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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBACENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA NATUREZA

COORDENACAO DO CURSO DE POS-GRADUACAO EM FISICA

Tese de Doutoramento em Fısica

Fases Geometricas, Quantizacao de Landau

e Computacao Quantica Holonomica para Partıculas

Neutras na Presenca de Defeitos Topologicos

Autor: Knut Bakke Filho

Orientador: Claudio Furtado

Joao Pessoa2009

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBACENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA NATUREZA

COORDENACAO DO CURSO DE POS-GRADUACAO EM FISICA

Tese de Doutoramento em Fısica

Fases Geometricas, Quantizacao de Landau

e Computacao Quantica Holonomica para Partıculas

Neutras na Presenca de Defeitos Topologicos

Knut Bakke Filho

Tese de Doutoramento realizada sob a orientacao do prof. Dr. Claudio Furtado eapresentada ao Departamento de Fısica em complementacao aos requesitos para

obtencao do tıtulo de Doutor em Fısica.

Joao Pessoa2009

Aos meus pais Knut e Lea.

Agradecimentos

Quero agradecer inicialmente ao professor Claudio Furtado pela confianca depositadaem mim e por estar sempre presente no desenvolvimento deste trabalho, diposto a discutire tirar cada duvida minha. Sua visao cientıfica, postura e empenho em participar e ajudaros alunos sao exemplos que quero seguir em minha carreira profissional.

Quero agradecer ao grupo de Teoria de Campos e Partıculas ao qual participei e pudeassistir seminarios e discussoes que acrescentaram em muito em minha formacao. Queroagradecer tambem a pos-graduacao pelos mini-cursos e coloquios oferecidos durante meuperıodo inscrito no curso.

Quere agradecer ao professor Fernando Moraes, Carlos Romero, Eugenio e Inacio, aosquais pude sempre contar com o apoio para tirar duvidas essenciais no desenvolvimentodeste e outros trabalhos, alem de ter tido bons momentos de conversar sobre temas naorelacionados ao trabalho. Quero agradecer ao professor Petrov que sempre nos ajudoufazendo a revisao ortografica de nossos artigos, alem de participara no desenvolvimentode um de nossos trabalhos.

Quero agradecer ao companherismo de meus amigos Lincoln, Eduardo, Mauro Cabrunco,Marcelo (Mib), Jannaıra, Marco Aurelio, Jilvan e muitos outros que sempre estiveram pre-sentes para discutir e tirar duvidas, bem como nos maus momentos (quando a conta daerrado ou artigo e rejeitado) quanto nos bons momentos (quando uma conta da certo ouum artigo e publicado), alem das cachacas, e claro. Quero agradecer a Seu Mariano (SeuMama) por sempre estar em sua cantina com alegria fazendo nosso cafezinho.

Quero fazer tambem um agradecimento incomum, mas que deve ser manisfestado.Quero agradecer ao referee do artigo que escremos sobre a quantizacao de Landau. Gracasa sua crıtica pudemos ter a ideia de fazer a quantizacao relativıstica de Landau parapartıculas neutra, o que nos gerou dois novos trabalhos.

Quero agradecer a minha noiva Roberta por ter me dado apoio e aguentado nessesanos, alem de fazer todas as figuras inseridas nesta Tese. Quero tambem agradecer muitominha famılia que sempre me deu suporte em todos os momentos.

Quero agradecer ao CNPq pelo apoio finaceiro concedido durante meu doutorado.

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Resumo

Neste trabalho estudamos inicialmente o surgimento de fases geometricas nas dinamicasquanticas relativıstica e nao-relativıstica de uma partıcula neutra que possui momento dedipolo magnetico e eletrico permanente interagindo com campos eletricos e magneticos ex-ternos na presenca de defeitos topologicos lineares. Para descrevermos defeitos topologicoslineares usamos a aproximacao proposta por Katanaev e Volovich, onde defeitos linearesem solidos sao descritos por elementos de linha que sao solucoes das equacoes de Einsteinno contexto da relatividade geral. Analisamos tambem a influencia de efeitos nao-inerciaisna dinamica quantica de uma partıcula neutra em dois tipos distintos de referenciais paraos observadores: um e o referencial de Fermi-Walker e outro e um referencial girante.Vemos que a diferenca entre dois referenciais esta na presenca/ausencia de efeitos de ar-rasto do espaco-tempo que ira influenciar diretamente na mudanca de fase na funcao deonda da partıcula neutra. Em seguida, usamos nosso estudo de fases geometricas parafazer aplicacoes na Computacao Quantica Holonomica onde mostramos uma nova maneirade implementar a Computacao Quantica Holonomica atraves da interacao entre momen-tos de dipolo e campos externos e pela presenca de defeitos topologicos lineares. Outraaplicacao para a Computacao Quantica Holonomica esta baseada na estrutura de defeitostopologicos em um material chamado grafeno. Na presenca de defeitos topologicos lin-eares, esse material apresenta duas fases quanticas de origens distintas: uma da misturados pontos de Fermi e outra da topologia do defeito. Para dar uma descricao geometricapara a origem de cada fase no grafeno usamos a Teoria de Kaluza-Klein, onde a dimensaoextra sugerida por esta teoria descreve os pontos de Fermi no grafeno. Portanto, a imple-mentacao da Computacao Quantica Holonomica no grafeno esta baseada na possibilidadede construir cones e anticones de grafite de tal maneira que se possa controlar os fluxosquanticos no grafeno. Na ultima parte deste trabalho estudamos a quantizacao de Lan-dau para partıculas neutras tanto na dinamica nao-relativıstica quanto na dinamica rela-tivıstica. Na dinamica nao-relativıtica, estudamos a quantizacao de Landau na presencade defeitos em um referecial inercial e, em seguida, em um referencial nao-inercial. Nadinamica relativıstica, estudamos inicialmente a quantizacao de Landau no espaco-tempoplano em duas configuracoes de campos diferentes. Por fim, estudamos a quantizacao deLandau relativıstica para partıculas neutras no espaco-tempo da deslocacao cosmica.

Palavras Chaves: Fases geometricas; defeitos topologicos; espaco-tempo curvo; espaco-tempo curvo e com torcao; computacao quantica holonomica; quantizacao de Landau;efeito Aharonov-Casher; efeito He-McKellar-Wilkens; Efeito Mashhoon, Efeito Sagnac;fases quanticas de Anandan; referenciais locais; referenciais de Fermi-Walker; referen-ciais girantes; equacao de Dirac; aproximacao de Foldy-Wouthuyssen; spinores; grafeno;Teoria de Kaluza-Klein.

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Abstract

We start this work studying the appearance of geometric quantum phases as in the rel-ativistic as in the non-relativistic quantum dynamics of a neutral particle with permanentmagnetic and electric dipole moment which interacts with external electric and magneticfields in the presence of linear topological defects. We describe the linear topologicaldefects using the approach proposed by Katanaev and Volovich, where the topologicaldefects in solids are described by line elements which are solutions of the Einstein’s equa-tions in the context of general relativity. We also analyze the influence of non-inertialeffects in the quantum dynamics of a neutral particle using two distinct reference framesfor the observers: one is the Fermi-Walker reference frame and another is a rotating frame.As a result, we shall see that the difference between these two reference frames is in thepresence/absence of dragging effects of the spacetime which makes its influence on thephase shift of the wave function of the neutral particle. In the following, we shall use ourstudy of geometric quantum phases to make an application on the Holonomic QuantumComputation, where we shall show a new approach to implement the Holonomic Quan-tum Computation via the interaction between the dipole moments of the neutral particleand external fields and the presence of linear topological defects. Another applications forthe Holonomic Quantum Computation is based in the structure of the topological defectsin graphene layers. In the presence of topological defects, a graphene layer shows twodistinct phase shifts: one comes from the mix of Fermi points while the other phase shiftcomes from the topology of the defect. To provide a geometric description for each phaseshift in the graphene layer, we use the Kaluza-Klein theory where we establish that theextra dimension describes the Fermi points in the graphene layer. Hence, we can imple-ment the Holonomic Quantum Computation through the possibility to build cones andanticones of graphite in such way we can control the quantum fluxes in graphene layers.In the last part of this work, we study the Landau quantization for neutral particles as inthe relativistic dynamics and non-relativistic dynamics. In the non-relativistic dynamics,we study the Landau quantization in the presence of topological defects as in an inertialas in a non-inertial reference frame. In the relativistic quantum dynamics, we start ourstudy with the Landau quantization in the Minkowisky considering two different gaugefields. At the end, we study the relativistic Landau quantization for neutral particles inthe Cosmic Dislocation spacetime.

Keywords: Geometric phases; topological defects; curved spacetime; cuverd space-time with torsion field, holonomic quantum computation; Landau quantization; Aharonov-Casher effect; He-McKellar-Wilkens effect; Mashhoon effect; Sagnac effect; Anandanquantum phases; local reference frame; Fermi-Walker reference frame; rotating frames;Dirac equation; Foldy-Wouthuyssen approach; spinors; graphene; Kaluza-Klein Theory.

