NÚMEROS IRRACIONALES · 2020. 3. 9. · Aproximadamente hacia el año 600 a.C. los antiguos...
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www.matematicadeoctavo.weebly.com NÚMEROS IRRACIONALES 8º Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 1 NÚMEROS IRRACIONALES HISTORIA… Aproximadamente hacia el año 600 a.C. los antiguos griegos descubrieron la existencia de los números irracionales. La razón de origen fue motivada por el uso de cálculos geométricos que aparecían en la época griega relacionados con el llamado número áureo o número de oro. Tal descubrimiento fue llevado a cabo, por la escuela fundada por Pitágoras. CONCEPTO Los números irracionales son un subconjunto de los números reales que no se pueden expresar por medio de decimales periódicos o exactos (finitos); es decir, no pueden expresarse en la forma , b a en donde a y b son enteros y b 0; o dicho de otra forma, no pueden representarse mediante una fracción. Podemos afirmar entonces, que un número irracional es aquel cuya expansión decimal es infinita y no periódica. Estos números no tienen decimales terminales ni decimales que repiten infinitamente. 2 1,414213562... , 3 1, 732050808... Podemos clasificar los números Irracionales según su origen: Algebraicos: Son todos aquellos que se obtienen por medio de raíces, y no se pueden expresar por medio de ningún número fraccionario, reciben el nombre de radicales, como por ejemplo: √2 , √3 , √5 , 6√8 , −√2 , −√3 , −√5 , −√7 , … Trascendentes: Son aquellos que no provienen de una raíz. Para algunos existen notaciones especiales; por ejemplo, el número irracional Pi cuyo valor es: 3,14159265358979…, que se denota con la letra griega . Sin embargo, existen otros como: La constante de Napier: e = 2,71828182845… y el número Áureo: φ = 1,618033989… CUADRO COMPARATIVO DE LOS NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES NUMEROS RACIONALES ( ) NUMEROS IRRACIONALES ( ) Se puede expresar como cociente de dos números enteros. No se puede expresar como cociente de dos números enteros. Son números decimales exactos o infinitos periódicos ( puros o mixtos) Tienen expansión decimal infinitos y no periódicos. Tienen raíces exactas. Las raíces cuadradas, cúbicas,… inexactas. Decimales Finitos. Son aquellos cuyo cociente tiene una cantidad limitada de cifras decimales y su residuo es cero. Ejemplos: 3 0, 75 4 ; 5 0, 625 8
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www.matematicadeoctavo.weebly.com NÚMEROS IRRACIONALES 8º
Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 1
NÚMEROS IRRACIONALES
HISTORIA…
Aproximadamente hacia el año 600 a.C. los antiguos griegos descubrieron la existencia de los números
irracionales. La razón de origen fue motivada por el uso de cálculos geométricos que aparecían en la
época griega relacionados con el llamado número áureo o número de oro. Tal descubrimiento fue
llevado a cabo, por la escuela fundada por Pitágoras.
CONCEPTO
Los números irracionales son un subconjunto de los números reales que no se pueden expresar por
medio de decimales periódicos o exactos (finitos); es decir, no pueden expresarse en la forma ,b
aen
donde a y b son enteros y b 0; o dicho de otra forma, no pueden representarse mediante una fracción.
Podemos afirmar entonces, que un número irracional es aquel cuya expansión decimal es infinita y no
periódica. Estos números no tienen decimales terminales ni decimales que repiten infinitamente.
2 1,414213562... , 3 1,732050808...
Podemos clasificar los números Irracionales según su origen:
Algebraicos: Son todos aquellos que se obtienen por medio de raíces, y no se pueden expresar por medio
de ningún número fraccionario, reciben el nombre de radicales, como por ejemplo:
√2 , √3 , √5 , 6√8 , −√2 , −√3 , −√5 , −√7 , …
Trascendentes: Son aquellos que no provienen de una raíz. Para algunos existen notaciones especiales;
por ejemplo, el número irracional Pi cuyo valor es: 3,14159265358979…, que se denota con la letra
griega . Sin embargo, existen otros como:
La constante de Napier: e = 2,71828182845… y el número Áureo: φ = 1,618033989…
CUADRO COMPARATIVO DE LOS NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES
NUMEROS RACIONALES ( ) NUMEROS IRRACIONALES ( )
Se puede expresar como cociente de dos números enteros.
