Nombres entiers
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Enoncs 1
Nombres entiersNombres entiers
Exercice 1 [ 02054 ] [correction]Soit P = {2k | k Z} et I = {2k + 1 | k Z} les ensembles formsrespectivement des entiers pairs et impairs. Montrer que P I = .
Exercice 2 [ 02055 ] [correction]Montrer quil nexiste pas de suite strictement dcroissante dentiers naturels.
Principe de rcurrence
Exercice 3 [ 02056 ] [correction]Soit (un) une suite relle telles que u0 = 1 et n N, un+1 =
(1 + 1n+1
)un.
Donner lexpression du terme gnral un de cette suite.
Exercice 4 [ 02057 ] [correction]Soit (un) la suite relle dtermine par u0 = 2, u1 = 3 etn N, un+2 = 3un+1 2un.Montrer que n N, un = 2n + 1.
Exercice 5 [ 01274 ] [correction]a) Soit x R tel que x+ 1/x Z.Montrer que pour tout n N,
xn + 1xn Z
b) Dterminer un rel x non entier vrifiant la proprit x+ 1/x Z.
Exercice 6 [ 02058 ] [correction]Montrer que n N\ {0, 1} , 1 + 122 + + 1n2 > 3n2n+1 .
Exercice 7 [ 02059 ] [correction]Montrer que n N?, 1!3! . . . (2n+ 1)! > ((n+ 1)!)n+1.
Exercice 8 [ 02060 ] [correction]Le raisonnement suivant est erron :Montrons, par rcurrence sur n N?, la proprit :P(n) = n points deux deux distincts quelconques du plan sont toujours aligns.Pour n = 1 et n = 2, la proprit est vraie.Supposons la proprit tablie au rang n > 2.Considrons alors n+ 1 points deux deux distincts A1, A2, . . . , An, An+1.(HR) Les points A1, A2, . . . , An sont aligns sur une droite D.(HR) Les points A2, . . . , An, An+1 sont aligns sur une droite D.Or D et D contiennent les deux points distincts A2 et An, donc D = D.Par suite A1, A2, . . . , An, An+1 sont aligns sur la droite D = D.Rcurrence tablie.O est lerreur ?
Exercice 9 [ 02061 ] [correction]On se propose dtablir n N?, (p, q) N2 tel que n = 2p(2q + 1) en procdantde deux manires :a) 1re mthode : Pour n N? fix, on pose A = {m N/2m | n}.Montrer que A admet un plus grand lment p et que pour celui-ci on peut criren = 2p(2q + 1) avec q N.b) 2me mthode : Procder par rcurrence forte sur n N?
Sommes
Exercice 10 [ 02062 ] [correction]Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :a)
ni=1
+ ai = +ni=1
ai b)ni=1
ai + bi =ni=1
ai +ni=1
bi c)ni=1
ai = ni=1
ai
d)ni=1
aibi =ni=1
aini=1
bi e)ni=1
ai =(
ni=1
ai
)f)
nj=1
ni=1
ai,j =ni=1
nj=1
ai,j ?
Exercice 11 [ 02063 ] [correction]Etablir lune des trois formules suivantes :a)
nk=1
k = n(n+1)2 b)nk=1
k2 = n(n+1)(2n+1)6 c)nk=1
k3 = n2(n+1)2
4
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Enoncs 2
Exercice 12 [ 02064 ] [correction]A partir des valeurs connues de
nk=1
k etnk=1
k2, calculer :
a)nk=1
k(k + 1) b) 1.n+ 2.(n 1) + + (n 1).2 + n.1.
Exercice 13 [ 02065 ] [correction]Calculer
nk=1
(1)kk.
Exercice 14 [ 02066 ] [correction]Montrer que la suite de terme gnral un =
nk=1
1n+k est strictement croissante.
Exercice 15 [ 02067 ] [correction]Montrer que
nk=0
k! 6 (n+ 1)!
Exercice 16 [ 02068 ] [correction]Calculer
nk=1
k(k+1)! .
