI’. ml 16 JABEI’

621m quina ëzitgwôv en: 1013 A81" tpLyaîvov.

8. 111.1711111 F; corr. Torellius, ut lin. 8, 14, 15, 18, 193120, 23. 7. gang ne: sinisai] scripsi; mon nutaywntm Fvulgo. 9. 510111110113] garum; Nizzius. (ML scripsi; a; F.uulgo. 11. 195] 10 . C. 23. En»:0m. F; con. Torellius. In fine F: 14921111168012: summum-naçufiolnç’ survzomc leur 151111181911: -- 4- zolloôç 311 10116,0-nxç Zou! 11011: (pileurs 11015111219.

12. 115v] un F; corr

QUADRATURA PARABOLAE. 353simul spatia. minora esse quam tertia parte maioramaximo [prop. 23]. spatium autem K tertia partemains est maximo spatio. itaque segmentum A A B EI’

mains non est spatio K. - sit autem, si fieri potest,minus. ponatur igitur ABI’: Z1), HafZ, ÜËiH,et deinceps spatia ponantur, dum fiat ultimum spatiumminus excessu, quo spatium K segmentum excedit [Eucl.X, l], et [hoc excessu] minus sit I. sunt igitur

Z-I-H-I-û-l-I-HI:tZ [prop- 23];sed erat etiam K a 12. itaque

. K----Z-l-H-l-(94-I-l-àI.iam quoniam spatium K spatia. Z, H, (9, I exceditspatio minore, quam est spatium I, segmentum uerospatio maiore, quam est I, adparet, spatia Z, H, Q, Imaiora esse segmenta; quod fieri non potest. namdemonstratum est, si spatia quotlibet deinceps data.sint in quadrupla proportione, et maximum triangulosegmenta inscripto aequale sit, omnia. simul spatiaminora fore segmento [prop. 22]. itague segmentumJABEI’ minus non est spatio K. demonstratumautem est, id ne maius quidem esse. itaque spatioK aequale est. sed spatium K tertia parte mains esttriangulo ABI’. itaque etiam segmentum AABEI’tertia parte mains est triangulo 1B1".

1) Fortasse scribendum est lin. 4-5 miam) 61) 1135 p.131!ABF 191705111,» 1’001! 16 Z.

Archimedel, ad. Helberc. Il. 23

352 TETPAPQNIEMOE HAPABOAHE.11012, nôs 6151111121110: 161 101050: êléfiaovoi 150’111: fi faim.

1013 1157156101). 16 66 K 51115101161; Êfitb 1015 1157m

xmgiov. 01311 61’001 301212 getter 16 AdBEF 11161017 K xœçlov. 501m ôé, si 6012011612, 511166011. nain

5 61) 16 11611 ABF 101310011011 [6011 195 Z, 1013 ôè Z

10101011 16 H, and 611015009 1017 H 16 0, nul ciel 111.015080), En); aux yemfima 16 501011011 5111206011 1&3 6:

oxâç, ë 1371505151. 16 K 10195012 101") 111021101109, nul à

51.116601: 16 I. 561w 617 1è Z, H, 0, I 1070150: aux10 191’101; 1013 I 6111510110: 101? Z. 561w 66 aux). 16 K

Z 151115191101). [0’011 61’001 16 K 1ol’ç Z, H, (à, I aux

19kg: 115’051 101": I. 15net 01511 16 K 10min 10311Z, H, Ü, I 1070150112 1321895181. 61102660121. 1013 I, 1:0

111d11610ç psitow 1013 I, ôfiÂov, 05g pstçovoi à”:15 Z, H, (1?, I 1000170: 1013 111é11œ10g’ 31150 0,1615!!!

136.8575317 yéç, 511,°êà11 67106050511 1010m êgijç nef

à; 1e10a111a6150m 163:9), 16 66 (157161012 l’ami fit16 quina Ëyygmpons’vço 1914105110), 161 0151111111101 ;

31020601101 ëaasrftaz 1013 111021101105. 01’»: 65912 16 .44

20 111621111 51120661! 361L 1:01? K 10105011. 36561191) 6501566 1.151201). 170’011 131’001 150’111! 195 K. 16 66 K z:

511151011611 661L 1017 101.7061101; 1013 A B1". «est 16 A4

61’005 11161101 57151011611 6’611 1017 ABI" 191720611012.

3. 111mm F; corr. Torellius, ut lin. 8, 14, 15, 18.20, 23. [ficus ne: 5761m] scripsi; mon 1101101719:uulgo. 9. 51060012] 01011011 Nizzius. «ML scripli;uulgo. 11. 193] 10 F. 12. 11511] 1m F; corr. C. 2?0m. F; coma Torellius. In fine F: 14911114880115 151mm

w: .3) nagez olnç’ 51111110an A5011 18001181001: - J;- 1101101); 5011’ .1 7:01.16 QJLIÂTCXTE 1101501219.

1HZŒÆZ-Z; 15 ’I-iïi -x. 7 ont

www En tu 27:. n’r jas-1.01,mWÏ-Ë’; mm l 14 n’rEnfin-ring; nmm.;iz::îl

r æ" ranz!mmmzl’f’Î f- 141-9,!un si: ;.;r..: 1» .-.mmçmlm.zrxe;1z: L,;atriums. -..- si».Z-f-ê-j- . s e 7*: ;fia-î”; 2611.7

I::-1-4- - ’*nmîsz-1 à t: C7au En! 0&4; .4 rhmm-1-433111 ».:-, .11n’a-ans: a... r L. a, à;h 1 m :.*’:)’t 164,11; z-lm m 1 ,..: me;n un W’ 2: 22.- »,. en,

fin tzar: ,’:bmf ,’ à. ’

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR,

LIBRI H.

me,» w vingt 1031! ôzovge’vœ

-- 4:: 11’.

K ’ 7 FI, www); nua mon! 81011, mav cesuèvm and 1258510301 du:

.1- 1: mon 16190151181101: 151

au 111mm 11131015 11.505

1 - A.stagiaire: 110101) 012109 mcmgiuz’vw à; 11.111 and 15:

151:0; (.6,4561010112451,

3’ êmglërm,

6 * : j Kg 7’171: a, (ini * z’ 15916596 f 1

’ . :-:.Ïrrgnz’ (61’ l

9’ i 6.76 rotÎ a] 5:51

z i 3 . (1:1: in: [il];’:’.: 1,1590) 7; 511C"

L. J p, «1’16”17

. codicitm 11

ÏÎEPI 15 32’ E347un? au: a. ï v ’ - îl-EC. rugu- erepiquâm- a. m" r j’m -1

on aï cd"- r (A s 1:!!01 1:. z-açcu’pc; à: 2177:! mur a en. : ;-.

1

Ïa’z’ro; M W à? m-wîç y-nv":çtêllêll W; au: nm «a m -

Lu’vl’j)

’

Tain aux... 11 514.6) ;1” a sa.»79:5 Maya: 2...- :n v7»: nua-5mm a:

v 1’073 137.05 w un n r1;’GÉhfdænu ai,- u w ’

r

Tan: fifi". mâta il 70”» "nov Æ’VK-a’. .au u’ç M DE: La 22:57:43,;o 3 O ’carat n W a: à 975 mat 1,. Tan.

Tan: W panait. a a]; r...- amour,”

,y 1 r ’ ds r0 L790, W1 a". jmm-r flû’fxn 1) Shah: I la 34: a, ZIHÙÆIW:

. , - ’1’244. via-c r. -Miro; et tu; au au: lm w». m’aw . . . » d’7u* .u,..,m a, M uiœî’, z. m «puy,"90’ m Y! 71 filât-ana; , ;3 11:, 72;; flflJÇrm a 1;.." FW-FMmM’oæ I» yvantât un W li? wv’mu

a"? 19W?- V;

11690 111511 15601110 ëqmîïocpëvaw 13j 1069i 170511 ôxovpe’vcar.

dingua 00’.

0110x6000: rô 15798,11 000021160 001100 01156011 51011, 03’610

11511 10890511 00131017 ëg [6011 1050105110011 100d 151950619000 6m1-

5 510311 31100111 51001511560000 16 15110011 05001500511011 15116

1:05 100311011 aîôovps’vov’ 100d 10051100011 001300171 10090511

«5&60’60000 1511:0 1:01") 1571901") 1570690Î11m 0015105 3111509 un?

10051981011, ëà11 06 13719611 11010005000000 E11 10110 1001015106

001109 5’00’900 ELGCÔMGIIOII.

10 90059131000 109050011.’Eà11 31000102118002 109 5110105393 rpnôfi 6002 uvog 0M

61110515011, 10001. à 1000111; 00101) dal 10890q1é98000 à 51011600 100’11-

09011 06 19080912050011 6171051011, 66100159009 5’6le êmcpâwm.

115010116800 716:9 êmçwîvsm 5100105691 6000 105 00’ 611-

15 000’011, ml 026?, fi 10001117 topù 560m 1015101011 1069011159504.

15’700, En 69200159009 émqwîvewê 3560011, fig 10511159011 0641,-

slÏ 7&9 101i, 560110000 0011.59 5131950010 0211:0 1:05 01’ in?

171711 5100020211500011 50110600. 56150160111 0d «13’, ay’. rôt a?"

5’, 7’ 612105100 0’11 015 31001120011500. rnpfiaflm 1’; êmqwË’

H00 fragmentum edidit A. Mai: Classici anet. I . 426-30.unde. totidem litteris repetiui. usus est duobus ce ’cibus Utticams, quos signaui a, b.

5.,nîôoüpagov9om. a. 6. 10139 100211011 0500111051011: a. en1 manu 1. 8. y] 1711 b. 14. 01’] 129051011 a; et sic etiam mm

HEPI TSZN TAATI EŒIETAMENSZN. 357118000 8100108691 6005 00511 13’, 7’, 00’ 61210800011. 10151011011 61)

1006680 10890018980007 95 15100108408700, 015 1081109011 00 00’.

1’610 030’900 00E «’3’, 007’. 0511030 10000 050110600’ 51089 050515-

11010011. 60120009009 50’900 860111 310001200118000’ 31089 50580 6803000.

5’.

110011009 15600009 156vz0iC011009 005’608 0010011110011 108118011

15 31000100118000 69100090806179 560000 51011600 005 001500 01j 71?

108511090113)

I7 .To311 608980511 y67819051) 0030 K6010878’1911 10000 15100fla9fi

093 157995 10006801081100 809 00 1579011 [30100068156000000 03’608

0ù11 0015 1579008100010011800011 1015 15089130011800, 10000 01510800

006017180000 809 005 100000008903?)

a,To311 608980511 10878190511 005 0015l 1579015 1001192608900;

30011 809 15790511 10003005110000, 0151 31100 fla10006ô1fi680000, 00111.

560000 00 001500511 10000 8200 0159 81000100080009 0015 1579015.

I8 .

To511 608980511 10878190311 0030 0015 1579015 10011012608900

Sis 00 1579011 MWÛ’EQLE’GIOC 8’100 0060150011Îfia10006ô1î680000,

1) Strabo I p. 54: 0931 3191010960119 B8Ba00ï 6650011, 300 9m-01» 510851109 511 000’9 10890 00511 57011108110011, 100011069 1579015 100019-

560006009 10001 phonos 00111 81000700780000 60200090101)» GIN". 601000900910015005 1081009011 310156119 0fi yü. Uitruuîus VIH, 5, 3.

2) Hero Pneumat. p. 151: 0010068011811 7&9 ’4970001i680 E11 roîçfiloqpe’voœ, 00L 005 [60600917 003 157905 0001000000 0591819811000 8b; 061079011 00’508 151089é580 0015 1579015 01101 10000020615018.0000.

2. 059? 10. laoflaçfi? 12. 3100300118011 b.

11890 00511 1560000 80106000080010 ü 1089i 0050 6100008110101.

1400110000 00’.

eT1001080’61300 005 157980 0o00ê068 000030 01115600 8’100, 05601

0050 1089050 00150015 85, 0’600 108000811010 10001 05080619000 6001.

5 810511 51100111 81001511863000 00 1500011 0500150081100 151003

0015 005011.00 050000080010 10000 1000000111 00150015 00890311

058807619000 151005 0015 1579015 15108902001 00150015 30009 1000001

1002188000, 80300 0è 15790511 10000043000000 811 0000 1000i15106

001109 508’900 1008:6008000.

10 08069111000 109050011.’Eà0 ê100q10î08000 009 81001005693 00017817 600? 00009 de?

6131080500, 10000 15 1000015 000015 0583 10890011898000 5700600 108’11-

0900 005 10908091708000 6m08ï00, 601200059009 860111 81000000118000.

080001f61901 70309 81000110208000 8100108691 6005 0015 00’ 67]-

15 080’011, 10003 0281 1’; 1000015 0000.15 56001 101510100 108900089800.

118’702, 500 60110009009 8100910208002 86000, 159 108009011 00 00’.

80 70509 101i, 56000000 00089 81519807000 0510:0 0015 00’ in?

0110 80001102080000 05500600. 860016000 005 œfl’, 007’. 0è 030’901

5’, 7’ 6121080700 80 015 81009100080590. 08000061901 1’] 810041105-

Hoc fragmentum edidit A. Mai: Classici anet. I . 426-30,upde. totidem littoris repetiui. usas est duobus c ’cibus U00-tlcams, quos signalai a, b.

Mx 5.,0319015008001190m. a. 6. 00059 005011.00 0500000831011: 1! 9"manu 1. 8. y] 1711 b. 14. 00’] 109050011 a; et sic etiam mm

X

HEPI TSZN TAATI EQIETAMENQN. 357veut âmatæ’ôça ôtât 705v 5’, 7’, a’ angelmv. 2:63:10!) 07)

«cuider. usgupæ’guav 95 énoxslpsvov, 05 uëvtpov ü) a’.

faire âge: ai afi’, ay’. cillât and â’vwor 57mg 02615-

varov. GÇJat’Qdç 3291: 56:21! êmq2évua’ 3m99 565L ôsïâou.

fi,-

Humrog 56m0; fidvzétowog (5’673 021211!an pëvsw

ù éncæévsm dpaLpoaLâng 56mn 510mm t6 aütô tfi yfi

xëvmovfl)

Iy .T451: «2954511 (1.575861: rôt (copaye’ôn aux), intofiapfi

:95 ôypçô xaflame’vœ si; 16 1379611 flanudôæiaovwa «San

fin: 106 Ôyçoüâmqwîvuav m) inteçfioîMæw, and aimât;

oiaôofo’azm si; tôt xarmza’gœ.’)

ô,

T1511 615951511 (1.5761943511 1:43: 1017, 1379013 uovçaôrsga,

319w si; 157’961; xaôLôvraL, 0131 31a fiauuaôqffiatm, (in,

fatal, u 01151451: and 5go: rfig émcpavu’ag mû 1579017.

Ia .T451: 615950511 psyeôoîv rôt 105 1579013 acompo’rsça

zig zô Ôypôv xaôæme’wa gui 106051011: fianuaôûo’azm,

1) Strabo I p. 54: rùv ’Aozmn’ôovg fisflazoî ôôëav, au (pn-olv lustra; à! rots "se! tub ôzovpévow, navrât; 1579013 nab-somuâtoç au). phonos rùv êmqaoïvnow ozpmpmùv chou. aquatique14275156 1;!"qu 5101km 1:37 yfi. Uitruuins VIH, 5, 3.

2) Hero neumat. p. 151: &naôstzôq 7&9 ’AQszfiôu h toi’ço’pvpëvmç, ou ni laoflapfi t9? à 993 amputa âmsôéwa sis :661961: côte énapéfiu roi 157905 mon uataôüanm.

2. 9;] du? 10. laofiaçfi? 12. Ëmfldusw b.

10

20

35s HEP! TSÆN un: EQIETAMENQN.

ëqa’ 560v todoôrov r06 157905 37m, 3609 3613.1! ô 1:01")

fianmaôs’wog’piçovg, 1360541953 sima 1,93 51.90 (urgiez.

IG .

Tôt 615958: ôypoô uovepôzepa fia; dg 1:6 13706126 aueaôéwa ênawdroîysva (pe’gowm ënl tôt â’vm tomât!)

ôvvoîusa, 369) zô 6319611 (fiopéyeôas 195 psya’ôu flapi»:

:5961! En 105 peyæ’ôovg,

Ë,-

Tà 5419151590; 1:05 137905 61.5956: uaflebps’va zig si10 ôyçôv 0136015651111. 54021:0), gong 015 uuzuflœl’umaa, ont! écrou

todoüup uovqaôtepa ëv 1:95 157993, 560v au tô fiéçoç

K f æ ato 1279011 laope’ysflaç r9) 6189393 unième.

Afimuz fi 151685609e1”:I:ouer.’o’î)m 161! à: 137995 07mn (papays’vmv 524016101:

15 &vm 039568054 mât 102651011, fins in 1:05 xéwpov 106pépons m5761: émaillerai.

(humagne 13’.

’Eôw 61898151! n pëyaôog 510v 61mm anima;69)!!!qu de 1:6 15142611 nœôafiwL, dans vin! fléau! un?

20 rpfiyœtog ph 511563051. mû 15719017, zô 6155M imam-ôficemz 694’611, 1561:8 du: égaya mû ryfiguxtoç mû

3902351011 sium. ami . . . .

2. Infini? 16. pionne a. et b manu 1. 18. «souk?22. aux! 0m. a.

De fis, que in humide uehunturf)

Liber I.Suppositio prima.

Supponatur humidum habens talem naturam, utpartibus ipsius ex aequo iacentibus et existentibus 5continuis expellatur minus pulsa a magis pulsa; etunaquaeque autem partium ipsius pellitur humido,quod supra ipsius existente secundum perpendicularem,si humidum ait descendens in aliquo et ab alio aliquo

presum. 10Theorema. primum. Propositio prima.Si superficies aliqua. plane secta. per aliquod sig-

num semper idem signum sectionem’ facientem circuli

Librum I primus edidit N. Tartalea Uenetfis 1543. deindeex schedie eius et primum et aecundum librum edidit TroinnnsCurtius Uenetiis 1565. banc interpretationem emendanit F. Com-mandinus (Bononiae 1565), quem aequitur Torellins (praef.p. XVIIB. cum Tartalea. solus Gmcum codicem habuisse ui-deatur ( uaest. Arch. p. 101; cfr. p. 13; 23), cum secutua auna,ita ut soloece et barbare dicta intacts. relinquerem, et en. tan-tum, quae in mathematicis pernersa. mut, corrigetem cum

1) ,,De insidentibus aquaep Tartalea. ,,De fis, quae in taquauehunturu Commandinus; secutus alun Torellîum p. XVIII.

8. "supra. ipeam existente" Comm. 9. et] "341M 00mm.12. nplanafl 00mm. ,, r idem semper punctum, gitane sectiocirculi circumferentiw 0mm.

358 HEPI TSÆN TAATI EII’IZTAMF

à]? 36011 rodoôrov 105 157905 37m, c’pavwôæ’wofæ’çoæ, 66013410515 aima

5’.

Tà «nageai 157905 métrage: fil!5 meaôs’wœ inavwrépwa çéçowal. 32:1

anticipa, 369) 00 137901! 1360455745859 1tegôv 361:1. un? peyëôovg.

. ç: .Tôt 13410151500: 106 157905 «son?10 1379511 013601505421, mita), 5ms 015 me;

100015191 uompôzsga à: 195 137995, à? à!1:0 1379011 30051575059 195 0159895 puy-5 à.

Afippa fi ônôôsmîkgç1350305150841) 105v à: 632993 5mn ç

15 5mn 03950042; mât roman, fins âfléçnvç m3165?! ùfléllnm. * w

(960590510. 1],.

Fièrr Grspscàr r1 315325305 5101mpm’gag si; 16 Ûygôv zaûtfirm, Æ

2" ryq’yaro; 511) Einrwôou r06 1579013.

miasme 6019611, (56:5 rôv ëgomz ’

mimant: dm u

pigeas a. et b mm

un.mV»

"3* l .1» mutin

il: du mieux tu 11m.... h...Kim mnbus et exw’ ,

v ...î. [Î

7:. a:

1H.- 2.x

Ltnthî hg, A .

l Hum. h;1;: «M5 hl

in Il I! ’X v], h ..Ix’ It’ la 11,, (u

à; 1H H nqmç

5

10

15

360 DE 118, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

periferiam centrum habentem signum, par quod plainsecatur, sphaerae erit superficies.

sit enim superficies aliqua secta par signaux Kplano super sectionem facientes circuli periferiam, oen-trum autem ipsius K. si igitur ipse. superficies non

est sphaerae superficies, non arumomnes quae a centro ad super-ficiem occurrentes lineae aequales.sit itague A, B, G, D signa insuperficie, et inaequales quae AL

ç KB, par ipsas autem KA, KBplenum educatur et faciat sectio-

nem in superficie lineam DABG. circuli ergo estipsa, centrum autem ipsius K, quoniam supponebatursuperficies talis. non sunt ergo inaequales lineae KA,KB. necessarium igitur est, superficies esse sphaerae

superficiem. ’

A B

Theorema Il. Propositio 11.5Omnis humidi consistentis ita, ut maneat inmotum,

20 superficies habebit figuram sphaerae habentis centmmidem cum terra.

Intelligatur enim humidum consistens ita, ut ma-

Commandino et Nizzio, lectionibus Tartaleae in adnotationesreiectis. sed ubi Tarbaleae uerba intellegi non posse nideban-tu, in adnotatione adtuli emendatam Commandini scriptunm.etiam interpuuctionem pemersissimam Tartaleae et orthogra-phiam parum constantem tacite mutaui.

B. ait] "fifi Tartalea. 4. super sectionem facientes] sontsemper sectionem faciente; ,,et ait sectio semper" Comm. 1.quae hic, ut saepe, respondet articule Graeco. 16. super-ficies nominatiuus respondet Graeco 5m à ênupoîvsw; c5:p. 361 lin. 3.

DE lis, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 361

neat non motum, et secetur ipsius superficies planeper centrum terras. sit autem terrae centrum K, super-ficiei autem sectio linea ABGD. dico itaque, linea.ABGD circuli esse periferiam, centrum autem ipsius K.si enim non est, rectae a K ad lineam ABGD oc-currentes non erunt aequales. sumatur igitur aliqua

l recta, quae est qua-rundam quidem a Koccurrentium ad 1i-neam ABGD ma-ior, quarundam au-tem minor, et centro

. quidem K, distantia34 I I 3E autem sumptae li-neae circulus describatur. cadet igitur periferia cir-culi habens hoc quidem extra lineam ABGD, hoc autemintra, quoniam quae ex centra quorundam quidem a Koccurrentium ad lineam ABGD est maior, quorundamautem miner. sit igitur descripti circuli periferia quaeRBH, et ab B ad K recta ducatur, et copulenturquae RK, KEL aequales facientes angulos. descri-batur autem et centro K periferia. quidem quae XOPin plano et in humido. partes itaque humidi quaesecundum X 0P periferiam ex aequo sunt positae con-tinue in uicem. premuntur quae quidem secundum

"UN2

7. quamndam] genetiuus ’ex Graeco translatus est (1451: péta-ps[gœv). 14. sumptae lineae zü lnqz0ém 550242. 16.habenslrom. 00mm. hoc qui em] 1:6 pév- 1:6 65’. 19.,,sint" artalea. 20. "ducunturfi Tartalea. 21. RE ,,thtTartalea; 00mm. litteras prorsns mutanit. KEL "MWTartalea. 23. quae secundum] ni: nez-ré. 24. ,,peri riamfiTartalea.

20

5

10

15

20

362 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

X0 periferiam POBE humido, quod secundum ABlocum, quae autem secundum periferiam 0P humido,quod secundum BE locum. inaequaliter igitur pre-muntur partes humidi, quae secundum periferiam X0,iis, quae secundum 0P. quare expelletur minus pressaa magis pressis [hypoth. 1]. non etiam ergo constatefecimus aliquod humidum. supponebatur autem con-stans ita, ut maneret non motum. necessarium ergolinea ABGD est circuli periferiam, et centrum ipsiusK. similiter autem demonstrabitur et, si superficieshumidi plano secte. fuerit par centrum terme, quodsectio erit circuli periferia, et centrum ipsius erit, quodet terme centrum. palan igitur, quod superficies hu-midi constantis non moti habet figuram’ sphaerae ha-bentis centrum idem cum terra, quoniam talis est, utsecte par idem signum sectionem faciat circuli peti-feriam habentis signum, par quod secatur plane [prop. l].

