Notas de aula - A19 Algebras de Clifford e...

Sumario

1 Algebra Tensorial 31.1 Aplicacoes Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Produto Tensorial entre Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . 61.3 A algebra tensorial de um espaco vetorial . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Produtos tensoriais entre aplicacoes lineares . . . . . . 161.3.2 A Algebra Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Algebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.1 O produto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.2 Operacoes dentro da algebra exterior . . . . . . . . . . 38

1.5 Algebra Exterior como Quociente da Algebra Tensorial . . . . 381.6 Contracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7 A Algebra de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.8 Isomorfismo de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.9 Operadores de Criacao e Aniquilacao . . . . . . . . . . . . . . 44

Bibliografia 47

1

Capıtulo 1Algebra Tensorial

Este capıtulo se inicia introduzindo um conceito mais geral que englobaos demais conceitos envolvidos nos capıtulos anteriores. Para entendermosdo que se trata a algebra tensorial, devemos ter em mente o que significaalgebra, a saber, um espaco vetorial munido de um produto bilinear. Maisprecisamente

ñ Definicao 1: Seja V um K-espaco vetorial, com uma operacao adicional,e considere vetores u, v ∈ V . O produto bilinear em A = (V, ∗ ) e fechadoem A, ou seja, dado o produto ∗ : A×A → A, entao (u, v) 7→ u ∗ v ∈ A. Opar (V, ∗ ) e denominado uma algebra sobre K se o produto for bilinear, ouseja, dado a ∈ K,

1) u ∗ (v + w) = u ∗ v + u ∗ w

2) (u+ v) ∗ w = u ∗ w + v ∗ w

3) a.(u ∗ v) = (a.u) ∗ v = u ∗ (a.v)

Se existir um elemento e ∈ V tal que e∗u = u∗e = u para todo u ∈ V , entao Ve uma algebra unital (ou algebra com unidade). A algebra V e dita comutativa

3

4 1. ALGEBRA TENSORIAL

se u∗v = v∗u, ∀u, v ∈ V , e associativa se (u∗v)∗w = u∗(v∗w),∀u, v, w ∈ V3

1.1 Aplicacoes Multilineares

Sejam V1, V2, . . . , Vp e W K-espacos vetoriais. A aplicacao

φ : V1 × · · · × Vp →W (1.1)

e denominada multilinear — neste caso p-linear — se for linear em cada umdos seus p argumentos, quando os outros argumentos estao fixos, ou seja,dados arbitrariamente c ∈ K, v1, v

′1 ∈ V1, v2, v′2 ∈ V2, . . . , vn, v′n ∈ Vn, entao

φ (v1, . . . , vi, . . . , vp) + φ(v1, . . . , v′i, . . . , vp) = φ(v1, . . . , vi + v′i, . . . , vp),

cφ(v1,v2, . . . , vi, . . . , vp) = φ(v1,v2, . . . , cvi, . . . , vp),

para i = 1, . . . , p. Quando p = 1 a aplicacao e linear, e quando p = 2 aaplicacao φ e bilinear.

Tais aplicacoes formam um espaco vetorial, que e por si proprio um su-bespaco vetorial do espaco de todas as aplicacoes φ : V1 × · · · × Vp → W , aodefinirmos a soma de duas aplicacoes p-lineares e a multiplicacao por escalarde uma aplicacao p-linear:

(ψ + φ)(v1, . . . , vp) = ψ(v1, . . . , vp) + φ(v1, . . . , vp)

(aφ)(v1, . . . , vp) = aφ(v1, . . . , vp), a ∈ K.

Denotamos tal subespaco por Hom(V1, . . . , Vp;W )

Exercıcio 1: Mostre que Hom(V1, . . . , Vp;W ) e de fato um espaco ve-

torial

Obs.1:Seja V um espaco vetorial real. A complexificacao de V e definida tomando

o produto tensorial de V com os numeros complexos, visto por sua vez comoum vetor de espaco bidimensional sobre os reais:

V C = V ⊗R C. (1.2)

O sımbolo R subescrito no produto tensorial indica que o produto tensoriale levado sobre os numeros reais, ja que V e um espaco vetorial real e assimo ındice pode seguramente ser omitido. Nesse sentido, V C e apenas um

1.1. APLICACOES MULTILINEARES 5

espaco vetorial real. No entanto podemos fazer de V C em um espaco vetorialcomplexo, definindo a multiplicacao complexa como se segue:

a(v ⊗ b) = v ⊗ (ab), para todo v ∈ V, a, b ∈ C. (1.3)

Pela natureza do produto tensorial, cada vetor v ∈ V C pode ser escrito ex-clusivamente sob a forma

v = v1 ⊗ 1 + v2 ⊗ i (1.4)

onde v1 e v2 sao vetores em V . E uma pratica comum evitar o sımbolo deproduto tensorial e apenas escrever v = v1+iv2. A multiplicacao pelo numerocomplexo a+ ib e dada pela regra usual

(a+ ib)(v1 + iv2) = (av1 − bv2) + i(bv1 + av2) (1.5)

e podemos entao escrever V C ' V ⊕ iV , com a regra acima para a multi-plicacao de numeros complexos.

Ha uma imersao natural de V em V C dada por v 7→ v⊗1. O espaco vetorialV pode entao ser considerado como um subespaco real de V C

Se os espacos V1, . . . , Vp, U possuem dimensao finita, entao o espaco Hom(V1, . . . , Vp;U)tambem tem dimensao finita, e mais precisamente

dim Hom(V1, . . . , Vp;U) = dimV1 · · · dimVp dimU,

uma vez que a aplicacao em (1.1) e determinada pelas imagens dos vetores dasbases de V1, . . . , Vp, que por sua vez sao determinadas pelas suas coordenadasna base de U .

Exercıcio 2: Mostre a afirmacao acima.

Exercıcio 3: Mostre que dada uma aplicacao φ : V1×· · ·×Vk → U queseja k-linear, sua imagem pode nao ser um subespaco vetorial de U

Quando U = K, obtemos o espaco Hom(V1, . . . , Vp;K) das funcoes multili-neares em V1×· · ·×Vp. Nesse caso, as aplicacoes p-lineares sao denominadasformas p-lineares. Em particular Hom(V,K) e o espaco dual V ∗ de V .

Exercıcio 4: A multiplicacao de numeros reais φ : R × R → R dadapor φ(x, y) = xy e bilinear. Mostre que a aplicacao ϕ : R×R× · · · ×R→ Rdefinida por ϕ(x1, . . . , xp) = x1.x2. . . . xp e p-linear

Exercıcio 5: Dados U, V K-espacos vetoriais, mostre que dada φ ∈Hom(U, V ) e v ∈ U , a aplicacao

A : Hom(U, V )× U → V

(φ, v) 7→ A(φ, v) = φ(v)

e bilinear


Exercıcio 6: Mostre que a aplicacao φ : R×V → V dada por φ(a, v) =av, v ∈ V , a ∈ K e bilinear. Mostre tambem que a composicao de duasaplicacoes bilineares em End(V ) e bilinear.

I Proposicao 1: Sejam U, V K-espacos vetoriais e S ⊂ U um conjuntode geradores. Se duas aplicacoes p-lineares φ, ψ : U × · · · × U︸︷︷︸

p vezes

→ V sao tais

que φ(v1, . . . , vp) = ψ(v1, . . . , vp) para quaisquer v1, . . . , vp ∈ S, entao φ = ψJ

Demonstracao: A proposicao e obvia quando p = 1. Suponha que ela sejavalida para k e considere φ, ψ : U × · · · × U︸︷︷︸

(p+1)vezes

→ V tais que φ(v1, . . . , vp+1) =

ψ(v1, . . . , vp+1) quando v1, . . . , vp, vp+1 ∈ S. Tome v ∈ V fixo e defina ψ′, φ′ :U × · · · × U︸︷︷︸

p vezes

→ V , pondo φ′(v1, . . . , vp) = φ(v1, . . . , vp, v) e ψ′(v1, . . . , vp) =

ψ(v1, . . . , vp, v). Portanto segue-se que ψ′ e φ′ coincidem quando v1, . . . , vp ∈S e pela hipotese de inducao ψ′ = φ′. Portanto φ(v1, . . . , vp, v) = ψ(v1, . . . , vp, v)para todos v1, . . . , vp, v ∈ U , ou seja, ψ = φ o

Exercıcio 7: Mostre que, dada uma aplicacao p-linear φ : U1×· · ·×Up →V , sua imagem φ(U1× · · · ×Up) em geral nao e um subespaco vetorial de V ,

quando p 6= 1.

Exercıcio 8: Mostre que a composicao de uma aplicacao linear φ ∈Hom(U, V ) com uma aplicacao p-linear Hom(V1, . . . , Vp;U) e p-linear e per-

tence a Hom(V1, . . . , Vp;V )

Exercıcio 9: Seja e1, e2 a base canonica de R2 e e1, e2, e3, e4 a basecanonica de R4. Considere φ : R2 × R2 → R4 a aplicacao bilinear definidapor φ(e1, e1) = e1, φ(e1, e2) = e2, φ(e2, e1) = e3, φ(e2, e2) = e4. Mostre queum vetor v = v1e1 + v2e2 + v3e3 + v4e4 ∈ R4 e da forma v = φ(x, y), ondex, y ∈ R2 se, e somente se v1v4 = v2v3. Conclua que a imagem de φ gera,porem nao coincide com R4. Em particular, φ(R2 × R2) nao e subespaco

vetorial

1.2 Produto Tensorial entre Espacos Vetoriais

O produto tensorial entre dois espacos vetoriais V e W surge naturalmentequando consideramos aplicacoes bilineares φ : V × W → U . Uma dessasaplicacoes e universal, no sentido que de certa maneira ele descreve todos osoutros.

1.2. PRODUTO TENSORIAL ENTRE ESPACOS VETORIAIS 7

ñ Definicao 2: O produto tensorial entre K-espacos vetoriais V e W e umespaco T com uma aplicacao bilinear

⊗ : V ×W → T

(v, w) 7→ (v ⊗ w)

que satisfaz a seguinte condicao: se ei | i ∈ I e fj | j ∈ J sao bases deV e W — aqui I e J sao conjuntos de ındices — respectivamente, entaoei ⊗ fj | i ∈ I, j ∈ J e base de T 3

Tal condicao nao depende das escolha de bases de V eW . Denotamos tambemV ⊗KW quando quisermos explicitamente enfatizar sobre qual corpo estamosefetuando o produto tensorial. Salvo mencao explıcita omitiremos tal notacaoe o produto V ⊗W denotara daqui em diante o produto tensorial entre espacosvetoriais sobre o corpo em questao.

O produto tensorial existe para quaisquer espacos vetoriais V e W , poisao se considerar o espaco vetorial T com base tij, definimos a aplicacao⊗ : V ×W → T tal que ei ⊗ fj = tij .

O produto tensorial e unico a menos de isomorfismo, no sentido de que se(T1,⊗1) e (T2,⊗2) sao dois produtos tensoriais entre V e W , entao existe um(unico) isomorfismo

ψ : T1 → T2

v ⊗1 w 7→ v ⊗2 w

para quaisquer v ∈ V e w ∈ W . Com efeito, para vetores da base de V e Wo isomorfismo em questao pode ser construıdo como ψ(ei ⊗1 fj) = ei ⊗2 fj .Por linearidade tal isomorfismo e estendido para todos v ∈ V e w ∈W .

Em particular, dim (V ⊗W ) = dim V · dim W .

B Exemplo 1: Considere respectivamente os espacos dos polinomios navariavel x e y sobre um corpo K, e a aplicacao bilinear

⊗ : K[x]×K[y] → K[x, y]

(f ⊗ g)(x, y) 7→ f(x)g(y)

Para i, j = 0, 1, 2, . . ., os produtos xi⊗yj = xiyj formam uma base de K[x, y],e portanto K[x, y] = K[x]⊗K[y] C

Exercıcio 10: Sejam v, u ∈ R2 os vetores v = 2e1 − e2, u = e1 + 3e2.Calcule os produtos tensoriais v⊗u e u⊗ v na base canonica, e verifique queo produto tensorial nao e comutativo


Embora o produto tensorial entre dois espacos vetoriais nao seja comuta-tivo, e possıvel estabelecer um isomorfismo

cV,W : V ⊗W → W ⊗ Vv ⊗ w 7→ w ⊗ v (1.6)

ao requerermos que a base ei ⊗ fj de V ⊗W seja levada na base fj ⊗ ei deW ⊗ V .

Exercıcio 11:

a) Mostre que cV,W cW,V = idW⊗V e que cW,V cV,W = idV⊗W

b) Dado o espaco vetorial U ⊗V ⊗W , mostre que (cV,W ⊗ I) (I⊗ cU,W )(cU,V⊗I) = (I⊗cU,V )(cU,W⊗I)(I⊗cV,W ). Essa relacao e denominadaequacao de Yang-Baxter e origina o grupo das trancas.

Obs.2: Equipado com essas estruturas o conjunto V1 × V2 × · · · × Vpe denominado soma direta exterior dos espacos vetoriais V1, V2, . . . , Vp e e

denotada por⊕p

i=1Vi. Considere o subespaco livre V de

p⊕i=1

Vi que consiste

das somas finitas formais∑

(v1,...,vp)∈⊕pi=1Vi

av1...vp (v1, . . . , vp) . A denominacao

livre na definicao acima significa que∑(v1,...,vp)∈⊕pi=1Vi

av1...vp (v1, . . . , vp) = 0,

implicando que av1...vp = 0.O subespaco V0 ∈ V e um subespaco de V gerado pelos vetores de um dos

seguintes tipos:

(i) (v1, . . . , v′i + v′′i , . . . , vp)− (v1, . . . , v

′i, . . . , vp)− (v1,, . . . , v

′′i , . . . , vp),

(ii) (v1, . . . , cvi, . . . , vp)− c(v1, . . . , vi, . . . , vp), i = 1, 2, . . . , p e c ∈ K.