Exercice 17 [ 02069 ] [correction]a) Calculer
pk=1
kk!.
b) Soit p N. Montrer que n [[0, (p+ 1)! 1]], il existe un (p+ 1) uplet(n0, n1, . . . , np) Np+1 tel que :k [[0, p]] , 0 6 nk 6 k et n =
pk=0
nkk!.
c) Justifier lunicit dune telle suite.
Sommes gomtriques
Exercice 18 [ 02070 ] [correction]Calculer, pour tout R, la somme
nk=0
eik.
Exercice 19 [ 02071 ] [correction]Calculer, pour tout q C, la somme
nk=0
q2k.
Exercice 20 [ 02072 ] [correction]Pour q C\ {1} et n N, on pose Sn =
nk=0
kqk.
En calculant qSn Sn, dterminer la valeur de Sn.
Sommes doubles
Exercice 21 [ 02073 ] [correction]A partir des valeurs connues de
nk=1
k,nk=1
k2 etnk=1
k3, calculer :
a)
16i,j6n(i+ j)2 b)
16i
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Enoncs 3
Exercice 26 [ 02078 ] [correction]Soit a R et P =
nk=0
(1 + a2k).
a) Calculer P quand a = 1.b) Calculer (1 a)P quand a 6= 1 et en dduire la valeur de P .
Nombres factoriels
Exercice 27 [ 02079 ] [correction]Exprimer 2 4 (2n) puis 1 3 (2n+ 1) laide de factoriels
Exercice 28 [ 02080 ] [correction]Montrer de deux manires
nk=1
(4k 2) =nk=1
(n+ k)
Coefficients binomiaux
Exercice 29 [ 02081 ] [correction]
Montrer que pour tout n N et tout p Z : p(n
p
)= n
(n 1p 1
). En dduire
quenp=0
p
(n
p
)= n2n1.
Exercice 30 [ 02082 ] [correction]Calculer pour tout n N? :a) S0 =
nk=0
(n
k
)b) S1 =
nk=0
k
(n
k
)c) S2 =
nk=0
k2
(n
k
).
Exercice 31 [ 02083 ] [correction]
Pour n N?, calculer A =E(n/2)k=0
(n
2k
)et B =
E((n1)/2)k=0
(n
2k + 1
)en formant
un systme dont A et B seraient solutions.
Exercice 32 [ 02084 ] [correction]
Soit n N. Calculernp=0
(n
p
)jp.
En dduire : A =E(n/3)k=0
(n
3k
), B =
E((n1)/3)k=0
(n
3k + 1
)et
C =E(n2/3)
k=0
(n
3k + 2
).
Exercice 33 [ 02085 ] [correction]Soit n, p, q N tels que n 6 p+ q.En dveloppant de deux manires (1 + x)p (1 + x)q, tablir :nk=0
(p
k
)(q
n k
)=(p+ qn
).
Exercice 34 [ 02086 ] [correction]
Calculer, pour tout n, p N, la sommenk=0
(p+ kk
)
Exercice 35 [ 02087 ] [correction]
Calculer pour n, p N?, la sommeni=0
(pj=1
(i+ j)).
Exercice 36 [ 02088 ] [correction]Dvelopper (a+ b+ c)n.
Exercice 37 [ 02089 ] [correction]
a) Soit n N. Calculernk=0
(1)k(n
k
).
b) Soit k, `, n N tels que ` 6 k 6 n. Comparer(n
k
)(k
`
)et(n
`
)(n `k `
).
c) Soit (xn) une suite de rels. On pose k N, yk =k`=0
(k
`
)x`.
Montrer que n N, xn =nk=0
(1)nk(n
k
)yk.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Enoncs 4
Exercice 38 [ 02090 ] [correction]
Montrer que pour tout n N?,nk=1
(1)k+1k
(n
k
)=
nk=1
1k .
Exercice 39 [ 02091 ] [correction]
Calculer Sn =nk=0
(1)k(
2n+ 1k
).
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Corrections 5
Corrections
Exercice 1 : [nonc]Par labsurde. Si P I 6= , considrons x P I.Comme x P : k Z, x = 2k. Comme x I : ` Z, x = 2`+ 1.Par suite 2k = 2`+ 1 puis 1/2 = (` k) Z. AbsurdeLerreur de raisonnement classique est de dcrire x comme un nombre pair etimpair en prenant le mme entier k.
