Notas de Mecanica Quantica

7/26/2019 Notas de Mecanica Quantica

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F 689A - Mecanica Quantica I - 2o. semestre de 2011

Segunda Lista (Parcial) de Exerccios:

1. Demonstre as relacoes de comutacao: [A,B] =[B, A],[A, (B +C)] = [A,B] + [A,C], [A,BC] = B[A,C] + [A,B]C,[A, [B, C]] +[B, [C, A]] + [C, [A,B]] = 0, e mostre no caso particular de oper-adores X e Px as relacoes:a) [X, P2x ] = 2iPxb) [X, Pnx] =inP

n1x

c) [X, F(Px)] =iF

(Px)

onde Px=

ix e a componente-x do operador momento linear.

2. Considerando a base ortonormal{ui(x)}i=1,.. deFx tal que sat-isfaz a relacao de ortonormalidade:

(ui, uj) =

dxui (x)uj(x) =i,j,

pode-se escrever a decomposicao espectral de (x) Fx em ter-mos das componentes ci = (ui, ). A partir dessa decomposicao,mostramos em sala de aula que :

(x) =

i

ui (x

)ui(x)

(x

)dx

,

que permitiu escrever a relacao de completeza para osuis. Repitao procedimento no caso da base contnua das ondas planas{vp(x)}pRe escreva a relacao de completeza para os vps .

3. Escreva o produto escalar (, ) conforme a definicao em termosde uma integral em x. Demonstre atraves da relacao de com-

pleteza de uma base discreta{ui(x)}i=1,.. que o produto escalarpode ser expressa em termos das componentes bi e ci das funcoes(x) e (x) nesta base.(Dica: lembre-se que (x) =

(x x

)(x

)dx

).

4. Seja uma partcula livre de massa mem 1-dim. Escreva em termosdos operadores, kets no espaco de estados, bras no espaco dual eem termos de operadores na representacao de coordenadas ede funcoes de onda as mesmas quantidades abaixo:

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a) O operador Hamiltoniano H.

b) Autofuncoes e autoestados de H 1.c) Relacao de ortonormalidade dos autoestados e das autofuncoesde H.d) Relacao de completeza dos autoestados e das autofuncoes deH.e) Considere um pacote de onda (x). Escreva na notacao deDirac a decomposicao espectral na base de contnua dos autoes-tados do operador P.

5. Considere o caso particular em que

|

=

|ro

, um elemento da

base de coordenadas (embora nao pertenca aE).a) Calcule|ro na representacao de coordenadas{|r}rR3.b) Calcule|ro na representacao de momentos lineares{|p}pR3.

6. Obtenha a partir da completeza de uma base discreta{|ui}i=1,2,...emE, a completeza na representacao de momentos lineares ( base{|p}pR3), isto e, em termos das funcoes{ui(p)}i=1,2,....

7. Calcule, usando a completeza da base{|p}pR3, a componente de

um ket|na representacao de coordenadas

r|em termos dascomponentes na base{|p}pR3.

8. Obtenha as componentes do bra|na base de coordenadas|rem termos das componentes do mesmo na base de momentos.

9. Suponha que e dado o ket|na representacao discreta{|ui}i=1,2,...e queremos obter na representacao contnua{|r}rR3. Utilize arelacao de completeza apropriada para escrever as componentesci=ui| em termos de funcoes da coordenada r .

10. Dado os elementos de matriz de um operador A na base de momen-tos A(p, p) =p|A|p, utilize a relacao de completeza apropriadapara expressa-los em termos dos:a) elementos de matriz A(r, r) =r|A|r.b) elementos de matriz Aij =ui|A|uj.

1Embora, a rigor, as autofuncoes nao pertencam aFx e os autoestados nao pertencamaE).

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11. Demonstre, inserindo relacao(oes) de completeza(s) apropriado(s)

a seguinte relacao:p|R2|=22p(p).

12. (C.II.1) Sabendo-se que|nsao autoestados de um operador Her-mitiano H (H pode ser o Hamiltoniano de um sistema fsico).Suponha que{|n}n=1,.. forma uma base discreta. O operadorU(m,n) e definido por: U(m,n) =|mn|;(a) Calcule o adjunto U(m,n) de U(m,n).(b) Calcule o comutador [H, U(m,n)].(c) Prove a relacao: U(m,n)U(p, q) =n,qU(m, p).(d) Calcule o traco do operador U(m,n): T r

{U(m,n)

}.

(e) Seja A um operador, com elementos de matriz Am,n=m|A|n.Prove a relacao: A=

m,n Am,nU(m,n).