No se puede expresar como cociente de dos números enteros.
Son números decimales exactos o infinitos periódicos ( puros o mixtos)
Tienen expansión decimal infinitos y no periódicos.
Tienen raíces exactas. Las raíces cuadradas, cúbicas,… inexactas.
Decimales Finitos.
Son aquellos cuyo cociente tiene una cantidad limitada de cifras decimales y su residuo es cero.
Ejemplos: 3
0,754 ;
50,625
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Decimales Infinitos Periódicos Simples o Puros.
Son aquellos cuyo cociente tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales, que se repiten formando
grupos o períodos y que el residuo es diferente de cero. Para representar los decimales infinitos se
acostumbra emplear una notación abreviada, en lugar de los puntos suspensivos. La misma consiste en
trazar una barra sobre el dígito repetido o la sucesión de dígitos que se repite, así:
Ejemplos: 2
11= 0,181818 … = 0, 18̅̅̅̅
1
3= 0,3333 … = 0, 3̅ 0,4545… = 0,45
Decimales Infinitos Periódicos Mixtos
Son aquellos que contienen en su parte decimal, cifras distintas al período.
Ejemplos: 5
0,41666... 0, 41612
ante período: 41 , período: 6.
7
0,3888... 0,3818
ante período: 3 ; período: 8
0,49595... ante período: 4 ; período: 95
5,4363737... ante período: 436 ; período: 37
PRÁCTICA #1
I. Clasifique los siguientes números en racionales ( ) o irracionales ( ), marcando con
una “ X” en la columna correspondiente. Justifique su respuesta.
Número Justificación
√−83
5
−2,1594003
4
3
8,5
6 + 𝜋2
√7
1,259921057…
9,290129022903…
6,4̅
1,87373…
√5
2
√144
9 + φ
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II. Clasifique los siguientes números en finitos ( F ), periódicos simples ( PS ) o periódicos mixtos
( PM )
− 5, 18̅̅̅̅ _______ 34,05 _______
2,367 _______ 4,126̅ _______
3,252525… _______ 6,7̅ _______
110,010101… _______ 3,52 _______
16,05001̅̅ ̅̅ ̅ _______ 12,93̅̅̅̅ _______
2,7 _______ 4,5666… _______
0,234541̅̅̅̅ _______ 8,0 _______
14,3333… _______ 9,555… _______
III. Clasifique los siguientes números decimales anotando una ( X ) en la casilla de la columna
correspondiente , según sea el caso.
Números Finito Infinito Periódico
Puro
Periódico
Mixto
No
Periódico
0,285714…
0,2727…
12,011212…
29,42
√25
√53
4,35̅̅̅̅
π + 7
3,123456789…
IV. Exprese los siguientes números decimales periódicos en forma abreviada.
0,181818… = __________ 12,747747… = __________ 0,363636… = __________
0,507507… = __________ 5,981515… = __________ 0,14666… = __________
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V. Escribe la notación decimal de cada número racional. Cálculos auxiliares en el recuadro.
14
3 = _______________
5
30 = _______________
−2
3 = _______________
96
5 = _______________
−12
5 = _______________
5
3 = _______________
VI. Escribe los siguientes números en la columna correspondiente del recuadro inferior
atendiendo a la clasificación solicitada:
√2 + 3 √16 − 1 + √100 −8
√36
6 −
3 √83
3 9 + √2 −
3𝑒
2
− √325
√11
√4
Números Racionales ( Números Irracionales (
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PRÁCTICA #2
I. Clasifique los siguientes números decimales anotando una (X), según sea el caso.
Números Finito Infinito Periódico
Puro
Periódico
Mixto
No
Periódico
3,1250444…
3,2424…
√13
Ф + 6
‒ 8,23̅̅̅̅
√8
4,123456…
7
2
3,088
II. Escribe la notación decimal de cada número racional. Presente sus cálculos auxiliares…
1
3=
5
2=
9
11=
34
8=
3
5=