Podemos definir no espaco V a seguinte relacao de equivalencia. Dadosu, v ∈ V dizemos que u ≡ v (mod V0) se u − v ∈ V0. Considere agora oespaco quociente V/V0, cujos elementos sao as classes de equivalencia de V .Os elementos de V/V0 sao denotados por [u] ou u+V0. O espaco V/V0 possuiuma estrutura de espaco vetorial sobre K, ao definirmos

[u+ v] = [u] + [v],

c[u] = [cu], c ∈ K. (1.7)


Eqs.(1.7) podem ser reescritas como

(u+V0) + (v+V0) = (u+ v)+V0,

c(u+V0) = (cu+V0), c ∈ K. (1.8)

A projecao canonica e definida como sendo a aplicacao π :V →V/V0, onde π ∈Hom(V, V/V0). Ja que π(u) = π(v)⇒ u ≡ v (mod V0), e u ≡ v (modV0) ⇒π(u) = π(v), segue-se que π(u − v) = 0, de onde concluımos que π(V0) = 0,i.e., kerπ = V0. Formalmente o espaco V/V0 e denominado produto tensorialentre os espacos V1, V2, . . . , Vp e denotado por V1⊗V2⊗· · ·⊗Vp. Os elementosde V1⊗V2⊗· · ·⊗Vp sao denominados tensores. Seja u = (v1, v2, . . . , vp) ∈ Ve escrevemos

π(v1, v2, . . . , vp) = v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vp, (1.9)

e denominamos v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vp um tensor fatorizavel.

B Exemplo 2: Dados α ∈ V ∗ e w ∈W , defina a aplicacao linear

⊗ : V ∗ ×W → Hom (V,W )

(α,w) 7→ α⊗ w : V →W

v 7→ (α⊗ w)(v) := α(v)w (1.10)

Tomando ei e fj bases canonicas de V ∗ e W respectivamente, o elementoei ⊗ fj e levado a matriz Eij , onde a entrada (i, j) e 1, e as demais entradasvalem zero.C

B Exemplo 3: No exemplo anterior, no caso particular quando V = W ,temos o isomorfismo V ∗⊗V ' End(V ), e portanto temos a equivalencia entreelementos

∑ni,j=1 a

jiei ⊗ ej ∈ V ∗ ⊗ V e a matriz [aij ] ∈ End(V ). Sabemos

que o espaco End(V ) e munido de um funcional linear canonico: o traco Tr:End(V ) → K — definido por Tr [aij ] =

∑ni=1 aii. Portanto o traco induz um

funcional linear

V ∗ × V → Kn∑

i,j=1

ajiei ⊗ ej 7→

n∑i=1

aii (1.11)

denominado contracao CDados α ∈ V ∗, β ∈ W ∗, definimos agora o produto tensorial α ⊗ β em

V ×W por

(α⊗ β)(v, w) = α(v)β(w), v ∈ V,w ∈W (1.12)

obtendo assim o aplicacao bilinear

⊗ : V ∗ ×W ∗ → Hom (V,W ;K).


Aqui (ei, f j)(v, w) = viwj , onde (v1, . . . , vn) e (w1, . . . , wn) sao componentesdos vetores v e w nas bases ei ⊂ V e f j ⊂W , respectivamente. Ja vimosque toda funcao bilinear B : V ⊗ W → K se decompoe unicamente comoB(u, v) =

∑i,j cijuivj , as funcoes ei ⊗ f j formam uma base Hom(V,W ;K).

Assim

Hom (V,W ;K) ' V ∗ ⊗W ∗ (1.13)

Em particular, quando nos restringimos ao produto tensorial tomado sobrecopias do mesmo espaco vetorial V , ja vimos que um covetor age sobre umvetor resultando numa quantidade escalar. Desse modo, α, β ∈ V ∗ e u, v ∈ V ,sabemos que α(u) e β(v) pertencem ao corpo. Entao podemos considerar oproduto dessas duas quantidades, ou seja, α(u)β(v). Como consequenciadessa definicao o produto tensorial nao e comutativo. Como caso particularda Definicao 15, um produto tensorial entre vetores — com valores em K— de um mesmo espaco vetorial age sobre o produto cartesiano V ∗ × V ∗,resultando em um escalar:

(u⊗ v)(α, β) = α(u)β(v). (1.14)

Essa notacao e usada para simplificar, ja que como α, β sao funcionais linearestomando valores em V e levando em K, na expressao acima u e v simbolizamrespectivamente as aplicacoes τu, τv ∈ V ∗∗ que tomam valores em V ∗ e levamem K, assim como definidos na expressao (??) na Secao (??). Como existeum isomorfismo canonico entre V ∗∗ e V , portanto tais espacos sao tomadosindistintamente na expressao (1.14).

Nao e difıcil vermos que o espaco definido pelo produto tensorial de cove-tores e tambem um espaco vetorial, que denotaremos por T 2(V ) = V ∗ ⊗ V ∗,e denotaremos tambem V ⊗ V por T2(V ).

Exercıcio 12: Mostre que T 2(V ) e T2(V ) sao espacos vetoriais, e mostre

tambem que T 2(V ) ' T2(V ∗) e que T2(V ) ' T 2(V ∗).

Exercıcio 13: Se dim V = n temos dim T2(V ) = dim T 2(V ) = n2

Mais especificamente, considere ei uma base para V e ei a sua basedual. Sabemos que α(v) =

∑i αiv

i e que β(u) =∑i βiu

i, onde αi = α(ei),βi = β(ei), v

i = ei(v) e ui = ei(u). Desse modo

(α⊗ β)(v, u) =∑i,j

αiviβju

j .

Mas (ei ⊗ ej)(v, u) = viuj , e portanto podemos escrever

α⊗ β =∑i,j

αiβjei ⊗ ej


Os funcionais bilineares ei ⊗ ej (i, j = 1, . . . , n) formam uma base parao espaco T 2(V ). Se B e um funcional bilinear arbitrario podemos escreverB = bije

i ⊗ ej , onde os escalares bij — componentes de B nesta base — saodados por bij = B(ei, ej). Segue-se que B(v, u) =

∑i,j bijv

iuj .

Exercıcio 14: Mostre que ei ⊗ ej (i, j = 1, . . . , n) formam uma basepara o espaco T2(V ), ou seja, que A ∈ T2(V ) pode ser escrito na formaA =

∑i,j a

ijei ⊗ ej , onde aij = A(ei, ej) sao as componentes de A nessa

base. Mostre ainda que os coeficientes aij sao unicos. Da mesma maneira,mostre que ei⊗ ej (i, j = 1, . . . , n) formam uma base para o espaco T 2(V )

Os funcionais bilineares em T 2(V ) e T2(V ) podem ser decompostos na somade funcionais bilineares simetricos e alternados. Vamos tomar como exemploB ∈ T 2(V ), e definimos um funcional bilinear simetrico Bsim como

Bsim(v, u) =1

2(B(v, u) +B(u, v))

e um funcional bilinear alternado Balt como

Balt(v, u) =1

2(B(v, u)−B(u, v)).

Exercıcio 15: Mostre que um funcional bilinear arbitrario B ∈ V ∗⊗V ∗pode ser escrito como B = Bsim +Balt

O espaco dos funcionais bilineares simetricos T 2sim(V ) e dos funcionais bili-

neares alternados T 2alt(V ) possuem respectivamente as bases ei ⊗ ej + ej ⊗ ei

e ei ⊗ ej − ej ⊗ ei. Exercıcio 16: Prove que as componentes de um elemento A = Aije

i ⊗ej ∈ T 2

alt(V ) satisfazem Aij = −Aji.

Exercıcio 17: Dados α, β : V → K, mostre que:

1. α⊗ β = 0⇔ α = 0 ou β = 0.

2. α⊗ β = β ⊗ α⇔ α e β sao multiplos um do outro.

Exercıcio 18: O operador de permutacao P : T 2(V )→ T 2(V ) e definidopor P (α⊗β) = β⊗α, e o operador identidade e dado por id(α⊗β) = α⊗β.Defina os operadores ALT: T 2(V ) → T 2

alt(V ) e SIM: T 2(V ) → T 2sim(V ) tais

que ALT = 12 (id − P ) e SIM = 1

2 (id + P ). Prove que ALT ALT = ALT,SIM SIM = SIM, ALT SIM = 0 = SIM ALT, e que ALT + SIM = id.Mostre que ker SIM = T 2

alt(V ) e ker ALT = T 2sim(V )


Exercıcio 19: Prove que T 2(V ) = T 2alt(V )⊕ T 2

sim(V )

Exercıcio 20: Dados α = e3 − 4e1, β = 3e2 − e3, calcule (α⊗ β)(u, v),onde u = e1 + e2 + 2e3 e v = −2e1 + e3. Calcule tambem α⊗β, α⊗α, β⊗α,β ⊗ β, α⊗ u, v ⊗ β, u⊗ v, u⊗ u⊗ α.

Exercıcio 21: Defina o produto exterior entre tres vetores e1, e2, e3 ∈R3 como sendo

e1 ∧ e2 ∧ e3 :=1

6(e1 ⊗ e2 ⊗ e3 + e2 ⊗ e3 ⊗ e1 + e3 ⊗ e1 ⊗ e2

− e3 ⊗ e2 ⊗ e1 − e2 ⊗ e1 ⊗ e3 − e1 ⊗ e3 ⊗ e2)

Mostre que e1 ∧ e2 ∧ e3 = −e1 ∧ e3 ∧ e2 e mais geralmente que e1 ∧ e2 ∧ e3 ∈T3 alt(V )

I Proposicao 2: Dada uma aplicacao linear φ : V ×W → U , existe umaunica aplicacao linear ψ : V ⊗W → U tal que

φ(v, w) = ψ(v ⊗ w), v ∈ V,w ∈W. (1.15)

J

Demonstracao: Na base de V ⊗W , tal aplicacao linear e dado por

φ(ei, fj) = ψ(ei ⊗ fj)

o

Mais especificamente, provamos o carater universal do produto tensorial,no sentido de que existe uma funcao f : V ×W → V ⊗W tal que ψ f = φ,como mostra o seguinte diagrama comutativo:

V ×Wφ - U

V ⊗W

ψ

6

f-

Portanto existe um isomorfismo entre Hom(V ⊗W ;U) e Hom(V,W ;U) queleva ψ : V ⊗W → U a φ : V ×W → U , e em particular quando U = K temosque

(V ⊗W )∗ ' Hom (V,W ;K)


ja que (V ⊗W )∗ leva o espaco tensorial V ⊗W ao corpo K. Pelo isomorfismoobtido pela Eq.(1.13), acabamos de mostrar o seguinte isomorfismo:

(V ⊗W )∗ ' V ∗ ⊗W ∗ (1.16)

O isomorfismo acima e visto como uma extensao da correlacao τ : V → V ∗,que “dualiza” tambem o produto tensorial:

τ : V ⊗W → (V ⊗W )∗

v ⊗ w 7→ τ(v ⊗ w) = τ(v)⊗ τ(w) (1.17)

Funcionais Bilineares Mistos

Assim como definimos produto tensorial entre vetores e entre covetores,podemos tambem definir o produto tensorial entre um vetor e um covetor.O funcional bilinear assim obtido e denominado funcional bilinear misto.Definimos o produto tensorial α⊗ v atraves de

(α⊗ v)(u, β) = α(u)β(v).

Denotaremos este espaco vetorial por T 11(V ) = V ∗ ⊗ V . Obviamente dim

T 11(V ) = n2. Uma base para T 1

1(V ) e dada pelos produtos tensoriais do tipoei⊗ej . Dessa maneira C ∈ T 1

1(V ) pode ser escrito como C =∑i,j c

ji e

i⊗ej ,onde c j

i = C(ei, ej)

B Exemplo 4: Este exemplo e o Ex. 1.5 de [7]. Existe um isomorfismoentre os espacos T 1

1(V ) e T 11 (V ) definido por

cV,V ∗ : T 11(V ) → T 1

1 (V )

α⊗ v 7→ cV,V ∗(α⊗ v) = v ⊗ α

Em termos de uma base de T 11(V ) podemos escrever cV,V ∗(ei⊗ej) = ej⊗ei,

e tal definicao nao depende da base escolhida. Apesar do isomorfismo acima,devemos tomar cuidado com a notacao, distinguindo os espacos T 1

1(V ) eT 11 (V ). Vamos supor que dada uma forma bilinear simetrica g definida em

termos de uma base e1, e2 de R2 por g11 = 1, g12 = 1, g21 = 1, g22 = −1,onde gij = g(ei, ej). Podemos entao levantar e abaixar ındices (implicita-mente usando a correlacao τ : V → V ∗:

e1 = e1 + e2, e2 = e1 − e2,

e

e1 =1

2(e1 + e2), e2 =

1

2(e1 − e2).


Vamos agora considerar B ∈ T 11(V ) dado por

B = e1 ⊗ e2.