(f) Mostre que Apq=T r{AU(p, q)}.13. (C.II.2c) Num espaco vetorial de estados bidimensional, considere

o operador numa base ortonormal{|1, |2}:

M=

2 i

2

i2 3

,

(a) M e Hermitiano (mostre)? Calcule os seus autovalores e au-tovetores dando a sua expansao normalizada em termos da base{|1, |2}.(b) Calcule as matrizes que representam os projetores sobre essesautovetores. Verifique entao que satisfaz as relacoes de ortogonal-idade e completeza.

14. (C.II.3) O espaco de estados de um certo sistema fsico e 3-dim.Seja{|u1, |u2, |u3} uma base ortonormal desse espaco. Os kets|o e|1 sao definidos por:|o= 1

2|u1+ i2 |u2+ 12 |u3, e|1= 13 |u1+ i3 |u3.

(a) Estes kets sao normalizados?(b) Calcule as matrizes o e 1 representando os operadores deprojecao sobre|o e|1 na base{|u1, |u2, |u3}. Verifique seestes operadores sao Hermitianos.

15. (C.II.4) Seja o operador Kdefinido por: K=||, onde|, | E. (a) Em que condicoes K e Hermitiano?(b) Calcule K2. Sob que condicoes K e um pro jetor?(c) Mostre que Kpode ser escrito na forma K=P1P2, onde e

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uma constante (a ser calculado) e P1,P2sao projetores, desde que

| = 0.16. (C.II.5) Seja P1 um projetor ortogonal sobre um subespacoE1 e

P2 um projetor ortogonal sobre um subespacoE2. Mostre que,para que o produto P1P2 seja tambem um projetor ortogonal enecessario e suficiente que P1 e P2 comutem entre si. Neste caso,qual e o subespaco no qual P1P2 projeta?

17. (C.II.9) SejaHo operador Hamiltoniano de um sistema fsico. De-note por|n os autovetores de H com autovalores En: H|n=En|n.(a) Para um operador arbitrario A, mostre a relacao:n|[A,H]|n= 0.(b) Considere um problema unidimensional, onde o sistema fsicoe uma partcula de massa m e de energia potencial V(X). Nestecaso, H e escrito: H= P

2

2m+ V(X).

(b1) Em termos de P,Xe V(X), ache os comutadores: [H, P],[H,X]e [H,XP].(b2) Mostre que o elemento de matrizn|P|n (que iremos in-terpretar no Cap III como o valor medio do momento linear noestado|n) e zero.(b3) Estabeleca a relacao entre Ek =

n

|P2

2m

|n

(o valor medio

da energia cinetica no estado|n) en|XdVdX|n. como o valormedio da energia potencial no estado|n en|V(X)|n, comoele esta relacionado ao valor medio da energia cinetica quandoV(X) =VoX

, (= 2, 4, 6...; Vo >0) ?

18. (C.II.10) Usando a relacaox|p = 12

eipx/, ache a expressao

x|XP|ex|PX|em termos de(x). Podem estes resultadosserem obtidos diretamente usando o fato de que na representacao{|x}, P age como

iddx

?

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F 689A - Mecanica Quantica I - 2o. semestre de 2011Terceira Lista de Exerccios:

OBS (1) As questoes devem ser resolvidas usando bras e kets sempre quepossvel.OBS (2)Escreva sempre o projetor antes de calcular a probabilidade.

1. (C.III.1) Num problema unidmensional, considere uma partcula cuja funcao

de onda e : (x) =N eipox/x2+a2

, onde ae po sao constantes reais e Na constantede normalizacao.(a) Determine Nde modo que (x) seja normalizada.(b) a posicao da partcula e medida. Qual e a probabilidade de achar o resultadoentre a

3 e a

3?

(c) Calcule o valor medio do momento de uma partcula que tem (x) comofuncao de onda.

2. (C.III.2) Considere, num problema unidimensional, uma partcula de massamcuja funcao de onda e (x, t).(a) No instante t, considere a medida da posicao da partcula a uma distanciad da origem. Escreva, como uma funcao de (x, t), a probabilidade P(do) deachar um dado comprimentodo. Quais sao os limites deP(do) quandodo 0e do ?(b) Ao inves de considerar a realizacao da medida da questao (a), mede-se avelocidade v da partcula no instante t. Expresse, como funcao de (x, t), a

probabilidade de achar um resultado maior do que um dado valor vo.3. A funcao de onda de uma partcula livre, num problema unidimensional, e

dado no instante t = 0 por: (x, 0) = N+ dke

|k|/koeikx, onde ko e N saoconstantes.(a) Qual e a probabilidade P(p1, 0) de que uma medida de momento realizadono instante t = 0, ira produzir um resultado entre p1 e +p1 (escreva primeiroo projetor)?(b) O que acontece a essa probabilidade P(p1, t) se a medida for realizada noinstante t? Interprete.(c) Qual e a forma do pacote no instante t = 0? Calcule para este instante o

produto X P; qual e sua conclusao? Descreva qualitativamente a evolucaosubsequente do pacote de ondas.

