Nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn và cấu trúc vùng năng...

8/12/2019 Nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn và cấu trúc vùng năng lượng của chất bán dẫn

http://slidepdf.com/reader/full/nghien-cuu-ly-thuyet-vung-nang-luong-cua-vat-ran-va-cau 1/56

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU ................................................................................................ 1

Chươ ng I: Khái quát cấu trúc vùng năng lượ ng .............................. 31. Nguyên lý hình thành vùng năng lượ ng ............................................. 3

1.1. Vùng năng lượ ng như là hệ quả của tính tuần hoàn tịnh tiến .......... 3

1.2. Vùng năng lượ ng như là hệ quả của sự tươ ng tác giữa các nguyên tử

vớ i nhau .................................................................................................. 5

2. Hàm Block và ý ngh ĩ a ....................................................................... 7

2.1. Xây dựng hàm Block ....................................................................... 7

2.2. ý ngh ĩ a ............................................................................................ 7

3. Khảo sát chuyển động của điện tử trong trườ ng tuần hoàn – mô hình

điện tử liên kết yếu ................................................................................. 8

3.1. Tính tuần hoàn của vùng năng lượ ng ............................................. 15

3.2.. Các cách biểu diễn vùng năng lượ ng ............................................. 16

3.3. Sự phụ thuộcvào hướ ng của bức tranh vùng năng lượ ng ............... 17

3.4. Mỗi liên hệ giữa độ rộng vùng cấm và hệ số tán xạ cấu trúc .......... 18

4.Mô hình liên kết yếu ............................................................................ 19

4.1. Một số nhận xét ............................................................................... 22

4.2. Ví dụ minh hoạ ............................................................................... 23

Chươ ng II: Các trạng thái của điện tử trong vật rắn ..................... 25

1. Tính chất của điện tử theo lý thuyết vùng năng lượ ng ...................... 25

1.1. Khối lượ ng hiệu dụng ..................................................................... 251.2. Phươ ng trình chuyển động của điện tử ............................................ 27

1.3. Phươ ng trình chuyển động của lỗ trống ......................................... 28

1.4. Mạt đẳng năng ................................................................................. 30

1.5. Mặt Fecmi ....................................................................................... 31

www.daykemquynhon.ucoz.com

www.facebook.com/daykem.quynhon



1.5.1. Định ngh ĩ a ................................................................................... 31.

1.5.2. Thí dụ về các mặt Fecmi............................................................... 32

2. Chuyển động của điện tử .................................................................... 34

Chươ ng III: Cấu trúc năng lượ ng của chất bán dẫn Si, Ge và AIII

BV

................................................................................................................ 37

1. Cấu trúc vùng năng lượ ng của Silic (Si) ............................................ 39

2. Cấu trúc vùng năng lượ ng của Gecmani (Ge) .................................... 44

3. Cấu trúc vùng năng lượ ng của các bán dẫn AIIIBV ............................. 46

Kết luận.................................................................................................. 49

Tài liệu tham khảo ................................................................................ 50





PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong cuộc cách mạng khoa học hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng vai

trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu mớ i cho cácngành kỹ thuật mũi nhọn như: Vô tuyến điện tử, du hành vũ trụ, năng lượ ng

nguyên tử… Ngày nay vật lý chất rắn là một l ĩ nh vực khoa học hết sức rộng

lớ n gồm nhiều bộ môn như: Vật lý bán dẫn điện, vật lý kim loại và hợ p kim,

vật lý các chất sắt điện, sắt từ… Tuy nhiên dù bao gồm nhiều bộ môn khác

nhau song vật lý chất rắn vẫn là một khoa học thống nhất. Đó là sự thống

nhất trên xu thế chung của vật lý học hiện đại (xu thế đi sâu vào cấu trúc vàcơ chế vi mô trong mạng tinh thể, phân tử, nguyên tử, hạt nhân…), thống

nhất trên những quan điểm cũng như phươ ng pháp lý thuyết và thực nghiệm

chung. Khi đi sâu vào tìm hiểu những tính chất và cơ chế vật lý xảy ra trong

chất rắn thì lý thuyết chính là nền tảng cho các thực nghiệm ra đờ i mà quan

trọng nhất đó chính là lý thuyết vùng năng lượ ng vì nó giúp ta giải thích

đượ c các tính chất của vật rắn có liên quan tớ i cấu trúc bên trong của tinh

thể. Ở đây ta sẽ đưa ra các khái niệm mớ i quan trọng, các phép gần đúng

liên kết chặt hoặc liên kết yếu… trong lý thuyết vùng năng lượ ng của vật rắn

để từ đó vận dụng nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượ ng của các chất bán

dẫn. Vì vậy tôi chọn đề tài : " Nghiên cứ u lý thuyế t vùng nă ng l ượ ng

củ a vậ t rắ n và cấ u trúc vùng nă ng l ượ ng củ a chấ t bán d ẫ n".

2. Mục đích nghiên cứ u

Tìm hiểu lý thuyết vùng năng lượ ng vận dụng lý thuyết này để nghiên cứu

cấu trúc vùng năng lượ ng của chất bán dẫn. Từ đó tìm hiểu bản chất và biết

đượ c khả năng ứng dụng của chất bán dẫn vào khoa học kỹ thuật cũng như

trong cuộc sống.





3. Giả thuyết khoa học

Nếu nắm vững đượ c lý thuyết vùng năng lượ ng của vật rắn sẽ giúp ta hiểu

đượ c cấu trúc tinh thể bên trong của nó từ đó phân biệt đượ c đâu là kim loại,

điện môi hay bán dẫn. Quan trọng hơ n chúng ta sẽ nắm đượ c các tính chất,hiểu đượ c ưu và nhượ c điểm của chất bán dẫn để từ đó ngườ i ta biết đượ c

khả năng ứng dụng của chất bán dẫn trong cuộc sống cũng như trong các

l ĩ nh vực khác có liên quan.

4.Phươ ng pháp nghiên cứ u

+ Phươ ng pháp lý thuyết: Dùng các kiến thức về toán học, vật lý đại

cươ ng, cơ học lượ ng tử, vật lý chất rắn để nghiên cứu cấu trúc vùng năng

lượ ng của chất bán dẫn.

5. Đối tượ ng nghiên cứ u

Bài toán nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượ ng bao gồm:

+ Cấu trúc vùng năng lượ ng của vật rắn.

+ Cấu trúc vùng năng lượ ng của chất bán dẫn: Ge, Si, AIII BV .

6. Cấu trúc luận văn

Gồm 3 phần:

Phần I: Mở đầu.

Phần II: Nội dung: Gồm 3 chươ ng

Chươ ng I: Khái quát cấu trúc vùng năng lượ ng

Chươ ng II: Các trạng thái của điện tử trong vật rắn.

Chươ ng III: Cấu trúc vùng năng lượ ng của các chất bán dẫn:

Ge, Si, AIII BV.Phần III: Kết luận và tài liệu tham khảo.





Chươ ng I

KHÁI QUÁT CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢ NG

1. Nguyên lý hình thành vùng năng l

ượ ng trong v

ật r

ắn

Lý thuyết điện tử tự do xuất phát từ giả thiết là: Kim loại bao gồm các

điện tử tự do, chúng có thể di chuyển trong toàn bộ tinh thể cho phép giải

thích một loạt các hiện tượ ng dẫn nhiệt, dẫn điện, hiện tượ ng phát xạ nhiệt

của điện tử, các hiệu ứng nhiệt điện, điện từ… Nhưng lý thuyết này không

thể giải thích đượ c các tính chất của vật rắn có liên quan tớ i cấu trúc bên

trong của tinh thể: Tại sao một số tinh thể của các chất lại là kim loại, bán

dẫn hay điện môi; tại sao tính chất của bán dẫn lại phụ thuộc nhiều vào

nhiều độ … Vì lý do đó mà bướ c phát triển tiếp theo của vật lý học là tìm ra

lý thuyết mớ i cho phép ta giải thích các hiện tượ ng trên. Lý thuyết này gọi là

lý thuyết vùng năng lượ ng.

Để tiếp cận vấn đề này thườ ng thì ngườ i ta có hai cách tiếp cận để xét

các trạng thái năng lượ ng của điện tử trong chất rắn đó là:

- Phép gần đúng điện tử gần tự do: Xem điều gì xảy ra khi điện tử chuyển từ trạng thái hoàn toàn tự do sang trạng thái nằm trong trườ ng thế

năng tuần hoàn do các ion của mạng tinh thể sinh ra.

- Phép gần đúng điện tử liên kết chặt: Coi các điện tử liên kết chặt

vớ i các nguyên tử và nghiên cứu sự thay đổi các trạng thái của các

điện tử này khi một số lượ ng lớ n các nguyên tử kết hợ p lại vớ i

nhau để tạo thành vật rắn. 1.1. Vùng nă ng l ượ ng như là hệ quả củ a tính tuầ n hoàn t ị nh tiế n

Nhờ sự sắp xếp một cách có trật tự có tính tuần hoàn của nguyên tử trong

tinh thể không bị va chạm và tán xạ, sóng điện tử lúc này là sóng chạy, xác





0

suất tìm thấy điện tử trong mọi chỗ của mạng tinh thể là như nhau. Ta có

phươ ng trình Schrodinger cho điện tử tự do dọc theo trục ox:

2

2 2

20

m E

ψ ψ

∂+ =

∂ h

(1.1)

Trong đ ó: Ψ là hàm sóng của điện tử, m là khối lượ ng của điện tử.

Vì điện tử chuyển động tự do nên năng lượ ng chỉ có động năng:

2 2 2.

2 2

p k E

m m= =

h (1.2)

Trong đó: Pur

= h k r

và k r

là vectơ sóng có hướ ng trùng vớ i hướ ng lan truyền

của sóng điện tử.Từ (1.2) ta có sự phụ thuộc của E vào K có dạng parabol (hình. 1)

Ta thấy nghiệm của (1.1) có dạng sóng phẳng chạy dọc theo trục ox:

Ψ(x) = Aexp (i xk r

x) (1.3)

Vì xác suất tìm thấy điện tử ở toạ độ x đều bằng nhau là

δ = |Ψ(x)|2 = A2 (Hình . 2).

Hình.1. Sự phụ thuộ c củ a E( k r

)

δ =A2 = const

x

k r

E r

0





Hình . 2. Xác suấ t tìm thấ y đ iệ n tử ở toạ độ x

Các kết quả trên sẽ khác khi chuyển động của điện tử thoả mãn điều kiện

phản xạ braag thì nó không đi qua mạng tinh thể đượ c mà phản xạ ngượ c trở lại. Sóng điện từ lúc này là sóng dừng, điện tử khi đó không dịch chuyển

trong mạng tinh thể đượ c và vị trí lúc đó là cố định. Như ta đã biết năng

lượ ng của điện tử nằm trong tinh thể bằng tổng động năng và thế năng:

E=W+U.

Trong đ ó: W: Động năng (năng lượ ng chuyển động của điện tử)

U: Thế năng (do điện tử chuyển động trong điện trườ ng

có tính tuần hoàn của các ion dươ ng tạo nên mạng tinh thể).

Vớ i thế năng U của nó ta có nhận xét sau:

+ Mỗi ion dươ ng của mạng tinh thể tạo ra xung quanh mình một hố

thế năng (thế năng của điện tử trong điện trườ ng của các ion dươ ng là âm)

+ Do sự sắp xếp có trật tự của các điện tử trong mạng tinh thể nên các

hố thế năng này sắp xếp một cách tuần hoàn.

