Nota Differentiation Pembezaan

BAB 3 : PEMBEZAAN Matematik II (BA 201)

June/JMSK/PPD/750621

1

dx

dy

0dx

dy

y y

x x

0 0

a

POLITEKNIK PORT DICKSON JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER

Pembezaan Lanjutan

Penentuan Titik Minimum & Titik Maksimum Bg Suatu Garis Lurus

dx

dy

kecerunan

negatif dy/dx

= -ve

kecerunan positif

dy/dx = +ve

kecerunan sifar

dy/dx = 0

P

Q

Kecerunan

sifar

dy/dx= 0

kecerunan

positif

dy/dx=+ve

kecerunan

negatif

dy/dx= -ve

Fungsi menambah kecerunan +ve

Fungsi menyusut kecerunan ve

Titik P & Q titik pegun

Titik P titik minimum

Titik Q titik maksimum

dx

dy

0dx

dy

dx

dy

b

Tentukan fungsi menyusut & menambah

Tentukan titik pegun minimum & maksimum } Gunakan kaedah

dx

dy &

2

2

dx

yd

kecerunan titik 0dx

dy titik penukaran @ titik pegun @ titik pusingan



2

0dx

dy

0dx

dy

y y

x x 0 0

M

N

0dx

dy

0

dx

dy

Nilai x

x < a

x =

a

x > a

x < b

x = b

x > b

Tanda dx

dy

- ve

0

+ ve

+ ve

0

- ve

Lakaran

tangen

Lakaran

Titik

Penukaran

Minimum di x =a

Maksimum di x = b

Tanda 2

2

dx

yd

> 0

< 0

Penentuan Titik Lengkok Balas Bg Suatu Garis Lurus

Titik M & N ialah titik lengkok balas kerana 0dx

yd2

2

Titik lengkok balas kerana 0dx

yd2

2

maka tiada titik maksimum @ titik minimum pd

garis lengkung tsbt.



3

Contoh 1

Diberi lengkungan y = 2x2 - 4x + 3. Cari titik pegun dan tentukan

sifat titik tersebut.

Penyelesaian

Diberi y = 2x 2 - 4x + 3

dx

dy= 4x - 4

Pada titik pegun , dx

dy= 0

Maka , 0 = 4x - 4

= 4( x - 1 )

x = 1

Apabila x = 1, y = 2 ( 1 )2 - 4 ( 1 ) + 3

= 2 - 4 + 3

= 1

Titik ( 1 , 1 ) ialah satu titik pegun.

Bezakan dx

dyterhadap x,

2

2

dx

yd = 4 dan 4 > 0

Oleh kerana 2

2

dx

yd positif, maka ia adalah titik minimum

Titik (1, 1) ialah satu titik minimum pada lengkungan itu.



4

Contoh 2

Carikan titik pegun bagi lengkungan y = 2x3 - 5 dan tentukan sama

ada minimum, maksimum atau titik lengkok balas.

Penyelesaian

y = 2x3 - 5

dx

dy= 6x2 dan pada titik pegun

dx

dy=0

maka 0 = 6x2

x = 0

Apabila x = 0 , y = 2 ( 0 ) 3 - 5

= -5

Titik pegun ialah di ( 0 , -5 )

Bezakan dx

dy terhadap x,

2

2

dx

yd = 12x

Apabila x = 0 , 2

2

dx

yd = 0

Pada x = 0 titik tersebut adalah titik lengkok balas.



5

Contoh 3

Tentukan titik minimum atau maksimum bagi fungsi berikut dan

lakarkan grafnya.

a. y = x2 - 1

b. y = 3 + 2x x2

Penyelesaian

a. Diberi y = x2 - 1 --------- (1)

dx

dy = 2x -------------- (2)

Diketahui bahawa di titik pegun dy/dx = 0

iaitu 2x = 0

x= 0

gantikan x = 0 ke dalam (1) y = 0 - 1

= -1

Ini bermakna titik pegun terletak di titik ( 0 , - 1 )

Untuk menentukan titik minimum atau maksimum, lakukan pembezaan

peringkat kedua iaitu 2

2

dx

yd= 2 dan 2 > 0

Oleh kerana 2

2

dx

yd positif, maka ia adalah titik minimum.