4. (C.III.7) Seja(x , y , z ) =(r) a funcao de onda normalizada de uma partcula.Expresse em termos de (r) a probabilidade para:(a) Uma medida da abcissa X, para produzir um resultado includo entre x1 ex2.(b) Uma medida da componente Px do momento, para produzir p1p p2.(c) Medidas simultaneas de X e Pz para produzir: x1 x x2 e pz >0. (d)Medidas simultaneas de Px, Py, Pz para produzir: p1 px p2, p3 py p4,

p5pz p6.

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5. (C.III.12) Poco de potencial infinito unidimensional

Considere uma partcula de massa m sujeito ao potencial:V(x) = 0, se 0 x a, V(x) =, se x a.|nsao os autoestados do Hamiltoniano Hdo sistema, e seus autovalores saoEn=

n222

2ma2 . O estado da partcula no instantet= 0 e:

|(0)= a1|1 +a2|2 +a3|3 +a4|4.(a) Qual e a probabilidade, quando a energia da partcula no estado |(0) emedido, de achar um valor menor que 3

22

ma2?

(b) Qual e o valor medio e qual e a raiz quadrada do desvio quadratico medioda energia da partcula no estado |(0)?(c) Calcule o vetor de estado |(t) no instante t. Os resultados encontrados

nos tens (a) e (b) em t= 0 permanecem validas em um instante arbitrario t?(d) Quando a energia e medida, o resultado 822

ma2 e encontrado. Apos a me-

dida, qual e o estado do sistema (utilize a formula do 5o. postulado)? Qual eo resultado, se a energia e medida novamente?

6. (C.III.14 modificado) Considere um sistema fsico cujo espaco de estados, que etridimensional, e gerado por uma base formados pelos tres kets|u1,|u2,|u3.Nesta base, o operador Hamiltoniano Hdo sistema e de dois observaveisA eB sao escritos:

(H) = o

1 0 00 2 00 0 2

; (A) =a1 0 00 0 i0 i 0

; (B) =b0 i 0i 0 00 0 1

.

onde o, a e b Sao constantes reais positivas.O sistema fsico no instante t= 0 esta no estado:|(0)= 1

2|u1 +

i2

|u2 +i2

|u3.

(a) Quais observaveis comutam entre si? Quais podem ser medidos simultane-amente? (justifique).(b) No instante t = 0 a energia do sistema e medido. Quais os valores quepodem ser encontrados, e com que probabilidades? Calcule, para o sistema no

estado |(0), o valor medio He a raiz quadrada do desvio quadratico medioH.(c) Ao inves de medir Hno instantet = 0, mede-seA; quais resultados podemser encontrados e com quais probabilidades? Qual e o vetor de estado imedi-atamente apos a medida?(d) Calcule o vetor de estado |(t) do sistema no instante t.(e) Calcule os valores medios A(t) eB(t) de A e B no instante t. Quais oscomentarios que podem ser feitos?(f) Quais resultados sao obtidos se o observavel A for medido no tempo t? Amesma questao para o observavel B.

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7. (C.III.13) modificado: poco infinito bidimensional

Num problema bidimensional, considere uma partcula de massa m, o seuHamiltoniano e escrito: H = Hx +Hy, com : Hx =

P2x2m

+V(X) e Hy =P2y2m

+ V(Y).A energia potencial V(x) [ou V(y)] e zero quando x [ou y] e includo nointervalo [0, a] e e infinito no resto. Pode-se mostrar que os autoestados deH sao autoestados comuns a Hx e Hy da forma |nx,ny |nx, ny tal quesatisfazem as equacoes de auto-valores:H|nx, ny= E(nx,ny)|nx, ny,Hx|nx, ny= Enx|nx, ny , e Hy|nx, ny= Eny |nx, ny

onde Enx = 22n2x

2ma2 , Eny =

22n2y

2ma2 , de modo que E(nx,ny)=Enx+ Eny .

(a) Dos seguintes conjuntos de operadores, quais formam um C.C.O.C. emE(x,y)? : {H}, {Hx}, {Hx, Hy}, {H, Hx} (justifique cada caso).

