No Slide Title · PDF filedalam memahami peranan dan teknik-teknik analisis model ......
Transcript of No Slide Title · PDF filedalam memahami peranan dan teknik-teknik analisis model ......
DOSEN PENGASUH:
Ir. ADLAIDA MALIK, MS.
Prof. Dr. Ir. ZULKIFLI ALAMSYAH, M.Sc.
PROGRAM STUDI AGRIBISNIS
FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS JAMBI
/ZA
2
Tujuan Umum Perkuliahan:Memberikan pengetahuan dan keterampilan kepada Mahasiswa
dalam memahami peranan dan teknik-teknik analisis modelekonometrika dalam studi empiris mengenai fenomena-
fenomena ekonomi.
Bahan Bacaan:
1. Gujarati, D. 1993. Ekonometrika Dasar. Penerbit Erlangga, Jakarta. (Alih Bahasa: Sumarno Zain)
2. Koutsoyiannis, A. 1977. Theory of Econometrics, Second Edition. The MacMillan Press. Ltd. London.
3. Pindyck, R.S. and D.L. Rubinfeld. 1991. Econometric Models and Economic Forecast, Third Ed. Mc Graw-Hill Book Company. New York.
Kriteria Evaluasi:- Tugas dan Latihan : 20%
- Ujian Mid : 30%- Ujian Akhir : 50%
/ZA
3 I. PENDAHULUAN
1. Definisi
2. Ekonometrika Sebagai Suatu Ilmu
3. Tujuan Ekonometrika
4. Pengertian Model
5. Asumsi-asumsi dlm Model Ekonomi
6. Ciri-ciri Model Ekonometrika
II. METODOLOGI EKONOMETRIKA
1. Pernyataan Teori Ekonomi
2. Spesifikasi Model
3. Pengumpulan Data
4. Estimasi Model
5. Evaluasi Model
6. Pengujian Hipotesis
7. Simulasi Model
GARIS-GARIS BESAR PERKULIAHAN
/ZA
4
III. MODEL REGRESI LINEAR
1. Formulasi
2. Asumsi-asumsi Model Regresi
3. Estimasi Koefisien Regresi
4. Penaksiran dan Makna Koefisien Determinasi
5. Pengujian Hipotesis
IV. MASALAH MULTICOLLINEARITY DALAM PENGUJIAN MODEL REGRESI
1. Pengertian
2. Mendeteksi Multicollinearity
3. Mengatasi Masalah Multicollinearity
GARIS-GARIS BESAR PERKULIAHAN …lanjutan
/ZA
5
V. MASALAH HETEROSCEDASTICITY DALAM PENGUJIAN MODEL REGRESI
1. Pengertian
2. Mendeteksi Heteroscedasticity
3. Mengatasi Masalah Heteroscedasticity
VI. MASALAH AUTOCORRELATION DALAM PENGUJIAN MODEL REGRESI1. Pengertian2. Mendeteksi Autocorrelation3. Mengatasi Masalah Autocorrelation
VII. MODEL REGRESI AUTOREGRESSIVE 1. Pengertian2. Estimasi Model
GARIS-GARIS BESAR PERKULIAHAN …lanjutan
/ZA
6
VIII. MODEL REGRESI DISTRIBUTED LAG
1. Pengertian
2. Estimasi Model
IX. MODEL REGRESI PERSAMAAN SIMULTAN
1. Formulasi
2. Identifikasi
3. Estimasi
X. SIMULASI MODEL REGRESI
1. Proses Simulasi
2. Pengujian Kemampuan Peramalan
GARIS-GARIS BESAR PERKULIAHAN …lanjutan
/ZA
7
DEFINISI EKONOMETRIKA
Ekonometrika = “Pengukuran Ekonomi”
Sumodiningrat, 1994.:Ilmu yang menggabungkan Teori Ekonomi dan StatistikEkonomi dengan tujuan menyelidiki dukungan empiris darimodel yang dibangun teori ekonomi.
Arthur S. Goldberger, 1964.:Ilmu yang menerapkan peralatan Teori Ekonomi, matematikdan Statistik inferensi utk menganalisis fenomena ekonomi
Gerhard Tintner, 1968.:Suatu pandangan khusus thdp peranan Ilmu Ekonomi yangmeliputi penerapan Statistik-matematik atas data ekonomiutk memberikan dukungan empiris thdp model-model yangdibangun dengan ekonomi matematika dan mendapatkanhasil numerik.
/ZA
8
DEFINISI EKONOMETRIKA
Chow, 1983.:Perpaduan antara “Seni” dan Ilmu pengetahuan daripenggunaan Metode Statistik untuk mengukur hubungan-hubungan ekonomi.
Ramanathan, 1996.:Ilmu yang berhubungan dengan (1) Estimasi hubungan-hubungan ekonomi, (2) Mencocokkan teori ekonomidengan dunia nyata dan untuk menguji hipotesis yangberhubungan dengan perilaku-perilaku ekonomi, dan (3)Meramalkan perilaku variabel-variabel ekonomi.
Intriligator, 1980.:Cabang Ilmu Ekonomi yang berkaitan dengan penafsiranempiris dari hubungan-hubungan ekonomi.
/ZA
9EKONOMETRIKA
Sebagai Suatu Ilmu
Ekonometrika mengkombinasikan Teori Ekonomi, Matematika Ekonomi, Statistika Ekonomi dan Statistika Matematis
(Statistik Inferensi)
Teori Ekonomi:Membuat pernyataan atau hipotesis yang sebagian besar bersifat kualitatif.
Ekonomi Matematis:Lebih terfokus pada pernyataan Teori Ekonomi dalam bentuk Matematis tanpa memperhatikan keterukuran atau pembuktian empiris.
/ZA
10
Statistik Ekonomi:Berhubungan dgn pengumpulan, pemrosesan dan penyajian data ekonomi dalam grafik dan tabel.
Statistik Matematis (Statistik Inferensi):Didasarkan pada Teori Probabilitas melalui metode-metode pengukuran yang dibangun atas dasar ekperimen/percobaan yang terkendali dan terencana dengan cermat.
EKONOMETRIKA Sebagai Suatu Ilmu …lanjutan
Ekonometrika mengkombinasikan keempat ilmu diatas untuk mengetahui kondisi riil dari hubungan-hubungan
kuantitatif di dlm kehidupan ekonomi modern.
