Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso...
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FiltrosDigitais
tipoFIR
1
Pro
cessamento
DigitaldeSinais
NotasdeAula
FiltrosDigitais
TipoFIR
RicardoTok
ioHiguti
Departamento
deEngenharia
Eletrica-FEIS
-Unesp
Observacao:Estas
notas
deau
laestaobaseadas
nolivro:“D
iscrete-Tim
eSignal
Processing”,
A.V
.Oppen
heim
andR.W
.Schafer,Prentice
Hall,1989/1999.
FiltrosDigitais
tipoFIR
2
FiltrosDigitais
TipoFIR
•Resposta
aoim
pulsocom
duracaofinita
•Funcaodetran
sferencia
H(z)=
MX n=0
b nz−
n
•Im
plementacaodeform
anao-recursiva
•Metodos
deprojeto
–Jan
elam
ento
–Amostragem
emfrequencia
–Metodos
otim
os
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FiltrosDigitais
tipoFIR
3
Meto
dodoJanelamento
Sejaum
filtro
passa-baixas
idealcom
fase
linear:
Hd(e
jω)=
e−jω
nd,|ω|≤
ωc
0,ωc<
|ω|≤
π
Acorrespon
dente
resposta
impulsivaideale:
hd[n]=
sinωc(n−
nd)
π(n
−nd)
−∞
<n<
∞
Nota-se
quearesposta
impulsivatem
dura
caoinfinitaeenao-causal.
Umasolucaoparaisso
etruncararesposta
impulsiva,
toman
doN
=
M+1am
ostras
(M=
2nd):
h[n]=
hd[n],
0≤
n≤
M=
2nd=
N−1
0,caso
contrario
oqueequivaleamultiplicararesposta
impulsivaidealhd[n]por
umajanela
deduracaofinitaw[n]:
h[n]=
hd[n]·w[n]
ondenocaso
deum
simplestruncamento,w[n]eumajanelaretangu
lar:
w[n]=
1,0≤
n≤
M=
N−
10,
caso
contrario
FiltrosDigitais
tipoFIR
4
Resp
ostaim
pulsiva-filtro
passa-b
aixasideal
hd[n]=
sinωc(n−
nd)
π(n
−nd)
,−∞
<n<
∞
Truncando-se
aresposta
impulsivaidealpara0≤
n≤
M=
2nd,fica-se
com:
−10
−5
05
10
15
−0.20
0.2
0.4
0.6 −10
−5
05
10
15
−0.20
0.2
0.4
0.6
M=
5(F
IRtipoII)
M=
6(F
IRtipoI)
n
Exercıcio
Calcule
asrespostasim
pulsivas
ideais
detodos
ostipos
defiltrosideais
com
fase
linear:
passa-baixas,passa-altas,passa-faixaerejeita-faixa,
e
determinequetipos
defiltrosFIR
com
fase
linearpodem
ser(I,II,IIIou
IV).
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FiltrosDigitais
tipoFIR
5
Meto
dodoJanelamento
Sejaaresposta
impulsivadeum
filtro
idealhd[n].
Deseja-se
aproxim
a-la
por
umaresposta
deduracaofinita
h[n]=
0,para
n<
0e
n>
M
Paraaap
roxim
acao,serabuscad
aasolucaoqueminim
izaoerro
quad
ratico:
E2=
∞X
n=−∞|h
d[n]−
h[n]|2
Com
oaresposta
final
tem
duracaofinita,
pode-se
separar
asomatoria
emtres
term
os:
E2=
−1
X
n=−∞|h
d[n]|2+
MX n=0
|hd[n]−
h[n]|2+
∞X
n=M
+1
|hd[n]|2
Com
ohd[n]esta
fixo,
aminim
izacao
deE
2consisteem
minim
izar
a
somatoria
domeio,
cujo
valormınim
oezero
quan
doh[n]=
hd[n].
Portanto,otruncamento
daresposta
idealcom
umajanelaretangu
lar
resultanomınim
oerro
quad
ratico
daap
roxim
acao.Noentanto,em
geral
otruncamento
com
ajanelaretangu
larnao
eamelhor
escolhanoprojeto
defiltros.
FiltrosDigitais
tipoFIR
6
Meto
dodoJanelamento
Oefeito
dojanelam
ento
emaisevidente
nodom
ınio
dafrequencia,
noqual
tem-seaconvolucaoperiodicaentrearesposta
emfreq.idealeoespectro
dajanela:
H(e
jω)=
1 2π
Z
π −πH
d(e
jθ)W
(ej(ω−θ))dθ
Dessa
form
a,aescolhadajanelaw[n]vaiinfluenciar
aresposta
emfreq.
dofiltro
obtidoepor
isso
existem
diversostipos
dejanelas
dispon
ıveis,
alem
daretangu
lar.
