NLU/RG: топологическая семантика для S4 (вторая часть)
-
Upload
konstantin-sokolov -
Category
Education
-
view
254 -
download
4
description
Transcript of NLU/RG: топологическая семантика для S4 (вторая часть)
Топологическая семантика для S4часть вторая
Константин Соколов
Mathlingvo, СПбГУ, i-Free
http://nlu-rg.ru
Санкт-Петербург, 2014
План
• Топологическая семантика для S4 (окончание)
• семантика для логики первого порядка• семантика для S4 с кванторами
1
Предварительные замечания
2
Предварительные замечания
• Задача – расширить топологическую семантикуТарского-МакКинси на модальную логику первого порядка
• Нам понадобится обширный аппарат:• общая топология• теория пучков• некоторые сведения из алгебраической топологии
3
Конструкции и понятия
4
Конструкции и понятия
• топологическое пространство (повторение)
• предпучок и пучок (повторение)• немного алгебраической топологии:
• накрытие• сечение• поднятие
• пучок непрерывных сечений накрытия• гомоморфизм пучков• расслоенное произведение пучков
5
Топологическое пространство
Дано множество X . Система подмножеств O ⊆ 2X называетсятопологической структурой (или топологией) на X , если:
• ∅,X ∈ O• объединение
⋃Ui произвольного числа подмножеств
Ui ∈ O принадлежит O• пересечение
⋂Ui конечного числа подмножеств Ui ∈ O
принадлежит O
Пара (X ,O(X )) называется топологическим пространством.
6
Предпучок
• Топологическое пространство (X ,O(X ))
• Каждому открытому множеству U ⊂ O(X ) сопоставляетсямножество со структурой F(U) (сечение)
• Для любых двух открытых множеств U,V ⊂ O(X ), т. ч.U ⊇ V , определим гомоморфизм ρU
V : F(U)→ F(V )(ограничение)
• Если U = V , то ρUV = ρV
U = 1U
• Если U ⊃ V ⊃W , то ρVW ◦ ρU
V = ρUW
F - предпучок над топологическим пространством (X ,O(X )).
7
Пучок
• Аксиома локальности
• Если U =⋃
Ui , то для любых Ui ,Uj ⊂ U определеныморфизмы ρU
Uiи ρU
Uj
• Тогда, если ρUUi(x) = ρU
Uj(y), то x = y
• Аксиома склейки
• Если U =⋃
Ui , то для любых Ui ,Uj ⊂ U, т.ч. Ui ∩ Uj 6= ∅,определены морфизмы ρU
Ui, ρU
Ujи ρU
Ui∩Uj
• Тогда, если x ∈ F(U), то(ρ
UjUi∩Uj
◦ ρUUj)(x) = (ρUi
Ui∩Uj◦ ρU
Ui)(x)
Если эти условия выполнены, то F называется пучком.
8
Расслоенное пространство (1)
Расслоенное пространство (X , p) с базой X :
• X и X – топологические пространства• отображение p : X → X непрерывно• сечение sU : U → X , U ∈ O(X ), p ◦ sU = 1U
• слой p−1(U) = {sU : U → X | p ◦ sU = 1U}
9
Расслоенное пространство (2)
Пучок ростков сечений расслоенного пространства (X , p):
• F(U) – множество сечений в (X , p)• sU |V – ограничение сечения над U на V ⊆ U• росток сечений – класс эквивалентности сечений sUi
• F(V ) = p−1(U)|V = {sU |V : p ◦ sU |V = 1V }
База X , сечения F(U), U ⊆ O(X ) и отображения ограниченияρUV : F(U)→ F(V ) образуют пучок.
10
Накрытие (1)
Накрытие p : X → X :
• покрытие пространства X открытыми множествами {Uα}• p−1(Uα) =
⋃Ui – объединение непересекающихся
открытых множеств в X• p гомеоморфно отображает Ui на Uα• возможно p−1(Uα) = ∅
11
Накрытие (2)
12
Накрытие (3)
:
• определим сечение над точкой x ∈ X как индуктивныйпредел множеств F(U)
• определим F =⋃F(x)
13
Накрытие (4)
Пучок непрерывных сечений накрытия:
• Годеман, теорема 1.2.1 (стр. 132): “Всякий пучок множествс базой X изоморфен пучку ростков сечений некоторогонакрывающего пространства над X , определенногооднозначно с точностью до изоморфизма”.
• Годеман, замечание 1.2.1 (стр. 132): “В дальнейшем мы небудем делать никакого различия между пучком множествF и накрывающим пространством (F , p)”.
