Nikvistov kriterijum stabilnosti

7/26/2019 Nikvistov kriterijum stabilnosti

http://slidepdf.com/reader/full/nikvistov-kriterijum-stabilnosti 1/15

7. NIKVISTOV KRITERIJUM STABILNOSTI

Posmatra se sistem sa negativnom jediničnom povratnom spregom (NJPS).

W (s)+

-

X (s) Y (s)E (s)

Funkcija prenosa W ( s) se zove funkcija povratnog prenosa ili funkcija prenosa otvorenogsistema. Signal E ( s) se naziva signal greške. Funkcija prenosa sistema je jednaka:

( ) ( )( )

( ) 1 ( )

Y s W sG s

X s W s

.

i naziva se funkcija spregnutog prenosa ili funkcija prenosa zatvorenog sistema.

Nikvistova kriva se crta tako što se u funkciji povratnog prenosa s zamjeni sa jω, a zatim se

realni dio rezultujuće krive crta na horizontalnoj ( Re{ ( )}W j ), a imaginarni dio na

vertikalnoj osi ( Im{ ( )}W j ).

Nikvistova kriva oko koordinatnog početk a napravi ugao koji je jednak ( N - P )2π , gdje je N broj nula, a P broj polova funkcije povratnog prenosa koji leže u desnoj poluravni s ravni (vektor W ( j ω) napravi priraštaj ( N - P )2π oko koordinatnog početka).

j

R

Slika 1. Kontura po kojoj obilazimo funkciju povratnog prenosa

Dokažimo prethodno tvrđenje.

Košijeva teorema argumenata: Ako neku kompleksnu funkciju obiđemo po zatvorenoj

kompleksnoj konturi C u negativnom smjeru, pod uslovom da na toj konturi funkcija nema ni



polova ni nula, rezultujuća kriva će oko koordinatnog početka napraviti ugao koji jednak ( N-

P)2π , gdje je N broj nula, a P broj polova kompleksne funkcije koje leže unutar konture C.

Neka se kontura C sastoji sastoji od imaginarne ose jω i polukruga beskonačnog poluprečnika

- , ( / 2, / 2) je , tj. desne poluravni s-ravni, slika 1. Ako funkciju W ( s) obiđemo po

krivoj C u negativnom smjeru, po Koši jevoj teoremi rezultujuća kriva će oko koordinatnog početka napraviti ugao ( N - P )2π , gdje je N broj nula, a P broj polova funkcije povratnog

prenosa koje leže u desnoj poluravni s ravni. Kako je imenilac funkcije povratnog prenosa

istog ili većeg stepena od brojioca, vrijednost rezultujuće krive na polukrugu beskonačnog

poluprečnika je uvijek jednaka konstanti ili nuli, te će priraštaj argumenta kompleksne krive

na polukrugu beskonačnog poluprečnika uvijek biti jednak nuli. Ostaje da vektor W ( jω) za

( , ) napravi ugao ugao ( N - P )2π oko koordiantnog početka, što je i trebalo dokazati.

Nikvist je iskoristio Košijevu teoremu tako da na osnovu poznavanja Nikvistove krive

funkcije povratnog prenosa zaključi o stabilnosti spregnutog sistema (sistema sa NJPS). Neka

je funkcija povratnog prenosa jednaka:

( )( )

( )

P sW s

Q s

Karakteristična jednačina spregnutog sistema biće:

( ) ( ) ( )( ) 1 ( )

( ) ( )

Q s P s D s F s W s

Q s Q s

Brojilac funkcije F (s) biće imenilac funkcije spregnutog prenosa, dok će Q( s) pokratiti i neće

uticati na stabilnost. Može se uočiti i to da Q( s) predstavlja imenilac funkcije W ( s) za koji je

rečeno da ima P korijena u desnoj poluravni.

Ako se kriva W(s) obiđe po konturi C , prikazanoj na slici 1, rezulutujuća kriva će oko

koordinatnog početka napraviti ugao ( N - P )2π , odnosno ako se po istoj krivoj obiđe funkcija

( ) 1 ( ) F s W s , rezultujuća kriva će oko tačke (-1, j0) napraviti ugao od ( N - P )2π stepeni.