Temos nesse caso B 11 = 0, B 2

1 = 1, B 12 = 0, B 2

2 = 0. Levantando eabaixando ındices com a ajuda das formulas acima podemos escrever

B =1

2e1 ⊗ e1 −

1

2e1 ⊗ e2 +

1

2e1 ⊗ e1 −

1

2e1 ⊗ e2

ou seja, B11 = 1

2 , B12 = − 1

2 , B21 = 1

2 , B22 = − 1

2 . e portanto Bji 6= Bij e

portanto e preciso distinguir os T 11(V ) e T 1

1 (V ). C

Exercıcio 22: Encontre o valor do tensor φ ⊗ ψ − ψ ⊗ φ ∈ T 5(V )aplicado em (v1, v2, . . . , v5) onde φ = e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e3 + e2 ⊗ e2 ∈ T 2(V ) eψ = e1 ⊗ e1 ⊗ (e1 − e3), enquanto que v1 = e1, v2 = e1 + e2, v3 = e2 + e3,

v4 = v5 = e2

Exercıcio 23: Encontre as componentes T 12123 de um tensor em T 3

2 (V )se todas as componentes desse tensor na base ei valem 2, e as bases eiestao relacionadas por

(e1, e2, e3) = (e1, e2, e3)

1 2 30 1 20 0 1

(1.18)

Exercıcio 24: Dado V um espaco vetorial 4-dimensional, considereA = e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e4 ∈ T 1

1. Encontre todos os vetores v ∈ V tais

que A(v, α) = 0, ∀α ∈ V ∗

Exercıcio 25: Considere um espaco vetorial tridimensional sobre ocorpo Z2 e um tensor T = e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e3 ∈ T 1

1(V ). Encontre os pares

(v, α) ∈ V × V ∗ tais que T (v, α) = 0

Exercıcio 26: Considere o isomorfismo ψ : V ∗ ⊗ V → End(V ) em(1.10) e seja eidimV

i=1 [ei] a base canonica de V [V ∗]. Dado A = e1 ⊗ e3,calcule ψ(A)v, onde v = e1 + e2 + e3 + e4. Calcule tambem para o caso onde

A = (e1 + e3)⊗ (e3 + e4) e v = 2e1 + 3e2 + 2e3 + 3e4

Exercıcio 27: Dada a forma bilinear simetrica g : V × V → K cujamatriz associada e dada por

2 1 0 01 1 0 00 0 1 10 0 1 2

,

1.3. A ALGEBRA TENSORIAL DE UM ESPACO VETORIAL 15

abaixe e levante os ındices dos tensores:a) e1 ⊗ e3 + e2 ⊗ e4b) (e1 + e2)⊗ (e3 + e4)− (e1 + e3)⊗ e3

1.3 A algebra tensorial de um espaco vetorial

Da mesma maneira que foi estabelecido um isomorfismo de permutacao(transposicao) entre espacos vetoriais, atraves da Eq.(1.6), dados tres espacosvetoriais U, V,W sobre K, existe um isomorfismo

(U ⊗ V )⊗W → U ⊗ (V ⊗W )

(u⊗ v)⊗ w 7→ u⊗ (v ⊗ w) (1.19)

Ao identificarmos os espacos tensoriais (U ⊗ V )⊗W e U ⊗ (V ⊗W ) por talisomorfismo, podemos escrever produtos tensoriais entre qualquer numerofinito de espacos vetoriais V1, V2, . . . , Vp sem o uso de parenteses. Inducao emp mostra que o produto tensorial entre vetores das bases de V1, . . . , Vp formauma base para o espaco V1 ⊗ · · · ⊗ Vp.

Podemos agora generalizar os resultados obtidos em (1.13, 1.15, 1.16) parao caso do produto tensorial (finito) entre espacos vetoriais, obtendo um iso-morfismo

Hom(V1 ⊗ · · · ⊗ Vp;U) ' Hom(V1, . . . , Vp;U) (1.20)

que leva uma aplicacao linear ψ : V1 ⊗ · · · ⊗ Vp → U a aplicacao p-linearφ : V1 × · · · × Vp → U , definida como

φ(v1, . . . , vp) = ψ(v1 ⊗ · · · ⊗ vp)

e em particular quando U = K obtemos um isomorfismo

(V1 ⊗ · · · ⊗ Vp)∗ ' Hom(V1, . . . , Vp;K) (1.21)

Podemos agora generalizar a expressao (1.12) para um numero arbitrariode espacos vetoriais de dimensao finita V1, . . . , Vp. Seja

(α1 ⊗ · · · ⊗ αp)(v1, . . . , vp) = α1(v1) . . . αp(vp) (1.22)

onde α1 ∈ V ∗1 , . . . , αp ∈ V ∗p , v1 ∈ V1, . . . , vp ∈ Vp. Segue-se que

Hom(V1, . . . , Vp;K) = V ∗1 ⊗ · · · ⊗ V ∗p . (1.23)

Juntamente com o isomorfismo ja estabelecido em (1.21), o seguinte isomor-fismo decorre imediatamente:

V ∗1 ⊗ · · · ⊗ V ∗p ' (V1 ⊗ · · · ⊗ Vp)∗


Essa expressao e a generalizacao da relacao (1.17), sendo a correlacao umautomorfismo em relacao ao produto tensorial:

τ : V1 ⊗ · · · ⊗ Vp → (V1 ⊗ · · · ⊗ Vp)∗

v1 ⊗ · · · ⊗ vp 7→ τ(v1 ⊗ · · · ⊗ vp) = τ(v1)⊗ · · · ⊗ τ(vp) (1.24)

1.3.1 Produtos tensoriais entre aplicacoes lineares

Para quaisquer operadores A ∈ End(V ) e B ∈ End(W ), podemos construira aplicacao linear A⊗B ∈ End(V ⊗W ) atraves da definicao

(A⊗B)(v ⊗ w) = (A(v))⊗ (B(w)) (1.25)

A aplicacao A⊗B e denominada produto tensorial entre as aplicacoes linearesA e B.

B Exemplo 5: Considere A =

(a bc d

)e A′ =

(a′ b′

c′ d′

)matrizes em

M(2,K). Portanto A ⊗ A′ e uma aplicacao linear em Hom(K2 ⊗ K2). De-notando e1, e2 a base canonica de K2, a matriz de A ⊗ A′ na base e1 ⊗e1, e1 ⊗ e2, e2 ⊗ e1, e2 ⊗ e2. Por definicao

(A⊗A′)(e1 ⊗ e1) = Ae1 ⊗A′e1= (ae1 + ce2)⊗ (a′e1 + c′e2)

= aa′e1 ⊗ e1 + ac′e1 ⊗ e2 + ca′e2 ⊗ e1 + cc′e2 ⊗ e2(A⊗A′)(e1 ⊗ e2) = Ae1 ⊗A′e2

= (ae1 + ce2)⊗ (b′e1 + d′e2)

= ab′e1 ⊗ e1 + ad′e1 ⊗ e2 + cb′e2 ⊗ e1 + cd′e2 ⊗ e2(A⊗A′)(e2 ⊗ e1) = Ae2 ⊗A′e1

= (be1 + de2)⊗ (a′e1 + c′e2)

= ba′e1 ⊗ e1 + bc′e1 ⊗ e2 + da′e2 ⊗ e1 + dc′e2 ⊗ e2(A⊗A′)(e2 ⊗ e2) = Ae2 ⊗A′e2

= (be1 + de2)⊗ (b′e1 + d′e2)

= bb′e1 ⊗ e1 + bd′e1 ⊗ e2 + db′e2 ⊗ e1 + dd′e2 ⊗ e2

Segue-se entao que a matriz associada a A⊗A′ e dada poraa′ ab′ ba′ bb′

ac′ ad′ bc′ bd′

ca′ cb′ da′ db′

cc′ bd′ db′ dd′

=

(aA′ bA′

cA′ dA′

)(1.26)


Neste exemplo podemos ver que o funcional linear traco do produto tensorialentre matrizes Tr (A ⊗ A′) = a(a′ + d′) + d(a′ + d′) = (a + d)(a′ + d′) =(TrA)(Tr A′). C

B Exemplo 6: Considere [aij ] a matriz de A na base e1, . . . , en de V e[bkl] a matriz do operador B na base f1, . . . , fm de W . Entao, pelo mesmoprocedimento do exemplo anterior, a matriz da aplicacao A ⊗ B na basee1 ⊗ f1, e1 ⊗ f2, . . . , e1 ⊗ fm, e1 ⊗ f1, e2 ⊗ f2, . . . , e2 ⊗ fm, . . . , . . . , en ⊗ fmde V ⊗W e dada por

A⊗B =

a11B a12B · · · a1nBa21B a22B · · · a2nB

......

. . ....

an1B an2B · · · annB

Tal matriz e denominada produto de Kronecker entre A e B C

Mais geralmente, dados espacos vetoriais V, V ′, U, U ′ sobre o mesmo corpoK e dadas aplicacoes ψ ∈ Hom(V, V ′) e φ ∈ Hom(U,U ′), necessita-se definiruma outra aplicacao linear

ψ ⊗ φ : V ⊗ U → V ′ ⊗ U ′

v ⊗ u 7→ (ψ ⊗ φ)(v ⊗ u) = ψ(v)⊗ φ(u). (1.27)

Embora seja usual a notacao ψ ⊗ φ, o objeto ψ ⊗ φ nao denota um tensor.Isto e somente uma notacao para um novo mapa linear em V ⊗K U , o qualdenotaremos de agora em diante simplesmente por V ⊗ U .

Exercıcio 28: Calcule Tr(A⊗A⊗ · · · ⊗A)

Exercıcio 29: Dada I = σ0 =

(1 00 1

)e as matrizes de Pauli σ1 =(

0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)em M(2, C), calcule σi ⊗ σj

(i, j = 0, 1, 2, 3)

I Teorema 1: Considere K um corpo e sejam A ∈ M(n,K) e B ∈M(m,K) matrizes que tenham autovalores a e b em K, respectivamente.Entao a aplicacao A⊗ Im×m + In×n⊗B tem autovalor a+ b e A⊗B possuiautovalor ab J

Demonstracao: Para algum v ∈ Kn e algum w ∈ Km, Av = av eBw = bw. Portanto

(A⊗ Im×m + In×n ⊗B)(v ⊗ w) = Av ⊗ w + v ⊗Bw= av ⊗ w + v ⊗ (bw)

= (a+ b)(v ⊗ w)


Tambem

(A⊗B)(v ⊗ w) = (Av)⊗ (Bw) = (av)⊗ (bw) = ab(v ⊗ w) (1.28)

o

Exercıcio 30: Se A ∈ End(V ) e diagonalizavel, mostre que A ⊗ A ⊗· · · ⊗A e diagonalizavel. Sendo λi um conjunto de autovalores de A, quais

sao os autovalores de A⊗A⊗ · · · ⊗A?

Exercıcio 31: Encontre a forma canonica de Jordan da aplicacao A⊗B,se A e B sao respectivamente dadas por(

1 10 1

),

1 0 00 2 00 0 3

,

(1 10 1

)(

2 10 2

),

(1 10 1

),

0 1 00 0 10 0 0

I Teorema 2: Dados K-espacos vetoriais V, V ′, V ′′, U, U ′, U ′′ e dadasaplicacoes ψ ∈ Hom(V, V ′), ψ′ ∈ Hom(V ′, V ′′), φ ∈ Hom(U,U ′) e φ′ ∈Hom(U ′, U ′′), entao:

(i) IV ⊗ IU = IV⊗U .(ii) (ψ′⊗φ′)(ψ⊗φ) = (ψ′ψ)⊗(φ′φ), enquanto mapas lineares de V ⊗KUem V ′′ ⊗K U

′′ J

Demonstracao: (i) A funcao IV ⊗IU e uma aplicacao linear que pertenceao espaco End(V ⊗ U) e deixa invariante qualquer tensor homogeneo daforma v ⊗ u. Segue-se que ele fixa todos os tensores de V ⊗ U e portantoIV ⊗ IU = IV⊗U .(ii) Como (ψ′ ⊗ φ′) (ψ ⊗ φ) e (ψ′ ψ) ⊗ (φ′ φ) sao lineares, a fim dese provar a igualdade e suficiente verificar que possuem o mesmo valor emqualquer tensor homogeneo da forma v ⊗ u, no qual ambas as aplicacoespossuem o valor ψ′(ψ(v))⊗ φ′(φ(u)). o

B Exemplo 7: Mostramos aqui como calcular o determinante de produtostensoriais de aplicacoes lineares. Supomos ψ ∈ End(V ) e φ ∈ End(U), onde Ue V sao K-espacos vetoriais de dimenao n em, respectivamente. Calcularemosdet(ψ ⊗ φ) cindindo ψ ⊗ φ na composicao de dois mapas que pertencem aEnd(V ⊗ U), da seguinte maneira:

ψ ⊗ φ = (ψ ⊗ IU ) (IV ⊗ φ),


de tal modo que a propriedade multiplicativa do determinante implica det(ψ⊗φ) = det(ψ⊗IU )det(IV ⊗φ). Alem disso, o isomorfismo que transpoe o tensor

u⊗ v cU,V7→ v ⊗ u converte ψ ⊗ IU em IU ⊗ ψ e da propriedade det(ψ ⊗ IU ) =det(IU ⊗ ψ) segue-se que

det(ψ ⊗ φ) = det(IU ⊗ ψ)det(IV ⊗ φ).

A fim de que determinemos esses ultimos fatores, tome uma base e1, . . . , emde V e uma base f1, . . . , fn de U , e consequentemente uma base ei ⊗ fj(i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n) de V ⊗U . Considere agora [ψ] a matriz associadaa ψ na base ordenada e1, . . . , em. Como (ψ ⊗ IU )(ei ⊗ fj) = ψ(ei) ⊗ fj ,ordene a base de V ⊗ U como

e1 ⊗ f1, . . . , em ⊗ f1, . . . , e1 ⊗ fn, . . . , em ⊗ fn.