Theorema III. Propositio III.Solidarum magnitudinum, quae aequalis molis et

aequalis penderie cum humido, dimissae in humidumdemergentur ita, ut superficiem humidi non encodantnihil et non adhuc referentur ad inferius.

demonstratur enim aliqua magnitudo aequo gr» ïuium cum humido in humidum, et si possibile est

1. POBE] 0m. Comm. quad "quaen Tartalea. 48]"21W Tartalea. 3. ,,aequa1iter" artalea; cart. Comm. 4.quae "quodfi Tartalea. 5. iis] ne? Tartalea. "non ex-pelle W Tartalea; corr. Comm. 6. ,,costare" Tarhlea. 10.si] 0m. Tartalea; "si qnomodocunque alitent Comm. 11.,,centrnm habentisti Comm. 2l. non excedant nihil] p) este-flnîllsw gandin. 23. demonstratur] scrib. demergatur.

DE LIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 363

xcedat ipse. superficiem humidi. consistat autem hu-lidum, ut maneat immotum. intelligatur autem ali-uod planum educimm pet centrum terras et humidit. par solidam magnitudinem. sectio autem sit super-ciei quidem humidi quae ABGD, solidae autem mag-itudinis quae EZH T insidentia, centrum autem ter-se K. sint autem solides quidem magnitudinis quod

z quidem BGH T ina humido, quod autemM 12Wzv BEZG extra. in-

] J telligatur et solide1’

4 (F1, X figura. comprensapy-ramide basem qui-dem habente paral-

4 I p lelogrammum, quadin superficie humidi, uerticem autem centrum terras.sectio autem ait plani, in quo est quae ABGD peri-feria, et planorum pyramidis quae KL, KM descri-batur autem quaedam alterius sphaerae superficiesCires centrum K in humido sub EZHT, quae XOP.secatur hoc a superficie plani. sumatur autem et quae-dam alia. pyramis aequalis et similis comprehendentisolidam, continua ipsi. sectio autem sit planorumÎp8ius quae K.M, KN, et in humido intelligatur quae-dam magnitudo humido assumpta. quae RSEY aequa-Yl! et similis solides, quae secundum BHGT, qnodest ipsius in humido. partes autem humidi, quae sunt

5. I,in.a.gni1;ndinesfl Tartalea. 6. ,,insidentis" Comm. 7.K] 0m. Tartalea. 12. "compressant Tartalea. 13. "bas-selnu Tartalea. 14. "habentem paralelogrommumfl Tartalæ.26. "bing" Tartales. 27. ipsins] l0. tatin: solidi EZTH.mut] -fo Tarhlea.

10

15

20

25

a!

10

15

20


in prima pyramide sub superficie, in qua est quaeX0, et quae in altera, in qua quae P0, ex aequosunt positae et centinuae. similiter autem non pre-muntur. quae quidem etiam secundum X0 premitnra solido THEZ et humido intermedio superficie, quaesecundum X0, LM, et planorum pyramidis; quaeautem secundum P0 solido RSE Y et humido inter-medio superficierum, quae secundum P0, MN, et pla-norum pyramidis. miner autem erit granitas humidi,quad secundum M N, 0P, ce, quad secundum LM, X0.quad enim secundum RSEY, est minus solido EZHT:ipsius enim ei, quad secundum ’HBGT, est aequale,quia magnitudine aequale et aeque graue supponitnrsolidum cum humido. reliquum autem relique aequaleest. palam igitur, quia expelletur pars, quae secun-dum periferiam 0P, ab es, quae secundum periferiam0X, et non erit humidum non motum [hypoth. l].supponitur autem non motum existens. non ergo ex-cedet superficiem humidi aliquid solidae magnitndinis.demersum autem solidum non fertur ad inferiara. si-militer enim prementur omnes partes humidi ex aequopositae, quia solidum est aeque graue.

2. aeque] "quad Tartalea. 3. ,,non continuasu Tartalel.non] 0m. Tartalea. 4. etiam] scrib. enim. 5. ,,theru Tu.talon. superficie] «à parage suiv lmqmvsufiv au). . . tu." 1::-néâaw; cfr. lin. 8. 7. ,,rfc fi Tarhlea, ut lin. Il. Il.enim] .n- Tartalea. 14. aequaie] seripsi; ,,inaequa1eu Tartaleset Comm. 15. quia aléa. 21. aequo] "quoil Tartalea.22. ,,graue atque humi nmu Comm.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 365

Theorema IIII. Prapesitio IIII.[Solidarum magnitudinum quaecunque leuior fuerit

humidi, dimissa in humidum non demergetur tata, sederit aliquid ipsius extra superficiem humidi.

sit enim solide. magnitude leuior humido et di-missa in humidum. demergatnr tata, si possibile est,et nihil ipsius sit extra superficiem humidi. consistatautem humidum ita, ut maneat non motum. intelli-gatur etiam aliquod planum eductum per centrum ter-rae et per humidum et per solidam magnitudinem.

3 secetur autem a planehoc superficies qui-dem humidi secun-

A 0 4 dum superficiemABGD, solida au-? tem magnitude per

figuram in R. cen-

I trum autem terraesit K. intelligatur autem quaedam pyramis compren-deus figuram R, secundum quad et prius, uerticemhabens signum K.- secentur autem ipsius plana asuperficie plani ABG secundum AK, KB. accipiaturautem et aliqua alia pyramis aequalis et similis huic.secentur autem ipsius plana a plane ABG secun-dum KB, KG. describatur autem et quaedam alte-rius sphaerae superficies in humido ciras. centrum K,sub solida autem magnitudine. secetur ipsa ab eodemplane secundum XOP. intelligatur autem et magni-

3. dimissa] scrib. demissa, ut lin. 6 et p. 362, 20. 10."magnitudinumii Tartalea. 20. secundum quad et prius]mata fà mini: nul «patapon.

20

25


tudo absumpta ab humido, quae secundum H, in po-steriori pyramide aequalis solidae, quae secundum R.partes autem humidi, quad in prima pyramide, quaesub superficiebus, quae secundum superficiem X0, et

5 quad in secunda, quae sub superficiebus, quae super-ficie 0P, ex aequo surit positae et centinuae inuicem.non similiter autem premuntur. quae quidem in primapyramide, premitur a. solida magnitudine, quae secun-dum R, et ab humido continente ipsam et exsistente

10 in loco pyramidis, quae secundum ABOX. quae au-tem in altera pyramide, premitur ab humido conti-

.nente ipsam exsistente in loco pyramidis, qui secnn»dum. POBG. est autem et granitas, quae secundumR, miner grauitate humidi, quad secundum H, que.

15 niam magnitudinem quidem est aequalis, selida autemmagnitude supponitur esse leuiar humido humidi con.tinentis magnitudines R, H, eritque pyramidum aequa-lis. magis igitur premitur pars humidi, quad sub sa.perficiebus, quae secundum periferiam 0P. expellet

20 ergo, quad minus. premitur [hypoth, 1], et non manethumidum non motum. supponebatur autem non mo-tum. non ergo demergetur tata, sed erit aliquid ipsiusextra superficiem humidi.

3. quae sub superficiebus] abscura; am. Comm.; cfr. lin. 5,18. 6. aequo] ,,quett Tartalea. 9. ipsam] "ipsiusu Tartales.11. premitur] deest: ,,ab magnitudine H etifi ncontinentuTartalea. 14-17: ,,quaniam magnitude solide. male quidemaequalis et humido leuiar anitur; granitas autem humidi can-tinentis magnitudines R, est aequalis, cum pyramides aequa-les sint." Comm.


Theorema V. Propositio V.Solidarum magnitudinum quaecunque fuerit leuiar,

dimissa in humidum in tanto demergetur, ut tante.moles humidi, quanta est moles demersae, habeat se-qualem grauitatem cum tota. magnitudine.

disponantur autem eadem prioribus, et ait humi-dum non motum. ait autem magnitudo EZH T leuiorhumido. si igitur humidum est non motnm, similiter

zI 11X19I a T J 10

en

A K pprementur partes ipsius ex aequo positae [hypoth. 1].similiter ergo premetur humidum, quod sub super-ficiebus, quae secundum periferias X0 et P0. quareaequalis est grauitas, quae premitur. est autem ethumidi granitas, quod in prima. pyramide, sine BHTGsolido aequalis grauitati humidi, quod in altera pyra-mide, sine RSEY humido. palam igitur, quod gra-nitas magnitudinis EZHT est aequalis grauitati hu-midi RSE Y. manifestum igitur, quod tante. moleshumidi, quanta est demersa pars solidae magnitudinis,habet grauitatem aequalem toti magnitudini.

8. Serib. demisss. 6. ,,eandem" Tarteles. 12. quaePremitur] ,,qua premunturu Comm. lb. "racyu Tartalea, utin. 17.

10


’ Theorema VI. Propositio VI.Solida leuiora humido ni pressa in humidum sur-

rexi feruntur tanta. ni ad superius, quanto humidumhabens molem aequalem cum magnitudine est grauius

5 magnitndine.sit enim magnitudo A leuior humido. ait autem

magnitndinis quidem, in qua A, granitas B, humidiautem habentis molem aequalem cum A granitas B G.demonstrandum, quod magnitudo A, ubi pressa in hu-

10 midum, refertur ad superius tanta ni, quanta est gra-nitas G. accipiatur enim quaedam magnitudo, in quaD, habens granitatem aequalem ipsi G. magnitudeautem ex utrisqne magnitudinibns, in quibus A, D, ineadem composita est leuior humido. est enim magni-

15 tudinis quidem ex utrisque gra-nitas BG, granitas autem hu-midi habentis molem aequalem

B g -. [ipsis A, Dmaior est quam BG,1 p quoniam humidi molem haben-

20 A tis aequalem] cum A granitasest BG. dimittatur igitur in hu-midum magnitndo ex utrisque

A, D composita. ad tantum demergetnr, donec tante. mo-les humidi, quantum est demersum magnitndinis, habeat

25 grauitatem aequalem cum tota magnitudine. demonstra-tum est hoc [prop. 5]. sit autem superficies quaedamhumidi alicnins quae ABGD periferia. quoniam igitur

B

2. surrexi] ênawo’répevu p. 358, 5; 0m. Comm. 4."molett Tartalea, ut lin. 8, 17. 14. humido] se. molem hi.benti aequalem magnitudini A -I- D. 17 . ipsis - lin. l9: ae-qualem] 0m. Tartalea; suppleui ex Commandino.


tanta moles humidi, quanta est magnitndo A, habetgrauitatem aequalem cum magnitndinibns A, D, pa-lam est, quad demersnm ipsius erit magnitndo A, re-liquum autem, in quo D, erit totnm desuper suprasuperficiem humidi. si enim in palan igitnr, qnod 6quanta ni magnitude A refertur ad superius, tantaab eo, qnod supra est, D, premitur ad inferins, quo-niam nentra a neutra expellitnr. sed D ad deorsumpremit tanta granitate, quanta est G; supponebaturenim granitas eius, in quo D, esse aequalem ipsi G.palam igitur, quod oportebat demonstrare.

Theorema VII. Propositio VII.Graniora humido dimissa in humidum ferentur

deorsnm, donec descendant, et eruntlleuiora in humidotantum, quantum habet granitas humidi habentis tan-

. tain molem, quanta est moles solidae magnitudinis.quod quidem feretnr in deorsnm, donec descendat,

palam. partes enim humidi, quae sub ipsius, pre-muntnr magie quam partes ex aequo ipsis iacentes,quoniam solida magnitudo supponitnr grauior humido.qnod autem leuiora erunt, ut dictum est, demonstra-bitur. sit enim aliqna magnitudo quae A, quae estgrauior humido, granitas autem magnitudinis quidem,in qua A, sit quae BG, humidi autem habentis mo-

b. si enim] 0m. Comm.; lacuna uidetur esse. 7. est] f-Tartalea. 8. neutra a neutra h. e. quoniam aequilibritatemserrant A 4- D ita positum, ut in humido sit, D autem supra.male Nizzins: altera ab altera. 10. D] ,,gdH Tartalea. 13."ferrentuft Tartalea. 16. ,,molet* Tartalea, ut lin. 24.17. "ferreturb Tartalea. 18. sub ipsius] ôn’ mimi. l9.quam] "quaett Tartalea. aequo ipsis] ,,quo ipsesu Tartalea.24. sit quae] Forum à; ,,sitqueü Tartalea. , -

Archimedel, ed. Esther; Il. 24

10

15

20

370 DE IIS,IQUAE IN.HUMIDO UEHUNTUB.

lem aequalem ipsi A granitas B. demonstrandum,qnod magnitndo A in humido existens habebit gram-tatem aequalem ipsi G. accipiatnr enim aligna aliamagnitudo, in qua D, leuiar humido molis aequalis cum

5 ipsa. sit autem magnitndinis quidem, in qua D, grani-tas aequalis granitati B, humidi autem habentis molemaequalem magnitudini D granitas sit aequalis grani-tati BG. compositis autem magnitudinibns, in quibus

- - A, D, magnitndo simul ntrarnmque10 B erit aeque grauis humido. grani-

tas enim magnitndinum simul utra-A - D rumque est aequalis ambabns gra-

G uitatibus, scilicetBG et B, granitashumidi hnius habentis molem ae-

16 -- qualem ambabus magnitudinibusestaequalis eisdem grauitatibus. dimissis igitur magnitnodinibus et proiectis in humidum aequerepentes erunthumido et nec ad sursnm ferentur neque ad deorsum[prop.3], quoniam magnitndo quidem, in qua A, exsistens

20 granior humido feretur ad deorsum et tanta ni a magni-tudine, in qua D, retrahitur. magnitudo autem, in quaD, quoniam est leuior humido, eleuabitur sursnm tanteni, quanta est granitas G; demonstratum est enim,quod magnitudines solidae leuiores humido impressae

25 in humidum tanta ni referuntur ad sursnm, quantahumidum aeqnae molis cum magnitudine est grauinsmagnitndine [prop. 6]. est autem humidum habens

6. ,,mole aequaleu Tartalea. 14. huius habentis] toilionne. "molefl Tartalea. 18. ,,ferrentur" Tartalea. utlin. 20. 19. quoniam] debebat esse: itaque. 20. tanin)a: tantadem.

DE ILS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 371

molem aequalem cum D [grauius quam D ipsa G gra-uitate]. Palam igitnr, qnod magnitude, in qua A,fertur in deorsum tanta grauitate, quanta est G.

Suppositio Il.Supponatur, eorum, quae in humido sursnm femn-

tur,.nnnmqnodqne sursnm ferri secundum perpendicu-larem, quae per centrum grauitatis ipsornm prodncitur.

Theorema VIH. Propositio VIH.Si aliqna solide. magnitudo habens figuram portio-

nis sphaerae in humidum dimittatur ita, ut basis por-tionis non tangat humidum, figura insidebit recta ita,ut axis portionis secundum perpendicularem sit. etsi ab aliqno trahitnr figura ita, ut basis portionistangat humidum, non manet declinata, secundum di-mittatnr, sed recta restituatnr.’I-1)

1) Demonstratio bains propositionis apnd Tartaleam deest(diserte ad eam respicitur prop. 9 p. 372, 15; 21); sed figurae cum

in, quae ad prop. 9 pertinent, mixtae inneninntur hae; demon-strationem de suo adiecit Commandinus.

1. granius- grauitate lin. 2 0m. Tartalea; suppleni exgommandino. 3. ,,feri" Tartalea. 13. secundum] ,,si"

0mm.

24’

6

5

10

15

20

372 DE 11s, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

[Theorema 1X. Propositio 1X.]Et igitur, si figura lanier exsistens humido dirait-

tatur in humidum ita, ut basis ipsius tota sit in hu-mido, figura insidebit recta ita, ut axis ipsius sit se-cundum perpendicularem.

intelligatur enim aliqua magnitudo, qualis dictaest, in humidum dimissa. intelligatur etiam et pla-num productnm per axem portionis et per centrumterrae. sectio autem sit superficiei quidem humidiquae ABGD periferia, figurae autem EZH periferis,et quae EH recta. axis autem portionis sit quae Z T.si igitur est possibile, non secundum perpendicularemsit quae Z T. demonstrandum igitur, quad non ma-net figura, secundum in rectum statuetur. est autemcentrum sphaerae usqne Z T. rursum enim sit figuramaior emisperio, et sit centrum sphaerae usqne ademisperium scilicet T, in minori autem P, in maioriautem K. par K autem et per centrum terrae L du-catur KL. figura autem extra humidum assumpta asuperficie humidi axem habet in perpendiculari, quaepar K. propter eadem prioribns est centrumtatis ipsius in linea NK. sit enim R. totins autemportionis centrum grauitatis est in linea Z T inter K

1. Theorema cett. 0m. Tartalea, apud quem prop. 9 intypis ex ressa est, qËasi sit demonstratio propositionis 8. Il.sit quae "sitquett artalea. 14. secundum] "sedtt Coma15. usqne] ,,int* Comm. rursum] se. ut in demonstrationeprop. 8. 16. emisperio] a: hemisphaerio; cfr. lin. 17. us-qne ad] ,,in dimidia Sphæmti Comm. 19. extra eett.] nquaeest extra humidi superficiemu Comm. 21. "eandemu Tu.talea. prioribns] in demonstr. prop. 8. 22. enim] ü?

DE ns, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 373

Z, et sit 0. reliquats ergo figuras eius, quae inimido, centrum erit in recta CR inducta et absnmpta,me habebit ad CR eandem proportionem, quam ha-et granitas portionis, quae extra humidum, ad gra-

1 Duitatem figurae, quae in humido [émana [6099. I, 8]. 5ait autem 0 centrum dictae figurae, et per i0 per-pendiculari[s ducatur L0]. feretur igitur granitasportionis quidem, quae est extra humidum,isecundumrectam R0 ad deorsum, figurae autem, .quae in hu-mido, secundum rectam 0L ad sursnm [hypoth. 2].non manet igitnr figura, sed partes quidem figuras,quae uersns H, ferentur ad deorsum, quae autem uer-

1. inducta] ôtnyps’vn. 6. "perpendicularitt Tartalea; ce-tera supplenit Comm. 7. "ferreturu Tartalea, ut lin. 12.

10


sus E, ad sursnm, et super hoc erit, donec quae Z Tsecundum perpendicularem fiat?)

1) Haec quoque propositio mutila ad nos pernenit. nequeenim amplius quam primas casus pertractatus est, cum tamende duobus ceteris promissum sit (p. 372, 15), et praeparatum(p. 372, 17). sed ne id quidem, quod exeat, satis perspi-cuum est.

1. super] scrib. semper. In fine: ,,explicit de insidentibusaquae liberu Tartalea.

Liber Il.I.

Si aliqua magnitudo existensleuior humido (limit-tatur in humidum, liane habebit proportionem in gra-uitate ad humidum molis aequalis sibi, quam habet 6demersa magnitudo ad totam magnitudinem.

demittatur enim in humidum aliqua magnitudosolida, quae sit FA, leuior humido. sit autem quodquidem demersnm ipsnm A, quod autem extralhumi-

Je

0

R

i

l

l

F

A

N

dum F. demonstrandum, quod mag-nitudo FA ad humidum aequalis mo-lis in granitate banc habet propor-tionem, quam A ad FA. accipiatnrenim aliqua humida. magnitudo, quaesit NI, molis aequalis cum FA, etipsi quidem F sit aequale N, ipsiautem A I. et adhuc granitas qui-dem magnitudinis FA sit B, ipsiusautem NI quae R0, ipsius autem

15

I R. magnitudo igitur FA ad NI 20banc habet proportionem, quam gra-nitas B ad grauitatem R0. sed quo-

niam magnitudo FA in humidum dimissa est leuior

5. malin] ,,mobilis*t Tartalea. 8. quae] "quamtt Tarta-lea, ut lin. 14. 9. ipsum] ipsius?

376 DE 11s, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

existens humido, palam, quod demersae magnitndinismoles humidi habet grauitatem aequalem cum magni-tndine FA. demonstratum est enim hoc [1, 5]. etquoniam quod secundum A humidum est I, ipsius

5 autem I granitas est R, ipsius autem FA granitasest B, granitas B, quae est habentis aequalem molemtotius magnitndinis FA, est aequalis grauitati humidi I,scilicet ipsi R; et quoniam est, ut magnitudo FAad humidum, quod secundum ipsam, scilicet NI, ita

10 B ad R0, aequale autem est B ipsi R, ut autem Rad R0, ita I ad NI et A ad FA, ut ergo FA adhumidum, quod secundum ipsam, in grauitate, magni-tudo A ad FA. Tfactnm est aequale demersae mag-nitudinis, scilicet A. habet ergo magnitudo FA in

15 granitate ad NI, ita B ad R0. quam autem pro-portionem habet R ad R0, banc habet proportionem . ..ad R, . . . et A ad FA. demonstratum est enim.

II.Renta Iportio rectanguli conoidalis quando axem

20 habuerit non maiorem, quam emiolium eius, quae us-que axem, omnem proportionem habens ad humidumin grauitate, dimissa in humido ita, ut basis ipsiusnon tangat humidum, posita inclinata, non manet in-

1. "demeraestt Tartalea; ,,tantam humidi molem, quanta. estpars magnitndinis demersatt Comm. 4. qnod secundum] :6nard: zip A ôyço’y. 6. ,,aeqnalitate molett Tartalea; "grauita-tem aequalemu Nizzius male. 10. B] (prias) ,,.BOn Tartales.12. "ipsatt Tartalea. 13. factum] sequentia usi-ba sensu ca-rent, nec opus sunt; ,,qnod demonstrare oporteba t* Comm. ce-teris omissis. 17. ad R] in media lacnna Tartalea. 29.non maiorem] Torellins p. XVIII; nmaioremu Tartalea; "mi-noremu Comm.

DE US, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 377

alinata, sed restitnetnr recta. rectam dico consisteretalem portionem, quando quod secuit ipsam fueritteqnidistanter superficiei humidi.

sit portio rectanguli conoidalis, qualis dicta. est,et iaceat inclinata. demonstrandum, quod non manet, 6sed restituetur recta. secta autem ipsa plane pet

axem recte ad planum, qnod in superficie humidi, por-tionis sectio sit quae APOL rectanguli coni sectio[mol «mu. 11], axis autem portionis et diameter sec-tionis quae N 0, superficiei autem humidi quae IS.si igitur portio non est recta, non utiqne erit quaeAL aequidistans ipsi IS. quam non faciet angulumrectum quae N 0 ad IS. ducatin- ergo quae K52 con-tingens sectionem coni penes P.1-’) 1

un 0

1) Pars e’xtrema demonstrationis apnd Tartaleam deest; desuo adiecit Commandinus.

8. quae APOL] ,,qne apol." Tartalea. 10. su erficiei]pendet ab ,,sectiou lm. 8. quae I S] ,,qnam Kfl, artalea.12. IS] nie Ku Tartalea.

10

15


III.Recta portio rectanguli conoidalis, quando axem

habuerit non maiorem quam emiolium eius, quae us-qne ad axem, omnem proportionem habens ad humi-dum in grauitate, dimissa. in humido ita, ut basisipsius tota sit in humido, posita inclinata, non manetinclinata, sed restituetur ita, ut axis ipsius secundumperpendicularem sit.

dimittatur enim aliqua portio in humidum, qualisdicta est, et sit ipsius basis in humido. secta autemplana per axem recto ad superficiem humidi sectio sitquae APOL rectanguli coni sectio [and zani. 11], axisautem portionis et diameter sectionis quae PF, super-

qficiei autem humidi sectiosit quae I S; et si inclinata

Ï To IlJ A.I(l

’ 1’

diacet portio, non erit secundum perpendicularem axis.non ergo faciet quae PF angulos aequales ad IS.ducatur autem quaedam quae K62. aequedistanter ipsi

3. non maiorem] Torellius p. XVIII; ,,ma.ioremu Tartalea;"minorent Comm. 9. qualis] "aequalistt Tartalea. l3.gremîiis] ,,sectio 111,. ju Tartalea. 14. sit quae] "sitquett

ea.

DE IIS, QUAIS IN HUMIDO UEHUNTUR. 379

’S contingens sectionem APOL penes 0, et solidae1uidem magnitndinis AP0L centrum grauitatis sit R,peins autem I POS solidi centrum B, et copulata quae3R educatur, et centrum grauitatis reliquae figurae,cilicet ISLA, sit G [cfr. ému. 36099. I, 8]. similiterl)lemonstrabitur angulus quidem qui sub ROK acutus,ierpendicnlaris quae ab R, TR, ad K62 producitur,adens inter K et 62, sitqne RT. si autem ab ipsisË, B ducantur aeqnedistanter ipsi RT, quod quidemn humido absumptum feretur sursnm secundum pro-luctam per G [I hypoth. 2]. quod autem extra hu-nidnm secundum productam per B feretur deorsum,:t non manet solidum APOL sic se habens in hu-nido, sed qnod quidem secundum A habebit lationemxursum, quod autem secundum L deorsum, donee fiatluae PF secundum perpendicularem.