/ZA
11 TUJUAN EKONOMETRIKA
Membantu dalam mencapai 3 tujuan berikut:
Membuktikan (verifikasi) atau mengujivaliditas Teori Ekonomi.
Menghasilkan dugaan-dugaan numerik bagikoefisien-koefisien hubungan ekonomi.
Meramalkan nilai besaran-besaran ekonomiberdasarkan probabilitas tertentu.
/ZA
12
Mengidentifikasi faktor-faktor yang
mempengaruhi perilaku ekonomi, seperti:
Tingkat pendapatan
Ekspor komoditas
Inflasi
Produktivitas
Pertumbuhan ekonomi
Nilai tukar
Contoh konkrit penggunaanEkonometrika:
/ZA
13 CIRI-CIRI MODEL EKONOMETRIKA
Theorytical Plausibility
Explanatory ability
Accuracy of the estimated of the parameters
Forecasting ability
Simplicity
/ZA
14
M O D E LPenyederhanan dan abstraksi dari realitas perilaku ekonomimenjadi bentuk yang lebih sederhana dengan menerapkanprinsip kehati-hatian.
Model tidak sama dengan RealitasTapi model yang baik dapat menerangkan dan meramalkan
sebagian besar dari apa yang terjadi dengan realitas.
Bentuk-bentuk Model: Matematis Grafis
Skema Diagram
Model Ekonomi:
Konstruksi teoritis atau kerangka analisis ekonomi yang
terdiri dari himpunan konsep, definisi, asumsi, persamaan,
kesamaan (identitas) dan ketidak-samaan darimana
kesimpulan akan diturunkan.
Kajian teori ekonomi
Formulasi model
Mengumpulkan data:
Estimasi model
Menguji hipotesis
Interpretasi hasil
No
Yes
Penarikan Kesimpulan
Sistematika:
Langkah2 penarikan
kesimpulan dari suatu
teori/fenomena ekonomi
menggunakan
Ekonometrika.
/ZA
16
Anatomy of
Econometric Modeling(Gujarati, 2004)
/ZA
17
Pernyataan Teori Ekonomi
Pengujian teori ekonomi yang menjadi
dasar/acuan suatu penelitian.
Misal, Teori Keynes:
Pendapatan dan konsumsi mempunyai
hubungan yang positif
Bila pendapatan seseorang meningkat
maka konsumsinya meningkat, tetapi tidak
sebesar peningkatan pendapatan.
Langkah I:
/ZA
18 Spesifikasi Model
Model Matematika:
Teori yang sudah dinyatakan dispesikasikan
ke dlm bentuk model (persamaan) matematika.
Fungsi konsumsi Keynes:
C = a + b Y
a = parameter konstanta, a > 0.
b = parameter slope, 0<MPC<1.
Model persamaan tunggal
Konsumsi berhubungan linear, positif
Bersifat deterministik (pasti)
Penetapan restriksi sangat penting
Langkah II:
/ZA
19
Model Ekonometrika:
C = a + b Y +
Hubungan antar variabel ekonomi bersifatStochastik.
= error term, merupakan variabel random (stochastic) mewakili variabel2 lain ygtidak termasuk kedalam model.
Pengumpulan Data
Sumber data
Definisi
Jenis
Cross section
Time series
Panel (Gabungan Cross section dan time series)
Langkah III:
/ZA
20 Estimasi Model
Identifikasi Model:
Prosedur utk mendapatkan koefisien parameter
Menentukan apakah hubungan dpt diestimasi secara statistik
Berhubungan dg masalah perumusan model
Misal:
Qd = f(P) : Demand
Qs = f(P) : Supply
Qd = Qs : Market clearance
Model diatas meragukan, krn apakah koefisien
parameter milik Qd atau Qs.
perlu penambahan variabel shifter
Langkah IV:
/ZA
21
Agregasi dalam Model:
Agregasi terhadap individual
Agregasi komoditi
Agregasi periode waktu
Agregasi spasial
Misagregasi dalam model menyebabkan:
agregasi yang bias
estimasi yang bias
Estimasi Model
/ZA
22
Pengujian derajat korelasi antar variabel:
Jika 2 variabel penjelas mempunyai korelasi yg tinggi maka secara statistik sulit menentukan pengaruh masing-masingnya.
Misal:
Qd = f(P, W)
Qd = Demand
P = harga
W = upah
Sementara P dan W cenderung naik secara
bersamaan, W = f(P).
Oleh karena itu, nilai estimasi tidak akurat.
Estimasi Model
/ZA
23 Estimasi Model
Pemilihan teknik yang tepat:
Single equation:
Ordinary Least Squares (OLS)
Indirect Least Squares (ILS)
Two Stage Least Squares (2SLS)
Limited Information of Max. Likelihood (LIML)
Simultaneous equation:
Three Stage Least Squares (3SLS)
Full Information of Max. Likelihood (FIML)
/ZA
24 Estimasi Model
Pemilihan teknik estimasi tergantung:
Bentuk hubungan dan syarat identifikasi
Persyaratan estimasi:
- Unbiasedness
- Consistency
- Efficiency
Tujuan penelitian ekonometrika
Kesederhanaan teknik
Waktu dan biaya
/ZA
25
Evaluasi Model
Kriteria a priori ekonomi
Didasarkan atas prinsip-prinsip ekonomi
Kriteria Statistik (first order test):
Didasarkan atas interpretasi nilai-nilai statistik
• Standar deviasi,
• Koefisien. Determinasi (R2)
• Nilai F dan nilai t.
Kriteria ekonometrika (second order test):
Didasarkan atas teori ekonometrika untuk
mengevaluasi apakah nilai estimasi memiliki
sifat unbiasedness, consistency dan
efficiency.
/ZA
26 Pengujian Hipotesis
Menguji apakah hasil estimasi parameter sesuai
dengan yang diharapkan teori. Misal:
C = 230 + 0.45 Y
Ini berarti selama periode pengamatan:
1. Meskipun tidak ada pendapatan, jumlah
konsumsi rata-rata sebesar Rp. 230 (dissaving).
2. Kenaikan pendapatan sebesar Rp. 1000, maka
konsumsi meningkat rata-rata sebesar Rp. 450.
Tapi apakah nilai-nilai tersebut secara statistik
significant?
