新高中數學課程學與教策略新高中數學課程學與教策略排列與組合排列與組合

數學教育組數學教育組

引言及課程簡介引言及課程簡介

吳銳堅吳銳堅

程序程序

1.1. 課程學習重點課程學習重點2.2. 加法法則加法法則3.3. 乘法法則乘法法則4.4. 排列排列5.5. 組合組合6.6. 組合學及有關符號的發展組合學及有關符號的發展

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1. 1. 課程學習重點課程學習重點

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1.1. 課程學習重點課程學習重點14 14 排列與組合排列與組合 (11 (11 小時小時))

14.1 14.1 理解計數原理的加法法則和乘法法則理解計數原理的加法法則和乘法法則

14.2 14.2 理解排列的概念和記法理解排列的概念和記法

‘‘ PPrrnn’’、、‘‘ nPrnPr ’’ 、、‘‘ nnPPrr ’’ 等記法皆可使用。等記法皆可使用。

14.3 14.3 解不同物件的無重排列應用題解不同物件的無重排列應用題須引入諸如「求物件的排列，其中三個指定物須引入諸如「求物件的排列，其中三個指定物件必須相鄰」的應用題。件必須相鄰」的應用題。不不包括包括圓形排列。圓形排列。

14.4 14.4 理解組合的概念和記法理解組合的概念和記法‘‘ CCrrnn ’’ 、、 ‘‘ nnCCrr ’’ 、、 ‘‘ nnCCr r ’’ 等記法皆可使用。等記法皆可使用。

14.5 14.5 解不同物件的無重組合應用題解不同物件的無重組合應用題

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2. 2. 加法法則加法法則

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2. 加法法則（分類計算原理）

林先生欲從甲地至乙地，已知從甲地到乙地只有飛機與火車兩種交通工具可供選擇，其中飛機每天有5班，火車每天有10 班。問有多少交通班次可供林先生選擇。

設林先生只能選擇某一天的其中一種交通工具的某個班次，故共有5 + 10 = 15個交通班次可選擇。

2. 加法法則（分類計算原理）

If the things to be counted are separated into cases, the total number is the sum of the numbers in the various cases.(Niven, 1965, p.16)

• 假設從沙田到上水有火車、巴士、小巴和的士 4 種公共交通工具可供選擇，從沙田到荃灣則有巴士、小巴和的士 3 種公共交通工具可供選擇。如果林先生打算從沙田到上水或荃灣，有多少種交通工具可供選擇。

2. 加法法則（分類計算原理）

完成事件 X 有 x 種不同方法，完成事件 Y (相異於事件 X ) 有y 種不同方法，且與完成事件 X 的方法不同。則完成事件X 或 Y 共有x + y 種不同方法。(邵慰慈、潘建強，2005，頁34 – 35)

2. 加法法則（分類計算原理）

• 比較： 不相交集的和集的基數

一般情況：

• 推廣到兩個以上的事件

)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪

)()()( BnAnBAn +=∪

3. 3. 乘法法則乘法法則

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3. 乘法法則（分步計算原理）

完成事件X 有x 種不同方法，完成事件 Y (相異於事件 X )有y 種不同方法，且與完成事件 X 的方法不同。則同時完成事件 X 和Y 共有 x y 種不同方法。(邵慰慈、潘建強，2005，頁35)

3. 乘法法則（分步計算原理）

• 假設從上水到沙田有火車、巴士、小巴和的士 4 種公共交通工具可供選擇，從沙田到荃灣則有巴士、小巴和的士 3 種公共交通工具可供選擇。如果林先生打算從上水到沙田然後再轉往荃灣，問有多少種乘坐交通工具方式可供選擇。

3. 乘法法則（分步計算原理）如果要完成某件事有 2 個步驟，完成第一步驟有 x種方法，完成第二步驟有y 種方法，則完成這件事共有 xy 種方法。

台灣國立中山大學應用數學系

http://eprob.math.nsysu.edu.tw/PerComb.htm

問題

• 若以人所屬的生肖和星座分類，可分多少類？

• 若以人出生的年干支分類，可分多少類？

3. 乘法法則（分步計算原理）

如果完成某件事可依序分成 2 個步驟。設第一個步驟可用 n1 種不同方法完成。隨著每一種方法，第二個步驟可用n2 種不同方法完成。則完成這件事可有n1 n2 種不同方法完成。