Vì vậy: Khi điện tử bị phản xạ braag thì không chuyển động trong tinh

thể đượ c nên có hai vị trí tươ ng đươ ng nhau mà nó có thể nằm ở đó. Ở vị trí

nút mạng thế năng U1 của nó là âm nhất và năng lượ ng tổng cộng của điện

tử là: E1 = U1 + W1.

Ở vị trí giữa các nút mạng thế năng U2 của nó ít âm hơ n và năng

lượ ng tổng cộng của nó là E2 = U2 + W2.

Kết qủa là trong phân bố các trạng thái của điện tử có tồn tại nhữngkhe năng lượ ng hay nói cách khác có thể xuất hiện những khoảng năng

lượ ng xác định mà ở đó phươ ng trình (1.1) không có nghiệm. Các khe năng

lượ ng có ý ngh ĩ a quyết định tại sao chất rắn lại là kim loại, điện môi hay bán

dẫn. Nói tóm lại tính tuần hoàn tịnh tiến của cấu trúc tinh thể làm cho năng





lượ ng của điện tử chuyển động trong tinh thể có cấu trúc theo vùng (các

vùng đượ c phép xen kẽ vớ i các vùng cấm) và lý do xuất hiện vùng năng

lượ ng bị cấm là do phản xạ braag.

1.2. Vùng nă ng l ượ ng như là hệ quả củ a sự tươ ng tác giữ a các

nguyên tử vớ i nhau

Theo lý thuyết lượ ng tử về cấu tạo nguyên tử, trong một nguyên tử riêng

biệt các điện tử chỉ có thể nằm trên các mức năng lượ ng gián đoạn nhất định

nào đó và mỗi điện tử phải nằm trên một mức năng lượ ng khác nhau

(nguyên lý loại trừ Pauli), trong đó vị trí của chúng trên mỗi mức đượ c xác

định bằng 4 số lượ ng tử: n,l,m,s.

Trên thực tế vị trí của mỗi mức chủ yếu do số lượ ng tử chính quyết định

và các mức năng lượ ng ứng cùng một số lượ ng tử chính thì tạo thành một

lớ p, tất cả các lớ p có cùng một số giá trị l thì đượ c sắp xếp gần nhau. Khi

các nguyên tử tiến lại gần nhau đến khoảng cách cỡ 10-10m (A0) lúc này điện

tử chuyển động trong điện trườ ng mạnh do các nguyên tử lân cận gây ra

(hiệu ứng Stark ). Nên các mức năng lượ ng nguyên tử tách ra thành cácvùng năng lượ ng ( mỗi mức tách ra tạo thành một vùng ) . Sự tách từ một

mức năng lượ ng nguyên tử ra thành một vùng năng rộng hay hẹp (tính theo

năng lượ ng) phụ thuộc vào sự tươ ng tác giữa các điện tử thuộc các nguyên

tử khác nhau vớ i nhau.

- Các điện tử thuộc lớ p ngoài cùng của nguyên tử nhất là các điện tử hoá

trị tươ ng tác rất mạnh vớ i nhau do đó vùng năng lượ ng này rộng.

- Các điện tử thuộc các lớ p càng sâu bên trong bao nhiêu thì càng tươ ng

tác yếu hơ n vớ i nhau bấy nhiêu và vùng năng lượ ng lúc này hẹp xen kẽ giữa

các vùng năng lượ ng đượ c phép ở trên là vùng năng lượ ng cấm, nói chung





Do đó Uk ( r r

+ Rur

)= )()exp().( r U r GiGk C G

rsrrr

r=+∑ (1.6)

Hàm sóng (1.4) thoả mãn điều kiện (1.5) gọi là hàm block.

Định lý hàm block: các hàm riêng của phươ ng trình sóng vớ i thế năng

tuần hoàn là hàm block có dạng là tích của hàm sóng phẳng )exp( r k i rr

vớ i hàm

)(r U k

r là một hàm tuần hoàn trong mạng tinh thể.

2.2. Ý nghĩ a.

Từ định ngh ĩ a hàm block ta có nhận xét sau:

Nhậ n xét 1: Hàm sóng block là dạng chung của hàm sóng của điện tử

trong tinh thể ở gần đúng một điện tử nó là hệ quả trực tiếp của tính tuần

hoàn của tinh thể. Do đó dùng phươ ng pháp gần đúng để giải bài toán một

điện tử (gần đúng điện tử tự do hay gần đúng liên kết mạnh hay gần đúng

nào khác nữa) thì bao giờ lờ i giải của bài toán này cũng phải đều có dạng

hàm block.

Nhậ n xét 2: Ngườ i ta đã biết từ cơ học lượ ng tử, xác xuất có mặt của điện

tử ở một nơ i nào đó trong tinh thể đượ c xác định bở i một tích số Ψr, Ψr*.

Nhưng mặt khác từ hàm block đã tìm ra Ψ( r r ). Có thể dễ dàng tính toán

rằng:2

)()().(. r U r U r k k k r r

rrr== ∗∗ ϕ ψ ψ (1.7)

Trong đó: )(r U k

r là hàm tuần hoàn vớ i chu kỳ tuần hoàn của mạng tinh thể.

Từ đây có thể nói rằng điện tử có cùng xác suất nằm tại các vị trí tươ ng

đươ ng nhau trong tinh thể điều này có ý ngh ĩ a là điện tử không định xứ tại

một nút mạng cụ thể mà thuộc về toàn bộ tinh thể. Nói một cách khác là điện

tử không phải là tự do mà cũng không phải là liên kết nó nửa tự do - nửa liên

kết.





3. Khảo sát chuyển động của điện tử trong trườ ng tuần hoàn - mô

hình điện tử liên kết yếu

Việc nghiên cứu tính chất của điện tử trong tinh thể là một trong những

nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lý chất rắn đó là vì điện tử là hạt có khốilượ ng bé, có mang điện tích, là hạt rất linh động tham gia vào nhiều hiện

tượ ng, quy định nhiều tính chất của vật chất. Đây là một vấn đề khó vì để

mô tả chính xác các điện tử trong tinh thể cần phải xét về một hệ gồm nhiêù

hạt tươ ng tác vớ i nhau: Điện tử, hạt nhân nguyên tử, số lượ ng các hạt này rất

lớ n cùng bậc vớ i số Avôgađrô. Vì thế chúng ta cần đơ n giản hoá các phép

tính toán bằng cách sử dụng các phép gần đúng.Trong tinh thể vật rắn các nguyên tử cấu tạo nên tinh thể tươ ng tác vớ i

nhau, điện tử trong từng nguyên tử của tinh thể chịu tác dụng của tươ ng tác

giữa các nguyên tử trong tinh thể. Trong đó những điện tử ở lớ p ngoài cùng

lại chịu ảnh hưở ng ít hơ n các điện tử ở lớ p bên trong vì chúng liên kết yếu

hơ n cả nên trong tinh thể các tính chất của chúng (như sự phân bố trong

không gian) bị biến đổi rõ rệt so vớ i nguyên tử cô lập. Vì vậy khi nghiên cứu

vật rắn ta thườ ng giớ i hạn ở việc khảo sát tính chất của những điện tử hoá

trị. Theo cách đó coi như mạng tinh thể đượ c cấu tạo từ các lõi nguyên tử

(gồm hạt nhân nguyên tử và những lớ p hạt nhân bên trong) mang điện

dươ ng đặt ở nút mạng và các điện tử hoá trị. Đầu tiên ta giả thiết rằng các lõi

nguyên tử đứng yên đối vớ i các nút mạng. Vớ i giả thiết này ta xét chuyển

động của điện tử trong trườ ng lực của các lõi nguyên tử đứng yên sắp xếp

tuần hoàn trong tinh thể. Sau đó mớ i tiếp tục xét đến ảnh hưở ng của dao

động mạng lên tính

chất của điện tử, vì thế bướ c đơ n giản hoá tiếp theo là sử dụng phép gần

đúng một điện tử. Theo cách này ta giải thiết rằng có thể xét đến chuyển





Hàm sóng năng lượ ng ở gần đúng bậc 1 là:

Ψ1k )(r

r =Ψok )(r

r +ϕk(Gr

≠ 0)

Vớ iGGk

GV m

Gk mm

k

GV Gk rrr

r

hrr

hh

rr

+

−=

+−

=≠

2

)(2

)(22

)()0(

2

2

222ϕ (1.12)

Dùng hàm sóng này ta có thể tính đượ c năng lượ ng ở gần đúng bậc 2 và

cứ thế tiếp tục mãi, ngh ĩ a là:

Năng lượ ng bậc 0 => hàm sóng bậc 1.

Năng lượ ng bậc 1 => hàm sóng bậc 2.

* Giải (1.9) trong trườ ng hợ p điện tử bị phản xạ braag.

Ngh ĩ a là coi V )(r r là một nhiễu loạn. Hàm V )(r r chỉ phụ thuộc vào r r vì

vậy toán tử pr = ∇− ˆhi sẽ không giao hoán vớ i toán tử Haminton, ngh ĩ a là

0ˆ,ˆ ≠ H p . Như vậy xung lượ ng của điện tử không đượ c bảo toàn, trạng thái

của điện tử không đượ c biểu diễn dướ i dạng hàm sóng phẳng

Ψk )(r r = A. )exp( r k i

rr Mà hàm sóng của điện tử trong tinh thể là chồng

chất của nhiều sóng phẳng ứng vớ i vecto sóng k r

khác nhau. Do k r

biến

thiên liên tục nên ta có thể biểu diễn:

∫=k

k k d r k ik C r rrrrr

)exp()()(ψ (1.13)

Trong đó: C )(k r

là hệ số phân tích của hàm sóng

Ψk )(r r và tích phân đượ c thực hiện trong khoảng không gian k

r.

Điều kiện tuần hoàn (1.8) của thế năng V )(r r quyết định các tính chất

của hàm sóng và phổ năng lượ ng của điện tử. Thế năng V )(r r

tuần hoàntrong không gian mạng thuận nên ta có thể phân tích nó thành chuỗi fourie.





∑=G

G r GiV r V

r

rrrr)exp()( ( 1.14)

Trong đó:G

V uur là hệ số phân tích và do tính chất tuần hoàn của thế

năng nên ta có thể viết: ∑∑ += GG

GG Rr GiV r GiV r

r

r

r

rrrrr

)(exp)exp(

Đẳng thức này thoả mãn điều kiện ∀ Rur

, ta có: 1)exp( = RGirr

) (1.15)

Hay n G π 2=rr

(n∈ Z) (1.16)

Vớ i Gur

: Là vectơ mạng đảo. Ta thay Ψk )(r r ở (1.13) và V )(r

r ở (1.14)

vào phươ ng trình Schrodinger (1.9) đượ c.

