NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMONotas de aula de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves...
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Notas de aula de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves Pereira
NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
Prof. Dr. Helder Alves PereiraMarço, 2019
Notas de aula de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves Pereira
- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -
1. Estágio I: Campos eletrostáticos.
2. Estágio II: Campos elétricos em meio material.
3. Estágio III: Problemas de valor de fronteira em eletrostática.
4. Estágio IV: Campos magnetostáticos.
5. Estágio V: Forças, materiais e dispositivos magnéticos.
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- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -
1. Estágio I: Campos eletrostáticos.
2. Estágio II: Campos elétricos em meio material.
3. Estágio III: Problemas de valor de fronteira em eletrostática.
4. Estágio IV: Campos magnetostáticos.
5. Estágio V: Forças, materiais e dispositivos magnéticos.
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FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS
- TÓPICOS DAS AULAS -
1. Forças devido aos campos magnéticos.
2. Torque e momento magnéticos.
3. Dipolo magnético.
4. Magnetização em materiais.
5. Classificação dos materiais magnéticos.
6. Condições de fronteira magnéticas.
7. Indutores e indutâncias.
8. Energia magnética.
9. Circuitos magnéticos.
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Forças devido aos campos magnéticos
• Há pelo menos três maneiras da força provocada por camposmagnéticos se manifestar:
1. Movimento de partículas carregadas submetidas a umcampo magnético externo.
2. Presença de um elemento de corrente em um campomagnético externo.
3. Interação entre dois elementos de corrente.
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1. Força sobre partícula carregada:
– Um campo magnético pode exercer força somente sobre umacarga em movimento.
– Desse modo, a força magnética experimentada por umacarga Q em movimento, com velocidade u em um campomagnético B, é dada por
sendo perpendicular à direção da velocidade e à do campomagnético, portanto, não realiza trabalho.
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çèæ ´=
®®®
BuQFm
0m =×®®
ldF
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– Para uma carga Q em movimento, na presença de um campoelétrico e de um campo magnético simultaneamente, a forçatotal sobre a carga é dada por
÷øö
çèæ ´+=
÷øö
çèæ ´+=+=
®®®®
®®®®®®
BuEQF
BuQEQFFF me
Equação da força de Lorentz
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2. Força sobre um elemento de corrente:
– Para determinarmos a força sobre um elemento de correnteIdl, devido a um campo magnético externo B, partimos dasseguintes expressões
– Uma carga elementar dQ, se movimentando com umavelocidade u, é equivalente a um elemento de corrente decondução Idl.
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çèæ ´=
===
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udQdtlddQld
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m
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– Portanto, temos que
caso a corrente I percorra um caminho fechado L, ou umcircuito.
– Devemos ter em mente que o campo magnético produzidopelo elemento de corrente Idl não exerce força sobre elemesmo.
– O campo B, que exerce força sobre Idl, deve ser gerado porum outro elemento, ou seja, B é externo ao elemento decorrente Idl.
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®®®®®
´=
´=÷øö
çèæ ´=
LBlIdF
BlIdBudQFd
m
m
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– Se, ao invés do elemento de corrente em uma linha (Idl),tivermos elementos de corrente em uma superfície (KdS) ouem um volume (Jdv), temos que
®®®
®®®
´=
´=
BdvJFd
BdSKFd
m
m
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3. Força entre dois elementos de corrente:
– De acordo com a lei de Biot-Savart, ambos os elementos decorrente geram campos magnéticos.
– Dessa forma, podemos determinar a força d(dF1) sobre oelemento I1dl1 devido ao campo dB2, gerado pelo elemento decorrente I2dl2.