A matriz de ordem mn × mn associada a ψ ⊗ IU nesta base ordenada ediagonal por blocos

[ψ] O · · · OO [ψ] · · · O...

.... . .

...O O · · · [ψ]

,

cujo determinante e (det ψ)n. Portanto

det(ψ ⊗ φ) = (det ψ)n (det φ)m

C

Obs.3: Em particular no exemplo anterior det(A⊗A′) = (det A)2 (detA′)2

B Exemplo 8: Tomando-se U = V e ψ = φ, entao a aplicacao ψ⊗ψ possuideterminante (det ψ)2k C

Corolario 1: Considere V um K-espaco vetorial de dimensao maior ouigual a um e ψ ∈ End(V ). Para todo i ∈ N

det(ψ⊗i) = (det ψ)iki−1

Exercıcio 32: Prove o corolario acima (Dica: use o princıpio da inducao

finita e a associatividade do produto tensorial de aplicacoes lineares)

I Teorema 3: Dados K-espacos vetoriais V, V ′, U, U ′, se as aplicacoesψ ∈ Hom(V, V ′) e φ ∈ Hom(U,U ′) sao sobrejetivas, entao ψ⊗φ ∈ Hom(V ⊗U ;V ′ ⊗ U ′) e sobrejetiva J


Demonstracao: Como ψ ⊗ φ e linear, basta mostrar que todo tensordo tipo v′ ⊗ u′ ∈ V ′ ⊗ U ′ esta na imagem de ψ ⊗ φ. Como ψ e φ saoambas sobrejetivas, podemos expressar v′ = ψ(v) e u′ = φ(u). Portantov′ ⊗ u′ = ψ(v)⊗ φ(u) = (ψ ⊗ φ)(v ⊗ u) o

O exemplo abaixo nos mostra que mesmo que ψ e φ definidas no Teoremaacima sejam injetivas, o produto tensorial ψ ⊗ φ pode nao ser injetivo.

B Exemplo 9: Considere p ∈ Z um numero primo e uma aplicacao ψ ∈Hom(Zp,Zp2) dada pela multiplicacao por p ∈ Z, ou seja, ψ(a) = pa, ∀a ∈Zp. Tal funcao e injetiva. Analisemos agora o mapa linear

IZp ⊗ ψ : Zp ⊗Z Zp → Zp ⊗Z Zp2a⊗ b 7→ (IZp ⊗ ψ)(a⊗Z b) = a⊗Z ψ(b).

Portanto, como a⊗Zψ(b) = a⊗Zpb = pa⊗Z b = 0. Segue-se que IZp⊗ψ ≡ 0 eseu domınio Zp⊗ZZp ' Zp e nao-nulo, nao sendo assim IZp⊗ψ uma aplicacaoinjetiva. C

Agora determinaremos uma expressao explıcita para o nucleo do produtotensorial entre aplicacoes:

I Teorema 4: Dados K-espacos vetoriais V, V ′, U, U ′, se as aplicacoesψ ∈ Hom(V, V ′) e φ ∈ Hom(U,U ′) sao ambas injetivas, entao ker ψ ⊗ φ ∈Hom(V ⊗U ;V ′⊗U ′) e um subespaco vetorial de V ⊗U gerado pelos tensores

v ⊗ u tais que ψ(v) = 0 ou φ(u) = 0. Em termos das inclusoes kerψι→ V e

kerφκ→ U , temos:

ker(ψ ⊗ φ) = (ι⊗ IU )((kerψ)⊗ U) + (IV ⊗ κ)(V ⊗ (kerφ)) (1.29)

J

Demonstracao: Se v ∈ ker ψ e u ∈ U entao

(ψ ⊗ φ)((ι⊗ IU )(v ⊗ u)) = (ψ ⊗ φ)(v ⊗ u) = ψ(v)⊗ φ(u) = 0. (1.30)

Para nao carregar demais a notacao usamos a mesma notacao para v⊗u, queno lado esquerdo da primeira igualdade acima esta em (V ⊗U) enquanto queao lado direito da primeira igualdade v ⊗ u ∈ (kerψ)⊗ U . Da mesma forma

(ψ ⊗ φ)((IV ⊗ κ)(v ⊗ u)) = (ψ ⊗ φ)(v ⊗ u) = ψ(v)⊗ φ(u) = 0, (1.31)

se v ∈ V e u ∈ kerφ. Definindo o conjunto

W = (ι⊗ IU )((kerψ)⊗ U) + (IV ⊗ κ)(V ⊗ (kerφ)),


concluımos que W ⊂ ker (ψ ⊗ φ), e segue-se que ψ ⊗ φ induz uma aplicacaolinear

ξ : (V ⊗ U)/W → V ′ ⊗ U ′

v ⊗ u modW 7→ (ψ ⊗ φ)(v ⊗ u) = ψ(v)⊗ φ(u) (1.32)

Agora expressaremos a aplicacao inversa de ξ, o que mostrara que ξ e injetivae que o nucleo de ψ ⊗ φ e W . Como ψ e φ sao sobrejetivas por hipotese,qualquer tensor homogeneo em V ′ ⊗ U ′ pode ser escrito como ψ(v) ⊗ φ(u).Os valores de ψ(v) e φ(u) somente determinam v e u a menos da adicao deelementos de ker (ψ) e ker (φ), respectivamente. Para v ∈ ker ψ e para u ∈ker (φ),

(v + v)⊗ (u+ u) = v ⊗ u+ v ⊗ u+ v ⊗ u+ v ⊗ u ∈ v ⊗ u+W, (1.33)

e portanto a funcao

V ′ × U ′ → (V ⊗ U)/W

(ψ(v), φ(u)) 7→ v ⊗ u modW

e uma funcao bilinear bem-definida. Isso induz uma funcao

ω : V ′ ⊗ U ′ → (V ⊗ U)/W

ψ(v)⊗ φ(u) 7→ (ψ(v), φ(u))v ⊗ u modW

As aplicacoes ξ ω e ω φ sao aplicacoes identidades em seus respectivosdomınios o

1.3.2 A Algebra Tensorial

Dados os covetores α1, . . . , αk ∈ V ∗ e os vetores v1, . . . , vk ∈ V , ja definimosna Eq.(1.22) que

α1 ⊗ · · · ⊗ αk :

k vezes︷︸︸︷V × V × · · · × V → K

(v1, . . . , vk) 7→ α1(v1) . . . αk(vk). (1.34)

Aqui (α1 ⊗ · · · ⊗ αk)(v1, . . . , vk) = α1(v1) . . . αk(vk). O espaco vetorial V ⊗p

,formado pelo produto tensorial entre p copias de V e denotado por Tp(V ) :=

V ⊗V ⊗· · ·⊗V , enquanto que o espaco vetorial (V ∗)⊗q

definido pelo produtotensorial de q covetores e tambem um espaco vetorial, denotado por T q(V ) :=V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗. Tambem definimos

v1 ⊗ · · · ⊗ vk :

k vezes︷︸︸︷V ∗ × · · · × V ∗ → K

(v1 ⊗ · · · ⊗ vk)(α1, . . . , αk) 7→ α1(v1)α2(v2) . . . αk(vk). (1.35)


Podemos considerar um caso mais geral, o de um produto tensorial de umnumero arbitrario de covetores e vetores, que sera elemento do espaco dos

tensores de tipo (p, q) em V , denotado por T qp (V ) = V ⊗p ⊗ (V ∗)

⊗q. Um

elemento arbitrario T ∈ T qp (V ) pode ser escrito na forma (nas somatoriasabaixo ρ = 1, . . . , p e σ = 1, . . . , q)

T =∑νρ

∑µσ

T ν1ν2...νpµ1µ2...µqeµ1 ⊗ eµ2 ⊗ · · · ⊗ eµp ⊗ eν1 ⊗ eν2 ⊗ · · · ⊗ eνq , (1.36)

onde Tν1ν2...νpµ1µ2...µq = T (eµ1 , eµ2 , . . . , eµq , eν1 , eν2 , . . . , eνp).

I Lema 1: Para um dado 0 6= v ∈ V , existe α ∈ V ∗ tal que α(v) = 1 J

Demonstracao: Como o conjunto v e linearmente independente, ele seestende a uma base vjj∈J de V . Tome v = vi0 . Defina α : V → K porα (∑i aivi) = ai0 . Entao α(v) = α(vi0) = 1 o

I Teorema 5: Considere V1, . . . , Vk K-espacos vetoriais e vj ∈ Vj. Entaov1⊗ · · ·⊗ vk = 0 ∈ V1⊗ · · ·⊗Vk se e somente vp = 0 para algum p = 1, . . . , kJ

Demonstracao: Se algum vp = 0, entao

v1 ⊗ · · · ⊗ vp ⊗ · · · ⊗ vk = v1 ⊗ · · · ⊗ 0⊗ · · · ⊗ vk = v1 ⊗ · · · ⊗ 0vp ⊗ · · · ⊗ vk= 0v1 ⊗ · · · ⊗ vk = 0 ∈ V1 ⊗ · · · ⊗ Vk (1.37)

Reciprocamente, usaremos a contraposicao. Se todo vj e diferente de zero,portanto v1 ⊗ · · · ⊗ vk 6= 0 e pelo Lema anterior, para j = 1, . . . , k existeαj ∈ V ∗j com αj(vj) = 1. Portanto α1⊗ · · · ⊗αk e uma aplicacao multilineartal que

(α1 ⊗ · · · ⊗ αk)(v1 ⊗ · · · ⊗ vk) = α1(v1) . . . αk(vk) = 1 6= 0

e decorre que v1 ⊗ · · · ⊗ vk 6= 0 o

Exercıcio 33: Mostre que dadas aplicacoes ψj ∈ Hom(Vj , Uj) entre K-espacos vetoriais, para i = 1, . . . , k, as aplicacoes multilineares ψ1⊗· · ·⊗ψk :V1⊗· · ·⊗Vk →W1⊗· · ·⊗Wk e nula se e somente se ψp for nula, para algum

p = 1, . . . , k

Dada uma permutacao σ : 1, 2, . . . , n → 1, 2, . . . , n, definimos o opera-dor ALT neste contexto denominado alternador, da seguinte maneira:

ALT(X1⊗X2⊗· · ·⊗Xp) =1

p!

∑σ∈Sp

ε(σ)Xσ(1)⊗Xσ(2)⊗· · ·⊗Xσ(p−1)⊗Xσ(p),

(1.38)


onde Sp e o grupo simetrico formado pelo conjunto de todas as permutacoese ε(σ) vale +1[−1] se a permutacao σ for par [ımpar]. O alternador definidodessa maneira e tambem um operador de projecao (ALT2 = ALT). Umk-covetor e um elemento Ψk tal que Ψk = ALT(Ψk).

B Exemplo 10: Assumimos que o espaco T 00 (V ) seja igual a K. Alem disso,

T 10 (V ) = V ∗, T 0

1 (V ) = V , e mais geralmente

T q0 (V ) = Hom(V, . . . , V︸︷︷︸q vezes

;K)

T q1 (V ) = Hom(V, . . . , V︸︷︷︸q vezes

;V )

Em particular, tensores do tipo (0,2) sao funcoes bilineares e tensores do tipo(1,1) sao aplicacoes lineares C

Obs.4: Os tensores do tipo T q0 sao chamados covariantes e os do tipoT 0q sao chamados contravariantes

Obs.5: Convencionamos denotar T 11(V ) = T 1

1 (V )

Exercıcio 34: Qual e a dimensao do espaco tensorial T qp (V )?

Exercıcio 35: Mostre que T 22 (V ) ' End(V ⊗ V )

Exercıcio 36: Mais geralmente, mostre que Tp(V )⊗T p(V ) ' End(V × · · · × V︸︷︷︸p vezes

)

A multiplicacao de tensores determina uma operacao bilinear

⊗ : T qp (V )× T sr (V )→ T q+sp+r (V )

tal que

(v1⊗· · ·⊗vp⊗α1⊗· · ·⊗αq)⊗(vp+1⊗· · ·⊗vp+r⊗αq+1⊗· · ·⊗αq+s) = v1⊗· · ·⊗vp+r⊗α1⊗· · ·⊗αq+s

Exercıcio 37: Defina um isomorfismo entre T 11 (V ) × T 1

1 (V ) → T 22 (V )

Exercıcio 38: Mostre que Tp(V ) ' T p(V ∗) e que T p(V ) ' Tp(V ∗)

Exercıcio 39: Considere a aplicacao

φV : V ⊗ V ∗ → End(V )

v ⊗ α 7→ φV (v ⊗ α) : V → V

u 7→ φV (v ⊗ α) := vα(u), ∀u, v ∈ V.


1. Mostre que qualquer transformacao linear T ∈ End(V ) pode ser escritana forma T = φV (

∑i,j T

ijei⊗ej), dada uma base arbitraria ei de V e

sua base dual ei ⊂ V ∗. Os escalares T ij sao dados por T (ei) = T ijej .

2. Mostre que ker φV = 0, de modo que junto com o resultado do item(a) podemos concluir que φV e um isomorfismo entre V ⊗V ∗ e End(V )

3. Mostre que φV (ei ⊗ ej) = idV

4. Considere as aplicacoes

ψV : V ∗ ⊗ V → Rα⊗ v 7→ ψV (α⊗ v) := α(v)

cV,V ∗ : V ⊗ V ∗ → V ∗ ⊗ Vv ⊗ α 7→ cV,V ∗(v ⊗ α) := α⊗ v

para quaisquer v ∈ V e α ∈ V ∗. Mostre que a funcao traco pode serdefinida atraves da seguinte composicao de aplicacoes: Tr = ψV cV,V ∗ φ−1V .