Considere agora que a funcao de onda da partcula e dada por:(x, y) =x, y|= Ncos x

a cos y

a sin 2x

a sin 2y

a , quando x [0, a] e y [0, a],

e e zero fora deste intervalo (onde N e uma constante):b) Calcule N para que fique normalizado, e depois a decomposicao espec-tral de | nos autoestados {|nx , ny} de H, primeiro utilizando relacoestrigonometricas para as autofuncoes e depois expressando-a em termos de kets.c) Qual e o valor medio H da energia da partcula? Se a energia H dapartcula e medida, quais resultados podem ser encontradas e com que proba-bilidades?d) O observavel Hx e medido: quais resultados podem ser encontrados e comque probabilidades? Se a medida produz o resultado

22

2ma2, quais serao os re-

sultados de uma medida subsequente de Hy e Py, e com que probabilidades?e) Ao inves de realizar as medidas precedentes, realiza-se uma medida si-multanea de Hx e Py. Quais sao as probabilidades de achar Ex =

922

2ma2 e :

po py po +dp ? OBS: escreva o projetor como produto de projetoresPnx=3Ppy

[po,po+dp], onde cada projetor age em seu espaco.

8. (C.III.8) modificado: Seja uma partcula em 3 dimensoes.

(a) Considere o operador L= R P (momento angular orbital). As tres com-

ponentes de L sao operadores Hermitianos?(b) Calcule os comutadores [Lx, Ly], [Ly, Lz] e [Lz, Lx], e mostre que as com-

ponentes Lx, Ly, Lz do observavel Lnao podem ser simultaneamente medidos.

Seja J(r) a corrente de probabilidade associada a funcao de onda (r) de-screvendo o estado de uma partcula de massa m:

(c) Mostre que : m

d

3

rJ(r) =

P, onde

P e o valor medio do momento(linear).

(d) Estabeleca a seguinte relacao: m

d3r[r J(r)] =L.

3


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9. (C.II.5)Partcula sujeito a uma forca constante

Num problema unidimensional, considere uma partcula de energia potencialV(X) =f X, onde f e uma constante real positiva [V(X) surge, por ex., deum campo gravitacional ou campo eletrico uniforme].(a) Escreva o Teorema de Ehrenfest para os valores medios da posicao emomento Pda partcula. Integre estas equacoes: compare com o movimentoclassico.(b) Mostre que a rqdqm (P) nao varia no tempo.(c) Escreva a eq. de Schrodinger na representacao {|p}. Deduza a partir delauma relacao entre

t|p|(t)|2 e

p|p|(t)|2. Integre a equacao assim obtida

e de uma interpretacao fsica.

10. (C.II.4)Alargamento de um pacote de ondas livreConsidere um pacote de ondas para partcula unidimensional livre.(a) Mostre, aplicando o teorema de Ehrenfest que X(t) e uma funcao lineardo tempo, e o valor medio P e uma constante.(b) Escreva as equacoes de movimento para os valores medios X2 e XP+P X. Integre estas equacoes.(c) Mostre que, com uma escolha apropriada da origem do tempo, o desvioquadratico medio (dqm) X e dado por:(X)2 = 1

m2(P)20t

2 + (X)20, onde (X)20 e (P)

20 sao os dqm no instante

inicial. Como a largura do pacote de ondas livre varia como funcao do tempo?(lembre-se do alargamento do pacote!) De uma interpretacao fsica.

4


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Quarta Lista de Exerccios:

1. (a) Diagonalize a matriz associada ao observavel Su na base {|+, |}, achando osautovalores e autovetores.

Su=

cos sin ei

sin ei cos

.

(b) Calcule os valores medios < Sy > e < Sz > no estado |= |+u.

2. (C.IV.1) Considere uma partcula de momento magnetico M =

S. O espaco deestados de spin e gerado pela base de vetores |+ e |, autovetores de Sz com

autovalores +2

e 2

. No instante t= 0, o estado do sistema e : |(t= 0)= |+.(a) Se o observavel Sx e medido no instante t = 0, quais resultados podem serobtidos e com quais probabilidades?(b) Ao inves de realizar a medida precedente, deixamos o sistema evoluir sob ainfluencia de um campo magnetico paralelo a Oy, de modulo Bo. Calcule, na base{|+, |}, o estado do sistema no instante t.(c) Neste instante t, medimos os observaveis Sx, Sy, Sz. Quais valores podemosobter, e com que probabilidades? Qual relacao deve existir entre Bo e t para queo resultado de uma dessas medidas seja uma certeza? De uma interpretacao fsica

para esta condicao.

3. (C.IV.2) Considere uma partcula de spin 1/2, como no exerccio anterior (usandoa mesma notacao).(a) No instante t = 0, medimos Sy e encontramos +

2. Qual e o vetor de estado

|(0) imediatamento apos a medida?(b) Imediatamente apos a medida, aplicamos uma campo magnetico uniforme de-pendente do tempoparalelo aOz. O operador HamiltonianoH(t) do spin e entaoescrito: H(t) =o(t)Sz.Suponha que o(t) e zero para t < 0 e t > T e cresce linearmente de 0 a o para

0 t T (T e um parametro dado com dimensao de tempo). Mostre que noinstanteto vetor de estado pode ser escrito na forma:|(t)= 1

2[ei(t)|+ +iei(t)|],

onde (t) e uma funcao real de t (que deve ser calculada).(c) No instante t= > T, medimos Sy. Quais resultados podem ser encontrados,e com quais probabilidades? Determine a relacao que deve existir entre o e Tpara que tenhamos certeza do resultado? De uma interpretacao fsica (precessao deLarmor).