Untuk melakar graf , dapatkan pintasan di paksi- x dan paksi- y

Iaitu untuk pintasan di paksi- x, jadikan y = 0

Oleh itu 0 = x2 - 1 x2 = 1 x = 1

Untuk pintasan di paksi-y, jadikan x = 0

Oleh itu y = 0 1 y = -1

Graf itu memotong paksix di titik (-1 , 0 ) dan (1 , 0), memotong paksi-y di

(0 , -1) serta mempunyai titik minimum di titik (0 , -1).

x

(0 , -1)

y

(-1 , 0) (1 , 0)



6

(0,3)

b. Diberi y = 3 + 2x x2 ------------------------- (1)

dx

dy = -2x + 2 ------------------------- (2)

Diketahui bahawa di titik pegun dy/dx = 0

iaitu 0 = -2x + 2

2 x= 2

x = 1

gantikan x = 1 ke dalam (1) y = 3 + 2(1) (1 )2 = 4

Ini bermakna titik pegun terletak di titik (1 , 4).

Untuk menentukan titik minimum atau maksimum, lakukan pembezaan

peringkat kedua iaitu 2

2

dx

yd= -2 dan 2 < 0

Oleh kerana 2

2

dx

yd negatif , maka ia adalah titik maksimum.

Untuk melakar graf, dapatkan pintasan di paksi- x dan paksi- y.

Untuk pintasan di paksi- x, jadikan y = 0

Oleh itu 0 = 3 + 2x- x2

0 = (- x -1 )(x - 3)

x = -1 dan x = 3

Dan untuk pintasan di paksi-y, jadikan x = 0

Oleh itu y = 3 + 0 + 0

y = 3

Graf itu memotong paksix di titik (-1, 0) dan (3, 0), memotong paksi-y di

(0, 3) serta mempunyai titik maksimum di titik (1, 4).

Lakaran graf adalah seperti di bawah setelah maklumat-maklumat diperolehi.

(1 , 4)

(-1 , 0) (3 , 0) x

y



7

)4

25,

2

1(

-x

y

(0 , 3)

x

y

SOALAN

1. Carikan titik-titik pegun bagi setiap garislengkung berikut. Nyatakan

samada titik itu maksimum, minimum atau lengkok balas.

a. y = 2x - x2

b. y = 4x3 - 3x4

c. y = 2x ( x - 1 )2

d. x

2)(xy

2

e. y = x3 - 3x2 + 2

f. y = x3 - 9x2 + 24x - 6

2. Tentukan titik minimum atau maksimum bagi fungsi berikut dan lakarkan

grafnya.

a. y = x2 x 6

b. y = -x2 + 3

JAWAPAN

1. a. ( 1, 1 ) titik maksimum

b. ( 1 , 1 ) titik maksimum, ( 0 , 0 ) lengkok balas

c. ( 1 , 0 ) minimum, (1/3 , - 4/9 ) maksimum

d. ( 2 , 0 ) minimum, ( -2 , -8 ) maksimum

e. ( 0 , 2 ) maksimum, ( 2 , -2 ) minimum

f. ( 2 , 14 ) maksimum, ( 4 , 10 ) minimum

2. a. titik minimum di )4

25,

2

1( b. titik maksimum di ( 0 , 3 )

.



8

Pembezaan Lanjutan Masalah Optimum

PENGENALAN

Istilah yang seringkali digunakan

dalam kehidupan harian

keuntungan maksimum, keupayaan maksimum,

kos minimum atau jarak terdekat

Mengikut konsep pembezaan nilai optimum berlaku bila 0dx

dy

Utk tentukan nilai optimum itu maksimum atau minimum

lakukan pembezaan peringkat kedua

Jika 2

2

dx

yd 0, nilai optimum

minimum

Jika 2

2

dx

yd 0, nilai optimum

maksimum.

Panduan untuk selesaikan

masalah optimum

1. Wakilkan simbol kepada semua pembolehubah yang diberi.

2. Bina persamaan yang dapat mengkaitkan pembolehubah-pembolehubah ini.

3. Jika lebih daripada satu pembolehubah terlibat, cari

hubungan antara pembolehubah-pembolehubah tersebut.