Figura 1
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– Dessa forma, as densidades de fluxo magnético geradaspelos elementos de correntes são dadas por
– Portanto, as forças exercidas pelos campos externos noselementos de corrente são dadas por
0321
2122203
21
21111 4
e4
µp
µp R
RldIBdRRldIBd
®®®
®®® ´
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-=
òò®®
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´=´=
´=´=
211222121112
1222121112
e
e
LLBldIFBldIF
BldIFdBldIFd
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– Substituindo as expressões dos campos magnéticos externosobtemos
2112
321
212121
021
321
212121
012
1 2
1 2
4
4
®
®
®
®
®®®
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®®®
®
®
-=
÷øö
çèæ ´´
-=
÷øö
çèæ ´´
=
ò ò
ò ò
FF
R
RldldIIF
R
RldldIIF
L L
L L
pµ
pµ
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Exercícios
1. Uma partícula carregada de massa 1 kg e carga 2 C, parte daorigem, com velocidade inicial zero, em uma região ondeE=3âz V/m. Determine:a) A força sobre a partícula.b) O tempo que a partícula leva para alcançar o pontoP (0, 0, 12).c) A velocidade e a aceleração da partícula em P.d) A energia cinética da partícula em P.
2. Uma partícula carregada se move com uma velocidade uniforme4âx m/s em uma região onde E=20ây V/m e B=B0âz Wb/m².Determine B0 tal que a velocidade da partícula permaneçaconstante.
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Exercício
3. Uma espira retangular, percorrida por uma corrente I2, écolocada paralelamente a um fio infinitamente longo, percorridopor uma corrente I1, como mostrado na figura 2. Determine:a) A expressão da força sobre a espira.b) A força sobre o fio infinitamente longo,se I1=10 A, I2=5 A, ρ0=20 cm, a=10 cm eb=30 cm.
Figura 2
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Torque e momento magnéticos
• Tendo considerado a força sobre uma espira de corrente em umcampo magnético, podemos determinar o torque sobre ela.
• Se a espira for colocada paralelamente a um campo magnético,ela sofre uma força que tende a girá-la.
• O torque T, ou momento mecânico de força sobre a espira, é oproduto vetorial entre o braço de alavanca r e a força F, ou seja,
onde a unidade do torque é dada em Newton-metro.
®®®
´= FrT
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• Considerando uma espira retangular, de comprimento l e larguraw, submetida a um campo magnético uniforme, temos
Figura 3
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• Ou seja, nenhuma força é exercida na espira como um todo.
• Entretanto, Fo e -Fo agem em diferentes pontos sobre a espira e,com isso, geram um conjugado.
( ) ( ) ( ) ( )
0yoyoyxyx
14xxz
32xxz
=-=-=
´-´=
´=
òòò
--
®®®
âFâFâIlBâIlB
âBIdzââBIdzâ
BlIdF
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• Se a normal ao plano da espira faz um ângulo α com B, o torquesobre a espira é dado por
Figura 4
aaa sensenseno BISBIlwwFT ===®®
S = l w => Representa a área da espira.
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• Definimos
como o momento dipolo magnético da espira em A m².
• O momento dipolo magnético é o produto entre a corrente e aárea da espira. Sua direção é perpendicular à espira.
• Dessa forma, temos que
nISâm =®
®®®
´= BmT
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• Essa expressão é geralmente aplicável para determinar o torquesobre uma espira plana, em qualquer formato, embora tenhasido obtida para uma espira retangular.
• A única limitação é que o campo deve ser uniforme.
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Exercício
4. Uma bobina retangular, de área 10 cm², é percorrida por umacorrente de 50 A e está sobre o plano 2x + 6y - 3z = 7, tal que omomento magnético da bobina está orientado para fora daorigem. Calcule seu momento magnético.
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Dipolo magnético
• Um ímã, ou uma espira filamentar de corrente, é usualmentereferido como dipolo magnético.
Figura 5
• Podemos determinar o campomagnético B em um ponto P (r, θ, φ)devido a uma espira circular,percorrida por uma corrente I, daseguinte forma:― Determinando A.― Simplificando a expressão
encontrada para camposdistantes (r >> a).
― Determinando B.
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• Dessa forma, encontramos
( )θr30 sencos24
âârmAB qqpµ
+=´Ñ=®®®
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• Podemos fazer um comparativo das expressões determinadaspara os campos elétrico e magnético da seguinte forma
Figura 6
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• Um ímã, ou uma espira filamentar de corrente, é usualmentereferido como dipolo magnético.
Figura 7
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Magnetização em materiais
• Sabemos que um dado material é composto de átomos.