Langkah V:
/ZA
27 Aplikasi Model
Peramalan (forecasting)
Misal: Berapakah pengeluaran konsumsi jikatingkat pendapatan masyarakat sebesarRp. 2000.
Model yang sudah dievaluasi:
C = 230 + 0.45 Y
C = 230 + 0.45 (2000)
C = 1130.
Analisis kebijakan.
Langkah VI:
/ZA
28
Langkah VII: Interpretasi Hasil
Menginterpretasikan (memberikan makna
terhadap) nilai-nilai parameter yang diperoleh dari
hasil estimasi.
Misal, hasil estimasi terhadap
diperoleh: a = 230 dan b = 0.45
sehingga:
C = 230 + 0.45 Y
Ini berarti selama periode pengamatan:
1. Meskipun tidak ada pendapatan, jumlah konsumsirata-rata sebesar Rp. 230 (dissaving).
2. Kenaikan pendapatan sebesar Rp. 1000, makakonsumsi meningkat rata-rata sebesar Rp. 450.
C = a + bY +
Model Persamaan Ekonometrik
Model Persamaan Tunggal
Model Persamaan Simultan
Model Persamaan Sederhana
Model Persamaan Berganda
Persamaan Linear
Bentuk Model Persamaan
Persamaan Non-Linear
Model Persamaan
Static
Model Persamaan
Dynamic
/ZA
30
PENGERTIAN KORELASI DAN REGRESI
KORELASI dan REGRESI merupakan metode yang
dapat digunakan untuk mengukur hubungan yang
terjadi antar variabel-variabel ekonomi. Misal antara
variabel X dan variabel Y.
KORELASI
Korelasi mengukur derajat hubungan antara 2
atau lebih variabel.
Hubungan antara 2 Variabel (Misal X dan Y) dapat
linear, non-linear, positif atau negatif.
/ZA
31
X
YKorelasi Linear:If semua titik (X,Y) pd diagram pencar mendekati bentuk garis lurus.
. . . .
. . . .. . ..
X
Y Korelasi Non-linear:If semua titik (X,Y) pd diagram pencar tidak membentuk garis lurus.
. . . . .. . . .
. . . ..
X
YKorelasi Positif:If jika arah perubahan kedua variabel sama If X naik, Y juga naik.
. . . .
. . . .. . ..
. .
.
.. . . .
. . .
.
X
YKorelasi Negatif:If jika arah perubahan kedua variabel tidak sama If X naik, Y turun.
/ZA
32
X
YDua Variabel Tidak Berkorelasi:If semua titik (X,Y) pd diagram pencar tidak dapat ditentukan bentuknya
. . . . . . .. . . . .. . . .. . .
MENGUKUR KORELASI LINEAR
Diagram Pencar: Pencaran titik dari garis.
If titik2 mendekati garis Korelasi yang kuat.
Koefisien Korelasi ( atau r)
xi yi
rxy =
xi2 yi
2
rxy = Koefisien korelasi antara X dan Y
xi = Xi - X ; i = pengamatan
yi = Yi - Y ; n = jumlah pengamatan
Tanda garis diatas variabel menunjukkan nilai
rata-rata.
/ZA
33
n XY - X Y rxy =
n X2 - (X)2 n X2 - (X)2
Atau
Rumus koefisien korelasi diatas:
Simetri terhadap X dan Y rxy = ryx
Hanya berlaku untuk hubungan yang linear
Nilai r terletak antara -1 dan 1; -1 r 1.
r = -1: Korelasi negatif sempurna
r = 1: Korelasi positif sempurna
r = 0: Tidak berkorelasi
/ZA
34
Secara empiris, hampir tidak pernah ditemukankorelasi sempurna (semua titik terpencar tepatpada garis).
Nilai r yang mendekati nol menunjukkan derajathubungan yang lemah.
Koefisien r merupakan estimasi sampel terhadapkoefisien korelasi populasi, .
Nilai r mengandung error, sehingga perlu diujireliabilitasnya.
Beberapa catatan tentang nilai r:
/ZA
35
Pengamatan Harga Suplai
1 2 10
2 4 20
3 6 50
4 8 40
5 10 50
6 12 60
7 14 80
8 16 90
9 18 90
10 20 120
Contoh Penghitungan Korelasi Antara Harga dan Suplai
/ZA
36
Regresi
Mengukur ketergantungan suatu variabel (dependentvariable) thdp 1atau lebih var. lain (explanatory variables)
Tujuan Mengestimasi nilai tengah Variabel tdk bebas dari nilai
rata-rata variabel bebas.
Untuk menguji hipotesis mengenai sifat ketergantungansesuai dengan teori ekonomi.
Beda dengan Korelasi Asimetri dalam memperlakukan Variabel:
Var. penjelas bersifat deterministik
Var. tdk bebas bersifat stochastic (acak)
Untuk setiap nilai X tertentu, dapat memberikan
beberapa nilai Y dengan probabilitas tertnetu.
/ZA
37
Model Regresi Sederhana
Yi = 0 + 1 Xi + i
0 dan 1 : parameter dari fungsi yg nilainya akan diestimasi.
Bersifat stochastik untuk setiap nilai X terdapat suatu
distribusi probabilitas seluruh nilai Y atau Nilai Y tidak dapat
diprediksi secara pasti karena ada faktor stochastik i yang
memberikan sifat acak pada Y.
Adanaya variabel i disababkan karena:
Ketidak-lengkapan teori
Perilaku manusia yang bersifat random
Ketidak-sempurnaan spesifikasi model
Kesalahan dalam agregasi
Kesalahan dalam pengukuran
/ZA
38
. .
..
. ..
.
