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Notas em Matemática Aplicada 17

Editado por

Eliana X.L. de AndradeUniversidade Estadual Paulista - UNESPSão José do Rio Preto, SP, Brasil

Rubens SampaioPontifícia Universidade Católica do Rio de JaneiroRio de Janeiro, RJ, Brasil

Geraldo N. SilvaUniversidade Estadual Paulista - UNESPSão José do Rio Preto, SP, Brasil

Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional

Notas em Matemática Aplicada

1. Restauração de Imagens com Aplicações em Biologia e EngenhariaGeraldo Cidade, Antônio Silva Neto e Nilson Costa Roberty

2. Fundamentos, Potencialidades e Aplicações de Algoritmos EvolutivosLeandro dos Santos Coelho

3. Modelos Matemáticos e Métodos Numéricos em Águas SubterrâneasEdson Wendlander

4. Métodos Numéricos para Equações Diferenciais ParciaisMaria Cristina de Castro Cunha e Maria Amélia Novais Schleicher

5. Modelagem em BiomatematicaJoyce da Silva Bevilacqua, Marat Rakov e Cláudia de Lello Courtouke

Guedes

6. Métodos de Otimização Randômica: algoritmos genéticos e simulatedannealing

Sezimária F. Pereira Saramago

7. Matemática Aplicada à Fisiologia e EpidemiologiaH.M. Yang, R. Sampaio e A. Sri Ranga

iv

8. Uma Introdução à Computação QuânticaRenato Portugal, Carlile Campos Lavor, Luiz Mariano Carvalho e

Nelson Maculan

9. Aplicações de Análise Fatorial de Correspondências para Análise de DadosDr. Homero Chaib Filho, Embrapa

10. Modelos Matemáticos baseados em autômatos celulares paraGeoprocessamento

Marilton Sanchotene de Aguiar, Fábia Amorim da Costa, GraçalizPereira Dimuro e Antônio Carlos da Rocha Costa

11. Computabilidade: os limites da ComputaçãoRegivan H. N. Santiago e Benjamín R. C. Bedregal

12. Modelagem Multiescala em Materiais e EstruturasFernando Rochinha e Alexandre Madureira

13. Modelagem em Biomatemática1 - Modelagem matemática do comportamento elétrico de neurônios ealgumas aplicações2 - Redes complexas e aplicações nas Ciências3 - Possíveis níveis de complexidade na modelagem de sistemas biológicos

Coraci Malta, 1 - Reynaldo D. Pinto, 2 - José Carlos M. Mombach e 3 -Henrique L. Lenzi, Waldemiro de Souza Romanha e Marcelo Pelajo-Machado

14. A lógica na construção dos argumentosAngela Cruz e José Eduardo de Almeida Moura

15. Modelagem Matemática e Simulação Numérica em Dinâmica dos FluidosValdemir G. Ferreira, Hélio A. Navarro e Magda K. Kaibara

v

16. Introdução ao Tratamento da Informação nos Ensinos Fundamental e MédioMarcilia Andrade Campos e Paulo Figueiredo Lima

17. Teoria dos Conjuntos Fuzzy com AplicaçõesRosana Sueli da Motta Jafelice, Laécio Carvalho de Barros e Rodney

Carlos Bassanezi

18. Introdução à Construção de Modelos de Otimização Linear e InteiraSocorro Rangel

19. Observar e Pensar, antes de ModelarFlavio Shigueo Yamamoto, Sérgio Alves, Edson P. Marques Filho e

Amauri P. de Oliveira

20. Frações Contínuas: Propriedades e AplicaçõesEliana Xavier Linhares de Andrade e Cleonice Fátima Bracciali

Teoria dos Conjuntos Fuzzy com Aplicações

Rosana Sueli da Motta [email protected]

Laécio Carvalho de [email protected]

Rodney Carlos [email protected]

Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional

São Carlos - SP, Brasil2005

vii

Coordenação Editorial: Véra Lucia da Rocha Lopes

Coordenação Editorial da Série: Geraldo Nunes Silva

Editora: SBMAC

Impresso na Gráca: Editora Plêiade

Capa: Matheus Botossi Trindade

Patrocínio: SBMAC e Centro Universitário Senac

Copyright c©2005 by Rosana Sueli da Motta Jafelice,Laécio Carvalho de Barros e Rodney Carlos BassaneziDireitos reservados, 2005 pela SBMAC. A publicação nesta série não impede o autorde publicar parte ou a totalidade da obra por outra editora, em qualquer meio, desdeque faça citação à edição original.

Jafelice, Rosana Sueli da MottaTeoria dos Conjuntos Fuzzy com Aplicações

Rosana Sueli da Motta Jafelice, Laécio Carvalho de Barros e Rodney Carlos Bassanezi- São Carlos: SBMAC; São Paulo: Plêiade,2005

ix, 66 p. - (Notas em Matemática Aplicada; 17)

ISBN 85-7651-020-0

1. Matemática 2. Computação-Matemática 3. Conjuntos fuzzy 4. Sistemas difusosI. Barros, Laécio Carvalho de II. Bassanezi, Rodney CarlosIII. Título. IV. Série

CDD - 51 510.22

Bibliotecária responsável: Elenice Yamaguishi Madeira - CRB 8/5033

Prefácio

A teoria dos conjuntos fuzzy foi introduzida, em 1965, pelo matemático Lot A.Zadeh, com a principal intenção de dar um tratamento matemático a certos termoslingüísticos subjetivos, como àproximadamente', èm torno de', dentre outros. Esseseria um primeiro passo para se representar e armazenar, em um computador, infor-mações incertas, tornando possível o cálculo com informações incertas, a exemplodo que faz o ser humano. Por exemplo, há um consenso que adicionar uma quantiaem `torno de 3' a outra èm torno de 2' resulta em uma terceira èm torno de 5'.Devido a essa possibilidade, de manipulação com informações incertas, a teoria dosconjuntos fuzzy tem se tornado uma das áreas emergentes em tecnologia contem-porânea. Nas engenharias, os chamados controladores fuzzy têm sido largamenteutilizados em eletrodomésticos, com o objetivo imitar o homem na execução de al-gumas tarefas.

No minicurso apresentaremos conceitos e ferramentas básicas desta teoria, comofunção de pertinência, variáveis lingüísticas, sistema baseado em regras fuzzy e ométodo de inferência de Mamdani. Em seguida, ilustraremos o poder de tais ferra-mentas por meio de aplicações em Biomatemática. Algumas destas aplicações sãotípicas de dinâmica de população, como o caso da evolução da AIDS, e outras quetratam de diagnóstico médico.

viii

Conteúdo

1 Conjuntos Fuzzy 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conjuntos Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Representações de Conjuntos Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Operações entre Conjuntos Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Normas Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Níveis de um Conjunto Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Números Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Operações Aritméticas com Números Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . 151.9 Princípio de Extensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Esperança Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Sistema Baseado em Regras Fuzzy 192.1 Relações Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Composição de Relações Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Regras e Inferência Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Variáveis Lingüísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Sistemas Baseados em Regras Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Aplicações do SBRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.1 Vitalidade das Violetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6.2 Grau de Risco da Obesidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6.3 Qualidade da água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Aplicações 393.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Diagnóstico Médico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Base de Conhecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Modelo de Evolução da AIDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Informações Médicas sobre HIV . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.2 Variáveis Lingüísticas e Base de Regras . . . . . . . . . . . . 443.3.3 Esperança Fuzzy da População Assintomática . . . . . . . . . 493.3.4 População Assintomática com a Taxa de Transferência no Va-

lor Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

x

xi

3.3.5 Esperança Fuzzy da Taxa de Transferência . . . . . . . . . . 543.3.6 Comparação entre: Esperança Fuzzy da População Assin-

tomática; População Assintomática com a Taxa de Trans-ferência no Valor Modal ; e População Assintomática com aEsperança Fuzzy da Taxa de Transferência . . . . . . . . . . 56

3.3.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Modelo Presa-Predador Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.1 Exemplo Realístico de Presa-Predador: Lebres e Linces naBaía de Hudson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.2 Modelo Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.3 Modelo Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5 Projeto: Competição entre Espécies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Bibliograa 67

Índice 68

Capítulo 1

Conjuntos Fuzzy

Uma semente não constitui uma pilha nem duas nem três ...mas por outro ladotodo mundo irá concordar que 100 milhões de sementes constitui uma pilha. Analqual é o limite apropriado? Nós podemos dizer que 325647 sementes não constitue

uma pilha mas 325648 constitue? (Borel 1950)

1.1 IntroduçãoA característica essencial da modelagem matemática de processos variacionais, uti-lizando sistemas de equações determinísticas, é a precisão obtida nas previsões defenômeno. Evidentemente, tais previsões ou inferências estão sempre dependentesde informações precisas que são inseridas nos valores médios dos parâmetros uti-lizados. Por outro lado, nos modelos estocásticos, as soluções médias dos modelossão obtidas a posteriori quando se tem alguma distribuição estatísticas de dadosreferentes ao fenômeno analisado.

Os modelos estocásticos são freqüentemente utilizados para analisar variaçõessujeitas às distribuições de dados estatísticos. Entrentanto, se pretendemos modelaralguma situação onde seus elementos ou variáveis são heterogêneos, relativamentea alguma característica, devemos considerar o comportamento desta característicano processo evolutivo. Por exemplo, se temos uma população de `fumantes' numinstante t0, sujeita a alguma taxa de mortalidade, podemos querer saber como esta-rá composta esta população no futuro. Se considerarmos que cada indivíduo destapopulação é simplesmente fumante ou não fumante o problema pode ser resolvidocom um modelo determinístico, tomando separadamente ambas as populações. Poroutro lado, se temos inicialmente uma distribuição de probabilidades dos fuman-tes desta população, podemos usar um modelo estocástico para estudar a evoluçãodesta distribuição inicial. Agora, se a característica de ser fumante depender daquantidade de cigarros que se fuma diariamente, qualidade dos cigarros fumados,intermitência do ato de fumar etc, devemos caracterizar também o grau de ser fu-mante. Neste caso, cada indivíduo pertence à população de fumantes com um grau

1.2. CONJUNTOS FUZZY 2

especíco de pertinência. Se não fumar, seu grau de pertinência é zero, se fumar 3carteiras diárias podemos dizer que é uma fumante de grau 1. Agora, se o indiví-duo fumar 10 cigarros por dia o quanto ele será fumante? Esta subjetividade, serfumante, pode ser caracterizada pela teoria dos conjuntos fuzzy.

Um subconjunto fuzzy de um conjunto é caracterizado pois por uma funçãouA:U → [0, 1], onde uA(x) atribui o grau com que o elemento x pertence ao sub-conjunto fuzzy A.

Os modelos clássicos de biomatemática, particulamente, os modelos de dinâ-mica populacional e epidemiologia são fundamentados em hipóteses, quase sempre,provenientes da sico-química onde o encontro de duas substâncias (variáveis deestado) é modelado pelo produto de sua concetração - lei da ação das massas. Istoé usado nos modelos de Lotka-Voltera de interação de duas espécies ou nos mo-delos de Kermak-Mackendrick de epidemiologia. A taxa de predação do modelopresa-predador ou a força de infecção dos modelos epidemiologicos são valores mé-dios obtidos empiricamente ou simulados o que nem sempre traduz corretamente ofenômeno correspondente.

Por outro lado, se considerarmos a população de presas de uma determinada es-pécie, tal variável pode ser considerada como um subconjunto fuzzy, se associarmosa cada presa a facilidade como é predada, o que está relacionada com a sua idade,seu estado se saúde, habitat etc. Variáveis deste tipo são muito frequentes em fenô-menos biológicos e difíceis de serem avaliadas como médias de dados experimentais.

Os modelos variacionais fuzzy podem comportar vários tipos de subjetividade(fuzziness), dependendo da escolha da variável de estado e dos parâmetros dos mo-delos. Temos uma fuzziness demográca quando a variável de estado é um subcon-junto fuzzy, e fuzziness ambiental quando somente os parâmetros são consideradossubconjuntos fuzzy. Em geral ambos o tipos de fuzziness estão presentes nos fenô-menos biológicos.

Esta nova maneira de modelar problemas ligados à realidade biológica, ondetanto as variáveis de estado como os parâmetros são empregnados de subjetividade,vem ganhando terreno na área de biomatemática com resultados signicativos eanimadores, sendo o que motivou este minicurso [4].

1.2 Conjuntos FuzzyUm subconjunto fuzzy z do conjunto universo U é denido em termos de umafunção de pertinência u que a cada elemento x de U associa um número u(x),entre zero e um chamado de grau de pertinência de x a z. Assim, o conjunto fuzzyz é simbolicamente indicado por sua função de pertinência

uz : U → [0, 1] .