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Prefacio

O objetivo do trabalho desenvolvido nesta Tese de Doutorado e estudar o surgi-mento de fases quanticas geometricas tanto na dinamica quantica relativıstica quantona dinamica quantica nao-relativıstica de uma partıcula neutra na presenca de defeitostopologicos, a implementacao da computacao quantica holonomica para partıculas neu-tras usando fases geometricas quanticas e por fim estudar a quantizacao de Landau parapartıculas neutras na presenca de defeitos tanto no caso relativıstico quanto no nao-relativıstico.

Essa Tese de Doutorado esta dividida em tres partes: a primeira parte e dirigida para oestudo de fases geometricas quanticas na dinamica quantica de uma partıcula neutra commomentos de dipolo magnetico e eletrico permanentes interagindo com campos eletrico emagnetico externos na presenca de defeitos topologicos. Inciaremos com uma introducaoenfatizando o contexto historico do desenvolvimento dos estudos sobre fases geometricas.O capıtulo 1 destina-se para um breve introducao a defeitos topologicos, conceitos degoemetria diferencial e relatividade geral que serao os alicerces de nosso estudo. O capıtulo2 destina-se a uma breve introducao sobre a dinamica quantica relativıstica de partıculasneutras com momentos de dipolo magnetico e eletrico permanentes interagindo com umcampo eletomagnetico externo e a aproximacao de Foldy-Wouthuyssen para o limite nao-relativıstico da equacao de Dirac. Nos capıtulos 3, 4 e 5 estao nossos estudos sobre fasesgeometricas quanticas na presenca de defeitos. No capıtulo 3 estudaremos o surgimento defases geometricas diante do espaco-tempo da corda cosmica. No capıtulo 4 estudaremos osurgimento de fases geometricas diante de um espaco-tempo que possui curvatura e ha apresenca de torcao que e conhecido como dislocacao cosmica. No capıtulo 5 estudaremoso surgimento de fases geometricas em referenciais nao-inercias, mas com o espaco-temposendo o da corda cosmica.

Na segunda parte da Tese abordaremos a implementacao da computacao quanticaholonomica para partıculas neutras na presenca de defeitos topologicos. Iniaremos essaparte da Tese com uma introducao enfatizando o contexto historico do desenvolvimento dacomputacao quantica holonomica e sua implementacao. Os capıtulos 6 e 7 mostraremosnossos estudos sobre a implementacao da computacao quantica holonomica. No capıtulo 6mostraremos a implemeantacao da computacao quantica holonomica para partıculas neu-tas interagindo com campos externos na presenca de defeitos. No capıtulo 7 mostraremosuma visao geometrica para os fluxos quanticos no grafeno devido a presenca defeitosatraves da Teoria de Kaluza-Klein e, em seguinda, discutiremos a implementacao da com-putacao quantica holonomica no grafeno usando esses fluxos quanticos.

Na terceira parte da Tese discutiremos a quantizacao de Landau para partıculas neu-

iv

tras na presenca de defeitos topologicos. Iniciaremos a terceira parte da Tese com uma in-troducao sobre a quantizacao de Landau para partıculas carregadas e para partıculas neu-tras. Nos capıtulos 8, 9 e 10 mostraremos nossos resultados. No capıtulo 8 comecaremosestudando a quatizacao de Landau para partıculas neutras no limite nao-relativıstico napresenca de defeitos topololigos. No capıtulo 9, estudaremos a quanztizacao de Lan-dau para partıculas neutras no caso relativıtico tanto na ausencia quanto na presenca dedefeitos topologicos.

Por fim, mostraremos nossas conclusoes e as perspectivas deste trabalho. Durante odesenvolvimento desta Tese de Doutoramento, tivemos varios colaboradores e novamentedeixamos nossos agradecimentos por esses trabalhos em conjunto. Nossos trabalhos foramdivulgados com as seguintes publicacoes:

1. K. Bakke, J. R. Nascimento and C. Furtado, Geometric phase for a neutral particlein the presence of a topological defect, Phys. Rev. D 78, 064012 (2008); arXiv:hep-th/0803.3428.

2. K. Bakke, J. R. Nascimento and C. Furtado, Gravitational geometric phase in thepresence of torsion, Eur. Phys. J. C 60, 501 (2009); 64, 169 (2009).

3. K. Bakke and C. Furtado, Scalar Aharonov-Bohm effect in the presence of a Topo-logical Defect, preprint.

4. K. Bakke and C. Furtado, Abelian Geometric Phase for a Neutral Particle due thepresence of Topological Defects, preprint.

5. K. Bakke and C. Furtado, Geometric phase for a neutral particle in rotating framesin a cosmic string spacetime, Phys. Rev. D 80, 024033 (2009).

6. K. Bakke and C. Furtado, Anandan Quantum Phase for a neutral particle withFermi-Walker reference frame in the cosmic string background, preprint.

7. K. Bakke and C. Furtado, Holonomic quantum computation with Aharonov-Cashersetup in the presence of topological defects, preprint.

8. K. Bakke and C. Furtado, Holonomic quantum computation with Anandan quantumphase for neutral particles and linear topological defects, preprint.

9. K. Bakke and C. Furtado, Holonomic quantum computation for electric dipole,preprint.

10. K. Bakke, A. Yu. Petrov and C. Furtado, Kaluza-Klein theory in graphene, preprint.

11. K. Bakke, C. Furtado and S. Sergeenkov, Holonomic quantum computation associ-ated with a defect structure of conical graphene, EPL 87, 30002 (2009).

12. K. Bakke, L. R. Ribeiro, C. Furtado and J. R. Nascimento, Landau quantizationfor a neutral particle in presence of topological defects, Phys. Rev. D 79, 024008(2009); arXiv:hep-th/0810.3885.

13. K. Bakke and C. Furtado, Bound States for Neutral Particle in a Rotating Framein the Cosmic String Spacetime, preprint.

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14. K. Bakke and C. Furtado, Relativistic Landau quantization for a neutral particle,Phys. Rev. A 80, 032106 (2009); arXiv:quant-ph/0902.1474.

15. K. Bakke and C. Furtado, Relativistic Landau-Aharonov-Casher quantization intopological defects spacetime, aceito para publicacao no Int. J. Mod. Phys. D(2009).

Outros trabalhos desenvolvidos que nao foram incluıdos nesta Tese de Doutoramentoforam

a. I. A. Pedrosa, K. Bakke and C. Furtado, Gaussian wave packet states of relic gravi-tons, Phys. Lett. B 671, 314 (2009).

b. K. Bakke, I. A. Pedrosa and C. Furtado, Geometric Phases and Squeezed QuantumStates of Relic Gravitons, aceito para publicacao no J. Math. Phys.

c. K. Bakke, L. R. Ribeiro and C. Furtado, Landau Quantization for an Induced Elec-tric Dipole in the Presence of Topological Defect, aceito para publicacao no CentralEuropean Journal of Physics.

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Sumario

I Fases Geometricas Quanticas (FGQ) para Partıculas Neu-tras na Presenca de Defeitos 1

Introducao 2

1 Defeitos Topologicos 51.1 Introducao a Defeitos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Geometria Diferencial: uma breve introducao . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Os Refereciais Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 A Derivada Covariante de um Spinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Dinamica das Partıculas Neutras 242.1 A Dinamica Relativıstica de Particulas Neutras . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Aproximacao de Foldy-Wouthuysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Dinamica Nao-Relativıstica para Partıculas Neutras . . . . . . . . . . . . . 28

3 FGQ no Espaco-Tempo da Corda Cosmica 303.1 Espaco-Tempo da Corda Cosmica e Configuracoes dos Campos Externos . 313.2 Dinamica Relativıstica e Fases Geometricas Relativısticas I . . . . . . . . . 333.3 Dinamica Relativıstica e Fases Geometricas Relativısticas II . . . . . . . . 363.4 Dinamica Nao-Relativıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Fases Geometricas Nao-Relativısticas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6 Fases Geometricas Nao-Relativısticas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 FGQ no Espaco-Tempo de uma Deslocacao Cosmica 464.1 Fases Geometricas Nao-Abelianas Relativısticas . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Fases Geometricas Quanticas Nao-Abelianas Nao-Relativısticas . . . . . . . 534.3 Fases Geometricas Abelianas Relativısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4 Fases Geometricas Abelianas Nao-Relativısticas . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 FGQ em Referenciais Nao-Inerciais 625.1 Dinamica Relativıstica com Referenciais Girantes na presenca de Defeitos

Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Dinamica Nao-Relativıstica com Referenciais Girantes na presenca de De-

feitos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

vii

5.3 Dinamica Relativıstica com Referenciais Transportados por Fermi-Walkerna presenca de Defeitos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.1 Primeiro caso relativıstico: interacao entre o momento de dipolo

magnetico e campo eletrico radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.2 Segundo caso relativıstico: interacao entre o momento de dipolo

magnetico e um campo magnetico azimutal . . . . . . . . . . . . . . 755.4 Dinamica Nao-Relativıstica com Referenciais Transportados por Fermi-

Walker na presenca de Defeitos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4.1 Primeiro caso nao-relativıstico: interacao entre momento de dipolo

mangetico e campo eletrico radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4.2 Segundo caso nao-relativıstico: interacao entre o momento de dipolo

magnetico e um campo magnetico azimutal . . . . . . . . . . . . . . 79

II Computacao Quantica Holonomica (CQH) na Presenca deDefeitos Topologicos 81

Introducao 82

6 CQH para Partıculas Neutras 846.1 Implementacao de um conjunto universal de portas quanticas para um q-bit

na configuracao de Aharonov-Casher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2 Implementacao de um conjunto universal de portas quanticas para um q-bit

na presenca de um campo magnetico azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . 896.3 Implementacao de um conjunto universal de portas quanticas para um q-bit

atraves da topologia de uma despiracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.4 Implementacao de um conjunto universal de portas quanticas para um q-bit

na presenca de um campo magnetico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 936.5 Implementacao de portas quanticas para dois q-bits . . . . . . . . . . . . . 95

7 Computacao Quantica Holonomica no Grafeno 987.1 Descricao geometrica dos fluxos no grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2 Implementacao de um conjunto de portas quanticas para um q-bit no grafeno104

III Quantizacao de Landau para Partıculas Neutras na Pre-senca de Defeitos Topologicos 109

Introducao 110

8 Quantizacao Nao-Relativıstica de Landau 1138.1 Quantizacao Nao-Relativıstica de Landau na Presenca de Defeitos Topologicos1138.2 Quantizacao Nao-Relativıstica de Landau em Referenciais Girantes e na

presenca de um Defeito Topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

viii

9 Quantizacao Relativıstica de Landau 1229.1 Quantizacao Relativıstica de Landau no Espaco-Tempo de Minkowisky no

Gauge de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.2 Quantizacao Relativıstica de Landau no Espaco-Tempo Plano no Gauge

Simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.3 Quantizacao Relativıstica de Landau na Presenca de Defeitos Topologicos . 129

Conclusoes e Perspectivas 135

A Spinores na Relatividade Geral 141A.1 A Esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141A.2 O Espaco de Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143A.3 Algebra Spinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144A.4 O spinor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146A.5 Base de diadicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147A.6 Conexao entre tensores e spinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149A.7 Forma spinorial da derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151A.8 Matrizes de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

B Introducao a Computacao Quantica 155B.1 Portas Quanticas para 1 q-bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155B.2 Portas Quanticas para 2 q-bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157B.3 Conjunto de Portas Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

C Dimensoes Extras: Teoria de Kaluza-Klein 160

ix

Lista de Figuras

1.1 Defeito Topologico conhecido como deslocacao lateral. A barra escura indica a direcaoem que foi feita a deslocacao. Note-se que a direcao da deslocacao e prependicular aoeixo de simetria do defeito neste caso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Defeito Topologico conhecido como deslocacao tipo helice. A barra escura indica adirecao em que foi feita a deslacacao. Note-se que a direcao da deslocacao e paralela aoeixo de simetria do defeito neste caso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Solido cristalino com simetria hexagonal. Os planos inseridos no hexagonos mostramo local do “corte” onde se pode remover ou inserir um setor para se produzir umadesclinacao positiva ou negativa atraves dos processos de Volterra. . . . . . . . . . . 10

1.4 Defeito Topologico conhecido como desclinacao positiva. A formacao deste defeito erealizada removendo um setor do plano com angulo Φ/2π e “colando-se” as extremidadesna figura 1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Defeito Topologico conhecido como desclinacao negativa. A formacao deste defeito e re-alizada cortando-se o hexagono 1.3 em um dos locais mostrados pelos planos e inserindo-se um setor no plano do hexagono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Transporte paralelo de um vetor V ao longo das direcoes de vetores A e B e retornandoa sua posicao inicial. Tem-se que ao retornar a posicao inicial o vetor V varia em relacaoa sua configuracao inicial em δV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Representacao do operador comutador de duas derivadas covariantes. . . . . . . . . . 16

4.1 Defeito Topologico conhecido como deslocacao espiral [98]. A formacao desse defeito erealizada atraves de uma translacao sobre o plano-ρϕ e “colando-se” as extremidades, oque promove a distorcao de uma cırculo numa espiral. A barra escura indica a direcaodo vetor de Burges. Note-se que o vetor de Burges esta inserido no plano perpendicularao eixo de simetria do defeito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1 Representacao do qbit no sistema AC na presenca de uma deslocacao. Um feixe departıculas neutras incidentes e dividido em dois por um divisor de feixe, fazendo comque estes dois novos feixes passem por duas regioes distintas. Na regiao 1 consideramosque ha apenas um campo eletrico gerado por um capacitor de placas parelelas sema presenca de defeito topologico, onde este campo e perpendicular a trajetoria daspartıculas. Na regiao 2 consideramos que ha um cristal solido com uma deslocacao tipohelice representada pelo elemento de linha(6.3). Em cada uma das regioes, a funcao deonda das partıculas neutras sofre uma mudanca de fase. No final, os feixes recombinam-se. 87

x

6.2 Interferometria de partıculas neutras que possibilita a implentacao da ComputacaoQuantica Holonomica. Um feixe incidente de partıculas neutras passa por um divisor defeixe gerando dois novos feixes de partıculas neutras. Um dos feixes passa pela regiao1 onde ha a presenca de uma campo magnetico uniforme, enquanto que o outro feixepassa pela regiao 2 onde ha a presenca de um material solido contento uma deslocacao.Em cada regiao, a funcao de onda das partıculas neutras sofre uma mudanca de fasediferente. Ao passarem por essas duas regioes, os feixes recombinam-se. . . . . . . . . 94

7.1 Estrutura planar de uma unica camada de grafite conhecida como grafeno. Vertices em cinza e branco

indicam as subredes A e B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2 Porta quantica para um q-bit conhecida como porta de fase Q2 dada na expressao (7.39). Essa porta

quantica e implementada com um cone de gafeno construıdo com dois setores removidos (cinza). Pode-

se ver como os defeitos distorcem a rede do grafeno. A seta indica a direccao do movimento de um

eletron quando este passa em torno do defeito topologico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.3 Porta quantica para um q-bit conhecida como porta troca e mudanca de fase QS dada na expressao

(7.40). Esta porta quantica e implementada com um cone de grafeno construıdo com um setor removido

e por um outro cone construıdo com um setor inserido. O resultado do conjunto dos defeitos e identico

ao comportamento de multicones onde o fluxo atraves destes cones irao se cancela. A seta indica a

orientacao do movimento de um eletron que passa em torno do multicone. . . . . . . . . . . . . 107

A.1 Esfera de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

B.1 Esfera de Bloch. Projecao de um estado arbitrario para um q-bit |ψ〉 na esfera de Bloch. No polo norte

da esfera de Bloch localiza-se o estado |0〉 e no polo sul o estado |1〉. Os angulos θ e ϕ constituem os

angulos polar e azimutal, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

xi

Parte I

Fases Geometricas Quanticas (FGQ)

para Partıculas Neutras na Presenca

de Defeitos

1

Introducao

Nessas ultimas decadas, o estudo do surgimento de fases geometricas em sistemasquanticos tornou-se um dos mais atrativos e importantes no entendimento do mundoquantico. O primeiro trabalho que tratou diretamente o aparecimento de fases geometricasquanticas data de 1956 feito por Pancharatnam [1]. Nesse trabalho, Pancharatnam de-scobriu uma mudanca de fase em luz polarizada. Ja em 1959, Aharonov and Bohm [2]mostraram que a funcao de onda de um eletron adquire uma fator de fase quando percorreuma trajetoria ao redor de um fluxo magnetico gerado por um solenoide muito longo oupor um arranjo de dipolos magneticos, devido a presenca de potenciais nao-nulos: o po-tencial escalar Φ e o potencial vetor ~A (~r). Essa mudanca de fase na funcao de onda ficouconhecido como efeito Aharonov-Bohm (AB)1, cuja expressao

φAB =

∮~A · ~dr = qΦc, (1)

onde q e a carga do eletron e Φc e o fluxo de campo magnetico dentro do solenoide.Contudo, o uso de fatores de fase para obtermos a funcao de onda exata de uma partıculaque interage com campos externos foi proposta em 1931 por Dirac [3] e, em 1980, Berry[4] mostrou que a funcao de onda exata para o efeito Aharonov-Bohm pode ser obtidaaplicando a proposta do fator de fase de Dirac.