Pretpostavimo da je sistem sa NJPS stabilan. To znači da D(s) ne smije imati nestabilnih

korijena i u tom slučaju kriva ( ) 1 ( ) F s W s oko tačke (0, j0) mora napraviti ugao - P 2π u

negativnom smjeru. Dugim riječima, Nikvistova kriva W ( jω) oko tačke (-1, j0) će napraviti

ugao - P 2π u negativnom smjeru, odnosno ugao P 2π u pozitivnom smjeru. Kako je

Nikvistova k riva simetrična za pozitivne i negativne frekvencije, posmatraju se samo

pozitivne frekvencije. Dakle, za stabilne sisteme Nikvisotva kriva obiđe kritičnu tačku (-1, j0)

za ugao + P π . Konačno, Nikvistov kriterijum se formuliše na sljedeći način:

Ako je broj nestabilnih polova funkcije povratnog prenosa jednak nuli ( P =0), sistem

sa negativnom jediničnom povratnom spregom će biti stabilan samo ukoliko je ukupni

ugao za koji Nikvistova kriva obuhvata kritičnu tačku (-1, j0) jednak nuli.



Ako je broj nestabilnih polova različit od nule sistem sa NJPS će biti stabilan uk oliko

Nikvistova kriva obuhvati kritičnu tačku (-1, j0) za ugao od P π u pozitivnom smjeru

(smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu).

Ako je funkcija prenosa zadata u obliku KW (s), a želimo da ispitamo stabilnost sistema u

zavisnosti od K , pri čemu je Nikvistova kriva W ( s) poznata, tada ulogu kritične tačke igra

tačka (-1/ K ,j0).

Važno je napraviti razliku između Nikvistovog i Rausovog kriterijuma. Nikvistovim

kriterijumom ispitujemo stabilnost spregnutog sistema sa negativnom jediničnom spregom na

osnovu poznavanja Nikvistove krive funkcije povratnog prenosa W (s). Sa druge strane, ako

želimo da ispitamo stabilnost sistema koristeći Rausov metod onda nam je potreban imenilac

funkcije spregnutog prenosa G(s).

Ako funkcija povratnog prenosa W ( s) ima polove koji leže na imaginarnoj osi, tada se ista

mora obići po modifikovanoj konturi koja isključuje date polove (slika 2). Ukoliko pol

funkcije povratnog prenosa leži u koordinatnom početku (astatizam), tada se Nikvistova kriva

koja se dobija pomoću Matlab-a mora dopuniti sa krivom W ( s) , pri čemu s odgovara

vrijednostima , 0, (0, / 2) je . Ako pol leži na imaginarnoj osi onda se Nikvistova

kriva mora dopuniiti krivom W ( s), gdje s odgovara vrijednostima

1 , 0, ( / 2, / 2) j j e , slika 2.

j

R

1 j

1 j

Slika 2. Kontura obilaska u slučaju k ada funkcija povratnog prenosa

sadrži polove na imaginarnoj osi

Sa slike 2 se uočava da modifikovana kontura isključuje polove na imaginarnoj osi, tako da

se oni računaju u stabilne polove. Drugi način je da se polovi zaobiđu sa desne strane i

uključe u nestabilne polove (zadatak 7.10).



Zadatak 7.1

Koristeći Nikvistov kriterijum ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa

jednaka

1( )( 2)( 3)

W s s s

.

Prvo je potrebno u Matlab-u definasati kompleksnu promjenljivu s, funkciju porenosa W (s) i

nacrtati krivu pomoću komande nyquist.

>> s=tf('s')

>> W=1/(s-2)/(s+3)

>> nyquist(W)

0.167

Re ( )W j

Im ( )W j

Slika 7.1 Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa

Po default-u Matlab prikazuje i pozitivne i negativne frekvencije. Nakon uklanjanja dijela

krive koji odgovara negativnim frekvencijama dobija se kriva koja je prikazana na slici 7.1.

Sistem ima jedan nestabilan pol. Da bi sistem bio stabilan Nikvistova kriva mora da obuhvati

kritičnu tačku (-1, j0) za ugao π u pozitivnom smjeru. Kako kritična tačka nije obuhvaćena

krivom, donosi se zaključak da je sistem sa NJPS nestabilan.

