Nociones de control robustoFernando A. InthamoussouAno 20111. IntroduccionEstas notas tienen como finalidad introducir los aspectos basicos de la teora de control robustopara los alumnos de la materia Control Moderno. Basicamente es un extracto de la bibliografasobre el tema mencionada al final del mismo. Solo se hace hincapie en la definicion del problemade control robusto, llegando a mostrar las condiciones de estabilidad y performance nominal comoas tambien las condiciones para garantizar estabilidad y performance robusta. A lo largo de esteapunte se consideraran sistemas SISO haciendo la aclaracion necesaria cuando sea convenientepara sistemas MIMO.2. Motivacion del control robustoEl primer paso en el diseno de un sistema de control es la obtencion de un modelo matematicode una planta fsica. En ciertos casos el modelo puede ser no lineal (mayormente), de parametrosdistribuidos y/o ademas de alto orden. Un modelo de orden elevado y complejo desde el puntode vista de la dinamica no resulta del todo util, ya que complica demasiado el proceso de diseno,dando ademas como resultado controladores de alto orden. Por estos motivos, se busca obtenerun modelo lo mas simple posible, pero que al mismo tiempo refleje todas las caractersticasintrnsecas del sistema fsico que son importantes para el problema que se esta tratando, y dejarel modelo mas completo para verificacion del controlador obtenido. Esta claro, que este modeloincurrira en un error de modelado. As, surge la pregunta de si el controlador disenado para elmodelo obtenido funcionara satisfactoriamente para la planta real. Para responder esta pregunta,se ha desarrollado una teora de control conocida como control robusto desde el ano 1980.En control robusto, en particular, se busca aproximar el modelo por uno lineal de coeficientesconstantes, asumiendo que se incurrira en un error de modelado. Este error es considerado comoincertidumbre del modelo frente a la planta fsica real, y utiliza esta incertidumbre, que se modelay acota para cada problema, en el proceso de diseno del controlador.3. Por que realimentar?La idea de realimentacion esta tan asociada con la teora de control que resulta casi imposiblepensar en control sin realimentacion. Un ejercicio muy interesante es preguntarse por que motivono se podra controlar un sistema con un controlador a lazo abierto?. Hasta ahora hemosconsiderado que disponemos de un modelo matematico del sistema (sin decir mucho respeto dela exactitud del mismo) y si bien hemos trabajado con perturbaciones externas no hicimos untratamiento o modelado de las mismas, es decir la supusimos conocidas. Bajo estas hipotesis noparecera necesaria la realimentacion. Un resultado muy interesante surge de hacer un poco dealgebra de bloques con un lazo de control tpico como se muestra en Figura 1. En este lazo Prepresenta el sistema fsico a ser controlado, K(s) es el modelo matematico del controlador autilizar y d(s) es una perturbacion externa a la salida de la planta. K(s) Pr dyFigura 1: Lazo de realimentacion.Sumando y restando el modelo matematico G(s) de la planta dentro del lazo, manteniendo larealimentacion intacta obtenemos el diagrama que se muestra en la Figura 2.1 K(s) P rdyG(s) G(s) fuFigura 2: Sistema fsico y modelo matematico.Si ademas reemplazamos la conexion entre el modelo de la planta y el controlador porC(s) , K(s)[I + G(s)K(s)]1, (1)obtenemos el diagrama de la Figura 3. C(s) P rdy G(s) ufFigura 3: Realimentacion e incertidumbre.As la senal de realimentacion f(s) esf(s) = d(s) + [P G(s)]u(s) (2)Mirando esta ultima expresion se puede concluir que si no existen perturbaciones d(s) = 0 yel modelo matematico del sistema fsico es exacto (y/o los parametros de la planta no varan)P G(s) = 0, la senal de realimentacion es 0. Es decir, ante ausencia de perturbaciones y errorde modelado no sera necesario realimentar. Esta claro que la condicion anterior es poco realistay que siempre van a existir perturbaciones y error de modelado, por esta razon es imprescindiblerealimentar. En el analisis anterior se supuso tanto una perturbacion desconocida como unmodelo no exacto del sistema fsico. Las razones son las siguientes: si se conoce exactamenteel tipo de perturbacion y el tiempo en la que la misma ocurre, la misma podra ser canceladarestando otra senal en el lazo de forma tal de cancelar el efecto de esta. La no exactitud delmodelo no es difcil de pensar, incluso si se pudiera obtener un modelo exacto del sistemano se estara considerando variaciones que pueden surgir en algunos parametros del sistema,a esto se lo conoce como incertidumbre. En la teora de control robusto la unica suposicionque se hace respecto a las perturbaciones es que son de energa acotada. De todas formas, ladiferencia fundamental entre la teora de control clasico y moderno respecto de la teora decontrol robusto radica en que esta ultima incorpora la incertidumbre explcitamente al momentode formular el problema. Tal es as, que la palabra modelo y sistema (sistema fsico o planta) noson equivalentes.En la teora de control robusto el sistema es tratado matematicamente