• Cada átomo pode ser considerado como constituído de elétronsorbitando em torno de um núcleo central positivo.
Figura 8
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• Os elétrons também giram em torno de seus próprios eixos.
• Portanto, um campo magnético interno é gerado pelos elétronsque orbitam em torno do núcleo ou pela rotação dos elétrons emtorno de si mesmos.
Figura 9
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• Esses dois movimentos eletrônicos geram campos magnéticosinternos Bi que são similares ao campo magnético produzido poruma espira de corrente.
Figura 10
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• Sem um campo externo B aplicado ao material, a soma dosmomentos de dipolo magnético é igual a zero devido à orientaçãoaleatória dos mesmos.
Figura 11
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• Quando um campo externo B é aplicado, os momentosmagnéticos dos elétrons tendem a se alinhar com B, tal que omomento magnético líquido é diferente de zero.
Figura 12
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• Se há N átomos em um dado volume Δv e o k-ésimo átomo temum momento de dipolo magnético igual a mk, temos que
representando a densidade de polarização magnética do meio.
v
mM
N
kk
v D=
å=
®
®D
®1
0lim
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• Um meio para o qual M não é zero em nenhum ponto é ditomagnetizado.
• Para um volume diferencial dv’, o momento magnético é dadopor
• Desse modo,
'dvMmd®®
=
'4
'4 3
02R0 dv
RRMdv
RâMAd
pµ
pµ
®®®® ´
=´
=
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• Integrando dA por todo o volume e considerando que
ò ò®®®®
®®®
®
´-=´Ñ
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ´Ñ-´Ñ=÷
øö
çèæÑ´
÷øö
çèæÑ=
v S
dSFdvF
RMM
RRM
RRR
'''
''11'
1'3
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• Temos que
onde:
òò®®
®
+='
m0
'
m0 '4
'4 Sv
dSRKdv
RJA
pµ
pµ
®®®
´Ñ= MJmRepresenta a densidade decorrente de magnetização ligada,em um volume, em A/m².
nâMK ´=®®
m
Representa a densidade decorrente ligada em umasuperfície, e ân é o vetor normal àsuperfície.
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• No espaço livre, temos que M=0, logo
onde Jf representa a densidade de corrente livre em um volume.
®®
®®®®
=÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ´Ñ=´Ñ f
0f ou JBJH
µ
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• Em um meio material M é diferente de zero, dessa forma
ou
®®®®
®®®®
®
´Ñ+´Ñ=
=+=÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ´Ñ
MH
JJJBmf
0µ
÷øö
çèæ +=
®®®
MHB 0µ
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• Para materiais lineares, temos que
®®
= HM mcRepresenta a susceptibilidade magnética do meio
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• Dessa forma
( )®®
®®®
=+=
÷øö
çèæ +=
HH
HHB
rµµcµ
cµ
0m0
m0
1Representa a permeabilidade relativa do meio
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Classificação dos materiais magnéticos
• Em geral, podemos usar a susceptibilidade magnética (χm), ou apermeabilidade magnética relativa (µr), para classificar osmateriais em termos de suas propriedades magnéticas, ou deseu comportamento magnético.
• Um material é dito não magnético se χm=0 (ou µr=1). Ele émagnético caso essa condição não se verifique.
• Espaço livre, ar e materiais com χm=0 (ou µr≈1) são consideradosnão-magnéticos.
( )®®®
=+= HHB r0m0 1 µµcµ
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• Em termos gerais, os materiais magnéticos podem ser agrupadosem três categorias principais, são elas:
1. Diamagnéticos2. Paramagnéticos3. Ferromagnéticos
Figura 13
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• O diamagnetismo ocorre em materiais em que os camposmagnéticos, devido aos movimentos de translação dos elétronsem torno do núcleo e de rotação dos elétrons em torno de seuspróprios eixos, se cancelam mutuamente.
• Desse modo, o momento magnético permanente (ou intrínseco)de cada átomo é zero, e os materiais são fracamente afetadospelo campo magnético.
