NOMBRES EN ECRITUREFRACTIONNAIRE

LES FRACTIONSI) Rappels:1) Représentation d’une fraction

La partie coloriée représente les35

2) Définition du quotient:Le quotient de a par b (où b est un nombre non nul) est le nombre par lequel il faut multiplier b pour obtenir a.

est appelé l'écriture fractionnaire du quotient de a par b .ba

b x = a ab

Lorsque a et b sont deux nombres entiers (avec b non nul), l'écriture s'appelle une fractionab

3) Exemples :est une fraction. 5 est le numérateur et 8 est le dénominateur.

n’est pas une fraction mais une écriture fractionnaire.

58

,2 510

4) Notions de proportions :Dire que 420 élèves sur 560 du collège ont un téléphone portable :

Cela revient à écrire que la proportion d’élèves ayant un téléphone portable

est de Soit: 420560

420560 = 420 :10

560 :10=42 56

3 4

= 42 : 756 : 7 = 6

8 =34

152

620

En multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre

On ne change pas une fraction si l’on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateurpar un même nombre

153

285

II) Egalité de quotients :1)Propriété des quotients :

Un quotient ne change pas lorsqu’on multiplie ou l’on diviseson numérateur et son dénominateur par un même nombredifférent de zéro.

2)Exemples :

511

5 x 3

11 x 3 =

15

33 =

12448

124 : 2 48 : 2

=62 24 =

3) Ecriture fractionnaire :Pour transformer une écriture fractionnaire en une fraction, on multipliele numérateur et dénominateur par 10, 100 ou 1000, etc.….Exemples :

12,5 x 10 6,3 x 10 =

125 63 =

12,56,3

3,75 x 100 4,1 x 100 =

375 410 =

3,754,1

162324

162 : 2 324 : 2

=81

162 = =81: 9

162 : 9 =9

18

III) Simplification de fractions :1) Rappel des critères de divisibilité :

Un nombre est divisible par 2 s’il est pair.Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de 3Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est dans la table de 9.Un nombre est divisible par 4 si son quotient par deux est pair.

Simplifier une fraction, c'est la transformer en une fraction égale maisdont le numérateur et le dénominateur sont les plus petits possibles.Cette nouvelle fraction est dite irréductible.

2) Simplification de fractions :

3) Exemple :

=9 : 9

18 : 9 =1 2

a7

c13

Si les deux fractions sont égales et si leurs dénominateur sont égaux, alors leurs ……………………….. sont égaux également.

=𝐚𝐚 × ⋯𝟕𝟕 × ⋯

𝐜𝐜 × ⋯𝟏𝟏𝟏𝟏 × ⋯

=𝐚𝐚 × ⋯𝒃𝒃 × ⋯

𝐜𝐜 × ⋯𝒅𝒅 × ⋯

×a d ×b c=

52186

68238

est égale à si est égal à

Les produits étant ………………….., les fractions ………………………….

… .× ⋯ … .× ⋯

= ⋯… … … . . = ⋯… … … . .

22185

3915

est égale à si

Les produits étant ………….., les fractions ……………...

est égal à… .× ⋯ … .× ⋯

= ⋯… … … . . = ⋯… … … . .

IV) Egalités des produits en croix :1) Propriété:

Soit quatre nombres a ,b, c et d (avec b ≠ 0 et d ≠ 0).

Dire que: ab

cd signifie que: = ×a d ×b c=

2) Exemples:

a) Les fractions sont-elles égales?311

51187

et

311

51187

est égale à si 3×187 11×51est égal à

= 561 = 561Les produits sont égaux, les fractions sont donc égales.

311

51187=

b) Les fractions sont-elles égales?815

1017

et

815

1017

est égale à si 8×17 10×15est égal à

= 136 = 150

Les produits ne sont pas égaux, les fractions ne sont donc pas égales.

815

1017≠

c) Trouve x sachant que les fractions sont égales.

73

189x

7 × x 189 3× =

Donc:

=

7 7x 567= 7

x 81=73

18981

=7 81× 189 3× est égal à

567 567=

Vérification:

d) Trouve x sachant que les fractions sont égales.