Os valores uz(x) = 1 e uz(x) = 0 indicam, respectivamente, a pertinência plenae a não pertinência do elemento x a z.

1.2. CONJUNTOS FUZZY 3

É interessante notar que um subconjunto clássico A de U é um particular con-junto fuzzy para o qual a função de pertinência é a função característica de A, istoé,

uA : U →0, 1.Do ponto de vista formal, a denição de subconjunto fuzzy foi obtida simples-

mente ampliando-se o contra domínio da função característica, que é o conjunto0,1, para o intervalo [0,1]. O exemplo a seguir pode ser considerado como umcaso típico de subconjunto fuzzy.

Exemplo 1 Considere o subconjunto fuzzy F dos números inteiros próximos dezero:

F=n∈ Z : n é próximo de zero

O número 0 (zero) pertence a esse conjunto? E o número 1000? Dentro do espíritoda lógica fuzzy, poderíamos dizer que ambos pertercem a F porém com diferentesgraus de pertinência, de acordo com a propriedade que caracteriza o conjunto. Ouseja, a função de pertinência de F deve ser 'construída' de forma coerente com otermo 'pequeno' que caracteriza seus elementos no conjunto universo dos númerosnaturais. Uma possibilidade para a função de pertinência de F é

uF (n) =1

n2 + 1(1.1)

Se esse for o caso, poderíamos dizer que o número 0 pertence a F com graude pertinência uF (0) = 1, enquanto 1000 pertence a F com grau de pertinênciauF (1000) ∼= 10−6, Figura 1.1.

Notemos que a escolha da função uF neste caso foi feita de maneira totalmentearbitrária, levando em conta apenas o signicado da palavra `pequeno'. Portanto,existem innitas maneiras de modelar matematicamente o conceito de `número na-tural pequeno'. Uma outra maneira possível é

uF (n) =n + 1n4 + 1

. (1.2)

Claro que a escolha dessas funções para representar o conjunto fuzzy em questãodepende de como tais funções estão relacionadas com o contexto do problema a serestudado. Do ponto de vista apenas da teoria de conjuntos fuzzy, qualquer umadas duas funções de pertinência (1.1) ou (1.2), pode ser representante do nossoconjunto fuzzy F . Porém, o que deve ser notado é que cada uma destas funçõesproduz conjuntos fuzzy distintos. Finalmente, está implícito que dois conjuntosfuzzy A e B são iguais quando uA(x) = uB(x), para todo x ∈ U .

Exemplo 2 O conjunto fuzzy dos fumantes dado por u(c, t) = ct1+ct em que c é

proporcional ao número de cigarros fumados por unidade de tempo e t o tempo emque o indivíduo fumou durante sua vida [3].

A seguir apresentaremos algumas representações de conjuntos fuzzy.

1.3. REPRESENTAÇÕES DE CONJUNTOS FUZZY 4

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000

números inteiros (n)

uF(n)

10−6

Figura 1.1: Conjunto fuzzy dos números inteiros `próximos de zero'.

1.3 Representações de Conjuntos FuzzyAs representações das funções que denem os elementos de um conjunto fuzzy fa-cilitam a visualização deste conjunto, e podem ser feitas na forma tabular (ou delista), gracamente e na forma analítica.Para conjuntos nitos, as funções podem ser representadas por tabelas. A tabelarepresentando um conjunto fuzzy lista todos os elementos do conjunto com seusrespectivos graus de pertinência. No exemplo a seguir temos uma ilustração destecaso. Os exemplos de 3 a 7 foram apresentados em [23].

Exemplo 3 Seja A o conjunto dos alunos `estudiosos' de uma sala de aula deuma faculdade, e sejam os alunos desta sala: Fernando, Carlos, Márcia e André.Este conjunto A é um subconjunto do conjunto universo X com todos os alunosda faculdade. Nem todos os alunos do conjunto A estudam diligentemente, logoalguns têm um grau de mais estudioso, outros menos estudiosos variando entreos valores 0 e 1. Para os alunos citados tem-se a representação na Tabela 1.1:

Estudante Grau de estudoCarlos 0.3Márcia 0.7

Fernando 0.8André 0.9

Tabela 1.1: Alunos e graus de estudo.


Alternativamente à Tabela 1, pode-se listar os pares consistindo de cada ele-mento com seu grau de estudo, da seguinte forma:

A=0.8/Fernando + 0.3/Carlos + 0.7/Márcia + 0.9/André

Aqui o símbolo `/' é apenas usado para associar o elemento do conjunto universoX e seu grau de pertinência ao conjunto fuzzy A. Assim, também o sinal de + nãosignica soma; simplesmente conecta os elementos do grupo. A forma geral pararepresentar o conjunto fuzzy A quando X é nito tem a forma:

A =∑

uA(x)/x

Uma outra forma de se representar um conjunto fuzzy é feita gracamente.A representação gráca é a mais usada na literatura fuzzy por ter uma inter-

pretação mais intuitiva. No caso de se fazer representação em duas dimensões, oeixo vertical representa o grau de pertinência no intervelo [0,1], e o eixo horizontalcontém a informação a ser modelada.

A seguir temos três exemplos de representação gráca de conjuntos fuzzy. Noexemplo 4, temos uma curva que inicia em 1 (no eixo vertical) e se aproxima doeixo horizontal, ou seja, é uma curva decrescente. No exemplo 5 temos uma curvaque cresce e depois decresce, na forma de sino. No exemplo 6, temos uma curva queinicia próxima ao eixo horizontal e vai crescendo até o limite de 1.

Exemplo 4 Um conjunto fuzzy J compatível com o conceito de jovem deve,no mínimo, indicar que, quanto menos idade um indivíduo tiver, mais jovem será.Sua função grau de pertinência uJ(x) pode ser representada como na Figura 1.2.

Exemplo 5 O conjunto fuzzy de pessoas de `meia idade' poderia ser represen-tado pela função uA(x) ilustrada na Figura 1.3.

Neste exemplo, a curva tem a forma de sino, crescendo da esquerda para a di-reita até uma certa idade, e depois decrescendo com a idade. Que a curva deva teresta forma acreditamos que é consenso. As controvérsias talvez apareçam a respeitoda idade, onde há mudança do crescimento da curva.

Exemplo 6 Suponha que a universidade dena níveis de experiência acadê-mica, de acordo com o número de créditos feitos pelos alunos, conforme a Tabela1.2.

Nível Créditos (em horas)Iniciante 0 - 42

Segundanista 43 - 82Júnior 83 - 114Sênior 115 - 146

Tabela 1.2: Níveis de experiência acadêmica.

Ao contrário da teoria clássica de conjuntos que deniriam precisamente os níveisde experiência, o termo vago grau de experiência acadêmica corresponde a um


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

idade (anos)

uJ(x)

1

Figura 1.2: Função de pertinência de jovens.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 idade (anos)

uA(x)

Figura 1.3: Função de pertinência de pessoas de meia idade.

1.4. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS FUZZY 7

genuíno conjunto fuzzy. Os créditos (em horas) é que classicam os níveis dosindivíduos, porém há diferenças de créditos dentro de cada nível. Por exemplo, oindíviduo com 126 créditos é mais sênior que aquele que tem 95 créditos. Umarepresentação gráca para este exemplo pode ser a Figura 1.4.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 1700

1

creditos (em horas)

uA(x)

Figura 1.4: Função de pertinência para o Nível Sênior.

Nesta fase, em que os conjuntos fuzzy estão sendo denidos, é de fundamentalimportância as informações fornecidas pelo especialista da área do fenômeno estu-dado.

A representação analítica é também bastante utilizada em teoria dos conjuntosfuzzy. Veja o exemplo 7:

Exemplo 7 O conjunto fuzzy A dos números reais em torno de 6, Figura 1.5pode ser representado analiticamente da seguinte forma:

uA(x) =

x− 5 se 5 ≤ x < 67− x se 6 ≤ x ≤ 70 caso contrário

(1.3)

Na próxima seção, deniremos as operações entre os conjuntos fuzzy.

1.4 Operações entre Conjuntos FuzzySejam A e B subconjuntos clássicos de U representados pelas funções característicasuA e uB , respectivamente. Os conjuntos

A ∪B = x ∈ U ;x ∈ A ou x ∈ B,


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

números reais (x)

uA(x)

1

Figura 1.5: Conjunto fuzzy dos números reais `em torno de 6'.

A ∩B = x ∈ U ; x ∈ A e x ∈ B,

A′= x ∈ U ; x 6∈ A

têm respectivamente as funções características, ∀x ∈ U ,

uA∪B(x) = maxuA(x), uB(x),

uA∩B(x) = minuA(x), uB(x),

uA′ (x) = 1− uA(x).

Pensando novamente em conjuntos fuzzy como sendo caracterizados pelas funçõesde pertinências que são extensões de funções características, podemos denir união,intersecção e complementar de conjuntos fuzzy.

Denição 1.4.1 Sejam A e B conjuntos fuzzy. As funções de pertinência querepresentam os conjuntos fuzzy união (Figura 1.6), intersecção (Figura 1.7) e com-plementar (Figura 1.8) de conjuntos fuzzy são dadas por, ∀x ∈ U ,

uA∪B(x) = maxuA(x), uB(x),

uA∩B(x) = minuA(x), uB(x),

uA′ (x) = 1− uA(x).


Figura 1.6: União dos conjuntos fuzzy.

Figura 1.7: Intersecção dos conjuntos fuzzy.


Figura 1.8: Complementar dos conjuntos fuzzy.

Paciente Febre(uA) Dor(uB) uA∪B uA∩B uA′ uA∩A′

1 0.7 0.6 0.7 0.6 0.3 0.32 1.0 1.0 1.0 1.0 0.0 0.03 0.4 0.2 0.4 0.2 0.6 0.44 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.55 1.0 0.2 1.0 0.2 0.0 0.0

Tabela 1.3: União, intersecção e complementar dos conjuntos A e B.

respectivamente.

Particulamente, se A e B forem conjuntos clássicos, então as funções caracterís-ticas das respectivas operações, acima denidas, satisfazem estas igualdades, mos-trando a coerência destas denições. Por exemplo, se A é um subconjunto (clássico)de U, então a função caractéristica, do seu complementar é tal que uA′ (x) = 0 seuA(x) = 1 (i.e. x ∈ A) e uA′ (x) = 1 se uA(x) = 0 (i.é. x 6∈ A). Neste caso, ou x∈ Aou x 6∈ A. Na teoria fuzzy não temos necessariamente essa dicotomia, nem sempreé verdade que A∩A

′= φ assim como não é verdade que A∪A

′= U . O exemplo a

seguir ilustra tais fatos.Exemplo 8 Suponha que o conjunto universo U seja composto pelos pacientes

de uma clínica, identicados pelos números 1, 2, 3, 4 e 5 . Sejam A e B os conjuntosfuzzy que representam os pacientes com febre e dor, respectivamente. A Tabela 1.3ilustra a união, intersecção e o complemento.

Os valores das colunas, exceto os da primeira, indicam os graus com que cadapaciente pertence aos conjuntos fuzzy A, B, A ∪ B, A ∩ B, A

′ , A ∩ A′, respectiva-

1.5. NORMAS TRIANGULARES 11

mente, onde A e B são supostamente dados. Na coluna A ∩ A′, o valor 0.3 indicaque o paciente 1 está tanto no grupo dos febris como dos não febris. Como dissemosantes, este é um fato inadmissível na teoria clássica de conjuntos na qual temos alei do terceiro excluído (A ∩A′ = φ).

1.5 Normas TriangularesAs normas triangulares são generalizações dos operadores união e intersecção. For-malmente elas são denidas abaixo:

Denição 1.5.1 Uma co-norma triangular (s−norma) é uma operação binária s :[0, 1]× [0, 1] → [0, 1] satisfazendo as seguintes condições:

• Comutatividade: xsy = ysx

• Associatividade: xs(ysz) = (xsy)sz

• Monotonicidade: Se x ≤ y e w ≤ z então xsw ≤ ysz

• Condições de fronteira: xs0 = x, xs1 = 1

Claramente, o operador max é uma s−norma.Exemplos:

1. União Padrão: s : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com xsy = max(x, y), Figura 1.9.

2. Soma Algébrica: s : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com xsy = x+y−xy, Figura 1.10.

3. Soma Limitada: s : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] com xsy = min(1, x + y) Fi-gura 1.11.

4. União Drástica: s : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com

xsy =

x se y = 0y se x = 01 caso contrário, F igura 1.12.