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FiltrosDigitais
tipoFIR
7
EfeitodoJanelamento
FiltrosDigitais
tipoFIR
8
EfeitodoJanelamento
•Osmax
imos
desviosnas
faixas
depassagem
erejeicao
saoproduzidos
pelos
lobuloslaterais.Portanto,os
desviosefetivam
ente
obtidos
no
filtro
final
seraoiguais,poisforam
produzidos
pelos
mesmos
lobulos.
•A
largura
dafaixadetran
sicaoediretam
ente
proporcion
alalargura
dolobulo
principal.
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FiltrosDigitais
tipoFIR
9
EfeitodoJanelamento
Havariostipos
dejanelas
quepodem
serusadas.Cad
aumapossuidifer-
entescaracterısticasde:
•Form
a:relacion
adacom
alargura
dolobulo
principal
eonıvel
de
lobulo
lateral;
•Comprimento:relacion
adacom
alargura
dolobulo
principal.
FiltrosDigitais
tipoFIR
10
Janelas
Existem
diversasjanelas,com
diferentescaracterısticasdeform
atonodom
ınio
dotempo,
queacab
ampor
influenciar
noseuespectro.
Osparam
etros
principaissaorelacion
ados,noespectrodajanela,
a:
•Form
a:relacion
adacom
alargura
dolobulo
principal
eonıvel
de
lobulo
lateral;
•Comprimento:relacion
adacom
alargura
dolobulo
principal.
lóbulo
principal
lóbulos
laterais
nível de
lóbulo
lateral
largura do
lóbulo principal
formato
comprimento
0w[n]
Mn
DTFT
N=
M+1
W(e
jω)
ω−π
π
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FiltrosDigitais
tipoFIR
11
Janelas(comprimento
N=
16(M
=15))
05
10
15
0
0.2
0.4
0.6
0.81
reta
ng
ula
r
Ham
min
g
Han
nin
g
Bla
ckm
an
n
Jan
elas
com
N=
16(M
=15)
-10
1-8
0
-60
-40
-200
dB
Reta
ngu
lar
-10
1-8
0
-60
-40
-200
Ham
min
g
-10
1-8
0
-60
-40
-200
dB
Han
nin
g
-10
1-8
0
-60
-40
-200
Bla
ck
man
ω/π
ω/π
−→
Aose
modificaroform
ato
dajanela,
tanto
alarg
ura
dolobulo
principalcomoonıveldoslobuloslatera
issaomodificados.
FiltrosDigitais
tipoFIR
12
Janela
deKaiser
Fam
ılia
dejanelas
param
etrizadapor
um
fatordeform
aβ.
05
10
15
0
0.2
0.4
0.6
0.81
n
β=
0
β=
3
β=
6
Jan
elas
deKaisercom
N=
16
-1-0
.50
0.5
1-8
0
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-100
dB
ω/π
β=
0
β=
3
β=
6
Espectros
dejanelas
deKaisercom
N=
16
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FiltrosDigitais
tipoFIR
13
Janela
deKaiser
Mudan
do-se
ocomprimento
dajanelaeman
tendo-se
ofatordeform
aβ.
-1-0
.50
0.5
1-8
0
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-100
dB
ω/π
N=
8
N=
16
N=
32
Espectros
dejanelas
deKaisercom
β=
6
−→
Mudan
do-se
oco
mprimento
dajanela
eman
tendo-se
oseufor-
mato,
altera-sealarg
ura
doslobulos(principal
elaterais)eodeca
i-
mento
doslobuloslatera
isem
funcaodafrequencia,
mas
onıveldo
primeirolobulo
latera
lperm
anece
omesm
o.
FiltrosDigitais
tipoFIR
14
TiposdeJanelas
Algunstipos
dejanelas
w[n]para0≤
n≤
M=
N−
1:
•Retangular:
w[n]=
1
•Bartlett
(triangular):
1−2|n−
M/2|/M
•Black
man:
0.42
−0.5cos(2π
n/M
)+0.08
cos(4π
n/M
)
•Hamming:
0.54
−0.46
cos(2π
n/M
)
•Hanning:
0.5−
0.5cos(2π
n/M
)
•Kaiser:
I 0[β(1
−[(n−
M/2)/(M
/2)]2)1
/2]
I 0(β)
,β≥
0
I 0(.)-funcaodeBesselmodificadadoprimeiro
tipoedeordem
zero
•Lancz
os:
sin[2π(n
−M/2)/M
]
2π(n
−M/2)/M
L
,L>
0
•Tukey:
1,|n
−M/2|<
αM/2
0.5+0.5cos�
n−(1+α)M
/2
(1−α)M
/2
�
,αM/2
≤|n
−M/2|≤
M/2
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FiltrosDigitais
tipoFIR
15
EfeitodoJanelamento
Resp
ostaim
pulsiva-filtro
passa-baixasideal
02
46
810
12
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
reta
ng
ula
r
n
02
46
810
12
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Ha
mm
ing
n
•Notar
asimetriadas
janelas
-man
utencaodafase
linear.