Exercice 2 : [nonc]Par labsurde, supposons que (un) soit une telle suite.A = {un/n N} est une partie non vide de N, elle possde donc un plus petitlment m.Puisque m A, il existe n N tel que m = un. Mais alorsun+1 < un 6 m = minA. Absurde.
Exercice 3 : [nonc]u0 = 1, u1 = 2, u2 = 3,...Par rcurrence, on montre aisment n N, un = n+ 1.
Exercice 4 : [nonc]Par rcurrence double.Pour n = 0 et n = 1 : okSupposons la proprit tablie aux rangs n et n+ 1 (avec n > 0).un+2 = 3un+1 2un =
HR3.2n+1 + 3 2.2n 2 = 2n+2 + 1.
Rcurrence tablie
Exercice 5 : [nonc]a) Par rcurrence double.La proprit est vraie pour n = 0 et pour n = 1 (par hypothse)Supposons la proprit vraie aux rangs n et n+ 1.On remarque que(
xn+1 + 1xn+1
)(x+ 1
x
)=(xn+2 + 1
xn+2
)+(xn + 1
xn
)on en dduit que(
xn+2 + 1xn+2
)=(xn+1 + 1
xn+1
)(x+ 1
x
)(xn + 1
xn
) Z
Rcurrence tablie.b) Il suffit de choisir x solution de lquation x2 px+ 1 = 0 avec p un entier.Pour p = 3, = 5 et
x = 3 +
52
convient
Exercice 6 : [nonc]Par rcurrence sur n > 2.Pour n = 2 ok.Supposons la proprit tablie au rang n > 2.1 + + 1n2 + 1(n+1)2 >
HR
3n2n+1 +
1(n+1)2 >?
3(n+1)2n+3 .
Vrifions lingalit propose :3n
2n+1 +1
(n+1)2 3(n+1)2n+3 = n2+2n
(2n+1)(n+1)2(2n+3) > 0.Rcurrence tablie.
Exercice 7 : [nonc]Par rcurrence sur n > 1.Pour n = 1 : okSupposons la proprit tablie au rang n > 1.1!3! . . . (2n+ 1)!(2n+ 3)! >
HR((n+ 1)!)n+1(2n+ 3)!>
?((n+ 2)!)n+2.
Vrifions lingalit propose :((n+1)!)n+1(2n+3)!
((n+2)!n+2 =(2n+3)!
(n+1)!(n+2)n+2 =(n+2)(n+3)...(2n+3)(n+2)(n+2)...(n+2) > 1.
Rcurrence tablie.
Exercice 8 : [nonc]A lavant dernire ligne, pour que A2 et An soient distincts, il est ncessaire quen > 3.Lhrdit de la rcurrence ne senchane alors plus avec linitialisation.
Exercice 9 : [nonc]a) A est une partie de N, non vide car m = 0 A et majore car2m | n 2m 6 n m 6 log2 n donc A possde un plus grand lment p.Puisque p A, 2p | n ce qui permet dcrire n = 2pk.Puisque p+ 1 / A, 2 6 |k et donc k est impair de la forme 2q + 1 avec q N.b) Pour n = 1 : p = q = 0 conviennent.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Corrections 6
Supposons la proprit tablie jusquau rang n > 1.Si n+ 1 est impair alors lcriture est directement obtenue avec p = 0 etn+ 1 = 2q + 1.Si n+ 1 est pair alors on peut crire n+ 1 = 2k avec 1 6 k 6 n.Par lhypothse de rcurrence, on peut crire k = 2p(2q + 1) puisn+ 1 = 2p+1(2q + 1).Rcurrence tablie.
Exercice 10 : [nonc]b) c) f)
Exercice 11 : [nonc]Par rcurrence.
Exercice 12 : [nonc]a)
nk=1
k(k + 1) =nk=1
k2 +nk=1
k = n(n+1)(n+2)3 .
b) 1.n+ 2.(n 1) + + (n 1).2 + n.1 =nk=1
k(n+ 1 k) =
(n+ 1)nk=1
k nk=1
k2 = n(n+1)(n+2)6
Exercice 13 : [nonc]2nk=1
(1)kk =n`=1(2` 1) + 2` = n et
2n+1k=1
(1)kk = n (2n+ 1) = (n+ 1)
Exercice 14 : [nonc]
un+1 un =n+1k=1
1n+1+k
nk=1
1n+k =
12n+2 +
12n+1 1n+1 = 12n+1 12n+2 > 0.