4. (C.IV.3) Considere uma partcula de spin 1/2, colocada num campo magnetico B0com componentes: Bx =

12

Bo, By = 0, e Bz = 12

Bo.

A notacao e a mesma da do exerccio (1).(a) Calcule a matriz que representa, na base {|+, |}, o operador H, o Hamilto-niano do sistema.

1


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(b) Calcule os autovalores e autovetores de H.

(c) O sistema no instante t = 0, esta no estado |. Quais valores podem ser en-contradas; qual e o valor medio dos resultados que podem ser obtidos? De umainterpretacao geometrica.

5. (C.IV.5) Operador de evolucao de um spin 1/2

Considere um spin 1/2 de momento magnetico M = S, colocado num campo

magnetico Bode componentesBx=x

,By =y

,Bz =z

. Sejao=| Bo|.

(a) Mostre que o operador de evolucao deste spin e: U(t, 0) = eiMt, onde M e ooperador:M= 1

[xSx+ySy+zSz] =

12

[xx+yy+zz],

onde x, x, z sao as matrizes de Pauli.

x =

0 11 0

, y =

0 ii 0

, z =

1 00 1

, e I=

1 00 1

.

Calcule a matriz que representaMna base {|+, |} dos autovetores deSz. Mostreque M2 = 1

4[2x+

2y+

2z ]I= (

o2

)2I.(b) Escreva o operador de evolucao em serie de potencias e mostre que pode serescrita na forma:U(t, 0) =Icos

ot2

2i

oMsin

ot2

.

(c) Considere um spin que no instante t = 0 esta no estado |(0) = |+. Mostre

que a probabilidade P++(t) =|+|U(t, 0)|+|2 , e demonstre a relacao:P++(t) = 1

2x+2y

2osin2

ot2

6. Sistema de dois nveis

Seja um sistema de dois nveis com autovalores e autovetores de Ho dados por:Ho|i= Ei|i(i= 1, 2), e os de H=Ho+Wdados abaixo:E = Em

2 + |W12|2, onde Em= (E1+E2)/2 e = (E1 E2)/2 .

|+= cos(2

)ei

2 |1 + sin(2

)ei

2 |2

|= sin( 2)ei

2 |1 + cos(2

)ei

2 |2, onde tan = |W12|

e = Arg(W12)

(estamos considerandoW11=W22= 0).

(a) Faca o grafico representando as energias E1, E2, E+, E como funcao de paraW12 com valor fixo.(b) Considere o caso degenerado (E1 = E2). Baseado no grafico do tem (a), discutao que acontece com os autovalores de Energia ao considerar a perturba cao W. Adegenerescencia e levantada? Qual e a energia do estado fundamental? Como ficao autoestado de menor energia em funcao dos estados nao perturbados?(c) Considere agora o caso nao degenerado (E1 = E2) em que a perturbacao W etal que |W12| ||. Discuta os autovalores e autovetores nesta situacao.(d) Considere o caso degenerado (E1=E2). Se o estado inicial e dado por|(0)=|2, qual e a probabilidade de transicaoP21(t)? Ocorre oscilacao de Rabi? Pode-

se ter certeza de que o sistema estara em |1 em algum instante t >0? e em |2para t >0?

2


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7. Oscilacao de neutrinos: Para explicar o deficit de neutrinos eletronicos e me-

didos em relacao aos produzidos no Sol, propos-se um a teoria em que os netrinose solares se transformariam em outros tipos de neutrinos durante a viagem do Sola Terra. Vamos supor uma teoria simplificada onde: (i) com apenas dois tipos deestados de neutrino|ee |(de fato, existe ainda ); (ii) todo fenomeno se passadurante a propagacao entre o Sol e a Terra. Supondo os neutrinos massivos ao invesde massa nula, pode-se situar no referencial de repouso e escrever o Hamiltonianona base {|e, |}:

|e

10

, |

01

, (H) =c2

me m

m m

.

O elemento nao diagonal m permite a transicao entre neutrinos eletronicos e muonicos.(a) DiagonalizeHe calcule as massas m1 e m2 (autovalores) e os estados de massadefinida |1e |2 (autoestados).