B Exemplo 11: Seja ei (i = 1, 2, 3) a base canonica de V = R3 ei a suabase dual. Defina uma correlacao τ : V → V ∗ como τ(e1) = 4e1 +e2, τ(e2) =

e1+3e2, τ(e3) = e3. Portanto dados u =∑3i=1 u

iei ∈ V e v =∑3j=1 v

iej ∈ V ,ja vimos que g(u, v) = τ(u)(v), e temos que

g(u, v) = τ(u1e1 + u2e2 + u3e3)(v) = u1(4e1 + e2)(v) + u2(e1 + 3e2)(v) + u3e3(v)

= 4u1v1 + u1v2 + u2v1 + 3u2v2 + u3v3

= 4(e1 ⊗ e1)(u, v) + (e1 ⊗ e2)(u, v) + (e2 ⊗ e1)(u, v)

+3(e2 ⊗ e2)(u, v) + (e3 ⊗ e3)(u, v)

e portanto

g = 4e1 ⊗ e1 + e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1 + 3e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e3 ∈ V ∗ ⊗ V ∗ (1.39)

C

Mais geralmente, uma forma bilinear g : V × V → K com valores em Kpode ser escrita como

g =

n∑i,j=1

gijei ⊗ ej ∈ T 2(V )

Exercıcio 40: Mostre que se g : V × V → K for simetrica, entaogij = gji, enquanto que se g : V ×V → K for alternada, entao gij = −gji


Exercıcio 41: Mostre que o produto vetorial e uma aplicacao bilinearalternada em R3.

Outra operacao importante sobre os tensores e denominada contracao, umaaplicacao linear

T qp (V )→ T q−1p−1 (V ), p, q > 0

definida ao se considerar a aplicacao

(v1, . . . , vp, α1, . . . , αq) 7→ α1(v1)(v2 ⊗ · · · ⊗ vp ⊗ α2 ⊗ · · · ⊗ αq)

que e claramente multilinear, e portanto existe uma aplicacao linear T qp (V )→T q−1p−1 (V ) tal que

(v1⊗v2⊗· · ·⊗vp⊗α1⊗α2⊗· · ·⊗αq) 7→ α1(v1)(v2⊗· · ·⊗vp⊗α2⊗· · ·⊗αq)

B Exemplo 12: Dado V = R3, considere o tensor A = e1⊗e1⊗e2 ∈ T 21 (V ).

Portanto a contracao de A e dada por e1(e1)e2 = e2 ∈ T 10 (V ) C

ñ Definicao 3: Seja G um grupo abeliano. Um espaco vetorial V e dito sergraduado por um grupo abeliano G se V for expresso como uma soma diretaV = ⊕iVi de subespacos, indexada por elementos i ∈ G. Aqui consideraremosapenas os casos quando G e dado por Z ou Z2. Os elementos de Vi saochamados homogeneos de grau i, e definimos grau (v) = i, se v ∈ Vi.

Dizemos que uma algebra A e G-graduada se seu espaco vetorial subjacenteV for G-graduado, ou seja, se existem subespacos Ak (k ∈ G) tais que A =⊕kAk e se dados xk ∈ Ak, yl ∈ Al temos xkyl ∈ Ak+l. Os elementos de Aksao ditos homogeneos de grau k. O numero k e denominado grau de xk ∈ Ake sera denotado por deg(xk) ou |xk|. 3

Como G e abeliano temos deg(xkyl) = deg(xk) + deg(yl). Para os escalaresa ∈ K temos deg(a) = 0.

Exercıcio 42: Mostre que o anel dos polinomios e Z2-graduado

A soma direta de todos os espacos vetoriais T qp (V ) munida da operacao desoma e produto tensorial chama-se algebra tensorial do espaco vetorial V . Aalgebra tensorial e uma algebra graduada. No caso geral a graduacao e dadapor G = Z× Z. De fato, a algebra tensorial dos tensores contravariantes

T (V ) =

∞⊕p=0

Tp(V ) (1.40)

e Z-graduada, ja que

Tp(V )⊗ Tq(V ) ⊂ Tp+q(V ),


enquanto que a algebra tensorial dos tensores covariantes

T ∗(V ) =

∞⊕p=0

T p(V ) (1.41)

e tambem Z-graduada, pois

T p(V )⊗ T q(V ) ⊂ T p+q(V )

Em particular,

Exercıcio 43: Mostre que T ∗(V ) e a algebra das funcoes multilineares

em V

Automorfismos da Algebra Tensorial

Considerando qualquer uma das algebras T (V ) ou T ∗(V ), o fato de cadauma delas ser uma algebra Z-graduada permite definir uma aplicacao deno-minada involucao graduada. Tomemos sem perda de generalidade a algebraT ∗(V ). A involucao graduada e definida como sendo a aplicacao

Ap = (−1)|Ap|Ap = (−1)pAp, (1.42)

onde Ap ∈ T p(V ) ⊂ T ∗(V ) e um tensor covariante de ordem p.

B Exemplo 13: Podemos mostrar que a involucao graduada e um auto-morfismo. De fato,

(Ap ⊗Bq) = (−1)|Ap⊗Bq|(Ap ⊗Bq)

= (−1)|Ap|+|Bq|(Ap ⊗Bq) = (−1)|A

p|Ap ⊗ (−1)|Bq|Bq

= (Ap)⊗ (Bq) (1.43)

C

Exercıcio 44: Qual e a ordem de tal automorfismo?

Obs.6: Denotaremos opcionalmente A por #A, onde A ∈ T (v) ouA ∈ T ∗(V )

Dizemos que um elemento Ap ∈ T p(V ) e par ou ımpar conforme (−1)p sejapar ou ımpar. Podemos entao definir os operadores

Π± : T (V ) → T (V )

A 7→ 1

2(1±#)A (1.44)

Exercıcio 45: Mostre que Π± sao projecoes


O subespaco T ∗+(V ) = Π+(T ∗(V )) consiste dos elementos pares de T ∗(V ),enquanto que o subespaco T ∗−(V ) = Π−(T ∗(V )) consiste dos elementos ımpares,e podemos escrever

T ∗(V ) = T ∗+(V )⊕ T ∗−(V )

Exercıcio 46: Mostre tal afirmacao (Dica: mostre que Π+ + Π− = 1 e

que Π±Π∓ = 0)

e temos

T ∗+(V )⊗ T ∗+(V ) ⊂ T ∗+(V ), T ∗+(V )⊗ T ∗−(V ) ⊂ T ∗−(V )

T ∗−(V )⊗ T ∗+(V ) ⊂ T ∗−(V ), T ∗−(V )⊗ T ∗−(V ) ⊂ T ∗+

Exercıcio 47: T ∗+(V ) e T ∗−(V ) sao subalgebras de T ∗(V )?

Alem da Z-graduacao inerente a algebra dos tensores covariantes (ou con-travariantes), a involucao graduada ainda mune tais algebras com uma Z2-graduacao.

A algebra tensorial e isomorfa a sua algebra oposta, a partir de um (anti-)automorfismo chamado reversao. Essa aplicacao e definida por

˜(Ap ⊗Bq) = Bq ⊗ Ap

onde Ap ∈ T p(V ), Bq ∈ T q(V ), com a = a se a ∈ K e α = α se α ∈ V ∗ =T 1(V ).

A partir dessas definicoes podemos ver que

( ˜α1 ⊗ α2 ⊗ · · · ⊗ αp) = αp ⊗ αp−1 ⊗ · · · ⊗ α2 ⊗ α1

o que justifica a denominacao reversao.

A composicao da involucao graduada e da reversao e denominada con-jugacao e e denotada por

Ap =˜Ap

Exercıcio 48: Calcule a involucao graduada, a reversao e a conjugacaodos seguintes elementos: a) α1 ⊗ α2 ⊗ α3 ∈ T 3(V ), onde α1, α2, α3 ∈ V ∗; b)

α1 ⊗ α2 − α3 ⊗ α2 ∈ T 2(V ), onde α1, α2, α3 ∈ V ∗


1.4 Algebra exterior

1.4.1 O produto exterior

ñ Definicao 4: A p-esima potencia exterior de V e um espaco vetorialΛp(V ) juntamente com um mapa p-linear

V ∗ × · · · × V ∗︸︷︷︸p vezes

7→ Λp(V )

(α1, . . . , αp) 7→ α1 ∧ · · · ∧ αp

de tal maneira que os covetores ei1 ∧ · · · ∧ eip formam uma base de Λp(V ) 3

Uma vez definida a algebra exterior, iremos ver sua interrelacao com ostensores anti-simetricos, bem como outros diversos aspectos formais e com-putacionais.

Sejam ψp um p-vetor e φq um q-vetor. Como essas quantidades sao ten-sores covariantes alternados, e natural tomarmos o produto tensorial destasquantidades, ou seja, ψp ∧ φq. O resultado deste produto tensorial, emboraseja um tensor covariante de ordem p + q, nao e alternado. Entretanto, aquantidade ALT (ψp ⊗ φq) e um tensor covariante alternado de ordem p+ q,ou seja, e um (p+ q)-vetor.

ñ Definicao 5: Sejam ψp ∈ Λp(V ) um p-vetor e φq ∈ Λq(V ) um q-vetor. O produto exterior ∧ : Λp(V ) × Λq(V ) → Λp+q(V ) e definido comoψp ∧ φq = ALT(ψp ⊗ φq) 3

O produto exterior e associativo, propriedade esta que e herdada do fatoque o produto tensorial e associativo. Obviamente o produto exterior tambeme bilinear. Se a ∈ K e um escalar, temos a ∧ ψp = aψp.

Dados α, β ∈ V ∗ e u, v ∈ V , definimos1 o produto exterior entre doiscovetores α ∧ β — agindo em u, v ∈ V como

(α ∧ β)(v, u) = ALT (α⊗ β) =1

2

∣∣∣∣ α(v) α(u)β(v) β(u)

∣∣∣∣Desenvolvendo o determinante, obtemos

(α ∧ β)(v, u) =1

2(α(v)β(u)− α(u)β(v)) =

1

2[(α⊗ β)(v, u)− (β ⊗ α)(v, u)].

Como essa expressao e valida para qualquer u, v ∈ V , concluımos que

α ∧ β =1

2(α⊗ β − β ⊗ α) = −β ∧ α

1Alguns autores nao usam o fator 1/2!. Preferimos usar essa definicao pois assim α∧β =ALT(α⊗ β) e o operador ALT depende do fator p! para ser um operador de projecao.

1.4. ALGEBRA EXTERIOR 29

Tal produto e bilinear e distributivo em relacao a adicao. Tambem notamosque α ∧ α = 0. O conjunto desses funcionais bilineares alternados e umsubespaco de T 2(V ), denotado por Λ2(V ). E comum denotarmos Λ0(V ) = Re Λ1(V ) = V ∗. Um 2-covetor e dito simples, ou fatorizavel, se ele puder serescrito na forma α1 ∧ α2, onde α1 e α2 sao covetores.

Uma generalizacao natural da definicao dada acima e feita para um ele-mento de Λk(V ):

(α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αk)(v1, v2, . . . , vk) =1

p!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣α1(v1) α1(v2) · · · α1(vk)α2(v1) α2(v2) · · · α2(vk)

......

......

αk(v1) αk(v2) · · · αk(vk)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣O conjunto dos funcionais k-lineares alternados formam um espaco vetorial

Λk(V ) e seus elementos serao ditos k-covetores. Definimos produtos de p-covetores simples como

(α1∧α2∧· · ·∧αm)∧(β1∧β2∧· · ·∧βl) = α1∧α2∧· · ·∧αm∧β1∧β2∧· · ·∧βl.

Note que se ψk ∈ Λk(V ) e φm ∈ Λm(V ), entao ψk ∧ φm = (−1)mkφm ∧ ψk.

Exercıcio 49: Prove isso!

Algebras graduadas que possuem tal propriedade sao denominadas su-peralgebras.

Uma base para o espaco Λp(V ) pode ser obtida a partir de uma basee1, . . . , en de V . Primeiramente consideraremos o espaco Λ2(V ) e os pro-dutos exteriores da forma ei ∧ ej . Devido a anti-comutatividade do produtoexterior de covetores, os unicos 2-covetores linearmente independentes dessaforma sao

e1 ∧ e2, e1 ∧ e3, e1 ∧ e4, . . . , e1 ∧ en,e2 ∧ e3, e2 ∧ e4, . . . , e2 ∧ en,

...

en−1 ∧ en

o que corresponde a (n − 1) + (n − 2) + · · · + 1 = n(n − 1)/2 elementos,exatamente a dim Λ2(V ). Este conjunto de 2-covetores forma uma base paraΛ2(V ) e portanto um 2-covetor arbitrario A ∈ Λ2(V ) pode ser escrito naforma

A =1

2

n∑i,j=1

Aijei ∧ ej =

∑i<j

Aijei ∧ ej


Na primeira expressao acima ha um fator 1/2, ausente na segunda expressao,pois na soma consideramos todos os valores dos ındices i, j = 1, 2, . . . , n ecomo Aij = −Aji e ei ∧ ej = −ej ∧ ei, estamos com isso contando duas vezesum mesmo termo, daı a divisao por dois. Considerando na segunda somaındices tais que i < j, nesse caso nenhum termo e contado duas vezes.