como un conjunto ouna familia de modelos, representada por un modelo nominal G(s) (que es el mismo que elutilizado en control clasico o moderno) y una incertidumbre acotada. Esta incertidumbre puedeser agregada al modelo nominal de diferentes formas, llevando a diferentes tratamientos delproblema.2La incertidumbre debe ser siempre acotada, de otra manera sin conocimiento del sistema elproblema no esta bien planteado. La razon detras de esto es que para un sistema totalmentedesconocido, dado un controlador, siempre existe la posibilidad de encontrar un sistema queinestabilice el lazo de control. Cuando se controla un sistema se busca que no exista posibilidadde desestabilizarlo. Luego para poder dar garanta de estabilidad, la incertidumbre debe seracotada.El objetivo del control robusto es calcular las condiciones menos conservativas proveyendo certidumbreen la estabilidad y performance de un modelo incierto (familia acotada de modelos) querepresenta un sistema fsico. Cuando estas propiedades, estabilidad y performance, se refierenal modelo nominal las mismas se denominan nominales. Cuando hacen referencia a la familiacompleta de modelos o modelo incierto se las conoce como robustas.Propiedades: para el modelo nominal, estabilidad nominal y performance nominal. Para el modeloincierto estabilidad robusta y performance robusta.Ahora, suponiendo d(s) = 0 y una representacion matematica exacta del sistema, con lo analizadomas arriba surge f(s) = 0. En este caso no hay necesidad de realimentar, cosa que resultarazonable bajo la hipotesis no real propuesta. Luego, cualquier salida deseada como as tambienla estabilizacion del sistema podra ser lograda con un controlador a lazo abierto. Asimismo,suponiendo que la hipotesis anterior es posible no se esta teniendo en cuenta la conexion fsicaentre el controlador y la planta. A traves de estas conexiones pueden ingresar perturbacionesexternas (ruido de cuantizacion, ruido electromagnetico, etc.) al sistema de lazo cerrado. Luego,estas senales pueden inestabilizar el sistema en caso de serlo el mismo a lazo abierto.Como conclusion, no hay posibilidad de evitar la realimentacion en un problema de control amenos que se tenga un conocimiento exacto de todas las senales que entran al sistema en todopunto y ademas el modelo matematico del sistema sea lo mismo que la planta real. Como sepuede imaginar este no es el caso en la realidad.4. Restricciones algebraicas del lazo de controlYa vimos que la incertidumbre tanto en el modelado como en las perturbaciones externas soninevitables en cualquier problema practico de control. Luego, en el problema de diseno, es necesarioentender las restricciones algebraicas del lazo de control. Considere el lazo de control que semuestra en la Figura 4, donde G(s) representa el modelo nominal de la planta, K(s) el modelodel controlador, y(s) la salida, r(s) la referencia, e(s) el error de seguimiento, d(s) la perturbaciony n(s) el ruido de medicion. K(s)r G(s) dyneFigura 4: Restriccion del lazo de realimentacion.Las relaciones entre los mismos son las siguientes:y(s) = G(s)K(s)[I + G(s)K(s)]1[r(s) n(s)] + [I + G(s)K(s)]1d(s) (3a)e(s) = r(s) y(s) = S(s)[r(s) n(s)] + T(s)n(s) (3b)Definimos, S(s) , [I + G(s)K(s)]1como la funcion sensibilidad y T(s) , G(s)K(s)[I +G(s)K(s)]1como la funcion sensibilidad complementaria del lazo.3El nombre de complementaria surge de queT(s) + S(s) = 1 (4)para sistemas SISO yT(s) + S(s) = I (5)para sistemas MIMO, donde I es la matriz identidad. Esta ecuacion impone serias limitacionesa la hora de disenar el controlador que debera garantizar estabilidad y performance, comoas tambien robustez a la incertidumbre del modelo.De acuerdo con las ecuaciones (3a) y (3b), tanto para lograr rechazo de perturbaciones a lasalida, como para minimizar la influencia de las perturbaciones y la referencia en el error deseguimiento, el tamanode la funcion de sensibilidad S(s) debe ser reducido. Por otro lado,si el objetivo es el rechazo del ruido de medicion a la salida o en el error de seguimiento, eltamano de la funcion de sensibilidad complementaria T(s) deber ser reducido. Debido a larestriccion planteada en (4) y (5) esto no es posible simultaneamente.Para resolver este problema es importante primero definir un tamano adecuado para unamatriz de transferencia MIMO, particularmente la matriz de sensibilidad, y por medio de estamedida se tratara de resolver la restriccion en (5).Remarque 2. cualquier problema de control bien planteado debera incluir implcitamente ensus requerimientos esta restriccion.5. Sistemas bien planteadosEn lo que sigue vamos tratar el tema estabilidad nominal y robusta como as tambien problemasde performance para sistemas SISO (una entrada una salida, por sus siglas en ingles), representadosya sea por su funcion de transferencia o por su representacion en modelo de estados.El analisis se realiza de forma gradual comenzando desde estabilidad nominal y terminando enperformance robusta, que es el objetivo perseguido.Para facilitar la notacion en lo que sigue definimos la equivalenciag(s) = C(sI A)1B + D

