N(,2)

Normálne rozdelenie

Normálne rozdelenie (Gauss – Laplaceove rozdelenie)

Pravdepodobnostný model chovania sa veľkého počtu náhodných javov

Používa sa pri náhodných veličinách, ktoré sú súčtom veľkého počtu nezávislých alebo len slabo závislých hodnôt

Príklady:

výška, hmotnosť, chyby merania, ...

Vlastnosti normálneho rozdelenia

Za určitých podmienok je možné pomocou Normálneho rozdelenia aproximovať rad iných spojitých i diskrétnych rozdelení

Je symetrické okolo strednej hodnoty, ktorá je súčasne mediánom aj modusom

Hustota pravdepodobnosti normálneho rozdelenia

, 2 sú parametre normálneho rozdelenia

E(x)= je stredná hodnota, ktorá charakterizuje polohu rozdelenia a je to hodnota s maximálnou hustotou

V(x)=2 je rozptyl, variancia

2

2

2

2

1)(

x

ex

Graf hustoty pravdepodobnosti

Normálne rozdelenie má tvar zvonovitej krivky, ktorá nadobúda maximum v bode x= a pri x sa asymptoticky približuje k osi x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61

Distribučná funkcia

Je tabuľkovaná pre hodnoty normovanej normálnej veličiny u

dxexFx x

2

2

2

)(

2

1)(

Normované normálne rozdelenie N(0,1)

Parametre normovaného normálneho rozdelenia:

Normovaná náhodná veličina u

Každé normálne rozdelenie N(,2) je možné pomocou transformácie upraviť na normované N(0,1)

0)( xE

1)(2 xV

xu

Hustota pravdepodobnosti a distribučná funkcia N(0,1)

Hustota pravdepodobnosti normovaného normálneho rozdelenia

je symetrická okolo nuly, preto platí:

Distribučná funkcia

2

2

2

1)(

u

eu

dueuFu u

2

2

2

1)(

)(1)( uu

Transformácie N(,2) N(0,1)

Pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnoty z intervalu x1 až x2

Pravdepodobnosť, že náhodná premenná X je menšia než vopred zvolená hodnota x

)()()( uFuUPxx

PxXP

2121 )(

xxxPxXxP

1221 )()( uFuFuUuP

Hodnoty uvádzané v tabuľkách

V tabuľkách sú uvádzané nezáporné hodnoty )()( uu

)(1)( uFuF

)()( uux

xu

)()( uFuxF

Laplaceova funkcia

V tabuľkách sa často uvádza namiesto distribučnej funkcie

Využíva symetrie distribučnej funkcie

Vlastnosti

0)0( G 5,0)( G

5,0)(2

1)(

0

2

2

uFdueuGu u

)()( uGuG 5,0)( G

Gaussova krivka

Blíži sa asymptoticky k osi xV bodoch ±1 má inflexné bodyDotyčnice v inflexných bodoch pretínajú

os x v bodoch ±2 Polomer krivosti vo vrchole

Maximálna poradnica v osi y0

2 yr 39894,0

2

10 y

Vlastnosti Gaussovej krivky

Malé chyby majú najväčšiu početnosť a koncentrujú sa okolo strednej hodnoty

Cyby hrubé sú za hranicou 3Koeficient šikmosti

Koeficient špicatosti

0

)()(

33

3

3

3

xExEuA

033)(44

4 uE

Porovnanie normálnych rozdelení s rôznymi parametrami

pravidlo 6 - sigma

-0,05

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

-3 -2 -1 0 1 2 3

- ++2-2

-3 +3

68,26%

95,45%

99,73%