∫∫∑ =

+∇− k k

GG k d r k ik C E k d r k ik C r GiV

mrr

rr

rrrrrrrrrrh

)exp()()exp()()exp(22

2

(1.17)

Vớ i ∫ ∫=∇k k

k d r k ik C k m

k d r k ik C m

r r

rrrrhrrrrh)exp()(

2)exp()(

22

22

2

(1.18)

Thế (1.18) vào (1.17) ta đượ c:

∫ ∫∑ =+k k

GG

k d r k ik C r GiV k d r k ik C k m

r rr

r

rrrrrrrrrh)exp()()exp()exp()(

22

2

∫= k k d r k ik C E r

rrrr

)exp()( (1.19)

Nhân (1.19) vớ i )exp( r k i rr

− rồi lấy tích phân theo r r

ta đượ c:

∫∑ ∫∫ ∫ −++−r

Gk Gk r

r d k d r k Gk ik C V r d k d r k k ik C k m

rr

rrr r

rrrrrrrrrrrrrh)(exp)()(exp)(

2 112

2

=

= r d k d r k k ik C E k r

rrrrrrr r∫ ∫ − )(exp)( 1 (1.21)

Theo tính chất của hàm δ Đirắc thì:

∫ −=− )(8)(exp 131 k k r d k k irrrrr

δ π (1.21)

Vớ i )( 1k k rr

−δ là hàm đenta đi rắc ứng vớ i đối số vectơ 1k ur

. Hàm số δ có tính

chất sau: ∫ =−k

k f k d k k k f r

rrrrr)()()( 11δ

(1.22)





Ta sử dụng (1.21) và (1.22) khi đó:

=−=− ∫∫ ∫ k k r k d k k k C k

mr d k d r k k ik C k

mrr r

rrrrhrrrrrrh)()(8

2)(exp)(

2 123

2

12

2

δ π

= )(82 1213

2

k C k m

rh

π (1.23)

=−−=−+ ∫∑∫∫∑ k d Gk k k C V r d k d r k Gk ik C V G

Gr k G

G

rrrrrrrrrrrr

r

rrr

r

r )]([)(8)(exp)( 13

1 δ π

= ∑ −G

G Gk C V

r

r

rr)(8 3π (1.24)

)(8)(exp)( 13

1 k C E r d k d r k k ik C E k r

rrrrrrrr r π =−∫ ∫ (1.25)

Kết hợ p (1.23); (1.24); (1.25) khi đó (1.20) đượ c viết lại là

0)()()2

( 11

21

2

=−+− ∑G

G Gk C V k C E

m

k

r

r

rrrh (1.26)

1k ur

là một giá trị nào đó của k r

. Để tổng quát ta thay 1k ur

= k r

. Khi đó

(1.18) đượ c viết: 0)()()2

(22

=−+− ∑G

G Gk C V k C E

m

k r

r

rrrh (1.27)

(1.27) là một hệ phươ ng trình gồm N phươ ng trình (vì k

r

có thể có N giá trị độc lập) có dạng giống hệt nhau, mỗi phươ ng trình liên kết một hệ số khai

triển fourie c( k r

) vớ i một số vô tận các hệ số Fourie C( k r

- Gur

) khác.

(1.27) cho ta xác định hệ số C( k r

), hàm sóng Ψ ( )r r đượ c biểu diễn

trong hệ toạ độ Đêcác thông thườ ng. Nếu biết đượ c tất cả các hệ số C( k r

) ta

có thể xác định đượ c hàm sóng Ψ ( )r r . Ngh ĩ a là biết đượ c trạng thái của điện

tử trong tinh thể.

(1.27) Là phươ ng trình đại số mà việc sử dụng nó đơ n giản hơ n nhiều.

Nhưng để tìm ra C( k r

) trong trườ ng hợ p chung của bài toán là việc khó

khăn, do đó ta tìm lờ i giải ở gần đúng bậc 0 cho Ψ ( )r r .





Ta viết lại (1.27) dướ i dạng:

m

k E

Gk C V

k C GG

2

)()(

22h

rr

r r

r

−

−

=∑

(1.28)

Như vậy k

r

phải bằng bao nhiêu? để C( k

r

) là lớ n, dễ dàng hiểu rằng khimẫu số gần bằng 0. Điều đó sẽ có khi:

- Điện tử chuyển động vớ i một véctơ sóng 1k ur

nào đó đảm bảo cho năng

lượ ng của nó gần bằng năng lượ ng của điện tử chuyển động tự do cũng vớ i

vectơ sóng 1k ur

.m

k k E

2)(

21

2

1

hr= (≡E0(k1))

Vớ i k

r

= 1k

r

, nếu như điện tử bị phản xạ bở i một vectơ G

ur

nào đó của

mạng đảo: 2 1k r

Gur

- 21G

uur

= 0 khi đó:

m

k

m

Gk Gk

m

Gk

22

)2(

2

)( 21

221

21

221

2h

rrh

rrh

=+−

=−

Điều này có ngh ĩ a là trong trườ ng hợ p 1k r

bị phản xạ braag thì ngoài

C ( 1k r

) là lớ n thì C ( 1k r

- 1Guur

) cũng lớ n.

Như vậy ta có thể nói rằng trong gần đúng một điện tử, nếu tìm lờ i

giải về hàm sóng Ψ ( )r r của điện tử chuyển động trong mạng tinh thể dướ i

dạng khai triển fourie theo tất cả các giá trị có thể có của k r

thì ở gần đúng

bậc 0.

- Trong gần đúng tất cả các giá trị có thể của k r

chỉ cần xét một 1k r

,

mà ở đó điện tử chuyển động gần tự do nếu 1k r

không bị phản xạ braag bở i

mạng tinh thể. Tức là chỉ cần chọn: Ψ ( )r r = C( 1k

r)exp (i k

rr r

)

(1.29)

Trong điều kiện để xác định 1k r

là: E ( 1k r

) =22

1

2

k

m

h (1.30)





Chỉ cần xét vectơ sóng 1k r

mà ở đó điện tử chuyển động gần tự do và

vecto sóng phản xạ Gk k rrr

−=′ 11 nếu 1k r

bị mạng tinh thể phản xạ braag thông

qua vectơ mạng đảo 1Gur

. Tức là chỉ cần chọn:

Ψ ( )r uur

= C( 1k r

)exp (i 1k r

r r

) ± C( 1k r

- 1Gur

)exp i( 1k r

-Gr

) r r

(1.31)

Trong đó điều kiện để xét 1k r

là: E ( 1k r

) =22

1

2

k

m

h.

Còn điều kiện để xác định 1Gur

là: ( 1k r

- 1k ′r

) = 1Gur

hay 2 1k r

1Gur

- 21G = 0.

Để thấy rõ sẽ xuất hiện vùng cấm ta đi xét cụ thể hơ n 1k r

bị phản xạ braag

bở i mạng tinh thể. Khi này hệ phươ ng trình (1.27) chỉ còn lại hai phươ ng

trình tươ ng ứng vớ i C( 1k r

) và C ('

1k r

) vớ i'

1k r

là sóng phản xạ của 1k r

.

0)()()()( 11111

=−−− Gk C V k C k E k E G

rrrrrr

o (1.32)

0)()()()( 111111

=′−′−′′−′ Gk C V k C k E k E G

rrrr

o (1.33)

Trong đ ó: 1Guur

đáp ứng điều kiện phản xạ braag đối vớ i 1k r

và '1G

uur

đáp

ứng điều kiện này vớ i 1k ′

r

. Nhận xét:+ 1k

r- 1G

ur = 1k ′

r=> C ( 1k

r- 1G

ur)= C ( 1k ′

r).

+ E ( 1k r

) = E ( 1k ′r

)

+ '1G

uur

= - 1Gur

+ ∗

− =

11 GG V V rr ( do V )(r

r là một đại lượ ng thực).

Hệ phươ ng trình (1.32) và (1.33) trở thành

0)()()()( 11111

=′−− k C V k C k E k E G

rrrrr

o (1.34)

0)()](([)( 11111

=′′−′+∗

k C k E k E k C V G

rrrro

r (1.35)





Hệ phươ ng trình (1.34) và (1.35) chỉ có lờ i giải khác 0 nếu định thức của nó

= 0 ngh ĩ a là

0

)()(

)()(

11

*

*11

1

1 =

′−′

−−

k E k E V

V k E k E

G

G rr

rr

o

r

ro

0)](()].[()([2

11111

=−′−′−G

V k E k E k E k E roo

rrrr

=> 0)().()()].()([)(2

112

111112

1=−−+−+−

GV Gk E k E k E Gk E k E k E r

ooorrrrrrrr

(1.36)

Giải (1.36) ta tìm đượ c nghiệm:

[ ]2

21111111

14)()(

2

1)()(

2

1)(

GV Gk E k E Gk E k E k E r

oooorrrrrrr

+−+±−+=± (1.37)

Để đơ n giản ta xét hệ một chiều tại biên vùng brilluon 11

2k G=r ur

của hai

hàm sóng không nhiễu loại ứng vớ i một năng lượ ng )2

1()

2

1( G E G E

rroo −=

dễ dàng thấy rằng: 0 01 1 1( ) ( ) E k E k G= −

uur ur uuur

khi đó (1.27) trở thành

01 1( ) ( ) (1.38)

G E k E k V

± = ± uur

ur ur

Như vậy khi điện tử bị 1Guur

phản xạ braag thì có hai giá trị năng lượ ng

1 1( ) ( ) E k va E k + −

ur ur

tươ ng ứng vớ i một giá trị của 1k ur

, hai giá trị này cách

nhau một khoảng là :

1 1 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) (1.39) E k E k E k V G+ −− = ∆ =

ur ur ur uur

Từ đây ta suy ra rằng giá trị của 1k ur

đáp ứng điều kiện phản xạ braag

thì lúc đó xuất hiện vùng năng lượ ng cấm vớ i độ rộng: )(2)( 1 GV k E rr

=∆ . Bây

giờ ta thay giá trị (1.39) vào (1.35) ta sẽ tìm đượ c: )()( 11 k C k C rr

′±=

Và theo (1.31) tìm đượ c hàm sóng trong trườ ng hợ p điện tử bị phản xạ braag

có dạng sau: r Gk ir k ik C r rrrrrrr

)(exp)exp()()( 1111 −±=ψ (1.40)





Từ kết quả thu đượ c như trên ta có nhận xét sơ đồ vùng năng lượ ng.

3.1. Tính tuầ n hoàn củ a vùng nă ng l ượ ng

Ta xét năng lượ ng E ur

là một hàm của k r

, E = E( k r

). Khi đó nếu xét

k r theo các hướ ng khác nhau thì k r tăng từ 0 -> ∞. Ta thấy mỗi lần k

r đạt

đến biên vùng brilluon thì hàm E( k r

) lại một lần bị gián đoạn. Như vậy ta

thấy vùng năng lượ ng có cấu trúc tuần hoàn trong không gian k r

.

- Các giá trị k nằm trong một vùng brilluon ứng vớ i giá trị của hàm E nằm

trong vùng đượ c phép.

- Các giá trị k nằm ở biên vùng brilluon tươ ng ứng vớ i các giá trị của hàm

E nằm trong vùng năng lượ ng cấm.

3.2. Các cách biể u diễ n vùng nă ng l ượ ng.

*Sơ đồ vùng năng lượ ng khai triển:

Đây là trườ ng hợ p khi xét hàm số E=E( k r

) mà k r

nằm trong toàn bộ

không gian đảo, xét k r

thay đổi từ - ∞ -> + ∞.

* Sơ đồ vùng năng lượ ng rút gọn:Như ta đã biết tập hợ p tất cả các vectơ sóng k

r nằm trong vùng

brilluon thứ I (Vớ i các điểm đầu k r

nằm ở tâm vùng brilluon) là đủ đại diện

cho toàn thể k r

có giá trị độc lập. Do đó xét bức tranh E=E( k r

) vớ i k r

nằm

trong vùng brilluon thứ nhất ta đượ c sơ đồ vùng rút gọn .

* Sơ đồ dùng năng lượ ng tuần hoàn:

Một vùng năng lượ ng nào đó lặp đi lặp lại tuần hoàn trong tất cả cácvùng brilluon thứ I, thứ II…, ngh ĩ a là trong toàn bộ không gian đảo, đượ c

biể diễn ở hình. 3.