O termo fase geometrica quantica foi introduzido na Literatura a partir do trabalhoproduzido por Berry [5] em 1984, onde mostrou que a funcao de onda de uma partıculaadquire um fator de fase adicional a fase dinamica do sistema durante uma evolucaoadiabatica que tem origem geometrica. Esse fator de fase geometrico adquirido duranteuma evolucao adiabatica ficou conhencido como fase de Berry. Simon [6] em 1983, inter-pretou as fases de Berry atraves de holonomias, ou seja, atraves do transporte paralelode um vetor ou spinor ao longo de uma curva fechada. Tambem em 1984, Wilczek e Zee[7] propuseram um generalizacao das fases de Berry investigando o surgimento de fasesgeometricas nao-abelianas. Contudo, em 1987, Aharonov e Anandan [8] mostraram quea funcao de onda de uma partıcula adquire um fator de fase durante uma evolucao cıclicasem necessitar da aproximacao adiabatica. O estudo mais geral de fases de Berry foirealizado por Samuel e Bhandari [9] em 1988, onde a evolucao do sistema quantico con-siderada nem era unitaria nem cıclica. Outros trabalhos que devem ser citados no estudode fases geometricas sao dados nas referencias [10, 11, 12, 13] e, para uma revisao maisdetalhada sobre os trabalhos citados nesta introducao, alem de discussoes matematicas

1Vamos considerar ~ = c = 1.

2

3

mais profundas sobre fases geometricas e aplicacoes em outras areas da Fısica pode-seconsultar as referencias [14, 15].

Ainda em 1984, Aharonov e Casher [16] desenvolveram um trabalho discutindo quesituacao geraria um efeito Aharonov-Bohm para uma partıcula neutra. Dessa forma, elesconsideraram um sistema onde partıculas neutras possuindo momento de dipolo magneticomoviam-se ao redor de uma configuracao de cargas eletricas estacionarias. Entao, dadauma distribuicao linear de cargas e com o momento de dipolo magnetico alinhado inicial-mente com esta distribuicao de cargas, a funcao de onda da partıcula neutra adquire umafase quantica topologica dada por

φAC =

∮ (~µ× ~E

)· ~dr = µλe, (2)

onde µ e a projecao do momento de dipolo magnetico ao longo da linha de carga e λe ea densidade linear de carga. A necessidade de termos o momento de dipolo magneticoalinhado com a distribuicao linear de cargas e para que nao haja precessao do momentode dipolo devido ao campo eletrico, isto e, para que nao haja forca de Lorentz atuandono sistema. A fase quantica obtida e topologica por nao depender de um ponto do espacopara ser definida, ela tera o mesmo valor para qualquer trajetoria fechada que a partıculaneutra percorrer. Esse efeito de surgimento de fase quantica dado pela expressao (2) echamado de efeito Aharonov-Casher (AC) e sua observacao experimental foi descrita emsistema atomicos por Sangster et al [17]. Portanto, ha uma “dualidade” entre os efeitos ABe AC no sentido em que podemos trocar os papeis das partıculas carregadas e momentosde dipolos, isto e, λe → µ em AB e µ→ λe em AC. Porem, devemos dizer que esses efeitossao recıprocos, pois o efeito Aharonov-Bohm dual (DAB) foi demosntrado por Dowlinget al [18] usando a relacao de dualidade eletromagnetica de Maxwell e, separadamente,por Furtado e Duarte [19] onde fizeram a analise da dinamica quantica de um monopolomagnetico em uma regiao que existe um solenoide eletrico linear.

Em 1993, He e McKellar [20] e, em 1994, Wilkens [21] consideraram a existenciade monopolos magneticos e trabalharam em um sistema onde uma partıcula neutra quepossui um momento de dipolo eletrico permanente move-se em um campo magneticoproduzido por monopolos magneticos. De forma semelhante ao que foi feito por Aharonove Casher, eles mostraram que se o momento de dipolo eletrico estiver alinhado inicialmentecom uma distribuicao linear de monopolos magneticos, a funcao de onda adquire uma fasequantica topologica dada por

φHMW =

∮ (~d× ~B

)· ~dr = dλm, (3)

onde d e a projecao do momento de dipolo eletrico ao longo da linha de monopolosmagneticos e λm e uma distribuicao linear de monopolos magneticos. Com essa con-figuracao, a partıcula neutra nao sofre a acao do campo magnetico e, assim, a fasequantica adquirida pela funcao de onda e topologica. Essa diferenca de fase dada em(3) e conhecida como efeito He-McKellar-Wilkens (HMW). Uma configuracao experimen-tal para testar esse efeito foi sugerida em 1995 por Wei et al [22] atraves de interferometrosatomicos onde sao aplicados um campo eletrico produzido por uma linha de carga eletricase um campo magnetico uniforme paralelo a essa linha de cargas. Um sistema analogo ao[22] usando a teoria de defeitos em solidos foi trabalhada em 2003 por Lima Ribeiro et al

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[23]. Observemos que o efeito HMW e recıproco do efeito DAB, mas dual ao efeito AC.

Podemos verificar essa dualidade fazendo ~µ↔ ~d e λe ↔ λm.Uma das caracterısticas importante nas fases produzidas pelos efeitos AB, DAB, AC e

HMW e que as essas fases sao nao-dispersivas, ou seja, elas nao dependem da velocidade dapartıcula neutra [24, 25]. Assim, esses efeitos sao independentes da energia das partıculase a fase observada tera o mesmo valor tanto no regime relativıstico quanto no regimenao-relativıstico. Podemos ilustrar as relacoes entre os efeitos AB, DAB, AC e HMWcom o seguinte quadro:

AC (~µ, λe)←→dual HMW

(~d, λm

)l recıproco l recıproco

AB (λe, ~µ) ←→dual DAB

(λm, ~d

)O tratamento relativıstico e nao-relativıstico que unifica a interacao entre partıculas

com momentos de dipolo magnetico e eletrico permanentes com o campo eletromagneticofoi feito em 2000 por Anandan [26, 27], enquanto que uma analise detalhada de fasesquanticas no limite nao-relativıstico desta interacao com campos eletrico e magneticoradiais foi feita em 2004 por Furtado e Lima Ribeiro [28].

A estrutura da Parte I deste trabalho sera: no capıtulo 1 faremos uma introducao ateoria de defeitos topologicos em solidos e de geometria diferencial. A introducao a defeitostopologicos em solidos e geometria diferencial sera breve e tem a finalidade de abordarconceitos fundamentais sobre defeitos em solidos e mostrar as ferramentas matematicasnecessarias para o desenvolvimento de nosso estudo diante de um cenario da relatividadegeral, ou seja, quando consderamos o espaco-tempo curvo tanto na presenca quanto naausencia de torcao. No capıtulo 2 faremos uma revisao da dinamica relativıstica e nao-relativıstica de um partıcula neutra que possui tanto o momento de dipolo magneticoquanto momento de dipolo eletrico interagindo com campos eletrico e magnetico respec-tivamente. No capıtulo 3 faremos o estudo de fases geometricas quanticas considerandoum espaco-tempo curvo e na ausencia de torcao. No capıtulo 4 estudaremos de fasesgeometricas considerando o espaco-tempo curvo e na presenca de torcao. No capıtulo 5estudaremos fases geometricas no espaco-tempo curvo, mas com referenciais nao-inerciais.Nos capıtulos 3, 4, 5 estudaremos o surgimento de fases geometricas quanticas tanto nocontexto relativıstico quanto no nao-relativıstico.

Capıtulo 1

Defeitos Topologicos

Em todo o desenvolvimento deste trabalho estaremos sempre adotando um espaco-tempo curvo, com a ausencia ou presenca da torcao, como um pano de fundo. A intencaodesse capıtulo e fazer uma breve revisao sobre os estudo de defeitos topologicos em materiacondensada e sua ligacao com a gravitacao atraves da geometria diferencial e de conceitosde relatividade geral. Dessa forma, iniaremos com a definicao e classificacao de defeitostopologicos em cristais solido. Em seguida, faremos uma breve introducao a geometriadiferencial e aos conceitos basicos de relatividade geral tais como as definicoes de derivadacovariante de um vetor e um tensor, bem como a definicao dos referenciais locais dosobservadores e a derivada covariante de um spinor no espaco-tempo curvo na ausencia oupresenca de torcao. A revisao feita neste capıtulo nao abrange os conceitos como o devariedades diferenciaveis e fibrados para nao deixarmos muito extensa essa revisao. Essasdiscussoes sao extremamente bem realizadas em livros textos sobre relatividade geral taiscomo dados nas referencias [29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36].

1.1 Introducao a Defeitos Topologicos

Nesta secao faremos uma breve introducao a teoria de defeitos topologicos em solidos,mais especificamente em cristais. A abordagem dessa secao sera simples e direta para queseja facilmente entendido o uso de defeitos topologicos como pano de fundo no desenvolvi-mento deste trabalho.