4. Tulis persamaan yang perlu

dioptimumkan. 5. Tentukan nilai optimum atau nilai

pegun. 6. Gunakan ujian terbitan kedua

untuk menguji nilai pegun dan tentukan nilai maksimum atau minimum.



9

Contoh 1 :

Sebuah segiempat tepat mempunyai perimeter 28m. Cari luas maksimumnya.

Penyelesaian

Katakan : panjang ialah x m dan

lebar ialah y m

Diberi perimeter segiempat tepat = 28 m

Maka 2 x + 2 y = 28

x + y =14

y = 14 - x

Luas segimpat tepat, L = x y

= x ( 14 - x)

Bezakan luas L terhadap x,

2x14dx

dL

Untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum, 0dx

dL

Maka, 14 - 2x = 0

x = 7

2dx

Ld2

2

(2

2

dx

Ld 0)

Dengan demikian, x = 7 memberikan luas maksimum.

L = 7 ( 14 - 7)

= 49

Jadi luas maksimum segiempat tepat itu ialah 49 m2.

x m

y

m

Tulis semula L supaya mengandungi satu

pembolehubah x sahaja.



10

Contoh 2 :

Sebuah tangki air aluminium berbentuk kuboid terbuka di atas ingin

dibentuk daripada kepingan aluminium yang berbentuk segiemapat

sama dengan sisi 5 m. Untuk membentuk tangki tersebut, kepingan

segiempat sama dipotongkan daripada kempat-empat penjuru

kepingan aluminium itu dan bakinya dilipatkan dan dipateri untuk

membentuk tangki terbuka itu. Cari isipadu maksimum tangki

tersebut.

Penyelesaian

Oleh demikian, persamaan Matematiknya ialah:

I = x ( 5 2x) (5 2x)

= x (25 20 x + 4x2)

= 25x 20x2 + 4x3

Untuk menentukan nilai optimumnya,

bezakan I terhadap x.

Pada titik optimum,

Maka,

x

x x

x

x x

x

Rajah a

Rajah b

x

5 -2x

5 -2x

212x40x25dx

dI

0dx

dI

2.5xatau6

5x

05)5)(2x(6x

02540x12x

012x40x25

2

2

Katakan x adalah sisi yang dipotongkan keluar

daripada tiap-tiap penjuru seperti rajah 8.5.

Panjang dan lebar kotak tersebut adalah

(5 2x)m dan tinggi nya ialah x m seperti rajah

disebelah. Suatu persamaan yang boleh

dibentukkan tentang isipadu tangki ialah:

Isipadu = Tinggi X Lebar X Panjang



11

Untuk menentukan sama ada nilai optimum itu maksimum atau minimum,

gunakan ujian pembezaan terbitan kali kedua. Terbitan kedua isipadu ialah

24x40dx

Id2

2

.

Apabila,

Oleh kerana iisipadu adalah maksimum apabila m.6

5x

Apabila,

Oleh kerana 0,dx

Id2

2

isipadu adalah minimum apabila 2.5m.x

Oleh itu, apabila segiempat sama m6

5 dipotong dari setiap bucu kepingan

aluminium, isipadu tangki adalah maksimum.

Isipadu maksimum tangki itu ialah

206

52440

dx

Id

,6

5x

2

2

0,dx

Id2

2

202

52440

dx

Id

,2

5x

2

2

.9.26m54

500

3

10

3

10

6

5

)6

52)(5

6

52(5

6

5I

3



12

Soalan Latihan

1. Pagar sepanjang 80m diperlukan untuk membina sebuah kawasan tempat meletak kereta persendirian. Apakah panjang dan lebar

kawasan tempat meletak kereta tersebut supaya menghasilkan luas yang maksimum.

2. Sebuah selinder tertutup mempunyai isipadu 1000 cm3 . Carikan tinggi dan jejari tapak bagi selinder itu jika jumlah luas

permukaan adalah minimum.