Ÿi = b0 + b1 XiYi
Ÿi
i
X
Y
Yi = 0 + 1 Xi + i
Variation in
Y
Systematic
Variation
Random
Variation
0
Asumsi-asumsi mengenai i:1. i adalah variabel random yg menyebar normal
2. Nilai rata-rata i = 0, e(i) = 0.
3. Tidak tdpt serial korelasi antar i cov(i,j) = 0
4. Sifat homoskedastistas, var(i) = 2
5. cov(i,Xi) = 0
6. Tidak terdapat bias dalam spesifikasi model
7. Tidak terdapat multi-collinearity antar variebel penjelas
/ZA
39
X1 X2 X3
Fungsi Regresi Populasi
E(Yi) = 0 + 1 Xi
X
Y
Yi = 0 + 1 Xi + i
Nilai rata2 Yi :
E(Yi) = 0 + 1 Xi
I = Yi - E(Yi)
/ZA
40
Estimasi Parameter Model Regresi Sederhana
Yi = 0 + 1 Xi + i
Metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Square – OLS):
Prinsip: Meminimumkan nilai error – mencari jumlah penyimpangan kuadrat (i
2) terkecil.i = Yi - 0 - 1 Xi
i2 = (Yi - 0 - 1 Xi)2
i2 = (Yi - 0 - 1 Xi)2
i2 minimum jika:
i2 /0 = 0 2 (Yi - 0 - 1 Xi) = 0
i2 /1 = 0 2 Xi (Yi - 0 - 1 Xi) = 0
/ZA
41
Sederhanakan, maka didapat:
(Xi – X) (Yi – Y)b1 =
(Xi – X)2
b0 = Y - b1X
dimana
b0 dan b1 nilai penduga untuk 0 dan 1.
X dan Y adlh nilai rata2 pengamatan X dan Y
Standar error:
2 ½
SE(b1) = (Xi – X)2
Xi2 ½
SE(b0) = N (Xi – X)2
diduga dengan s, dimana:
s = (i2 /n-2)2 dan i
2 = (Yi – Y)2
/ZA
42Yi = 1 + 2 Xi + i
Yi = 1 + 2 Xi + i
Ŷi = 1 + 2 Xi
Yi = Ŷi + i
i = Yi - Ŷi
Persamaan umum Regresi sederhana
1 dan 2 adalah nilai estimasi untuk parameter
Ŷi = nilai estimasi model
i = nilai residual
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Metode Ordinary Least Squares (OLS)
n XiYi – Xi Yi2 =
n Xi2 – (Xi)
2
(Xi – X)(Yi – Y)=
(Xi – X)2
n xiyi=
xi2
(Xi )2 Yi – Xi XiYi
1 = n Xi
2 – (Xi)2
= Y – 2X
Koefisien parameter untuk 1 dan 2
/ZA
43
Standard error of the estimates
Var(2) = 2 / Xi2
2 Se(2) = Var(2) = =
Xi2 Xi
2
Xi2
Var(1) = 2
n xi2
Xi2
Se(1) = Var(1) = 2
n xi2
i2
2 = i2 = yi
2 – 22 xi
2
n – 2 (xi yi)
2
= yi2 –
xi2
/ZA
44
Koefisien Determinasi
•
TSS
RSS
ESSTSS = RSS + ESS
ESS RSS1 = +
TSS TSS
(Ŷi - Y)2 i2
= + (Yi - Y)2 (Yi - Y)2
ESS (Ŷi - Y)2
r2 = =TSS (Yi - Y)2
atauESS i
2
= 1 – = 1 –TSS (Yi - Y)2
X
Y
Y
1 + 2 Xi
Atau: xi
2
r2 = 22
yi2
(xi yi)2
= xi
2 yi2
/ZA
45
MODEL
REGRESSI LINIER BERGANDA
Model yg memperlihatkan hubungan antara satu variabelterikat (dependent variable) dgn beberapa variabel bebas(independent variables).
Yi = 0 + 1 X1i + 2 X2i + … + k Xki + i
dimana: i = 1, 2, 3, …. N (banyaknya pengamatan)
0, 1, 2, …, k adalah parameter yang nilainya diduga
melalui model:
Yi = b0 + b1 X1i + b2 X2i + … + bk Xki + ei
Ŷi = b0 + b1X1i + b2X2i + … + bkXki
dan hasil pendugaannya adalah
/ZA
46
PENDUGAAN vs HASIL PENDUGAAN SAMPEL
/ZA
47
ESTIMASI MODEL REGRESSI LINIER BERGANDA
Model: Yi = 0 + 1 X1i + 2 X2i + i
(yi x1i) (x22i ) – (yi x2i) (x1i x2i)
b1 =(x2
1i ) (x22i ) – (x1i x2i)
2
(yi x2i) (x21i ) – (yi x1i) (x1i x2i)
b2 =(x2
1i ) (x22i ) – (x1i x2i)
2
b0, b1 dan b2 nilai penduga untuk 0, 1 dan 2.
Model penduga: Yi = b0 + b1 X1i + b2 X2i + ei
b0 = Yi – b1X1i – b2 X2i
/ZA
48
ESTIMASI MODEL REGRESSI LINIER BERGANDA
1 X21 x2
2i – X22 x2
1i – 2 X1 X2 x1i x2ivar(b0) = + 2
n (x21i ) (x2
2i ) – (x1i x2i)2
x21i
var(b1) = (x2
1i )(x22i ) – (x1i x2i)
2
2
se(bi) = var(bi)
Utk i = 0, 1, 2.
i2
2 = n – 3
i2 = y2
i – b1 yi x1i – b2 yi x2i
/ZA
49
Asumsi-asumsiModel Regresi Linier Berganda
Nilai rata-rata disturbance term adalah nol,
E(i) = 0.
Tidak tdpt serial korelasi (otokorelasi) antar i
Cov(i,j) = 0 untuk i j.
Sifat homoskedastisitas:
Var(i) = 2 sama utk setiap i
Covariance antara i dan setiap var bebas adalah nol.
Cov(i,Xi) = 0
Tidak tdpt multikollinieritas antar variebel bebas.
Model dispesifikasi dengan baik
(Agar hasil estimasi dapat diinterpretasikan dengan baik - BLUE)
/ZA
50
Data Kualitatif dalam Model Regressi(Penggunaan Dummy Variable)
Variabel Dummy adlh variabel yg merepresentasikan kuantifikasi dari variabel kualitatif. Misal: jenis kelamin, pendidikan, lokasi, situasi, musim, & kualitas.
Jika data kualitatif tsb memiliki m kategori, maka jumlah variabel dummy yg dicantumkan didlm model adalah (m-1).
Kesimpulan yg diambil dari keberadaan variabel dummy didlm model adlh perbedaan nilai antar kategori ybs.
Variabel dummy sering juga disebut variabel boneka, binary, kategorik atau dikotom.
Dummy memiliki nilai 1 (D=1) utk salah satu kategori dan nol (D=0) untuk kategori yang lain.