Exercice 15 : [nonc]Par rcurrence sur n N, sachant (n+ 1)! + (n+ 1)! = 2.(n+ 1)! 6 (n+ 2)!.
Exercice 16 : [nonc]nk=1
k(k+1)! =
nk=1
(k+1)1(k+1)! =
nk=1
(1k! 1(k+1)!
)=
nk=1
1k!
nk=1
1(k+1)! = 1 1(n+1)! .
Exercice 17 : [nonc]a)
pk=1
kk! =pk=1
(k + 1)! k! = (p+ 1)! 1.b) Par rcurrence forte sur p > 0.Pour p = 0 : okSupposons la proprit tablie jusquau rang p > 0.Soit n [[0, (p+ 2)! 1]].Ralisons la division euclidienne de n par (p+ 1)! : n = q(p+ 1)! + r avec0 6 r < (p+ 1)!.Puisque 0 6 n < (p+ 2)! on a 0 6 q 6 p+ 1.
Par HR, on peut crire r =pk=0
nkk! et en prenant np+1 = q on a n =p+1k=0
nkk!.
Rcurrence tablie.c) Supposons n =
pk=0
nkk! =pk=0
nkk! avec les conditions requises.
Si np < np alorspk=0
nkk! 6 npp! +p1k=0
k.k! = (np + 1)p! 1 < npp! 6pk=0
nkk!.
Ceci est absurde donc ncessairement np > np puis par symtrie np = np.On simplifie alors le terme npp! et on reprend le principe pour conclure lunicit.
Exercice 18 : [nonc]Si 6= 0 [2pi] alors
nk=0
eik = ei(n+1)1ei1 (somme gomtrique de raison ei 6= 1)
Si = 0 [2pi] alorsnk=0
eik =nk=0
1 = n+ 1.
Exercice 19 : [nonc]Si q2 6= 1 alors
nk=0
q2k = q2n+21q21 (somme gomtrique de raison q2)
Si q2 = 1 alorsnk=0
q2k = n+ 1.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Corrections 7
Exercice 20 : [nonc]
qSn Sn =nk=0
kqk+1 nk=0
kqk =n+1k=1
(k 1)qk nk=0
kqk =
nqn+1 nk=1
qk 0 =nqn+2(n+1)qn+1+qq1 .
Donc Sn = nqn+2(n+1)qn+1+q
(q1)2 .
Exercice 21 : [nonc]a)
16i,j6n
(i+ j)2 =ni=1
nj=1
(i2 + 2ij + j2
)= n
ni=1
i2 + 2ni=1
nj=1
ij + nnj=1
j2 = n2(n+1)(7n+5)
6 .
b)
16i 0.n+1k=1
(4k 2) =nk=1
(4k 2) (4n+ 2) =HR
nk=1
(n+ k) (4n+ 2).n+1k=1
(n+ 1 + k) = (n+ 2)(n+ 3) . . . (2n+ 2) =nk=1
(n+ k) (2n+1)(2n+2)n+1 =nk=1
(n+ k) (4n+ 2).Rcurrence tablie.(2) Directe :nk=1
(4k 2) = 2nnk=1
(2k 1) = 2n(1 3 . . . (2n 1)) = (2n)!n! etnk=1
(n+ k) = (n+ 1)(n+ 2) . . . (2n) = (2n)!n! .
Exercice 29 : [nonc]
p
(n
p
)= p n!p!(np)! = n
(n1)!(p1)!(np)! = n
(n 1p 1
).
np=0
p
(n
p
)= n
np=1
(n 1p 1
)= n(1 + 1)n1 = n2n1.
Exercice 30 : [nonc]a) S0 = (1 + 1)n = 2n.
