Nombres complexes Ecriture alg©brique d’un complexe .Nombres complexes...

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  • Nombres complexes Ecriture algbrique dun complexe Exercices corrigs

    SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

    1

    Sont abords dans cette fiche :

    Exercice 1 : calculs dans lensemble des nombres complexes (addition, soustraction, multiplication,

    division) et criture algbrique dun complexe

    Exercice 2 : puissances de

    Exercice 3 : partie relle et partie imaginaire dun complexe, notions de rel et dimaginaire pur

    Exercices 4 et 5 : conjugu dun nombre complexe

    Exercices 6 et 7 : affixe dun point et point-image

    Exercice 8 : affixe dun vecteur et affixe dun barycentre

    Exercice 9 : module dun complexe

    Exercice 10 : rsolution dquation dans lensemble des complexes

    Exercice 11 : dtermination dun lieu gomtrique / caractrisation dun ensemble de points (cercle,

    droite)

    Nombres complexes Ecriture algbrique dun complexe

    Exercices corrigs

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    2

    Soient les complexes et .

    Calculer :

    et donner le rsultat sous sa forme algbrique.

    Rappels :

    Ensemble des nombres complexes

    Lensemble des nombres complexes, not , contient tous les nombres rels, ainsi que tous les nombres crits

    sous la forme o et sont des rels. Autrement dit, .

    Lensemble est muni dune addition et dune multiplication (ainsi que dune soustraction et dune division),

    qui possdent les mmes proprits et rgles de calcul que dans . On convient galement que .

    criture algbrique dun complexe

    Lcriture dun complexe (avec ) est appele la FORME ALGBRIQUE ou CRITURE

    CARTSIENNE de ce complexe.

    Somme de deux complexes

    Diffrence de deux complexes

    Produit de deux complexes

    Puissance dun complexe

    Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

    Correction de lexercice 1

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    3

    Quotient de deux complexes

    Remarques importantes :

    Lorsquon effectue des additions ou soustractions de nombres complexes, on utilise en gnral leur

    forme algbrique. En revanche, lorsquon effectue des multiplications ou divisions de nombres

    complexes (non nuls), on utilise en gnral leur criture exponentielle.

    Il nexiste pas de relation dordre dans qui prolongerait celle de et qui obirait par consquent

    aux mmes rgle des signes.

    1- Calculer , et .

    2- En dduire pour tout .

    3- Que vaut ?

    4- Calculer .

    1- Calculons , et .

    2- Tout dabord, remarquons que :

    Soient et , deux entiers naturels dsignant respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de

    (entier naturel) par 4.

    On a donc avec .

    Exercice 2 (4 questions) Niveau : facile

    Correction de lexercice 2

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    SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

    4

    Si , cest--dire si , alors

    Si , cest--dire si , alors

    Si , cest--dire si , alors

    Si , cest--dire si , alors

    En rsum, en posant et .

    {

    Remarque : Les entiers naturels tels que est un imaginaire pur sont donc de la forme ou

    . Les entiers naturels tels que est un rel sont quant eux de la forme ou .

    3- Calculons .

    La division euclidienne de 2011 par 4 donne : . Ici, .

    Donc . En effet,

    4- Calculons .

    Tout dabord, remarquons que . Il sagit donc de la somme

    de termes dune suite gomtrique de premier rang et de raison .

    Rappel : Somme des termes dune suite gomtrique

    Soit une suite gomtrique de raison . Alors la somme des termes conscutifs de cette suite est

    donne par la formule :

    Autrement dit, avec o dsigne le rang partir duquel la suite est dfinie :

    Ainsi, on obtient :

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    5

    On pose avec et rels.

    1- Dterminer la partie relle et la partie imaginaire de .

    2- A quelle(s) condition(s) est-il un rel ?

    Rappels : Partie relle et partie imaginaire dun complexe

    Soit un complexe crit sous sa forme algbrique (avec ).

    On dit alors que est la PARTIE RELLE de et on la note .

    On dit par ailleurs que est la PARTIE IMAGINAIRE de et on la note .

    On pose avec et rels.

    1- Dterminons la partie relle et la partie imaginaire de .

    Pour tous rels et ,

    Ainsi,

    2- A quelle condition est-il un rel ?

    Rappels : Notions de rel et dimaginaire pur

    Soit un complexe crit sous sa forme algbrique

    (avec ).

    est un REL si et seulement si .

    est un IMAGINAIRE PUR si et seulement si .

    est un rel si et seulement si .

    Or, pour tous et rels,

    Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen

    Correction de lexercice 3

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    6

    En conclusion, est un rel si et seulement si ( rel quelconque) ou ( rel

    quelconque).

    Montrer que, pour tout nombre complexe , et .

    Rappel : Conjugu dun nombre complexe

    Le CONJUGU du nombre complexe (avec et rels) est le nombre complexe, not , tel que :

    Soit un nombre complexe (avec et rels). Alors son conjugu

    est tel que . Alors :

    Remarque : Autrement dit, on peut traduire ces rsultats par les

    quivalences suivantes :

    est un rel si, et seulement si,

    est un imaginaire pur si, et seulement si,

    Dterminer les nombres complexes dont le carr est gal au conjugu.

    Soit un nombre complexe (avec et rels).

    Exercice 4 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 4

    Exercice 5 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 5

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    SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

    7

    Alors le carr de , not , est :

    Le conjugu de , not , est :

    Rappel : Egalit de deux nombres complexes

    Deux nombres complexes sont GAUX si, et seulement si, ils ont mme partie relle et mme partie

    imaginaire.

    Dterminons les nombres complexes dont le carr est gal leur conjugu. Rsolvons donc lquation .

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    (

    )

    (

    )

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    Les solutions de lquation sont :

    {

    }

    Donner lcriture algbrique de . Quen dduire pour le point daffixe ?

    Exercice 6 (2 questions) Niveau : facile

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    8

    Rappel : Point-image dun complexe et affixe dun point

    Soit un repre orthonormal du plan.

    A tout nombre complexe (avec et rels), on peut

    associer lunique point de coordonnes .

    On dit alors que est le POINT-IMAGE de et que est

    lAFFIXE du point .

    Laxe est appel AXE DES RELS et laxe est appel AXE DES IMAGINAIRES PURS.

    Le plan est quant lui appel PLAN COMPLEXE.

    [ ]

    Autrement dit, on a (criture algbrique du complexe ).

    Il en rsulte que le point daffixe se trouve sur laxe des rels et plus prcisment sur la demi-droite [ du

    plan complexe rapport un repre orthonormal direct .

    Dans le plan complexe muni dun repre orthonormal , placer les points , et daffixes

    respectives , , .

    Notons , et les abscisses respectives des points , et .

    , de coordonnes , est donc le point-image de .

    , de coordonnes , est donc le point-image de .

    , de coordonnes , est donc le point-image de .

    Correction de lexercice 6

    Exercice 7 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 7

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    9

    Dans le plan complexe, , , et dsignent les affixes respectives des points , , et .

    Prouver, de deux manires diffrentes, que le quadrilatre est un paralllogramme.

    Rappel : Affixe dun vecteur

    Soit un repre orthonormal du plan compl