Variabel dummy digunakan sebagai upaya untuk
melihat bagaimana klasifikasi-klasifikasi dalam
sampel berpengaruh terhadap parameter pendugaan.
Variabel dummy juga mencoba membuat kuantifikasi
dari variabel kualitatif.
Pertimbangkan model berikut ini:
I. Y = a + bX + cD1 (Model Dummy Intersep)
II. Y = a + bX + c(D1X) (Model Dummy Slope)
III. Y = a + bX + c(D1X) + dD1 (Kombinasi)
Dummy Intersep Dummy Slope Dummy Kombinasi
Y= a + bX1 + cD1
Model
Dummy Intersep
Y= a + bX1 + cD1X1
Model
Dummy Slope
Y= a + bX1 + cD1X1+ dD1
Model
Dummy Kombinasi
Y
0
Y= (a + c) + bX1
Y= a + bX1
D1 = 1
D1 = 0
X
Y= a + (b+c).X1
Y= a + bX1
D1 = 1
D1 = 0
Y
X
Y= (a+d) + (b+c).X1
Y = a + bX1
D1 = 1
D1 = 0
Y
X
/ZA
53
ANOVA Model:
Yi = + Di +
Misal :
Yi = Penghasilan Karyawan
Di = 1 untuk laki-laki
= 0 untuk wanita
E(YiDi=0) =
E(YiDi=1) = +
Dummy sebagai Variabel Bebas:
Interpretasi:
Apakah jenis kelamin berpengaruh thdp penghasilan. Berapa perbedaan penghasilan antara laki2 dan wanita.
o
Yi
D=0
o
o
o
o
o
x
x
x
x x
x
D=1
+
O = L
x = P
/ZA
54
ANCOVA Model: (gabungan kuantitatif & kualitatif)
1. Satu kuantitatif, satu kualitatif dg 2 kategori.
Yi = 1 + 2Di + Xi +
Xi = Masa kerja
E(YiXi, Di=0) = 1+Xi
E(YiXi, Di=1) = (1+2)+Xi
Dummy sebagai Variabel Bebas:
o
oo
o
o
o
xx
x
xx
x
Masa kerja
Yi
1+Xi
(1+ 1)+Xi
Interpretasi:
Apakah jenis kelamin dan masa kerja berpengaruh thdp penghasilan. Pada masa kerja tertentu, brp perbedaan penghasilan antara Laki dan wanita.
/ZA
55
2. Satu kuantitatif, satu kualitatif dg 3 kategori.
Misal: Selain masa kerja, penghasilan karyawan juga dipengaruhioleh tingkat pendidikan (tdk tamat SMU, tamat SMU, PT)
Yi = 1 + 2D1i + 3D2i + Xi +
D1i = 1 untuk tamat SMU
= 0 Lainnya
D2i = 1 untuk PT
= 0 Lainnya
Sebagai kategori dasar adlh tidak tamat SMU
E(YiXi, D1i=0, D2i=0) = 1+Xi (tdk tamat SMU)
E(YiXi, D1i=1, D2i=0) = (1+2)+Xi (Tamat SMU)
E(YiXi, D1i=0, D2i=1) = (1+3)+Xi (PT)
Dummy sebagai Variabel Bebas:
/ZA
56
Satu kuantitatif, satu kualitatif dg 3 kategori.
1+Xi
(1+2)+Xi
(1+3)+Xi
1
2
3
Yi
Masa kerja
Asumsi: 3>2
Interpretasi:
Apakah Masa kerja dan tkt pendidikan berpengaruh thdp penghasilan?. Brp besar perbedaan penghasilan menurut tkt pendidikan pd masa kerja tertentu?.
/ZA
57
3. Satu kuantitatif, dua kualitatif dg 2 kategori.
D1i = 1 untuk Laki-laki
= 0 untuk wanita
D2i = 1 untuk kota
= 0 untuk desa
Misal: D1 adalah dummy jenis kelamin (laki2/wanita), dan D2
adlh dummy tempat kerja (kota/desa).
Masa kerja
Yi
D1=0, D2=0
D1=1, D2=0
D1=0, D2=1
D1=1, D2=1
Yi = 1 + 2D1i + 3D2i + Xi +
/ZA
58
DATA MAHASISWA AGRIBISNIS
YANG MENGONTRAK EKONOMETRIKA
SMT. GANJIL 2012/2013
IPK = f(UJA, JJB, JKL, BEA, JTT, PAC, KOS, POR)
/ZA
59
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8No. JKL IPK UJA BEA JJB BAB JTT JTT PAC KOS POR
1 0 3.54 300 1 6 0 1 0 0 1 1
2 1 3.38 120 1 14 0 0 0 1 0 1
3 0 3.27 200 1 4 0 1 0 1 1 0
4 0 3.38 200 0 4 1 1 0 0 1 0
5 1 3.13 200 0 3 0 1 0 0 1 1
6 0 3.21 250 0 2 1 0 1 1 0 1
7 0 3.21 150 1 4 0 1 0 0 0 0
8 1 2.97 100 0 3 1 1 0 0 1 1
9 1 3.20 100 1 7 0 1 0 1 1 1
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
32 0 3.48 150 1 8 1 1 0 1 1 1
33 0 3.25 200 1 6 1 1 0 0 1 1
34 0 3.19 160 1 6 1 0 0 0 0 1
35 0 3.25 120 1 6 1 1 0 0 1 1
36 0 3.89 150 1 4 0 1 0 0 1 1
37 0 3.09 150 0 5 1 1 0 1 1 0
38 1 3.40 100 0 2 0 0 0 0 0 0
/ZA
60
Uang Jajan per Minggu (Rp.1000) - X
y = 0.001x + 3.129R² = 0.040
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
0 50 100 150 200 250 300 350
IPK – (Y)
IPK = f(UJA)
/ZA
61
/ZA
62
y = 0.0189x + 3.1722R² = 0.0422
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
3.20
3.40
3.60
3.80
4.00
0 2 4 6 8 10 12 14
Jumlah Jam Belajar per Minggu (Diluar Jadwal Kuliah)
IPK
IPK Linear (IPK)
/ZA
63
/ZA
64
/ZA
65
/ZA
66
/ZA
67
No. USA JBM POT JKL IPK
1 1,250 6 S2 P 3.24
2 1,400 6 S1 L 2.28
3 1,100 12 SMA P 3.40
4 1,200 14 SMP P 3.20
5 850 12 SMA L 3.40
6 2,000 10 SMP L 2.95
7 1,000 14 S2 L 3.14
8 1,400 11 SMP P 2.76
9 1,000 12 SMA P 2.64
10 1,600 12 S2 P 3.10
11 1,800 12 S1 L 2.96
12 800 16 SMP P 3.68
13 1,600 14 SMA L 2.78
14 1,000 18 S1 L 3.52
15 900 16 SMA P 3.46
16 1,200 8 SMA P 2.62
17 900 12 SMP P 3.34
18 1,000 10 SMA L 3.12
19 2,000 6 S1 L 2.68
20 1,200 8 SMP P 2.98
Database 1.