Denição 1.5.2 Uma norma triangular (t−norma) é uma operação binária t :[0, 1]× [0, 1] → [0, 1] satisfazendo as seguintes condições:

• Comutatividade: xty = ytx

• Associatividade: xt(ytz) = (xty)tz

• Monotonicidade: Se x ≤ y e w ≤ z então xtw ≤ ytz

• Condições de fronteira: 0tx = 0, 1tx = x


00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

xsy

Figura 1.9: s-norma 'União Padrão'.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

xsy

Figura 1.10: s-norma 'Soma Algébrica'.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

xsy

Figura 1.11: s-norma 'Soma Limitada'.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

xsy

Figura 1.12: s-norma 'União Drástica'.


00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xy

xsy

Figura 1.13: t-nor. 'Intersecção Padrão'.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xy

xsy

Figura 1.14: t-norma 'Produto Algébrico'.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

xsy

Figura 1.15: t-nor. 'Diferença Limitada'.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

xsy

Figura 1.16: t-nor. 'Intersecção Drástica'.

O operador min é uma t−norma.Exemplos:

1. Intersecção Padrão: t : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] com xty = min(x, y), Fi-gura 1.13.

2. Produto Algébrico: t : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com xty = xy, Figura 1.14.

3. Diferença Limitada: t : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com xty = max(0, x + y − 1),Figura 1.15.

4. Intersecção Drástica: t : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com

xty =

x se y = 1y se x = 10 caso contrário, F igura 1.16.

1.6. NíVEIS DE UM CONJUNTO FUZZY 14

Exercício:

Considere dois conjuntos fuzzy com funções de pertinência triangulares A(x; 1, 2, 3)e B(x; 2, 2, 4).

1. Encontre a intersecção e a união dos conjuntos A e B e expresse-as analitica-mente, usando os operadores min e max.

2. Determine a intersecção com a t−norma Produto Algébrico xty = xy e a uniãocom a s− norma Soma Algébrica xsy = x + y − xy.

3. Encontre o complementar de A e B e intersecção destes conjuntos com osconjuntos originais usando as t− normas Intersecção Padrão xty = min(x, y) eProduto Algébrico xty = xy. Repita o mesmo com a operação união usando ass− normas União Padrão xsy = max(x, y) e Soma Algébrica xsy = x+y−xy.

Na próxima seção deniremos o conceito de nível de um conjunto fuzzy que éde fundamental importância na teoria de conjuntos fuzzy.

1.6 Níveis de um Conjunto FuzzyDenição 1.6.1 Sejam A um conjunto fuzzy e α ∈ [0, 1]. Denimos como α-nívelde A o conjunto

[A]α = x ∈ U ; uA(x) ≥ α.

Denição 1.6.2 Suporte de um conjunto fuzzy A são todos os elementos de U quetêm grau de pertinência diferente de zero em A e denotamos por supp(A).

supp(A)= x ∈ U ; uA(x) > 0

Denotaremos por F(U) o conjunto de todos os conjuntos fuzzy de U .

1.7 Números FuzzyAssim como no caso clássico, aqui também temos o objetivo de fazer `contas'. Adiferença é que aqui pretendemos calcular quantidades imprecisas. Por exemplo,todos nós somos unânimes em dizer que o dobro de uma quantidade `em torno de5' resulta em outra `em torno de 10'. Para isto, `criaremos' objetos que generalizamos números reais. Tais objetos serão chamados de números fuzzy [13]. Inicialmente,denimos o supremo de um conjunto.

Denição 1.7.1 Seja A um subconjunto não vazio do conjunto parcialmente orde-nado E. Ao menor dos limites superiores de A dá-se o nome de supremo de A queé indicado por supA.

1.8. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS FUZZY 15

Denição 1.7.2 Um conjunto fuzzy N é chamado número fuzzy quando o conjuntouniverso, onde N está denido, é o conjunto dos números reais R e a função depertinência uN : R→ [0, 1] é tal que:

1. uN (x) atinge o 1, isto é, supxuN (x) = 1.

2. [N ]α é um intervalo fechado, ∀α ∈ (0, 1].

3. O suporte de N é limitado.

Observamos que, com a Denição 1.7.2, todo número real r é um caso particularde número fuzzy cuja função de pertinência é sua função característica:

ur(x) =

1 se x = r0 se x 6= r

(1.4)

1.8 Operações Aritméticas com Números FuzzyDenição 1.8.1 Sejam A e B dois números fuzzy, e ζ um número real.

1. A soma de números fuzzy A e B é o número fuzzy, A + B, cuja função depertinência é

uA+B(x) = supx=y+zmin[uA(y), uB(z)]. (1.5)

2. A multiplicação de ζ por A é o número fuzzy, ζA, cuja função de pertinênciaé

uζA(x) =

uA(ζ−1x) se ζ 6= 00 se ζ = 0

(1.6)

onde 0 =

1 se x = 00 se x 6= 0 . Uma maneira alternativa, e mais prática de se fazer

estas operações é por meio dos α-níveis dos conjuntos fuzzy envolvidos, de acordocom o Teorema 1.8.1 [13].

Teorema 1.8.1 Se M e N são dois números fuzzy e ζ um número real, então paratodo α ∈ [0, 1] tem-se

[M + N ]α = [M ]α + [N ]α = a + b;a ∈ [M ]α e b ∈ [N ]αe

[ζN ]α = ζ[N ]α = ζa; a ∈ [N ]α (1.7)

Na próxima seção deniremos o Princípio de Extensão.

1.9. PRINCíPIO DE EXTENSÃO 16

1.9 Princípio de ExtensãoEssencialmente, o princípio da extensão é utilizado para obter a imagem de conjun-tos fuzzy através de uma função clássica.

Sejam X e Y conjuntos e f uma aplicação de X em Y : f : X −→ Y . Seja Aum conjunto fuzzy em X. O princípio de extensão arma que a imagem de A pelafunção f é um conjunto fuzzy B = f(A) em Y , cuja função de pertinência é dadapor

uB(y) = supx

uA(x) (1.8)

para x ∈ X e y = f(x), como é ilustrado na Figura 1.17. fBAuBu

Figura 1.17: Princípio de extensão [19].

O princípio de extensão pode ser descrito da seguinte forma:• O grau de pertinência de um valor do contradominío é denido diretamente

pelo grau de pertinência de sua pré-imagem.

• Quando um valor do contradomínio é mapeado por vários do domínio, o seugrau de pertinência é obtido pelo sup dos graus de pertinência dos valores daentrada.

O princípio de extensão pode ser facilmente generalizado para funções de váriasvariáveis. Sejam X = X1 × X2 × ... × Xn e Y conjuntos universos. Considere os

1.9. PRINCíPIO DE EXTENSÃO 17

conjuntos fuzzy Ai em Xi, i = 1, ..., n, e uma função f : X −→ Y . Os conjuntosfuzzy A1, A2,...,An são então transformados pela f produzindo o conjunto fuzzyB = f(A1, A2, ..., An) em Y , cuja função de pertinência é

uB(y) = supx

min[uA1(x1), uA2(x2), ..., uAn(xn)], (1.9)

para x ∈ X, x = (x1, ..., xn) ∈ X1 ×X2 × ...×Xn e y = f(x).Exemplo: Suponhamos que estamos trabalhando com uma população de HIV

positivos e sabemos que, ao atingir a corrente sangüínea, o HIV lança seu ataqueprincipalmente contra os linfócitos T, do tipo CD4+. Se conhecemos o conjuntofuzzy do nível de CD4+ e temos uma função da população assintomática em funçãodo nível de CD4+, através do Princípio de Extensão determinamos o grau de per-tinência da população assintomática no instante t [9], Figura 1.18.

xt(c) =

e−t se c < 200e−λ(c)t se 200 ≤ c ≤ 5001 se c > 500

(1.10)

em que λ(c) = 500−c300 , Ct é o conjunto fuzzy do nível de CD4+ em t cuja a função

de pertinência é uCt e Wt é o correspondente conjunto fuzzy em t com a função depertinência uWt . Mais especicamente, a partir do Príncipio de Extensão temos,para cada instante t:

uWt(xt(c)) = supc

uCt(c) (1.11)

Nivel de CD4+ ( c)

xt(c)

Ct

Wt

xt(c)

uW

t

uC

t

Figura 1.18: Wt em t = 3.

1.10. ESPERANÇA FUZZY 18

1.10 Esperança Fuzzy

A m de usar um método de defuzzicação para obter um valor real, isto é, umnúmero real representativo de um conjunto fuzzy, necessitaremos dos conceitos deínmo de um conjunto e medida fuzzy.

Seja A um subconjunto não vazio do conjunto parcialmente ordenado E. Aomaior dos limites inferiores de A dá-se o nome de ínmo de A que é indicado porinfA.

Seja Ω um conjunto não vazio e P (Ω) o conjunto das partes de Ω. A funçãoµ : P (Ω) → [0, 1] é uma medida fuzzy [17], [5] e [21] se:

a) µ(∅) = 0 e µ(Ω) = 1

b) µ(A) ≤ µ(B) se A ⊆ B.

Seja um conjunto fuzzy de R com função de pertinência u. O valor esperado doconjunto fuzzy, denotado por FEV [u], é denido pela integral fuzzy

FEV [u] = sup0≤α≤1

inf[α, µu ≥ α] (1.12)

onde µ é uma medida fuzzy e u ≥ α = x ∈ R : u(x) ≥ α, α ∈ [0, 1].Observação: Se H(α) = µu ≥ α então o cálculo de FEV [u], consiste em

determinar o ponto xo de H, que pode ser dado pela intersecção de y = α comg = H(α), 0 ≤ α ≤ 1 [12].

Em nosso trabalho FEV [u] também será usado como o defuzicador do conjuntofuzzy u.

No próximo capítulo introduziremos as variáveis lingüísticas e o sistema baseadoem regras fuzzy.

Capítulo 2

Sistema Baseado em RegrasFuzzy

2.1 Relações FuzzyEstudos de associações, relações ou interações, entre os elementos de diversas classesé de grande interesse na análise e compreensão de muitos fenômenos do mundoreal. Matematicamente, o conceito de relação é formalizado a partir da teoriade conjuntos. Desta forma, intuitivamente pode-se dizer que a relação será fuzzyquando optamos pela teoria dos conjuntos fuzzy e será clássica quando optamospela teoria clássica de conjuntos para conceituar a relação em estudo. Qual dosmodelos adotar, entre estes dois, depende muito do fenômeno estudado. Porém, aopção pela teoria de conjuntos fuzzy sempre tem maior robustez no sentido de queesta inclui a teoria clássica de conjuntos [2]. Deniremos a seguir relações fuzzy.

Denição 2.1.1 Uma relação fuzzy R, sobre U1×U2× ...×Un, é qualquer subcon-junto fuzzy do produto cartesiano U1 × U2 × ... × Un. Se o produto cartesiano forformado por apenas dois conjuntos, U1 × U2, a relação é chamada de fuzzy bináriasobre U1 × U2.

A principal vantagem na opção pela relação fuzzy é que a relação clássica indicaapenas se há ou não relação entre dois objetos, enquanto uma relação fuzzy alémde indicar se existe ou não relação, indica também o grau desta relação.

Uma noção que será muito importante para o nosso trabalho, é o produto car-tesiano entre conjuntos fuzzy.

Denição 2.1.2 O produto cartesiano fuzzy A1 × A2 × ... × An dos subconjuntosfuzzy A1, A2,..., An de U1, U2,..., Un, é a relação fuzzy R cuja função de pertinênciaé

uR(x1, x2, ..., xn) = uA1(x1) ∧ uA2(x2) ∧ ... ∧ uAn(xn) (2.1)onde ∧ é a t-norma min.

2.2. COMPOSIÇÃO DE RELAÇÕES FUZZY 20

A noção e utilização de produto cartesiano fuzzy cará mais clara quando introdu-zirmos o conceito de sistemas baseados em regras fuzzy, que são sistemas compostosde regras da forma `Se...então...', pois estas regras podem ser interpretadas comoprodutos cartesianos de conjuntos fuzzy, como veremos na seção 3.

2.2 Composição de Relações FuzzyConsidere R e S duas relações fuzzy binárias em U1×U2 e U2×U3, respectivamente.

Denição 2.2.1 A composição RoS é uma relação fuzzy binária em U1 ×U3, comfunção de pertinência dada por

uRoS(x1, x3) = maxx2∈U2

[min(uR(x1, x2), uS(x2, x3))]. (2.2)

Quando os conjuntos U1, U2 e U3 são nitos, então a forma matricial da relaçãoRoS, dada pela composição max-min, é obtida como uma multiplicação de matri-zes substituindo-se o produto pelo mínimo e a soma pelo máximo.