Figura 14
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• Os materiais cujos átomos têm um momento magnéticopermanente diferente de zero podem ser ou paramagnéticos ouferromagnéticos.
• O paramagnetismo ocorre em materiais para os quais os camposmagnéticos produzidos pelos movimentos de translação doselétrons em torno do núcleo e de rotação dos elétrons em tornode seus próprios eixos não se cancelam completamente.
Figura 15
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• O ferromagnetismo ocorre em materiais para os quais os átomostêm momento magnético permanente relativamente grande.
• São denominados materiais ferromagnéticos porque o materialmais conhecido dessa categoria é o ferro.
• Outros materiais são o cobalto, o níquel e seus compostos.
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• De forma distinta dos materiais diamagnéticos e dosparamagnéticos, os materiais ferromagnéticos apresentam asseguintes propriedades:– São capazes de serem magnetizados fortemente por um
campo magnético.
– Retêm um grau considerável de magnetização quandoretirados do campo.
– Perdem suas propriedades ferromagnéticas e tornam-semateriais paramagnéticos lineares quando a temperatura ficaacima de um certo valor (temperatura Curie).
– São não-lineares, isto é, a relação constitutiva B=µ0µrH nãose verifica para materiais ferromagnéticos porque µr dependede B e não pode ser representado por um único valor.
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• Embora B=µ0(H+M) seja válida para todos os materiais, inclusiveos ferromagnéticos, a relação entre B e H depende damagnetização prévia do material ferromagnético, isto é, suahistória magnética.
• Ao invés de termos uma relação linear entre B e H, somente épossível representar essa relação pela curva de magnetização oucurva B-H.
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Figura 16
Material linear
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Figura 17
Curva B-H
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Figura 18
Material desmagnetizado
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Figura 19
Curva inicial de magnetização
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Figura 20
Ponto de saturação
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Figura 21
Histerese
Atraso de B em relaçãoà diminuição de H
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Figura 22
Densidade de fluxo remanente
Causa de ímâspermanentes
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Figura 23
Intensidade de campo coercitiva
HC = 0
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Figura 24
Laço de histerese
O formato varia de ummaterial para outro
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Figura 25
Laço de histerese
A área representa a energiaperdida por unidade devolume durante um ciclo demagnetização
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Exercício
5. Em uma certa região (µ=4,6µ0),
encontre:
a) Χm.
b) H.
c) M.
mWb/m²10 zâeB y-®
=
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Condições de fronteira magnéticas
• São definidas como as condições que o campo H, ou B, devesatisfazer na fronteira entre dois meios diferentes.
• Fazemos uso da lei de Gauss para campos magnéticos e da leicircuital de Ampère.
IdlHdSB =×=×®®®®
òò e0
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• Considerando a fronteira entre dois meios magnéticos 1 e 2caracterizada, respectivamente, por µ1 e µ2, temos
( ) 0
22
N2N1
T2N2T1N1
=D-=
D+D-D+D=×ò®®
SBB
hBSBhBSBSdB prpr
Meio 1 (µ1)
Meio 2 (µ2)
B2
B2T
B2N
B1
B1T
B1N
Δh
ΔS
θ1
θ2
Figura 26
ân12
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• Ou seja, a componente normal de B é contínua na fronteira.
• Dessa forma, em relação a H, obtemos que
2211N2N1 coscos qq BBBB =Þ=
N22N11
N2N1
HHBBµµ =
=A componente normal de H édescontínua na fronteira.
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• Aplicando
IldH =×®®
òMeio 1 (µ1)
Meio 2 (µ2)
a
d
b
cΔw
Δh
H2
H2T
H2N
H1
H1T
H1N
θ1
θ2
X X X X X
Corrente na superfície da fronteirae normal ao caminho.
K
Figura 27
ân12
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• Temos que
( )KHH
wKwHHwK
hHwHhH
hHwHhHldH
=-D=D-
D=
D+D-
D-
D-D+
D=×ò
®®
T2T1
T2T1
N2T2N2
N1T1N1
22
22
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• Ou seja, a componente tangencial de H na superfície édescontínua.