1V.

Recta portio rectanguli conoidalis quando fueritleuiar humido et axem habuerit maiorem quam emi-olium eius, quae usqne ad axem, si in granitate adhumidum aequae molis non minorem proportionem ha-beat -illa, quam habet tetragonum quodhab excessu,que maior est axis quam emiolius eius, quae usqne

1) Se. ac supra in demonstratione prop. 2, quae intercidit;de re u. Nizze p. 234, 11.

6. R0 "rmKit Tartalea. 7. perpendicularis] scrib.Et perp. R] 0m. Comm. "kou Tartalea. 8. a] "oitTartalea. 10. "ferrettt Tartalea. 12. "productafl Tartalea.21. aequae] J: aequalis; "aequeh Tartalea.

10

16

20


ad axem, dimissa in humido in, ut basis ipsius non ïtangat humidum, posita inclinata, non manet inclinata,

sed restitnetur in rectum. ’ 1este portio rectanguli conoidalis, qualis dicta est i

5 et dimissa in humidum, si est possibile, sit non recta,sed sit inelinata. secta autem ipsa par axem plane ï

l recto ad superficiem humidiportionis quidem sectio fitrectanguli coni sectio [:591 ,1mn. 11] quae APOL, axis iautem portionis et diameterquae N 0, superfieiei autemhumidi sectio sit IS. si igi-tur portio non est recta. lnon faeintqnae NO ad 15 l

a angulos aequales. ducatur:autem quae K 52. contingens sectionem rectanguli conipenes P, aequidistans autem ipsi I S. a P autem ae- Ïqnedistanter ipsi ON ducatur quae PF, et aocipian- i

20 tnr centra grauitatnm, et erit solidi quidem APOL .centrum R, eius autem, quod inter humidum, centrumB, et copuletnr BR et edncatur ad G, et sit solidi,qnod supra humidi, centrum granitatis G [31m. loupaI, 8]. et quoniam quae N 0 ipsius quidem R0 estemiolial), eius autem, quae usqne ad axem, est maior

l

1) Nain centrum grauitatis eonoidis rectanguli in in si

1. axem] addendum: ad tetragonnm quod ab axe. 4.nrectangulau Tartalea. 11. diameter] se. sectionis. 19.quae] "que’t Tartalea. 20. ,,contra granitant Tartalea. il.inter a: nitra. 22. 13R] "gtrtt Tartalea. 23. quod supra ,humidi] 16 tinte roi «31906.

X.


emiolia, palam, quad quae R0 est maior quamlaque ad axem. sit igitur quae RE aequalis ei,usqne ad axem, quae autem 0H dupla ipsiusquoniam igitnr ait quae quidem N 0 ipsius R0

a, quae autem M0 ipsius 0H, et reliqua quaereliquae, scilicet RE, emiolia est!) ipsi M0 est

quam emiolius est axis eius, quae usqne adscilicet RE?) et quoniam supponebatur portio

anidum in granitate non minorem proportionem[S illa, quam habet tetragonum, quad ab excessu,axis est maior quam emiolius eius, quae usqne(en, ad tetragonum quad ab axe, palam, qnodminorem proportionem habet portio ad humidumauitate illa proportions, quam habet tetragonum

ab M0 ad id quod ab N 0. quam autem pro-onem habet portio ad humidum in grauitate, hanct demersa ipsius portio ad totam solidam portio-

demonstratum est enim hoc [prop. 1]. sed quam:t proportionem demersa portio ad totam, hanc

nm est, ut pars ad uerticem sita dupla maior sit altera;1st. Arch. p. 33.1) Nam MN::NOs MO:&(R0e 0H) a ëRH.2) H. e. N 0 r: QRH 4- M O. ,,quae usqne ad axemtt (fiz. ce?) «igame; ne tum. 3p. 304, 3) est dimidia parametrusu. Zeitschr. f. ath., hist. Abth. XXV p. 51 nr. 13. sed: f1) (Apollon. con. V, 13). est igitur

NO:MN-]-MO:gRH-I-MO.2. RE] ,,rmu Tartalea. 3. 0H] "onu Tartalea. 4.

1] "MW Tartalea. 5. OH] se. emiolia. 6. reliquae] nre-mit Tartalea. est] (ait) igitur? ,,ergo axis tante maior est.m sesquialter eius, quae usqne ad axem, quanta est lineaDit Comm. 8. RE] "watt Tartalea. 9. ,,minuerem*i:talea. 14. proportions] "proportionemfi Tartalea. 19.tic] "proportiott Tartalea.

10

Il

10

15

20

382 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEBUNTUR.

habet tetragonum quod ab PF ad tetragonum queab N 0. demonstratum est enim in iis, quae de ccnoidalibus, quod, si a rectangulo conoidali duae po:tiones qualitercunque productis planis abscindantuportiones, adinuicem eandem habebunt proportionenquam tetragona quae ab axibus ipsorum [and un». 24;non minorem ergo proportionem habet tetragonum que)a PF ad tetragonum quod ab N 0, quam tetragonunquod ab M0 ad tetragonum quod ab N 0. quare quaPF non est miner quam M0, neque quae BP quam H0.lsi igitur ab H ipsi N 0 recta. ducatur, cadet intra B et Iquoniam igitur quae quidem PF est aequidistanter diametro, quae autem M T est pegpendicularis ad dia-metrum, et quae RH aequalis ei, quae usqne ad axemab R ad T copulata et educta facit angulos rectosad contingentem secundum P3) quare et ad 1S eiad eam, quae par IS, superficiem humidi faciet aequa-les angulos.’) si autem par B, G ipsi RT aeque-distantes ducantur, anguli recti erunt facti ad super-ficiem humidi, et quod quidem in humido assumitur

1) Nam BP a: êPF (p. 380 not. 1) etHO :5210 J:BPËH0.

2) Zeitscbr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 54 nr. 2l.3) Nam I.S à: 1m; tnm u. Eucl. I, 29.

1. ab PF ad tetragonum qgod ab N 0] 0m. Tartalea Ia-’cuna relicta; corr. Comm. 6. Ipsorum] post hoc uocabulumlacunam habet Tartalea. 10. H O] "010d Tartalea. 11.H] "71W Tartalea (et fortune in figura permutandae M et Il;nam in figura Tartaleae M loco litterae H positum est, sed

meterea inter M et 0 littera. H). recta 1:96; demis. "68’env) Tartalea. Post P desideratur: conci at in T; cfr. p. 38h,

10. 14. RE] "mW Tan-tales. 17. aequales] rectos? 19.autem] igitur? (612).


olidum conoidalis sursnm fertur secundum eam, quae)er B, aequedistantem ipsi RT, quod autem extra hu-midum assumptum deorsum fertur in humidum secun-lum productam per G aequedistantem ipsi RT [I hy-)oth. 2], et par totnm idem erit, donec utiqne conoi-iale rectum restituatur.

V.

Recta portio rectanguli conoidalis, quando leuioraxistens humido habuerit axem maiorem quam emio-ium eius, quae usqne ad axem, si ad humidum in gra-xitate non maiorem proportionem habeat illa, quamnabot excessus, quo mains est tetragonum quod abne tetragono, quod ab excessu, quo axis est maiorquam emiolius eius, quae usqne ad axem, ad tetrago-num quad ab axe, dimissa in humidum ita, ut basisipsius tota ait in humido, posita inclinata non manetinclinata, sed restituetur, ita ut axis ipsius secundumperpendicularem ait.

demittatur enim in humidum aliqua portio, qualisdicta est, et ait basis ipsius tota in humido. sectaautem ipsa plana pet axem recto ad superficiem hu-midi erit sectio rectanguli coni sectio [mol mon Il];et ait quae APOL, axis autem et diameter sectionisquae N 0, superficiei autem humidi sectio quae I S.et quoniam non est axis secundum perpendicularem,non faciet quae N 0 ad IS angulos aequales. ducatur

1. "en.u Tartalea. 3. ,,assumpta" Tartalea. 10. quae]uqmw Tartalea. 12. "batragommmfl Tartalea. 23. axis] se.portionis. 24. quae] (prins) nquamn Tartalea.

20

25


autem que K9 eontingens sectionem APOL seœn- adumPaeqnidistansipsiIS, otperPipsiNanque-distans que PF, et accipiantnr centra granitatum, et

ait ipsius quidem APOLcentrum R, eius autem,quod extra humidum, B,et oopulata quae BRaducatur ad G, et ait G dcentrum grauitafis so-lidi assumpti in humido[31m. 30’099. I, 8]. et ac-

cipiatur quae RHaequalisei, quae usqne ad axem,

quae autem 0H dupla ipsius HIE, et alia fiant con-15 similiter superiori [prop. 4 p. 381, 4]. quoniam igi.

tut supponitur portio ad humidum in grauitate nonmaiorem proportionem habens proportione, quam ha-bet excessus, quo mains est tetragonum quod ab N0tetragono quad ab M0, ad fatragonum quad ab N 0, sed

20 quam proportionem habet in grauitate portio ad humi- tdum aequalis molis, hanc proportionem habet demersaipsius portio ad totnm solidum (demonstratum est enimhoc in primo theoremate), non maiorem ergo propor-tionem habet demersa magnitudo portionis ad totnm

V 25 portionem, quam ait dicta proportio. quare non masiorem proportionem habet tata portio ad eam, quaeextra humidum, portionem, quam habet tetragonum t

2. ,,grauitatem" Tartalea. 12. RE] "MW Tartan:cfr. ad p. 382, 11. 13. nom] "axefl lacuna relicta Taxi-lezl9. ad] am. Tartalea. 26. pro rtio] "portion Tartalea27. portionem] "proportionemtt artslea.


quad ab N 0 ad tetragonum quod ab M03) habetautem tata portio ad partionem quam extra humidumeandem proportionem, quam habet tetraganum quadab N 0 ad id quad a PF [and zani. 24]. non ma-iorem ergo proportionem habet quad ab N O ad id aPF, quam quad ab N 0 ad id quad ab M0. non mi-nor ergo fit quae PF quam quae 0M quare necquae PB quam HO [p. 382 not. 1]. quae ergo abH producitur ipsi N 0 ad rectos angulos, concidet ipsiBP intra P et B. concidat secundum T. et quoniamin rectanguli coni sectione quae PF est aequidistan-ter diametro N O, quae autem H T perpendicularissuper diametrum, quae autem EH aequalis ei, quaeusqne ad axem, palam, quad quae ET eduota facitangulos rectos ad KPSZ. quare et ad IS [p. 382not. 2-3]. quae ergo RT est perpendicularis adsuperficiem humidi. et per signa B, G aequedistanteripsi ET productae erunt perpendiculares ad super-ficiem humidi. quae quidem igitur extra humidum.

5

10

portio deorsum feretur in humidum secundum pro- 20ductam per B perpendicularem, quae autem intra hu-midum sursum feretur secundum perpendicularem, quae

1) Est ISAL : APOL Î N0a -:- MO’ : NO’ sineAPOL : ISAL Ë NO’ : NO’ -:- MO’;

itaque dvaorqérpum (Eucl. V, 19 «douma et Pappus VII, 48p. 686

APOL : APOLa ISAL Ë NQ’ : MO’.

1. M0] "mW Tartalea. 5. quad] "quaett Tartalea. id]id quad? 8. HO] nuoit Tartalea. 9. H] ,,mtt Tartalea.N 0 ad rectos angulos] ,,ro aequidistansd Tartalea. 12. N 0], r0u Tartalea. ET] "MW Tartalea. 13. RE] ,,rm"Tartines. 20. "ferretufl Tartalea, ut lin. 22. "productatt

Tartalea. oArchlmedes, ad. Heiberg. Il. 25


per G, et non manet solida portio APOL, sed intrahumidum erit matum, donec utiqne quae N O fiat se-cundum perpendicularem.

VI.

5 Recta portio rectanguli conoidalis quando humidoleuiar existens axem habuerit maiorem quidem quamhemiolium, minorem autem, quam ut habet hanc pro-portionem ad eam quae usque ad axem, quam habentquindecim ad quattuor, dimissa in humidum ita, ut

10 basis ipsius contingat humidum, numquam stabit in-clinata ita, ut basis ipsius secundum unum signumcontingat humidum.

sit portio, qualis dicta est, et dimissa in humidumconsistat, sicut ostensum est, ita ut basis ipsius se-

15 cundum unum signum contingat humidum. secta autemipsa per axem plana recto ad superficiem humidisectio superficiei portionis sit quae APOL rectanguliconi sectio [mol xaw. 11], superficiei autem humidiquae AS, axis autem portionis et diameter sit quae

2o N 0, et secetur secundum F quidem ita, ut quae OFait quae dupla ipsius FN, secundum 62 autem ita,ut quae N O ad F62 habeat proportionem quam quin-decim ad quattuor, et ipsi N 0 adducatur quae 62K.quae autem N 0 maiorem proportionem habet ad F32,

25 quam ad eam, quae usqne ad axem. sit quae FBaequalis ei, quae usqne ad axem, et ducatur quae qui-

2. ,,in matumtî Tartalea (in motu?). 7. habet] bahut?17. superficiei] delco. 19. diameter] se. sectionis. 20. ut]0m. Tartalea. 21. quae] delco. 23. adducatur] ,,ad rectosangulos ducaturu Comm. 25. ,,ea" Tartalea.


dem PC aequedistanter ipsi AS contingens sectionemAPOL secundum P, quae autem PI aequedistanter

z ipsi N O. secet autemquae PI prius ipsamK82. quoniam igitur inportions APOL con-

s tenta a recta et a sec-tione rectanguli coniquae quidem KH ae-quedistanter ipsi AL,quae autem PI aeque-

distanter diametrosecta ipsa K62, quaeautem] AS aequedistanter contingenti secundum P,necessarium est, ipsam PI autem eandem pro-portionem habere ad PH, quam habet quae N52.ad .520, aut maiorem proportionem. demonstratumest enim hoc persumptaf) quae autem SEN estemiolia ipsius 62.0.2) et quae I P ergo aut emioliaest ipsius HP aut maior quam emiolia. quae ergoPH ipsius HI aut dupla est aut minor quam dupla?)

1) A que, nescimus; cfr. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXVp. 54 nr. 22.

2) Nam F0u2FN;itaqueFN:N0:1:3: 5:15,et ex h othesi est F52 : N 0 : 4: 15. quam addenda eritFN-]- a : N0:9:15:-N.Q.:N0; unde OQ:N.Q---6: 9.

3) Erat PI: PH-S- Na : ou et N52 a :109; undePI Ë âPH.

itaque HI a: PI-I- PHÊ JIPH, h. e. PHÊ 2H1.

9. KH] K32 Comm. 10. ,,ipsa AL quofl Tartalea. 14.P] hic lacunam habet Tartalea. 16. autem] aut? 17. aut]0m. Tartalea. 18. persumpta] par sumpta? QN] ne)!»üTartalea. 19. I P] "57W Tartalea.

25*

10

15


sit autem quae PT ipsius TI dupla. centrum ergograuitatis eius, quad in humido, est signum T [p. 380not. 1]. et copulata quae TF educatur, et sit centrumgrauitatis eius, quad extra humidum, G [31mn (dopa.

5 I, 8], et a B ipsi N O recta quae BR. quoniam igi-tur est quae quidem PI aequedistanter diametro N 0,quae autem BR perpendicularis super diametrum, quaeautem FB aequalis ei, quae usqne ad axem, palam, quadquae FR educta aequales angulos faciet ad contingen-

10 tem sectionem] APOL secundum P [p. 382 not. 2-3].quare et ad AS et ad superficiem aquae. duetis au.tem pet T, G aequedistanter ipsi F3, erunt et ipsamperpendiculares ad superficiem aquae, et magnitudoquidem inter humidum assumpta ex solido APOL sur-

" sum feretur secundum eam,quae per T, perpendicu-larem; quae autem extrahumidum, deorsum feretur

in humidum secundumeam, quae per G, perpen-dicularem. reuoluetur ergosolidum APOL, et basisipsius non tanget super-ficiem humidi secundumunum signum. si autemquae PI non seeuerit li-

neam K32, sicut in secunda figura descriptum est,manifestum, quad signum T, quad est centrum gra-

15

20

25

9. FR] ,,tr" Tartalea. aequales] h. e. rectos. fadet]am. Tartalea. 15. nferreturfl Tartalea. 18. "ferretu Tar-talea. 27. secunda] "solidatt Tartalea; carr. Comm.


uitatis demersae portionis cadet inter P et I, et reli-qua. similiter demonstrabuntur.

VII.

Recta portio rectanguli conoidalis quando humidoleuiar fuerit et axem habuerit maiorem quidem quamemiolium eius, quae usqne ad axem, minorem autemquam ut proportianem habeat ad eam, quae usque adaxem, quam quindecim ad quattuor, dimissa in humi-dum ita, ut basis ipsius tata sit in humido, nunquamstabit ita, ut basis ipsius tangat superficiem humidi,sed ut tata sit in humido, nec secundum unum signumtangens superficiem.

sit portio, qualis dicta est, et dimissa in humidum,sicut dictum est, consistat ita, ut basis ipsius tangatsuperficiem humidi; demonstrandum, quad non manet,sed reuoluetur ita, ut basis ipsius tangat superficiemhumidi non secundum unum signum. secta enim ipsaplana recto ad superficiem humidi sectio sit quaeAPOL rectanguli coni sectio [mol uœv. 11]. sitautem et superficiei humidi sectio quae SL, axis au-tem portionis et diameter quae PF.1- sit I. rursumautem secetur quae PF secundum R quidem ita, utquae RP sit dupla ipsius RF, secundum 62 autemita, ut quae PF ad R62 proportionem habeat, quamquindecim ad quattuor, et quae 62K recta ducatursuper PF. erit autem minor quae R62 quam en quae

6. eius, quae] ,,eiusq’" Tartalea. autem quam] "autttTartalea. 18. recto "recta" Tartalea. 20. humidi] ,,hu-midan Tartalea. S ] "84W Tartalea. 21. sit I] ? 24.PF] ,,pcvsu Tartalea.

5

20

25

210


usqne ad axem [cfr. p. 386, 24]. accipiatur igitur eiquae usqne ad axem aequalis quae EH, et quae qui-dem 00 ducatur contingens sectionem panes O existens

Aaequedistans ipsi SL, et quae N 0 et aequedistans ipsiPF. secet autem quae N 0 ipsam K62 prias secun-dum I. consimiliter autem praecedenti demonstrabi-tur, quad quae N 0 aut hemiolia est ipsius OI autmaior quam hemiolia. erit autem quae OI ipsi I Fminor quam dupla.1) sit igitur quae 0B dupla ipsiusB N, et disponantur eadem prioribns [p.388,1 sq.]. simi-liter igitur demonstrabitur quae RT faciens angulosrectos ad 00 [p. 382 not. 2-3] et ad superficiemhumidi, et ab ipsis B, G productae aequedistanter ipsi

1) ON: OIËFQ. :’P62 (p. 3873M. 3); F62: Pa;ih.queONÊ 40L et IN:- ON-Z- OIS&OI, h. e. O Î2IN. -fig. 2 0m. Tartalea.

3. sectionem] ,,sectiones*t Tartalea. 4. 8L3 ,,as" Tar-talea. et quae N 0 et] 1) 6è N O nul. 8. erit "aitfl Tantalea, Comm. 01] "ON ïartalea. IN] "kW Tartalet10. eadem] "tandemtt Tartalea. ,,r f tt Tartalea, ut p. 891 lin. l.

DE ne, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 391

RT erunt perpendiculares super superficiem humidi.portio igitur quae quidem extra humidum deorsum

feretur in humidum secundum eam, quae per B, per-pendicularem, quae autem inter humidum, sursnm fe-retur secundum eam, quae per G. manifestum igitur,quad uoluitur solidum ita, ut basis ipsius nec secun-dum 111mm contingat superficiem humidi, quoniamnunc secundum unum tangens ad deorsum fereturex parte A. -- manifestum autem, quad et, si quaeN 0 non secuerit ipsam 62K, eadem demonstrabuntur.

VIH.

Recto. portio rectanguli conoidalis quando axemhabuerit maiorem quam hemiolium eius, quae usqnead axem, minorem autem quam ut ad eam, quae ad

3. ,,ferretur" Tartalea, ut lin. 4. 5. ,,quam" Tartalea.manifestnm] "maximumtt Tartalea. 6. "fauduoluitn Tartalea.nec] midi. 8. "ferretn Tartalea. 10. ,,ea.i:idemu Tartalea.14. quam] 0m. Tartalea.

10

10

15

20


axem, habeat proportionem, quam habet quindecim adquattuor, si grauitate ad humidum habeat proportio-nem minorem proportione, quam habet tetragonumquad ab excessu, quo axis est maior quam hemiolinseius, quae usqne ad axem, ad tetragonum quad ab au,dimissa in humidum ita, ut basis ipsius non tangathumidum, nec in rectum restituetur nec manebit in-clinata, nisi quando axis ipsius ad superficiem humidifecerit angulum aequalem ei, qui dieendus est.

sit portio, qualis dicta est, et sit quae BD aequa-lis axi, et quae quidem BK sit dupla ipsius KD,quae autem RK aequalis ei, quae usqne ad axem. sitautem et quae quidem ÛB hemiolia ipsius B R. quamautem proportionem habet portio in grauitate ad hu-midum, hanc habeat quad ab FQ tetragonum ad id,quad a DE. sit autem et quae F dupla ipsius Q.palam igitur, quad quae FQ ad ipsam DE propor-tionem habet minorem proportione, quam habet quaeCB ad ipsam BDÂ) excessus enim quad CE est,quo axis est maior quam hemiolius eius, quae usqnead axem. quae ergo FQ erit minor ipsa. BC. quareet quae F minor ipsa BE.] sit autem ipsi F aequa-lis quae Ræ, et super ipsa BD recta ducatür quae

1) État 0B a: :3312. sed0D a: BD --:- BC’ a a;(BK--:- DE) - 413K.

et CE :- BD a 0D a: BD a QRK a: excessui. et ex la].pothesi est CB’ : BD’ a sectio : humidum, h. e.

03’ : BD’ a FQ’ : BD’ (ex hypothesi).

2. grauitate] ,,grauis*t Tartalea. 13. 0B] nebtt Tam-lea. 15. habeat] am. Tartalea. 17. ,,f tt Tartalea. 19.CE] "N;5 Tartalea. quad] ? CE] ,, dtt Tartalea. saquae] ,,qna.mfl Tartalea.


æE, quae posait dimidium eius, quad sub KR, Bæ, etcopuletnr quae BE. demonstrandum, quad portio di-

missa in humidum, ut dictum est, consistet inclinataita, ut axis ad superficiem humidi faoiat angulumaequalem angulo EBæ. - demittatur enim aliqua 5portio in humidum, et basis ipsius non tangat super-ficiem humidi. et si possibile est, axis ipsius ad su-perficiem humidi non faciat angulum aequalem anguloB, sed primo maiorem. secta autem portione paraxem plana recto ad superficiem humidi sectio erit 10quae APOL rectanguli coni sectio [mat un. 11],superficies autem humidi quae XS, axis autem et dia-meter portionis quae N 0. ducatur autem et quae qui-dem P Y aequedistanter ipsi XS contingens sectionemAPOL secundum P, quae autem PM aequedistanter 15ipsi N 0, quae autem PI perpendicularis super N 0,

1. Bæ] "a:fl Tartalea. 5. "demonstraturtt Tartalea.aliqua] delet Nizzius. 10. erit] sit? 11. ,,quamtt Tartalea.12. superficiei? (se. sectio). XS] nanti Tartalea, qui amninolittoras X et æ confundit.

10

15


et quae quidem BR sit aequalis ipsi 062, quae autemRK ipsi T62, et quae 62H recta super axem. quoniam igitur supponitur axis . portionis ad superficieshumidi facere angulum maiorem angulo B, palanquad angulo PIN angulus qui ad PYI est maieangulo B. maiorem igitur proportionem habet tettegonum quad a PI ad tetragonum quad ab I Y, quantetragonum quad ab Eæ ad tetragonum quad a il?)sed quam quidem proportionem habet tetragonum quota PI ad id, quad ab I Y, hanc habet quae KR adYP); quam autem proportionem habet tetragonumquad ab Eæ ad tetragonum a 2EB, hanc habet me-dietas ipsius KR ad æB.3) maiorem ergo proportianem habet quae KR ad Y I , quam medietas ipsiusKR ad æB. minor ergo est quam dupla quae I Yipsius æB. ipsius autem OI dupla est quae I Ypropter septimum theorema primi libri elementorumconicorum Apolloniif) est ergo quae 0I minor quam

i, 1) Sit L ACBaso’ et LEDÛ)BA0; du-catur AF * DE. erit CF: Afin CE : AC; sed

x CF:AC::CE:0D; h. e. 0E:C’D)C’B:AG’.cfr. Zeitschr. f. Math. XXIV p. 179 nr. 8.