Deniremos um caso especial da composição max-min, que será utilizado noCapítulo 3, em uma importante aplicação, diagnóstico médico.

Denição 2.2.2 Sejam U1 e U2 dois conjuntos, F(U1) e F(U2), as classes dosconjuntos fuzzy de U1 e U2, respectivamente, e R uma relação binária sobre U1×U2.Então a relação R dene um funcional de F(U1) em F(U2) que a cada elementoA1 ∈ F(U1), faz corresponder o elemento A2 ∈ F(U2) a função de pertinência édada por:

uA2(x2) = uR(A1)(x2) = maxx1∈U1

[min(uA1(x1), uR(x1, x2))] (2.3)

2.3 Regras e Inferência FuzzyUma regra Se X é A então Y é B pode ser interpretada como uma relação fuzzyentre A e B onde a função de pertinência (A×B)(x, y) dada por

uA×B(x, y)=uA(x)tuB(y), ∀(x, y) ∈ X × Y ,

onde × denota um produto cartesiano. Sugere-se a t−norma min. Assim A × Bpode ser visto como um ponto fuzzy ou grânulo no espaço X × Y , isto é, o produtocartesiano A×B como mostra a Figura 2.1.

Uma coleção de regras "Se X é Ai então Y é Bi, i = 1, ..., N , pode ser denidacomo

(X, Y ) é (A1×B1+A2×B2+...+AN ×BN ) ou equivalentemente, (X,Y ) é (N∑

i=1

Ai×

2.4. VARIÁVEIS LINGÜíSTICAS 21

u BuAFigura 2.1: Ponto fuzzy ou grânulo em X × Y .

Bi). A expressão (N∑

i=1

Ai × Bi) é interpretada como uma agregação, via uma dis-

junção denotada por∑

. Neste caso, os pontos fuzzy compostos de toda relaçãoF ∗ induzida pelas N regras é chamada relação fuzzy.

Seja y = f(x) uma função f : X −→ Y , lembramos que o grafo de f é o conjuntoF = (x, y) | y = f(x) , x ∈ X, y ∈ Y . Como uma generalização deste conceito,um grafo fuzzy F ∗ de uma dependência funcional f : X −→ Y entre as variáveisfuzzy X e Y em X e Y , respectivamente, é denido como uma aproximação, repre-

sentação granular de f na forma F ∗= (N∑

i=1

Ai×Bi). De forma geral, um grafo fuzzy

é um conjunto fuzzy F ∗ cuja função de pertinência éuF∗(x, y) = SN

i=1[uAi(x)tuBi(y)] , ∀(x, y) ∈ X × Y onde S é uma s−norma.

2.4 Variáveis LingüísticasUma variável lingüística é uma variável cujo valor é expresso qualitativamente porum termo lingüístico (que fornece um conceito à variável) e quantativamente poruma função de pertinência. De fato, uma variável lingüística é caracterizada por< X, T (X), X,G,M > onde X é o nome da variável (por exemplo, temperatura,pressão, febre, etc.) T (X) é o conjunto de termos lingüísticos de X (baixo, pouco,extenso, etc.), X é o domínio de valores de X sobre o qual o signicado do termolingüístico é determinado (a febre pode estar, por exemplo, entre 35o e 40o Celsius)e G gramática que gera termos de T e M é a regra semântica, Figura 2.2.

2.5. SISTEMAS BASEADOS EM REGRAS FUZZY 22

Variável Lingü ística

Termos Lingü ísticos

AltaMédiaBaixa

Temperatura

Figura 2.2: Variáveis Lingüísticas.

Exercício:

Assuma que você está dirigindo em uma rodovia com velocidade máxima de100km/h. Como você caracteriza descrições tal como baixa, média, alta em termosde variáveis lingüísticas? E sobre não baixa e não alta?

2.5 Sistemas Baseados em Regras Fuzzy

Sistemas baseados em regras fuzzy (SBRF) contêm quatro componentes: umprocessador de entrada que realiza a fuzzicação dos dados de entrada, uma coleçãode regras nebulosas chamada base de regras, uma máquina de inferência fuzzy e umprocessador de saída que fornece um número real como saída [9]. Estes componentesestão conectados conforme indicado na Figura 2.3.

Uma vez estabelecida uma base de regras, isto é, como relacionamos os conjuntosfuzzy pela forma Se...então..., um SBRF pode ser visto como um mapeamento entrea entrada e a saída da forma y = f(x), x ∈ Rn e y ∈ Rm (trajetória em negritona Figura 2.3). Esta classe de sistema é amplamente utilizada em problemas demodelagem, controle e classicação. Os componentes do SBRF são descritos aseguir:

• Processador de Entrada (Fuzzicação)

Neste componente as entradas do sistema são traduzidas em conjuntos fuzzyem seus respectivos domínios. A atuação de um especialista na área do fenô-


Figura 2.3: Sistemas baseados em regras fuzzy.


meno a ser modelado é de fundamental importância para colaborar na cons-trução das funções de pertinências para a descrição das entradas.

• Base de Regras

Este componente, juntamente com a máquina de inferência, pode ser consi-derado o núcleo dos sistemas baseados em regras fuzzy. Ele é composto poruma coleção de proposições fuzzy na forma Se...então.... Cada uma destasproposições pode, por exemplo, ser descrita lingüisticamente de acordo como conhecimento de um especialista. A base de regras descreve relações entreas variáveis lingüísticas, para serem utilizadas na máquina de inferência fuzzyque descreveremos no próximo item.

• Máquina de Inferência Fuzzy

É neste componente que cada proposição fuzzy é traduzida matematicamentepor meio das técnicas de raciocínio aproximado. Os operadores matemáticosserão selecionados para denir a relação fuzzy que modela a base de regras.Desta forma, a máquina de inferência fuzzy é de fundamental importância parao sucesso do sistema fuzzy, já que fornece a saída a partir de cada entradafuzzy e da relação denida pela base de regras. Apresentaremos dois métodosparticulares de Inferência Fuzzy: o Método de Mamdani e o Método de Takagi-Sugeno. A diferença básica entre esses métodos recai no tipo de conseqüentee no procedimento de defuzzicação. Para simplicidade, somente modelos deregras com duas entradas e uma saída serão ilustradas.

Método de MamdaniUma regra Se (antecedente) então (conseqüente) é denida pelo produtocartesiano fuzzy dos conjuntos fuzzy que compõem o antecedente e oconseqüente da regra. O método de Mamdani agrega as regras atravésdo operador lógico OU, que é modelado pelo operador máximo e, emcada regra, o operador lógico E é modelado pelo operador mínimo. Vejaas regras a seguir:Regra 1: Se (x é A1 e y é B1) então (z é C1).Regra 2: Se (x é A2 e y é B2) então (z é C2).

A Figura 2.4 ilustra como uma saída real z de um sistema de inferênciado tipo Mamdani é gerada a partir das entradas x e y reais e a regra decomposição max-min.A saída z ∈ R é obtida pela defuzzicação do conjunto fuzzy de saídaC = C

′1 ∪ C

′2 da Figura 2.4.


Figura 2.4: Método de Mamdani com composição max-min.


Método de Takagi-Sugeno

Neste caso, o conseqüente de cada regra é uma função das variáveis deentrada. Por exemplo, podemos supor que a função que mapeia a entradae saída para cada regra é uma combinação linear das entradas, isto é,z = px1 + qx2 + r. Veja as regras a seguir:Regra 1 : Se (x é A1 e y é B1) então z = f1(x, y).Regra 2 : Se (x é A2 e y é B2) então z = f2(x, y).A Figura 2.5 a seguir, ilustra como uma saída z de um sistema do métodode Takagi-Sugeno é gerada a partir das entradas reais x e y. Esta saída dosistema é obtida pela média ponderada (procedimento de defuzzicação)das saídas de cada regra, usando-se o grau de ativação destas regras comoponderação.No caso em que p = q = 0, então z = r (conjunto unitário fuzzy), osmodelos de Mandani e de Takagi-Sugeno produzem os mesmos valoresde saída, porque a defuzzicação no método de Mamdani, pelo centrode gravidade, é igual à média ponderada no método de Takagi-Sugeno.Como z1 e z2 são conjuntos fuzzy unitários então w1 e w2 são os grausde pertinências de z1 e z2, respectivamente.

• Processador de Saída (Defuzzicação)Na teoria dos conjuntos fuzzy pode-se dizer que a defuzzicação é um processode se representar um conjunto fuzzy por um número real. Em sistemas fuzzy,em geral a saída é um conjunto fuzzy. Assim, devemos escolher um métodopara defuzzicar a saída e obter um número real que a represente. A seguir,relacionaremos o método mais comum de defuzzicação.

Centro de gravidadeEste método de defuzzicação é semelhante à média ponderada para dis-tribuição de dados, com a diferença que os pesos são os valores C(zi) queindicam o grau de compatibilidade do valor zi com o conceito modeladopelo conjunto fuzzy C.

Para um domínio discreto tem-se

G(C) =∑n

i=0 uiC(zi)∑ni=0 C(zi)

(2.4)

Para um domínio contínuo tem-se

G(C) =

∫R

uC(u)du∫R

C(u)du(2.5)

onde R é a região de integração.


w w 1 2Figura 2.5: Método de Takagi-Sugeno.

2.6. APLICAÇÕES DO SBRF 28

2.6 Aplicações do SBRFNesta seção apresentaremos três exemplos de aplicações do SBRF elaborados pelosalunos Flávia Cristina Queiroz, Eder Lúcio da Fonseca e Edinei Leandro dos Reis,respectivamente, do Curso de Graduação em Matemática da Universidade Federalde Uberlândia.

2.6.1 Vitalidade das VioletasVioleta é um tipo de or muito apreciada pelos apaixonados por plantas. Possuifolhas grandes e ores miúdas.

Para que tenha vida longa pequenos cuidados diários são necessários. Por exem-plo:

• Ser exposta de meia à uma hora ao Sol da manhã ou ao da tarde (pois o Solé mais fraco nestas horas).

• Ser aguada com aproximadamente 33 ml.

Assim, dados os valores da quantidade de água (ml) e da quantidade de Sol (minu-tos), tem-se como resultado a `vitalidade da violeta'.

Neste exemplo, as variáveis lingüísticas são:

• Quantidade de água (ml), com domínio [0,66], representando as faixas < 20,20 − 38 e > 38, com os termos lingüísticos: pequena, média e grande. Asfunções de pertinência são triangulares, como mostra a Figura 2.6.

• Tempo de exposição no Sol (min), [0,95], representando as faixas < 30, 30−60e > 60, com os termos lingüísticos: pequeno, médio e grande, respectivamente;também as funções de pertinência triangulares, Figura 2.7 .

• O domínio da váriavel de saída vitalidade da violeta' é [0,1] e os termoslingüísticos: ruim, média e boa, como mostra a Figura 2.8 .

A Tabela 2.1 apresenta as classicações da vitalidade da violeta como função daquantidade da água A (ml) e tempo de exposição no Sol S (min). As regras fuzzysão apresentadadas na Tabela 2.2.

Assim, dados os valores da quantidade de água e tempo de exposição, tem-se como resultado a inferência de um valor, no intervalo [0,1] que representa avitalidade das violetas V. Neste sentido, é possível obter uma saída do sistema deinferência. Por exemplo, com quantidade de água 40 ml e tempo de exposição doSol 60 min, após a defuzzicação encontramos um valor igual 0.7, orientando queesta quantidade de água e tempo de exposição no Sol geram uma vitalidade de 0.7numa escala de 0 a 1 para as violetas [15] .


0 10 20 30 40 50 60 700,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 grandemédiapequena

Quantidade de água (A)

Figura 2.6: Funções de pertinência da quantidade de água (A).

0 20 40 60 80 1000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0grandemédiopequeno

Tempo de exposição no Sol (S)

Figura 2.7: Funções de pertinência do tempo de exposição do sol (S ).


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 boamédiaruim

Vitalidade das violetas (V)

Figura 2.8: Funções de pertinência da vitalidade das violetas (V ).

XXXXXXXXXXSol(S)Água (A)

< 20 20 - 38 > 38

< 30 média boa ruim30 - 60 média boa ruim> 60 ruim média ruim

Tabela 2.1: Classicações da vitalidade da violeta como função da quantidade deágua A (ml) e tempo de exposição no Sol S.