44 344 212

111 ...n

nnn +++

4. 4. 排列排列

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4.1 排列的概念

• 從乘法法則到排列公式• 把 n 個不同物件排列，共有多少種可能排列

方式？

• 把 n 個相同物件排列，共有多少種可能排列方式？

• 把 n 個不同物件選取 r 個排列，共有多少種可能排列方式？

!)1)(2)...(1( nnn =−

rnPrnnn =+−− )1)...(1(

!n rn P )!( rn − rnrn P −−==

4.2 解不同物件的無重排列應用題

• 不同物件 vs. 非全部相異物件• 設從深圳到廣州每天上午 9 – 11 時有6 班上行列車，其中 4 班須為特快列車，2 班為普通列車。問有多少不同排列方式。

• 依次投擲兩個相同硬幣，有多少不同排列情況？

• 種類 (Type) vs 個例(Token) • 非全部相異物件排列公式

!!...!!

21 knnnn

!!...! 21 krn

nnnP

4.2解不同物件的無重排列應用題• 重複排列 vs. 無重排列

由n 個不同的物件中，可以重複地選取 r 個排成一列，共有多少不同的排列方式？

從1、2、3 三個數字所構成的兩位數共有多少個? 其中數字可以重複出現。

從兩個1、兩個2、兩個3 這六個數字所構成的兩位數共有多少個?

• 圓形（環形）排列、桌形排列及項圈排列

4.2解不同物件的無重排列應用題

• 圓形（環形）排列、桌形排列及項圈排列

36 P ??

233 ×P ??

4.2 解不同物件的無重排列應用題

• 題型變化• 排列 26 個字母，使得在 d 和 e 之間正好有 5 個字母，問有多少種排法？

• 10 個男孩與 5 個女孩站成一排，如果沒有 2 個女孩相鄰，問有多少種排法？

• 學習難點

• 資源及評估方法

5. 5. 組合組合

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5.1 組合的概念

• 從 n 個不同物件中，不重複且不計次序選取 r 個為一組，共有多少種可能組合方式？

• 從排列到組合及其關係

• 引入組合的符號及了解

rnnrn CC −=

!rCP rnrn ⋅=

5.2 解不同物件的無重組合應用題• 非全部相異物件的組合問題• 重複組合問題• 由 n 類不同物件中，任取 r 個為一組，其中每類物品的個數均不小於 r 且可重複選取，則稱此種組合為 n 中取 r 之重複組合，其組合數以 nHr 表之。

例：設有4款不同蛋糕，從這4款蛋糕中抽取12件組成一盒（每款蛋糕都不少於12件），問有多少不同組合方法。

例： 有多少個非負整數解。5=++ zyx

5.3 多視角考慮問題

• 從 5A 班中 35 個學生中選取 0 個至35個學生參與售旗活動，共有多少種選取方式？

3535135035 CCC +++ L 352＝＝

5.3 多視角考慮問題

• 今有十元錢幣 5 枚，五元錢幣 6 枚，二元錢幣 4 枚，分給 15 人，每人各得 1 枚。問有多少種分法。

!4!6!5!15

6!4!5!15!

!6!4!10

5!10!15!

610515

=

⋅=

⋅ CC

6. 6. 組合學及有關符號的發展組合學及有關符號的發展

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組合學及有關符號的發展

• 1766年萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz ) 引入「組合學」(combinatorics)這名稱

• 1772年范德蒙 (Alexandre-ThéophileVandermonde) 以[n]r表由 n 個不同物件中取r 個的排列數

• 1778年歐拉(Leonhard Euler )以 表由n個不同物件中取 r 個的組合數

• 十八世紀英國數學家喜歡直接寫出有關式子

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rn

組合學及有關符號的發展

• 1830年皮科克(George Peacock) – nCr• 1869年古德文(Harvey Goodwin, Cambridge) – nPr• 1872年愛廷豪森(埃汀肖森) (Andreas von

Ettingshausen)引入現今流行的組合符號

• 1880年鮑茨(Robert Potts)– nPr 、nCr• 1886年惠特渥斯 (W.A. Whitworth) –

、 、 (可重複的組合數)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛rn

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組合學及有關符號的發展

• 1899年克里斯托(George Chrystal) –

nPr、nCr、nHr (可重複排列數)• 1904年內托(Eugen Netto) – 、• 階乘： n (Thomas Jarret, 1827)、

n! (Christian Kramp,1808)

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rnC

組合學及有關符號的發展

• Earliest uses of various mathematical symbolshttp://members.aol.com/jeff570/mathsym.html

• http://www.edp.ust.hk/MATH/history/7/• 邵慰慈、潘建強 (2005)。《基礎離散數學》。台北：九章。

• Cajori, F. (1928/1993). A history of mathematical notations. New York: Dover.

完