Jawapan

1. 400 m2

2. 108.4 cm, 5.42 cm



13

Pembezaan Lanjutan Garis Tangen dan GarisNormal Kpd Lengkungan

PENGENALAN

Kecerunan Tangen pd lengkungan Kecerunan lengkungan pd suatu

titik

xfy Persamaan Suatu Lengkung

Kecerunan Tangen pd suatu titik tertentu kpd lengkung tsbt

Tahu Titik Koordinat

boleh cari Kecerunan Lengkungan tentukan persamaan Tangen & persamaan Normal

Tangen Garis lurus yg sentuh suatu

lengkungan pd suatu titik

Normal Garis lurus yg berserenjang dgn tangen bg suatu lengkungan pd satu titik

Kecerunan Tangen pd titik dx

dym

Kecerunan Normal pd titik

dxdy

1

m

1

Persamaan Tangen 11 xxdx

dyyy

Persamaan Normal 11 xx

dxdy

1yy

x

y

Garis

Tangen

Garis

Normal



14

Contoh 1

Carikan persamaan tangen kepada lengkungan y = 4x2 - 12x + 10

pada titik di mana x = 4.

Penyelesaian

Diberi y= 4x2 12 x + 10

Bezakan y berbanding x, maka

dx

dy= 8x - 12

Oleh kerana x = 4, maka

Gantikan nilai x = 4 ke dalam dx

dy

Maka, dx

dy=20

Kecerunan lengkungan pada x = 4 ialah 20.

Apabila x = 4 y = 4 (4)2 12 (4) + 10

= 26

Persamaan Tangen pada nilai x = 4 ialah:

y y1 = dx

dy (x x1)

y 26 = 20 ( x 4)

y = 20x 80 + 26

y = 20x - 54

Rajah 8.2

dx

dyialah kecerunan tangen kepada

lengkung pada suatu titik

y= 4x2 12 x + 10

10

x

y

4

26

Garis

Tangen



15

Contoh 2

Carikan persamaan normal kepada lengkungan y = 4x2 - 12x + 10

pada titik di mana x = 2.

Penyelesaian

Diberi y = 4x2 12 x + 10

Bezakan y berbanding x, maka

dx

dy= 8x - 12

Oleh kerana x = 2, maka

Gantikan nilai x = 2 ke dalam dx

dy

Maka dx

dy = 4

Maka, kecerunan Garis Normal pada x = 2 ialah

dxdy

1=

4

1

Apabila x = 2 y = 4 (2)2 12 (2) + 10

= 2

Persamaan Normal pada nilai x = 2 ialah y y1 = [-1/dx

dy](x x1)

y 2 = 4

1 ( x 2)

4y 8 = x 2

4y = 8x 2

y = 2x 2

1

Rajah 8.3

[-1/dx

dy ] ialah kecerunan Normal

kepada lengkung pada suatu titik

y= 4x2 12 x + 10

2

x

y

2

Garis

Tangen

Garis

Normsl



16

SOALAN

1. Cari persamaan tangen dan persamaan normal kepada setiap

lengkung yang berikut pada titik yang diberikan.

a. y = x2 2 pada titik ( 1 , -1 )

b. y = x2 5x + 2 pada titik ( 3 , -4)

c. y = (2x 1) ( x + 1) pada titik ( 1, 1)

d. y= ( x 2) ( x2 + 1 ) pada titik (-1 , -6 )

2. Cari persamaan tangen kepada lengkung y = ( x 5 ) ( 2x + 1 ) yang

selari dengan paksi x

3. Cari nilai k supaya garis y = 2x + k adalah normal kepada lengkung

y = 2x2 - 3

4. Cari persamaan normal kepada lengkung x = kos , y = sin pada

titik dengan =4

. Cari koordinat bagi titik apabila normal ini

memotong lengkung sekali lagi.

JAWAPAN

1. a. y = 2x 3

x + 2y + 1 = 0

b. x y - 7 = 0

x + y + 1 = 0

c. y = 5x 4

5y + x = 6

d. y = 8 x + 2

x + 8y + 49 = 0

2. y =8

121

3. y = 32

87

4. x = y ; ( ,2

2- )

2

2



17

Pembezaan Lanjutan Sesaran, Halaju & Pecutan

PENGENALAN

Suatu zarah mulai bergerak

dari satu titik tetap O pada satu

garis lurus.