XXXXXXXXXXSol(S)Água (A) pequena média grande

pequena média boa ruimmédia média boa ruimgrande ruim média ruim

Tabela 2.2: Regras fuzzy.


2.6.2 Grau de Risco da ObesidadeDenomina-se obesidade uma enfermidade caracterizada pelo acúmulo excessivo degordura corporal, associada a problemas de saúde, ou seja, que traz prejuízos àsaúde do indivíduo.

O excesso de gordura corporal não provoca sinais e sintomas diretos, salvoquando atinge valores extremos. Independente da severidade, o paciente apresentaimportantes limitações estéticas, acentuadas pelo padrão atual de beleza, que exigeuma massa corporal até menor do que o aceitável como normal. Pacientes obe-sos apresentam limitações de movimento, tendem a ser contaminados com fungos eoutras infecções de pele em suas dobras de gordura, com diversas complicações, po-dendo ser algumas vezes graves. Além disso, sobrecarregam sua coluna e membrosinferiores, apresentando a longo prazo degenerações (artroses) de articulações dacoluna, quadril, joelhos e tornozelos, além de doença varicosa supercial e profunda(varizes) com úlceras de repetição e erisipela.

Como o médico faz o diagnóstico? A forma mais amplamente recomendada paraavaliação da massa corporal em adultos é o IMC (índice de massa corporal), reco-mendado inclusive pela Organização Mundial da Saúde. Esse índice é calculadodividindo-se a massa do paciente em quilogramas (kg) pela sua altura em metroselevada ao quadrado (quadrado de sua altura) [1]. O valor assim obtido estabe-lece o diagnóstico da obesidade e caracteriza também os riscos associados conformeapresentado na Tabela 2.3:

IMC (kg/m2) Grau de Risco Tipo de obesidade18 a 24,9 Saudável Ausente25 a 29,9 Moderado Sobrepeso (Pré-Obesidade )30 a 34,9 Alto Obesidade Grau I35 a 39,9 Muito Alto Obesidade Grau II40 ou mais Extremo Obesidade Grau III (`Mórbida')

Tabela 2.3: Diagnóstico da Obesidade.

Conforme pode ser observado, o peso normal, no indivíduo adulto, com mais de20 anos de idade, varia conforme sua altura, o que faz com que possamos tambémestabelecer os limites inferiores e superiores da massa corporal para as diversasalturas conforme a Tabela 2.4 :


Altura (cm) Massa Inferior (kg) Massa Superior (kg)145 38 52150 41 56155 44 60160 47 64165 50 68170 53 72175 56 77180 59 81185 62 85190 65 91

Tabela 2.4: Altura X Massa.

Neste exemplo, as variáveis lingüísticas são:

45 50 55 60 65 70 75 800,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0alta

médiaaltamédia

médiabaixabaixa

Massa M

Figura 2.9: Funções de pertinência da massa (M ).

• Massa (kg), com domínio [47,81], considerando as faixas 47 − 64, 50 − 68,53 − 72, 56 − 77 e 59 − 81, com os termos lingüísticos: baixa,média baixa,média , média alta e alta. As funções de pertinência são triangulares, comomostra a Figura 2.9.

• Altura (cm), [157,183], considerando as faixas 57 − 163, 162 − 168, 167 −173, 172 − 178 e 177 − 183, com os termos lingüísticos: baixa, média baixa ,


160 165 170 175 1800,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

altamédia altamédia

médiabaixa

baixa

Altura (A)

Figura 2.10: Funções de pertinência da altura (A).

18 20 22 24 26 28 30 32 34 360,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0altomoderadosaudável

Grau de Risco (R)

Figura 2.11: Funções de pertinência do grau de risco (R).


````````````Altura (A)Massa (M ) baixa média baixa média média alta alta

baixa saudável moderado moderado moderado altomédia baixa saudável saudável moderado moderado moderado

média saudável saudável saudável moderado moderadomédia alta saudável saudável saudável saudável moderado

alta saudável saudável saudável saudável saudável

Tabela 2.5: Regras fuzzy.

média , média alta e alta, respectivamente; também as funções de pertinênciatriangulares, Figura 2.10 .

• O domínio da váriavel de saída `Grau de Risco' é o intervalo [18,35] e con-siderando os termos lingüísticos: saudável, moderado e alto, com funções depertinências trapezoidais como mostra a Figura 2.11 .

As regras fuzzy são apresentadadas na Tabela 2.5.

Assim, dados os valores da altura e a massa de uma pessoa, tem-se como resul-tado a inferência de um valor, no intervalo [15,40] que representa o grau de riscoR. Neste sentido, é possível obter uma saída do sistema de inferência, por exemplo,com altura 164 cm e peso 59 kg, após a defuzzicação encontramos um valor igual23.9, orientando que a pessoa esta saúdavel.

2.6.3 Qualidade da águaO objetivo deste exemplo é analisar a qualidade da água abordando três aspectos depotabilidade da água. Para a fuzzicação foram utilizadas informações da SABESP(Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo) que regulamenta escaliza a qualidade da água para o consumo humano no estado de São Paulo.

As variáveis de entrada escolhidas para garantir a potabilidade da água são: coraparente (medida em UH - unidade Hazen), pH (potencial hidrogeniônico, ou seja,concentração de íons de Hidrogênio - onde os valores variam de 0 a 14), e a turbidez(causada pela presença de substâncias suspensas e coloidais - é determinada pelaquantidade de luz dispersada quando ela passa através de uma amostra e é medidaem UT, ou seja, unidades de cor).

Além dessas três variáveis da água que vamos analisar, poderíamos utilizar ou-tras, tais como: odor e sabor, nível de úor, nível de cloro residual, quantidade decoliformes fecais e totais.

A variável de saída é a qualidade da água com os termos lingüísticos: boa,adequada e inadequada para o consumo, Figura 2.15.

As variáveis de entrada são classicadas a seguir, suas funções de pertinênciassão trapezodais, Figuras 2.12, 2.13 e 2.14.

• Cor aparente:


Menor ou igual a 5UH - boa Maior que 5UH e menor ou igual a 15UH - adequada Maior que 15UH - inadequada

• pH

De 6,5 a 8,5 - bom De 6 a 10 - adequado Menor que 6 ou Maior que 10 - inadequado

• Turbidez

Menor ou igual a 1UT - boa Maior que 1UT e menor que 5UT - adequada Maior que 5UT - inadequada

Através das informações da SABESP, podemos constatar que a qualidade da águaé boa para o consumo quando a cor aparente e a turbidez se aproximam de `zero'e o pH se manter em torno de 7. Desta forma, o controle da qualidade da águapara o consumo humano, deve ser cuidadoso, com o intuito de evitarmos doençasposteriores.

0 5 10 15 20 25 300,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0inadequadaadequadaboa

Aparência (A)

Figura 2.12: Funções de pertinência da aparência de água (A).


0 2 4 6 8 10 12 140,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0inadequado altoadequadobominadequado baixo

pH (H)

Figura 2.13: Funções de pertinência do pH (H ).

0 2 4 6 8 100,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0inadequadaadequadaboa

Turbidez (T)

Figura 2.14: Funções de pertinência da turbidez (T ).


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0boaadequadainadequada

Qualidade da água (Q)

Figura 2.15: Funções de pertinência da qualidade da água (Q).

````````````pH(H )Turbidez (T ) boa adequada inadequada

inadequado baixo inadequada inadequada inadequadaadequado adequada adequada inadequada

bom boa boa inadequadainadequado alto inadequada inadequada inadequada

Tabela 2.6: Regras fuzzy quando a aparência da água é boa.


inadequado baixo inadequada inadequada inadequadaadequado adequada adequada inadequada

bom boa adequada inadequadainadequado alto inadequada inadequada inadequada

Tabela 2.7: Regras fuzzy quando a aparência da água é adequada.



inadequado baixo inadequada inadequada inadequadaadequado inadequada inadequada inadequada

bom adequada adequada inadequadainadequado alto inadequada inadequada inadequada

Tabela 2.8: Regras fuzzy quando a aparência da água é inadequada.

As Tabelas 2.6, 2.7 e 2.8 fornecem a base de regras quando a aparência da águaé boa, adequada e inadequada, respectivamente, estas regras foram feitas utilizandoas informações da SABESP e o bom senso.

Assim, é possível obter uma saída do sistema de inferência. Por exemplo, quandoa aparência da água é 15 UH, o pH é 7 e a turbidez é 0 UT , após a defuzzicaçãoencontramos um valor igual 0.5, orientando que a qualidade da água é adequada.

O próximo capítulo é dedicado a aplicações da teoria dos conjuntos fuzzy aliadaa outras ferramentas matemáticas, como as equações diferenciais.

Capítulo 3

Aplicações

3.1 IntroduçãoNa última década, a literatura matemática que trata de fenômenos imprecisos temcrescido consideravelmente, principalmente no tocante à teoria de modelagem e con-trole, utilizada com sucesso nas áreas de Engenharia. As primeiras aplicações destateoria em Biomatemática foi em diagnóstico médico [25] e [26], e nelas se concentraa maioria das aplicações da teoria de conjuntos fuzzy na medicina. Mais recente-mente outros autores têm utilizado esta abordagem em problemas de epidemiologia[18], [5], [8], [10] e [11]. Na primeira seção apresentaremos uma aplicação de dia-gnóstico médico, na segunda seção um sistema de equações diferenciais ordináriascom parâmetro fuzzy e na terceira seção apresentaremos o modelo presa-predadoratravés de regras fuzzy.

3.2 Diagnóstico MédicoO objetivo nesta aplicação é propor um sistema fuzzy que imite a atuação de ummédico no diagnóstico de seus pacientes, a partir dos sintomas que estes apresentam.Com o intuito de ajudar o médico a tomar decisões e optar por exames laboratoraismais detalhados.

A aplicação que veremos trata-se de estabelecer um diagnóstico de doenças in-fantis [6].

3.2.1 Base de ConhecimentosA idéia básica é relacionar os sintomas dos pacientes com possíveis doenças, deacordo com os conhecimentos médicos de um especialista.

Considere os seguintes conjuntos universais:

• U= conjunto dos pacientes;

3.2. DIAGNÓSTICO MÉDICO 40

HHHHHsd

d1 d2 d3 d4

s1 0.2 0.1 0.1 0.1s2 0.2 0.1 0.3 0.2s3 0.2 0.1 0.1 0.1s4 0.3 0.1 0.1 0.1s5 0.3 1.0 0.1 0.1s6 0.2 0.1 0.1 0.1s7 0.4 0.1 1.0 0.3s8 1.0 0.3 0.4 0.2s9 0.4 0.1 1.0 0.3s10 0.2 0.1 0.3 1.0s11 0.3 0.1 0.1 0.1

Tabela 3.1: Relação fuzzy sintomas x doenças.

• V = conjunto de sintomas;

• W= conjunto de doenças.

Neste caso, trata-se de doenças infantis das quais tem-se conhecimento de quatropacientes P1, P2, P3 e P4, com sintomas s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8, s9, s10 e s11,apresentaram os diagnósticos d1, d2, d3 e d4, onde:

• s1 febre• s2 cefaleia• s3 garganta inamada• s4 exantema• s5 gânglio• s6 coriza

• s7 conjuntivite• s8 lingua de morango• s9 fotofobia• s10 tosse seca• s11 vômito

• d1= escalartina• d2= rubéola

• d3= sarampo• d4= gripe

Esses dados irão compor a base de conhecimentos que serão expressos por meiode relações fuzzy. Podemos solicitar a algum especialista que estabeleça o grau derelação fuzzy R Tabela 3.1, onde as colunas são as doenças consideradas, as linhassão os sintomas, e os valores da matriz são o grau com que os sintomas se relacionamcom as doenças.

Podemos também solicitar ao especialista que estabeleça o grau de relação entrecada paciente com cada sintoma, Tabela 3.2.

3.2. DIAGNÓSTICO MÉDICO 41

HHHHHPs

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11

P1 0.8 0.4 0.5 0.8 0.2 0.1 0.1 0.9 0.1 0.1 0.4P2 0.3 0.1 0.4 0.8 0.9 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.3P3 0.8 0.3 0.5 0.8 0.1 0.2 0.9 0.1 0.6 0.3 0.6P4 0.8 0.7 0.7 0.2 0.1 0.9 0.1 0.1 0.1 0.9 0.4

Tabela 3.2: Relação fuzzy Pacientes x sintomas.