Hình . 3. Sơ đồ cấ u trúc vùng nă ng l ượ ng

3.3. Sự phụ thuộ c vào hướ ng củ a bứ c tranh vùng nă ng l ượ ng

Nếu xét điện tử chuyển động theo các hướ ng khác nhau trong tinh thể thì

ta thấy bức tranh vùng năng lượ ng là một bức tranh phụ thuộc mạnh vào

hướ ng. Nếu xét một hướ ng k r

nhất định nào đó, khi k r

đạt giá trị đủ lớ n để

sao cho Gur của mạng đảo thoả mãn định luật phản xạ braag thì năng lượ ng

bị ngắt quãng một đoạn 2G

V r , vớ i các hướ ng k r

khác nhau các vectơ Gr

thoả

mãn điều kiện phản xạ braag đối vớ i chúng sẽ khác nhau và như G

V uur sẽ khác

nhau dẫn đến độ rộng vùng cấm ở các hướ ng khác nhau là khác nhau. Như

vậy độ rộng vùng cấm phụ thuộc mạnh vào hướ ng. Theo các hướ ng khác

nhau sẽ cósự chồng lẫn lên nhau (sự phủ) của các vùng năng lượ ng. Chẳng hạn: Xét

trong sơ đồ vùng năng lượ ng khai triển thì ở mỗi điểm trên biên vùng

brilluon năng lượ ng ở vùng ngoài luôn luôn lớ n hơ n năng lượ ng ở vùng

0 K

E





trong. Tuy nhiên nếu xét trong trườ ng hợ p hai chiều, ba chiều có thể xảy ra

trên

(hình . 4). Năng lượ ng thấp nhất ở vùng ngoài theo hướ ng 1k ur

thấp hơ n mức

năng lượ ng cao nhất ở vùng trong theo hướ ng 2k uur . Như vậy xét chung cho

tinh thể thì giữa vùng đượ c phép ở dướ i và vùng đượ c phép ở trên thì không

có vùng cấm ngăn cách. Bở i vì các vùng đượ c phép theo các hướ ng khác

nhau của k r

là phủ lên nhau .

Hình. 4. Sơ đồ vùng nă ng l ượ ng xét trong trườ ng hợ p 2 chiều, 3 chiều.

3.4. M ỗ i liên hệ giữ a độ rộ ng vùng cấ m và hệ số tán xạ cấ u trúc.

Khi điện tử chuyển động theo một hướ ng [hkl] nào đó trong tinh thể thì

nếu họ mặt phẳng (hkl) vuông góc vớ i bhkl phản xạ braag các tia X mạnh bao

nhiêu thì vùng cấm rộng bấy nhiêu. Từ đây ta thấy rõ mỗi liên hệ giữa độ

rộng vùng cấm và hệ số tán xạ cấu trúc Fhkl trong tinh thể có nền lớ n hơ n 1:

Nếu theo hướ ng [hkl] nào đó thì Fhkl = 0 thì tại đó độ rộng vùng cấm bằng

không. Ngh ĩ a là ta không quan sát đượ c hình ảnh nhiễu xạ. Hay nói cách

khác họ mặt phẳng này cũng không làm nhiễu loạn chuyển động gần như tự do của điện tử trong tinh thể.

Ví d ụ: Trong tinh thể Si hoặc Ge (có cấu trúc thuộc loại kim cươ ng) ta có:

E





Đây là cấu trúc gồm 2 mạng FCC (đượ c cấu tạo từ các nguyên tử giống

hệt nhau) lồng vào nhau, lệch đi 1/4 đườ ng chéo không gian của ô nguyên tử

lập phươ ng.

- Nền của cấu trúc này gồm có 8 nguyên tử cùng loại nằm ở toạ độ:

000;1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 3 3 3 1

0 ; 0 ; 0; ; ; ;2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

- Hệ số tán xạ cấu trúc đượ c xác định như sau:

1exp[2 ( )]

[1 exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( )2

exp ( 3 3 ) exp (3 3 ) exp (3 3 )]2 2 2

s

hkl n n nn

F f i x h y k z l

f i k l i h l i h k i h k l

i h k l i h k l i h k l

π

π π π π

π π π

== ∑ + +

= + + + + + + + + +

+ + + + + + + + +

- Từ đây ta có: F100 = 0; F110 = 0; F111 =6 ; F200 = 0; F211 = 0; F220 = 8; F221

= 0.

Vậy trong tinh thể Si và Ge tại các hướ ng [100]; [110]; [200]; [211];

[221]. Ngh ĩ a là cấu trúc nền tinh thể làm mất phản xạ braag do đó độ rộng

vùng cấm = 0.

4. Mô hình điện tử liên kết yếu

Trong phép gần đúng điện tử gần tự do, hàm sóng đượ c chọn là hàm sóng

của điện tử tự do, sau đó bổ chính cho nó bằng cách coi trườ ng tinh thể tuần

hoàn V )(r r mà điện tử là nhiễu loạn nhỏ tác động lên chuyển động tự do của

điện tử. Ngoài ra dùng thủ thuật để giải toán tại biên vùng brilluon khi mà

nhiễu loạn trên đây không thể coi là nhỏ đượ c nữa.Như vậy gần đúng điện tử gần tự do chỉ áp dụng đượ c khi động năng của

điện tử lớ n hơ n nhiều so vớ i sự biến thiên trong không gian của thế năng

V )(r r . Nhưng bình thườ ng thì điện tử trong tinh thể chỉ có động năng cùng





bậc sự biến thiên trong không gian của thế năng V )(r r , do đó ta không thể áp

dụng gần đúng điện tử liên kết yếu.

Vì vậy bây giờ ta phải tiếp cận vấn đề từ một hướ ng khác: Chọn hàm sóng

ban đầu là hàm sóng riêng của điện tử nằm trong các nguyên tử riêng biệtnếu ta đưa các nguyên tử này tiến lại gần nhau để tạo thành tinh thể thì các

nguyên tử cũng chỉ tươ ng tác yếu vớ i nhau và do đó các điện tử cũng liên

kết chặt vớ i các nguyên tử mẹ của chúng làm cho hàm sóng nguyên tử bị

thay đổi chút ít (tức là bị nhiễu loạn nhỏ). Sự xích lại gần nhau giữa các

nguyên tử để tạo thành tinh thể sẽ xảy ra hiện tượ ng chồng lấn của các hàm

sóng. Tức là làm cho chúng không còn trực giao nữa do đó đièu kiện tươ ngtác yếu giữa

các nguyên tử có ý ngh ĩ a là các hàm sóng của các đIện tử trong phép gần

đúng liên kết mạnh gần như trực giao. Vớ i cách đặt vấn đề như trên hiển

nhiên ta thấy là gần đúng liên kết chặt sẽ càng đúng nếu như điện tử nằm sâu

trong nguyên tử. Bây giờ ta sử dụng phép gần đúng liên kết chặt để minh

hoạ các trạng thái năng lượ ng của các điện tử trong tinh thể.

Giả sử một trạng thái nào đó của điện tử trong nguyên tử riêng biệt

đượ c mô tả bở i hàm sóng Ψ0 )(r r hàm sóng này thoả mãn phươ ng trình

Schrodinger:2

20 0 0( ) ( ) ( )

2 V r r E r

mψ ψ

− ∇ + =

uur uur uurh (1.41)

Trong đó: V )(r r là trườ ng thế năng trong nguyên tử; E0 là năng lượ ng

riêng của điện tử nằm trong trạng thái Ψ0 )(r r và Ψ0 )(r

r đã đượ c chuẩn hoá:

*0 1dr ψ ψ =∫

Nếu tinh thể đượ c cấu tạo từ các nguyên tử hoàn toàn không tươ ng tác

vớ i nhau thì ở gần nút mạng thứ n điện tử trong nguyên tử riêng biệt đượ c





Trong đó: C=*

0 0( ) '( ) ( )m n nr R V r R r R d ψ ψ τ − − − −∫ r uur r uur r uur

Đây là công thức quan trọng nhất của lý thuyết vùng năng lượ ng cho phép

gần đúng liên kết mạnh. Vớ i εn gọi là tích phân chồng lẫn. 4.1. M ộ t số nhậ n xét.

Từ (1.49) ta có một số nhận xét:

a. M ột mứ c năng lượ ng biế n thành một vùng năng lượ ng

- Từ (1.49) cho thấy khi xét tinh thể đượ c cấu tạo nên từ các nguyên

tử riêng biệt, một mức năng lượ ng E0 của điện tử trong nguyên tử riêng biệt

do kết quả của sự tươ ng tác giữa các nguyên tử lân cận trở nên bị dịch

chuyển đi một đại lượ ng là C và tách thành cả một vùng năng lượ ng (do

thành phần chứa εn ). - Từ (1.49) ta thấy độ rộng vùng năng lượ ng đượ c

phép tỷ lệ thuận vớ i

giá trị i lượ ng εn . Tức là chủ yếu đượ c quyết định bở i sự chồng lẫn hàm

sóng giữa các nguyên tử nằm cạnh nhau, do đó:

+ Đối vớ i các điện tử hoá trị, sự chồng lẫn của các hàm sóng quá lớ n làm

cho độ rộng của vùng năng lượ ng lên đến vài eV, ngh ĩ a là cùng bậc và có

thể lớ n hơ n cả khoảng cách giữa hai mức năng lượ ng nguyên tử, vì thế

không thể áp dụng gần đúng liên kết chặt.

+ Đối vớ i các điện tử nằm trên các lớ p điện tử bên trong thì độ rộng của

vùng năng lượ ng quá nhỏ khi đó phép gần đúng này có thể áp dụng đượ c.

Giữa các vùng năng lượ ng đượ c phép là vùng cấm. Năng lượ ng càng cao thì

vùng đượ c phép càng hẹp. Về độ rộng vùng cấm thì ta có bức tranh ngượ clại, ngh ĩ a là năng lượ ng càng cao thì vùng cấm càng hẹp, năng lượ ng càng

thấp thì vùng cấm càng rộng.

b. Tính tuần hoàn trong không gian mạng đảo





± .a ir

hoặc ± a. jr

hoặc ± a. k r

, do đó:

=−= ∑ )exp()( 0n Rk ik E rrr

ε

=−+++−+−+−= )exp()exp()exp()exp()exp()exp( aik aik aik aik aik aik z z y y x xε )coscos(cos2 z y x ak ak ak ++−= ε

+ Khi kx = ky = kz = 0 (tại tâm vùng brilluon): E(0) = -6 ε =Emin

+ Khi kx = ky = kz = ± π /2 (tại biên vùng brilluon):E (±π /2) = +6 ε =Emax

Độ rộng vùng năng lượ ng đượ c phép là: Emax - Emin = 12ε

+ Đối vớ i ki (i=x,y,z) nhỏ (aki<<1), tức là ở gần tâm vùng brilluon:

E=Emin + ε a2k2 .Có ngh ĩ a là khi k nhỏ năng lượ ng của điện tử không phụ thuộc vào

hướ ng của k và tỷlệ thuận vớ i k2.

+ Đối vớ i ik ′ = ki - π /a, (i=x,y,z) nhỏ , tức là gần biên vùng brilluon:

E=Emax - ε a2k'2

Như vậy đồ thị E=E ( )k uuur

ở tâm và biên vùng brilluon đều có dạng 1

đườ ng cong parabol và chỉ bị lệch khỏi đườ ng parabol khi ở sâu bên trong

vùng brilluon.





CHƯƠ NG II

CÁC TRẠNG THÁI CỦA ĐIỆN TỬ TRONG VẬT RẮN

Vận dụng lý thuyết vùng năng lượ ng đã khái quát ở chươ ng I ta đi

nghiên cứu trạng thái của điện tử trong vật rắn.