Selepas masa t, jaraknya dari 0

ialah s

Maka s ialah suatu fungsi bagi t, iaitu

Halaju pada masa t bagi zarah

itu

kadar perubahan jarak iaitu

Pecutan ditakrifkan sebagai kadar perubahan halaju terhadap masa

Pecutan, dt

dva

Unit digunakan untuk pecutan adalah m / s2, km/s2, km/j2 dan

lain-lain lagi

Contoh 1 :

Suatu zarah P bergerak pada satu garis lurus supaya

sesarannya, s meter, dari satu titik tetap 0 selepas t saat diberi

oleh s = 8t2 t3. Carikan

a. jarak yang dilalui oleh P dalam saat ketiga

b. halaju P selepas 1 saat

c. pecutan P selepas 2 saat

Penyelesaian

a. s = 8t2 t3

apabila t = 3 , S3 = 8 ( 3 )2 - ( 3 )3 = 8 (9) - 27 = 45 m

apabila t = 2 , S2 = 8 ( 2 )2 - ( 2 )3 = 8 (4) - 8 = 24 m

Jarak yang dilalui dalam saat ketiga = S3 S2 = 45 24 = 21 m

b. Halaju, v = dt

ds= 16 t 3t2

Apabila t = 1,

V= 16 (1) 3 (1)2 = 16 3 = 13ms-1

c. Pecutan, a = dt

dv = 16 6t

Apabila t = 2, a = 16 6(2) = 16 12 = 4ms-2

Jarak, s = f (t)

Halaju , v = dt

ds

dt

dsv dan a =

dt

dv

oleh itu , a =dt

dv =

dt

d

dt

ds=

dt

sd2



18

Contoh 2:

Sebuah kereta peronda polis mengejar

perompak melalui jalan lurus di bandar

Kuantan. Jaraknya s meter, t saat selepas

melalui bandar Kuantan diberi oleh

s = t3 - 6t + 5t. Carikan

a. Halaju kereta apabila ia kembali kepada ke Bandar Kuantan

b. Halaju kereta peronda polis apabila pecutan sifar.

Penyelesaian

a. Apabila kereta berada semula di Bandar Kuantan, s = 0

t3 6t2 + 5 t = 0

t ( t2 6t + 5 ) = 0

t (t 1 ) ( t 5 ) = 0

maka t = 0 , 1 atau 5

Halaju, v = dt

ds= 3 t2 12t + 5

Apabila t = 0, v = 3 (0)2 12 (0) + 5 = 5 ms-1

Apabila t = 1, v = 3 (1)2 12 (1) + 5 = -4 ms-1

Apabila t = 5, v = 3 (5)2 12 (5) + 5 = 20 ms-1

V= 5 ms-1 ialah halaju zarah ketika ia melalui bandar Kuantan

Maka kereta peronda polis kembali ke bandar Kuantan dengan halaju -

4 ms-1 dan 20 ms-1

b. Pecutan, a =dt

dv = 6 t 12

Apabila a = 0

6 t 12 = 0

6t =12

t =6

12 = 2s

Halaju, v = 3 (2)2 12(2) + 5

= 12 24 + 5

= -7 ms-1



19

Soalan Latihan

1. Suatu zarah bergerak pada satu garis lurus melalui jarak s

meter, t saat selepas melalui 0. Carikan halaju dan pecutannya

apabila t = 2.

a. s = t3

b. s = 3t2 + t + 1

c. s = 3t4 4t3

2. Suatu zarah bergerak pada satu garis lurus dan jaraknya, s

meter dari titik tetap O, adalah diberi oleh s = t 2 t3 di mana t

adalah masa dalam saat selepas melalui O. Carikan halaju

zarah itu ketika pecutannya ialah sifar.

3. Sebuah kereta bergerak dari keadaan pegun dan bergerak

sejauh s meter pada satu jalan lurus dalam t saat. Diberi

bahawa s = t2 ( t + 2 ), carikan

a. Pecutannya selepas 4 saat

b. Masa t, apabila halajunya ialah 39 ms-1

c. Jarak yang dilalui dalam saat keempat.

4. Sebuah kereta bergerak di satu jalan yang lurus dan jaraknya,

s meter dari Bandar Ipoh diberi s = 27 t t3 di mana t adalah

masa dalam saat selepas melalui Bandar Ipoh. Carikan

a. Nilai s apabila kereta berhenti seketika,

b. Halaju kereta apabila ia melalui Bandar Ipoh semula.