A BC D

, (6)Considere el lazo de control de la Figura 5 , donde existen las siguientes relaciones entre lasentradas [u1(s) u2(s)]0, las salidas [y1(s) y2(s)]0y los errores [e1(s) e2(s)]0 g(s)k(s)y1u2e2y2u1 e1Figura 5: Lazo de realimentacion para evaluar sistemas bien planteados.y1(s) = g(s)e1(s) e1(s) = u1(s) y2(s) (7)y2(s) = k(s)e2(s) e2(s) = u2(s) + y1(s) (8)A continuacion se define lo que se conoce como lazo de realimentacion bien planteado, importantesuposicion que debera hacerse en cualquier problema de control. Esto evita casos triviales comog(s) = k1(s).4Definicion 5.1 El lazo de realimentacion de la Figura 5 se dice que esta bien planteado si ysolo si todas las posibles transferencias entre las entradas u1 y u2 y todas las salidas y1, y2, e1y e2 existen y son propias.En otras palabras, un sistema se dice bien planteado si para entradas bien definidas obtenemossalidas bien definidas. De hecho, se puede probar que es suficiente verificar que las salidas y1, y2 oe1 y e2 esten bien definidas. Que el lazo de realimentacion este bien definido es un requerimientomatematico para cualquier problema de control en el cual estabilidad y performance deben serdefinidas.Escribiendo de forma compacta la relacion entre las entradas ui y los errores ei, se define lamatriz P(s)

u1(s)u2(s)

=

1 k(s)g(s) 1 e1(s)e2(s)

, P(s)

e1(s)e2(s)

, (Control Robusto es una rama de la teora de control que trata explcitamente con la incertidumbre en su enfoque de diseo del controlador. Mtodos de control robustos estn diseados para funcionar correctamente, siempre y cuando los parmetros inciertos o trastornos estn integradas en un conjunto. Mtodos robustos tienen por objeto lograr un rendimiento robusto y/o la estabilidad en la presencia de errores de modelado delimitadas.

Los primeros mtodos de Bode y otros eran bastante robusto, y los mtodos de espacio de estado inventado en los aos 1960 y 1970 se encontraron en ocasiones a la falta robustez, lo que llev la investigacin para mejorarlos. Este fue el comienzo de la teora de control robusto, que tom forma en los aos 1980 y 1990 y sigue activo hoy en da.

En contraste con una poltica de control adaptativo, una poltica de control robusto es esttica, en lugar de adaptar a las mediciones de las variaciones, el controlador est diseado para trabajar suponiendo que ciertas variables sern desconocida, pero, por ejemplo, acotada.

Cuando se trata de un mtodo de control de dicho ser robusto?

Informalmente, un controlador diseado para un determinado conjunto de parmetros se dice que es robusto si tambin funcionara bien en un conjunto diferente de supuestos. Retroalimentacin de alta ganancia es un simple ejemplo de un mtodo de control robusto; con lo suficientemente alta ganancia, el efecto de las variaciones de los parmetros ser insignificante. Retroalimentacin de alta ganancia es el principio que permite a los modelos simplificados de amplificadores operacionales y transistores bipolares emisor-degenerados para ser utilizados en una variedad de diferentes configuraciones. Esta idea ya fue bien entendido por Bode y Negro en 1927.

La moderna teora de control robusto

La teora de control robusto comenz a finales de 1970 y principios de 1980 y pronto desarroll una serie de tcnicas para hacer frente a la incertidumbre del sistema acotado.

Probablemente el ejemplo ms importante de una tcnica de control robusto es H-infinito de bucle, que fue desarrollado por Duncan McFarlane y Keith Glover de la Universidad de Cambridge; este mtodo minimiza la sensibilidad de un sistema a travs de su espectro de frecuencia, y esto garantiza que el sistema no se desviar mucho de trayectorias esperadas cuando las perturbaciones entran en el sistema.

Un rea emergente de control robusto desde el punto de vista de la aplicacin es el deslizamiento de control de modo que es una variacin de la estructura de control variable. Robustez propiedad de SMC hacia la incertidumbre emparejado, as como la simplicidad en el diseo atrajo una variedad de aplicacin.

Otro ejemplo es la recuperacin de transferencia de bucle, el cual fue desarrollado para superar los problemas de robustez de LQG de control.

Otras tcnicas robustas incluye Quantitative Feedback Theory, la planificacin de ganancias, etc

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