1. Tính chấ t củ a đ iệ n tử theo lý thuyế t vùng nă ng l ượ ng.

1.1. Khố i l ượ ng hiệu d ụ ng

Vận tốc của điện tử chuyển động trong tinh thể là:

P k v

m m= =

ur rr h

(2.50)

Mặt khác năng lượ ng của điện tử đượ c xác định:2 2 2

22 2

k k mdE E dE dk k

m m dk = ⇒ = ⇒ =

h h

h (2.51)

dk

dE

hdk

dE

m

m 12

==h

hυ còn .

m dE P k

dk = =h

h (2.52)

Hệ thức (2.51) và (2.52) không chỉ đúng vớ i điện tử tự do mà còn

đúng cho cả điện tử chuyển động trong mạng tuần hoàn của tinh thể và khi

đó xung lượ ng Pur

gọi là giả xung của điện tử. Nếu ta đặt một trườ ng tuần

hoàn có cườ ng độ E vào tinh thể thì mỗi một điện tử sẽ chịu tác dụng của

một lực F qE = −ur ur

. Khi đó điện tử sẽ thu đượ c gia tốc, nếu xét về độ lớ n thì:

2

2

1 1( . ) . .

dv d dE d E dk a

dt dt dk dk dt = = =

h h

Mặt khác trong khoảng thờ i gian dt thìlực của trườ ng thực hiện một

công dA: dA = F . dS = F.v.dt = F1

. .dE

dt dk h

Công này làm tăng năng lượ ng của điện tử lên một lượ ng là dE và





dE = dA = F1

. .dE

dt dk h

. Muốn vậy thì F1

. 1dt F dk

dk dt = ⇒ =

h h

khi đó2 2 2 2

2 2 2 2

1. . . .d E F F d E dk

a F a

dk dk d E

= = ⇒ = h

h h h

Đặt2 2

* *2

(2.53) .dk

m F m ad E

= ⇒ =h

Dướ i tác dụng của ngoại lực F ur

thì điện tử chuyển động trong trườ ng

tuần hoàn của tinh thể giống như điện tử tự do chỉ khác là khi đó khối lượ ng

của điện tử trong tinh thể bằng khối lượ ng của m*, m* gọi là khối lượ ng hiệu

dụng của điện tử và ta có thể viết2 2

*2dk m

d E = h

* Ý ngh ĩ a vật lý của khối lượ ng hiệu dụng

+ Khối lượ ng hiệu dụng có thể > 0, < 0 hoặc = ± ∞, cụ thể:

- Vớ i điện tử có đáy vùng năng lượ ng thì: EA(k) = Emin = ε a2k2

22

22. A

d E a

dk ε ⇒ = (2.54)

Thay (1.54) và (1.53) ta đượ c:2

*22 . A

maε

= h

(2.55)

Vì εA>0 nên m*>0 hay ta nói :độ dốc của đườ ng cong tăng nên

2

20

d E

dk > tức là đối vớ i điện tử nằm ở đáy vùng năng lượ ng thì khối lượ ng

hiệu dụng là dươ ng và dướ i tác dụng của trườ ng ngoài thì điện tử trong tinh

thể đượ c gia tốc theo hướ ng của lực tác dụng. Điều này khác vớ i điện tử tự

do ở chỗ khối lượ ng của nó m*≠ m0 (m0: khối lượ ng của điện tử). Từ (1.55)

ta thấy nếu tích phân trao đổi εA càng lớ n thì độ rộng của vùng năng lượ ng

đượ c phép càng lớ n khi đó khối lượ ng điện tử càng nhỏ.





+ Nếu toàn bộ công của trườ ng ngoài chuyển thành thế năng, trong trườ ng

hợ p này điện tử chuyển động vớ i vận tốc vr

=const, hay nói cách khác tại vị

trí

mà độ dốc của đườ ng cong không đổi ngh ĩ a là2

20

d E

dk = => m* = ±∞. Lúc

này ta có thể xem khối lượ ng hiệu dụng của điện tử lớ n vô cùng vớ i a ≈ 0.

- Vớ i điện tử ở đáy vùng năng lượ ng:

E (k) = Emax -εB k2a2 =>2

22

2 . B

d E a

dk ε = − (2.56)

Thay (2.56) vào (2.53) :2*

22 . B

maε

= − h (2.57)

ở (2.57) Vì εB> 0 nên m*<0 hay nói cách khác: Độ dốc của đườ ng

cong giảm xuống nên2

20

d E

dk < .Như vậy đối vớ i điện tử nằm ở đỉnh vùng

năng lượ ng sẽ thu đượ c gia tốc ngượ c hướ ng lực tác dụng .Ngoài ra độ lớ n

của khối lượ ng hiệu dụng của điện tử càng nhỏ.1.2. Phươ ng trình chuyể n độ ng củ a đ iệ n tử

Trạng thái của điện tử trong tinh thể đượ c xác định bằng hàm sóng

block ứng vớ i vectơ sóng k r

, vận tốc chuyển động của điện tử liên hệ vớ i tần

số gốc của sóng điện từ theo công thức:

dk

d υ = (2.58)

Trong đó: ω là tần số góc của điện tử liên hệ vớ i năng lượ ng E của điện tử

theo hệ thức ω=E/h ( 2.59)

Mà :1

.dE

vdk

=h

(2.60)





Từ (2.60) ta thấy muốn xác định vận tốc của điện tử ta cần xác định sự

phụ thuộc của năng lượ ng E vào k r

.

Xét đối vớ i điện tử tự do :

2 2

2

k

E m=

h

do đó ta có: n

k pv

m m= =

h (2.61)

- Đối vớ i điện tử không tự do chuyển động của trườ ng tuần hoàn thì

năng lượ ng không tỷ lệ vớ i k2 mà nó phụ thuộc vào k ở dạng phức tạp.

Chẳng hạn: Ta xét trườ ng hợ p mạng ba chiều, vận tốc của điện tử đượ c xác

định: 1 1. .k k v grad E E = = ∇r uuuuuur uur

h h

(2.62)

Trong trườ ng hợ p có trườ ng ngoài tác dụng lên điện tử trong tinh thể. Giả

sử ban đầu điện tử ở trạng thái k thì công δE mà điện trườ ng ngoài thực hiện

trên điện tử trong thờ i gian dt đượ c tính: δE= e vdt ξ −

vì δE = .dE

k v k dk δ δ = h nên ht vek δ ζ δ −= trong đó

dk e F dt ξ = − =

h

Và F gọi là ngoại lực tác dụng lên điện tử. Vì phươ ng trình chuyển động

của điện tử trong trườ ng hợ p tổng quát là :d k

F dt

=

rurh

(2.63)

Nếu trườ ng ngoài là một trườ ng không mạnh đến mức làm thay đổi cấu

trúc vùng năng lượ ng của vật rắn thì ta có thể áp dụng (2.62) cho lực

lorenxơ tác dụng lên điện tử đặt trong tinh thể đặt trong từ trườ ng. Khi đó

phươ ng trình chuyển động của điện tử trong từ trườ ng không đổi Bur

có





dạng: 2k k

d k e d k eev B B E B

dt dt

− −= − ∧ = ∇ ∧ ⇒ = ∇ ∧

r rr ur uur ur uuur urh

h h

(2.64)

(2.64) mô tả chuyển động của điện tử trong không gian vecto sóng k r

,

phươ ng trình cho thấy trong từ trườ ng điện tử chuyển động theo phươ ng

vuông góc vớ i phươ ng Građien của năng lượ ng và đồng thờ i vuông góc vớ i

phươ ng từ trườ ng Bur

.

1.3. Phươ ng trình chuyể n độ ng củ a l ỗ trố ng

Ta xét một vùng hoá trị của một chất điện môi vốn đã bị chiếm hoàn toàn.

Nhưng vì một lý do nào đó có một điện tử bị bứt ra, chẳng hạn do hiệu ứngquang điện ta gọi trạng thái của điện tử không bị chiếm đầy ở trong vùng

đượ c phép là lỗ trống. Như vậy có bao nhiêu trạng thái của điện tử không bị

chiếm sẽ có bấy nhiêu lỗ trống.

Để hiểu rõ khái niệm lỗ trống ta xét vectơ sóng của lỗ trống. Ta biết rằng

vì tổng các véctơ sóng của tất cả các điện tử ở trong vùng năng lượ ng bị

chiếm đầy bằng 0: ∑ k

r

=0(2.65)

(2.65) đượ c suy ra từ tính đối xứng của vùng brilluon có ngh ĩ a là nếu

trong vùng có k r

ứng vớ i trạng thái của điện tử thì ta luôn tìm đượ c một

véctơ - k r

ứng vớ i trạng thái khác của điện tử và tổng của nó bao giờ cũng

bằng 0. Giả sử điện tử bị bứt ra từ trạng thái đượ c đặc trưng bằng véctơ sóng

ek r

. Dựa vào (2.65) ta viết: ek r

+∑ ( k r

- ek r

) = 0.

Tổng k r

của hệ sau khi điện tử bị bứt ra là ∑ ( k r

- ek r

) = - ek r

, đó chính là

véctơ sóng k r

h của lỗ trống, vì vậy: k r

h= - ek r

(2.66)

Phươ ng trình chuyển động của điện tử trong tinh thể có dạng:





e

dk F

dt =

uurh vớ i eF

uur

là lực tác dụng lên điện tử . Kết hợ p (2.66) ta có:

h e

e

d k d k F

dt dt

−= = −

r ruurh h

vì eF uur

là lực điện trườ ng và từ trườ ng thì ta

có thể viết : ( )h

e

d k e v B

dt ξ = + ∧

rr ur urh

(2.67)

(2.67) là phươ ng trình chuyển động của một hạt mang điện tích dươ ng

khi đặt trong điện từ trườ ng. Do1

. k v e= ∇r uur

h, mà E )(k

r là hàm chẵn nên v

r là

một hàm lẻ củavr

: )()( k vk v eh

rrrr

−−= Do tính đối xứng của vùng brilluon màứng i một véctơ k

r sẽ có - k

r, vì vậy ứng vớ i v

r sẽ có - v

r. Khi đó ∑ v

r=0 nên

)()( eehh

k vk vrrrr

−=

Vận tốc của lỗ trống đượ c xác định theo hk uur

là )()( eehh

k vk vrrrr

= (2.68)

Nếu chọn gốc tính năng lượ ng của điện tử ở đỉnh vùng hoá trị thì năng

lượ ng E )( ek r

của các điện tử trong vùng hoá trị đều có giá trị âm. Lỗ trống

xuất hiện khi điện tử bứt ra khỏi trạng thái ek r

có năng lượ ng

)()( eh k E k E

rr−= Ta biết vùng năng lượ ng đối xứng vớ i phép nghịch đảo,

ngh ĩ a là k r

-> - k r

nên E )(k r

=E )( k r

− . Do đó năng lượ ng của lỗ trống:

Eh ( )hk

uuuur

=-E ( )ek

uuur

Từ (2.62) và (2.68) ta viết đượ c phươ ng trình chuyển động của lỗ trống:

( )h

h h

d k e v B F

dt ξ = + ∧ =

r r uur ur uurh (2.69)

Trong đó : hF uur

là lực tác dụng lên lỗ trống.