Zadatak 7.2

Koristeći Nikvistov kr iterijum u zavisnosti od parametra K ispitati stabilnost sistema čija je

funkcija povratnog prenosa jednaka:

a) ( )

( 2)( 3)

K W s

s s



b)

( )( 2)( 3)

K W s

s s

c)

( )( 2)( 3)

K W s

s s

d)

( ) ( 2)( 3)

K

W s s s

a)

Nikvistova kriva povratnog sistema je prikazana na slici 7.2 a)

0.167

Re ( )W j

Im ( )W j

Slika 7.2 a) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa

Kritična tačka je (-1/ K , j0) i ona leži na realnoj osi. Kako sistem ima jedan nestabilni pol,sistem sa NJPS će biti stabilan ako je kritična tačka obuhvaćena za ugao +π. Na segmentu

, 0.167 Nikvistova kriva uopšte ne obuhvata kritičnu tačku, dok je na segmentu

0.167,0 kritična tačka obuhvaćena za ugao +π, što je i uslov zadatka. Dakle, 1/ K treba

da bude tako odabrano da se nalazi unutra segmenta 0.167,0 :

10.167 -1>-0.167 6 K K

K

Odnosno, sistem je stabilan za (6, ) K .

Za K =6 sistem se nalazi na granici stabilnosti. Provjeriti da li je riječ o oscilatornoj ili

aperiodičnoj granici stabilnosti.

Rezultat se može provjeriti Rausovim kriterijumom. Potrebno je naći funkciju spregnutog

prenosa:



2

( )( )

1 ( ) 6

KW s K G s

KW s s s K

Na osnovu imenioca funkcije spregnutog prenosa formira se Rausova tabela:

Svi koeficijenti u Rasuovoj koloni moraju biti istog znaka, odakle se zaključuje da je je uslov

stabilnosti (6, ). K

b) Nikvistova kriva povratnog sistema je prikazana na slici 7.2 b)

0.167

Re ( )W j

Im ( )W j

Slika 7.2 b) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa

Funkcija povratnog prenosa nema nestabilnih polova. Da bi sistem sa NJPS bio stabilan

Nikvisitova kriva ne smije da obuhvati kritičnu tačku (ili preciznije rečeno treba da je

obuhvati za ugao od nula stepeni). Na segmentu ,0 Nikvistova kriva ne obuhvata

kritičnu tačku, na segmentu 0,0.167 kritična tačka je obuhvaćena za ugao – π (negativan

smjer), dok na segmentu 0.167, kritična tačka nije obuhvaćena. Kako Nikvistova kriva

ne smije obuhvatiti kritičnu tačku postavljaju se uslovi:

1 10 0.167

K K

,

Odakle se dobija da je sistem sa NJPS stabilan za ( 6, ) K .

Napomena:

Ako je K negativno kritična tačka -1/ K leži u lijevoj poluravni. Za pozitivno K kritična tačka -

1/ K leži u desnoj poluravni. S obzirom da je u ovom primjeru traženo rešenje i za pozitivno i

negativno K , prilikom rješavanja nejednačine 1/ 0.167 K uzeto je u obzir da je K <0:

s3

1 K -6

s2 1 s

1 K -6



10.167 / * , "mijenja" se znak nejednakosti, jer je negativno

1 0.167

6

K K K

K

K

U zadacima se podrazumijeva da je K >0, osim ako se ne naglasi, pa se samo razmatrasegment , 0 (kao što je bio slučaj u prethodnom primjeru).

c) Nikvistova kriva povratnog sistema je prikazana na slici 7.2 c)

0.167

Re ( )W j

Im ( )W j

Slika 7.2 c) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa

Funkcija povratnog prenosa ima dva nestabilna pola. Da bi sistem sa NJPS bio stabilan

Nikvistova kriva treba da obuhvati kritičnu tačku za ugao +2π. Kako ovaj uslov nije

zadovoljen na segmentu ,0 , sistem sa NJPS je nestabilan za bilo koje K>0.

e) Nikvistova kriva povratnog sitema je prikazana na slici 7.2 d)

0.167

Re ( )W j

Im ( )W j

Slika 7.2 d) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa



Sistem ima jedan nestabilni pol, te će stoga sistem sa NJPS biti stabilan ako je kritična

obuhvaćena za ugao +π. Na segmentu , 0.167 Nikvistova kriva uopšte ne obuhvata

kritičnu tačku, dok je na segmentu 0.167,0 kritična tačka obuhvaćena za ugao – π

(negativan smjer). Može se zaključiti da je sistem nestabilan za bilo koje K .