53 × x689 × 15 =

Donc:

5353x 10 335= 53

x 195=

53×195 689×15est égal à

11 335 11 335=

Vérification:

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒙𝒙𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔=

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔

=

0

Activité:Représente sur une demi-droite graduée les fractions et

Compare la fraction par rapport au segment unité .

Compare la fraction par rapport au segment unité .

En conclusion:

Une fraction est supérieure à 1 lorsque le….. ………………est…………

au ……………… et inférieur à 1 ……………………………………

25

95

25

95

Activité 2 :Un professeur demande à ses élèves de comparer une fraction à 1. Voici la démarche de plusieurs élèves.

a. Julie a choisi le nombre en écriture fractionnaire Quelle est l'écriture décimale de ce nombre ?

La fraction est-elle supérieure à 1

0 1 2 3

34

53 5

3

b. Ibrahim a choisi la fraction et décide d'utiliser un axe gradué. Reproduis l'axe gradué ci-dessous et places-y le point A d'abscisse

La fraction est-elle supérieure ou inférieure à 1 ?

En conclusion: Une fraction est supérieure à 1 lorsque le ………………est…………au ………………

V) Comparaison d’écritures fractionnaires1) Comparaison au nombre1 :

Si le numérateur d’un nombre en écriture fractionnaire est supérieur à son dénominateur, alors ce nombre est supérieur à 1.

Si le numérateur d’un nombre en écriture fractionnaire estinférieur à son dénominateur, alors ce nombre est inférieur à 1.

2) Exemples :

1517

1 11001099

1 6161

1< > =

3) Comparaison de fractions ayant même dénominateur :a) Propriété :

Si des fractions ont le même dénominateur, elles sont rangées dans lemême ordre que leurs numérateurs.Ex : Ranger du plus petit au plus grand

b) Cas où elles n'ont pas le même dénominateurOn les met alors « au même dénominateur » pour se ramener au casprécédent !

Ex : Ranger du plus petit au plus grand

12

15

3

15

7

15

14

153

15 < 7

15 < 12

15 <14

15

712

46

12

14

712461214

= 4 x 26 x 2 = 8

12

= 1 x 62 x 6 = 6

12

= 1 x 34 x 3 = 3

12

Or: 312

612

712

812< < <

Donc: 14

12

712

46< < <

Activité 1 : a) En combien de rectangles identiques a-t-on partagé le rectangle ci-dessous ?

b) Quelle fraction du rectangle représente la surface bleu ?

c) Quelle fraction du rectangle représente la surface rouge ?

d) Quelle fraction du rectangle représentent tous les rectangles coloriés ?

e) Comment additionner deux fractions de même dénominateur ?

……

…… ..

…

515 + 3

15 = ……=

….

15155 3+ …+ …

….

a) Combien y-a-t-il de rectangles rouge en plus que de bleu ?

b) Ecrire ce résultat sous forme de fraction

c) En déduire un calcul permettant d’arriver au même résultat.

………

515 - 3

15 = …….=1515

5 3- .. - ..…

V) ADDITION ET SOUSTRACTION DE FRACTIONS :1) Les dénominateurs sont égaux :a) Définition :

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire,

on garde le dénominateur commun et on additionne (ou soustrait) les numérateurs.b)Exemples :

59 + 2

9 = 5 + 29

79= 11

5 - 45 = 11 - 4

575=

411 - 3

22

= 8 - 322

522=

822 - 3

22=

2) Un dénominateur est multiple de l’autre :a) Définition :

Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire qui n’ont pas le

même dénominateur, on doit d’abord les réduire au même dénominateur.b) Exemples :

54 + 3

8

= 10 + 38

138=

108 + 3

8=

VI) FRACTION D’UN NOMBRE:1) Règle :

Pour prendre une fraction d’un nombre, on multiplie le nombre par la fraction.2)Exemple :Dans un collège, les sept neuvièmes des 540 élèves sont demi-pensionnaires.Quel est le nombre de demi-pensionnaires ?En déduire le nombre d’externes, et donner le résultat en fraction.