IPK mahasiswa yang
mengambil MK.
Ekonometrika dan
beberapa faktor yang
diduga
mempengaruhinya
/ZA
68
y = -0.0005x + 3.7397R² = 0.3071
-
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000 2,200
IPK
Uang Saku per Bulan (Rp.1000)
/ZA
69
Permasalahan dalam Model Regresi Linier Berganda
Multikolinieritas terjadi bila paling tidak salah satu var. bebas berkorelasi dgn var. bebas lainnya.
Multikolinieritas sempurna terjadi bila tdpt hubungan linear antar variabel bebas.
1. Multikolinieritas
Akibatnya ?
Jika tdpt Multikolinieritas sempurna, parameter tidak dapat diduga dgn metode OLS.
Nilai varians besar standar error besar selang kepercayaan lebar.
Uji-t tidak signifikan
Tanda (sign) parameter bisa berlawanan.
R2 tinggi, tp banyak variabel yang tidak signifikan
/ZA
70
MultikolinieritasCara mendeteksi ?
Regresikan setiap variabel bebas Xi dgn variabel bebaslainnya yg ada dalam persamaan (auxiliary regression).Jika uji F menunjukkan hasil yang signifikan berartiterdapat kolinearitas antara variabel Xi dengan variabelbebas lainnya.
Cek korelasi antar variabel bebas matrik korelasi.
Cara mengatasi ?
Gunakan informasi a priori, berdasarkan keyakinan atauhasil penelitian terdahulu.
Lakukan regresi elementer, kemudian tambahkan satuper satu variabel yg diduga relevan mempengaruhi varterikat.
Menggabungkan data cross-section dan time series Mengeluarkan salah satu variabel yang kolinier. Mentransformasikan variabel. Mencari data tambahan atau data baru
/ZA
71
Contoh:Model Summary
Model R R SquareAdjusted R
SquareStd. Error of the
Estimate
1 .988a .977 .976 .026952
a. Predictors: (Constant), PupukUrea, TK, Lahan, Benih
ANOVAb
ModelSum of Squares df
Mean Square F Sig.
1 Regression 2.345 4 .586 807.005 .000a
Residual .055 76 .001
Total 2.400 80
a. Predictors: (Constant), PupukUrea, TK, Lahan, Benihb. Dependent Variable: Produksi
/ZA
72
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t Sig.B Std. Error Beta1 (Constant) 3.011 .216 13.918 .000
Lahan .723 .183 .665 3.945 .000
TK .030 .019 .035 1.559 .123
Benih -.107 .184 -.100 -.581 .563
PupukUrea .359 .035 .424 10.223 .000
Hasil Estimasi:
1. Tanda pada koefisien benih negatif (-)
2. R2 tinggi : 97.7%
3. Uji F: Highly significant (.000)
Uji Parsial:
Tenaga Kerja dan Benih tidak signifikan
/ZA
73
Permasalahan dalam Model Regresi Linier Berganda
Heteroskedastisitas terjadi bila varians i tidak konstan,
tapi berubah-ubah pada setiap pengamatan i.
Untuk model
Yi = 0 + 1 X1i + i
Var(i ) bisa kemungkinan semakin besar atau semakin
kecil dengan semakin besarnya nilai X1i. Var(i ) = i2
Misal:
(1) Model Konsumsi C = o + 1Y +
(2) Model Learning process:
Jumlah kesalahan ketik = 0 + 1 pengalaman +
2. Heteroskedastisitas
/ZA
74
Pada model (1), Var(i ) cenderung lebih besar dengan semakin besarnya pendapatan.
Pada model (2) Var(i ) cenderung lebih kecil dengan semakin lama pegalaman dalam mengetik.
C
Y
C = o + 1 Y
K
P
K = o - 1 P
Akibat Heteroskedastisitas?
Karena Var(i ) tdk konstan, tapi ditentukan oleh X1i , maka:
xi2 i
2.
Var(b1) =( xi
2)2.
Besarnya Var(b1) menyebabkan nilai SE(b1) juga akan besar, sehingga interval kepercayaan menjadi lebih besar dan pada uji-t variabel menjadi tidak signifikan.
Kesimpulan yang diambil dapat menyesatkan.
/ZA
75
Hasil pendugaan tetap tak bias dan konsisten, akan tetapi
varians dr parameter dugaan tdk bisa minimum sehigga
dikatakan tidak efisien tidak memenuhi syarat BLUE
/ZA
76
Cara mendeteksi ?
Metode GrafikBuat diagram plot antara ui
2 dan Ŷ. Heteros-kedastisitas akan terdeteksi apabila sebaran plotmenunjukkan pola yang sistematis.
Uji ParkMeregresikan ui
2 dengan X1i dalam bentuk persamaanlog linear.
ln ui2 = o + 1 ln X1i + i
ui adlh error term pd regresi Yi = 0 + 1 X1i + i
Metode Goldfeld-Quant
Prinsipnya adlh membagi dua data X1i bdsrkan urutanterkcil – terbesar dan meregresikan masing2 untukmemperoleh nilai RSS.
/ZA
77
Langkah-langkah Metode Goldfeld-Quant:
Urutkan data X1i berdasarkan urutan terkecil – terbesar
Abaikan bbrp pengamatan (c pengamatan) di sekitarmedian.
Regresikan pengamatan (N-c)/2 pertama dan kedua,hitung RSS, sehingga didapatkan RSS1 dan RSS2.
Hitung rasio kedua RSS ():
RSS2/df2 = ; df adalah derajat bebas (n-k-1)
RSS1/df1
Lakukan uji F, bila > F berarti terjadi heteroskedas-tisitas.