Por exemplo, o diagnóstico médico do paciente P1, via relação fuzzy R, é facil-mente obtido através da equação (2.3). Assim, de acordo com os sintomas apresen-tados, o paciente P1 pode ter uma das doenças di, i = 1, 2, 3, 4, com os respectivosgraus de possibilidades:

uR(P1)(d1) = max1≤i≤11

[min[uR(d1, si), uP1(si)]] = 0.9

uR(P1)(d2) = max1≤i≤11

[min[uR(d2, si), uP1(si)]] = 0.3

uR(P1)(d3) = max1≤i≤11

[min[uR(d3, si), uP1(si)]] = 0.4

uR(P1)(d4) = max1≤i≤11

[min[uR(d4, si), uP1(si)]] = 0.2

Desta forma, obtém-se os diagnósticos para os quatro pacientes:• uR(P1) = (0.9; 0.3; 0.4; 0.2)

• uR(P3) = (0.4; 0.1; 0.9; 0.3)

• uR(P2) = (0.3; 0.9; 0.1; 0.1)

• uR(P4) = (0.2; 0.1; 0.3; 0.9)

A possibilidade do paciente P1 ter escalartina, rubéola, sarampo, gripe é 0.9,0.3, 0.4 e 0.2, respectivamente. Note que a resposta da composição é também umconjunto fuzzy, ou seja, ela não responde qual doença o paciente possui. O que elafornece é a distribuição de possibilidades do paciente no conjunto de doenças dadoque ele apresenta uma certa distribuição de possibilidades no conjunto de sintomas[14].

Outra propriedade importante da relação fuzzy é que à medida que tem-sediagnósticos de novos pacientes, estes podem ser incluidos na base de conhecimentose assim aumentar a capacidade de se obter mais diagnósticos por meio da relaçãofuzzy R, tal como faz o médico.

Na próxima seção, estudaremos um modelo de evolução da AIDS com parâmetrofuzzy.

3.3. MODELO DE EVOLUÇÃO DA AIDS 42

3.3 Modelo de Evolução da AIDSA Saúde Pública considera importante para o controle da população HIV-positivosa contagem de células CD4+ e da carga viral. Neste capítulo, iniciaremos tratandoa taxa de transferência de assintomático para sintomático dependendo da cargaviral v e do nível de CD4+. Não é raro ocorrer discrepância entre a contagem decélulas de CD4+ e de carga viral, ou seja, diminuição da carga viral e do CD4+,ou elevação da carga viral e do CD4+. Nestes casos, a contagem CD4+ é o melhordeterminador para indicação terapêutica. Assim, posteriormente trataremos a taxade transferência de assintomático para sintomático dependendo do nível de CD4+.Neste modelo não estamos levando em conta tratamento com terapia anti-retroviralpara a população [9].

3.3.1 Informações Médicas sobre HIVInicialmente se acreditava que a AIDS tinha um longo período de latência clínicaentre a infecção e o desenvolvimento da doença manifesta. Contrária a essa visão,recente pesquisa sobre as contagens de células CD4+ e a replicação viral revela que oestágio intermediário da doença é, na verdade, altamente dinâmico. Essa pesquisademonstrou, através da análise da meia-vida das células, da taxa de replicaçãoviral e da vida média do HIV, que diariamente sobrevive uma quantidade de vírusmaior do que as de células CD4+ ( o HIV possui uma replicação de 1010vírus/diae a produção de CD4+ é, no máximo, 2x109unidades/dia). Ao longo do tempoessa diferença confere um desequilíbrio em favor do HIV, levando a apresentaçãoclínica dos sintomas relacionados à AIDS. Assim, a AIDS é uma conseqüência dosaltos níveis de replicação contínua do HIV em detrimento da menor velocidade deprodução de células de defesa, que leva à inutilização e destruição dos linfócitosCD4+, mediadas pelo próprio vírus ou por mecanismos imunológicos.

A contagem de células CD4+ em sangue periférico tem implicações prognósticasna evolução da infecção pelo HIV, pois é a marca registrada de décit imunológico epode ser associada a certos parâmetros clínicos. É a medida de imunocompetênciacelular mais útil clinicamente no acompanhamento de pacientes infectados pelo HIVe a mais amplamente aceita, embora não seja a única. De maneira didática, pode-sedividir a contagem de células CD4+ por mililitro do sangue periférico em quatrofaixas (fonte: Ministério da Saúde www.aids.gov.br):

• CD4+ > 0.5 células/ml: Estágio da infecção pelo HIV com baixo riscode doença. Neste estágio, há boa resposta às imunizações de rotina e boaconabilidade nos testes cutâneos de hipersensibilidade tardia como o PPD1.Casos de infecção aguda podem ter estes níveis de CD4+, embora, de modogeral, esses pacientes tenham níveis mais baixos.

• CD4+ entre 0.2 e 0.5 células/ml: Estágio caracterizado por surgimentode sinais e sintomas menores ou alterações constitucionais. Risco moderado

1PPD (Derivado Proteíco Puricado) teste recomendado de rotina anual para avaliação danecessidade de quimioprolaxia para tuberculose.


de desenvolvimento de doenças oportunistas. Nesta fase podem aparecer can-didíase oral, herpes simples recorrente, herpes zóster, tuberculose, leucoplasiapilosa oral, pneumonia bacteriana.

• CD4+ entre 0.05 e 0.2 células/ml: Estágio com alta probabilidade desurgimento de doenças oportunistas como pneumocistose, toxoplasmose deSNC, neurocriptococose, histoplasmose, citomegalovirose localizada. Está as-sociado à síndrome consumptiva, leucoencefalopatia multifocal progressiva,candidíase esofagiana, etc.

• CD4+ < 0.05 células/ml : Estágio com grave comprometimento de res-posta imunitária. Alto risco de surgimento de doenças oportunistas comocitomegalovirose disseminada, sarcoma de Kaposi, linfoma não-Hodgkin e in-fecção por microbactérias do complexo Avium-Intracellulare. Alto risco demorte com baixa sobrevida.

A quanticação da carga viral e a contagem de CD4+ são utilizadas para in-iciar ou alterar a terapêutica anti-retroviral. Quando não há disponibilidade dequanticação da carga viral pode-se basear na contagem de células CD4+.

Em caso de início ou mudança de terapia anti-retroviral, alguns autores reco-mendam uma medida de acompanhamento da carga viral após 1 a 2 meses paraavaliar o tratamento. Os resultados devem ser interpretados da seguinte maneira:

• Carga viral abaixo de 10.000 cópias de RNA por ml: baixo risco deprogressão ou piora da doença.

• Carga viral entre 10.000 e 100.000 cópias de RNA por ml: riscomoderado de progressão ou piora da doença.

• Carga viral acima de 100.000 cópias de RNA por ml: alto risco deprogressão ou piora da doença.

Em 2000 o Ministério da Saúde organizou um documento com o título: Reco-mendações para terapia anti-retroviral em adultos e adolescentes infectados peloHIV, que contém a Tabelas 3.3.

A conversão do portador assintomático para portador sintomático depende dascaracterísticas individuais, conforme a contagem da carga viral v e do nível deCD4+.

Consideramos o modelo fuzzy como um sistema de equações diferenciais, comas variáveis de interesse, nível de CD4+ (c) e carga viral (v) incertas.

dx

dt= −λ(v, c)x x(0) = 1

dy

dt= λ(v, c)x = λ(v, c)(1− y) y(0) = 0 (3.1)

Do ponto de vista matemático, podemos pensar em (3.1) como uma família desistemas de equações diferenciais ordinárias dependendo dos parâmetros. No caso,


dependendo de λ, que por sua vez, depende de v e c. Assim, nos parece razoávelque o controle de λ, e conseqüentemente da população y (sintomáticos), possa serfeito a partir de v e c.

Resolvendo a primeira equação de (3.1) para cada par (v, c), temos:

x(t) = x0e−λ(v,c)t (3.2)

Com a condição inicial x0 = x(0) = 1, temos:

x(t) = e−λ(v,c)t

y(t) = 1− e−λ(v,c)t, t > 0. (3.3)

3.3.2 Variáveis Lingüísticas e Base de Regras

Como zemos anteriormente, vamos estimar a taxa de transferência λ = λ(v, c)baseada nas informações médicas. Adotamos a base de regras fuzzy assumindocomo antecedentes a carga viral V e o nível de CD4+, e Λ como conseqüente. Ostermos lingüísticos para V são baixa, média e alta e para o nível de CD4+ muitobaixo, baixo, médio, médio alto e alto. Para a taxa de transferência Λ os termoslingüísticos são fraca, média fraca, média e forte.

A Tabela 3.3 relata uma fase importante da transferência de assintomático parasintomático, quando o nível de CD4+ está entre 0.2 e 0.5 cels/ml, assim, dividimos acontagem de CD4+ em duas faixas: de 0.35 a 0.5 cels/ml não considerar tratamento;e de 0.2 a 0.35 cels/ml considerar tratamento.

O método de inferência utilizado foi Takagi-Sugeno. As funções de pertinênciada carga viral e do nível de CD4+ são trapezoidais, Figuras 3.1 e 3.2; e as da taxade transferência são conjuntos unitários, Figura 3.3. Observamos que dividimos osvalores da carga viral por 200000 cópias de RNA/ml e com informações médicasconstruímos a Figura 3.4. Por exemplo: Se V é baixa e CD4+ é muito baixo entãoΛ é forte.

Simulamos 60 valores para a carga viral e o nível de CD4+ em um indíviduoHIV-positivo, e determinamos os valores de λ, utilizando o SBRF. Construímos asuperfície mostrada na Figura 3.4.

Fazendo um corte na superfície paralela ao eixo do nível de CD4+, obtemos acurva da Figura 3.5.

Propomos uma expressão analítica para a taxa de transferência λ como funçãodo nível de CD4+ com propriedades qualitativas semelhantes à Figura 3.5. Assim,escolhemos um conjunto fuzzy λ com a seguinte função de pertinência

λ(c) =

1 se c < cmincM−c

cM−cmincmin ≤ c ≤ cM

0 se cM < c < cmax

(3.4)


Situação Clínica Contagem deCD4+(células/ml)

Carga Viral(cópias/ml)

Recomendações

Assintomático Contagem de CD4+ nãodisponível

Carga viral não dis-ponível

Não tratar

Assintomático ≥ 0.5 Independente dacarga viral

Não tratar

Assintomático ≥ 0.35 < 0.5 < 30000 Considerar trata-mento

≥ 30000 Considerar trata-mento

Assintomático ≥ 0.2 < 0.35 Independente decarga viral

Tratamento anti-retroviral

Assintomático < 0.2 Independente decarga viral

Tratar e iniciarprolaxia parainfecções oportuni-stas

Sintomático Independente da Conta-gem de CD4+

Independente dacarga viral

Tratar e iniciarprolaxia parainfecções oportuni-stas

Tabela 3.3: Recomendações para início da terapia anti-retroviral.

PPPPPPPPCD4+V baixa média alta

muito baixo z4 = 1 z4 = 1 z4 = 1baixo z3 = 0.65 z4 = 1 z4 = 1médio z3 = 0.65 z3 = 0.65 z3 = 0.65

médio alto z2 = 0.15 z2 = 0.15 z3 = 0.65alto z1 = 0 z1 = 0 z3 = 0.65

Tabela 3.4: Base de regras fuzzy.


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0baixa média alta

vCarga Viral (V)

Figura 3.1: Funções de pertinência da carga viral (V ).

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0alto

médio altomédiobaixo

muitobaixo

cNível de (CD4+)

Figura 3.2: Funções de pertinência do nível de CD4+ .


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

O

z4= 1z

3= 0.65z

2= 0.15z

1= 0

Taxa de Transferência (/)

Figura 3.3: Funções de pertinência da taxa de transferência (Λ).

00.2

0.40.6

0.81

00.2

0.40.6

0.81

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Carga viral (v)Nivel de CD4+ (c)

Tax

a de

tran

sfer

enci

a (λ

)

Figura 3.4: Valores da taxa de transferência defuzzicados.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Nivel de CD4+ (c)

Tax

a de

tran

sfer

enci

a (λ

)

Figura 3.5: λ como função do CD4+ (v = 0.1).

em que cmin representa o menor nível de CD4+ na qual a chance do indivíduo setornar sintomático é máxima e cM representa o nível de CD4+ na qual a chance dese tornar sintomático é miníma, e cmax é o maior nível de CD4+ possível, Figura3.6.