540 x 79 = 540 X 7

93780

9= 420=

Soit la fraction : 420540

4254= = 6 x 7

6 x 979=

Autre méthode: 420540=7

9

x 60

x 60

5 x = 2 euros25

Non car chaque enfant aurait 1,33 euros et il resterait 2 centimes à partager

34

57

35

12

6 16 6+ = 7

6

76

35

57

12

34

34= 3

5=

12=,0 75 ,0 6 ,0 5

1420

des familles trient leurs déchets à Brest. Soit :

620

des familles ne trient pas leurs déchets à Brest. Soit :

710

310

810

710> La proportion est plus importante à Strasbourg

qu’ à Brest.

180200

1820

910

= =

810

710

910

⟨ ⟨

Soit: Brest Strasbourg Ile de Ré⟨ ⟨

4501200

800

3200450

450+750500

1000

800

800+2400= =

450

1200= 45

120 = 924 = 3

8

: 10

: 10

: 5

: 5

: 3

: 3

5001000 = 5

10 = 12

8003200 = 8

32 = 416 = 2

8 = 1

4

Cela signifie que la masse de sucre est supérieure à la moitié de la masse totale Ex: Dans un kilogramme de confiture il y a au moins 500 g de sucre.

C’est faux car cela dépend de la masse de confiture que l’on réalise.

38

375 g=12

x 1000

500 g=x 1000

14

250 g=x 1000

3751000

5001000

2501000

Par conséquent c’est dans la confiture de cerise qu’il y a le moins de sucre.

38

12

14

= 3 8

= 4 8

= 2 8

x4

x4

x2

x2

a7

c13

Si les deux fractions sont égales et si leurs dénominateur sont égaux, alors leurs numérateurs sont égaux également.

a×137×13

c×713×7=

== 13 7a c× = ×

ab

cd=

==

××

13 13

××

7 7

×d×d

×b×b

×a dd b ×× db

×b c=

Car si deux fractions sont égales ab

cd

alors = ×a d ×b c=×

52186

68238

est égale à si 52 238× 68 186×est égal à

12 376 = 12 648 =Les produits étant différents, les fractions ne sont pas égales

22185

3915

est égale à si 221 15× 39 85×est égal à

3 315 = 3 315 =Les produits étant égaux, les fractions sont égales.

0 1 251

52

53

54

55

56

57

58

59

510

Activité:Représente sur une demi-droite graduée les fractions et

Compare la fraction par rapport au segment unité .

Compare la fraction par rapport au segment unité .

En conclusion:

Une fraction est supérieure à 1 lorsque le….. ………………est…………

au ……………… et inférieur à 1 ……………………………………

numérateur supérieur

dénominateur dans le cas contraire

25

95

25

95

Activité 2 :Un professeur demande à ses élèves de comparer une fraction à 1. Voici la démarche de plusieurs élèves.

a. Julie a choisi le nombre en écriture fractionnaire Quelle est l'écriture décimale de ce nombre ?

La fraction est-elle supérieure à 1

0 1 2 3

34

53 5

3

0,75Non

b. Ibrahim a choisi la fraction et décide d'utiliser un axe gradué. Reproduis l'axe gradué ci-dessous et places-y le point A d'abscisse

La fraction est-elle supérieure ou inférieure à 1 ?

13

23

33

43

53

Oui

En conclusion: Une fraction est supérieure à 1 lorsque le ………………est…………au ………………

numérateur supérieurdénominateur

Activité 1 : a) En combien de rectangles identiques a-t-on partagé le rectangle ci-dessous ?

b) Quelle fraction du rectangle représente la surface bleu ?

c) Quelle fraction du rectangle représente la surface rouge ?

d) Quelle fraction du rectangle représentent tous les rectangles coloriés ?

e) Comment additionner deux fractions de même dénominateur ?

315

515 8

15

515 + 3

15 = 815=

15

15155 3+ 5 + 3

15

a) Combien y-a-t-il de rectangles rouge en plus que de bleu ?

b) Ecrire ce résultat sous forme de fraction

c) En déduire un calcul permettant d’arriver au même résultat.

2215

515 - 3

15 = 215=1515

5 3- 5 - 315