2) Zeitschr. f. Matin, hist. Abth. XXV p. 51’ nr. 18. 8) Nam ex hypothesi: Eæ’a «1K3 x81 LaD" Eæ’.Bær:4,KB:Bæ. i4) Zeitschr. f. Math. XXV p. 53 nr. 16. Apollonii I, 7, que

1. O62 "irait Tartalea. 2. T62] "net Tartalea. "rec’tamt* Tarte. ea. 5. angulo PIN] ? PYI] "pt-"W Ntalea. 7. I Y] "W ante lacunam Tartalea, ut lin. 10. 3-22B "meu Tartalea. 11. YI] "i" past lacunam Tsdalet,ut ’ . 14. 12. medietas a: dimidium. 15. IY] "W TIFtalea. 16. æB] "me artalea. IY] "w Tartaleai onComm. 18. "conoycorumii Tartalea.


æB; quare quae I62 est maior quam ŒRÂ) quaeautem æR est aequalis ipsi F. maior ergo est quaeI62 quam F. et quoniam supponitur portio ad hu-midum in grauitate habere proportionem, quam tetra-gonum quad ab F Q ad tetragonum quod a BD,quam autem proportionem habet portio ad humidumin grauitate, hanc habet proportionem pars ipsius de-mersa ad totam portionem [prop. 1], quam autempars demersa ad totam, hanc habet tetragonum quada PM ad tetragonum quad ab ON [mol mm 24],quam ergo proportionem habet tetragonum quod ab FQad tetragonum quad a BD, hanc proportionem habettetragonum quad ab MP ad tetragonum quad ab ON.aequalis ergo est quae FQ ipsi PMF) quae autemPH demanstrata est esse maior quam E3) palamergo, quad quae PM est minor quam hemiolia ipsiusPH, et PH maior quam dupla ipsius HM4) tsit

10

15

igitur quae PZ dupla ipsius 2M erit autem T qui- Vdem centrum grauitatis solidi5), eius autem, quad intrahumidum, Z, reliquae autem magnitudinis centrumréa lacum non habet, Archimedes carte non oitauerat; 0m.

0mm.1) Nain ex hypothesi est RB : 062.2) Nain ex hypothesi est BD a ON.3) Nam PH: 162.4) PM : F0: âF, sed PHB F; itaque PMd âPH.

et HM: PM-e- PH(iPH-:- PH, h. e. PH) REM.5) Nam T62 :n RK. O62 a DE; ergo 3K: To; sed

BK a: 2KD, et BDasNO; quare TO:2NO; tum u. p.380net. 1.

4. ,,perportionemu Tartalea. 6. portio] "proportiatt Tar-talea. 10. ad] "a2 Tartalea. 13. MP] ,,mhfl Tartalea.16. hemiolia ipsius PH, et PH maior quam] am. Tartalea;suppleui ex Comm. 19. solidi] ,,totius solidlti Comm. 20."reliquamtt Tartalea.

20


grauitati erit in linea Z T copulata et educta, et educatur ad G [6mm 36099. I, 8]. demonstrabitur autensimiliter quae TH perpendicularis existens ad superficiem humidi [p. 382 not. 3]. et portio quidem quai

5 intra humidum fertur ad extra humidi secundum perpeudicularem ductam per Z ad superficiem humidiquae autem extra humidum feretur intra humidunsecundum eam, quae per G. non manet autem porti(secundum suppositam inclinationem nec etiam in rec-

10 tum restituetur. palam enim propter hoc, quoniamquae producuntur per Z, G aperpendiculares quae qui-dem per Z perducit ipsi GL ad easdem partes cadit, ad quas est L et secundum G, quae autem parG ad easdem ipsi A. palam, quad propter praedicta

15 Z quidem centrum sursnm feretur, G autem deorsum.quare tatius magnitudinis quae ex parte A deorsumferetur. hoc autem erat inutile ad demonstrandum.

supponatur rursum alia quidem eadem, axis autemportionis ad superficiem humidi faciat angulum mino-

20 rem eo, qui apud B; minorem autem proportionemhabet tetragonum quad a PI ad tetragonum quad abI Y, quam quad ab EŒ ad id quad a æB [p. 394not. 1]. et quae KR ergo ad Y I minorem propor-

3. similiter] se. ac antan. 5. ad extra humidi 611w?sa» toi 679m3. 6. ,,ducta** Tartalea. ad] am. artalea:7. "ferreturu Tartalea. 8. "eatt Tartalea. autem] fini? l11. Ante alt. "quaett lacunam habet Tartalea. 12. "pedumipsi GLfl et lin. 13: ,,et secundum Gt1 am. Comm.; locus cor-ruptissimus. 13. L] 0m. Tartalea. 14. A] ":9" Tartalel-15. ,,ferreturfl Tartalea, ut lin. 17. 17. hoc autem] cet. 0mnComm. haec tata conclusio amnino obscurior est. 20. autem]015? 22. IY] "in" Tartalea, ut p. 397 lin. 2. quad abEæ] ,,ad abætt Tartalea. 23. YI] "andn Tartalea.


tienem habet, quam medietas ipsius KR ad æB. estergo quae I Y maior quam dupla ipsius 3E3. ergoquae QI minor. ipsius autem 0I dupla. maior ergo

est quae 0I ipsius æB. est autem et tota. quae OS!aequalis ipsi RE, et reliqua minor est quam æR.1)erit ergo et quae PH miner quam F. quae autemMP ipsi FQ est aequalis. palam, quod FM estmaior quam emiolia ipsius PH, quae autem PH mi-nor quam dupla ipsius HM ait igitur quae PZ ipsiusZM dupla. igitur rursum totius quidem centrum gra-uitatis erit T, eius autem, quod intra humidum, Z.copulata autem ZT inuenietur centrum eius, quod

1) Et haec ornais. et sequentia satis adparent ex iia, quaedicta. sunt p. 394-95 cum notia. fig. 2 0m. Tartalea.

2. "maioremee Taxtalea. ergo-minor 0m. Comm. 3.maior] 0m. Tartalea. lacum relicta. ergo "ergo «W Tarta-lea. 4. 0.9] "mW Tartalea. 5. ŒR] "aprfl Tartalen.

10


extra humidum, in educta, et ait G, et ducatur perpendicularis ad superficiem humidi par Z, G aequedistanter ipsi N 0. palam igitur, quod non manet tota partitsed reuoluetur ita, ut axis ad superficiem humidi fa

5 ciat angulum maiorem illo, quem nunc facit. quoniamnec axe faciente ad humidum angulum maiorem gnanB consistit portio neque minorem, manifestum, quatantum angulum faciente consistet. sic enim erit que!I0 aequalis ipsi æB, et quae QI ipsi æR, et quat

10 PH ipsi F3) erit igitur MP emiolia ipsius PH, quatautem PH ipsi HM dupla. quod autem 1’. ergo eiusquod in humido centrum grauitatis est H. quare se-cundum eandem perpendicularem sursnm feretur, etquod extra deorsum feretur. manebit ergo. contra

15 pellentur enim ad inuicem.

1X.

Recta. portio rectanguli conoidalis quando axemhabuerit maiorem quidem quam hemiolium eius, quaeusqne ad axem, minorem autem quam ut hanc habeat

2o proportionem, quam habent quindecim ad quattuor,1) Nam BEæ N PYI; itague (Eucl. v1, 4)

BI,: YI’ :I Eæ’d æB’,

h. e. KR: YI:âKR:æB, et YI-2æBz2OI; æB:()Lsed DE :- 032; itague subtrahendo æR:S&I sine PH---x F.et MF: FQ a êF: a) PH sine PH: 2HM. tnm 11-p. 380 not. 1.

1. ducantur perpendiculares? 5. maiorem] cum Comm.;,,minorem quam" Tortalea. 9. QI] "on" Tartalea. 10. MP"th Tartalea. 11. H M] "MW Tartalea. quad autemlacum. relicta Tartalea; 0m. Comm. 12. H] 0m. Tan-Nm13. ,,ferre’mru Tartalea, ut lin. 14. 14. contra. cet] meniam altera. pars ab altera. non repelleturn Comm. 19. qulm0m. Tartalea. 20. ,,proportione" Tartalea.


et in grauitate ad humidum habeat proportionem ma-iorem pr0portione, quam habet excessus, quo tetrægonum quod ab axe est mains tetragono, quod abexcessu, quo axis est maior quam hemiolius eius, quaeusque ad axem, ad tetragonum quod ab axe, demissain humidum ita, ut basis ipsius tota sit in humido,posita inclinata nec ut axis ipsius secundum perpen-dicularem sit nec manebit inclinata, nisi quando axisipsius ad superficiem humidi fecerit angulum aequa-lem accepto similiter ut prias [prop. 8].

esto portio, qualis dicta est, et ponatur quae DEaequalis axi portionis, et quae quidem BK sit duplaipsius KD, quae autem KR aequalis si, quae usqnead axem, quae autem CE hemiolia ipsius BR. quam

Î

B æ 12,ch pautem proportionem habet portio ad humidum in gra-uitate, hanc habeat excessus, quo excedit tetragonumquod a BD tetragonum quod ab FQ, ad tetragonumquod a BD. sit autem quae F dupla ipsius Q. pa-

Pz

10


lam igitur, quod excessus, quo excedit tetragonumquod a BD tetragonum quod a B0, ad tetragonuuquod a BD minorem habere proportionem quam excessus, quo tetragonum quod a BD excedit tetra

5 gonum quod a FQ, ad tetragonum quad a BD. esenim B0 excessus, quo astis portionis est maior quauhemiolius eius, quae usqne ad axem [u. p. 392, 19 enot. l]. minor est in 1*. maiori ergo tetragonum que:a BD excedit id, quod ab FQ, quam tetragonum

1o quod a BD excedat tetragonum quod a BC. quartquae FQ est minor quam BC. ergo et quae F quamBR.1) sit igitur ipsi F aequalis quae Ræ, et quaeŒE recta ducatur super BD potens medietatem eiusJquod continetur sub KR, æB. dico, quad portio

15 demissa in humidum ita, ut basis ipsius tata sit inhumido, consistat ita, ut axis ipsius ad superficiemhumidi faciat angulum aequalem angulo B.

demittatur quidem enim portio in humidum, utdictum est, et non faciat axis ad superficiem humidi

20 angulum aequalem B, sed maiorem primo. secta au-tem ipsa plano recto ad superficiem humidi portionissectio sit quae APOL rectanguli coni sectio [tapimm 11], superficiei autem humidi quae CI, axis autemportionis et diameter sectionis sit quae N O, et ait

25 secta secundum .52, T ut et prias [u.prop.8p.394,1-2].ducatur autem quae quidem YP aequedistanter ipsi

1) Nam ex hypothesi est F: âFQ et BR : gBU.1. excedit ,,excidittt Tartalea. 3. ,,minorem habere"

usque ad ,,es enim BU excessusu lin. 6 (incl.) om. Tarteletisuppleui ex Comm.; cfr. p. 892, 17 sq. 8. minor est m 1’;0m. Comm. 10. excedit? 14. æB] "et iung’atur B taddit Nizzius collato p. 393, 2.


CI contingens sectionem secundum P, quae autemMP aequedistanter ipsi N 0, quae uero PS perpen-dicularis super axem. quoniam igitur axis portionisad superficiem humidi facit angulum maiorem anguloB, erit utiqne et angulus qui sub S Y P maior an-gulo B. tetragonum ergo quod a PS ad tetragonumquad ab S Y habet proportionem maiorem, quam te-tragonum quod a æE ad tetragonum quad a æBJ)ergo et quae KR ad SY habet proportionem maio-rem, quam medietas ipsius KR ad æB. minor ergoquae SY quam dupla ipsius æB, et quae S0 quamæB minor. quae S52 ergo maior quam Ræ, et quaePH quam F. et si portio in grauitate ad humidumhabetiproportionem, quam excessus, quo tetragonumquad a BD est maius tetragono quad ab FQ, ad te-tragonum quod a BD, quam autem proportionem ha-bet portio in grauitate ad humidum, hanc proportio-nem habet demersa ipsius portio ad totam [prop. 1],palam, quad eandem habebit proportionem demersaipsius portio ad totam portionem, quam excessus, quotetragonum quad a BD excedit tetragonum quad abFQ, ad tetragonum quad a BD. habebit igitur ettata portio ad eam, quae extra humidum, proportio-nem, quam tetragonum quod a BD ad id, quodab F412) quam autem proportionem habet tata

1) De hoc et de sequentibus u. p. 394, 6 seqq. cum uotis.2) Erat tata portio: pars demersa a BD’ : BD’l FQ”;

tum avantaéwam sequitur, quad quaerimus.

3. igitur] "agitii Tartalea. 17. portio] "proportid1 Tar-talea, ut p. 402 lin. 1. 19. quad] 0m. Tartalea.

Archimedel, ad. Heiberg. Il. 26

10

20

25

402 DE US, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

portio ad eam, quae extra humidum, hanc habet quadab N 0 ad id, quad a PM [mol mm). 24]. aequalisergo quae MP ipsi FQ [p. 395, 14]. quae autem PHdemonstrata est maior quam quae E ergo ME est

5 minor quam Q. ergo quae PH est maior quam duplaipsius HMI) sit igitur quae PZ dupla ipsius ZM,et copulata quae Z T educatur ad G. erit ergo totiusquidem portionis centrum grauitatis T, eius autem,quae extra humidum, Z [p. 395 not. 5], eius uero,

10 quae intra, in linea TG [émana 360991, 8]. sit autem G.demonstrabitur autem similiter prioribns quae THperpendicularis ad superficiem humidi [p. 382 not. 2],et quae per Z, G aequedistanter ipsi TH productaeperpendiculares et ipsae super superficiem humidi: fere-

1’ 1’

-r---o--kfi K 01?15 tut ergo quae quidem extra humidum portio deorsum

1) U. p. 395 not. 4.

1. quae] nquamfl Tartalea. 4. F] 0m. Tartalea. 5.PH] npmu Tartalea. 13. TH] "mu Tartalea. 14. ,,fer-retur" Tartalea, ut p. 403 lin. 6.


secundum eam, quae per Z, quae autem intra secun-dum eam, quae per G, eleuabitur. non manet ergotota portio sine inclinatione, nec etiam eonuerteturita, ut axis sit perpendicularis super superficiem hu-midi, quoniam quae ex parte L deorsum, quae autemex parte A ad superiora ferentur propter proportio-nalia dictis in praecedenti [p. 396, 10 sq.].

si autem axis ad humidum faciat angulum mino-rem angulo B, consimiliter prioribus demonstrabitur,quad non manebit portio, sed inelinabitur, donec uti-que axis ad superficiem humidi faciat angulum aequa-lem angulo B [prop. 8 p. 396, 18 sq.].

’ X. .Recta portio rectanguli conoidalis quando leuiarexistens humido habuerit axem maiorem, quam ut ha-beat proportionem ad eam, quae usqne ad axem, quamhabent quindecim ad quattuor, demissa in humidum ita,ut basis ipsius non tangat humidum, quandoque quidemrecta consistet, quandoque autem inclinata, et quando-que quidem ita inclinata, ut basis ipsius secundum unumsignum taugat superficiem humidi, et hoc in duabusdispositionibus faciet 1), et quandoque ita inclinata con-sistet, ut basis ipsius secundum ampliorem locum hu-mefiat, quandoque autem ita, ut basis ipsius nec se-

l) U. pars III; errat Nizze; idem infra p. 404 lin. 1 addipotuit (pars Il et V).

4. super] am. Tartalea. a. deorsum, quae autem ex parteA] 0m. Tartalea; suppl. Comm. 16. quae] ,,quamt* Tartalea.18. quandoque] ,,noununquamti Comm. 19. quanquue] "qum-quefl Tartalea.

26*

10

20


cundum unum tangat superficiem humidi; quam autemproportionem habeant ad humidam in grauitate, sin-

10

gala horum demonstrabuntur.sit portio, qualis dicta est, et secta ipsa plana

recto ad superficiem humidi sectio in superficie sitquae APOL rectanguli coni sectio [mol zani. 11], axisautem et diameter sectionis sit quae. BD. seceturautem quae BD secundum K ita, ut dupla sit quaeBK ipsi KD, secundum C autem, ut quae BD ad KG

A pEZIVpI L

habeat proportionem, quam habent quindecim ad quat-tuor. palam igitur, quad quae K0 est maior ea, quaeusque ad axem [ex hypothesi]. sit quae KR aequalisei, quae usqne ad axem, ipsius autem KR sit hemiolia

2. singula horum] uufl’ gfldfifln’ tarirons, quad interpre-tandum erat: in singulis. 9. BK] ,,bdu Tartalea. 12."ait quae KRtt ad "axemu lin. 13 am. Tartalea; corr. Comm.


quae DS. est autem et quae SB hemiolia ipsiusBR.1) copuletur autem ipsa AB, et ipsa CE rectaproducta. ducatur quae. EZ aequedistanter ipsi BD,et rursum ipse. AB secta in duo aequalia penes Tducatur aequedistanter ipsi BD quae T11, et accipiaturrectanguli coni sectio quae AE ciraa diametrum EZ,et quae AT circa diametrum TH, ita ut similis sitquae AEI, ATD portioni ABL?) describetur autemquae AEI coni sectio pet K3); quae autem ab Rrecta producta ipsi BD secat ipsam AEIf) secetsecundum Y, G. cum per Y, G ducantur aequedistan-ter ipsi BD quae OGN, PYQ; secent autem ipsaesectionem ATD panes æ, F. ducantur autem et quaeP1), 0X contingentes sectionem APOL secundum 0, P.sunt tres quaedam portiones quae APOL, AEI, ATDcontentae- a rectis et a sectionibus rectangulorum co-

1)Nam SE s BD-ê- SD a gBK-z- &KRa gante KR) a .3312.2) H. e. BD:EZ:-AD:AZ et EZ:HT: AI:AD.

cfr. Zeitschrift f. Math, hist. Abth. XXV p. 46 nr. 3.3) Nain 12K: 2KD; unde BU 4- 0K : 2(C’D e 0K);

et 0K a M201) -:- BC). uerumBD:K0: 15:4:BC-I- 0D :ËŒCD-Z-BC),

unde 20D: 330. sed BU: 0D :13 :EA a DZ: ZA,quia E0 :F AL et EZ :I: BD. itaque

DZ:ZA:2:3:BK:BD;tum u. rare. «croup. 4 conuersa; Zeitschr. f. Math. XXV p. 58nr. 2.

4) Nain ex hypothesi est KR ( K0, quare DE ( DG.

1. DS] am. Iaeuna relicta Tartalea. autem] dû? 2.recta] a: ad BD perpendicularis. 3. quae] ,,que" Tartalea.figura et ordo litterarum apud Tartaleam corrupta sunt. 8.ATD "athd Tartalea. 11. cum] ,,etu Comm. 12. OGN]0m. artalea. "secetit Tartalea. ,,ipse" Tartalea. 13.ATD] "amiu Tartalea. 14. P115, 0X] ,,p:4:ou ante lacunamTartalea.

15

10


norum rectae et similes et inaequales et tangentessuper unamquanque basem, ab N autem sursum ductaest quae NæGO et a Q quae QFYP, 0G ergo adGæ habet proportionem compositam ex proportione,quam habet quae IL ad LA, et quam habet quae ADad DE) habet autem et quae LI ad LA, quam duoad quinque; quae enim 0B ad BD habet proportio-nem, quam sex ad quindecim”), hoc est quam duo adquinque, et est, ut quae 0B ad BD, ita quae EB adBA, et quae DZ ad DA. harum autem DZ, DAduplae sunt ipsae LI, LA?) quae autem AD ad DIproportionem habet, quam quinque ad unum.’) pro-

1) Ducatur Aw contingens ABL in A, et secet lineae N 0,Z E, H T productas in c, a, m; erit (p. 405 net. 2)

BD:EZ:AD: AZ:Dw:Zv;sed Dw a 23D (18159117. «croup. 2); itaque Zv : 2EZ, et Au:taugens AE I ; eodem mode etiam AI D tangit. quare (rate.nuoufi. 5) LN: AN: N0 : Oc, et ouvrfiévu

AL:AN----Nc:0c;unde 0c a ANx Nc : AL; eodem modo

Go a ANx Nc : AIet æc:.ANch:AD.et OG a Go »:- Oc : ANx Ne x (AL-:-IA): IAxAL,et Gæ : æc-z- 6c : ANx Ncix (IA-è-AD) : ADxIA.itaque OGzGæ : ADx(ALeIA):ALx(IA-I-AD):ADxLIzALxID.2) Nain BD:KC’: 15:4, et K0:?;CD-:-èBO:êBC(p. 405 riot. 3). itaque BD :ÉBÛ: 15 z 4, h. e. BU:BD: 6:15:2z5:EB:B :DZ: DA. 405 not.3): LI: LA. nam LA :. 2DA,et LI:AL-:-AI:2(AD -:- AZ):2DZ.3) Nam BD : BU s 5 : 2 (not. 2); quai-e hautementBD:DC:5:3 sine

DÛ:&BD:6:5:-EZ:HT:IAI:AD;et 6131.6sz D1: AD a 1 : 5.

2. unamquauque] ? ab N] post lacunam Tartalea. 3-"ramperau Tartalea. et a Q quae QF Y P] am. Tartalea:001T. Comm. 10. hmm] "habeantd Tartalea; cart. 00mm,11. sunt ipsae] 0m. Tartalea, lacuna relicta.


portio .autem composita ex proportione, quam habentduo ad quinque, et ex proportione, quam habent quin-que ad unum, est eadem cum proportione, quamhabent duo ad unum. dupla ergo est quae G0 ipsiusGæ. propter eadem autem et quae PY ipsius YF.quoniam igitur quae DS est hemiolia ipsius KR, pa-lam, quad quae B8 est excessus, quo axis est maiorquam hemialius eius, quae usqne ad axem!)

Pars I. .Si quidem igitur portio ad humidum in grauitatehanc habet proportionem, quam tetragonum quad aBS ad id, quad a BD, aut maiorem hac proportione,portio demissa in humidum ita, ut basis ipsius nontangat humidum, recta consistet. demonstratum estenim prius, quad si portio habens axem maiorem quamhemiolium eius, quae usque ad axem fminorem pro-portione, si ad humidum in grauitate non minoremproportionem habeat proportione, quam habet tetra-gonum quad ab excessu, quo axis est maior quamhemiolium eius, quae ad axem, ad tetragonum quadab axe, demissa in humidum ita, ut dictum est, rectaconsistet [prop. 4].

1) DS :- :1102; sed KR ea est quae ad axem (p). quaremagnans-BDegp. ’ i

3. ,,eandemfl Tartalea, ut lin. 5. 9. Pars I] addidit Niz-zius. 15. enim] "a? Tartalea. 16. minorem proportione]am. Comm. 17. non] ,,n, ofl Tartalea.

15

20

408 DE us, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

Pars II.Si autem portio ad humidum in grauitate minorem

quidem proportionem habeat proportione, quam habettetragonum quad ab SB ad tetragonum quad a BD,

5 maiorem autem proportionem, quam habet tetragonumquad ab æO ad id, quad a BD, demissa in humiduminclinata ita, ut basis contingat humidum, consistetinclinata ita, ut basis ipsius nihil tangat superficieihumidi, et axis ipsius faciat ad superficiem humidi

10 angulum maiorem angulo X.

. Pars III.1. Si autem portio ad, humidum in grauitate hanchabet proportionem, quam habet tetragonum quod abæO ad id, quad a BD, demissa in’humidum inclinata

15 ita, ut basis ipsius non tangat humidum, consistet etmanebit ita, ut basis ipsius secundum unum signumtangat superficiem humidi, et axis cum superficie hu-midi angulum faciat angulo X aequalem.