A partir da Figura 3.5, podemos obter os valores aproximados para cmin e cM ,isto é, cmin é aproximadamente 0.05 cels/ml e cM é aproximadamente 0.5 cels/ml.Estes valores são compatíveis com as informações do Ministério da Saúde, se o nívelde CD4+ é menor que 0.05 cels/ml a tendência é o indíviduo ser sintomático equando o nível de CD4+ é maior que 0.5 cels/ml a tendência é que o indivíduo sejaassintomático.

Para calcular a esperança fuzzy da população assintomática, vamos considerar oCD4+ do grupo HIV-positivo estudado (C), Figura 3.7, como uma variável lingüí-stica com valores baixo, médio e alto, sendo cada um desses valores caracterizadospor conjuntos fuzzy triangulares, de acordo com a função de pertinência:

ρ(c) =

0 se c ≤ c− δ1δ (c− c + δ) c− δ < c ≤ c−1δ (c− c− δ) c < c ≤ c + δ

0 se c > c + δ

(3.5)

O parâmetro c é um valor modal e δ é a dispersão dos conjuntos fuzzy assumidospela variável lingüística. Estes conjuntos fuzzy serão denidos a partir dos valorescmin, cM e cmax que aparecem na denição de λ.

A seguir, vamos calcular a esperança fuzzy da população assintomática em umdeterminado grupo da população.


c

λ

1

cmaxc

Mc

min

Figura 3.6: Taxa de transferência λ em função de c.

3.3.3 Esperança Fuzzy da População Assintomática

Como vimos no Capítulo 1, a esperança fuzzy é um defuzzicador. O valor daesperança fuzzy para população assintomática x = x(c) é

FEV [x] = sup0≤α≤1

inf[α, µx ≥ α] (3.6)

em que x ≥ α = c : x(c) ≥ α e µ é uma medida fuzzy. Como vimos no Capítulo1, o ponto xo da função H2(α) = µc | x(c) ≥ α, para cada t > 0 fornece aFEV [x]. Para α = 0 e α = 1, temos:

H2(0) = µc | x(c) ≥ 0 = µ[0, 1] = 1 e H2(1) = µc | x(c) ≥ 1 = µ[cM , cmax].

Para 0 < α < 1, temos

H2(α) = µc | x(c) ≥ α = µc | e−λ(c)t ≥ α = µc | λ(c) ≤ − ln α

t =

=

µ[cM , cmax] se − lnαt ≤ 0

µ[a2, cmax] se 0 < − lnαt ≤ 1

1 se − lnαt > 1

=

µ[cM , cmax] se α = 1µ[a2, cmax] se e−t ≤ α < 11 se α < e−t


1

c c-E c c+E

S

Figura 3.7: Função de pertinência adotada para c.

em quea2 = cM − (cM − cmin)(− ln α

t), (3.7)

desta forma cmin < a2 ≤ cM .Vamos denir a medida fuzzy por

µ(A) =

supc∈A ρ(c) se A 6= ∅0 se A = ∅

para A ⊂ R. A µ é uma medida otimista, pois o nível de CD4+ em um grupo estásendo avaliado no indivíduo com o melhor nível de CD4+. Para estudar a FEV [x]nós vamos considerar três diferentes casos, de acordo com as variáveis lingüísticasc, e seus valores baixo, médio e alto, com cada um destes valores sendo um númerofuzzy que depende dos valores cmin, cM e cmax que aparecem na denição de λ.

1. Caso: Nível de CD4+ baixo (C−).Neste caso, tomamos cmin > c + δ, Figura 3.8.Como a2 > cmin, temos que µ[cM , cmax] = 0 e µ[a2, cmax] = 0. Logo,

H2(α) =

0 se e−t ≤ α ≤ 11 se α < e−t

Portanto, FEV [x] = e−t.

2. Caso: Nível de CD4+ alto (C+).Neste caso, tomamos cM ≤ c− δ e c + δ ≤ cmax.


UU

OO

c

1

cmax

cM

cmin

Figura 3.8: Nível de CD4+ baixo.

UU

OO

c

1

cmax

cM

cmin

Figura 3.9: Nível de CD4+ alto.


A Figura 3.9 mostra que a2 ≤ cM e obtemos µ[cM , cmax] = 1 e µ[a2, cmax] = 1,logo

H2(α) =

1 se 0 ≤ α ≤ 1

Portanto, FEV [x] = 1.

3. Caso: Nível de CD4+ médio (C+−).

Neste caso, tomamos c − δ > cmin e c + δ < cM e µ[cM , cmax] = 0, Figura3.10.

UU

OO

c

1

cmax

cM

cmin

Figura 3.10: Nível de CD4+ médio.

Fazendo alguns cálculos, obtemos:

H2(α) =

1 se 0 < α ≤ e− −c+cM

cM−cmin

t

ψ(a2) se e− −c+cM

cM−cmin

t< α < e

−−c−δ+cM

cM−cmin

t

0 se e−−c−δ+cM

cM−cmin

t< α ≤ 1

(3.8)

em que ψ(a2) = 1δ [−cM − (cM − cmin)( ln α

t ) + c + δ]. A partir de (3.8),concluímos que H2(α) é contínua e uma função decrescente com H2(0) = 1e H2(1) = 0. Entretanto, H2 tem um único ponto xo que coincide comFEV [x], Figura 3.11. Portanto,

e−λ(c)t ≤ FEV [x] ≤ e−λ(c+δ)t (3.9)


α

H2(α) α

Figura 3.11: A função H2(α).

Observamos que derivando em relação a t a expressão α = ψ(a2) de (3.8),determinamos dα

dt, dada por:

dα

dt=

(cM − cmin)α ln(α)t[αδt + (cM − cmin)]

(3.10)

O sinal de (3.10) é negativo, pois 0 < α < 1. Assim, α = FEV [x] é decrescentecom t.

A partir de 3.9, temos a seguinte proposição.Proposição 5.1. Para cada t > 0, existe um único c(t) ∈ (c, c + δ) para o qual

FEV [x] = e

c(t)−cM

cM−cmin

t.

Prova: A função H2(α) é contínua, decrescente e tem FEV [x] como seu pontoxo. A desigualdade (3.9) fornece o intervalo que contém FEV [x]. Portanto, peloTeorema do Valor Intermediário, existe um único c(t) no intervalo (c, c + δ). Talque

FEV [x] = e

c(t)−cM

cM−cmin

t ¥ (3.11)

Conseqüentemente, a esperança fuzzy não é solução de (3.1). A Proposição 5.1mostra que, para cada instante t, existe uma solução de (3.1) em t que coincide coma FEV [x]. A FEV [x] é diferenciável e satisfaz a seguinte equação diferencial como parâmetro c(t) dependendo do tempo:

dx

dt= −

[λ(c(t)) + t

dλ

dt(c(t))

dc

dt(t)

]x (3.12)


Na próxima seção, vamos calcular a proporção da população assintomática con-siderando a taxa de transferência do valor modal c, para compararmos com a desi-gualdade (3.9).

3.3.4 População Assintomática com a Taxa de Transferênciano Valor Modal

Nesta seção vamos calcular a proporção da população assintomática conside-rando a taxa de transferência correspondente ao valor modal c. Para comparar como valor da FEV [x], em três casos diferentes, de acordo com a variável lingüísticaCD4+, que são baixo, médio e alto com cada uma destas sendo um número fuzzybaseado nos valores cmin, cM e cmax que aparecem na denição de λ.

1. Caso: Nível de CD4+ baixo (C−).Neste caso, tomamos cmin > c + δ. Temos que λ(c) = 1, logo, x(t) = e−t.Portanto, igual a FEV [x].

2. Caso: Nível de CD4+ alto (C+).Neste caso, tomamos cM ≤ c − δ e c + δ ≤ cmax. Temos que λ(c) = 0, logo,x(t) = 1. Portanto, igual a FEV [x].


Neste caso, tomamos c− δ > cmin e c + δ < cM . Temos que λ(c) = −c+cM

cM−cmin,

logo,

x(t) = e− −c−cM

cM−cmin

t. Assim,

e− −c−cM

cM−cmin

t< FEV [x]

Destes três casos, concluímos que:

e− −c−cM

cM−cmin

t ≤ FEV [x]. (3.13)

3.3.5 Esperança Fuzzy da Taxa de Transferência

A esperança fuzzy de λ, interpretada como a taxa média de transferência asso-ciada ao conjunto fuzzy λ, é dada por:

FEV [λ] = sup0≤α≤1

inf[α, µλ ≥ α]

em que λ ≥ α = c ∈ R : λ(c) ≥ α e µ é uma medida fuzzy.Seja H3(α) = µc | λ(v) ≥ α. É fácil ver que, se α = 0 e α = 1, então H3(0) = 1

e H3(1) = µ[0, cmin]. Para 0 < α < 1, temos


H3(α) =

1 se α = 0µ[0, a3] se 0 < α < 1µ[0, cmin] se α = 1

onde a3 = cM − (cM − cmin)α.Para comparar com os resultados das seções anteriores, vamos considerar os

três diferentes casos, de acordo com os valores lingüísticos de c, baixo, médio e altoonde cada um deles é um número fuzzy baseado nos valores cmin, cM e cmax queaparecem na denição de λ.

1. Caso: CD4+ baixo (C−).Neste caso, tomamos cmin > c + δ, Figura 3.8, como a3 > cmin, temos queµ[0, cmin] = 1 e µ[0, a3] = 1.

H3(α) =

1 se 0 ≤ α ≤ 1

Desta forma, FEV [λ] = 1, logo, e−FEV [λ]t = e−t. Coincide com os primeirositens das secções anteriores.

2. Caso: Nível de CD4+ alto (C+).Neste caso, tomamos cM ≤ c − δ e c + δ ≤ cmax, a Figura 3.9, mostra quea3 ≤ vM e obtemos µ[0, cmin] = 0 e µ[0, a3] = 0. Portanto,

H3(α) =

1 se α = 00 se 0 < α ≤ 1

Desta forma, FEV [λ] = 1, logo, e−FEV [λ]t = e−t. Coincide com os segundositens das secções anteriores.


Neste caso, tomamos c− δ > cmin e c + δ < cM , Figura 3.10, fazendo algunscálculos, obtemos:

H3(α) =

1 se 0 ≤ α ≤ −c+cM

cM−cmin

ψ1(a3) = 1δ [cM − (cM − cmin)α− c + δ] se −c+cM

cM−cmin< α ≤ −c+δ+cM

cM−cmin

0 se −c+δ+cM

cM−cmin< α < 1

.

(3.14)A partir da expressão acima, concluímos que H3(α) é contínua e uma funçãodecrescente com H3(0) = 1 e H3(1) = 0. Entretanto, H3 tem um único pontoxo que coincide com FEV [λ], Figura 3.11.Assim, −c+cM

cM−cmin< FEV [λ] < −c+δ+cM

cM−cmin. Logo, e

−−c+δ+cM

cM−cmin

t

< e−FEV [λ]t <

e− −c+cM

cM−cmin

t. Podemos concluir que:

e−FEV [λ]t < e−λ(c)t. (3.15)


Determinamos o valor de FEV [λ], que é o ponto xo de ψ1(a3), resolvendo aseguinte equação:

1δ[cM − (cM − cmin)α− c + δ] = α (3.16)

α =−c + δ + cM

cM − cmin + δ(3.17)

Portanto, FEV [λ] =−c + δ + cM

cM − cmin + δ. Observamos que e−FEV [λ]t é solução do sis-

tema de equações diferenciais (3.18) apenas para c∗ dado em (3.19).dx

dt= −λ(c)x x(0) = 1

dy

dt= λ(c)x = λ(c)(1− y) y(0) = 0 (3.18)

c∗ =(c− δ − cM )(cM − cmin)

cM − cmin + δ+ cM (3.19)

Fazendo alguns cálculos, vericamos que λ(c∗) = FEV [λ] e, de 3.15, concluímosque:

e−λ(c∗)t < e−λ(c)t (3.20)Logo, λ(c∗) > λ(c) e, como λ é decrescente, temos que c∗ < c. Por outro lado,

sabemos quecM − cmin

cM − cmin − δ< 1 (3.21)

Após alguns cálculos obtemos c∗ > c−δ > cmin. Logo, concluímos que cmin < c∗ <c.