FiltrosDigitais
tipoFIR
16
EfeitodoJanelamento
-Frequencia
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
Janela retangular
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
N=
3N
=15
N=
31N
=61
ω/π
ω/π
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
Janela de Hamming
00.5
10
0.2
0.4
0.6
0.81
N=
3N
=15
N=
31N
=61
ω/π
ω/π
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FiltrosDigitais
tipoFIR
17
Cara
cterısticasdeJanelas
Caracterısticas
defiltros(passa-baixas,passa-altas,passa-faixa,
rejeita-
faixa)
projetados
com
janelas
decomprimento
N=
M+1
Janela
Δω/2π
Rp[dB]
Rs[dB]
LL
[dB]
δRetan
gular
0.9/N
0.7416
2113
0.089137
Han
ning
3.1/N
0.0546
4431
0.006306
Ham
ming
3.3/N
0.0194
5341
0.002236
Blackman
5.5/N
0.0017
7457
0.000196
Kaiser(β
=4.54)
2.93/N
0.0274
5034
0.003156
Kaiser(β
=6.76)
4.32/N
0.0027
7049
0.000316
Kaiser(β
=8.96)
5.71/N
0.000274
9066
0.000031
•Δω=
|ωs−
ωp|:largura
dafaixadetran
sicao
•R
p:max
imoripple
nafaixadepassagem
•R
s:m
ınim
aatenuacao
nafaixaderejeicao
•LL:relacaoentreas
magnitudes
dolobulo
principaledolobulo
lateral
•δeodesvio
efetivam
ente
obtidoquan
dose
utiliza
determinad
ajanela
•Notar
queδ=
δ p−ef
etivo=
δ s−ef
etivo
FiltrosDigitais
tipoFIR
18
Janela
deKaiser
•Jan
elas
com
form
atofixo:
apresentam
um
valorfixodenıveldelobulo
lateral,queindep
endedocomprimento
-oresultad
opodenao
sero
melhor
(menor
ordem
).
•AjaneladeKaiserenaverdad
eum
conjunto
dejanelas
param
etrizadas
por
β,cham
adodefatorde
form
a.
Dessa
man
eira,β
esta
rela-
cion
adocom
onıvel
delobulo
lateraldajanela.
Pro
cedim
ento
depro
jeto:
1.Determinar
alargura
detran
sicao:
Δω=
|ωs−
ωp|
2.Calcular:
A=
−20
log 1
0min{δ p,δ
s}
3.Determinar
ofatorβ:
β=
0,A
<21
0.5842(A
−21)0
.4+0.07886(A−21),
21≤
A≤
500.1102(A
−8.7),
A>
50
4.Calcularovalorap
roxim
adodeM
:
M=
A−
8
2.285Δ
ω
noqual
pode-se
terumavariacao
paramaisou
paramenos.
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FiltrosDigitais
tipoFIR
19
Meto
dodojanelamento
Escolhadajanela:
1.Escolher
otipodajaneladeacordocom
osmax
imos
desviosnas
faixas
depassagem
erejeicao;
2.Determinar
oco
mprimento
dajaneladeacordocom
alargura
da
faixadetran
sicao.
Pro
cedim
ento
depro
jeto:
1.A
partirdas
especificacoes,determinar
aresposta
emfreq.ideal,ja
incorporan
dooterm
ocom
fase
linear(em
gerale−
jωM
/2);
2.Calculararesposta
impulsivaidealhd[n];
3.Determinar
otipo/form
atoeocomprimento
(M+
1)dajanelaw[n]
queatendeas
especificacoes;
4.Obteraresposta
dofiltro:h[n]=
hd[n]·w[n];
5.Verificarse
ofiltro
atendeas
especificacoes.Senecessario,
voltar
ao
passo
3.