2. Si uero portio ad humidum in grauitate hanc20 proportionem habet, quam habet tetragonnm quad a

PF ad tetragonum quad a BD, demissa in humidumet posita inclinata ita, ut basis ipsius non tangat hu-midum, consistet inclinata ita, ut basis ipsius secun-duin unum signum tangat superficiem humidi, et axis

25 ipsius faciat angulum aequalem angulo (D.1. Pars Il] addidit Comm., et sic etiam infra. 2. minorem]

,,maioremi* Tartalea. 6. ,,xtii et ,,bii Tartalea. 10. X],,mu Tartalea. 14. inclinata] u. infra p. 413 not. ,2. 15.,,tanguntu Tartalea. 16. unuxn signum taugat superficiemhumidi] ,,ampliorem lacum humectetur ab humidoti Tartalea17. ,,et axis" ad 18: ,,aequalemu 0m. Tartalea; cart. Comm.25. ,,ipsi" Tan-tales. (15] "aun Tartalea.


Pars 1V.Si portio ad humidum in grauitate maiorem qui-

dem proportionem habeat, quam quadratum FP adquadratum BD, minorem uero, quam quadratumæO ad BD quadratum, in humidum demissa et in- 5clinata adeo, ut basis ipsius non contingat humidum,consistet et manebit ita, ut basis in humidum magisdemergaturd)

Pars V.Si autem portio ad humidum in grauitate habeat 1o

proportionem minorem proportione, quam habetntetra-gonum quad ab FP ad tetragonum quad a BD, di-missa in humidum et posita inclinata ita, ut basisipsius non tangat humidum, cousistet inclinata ita, utaxis quidem ipsius ad superficiem humidi faciat an- 15gulum minorem angulo (D, basis autem ipsius nec se-cundum unum tangat superficiem humidi.

Demonstrabitur itaque haec deinceps.

Demonstratio partis Il.Habeat itaque primo portio ad humidum in gra- 20

uitate proportionem quidem maiorem ea, quam habettetragonum quad ab æO ad id, quad a BD, minoremautem ea, quam habet tetragonum quad ab excessu,quo axis est maior quam hemiolius eius, quae usqne

. 1) Tata pars 1V lin. 1---8 a Tartalea omisse est (cfr. uesti-8mm eius p. 408, 16 riot); suppleuit Comm.

16. 0] ,,æ" Tartalea. 19. Titulum hic et infra addiditComm. 22. ,,minore** Tartalea.


ad axem, ad tetragonum quad a BDl), et supponatuut prius disposita figura. quam autem proportionenhabet portio ad humidum in grauitate, hanc tetragonum quad a ’1’ ad id, quad a BD. est autem que.

5 il” maior quidem quam æO, minor autem excessuquo axis est maior quam hemiolius eius, quae usqucad axem. inaptetur autem quaedam intermedia conicarum sectionum APOL, AæD quae MN aequali:ipsi zFI), et secet ipsa reliquam coni sectionem pene:

10 H, ipsam autem RG rectam penes V. demonstrabiturautem quae MH dupla ipsius H N, sicut demonstra-

1) Nam BSS Oæ, quia 0G a 203:, Oæ ---- 4106; sedBS - 412R et BR ) 0G.

2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 54 nr. 20.

2. ut am. Tartalea. 3. hanc] ,,eam habea 3 Comm.zF] cum 0mm; "a? Tartalea; sic etiam infra. autem] du?5. ":1111u Tartalea. 8. AæD] "ruait Tartalea. MN] "sa"Tartalea. 10. H] am. Tartalea (lacuna). ,,ipsa.n Tarteles."rati et "bit Tartalea. 11. autem] M? M H] ,,oW TIFtalea. dupla] 0m. Tartalea. "aun Tartalea.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUE. 411

tum est quae 0G ipsius Gæ dupla [p. 407, 4]. abM autem ducatur quae M Y contingens sectionemAPOL, quae autem M0 perpendicularis super BD.et ab A ad N copuletnr. erunt autem quae AN, QNaequales inuicem. quoniam enim in similibus sectio-nibus APOL, AæD productae sunt a. basibus adsectiones quae AN, AQ aequales angulôs facientes adbases, eandem proportionem habebunt quae ÇA, ANcum ipsis LA, ADI) propter secundam figuram pras-scriptarum. aequalis ergo quae AN ipsi QN, et aeque-distans ipsi M Y!) demonstrandum, quad demissa inhumidum ita, ut basis ipsius non secundum unumtangit 1- axis ad superficiem humidi angulum acu-tum faciat maiorem angulo X [u. figura. p. 404].dimittatur enim, et consistat ita, ut basis ipsius tangatsecundum unum signum superficiem humidi. sectaautem portione per axem plana recto ad superficiem hu-midi superficiei quidem portionis sectio ait quae APOLrectanguli coni sectio [mol mm». 11], superficiei autem

1) Ducatur in figura. p. 404 linea AÆQ; erit (taro. «coup. 5)LN: NA :r N0 : 0c et dvvôs’vu LA :NA : Ne : Oc; si-militer erit DA : NA :- Nc : æc; unde LA:AD a æc:0c;sed eodem modo est Q2 : æA a æO: 0c, sine

QA:æA:æc:0c,h. e. in nostra. fig. LA: AD a ÇA : NA.

2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 52 nr. 14.

1. "pH et "MW Tartalea. 2. M] "w Tartalea. M Y"ON Tartalea, ut lin. 11. 3. APOL] se. in M. M0,,ocu Tartalea. 4. N] ,,qufl Tartalea. 5. sectionibuaNizze; ,,portionibus" arbalea; sic etiam lin. 7. 6. ,,pro-.ductou Tartalea. a. basibus] ,,ab nimbusu Tartalea. 13.Ante ,,axisd lacunam Tartalea. 14. angulo X] "excessuu antelacunam Tartalea. 17. "recta.fl Tartalea. 18. ,,sitqued Tartalea.

5

10


humidi quae 0A, axis autem portionis et diametersectionis quae BD, et secetur quae BD penes K, Rut dictum est [p. 404, 7aq.]. ducatur autem et quae

quidem PG aequedistanteripsi A0 recta-t et contingatsectionem APOL secun-dum P, quae autem P1aequedistanter ipsi BD, quaeautem PS perpendicularissuper BD. quoniam igiturportio ad humidum in gra-uitate proportionem habet,quam tetragonum quod a

1P ad id, quod a BD, quam autem proportionem15 habet portio ad humidum, hanc habet demersa ipsius

portio ad totam [prop. 1], quam autem demersa adtotam, tetragonum quod a TP ad id, quod a DE [11592mon 24], erit quae 11T ipsi TP aequalis; et quae NMergo ipsi TP aequalis est. quam et portiones AM Q,

20 APO inuicem sunt aequales [and un. 20]. quoniamautem in portionibus aequalibus et similibus APOL,AMQL ab extremitatibus basium productae sunt quae0A, AQ, et portiones ablatae faciunt ad diametrosangulos aequales propter tertiam figuram præscripta-

25 ruml), quare anguli qui apud Y, G sunt aequales; et1) Quae ait haec figura, nescio. res ipse. satis inde ad-1. portionis] scrîpsi; "sectionisu Tartalea. 2. sectioth

0m. Tartalea. secetur quae] ,,secetque" Tartalea. 5. recta0m. Comm. et 0m. Tartines. "contingentfl Tartalea.18. NM] ,,no" analea; et fortasse in figura p. 410 fluctueM, 0 permutandae erant; Tartaleae figura compta est.19-20. ,,apq, clefn Tartalea. 22. AMQL] ,,ablk" Tl!-talea. 23. 0A] "rad TartaJea.


quae Y B, GB ergo aequales sunt. quare et quaeSE, 0R, et quae PZ, M V, et quae ZT, VN. quo-uium minor quam dupla quae M V ipsius VN 1) , par.lam, quad quae PZ ipsius Z T est miner quam dupla.sit igitur quae P62 ipsius 62T dupla, et copulata. quaeK62 educatur ad E. totius quidem igitur centrumgrauitatis erit K, eius autem portionis, quae inter hu-midum, centrum .52 [p. 380 nat. 1], eius autem, quaeextra, in linea KE, et ait E [émia tuage. I, 8]. quaeautem KZ perpendicularis erit super superficiem hu-midi [p. 382 not. 3]; quare et quae par signa E, .52aequedistanter ipsi KZ. non ergo manet portio, sedinreclinabitur, ut basis ipsius nec secundum unumtangat superficiem humidi, quoniam nunc secundumunum tacta ipsaî reclinatur. manifestum ergo, quadportio consistai: ita, ut axis ad superficiem humidifaciat angulum maiorem angulo X.

Demonstratio partis HI?)1. Habeat autem portio ad humidum in grauitate

proportionem, quam habet tetragonum quad ab f0ad id, quad a BD, et dimittatur in humidum ita in-

paret, quad segmenta a. partionibus aequalibus et similibuasimiliter abscisa sunt (nam A0, A9 ab eodem puncto duc-tae aunt et aequalis. segmenta abscindunt). tum reliqua perse intelleguntur.

1) Nam MHa 2HN; u. p. 407, 4.2) Figure. 2 huius partis apud Tartaleam in demonstratione

2. M V] ,,outt Tartalea. VN] ,,skntt Tartalea. 3.,,minorem*t Tartalea. M V] ,,ou Tartalea. VN] "eauflTartalea. 15. ipsa reclinatur] ,,sursum fertur a parte A0Comm. 17. X] cum Comm.; ,,yfl Tartalea. 21. Inclinata]se. ut basis eius non cantingat humidum, quad addidit Comm.

5

15

20


clinata. secta autem ipsa per axem plana recto adsuperficiem humidi, solidi quidem sectio sit quae APOLrectanguli coni sectio, superficiei autem humidi quaeOI, axis autem portionis et diameter sectionis quaeBD, et secetur quae BD ut prias [p. 404, 7 sq.],

D I A

pâNNQ

et ducatur quae quidem PN aequedistanter ipsi 10

parfis lI posita est (figura 3 omisse. est). sed praeterea hue4 pertinent duae figurae, quae ad

partem 1H (p.408) positae sunt,quamm altera similis est figuraep. 404, alteram hic adposui. infrahanc apud Tartaleam legitur:,,diuersimode figuraturu et tuminter ,,inclinatau et ,,itau p. 408,14 haec leguntur ad figuram per-

7’1’ æ a. ” 5’ tinentia: ,,hz nuit diuidi in quin-que aequalia, media. quinta pars ait t, k, t, i. nm uult esseaequalis on et 1:th

5

à

"Î

’l

2. APOL] in fig. 2; ,,APMIN Comm., qui in fig. 2pro O posuit; cum figura Tartaleae hoc loco satis perspicua ait,cum secutus sum. 4. diameter] ,,diametrisfl Tartalea.


contingens sectionem secundum P, quae autem PTaequedistanter ipsi BD, quae autem PS perpendicu-laris super BD. demonstrandum, quad portio non ma-net inclinata sic, sed inclinatur, danec utiqne basissecundum unum signum tangat superficiem humidi.praeiaceant autem et quae in superiori figura priusdisposita sunt [p. 410], et quae 00 perpendicularisducatur super BD, et quae Aï, capulata educaturad Q. erit autem Aï ipsi æQ aequalis [p. 411nat. 1]; et ducatur ipsi AQ quae 0X æquedistans.et quoniam supponitur portio ad humidum in gra-uitate hanc habere proportionem, quam habet tetra-gonum quad ab æO ad id, quad a BD, habet au-tem hanc proportionem et demersa portio ad totam[prop. 1], hoc est quad a TP ad id, quad a BD[and 3mn). 24], aequalis utiqne erit quae PT ipsi æO.et quoniam partionum I B 0, ABQ axes sunt aequales,aequales et portiones [mal mon 24]. rursum quoniamin portionibus aequalibus et similibus APOL, AOQLproductae sunt AQ, I 0 aequales portiones auferentes,hac quidem ab extremitate basis, hoc autem non abextremitate, palam, quad minorem facit acutum an-gulum ad axem totius portionis, quae ab extremitatebasis producta est.1) et quoniam angulus qui apud

1) Nam ducatur AA,; cum sectiones aequales sint, etiamaxes aequales erunt; itaque et AAl et I 0 pet T cadet; iamsdparet [- ATPB ITP; sed ATP: A550 (p. 412 nat. 1).

10. 0X] ,,oytt Tartalea. 13. æO] "auxfl Tartalea. 17.axes] Nizzius; ,,diametritt Tartalea, Comm.; sic etiam lin. 23;sed fart. patius scrib. ,,sectianumu pro ,,portionumtfl 18. ae-quales] alterum 0m. Tartalea. .

10


X est minor quam qui apud N, maior est quae BCquam BS, quae autem OR miner quam RS1) quare et

1"A,

2V

quae 0G minor quam PZ.fmaior est quam dupla.et quoniam quae 0G duplaest ipsius Gæ’), palam,quad quae PZ maior estquam dupla ipsius Z T. sitigitur quae PH duplaipsius ET, et copuletnrquae H K et educaturad sa. erit autem tatiusquidem portionis centrum

grauitatis K, eius autem, quae intra humidum, H15 [p. 380 not. 1], eius autem, quae extra, in linea

K62, et sit sa [émana 36099. I, 8]. demonstrabiturautem similiter [p. 382 not. 3] quae KZ perpen-dicularis super superficiem humidi, et quae pet signaH, .52 aequedistanter ipsi KZ. manifestum igitur, quad

20 non manebit portio, sed inclinabitur, donec utiqnebasis ipsius secundum unum signum tangat superficiçm

1) Nain B0 :- BX et BS a BN (rstpay. naqufl. 2); siL X : N, erit BX : BN (p. 412, 25); et quo minor est L X,eo maior erit EX; itaque si XBN, erit EX) EN ailleBC)BS.

taleam lacum est.

1. X] "312 Tartalea.

lin. 8 ,,atu Tartalea.16. K2] h. e. HK producta.

et CRaBR-Z-BC’, RS:BReBS.2) U. p. 411, 1. .

quam] am. Tartalea. N] ,,ht’Tartalea. 2. CR] ,,eru Tartalea. 3. 0G] ,,oyu Tartalea.ut lin. 5. PZ] ,,pnu Tartalea. 4. maior est quam dupla],,et Gæ maior quam Z 1m Comm.; ante "maior" apud Tar-

6. G35] "811W Tartalea. 7. ,,pa" çt8. ,,ipsisu Tartalea. 12. autem] du?

, DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 417

humidi, sicut demonstrabitur in tertia figura, quomodose habet in tertio theoremate, et manebit portio itaconsistens. in portionibus enim aequalibus APOL,AOQL productae erunt ab extremitatibus basium quaeA9, A0 aequales auferentes. demanstrabitur enimAPQ aequalis ipsi AP0 similiter prioribns [p. 412,19 sq.]. aequales igitur facient acutos angulos quaeA0, AQ ad axes portionum [p. 412 not. 1]. quoniamaequales sunt qui apud N, X anguli 1’ et ZT. copu-lata autem ipsa H K et educta ad sa erit totius qui-dem portionis centrum grauitatis K, eius autem quae

intra humidum H [p. 380not. 1], eius autem, quaeextra, in linea K52, etsit .52. [ému tempo. I, 8].

et quae KH perpendicu-laris est super superficiemhumidi [p. 382 not. 3].secundum easdem igitur

.’ rectas quad quidem in1V humido sursnm feretur,

et quad extra humidum deorsum feretur. manebitautem portio, et basis et T magnitudo et secundumunum signum tanget superficiem humidi, et axis por-tionis ad superficiem humidi faciet angulum aequalempraascripta.

2. in tertio theoremate]? immo in demonstratione par-tis Il. 8. enim] ,,hfl Tartalea, ut etiam lin. 5. 4. ,,eritnTartalea. 8. ne? Nizze; ,,diametrosu Tartalea; cfr. p. 415,17 not. 9. et Z ] lacum. aperta. est, quae ex p. 418, 1 sq.supplenda est. 10. ,,ipsi talcfl Tartalea. 11. quae] ,,qui-demt* Tartalea. 28. autem] 81;? ,,cuius basis humidi su»perficiem in une puncto contmgett1 Comm.

Arahlmedel cd. Hoibsrg. Il. 27

10

15

20

25


2. similiter autem demonstrabitur, et si portio adhumidum in grauitate habeat pr0portionem eaudem,quam tetragonum quad ab F P ad id, quad a BD,dimissa in humidum ita, ut basis ipsius non tangat

5 superficiem humidi, consistet inclinata ita, ut basisipsius secundum unum signum tangat superficiem hu-midi, et axis ipsius ad superficiem humidi faciat envgulum aequalem angulo, qui apud (15 [u. fig. p. 414].

Demajnstratio partis IV.10 Sit autem rurum portio ad humidum in grauitate

habens quidem proportionem maiorem illa, quam ha-bet tetragonum quad a FP ad id, quad a BD, Ini-norem autem proportionem, quam habet tetragonumquad ab æ0 ad id, quad a BDÂ) quam autem pro-

15 portionem habet portio ad humidum in grauitate.hanc habeat tetragonum quad a 1.1” ad id, quad a BD,palam igitur, quad quae a? est quidem maior quamFP, minar autem quam æ0. inaptetur autem inter-media sectionum APOL, AæD aequalis ipsi 1P, aeque

20 distans autem ipsi ABD quae VI secans sectionemintermediam cani penes Y. rursum autem quae VY

1) Hoc fieri potest, quia FP ( ŒO, u. fig. p. 404). un:PY: 2YF (p. 407, 5), h. e. PF--- a; Y; et Oæ a: 460(p. 407, 4); sed Goa PY.

3. ab FP] ,,hpfl Tartalea. 8. ,,quaeit Tartalea. 0:,,ffl Tartalea. 12. FP] "21W Tartalea. minorem] "ms-ioremu Tartalea. 16. ,,habetfi Tartalea. 1P] hic et infrl Icum Comm.; "tufl Tartalea. 17. quad] am. Tartalea. in I"me" Tartalea. 18. "21!)u et "93W Tartalea. ,,intemediofTartalea. 19. ,,portionumu Tartalea; corr. Nizzius. 41D,,,ad*t Tartalea. 20. V1] ,,fW Tartalea, qui etiam in!!! ,semper pro V habet ,,fifl

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEEIUNTUR. 419

dupla ipsius Y I demonstrabitur, sicut quae 0G ipsiusGæ, ut et prius demonstratum est [p. 407 , 4]. du-catur autem ab V sectionem APOL contingens quae

A D ÆI æ

se

V 0 QIl

V62. similiter autem prioribns demonstrabitur quaequidem AI ipsi QI aequalis [p. 411 nat. 1], quae au-tem AQ ipsi VS! aequedistans [p.411 not. 2]. demon-strandum autem, quad portio demissa in humidum ita,ut basis ipsius non tangat humidum, et posita incli-nata, ita inclinabitur, ut basis ipsius secundum am-pliorem lacum humectetur ab humido. demittaturenim in humidum, ut dictum est, et. iaceat primo sicinclinata, ut basis ipsius neque secundum unum tangatsuperficiem humidi. secta autem ipse. par axem planarecto ad superficiem humidi in superficie quidem por-tionis sit sectio quae ABG, in superficie autem hu-midi quae EZ, axis autem portionis et diameter sec-

1. OG i sius Gæ] ,,t(1aaun.) ipsi au]u Tartalea. 11.enim] ,,h" artalea. 16. "sectionis" et ,,partionisil permu-tauit Tartalea. ,,dynametrumii Tartalea.

27*

10

15


tionis sit quae BD, et secetur quae BD panes signunK, R similiter prioribns [p. 404, 7 sq.]. ducatur autanet quae quidem E L aequedistanter ipsi EZ contingen:sectionem ABG penes E, quae autem ET aeque

g distanter ipsi BD, quae au.tem ES perpendicularis surpar BD. quoniam partitad humidum in grauitattproportionem habet, quarttetragonum quad a Il” ad idquad a BD, palam, quadquae 1P est aequalis ipsiET; demonstrabitur enimsimiliter prioribns [per prop.1; cfr. p. 412, 15 sq.]. quai-e

15 et quae ET et aequalis ipsi VI. et portiones ergo A VQ,EB Z sunt aequales inuicem. quoniam in aequalibus etsimilibus portionibus APOL, ABG sunt productae quaeAQ, EZ aequales partiones auferentes, et hoc quidemab extremitate basis, hoc autem non ab extremitate,

20 minorem faciet acutum angulum ad axem portionis,quae ab extremitate basis producta est [p. 415 net. 1].et quoniam trigoni ELS angulus est maior angulo Q,palam, quad minor est quae BS quam B0, quae autemSR maior quam R0 [p. 416 not. 1], et quae EX

25 maior quam VE, quae autem XT minor est quamHI. et quoniam dupla est quae VY ipsius YI, par

12. enim] "IN Tartalea. 20. axem] Nizzius; ,,dismeitramu Tartalea. 22. ELS] ,,hleu Tartalea. 28. palampost lacunam Tartalea. 24. EX] "Il!u Tartalea. 25.Ëtem] lacunam Tartalea. X T] "art Tartalea, ut p. 421

. 1.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUB. 421

lam, quad quae EX est maior quam dupla ipsius X111)sit igitur quae EH dupla ipsius ET. palam autemex hiis, quad non manebit portio, sed inclinabitur,donec utiqne basis ipsius tangat secundum unum sig-num superficiem humidi [afr. p. 416, 19 seq.]. tangatautem secundum unum signum, ut in tartis. figuraseriptum est, et alia eadem disponantur. demonstra-bitur autem rursum quae TM’) aequalis existens ipsiVI, et portiones AVQ, ABZ aequales inuicem, etquoniam in portionibus aequalibns et similibus APOL,ABG’) sunt productae quae A0, AZ aequales par-tiones auferentes, aequales faciunt angulos ad axes

portionum [p. 412 not. 1].triangulorum igitur V0.9,MSL qui apud signa L3),52. anguli sunt aequales, etquae ES recta’) ipsi B0aequalis, et quae 5R3) ipsiRU, et quae MX’) ipsi VE,

[cfr. p. 413, 1 sq.]. et quo-niam dupla est quae VY

ipsius Y I , manifestum, quad [quae MX’) est maior

1)Nnm cum VY: 2YI, erit VHr 2H1, etHXE VE, HIE XT.

2) In fig. 3.

1. EX] ,,ha2 Tartales. 2. "ME et ,,lt" Tartalea.8. ,,aequalestt Tartalea. la. axes] Nizzius; ,,dyametr-OsnTutelea. 14. ’ arum] Comm.;om.Tartalea. ,,ahbixafquTartalea (retulit ,,partionumtt). 19. M X] "lmu Tarta-lea, ut lin. 23. 20. XT] "est" Tartalea, ut p. 428 lin. 1.22. ,,fæ ipsi" Tartalea. ’

10

15

et quae XT’) ipsi E120


quam dupla ipsius X111) sit igitur quae MN’) ipsiusN T’) dupla. rursum autem ex hiis palam, quad nonmanet portio, sed inclinabitur ex parte A [cfr. p. 413,5 sq.]. quoniam supponebatur portio secundum unum

5 signum tangere humidum, palam, quad secundum am-pliorem lacum basis ab humido comprehendetur.

Demonstratio partis V.Habeat etiam rursum portio ad humidum in gra-

uitate proportionem minorem ea, quam habet tetra-10 gonum quad ab FP ad id, quad a. BD. quam autem

proportionem habet portio ad humidum in grauitate,hanc habeat tetragonum quad a 1P ad tetragonumquad a BD. minot autem est quae IF quam F P.rursum igitur inaptetur quaedam intermedia portionum

15 AæD, APOL quae VI aequedistanter ipsi BD pro-ducta aequalis ipsi 1P [p. 410 not. 2]. secet autemipse intermediam coni sectionem penes Y, ipsam autemXR rectam penes E. demonstrabitur autem quaeVY dupla ipsius Y I, sicut demonstrata est quae GO

20 ipsius Gæ [p. 407 , 4]. ducatur autem et quae qui-dem V62 contingens sectionem APOL secundum 1’,quae autem V0 perpendicularis super BD, et AI ce

1) Nam VH) 2H1, et Mx:- VE, X1": HI.2) In fig. 3.