3.3.6 Comparação entre: Esperança Fuzzy da População As-sintomática; População Assintomática com a Taxa deTransferência no Valor Modal ; e População Assin-tomática com a Esperança Fuzzy da Taxa de Trans-ferência

Comparando o nível da CD4+ médio, a esperança fuzzy da população assin-tomática (3.9), a proporção da população assintomática com a taxa de transferênciano valor modal c (3.13) e a proporção da população assintomática com a esperançafuzzy da taxa de transferência (3.15), e também os nivéis de CD4+ baixo e alto,concluímos que

e−FEV [λ]t ≤ e−λ(c)t ≤ FEV [x] (3.22)Das desigualdades (3.9) e (3.22), temos que:

e−FEV [λ]t ≤ e−λ(c)t ≤ FEV [x] ≤ e−λ(c+δ)t (3.23)

3.4. MODELO PRESA-PREDADOR FUZZY 57

3.3.7 ConclusãoPara o modelo que trata da taxa de transferência dependendo de c, a solução domodelo determinístico considerando o valor de c, é x(t) = e−λ(c)t. A FEV [x] émenor que e−λ(c+δ)t como mostra (3.9) e assim depende da dispersão populacionalδ do nível de CD4+ do grupo estudado. Quando δ → 0, FEV [x] → e−λ(c)t, istoé, depende somente do CD4+. Isto indica que, para uma população homogênea,isto é, para uma população com o nível de CD4+ ao redor do valor modal doconjunto fuzzy triangular, o número médio da população assintomática aproxima-se de e−λ(c)t.

3.4 Modelo Presa-Predador FuzzyO modelo presa-predador clássico de Lotka-Volterra pressupõe que tanto presascomo os predadores estão distribuídos uniformemente num habitat comum ondetodos os predadores têm a mesma chance de encontrar e comer cada presa. Istosignica que não existe distinção entre os predadores, isto é, todos os predadoressão identicados com o mesmo atributo de predação e, da mesma forma podemosdizer que as presas são idênticas, isto é, não existe distinção entre as presas.

Inicialmente, mostraremos um comportamento real de presa-predador.

3.4.1 Exemplo Realístico de Presa-Predador: Lebres e Lin-ces na Baía de Hudson

Por alguma razão funcionários da Hudson's Bay Company registraram o númerode lebres e linces que cavam presos em suas armadilhas. Por poder aceitar-se queo número de animais capturados é proporcional as suas populações, pesquisadoresconseguiram uma estatística populacional para ambas espécies de animais por umperíodo de mais de 50 anos [22].

O interessante é que as lebres são a base alimentar dos linces, pois são suacomida favorita. A relação entre estas duas espécies foi primeiramente constatadapor caçadores de pele. A Hudson`s Bay Company no Canadá manteve registrosdetalhados do número de peles trazidos a cada ano de 1850 até a década de 30. Em1924, o ecologista Charles Elton analisou estes dados, que podem ser observado naFigura 3.12.

Como podemos observar, existe uma oscilação bem regular nos números de am-bas espécies:

• O período da oscilação é de aproximadamente 10 anos.

• A amplitude da oscilação é enorme: o número de ambas espécies muda do-brando de 50 para mais de 100, durante o ciclo. No modelo fuzzy podemosconstatar este comportamento irregular das espécies, enquanto o modelo clás-sico apresenta curvas regulares e o plano de fase é um `ciclo' perfeito, estesmodelos serão apresentados nas próximas seções.


Figura 3.12: Populações de lebres e linces em função do tempo [22].

• Existem outros ciclos presa-predador na oresta boreal, como por exemplo:populações de pequenas presas mamíferas estão no ciclo de 4 anos, juntamentecom seus maiores predadores:

Presas: arganazes (ratos silvestres) e pequenos roedores. Predadores: raposas árticas, falcões e corujas da neve.

O gráco do plano de fase de um período de 30 anos, iniciado em 1875, obtidos apartir das populações, será apresentado na Figura 3.13 :

3.4.2 Modelo ClássicoPara formular a interação entre presas e predadores foi usado o modelo determinís-tico, que se tornou clássico, dado pelo sistema de equações diferenciais:

dx

dt= ax− αxy

dy

dt= −by + βxy (3.24)

Neste modelo, as variáveis de estado x e y são, respectivamente, a quantidadede presas e de predadores em cada instante t. Os parâmetros são:

• a: taxa de crescimento relativo das presas;

• α: taxa de predação (probabilidade de um predador matar a presa em cadaencontro entre eles);


Figura 3.13: Plano de fases de lebres e linces real [16].

• b taxa de mortalidade de predadores na ausência de presas;

• β taxa de 'conversão' de presas em predadores.

Resolvendo a equação diferencial com os parâmetros a = 0.1, α = 0.01, b = 0.05 eβ = 0.001, obtemos o gráco da Figura 3.14 e o plano de fase, Figura 3.15.

3.4.3 Modelo FuzzyNosso objetivo é estudar o comportamento das presas e dos predadores de formamais complexa, isto é, com populações diferenciadas, usando apenas um sistema debase de regras fuzzy para o qual as variáveis de estado são as potencialidades daspresas, para serem predadas, e a dos predadores predarem, que estão diretamenteligadas com suas respectivas idades.

A presa pode ser caracterizada pela sua idade, isto é, um lhote pode ser maisfacilmente predado que seus pais. Ainda, um animal velho ou doente pode serpreferido na escolha de um predador. Desta forma, podemos caracterizar o conjuntodas presas pelo grau de serem predadas, sendo tal grau determinado pela sua idade.Podemos caracterizar uma presa, pelas funções de pertinência (3.25), Figura 3.16:

ux(a) =

r1 se 0 ≤ a ≤ a1

r2 se a1 < a ≤ a2

r3 se a2 < a(3.25)

Os predadores também podem ser caracterizados pela idade. Um lhote é poucopredador no sentido que a caça é realizada por seus pais, que estão na idade adulta


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

tempo

popu

laça

o

presapredador

Figura 3.14: Solução do sistema de equações diferenciais.

20 30 40 50 60 70 80 906

7

8

9

10

11

12

13

14

15

presa

pred

ador

Figura 3.15: Plano de fase.


Figura 3.16: Funções de pertinência das presas.

e são os maiores predadores. Os indivíduos velhos predam menos que os adultos,denimos as funções de pertinência em (3.26), Figura 3.17:.

uy(b) =

s1 se 0 ≤ b ≤ b1

s2 se b1 < b ≤ b2

s3 se b2 < b(3.26)

Figura 3.17: Funções de pertinência dos predadores.

Uma população x de presas tem como característica principal sua potencialidadecomo presa, denida por (3.27), no caso discreto e (3.28) no caso contínuo.

Px =n∑

i=1

xiuxi (3.27)

Px =∫ xmax

0

xuxdx (3.28)


A potencialidade de uma população de predadores é denida de maneira análoga.Por exemplo, suponhamos uma família de 18 predadores onde 5 são lhotes, 10

são adultos e 3 são velhos. Vamos estabelecer que o grau de predação de um lhoteseja 0.2; do adulto seja 0.9 e do velho 0.3. Neste caso, temos:

Py =n∑

i=1

yiuyi = 5 ∗ 0.2 + 10 ∗ 0.9 + 3 ∗ 0.3 = 10.9 (3.29)

É fácil vericar que populações de mesmo tamanho podem ter diferentes po-tencialidades. Em casos mais gerais, onde se tem interações de diversas espécies,uma dada população pode ter potencialidades de predação e de presa ao mesmotempo. O modelo que vamos propor para a interação presa-predador é baseadosimplesmente em regras dadas por variáveis lingüísticas.

Adotamos a base de regras fuzzy assumindo como antecedentes potencialidadesdas presas Px, Figura 3.18 e potencialidades dos predadores Py, Figura 3.19 e comoconseqüentes 4Px e 4Py, Figuras 3.20 e 3.21, respectivamente. Os termos lingüí-sticos para Px e Py são baixa, média e alta. Para a4Px e4Py os termos lingüísticossão diminui e aumenta. A seguir apresentamos a base de regras fuzzy utilizada.

1. Se Px é baixa e Py é baixa então 4Px aumenta e 4Py aumenta.

2. Se Px é média e Py é baixa então 4Px aumenta e 4Py aumenta.

3. Se Px é alta e Py é baixa então 4Px diminui e 4Py aumenta.

4. Se Px é baixa e Py é média então 4Px aumenta e 4Py diminui.

5. Se Px é alta e Py é média então 4Px diminui e 4Py aumenta.

6. Se Px é baixa e Py é alta então 4Px aumenta e 4Py diminui.

7. Se Px é média e Py é alta então 4Px diminui e 4Py diminui.

8. Se Px é alta e Py é alta então 4Px diminui e 4Py diminui.

A partir das potencialidades das presas e dos predadores calculadas conforme asequações (3.27) e (3.29), respectivamente, e supondo que os valores iniciais de 4Px

e 4Py sejam iguais a zero. E utilizando o sistema baseado em regras fuzzy apre-sentado anteriormente, com o método de inferência de Mamdani determinamos osvalores de 4Px e 4Py no próximo instante. Assim, calculamos os próximos valoresde Px e Py, com integração numérica, especicamente o método é o da regra dotrapézio. Repetimos o mesmo raciocínio em 50 iterações obtendo o comportamentodas potencialidades das presas e dos predadores no tempo e o plano de fase destaspotencialidades, como mostram as Figuras 3.22 e 3.23, respectivamente.


Figura 3.18: Funções de pertinência da potencialidade das presas (Px).

Figura 3.19: Funções de pertinência da potencialidade dos predadores Py .


Figura 3.20: Funções de pertinência da variação de Px (4Px).

Figura 3.21: Funções de pertinência da variação de Py (4Py).


Figura 3.22: Comportamento das potencialidades das populações de presas e pre-dadores.

Figura 3.23: Plano de fase.

3.5. PROJETO: COMPETIÇÃO ENTRE ESPÉCIES 66

3.4.4 ConclusãoOs grácos das Figuras 3.22 e 3.23 apresentam similaridade com os do modelo deLotka-Volterra, Figuras 3.14 e 3.15. Porém, as Figuras 3.22 e 3.23 do modelo fuzzytêm certa irregularidade visível, pelo fato de termos considerado o grau de predaçãodas espécies heterogêneo. Estes chegam mais próximos da realidade, que os grácosde Lotka-Volterra comparados com os grácos das Figuras 3.12 e 3.13. O leitor cominteresse nesse tipo de modelo pode consultar [20].

3.5 Projeto: Competição entre EspéciesQuando duas ou mais espécies vivem em proximidade e dividem as mesmas exigên-cias básicas, elas usualmente competem por recursos, habitat, ou território. Al-gumas vezes somente a mais forte prevalece, conduzindo o competidor mais fracopara extinção. Uma espécie vence porque seus membros são mais ecientes paraencontrar e explorar recursos, o que leva para um crescimento da população. Indire-tamente isto signica que a população de competidores encontra menos dos mesmosrecursos e não pode crescer até sua capacidade máxima [7].

O modelo de Lotka-Volterra para competição de espécies é dado pelas equações:

dN1

dt= r1N1

k1 −N1 − β12N2

k1

dN2

dt= r2N2

k2 −N2 − β21N1

k2(3.30)

onde N1 e N2 são as densidades das populações das espécies 1 e 2.Construir o modelo fuzzy para competição entre espécies, utilizando o sistema

baseado em regras fuzzy, como vimos na seção anterior.

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Índice

Base de regras 24, 30, 34, 37, 38, 45,62

Centro de gravidade 26Carga viral 43Competição entre espécies 66Composição fuzzy 20Conjuntos fuzzy denição 2Conjuntos fuzzy união 8Conjuntos fuzzy intersecção 8Conjuntos fuzzy complementar 8Defuzzicação 26Diagnóstico médico 39Diferença limitada 13Esperança fuzzy 18, 49, 54Função de pertinência 2, 29, 46, 63Fuzzicação 22HIV 42Intersecção Drástica 13Intersecção padrão 13Linfócito T CD4+ 17, 42Medida fuzzy 18, 50Método de Mamdani 24Método de Takagi-Sugeno 26Nível fuzzy 14Número fuzzy 14Número fuzzy adição 15Número fuzzy multiplicação 15

Presa-Predador 57Ponto fuzzy 21Princípio de extensão 16Produto algébrico 13Qualidade da água 34Relação binária fuzzy 19Relação fuzzy 19Regras fuzzy 20Risco de Obesidade 31Sistema baseado em regras fuzzy 22S-norma triangular 11Soma algébrica 11Soma limitada 11Suporte fuzzy 14T-norma triangular 11União drástica 11União padrão 11Variáveis lingüística 21, 28Vitalidade das violetas 28

NotasemMatemáticaAplicada 17 - sbmac.org.br · A teoria dos conjuntos fuzzy foi introduzida, em...

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