/ZA
78
Contoh:
/ZA
79
Permasalahan dalam Model Regresi Linier Berganda
Terjadi bila terjadi korelasi antara i dan j.
Terjadi korelasi antara variabel itu sendiri pada
pengamatan yang berbeda.
Umumnya banyak terjadi pada data time series
ti berkorelasi dengan ti-1
3. Otokorelasi
Mendeteksi Otokorelasi
Uji Durbin-Watson ( Uji d)
N
=tt
N
=t
tt
u
)uu(
=d
1
2
2
2
1
ˆ
ˆˆStatistik Uji
Dalam Paket Program SPSS/EViews Sudah dihitungkan
Langkah-langkah menggunakan uji Durbin-Watson :
Bandingkan nilai d yang dihitung dengan nilai dL dan dU
dari tabel dengan aturan berikut :
Bila d < dL tolak H0; Berarti ada korelasi yang positif atau kecenderungannya = 1
Bila dL ≤ d ≤ dU kita tidak dapat mengambil kesimpulan apa-apa
Bila dU < d < 4 – dU jangan tolak H0; Artinya tidak ada korelasi positif maupun negatif
Bila 4 – dU ≤ d ≤ 4 – dL kita tidak dapat mengambil kesimpulan apa-apa
Bila d > 4 – dL tolak H0; Berarti ada korelasi negatif
Sebaran Nilai Durbin-Watson
dan Kesimpulan
0 dL dU 4-dU 4-dL 4
Korelasi
positif
Tidak
tahu
Tidak
tahuKorelasi
Negatif
Tidak ada
Korelasi
1. Metode Pembedaan Umum (Generalized Differences)
Yt = β0 + β1Xt + ut dan ut = ρ ut-1 + vt
Untuk waktu ke- t-1:
Yt-1 = β0 + β1Xt-1 + ut-1
Bila kedua sisi persamaan dikali dengan ρ, maka:
ρ Yt-1 = ρ β0 + ρ β1Xt-1 + ρ ut-1
Kurangkan dengan persamaan Model
Yt - ρ Yt-1 = (β0 - ρ β0) + β1(Xt - ρ Xt-1) + (ut - ρ ut-1)
Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai:
Yt* = β0 (1 - ρ) + β1Xt* + vt
Dimana:
Yt* = Yt - ρ Yt-1 dan Xt* = Xt - ρ Xt-1
Idealnya kita harus dapat mencari
nilai ρ. Tapi dalam banyak kasus,
diasumsikan ρ = 1, sehingga:
Yt* = Yt - Yt-1
Xt* = Xt - Xt-1
Mengatasi Otokorelasi:
Pemilihan Model
R2 Adjusted
Perhatikan Model:
(i) LABA = 5053,712 + 0,049 KREDIT; R2 = 80,6%
(ii) LABA = 45748,484 + 0,0106 ASET + 0,0081 KREDIT; R2= 87,4%.
Model manakah yang lebih baik ditinjau dari koefisien determinasi-nya?.
Sekarang perhatikan kembali formula untuk menghitung R2
2
2
2 11SST
SSR
YY
u=
SST
SSE==R
i
i
SST sama sekali tidak dipengaruhi oleh jumlah variabel bebas,karena formulasinya hanya memperhitungkan variabel terikat
SSE dipengaruhi oleh variabel bebas, dimana semakin banyakvariabel bebas, maka nilai SSE cenderung semakin kecil, ataupaling tidak tetap. SSE kecil, maka nilai SSR akan besar.
Akibat kedua hal tersebut, maka semakin banyak variabel bebasyang dimasukkan dalam model, maka nilai R2 akan semakinbesar.
)(n)Y(Y
k)(nu=R
i
i
1/
/1
2
2
Pemilihan Model
2. Akaike Information Criterion (AIC)
ne=
n
ue= 2k/ni2k/n SSE
AIC
2
n+
n=
RSSln
2kAICln
Bila dibandingkan dua buah regresi atau lebih, maka
model yang mempunyai nilai AIC terkecil merupakan
model yang lebih baik.
Ilustrasi
LABA = 5053,712 + 0,049 KREDIT; SSE = 3,28E+12
LABA = 58260,461 + 0,013 ASET; SSE = 2,1E+12
LABA = 45748,484 + 0,0106 ASET + 0,0081 KREDIT; SSE = 2,17E+12
98682450
123,28Eln
50
2x2RSSln
2kAICln ,=
++=
n+
n=(i)
54092450
122,1Eln
50
2x2RSSln
2kAICln ii ,=
++=
n+
n=)(
61372450
122,17Eln
50
2x3RSSln
2kAICln iii ,=
++=
n+
n=)(
Pemilihan Model
3. Schwarz Information Criterion (SIC)
nn=
n
un= k/nik/n SSE
SIC
2
n+n
n
k=
RSSlnlnSICln
Sama dengan AIC, model yang mempunyai nilai SIC terkecil
merupakan model yang lebih baik.
Ilustrasi
062550
123,28lnln50
50
2RSSlnlnSICln ,=
+E+=
n+n
n
k=(i)
622450
122,1Elnln50
50
2RSSlnlnSICln ii ,=
++=
n+n
n
k=)(
732450
122,17lnln50
50
3RSSlnlnSICln iii ,=
+E+=
n+n
n
k=)(
/ZA
91
Model
Persamaan Simultan
/ZA
92
Model Persamaan Simultan
Y1i = 10 + 11Y2i + 12 Xi + 1i
Y2i = 0 + 1Y1i + 3 Xi + 2i
Y1, Y2 = Variabel Endogen (Saling terikat) – stochasticX1 = Variabel eksogen 1i, 2i = Error - stochastic
Merupakan suatu sistem persamaan yg menggambarkan saling
ketergantungan antar variabel
Estimasi parameter suatu persamaan tidk dpt dilakukan tanpa
mempertimbangkan irformasi pada persamaan lainnya.
Hubungan dua-arah atau simultan antar bbrp Variabel
Terdapat korelasi antara dan variabel penjelas; cov(i,Xi) 0.