1. ,,ha ipsi H" Tartalea. 10. FP] ,,nofl Tartalea. 12.117]),,æ** Tartalea (sic etiam infra). ad tetragonum quad]!B am. Tartalea. 13. ,,rninoremu Tartalea. autem] du?F P] "on" Tartalea. 15. ,,amdt Tartalea. 71] "p!"Tartalea (et par totnm hanc partem P pro V). 17. "intermedia coni sectioneu Tartalea. 18. X3] "an-2 Tartalat20. Gæ] ,,ghfl Tartalea. 22. V0] "ch Tartalea.


pulata ducatur ad Q. erit autem quae AI ipsi I Qaequalis, et quae AQ ipsi V62 aequedistans [p. 411

A 0Ï

a! a a1 ax ,1.X19se?

sgx? rnot. 1-2]. demonstrandum est autem, quad portiodemissa in humidum posita inclinata ita, ut basis ipsiusnon tangat humidum inclinata consistet ita, ut axis 5ipsius ad superficiem humidi faciat angulum minoremangulo (D [u. fig. p. 404], basis autem ipsius nec secun-dum unum tangat superficiem humidi. demittatur enimin humidum et consistat ita, ut basis ipsius secundumunum signum tangat superficiem humidi. secta autem 10portione par axem plana recto ad superficiem humidisectio sit superficiei quidem portionis quae AEBLrectanguli coni sectio [and zani. 11], superficiei autemhumidi quae AZ, axis autem portionis et diameter

4. ,,ipsis2 Tartalea. 8. enim] ,,hu Tartalea. 14. ,,por-tioniu Tartalea.


sectionis quae BD, et secetur quae BD pence signaK, R consimiliter superioribus [p. 404, 7]. ducaturautem et quae EI aequedistanter ipsi AZ aontingenssectionem coni panes E, quae autem ET aequedistan-

b ter ipsi BD, quae autem ES perpendicularis superBD. quoniam igitur portio ad humidum in grauitate

r AA j’ Hi . 1hanc habet proportionem, quam tetragonum a 4” adid, quad a BD, quam autem proportionem habet portioad humidum in grauitate, hanc habet tetragonUm quad

10 ab ET ad id, quad a. BD propter eadem prioribns[prop. 1; afr. p. 412, 18], palam, quad quae ET estaequalis ipsi 1P. quare et portiones AEZ, APQsurit aequales [and scoop. 24]. et quoniam in partienibus aequalibus et similibus APOL, AEL ab ex-

15 tremitatibus basium sunt productae quae A0, AZaequales portiones auferentes, palam, quad aequales

4. ET] ,,habet2 Tartalea, ut lin. 11. 5. ,,quam" Tat-tales. 8. portio] ,,proportio" Tartalea. 10. ,,eandem*âmea. 12. AEZ] "(unn Tartalea. 14. AEL] ,,akhlk"

sa.


faciunt angulos ad axes portionum [p. 412 not. 1].adhuc autem et trigonomm EIS, V620 aequales suntangnli, qui apud I, 62. orant et SE, CE aequales.quare et quae 8R, 0R aequales, et quae EX, VE,et quae XT, EI [cfr. p. 413, 1 sq.]. et quoniam estdupla quae YV ipsius Y I , manifestum, quad minorest quam dupla quae EX ipsius XT.’) sit igiturE Y dupla ipsius Y T, et capulets. protrahatur quaeYK0. sunt autem centra grauitatum totius quidemK, eius autem, quad intra humidum, Y [p. 380 not. 1],eius autem, quad extra, in linea K0, et sit 0 [émia26099. I, 8]. erit autem propter praecedens theoremahoc manifestum, quad non manet portio, sed inclina-bitur ita, ut basis ipsius nec secundum unum tangatsuperficiem humidi [cfr. p. 413, 9 sq.]. quad autemconsistet ita, ut axis ipsius ad superficiem humidi fa-ciat angulum minorem angulo (P, demanstrabitur.consistat enim, si possibile est, ita, ut faciat angulumnon minorem angulo et, et alia disponantur eadem

10

16

hiis, quae in tertia figura. similiter autem demonstra- 20bitur quae TM aequalis ipsi 1P [cfr. p. 412, 18 sq.],quare et ipsi TE. et quoniam L non miner est quam

1) Nain VH( 211T, et 11x - VH, XT - HI.

1. angulos] am. Tartalea. axes] Nizzius; ,dyamstroaflTartalea. 2. ,,hlspwe’fl Tartalea. 3. I] ,,1n artalea.,,ebli et lin. 4: ,,ertt Tartalea, et fart. in p.423 pro 0 po-nendum E. 4. EX] ,,hatt Tartalea, ut in. 7. 5. XT],,at" Tartalea, ut lin. 7. 7. quam ,,quaeu Tartalea. 8.E Y] ,,ny" Tartalea. 9. "phiu artalea. 17. (15] "f2Tartalea, ut lin. 19. 18. enim] ,,h" Tartalea. 19. ,,ean-dem1* Tartalea. 22. TE] ,,iIW Tartalea. L] ,,hlfl Tar-talea. non] am. Tartalea.


(D, non ergo maior est BS quam B01, neque minorquae SE quam 0,13 neque MX,quam 1’ 0G, et quo-niam quae I E est hemiolia. ipsius PY, minor autemquae PY quam GO, et quae quidem habet aequalis

5 ipsi P0 est, quae autem EA non est minor quamOG, maior ergo quae AE quam P173) quae ergoMX est maior quam dupla ipsius TX. sit autemM Y dupla ipsius Y T, et copulata quae YK educatur.palam autem similiter prioribns [p. 413, 6 sq.], quad

10 non manet portio, sed ualuetur ita, ut axis ipsius adsuperficiem humidi faciat angulum minorem angulo O.

1) Lacus corruptissimus inde ab lin. 2. res satis tet exfigura p. 428. num PFn: 4P ; PyanRC, sine M îPg.etPF)VI,h.e.PFET . e oTM(&Py,h.e.TM( &MX, sine M E 2TX.

1. ,,f" Tartalea, ut lin. 11. BS uam B0,] lacumTartalea. minot] am. Tartalea. 2. à, "37m Tartalea7. ,,ha" et ,,tan Tartalea. 8. MY] "hgu artalea.

LEMMATA.

Liber Assumptornm.

I.

Si mutuo se tangent duo circuli, ut duo circuliAEB, CED in E, fuerintque eorum diametri paral-

zv lelae, ut sunt dune diametrit AB, 0D, et iungantnr duo

puncta B, D et contactas E

V [lineis] DE, BD, erit lineaBE recta.

la I B sint. duo centra. G, F, etiungatur GF, et produca-mus ad E [Eucl. III, l2], eteducamus DE parallelamipsi GF. et quia. HF ne

qualis est ipsi GD, suntque GD, EG aequales, ergoex aequalibus FB, FE remanebunt GF, nempe DE,

Hum: libellum primas edidit S. Foster: Miscellanea (Land.1659) ex interpretatione I. Grauii, qui une eut codice Anbioo;neque enim Graecus exetat. deinde enm e codice Mediceo de-nuo Latine uertit Abrahamus’ Ecchellensis, 113m interpretatio-nem cum Apollonii libb. V-VlI edidit I. . Borellus (Floren-tine 1661). Arabica exstat in tn’bus codd. Mediceis, sed cumcod. CCLXXV (u. Catalog. codd. oriental. bibl. Medic. Leur.ed. S. E. Assemmma, Florent. 1742 p. 385) eolus nostrum libellnmet Apollonii libb. V-VlI continet, aine dubio hoc i sa codiceune est Borellus (cfr. pmeterea Assemanus p. 883 nr. CLXXI età. 392 nr. CCLXXXVI). recepi interpretationem Borelli. apud enmttuluehîe est: liber assumptorum Archimedis interprete

Thebit ben Kora et exponente Doctore Almochtano

LIBER ASSUMPTORUM. 429et HB, quae erunt aequales, atque duo anguli HDB,HBD sequoias. et quia. duo anguli EGD, EFBsunt recti, atqne duo anguli EGD, DHB sunt aequa-les, remanebunt duo anguli GED, GDE, qui interse et duobus angulis HDB, H BD aequales erunt.ergo angulus EDG aequalis est angulo DBF, et com-

Abilhasan Bali ben Ahmed Nosuensi. propositionessexdecim (,,quindecimu Foster, ut re uera. surit; Borellus maleadiecit fragmentum Archimedis apud Eutocium seruatum). Thebitben Kora. hanc preefationem praemisit(Bore11us p. 385): ,AsseritDoctor Almochtasso hune librum referri ad Archimedem, inquo sunt propositiones pulcherrimse paume numero, utilitutisuero maximae de principiis geometriae, optimee atque elegan-tissimae, quae ednumerant professons huius scientiae sdmmaeintermediorum, quae legi oportet inter librum Euclidis et Al-magestum; et uero quaedam illius propositionum loca. indigentaliis propositionibus, quibus propositiones illae clariores eue-dant. et quidem ipse Archimedes bas indiceuit propositionescasque retulit in eliis suis operibus, dum dixit: quemadmodumdemonstrauimus in propositionibus rectangulorum; item et:quemedmodum demonstrsuimus in nostre expositione agentesde triai: une; rursus: quemadmodum demonstrauimus in pro-

ositioni us quadrilaterum; et retulit in propositione quinte.emonstrationem hac de re magie peculiarem. deinde compo-

suit Abusahal Alkuhi librum, quem inscripsit: ordinationemlibri Archimedis de assumptis, et tructauit demonstrationemhuius propositionis via universaliori se meliori, nec non sequae dependent ex compositions proportionis. quad quidem,cum id comperi, attexui locis obscufioribus huius libri exposi-tionem son marginales poutines et confirmeui, quad ille indi-caueret. propositionibus, uti iudiceueram, et retuli ex propo-sitionibus Abihasel dues propositiones, quibus opus est ad pro-positionem quintum declarsndam, reliqua omittens breuitutisgratis. et eo quod non sint necesseriaefl efr. Wenrich: deanet. èmec. vers. Amb. p. 192 sq. ex bis Ambum commen-tariis usus sum, quae mihi utilia uisa sunt, ceteris abiectis. -Sicut dubitari naquit, librum ipsum, qualem nunc hebeemus.ab Archimede profectum non esse, ita. ueri simile est, aliquastemen proportionum eius, quae fers satis suite et inuentae etdemonstratae surit, te nm, ut pree se ferunt, Archimedeusesse, sed quantum ei tribuendum ait, nondum satis exploratumest. efr. Quaest. Arch. p. 24-25;

430 LIBER ASSUMPTORUM.prehensus angulus GDB est communis. ergo emmiduo anguli GDB, FBD (qui sunt pares duobus redis)[Eucl. I, 29] aequales duobus angulis GDB, GDE.igitur ipsi quoque sunt aequales duobus rectis. ergolinea EDB est recta, et hoc est, quod uoluimus.’)

Il.Sit CBA semicirculus, quem DO, DE tangent, et

BE perpendicularis super AC, et iungamus AD; eritBF aequalis ipsi FE.

Demonstratio. iungamus AB eamque producsmnsin directum, et educamus 0D, quousque illi occnrnt

in G, et iungamus 0B. etquia. angulus CBA est insemicirculo, erit rectus

12 [Eucl. HI, 31]. remetÛBG motus, et DBEC

est parallelogrammum

B F rectangulum.’) ergo intriangulo G30 rectangulo

A E (7 educitur perpendicularîsBD ex B erecta super basim, et BD, DU erunt ae-quales eo, quod tangunt circulum [Zeitschn f. Math.hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 15]. ergo 0D est etiamaequalis ipsi DG, quemadmodum ostendimus in pro-

1) Utitur hac propositione Puppus 1V, 23 p. 214, 5. idemfit, ut recte adnotauit Almochtasso, si circuli sese atriumcontingunt; demonstrat Pappus VIL 176 p. 840.

2) Error apertissimus est. neque enim necesse est, limesBD, D0 inter se perpendiculares esse, neque esse BD :t ACet D0 1: DE. pr0pos1tio temen ipse. par se nem est; demon-stmt Torele p. 366. errorem in: Foster notsuit p. le; con-tra Arabes fugit.

LIBER. ASSUMPTORUM. 431positionibus, quas confecimus de rectangulisfi) et quiain triangulo GAG linea BE educta est parallela basi,et iam educta est ex D semipartitione basis linea D11secans parallelam in F, erit BF aequalis ipsi FE[ib. p. 178 nr. 3], et hoc est, quod uoluimus.

III.Sit 0A segmentum circuli, et B punctum super

illud ubicunque, et BD perpendicularis super AC, etsegmentum DE aequale DA, et arcus BF aequalisarcui BA, utiqne iuncta CF erit aequalis ipsi CE3)

Demonstratio. iungamus lineae AB, BF, FE, EB.et quia arcus BA aequa-lis est arcui BF, erit ABaequalis BF. et quia ADaequalis est ED, et duoanguli D sunt recti, et

.1 D E 67 DE communis, ergo ABaequalis est BE [Eucl. I, 4] , et propterea BF, BEsunt aequales, et duo anguli BFE, BEF sunt aequa-les. et quia quadrilaterum CFBA est in circulo, eritangulus CFB cum angulo CAB ipsi opposito, immocum angulo BEA, aequalis duobus rectis [Eucl. HI,22]. sed angulus OEB cum angulo BEA aequalessunt duobus rectis. ergo duo anguli CFB, CEB

1) Talem librum Archimedes non scripsit. rem ipsam sicdemonstrat Almochtasso: quia BD:DC’, erit LDC’BaDBC;sed D30 -]- DBG - 90° a DCB -l- CGB. itaque

DBG a 0GB sine BD :- DG a: D0.2) Cfr. Ptolemaeus «un. I, 9 p. 31 ed. Halma. in figura

codicis ABFC semicirculus est, sed proportio de quauis arcucirculi uera est.

432 LIBER ASSUMPTORUM.sunt aequales. et remanent CFE, CEF aequales. ergoCE aequalis est CF, et hoc est, quad uoluimus.

1V.

Sit AEC semicirculus, et fiant super AC diametrumduo semicirculi, quorum anus AD, alter uero DG, etDE perpendicularis, utiqne figura proueniens, qumuocat Archimedes Arbelon (est superficies comprehensaab area semicirculi maioris et duabus circumferentiissemicirculoram minorum), est aequalis circalo, cuiusdiameter est perpendicularis DE.1)

Demonstratio. quia linea DE media proportionalis

3 est inter dues lineae DA.z DO [Eucl. V1, 13; Zeitschrift f. Matin, histor.

Abth. XXIV p. 181 nr.

p 16], erit planum AD inDG aequale quadrato DE

a D A [Eucl. VI, 17]. et pona-mas AD in D0 cum duobus quadratis AD, D0 com-muniter; fiet planum AD in DO bis cum duobus qua-dratis AD, D0, nempe quadratum AC [Eucl. Il, 4].aequale duplo quadrati DE cum duobus quadratisAD, D0. et proportio circulorum eadem est ac proportio quadratorum [Eucl. XII, 2]. ergo circulas,cuius diameter est AC, aequalis est duplo circuli, cuiusdiameter est DE, cum duobus circulis, quorum dia-

1) Has propositiones de arbelo (4, 5, 6 et l) non dubitoArchimedi tribaere. roprietates arbeli antiquitus tractonsesse, testatar Pappus fV, 19 p. 208, 9: (inule: aquitaine novmen accepit ex similitudine cultelli sutorü (schol. ad NimdriTheriac. 423).

LIBER ASSUMPTORUM. 433metri saut AD, DC [Quaest. Arch. p. 48], et semi-circulus AC aequalis est circula, cuius diameter estDE, cum duobus semicirculis AD, DC. et auferamusduos semicirculos AD, DC communiter; remanet figura,quam continent semicirculi AC, AD, DC (et est figura,quam uocauit Archimedes Arbelon) aequalis circula,cuius diameter est DE; et hoc est, quad uoluimus.

V.

Si fuerit semicirculus AE, et signatum fuerit ineius diametro punctum C ubicunque, et fiant superdiametrum duo semicirculi AC, CE, et educatur ex Cperpendicularis CD super AE, et describantur adutrasque partes duo circuli tangentes illam et tan-gentes semicirculos, utiqne illi duo circuli sunt aequales.

Demonstratio. sit alter circulorum tangens DC inE ’et semicirculum AB in F et semicircalum AC in G.

D

.4. a J?et educamus diametrum HE; erit parallela diametroAE eo, quad duo anguli BEC, ACE sunt recti[Eucl. I, 28]. et iungamus FH, HA. ergo linea AFest recta, uti dictum est in propositions I. et occur-

Archimedes, si. Heiberg. Il. 28

434 LIBER ASSUMPTORUM.rent AF, CE in D eo, quad egrediantur ab angulisA, C minoribus duobus rectis [Eucl. I (du. 5]. et inn-gamus etiam FE, EB; ergo EFB est etiam recta,uti diximus [prop. 1], et est perpendicularis super ADea, quad angulus AFB est restas, quia audit insemicirculum AB [Eucl. III, 31]. et iungamus HG,CC; erit H C etiam recta. et iungamus EG, GA; eritEA recta [u. p. 430 not. 1]; et producamus eam adI et iungamus BI, quae sit etiam perpendicularis sa.par AI [Eucl. III, 3l]. et iungamus DI. et quiaAD, AE sant duae rectae, et educta ex D ad lineamAE perpendicularis DC et ex B ad DA perpendicu-laris BF, quae se mutua secent in E, et educta AE adI est perpendicularis super BI, erunt EID rectae, quem-admodum ostendimus in propositionibus, quae confeci.mus in expositions tractatus de triangulis rectangulis.’)et quia duo anguli AGC, AIE sunt recti, utiqne BD,CG saut parallelae [Eucl. I, 28], et proportio AD adDE; quae est ut AC adHE’), est ut proportio ABad E05) ergo rectangalum AC in CE aequale estrectangulo AE in HE [Eucl. VI, 16]. et similiterdemonstratur in circula LMN, quad rectangulum AC

1) Uidetar significari commentarium nescio cuius in Archi.medis librum de triangulis rectangulis ab Arabibas salis cam-memoratum (Quaest. Arch. p. 30); idem fartasse significatur inprop. 2. demonstrationem dedit Almochtassa praemissa ra-pasitiane notissima, altitudines trianguli acutianguli in ampuncto cancanera. ne sit igitur BI D recta; ducatur alia linea.quae AI in m secet; erit LAmD a 90°; sed LAID - 90°;flaque AmD a- AI D, quad fieri non potest; demonstrationemeaudem de quouis triangule ualere, ostendit Nizzius p. 267.

2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 4.8) Ex Eucl. VI, 2 componendo.

LIBER ASSUMPTORUM. 435in CE aequale sit rectangulo AE in suam diametrum,et demonstratur inde etiam, quad duae diametri cir-calarum EFG, LMN sint aequales. ergo illi duocirculi saut aequales; et bac est, quad uoluimus.!)

VI.

Si fuerit semicirculus ABC, et in eius diametrosumatur punctum D, et fuerit AD ipsius DC sesqui-altera, et describantur super AD, DC duo semicirculi,et ponatur circulas EF inter tres semicirculos tan-gons ses, et educatur diameter EF in illa paralleladiametra AC, reperiri debet proportio diametri ACad diametrum EF.’)

iungamus enim dues lineas AE, EB et duas li-neas CF, FE. erunt CE, AB restas, ati dictum est

.4 o 1) P 0in prima propasitiane. describamus etiam dans lineasFGA, EH C, astendeturque esse quoque rectas [p. 430net. 1]; similiter dans lineas DE, DE, et iangamusD’I, DL et EfiI, FN et producamus cas ad O, P. et

1) Plus de arbela habet Pep un 1V, l9 p. 208 sq. danspro asitiones bac loco addidit A ahi, mathematicus Arabe;a. gonflas . 898-95, Nina p. 257.

. 2) Cfr. appas 1V, 26 p. 224 sq.28’

436 LIBEB. ASSUMPTORUM.quia in triangulo AED AC est perpendicularis adED, et DI est quoque perpendicularis ad AE, etiam se matuo secuerunt in Dl, ergo EMO erit etiamperpendicularis, quemadmodum ostendimus in exposi-tions, quam confecimus de proprietatibus triangula-rum, et cuius demonstratio iam quidem praecessit insuperiori propositione [p. 434 not. 1]. similiter quo-que erit FP perpendicularis super CA, et quia duoanguli, qui sunt apud L et E, sunt recti, erit DLparallela ipsi AB, et pariter DI ipsi CE. igiturproportio AD ad DC est ut proportio AM ad FM[Eucl. V1, 2], immo ut proportio A0 ad OP, et pro-portio CD ad DA ut proportio CN ad NE, immout proportio CP ad P0. et erat AD sesquialteraDC; ergo A0 est sesquialtera. 0P et OP sesquialtersCP. ergo tres lineae A0, 0P, PC sunt proportio-nales, et in eadem mensura, in qua est PC quattuor,erit 0P sex, et A0 nouem, et CA nouendecim. etquia P0 aequalis est EF, erit proportio AC ad EFut nouendecim ad sex: igitur reperimus dictum pro-portionem. etiam si fuerit AD ad DC qualiscunque,ut sesquitertia aut sesquiquarta aut alia, erit iudiciuiuet ratio, ati dictum est. et hoc est, quad uoluimus.

VII.

Si circulas ,circa quadratum descriptus fuerit, etalias intra illum, utiqne erit circumscriptus duplusinscripti. sit itaque circulas comprehendens quadratumAE circulas AE, et inscriptus CD, et sit diameterquadrati AE, et est diameter circuli circumscripti, eteducamus CD diametrum circuli inscripti parallelain

LIBER ASSUMPTORUM. 437ipsi AE, quae est si aequalis. et quia quadratum AEduplum est quadrati AE [Eucl. I, 47] siae DC, etproportio quadratorum ex diametris circulorum est

N!"A

eadem proportioni circuli ad circulum [Eucl. XII, 2],igitur circulas AE duplus est circuli CD; et hoc est,quad uoluimus.

VIII.

Si egrediatar in circula linea AE abicanqae, etprodacatur in directum, et ponatur EC aequalis semi-diametra circuli, et iungatur ex C ad centrum circuli,quad est D, et producatar ad E, erit arcus AE triplasarcus BF.

educamus igitur EG parallelam ipsi AE, et inn-gamus DE, DG. et quia.

:7 duo anguli DEG, DGE sautaequales, erit angulus GDC

E duplus anguli DEG [Eucl. I,A 32]. et quia angulus EDCC aequalis est angulo ECD, et i

angulus CEG aequalis estangulo ACE [Eucl. I, 29], erit angulas GDC duplus

438 LIBER ASSUMPTORUM.anguli ODE, et tatas angulus EDC triplas anguliEDC, et arcus EG aequalis arcui AE triplas estarcus EF [Eucl. III, 26]. et hac est, quad uoluimus.?

1X.

Si matuo se secuerint in: circula duae lineae AE, CD(sed non» in centra) ad angulos rectos, utiqne duo et-eus AD, CE saut aequales duobus areabas AC, DE.

edueamus diametrum EF parallelam ipsi AE, quaesecet CD bifariam in G; erit EC aequalis ipsi ED

D [Eucl. III, 3]. et quia tem arcusl EDF, quam ECF est semieircu-

lus, et arcus ED aequalis areuiEA cum area AD, erit arcus CFcum duobus arcubas EA, AD ae-qualis semieireulo. et arcus EAaequalis arcui BF, ergo arcus CE

cum area AD aequalis est semicircula. et remanentduo arcus EU, EA, nempe arcus AC, cum area DEaequales illi. et hoc est, quad uoluimus.

X.

Si fuerit circulas ABC, et DA tangons illum, etDE secans illum, et DC etiam tangens, et eductafuerit CE parallela ipsi DE, et iuneta fuerit EAsecans DE in F, et educta fuerit ex F perpendicu-laris FG super CE, utiqne bifariam secabit illam in G.

iungamus AC, et quia. DA est tangens et A0secans eircalum, erit angulus DAC aequalis angulo

1) fête menait Mauritius Cantor (Zeitsohr. f. Matin, kiltAbtb. p. 169), hanc propositionem acre Archimedesmesse. bremarem demonstratianem dedit Borellus.

LIBER ASSUMPTORUM. 439cadenti in alterna segmenta AC, nempe angulo AEC[Eucl. 111, 32], et est aequalis angulo AFD sa, quadCE, BD saut parallelae [Eucl. I, 29]. ergo anguli

’ DAC, AFD saut aequales, et in duobus triangulis

. DAF, AED surit3 F p duo anguli AFD,EAD aequales, etangulus D commu-ais. propterea eritrectangulum FD in

a, a DE aequale qua-drato DA’), immoquadrato DC [p. 430, 22]. et quia proportio FD adDC est eadem proportioni CD ad DE [Eucl. V1, 17],et angulus D commuais, erunt triangule DFC, DCEsimilis. [Eucl. V1, 6], et angulus DFC aequalis DCE,qui aequalis est angulo DAE; et hic est aequalisangulo AED. ergo duo angali AFD, CFD sautaequales, et DFC aequalis angulo FCE [Eucl. I, 29];et erat DFA aequalis angulo AEC. ergo in trian-gule FEC sunt duo anguli C,E aequales, et duo an-guli G recti, et latus GF commune. propterea eritCG aequalis ipsi GE [Eucl. I, 26]. ergo CE bifariamsecatur in G. et hoc est, quad uoluimus.