FiltrosDigitais
tipoFIR
20
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas
Esp
ecificacoes
•faixadepassagem:0a1.5kHz
•largura
detran
sicao:
0.5kHz
•freq.derejeicao:2.0kHz
•Max
imoRipple
nafaixadepassagem:0.1dB
•Mınim
aatenuacao
nafaixaderejeicao:50
dB
•Freq.am
ostragem
:8kHz
Tra
nsform
andopara
freq.discretasω=
2πf/f
s:
•faixadepassagem:0aωp=
3π/8
•largura
detran
sicao:
Δω=
π/8
•freq.derejeicao:ωs=
π/2
•Max
imoRipple
nafaixadepassagem:R
p=
0.1dB
(δp=
0.0116)
•Mınim
aatenuacao
nafaixaderejeicao:R
s=
50dB
(δs=
0.0032)
•Freq.am
ostragem
:8kHz
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FiltrosDigitais
tipoFIR
21
Solucao
1.A
partirdas
especificacoes,determina-se
aresposta
emfrequenciado
filtro
passa-baixas
ideal/desejad
oH
d(e
jω)com
fase
linear,
noqual
aordem
Maindaedesconhecidaeωc=
(ωp+
ω2)/2=
0.4375π
ea
frequenciadecorte.
Con
sidera-se
um
term
odefase
linar
e−jω
M 2.
Hd(e
jω)=
e−jω
M 2,|ω|≤
ωc
0,ωc<
|ω|≤
π
2.Determina-se
aexpressao
daresposta
impulsivadofiltro
ideal/desejad
o:
hd[n]=
sinωc(n−
M/2)
π(n
−M/2)
3.A
partirdomınim
odesvio
(0,0032),oqueequivaleaumaatenuacao
de50
dB,escolhe-se
natabelaumajanelaquesatisfaz
aessa
condicao:
Ham
ming,
Blackman
,Kaiser,etc.
Escolhe-se
aqueresultaem
menor
ordem
,nocaso
ajaneladeHam
ming;
4.Determina-se
ocomprimento
dajanela,
neste
caso
N=
3.3/(Δ
ω/2π),
naqual
alargura
detran
sicaonormalizad
ae:
Δω
2π=
|ωs−
ωp|
2π=
1 16
Oqueresultaem
N=
52.8.
Com
oN
deveserinteiro,
utiliza-se
N=
53,oqueequivaleaM
=52,ou
seja,trata-se
deum
filtro
FIR
tipoI,poisaresposta
esimetrica.
5.Deposse
dos
valoresnumericos
deM
eωc,calculam-seos
valoresde
hd[n]para0≤
n≤
M=
52;
6.Calcula-seajanelaw[n],decomprimento
53:
w[n]=
0.54
−0.46
cos(2π
n/M
),0≤
n≤
M=
52
7.Realiza-seojanelam
ento
daresposta
ideal/desejad
a,ob
tendo-se
ofil-
tropratico:
h[n]=
hd[n]·w[n]
FiltrosDigitais
tipoFIR
22
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas-janela
deHamming
010
20
30
40
50
60
−0.20
0.2
0.4
0.6
resp
osta
id
ea
l h
d[n
]
amplitude
010
20
30
40
50
60
−0.20
0.2
0.4
0.6
resp
osta
ob
tid
a h
[n]=
hd
[n].
w[n
]. J
an
ela
de
Ha
mm
ing
N=
53
am
ostr
a n
amplitude
![Page 12: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/12.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
23
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas-janela
deHamming
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
80
−60
−40
−200
Re
sp
osta
em
fre
qu
en
cia
dB
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
50
−40
−30
−20
−100
Re
sp
osta
de
Fa
se
rad
ω/π
00.0
50.1
0.1
50.2
0.2
50.3
0.3
5
0.9
981
1.0
02
Fa
ixa
de
Pa
ssa
ge
m −
Ha
mm
ing
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
10123
x 1
0−
3F
aix
a d
e R
eje
içã
o
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
24
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas-janela
deKaiser
•A
=50
•β=
0.1102(A
−8.7)
=4.55
•N
>(A
−8)/(2.285Δ
ω)=
47.9
⇒N
=48,M
=47
•NoMATLAB:w=kaiser(N,beta);
010
20
30
40
50
−0.20
0.2
0.4
0.6
resp
osta
id
ea
l h
d[n
]
amplitude
010
20
30
40
50
−0.20
0.2
0.4
0.6
resp
osta
ob
tid
a h
[n]=
hd
[n].
