NOTACIÓN SIGMA

República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Fermín ToroDecanato de Ingeniería

Alumno:Pedro de la Rosa

CI: 24.386.434Prof. Domingo Mendez

Cabudare -Edo. Lara

La integral definida

Notación sigma

El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos está expresado con la letra griega sigma  Σ(sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i.

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si queremos expresar la suma de los cinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:

Propiedades

Las propiedades constituyen teoremas cuya demostración se puede verificar en cualquiera de las literaturas citadas.

Las propiedades son muy útiles para desarrollar expresiones que nos permiten calcular áreas limitadas por curvas planas.

Suma Superior e inferior

Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.

Si el área se divide en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.

Si el rectángulo se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.

Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande, entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

Integral definida

Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral.

La integral definida se representa por  ¨∫¨ es el signo de integración ¨a¨ límite inferior de la integración ¨b¨ límite superior de la integración f(x) es el integrando o función a integrar ¨dx¨ es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades:

 El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

 Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Teorema del Valor Medio

Dada una función "f(x)" continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para integrales.

Para una función continua f(x) en el cerrado [a, b], existe un valor z en dicho intervalo, tal que

Teorema fundamental de calculo

El teorema fundamental del calculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o calculo

Primer teorema fundamental de calculo

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a , b] y sea la función F definida por:

, para toda x pertenece [a , b];entonces:

F es una anti derivada de f en [ a, b], esto es

Segundo teorema fundamental de calculo

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ a, b] y F es una anti derivada de f e [ a, b], entonces

Sustitución y cambio de Variable

Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión que resulta de derivar otra parte de ella, éstos se complementan mediante aplicación de artificios matemáticos

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: