1

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM VIOLET GIÚP SINH VIÊN

HỆ CAO ĐẲNG TIỂU HỌC KHẮC PHỤC TÌNH TRẠNG SỬ DỤNG

SAI THUẬT NGỮ, KÝ HIỆU TOÁN HỌC TRONG HỌC TẬP

HỌC PHẦN TẬP HỢP VÀ LÔGIC

Ths. Nguyễn Thị Thu Hương

Trường CĐSP Thái Nguyên

Thành viên nhóm nghiên cứu VVOB Vietnam

www.vvob.be/vietnam

nguyenhuongtn68@yahoo.com

TÓM TẮT ĐỀ TÀI

Tập hợp và lôgic là học phần được đưa vào giảng dạy đầu tiên

trong môn Toán của chương trình đào tạo giáo viên tiểu học hệ CĐSP, có

thể coi đây là cầu nối giúp SV chuyển từ việc học toán sơ cấp sang toán cao

cấp. Học tốt học phần này sẽ giúp rèn luyện tư duy lôgic và tư duy hình

thức cho sinh viên để các em có thể học tốt các học phần tiếp theo của môn

Toán. Song trong quá trình học tập sinh viên hệ CĐSP Tiểu học trường

CĐSP Thái Nguyên thường sử dụng sai thuật ngữ, ký hiệu Toán học dẫn

đến kết quả học tập học phần này còn chưa cao. Nguyên nhân của tình

trạng trên là: Hệ thống thuật ngữ và ký hiệu Toán học của học phần nhiều,

mang tính trừu tượng, khái quát cao và thời lượng dạy học của bộ môn còn

ít (30 tiết) chưa thực sự cân xứng với nội dung dạy học. Học phần Tập hợp

và lôgic của các lớp hệ CĐSP lại đang được giảng dạy chủ yếu bằng

phương pháp truyền thống với các dạng bài tập tự luận.

Thực tế dạy học cho thấy công nghệ thông tin là một công cụ hỗ

trợ rất hữu hiệu trong dạy học hiện nay. Trong đó phần mềm Violet là một

phần mềm rất thích hợp cho việc thiết kế và trình chiếu các bài tập trắc

nghiệm, bởi vì nếu sử dụng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan mà

không có sự hỗ trợ của CNTT sẽ gặp khó khăn do hạn chế về thời lượng

và sự hấp dẫn của hệ thống câu hỏi.

Việc ứng dụng phần mềm Violet thiết kế và trình chiếu các bài

tập trắc nghiệm khách quan sẽ giúp sinh viên được thường xuyên củng cố

và ôn luyện các thuật ngữ, ký hiệu toán học, gây hứng thú cho SV trong

quá trình học tập mà không mất nhiều thời gian. Qua đó sẽ giúp khắc phục

tình trạng sử dụng sai thuật ngữ, ký hiệu toán học trong việc học tập học

phần Tập hợp và lôgic và giúp nâng cao hiệu quả học tập bộ môn.

2

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi quyết định lựa chọn giải

pháp “Sử dụng các bài tập trắc nghiệm được thiết kế trong phần mềm

Violet khắc phục tình trạng sử dụng sai thuật ngữ, ký hiệu toán học, nâng

cao kết quả học tập của SV trong học tập môn Tập hợp và lôgic”

Nghiên cứu này được tiến hành trên 2 nhóm tương đương được

lựa chọn trong 2 lớp hệ cao đẳng Tiểu học năm thứ nhất trong đó nhóm

thực nghiệm là SV lớp K9C và nhóm đối chứng là sinh viên lớp K9A.

Lớp thực nghiệm được lựa chọn để thực hiện giải pháp thay thế là: “Sử

dụng các bài tập trắc nghiệm được thiết kế trong phần mềm Violet nhằm

củng cố và ôn luyện các thuật ngữ, ký hiệu toán học”. Kết quả cho thấy

tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của sinh viên. Điểm

kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm có giá trị trung bình là:7,375

cao hơn so với lớp đối chứng có giá trị trung bình 6,075. Kết quả kiểm

chứng t- test p= 0, 000006 < 0,05 cho thấychênh lệch giá trị trung bình

giữa bài kiểm tra đầu ra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là có ý

nghĩa. Mức độ ảnh hưởng là 0,99 cho thấy mức độ ảnh hưởng là lớn. Qua

đó chúng tôi thấy rằng sử dụng các bài tập trắc nghiệm được thiết kế trong

phần mềm Violet giúp khắc phục tình trạng hiểu sai thuật ngữ, viết sai ký

hiệu toán học của SV trong học tập môn Tập hợp và lôgic và giúp nâng

cao kết quả học tập của sinh viên.

GIỚI THIỆU

Nghiên cứu này được dựa trên chức năng soạn thảo bài tập trắc

nghiệm của phần mềm Violet (được viết tắt từ tiếng Anh: Visual & Online

Lesson Editor for Teacher có nghĩa là công cụ soạn thảo bài giảng trực

tuyến dành cho giáo viên). Violet là phần mềm thiết kế bài giảng có giao

diện được thiết kế trực quan và dễ dùng, ngôn ngữ giao tiếp và phần phụ

trợ đều bằng Tiếng Việt nên rất phù hợp với giáo viên không giỏi tin học và

ngoại ngữ . Một trong những điểm mạnh đáng kể của Violet so với các

phần mềm thiết kế bài giảng khác là khả năng tạo ra bài tập trắc nghiệm rất

phong phú, sinh động đặc biệt là rất đơn giản. Ví dụ trong Powerpoin ta

phải mất cả buổi mới có thể tạo ra một bài tập trắc nghiệm hoặc một bài tập

ô chữ thì đối với Violet chỉ cần vài phút là đã làm xong. Ngoài ra, Violet

hỗ trợ 6 dạng bài tập trắc nghiệm khác nhau bao gồm: Bài tập trắc nghiệm

có 1 đáp án đúng, nhiều đáp án đúng, bài tập đúng/sai, bài tập ghép đôi, bài

tập kéo thả chữ (tương tự dạng ghép đôi nhưng có thêm các phương án

nhiễu), bài tập điền khuyết và bài tập ẩn/hiện chữ. Theo PGS. TS. Nhà giáo

ưu tú Vũ Dương Thụy, nguyên Tổng biên tập NXB GD, tác giả các bộ

3

SGK Toán từ 1981-2001. “Phần mềm VIOLET là một phần mềm mở, cung

cấp cho giáo viên các tư liệu và công cụ tạo hình sinh động, giúp giáo viên

từng bộ môn thể hiện những tìm tòi, sáng tạo riêng của mình nhằm nâng

cao hiệu quả sư phạm của giờ học và đổi mới cách dạy học hiện nay…”

Vấn đề ứng dụng công nghệ thông tin nói chung và ứng dụng phần

mềm Violet nói riêng trong dạy học đã đề cập trong nhiều bài viết, đề tài

NCKH:

- Bài “Công nghệ mới với việc dạy học trong các trường Cao đẳng,

Đại học” của GS. TSKH Lâm Quang Thiệp.

- Bài “Ứng dụng phần mềm Violet trong dạy học môn Tự nhiên và

Xã hội ở tiểu học”, số chuyên đề Nghiên cứu Khoa học Giáo dục - Sở Giáo

dục Đào tạo Thừa Thiên Huế, tháng 7-2009. Nguyễn Thị Tường Vi

- Đề tài “Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học môn Toán”

của Lê Minh Cường - MS 720

- Đề tài “ Sử dụng phần mềm VIOLET làm công cụ hỗ trợ để giảng

dạy về các bài toán quỹ tích trong Hình học lớp 9 Trung học cơ sở” (Giáo

viên Bùi Đình Toàn - Trường THCS Thắng Thượng, huyện Thạch Hà, Tỉnh

Quảng Trị)

Tuy nhiên chưa có một nghiên cứu nào đề cập đến vấn đề ứng dụng

phần mềm Violet vào dạy học phân môn Tập hợp logic nhằm khắc phục

tình trạng sử dụng sai thuật ngữ ký hiệu toán học cho sinh viên. Nhưng theo

chúng tôi những giảng viên đã có quá trình giảng dạy lâu năm môn học này

thì chúng tôi thấy rằng: Tập hợp và lôgic là một môn học có hệ thống thuật

ngữ và ký hiệu Toán học nhiều, mang tính trừu tượng, khái quát cao. Thời

lượng dạy học của bộ môn còn ít chưa thực sự cân xứng với nội dung dạy

học. Vì vậy rất ít thời gian cho giáo viên thường xuyên kiểm tra và sửa lỗi

cho SV khi sử dụng sai thuật ngữ, ký hiệu toán học. Việc tuyển chọn SV

đầu vào ở nhiều khối thi khác nhau cho nên có nhiều SV còn bị rỗng kiến

thức Toán học, quên nhiều ký hiệu và thuật ngữ Toán học đã được học

trong chương trình phổ thông. Sinh viên thiếu kỹ năng tự học, tự nghiên

cứu. Học phần Tập hợp và lôgic của các lớp hệ CĐSP đang được giảng dạy

chủ yếu bằng phương pháp truyền thống với chủ yếu là các dạng bài tập tự

luận.

Trong quá trình đổi mới nội dung và phương pháp dạy học ở nhà

trường cao đẳng sư phạm, giáo trình mới nhất của học phần (cơ sở của lý

thuyết tập hợp và lôgic toán) được đưa vào cũng đã bước đầu đưa ra các

dạng bài tập trắc nghiệm thông dụng, tuy nhiên số lượng các bài tập còn ít,

chưa phong phú chưa tương xứng với nội dung kiến thức của học phần.

Hơn nữa hình thức thực hiện những dạng bài tập này là làm trên giấy. Việc

4

sử dụng các phần mềm tin học như một công cụ hỗ trợ hữu hiệu cho dạy

học bộ môn còn rất hạn chế.

Vấn đề đặt ra đối với chúng tôi là “Sử dụng các bài tập trắc nghiệm

được thiết kế trong phần mềm Violet có giúp sinh viên khắc phục tình

trạng sử dụng sai thuật ngữ, ký hiệu toán học trong việc học tập môn Tập

hợp và lôgic hay không?”

Giả thuyết nghiên cứu: “Sử dụng các bài tập trắc nghiệm được

thiết kế trong phần mềm Violet khắc phục tình trạng sử dụng sai thuật ngữ,

ký hiệu toán học của SV, nâng cao kết quả học tập của SV trong học tập

học phần Tập hợp và lôgic ”

PHƢƠNG PHÁP

a. Khách thể nghiên cứu.

Sinh viên hai lớp Cao đẳng Sư phạm Tiểu học năm thứ nhất của

Trường Cao đẳng sư phạm Thái Nguyên.

b. Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu được thực hiện tại Trường CĐSP Thái Nguyên.

Thời gian thực hiện: Năm học : 2009 – 2010 và năm học 2010 –

2011.

c.Thiết kế nghiên cứu:

Trong nghiên cứu này chúng tôi chọn thiết kế kiểm tra trước tác

động và sau tác động đối với các nhóm tương đương.

Hai nhóm sinh viên được chọn tham gia đề tài này là hai nhóm sinh

viên của 2 lớp hệ Cao đẳng Tiểu học năm thứ nhất trong đó một nhóm là

nhóm thực nghiệm, một nhóm là nhóm đối chứng. Mỗi nhóm gồm 32

em.Chúng tôi đã thực hiện bài kiểm tra trước tác động và dùng phép kiểm

chứng T- Test độc lập để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung

bình của hai lớp trước khi tác động. Kết quả được thể hiện ở bảng 1:

Bảng 1: Kiểm chứng để xác định hai nhóm tƣơng đƣơng.

Nhóm thực nghiệm Nhóm đối chứng

TBC 5,38 5, 475

p = 0, 3737

Kết quả ở bảng 1 cho thấy p = 0, 3737 > 0, 05 ta có thể kết luận sự

chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng là

không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.

5

Bảng 2: Thiết kế nghiên cứu:

Nhóm Kiểm tra trước

tác động

Giải pháp Kiểm tra sau

tác động

Nhóm thực nghiệm O1 DH có sử dụng các bài tập

trắc nghiệm

O3

Nhóm đối chứng O2 DH không sử dụng các bài

tập trắc nghiệm

O4

Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng TTest độc lập và

đo mức độ ảnh hưởng SMD.

d. Quy trình nghiên cứu.

Hoạt động ban đầu của giảng viên là tìm hiểu sai lầm khi sử dụng

thuật ngữ, ký hiệu toán học mà các em sinh viên thường mắc khi học tập

học phần Tập hợp và logic.Trên cơ sở đó xây dựng một hệ thống bài tập

trắc nghiệm ( được thiết kế trong phầm mềm Violet) nhằm củng cố các

kiến thức cơ bản gắn với các khái niệm (thuật ngữ, ký hiệu): Tập hợp,

Quan hệ hai ngôi, Ánh xạ, Lôgic.

Chúng tôi thực hiện tác động đối với nhóm thực nghiệm trong quá

trình giảng dạy 30 tiết Tập hợp và logic trên lớp Cao đẳng Tiểu học K9C.

Thời điểm thực hiện là trước khi dạy học bài mới, thay vì kiểm tra bài cũ

theo hình thức truyền thống, chúng tôi đã trình chiếu hệ thống câu hỏi, bài

tập trắc nghiệm được xây dựng kiểm tra lại những kiến thức cơ bản ( các

khái niệm, thuật ngữ, ký hiệu) và việc vận dụng các kiến thức vào giải các

bài tập đã học nhằm giúp sinh viên thêm một lần nữa củng cố các thuật

ngữ, ký hiệu đã học và cách sử dụng các thuật ngữ ký hiệu đó trong các

tình huống bài tập cụ thể. Để tăng hiệu quả của các bài tập trắc nghiệm

chúng tôi yêu cầu một số em nêu phương án đúng kèm theo lời giải thích vì

sao chọn phương án đó, sau đó yêu cầu các sinh viên khác nhận xét, rồi

mới trình chiếu đáp án.

Chẳng hạn: Sau khi sinh viên học xong phần Tập hợp và các phép

toán trên tập hợp. Với thời gian 10 phút đầu giờ chúng tôi đã sử dụng các

bài tập sau để kiểm tra sinh viên

Bài 1: Cho A = {a, b, c}.Các khẳng định sau là đúng hay sai?

6

1. a

2. {a}

3. {a} A

4. {a, b}

5. {a, b} A

Bài 2: Các cách viết sau đúng hay sai:

1. x

2. {x}

3. {x} {x}

4. {x}

5. {x}

6. {x}

Các bài tập này giúp sinh viên phân biệt rõ hai ký hiệu “ ”( thuộc)

và ký hiệu“ ” (Tâp hợp con) và hiểu sâu hơn về khái niệm tập hợp, tập

hợp con.

Bài 3: Các đẳng thức tập hợp sau đúng hay sai:

1. {1, 3, 3, 5, 3, 5, 5, 5} = {5, 1, 3}

2. {1, 2} = {1, {1}, {2}}

3. {{1, 2}, {1}} = {{1, 2, 1}, {1, 1}}

4. .

Bài tập này giúp sinh viên nắm vững bản chất của khái niệm tập hợp

bằng nhau và giúp các em nắm vững hơn cách ký hiệu tập hợp, phần tử

của tập hợp.

Bài 4: Ghép đôi các tập hợp sau với các phần tử của nó sao cho phù

hợp.

X = 2| 2 15 13 0x N x x

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Y = 3 2| 2 5 3 0x R x x x

{0, 1 3

;2 2

}

Z = 2| 6 6 1 0x R x x

{2, 3}

{

1 3;

2 2}

7

Bài tập này đòi hỏi sinh viên phải nắm được cách tìm các phần tử của

tập hợp theo cách ký hiệu tập hợp, mới có thể ghép đôi một cách chính

xác.

e. Đo lường:

Công cụ đo lường được sử dụng trong nghiên cứu này là các bài

kiểm tra tự luận trước tác động và sau tác động

Bài kiểm tra trước tác động được thực hiện khi các em bắt đầu vào

học nhằm kiểm tra lại kiến thức và khả năng sử dụng thuật ngữ, ký hiệu

toán học phần Tập hợp và các phép toán trên tập hợp. Chúng tôi thực hiện

bài kiểm tra này vì trong chương trình phổ thông các em đã được học về

tập hợp và các phép toán trên tập hợp, mục đích kiểm tra nhằm chọn ra hai

nhóm tương đương để thực hiện thực nghiệm sư phạm theo thiết kế 2.

Bài kiểm tra sau tác động được thực hiện sau khi sinh viên học xong

các chủ đề nêu trên gồm các câu hỏi tự luận (xem chi tiết phần phụ lục),

được chấm theo thang điểm 10.

Khi chấm các bài kiểm tra sau tác động chúng tôi thấy rằng các em

đã có những tiến bộ đáng kể về việc sử dụng các thuật ngữ và ký hiệu toán

học và điều đó dẫn đến việc kết quả bài kiểm tra của các em đạt cao hơn .

KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN

Khi chấm các bài kiểm tra sau tác động, cũng như trong quá trình

quan sát, theo dõi sinh viên làm các bài tập được giao, chúng tôi thấy rằng

các em đã có những tiến bộ đáng kể về việc hiểu và sử dụng đúng các thuật

ngữ và ký hiệu toán học. Chẳng hạn ở phần Tập hợp đa số các em đã khắc

phục được những sai sót thường gặp, không em nào bị nhầm lẫn ký hiệu

hợp với ký hiệu giao, chỉ có một số rất ít em nhầm lẫn giữa ký hiệu”chia

hết” với ký hiệu “chia hết cho” dẫn đến các bài tập về tập hợp hầu như các

em đều làm đúng. Tương tự như vậy ở các phần Quan hệ hai ngôi, Ánh

xạ, Lôgic đa số các em cũng khắc phục được các sai lầm phổ biến thường

gặp trước khi tác động như viết không đúng lôgic khi xét các tính chất có

thể có của một quan hệ hai ngôi, viết sai ký hiệu ảnh và tạo ảnh của ánh xạ,

viết nhầm ký hiệu các phép toán lôgic…Điều này dẫn đến việc trình bày

các bài tập ở phần này trở nên chính xác và đảm bảo lôgic hơn.

Bảng 3: Số lƣợng sinh viên sử dụng sai thuật ngữ, ký hiệu TH

Nhóm thực nghiệm Nhóm đối chứng

8

Kiểm tra trước tác động. 34/ 40 32/40

Kiểm tra sau tác động. 8/40 21/40

Việc sử dụng chính xác thuật ngữ, ký hiệu TH của các em dẫn đến

kết quả bài kiểm tra sau tác động đạt kết quả cao hơn. Kết quả đó được thể

hiện trong bảng 4:

Bảng4: So sánh giá trị trung bình

Phép

đo

Nhóm thực nghiệm

Nhóm đối chứng Giá trị p của

phép kiểm

chứng t-test

Quy mô

ảnh hưởng

Giá trị

TB

Độ lệch

chuẩn

Giá trị

TB

Độ lệch

chuẩn

Đầu

vào

5,38 1,43 5,48 1,34 0,37

Đầu ra 7,38 1,12 6,07 1,30 0,000006 0,99

Quan sát bảng 4 ta thấy giá trị trung bình điểm chênh lệch của nhóm

thực nghiệm và nhóm đối chứng ở bài kiểm tra đầu ra là 1,31 (7,38 –

6,07). Như vậy nhóm tham gia thực nghiệm có kết quả học tập cao hơn

nhóm đối chứng. Giá trị p của phép kiểm chứng t-test độc lập là 0,000006

< 0,05, cho thấy chênh lệch này đối với nhóm thực nghiệm là có ý nghĩa,

cụ thể là kết quả điểm số của nhóm thực nghiệm cao là do tác động nghiên

cứu, khả năng xảy ra ngẫu nhiên bị loại bỏ. Độ lệch chuẩn đầu ra đối với

nhóm đối chứng là 1,30, nhóm thực nghiệm là 1,12 điều đó chứng tỏ sau

khi tác động, nhóm thực nghiệm học đồng đều hơn nhóm đối chứng. Quy

mô ảnh hưởng của tác động là 0,99, theo tiêu chuẩn Cohen là mức ảnh

hưởng lớn. Kết quả được khái quát trong biểu đồ dưới đây:

Biểu đồ: So sánh giá trị trung bình

9

So sánh kết quả sau tác động của hai nhóm nghiên cứu, cùng với việc

quan sát so sánh số lượng sinh viên sử dụng đúng các thuật ngữ, ký hiệu

toán học khi làm bài kiểm tra ta có thể nhận thấy việc sử dụng các bài tập

trắc nghiệm được thiết kế trong phần mềm Violet đem lại giá trị gia tăng

đáng kể cho kết quả học tập học phần này của sinh viên.

Giả thuyết của đề tài: “Sử dụng các bài tập trắc nghiệm được thiết kế

trong phần mềm Violet khắc phục tình trạng sử dụng sai thuật ngữ, ký hiệu

toán học của SV trong học tập môn Tập hợp và lôgic” đã được kiểm chứng

Hạn chế:

Một khó khăn mà chúng tôi gặp phả i khi thiết kế các bài tập

trắc nghiệm môn Toán trong phần mền Violet là việc mộ t số các ký

hiệu Toán học bị mã hoá thành ô vuông như: , ,p ...vì vậy cũng hạn

chế đáng kể các dạng bài tập trắc nghiệm cần thiết phục vụ cho mục đích

của đề tài.

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

Mục tiêu của nghiên cứu này là đánh giá ảnh hưởng của việc ứng

dụng CNTT (phần mềm Violet) trong dạy học học phần Tập hợp và lôgic

đến việc sử dụng thuật ngữ, ký hiệu Toán học của sinh viên.

Các kết quả nghiên cứu tác động này cho thấy việc sử dụng không

chính xác thuật ngữ, ký hiệu Toán học của sinh viên đã được cải thiện đáng

kể, kết quả học tập và hứng thú học tập của sinh viên trong nhóm thực

nghiệm đã được nâng lên rõ rệt.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Trước tác động Sau tác động

5,38

7,38

5,486,07

Nhóm thực nghiệm

Nhóm đối chứng

10

Qua đó chúng tôi thấy rằng sử dụng các bài tập trắc nghiệm được

thiết kế trong phần mềm Violet đã giúp sinh viên nắm vững các khái niệm

toán học cơ bản, phân biệt chính xác và sử dụng đúng các thuật ngữ, ký

hiệu toán học, nâng cao chất lượng học tập học phần Tập hợp và lôgic.

Theo phát hiện của đề tài nghiên cứu thì sinh viên thuộc nhóm thực

nghiệm đã có sự thận trọng hơn, và bớt sử dụng tuỳ tiện, lạm dụng khi

dùng các thuật ngữ, ký hiệu Toán học. Bên cạnh đó các em cũng có hứng

thú với việc tìm hiểu phần mềm Violet và chúng tôi cũng hy vọng rằng các

em sẽ vận dụng những hiểu biết đó phục vụ cho học tập và rèn luyện

nghiệp vụ trong quá trình học tập ở nhà trường sư phạm.

Khuyến nghị:

- Chúng tôi xin khuyến nghị với nhà trường tạo điều kiện tăng cường

các trang thiết bị CNTT để việc áp dụng kết quả của đề tài được thuận lợi

hơn.

- Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng phần mềm Violet nói riêng và các

phần mềm công nghệ thông tin nói chung vào việc giảng dạy các học phần

khác của môn Toán.

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Bộ Giáo dục và Đào tạo. Dự án Việt Bỉ: “Nghiên cứu khoa học

sư phạm ứng dụng” – NXB Đại học sư phạm 2010.

[2]. Keneth H . Rosen: “Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học”

NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội 1998

[3]. Nguyễn Hữu Anh: “Toán rời rạc” NXB Giáo dục 1999

[4]. Phan H÷u Ch©n – NguyÔn TiÕn Tµi: "TËp hîp vµ l«gic, sè häc".

NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi, 1997.

[5]. TrÇn Diªn HiÓn – NguyÔn Xu©n Liªm "C¬ së lý thuyÕt tËp hîp vµ

logic To¸n". NXBGD - NXB §¹i häc s­ ph¹m 2007.

11

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1

NHỮNG SAI LẦM CỦA SINH VIÊN TRONG VIỆC SỬ DỤNG

KÝ HIỆU, THUẬT NGỮ TOÁN HỌC

1.1. Cơ sở của lý thuyết tập hợp

Mục tiêu của dạy học cơ sở lý thuyết tập hợp là làm cho sinh viên

hiểu rõ khái niệm tập hợp, quan hệ, ánh xạ, xây dựng được các ví dụ minh

họa cho mỗi khái niệm đó, nắm được các phép toán trên tập hợp và ánh xạ,

các quan hệ tương đương, thứ tự. Sinh viên có kỹ năng vận dụng các kiến

thức vào giải các bài tập trong toán học cũng như nắm được ứng dụng của

các kiến thức đó trong dạy học Toán ở Tiểu học.

1.1.1:Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Đây là nội dung học tập mà sinh viên đã được học ngay từ khi học

phổ thông và được vận dụng để biểu diễn các tập xác định của hàm số , tập

hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình... trong chương trình toán

phổ thông. Vì vậy nó không còn xa lạ đối với sinh viên, tuy nhiên trong quá

trình học tập do chủ quan và không hiểu rõ bản chất , sinh viên vẫn còn sử

dụng sai các ký hiệu toán học ở phần này. Khi học tập nội dung này sinh

viên thường mắc các sai lầm:

- Nhầm ký hiệu tập hợp và ký hiệu phần tử của tập hợp. Tập hợp

thường được ký hiệu bởi chữ in hoa còn phần tử của tập hợp được ký hiệu

bởi chữ in thường, các quy ước này tuy không khó nhưng đôi khi các em

sinh viên vẫn viết nhầm.

Ví dụ : Cho tập hợp x = {x| x chia hết cho 3}

- Sinh viên cũng thường gặp phải sai lầm khi xác định các phần tử

của tập hợp, nguyên nhân là do các em chưa chú ý đến tập xác định của các

phần tử đó. Vì vậy dẫn đến việc xác định các phép toán trên tập hợp cũng

sai theo.

Ví dụ:

1.Tập hợp A = {x Z| x \ 3} gồm các phần tử -3, -1, 1, 3. Tuy nhiên

vì các em không chú ý đến tập xác định của x là tập hợp Z nên một số em

thường xác định các phần tử là ước của 3 trong tập N tức là chỉ gồm 2 phần

tử là 1 và 3.

2. Tập hợp A = {x R | -3 < x < 2} được một số em xác định gồm

các phần tử -2, -1, 0, 1, 2 nhưng thực ra đó là cả khoảng (-3, 2) trên trục số

12

- Một số em không phân biệt được các ký hiệu biểu thị phần tử thuộc tập

hợp, tập hợp là tập hợp con của một tập hợp dẫn đến việc sử dụng không

chính xác các ký hiệu: , , , .

Ví dụ: Cho tập hợp : A = { a, b, c}. Xác định các tập hợp con của A.

Khi đó một số em sinh viên đã viết:

{a} A, {a, b} A mà đáng lẽ phải viết đúng là:{a} A, {a, b}

A

hoặc nếu sử dụng dấu thuộc thì phải viết {a} P(A), {a, b} P(A)với P(A)

là tập hợp tất cả các tập con của tập A.

- Khi học về định nghĩa tập hợp bằng nhau, sinh viên cũng hay nhầm

lẫn về khái niệm này khi giải các bài tập.

Ví dụ : Cho hai tập hợp: A = {a, b, a, a, b, c, a, a} và B = {a, b, c} thì

một số sinh viên cho rằng A và B không bằng nhau do các em chưa hiểu rõ

khái niệm hai tập hợp bằng nhau là hai tập hợp mà phần tử của tập hợp này

cũng là phần tử của tập hợp kia và ngược lại. Hoặc ngược lại đối với bài

tập cho A = {1, 2, {1}} và B = {1, 2} thì có một số em lại cho là A = B,

nhưng thực ra A B vì {1} 1 nên {1} B.

- Sử dụng nhầm lẫn giữa hai ký hiệu hợp, giao.

Ví dụ: Cho 2 tập hợp A = {x N| 2x +1 < 5 }

B = {x Z| x \ 3}

Khi đó có em sinh viên đã viết như sau:

A B = { 1}

A B = { -3, -1, 0, 1, 3}

Ở đây các em đã viết nhầm hai ký hiệu hợp, giao.

- Vì chưa học Lôgic nên khi phủ định một mệnh đề hợp, giao SV

thường phủ định không chính xác

Ví dụ: Khi phủ định mệnh đề:

x A B x A hoặc x B sinh viên thường thực hiện như

sau: x A B x A hoặc x B mà đáng lẽ các em phải phủ định

x A B x A và x B.

Sai lầm này cũng được xảy ra tương tự khi các em phủ định mệnh đề

giao. Những sai lầm ở dạng này này khiến cho các em gặp nhiều khó khăn

khi chứng minh các đẳng thức tập hợp.

13

Để khắc phục các sai lầm khó khăn của sinh viên chúng tôi đã xây

dựng các dạng bài tập trắc nghiệm tập trung vào việc xác định các phần tử

của tập hợp, xác định các tập con của tập hợp, các dạng bài tập giúp các em

phân biệt được chính xác các khái niệm cơ bản như tập hợp con, tập hợp

bằng nhau, tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp...

1.1.2.Quan hệ hai ngôi.

Khác với phần tập hợp, đây là nội dung mà học sinh chưa được học

ngay ở trường phổ thông, mặt khác đây là phần kiến thức mang tính trừu

tượng cao, đòi hỏi khả năng tư duy hình thức cho nên sinh viên gặp nhiều

khó khăn khi tiếp thu các khái niệm cơ bản cũng như vận dụng các khái

niệm đó vào giải các bài tập.

Ở nội dung này sinh viên thường gặp khó khăn khi tìm hiểu về định

nghĩa quan hệ hai ngôi. Khó thiết lập được tập hợp tương ứng với quan hệ

hai ngôi giữa hai tập hợp (hay quan hệ hai ngôi trên một tập hợp).

Ví dụ: Khi sinh viên phải xét xem quan hệ “bằng nhau” trên tập hợp

X bất kỳ có là quan hệ 2 ngôi hay không thì một số sinh viên không xác

định tập hợp S tương ứng vì vậy không thể chứng tỏ được quan hệ S là một

quan hệ hai ngôi. Một số em lại xác định S = {(0, 0), (1, 1)...} xác định như

vậy không đúng vì ở đây tập X là tập bất kỳ chứ không phải là tập số tự

nhiên N. Tương tự như vậy với những quan hệ “song song” hoặc “vuông

góc” trên tập hợp các đường thẳng trong mặt phẳng.

Sinh viên cũng mắc sai lầm khi xét các tính chất thường gặp của một

quan hệ hai ngôi .

Ví dụ: 1.Khi xét quan hệ “ không nguyên tố cùng nhau” trên N một

số sinh viên đã cho rằng UCLN (a, a) = a nên a không nguyên tố cùng nhau

với a vì vậy đã kết luận quan hệ này có tính chất phản xạ , nhưng các em đã

bỏ sót trường hợp a = 1 khi đó UCLN (a, a) =1 tức là a nguyên tố cùng

nhau với a vì vậy quan hệ này không có tính chất phản xạ.

2. Khi xét quan hệ “chia hết” trên tập hợp Z* một số sinh viên cho

rằng quan hệ này có tính chất phản đối xứng vì với mọi x, y Z nếu x \ y

và y\ x thì x = y, tuy nhiên ở đây có thể suy ra x = y vậy quan hệ này

không có tính chất phản đối xứng.

Ở phần quan hệ tương đương học sinh cũng gặp khó khăn khi áp

dụng định nghĩa để xét quan hệ 2 ngôi có là quan hệ tương đương hay

không.

Ví dụ: Cho quan hệ hai ngôi trên tập hợp X các điểm của mặt

phẳng xác định như sau: M N M, N, O thẳng hàng (O X). Quan hệ

14

được nhiều sinh viên khẳng định là một quan hệ tương đương vì thỏa

mãn cả 3 tính chất theo định nghĩa: thỏa mãn tính chất phản xạ là M M

vì O, M luôn thẳng hàng, tuy nhiên ở đây các em đã mắc sai lầm là nếu M

O thì O, M không chỉ nằm trên một đường thẳng mà nằm trên vô số

đường thẳng nên tính chất phản xạ không thỏa mãn. Quan hệ này sẽ thỏa

mãn tính chất phản xạ nếu O X.

SV cũng gặp khó khăn khi tìm lớp tương đương của một phần tử và

xác định tập thương.

Ví dụ: Trên tập hợp Z các số nguyên xét quan hệ tương đương

“đồng dư modun 3”. Tìm lớp tương đương của [0] = {..., -6, -3, 0, 3, 6,...}

thì đa số các em tìm đúng nhưng khi yêu cầu tìm lớp tương đương của 1, 2

thì nhiều em đã làm như sau:

[1] = { ....,- 7, -4, -1, 1, 4, 7,...}

[2] = { ....- 8, -5, -2, 2, 5, 8,...}

Cả hai tập hợp trên đều sai ở các phần tử mang dấu âm, nguyên nhân

là do các em nhầm lẫn là -1 chia 3 dư 1 nhưng thực ra – 1 chia cho 3 phải

dư 2. Tương tự như vậy -2 chia cho 3 thì dư 1. Do vậy hai tập hợp trên phải

được sửa lại là:

[1] = { ....,- 8, -5, -2, 1, 4, 7,...}

[2] = { ....- 7, -4, -1, 2, 5, 8,...}

Đối với nhiều quan hệ tương đương học sinh khó khi xác định các

lớp tương đương.

Ví dụ: Quan hệ tương đương “ ” xác định trên Z xN* sao cho (a, b)

(c, d) ad = bc với mọi (a, b), (c, d) Z xN* hoặc quan hệ tương đương

T xác định trên NxN thỏa mãn (a, b) T(c, d) a + d = b + c, đối với những

quan hệ tương đương này khi yêu cầu xác định tập thương thì có khá nhiều

em không xác định được, nguyên nhân của tình trạng này là do các em

chưa hiểu được bản chất của các khái niệm lớp tương đương, tập thương vì

các khái niệm này là khá trừu tượng với các em.

Ở nội dung quan hệ thứ tự học sinh cũng gặp khó khăn tương tự khi

xét một quan hệ hai ngôi có là quan hệ thứ tự, quan hệ thứ tự toàn phần hay

không.

Ví dụ:

1. Khi xét quan hệ hai ngôi T trên R thỏa mãn: x T y x2 y

2

nhiều em sinh viên đã chứng minh quan hệ này là một quan hệ thứ tự trên

R, tuy nhiên quan hệ này không thỏa mãn tính chất phản đối xứng vì từ x2

15

y2 và y

2 x

2 ta chỉ suy ra được x

2 = y

2 tức là x = y, chứ không suy ra

được x= y.

2. Sinh viên cũng hay nhầm lẫn giữa quan hệ “chia hết” (ký hiệu “ \”

với quan hệ “chia hết cho” ( ký hiệu ”) dẫn đến các sai lầm khi xác định

các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu của một tập hợp với các

quan hệ này.

Ví dụ: Cho N* cùng với quan hệ thứ tự “ ” và tập hợp A = {1, 2, 5,

7, 35, 70}. Tìm phần tử lớn nhất, bé nhất của A.

Ở ví dụ này đa số các em đều xác định phần tử bé nhất là 1 và phần

tử lớn nhất là 70. Nhưng thực ra 70 lại là phần tử bé nhất, còn 1 mới là

phần tử lớn nhất. Sai lầm này xảy ra do 2 nguyên nhân, thứ nhất do các em

nhầm lẫn quan hệ này với quan hệ “chia hết”( với ký hiệu “\”), thứ hai là do

các em chủ quan không thử lại các điều kiện của định nghĩa. Ở ví dụ này

các em cần xét như sau:

a A là phần tử nhỏ nhất nếu a x với x A a = 70

a A là phần tử lớn nhất nếu x a với x A a = 1

Một sai lầm nữa mà sinh viên cũng thường mắc đó là hiểu sai ký

hiệu của quan hệ thứ tự “ ” ở dạng tổng quát với quan hệ thứ tự “ ” thông

thường trên các tập hợp số dẫn đến việc giải sai các bài tập.

Ví dụ: Bài tập: Cho tập hợp X = {1, 3, 9, 18, 36}. Gọi là quan hệ

“chia hết” trên X. CM là một quan hệ thứ tự.

Ở bài tập này nhiều em sinh viên đã đi chứng minh quan hệ thông

thường trên X là quan hệ thứ tự.

Khi giải các bài tập về tìm phần tử lớn nhất, bé nhất, tối đại, tối tiểu

sinh viên cũng gặp nhiều khó khăn. Khó khăn đầu tiên mà các em gặp phải

là việc hiểu được định nghĩa của phần tử tối đại và phần tử tối tiểu và phân

biệt được các định nghĩa này với định nghĩa phần tử lớn nhất, bé nhất. SV

thường mắc sai lầm khi giải các bài tập ở dạng này:

Ví dụ : 1. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4} với quan hệ “chia hết” . Tập

hợp A có phần tử bé nhất là 1 và không có phần tử lớn nhất, nhưng nó lại

có 2 phần tử tối đại đó là 3 và 4. Tuy nhiên có nhiều sinh viên cho rằng tập

hợp A không có phần tử tối đại.

2. Cho tập hợp X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} và quan hệ thứ tự “chia hết”.

SV đã tìm được phần tử tối đại là 40 và phần tử tối tiểu là 2, tuy nhiên phần

tử tối tiểu ở đây còn một phần tử nữa là 5.

16

Đối với các quan hệ thứ tự trên các tập hợp khác sinh viên cũng gặp

khó khăn khi tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu.

Trong quá trình xây dựng các bài tập trắc nghiệm chúng tôi đã đưa

vào các dạng bài tập nhằm giúp sinh viên hiểu rõ và nắm chắc định nghĩa

đồng thời cố gắng đưa các tình huống mà các em hay mắc sai lầm vào các

dạng bài tập trắc nghiệm, đó là các dạng bài tập xác định các tính chất theo

định nghĩa, các dạng bài tập xác định lớp tương đương, tập thương của một

quan hệ tương đương, xác định các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối

tiểu của một quan hệ thứ tự...

1.1.3: Ánh xạ:

Khi học phần định nghĩa ánh xạ, các sinh viên thường gặp khó khăn

khi nhận biết một tương ứng có là ánh xạ hay không. Chẳng hạn với những

ánh xạ có nhiều hơn một phần tử có chung một ảnh (Ánh xạ f: R -> R xác

định bởi f(x) = x2 có các phần tử đối có chung một ảnh thì có em cho rằng

đó không phải là ánh xạ.

Một sai lầm rất phổ biến của sinh viên khi viết ảnh, tạo ảnh của một

phần tử bởi một ánh xạ.

Ví dụ: Cho ánh xạ f: Z -> Z

x 3x - 5

Tìm f(-1), f(- 5), f-1

(-1), f-1

(-5).

Ở dạng bài này sinh viên thường hay viết nhầm giữa các ký hiệu f(-

1), với f-1

(-1)

Các em cũng thường xác định sai tạo ảnh toàn phần của một phần tử

khi đó là tập hợp rỗng

Ví dụ: Cho ánh xạ f: Z -> Z

x 3x - 5

Khi đó f-1

(-1) = {x Z| 3x – 5 = -1}

= {x Z| x = 4/3}

=

Nhưng khi đó một số sinh viên viết là: f-1

(-1) = {4/3}

Một số sinh viên cũng gặp khó khăn khi đi tìm ảnh, tạo ảnh toàn

phần của một tập hợp (mà tập hợp đó là một khoảng hay đoạn trên trục số)

17

và các em thường đi tính ảnh hoặc tạo ảnh của 2 điểm đầu mút, nhưng

trong một số trường hợp cách làm này dẫn đến kết quả sai.

Ví dụ: Cho ánh xạ f: R - > R

x 2 3 1x x

Cho A = [-1, 2]. Tìm f(A)

Với bài này sinh viên thường đi tìm f(-1) = 5 và f(2) = -1 và kết luận

f(A) = [-1, 5] nhưng đây là một kết quả sai vì hàm số y không đơn điệu

trong [-1, 2]. Muốn làm đúng các em cần phải tính cực trị của hàm số trên

là điểm (3/2; -5/4) và tìm được f(A) = [-5/4; 5]

Sinh viên cũng gặp khó khăn khi xét một ánh xạ có là đơn ánh, toàn

ánh, song ánh. Một số em thường viết sai khi chứng minh một ánh xạ là

đơn ánh.Chẳng hạn khi phải viết f(x1) f(x2) thì lại viết thành:

f(3x1-5) f(3x2- 5).

Khi xét một ánh xạ là đơn ánh , toàn ánh đáng lẽ phải chứng minh

trong trường hợp tổng quát thì một vài em lại xét một số ví dụ cụ thể để

khẳng định (điều này chỉ thực hiện khi ánh xạ đó không là đơn ánh, toàn

ánh)...

Trong quá trình thiết kế các bài tập trắc nghiệm chúng tôi cố gắng

chọn ra các sai lầm thường mắc của các em để thiết kế các bài tập nhằm

giúp các em khắc phục các sai lầm đó.

1.2: Cơ sở lôgic Toán:

1.2.1: Lô gic mệnh đề

Nội dung dạy học Lôgic mệnh đề giúp sinh viên nắm được những

kiến thức về khái niệm về mệnh đề và các phép toán Lôgic, các phép suy

luận thường gặp và các phép chứng minh toán học cũng như việc vận dụng

các phép suy luận và chứng minh vào dạy học Toán ở Tiểu học.Sau khi học

xong sinh viên phải rèn được các kỹ năng phân tích cấu trúc của các mệnh

đề và xác định được giá trị chân lý của nó, vận dụng các phép tương đương

lôgic vào chứng minh các công thức.

Ở phần này tuy các kiến thức không trừu tượng như ở phần quan hệ

hai ngôi, đa số các em sinh viên tiếp thu tốt các kiến thức này, tuy nhiên

một số sinh viên vẫn có những sự nhầm lẫn trong quá trình học tập.

Ví dụ : Khi học khái niệm mệnh đề sinh viên có thể mắc

những sai lầm sau:

18

- Cho rằng câu sai không là mệnh đề, chẳng hạn cho rằng câu: “Số 4

là số nguyên tố” không là mệnh đề. Thực ra một câu phản ánh tính đúng

hay sai của thực tế khách quan đều là mệnh đề.

- Các định nghĩa toán học không là mệnh đề, tuy nhiên rất nhiều em

cho rằng đó là các mệnh đề Toán học vì đọc lên thì cảm thấy rằng đó là các

câu đúng, chẳng hạn câu: “ Quan hệ tương đương là một quan hệ hai ngôi

thỏa mãn đồng thời 3 tính chất: Phản xạ, đối xứng và bắc cầu” thì đa số các

em đều cho rằng đó là mệnh đề.

- Có một số câu như: + Trời nắng nóng

+ 12 giờ trưa nay tôi đang ở Hà Nội

+ Sinh viên năm thứ nhất đang tập quân sự

là các mệnh đề mở mà giá trị đúng sai của nó phụ thuộc vào những điều

kiện nhất định. Khi gặp những câu này nhiều sinh viên thường lúng túng

không biết nó có là mệnh đề hay không.

- Khi học về các phép toán lôgic các em cũng gặp một số sai sót khi

lập mệnh đề phủ định của một số mệnh đề, chẳng hạn sinh viên thường phủ

định mệnh đề “ 2 là số tự nhiên lớn hơn 3” là mệnh đề “2 là số tự nhiên nhỏ

hơn 3” mà thực ra phải phủ định là “ 2 là số tự nhiên không lớn hơn 3” hay

“ 2 là số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 3”.

- Các em còn nhầm lẫn giữa hai ký hiệu hội “ ” và tuyển “ ” dẫn

đến việc thành lập sai các mệnh đề hội, tuyển.

- Khi học về tuyển của hai mệnh đề, đôi khi sinh viên còn xác định

sai giá trị chân lý của mệnh đề tuyển khi một trong hai mệnh đề thành phần

là mệnh đề sai. Chẳng hạn: Mệnh đề “ 2 là số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng

3” thì một số em cho rằng đây là mệnh đề sai nhưng thực ra đây là một

mệnh đề đúng vì nó là tuyển của một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

- Khi xét giá trị chân lý của các mệnh đề kéo theo cũng có một số

sai lầm thường xảy ra, vì mệnh đề kéo theo các em thường gặp là các định

lý toán học trong chương trình toán phổ thông, đó là các mệnh đề mà cả

tiền đề và kết luận đều đúng nên khi gặp các mệnh đề kéo theo mà cả tiền

đề và kết luận cùng sai, hoặc tiền đề sai, kết luận đúng thì các em cho rằng

đó là mệnh đề sai, chẳng hạn khi gặp mệnh đề “ Nếu 2 là số lẻ thì 2 là số

nguyên tố ” , hay mệnh đề “ Hình chữ nhật có một góc nhọn nếu tổng các

góc trong của nó nhỏ hơn 360 độ”.

- Những sai lầm tương tự cũng xảy ra khi sinh viên giá trị chân lý

của các mệnh đề tương đương, chẳng hạn mệnh đề “ 4 là số lẻ khi và chỉ

19

khi 4 là số nguyên tố” cũng là một mênh đề đúng mà đôi khi sinh viên

cũng xác định là sai.

- Một trong những khó khăn mà một số sinh viên cũng gặp phải đó là

việc xác định các mệnh đề liên hợp của một mệnh đề và đi tìm giá trị chân

lý của các mệnh đề đó.

- Khi học về các đẳng thức lôgic và áp dụng các đẳng thức này vào

các phép biến đổi đồng nhất để rút gọn hoặc chứng minh công thức sinh

viên cũng gặp nhiều khó khăn vì các biến đổi lôgic cũng như các công thức

tương đương các em chưa quen thuộc như biến đổi đại số. Mặt khác các em

cũng chưa linh hoạt trong việc áp dụng các công thức De Moogan vào việc

tìm mệnh đề tương đương với mệnh đề phủ định của hội, tuyển của các

mệnh đề. Chẳng hạn mệnh đề “ một số chia hết cho 6 nếu nó chia hết cho 2

và cho 3 ” tương đương lôgic với mệnh đề “Một số không chia hết cho 6

nếu nó không chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3” nhưng một số em

lại cho rằng nó tương đương lôgic với mệnh đề “Một số không chia hết cho

6 nếu nó không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3” là mệnh đề sai.

Đa số các em gặp khó khăn khi chứng minh sự tương đương của hai

công thức bằng biến đổi đồng nhất và thường mắc sai lầm khi biến đổi

tương đương các công thức đó vì các em chưa nắm vững các công thức

tương đương cơ bản. Vì vậy chúng tôi cũng xây dựng một số các bài tập

trắc nghiệm giúp các em nắm vững các công thức đó.

PHỤ LỤC 2

Bài kiểm tra trƣớc tác động

Thời gian làm bài: 45 phút

Câu 1: (3 điểm)

Hãy viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các

phần tử:

A = {0, 2, 4, 6, 8,......}

B = {..., -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}

C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}

Câu 2: (2 điểm)

Giả sử A = {1, {1}, {2}}. Hãy chỉ ra các khẳng định đúng trong số các

khẳng định dưới đây.

20

a)

b) {1}

c) {1} A

d) {{1}

e) {{2}} A

f) {2}

Câu 3:(2 điểm)

Cho các tập con của tập hợp số nguyên Z. Hãy xét quan hệ bao

hàm giữa các tập hợp đó.

A = { 2n | n B = { 4n | n

C = { 8n | n D = { 3n | n

E = { 6n | n F = { 9n | n

Câu 4: (3 điểm)

Cho 2 tập hợp:

A = {x

B = { x

a) Hãy xác định các tập hợp A

b) Hãy xác định tập hợp P(A), P(B)

Bài kiểm tra sau tác động

Thời gian làm bài: 45 phút

Câu 1:(2 điểm)

Cho A = {x

B = {x

a) Hãy xác định các tập hợp A

b) Hãy xác định tập hợp P(A), P(B)

Câu 2:

a)Trên tập hợp N*

xét quan hệ “Chia hết cho” . Chứng minh rằng

quan hệ này là một quan hệ thứ tự trên N*

b) Cho A = {3,9,27,84, 252,756}

Hãy xác định phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu của A nếu:

- Quan hệ thứ tự trong A là quan hệ “chia hết”

- Quan hệ thứ tự trong A là quan hệ “chia hết cho”.

21

Câu 3:

Cho ánh xạ f: R ->R

X

a) Cho A = [-2, 1]. Hãy tìm f(A), f-1

(f(A))

b) Ánh xạ f có là đơn ánh, toàn ánh, song ánh không? Tại sao?

Câu 4:

Hãy thiết lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và tìm giá trị

chân lý của chúng.

1)

2) 3

3)

4) : > 1

Câu 5: Chứng minh rằng:

(p

PHỤ LỤC 3

Một số bài tập trắc nghiệm được thiết kế trong phần mềm Violet.

Ghi chú: Chúng tôi in ra một số bài tập trắc nghiệm và sẽ gửi cả file

BT TRACNGHIEM theo đường Email cho quý vị theo địa chỉ Email của

quý vị.