Jawapan

1. a. 12ms-1, 12 ms-2

b. 13ms-1, 6 ms-2

c. 48 ms-1

2. 3

1 ms-1

3. a. 28 ms-2

b. 3 s

c. 51 m.

4. a. 54

b. -54ms-1



20

Pembezaan Lanjutan Kadar Perubahan

PENGENALAN

Masalah seharian manusia yg berkaitan

dengan kadar perubahan

1. Seorang jurutera elektrik berminat untuk mengetahui kadar perubahan arus pada sebuah litar elektrik.

2. Jurutera pembinaan ingin mengetahui kadar pengembangan konkrit pada

sebuah jambatan 3. Seorang jurutera mekanikal perlu tahu

kadar pengecutan dan pengembangan

injap dalam sebuah pam yang digunakan untuk menggerudi minyak

Perubahan arus I,

terhadap masa t

dt

dI atau (t)I

Perubahan isipadu V, terhadap masa t

dt

dv atau (t)V

Contoh 1 :

Jika 23t4ttf 2 . Apakah kadar perubahan tf bila 2t dan 5t

23t4ttf 2

38ttf '

Jika 2t , 3282f ' 19

Jika 5t , 3585f ' 43



21

Contoh 2 :

Sebiji belon yang berbentuk sfera diisi dengan udara supaya isipadunya bertambah kepada 50cm3s-1. Cari kadar perubahan jejari

belon itu ketika jejarinya ialah 12cm. Katakan;

masa ialah t, isipadu belon ialah V cm3 dan

jejari belon ialah j cm

V = isipadu belon = 3j3

4

2j3

43

dj

dv

2j4

Diberi 12s50cmdt

dv

Gunakan petua rantai, dt

dj*

dj

dv

dt

dv

dt

dj*j450 2

2j4

50

dt

dj

Apabila 12j , 2123.144

50

dt

dj

10.025cms

Maka, kadar prubahan jejari belon ketika jejarinya 12 ialah 10.025cms

Rumus sfera



22

Contoh 3 :

Luas permukaan sebuah kubus bertambah dengan kadar 0.1m2s-1. Cari kadar perubahan isipadunya apabila panjang sisi kubus itu ialah 2m.

Luas kubus, 26aL

12ada

dL

Diberi 12s0.1mdt

dL

Maka, dt

da*

da

dL

dt

dL

dt

da*2a0.1

2a

0.1

dt

da

Isipadu, 3aV

23ada

dV

Gunakan petua rantai , dt

da*

da

dV

dt

dV

0.1*3adt

dv 2

bila a=2, 12a

0.1*3a

dt

dv 2

12(2)

0.1*3(2)2

13s0.05m

Maka kadar prubahan isipadu 13s0.05m

a

a

a



23

Soalan Latihan

1. Sebuah kubus logam berkembang supaya sisi-sisinya berubah pada kadar 2 cms-1. Carikan kadar perubahan jumlah luas

permukaan apabila isipadunya ialah 125cm3.

2. Jejari sebuah bulatan bertambah pada kadar tetap 0.5 ms-1.

Carikan kadar tambahan luas bulatan apabila lilitannya ialah 12 m panjang.

3. Sebuah bekas, kosong pada awalnya, sedang diisikan dengan

cecair. Kedalaman cecair dalam bekas selepas pengisian

bermula selama t saat ialah x cm dan isipadu cecair ialah V cm3 di mana

V = 2

x( x + 2 )

Diberi V bertambah dengan kadar malar dan x = 10 apabila t = 15, carikan

a. dt

dVdalam sebutan ,

b. kadar tambahan bagi x apabila x = 7

4. Pasir dicurahkan ke atas lantai ufuk dengan kadar 4 cm3 per saat dan membentuknya satu timbunan dalam bentuk kon

bulatan tegak dengan ketingginya 4

3kali jejarinya. Carikan

kadar perubahan dalam jejarinya apabila jejarinya adalah 4 cm.

Jawapan

1. 120 cm2 s-1

2. 6 m2 s-1

3. a. 4 cm2 s-1

b. 3

1cm s-1

4. 3

1cm s-1

Nota Differentiation Pembezaan

Documents

Transcript of Nota Differentiation Pembezaan