Ta có thể tìm hiểu khối lượ ng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống xuất phát

từ phươ ng trình định luật II newton :

- Cho điện tử:* ee

d vm e

dt ξ = −

urr

(2.70)

- Cho lỗ trống:* hh

d vm e

dt ξ = −

uurr

(2.71)

Doe hd v d v

dt dt =

ur uur

; so sánh (2.70) và (2.71) ta thấy khối lượ ng hiệu dụng của

điện tử và khối lượ ng hiệu dụng của lỗ trống tại một thờ i điểm thì có dấu

ngượ c nhau : * *h em m=

1.4.M ặ t đẳ ng nă ngMặt đẳng năng là bề mặt tại đó tập hợ p những điểm trong không gian

đảo ứng vớ i cùng một giá trị năng lượ ng E

:E ( )k const =uur uuuuur

* Ví dụ về mặt đẳng năng:

Ta xét trườ ng hợ p mạng tinh thể hai chiều, mạng đảo cũng là mạng

hai chiều, các mặt đẳng năng mạng PC quy về các đườ ng đẳng năng.

a

π

a

π

Ky Ky

a

π

a

π

KxKx





Hình.5. Các đườ ng đẳ ng nă ng củ a mạ ng tinh thể vuông 2 chiều đượ c

biể u diễ n theo gầ n đ úng đ iệ n tử gầ n tự do(hình.a)và gầ n đ úng liên kế t

chặ t (hình.b)

Từ (hình.a)ta thấy ở gần tâm vùng brilluon đườ ng đẳng năng là nhưng

đườ ng tròn , đó là vì khi k<<a

π tức là xa biên vùng brilluon ,quy luật tán sắc

của điện tử gần tự do ít sai khác so vớ i quy luật tán sắc của điện tử tự do .Vì

vậy điều kiện E(k)=const trên đườ ng đẳng năng dẫn đến phươ ng trình đườ ng

tròn :2 2 2

x yk k k const = + =

Khi ở xa tâm và ở biên vùng briluin, trên đườ ng đẳng năng xuất hiệnnhững chỗ lồi. Sở d ĩ vậy vì ở càng gần biên vùng, năng lượ ng E càng chậm

tăng theo k. Những đườ ng đẳng năng ứng vớ i những giá trị năng lượ ng cao

nhất cắt biên vùng brilluon.

1.5. M ặ t Fecmi

1.5.1. Đị nh nghĩ a

Mặt đẳng năng đặc biệt xét tại 0

0

k ứng vớ i công thức Emax = Const,dướ i bề mặt này tất cả các mức năng lượ ng thuộc các vùng năng lượ ng khác

nhau đều bị điện tử lấp đầy, còn phía trên nó hoàn toàn bỏ trống gọi là mặt

Fecmi.

1.5.2. Thí d ụ về các mặ t Fecmi

* Mặt Fecmi trong gần đúng điện tử hoàn toàn tự do: Đối vớ i điện tử

hoàn toàn tự do, năng lượ ng liên hệ theo véctơ sóng

2 2

2o

k

k E m=

h

. Do đó

trong biểu diễn khai triển mặt Fecmi là mặt cầu, các vùng briluin nằm bên

trong mặt cầu đều bị lấp đầy bở i điện tử.





Chẳng hạn: Mặt Fecmi vẽ trong trườ ng hợ p mạng vuông hai chiều, ta

thấy vùng briluin thứ nhất đã bị lấp đầy hoàn toàn còn vùng thứ 2 và thứ 3 bị

lấp đầy một phần.

Ở trạng thái cơ bản (ngh ĩ a là trạng thái có năng lượ ng thấp nhất) của hệ,

điều này xảy ra khi T=00k khi ta xét trong không gian k r

, điện tử chiếm các

trạng thái nằm trong hình cầu. Năng lượ ng ứng vớ i mặt cầu đó chính

là năng lượ ng Fecmi. Mặt cầu đó chính là mặt cầu Fecmi. Véctơ sóng có

điểm cuốitrên mặt Fecmi

3

1

3

Hình . 6. M ặ t Fecmi vẽ trong trườ ng hợ p mạ ng vung 2 chiều

có độ dài kF cũng chính là đườ ng kính của mặt cầu, nó chỉ phụ thuộc vào

nồng độ điện tử và đượ c tính như sau:

- Thể tích của hình cầu Fecmi là34

.3 F k π

- Số điện tử trong một đơ n vị thể tích không gian đảo đượ c tính:

+ Thể tích không gian đảo mà một giá trị của k chiếm giữ là

3(2 )

V

π

;V: Thể tích của toàn tinh thể trong không gian thuận.

+ Số giá trị k trong một đơ n vị thể tích không gian đảo là 3(2 )

V

π ;

23

33

23

22

33





+ Vậy số điện tử trong một đơ n vị thể tích của không gian đảo (nếu tính

đến spin) là 3

2

(2 )

V

π

Hình .7. Biể u diễ n vectơ sóngcó đ iể m cuố i trên mặ t Fecmi có độ dài k F

- Toàn tinh thể có N. Z điện tử tự do (trong đó N là số nguyên tử, Z là hoá trị

của nguyên tử).

N.Z =34

.3 F k π

. 3

2

(2 )

V

π

=>1

3 2 2 2 33 . 3 . (3 )F F

N k Z nZ k nZ

V π π π = = => = (2.73)

Từ đây ta có nhận xét: Bán kính mặt cầu Fecmi chỉ phụ thuộc vào mật độ

điện tử n, chứ không phụ thuộc vào khối lượ ng m của điện tử.

Ví dụ: Mặt Fecmi trong kim loại hoá trị 1, có cấu trúc lập phươ ng tâm mặt

(FCC). Mật độ điện tử trong kim loại này là n = 4/a3, có 4 điện tử trong một

khối lập phươ ng cạnh a. Đối vớ i điện tử tự do bán kinh mặt cầu Fecmi là:

1 122 3 3

3

12. 4, 9(3 ) ( )F k nZ

a a

π π = = ≈ vậy đườ ng kính mặt cầu là 9,8/a.

* Mặt cầu Fecmi trong gần đúng điện tử gần tự do:

Nếu ta coi điện tử chuyển động trong tinh thể gần như tự do thì khi đó mặt

Fecmi sẽ bị biến dạng đi không còn nguyên là hình cầu nữa mà là các điểm

nằm gần bề mặt vùng briluin bị biến dạng thể hiện

F k r

KX

Ky

Kz





- Điện tử chuyển động trong tinh thể do phản xạ braag mà mặt Fecmi bị

đứt quãng tại bề mặt biên vùng brilluon.

- Mặc dù mặt Fecmi bị biến dạng nhưng thể tích mà mặt Fecmi bao quanh

vẫn không đổi đối vớ i chuyển động hoàn toàn tự do trong tinh thể.Mặt Fecmi hầu như luôn cắt vuông góc vớ i biên giớ i vùng brilluon:

Hình.8. M ặ t Fecmi trong gầ n đ úng đ iệ n tử tự do vẽ cho mạ ng hai chiều

2. Chuyển động của điện tử trong tinh thể

Chuyển động của điện tử trong tinh thể bao gồm 2 quá trình: Khi chưa có

điện trườ ng và khi có điện trườ ng tác dụng. Ta sẽ xét cả hai quá trình đó:

Hình.9. Chuyển động nhiệt hỗn loạn của điện tử

* Khi không có điện trườ ng tác dụng: Thì các điện tử trong tinh thể sẽ

luôn chuyển động hỗn loạn gây ra bở i năng lượ ng nhiệt. Các chuyển động

này bị ngắt quãng bở i những va chạm vớ i nguyên tử gốc nằm trong mạng

5

2

3

6

41





2

đượ c mô tả trên hình. 10. Hướ ng chuyển động là hỗn loạn nên vectơ chuyển

động tổng cộng có thể bị giảm đi hay bị triệt tiêu lẫn nhau. Sau một khoảng

thờ i gian đủ lâu, độ chuyển dờ i tổng cộng của các điện tử bằng 0. Cho khối

lượ ng điện tử là mn , nhiệt độ là T và lưu ý rằng năng lượ ng tự do của một

bậc tự do là1

2 Bk T , ở đó kB là hằng số bônsơ man. Điện tử có thể chuyển

động theo ba chiều không gian nên năng lượ ng động của chúng sẽ bằng 3

lần nhân lên. từ suy luận này tốc độ nhiệt của điện tử biểu thị như sau:

21 3 3

2 2 B

n th B th

n

k T m v k T v

m= ⇒ = (2.74)

Khi có điện trườ ng tác dụng: Các phần tử tại điện sẽ đượ c tăng tốc và

chuyển động có hướ ng, các điện tử chuyển động về hướ ng ngượ c vớ i điện

trườ ng còn lỗ trống chuyển động theo chiều điện trườ ng.Sự dịch chuyển của

hạt tải do tác động của điện trườ ng theo hướ ng nhất định gọi là hiện tươ ng

cuốn hay còn gọi là sự kéo theo(còn gọi là sư trôi gây ra bở i điện trườ ng).

Trong trươ ng hợ p này chuyển động của điện tử bao gồm 2 thành phần: thành

phần chuyển động gây ra do nhiệt và thành phần gây ra do điện trườ ng

đượ c biểu thị như hình 10.

Hình. 10. Chuyể n độ ng củ a đ iệ n tử trong đ iệ n trườ ng.

E

1

3

4

5

6

7





Để thấy rõ tốc độ cuốn của các điện tử phụ thuộc vào những yếu tố nào ta

xét mô hình đơ n giản sau:

Tốc độ cuốn ở một thờ i điển t cho trướ c sau một va chạm là:

v(t) = v(0) +at, trong đó v(0) là tốc độ cuốn ngay sau khi va chạm và chonó có giá trị bằng không. Vớ i giả thiết này ta có thể coi các điện tử bị những

va chạm làm rối loạn đáng kể đến chuyển động của chúng. Gia tốc"a" theo

định luật Newton sẽ là a=qε /mn, trong đó mn là khối lượ ng hiệu dụng của các

điện tử trong tinh thể, nó hiệu chỉnh ảnh hưở ng của mạng tinh thể lên

chuyển động của điện tử. Nếu khoảng thờ i gian giữa hai va chạm là τc thì tốc

độ kéo theo trung bình của các điện tử sẽ là:

.2

cn

n

qv E E

m

τ µ = − = − (2.75)

Trong đó:2

cn

n

qv

E m

τ µ = = (2.76)

n µ : là độ linh động của điện tử.

Ở đây chúng ta giả thiết khoảng thờ i gian giữa hai va chạm là τcđã khôngphụ thuộc vào điện trườ ng đặt vào. Điều này chỉ đúng khi tốc độ kéo theo là

nhỏ so vớ i tốc độ chuyển động nhiệt của các phần tử hạt tải. Khi tốc độ kéo

theo có thể so sánh đượ c vớ i tốc độ chuyển động nhiệt, sự phụ thuộc của nó

vào điện trườ ng bị sai lệch khỏi hệ thức cho trên.





CHƯƠ NG III

CẤU TRÚC NĂNG LƯỢNG CỦA CHẤT BÁN DẪN SI, GE VÀ AIIIBV

Như chúng ta đã biết các nguyên tử sắp xếp cạnh nhau thì các điện tử tươ ng tác lẫn nhau . Các mức năng lượ ng của các nguyên tử có thể tạo thành

các vùng năng lượ ng. Có thể dùng một số phươ ng pháp tính toán như:

phươ ng pháp liên kết, phươ ng pháp sóng phẳng trực giao, phươ ng pháp

nhiễu loạn … để tìm lờ i giải cho các mức năng lượ ng. Lờ i giải thu đượ c

miêu tả năng lượ ng của điện tử là một hàm của số sóng k. Mối quan hệ giữa

E và k gọi là cấu trúc vùng năng lượ ng của chất rắn. Cấu trúc vùng năng

lượ ng thườ ng nhận đượ c khi giải phươ ng trình Schrodinger cho bài toán một

điện tử gần đúng, qua đó ta sẽ xây dựng đượ c sự phụ thuộc giữa năng lượ ng

điện tử vào vectơ sóng. Hay chính là tìm phổ năng lượ ng của điện tử trong

tinh thể (còn gọi là quy luật tán sắc của điện tử )(k f E rr

= .