Generalizando esse resultado para k-covetores, uma base para o espacoΛk(V ) e da forma eµ1 ∧ eµ2 ∧ · · · ∧ eµk e o numero de elementos distintosconsiste na combinacao de n elementos tomados k a k, que e dada por

(nk

).

Dado a ∈ Λk(V ), tal elemento pode ser escrito como

ψk =∑

µ1<µ2<···<µk

aµ1µ2...µkeµ1 ∧ eµ2 ∧ · · · ∧ eµk , aµ1µ2...µk ∈ K. (1.45)

A dimensao de Λk(V ) e dada por

dim Λk(V ) =

(n

k

)=

n!

(n− k)!k!=

(n

n− k

)(1.46)

Portantodim Λk(V ) = dim Λn−k(V ) (1.47)

I Lema 2: O produto exterior de m covetores se anula sempre que m > n,onde n = dim V J

Prova: De fato, considere o produto α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn+1. Se dim V ∗ = n,temos no maximo n covetores αi linearmente independentes. Sem perdade generalidade, escolha a combinacao linear αn+1 =

∑ni=1 a

iαi. Portanto

α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn+1 = α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn ∧ (a1α1 + · · ·+ anαn)

= (−1)n−1a1α1 ∧ α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn + · · ·++anα1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn−1 ∧ αn ∧ αn

= 0, (1.48)

ja que αi ∧ αi = 0,∀αi ∈ Λ1(V ).Isso mostra que o espaco Λk(V ) e identicamente nulo, se k > n. Em

particular, dim Λn(V ) =(nn

)= 1 e os elementos de Λn(V ) sao denominados

pseudoescalares, enquanto que os k-covetores tambem recebe o nome de k-formas.

I Proposicao 3: Seja u ∈ V um vetor nao-nulo. Entao u ∧ v = 0 se esomente se v = au, para algum escalar a ∈ K J

Prova: Se v = au, entao u∧v = u∧ (au) = a(u∧u) = 0. Reciprocamente, sev 6= au, entao u e v sao L.I., e podem ser estendidos a uma base, e portantou ∧ v e um vetor da base de Λ2(V ), e portanto um elemento nao-nulo.


I Proposicao 4: Seja ∧ : V × · · · × V → Λk(V ) um produto exterior.Para toda aplicacao k-linear alternada φ : V × · · · × V → U , existe umaunica aplicacao φ : Λk(V ) → U tal que φ ∧ = φ, ou seja, φ(v1, . . . , vk) =

φ(v1 ∧ · · · ∧ vk), para todo v1, . . . , vk ∈ V . Toda funcao k-linear alternada

φ(v1, . . . , vk) = φ(v1 ∧ · · · ∧ vk) e funcao linear do seu produto exterior. J

Demonstracao: Dada uma base ordenada ei em V , considere φ :V × · · · × V → U uma funcao k-linear alternada, e defina uma aplicacaolinear φ : Λk(V ) → U tal que φ(eJ) = φ(ej1 , . . . , ejk), J = j1 < · · · < jronde eJ = ej1 ∧ · · · ∧ ejk . Como φ e alternada, φ ∧ coincide com φ em todas

as sequencias (ej1 , . . . , ejk). Portanto φ ∧ = φ. A unicidade segue de que

os valores de φ sao dados pelos k-vetores que geral Λk(V ). o

Ao efetuarmos a multiplicacao exterior entre 1-formas, obtemos 2-formas,3-formas, . . . , k-formas (1 ≤ k ≤ n), dependendo do numero de vezes queefetuamos o produto exterior (o mesmo vale para os vetores). Cada k-formapertence a uma algebra Λk(V ). Alem disso essa algebra nao e fechada emrelacao ao produto exterior, pois se Ψk ∈ Λk(V ) e Ψm ∈ Λm(V ) entao vemosque Ψk ∧ Ψm ∈ Λm+k(V ). Para contornarmos essa situacao nao desejada,definimos

Λ(V ) = Λ0(V )⊕ Λ1(V )⊕ Λ2(V )⊕ · · · ⊕ Λn(V ) =

n⊕k=0

Λk(V )

I Teorema 6: Seja 0 6= ψ ∈ Λ2(V ). Entao ψ e fatorizavel se e somentese ψ ∧ ψ = 0 ∈ Λ4(V ) J

Demonstracao: Se ψ = u ∧ v, u, v ∈ V , entao ψ ∧ ψ = u ∧ v ∧ u ∧ v = 0.A recıproca sera provada por inducao na dimensao de V . Se dim V = 0 ou1, entao Λ2(V ) = 0, e portanto o primeiro caso e quando dim V = 2. Nessecaso dim Λ2(V ) = 1 e v1 ∧ v2 e um elemento nao nulo se v1, v2 for base deV , sendo ψ fatorizavel.

Se alem disso um k-covetor ψk puder ser expresso como o produto exteriorde k elementos de V ∗, entao ψk e dito ser fatorizavel. Embora multicovetoresfatorizaveis geram Λk(V ), nem todo elemento de Λk(V ) e fatorizavel. Porexemplo, em R4 o 2-covetor φ = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 e uma forma simpletica, jaque φ ∧ φ 6= 0.

O caso em que dim V = 3 consideramos separadamente agora. Dado0 6= ψ ∈ Λ2(V ), defina uma aplicacao A : V → Λ3(V ) por A(v) = ψ ∧ v.Como dim Λ3(V ) = 1, entao dim ker A ≥ 2, e sejam u1 e u2 vetores L.I. emker A. Estenda a uma base u1, u2, u3 de V , e podemos escrever

ψ = au1 ∧ u2 + bu1 ∧ u3 + cu2 ∧ u3


Por definicao A(u1) = 0, e portanto 0 = ψ∧u1 = cu1∧u2∧u3, implicando emc = 0. Da mesma maneira A(u2) = 0, e portanto 0 = ψ∧u2 = −bu1∧u2∧u3,o que significa que b = 0. Segue-se que

ψ = au1 ∧ u2,

que e fatorizavel. Assuma agora por inducao que a afirmacao e verdadeirapara dim V ≤ n − 1 e considere o caso onde dim V = n. Usando a basev1, . . . , vn, escreva

ψ =

n∑1≤i<j

aijvi ∧ vj

=

(n−1∑i=1

ainvi

)∧ vn +

n−1∑1≤i<j

aijvi ∧ vj

= u ∧ vn + ψ′

onde U = 〈v1, . . . , vn−1〉, u ∈ U e ψ′ ∈ Λ2(V ).Agora,

0 = ψ ∧ ψ = (u ∧ vn + ψ′) ∧ (u ∧ vn + ψ′) = 2u ∧ ψ′ ∧ vn + ψ′ ∧ ψ′

mas vn nao aparece nem na expansao de u ∧ ψ′ nem na de ψ′ ∧ ψ′, e sepa-radamente obtemos u ∧ ψ′ = 0 = ψ′ ∧ ψ′. Por inducao, 0 = ψ′ ∧ ψ′ implicaem ψ′ = u1 ∧ u2, e u ∧ u1 ∧ u2ψ′ = 0. Portanto existem µ, λ1, λ2 ∈ K taisque µu + λ2u2 + λ1u1 = 0. Se µ = 0, entao u1 e u2 sao L.D., e portantoψ′ = u1 ∧u2 = 0, significando que ψ = u∧ vn e, portanto, ψ e fatorizavel. Seµ 6= 0, entao u = (λ2/µ)u2 + (λ1/µ)u1, e

ψ = λ1u1 ∧ vn + λ2u2 ∧ vn + u1 ∧ u2,

sendo esse o caso 3-dimensional, o qual provamos que sempre e fatorizavel o

Exercıcio 50: Considere v1, v2, v3, v4 um conjunto L.I. de um K-espaco vetorial V . Calcule ψ ∧ φ nos seguintes casos:

1. ψ = φ = v1 ∧ v2 + v2 ∧ v3 + v3 ∧ v1

2. ψ = v1 ∧ v2 + v3 ∧ v1, φ = v2 ∧ v3 ∧ v4

Exercıcio 51: Prove que e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 ∈ Λ2(R4) nao e fatorizavel.


B Exemplo 14: Um exemplo interessante de aplicacao da algebra exterioresta na solucao de um sistema de equacoes lineares. Vamos considerar porsimplicidade um sistema de 3 equacoes lineares e 3 incognitas (a generalizacaopara um sistema de n equacoes e n incognitas e trivial):

a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3

que pode ainda ser escrito na formaa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

x1x2x3

=

y1y2y3

(1.49)

Agora vamos tomar uma base e1, e2, e3 de R3 e definir os seguintes vetores:

v1 = a11e1 + a21e2 + a31e3

v2 = a12e1 + a22e2 + a32e3

v3 = a13e1 + a23e2 + a33e3

w = y1e1 + y2e2 + y3e3 (1.50)

Podemos entao escrever o sistema de equacoes lineares na forma x1v1+x2v2+x3v3 = w. Vamos agora multiplicar exteriormente a esquerda essa equacaovetorial pelo 2-vetor v1 ∧ v2. Uma vez que v1 ∧ v2 ∧ v1 = v1 ∧ v2 ∧ v2 = 0segue que

x3v1 ∧ v2 ∧ v3 = v1 ∧ v2 ∧ w.

Vamos agora calcular os produtos exteriores acima. Primeiro temos

v1∧v2 = (a11a22−a21a12)e1∧e2+(a11a32−a31a12)e1∧e3+(a21a32−a31a22)e2∧e3.

O produto exterior deste 2-vetor por v3 fornece

v1 ∧ v2 ∧ v3 = [a33(a11a22 − a21a12)− a23(a11a32 − a31a12)

+a13(a21a32 − a31a22)]e1 ∧ e2 ∧ e3]

que podemos escrever utilizando a funcao determinante como

v1 ∧ v2 ∧ v3 = det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

e1 ∧ e2 ∧ e3


Por outro lado, o produto exterior v1 ∧ v2 ∧ w resulta em

v1 ∧ v2 ∧ w = [y3(a11a22 − a21a12)− y2(a11a32 − a31a12)

+ y1(a21a32 − a31a22)] e1 ∧ e2 ∧ e3

que pode ser escrito na forma

v1 ∧ v2 ∧ w = det

a11 a12 y1a21 a22 y2a31 a32 y3

e1 ∧ e2 ∧ e3 (1.51)

Portanto a equacao vetorial x3v1 ∧ v2 ∧ v3 = v1 ∧ v2 ∧ w tem solucao sev1 ∧ v2 ∧ v3 6= 0, o que equivale a

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

6= 0 (1.52)

e nesse caso v3 e dado por

x3 =

det

a11 a12 y1a21 a22 y2a31 a32 y3

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

(1.53)

Repetindo o mesmo raciocınio, utilizando ao inves do 2-vetor v1 ∧ v2 agoraos 2-vetores v1 ∧ v3 e v2 ∧ v3, encontramos que

x2 =

det

a11 y1 a13a21 y2 a23a31 y3 a33

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, x1 =

det

y1 a12 a13y2 a22 a23y3 a32 a33

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

(1.54)

As expressoes finais para x1, x2 e x3 sao bem conhecidas de todos e atendempelo nome de regra de Cramer. Evidentemente nao ha nada dentro do expostoacima que limite este metodo a dimensao 3, de modo que a generalizacaodo resultado acima para dimensoes maiores, correspondendo a sistemas deequacoes lineares de ordens superiores, pode ser facilmente efetuada. C


Dada uma base ei de vetores unitarios de V e a correspondente basedual ei, ao considerarmos uma variedade M e xi coordenadas locaisdefinidas em um aberto U ⊆M podemos escrever ei = dxi e ei = ∂

∂xi temos

dxi( ∂∂xj ) = ∂xi

∂xj = δji , podemos escrever uma multiforma diferencial Ψ ∈ Λ(V )como — aqui usamos a convencao da somatoria de Einstein:

Ψ = a+aidxi+aijdx

i∧dxj+aijkdxi∧dxj∧dxk+ · · ·+p dx1∧dx2∧· · ·∧dxn.

(1.55)onde a, ai, aij , . . . , p ∈ K

ñ Definicao 6: O par (Λ(V ),∧) e denominado algebra exterior do espacovetorial V . De maneira analoga pode ser definida a algebra exterior Λ(V ∗),onde passamos a considerar o produto exterior de vetores 3

Uma base para o espaco Λk(V ) e da forma eµ1∧eµ2∧· · ·∧eµk e o numerode elementos distintos de Λk(V ) consiste na combinacao de n elementos to-mados k a k, que e dada por

(nk

). Um elemento ψk ∈ Λk(V ) pode ser escrito

como

Exercıcio 52: Dada uma base ei de V — um K-espaco vetorial n-dimensional — expresse en ∧ en−1 ∧ · · · ∧ e2 ∧ e1 em termos de e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧en−1 ∧ en

Exercıcio 53: Em um espaco vetorial V = R3, dados A,B,C ∈ Λ(V ),onde A = 3 + 3e1 + e2 ∧ e3, B = −e2 + 4e1 ∧ e2 ∧ e3 e C = 1 + e3 + e1 ∧ e3calcule

1) A ∧ A, B ∧ B, C ∧ C, B ∧ A, A ∧ B, C ∧ A, A ∧ C, B ∧ C, C ∧ B,A ∧B ∧ C, A ∧ C ∧ C

2) 〈A ∧B〉0; 〈A ∧B〉1; 〈A ∧B〉2; 〈A ∧B〉3

3) 〈A ∧ C〉0; 〈A ∧ C〉1; 〈A ∧ C〉2; 〈A ∧ C〉3

4) 〈B ∧ C〉0; 〈B ∧ C〉1; 〈B ∧ C〉2; 〈B ∧ C〉3

Exercıcio 54: Considere u1, u2, . . . , u2r−1, u2r vetores duais L.I. emum K-espaco vetorial V . Seja v = u1∧u2+u3∧u4+u5∧u6+· · ·+u2r−1∧u2r,mostre que

v ∧ v ∧ · · · ∧ v︸︷︷︸r vezes

= r! (u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ u2r−1 ∧ u2r)


Exercıcio 55: Sejam B = ei e B′ = e′i duas bases de V relacionadas

atraves de ei = Bji ej e B = Bij a matriz de mudanca de base onde Bijcorresponde ao elemento da j-esima linha e i-esima coluna (i, j = 1, . . . , n).Esta mudanca de base induz obviamente uma mudanca de base nos espacosdos k-vetores. (a) Mostre que

e′i ∧ e′j =∑k<l

(det ∆klij )ek ∧ el,

onde ∆klij denota a matriz de ordem 2 obtida a partir da matriz B da seguinte

forma: a primeira linha de ∆klij e dada pela i-esima linha de B e a segunda

linha de ∆klij pela j-esima linha de B; a primeira coluna de ∆kl

ij e dada pela

k-esima coluna de B e a segunda coluna de ∆klij pela l-esima coluna de B.