Um cristal produzido em um laboratorio nunca e perfeito. Ele sempre contem umgrande numero de defeitos, cuja origem pode ser quımica, eletrica ou de caracter estrutu-ral, isto e, ele pode ter em sua estrutura um excesso ou falta de eletrons ou simplesmentesua simetria e quebrada em um determinado local. Para estudarmos defeitos topologicosem solidos iremos considerar um cristal ideal. Um cristal ideal consiste de um arranjoperiodico de atomos identicos situados em pontos da rede cristalina

xn = n1a1 + n2a2 + n3a3, (1.1)

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CAPITULO 1. DEFEITOS TOPOLOGICOS 6

onde ai sao os vetores da rede e ni sao numeros inteiros. Um exemplo simples e de umarede cubica simples com atomos localizados a uma distancia a um do outro

xn = a (n1a1 + n2a2 + n3a3, ) , (1.2)

com ai sendo um vetor unitario. Note-se que se pode descrever esse solido atraves dametrica Euclidiana δij = diag (+ + +). Agora, se forcas externas sao aplicadas sobre ocristal, este ira sofrer deformacoes e as posicoes dos atomos na rede cristalina mudaraodo ponto xn para

xn → x′n = xn + un (x) . (1.3)

Contudo, em um cristal real sempre existe imperfeicoes as quais denominamos de de-feitos. Os defeitos podem ser descritos atraves das deformacoes na rede cristalina dadaspela expressao (1.3). Considerando o limite a → 0, pode-se estudar o cristal no limitedo contınuo e, assim, define-se o campo vetorial chamado deslocamento ui (x) atraves daexpressao

x′i = xi + ui (x) . (1.4)

Depois de uma deformacao ou distorcao da rede cristalina, a distancia entre dois pontosvizinhos do material separados infinitesimalmente e dada por1

dx′i = dxi + ∂jui dxj. (1.5)

O comprimento entre esses dois pontos sera

dl′ =(dl2 + 2εijdxidxj

)1/2, (1.6)

com dl =√dx2

i e onde tem-se que εij e um tensor simetrico chamado de tensor dedeformacao que e dado por

εij ≡1

2(∂iuj + ∂jui + ∂iul ∂jul) , (1.7)

onde deve-se estabelecer que ∂jui << 1 para que este tenhamos uma aproximacao linear.Logo, pode-se reecrever o tensor de deformacao como [38]

εij ≡1

2(∂iuj + ∂jui) . (1.8)

Considerando-se um meio elastico com forcas de curto alcance atuando sobre pontosvizinhos, pode-se definir a densidade de energia elastica atraves da diferenca dl′ − dl e,desse modo, atraves do tensor de deformacao. Tomando-se as expressoes para dl′ em (1.6),

1Os ındices que se repetem nas equacoes indicam uma soma sobre estes ındices que e conhecida como

convencao de Einstein. Porem, apenas nesta secao e que nao adotamos a soma de ındices iguais na forma

covariante para manter a notacao o mais proxima possıvel das referencias [38, 39]. A partir da proxima

secao adotaremos a convecao de Eintein propriamente dita onde ındices covariantes e contravariantes

iguais somam-se.


dl =√dx2

i e fazendo-se uma aproximacao para termos de ordem mais baixa, a densidadede energia elastica pode se escrita como

e (x) =1

2cijkl εij εkl, (1.9)

onde cijkl e chamado de tensor de elasticidade e e simetrico diante das permutacoes i↔ j,k ↔ l e ij ↔ kl. Para um meio isotropico, o tensor de elasticidade e dado por [38]

cijkl = µ (δik δjl + δil δjk) + λ δij δkl, (1.10)

com µ e λ sendo constantes conhecidas como shear modulus e constante de Lame, respec-tivamente. Agora, se por um certa configuracao o tensor de deformacao εij for alteradopor um pequeno incremento δεij, entao a densidade de energia elastica sera alterada para

δe = cijkl εkl δεij. (1.11)

Assim, pode-se definir o tensor de tensao como [38]

σij ≡δe

δεij= cijkl εkl. (1.12)

Para um meio isotropico, pode-se substituir a expressao (1.10) em (1.12) e obter

σij = 2µ εij + λ δij εkk. (1.13)

Agora, seja fi (x) uma densidade de forca produzida por uma fonte externa que atuasobre um solido ou uma densidade de forca interna nao-elastica distribuıda dentro dosolido. O trabalho realizado por esta forca externa sobre um dado elemento de volumedo solido e dado por

w (x) = −fi (x) ui (x) . (1.14)

A forca total que atua sobre o sistema e dada por

FT =

∫[e (x) + w (x)] d3x, (1.15)

entao, o estado de equilıbrio, quando ha uma distorcao na rede cristalina, pode ser obtidominimizando a energia total em relacao a variacao δui (x), isto e,∫

[∂i (δuj) σij − fi δuj] d3x = 0. (1.16)

onde pode-se reescrever o primeiro termo de (1.16) como∫[∂i (δuj σij)− δuj ∂iσij] dx3 −

∫fi δuj dx

3 = 0. (1.17)

Aplicando o teorema de Gauss no primeiro termo de (1.17), tem-se uma integral de su-perfıcie. Dessa forma, a equacao (1.17) torna-se∫

σij δui dSj −∫

(∂iσij + fi) δuj dx3 = 0. (1.18)


Considerando-se que a forca externa e aplicada em um regiao finita do solido, tem-se queδui → 0 no infinito, logo, pode-se descartar a integral de superfıcie. Dessa forma, tem-seque em um determinado ponto fixo do solido x que

∂iσij (x) + fi (x) = 0, (1.19)

que e a equacao de Euler-Lagrange para a elasticidade linear [38]. Esta equacao da umsentido fısico para as componentes do tensor de tensao: σi1, σi2, σi3 sao as tres componentesda forca por unidade de area que atuam sobre um elemento de superfıcie dSi. Assim, asequacoes (1.13) e (1.19) formam as equacoes basicas para a teoria da elasticidade estaticade pequenas deformacoes [37, 38, 39], onde (1.13) corresponde a lei de Hook que relacionao tersor de tensao com o tensor de deformacao da rede e (1.17) corresponde a lei deNewton.

A conexao da teoria da elasticidade com a geometria Riemanniana e feita quando econsiderada transformacoes infinitesimais que levam um ponto xµ′ para xµ no espaco-tempo

xµ′ = xµ − ξµ (x) (1.20)

ou seja, que translacoes infinitesimais ξµ (x) sejam iguais aos deslacamentos ui (x) (como sinal invertido) no ponto x [38]. Desse modo, considrando x′ = y e tendo em vista queui (x) = ui (y (x)), pode-se escrever o tensor metrico gij (x) como

gij (x) =∂yk

∂xi∂yl

∂xjδkl ≈ δij − ∂iuj − ∂jui = δij − 2εij, (1.21)

onde definimos em relacao ao tensor (1.8) diante da aproximacao linear, com εij (x) =εij (y) e ∂uj/∂x

i = ∂ui/∂yi. Com a expressao (1.21) pode-se, entao, descrever deformacoes

numa rede cristalina atraves do tensor metrico provindo da geometria diferencial. Comessa aproximacao linear pode-se descrever as deformacoes na rede ou defeitos correspon-dendo a uma curvatura singular2, torcao ou com a ocorrencia de ambos. Essa formulacaousando a geometria diferencial para a descricao de defeitos topologicos foi desenvolvidapor Katanaev e Volovich [37, 38, 39] e iremos fazer uma breve discussao no final daproxima secao.

Passaremos agora para a classificacao dos defeitos topologicos atraves do processos deVolterra. A descricao de Volterra para a formacao de defeitos topologicos sao geradosconceitualmente atraves de processos de “cortar e colar”. A classificacao dos defeitosque sera apresentada nesta secao esta relacionada com a simetria de translacao da redecristalina conhecida como deslocacoes e a simetria de rotacao da rede cristalina, conhecidacomo desclinacoes.

Deslocacoes: Sao defeitos lineares associados a simetria de translacao da rede cristalina.Em cristais, as deslocacoes devem satisfazer a invariancia translacional, ou seja, osatomos das duas superfıcies do corte podem ser alinhados apenas se o desloca-mento for uma operacao de simetria translacional da rede. Note-se que o desloca-mento mınimo numa rede cristalina e a distancia entre dois atomos adjacentes. Asdeslocacoes podem ser

2Curvatura singular significa que so ha um ponto no espaco onde o valor do tensor de curvatura e

diferente de zero. Definiremos o tensor de curvatura na proxima secao.


a) Tipo lateral : sao defeitos que resultam de translacoes perpendiculares a um eixo aolongo das superfıcies de corte.

Figura 1.1: Defeito Topologico conhecido como deslocacao lateral. A barra escura indica a direcao em

que foi feita a deslocacao. Note-se que a direcao da deslocacao e prependicular ao eixo de simetria do

defeito neste caso.

b) Tipo helice: sao defeitos que resultam de translacoes paralelas ao eixo definido pelassuperfıcies de corte.

Figura 1.2: Defeito Topologico conhecido como deslocacao tipo helice. A barra escura indica a direcao

em que foi feita a deslacacao. Note-se que a direcao da deslocacao e paralela ao eixo de simetria do defeito

neste caso.

Desclinacoes: Sao defeitos associados a simetria de rotacao na rede cristalina. Pode-seclassificar as desclinacoes em

a) Desclinacoes positivas : sao as desclinacoes que se obtem quando corta-se e retira-seum setor de um certo material e, em seguida, identifica-se os cortes. O anguloretirado e chamado de angulo de deficit.


b) Desclinacoes negativas : sao desclinacoes que se obtem quando corta-se, desloca-se asextremidade em um certo angulo e, em seguida, insere-se um determinado materialnesse espaco. O angulo pelo qual se insere um determinado material e chamado deangulo de acrescimo.

Figura 1.3: Solido cristalino

com simetria hexagonal. Os

planos inseridos no hexagonos

mostram o local do “corte”

onde se pode remover ou inserir

um setor para se produzir uma

desclinacao positiva ou nega-

tiva atraves dos processos de

Volterra.

Figura 1.4: Defeito

Topologico conhecido como de-

sclinacao positiva. A formacao

deste defeito e realizada re-

movendo um setor do plano

com angulo Φ/2π e “colando-

se” as extremidades na figura

1.3.

Figura 1.5: Defeito

Topologico conhecido como de-

sclinacao negativa. A formacao

deste defeito e realizada

cortando-se o hexagono 1.3 em

um dos locais mostrados pelos

planos e inserindo-se um setor

no plano do hexagono.

Despiracoes: Sao defeitos associados as simetrias de translacao e rotacao. Pode-se obteresse defeito fazendo-se um corte no material, retirando-se ou inserindo-se um se-tor angular, mas antes de identificar as extremidades da superfıcie, faz-se umatranslacao sobre um dos eixos (por exemplo o eixo z).

Portanto, nesta secao foi vista a correspondencia entre a formacao de defeitos topologicosem redes cristalinas com a geometria diferencial e a teoria de Einstein-Cartan para agravitacao, alem da classificacao de defeitos topologicos. Nas proximas secoes faremosuma breve introducao a geometria diferencial e uma revisao sobre alguns conceitos dateoria de Einstein-Cartan para a gravitacao que serao essenciais no estudo de defeitostopologicos.

1.2 Geometria Diferencial: uma breve introducao


O objetivo desta secao e revisar os conceitos basicos de gometria diferencial que saoessenciais no estudo da teoria de Einstein-Cartan para a gravitacao. Serao vistos adefinicao de derivada covariante diante de um espaco-tempo curvo na presenca de torcao,a definicao de tensor de torcao, do tensor de contorcao e, por fim, a expressao para aderivada covariante na presenca de torcao.

Sejam dois pontos do espaco-tempo xµ e yµ = xµ + dxµ. Esses dois pontos estaoseparados por um intervalo infinitesimal ds de tal forma que, em qualquer sistema decoordenadas, a distancia entre eles e sempre preservada e onde pode-se escrever esseintervalo infinitesimal como

ds2 = gµν (x) dxµ dxν , (1.22)

onde as quantidades gµν (x) determinam todas as propriedades geometricas em qualquersistema de coordenadas e constituem a metrica do espaco-tempo, isto e, as quantidadesgµν (x) sao as componentes do tensor metrico G3. A expressao (1.22) e chamada deelemento de linha do espaco-tempo.

O tensor metrico possui as caracteristicas de ser simetrico, gµν = gνµ, e que seudeterminante seja nao-nulo, isto e, g = |gµν | 6= 0. Ter seu determinante nao-nulo permiteque se possa definir uma inversa gµν atraves da relacao

gµν gνγ = gγβ gβµ = δµγ , (1.23)

e onde a simetria vinculada a gµν implica em que gµν tambem seja simetrico.Diante do espaco-tempo descrito pelo elemento de linha (1.22), defini-se a derivada

covariante de um vetor ou de um tensor como sendo um operador ∇ que atua como umoperador de derivada partial, ∂µ, de maneira que nao depende do sistema de coordenadas.A derivada covariante e uma transformacao linear de um tensor (k, l) para um outrotensor (k, l + 1) e que obedece a regra de Leibniz, ou seja,

1. Linearidade: ∇ (T + V ) = ∇T +∇V ;

2. Regra de Leibniz: ∇ (T ⊗ V ) = ∇T ⊗ V + T ⊗∇V .

Como a derivada covariante obedece a regra de Leibniz para o produto de vetorialde dois tensores T e V e deve ser independente do sistema de coordenadas, o operador∇ deve ser escrito como a soma da derivada partial ∂µ mais um termo de correcao quecorresponde a transformacao linear do sitema de coordenadas. Esse termo de correcaoe chamado de conexao afim e e dado por um conjunto de matrizes n × n, onde n e adimensao do espaco-tempo. Em termos de suas componentes, a expressao mais simplespara a derivada covariante e dada para um vetor V = V ν eν , onde tem-se

∇µ Vν = ∂µV

ν + Γνµα Vα, (1.24)

onde o objeto Γνµα representa nossa conexao afim. Para obter as conexoes afim considera-se que a metrica permaneca sempre constante, isto e, que a derivada covariante do tensormetrico seja nula

∇αgµν (x) = 0, (1.25)

3Por conveniencia iremos chamar de tensor metrico as suas componentes gµν


isso implica na seguinte expressao

∂λgµν − Γβλµ gβν − Γβλν gµβ = 0. (1.26)

Sempre que a equacao (1.26) for satisfeita, a conexao afim e dita ser uma conexao com-patıvel com a metrica. Sera com conexoes compatıveis com a metrica que iremos trabalharem todo desenvolvimento de nosso trabalho. Para obter a expressao para a conexao com-patıvel com a metrica deve-se tomar permutacoes cıclicas nos ındices da equacao (1.26):

∂µgνλ − Γβµν gβλ − Γβµλ gµβ = 0, (1.27)

e tambem

∂νgλµ − Γβνλ gβµ − Γβνµ gλβ = 0. (1.28)

Tomando-se a combinacao (1.27)+(1.28)-(1.26) tem-se

∂µgνλ + ∂νgλµ − ∂λgµν −(Γβµν + Γβνµ

)gβλ +

(Γβλµ − Γβµλ

)gβν

+(

Γβλν − Γβνλ

)gβµ = 0. (1.29)

Definindo os objetos abaixo

T βλµ ≡ 2Γβ[λµ] = Γβλµ − Γβµλ; Γβ(µν) =1

2

(Γβµν + Γβνµ

), (1.30)

obtem-se que a conexao compatıvel com a metrica Γ pode ser escrita em termos de suascomponentes simetrica e antisimetrica

Γβµν = Γβ(µν) + Γβ[µν] =βµν

+Kβ

µν , (1.31)

onde o primeiro termo da expressao (1.31) sao os sımbolos de Christoffel definidos comoβµν

=

1

2gβλ (∂µgνλ + ∂νgλµ − ∂λgµν) , (1.32)

enquanto que o segundo termo de (1.31) e chamado de tensor de contorcao4:

Kβµν =

1

2

(T βµν − T β

µ ν − T βν µ

). (1.33)

Observe-se que na expressao (1.30) foi definido um objeto T βµν que e chamado detensor de torcao5. Note-se que o tensor de torcao e antisimetrico nos dois ultimos ındices,T βµν = −T βνµ, enquanto que o tensor de contorcao e antisimetrico nos dois primeirosındices, Kβµν = −Kµβν . Com isso, a expressao para a derivada covariante de um vetor(1.24) em um espaco-tempo curvo e na presencao de torcao fica

∇µ Vν = ∂µV

ν +νµα

V α +Kν

µα Vα. (1.34)

4Chama-se Kβµν de tensor por conveniencia, porem o correto e chama-lo de componentes do tensor

de contorcao. Da mesma forma deve-se chamar T βµν de componentes do tensor de torcao.5A notacao usada aqui e identica a referencia [40]. Essa escolha foi feita devido a definicao da conexao

spinorial feita em [40] que sera trabalhada detalhadamente no capıtulo 5.