Resp: mi = me+m

2 (1)i

m2 + (mem

2 )2, i = 1, 2; |1 = cos(/2)|e +

sin(/2)| e |2= sin(/2)|e + cos(/2)|, onde tan = 2m(mem) .

(b) Os neutrinos se propagam com uma velocidade proximas a da luz. Sua energiae muito grande comparada a mc2 onde m e uma massa tpica que aparece em H.Mostre que, se um neutrino eletronico e produzindo no instante t = 0 no Sol, o vetorde estado sendo |(0)= |e, a probabilidade de encontrar um neutrino no estado

|e no instante t e dado por: P(t) = 1 sin

2

sin

2

(

Et

2). Dessa forma, nao e de seestranhar que o numero de neutrinos e emitidos e observados sejam diferentes.

8. Considere um eletron de uma molecula triatomica formada por tres atomos equidis-tantes. Usamos os kets |A, |B, |C para denotar os tres estados ortonormaisdeste eletron, correspondendo respectivamente as tres funcoes de onda localizadossobre o nucleo dos atomos A, B,C. Confinar-nos-emos ao subespaco do espaco deestados gerado por {|A, |B, |C}.Quando negligenciamos a possibilidade do eletron pular de um nucleo ao outro, suaenergia e descrita pelo Hamiltoniano H0cujos autoestados sao os estados |A, |B, |Ccom o mesmo autovalor Eo. O acoplamento entre os estados |A, |B, |C e de-

scrito por um Hamiltoniano adicionalWdefinido por: W|A= a|B, W|B=a|A a|C; W|C= a|B, onde a e uma constante real positiva.(a) Calcule as energias e os estados estacionarios do Hamiltoniano H=Ho+W.(b) O eletron no instante t = 0 esta no estado |A. Discuta qualitativamente alocalizacao do eletron nos tempos subsequentes t. Existem valores de t para os quaisele esta perfeitamente localizado sobre o atomo A, B ou C?(c) Seja D o observavel cujos autoestados sao |A, |B, |C com autovalores re-spectivos d, 0, d. D e medido no instante t; quais valores podem ser encontrados,e com quais probabilidades?(d) Quando o estado inicial do eletron e arbitrario, quais sao as frequencias de Bohr

que podem aparecer na evolucao de D(t)? De uma interpretacao fsica para D.Quais sao as frequencias das ondas eletromagneticas que podem ser absorvidas ouemitidas pela molecula?

3


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F 689B - Mecanica Quantica I - 2o. semestre de 2011Quinta lista de Exerccios:

1. A partcula tem duracao de cerca de 1023

segundos, antes de desintegrar espon-taneamente. Se fizer um histograma de todas as medidas da sua massa, voce obteraum tipo de curva em formato de sino centrado em 1232 MeV/c2, com uma largurade cerca de 120 MeV/c2. Porque a energia de repouso (mc2) as vezes aparece maiorque 1232 e as vezes menor? E um erro experimental?OBS: utilize o princpio de incerteza energia-tempo para explicar o fato.

2. (a) Explique o que e uma mistura estatstica (M.E.) de estados|1e|2comprobabilidades p1 e p2 (p1+p2= 1). De exemplos de M.E. na vida real.(b) Qual e a diferenca com um estado desuperposicao linear(S.L.)|= 1|1+2

|2

(1, 2

C e

|1

|2 +

|2

|2 = 1)? De exemplos de S.L. na vida real.

3. Oscilador Harmonico unidimensionalSeja H = N+ 1

2o operador Hamiltoniano adimensional do oscilador harmonico

cujos auto-valores e auto-vetores sao dados por: H|n= n|n, comn=n +1/2.Demonstre, usando a algebra de comutadores dos operadores N, ae a que:(a) o estado (a|n) e autovetor de N com autovalor (n1) para n 1. O queacontece para n= 0?(b) o estado (a|n) e autovetor de Ncom autovalor (n + 1).(c) Calcule a matriz associada ao operador momento P = i

2m(aa) na base

{|n

}.

4. Estado Coerente de Oscilador Harmonico:Considere o oscilador harmonico unidimensional no estado dado por:|= Cn=0

nn!

|n,onde C (estado conhecido como estado coerente).(a) Calcule a normalizacao Cdeste estado. Resp.: C=e

||2

2

(b) Mostre que| e um auto-estado do operador de aniquilacao a com auto-valor (complexo).(c) Calcule o valor medio do operador N neste estado. Resp.:N =||2.(d) Seja|(0)=|. Calcule o estado|(t) e mostre que permanece auto-estadodo operador aem qualquer instante t da forma|(t), onde (t) =e

it

.