• Se a fronteira está livre de corrente, ou os meios não sãocondutores, então K=0 e
• Dessa forma, temos que
T2T1 HH =
2
T2
1
T1
µµBB
= A componente tangencial de B édescontínua na fronteira.
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• No caso geral,
considerando que ân12 representa o vetor unitário normal àinterface e orientado do meio 1 para o meio 2.
• Se a fronteira está livre de corrente, ou os meios não sãocondutores, então K=0, logo temos que
T2T1
®®
= HH2
T2
1
T1
µµ
®®
=BB
®®®
=´÷øö
çèæ - KâHH n1221
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• Considerando uma fronteira onde não há qualquer fonte decorrente na superfície da interface de separação, temos que
Meio 1 (μ1)
Meio 2 (μ2)
B2
B1
θ1
θ2
2211
N2N1
coscos qq BBBB=
=
2
22
1
11
2
T2
1
T1
T2T1
sensenµq
µqµµBB
BBHH
=
=
=
ân12
Figura 28
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• Dessa forma,
• Essa expressão representa a lei da refração para linhas de fluxomagnético.
2
1
2
1
2
2
1
1
tgtgoutgtg
r
r
µµ
µq
µq
==
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Exercícios6. A região 1, descrita por 3x + 4y ≥ 10, é um espaço livre,
enquanto que a região 2, descrita por 3x + 4y ≤ 10, é ummaterial magnético para o qual µ≈10µ0. Assumindo que afronteira entre o material e o espaço livre seja livre de corrente,determine B2, se B1 = 0,1âx + 0,4ây + 0,2âz Wb/m².
7. Um vetor unitário normal apontando da região 2 (µ=2µ0) para aregião 1 (µ=µ0) é ân21 = (6âx + 2ây - 3âz)/7. Se H1 = 10âx + ây +12âz A/m e H2 = H2xâx - 5ây + 4âz A/m, determine:
a) O vetor H2x.
b) A densidade de corrente K na interface.
c) Os ângulos que B1 e B2 fazem com a normal à interface.
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Indutores e indutâncias
• Um circuito, ou um caminho fechado condutor, que é percorridopor uma corrente I gera um campo magnético B.
• Este campo B gera um fluxo
que atravessa cada espira do circuito.
ò®®
×=S
SdBy
Figura 29
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• Se o circuito tiver N espiras idênticas, definimos o fluxoconcatenado (λ) como
• Ainda, se o meio que circunda o circuito é linear, o fluxoconcatenado é proporcional à corrente que o gerou, ou seja,
onde L é uma constante de proporcionalidade denominadaindutância do circuito.
• A indutância L é uma propriedade que é função da geometria docircuito.
yl N=
LII =®µ ll
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Figura 30
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• Um circuito, ou parte de um circuito, que tem uma indutância édenominado indutor.
• Podemos definir a indutância L de um indutor como a razãoentre o fluxo magnético concatenado e a corrente através doindutor, ou seja,
• O fluxo concatenado é gerado pelo próprio indutor.
• A unidade de indutância é o henry (H), que é equivalente àunidade de webers/ampère (Wb/A).
IN
IL yl
== Comumente referida comoauto-indutância.
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• Podemos considerar a indutância como uma medida daquantidade de energia magnética que pode ser armazenadadentro de um indutor.
• A energia magnética (em joules) armazenada em um indutor éexpressa como
2m2
m2
21
IWLLIW =®=
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• Se, ao invés de termos um circuito, tivermos dois circuitospercorridos por correntes I1 e I2, uma interação magnéticaexistirá entre os circuitos.
• Quatro componentes de fluxo (ψ11, ψ12, ψ21 e ψ22) são geradas.
Figura 31
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• O fluxo ψ12 representa o fluxo que passa através do circuito 1devido à corrente I2 no circuito 2.
• Se B2 é o campo devido à I2 e S1 é a área do circuito 1, entãoFigura 32
ò®®
×=1
212S
SdBy
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• Definimos a indutância mútua M12 como a razão entre o fluxoconcatenado λ12 = N1ψ12 sobre o circuito 1 devido à corrente I2 nocircuito 2, ou seja,
Figura 33
2
121
2
1212 I
NI
M yl==
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• De maneira similar, a indutância mútua M21 é definida como ofluxo concatenado no circuito 2 por unidade de corrente I1, ouseja,
Figura 34
1
212
1
2121 I
NI
M yl==
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• Se o meio que circunda os circuitos é linear, ou seja, ausência dematerial ferromagnético, temos que M12=M21.