XI.

Si matuo se secuerint in circula duae lineae AE,CD ad angulos rectos in E, quad non sit in centra,

1) Nam ADHN ADF (Eucl. V1 def. 1); ergoFD : DA a: D4 : DE (Eucl. V1, 4);

tain a. Eucl. V1, 17.

440 LIBER ASSUMPTORUM.

utique omnia quadrata AE, BE, EC, ED aequaliaquadrata diametri. I

edueamas diametrum AF, et iungamus lineas AC,AD, CF, DE. et quia angu-lus AED est rectus, erit aequa-

LD Û lis angulo ACF [Eucl. 111,31],A i et angulus ADC aequalis AFC

eo, quad sunt saper arcum AC[Eucl. 111, 27]; et remanent induobus triangulis ADE, AFC’duo anguli CAP; DAE aequa-

les. erunt pariter duo arcus CF, DE aequales [Eucl.111, 26], immo et duae abordas eorum aequales [Eucl.111, 29]; et duo quadrata DE, EE aequantur qua-drata BD [Eucl. I, 47], aempe CF, et duo quadrataAE, ECUaeqaantur quadrata CA, et duo quadrata CF,CA aequantar quadrata FA, nempe diametri. igiturquadrata AE, EB, CE, ED omnia saut aequalia qua-drata diametri. et hoc est, quad uoluimus.

X11.

Si fuerit semicirculus super diametrum AE, eteductae fuerint ex C duae lineae tangentes illum induobus punctis D, E, et iunetae fuerint EA, DE sematuo secantes in F, et iuneta fuerit CF, et produ-catur ad G, erit CG perpendicularis ad AB.

iungamus DA, EB. et quia angulus EDA estrestas [Eucl. 111, 31], erant duo anguli DAE, DBAreliqui in triangule DAE aequales uni recto; et sn-gulus AEE rectus. i igitur saut aequales si. et po-namus’angulam FEE communem; araba anguli DAE,

LIBER ASSUMPTORUM. 441E surit aequales FEE, FEE, immo angulo DFErno in FEE [Eucl. I, 32]. et quia CD est tan.

É gens eircalum, et DE secans illum,’ ’ ’ angulus CDB aequatur angulo DAE,

.et pariter angulus CEF aequaturangulo EBA [Eucl. 111, 32]. ergodue anguli CEF, CDF sima] ae-quales saut angulo DFE. et iamquidem planum fit ex nostra trac-tatu de figuris quadrilateris 1), quad,si educantur inter dues lineas ae-quales sibi aecurrentes in aliquo

[(3130, ati saut duae lineae CD, CE [cfr. p. 430, 22],.e lineae se matuo secantes, ati saut duae lineae7, EF, et fuerit angulus ab iliis contentas, ut estgalas F, aequalis duobus angulis, qui oecurrunt.bus lineis se inuicem secantibus, ati sunt duo an-i E, D, simul, erit linea egrediens a puncto con-sus ad punctum sectionis, ati est linea CF, aequa-euilibet linearum sibi .aceurrentium, ut CD uel CE3))pterea erit CF aequalis ipsi CD. ergo angulus"D est aequalis angulo CDF, nempe angulo DAG. Al angulus CFD cum angulo DFG est aequalis dua-s reetis. ergo angulus DAG cum angulo DFG

l) De eiusmodi libre Archimedis nemo practerea uerbamit.

2) Demanstrationem indirectam dedit Almoehtassa. Borel-propasitionem ita demonstrat: produeatar D0, et sit

ï: CE. iam cum L E: CEE et ex hypothesi .BFE a: CDF 4- CEF,

t DFE -I- H- CDF 4- FEH : 180°. itaque DFEHcula inscribi patest (Eucl. III, 22), et centrum erit C, cumHa DG:- CE. itaque erit CFs CD.

442 LlBER ASSUMPTORUM.aequalis est duobus rectis. et remarient in quadri-latero ADFG duo angali ADF, AGF aequales dua-

. bus rectis. sed angulus ADE rectas est; ergo an-gulus AGC est rectus, et CG perpendicularis ad AB.-et hoc est, quad uoluimus.

X111.

Si matuo se secent duae lineae AE, CD in eir-eula, et fuerit AE diameter illias, et non CD, et edu-cantur ex duobus punctis A, B duae perpendicularesad CD, quae sint AE, EF, atique abseindent ex illaCF, DE aequales.

iungamus EE et educamus ex I, quad est centrum,

A perpendicularem I G superz p CD et producamus eam ad

E in EB. et quia IGcil est perpendicularis ex centra

1’ ad CD, illam bifariam dini-det in G [Eucl. m, 3]; etquia I G, AE sant duae per-pendiculares saper illum,

orant parallelae [Eucl. I, 28].et quia EI aequalis est IA,

erit EH aequalis ipsi EE [Eucl. V1, 2] , et propterearum aequalitatem, et quia EF est parallela ipsi HG,erit FG aequalis ipsi GE, et ex GC, GD aequalibusremarient FC, ED aequales. et hoc est, quad uoluimus.

l

XIV. ISi fuerit AE semicircalus, et ex eius diametro AB

dissectae sint AC, BD aequales, et efficientur sape!

LIBER ASSUMPTORUM. 443lineas AC, CD, DE semieireuli, et sit centrum dua-rum semieireuloram AE, CD punctum E, et sit EFperpendicularis saper AE, et producatur ad G, atiquecirculas, cuius diameter est FG, aequalis est super-ficiei contentae a semieireula maiari et a duobus se-mieireulis, qui surit intra illum, et a semieireula me-dio, qui est extra illum, et est figura, quam uacatArchimedes Salinon?)

quia DC bifariam secatur in E,,et addita est illiCA, erunt due quadrata DA, CA dupla duorum qua-

dratorum DE, EA[Eucl. H, 10]. sedFG aequalis est ipsiD11?) ergo duo qua-drata FG, AC duplasunt duorum quadra-toram DE, EA. etquia AE dupla estAE, et CD dupla

Ï quoque ED, eruntduo quadrata AE, DC quadrupla duorum quadrata-rum DE, EA, immo dupla duorum quadratorum GF,AC. similiter etiam duo circuli, quorum diametri sautAE, DC, dupli sunt eorum, quorum diametri sautGF, AC [p. 433, 1], et dimidii eorum, quorum dia-metri saut AE, CD, aequales duobus cireulis, quo-

1) Base pr0pasitio fartasse re aera Archimedis est. quidSalinon sit, uerbam sine dubio ab Arabibas deprauatum, du-bita. pro calfatas! aecepit Barrawius p. 276. contra MaurifiusCantor l. c. ab «du; deriuat (,,Wellenlinie"). ipse de aerbadélavas cogitaui (ex silhilitudine frondis apii).

2) Nain GFaGE-i-EF-AE-f-ED-AD.

444 LIBER ASSUMPTOBUM.rani diametri sunt GF, AC. sed circulas, cuius dia-meter AC, est aequalis duobus semieireulis AC, BD.ergo si auferamus ex illis duos semieircalos AC, BD,qui saut communes, remanet figura contenta a quattuorsemieireulis AE, CD, DE, AC (quae ce est, quamuocat Archimedes Salinan) aequalis circula, cuius dis»meter est F G. et hoc est, quad uoluimus.

XV.

Si fuerit AE semieireulus, et AC aborda penta-goni, et semissis arcus AC sit AD, iungatur CD etproducatur, ut cadet super E, et iungatur DE, quaesecet CA in F, et ducatur ’ex F perpendicularis F Gsuper AB: erit linea E G aequalis semidiametro circuli.

iungamus itaque lineam CE, et sit centrum E, etiungainus ED, DG et AD. et quia angulus ABC,

1’ A 4 E 3cuius basis est latus pentagani, est duae quintae par-tes recti [Eucl. III, 20], quilibet duorum angalarumCBD, DEA est quinte pars recti. et angulus DEAduplus est anguli DEE [Eucl. 111, 20]; ergo angulusDE A est duae quintes partes recti. et quia in duo-bus triangulis CEF, GEF duo gngali E sunt aequa-les, et G, C recti, et latas FE commune, erit E0

LIBER ASSUMPTORUM. 445aequale ipsi EG [Eucl. I, 26]. et quia in duobustriangalis CED, GBD duo latera CE, EG saut ae-qualia, et similiter duo anguli ad E, et latus EDcommune, orant duo anguli ECD, EGD aequales[Eucl. 1, 4], et quilibet eorum est sex quintae partesrectil), et est aequalis angulo DAE externe quadri-lateri BADC, quad est in circula?) ergo remanetangulus DAE aequalis angulo DGA, et erit DAaequalis ipsi DG. et quia angulus DE G est duaequintae partes recti, et angulus DGE sex quintaepartes recti, remanet angulus E DG duae quintae partesrecti, et erit DG aequalis GE. et quia ADE externasquadrilateri ADCE, quad est in circula, est aequalisangulo CEA [not. 2], et est duae quintae partes rectiet aequalis angulo GDE. et quia in duobus trian-gulis EDA, EDG saut duo anguli EDA, EDGaequales, et pariter duo anguli DGE, DAE, et duolatere. DA, DG, erit EA aequale HG [Eucl. I, 26].et panamas AG commune; erit EG aequale AH. ethoc est, quad uoluimus.

Et hinc patet, quad linea DE aequalis sit semi-diametro circuli, quia angulus A aequalis est anguloDGE”); ideo erit linea DE aequalis lineae DE. etdico, quad E C diuiditur media et extrema proportione4)in D, et mains segmentam est DE, et hoc quia ED

1) Nain DCA a èDHA (Eucl. lII, 20) et FCE a 90°.2) Nain

EGD -]- DAE a 180° (Eucl. 111, 22) - DAE 4- DAE.3) Fort. scribendum: ,,quia angulus E aequalis est angulo

DEGit.4) H. e. dingos au! nécrosa 7.6707, siue EC: ED :- ED z DC

(Eucl. VI def. 3).

446 LlBER ASSUMPTORUM.est aborda hexagani [Eucl. IV, 15 169.] et DC deca-gani, et hoc iam demonstratum est in libre elemen-tarum.’) et hoc est, quad uoluimus.

l) H. a. Sa si craquetai, Eucl. elem. X111, 9: Gais si tu?flaireuse :150 à sa). 1) son? dans: dans mais si; si»! «6:67 ari-des lyyqaçapgvm conchiait, n 3111 860m: âme sur! plus»16701 rétamas, and :6 petto, min-je infini du" 1) 106 550:-yawov mon.

PROBLEMA BOUINUM.

Antiquitus clarum erat problema Archimedis denamera boum Salis (apôfilnua fioemâv); u. Scholisad Platonis Charmid. 165 e: tremper loywumfi) mirraina ati: sa xÂnôèv 1593 ’Apyynfdovç fiosmôv 196-

fllnua, aoûta dt (mutas and (procuras stemm;Anthol. Palat. XIV, 3 et 12); cfr. Anonymus Haltschii(Heron) 9 p. 248 et Cicero ad Attie. X11, 4; X111, 28:mirifique: ’Apdesva). epigramma infra adlatumproblema eiusmodi tractans e codice Guelferbytane(77 Gud. Graec.), primas edidit G. E. Lessingias (Sâmmt-liche Schriften ed. Laehmann 1X p. 285 sq.), additoscholie et dispatatione mathematiea Chr. Leistii (ib.p. 297). deinde id ediderunt I. et K. L. Struuii (Altesgriechisches Epigramm mathematisehen Inhalts, Altona1821. 8), G. Hermannus (De Archimedis problematebauino. Lipsiae 1828. 4. cfr. Opuscula 1V p. 228 etrecensio l. F. Wurmii in Jahns J ahrbücher XIV p. 194.ad quam respicit Hermannus Opusc. 1V praef. p. HI),Terquem (Bulletin de bibliogr., d’histoire et de biogr.mathématiques I p. 121; cfr. ibid. p. 113 sq., p. 130),B. Krumbiegel (Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXVp. 121 sq.). problema ipsam praeterea tractaueruntNesselmannus: Algebra der Griechen p. 481 sq., A. I.H. Vincentius: Bulletin Terquem I p. 165 sq., Il p. 39,A. Amthor: Zeitschr. f. Math. a. Physik, hist. litt. Abtb.XXV p. 153 sq., quamquam nandum satis constat

PROBLEMA BOUINUM. i 449

quomodo Archimedes hac problema saluerit, tamenpicrique eonsentiunt (aelut Hermannus, Libri: hist.des mathém. en Italie I p. 206, Cantor: Zeitschr. f.Math, hist. Abth. XXIÎle. 169), ces, qui Archimediabiudicant, quad saluera non potuerit, airais inconsi-derate egisse (uelut Struuii, Nesselmannusî Vincentins); cfr. Quaest. Aral]. p. 66-68. ’ -

epigramma et sebaliam edidi Lessingium secatus.in natte adieei coniecturas omnes Hermanni, Struuii,Vineentii, Krumbiegelii. seripturas cod. Parisiensis nr.2448, quas mecam eommunicauit Henrieas Lebègue,qui mec rogatu beneuolentissime hune codicem in-uestigaait et eontulit, in praefatione huius uoluminisrettali.

Archimedes, ad. Heiberg. II. 29

110073172 sa,

3159 unirait»); à; hwpu’upaaw séguia: tafs 3v. 311155314-

docte; aussi. mâta apaypazsuope’vatg :171er Menhirà: 113 1963 1170411060!qu tôt! Kmvatov étuvois).

1 1719181211 ’HeMozo floa’iv, si être, yétwaav

çpowld’ émanions, et panifias doping,adam; 59’ à! 3565on Sushis xaz’ êfiôo’ma miaou

Germanie]; tarpan] criqua directrices)"a 1905m: dlléaaowa’ r6 sa: lamera yoîlmaç,

amurés) 6’ 5759011 maman lauzôuevav,

55Mo 78 (Lès! Eavôdv, 16 6è nautiles). en dis 5min?stûpa 50’411) m5901. flÂQÎÛ’EGL figurément

avisassent]; 10151665 ræevzôzeg’ âpyôtpzxaç m’a!

10 zoarium maçon! indou fiât taira)ml 2111100179 daignas"; taons, si gens, 116116011,m’rvàg 3110:1!!!an 1,6 vergées) te m’as;

uznozpôœv ami zénanas, êta. 841120013! te salon:tain; a" finalemope’vavg «mandrinons; d’âge:

15 01975011051! natrium! âne: néper Ëfldapézp se

au! Eavôaïçga’dng adam langeassions.

anisâmes 6è flouai. nid" étalera. immisças; peu176m; avancions avarier); églefinssa; tendra) te m’as; au! recadra) àtpexèg Ïfim’

ln titulo: nouyparovpévazc cad. Guelferb.; con. Struuius.1. ’Hdlcna] cfr. Hameri 0d. X11, 127 sq. 2. engins Leo-

Problema,quad Archimedes inaenit et in epigrammate ad ces,qui Alexandriae eiusmodi robas studebant, misit in

epistula ad Eratosthenem Cyrenensem.

Multitudinem boum Salis, hospes, eompatato dili-gentiam adhibens, si sapientiae particeps es, quantaquondam in eampis Thrinaciae Sicalae insalae pasca-retur in quattuor greges diuisa colore diuersos, unumlactis albi colore , alterum caeruleo nitentem, tertiamflauam, quartum uarium. in singulis autem gregibustaari erant namero praeualidi, hanc ratianem seruan-tes: finge, hospes, albos numero aequales dimidiae ettertiae partibus taurorum eaeruleorum et simul omni-bus flaais, eaeruleas autem quartas et quintae parti-bus uariarum et praeterea fluais omnibus. reliquesautem uarios aide sextae et septimae partibus albo-rum et rursus omnibus fluais aequales. in uaccis au-tem hac orant ratianes: albae tertiae et quartas par-tibus totius gregis eaerulei aequales orant, caeruleaeautem quartas et quintae simul partibus uariorum si-singius. 8. nlfifiu Struuius. 12. uniate: cod. Guelferb.;corr. Lessin ’as. 1s am. cad. Guelferb.; corr. Hermannus.18. niam" un Struuius. zain Lessingias cum Guelferb.-cart. Hermannus. 14. mazarinade Lessingias. 16. mineHermannus; «demie Lessingias cum Guelferb. 17-26 deletVincentius. 19. essaiera cad. Gaelferb.; carr. Lessingias;item lin. 20.

29’

20

25

30

35

40

O

452 IIPOBAHMA BOEIKON.(21356:9 nocives". 1:93 targette: n mêla:urxroxgôaw aux! «sans? 641017 gréas; iaéçovra

6131: raüpoig’ miens 6’ de vanda; Ëpxope’vflg

gœvôomlxœv 027:!an zénana) pagel. fiât and âne)

statufiai baignâmes: 951.1780; 5x01! targum].gommai 6’ n’auflueûwa pécaris safran indou 16m.

àçyevvfig tiraillais ëfidauérgu se palpai.

garus, en) 6’ ’HeÂfaLa [301512 miam airant; statuiez,

zonois (.081! rations: germanisai: 0190944611,

103919 6’ a5 Miami. 56m. nard 1945m; gaussai,06x dadais ne Âe’ym’ aôô’ damai: (tamis,

ati yin; aloi 75 datpoïg ficelâmes. (in, me (postât!)mi. raids même [30611 ’HeMew méfie].

àçyôzçnxsg tertiam ab: final yLEaIÎWO 712.0781512

«vannions, faraw’ guindai: 5665481900

dg 502809 si; 55969 ce, 1:6; 6’ a5 momifiait! miamaimanta 5:1.th 091.7054119 stadia.gavant 6’ adt’ dg 311 and alandier. dôpowôénsgïamm’ âufloloîôm; 55 èves émoussiez

exigu iEÂELO’CWEg rô ryexçéo’môov 01’115 amarinas!

02110196011; tertiam: m’h’ âzzlsmopévwv.

mûre: oweësvçàv and 511E xpaziôsaaw àôeataœç

and «Motion; (51060139, si 25’116, suivra pérou

59150 xvôiôœv vmqqaôpag, [66L se aveinte);umpzus’veç amie?) damnas a: ample].

21. mura 961w Struuius. bécane. on)! turions: miensVincentius; longane, de sauçois adam Lessingias. . m’-anç-êazauémç] Lessingias; micmg-içppe’vme cod. Gaul-ferb. matonne-ioniserais Struuius.. ô ale] Hermannus,

Strauius; 5109? airera c Vincentias. neumeg si; cod. Guelferb., au . 24. ressuai] canaëtralm; «raide

Ber.5107. tarpan") Lessingias. 27. miam Vincentius. pain

PROBLEMA BOUINUM. 453mal cum tauris aequales crant, uariae numerum habe-bant aequalem quintae et sextae partibus totius fla-uorum gregis pascentis; fiauae autem aequales sextaeet septimae partibus gregis albi namerabantur. tuacre, hospes, diligenter indicato numero boum Salis,quot tauri robusti quotque uaceae essent singulis co-loribus, non imperitus rudisqae numerorum uoceris,neque tamen inter sapientes numereris. et die agebas quoque omnes boum Salis ratianes: sieubi taarialbi suam maltitudinem cum caeruleis eoniangebant,stabant firmiter aequali in altitudinem et latitudinemmensura, et longi latique campi Thrinaciae undiquesolido quadrangulo complebantur. rursus autem flaaiet uarii eonianeti ita stabant, ut numerus sensim exune adcresceret, figaram trilateram efficientes taurisceterarum coloram neque praésentibus neque deside-ratis. haec si simul inueneris et mente complexas cris,hospes, omnes multitudinum mensuras indicans, vie.-toria gloriatas abito et patata, te ita demum sapien-tia praestantem esse iadicatum.

mannes; fiés; cad. Guelferb. Lessin las. 28-29 delet Vin-cential. 29. 1945 ] Stru us; ne eod. Gaelferb., Lessin-

’as. 131-44 de et Vincentius. hammams] Struuius’ èscompote ead. Guelferb., Lessingias. 32. roide usina] réa 51’ Adm Struuias. Wurmius bas emendatianes superman.- cen-set, muta’w une u. 27 in d’un (imperat). 84. la «desVincentias. 36. zigs infusa Hermannus. 86. "Malice for-tune oomptum; 1:11.00: Vinaentius. 31.12001); Krumbiegel.89. mire-mite] du - site Hermannus. 44. rating 1’ Her-mannus.

454 IIPOBAHMA BOEIKON.

2161.1. 07.

Tô grès: 015v Môfllmm du? mû amarineras ô 201L-

midng édifieras damais. toréai: 6è 16 le76psvov, duréadaptas 027591413 chou. der fiaôv’ Âmasplzaw ati:plus: maçon; and. amincir, (de: rô «1.55005 55505 60v-oî7st avouiôas dudit; Lô’ au! dadais pnfi’ mi. pouillas

,Çzâ” avavoxpôaw . 6’ 5111127 époi) varias»! ml ân-

lsmîv, (du 1:6 salifiât; éon. (1.1190025011! 61.11.0512 âmesaux). 0111.4511 ,qœi.’ au). partition; œ’. (1.0801951011! 6’ 31-

1.1111 renias"; sont 8911.51.67, air; rô «lûôdg éon avoui-

dow dimidii: 17’ and 02:11:51; ,gæmx’ ami novatrices: a"tifs 6è lomfig obéiras mais! Eavôoxga’mv 1) avvé7eL et

nlfiôoç 61.1107; pvgtâôag Ç and 5:70.075; ,Gzpn’, 1.5011026415

6è ,n’. dine 61211027668051. 651.05 r6 nÂûôog 14512 6’

027510511 uvpeoîdaç dadais p.’ au). dardais ,79Lfl’ and po-

vdôag ,quë’. mi. a) ne» 01757.93 mais! lameraixmz tari-paw 51a. uvazéôas 61.11.4329 72’ and émiois ,fiæla’ and

novédag mais .ôvnÂeLaîv dt pogtoîdag dallé; 5’ and.

datois ,Çxv’ and pavoidag ,nœ’° a) 6è &75’112 mais: uv-

swozoôaw radeau; 5151. ati; avachies dadais 5’ misimilis ,ôxnô’ aux). pavéôag ,aau’, 811.181.051! dt avoui-

ôaçw (halois 7’ ml dadais ,ôpps’ nui panamas fixa”1) 6’ 02757.71 171512 nozlearpz’zew rationnel 5181. par pu-

pwEdag dadais 5’ and. danois ,nmëô’ nui. numides ,dw’,

8111814512 6è numérisas 61.11629 13’. scat timide punas” un!

pavédœç ,ez’e’) a) à" 02757.11 mais; Eavôaxpmpdrow tati-

çœv 5181. ati; uvptéôaç 61x101; 7’ aux! ululé; ,7er’

ml ganoïdes &E’, animais! dt avoisinions douloir; 6’ and

1) Eavôatçtzœv Hermannus.2) ,sf] ,01’ cod. Guelferb.; carr. Lessingias.

merum BOEIKON. 4555:11.59 lytpay’ aux! pavéôcxg 3p]. un! écu 16 air-100g

145v Worçizwv union": 1’601: 193 îmlaææ ml zpltcp(légal. 1:05 nÂfiôovg :0512 uvavoxpôœv m6911»! un! En31g a? 115v âavôoxpæpézœv 027’594], 1:6 6è 11.11909 mît:

xvavoxgœpoîrœv 1’601; t’a)" 16105919) aux! WËMW’I’GP palpa.

10511 nomblozpc’xœvl) 10:15va m2 51.91 14,5 212.1588: mît:

gavôoxçœpoîrwv, zô 6è nlfiôog raïa: nozmlozplfxœv m15-

çœv l’ami 1:93 En? and êfiôdpça m’est. 14511 Âmotpiznw

1051590212 ami En 155 aléas; 314p gavrfloxpmlwirmv mé-gœv, ml «dm 16 nlfiôos 1051i 1181234512 8111.51.61: [0’011

1:95 19139) ml ranimez) (16’981. 51.139 mis 02751179 :4511xvavoxçôœv, rô 6è caïn uvavoxpôœv 1’601; 11,5 renierez

ami népxrça péon zfig 51113 âye’ilng 145v nomLÂOtgc’xœv,

1:6 6è raïa) atomÂorpc’xœv i801: 1:91" zigzag: and: 5x19)(Légal. tifs 51.119 n51; 3111130511 fionfiv. «élu: 6è 1:6 1031!

gavôôv ranimât! nlfiôog 15v [un :95 En? zs’fiuai âp-ôôpço pigea ris 51.119 (57151119 tafia: lamait! floôv. nul«à ph; 02769.11 :4511 lamorgixaw 111691311: ml à 1:61:nmavoxpôœv 10:69:01; 61211158360: atout tuqoîyawov0290911611, i) 6’ 0275M] 105v Eavûozpixœv tœüpmv parât

zig aîyélng 103v zomzloxçânw dmeôeî’o’a zoner tol-

yawov, (259 515L rôt n51: énmzpè’vœv uavôww and)”

guarana! 19051105.