k[n
]. J
an
ela
de
Ka
ise
r N
=4
8
am
ostr
a n
amplitude
![Page 13: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/13.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
25
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas-janela
deKaiser
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
80
−60
−40
−200
Re
sp
osta
em
fre
qu
en
cia
dB
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
40
−30
−20
−100
Re
sp
osta
de
Fa
se
rad
ω/π
00.0
50.1
0.1
50.2
0.2
50.3
0.3
5
0.9
981
1.0
02
Fa
ixa
de
Pa
ssa
ge
m −
Ka
ise
r
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
10123
x 1
0−
3F
aix
a d
e R
eje
içã
o
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
26
Exemplo
-FIR
Janelamento
Sejaum
diferenciad
orcom
fase
linear:
Hdif(e
jω)=
(jω)e
−jω
M/2,
−π<
ω<
π
Acorrespon
dente
resposta
impulsivaidealedad
apor:
hdif[n]=
cosπ(n
−M/2)
n−M/2
−sinπ(n
−M/2)
π(n
−M/2)2
,−∞
<n<
∞
Paraob
terum
filtro
FIR
,multiplica-searesposta
idealpor
umajanela
w[n],decomprimento
N=
M+1:
h[n]=
hdif·w[n]
•A
resposta
impulsivaob
edeceah[M
−n]=
−h[n]
•Filtros
FIR
tipos
IIIou
IV
![Page 14: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/14.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
27
Resp
ostapara
M=5,janela
retangular
01
23
45
−1.5−1
−0.50
0.51
1.5
Difere
ncia
dor,
resposta
im
puls
iva, M
=5, ja
nela
reta
ngula
r
am
ostr
a
00.2
0.4
0.6
0.8
10
0.51
1.52
2.53
3.5
Difere
ncia
dor,
resposta
em
fre
q, M
=5, ja
nela
reta
ngula
r
Magnitude
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
28
Resp
ostapara
M=5,janela
retangular
05
10
15
20
25
30
35
40
0
0.2
0.4
0.6
0.81
entrada
Difere
ncia
dor,
M=
5, re
tangula
r
05
10
15
20
25
30
35
40
−2
−1012
am
ostr
a
saída
05
10
15
20
25
30
35
40
05
10
15
20
Difere
ncia
dor,
M=
5, re
tangula
r
entrada
05
10
15
20
25
30
35
40
−4
−2024
am
ostr
a
saída
![Page 15: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/15.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
29
Resp
ostapara
M=5,janela
deHamming
01
23
45
−1.5−1
−0.50
0.51
1.5
am
ostr
a
Difere
ncia
dor,
resposta
im
puls
iva, M
=5
00.2
0.4
0.6
0.8
10
0.51
1.52
2.53
3.5
Difere
ncia
dor,
resposta
em
fre
q., M
=5
Magnitude
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
30
Resp
ostapara
M=5,janela
deHamming
05
10
15
20
25
30
35
40
0
0.2
0.4
0.6
0.81
Entrada
Difere
ncia
dor,
M=
5
05
10
15
20
25
30
35
40
−2
−1012
Saída
am
ostr
a
05
10
15
20
25
30
35
40
05
10
15
20
Entrada
Difere
ncia
dor,
M=
5
05
10
15
20
25
30
35
40
−4
−2024
Saída
am
ostr
a
![Page 16: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/16.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
31
Resp
ostapara
M=6,janela
deHamming
01
23
45
6−
0.8
−0.6
−0.4
−0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
am
ostr
a
Difere
ncia
dor,
resposta
im
puls
iva, M
=6
00.2
0.4
0.6
0.8
10
0.51
1.52
2.53
3.5
Difere
ncia
dor,
resposta
em
fre
q., M
=6
Magnitude
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
32
Resp
ostapara
M=6,janela
deHamming
05
10
15
20
25
30
35
40
0
0.2
0.4
0.6
0.81
Entrada
Difere
ncia
dor,
M=
6
05
10
15
20
25
30
35
40
−1
−0.50
0.51
Saída
am
ostr
a
05
10
15
20
25
30
35
40
05
10
15
20
Entrada
Difere
ncia
dor,
M=
6
05
10
15
20
25
30
35
40
−4
−2024
Saída
am
ostr
a
![Page 17: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/17.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
33
Amostra
gem
em
Frequencia
Con
sisteem
amostrar
aresposta
emfrequenciaidealou
desejad
aecalcular
aDFT
inversa.
Sejaumaresposta
desejad
a:
Hd(e
jω)=
|Hd(e
jω)|ej
6H
d(e
jω)
Amostran
doH
d(e
jω)em
Lpon
tosequiespacad
osentreω
=0e2π
,
tem-se:
H[k]=
Hd(e
jω)|ω=2πk/L,
k=0..L−1
ApartirdeH[k]calcula-seaDFT
inversa,
obtendo-se
aresposta
im-
pulsiva.
Dateoria
daDFT,sabe-se
quearesposta
notemposera
composta
por
um
perıododosinal:
h[n]=
∞X
r=−∞hd[n
−rL
]
h[n]=
h[n],
n=
0..L
−1
Assim
,podehaver
aliasingnotempo,
caso
aresposta
impulsivadesejad
a
nao
tenhaduracaomenor
ouigual
aL,queeocaso
geral.Um
janelam
ento
tambem
podeserutilizadoparareduziresse
problema.