• A indutância mútua é expressa em henrys (H).
• Dessa forma, a auto-indutância dos circuitos 1 e 2,respectivamente, podem ser definidas como
onde ψ1=ψ11 + ψ12 e ψ2= ψ21 + ψ22.
2
22
2
222
1
11
1
111 e
IN
IL
IN
IL ylyl
====
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• A energia total no campo magnético é a soma das energiasdevido a L1, L2 e M12 (ou M21), ou seja,
• O sinal positivo é considerado se as correntes I1 e I2 fluem talque os campos magnéticos dos dois circuitos se reforçam.
• Se as correntes fluem de tal modo que seus campos magnéticosse opõe, o sinal é considerado negativo.
2112222
2111221m 21
21 IIMILILWWWW ±+=++=
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• Um indutor é um condutor montado com formato adequado paraarmazenar energia magnética.
• Exemplos típicos de indutores são toróides, solenóides, linhas detransmissão coaxial e linhas de transmissão de fios paralelos.
• A indutância de cada um desses indutores pode ser determinadapelo seguinte procedimento:
– Escolhe-se um sistema de coordenadas apropriado.– Considera-se que o indutor é percorrido por uma corrente I.– Determina-se B a partir da lei de Biot-Savart, ou a partir da
lei de Ampère, desde que se constate presença de simetria.– Calcula-se o fluxo magnético.– Determina-se o valor da indutância.
INL y
=
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• Em um indutor, tal como uma linha de transmissão coaxial ouuma linha de transmissão de fios paralelos, a indutânciaproduzida pelo fluxo interno ao condutor é denominadaindutância interna (Lin).
• Enquanto que a produzida pelo fluxo externo é denominadaindutância externa (Lext).
• A indutância total L é dada por
de forma que
extin LLL +=
µe=CLext
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Energia magnética
• Considere um volume diferencial em um campo magnético.
Figura 35
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• Seja o volume coberto com lâminas metálicas condutoras nassuperfícies do topo e da base percorridas por uma corrente ΔI.
• Assumimos que toda a região está preenchida com tais volumesdiferenciais.
Figura 36
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• Dessa forma, cada volume diferencial tem uma indutância de
onde ΔI=H Δy.
• Com isso, temos que
IzxH
IL
DDD
=DD
=Dµy
vHW
zyxHILW
D=D
DDD=DD=D
2m
22m
21
21
21
µ
µ
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• A densidade de energia magnetostática wm, em J/m³, é definidacomo
• Desse modo, a energia em um campo magnetostático,considerando um meio linear, é dada por
que é similar à equação da energia para um campoelestrostático.
òòò =×==®®
dvHdvHBdvwW 2mm 2
121 µ
𝑤" = lim∆(→*
∆𝑊"∆𝑣 =
12𝜇𝐻
1 =12𝐵𝐻 =
𝐵1
2𝜇
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Exercícios
8. Calcule a auto-indutância, por unidade de comprimento, de umsolenóide infinitamente longo.
9. Um solenóide muito longo, com seção reta de 2 x 2 cm, tem umnúcleo de ferro (µr=1000) e 4000 espiras/metro. Se o solenóidefor percorrido por uma corrente de 500 mA, determine:
a) Sua auto-indutância por metro.
b) A energia armazenada, por metro, nesse campo.
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Exercício
10. Determine a auto-indutância de um cabo coaxial de raio internoa e raio externo b.
Figura 37
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Exercício
11. Determine a indutância, por unidade de comprimento, de umalinha de transmissão a dois fios, com separação entre eles de d.Cada fio tem um raio a.
Figura 38
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Exercício
12. Dois anéis circulares coaxiais de raios a e b (b>a) estãoseparados por uma distância h (h >> a, b) como mostrado nafigura 39. Determine a indutância mútua entre os anéis.