(Penyimpangan asumsi OLS)
P
P3
P2
0Q1 Q0
Q
Q
Q0
Q1
0X1 X0
X
Q
Q0
Q1
0Q1 Q0
Q
Px
P1
P0
0X1 X0
X
S1
S0
D0
Q=f(x)
D1
S2
S3
(a) Pasar Pupuk
(b) Fungsi Produksi
(d) Pasar Ouput (Pertanian)
(c) Diagram pembantu
Contoh:
Model Grafis untuk evalausi Dampak pencabutan subsidi input terhadap pasar output.
/ZA
94
Contoh: Model Matematis Persamaan Simultan
1. Model Permintaan dan PenawaranFungsi Permintaan: Qd
t = o + 1Pt + 1t ; 1< 0.
Fungsi Penawaran: Qst = o + 1Pt +2t ; 1> 0.
Keseimbangan: Qdt = Qs
t P
2. Model Pendapatan Nasional KeynesFungsi Konsumsi: Ct = o + 1Yt + t ; 0 < 1< 1.
Identitas Pendapatan: Yt = Ct + It ;
3. Model Ekonomi Makro
Fungsi Konsumsi: Ct = o + 1Ydt + 1t ; 0 < 1< 1.
Fungsi Pajak: Tt = o + 1Yt +2t ; 0 < 1 < 1.
Fungsi Investasi: It = o + 1 rt +3t ; 1 < 0.
Definisi: Ydt = Yt - Tt
Pengeluaran Pem: Gt = Ĝ
Identitas Pendapatan:Yt = Ct + It + Gt
Qd = f ( Pt, MGt, Yt, Nt) (1)
Q = f (Pt, PGut, PXt, Tt, Lt) (2)
M = f(Pwt, ERIt, NPRt) (3)
Qs = Q + M (4)
St = Qs-Qd (5)
Pt = f(Pwt, ERIt, NPR, St) (6)
Contoh: Perilaku pada Pasar Beras
di mana : Q = jumlah produksi beras Qd = jumlah permintaan beras
Qs = penawaran beras Pt = harga beras
St = stok beras MGt = impor gandum
Pgut = harga gula Px = harga pupuk
Yt = pendapatan konsumen Nt = jumlah penduduk
Tt = teknologi Lt = luas areal panen
M = jumlah impor Pw = harga beras dunia
/ZA
96
Beberapa Istilah dlm Model Persamaan Simultan:
1. Persamaan Struktural/Perilaku:
Persamaan yang dapat menggambarkan:
• Struktur atau perilaku dari fenomena ekonomi yang diamati.
• Perilaku variabel endogen terhadap perubahan-perubahan variabel penjelas pada persamaan yang bersangkutan
2. Persamaan Identitas:• Persamaan yg tdk dpt menunjukkan perilaku
variabel endogen. • Dibentuk oleh perkalian, pembagian, penambahan
atau pengurangan beberapa variabel.
/ZA
97
Beberapa Istilah dlm Model Persamaan Simultan:
3. Persamaan Direduksi (reduced-form equation):
Persamaan dimana variabel endogen hanya dipengaruhi variabel predetermined dan gangguan stochastic.
4. Variabel Endogen:
• Variabel yg nilainya akan ditentukan melalui model.
• Variabel yg dipengaruhi oleh dan mempengaruhi variabel lain
5. Variabel Predetermined (eksogen dan lag endogen):
• Variabel yg nilainya ditetapkan seblmnya, tdk melalui model.
• Variabel yg hanya menpengaruhi variabel lain.
…lanjutan….
/ZA
98
Model Persamaan Simultan
Identifikasi Model:
Tujuan: Mengidentifikasi model sblm dilakukan estimasi
Untuk mengetahui apakah estimasi parameter dapat dilakukanmelalui persamaan reduced-form dr sistem persamaan simultan.
Persamaan Teridentifikasi (unidentified) jika estimasi parameter tidak dapat dilakukan melalui persamaan reduced-form.
Persamaan Teridentifikasi (identified) jika estimasi parameter dptdilakukan melalui persamaan reduced-form dr sistem persamaansimultan.
Teridentifikasi Tepat (just identfied),
Jika masing-masing nilai parameter bersifat unik (hanyamempunyai satu nilai)
Teridentifikasi Berlebih (over identified),
Jika masing2 nilai parameter mempunyai lbh dari satu nilai.
/ZA
99
Model Persamaan SimultanIdentifikasi Model:
Metode:
Order ConditionSuatu persamaan teridentifikasi jika jumlah variabel yangdikeluarkan dari persamaan tersebut, tetapi masukkedalam persamaan2 lain pada model minimal samadengan jumlah persamaan dalam model dikurangidengan satu.
(K – M) (G – 1)Dimana:
G = jmlh persamaan dlm model (= jmlh Var Endogen)K = Jumlah semua variabel dalam modelM = Jumlah variabel dalam persamaan yang diidentifikasi
Rank Condition
/ZA
100
Diagram Keterkaitan Variabel Pada Model Persamaan Simultan
PQd Qs
Model Permintaan dan Penawaran
I
Pop
Pa Pr
E
TS
= Var Endogen = Var Eksogen
/ZA
101
Simulasi model diperlukan untuk mempelajari sejauh mana
dampak dari perubahan peubah-peubah eksogen terhadap
peubah-peubah endogen di dalam model
Sesuai dengan tujuan penelitian, simulasi model dalam
penelitian ini dimaksudkan untuk mengevaluasi alternatif
kebijakan dan non kebijakan melalui simulasi historis
(historical simulation) dan untuk meramalkan dampak
liberalisasi perdagangan melalui simulasi peramalan (ex-ante
simulation).
SIMULASI MODEL
Tujuan (Pindyck dan Rubinfeld, 1981)
1. Mengevaluasi kebijakan pada masa lampau
2. Membuat peramalan untuk masa yang akan datang
/ZA
102
Simulasi model dilakukan untuk mempelajari sejauh mana
dampak dari perubahan peubah-peubah (variabel) eksogen
terhadap peubah-peubah (variabel) endogen di dalam model
PERAMALAN MELALUI SIMULASI MODEL
Tujuan (Pindyck dan Rubinfeld, 1981)
1. Mengevaluasi kebijakan dan non kebijakan pada masa
lampau (simulasi historis - historical simulation)
2. Membuat peramalan untuk masa yang akan datang
(simulasi peramalan – ex ante simulation).
Peramalan melalui simulasi model efektif dilakukan
pada persamaan simultan.