FiltrosDigitais
tipoFIR
34
Exemplo
-FIR
Amostra
gem
em
Frequencia
Con
sidereum
filtro
passa-baixas
com
assegu
intesespecificacoes
emrelacao
asfrequencias
decorte:
ωp=
0.4π
ωs=
0.5π
Usandoatecnicadeam
ostragem
emfrequencia,
aresposta
demagni-
tudeam
ostrad
afica
comoindicad
aasegu
ir,com
L=
32am
ostras
entre0
e2π
−2π
/L:
00.5
11.5
20
0.2
0.4
0.6
0.81
1.2
Resposta
deseja
da
ω/π
Dos
valoresdeH
d[k],incorpora-se
umafase
linearecalcula-seaDFT
inversa,
obtendo-se
aresposta
impulsivah[n].
Estaresposta
podeainda
sermultiplicadapor
umajaneladeHan
ning,
por
exem
plo.
Osgrafi
cos
segu
intesmostram
asrespostasim
pulsivas
eas
magnitudes:
![Page 18: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/18.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
35
05
10
15
20
25
30
−0.20
0.2
0.4
Am
ostr
agem
em
Fre
q. −
Reta
ngula
r
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
80
−60
−40
−200
ω/π
05
10
15
20
25
30
−0.20
0.2
0.4
Am
ostr
agem
em
Fre
q. −
Hannin
g
00.2
0.4
0.6
0.8
1−
80
−60
−40
−200
ω/π
FiltrosDigitais
tipoFIR
36
Meto
dosOtimos
Con
sistedaap
roxim
acao
daresposta
emfrequenciadesejad
aem
term
osdoerro
quad
ratico
oudoerro
absoluto.
Sejaum
filtro
FIR
tipoI(resp.im
p.simetrica,M
par):
H(e
jω)=
MX n=0
h[n]e
−jω
n=
A(ω
)e−jω
M/2
e
A(ω
)=
M/2
X n=0
d[n]cos(ω
n)
emqued[0]=
h[M
/2];
d[k]=
2h[(M/2)−
k],
k=
1..M
/2
Supon
haquesejam
dad
asas
especificacoes
deum
filtro
por
meiode
umaresposta
desejad
a:
Hd(e
jω)=
D(ω
)e−jω
M/2
naqual
D(ω
)representa
aresposta
deam
plitudedesejad
a.
•Problema:
determinar
oscoeficientesd[n]quemelhor
aproxim
ema
resposta
desejad
a.
EscolhendoL
pon
tosdaresposta
desejad
a,nas
freq.ωi,i=
0..L
−1,
procura-seomelhor
A(ω
i)queap
roxim
aD(ω
i)segu
ndoum
criteriodeerro.
![Page 19: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/19.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
37
Meto
dosOtimos
•Aproxim
acao
pela
minim
izacao
do
erro
quadra
tico
:Deve-se
procuraros
coeficientesd[n]queminim
izem
oerro
dad
opor:
E=
LX i=
1
e2 i=
LX i=
1[A(ω
i)−
D(ω
i)]2
Oresultad
oedad
opelasolucaodemınim
osquad
rados
discretos
(ref:
Proak
is)
•Aproxim
acaopela
minim
izacaodoerroabso
luto:Procuram-se
oscoeficientestalque,
definindooerro:
E(ω
)=
A(ω
)−
D(ω
)
tenha-se
min{max
|E(ω
)|}
consideran
doos
errosnas
faixas
depassagem
erejeicao,nas
freq.
ωiescolhidas.
Asolucaoedad
apeloalgoritm
odeRem
ez(P
arks-
McC
lellan
).
FiltrosDigitais
tipoFIR
38
FiltrosOtimos-M
inim
ax
Con
sidereum
filtro
FIR
tipoI(sim
etrico,M
par),
cuja
resposta
erepre-
sentadapor:
H(e
jω)=
A(ω
)e−jω
L
naqual
A(ω
)=
LX n=0
d[n]cos(nω)
eha(L
+1)
param
etrosadeterminar.
Con
sidereagoraumaresposta
desejad
a
Hd(e
jω)=
D(ω
)e−jω
L
Nocaso
deum
filtro
passa-baixas,D(ω
)ficaria:
D(ω
)=
1,ω∈[0,ω
p](faixadepassagem)
0,ω∈[ω
s,π
](faixaderejeicao)
Definindoafuncaopeso:
W(ω
)=
δ s/δ
p,ω∈[0,ω
p]
1,ω∈[ω
s,π
]
naqual
δ peδ s
saoconstan
tesrelacion
adas
aosdesviosnas
faixas
depas-
sagem
erejeicao.O
erro
normalizad
ofica:
E(ω
)=
W(ω
)[A(ω
)−D(ω
)]
AfuncaopesoW
(ω)serveparanormalizar
oserrosnas
faixas
depassagem
erejeicao,quepodem
terdesviosdiferentes.