Contudo, e comum na literatura escrever o tensor de torcao em termos de tres com-ponentes irredutıveis [40]: A primeira e vetor traco Tµ e o segundo e o vetor axial Sν quesao dados abaixo

Tµ = T βµβ; Sα = εαβνµ Tβνµ; (1.35)

e a terceira componente irredutıvel e o tensor qβνµ que satisfaz as condicoes qβµβ = 0 e

εαβνµ qβνµ = 0. Dessa forma, o tensor de torcao podera ser escrito como

Tβνµ =1

3(Tν gβµ − Tµ gβν)−

1

6εβνµγ S

γ + qβνµ. (1.36)

Essa decomposicao do tensor de torcao em suas componentes irredutıveis sera muito utilpara nosso trabalho quando estivermos estudando o surgimento de fases geometricas noespaco-tempo curvo e com torcao no capıtulo 5.

Na expressao (1.34) foi definida a derivada covariante de um vetor, onde esta quantificaalgo que esta variando. Mas variando em relacao a que? A derivada covariante quantificaa taxa instatanea com a qual um vetor varia quando se move esse vetor de um ponto aoutro do espaco em relacao a uma configuracao na qual este vetor fosse mantido constante.Esse conceito de mover um vetor ao longo de uma curva, mantendo-o constante ao longodesta curva e conhecido na literatura como sendo o transporte paralelo de um vetor aolongo de uma curva [33]. Dessa forma, a derivada covariante de um vetor quantifica a taxacom a qual um vetor varia em relacao ao que este vetor seria transportado paralelamente.

Pode-se definir o transporte paralelo de um vetor V = V ν eν ao longo de uma curvaxµ (γ) pelo requerimento que a derivada covariante deste vetor ao longo desta curva sejanula, isto e,

∂µVν + Γνµα V

α = 0. (1.37)

Com o conceito de transporte paralelo pode-se definir uma transformacao unitariachamada de holonomia. Considerando-se que nao haja a presenca de torcao para facilitarnossa discussao, holonomia e uma transformacao unitaria aplicada sobre um vetor quedescreve o transporte paralelo de um vetor ao longo de uma curva fechada. A expressaopara a holonomia e obtida atraves do chamado propagador paralelo. O propagador par-alelo P µ

ν (γ, γ0) e uma matriz que relaciona as componentes de um vetor em seu valorinicial V µ (γ0) com seu valor apos ser transportado ao longo de uma curva γ:

V µ (γ) = P µν (γ, γ0) V ν (γ0) , (1.38)

onde a matriz P µν (γ, γ0) depende do caminho γ. Definindo-se

Aµν (γ) = µναdxα

dγ, (1.39)

pode-se reescrever a equacao (1.37) para o transporte paralelo de um vetor como

d

dγV µ =

dxα

dγ∂αV

µ = Aµν Vν . (1.40)

Desde que o propagador paralelo deve atuar sobre qualquer vetor, substituindo (1.38) em(1.40) tem-se

d

dγP µ

ν (γ, γ0) = Aµν Pµν (γ, γ0) . (1.41)


Para resolver a equacao (1.41), deve-se primeiro integrar em ambos os lados para obter

P µν (γ, γ0) = δµν +

∫ γ

γ0

Aµβ (η) P βν (η, γ0) dη, (1.42)

entao, aplicando o metodo de interacao (onde tomamos o lado direito da equacao (1.42)e aplicamos diversas vezes) ou usando o mesmo procedimento da serie de Dyson [33], eobtida a seguinte expressao para o propagador paralelo6

P µν (γ, γ0) = P exp

[−∫ γ

γ0

Aµν dxν

], (1.43)

onde se pode ver claramente atraves das expressoes (1.39) e (1.43) que a conexao afim eque define uma maneira especıfica de manter o vetor constante quando este e transportadode um ponto a outro numa curva, seja esta curva aberta ou fechada. Quando γ = γ0, ouseja, quando se tem uma curva fechada, a transformacao unitaria (1.43) e chamada deholonomia.

Um outro ponto que se deve enfatizar e que quando o transporte paralelo de um vetore realizado ao longo de uma curva, cuja expressao e

∂µVν +

νµα

V α = 0, (1.44)

tem-se uma curva chamada geodesica7. A expressao para uma geodesica e dada da seguinteforma

d2xµ

dτ 2+νµβ

dxν

dτ

dxβ

dτ= 0. (1.45)

Uma caracterıstica importante provinda do transporte paralelo de vetores surge quandodois vetores X e Y sao transportados paralelamente ao longo de uma curva γ. Quandoisso acontece tem-se que o produto interno entre esses dois vetores permanece constanteao longo do transporte paralelo, ou seja,

d

dγ(gµνX

µY ν) =

(d

dγgµν

)XµY ν + gµν

(d

dγXµ

)Y ν + gµνX

µ

(d

dγY ν

)= 0, (1.46)

onde foi usada a regra de Leibniz e considerado que ddγ

= dxα

dγ∂α.

Tendo-se as definicoes de derivada covariante e transporte paralelo vamos, entao, dis-cutir a curvatura. A curvatura e quantificada pelo tensor de Riemann, que depende daconexao afim. Para obtermos a expressao para o tensor de Riemann iremos observar otransporte paralelo de um vetor V = V µ eµ ao longo da direcao de um vetor A = Aµ eµ,em seguida na direcao de um vetor B = Bµ eµ, voltando entao ao longo da direcao deA = Aµ eµ e B = Bµ eµ para retornar ao ponto inicial, como mostra a figura 1.6.

6Nao iremos mostrar cada passo para se obter a expressao para o propagador paralelo para nao deixar

essa secao muito extensa. Para maiores detalhase sobre a obtencao do propagador paralelo ver apendice

I da referencia [33].7Quando e considerada a presenca da torcao, a curva gerada pela aplicacao da derivada covariante

sobre o tensor metrico quando a conexao e compatıvel com a metrica nao e mais chamada de geodesica,

mas de autoparalela. Para maiores detalhes sobre autoparalelas ver referencia [92].


Figura 1.6: Transporte paralelo de um vetor V ao longo das direcoes de vetores A e B e retornando a

sua posicao inicial. Tem-se que ao retornar a posicao inicial o vetor V varia em relacao a sua configuracao

inicial em δV .

Dessa forma, ao ser transportado paralelamente ao longo das direcoes dos vetores A eB e retornado ao ponto inicial, o vetor V varia em relacao a sua configuracao dada por

δ V µ = Rµναβ V

ν AαBβ, (1.47)

onde Rµναβ e conhecido na Literatura como tensor de Riemann ou tensor de curvatura

[33] e possui a propriedade de antisimetria em seus dois ultimos ındices

Rµναβ = −Rµ

νβα. (1.48)

Para se obter a expressao para o tensor de Riemann, deve-se observar que a forma comque o vetor V varia em relacao a sua configuracao inicial e dada pela derivada covariantede V em uma dada direcao. Desde que a derivada covariante de um vetor mede o quantoum vetor varia em relacao ao que este seria transportado paralelamente, pode-se calcularδV atraves da diferenca entre o transporte paralelo de V nas direcoes de A e B e noretorno a sua posicao inicial. Essa diferenca entre o transporte paralelo de V nas direcoesde A e B e seu retorno e a definicao do operador comutador de duas derivadas covariantes,isto e,

[∇µ,∇ν ]Vρ = ∇µ∇νV

ρ −∇ν∇µVρ

(1.49)=

(∂µΓρνβ − ∂νΓ

ρµβ + ΓρµλΓ

λνβ − ΓρνλΓ

λµβ

)V β − 2Γλ[µλ]∇λV

ρ,

onde a expressao para o comutador de duas derivadas covariantes pode ser escrita emtermos do tensor de Riemann e do tensor de torcao, ou seja,

[∇µ,∇ν ]Vρ = Rρ

λµνVλ − T λµν ∇λV

ρ (1.50)

Dessa maneira, comparando as expressoes (1.49) e (1.38), o tensor de Riemann deve serescrito em relacao as conexoes afim, ou seja,

Rρλµν = ∂µΓρνβ − ∂νΓ

ρµβ + ΓρµλΓ

λνβ − ΓρνλΓ

λµβ. (1.51)

Tendo-se definido o tensor de curvatura, vamos fazer a correlacao entre defeitos topologicose a geometria diferencial. Como discutido na secao anterior, pode-se fazer um aprox-imacao linear para descrever pequenas deformacoes em uma rede cristalina atraves de um


Figura 1.7: Representacao do operador comutador de duas derivadas covariantes.

tensor metrico. Com essa aproximacao linear Katanaev e Volovich desenvolveram umaformulacao para descrever os defeitos topologicos, no limite do contınuo, atraves da ge-ometria diferencial. Na formulacao de Katanaev e Volovich, os os defeitos topologicos saoproduzidos por dois tipos de fonte: os defeitos gerados pela curvatura do espaco-tempotem como fonte o tensor energia-momento e sao chamados de desclinacoes enquanto queos defeitos gerados pela presenca de torcao no espaco-tempo tem o momento angularde spin (classico) como fonte e sao chamados de deslocacoes. Portanto, para se obter otensor metrico que corresponde a uma deslocacao ou a uma desclinacao ou ainda para aocorrencia de ambas e que satisfaca as equacoes (1.13) e (1.19), quatro hipoteses foramestabelecidas por Katanaev e Volovich [37] para resolver as equacoes de Einstein e obtero tensor metrico

• Existem solucoes que descrevem um meio com deslocacoes apenas, onde Rρλµν = 0

e T ρµν 6= 0.