Na expressao acima∑j<l denota a soma sobre todos os valores de j e l tais

que j < l. (b) Generalize o resultado anterior mostrando que no espaco dosk-vetores (k < n) tem-se

e′µ1∧ · · · ∧ e′µk =

∑ν1<···<νk

(det ∆ν1···νkµ1···µk)eν1 ∧ · · · ∧ eνk ,

onde ∆ν1···νkµ1···µk denota a matriz de ordem k obtida a partir da matriz B to-

mando a i-esima linha de ∆ν1···νkµ1···µk como sendo a µi-esima linha de B e a

j-esima coluna de ∆ν1···νkµ1···µk como sendo a νj-esima coluna de B. (c) Como

consequencia destes resultados mostre que para os pseudo-escalares temos

e′1 ∧ · · · ∧ e′n = (det B)e1 ∧ · · · ∧ en.

Exercıcio 56: Partindo dessa ultima expressao (que podemos tomarcomo definicao do determinante de uma transformacao linear) deduza a regra

do desenvolvimento de Laplace para o calculo de determinantes.

Exercıcio 57: Seja V um espaco vetorial (dimV = n) e W o subespacok-dimensional gerado por v1, . . . ,vk. O k-vetor IW = v1 ∧ · · · ∧ vk definecompletamente este subespaco e um vetor v esta em W se e so se v∧ IW = 0(veja o exemplo 2.2). Se B = ei (i = 1, . . . , n) e uma base de V , ascomponentes do k-vetor IW com relacao a base eµ1

∧· · ·∧eµk |µ1 < · · · < µkde∧k(V ) sao chamadas coordenadas de Plucker do subespaco W na base B,

ou seja, as coordenadas de Plucker V µ1···µk sao dadas por

IW = v1 ∧ · · · ∧ vk = V µ1···µkeµ1∧ · · · ∧ eµk .

(a) Mostre que em geral as coordenadas de Plucker nao sao todas indepen-dentes mas satisfazem um conjunto de identidades chamadas correlacoes de


Plucker dadas porV [µ1···µkV ν1]ν2···νk = 0,

onde os colchetes indicam antissimetrizacao dos ındices, ou seja,

V [µ1···µkV ν1]ν2···νk

= V µ1···µkV ν1ν2···νk − V µ1···µk−1ν1V µkν2···νk

+ V µ1···µk−2ν1V µk−1ν2···νk +−V µ1···µk−3µk−1ν1V µk−2ν2···νk · · ·+ (−1)k−1V µ1µ3···µk−1ν1V µ2ν2···νk + (−1)kV µ2µ3···µk−1ν1V µ1ν2···νk .

(b) Nem todas as correlacoes de Plucker sao nao-triviais. Muitas decorrem,por exemplo, da anti-comutatividade das componentes V µ1···µk = V [µ1···µk]

do k-vetor IW . Mostre que para k = n e k = n − 1 todas as correlacoes dePlucker sao triviais. (c) Considere o caso em que n = 4 e k = 2. Mostre que

nesse caso existe apenas uma correlacao de Plucker nao-trivial.

Finalmente, dim Λ(V ) =∑nk=0

(nk

)= 2n.

Exercıcio 58: Mostre que todo p-covetor em um espaco V tal que dimV ≤ 3 e simples

Exercıcio 59: Para dim V ≥ 4 nem todo p-vetor e simples. Por exemplo,seja V um espaco vetorial de dimensao 4 e e1, e2, e3, e4 uma base de V . Sejaψ = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4. Mostre que nao existe nenhuma combinacao linear dosvetores ei (i = 1, 2, 3, 4) que permita escrever ψ na forma ψ = v1 ∧ v2

A seguir daremos uma definicao equivalente de algebra exterior.

ñ Definicao 7: Um mapa φ : V × · · · × V︸︷︷︸p vezes

→ U e dito anti-simetrico se

φ(vi1 , . . . , vip) = sign(i1, . . . , ip)φ(v1, . . . , vp)

para qualquer permutacao dos ındices (i1, . . . , ip) ∈ Nn. O termo sign(i1, . . . , ip)denota o sinal de tal permutacao. Quando U = K, o mapa φ e dito ser umaaplicacao multilinear anti-simetrica. 3

Exercıcio 60: Existem A,B ∈ Λ(V ), ambos nao-nulos tais que A∧B =

0?

Obs.7: O espaco Λp(V ) pode ser identificado com o subespaco dostensores anti-simetricos em T p(V )

Exercıcio 61: Mostre que dadas duas aplicacoes A,B ∈ End(V ), entao

det(AB) = (detA)(detB), det(A−1) = (detA)−1.


Obs.8: A complexificacao de espacos vetoriais tambem comuta com oproduto tensorial, e em particular com o produto exterior. Por exemplo, seV e W sao espacos vetoriais reais, existe um isomorfismo natural

(V ⊗R W )C ' V C ⊗C WC.

Observe que o produto tensorial do lado esquerdo da expressao acima e to-mado sobre os reais enquanto que o lado direito e tomado sobre os complexos.Tambem,

(ΛkR(V ))C ' ΛkC(V C).

Em todos esses casos os isomorfismos sao canonicos.

1.4.2 Operacoes dentro da algebra exterior

Como a algebra exterior e formada pela parte alternada da algebra ten-sorial, os (anti-)automorfismos definidos para a algebra tensorial induzem osmesmos automorfismos definidos para a algebra exterior, que explicitaremosa seguir, devido a sua tamanha importancia.

A projecao

〈〉k : Λ(V )→ Λk(V ) (1.56)

e definida de modo que 〈Ψ〉k denota a parte k-covetorial de Ψ ∈ Λ(V ).A reversao e definida como (α1∧α2∧· · ·∧αk)∼ = αk∧αk−1∧· · ·∧α2∧α1 =

(−1)k(k−1)/2α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αk.Ja a acao da involucao graduada em Ψ ∈ Λ(V ) e denotada como no caso da

algebra tensorial por Ψk = #(Ψk) = (−1)kΨk. Este automorfismo e usadopara definirmos uma Z2-graduacao em Λ(V ). Os Z2-subespacos homogeneosconsistem na soma de todos os Z-subespacos de grau par e ımpar, onde o graudo subespaco se refere ao autovalor ±1 do operador #, ja que os Z-subespacoshomogeneos sao autoespacos do operador #.

A conjugacao e analogamente definida como sendo a composicao da re-

versao com a involucao graduada, e e denotada por Ψ = (˜Ψ) = Ψ.

1.5 Algebra Exterior como Quociente da AlgebraTensorial

Num conjunto X, dados dois elementos a, b ∈ X, dizemos que a e equi-valente a b (e denota-se por a ∼ b) se (i) a ∼ a, (ii) se a ∼ b entao b ∼ a,e (iii) se a ∼ b e b ∼ c entao a ∼ c, ∀a, b, c ∈ X. O conjunto de todos oselementos equivalentes a um elemento a constituem a classe de equivalencia

1.5. ALGEBRA EXTERIOR COMO QUOCIENTE DA ALGEBRA TENSORIAL 39

de a, denotada por [a] = b ∈ X | b ∼ a. O conjunto dessas classes deequivalencia e denotado por X = X/ ∼= [a] | a ∈ X.

Seja A uma algebra sobre um corpo K. Um conjunto IL ⊂ A e um ideal aesquerda de A se ∀a ∈ A e ∀x ∈ IL temos ax ∈ IL. Analogamente, IR ⊂ Ae um ideal a direita de A se ∀a ∈ A e ∀x ∈ IR temos xa ∈ IR. O conjuntoI ⊂ A e dito um ideal bilateral (ou simplesmente ideal) de A se ∀a, b ∈ A e∀x ∈ I temos axb ∈ I.

Suponha que A = B+ C, onde necessariamente, B e C nao sao subalgebrase a soma tambem nao precisa ser soma direta. Definimos a seguinte relacaode equivalencia em A

a ∼ b⇐⇒ a = b+ x, x ∈ C.

O conjunto A/ ∼ tem uma estrutura natural de espaco vetorial com asdefinicoes

[a] + [b] = [a+ b] , λ [a] = [λa]

para λ ∈ K corpo.

Exercıcio 62: Prove tal afirmacao.

Para que as classes de equivalencia sejam uma algebra, definimos o produtoentre classes de equivalencia tal como segue [a] [b] = [ab].

Para c, d ∈ C temos

[a] [b] = [a+ c] [b+ d] = [ab+ ad+ cb+ cd]

ou seja, ad+cb+cd ∈ C, o que e verdade so se C for um ideal. Nesse caso temosuma algebra denominada algebra quociente de A pelo ideal C, denotada porA/C.

Seja I um ideal de T (V ) consistindo de todos elementos da forma∑i ai ⊗

v ⊗ v ⊗ bi com v ∈ V, ai, bi ∈ T (V ). Podemos ainda dizer que o ideal I egerado por v ⊗ u+ u⊗ v com v, u ∈ V .

Vamos agora mostrar que a algebra exterior e isomorfa a algebra quocienteT (V )/I. A relacao de equivalencia em questao e

a ∼ b⇐⇒ a = b+ x, x ∈ I.

A classe de equivalencia de a e denotada por [a] e o produto e denotadopor

[a] ∧ [b] = [a⊗ b] .

Dados v, u ∈ V , podemos calcular v ∧ u de acordo com a definicao acima

v ⊗ u =1

2(v ⊗ u− u⊗ v) +

1

2(v ⊗ u+ u⊗ v)


onde 1/2(v ⊗ u+ u⊗ v) ∈ I. Com efeito, usando a polaridade

v ⊗ u+ u⊗ v = (v + u)⊗ (v + u)− v ⊗ v − u⊗ u.

Portanto

v ⊗ u ∼ v ∧ u =1

2(v ⊗ u− u⊗ v),

ou [v ⊗ u] = [v ∧ u] e [v] ∧ [u] = [v ∧ u].O resultado acima pode ser generalizado como

v1 ⊗ · · · ⊗ vk ∼ ALT(v1 ⊗ · · · ⊗ vk) = v1 ∧ · · · ∧ vk,

mostrando portanto que

Λ(V ) ' T (V )/I. (1.57)

1.6 Contracoes

A aplicacao linear α : V → K foi definida como um elemento do espacodual V ∗. Podemos generalizar esse conceito, introduzindo uma operacaodenominada contracao a esquerda pelo vetor v, que age sobre Ω ∈ Λk(V ) eresulta em um elemento de Λk−1(V ), da seguinte maneira:

(vcΩk)(v1, v2, . . . , vk−1) = k Ωk(v, v1, . . . , vk−1). (1.58)

No caso em que k = 1, a definicao se reduz a vcα = α(v). Para a ∈ R, temosvca = 0. A definicao dada acima nao e util do ponto de vista computacional.Vamos considerar a contracao de α ∧ β por um vetor v:

vc(α ∧ β)(u) = (α ∧ β)(v, u) = (α(v)β − β(v)α)(u) = ((vcα)β − (vcβ)α)(u).

A generalizacao dessa equacao para multicovetores Ψ e Φ arbitrarios e dadapela regra de Leibniz graduada:

vc(Ψ ∧ Φ) = (vcΨ) ∧ Φ + Ψ ∧ (vcΦ) (1.59)

A definicao de contracao a direita e feita de maneira semelhante:

(Ωbv)(v1, v2, . . . , vk−1) = kΩ(v1, . . . , vk−1, v) (1.60)

e a regra de Leibniz graduada para a contracao a direita e expressa como

(Ψ ∧ Φ)bv = Ψ ∧ (Φbv) + (Ψbv) ∧ Φ (1.61)

1.6. CONTRACOES 41

I Teorema 7: A contracao a esquerda se relaciona com a contracao adireita por:

vcΨ = −Ψbv (1.62)

onde Ψ ∈ Λ(V ). J

ñ Definicao 8: Para encontrarmos a relacao entre a contracao a esquerdae a direita, basta notarmos que

Ak(α, α1, . . . , αk−1) = (v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk)(α, α1, α2, . . . , αk−1)

=1

k!

∑σ∈Sk

ε(σ)α(vσ(1))α1(vσ(2)) . . . αk−1(vσ(k))

=1

k!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

α(v1) α(v2) · · · α(vk)α1(v1) α1(v2) · · · α1(vk)α2(v1) α2(v2) · · · α2(vk)

......

. . ....