14
Накрытие (5)
Накрытия и фундаментальная группа:
• поднятие f : Y → X отображения f : Y → X , p ◦ f = f• критерий существования поднятия и подгруппы π1(X , x0)
• множество накрытий {pi : Xi → X} и подгруппы π1(X , x0)
15
Понятия
• Гомоморфизм пучков• Расслоенное произведение пучков
16
Cемантика для FOL
17
FOL (1)
• Язык L с сигнатурой σ = {Ri , fj , ck}i∈I ,j∈J,k∈K
• Ri – реляционные символы• fj – функциональные символы• ck - константы
• Структура M = 〈D,RMi , f
Mj , cM
k 〉i∈I ,j∈J,k∈K
• домен D• RM
i ⊆ Dn – интерпретация реляционного символа Ri• f M
j : Dn → D – интерпретация функционального символа fj• cM
k ∈ D – интерпретация константы ck
• Истинность формулы φ(x1, . . . , xn) в модели M
• M |= φ(a1, . . . , an)
18
FOL (2)
[[ x |φ ]] – интерпретация формулы φ со свободной переменной x
• [[σ ]] ⊆ D0
• [[ x1, . . . , xn, y |φ ]] = [[ x1, . . . , xn |φ ]]× D ⊆ Dn+1
• [[ x , y | x = y ]] = { (a, a) ∈ D × D | a ∈ D }
• [[ x1, . . . , xn |R(x1, . . . , xn) ]] = RM ⊆ Dn
• [[ x1, . . . , xn |φ ∧ ψ ]] = [[ x1, . . . , xn |φ ]] ∩ [[ x1, . . . , xn |ψ ]]
• [[ x1, . . . , xn | ¬φ ]] = Dn \ [[ x1, . . . , xn |φ ]]
• [[ x1, . . . , xn | ∃yφ ]] ={ (a1, . . . , an) ∈ Dn | (a1, . . . , an, b) ∈ [[ x1, . . . , xn, y |φ ]], b ∈ D }
19
FOL (3)
Геометрический смысл: проекция pn : Dn+1 → Dn
• если D0 = {∗} – синглетон• p0(>) = ∗• p0(⊥) = ∅
• pn(a1, . . . , an, b) = (a1, . . . , an)
• [[ x1, . . . , xn | ∃yφ ]] = pn([[ x1, . . . , xn |φ ]])• [[ x1, . . . , xn, y |ψ ]] = p−1
n ([[ x1, . . . , xn |ψ ]])
20
FOL (4)
21
Cемантика для FOS4
22
FOS4 (1)
Интерпретация:
• топологическое пространство X и пучок π : D → X – домен
• [[Ri ]] ⊆ Dn, где Dn – расслоенное произведение пучков –интерпретация n-местного реляционного символа Ri
• гомоморфизм пучков [[ fj ]] : Dn → D – интерпретацияn-местного функционального символа fj
• гомоморфизм пучков [[ ck ]] : D0 → D, D0 = X – интерпретацияконстанты ck
23
FOS4 (2)
Для каждого слоя Dp над p ∈ X функция интерпретации [[ · ]]p
• [[Ri ]]p ⊆ Dnip
• [[ fj ]]p : Dnjp → Dp
• [[ ck ]]p ∈ Dp
〈Dp, [[Ri ]]p, [[ fj ]]p, [[ ck ]]p〉i∈I ,j∈J,k∈K – прежняя структура для FOL
24
FOS4 (3)
Переход к объединению по слоям:
• [[ x1, . . . , xn |φ ∧ ψ ]] =⋃
p∈X [[ x1, . . . , xn |φ ∧ ψ ]]p =
=⋃
p∈X ([[ x1, . . . , xn |φ ]]p ∩ [[ x1, . . . , xn |ψ ]]p) =
=(⋃
p∈X [[ x1, . . . , xn |φ ]]p)∩(⋃
p∈X [[ x1, . . . , xn |ψ ]]p)=
= [[ x1, . . . , xn |φ ]] ∩ [[ x1, . . . , xn |ψ ]]
• [[ ∃yφ ]] =⋃
p∈X [[ ∃yφ ]]p = π([[ y |φ]]) ⊆ X
25
FOS4 (4)
26
FOS4 (5)
Интерпретация 2:
• [[ x1, . . . , xn |2φ ]] = intDn [[ x1, . . . , xn |φ ]]p ⊆ Dn
• [[2σ ]] = intX [[σ ]]p ⊆ X
27
FOS4 (6)
28
Спасибо!