5. (C.V.1) Considere um oscilador harmonico de massa me frequencia angular. Noinstantet= 0, o estado desse oscilador e dado por:|(0)=n=0 cn|n,onde os estados|n sao estacionarios com energias (n + 12).(a) Qual e a probabilidadeP(E >2, t) de que uma medida da energia do osciladorrealizado num instante t >0, ira produzir um resultado maior que 2?(b) Daqui em diante, vamos supor que apenas c0 e c1 sao nao nulos. Escreva acondicao de normalizacao para|(0)e o valor medioHda energia em termos dec0 e c1. Com o requerimento adicional de queH= , calcule|c0|2 e|c1|2.(c) Como o vetor de estado normalizado

|(0)

e definido apenas a menos de uma fase

global, fixamo este fator escolhendo c0 real e positivo. Estabelecemos: c1 =|c1|ei.Supomos queH= e que :X= 1

2

m. Calcule 1.

1


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6. (C.V.2) Oscilador harmonico tridimensional anisotropico

Num problema tridimensional considere uma partcula de massa me a energia po-tencial:V(X , Y , Z) = m

2

2

(1 + 2

3)(X2 + Y2) + (1 4

3)Z2

,

onde e sao constantes que satisfazem: >0 e 0 < 34

.(a) Quais sao os autoestados do Hamiltoniano e as energias correspondentes?(b) Calcule e discuta, como funcao de , a variacao de energia, e os graus de de-generescencia do estado fundamental e o primeiro estado excitado.

7. Produto tensorial de espacos de estados: dois spins 1/2:

Seja| E1 E2 um estado de dois spins dado por:|=

2

7|+ ++ i

7|++

3

7| + 1

7| .

(a) Se fizermos uma medida simultanea de S1z e S2z. O conjunto{S1z, S2z} con-stituem um C.C.O.C.(indique a base de autoestados comum)? Quais sao os valoresobtidos e quais as probabilidades associadas?(b) Se ao inves da medida em (a) fizermos uma medida simultanea de S1x e S2z.Responda as mesmas perguntas.(c) Agora,se so medirmos S2y, qual e a probabilidade de obter2?(d) Suponha que fizemos a medida de S2y e obtivemos o valor2 . Qual e o estadodo sistema apos a medida ?

(e) O estado dado e um estado emaranhado de dois spins? (explique).

8. (C.V.3) Oscilador harmonico: duas partculasDuas partculas de mesmas massas m, com posicoes X1 e X2 e momentos P1 e P2,estao sujeitos ao potencial: V(Xi) =

1

2m2X2i, (i=1,2).

As duas partculas nao interagem.(a) Escreva o operador H, o Hamiltoniano do sistema de duas partculas. Mostreque Hpode ser escrita: H=H1+ H2,ondeH1 eH2 agem respectivamente apenas nos estados da partcula (1) e partcula(2). Calcule as energias do sistema de duas partculas, seus graus de degenerescencias,

e as funcoes de onda correspondentes.(b) H sozinho forma um C.C.O.C.? A mesma questao para{H1, H2}. Denotamospor|n1,n2 os autovetores comuns a H1 e H2. Escreva as relacoes de ortonormal-izacao e completeza para os estados|n1,n2.(c) Considere um sistema que, em t= 0, esta no estado:|(0)= 1

6

|0,0+

2|0,1 i

2|1,0+ i|1,1

O estado acima eemaranhado de duas partculas (explique porque)?Quais resultados podem ser obtidos, e com quais probabilidades (utilize os proje-tores), se neste instante de tempo medimos:- a energia total do sistema?

- a energia da partcula (1)?- a posicao ou o momento da partcula(1)?

2


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Sexta lista de Exerccios:

1. Momento angular total de duas partculas sem spin:Sejam os momentos angularesL1e L2os momentos angulares das partculas (1) e (2)que agem nos espacos de estadosEr1 eEr2 , cada uma delas satisfazendo as relacoesde comutacao de momento angular. Mostre que L = L1+ L2 tambem satisfaz asrelacoes de momento angular: [Lx, Ly] =iLz, [Ly, Lz] =iLx, [Lz, Lx] =iLy.

2. Demonstracao do Lema III:Seja

|k,j,m

um auto-estado dos operadores de momento angular J2 e Jz, com

auto-valoresj(j+ 1)e mrespectivamente.i) Demonstre para m= j que : J+|k,j,j= 0(dica: calcule a norma ao quadrado do vetor J+|k,j,j)ii) Mostre que, para m < j, o vetor J+|k,j,m e auto-vetor de J2 e Jz, com auto-valores j (j+ 1)e (m + 1)respectivamente. (dica: utilize a relacao de comutacao

de J2 e Jz com o operador J+.