Độ rộng và vị trí của từng vùng năng lượ ng phụ thuộc vào các loại chất

rắn khác nhau. Những vùng năng lượ ng ứng vớ i các mức năng lượ ng gần hạt

nhân ảnh hưở ng tớ i các nguyên tử bên cạnh ít hơ n và do đó độ tách mức

năng lượ ng nhỏ. Vùng năng lượ ng trên vùng cấm gọi là vùng dẫn. Khoảng

cách giữa vùng dẫn và vùng hoá trị là độ rộng vùng cấm. Trong vùng cấm

này không tồn tại những mức năng lượ ng để điện tử có thể chiếm chỗ. Trong

từng vùng năng lượ ng, các mức năng lượ ng có thể bị chiếm đầy hoàn toàn

bở i điện tử, có thể bị chiếm một phần hoặc bị trống hoàn toàn. Như vậy một

điện tử muốn tham gia vào thành phần dòng điện phải trở thành điện tử tự

do, ngh ĩ a là nó phải có đủ năng lượ ng nhảy từ vùng hoá trị vượ t qua vùng

cấm lên vùng dẫn. Do đó độ rỗng vùng cấm trở thành một thông số quan





trọng để phân biệt chất rắn là vật liệu dẫn điện, bán dẫn hay vật liệu cách

điện.

Bán dẫn là những chất có phổ năng lượ ng ở nhiệt độ thấp gồm vùng hoá

trị bị chiếm đầy bở i các điện tử còn vùng dẫn bị rỗng hoàn toàn. Và khinghiên cứu bán dẫn, hiện tượ ng dẫn là điều đượ c quan tâm nhất. Sự dẫn điện

là do sự dịch chuyển của các điện tử, do vậy chỉ có sự dẫn điện khi ta có thể

làm cho các điện tử chuyển động. Xét về mặt năng lượ ng điều đó có ngh ĩ a là

chỉ có sự dẫn điện khi ta có thể cung cấp cho điện tử một năng lượ ng. Như

vậy nếu chỉ quan tâm đến đặc tính dẫn điện của bán dẫn ta có thể đơ n giản

hoá mô hình vùng năng lượ ng bằng cách gọi mức năng lượ ng thấp nhất của

miền dẫn là đáy miền dẫn ký hiệu là Ec . Còn miền đầy hoàn toàn là miền

hoá trị mà mức năng lượ ng cao nhất của miền này gọi là đỉnh miền hoá trị

ký hiệu là EV khoảng cách giữa 2 miền hoá trị và miền dẫn gọi là bề rộng

vùng cấm (miền cấm) ký hiệu là

∆Eg => ∆Eg = Ec - Ev (3.77)

Trạng thái điện tử trong các miền năng lượ ng cho phép đượ c xác định bở i

năng lượ ng E và vectơ sóng k r

( kx,ky,kz ) Sự phụ thuộc vào vectơ sóng k r

trong miền cho phép là rất phức tạp, tại các điểm lân cận cực đại và cực tiểu

miền hoá trị có thể xem gần đúng sự phụ thuộc E )(k r

có dạng bậc 2 tươ ng

ứng:

Đối vớ i electron: E ( )k uuur

=2 2

2*2c

n

k E

m+

h (3.78)

Đối vớ i lỗ trống: E ( )k uuur

=2 2

2*2v

p

k E

m+

h (3.79)

Trong đó m*n , m

*p lần lượ t là khối lượ ng hiệu dụng của các electrôn và lỗ

trống. Đặc điểm nữa của phổ năng lượ ng của bàn dẫn là miền hoá trị đều bao





gồm nhiều miền nhỏ chồng lên nhau, ngh ĩ a là trong mỗi miền năng lượ ng

cho phép có thể có nhiều quy luật phụ thuộc E )(k r

khác nhau.Cực tiểu miền

dẫn trong không gian của vectơ sóng có thể nằm ở một điểm )0,0,0(=k r

hoặc nằm ở một điểm k r

≠ (0,0,0) và trên một phươ ng tinh thể nào đó.

Ví dụ: GaAs có cực tiểu miền dẫn ở điểm k r

= (0,0,0)

Si có cực tiểu miền dẫn ở 1 điểm trên phươ ng [100] trong không gian k r

Ge có cực tiểu trên phươ ng [111].

Cực đại của miền hoá trị thườ ng nằm ở điểm có véctơ sóng )0,0,0(=k r

từ

đây ngườ i ta phân loại bán dẫn theo cấu trúc vùng năng lượ ng như sau:+ Bán dẫn có vùng cấm thẳng: là bán dẫn mà ở đó đỉnh cực đại của vùng

hoá trị và đáy cực tiểu của vùng dẫn nằm trên cùng một giá trị số sóng k r

thì

gọi là bán dẫn có vùng cấm trực tiếp (vùng cấm thẳng). Bán dẫn này có tính

chất quang tốt nên đượ c sử dụng để chế tạo các linh kiện phát quang ví dụ

như: GaAs, In As…

+ Bán dẫn có vùng cấm xiên: Là bán dẫn mà ở đó đáy của vùng dẫn vàđỉnh của vùng hoá trị không nằm trên cùng một giá trị số sóng k

r thì gọi là

bán dẫn có vùng cấm không trực tiếp (vùng cấm xiên) loại bán dẫn này

thườ ng ít đượ c sử dụng trong chế tạo các linh kiện phát quang do tính yếu

kém về tính chất quang của chúng. Ví dụ như : Si, Ge…

Để đặc trưng cho các loại bán dẫn trên chúng ta đi xét cấu trúc vùng của

một số bán dẫn cụ thể mà chúng có ứng dụng rất nhiều trong thực tế.1. Cấu trúc vùng năng lượ ng của Silic (Si)

- Si là nguyên tố thuộc phân nhóm 4 của bảng hệ thống tuần hoàn, có cấu

trúc vỏ điện tử là 1S22S2 2P63S23P2 lớ p ngoài cùng gồm 2 electron ở trạng





thái 3s và 2 electron ở trạng thái 3p. Như vậy ở đây lớ p ngoài cùng chưa

điền đầy.

- Tinh thể Si thuộc loại tinh thể kim cươ ng khi tạo thành tinh thể Silic,

những electron hoá trị tham gia vào việc tạo thành những liên kết đồng hoátrị. Sơ đồ mạng tinh thể cùng vớ i những mối liên kết đượ c tạo thành từ từng

cặp electron đượ c biểu diễn trên mặt phẳng như hình .11. ở mỗi nút mạng có

lõi ion mang điện tích +4 và 4 electron hoá trị gắn vớ i nó.

Những electron này cùng vớ i các electron của 4 nguyên tử gần nhất tạo

thành các mối liên kết bền vững (quanh mỗi nguyên tử có 8 electron), ngh ĩ a

là lớ p electron ngoài cùng đã đượ c lấp đầy.

Hình . 11. Sơ đồ mạ ng tinh thể cùng vớ i nhữ ng mố i nố i liên kế t

Vì vậy tinh thể trung hoà về điện. Nếu ta đặt tinh thể vào điện trườ ng thì

không có dòng điện chạy qua nó vì mọi electron bị liên kết chặt và không có

hạt mang điện tự do, điều này xảy ra ở nhiệt độ T=00k. Khi T >00k dướ i tác

dụng nhiệt một số mối liên kết đồng hoá trị bị phá vỡ vì liên kết giữa cácnguyên tử Si cạnh nhau không quá chặt. Khi một liên kết bị đứt ra một

electron tự do đượ c tạo ra và có khả năng dẫn điện. Ngườ i ta gọi các

electron như vậy là các electron dẫn. Thêm vào đó ở chỗ vốn electron đã

chiếm trướ c khi liên kết bị đứt thì bây giờ là chỗ trống. Chỗ trống này gọi là

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

SiSi





lỗ trống. Các electron hoá trị có thể nhảy từ các liên kết lân cận vào vị trí của

lỗ trống và tham gia vào sự dẫn điện. Có thể hình dung sự dẫn điện thêm này

là sự chuyển động của lỗ trống tích điện dươ ng theo hướ ng ngượ c lại. Quá

trình này đượ c mô tả trên hình.12

Hình.12 Biểu diễn quá trình của các electrôn bị bứt ra

Toàn bộ tinh thể vẫn trung hoà về điện tuy nhiên do trong tinh thể đã xuất

hiện hạt mang điện tự do nên theo quan điểm vùng năng lượ ng: vùng cấm

của bán dẫn không lớ n như vùng cấm của chất điện môi. Do đó một số

electron có thể nhảy từ vùng hoá trị lên vùng dẫn để lại trong vùng hoá trị

các lỗ trống. Dướ i tác dụng của điện trườ ng các electron trong vùng dẫn có

thể thu đượ c động năng và do vậy chúng có thể dẫn điện. Đồng thờ i các lỗ

trống trong vùng hoá trị cũng nhận đượ c một động năng và tham gia vào

việc dẫn điện. Nhiệt độ tăng thì số liên kết bị phá vỡ tăng nhanh và vì vậy

mật độ hạt mang điện trong bán dẫn cũng tăng nhanh. Như vậy khi năng

lượ ng của electron tăng lên nó sẽ chiếm vị trí cao hơ n trong giản đồ vùng

năng lượ ng. Khi nói rằng năng lượ ng của lỗ trống tăng lên thì điều đó cóngh ĩ a là năng lượ ng của các electron khác trong vùng hoá trị tăng lên. Như

thế một số electron hoá trị sẽ chiếm các vị trí cao hơ n trong giản đồ vùng.

Thành thử trong vùng hoá trị sự tăng năng lượ ng lỗ trống đượ c biểu diễn bở i

sự chuyển động của lỗ trống xuống dướ i.

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

SiSi e

e

0

0





Ta hãy chú ý đến một điều quan trọng ở đây là mức thấp nhất trong vùng

dẫn ứng vớ i mức năng lượ ng của electron đứng yên. Tất nhiên năng lượ ng

của electron đứng yên chính là thế năng của electron, do đó đáy của vùng

dẫn Ec tươ ng ứng vớ i thế năng của lỗ trống. Nếu electron ở mức năng lượ ngcao hơ n Ec hoặc nếu lỗ trống ở mức năng lượ ng thấp hơ n Ev thì các electron

và lỗ trống này có động năng bằng hiệu giữa các năng lượ ng của chúng và

năng lượ ng ứng vớ i mép vùng tươ ng ứng như trên hình.13.

Hình .13. Biể u diễ n quá trình d ị ch chuyể ncủ a electrôn và l ỗ trố ng

Như chúng ta đã biết Si có cấu trúc tinh thể của kim cươ ng nên vùng

briluin thứ I ứng vớ i mạng tinh thể này có dạng như trên hình.14. Đó là một

hình có 14 mặt: 6 mặt hình vuông vớ i 3 phươ ng z y x

k k k rrr

,, và có 8 mặt hình

lục giác đều. Nhìn trên hình toạ độ của tâm các mặt đượ c tính theo đơ n vị

2π /a trong đó a là chiều dài của ô sơ cấp hình lập phươ ng của mạng tinh thể.

N ă n g l ư ợ n g c ủ a e l e

c t r ô n

N ă n g l ư ợ n g c ủ a l ỗ

t r ố n g

Động năng của electrôn

Động năng của lỗ trống

o

Ec

Ev

Thế năng của electrôn

Thế năng của lỗ trống





Hình . 14. Biể u diễ n vùng briluin thứ I ứ ng vớ i mạ ng tinh thể Si

Bằng cách kết hợ p tính toán lý thuyết vớ i thực nghiệm về các tính chất của

tinh thể, ngườ i ta xác định đượ c sự phụ thuộc của năng lượ ng vào vectơ sóng E )(k

r theo hai phươ ng [100] và [111] đối vớ i vùng hóa trị và vùng dẫn.