Oproblemaconsisteem
determinar
oscoeficientesd[n]queminim
izem
omax
imoerro
absoluto
|E(ω
)|quan
doωestivernas
faixas
depassagem
erejeicao.
![Page 20: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/20.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
39
Solucaodaaproxim
acao
Asolucaoedad
apeloTeoremadaAlternan
cia:
Teorema
da
Altern
ancia:SejaΩ
um
subconjunto
deω
em[0,π
],
comopor
exem
plo
auniaodos
conjuntos[0,ω
p]e[ω
s,π
].EntaoA(ω
)ea
unicaemelhorap
roxim
acao
deD(ω
)(nosentidodeminim
izar
omax
imo
erro
absoluto)se
esomente
seafuncaoerro
E(ω
)eequiripple
etem
pelo
menos
L+2frequencias
ondeaderivad
aezero
(frequencias
extrem
antes).
Em
outras
palavras,existem,noconjunto
Ω,frequencias
extrem
antes
0≤
ω1<
ω2...<
ωL+2≤
π
queincluem
ωpeωs,talque:
E(ω
i)=
−E(ω
i+1)=
±|E
m|,
i=
1,2,...,
L+1
noqual
|Em|=
max
{ω∈Ω}|E
(ω)|
Umaresposta
queob
edeceao
teorem
adaalternan
cia,
paraL=
7,e:
FiltrosDigitais
tipoFIR
40
Possıveis
aproxim
acoespara
L=7
![Page 21: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/21.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
41
Algoritm
ode
Park
s-M
cClellan
ou
Algoritm
ode
Re-
mez
Oob
jetivo
doproblemaedeterminar
amelhor
aproxim
acao
nas
frequencias
ωi,talque:
W(ω
i)[A
(ωi)−
D(ω
i)]=
(−1)
i+1δ,
i=
1,2,...,
(L+2)
ou LX n=0
d[n]cos(nωi)−
(−1)
i+1
δ
W(ω
i)=
D(ω
i),
i=
1,2,...,
(L+2)
Asolucaoedad
apelamelhor
aproxim
acao
polinom
ialqueob
edecaao
teorem
adaalternan
cia,
com
assegu
intescondicoes:
•O
numeromax
imodealternan
cias
e(L
+3);
•Alternan
cias
sempre
ocorrem
emωpeωs;
•O
filtro
sera
equiripple,exceto
epossivelm
ente
emω=
0eω=
π.
ParkseMcC
lellan
mostraram
queosegu
inte
algoritm
oresolveoprob-
lema:
FiltrosDigitais
tipoFIR
42
Algoritm
ode
Park
s-M
cClellan
ou
Algoritm
ode
Re-
mez
Pri
mei
ra�es
tim
ativ
a�das
(L+
2)�f
req.�e
xtr
eman
tes
Cal
cula
�oóti
mo�no
conju
nto
�
�i
Há�m
ais�d
e�(L
+2)
freq
.�extr
eman
tes�?
Inte
rpola
�pel
os�(
L+
1)
ponto
s�par
a�obte
r�A(e
)j�
Mel
hor
apro
xim
ação
Conse
rva�(
L+
2)�f
req.
refe
rente
s�aos�m
áxim
os
extr
emos
Cal
cula
�o�er
ro�E
()�e
enco
ntr
a�o�m
áxim
o,
onde�|
E(
)|>
=
�
��
As�f
req.
extr
eman
tes�s
em
odif
icar
am?
Sim
Sim
Não
Não
![Page 22: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/22.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
43
Algoritm
ode
Park
s-M
cClellan
ou
Algoritm
ode
Re-
mez
Estim
ativadoco
mprimento
dofiltro
Umaap
roxim
acao
paraovalordeM
paraum
filtro
passa-baixas
com
aproxim
acao
pelometodootim
ofoidad
apor
Kaiser(1974):
M=
−10
log 1
0(δ
1δ 2)−
13
2.324Δ
ω
FiltrosDigitais
tipoFIR
44
Exemplo:Algoritm
odeRemez
Deseja-se
aproxim
arafuncaod(x)=
x4+
xpor
umafuncaodosegu
ndo
grau
:a(x)=
a0+a1x+a2x2nointervalo[0,1]usandoatecnicadamini-
mizacao
doerro
max
imoab
soluto.
Solucao:
Com
oopolinom
iodosegu
ndograu
tem
L=
2,hapelomenos
L+
2=
4frequencias
extrem
antes.
Con
sideran
doaprimeira
estimativa,
incluindoos
extrem
os,como: X1=
{0,0.3,
0.5,
1}
Deve-se
buscar
asolucaoparaaap
roxim
acao:
W(x
i)[a(x
i)−d(x
i)]=
(−1)
i+1δ,
i=
1,2,
3,4.
ou,consideran
doafuncaopesoigual
a1:
a(x
i)−
(−1)
i+1δ=
d(x
i),
i=
1,2,
3,4.
a0+a1xi+a2x2 i−(−
1)i+
1δ=
d(x
i),
i=
1,2,
3,4.