3. (Cohen.VI.1) Considere um sistema de momento angular j = 1, cujo espaco de

estados e gerado pela base{|+ 1, |0, | 1} de tres autovetores comuns a J2(autovalor 22) eJz (respectivos autovalores m= +, 0, ). O estado do sistema

e:|=

| + 1 +

|0 +

| 1,onde , , sao tres parametros complexos dados.

(a) calcule o valor medio J do momento angular em termos de , , e .(b) De a expressao para os tres valores mediosJ2x,J2y eJ2z em termos dasmesmas quantidades.

4. Base padrao num espaco de estadosEr: Suponha que temos uma partcula semspin em 3 dimensoes cujo Hamiltoniano comuta com os operadores de momento an-gular orbital L2 e Lz, de tal modo que{H,L2, Lz} formam um C.C.O.C.. Suponhaque o espectro de H e discreto, de modo que podemos construir uma base de au-toestados comums a H,L2, Lz da forma:

{|n,l,m, n= 1, 2, 3, ..; l= 0, 1, 2, ..; m= 0, 1,.., l}, ondeH|n,l,m= En|n,l,m, L2|n,l,m= 2l(l+ 1)|n,l,m, Lz|n,l,m= m|n,l,m.(a) Escreva Erem termos dos subespacos E(l, m) com (l, m) fixos. Qual e a dimensaodestes subespacos? Quais quantidades fsicas permanecem fixos dentro destes sube-spacos?E(j, m) e invariante sob a acao dos operadores L?(b) EscrevaErem termos dos subespacosE(k, j) com (k, j) fixos. Qual e a dimensaodestes subespacos? Quais quantidades fsicas permanecem fixos dentro deste sube-spacos?E(k, j) e invariante sob a acao dos operadores L?(c) Calcule a normalizacao dos vetores L|n,l,m para m=l usando as pro-priedades gerais dos operadores de momento angular e demostre as expressoes:

L|n,l,m=

l(l+ 1) m(m 1)|n,l,m 15. (Cohen.VI.2)Considere um sistema fsico arbitrario cujo espaco de estados quadri-

dimensional e gerado por uma base de quatro autovetores comuns de J2 eJz :|j, m

1


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(j = 0 ou 1;

j

m

J) de autovalores j(j+ 1)2 e m, tais que:

J|j, m= j(j+ 1) m(m 1)|j, m 1,J+|j, j= J|j, j= 0.(a) expresse em termos dos kets|j, m, os autoestados comuns a J2 eJx, que devemser denotados por|j, mx.(b) Considere um sistema no estado normalizado:|={|j= 1, m= 1 +|j = 1, m= 0 +|j= 1, m=1 +

|j = 0, m= 0},(i) Qual e a probabilidade de encontrar 22 e se J2 eJx forem medidos simultane-amente?(ii) Calcule o valor medio de Jz quando o sistema esta no estado

|

, e as probabil-

idades dos varios possveis resultados de uma medida correspondente apenas a esteobservavel.(iii) As mesmas questoes para o observavel J2 e depois para Jx.(iv) J2z e agora medido: quais sao os possveis resultados e suas probabilidades?

6. (Cohen.VI.3) Seja L= R Po momento angular de um sistema cujo espaco deestado eEr. Mostre as relacoes de comutacao:[Li, Rj] =iijkRk, [Li, Pj] =iijkPk,

[Li, P2] = [Li,R2] = [Li,R P] = 0, onde i ,j, k =x, y ,znum sistema ortonormal eijk e definido por:

ijk

= 0, se dois (ou tres) ndices forem iguais,= 1, se i,j,k e uma permutacao par de x, y,z.=1, se i,j,k e uma permutacao mpar de x, y,z.

7. (Cohen.VI.5) Um sistema cujo espaco de estados eEr tem para sua funcao deonda:

(x,y ,z) =N(x+y+z)er2

2 ,

onde , que e real, e dado e N e uma normalizacao constante.(a1) Escreva a funcao de onda na forma separavel em coordenadas esfericas: (x,y ,z) =Nf(r)

g(, ). Normalize separadamente a parte radial e angular.

(a2) Os observaveisLz e L2 sao medidos. Quais sao as probabilidades de achar 0 e2? Lembre-se que: Y01(, ) =

34

cos e que toda informacao sobre o momento

angular esta na parte angular da funcao (r).

(b) Se tambem for usado o fato de que: Y11 (, ) =

38

sin ei,

e possvel predizer diretamente as probabilidades de todos os possveis resultadosdas medidas de L2 e Lz no sistema com funcao de onda (x,y ,z)?

8. (Cohen.VI.6) Considere um sistema com momento angular l = 1. Uma base doseu espaco de estados e formado pelos tres autovetores de Lz:{| + 1, |0, | 1},cujos autovalores sao respectivamente, , 0, e , que satisfazem:L | | L | L |

Notas de Mecanica Quantica

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