αk−1(v1) αk−1(v2) · · · αk−1(vk)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)k−1Ak(α1, . . . , αk−1, α)

o que implica em αcAk = (−1)k−1Akbα. Portando chegamos a relacao αcA =−Abα onde A e um multivetor arbitrario. 3

Podemos nao somente nos restringir a contracao por vetores, mas por k-vetores (ou de modo mais geral, por multivetores, estendendo-se o caso dosk-vetores por linearidade). Dado um k-vetor v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk, definimos

(v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk)c = v1cv2c . . . vky

e

b(v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk) = bv1bv2 . . . bvk (1.63)

Essa definicao e natural de maneira que o operador b seja o dual do operador∧. Segue-se que a contracao de um q-vetor por um p-vetor se anula parap > q. A mesma generalizacao pode ser feita para multicovetores.

B Exemplo 15: Das definicoes acima segue imediatamente que a contracaode um p-covetor por um q-vetor anula-se quando q > p. Ilustramos agora ouso da contracao considerando a contracao de um 2-vetor por um 2-covetore em seguida um 3-vetor por um 3-covetor. Leve em conta v ∧ u um 2-vetor,portanto da definicao

(α ∧ β)c(v ∧ u) = αcβc(v ∧ u) = αc((βcv)u− (βcu)v)

= β(v)α(u)− β(u)α(v)


e agora considerando v ∧ u ∧ w um 3-vetor vem

(α ∧ β ∧ λ)c(v ∧ u ∧ w) = αcβcλc(v ∧ u ∧ w)

= αcβc12

(λ(v)u ∧ w + λ(u)w ∧ v + λ(w)v ∧ u− λ(w)u ∧ v − λ(v)w ∧ u− λ(u)v ∧ w)

= λ(v)β(u)α(w)− λ(v)β(w)α(u) + λ(u)β(w)α(v)− λ(u)β(v)α(w)

+λ(w)β(v)α(u)− λ(w)β(u)α(v).

C

B Exemplo 16: Para o nosso caso

(α ∧ β)(v ∧ u) =1

2(α(v)β(u)− α(u)β(v)) = −1

2(α ∧ β)c(v ∧ u) =

1

2(β ∧ α)c(v ∧ u)

=1

2(α ∧ β)c(v ∧ u).

C

Generalizando o resultado para Υp ∈ Λp(V ) e Ξp ∈ Λp(V ), obtemos [7]

Υp(Ξp) =1

p!ΥpcΞp.

Exercıcio 63: Sejam os covetores α = 5e1 − 2e2, β = e2 + 3e3 − e4 eo multivetor ψ = e1 ∧ e2 ∧ e3 + 2e1 ∧ e4. Calcule αcA, βcA, αcβcA, βcαcA,

(α ∧ β)cA.

1.7 A Algebra de Grassmann

Primeiramente precisamos definir a extensao do funcional bilinear simetriconao-degenerado g : V × V → R, que e o mesmo que estender a correlacaoτ : V → V ∗. Definimos essa extensao como uma aplicacao τ : Λk(V )→ Λk(V )dada por

τ(v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk) = τ(v1) ∧ τ(v2) ∧ · · · ∧ τ(vk).

Apos esse resultado, podemos definir a extensao do funcional bilinear g : V×V → R, g(v, u) = τ(v)(u). Denotando por G, a extensao G : Λk(V ) ×Λk(V )→ R para o caso de k-vetores e dada por

G(v1 ∧ · · · ∧ vk, u1 ∧ · · · ∧ uk) = k!τ(v1 ∧ · · · ∧ vk)(u1 ∧ · · · ∧ uk)

= τ(vk ∧ · · · ∧ v1)c(u1 ∧ · · · ∧ uk)

1.8. ISOMORFISMO DE HODGE 43

ou ainda

G(v1 ∧ · · · ∧ vk, u1 ∧ · · · ∧ uk) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣g(v1, u1) g(v1, u2) · · · g(v1, uk)g(v2, u1) g(v2, u2) · · · g(v2, uk)

......

. . ....

g(vk, u1) g(vk, u2) · · · g(vk, uk)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Dados ψk ∈ Λk(V ) e φm ∈ Λm(V ) com k 6= m definimos

G(ψk, φm) = 0.

ñ Definicao 9: A algebra exterior Λ(V ) equipada com a extensao G paratodo Λ(V ) e a algebra de Grassmann do espaco vetorial V , que denotaremospor G(V ).3

Exercıcio 64: Dada uma base v1, v2 . . . , vn de V ∗, e dada uma formabilinear simetrica nao-degenerada g : V ∗×V ∗ → K, defina o produto internoem Λ2(V ) da seguinte maneira:

G : Λ2(V )× Λ2(V ) → K

(vi ∧ vk, vr ∧ vs) 7→ G(vi ∧ vk, vr ∧ vs) = det

(g(vi, vr) g(vi, vs)g(vk, vr) g(vk, vs)

)Calcule a norma de v1 ∧ v2 ∈ Λ2(V ), onde v1 = e1 + 2e3 e v2 = e2 + e3 e

eini=1 e base canonica de V ∗ (ou seja, g(ei, ej) = δij).

1.8 Isomorfismo de Hodge

Vimos que os espacos vetoriais Λk(V ) e Λn−k(V ) tem a mesma dimensao e,portanto, sao isomorfos. Esse isomorfismo nao e canonico e uma maneira deconstruirmos este isomorfismo e atraves do isomorfismo de Hodge, que estadefinido dentro do contexto da algebra de Grassmann pois faz uso de umacorrelacao em V [7].

O isomorfismo de Hodge dado pelo operador dual ? : Λk(V )→ Λn−k(V ) edefinido como

A ∧ ?B = G(A,B)ΩV

∀ A,B ∈ Λk(V ) e ΩV como sendo um n-vetor unitario. De onde temostambem que ?1 = ΩV e ?A = AcΩV .


B Exemplo 17: Vamos calcular o dual de Hodge para os elementos 1, e1, e2, e3, e1∧e2, e1 ∧ e3, e2 ∧ e3, e1 ∧ e2 ∧ e3 com (ei)

2 = 1 para i = 1, 2, 3, onde I =e1 ∧ e2 ∧ e3 e o elemento de volume:

?1 = I = e1 ∧ e2 ∧ e3,

?e1 = e2 ∧ e3, ?e2 = e3 ∧ e1, ?e3 = e1 ∧ e2,

?(e1 ∧ e2) = e3, ?(e3 ∧ e1) = e2, ?(e2 ∧ e3) = e1,

?I = ?(e1 ∧ e2 ∧ e3) = 1.

C

Exercıcio 65: Seja R3 equipado com o produto escalar euclidiano usual.Seja × o produto vetorial usual de vetores e ∧ o produto de vetores definidocomo v × u = ?(v ∧ u), u, v ∈ R3. Mostre que os objetos definidos porv×u e v × u apresentam as mesmas componentes. Mostre que enquanto oobjeto definido por v×u e o que se chama um vetor axial ou pseudovetor ouseja, e um objeto que nao muda de sinal perante uma inversao do sistema decoordenadas, o objeto definido por v×u e de fato um vetor, as vezes chamadovetor polar, em distincao de vetor axial, pois neste caso ha uma mudanca desinal perante uma inversao do sistema de coordenadas.

1.9 Operadores de Criacao e Aniquilacao

Em G(V ) podemos realizar o produto exterior entre o vetor v e o multivetorA como v∧A ou A∧v. Como o resultado e um multivetor, interpretamos esseproduto exterior com um elemento do espaco dos endomorfismos2 de Λ(V ),denotado por End(Λ(V )). Definimos E : V → End(Λ(V )) por [7]

E(v)(A) = v ∧A

onde E e dito um operador de criacao. Olhando para o produto exteriorentre v e A na ordem reversa, i.e., A∧ v, podemos definir outro operador quedefinimos por E† : V → End(Λ(V ))

E†(v)(A) = A ∧ v

Existe uma relacao entre os operadores E e E†. Considerando o caso emque A e um k-vetor temos

v ∧Ak = (−1)kAk ∧ v, donde escrevemos v ∧A = (#A) ∧ v,

2Uma aplicacao φ : X → Y e um homomorfismo se φ(a ∗ b) = φ(a) • φ(b), onde ∗ e aoperacao em X e • a operacao em Y . Se Y = X entao esse homomorfismo e dito umendomorfismo.

1.9. OPERADORES DE CRIACAO E ANIQUILACAO 45

segue portanto que

E(v) = E†(v)# E†(v) = E(v)#

Outra operacao sobre multivetores sao as contracoes a esquerda e a direitapor um covetor. Utilizando estas operacoes definimos os operadores I e I†.O operador de aniquilacao I : V ∗ → End(Λ(V )) e definido por

I(α)(A) = αcA.

Ja o operador I† e definido como

I†(α)(A) = Abα,

e a relacao entre esses operadores segue direto da relacao entre contracao adireita e a esquerda

I(α) = −I†(α)# I†(α) = −I(α)#

Da propriedade de anti-comutatividade do produto exterior de dois cove-tores segue de imediato a relacao de comutacao entre os operadores do tipocriacao:

E(v)E(u) + E(u)E(v) = 0 (1.64)

Com efeito,

(E(v)E(u) + E(u)E(v)) (A) = (E(v)E(u)) (A) + (E(u)E(v)) (A)

= v ∧ u ∧A+ u ∧ v ∧A = v ∧ u ∧A− v ∧ u ∧A = 0

para todo v, u ∈ V,A ∈ Λ(V ). Do mesmo modo temos que

E†(v)E†(u) + E†(u)E†(v) = 0.

Temos tambem a relacao de comutacao entre os operadores do tipo ani-quilacao,

I(α)I(β) + I(β)I(α) = 0 (1.65)

∀α, β ∈ V ∗. Com efeito,

(I(α)I(β) + I(β)I(α)) (A) = (I(α)I(β)) (A) + (I(β)I(α)) (A)

= αc (βcA) + βc (αcA) = αc (βcA) + (β ∧ α)cA= αc (βcA)− (α ∧ β)cA = αcβcA− αcβcA = 0


Analogamente segue

I†(α)I†(β) + I†(β)I†(α) = 0.

E finalmente, temos a relacao entre operadores de criacao e aniquilacao.

I(α)E(v) + E(v)I(α) = α(v) (1.66)

I†(α)E†(v) + E†(v)I†(α) = α(v)

Demonstraremos apenas o primeiro resultado uma vez que o segundo eobtido de maneira analoga

(I(α)E(v) + E(v)I(α)) (A) = (I(α)E(v)) (A) + (E(v)I(α)) (A)

= αc(v ∧A) + v ∧ (αcA)

= (α ∧ v) ∧A− v ∧ (αcA) + v ∧ (αcA)

= (α ∧ v) ∧A = α(v)A

Exercıcio 66: Mostre que (αcΨ) = Ψbα, onde α ∈ V ∗ e Ψ ∈∧

(V ).

Exercıcio 67: Sejam T[p] ∈∧p(V ) e S[q] ∈

∧q(V ). Mostre que

T[p]bS[q] = (−1)q(p+1)(S[q]cT[p]

).

Referencias Bibliograficas

[1] K. Hoffman e R. Kunze, Linear Algebra, Prentice-Hall, New Jersey 1971.

[2] A. I. Kostrikin e Yu. I. Manin, Linear Algebra and Geometry, Gordon andBreach, New York 1981.

[3] G. E. Shilov, Linear Algebra, Dover, New York 1977.

[4] Elon Lages Lima, Algebra Linear, Colecao Matematica Universitaria, Rio deJaneiro 2005.

[5] Elon Lages Lima, Algebra Exterior, Colecao Matematica Universitaria, Rio deJaneiro 2005.

[6] E. B. Vinberg, A Course in Algebra, Graduate Studies in Mathematics 56,AMS, Providence 2003.

[7] J. Vaz, Notas de Aula MT-307, [http://www.ime.unicamp.br/%7Evaz/mt307a05.htm]

[8] I. M. Gel’fand, Lectures on Linear Algebra, Dover, New York 1989.

[9] P. Halmos, Finite-dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, Heidelberg 1974.

[10] H. Grassmann, Die lineare Ausdehnungslehre, Leipzig Wiegand 1844. Englishtranslation, 1995, by Lloyd Kannenberg, A new branch of mathematics, Chi-cago: Open Court.

[11] J. Vaz, R. da Rocha, Algebras de Clifford e Espinores, Editora Livraria daFısica da USP (2012).

[12] R. da Rocha, J. Vaz, Jr., On Clifford Subalgebras, Spacetime Splittingsand Applications, Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 3 (2006) 1359-1380[arXiv:math-ph/0605009].

[13] R. da Rocha, J. Vaz, Jr., Extended Grassmann and Clifford algebras, Advancesin Applied Clifford Algebras 16 (2006) 103-125 [arXiv:math-ph/0603050].

47

[14] Warner, F.; - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups - SpringerVerlag - 1983

[15] Jacobson, N.; - Basic Algebra - Volume 2 Freeman & Company - 1989

[16] Rudin, W.; - Functional Analysis McGraw Hill - 1991

[17] Hefez, A. - Villela, M.L; Codigos Corretores de Erros IMPA - 2002

[18] Lima, E.L. Algebra Exterior IMPA - 2005

[19] S. Roman, “Advanced Linear Algebra”, Graduate Texts in Mathematics 135(2a. ed.), Springer, New York (2005).

[20] Rogers,A.; Supermanifolds: Theory and Applications World Scientific - 2007

[21] Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications John Wiley -1978

Notas de aula - A19 Algebras de Clifford e...

Documents

Transcript of Notas de aula - A19 Algebras de Clifford e...