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b) ((1 + x)n) = n(1 + x)n1 donnenk=1
k
(n
k
)xk1 = n(1 + x)n1 donc
S1 = n2n1.c) (x((1 + x)n)) = (nx(1 + x)n1) = n(1 + x)n1 + n(n 1)x(1 + x)n2 donnenk=1
k2
(n
k
)xk1 = n(1 + x)n1 + n(n 1)x(1 + x)n2 donc
S2 = n2n1 + n(n 1)2n2 = n(n+ 1)2n2.
Exercice 31 : [nonc]
A+B =np=0
(n
p
)= (1 + 1)n = 2n et
AB =np=0
(1)p(n
p
)= (1 1)n = 0n = 0, donc A = B = 2n1.
Exercice 32 : [nonc]np=0
(n
p
)jp = (1 + j)n = 2neinpi3 cosn pi3 .
A+B + C = 2n, A+ jB + j2C = 2neinpi3 cosn pi3 etA+ j2B + jC = 2neinpi3 cosn pi3 (par conjugaison).Par suite A = 2n3
(1 + 2 cos npi3 cosn
pi3), B = 2n3
(1 + 2 cos (n2)pi3 cosn
pi3
),
C = 2n3(
1 + 2 cos (n+2)pi3 cosnpi3
).
Exercice 33 : [nonc]
Le coefficient de xn dans (1 + x)p (1 + x)q = (1 + x)p+q est(p+ qn
).
Lorsquon dveloppe le produit (1 + x)p (1 + x)q, on obtient un xn en croisantun xk de (1 + x)p par un xnk de (1 + x)q (pour 0 6 k 6 n). Le coefficient de xk
dans (1 + x)p est(p
k
)et le coefficient xnk dans (1 + x)q est
(q
n k
)donc le
coefficient de xn dans (1 + x)p (1 + x)q estnk=0
(p
k
)(q
n k
)do lgalit.
Exercice 34 : [nonc]nk=0
(p+ kk
)=(p
0
)+(p+ 1
1
)+(p+ 2
2
)+ +
(p+ nn
)=(
p+ 21
)+(p+ 2
2
)+ +
(p+ nn
)donc
nk=0
(p+ kk
)=(p+ 2
2
)+ +
(p+ nn
)=(p+ n+ 1
n
)
Exercice 35 : [nonc]ni=0
(pj=1
(i+ j))
=ni=0
(i+p)!i! = p!
ni=0
(i+ pi
)= p!
(p+ n+ 1
n
)= (p+n+1)!(p+1)n! .
Exercice 36 : [nonc]
(a+ b+ c)n =nk=0
k`=0
(n
k
)(k
`
)ankbk`c` et
(n
k
)(k
`
)= n!(nk)!(k`)!`! .
Exercice 37 : [nonc]
a)nk=0
(1)k(n
k
)= 0n =
{1 si n = 00 sinon
.
b)(n
k
)(k
`
)= n!k!(nk)!
k!`!(k`)! =
n!`!(n`)!
(n`)!(nk)!(k`)! =
(n
`
)(n `k `
).
c)nk=0
(1)nkyk =nk=0
k`=0
(1)nk(n
k
)(k
`
)x` =
n`=0x`
nk=`
(1)nk(n
k
)(k
`
)
Ornk=`
(1)nk(n
k
)(k
`
)= (1)n`
(n
`
)nk=`
(1)k`(n `k `
)or
nk=`
(1)k`(n `k `
)={
1 si ` = n0 sinon
.
Par suite :nk=0
(1)nkyk = xn.
Exercice 38 : [nonc]Par rcurrence sur n > 1 sachant :
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n+1k=1
(1)k+1k
(n+ 1k
)=n+1k=1
(1)k+1k
(n
k
)+n+1k=1
(1)k+1k
(n
k 1
)=
nk=1
1k +
n+1k=1
(1)k+1n+1
(n+ 1k
)=
nk=1
1k +
1n+1 =
n+1k=1
1k .
Exercice 39 : [nonc]
Exploitons(
2n+ 1k
)=(
2nk 1
)+(
2nk
).
On obtient Sn =nk=0
(1)k(
2nk 1
)+
nk=0
(1)k(
2nk
).
Par dcalage dindice Sn =n1k=0
(1)k+1(
2nk
)+
nk=0
(1)k(
2nk
).
Aprs simplification, Sn = (1)n(
2nn
).