Naprimeira
iteracao,tem-seosistem
a:
10
021
10.3
0.32
−1
10.5
0.52
1
11
12−1
a0
a1
a2 δ
=
00.34
+0.3
0.54
+0.5
14+1
=
00.3081
0.5625
2
Cuja
solucaoe:
a0
a1
a2 δ
=
0.0337
0.3175
1.6150
0.0337
![Page 23: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/23.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
45
Calculandoagoraafuncaoerro:e(x)=
a(x)−
d(x),
tem-seografi
co
segu
inte,deon
detira-sequeas
frequencias
extrem
anteseos
respectivos
errossao:
X2=
{0,0.23,0.76,1}
e(X
2)=
{0.0337,
−0.0405,0.1142,−0.0337}
00
.20
.40
.60
.81
−0
.06
−0
.04
−0
.020
0.0
2
0.0
4
0.0
6
0.0
8
0.1
0.1
2P
rim
eira
ite
raçã
o
x
e(x)
Com
ooresultad
odoerro
nao
eequiripple,utilizandoX
2,repete-se
o
procedim
ento,consegu
indoosegu
inte
resultad
o:
a0
a1
a2 δ
=
0.0619
0.0546
1.8214
−0.0619
FiltrosDigitais
tipoFIR
46
Anovafuncaoerro
eas
frequencias
extrem
antessaodad
aspor:
X3=
{0,0.28,0.78,1}
e(X
3)=
{0.0619,
−0.0661,0.0626,−0.0619}
00
.20
.40
.60
.81
−0
.08
−0
.06
−0
.04
−0
.020
0.0
2
0.0
4
0.0
6
0.0
8S
eg
un
da
ite
raçã
o
x
e(x)
Rep
etindonovam
ente:
a0
a1
a2 δ
=
0.0634
0.0615
1.8116
−0.0634
X4=
{0,0.28,0.78,1}
e(X
3)=
{0.0634,
−0.0634,0.0634,−0.0634}
![Page 24: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/24.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
47
00
.20
.40
.60
.81
−0
.08
−0
.06
−0
.04
−0
.020
0.0
2
0.0
4
0.0
6
0.0
8T
erc
eira
ite
raçã
o
x
e(x)
Noqual
nota-se
queoerro
eequiripple
efinalizam
-seaq
uias
iteracoes.
Osgrafi
cosdafuncaod(x)=
x4+xedafuncaoa(x)sao:
00
.20
.40
.60
.81
0
0.2
0.4
0.6
0.81
1.2
1.4
1.6
1.82
x
Ap
roxim
açã
o −
alg
oritm
o d
e R
em
ez
x4+
x
0.0
63
44
8 +
0.0
61
50
4 x
+ 1
.81
16
x2
FiltrosDigitais
tipoFIR
48
Exemplo:FiltroPassa-B
aixas-Algoritm
odeRemez
•N
=44,M
=43
05
10
15
20
25
30
35
40
45
−0
.20
0.2
0.4
0.6
resp
osta
ob
tid
a h
[n].
Alg
oritm
o d
e R
em
ez N
=4
4
am
ostr
a n
amplitude
00
.20
.40
.60
.81
−8
0
−6
0
−4
0
−2
00
Re
sp
osta
em
fre
qu
en
cia
dB
00
.20
.40
.60
.81
−4
0
−3
0
−2
0
−1
00R
esp
osta
de
Fa
se
rad
ω/π
00
.05
0.1
0.1
50
.20
.25
0.3
0.3
5
0.9
981
1.0
02
Fa
ixa
de
Pa
ssa
ge
m −
Re
me
z
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
10123
x 1
0−
3F
aix
a d
e R
eje
içã
o
ω/π
![Page 25: Notas de Aula · n], 0 ≤ n ≤ M = 2 n d = N − 1 0, ... 1, 0 ≤ n ≤ M = N − 1 0, caso contrario Filtros Digitais tipo FIR 4 Resposta impulsiva - ... somat´oria do meio,](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022022718/5c5b9d7609d3f236368c090b/html5/thumbnails/25.jpg)
FiltrosDigitais
tipoFIR
49
Algunsco
mandosnoM
ATLAB
-FiltrosFIR
•Jan
elas:
–hamming
–hanning
–kaiser
–blackman
–bartlett
–chebwin
–boxcar
•Projeto
–kaiserord
–fir1
–fir2
–remezord,pmord
–remez,pm
•Analise
–filter
–freqz