Figura 39
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Exercício
13. Determine a indutância mútua de duas espiras circulares,coplanares e concêntricas de raios 2 m e 3 m.
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Circuitos magnéticos
• O conceito de circuitos magnéticos está baseado na resolução dealguns problemas de campo magnético utilizando a abordagemde circuitos.
• Dispositivos magnéticos como toróides, transformadores,motores, geradores e relés podem ser considerados circuitosmagnéticos.
• A análise desses circuitos é simplificada se uma analogia entrecircuitos elétricos e magnéticos for explorada.
• Uma vez feito isso, podemos diretamente aplicar conceitos decircuitos elétricos para resolver circuitos magnéticos análogos.
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• Resumo da analogia entre circuitos elétricos e magnéticos
Figura 40
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• Analogia entre um circuito elétrico e um circuito magnético
Figura 41
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• Definimos a força magnetomotriz (fmm), em ampères-espiras,como
• A fonte de fmm em circuitos magnéticos é usualmente umabobina percorrida por uma corrente.
• Definimos também relutância, em ampères-espiras/weber, como
onde l e S são, respectivamente, o comprimento médio e a áreada seção reta do núcleo magnético.
ò®®
×==Á ldHNI
Slµ
=Â
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• O recíproco da relutância é a permeância.
• A relação básica para elementos de circuitos é a lei de Ohm(V=RI), ou seja,
• Baseado nisso, as leis de Kirchhoff de corrente e de tensãopodem ser aplicadas aos nós e às malhas de um determinadocircuito magnético da mesma forma como em um circuitoelétrico.
• As regras de soma de tensões e de combinação de resistênciasem série e em paralelo também são válidas para fmm’s erelutâncias.
Â=Á y
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• Para n elementos de circuito magnético em série, temos
• Para n elementos de circuito magnético em paralelo, temos
n
n
Á++Á+Á+Á=Á====...
...
321
321 yyyy
n
n
Á==Á=Á=Á++++=
......
321
321 yyyyy
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• Algumas diferenças entre circuitos elétricos e magnéticos devemser destacadas:
– Diferentemente de um circuito elétrico onde flui corrente I, ofluxo magnético não flui.
– A condutividade (σ) é independente da densidade de corrente(J) em um circuito elétrico, enquanto que a permeabilidade(µ) varia com a densidade de fluxo magnético (B) em umcircuito magnético. Isso porque materiais ferromagnéticos,não lineares, são normalmente utilizados na maioria dosdispositivos magnéticos práticos.
• Apesar dessas diferenças, o conceito de circuito magnético é útilcomo uma análise aproximada dos dispositivos magnéticospráticos.
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Exercício
14. O núcleo toroidal da figura 42 tem ρ0=10 cm e uma seção retacircular com a=1 cm. Se o núcleo é feito de aço (µr=1000) e temuma bobina com 200 espiras, calcule a intensidade de correnteque irá gerar um fluxo de 0,5 mWb no núcleo.
Figura 42
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Exercício
15. O toróide da figura 43 tem uma bobina com 1000 espirasenroladas em torno de seu núcleo. Se ρ0=10 cm e a=1 cm, quala corrente necessária para estabelecer um fluxo magnético de0,5 mWb:
a) Se o núcleo é não magnético ?
b) Se o núcleo tem µr=500 ?
Figura 43
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Exercício
16. No circuito magnético da figura 44, calcule a corrente na bobinaque irá gerar uma densidade de fluxo magnético de 1,5 Wb/m²no entreferro de ar, assumindo que µr=50, e que todos ostrechos do núcleo tenham a mesma área de seção reta de10 cm².
Figura 44
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Referências• SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição – 2012. Editora
Bookman.
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- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -
1. Estágio I: Campos eletrostáticos.
2. Estágio II: Campos elétricos em meio material.
3. Estágio III: Problemas de valor de fronteira em eletrostática.
4. Estágio IV: Campos magnetostáticos.
5. Estágio V: Forças, materiais e dispositivos magnéticos.
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NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
Prof. Dr. Helder Alves PereiraMarço, 2019