1) 130414019601 Hermannus.2) a 0m. Hermannus.

FRAGMENTA.

Omissis libris, qui ab Arabibus salis commemoran-tut, de quibus u. Quaest. Arch. p. 29-30, hoc 1000omnia testimonia et fragmenta librorum Archimedis,qui interciderunt, quae quidem inuenire potuerim, col-legî; pleraque indicaui Quaest. Arch. p. 30 sq.

De polyedris.1 Pappus V, 34 p. 352: mûre: 8’ ëçiriv 015 (1.611011 ni

«0:96: 193 flueroinp 111.021.1011". même am’paw, 101.166er151902569611 ra and êâa’sô9o12, ôutoîsô96v 1re and 61065-

140256901), népmov 6’ 55110002869011, &Mà and ni 1516

349710166009 51595053170; r9zduaiôwœ 1612 0291.3-001; 1511:0 [0011:15690311 ph; osai 36070111150111, 01572614015031!

6è 1010705110111 «5918161151105.

rô 0&1; 7&9 11903101: ôunësô9611 êo’zw «59157614511011

13756 194420611001; à" mû 580170511011! 6’.

191:0: 6è une): 101710 tsaaa9sdxazôeudsô9a, 1511 1602511 11:96:01; «591.5250411. 191.7057019 11’ and zn9a7aôvozg 5’,

10 6è 6515159011 tsz9a7aîvoLg 6’ ami ëëœ7051zozg 11’, fô

6è 191’101! 19170570Lg 11’ ami 61111170511019 5’.

1151:8: 6è mâta êhumuuoddaôçré ëdtw 6150, 1.51: 10

phi «9031011 «5902751011. 179170511019 17’ un). 16194170511059

117’, rô 6è 6515159011 ret9a71670Lg zfl’, êâa7œ’vmg 11’ and

611107051101; 5’.

(un): 6è m1510: ôvouaw9wmovtoîeô9oî En"; 1:91:41, 051!

16 ph; «9031011 «591.4151051 19170511019 11’ and «m0705-

FRAGMENTA. 459701.9 16’, 76 6è 651575907 17577077057079 16’ 1103 5507705.-

7079 11’, 76 6è 797’707 791767019 17’ ml 651701767019 16’.

115767 65 7011370 S1: 50717 6177617017970370770256907 17591.-

516115707 6176 7977057017 16’, nul 7579017057017 5’.

11576 65 701370 67011015517110770256902 5071, 6150, 037 76

11.57. 1796707 17591575701 7977057019 17’ 110175790767019 1’.

and 17577017057019 Lfl’, 76 65651575901: 7579017057019 1.’

and 58017057079 11’ aux! 651107057019 16’.

11,576 65 701371: 7515770t67 50711: 67020157570707-70256907, 6 17597575701. 7917057019 17’ 1101 1757707057079 16’.

6’009 65 9’th 557010707 5’751 0759569 767 17’ 7015-

7017 0799457017 170111569017 nul 6’009 171579029, 61.67 701365

7013 7961707 0501951707’ 60017 p.57 7619 617169 1701.7-

569007 ai 07595011 70171501 797037 59771756019 1759157077011

703770779, 52019105117051.0037 7037 51771756017 7017167, 69.

5707017 7703001 al 569011. 7013 1701756907, 613107, 69 6767 0759567 7007767 019701709 791707 175’909 5072 7013757095707 697871013 60017 6è 17017569017 13 075956 701-,

7701 175915157011 750009017 51771756079, 520970996570671717067 767 51771756017 7017167, 69 5107011: a! S6901 70131701756907, 7013 7570175701: 697617013 76 75709707 115’909

50717 6 029101769 6 7037 0759567 7017167 7013 1701756907.671015019 65 «a! 600w 27017569011: 13 0759567 7007m 17597-

5757121. 6176 5’ 7017767 57711756017, 76 1751717707 7013 17115-

60119 767 51771756017 7017167 50717 6 69101169 7013 71.15-

0079 767 0759567 7017767.767 6è 171511967 76 17113609, 629 51100701: 5151, 767

17017569027, 76765 767 7961707 5691100957. 580910171;-651067 7619 1777067 767 17157967, 659 5’751 76 5171175611

767 17597510770 76 17011556907, 6 69167169 015767 6131.07039 [009 50717 793 17115651 767 51777756017 7017767. 0511.’

460 FRAGMENTA.hach) 660. Ënme’ôtw W1) r61! «kWh 1:61:06 «un;

561w, ôfilov, (in 1:06 nhiôovg 16 0?;qu a! zlsvpal

sial. un? 102.1113901). «rô ph! 051: aoûtoit nia: &uopowyavôv Ly’ uolu-

s’âouw 6’st aequae"; 1911051100; 6’ mlÀê’g’ayoîvotç 6’,

annulas p.312 515L dzapsàg 43’, 11.809619 ôë "7’. n51 ph:

7&9 nouoient! marathon: a?! 15 yœm’m afi’ slow sur), aialangui lfi’, 11511 6è à" êëaydvœv aï 15 7min; 36’

du": aux! ou" alevçal uô’. yevopévov M1 mû 039001106

1m63 le” àvayxato’v 561w 1:61! ph! 1:61! 61595050 yaw-maîv âpuûpàv 1951012 péons 81mn 1:06 zoostpnpéuov

domptai), in). un! êxaîam mîv 61:89:61: aôtoô ywuivlaméôozg yœwfouç flâçtê’lêflu 7’, rô 6è 14511 filmoit;

22.13009 1:8. 67mm: 105 àçzôpoô tuméfiai: 17m? 16’, 56:5

dum fiançât; "7’.

«in ôë rupaumôeuae’ôpaw 16 «pâton mouflant.zgwœ’vozg 11’ aux! tupaym’vou; 6’, 6’618 51614! dupais

ph: yawûzg Lfl’ (indura 7&9 4167013 yœvûz 152d) recad-

paw huéôm: ytowaîv nspzéxsrm), filmât; 6è 515Lxô’. 16 6è 656159012 1:61: tæçaumôms’ôpœv, étal

zœzézatm tarpayaivocg 6’ Mal êâaynivocg n’, Égal, 61:5-

psàg pâti mulots «8’ (émietta? 7&9 16v 700110451: mî-

105 camaïeu; in?) 7’ yowzôv ëmzéôœv), «13093:9 6è

5104 le?):451: 6è êxæawmodaéôoœv tô phi 19615011, 3:51. æqu-

s’xsuu. ipoydvozg ce 13’ anal zszpuyaîvozg n”, 55a. 61:59:61;

ph! Amanda; nô”, nlsvpàg ôà pn’. rô ôà ôsôtepov 16v

1) Lacunam cum Eisenmsnno sic expleuit Hultachius: téa) r [cor 16v tsroauwsuuéôomw, ème! manégeai. requîtes; Ilsa! nuym’votç 5’, FEE; CtEQEàG ph ymrfag au) , «lavoit: 6è 15 .

aliter scholiastes; n. p. 463.

FRAGMENTA. 461énumewoaaa’ôçœv, âne! flegtê’xê’tdl. rerpayaivoag Lfi’ and

êëayôyoag 1)’ and ônayaîvozç 6’, êta 61:59:65; pèv yao-

w’œg urf, «lamés 6è ofi’. . ’ 1mîv 5è ôvmtanemxomae’ôpmitô ph: zçôtov, fatal

magnifierai. Içiyaïvmg ta u’ mû maniérons Lfl’, 555L«mais 55è» yœvûzs 1’, nlevpàg à 8’. 1:?) 6è 6515159011

115v ôvouawçmuowaéôpœv, garai mwéxetœl. nanard-voag Lfi’ ml .ëEœyaîvOLg x’, fia. drapsàg pâti yœm’ag 2’,

aleuçàç 6è Q’. fô 6è 19h01! 105v ôvouœwpmxowae’ôpmv,

étal fiêQLê’xêt’œl. mayaô’vocg ne x’ «a! ôsxayaôvocg Lfl’,

385L dtspsàg plan: yœvtag 5’, alanguît; 0è Q’.

16 0è ôuwxawçmxowéeôgov, fini matheux; 14n-yaîviozs 17e Àfi’ and tarpawôvozg 52, 323L «nageais yèvyowz’ag uô’, zÂavpàg 6è 8’.

1:61! âè ôvoxmegmtowus’ôçœv a) phi nçôzov, final

empoignai, 1’91,me 1:5 x’ nul raugœyaîvou; 1’ andnevaoôvocg Lfl’, feu flagadas pèv 7000104; 5’, alevpàçôè pu’. tô 6è 1001561114511 ôvouœœëoyuowœéôçœr, faire),

negze’xsrm 13819417051:on i.’ aux! êëayoôvoaç x’ ml 659m-

7nïvozg Lfi’, 52a 617598359 phi glandas çx’, nlavgàg 6è 91’.

16 6è Mowzavwnxowéeôoov, haï mçaéxma 1:91.-

yafvozç sa az’ sur), «swayoôvwg tfl’, 3E8; azspsàg phi

7miœg 5’, Msvpàs 6è 91”.

Haec omnia sine dubio. iam ipse Archimedes pro-posuerat. cfr. de bis polyedris Keppler: Harmon. mundi

P1 62. » IScholia Uaticana in Pappum III p. 11711): ’ 2a’..ômoîaôgov élu Vrgu’ymva 6’, êêoîymva ôë 6’, alev-

gàg "1’, granulas 6è thpEàg zfi’, évadera; 6è drapsà

1) Hoc scholium in ood. Uatîclno puna ordine scriptum

462

6’;

FRAGMENTA.

7001160: uepze’xenu 15m3 7’ yœvuôv émarb’ôœv, à!

6150 phi égayœvmal, Ma 6è rpzymysz, 561:5 hi-nsw n51! 6’ 69191512 mâg 6931i; yawlag 660 un.

immolais. voûta 781111621421, in rfig wading moa-plôog ômLpovpe’vœv 1:45!) 1180951! aôrfiç si; 7’

[au and ôbà :051: 10514511 émus’ôœv ëuflallopu’vov

aux), 151512 yœwûv ëummovaaôv.

. teadapegxmôexdeôpov (scil. rô upônw) uoc-e’xenu in?) ph: rgzyaîww 11’, 137:6 6è tarpan-5-

vaw 5’, 515L 6è «lançât; 36’, glandas 6è drapaà;

Lfl’, inédit?) 6è dtêpêà 7min zepaéxaml. 63:6 6’

yawmîv ëmza’ôœv, 05v 6130 phi tupaymvmac’, fl’

6è. tpwmvmm’, 03’615 lainai: 145v 6’ 69861: lui; ’

7mm; ôpôfig 6150 rpzrnpogfozg. mâta revue-muà: mû mîfiov ôtaLpov’ps’vaw 6110: fût! xlwpôv

«13706 sur), ôzà 151512 1:05:61: ëmm’ômv ëufiullopé

vont, tafia: 91’ 7001240511 êxarcmovdôv.

. tsadapaduœzôenésôpov (scil. 1:6 651515901!) Isot-e’zerm 131:6 pin: tetçœyaîvmv s”, 131d) 6è égayé-

van; n’, fixa. 6è «humi; As”, 74111115419 0è dupai;

xô’, Man 6è nageât glanda 15945181421. 15:?) 7’yœmcôv êmaæ’ôœv, n51! 6150 pâli êgœrœvmai, pic

6è tarpayœmmf. voûte ramifia; à: 1015 ônœe’ôpou

zapvope’vng mixa ëxédmg 115v «61:05 151120961

and. ôtât 1,1511 tupaïa: êxme’ôœv inflauopévmv x13

r61! 6’ ganté?) émumovdnîv.

1:6 6è mérou (scil. mir tupauazôsxus’ôçœv), été!

napzéxamb resynôvozg 11’ ml ônayœ’votg 6’, fia

drsçeàg uèv’ yawlag au)" (52:05th 6è zepœ’zawt

«liguait Hultschius, quem secuti sumus, niai quod 6’ lin. 1-5m0 loco reposnimus (cfr. HI p. 1170).

FRAGMENTA. 463in?) 7’ yœviob’v êmne’ôœv, :512 6150 ôxmyævwal,

"la 6è 1014140111196), «M0965; 6è fixez 1s”.1) toôzo

yewünu à: :05 m5501; zapvope’wgg 572056an mî-

roô saccagés 0171019, 45615 yiveaflm 159150: tpfigmw,:51; 10 (15’001! 5540089011 10311 â’ugaw (Matinée:

fanal ôwépu.8’. ëxnawmodoîaôpw (scil. 1:6 manitou) amuré-ma à:

mû nooaçsaxmôexae’ôoov 1:06 zepwxopa’vov 611:0

n’ zowaîvœv ml 6’ rszçayœ’vaw, ramiopëvng

ênédzng «ont? Maquis (fixa anal 6L6: 01511 10550311ëufla11ops’vmv êmze’ômv x0151:

Originem huius fragmenti Archimedeam agnouitHultschius HI p. 1241.

Hinc satis adparet, Heronem definit. 101 p. 29 3male nature: ’Apxmfiông 6è rpzamlôsxœ 31a (31mg?)mon eôplduadôw. ovipare: ôvvoîpæva ëyypaqafival, a?

«palpe: digammas 6mn?) un) rà 5601144600; créma. non

octo, sed tredecim noua polyedra. Platonicis quinque -adiecit Archimedes, quae omnia, ut illa quinque, sphac-

rae inscribi possunt. 0Ad hune librum Archimedis spectare puto Simpli- 4cinm in Aristot. 1V p. 494 a (ed. Berol.): 5106351671) 6è1:51) aînô 1:05 0:15:05 gal 1:6 056176, toma’o’u n51; opium

zspLaxovdaîv n ml 694000651: ôaadréaeœv, à! pèv ém-ze’ôozg 1’] immun)”, à) 6è Gzeçaoïg 1’] (magnai, ôzo’u

ôs’ôsm’cab nul ne?) prrore’1ovg ph! «03111019, 513’er

0:61:09 05g ôeôstype’mp dvyxe’xonrm, and nage? 31911,-

lnfiôovg nul «me? 24110606000 z1anînpov, ô’n 10511laonepmérpœv (1;quth no1vxmpnt6’cepo’g ëdtw à) ph;rot; êmna’ôocg ô mîu109, à! 6è rots drapeoîîg à dqaaïpa.

1) Bis uerbia scholiastes expleuerat lacunnm p. 460 not. 1.

5

6

7

464 I FRAGMENTA.Eadem Ïere habet Proclus in Timaeum p. 384:

soaoôrov 66 55mg taropnn’ov, 51L mais 16W ceun). [doyœvlaw nul rom: 15910509012 316w»): 1:6 3010-ymvôzeqov perça» 60:06::ng «905m and tôt: u6z10vêgfiç’ neigeux 01’: r61: 30011518159001: «a! toaymvtaw, 100-

araçcps’tçmv 66’, ôamvôo’l. x06 tin: «pureau 1:69 l’an

émotion!!!) ézôwaw «freesia: dmpdrœv homos pei-Çovœ «a! ôwspôwœg 16v m6 11167009; 1ayopæ’vm

no1væ’6onw [001:181500111 aux! ldmvtav, 16 ph! 1005-psvoz rots naquît 195 Eôxhlôy 65405131., sa? 6è rot;noçât 095 ’Açflpfiôez.

fieri tamen potest, ut bis duobus locis (4-5) fan-tum ad dimensionem circuli et librum I de sphaen

et cylindro respicitur. vAppendix libri Il de sphaera et cylindra.Archimedes uol. I p. 214, de sph. et cyl. Il, 4 so-

lutionem problematis: 660 ôoôswôv 56054051: 1.151! dB,BZ nul 6m1ao’L’ag 060119 rfig dB ""19 BZ ami 0’an

fini mît; BZ 106 Q repaît: 16v 4B muât f6 X nui«men, à; r6 o’mô Bd zoés 1:6 67:6 4X, sûr X2

n96; 28 et uniuersalis et specialis daturum se pro.mittit (p. 214, 25), sed solutio intercidit. postes. 110:0.Eutocius eam inuenit et suis uerbis proposuit Comm.ad librum de sph. et cyl. Il, 4. cfr. Zeitschr. f. Math,hist. Abth. XXV p. 51 not.

, 34910.11.Archimedes Wapiti-t. I, 7 (uol. Il p. 246): and 055 1un; rwàg 651.1660va 10511 6’11 ’Apxatg du» umovopa- 1

FRAGMENTA. ’ 465v ëxo’v’mv énagfla1161mxg 195 Méfiez 101: 0201010011

3 11102111101). cfr. I, 3 p. 242: 1051: 60’ 0211.0511 um-opao’pa’vœv 02000111511 Mai 63065600511011: 51: tous 1001?,

15.5an00 ysygauye’vOLg. summum huius libribemus W000. Il], 1-4 p. 266 sq. (III, 1 p. 266,: 193 13161591 r93 10012 Zë’ûëwmov 75700111115015»).

’Eqa66 0011.

Suidas s. u. (900660003 p. 495, 1 ed. Bekker: 050-8107.09 02016000109 579111128 . . 13016111217100: si; 10 ’Agzt-

riôovg ’quo’6zov.

flapi êvyaîv.

Pappus VIH, 24 p. 1068: &flêôêL’lÜî] 7&9 6’11 :0959

spi (09:61: ’Açxmfi6ovg nul raïs (PL’1awog seul(9001109 10111011010020, 0’10 05 1051201259 1015x100 1001100000;-

)130’w 005v â10500’ôvœv 01151110012, 510:1) 7059i 10 011310

51119011 1’] 911510019 011314511 750171050.

Pappus VIH, 19 p. 1060: 1129 aôrfig 65’ 301w 0601-10L’as 00 ôoôèv 505009 rfi 60085017 6120051151 m-1?me 10131:0 yàp 219111111601); 10:51: 515912110: 11575:0:

mamxôv, 30” 9; 15705100 5301730511010: 60’s p.05, 031100,

’05 0093, 1101?. 1:11:05 0131; M11. cfr. Quaest. Arch. p. 10

et. 6.Archimedes 5mn. 30’090. I, 4 p. 148: 0’10 11020 50111111

si). 17029 AB, «9065650310011.- cfr. I, 13 p. 182, 3; Il, 2.. 194, 6; Il, 5 p. 204, 10.

Archimedes 15100191. 10010006. 6 p. 306, 23: 5110100011 7:60 121511 11950010500111, à: 06 601105501) un 1101001010197], 100’050,

3015 muât 140205101! cipal 16 15 dapeïov 1:05 0195110101017

Archimedes, ed. Heiberg. Il. 30

466 FRAGMENTA.ami r6 153119011 toô’floîosos roi? upspape’vov. ôeôetfzuu

yàp ami miro.In hoc libro sine dubio definitionem centri graui-

tatis dederat, quae in libris de planorum aequflibriisdesideratur.

Kœzoançmoî.

13 Theon in Ptolemaei 6mn. I p. 10 ed. Basil.: and105v &n’ aôtfig (nîg ô’zpaœg) fat! r61! 025’905 1906111100-

0151! àurivmv calcium! Ôzopevovoôv aux! neigeux amov-de?!) t’ù’ll zobs rfi IÔI’IIJEL giravion), x0586; nul MQZçflîi-

6119 à; rots flapi uarontpmoîv ânoôsmvüaw93116615 au [uaôoîatsg]1) nul tà 53g 56m9 gypa-Âôueva gusL’Çova (pochant, and 5693 3:02:63 zanni,

paiçova. et paullo infra: ml xazlddôœaav 31:1 ràA, B, (53 EG)A, EKB, unifiât anal ’Agypufiông ëv roiszspl nuionrgmaîv, 059 ëœœyw.

14 Olympiodorus in Aristotelis Meteorolog. Il p. 94ed. Ideler: 60.11003 ne nul ngunfông 051316 roôtoôaluvvaw, En flânez. û 51mg, à: roi? ôantvlz’ovr05 à) égayait,» flalloya’vov.

15 Georgius Ualla. de expetendis et fugîendis rebusXV. 2’): Sane Archimedes inquit, quod f angulusipsi e aut aequalis est aut minor aut maior. sit sane

1) Delendum puto.2) Eunc uirum codices Graecos habnisse, qui nunc uel h-

teant uel interciderint, breui spero, me pluribua demonstratu-rum. quamquam hoc fragmentum ita, mutilum est ac depm-natum, ut neque sententia constat neque dignoacatnr, quan-tum eius Archimedi tribnendum ait, tamen reiioiendum nonexistimaui. non dubito, quia Graece inueniri posait in aliquo co-dice catoptricorum Euclidis scholiis instruoto.

F

i FRAGMENTA. 467à maior f quam e. ponatur itaque oculus d, eta a ab oculo rursus refringatur in rem

uisam b. erit igitur e angulus ma.-m ior. quam fi atqui emt minor, quod

plane absurdum est, uel quod 0ers.-d à toides’ angulus omni angulo minor,si a centro iungamus ad contactum, totus quisub kl, aequalis erit qui semieireuli ei qui est

licirculi aequalis superimpositus et ei accommoda-reliquus igitur h ipsi l aequalis. sumpto e non

plius spectatur spectatum, quod plane extrorsusactatur d. censetur uero spectari incoinoidentia. ipsoumpto non amplius spectatur spectatum, quad est d,0d cette spectatur in loco e regione posito ipsius b.païens autem in coincidentia.

Apuleius Apolog. 16: alia praeterea eius modi plu- 16na (se. de speculis), quae tractai; ingenti uolumineichimedes Syracusanus. cfr. Tzetzes Chiliad. X11, 973:rompu"; ràg âgézpug (inter scripta Archimedis re-num).

Ia

H691 dœazoonou’ag.

Carpus apud Pappum VIH, 3 p. 1026: dezog 6è l7r6 (mon) ô 3111110151); Mpxmfiân 1:61! ngaxôtnov 311Évov flLflÂL’ov ov’uumze’vm pnxavmôv tô murât tin;

pmgoarou’av, 103v 6è â’Mow oôôèv ûëmxé’um 6m!-

ëaL. cfr. Proclus in Eucl. p. 41, 16: 4’) mango-nL’œ zani: yiyndw 115v 013901115001) nagupogcôv, oïav

a). ngLpn’ông ëzgayuœreüdaro. hue refero Ma-

obii locum in Somn. Scipion. Il, 3: et Archimedeslidem stadiorum numerum deprehendisse se credidit,

30*

468- FRAGMENTA.quibus a. terrae superficie lune. distaret et a lune Mer-curius, a. Mercurio Venus, sol a Venere, Mars a sole,a Marte Iupiter, Saturnus a. loue; sed et a. Satumiorbe usqne ad ipsum stelliferum caelum omne spa-tium se ratione emensum putauit. quae tamen Archi-medis dimensio a Platonicis repudiata. est quasi duplaet tripla interualla. non seruans.

De anni magnitudine.18 Hipparchus apud Ptolemaeum 6mm I p. 153 cd.

Halma: à: ou 05v 1:06sz 15051! fflçfidêœv 6131011, 5::mazout navrémww yeyo’vaaw ai M511 émanais! ôta-«popœl’ ouï t’ai grès: 105v tomais; 01’»: àaelxttw ni

filmé; ami fôv ’Appfnfôn nul à) rfi muniriez nul à: 195

dvlloywpço" ôzupaonïvsw and ê’wg 1.1910291011 pâme;

ûpëpag. cfr. Ammianus Marcellinus XXVI, l, 8: spa-tium anni uertentis id esse periti mundani motus etsiderum definiunt ueteres, inter quos Meton et Euclemon et Hipparchus et Archimedes excellant, cumsol perenni rerum sublimium lege polo percurso signi-fero, quem .Zodiacum sermo Graecus adpellat, trecen-tis et sexagints. quinque diebus emensis etrnoctibnsad eundem redierit cardinem.

Notes du mont Royal ← · crut in dextra parte extrema. parabolae. I p. 244 in figura ducatur...

Documents

Transcript of Notes du mont Royal ← · crut in dextra parte extrema. parabolae. I p. 244 in figura ducatur...