Ta nhận thấy rằng ở k r

=0 vùng dẫn suy biến, nhánh của vùng dẫn theo

phươ ng [100] có cực tiểu thấp hơ n các cực tiểu khác của vùng. Vị trí của cực

tiểu tuyệt đối đó xác định đáy của vùng dẫn trong tinh thể Si.

Hình .15. Sơ đồ vùng nă ng l ượ ng ứ ng vớ i mạ ng tinh thể Si

[111] [100])0,0,0(=k r





Do tính chất đối xứng của tinh thể chúng ta thấy rằng tất cả 6 cực tiểu

tươ ng đươ ng nhau trên các phươ ng [100], nếu ta vẽ mặt đẳng năng trong

không gian k r

có năng lượ ng lớ n hơ n năng lượ ng cực tiểu một ít thì ta thấy

rằng mặt đẳng năng lân cận cực tiểu vùng dẫn của Si là nhiều elip xoáy nằm

theo phươ ng [100]. Sự phụ thuộc của vào vectơ sóng của năng lượ ng ở lân

cận cực tiểu đó đượ c biểu diễn như sau:

*3

2303

2

*2

*1

2202

22101

2 )()()()()(

m

k k

mm

k k k k k E k E

−+

+

−+−+=

hhhrr

o

Trong đó: m*1 = m*

2 và m*1 là khối lượ ng hiệu dụng ngang còn m*

3 là

khối lượ ng hiệu dụng dọc.=>

*3

2303

2

*1

2202

22101

2 )(

2

)()()()(

m

k k

m

k k k k k E k E

−+

−+−+=

hhhrr

o

Hình .16. M ặ t đẳ ng nă ng trong không gian k r

củ a Si

Trong vùng dẫn điện tử vớ i nồng độ nhỏ thườ ng tập trung ở 6 cực tiểu

năng lượ ng vì thế các cực tiểu đó đượ c gọi là 6 túi điện tử (hình .17) chúng

ta thấy rằng cực đại vùng hoá trị (đỉnh vùng hoá trị ) nằm ở tâm vùng briluin

trong khi đó cực tiểu vùng dẫn (đáy vùng dẫn) nằm ở điểm trên hướ ng củavùng briluin ngh ĩ a là đỉnh vùng hoá trị và đáy vùng dẫn không cùng nằm

trên một điểm. Trườ ng hợ p này ta gọi vùng cấm là vùng cấm xiên. Bề rộng

vùng cấm phụ thuộc vào nhiệt độ và thực nghiệm đã tìm đượ c bề rộng vùng

cấm Si ở 3000k là ∆ Eg (Si) =1,12 eV.





2. Cấu trúc vùng năng lượ ng của Gecmani (Ge)

Về mặt cấu tạo Ge cũng giống như Si thuộc phân nhóm 4 có cấu trúc vỏ

ngoài cùng là 1S22S2 2P63S23P63d104S24P2 . Như vậy lớ p ngoài cùng chưa

điền đầy.- Tinh thể Ge cũng thuộc loại tinh thể kim cươ ng. Sơ đồ mạng tinh thể của

nó đượ c biểu diễn trên hình . 17 . Ở mỗi nút mạng có lõi ion mang điện tích

+4 và 4 electron hoá trị gắn vớ i nó. Những electron này cùng vớ i các

electron của 4 nguyên tử gần nhất tạo thành các mối liên kết bền vững

Hình. 17.Biể u diễ n sơ đồ mạ ng tinh thể Ge

Vùng năng lượ ng của Ge cơ bản giống vớ i vùng năng lượ ng của Si. Sơ đồ

vùng năng lượ ng đượ c biểu diễn trong hình.18. Cấu trúc vùng dẫn của Ge

khác vớ i vùng dẫn của Si nhiều hơ n và so vớ i vùng hoá trị của chúng. Sự

khác nhau cơ bản nhất là cực tiểu vùng dẫn Ge nằm ở trên bờ vùng briluin

theo hướ ng [111] của tinh thể .

Ge

Ge

Ge

Ge

Ge

GeGe

Ge

Ge

Ge





Do sự đòi hỏi của kỹ thuật, ngườ i ta đã tìm ra đượ c hàng loạt vật liệu bán

dẫn vớ i những tính năng hết sức rộng rãi đáp ứng đượ c những yêu cầu mớ i.

Thực ra không có sự khác nhau căn bản giữa điện môi, bán dẫn bở i vậy có

thể nói phần lớ n những tinh thể hợ p chất kim loại đều mang tính bán dẫn.Đối vớ i kim loại để tạo ra electron tự do ta không cần cung cấp năng lượ ng

cho tinh thể. Nhưng đối vớ i bán dẫn thì khác hẳn. ở gần độ 0 tuyệt đối bán

dẫn không dẫn điện ngh ĩ a là giống như điện môi. Khi ta nâng nhiệt độ lên

trong bán dẫn xuất hiện các hạt mang điện (electron và lỗ trống). Như vậy để

tạo ra các hạt mang điện trong bán dẫn, ta phải cung cấp năng lượ ng cho nó.

Số hạt tải tự do tăng nhanh khi nhiệt độ của tinh thể tăng. Ngoài cách làm

nóng tinh thể dễ làm xuất hiện các hạt mang điện tự do trong bán dẫn, còn

có thể cho các loại bức xạ khác nhau (ánh sáng, bức xạ hạt nhân .v.v…)

,hoặc điện trườ ng, từ trườ ng mạnh tác dụng lên tinh thể.

Bán dẫn ngoài các nguyên tố hoá học như Ge, Si… thì đặc biệt thông

dụng là những hợ p chất hai thành phần mà các nguyên tố thành phần ở cách

đều nhóm 4 của bảng tuần hoàn (tức là nhóm các bán dẫn nguyên chất),

nghiã là chúng có công thức AIII BV như: Ga As, In P, In As,… những hợ p

chất này có bề rộng vùng cấm nằm trong một khu vực rất rộng, độ linh động

của các hạt dẫn có thể đạt giá trị rất lớ n. Chính nhờ các vật liệu bán dẫn mớ i

như laser bán dẫn,

phân tử phát sóng siêu cao tần. Những bán dẫn hợ p chất AIIIBV có cấu trúc

tinh thể lập phươ ng kiểu kim cươ ng nhưng vớ i hai loại nguyên tử, đượ c trình

bày trên hình.19.





Hình.19. C ấ u trúc vùng nă ng l ượ ng củ a A III BV . Bở i vậy khác vớ i kim cươ ng, chúng không có tâm đối xứng, liên kết

vớ i chúng chủ yếu là liên kết đồng hoá trị do sự pha trộn của các hàm sóng S

và P của các nguyên tử. Cũng như các tinh thể bán dẫn có cấu trúc kiểu kim

cươ ng, liên kết của các hợ p chất AIIIBV cũng là liên kết kiểu hình 4 mặt.

Phươ ng pháp tính toán cấu trúc vùng năng lượ ng như phươ ng pháp giả thế

cũng như các số liệu thực nghiệm đã dẫn đến kết luận sau:

Vùng hoá trị cũng như vùng dẫn đều có các mặt đẳng năng là mặt cầu,

ngh ĩ a là khối lượ ng hiệu dụng là vô hướ ng. Vùng dẫn và vùng hoá trị cũng

giống như Si và Ge đều gồm 3 dải con chồng lên nhau. Cực đại tuyệt đối của

vùng hoá trị có thể coi như tâm vùng briluin. Còn cực tiểu tuyệt đối có thể ở

tâm hoặc ở một điểm trên phươ ng [111] hay [100]. Dạng cấu trúc vùng năng

lượ ng của một số chất bán dẫn AIIIBV cho trên hình.20.

A B

Hình.20. C ấ u trúc tinh thể củ a A III BV

Có thể thấy rằng nếu tăng điện tích trung bình của hạt nhân của hợ p chất

khi đi từ hợ p chất này sang hợ p chất khác thì kích thướ c của các lớ p điện tử

sẽ lớ n lên do đó sự phủ lên nhau của các hàm sóng sẽ tăng lên và bề rộng





vùng cấm sẽ hẹp lại. Điều này cũng đúng vớ i các bán dẫn nguyên chất. Trên

hình .21 cho sự biến đổi của bề rộng vùng cấm của các hợ p chất AIIIBV và

các bán dẫn thuộc nhóm 4 theo số Z trung bình của chúng. Các kết quả

nghiên cứu đã cho ta biết đượ c độ rộng vùng cấm của các chất sau thuộc hợ pchất AIIIBV

:

∆Eg (InSb) = 0,23 eV

∆Eg (GaAs) = 1,58 eV

∆Eg (GaSb) = 0,8 eV

∆Eg(GaP) = 2,4 eV∆Eg (InAs) = 0,46 eV

10 20 30 40 50

InP GaSb

5

4

3

2

1

0

B ề

r ộ n g d ã

i c ấ m

InAs SnGe

AISb

AIP

AIAs

Si GaAsGaP

Z

eV

InSb

Hình . 21. Sự phụ thuộ c củ a bề rộ ng vùng cấ m vào Z





KẾT LUẬN

Vớ i mục đích của đề tài đượ c đặt ra, bằng kiến thức đã học trên giảng

đườ ng và qua một thờ i gian nghiên cứu, tìm hiểu sách, tài liệu tham khảo.

Khoá luận đã hoàn thành và đạt đượ c một số kết quả sau:- Trình bày nguyên lý hình thành vùng năng lượ ng, xây dựng hàm

Bloch và ý ngh ĩ a của hàm bloch. Xây dựng phươ ng trình trạng thái

của điện tử trong vật rắn. qua đó chúng ta biết đượ c cấu trúc phổ năng

lượ ng của chúng.

- Trình bày đượ c cấu trúc vùng năng lượ ng của các chất bán dẫn Si, Ge,

AIIIBV qua đó chúng ta hiểu đượ c bản chất của các chất bán dẫn này

để ứng dụng vào trong thực tế.

Do tầm hiểu biết và điều kiện để nghiên cứu đề tài có hạn do đó sẽ

không trách khỏi về mặt hạn chế. Kính mong nhận đượ c sự góp ý chân thành

của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để khoá luận này đượ c

hoàn thiện hơ n.





TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Nguyễn Thị Bảo Ngọc – Nguyễn Văn Nhã, “Giáo trình vật lý chất rắn”,

NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội 1997.

[2]. Nguyên Thế khôi – Nguyễn Hữu Mình, “ Vật lý chất rắn”,

NXBKH&KT 1997

[3].Đào Trần Cao , “Cơ sơ vật lý chất rắn”, ĐHQGHN 2003.

[4].Nguyễn Văn Hùng, “Lý thuyết chất rắn”, NXBĐHQG Hà Nội 2000.

[5]. Đỗ Ngọc Uẩn, “Giáo trình vật lý chất rắn đại cươ ng”, NXBKH&KT 2003.

[6]. Nguyễn Văn Hiệu, “Vật lý chất rắn đại cươ ng”, Hà Nội 1997.

[7]. Vũ Đ ình Cự, “Vật lý chất răn”, NXBKH&KT, Hà Nội 1997.

[8]. Phạm Quý Tư - Đỗ Đ ình Thanh, “Cơ học lượ ng tử”, NXBGD 1998.

[9]. Chasler kỉttel, “Sơ yếu vật lý chất rắn”, NXBKH&KT 1970.


Nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn và cấu trúc vùng năng...

Documents

Transcript of Nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn và cấu trúc vùng năng...