Zadatak 7.3

Koristeći Nikvistov kr iterijum u zavisnosti od parametra K ispitati stabilnost sistema či ja je


2

2

(1 )( )

(3 1)

sW s

s s

Nikvistova kriva povratnog sitema je prikazana na slici 7.3, plavom bojom. Funkcija

povratnog prenosa ima astatizam prvog reda te se Nikvistova kriva mora dopuniti. Potrebno

je naći:

lim ( ), za 0, i (0, )2

, (0, )2

j s e

W s

e

Dakle, Nikvistova kriva se dopunja sa četvrtinom kruga beskonačnog poluprečnika za uglove

(0, π/2) u negativnom smjeru.

R

80.117

Re ( )W j

Im ( )W j

Slika 7.3) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa



Funkcija povratnog prenosa ima dva nestabilna pola. Da bi sistem sa NJPS bio stabilan

Nikvistova kriva treba da obuhvati kritičnu tačku za ugao +2π. Na segmentu , 0.117

kritična tačka nije obuhvaćena, dok je na segmentu 0.117,0 kritična tačka obuhvaćena za

+2π što je i uslov stabilnosti. Dakle:

10.117 8.547 K

K

Zadatak 7.4



5

3

( 1)( )

( 2)( 3)

sW s K

s s s

Prenosna funkcija ima astatizam trećeg r eda. S obzirom da je

0lim ( ) s

W s

Nikvistovu krivu treba dopuniti sa lukom od 3π /2 u negativnom smjeru, počevši od tačke

. Funkcija prenosa ima dva nestabilna pola, te da bi sistem sa NJPS bio stabilan

Nikvistova kriva mora obuhvatiti kritičnu tačku za ugao 2π. Dopunjena Nikvistova kriva je

prikazana na slici 7.4.

Re ( )W j

Im ( )W j

R

0.74

9.34

Slika 7.4) Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa



Na segmentu , 9.34 kritična tačka je obuhvaćena za ugao -2π, na segmentu

9.34, 0.74 za 0π (+π-π), dok je na segmentu 0.74,0 kritična tačka obuhvaćena za

ugao 2π (+π+π+π-π). Dakle, sistem će biti stabilan za:

1

0.74 1.3513 K K

Zadatak 7.5



1( )

( 2)( )

sW s

s s s K

S obzirom da se parametar K nalazi u imeniocu prenosne funkcije Nikvistov kriterijum se nemože direktno iskoristiti. Funkcija spregnutog prenosa je:

3 2

( ) 1( )

1 ( ) ( 2) (2 1) 1

W s sG s

W s s K s K s

,

dok je karakteristični polinom:

3 2

3 2 2

( ) ( 2) (2 1) 1

2 1 ( 2 )

f s s K s K s

s s s K s s

Karakteristični polinom se može izračunati na lakši način tako što se saberu brojilac iimenilac funkcije povratnog prenosa:

3 2 2

( ) 1 ( 2)( )

2 1 ( 2 )

f s s s s s K

s s s K s s

Spregnuti sistem čija je funkcija povratnog prenosa2

1 3 2

( 2 )( )

2 1

K s sW s

s s s

i spregnuti sistem

čija je funkcija povratnog prenosa W ( s) imaju istu karakterističnu jednačinu. To znači da oba

sistema imaju iste osobine stabilnosti, tako da stabilnost polaznog sistema možemo ispitivati

koristeći funkciju povratnog prenosa W 1( s). Nikvistova kriva funkcije W 1( s) je prikazana naslici 7.5.

Svi polovi sistema su stabilni (komanda roots u Matalab-u), što znači da će sistem biti

stabilan ako kritična tačka nije obuhvaćena. Ako posmatramo čitav segment od , ,

može se donijeti zaključak da je sistem stabilan za:

1/ 0 -1/ 4.56 K K ,



Ondosno sistem je stabilan za ( 0.2193, ) K

Re ( )W j

Im ( )W j

4.56

Slika 7.5 Nikvistova kriva funkcije povratnog prenosa

Dobijeni rezultat možemo provjeriti pomoću Rausovog kriterijuma. Na osnovu

karakteristične jednačine spregnutog sistema formira se sljedeća Rasova tabela:

Da bi sistem bio stabilan svi koeficijenti u Rasuovoj koloni moraju biti istog znaka, odnosno:

22 0 1 052 K K K

Kada se presjeku traženi uslovi dobija se da je spregnuti sistem stabilan za (-0.2192, ). K

Zadatak 7.6

Na slici 7.6 a) je prikazana Nikvistova kriva nekog sistema W (s) koji ima jedan nestabilni

pol. Da li je sistem sa slike 7.6 b) stabilan?

s3

1 2 K +1

s

2

K +2 1

s1

22 5 1

2

K K

K

s0 1



Re ( )W j

Im ( )W j

0.5

Slika 7.7 a) Nikvistova kriva b) Blok dijagram sistema

Na osnovu Nikvistove krive sa slike 7.6 a) se može zaključiti da će spregnuti sistem čija je

funkcija povratnog prenosa KW ( s) biti stabilan ukoliko je -1/ K >-0.5, odnosno ako je K >2. Da

bi zaključili o stabilnosti sistema sa slike 7.6 b) prvo je potrebno naći funkciju spregnutog

sistema, a zatim dobijeni sistem predstaviti u vidu sistema sa NJPS kako bi mogli koristiti

Nikvistov kriterijum.

KW (s)+

-

X (s) Y (s)E (s)

Signal greške je jednak:

( ) ( ) 75 ( ) ( ) E s X s W s E s ,

dok je izlazni signal jedanak:

( ) 5 ( ) ( )Y s W s E s .

Rješavanjem se dobija funkcija spregnutog prenosa:

5 ( ) 5 75 ( ))

1 75 ( ) 75 1 75 ( )

W s W sG s

W s W s



Blok spregnutog sistem sa NJPS je prikazan sa slici ispod.

Kako je za posmatrani sistem K =75, može se donijeti zaključak da je sistem stabilan.

ZADACI ZA VJEŽBU

Zadatak 7.7

Koristeći Nikvistov kriterijum ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa:

a) 1( )( 4)( 3)( 5)

sW s K s s s

, R: K >60

b)3 2

1( )

2 23 60

sW s K

s s s

, R: nestabilan za svako K

c)3 2

1( )

2 23 60

sW s K

s s s


d)3

3

( 3)

(2 1)

sW K

s

, R: K >2.366

e)2

2

( 3)( )

( 3 5)

sW s K

s s s

, R: K >0.44

f)2

1( )

( 10)( 1)

sW s K

s s s


g)2

2

( 1)( )

( 10)( 1)

sW s K

s s s

, R: K >18.65

h)6 5 4 3

9 9( )

24 36

sW s K

s s s s


i)2

( 2)( 1)( )

2

K sW s

s s

R: K >4

Smatrati da je K >0.



Zadatak 7.8

Sistem je zadat modelom u prostoru stanja:

0 3 1

2 4 1 , 1 , 1 0 0 .1 0 7 0

k

A B C

Koristeći Rausov kriterijum ispitati stabilnost sistema. Rezultat potvrditi Nikvistovim

kriterijumom.

Rješenje: K <-3/7

Zadatak 7.8

SAU je zadat blok dijagramom. Koristeći Nikvistov kriterijum u zavisnosti od parametra K ispitati stablnost sistema. Rezultat potvrditi Rausovim kriterijumom.

1G

H

2G( ) X s ( )Y s

gdje su 1 2

1 2 2, , .3 ( 1)( 2)

sG K G H s s s s s

Pomoć: Kad koristimo R ausov kriterijum tražimo funkciju spregnutog sistema. Kada rezultat

potvrđujemo Nikvistovim kriterijumom posmatramo sistem unutar spoljne negativne

jedinične sprege.

Zadatak 7.9

Pokazati da Nikvistova kriva sistema W ( s)=1/( s+a) predstavlja krug poluprečnika 1/2a sa

centrom u tački (1/2a,j0 ).

Zadatak 7.10

Koristeći Nikvistov kriterijum ispitati stabilnost sistema čija je funkci ja povratnog prenosa:



5

3 2

( 5)( )

100 ( 4 4)

K sW s

s s s

a) K rivu obići po konturi sa slike 2

b)

K rivu obići po konturi sa slike ispod

j

R

1 j

1

Rješenje: K >210.52

Nikvistov kriterijum stabilnosti

Documents

Transcript of Nikvistov kriterijum stabilnosti