• Existem solucoes que descrevem um meio com desclinacoes apenas, onde Rρλµν 6= 0

e T ρµν = 0.

• Existem solucoes que descrevem um meio sem deslocacoes e sem desclinacoes, ouseja, Rρ

λµν = 0 e T ρµν = 0.

• Existem solucoes que descrevem um meio tanto com deslocacoes quanto desclinacoes,ou seja, Rρ

λµν 6= 0 e T ρµν 6= 0.

Assim, usando o princıpio da mınima acao, esta formulacao pode ser sintetizadaatraves da acao de Einstein-Hilbert, onde a densidade Lagrangeana e dada por [37]

L = −κ∫

(T µνdisloc + T µνdiscl) gµν dx3, (1.52)

onde T µνdisloc e T µνdiscl sao as fontes geradas para deslocacoes e desclinacoes. Nao iremosderivar aqui as equacoes de Einstein atraves do princıpio da mınima acao nem mostrarcomo obter as solucoes das equacoes de Einstein que descrevem as desclinacoes e deslocacoesque iremos trabalhar ao longo desta Tese de Doutorado para nao deixar esse trabalhomuito longo. Detalhes sobre a derivacao das equacoes de Eintein atraves do princıpioda mınima acao estao bem discutidos na referencia [33] e detalhes sobre as solucoes dasequacoes de Einstein que descrevem desclinacoes e deslocacoes sao discutidos na referencia[37]. Com isso estabelecemos parte das ferramentas matematicas que iremos necessitar


ao longo de nosso trabalho. Na proxima secao trabalharemos o restante das ferramentasmatematicas junto com a definicao de referenciais locais.

1.3 Os Refereciais Locais

A necessidade de construirmos referenciais locais vem do fato que a definicao departıcula no espaco-tempo curvo nao ser unıvoca, por exemplo, um observador que es-teja em queda livre pode medir um numero de partıculas diferentes de outro observadorque esteja acelerado [35]. Com isso, torna-se conveniente escolher um estado de vacuodo qual o conceito de partıcula seja global em todo o espaco-tempo. Assim, a escolhanatural para se definir o estado de vacuo e o estado de vacuo definido no espaco-tempo deMinkowisky, onde este estado de vacuo e invariante dentro de grupo de Poincare e ondetodos os observadores estao localizados em referenciais inerciais. Dessa forma, a ausenciade partıcula para um observador implica na ausencia de partıcula para todos os outros ecada partıcula registrada por um observador inercial e definida como modos desse estadode vacuo.

Para definir o spin no espaco-tempo curvo, recorre-se aos conceitos de teoria de cam-pos no espaco-tempo de Minkowisky, onde o spin e classificado de acordo com as trans-formacoes infinitesimais de Lorentz

xa → xa = Λab x

b = (δab +$ab) x

b, (1.53)

onde $ab = −$ba e |$ab| << 1. No espaco-tempo curvo, as transformacoes infinitesimais

de Lorentz dependem do ponto onde sao aplicadas Λab → Λa

b (x) e para nao se peder aconexao com o grupo de Poincare ou apenas com o grupo de Lorentz, as partıculas comspin devem ser definidas em cada ponto do espaco-tempo de modo que os observadoresestejam localizados em referenciais inerciais.

Iremos entao descrever as leis da fısica da natureza na relatividade geral obedencendo oPrincıpio da Equivalencia. Com o Princıpio da Equivalencia pode-se construir referenciaislocais que sao inerciais e onde estes se tranformam perante transformacoes de Lorentzlocais. Pode-se enunciar o Princıpio da Equivalenica da seguinte forma [29, 31, 32, 33]

“Em todo ponto do espaco-tempo dentro de um campo gravitacional arbitrario e possıvelescolher um sistema de coordenadas inercial local tal que, dentro de uma regiao suficiente-mente pequena em torno do ponto em questao, as leis da natureza tomam a mesma formacomo num sistema de coordenadas cartesiano desacelerado na ausencia da gravitacao.”

O Princıpio da Equivalencia estabelece que em qualquer ponto do espaco-tempo pode-se ter um sistema de coordenadas inercial local que satisfaca as leis da relatividade especial.Dessa forma, considera-se uma partıcula que se move livremente dentro da influencia deforcas gravitacionais. De acordo com o Princıpio da Equivalencia [29, 31, 32, 33] ha umsistema de coordenadas em queda livre ξa cuja equacao de movimento e:

d2ξa

dτ 2= 0, (1.54)


com dτ sendo o tempo proprio da partıcula

dτ 2 =−1

c2ηab dξ

a dξb. (1.55)

Nesse sistema de coordenadas em queda livre, o objeto ηab e definido como sendo o tensormetrico do espaco-tempo de Minkowisky.

Agora, suponha-se que e adotados um outro sistema de coordenadas qualquer xµ,este pode ser um sistema de coordenadas cartesiano no repouso do laboratorio ou pode sercurvilıneo, ou acelerado, ou rotacionado, ou um outro qualquer desejado. As coordenadasem queda livre ξa sao funcoes de xµ e a equacao (1.54) torna-se:

d2ξa

dτ 2=

d

dτ

∂ξa

∂xµdxµ

dτ

=

d

dτ

(∂ξa

∂xµ

)dxµ

dτ+∂ξa

∂xµd2xµ

dτ 2

=∂ξa

∂xµd2xµ

dτ 2+

∂ξa

∂xν∂xµdxµ

dτ

dxν

dτ= 0. (1.56)

Multiplicando-se a equacao (1.56) por ∂xλ

∂ξae levando-se em conta que

∂ξa

∂xµ∂xλ

∂ξa= δλµ ⇒

d2xλ

dτ 2+ Γλνµ

dxµ

dτ

dxν

dτ= 0, (1.57)

onde Γλνµ ≡ ∂xλ

∂ξa∂2ξa

∂xν∂xµe a conexao afim. O tempo proprio dado em (1.55) pode tambem

ser expressado em um sistema de coordenadas arbitrario:

dτ 2 =−1

c2gµνdx

µdxν , (1.58)

que pela equacao (1.55) resulta em

dτ 2 =−1

c2ηab

∂ξa

∂xµdxµ

∂ξb

∂xνdxν =

−1

c2

∂ξa

∂xµ∂ξb

∂xνηab dx

µ dxν . (1.59)

Igualando-se (1.58) com (1.59), encontra-se uma relacao entre o sistema de coordenadasarbitrario e o referencial local em queda livre

gµν =∂ξa

∂xµ∂ξb

∂xνηab, (1.60)

ou seja, pode-se escrever o tensor metrico dado para um sistema de coordenadas arbitrarioem relacao um sistema de coordenadas locais que esta em queda livre8.

Vamos, entao, estender nossa definicao de referencial local tomando um ponto qualquerdo espaco-tempo e um certo sistema de coordenadas. Na vizinhanca de um ponto Xnum sistema de coordenadas arbitrario xµ temos que as coordenadas locais tornam-seξa → ξa (X). Entao, a relacao (1.60) fica:

gµν (X) =∂ξa (X)

∂xµ∂ξb (X)

∂xνηab. (1.61)

8Contudo, e possıvel estender a relacao (1.60) para um sistema de coordenadas locais que nao seja

inercial. Para isso basta que esse sistema continue obedecendo o Princıpio da Equivalencia. No quinto

capıtulo trabalheremos com referenciais locais nao-inerciais.


Portanto, se em todo ponto X tem-se um conjunto de coordenadas ξa (X) = ξaX quesao locais em X e obedecem o Princıpio da Equivalencia, o tensor metrico em qualquersistema de coordenadas geral pode ser escrito em relacao ao sistema de coordenadas locaiscomo

gµν (x) = eaµ (x) eb ν (x) ηab, (1.62)

onde

eaµ (X) ≡(∂ξaX (x)

∂xµ

)x=X

, (1.63)

sao objetos que definem em cada ponto do espaco-tempo um referencial local. Note-seque foram fixadas as coordenadas inerciais locais ξaX no ponto X, entao quando se muda

as coordenadas gerais de xµ para x′µ, as derivadas parciais∂ξaX(x)

∂xµ= eaµ (x) mudam de

acordo com a regra:

eaµ → e′aµ (x) =∂ξaX (x)

∂xν∂xν

∂x′µ=∂xν

∂x′µeaν (x) , (1.64)

isto e, observa-se que os referenciais locais eaν (x) transformam-se como um vetor covari-ante e nao como um tensor.

Tomada essa nocao e definicao dos referenciais locais a partir do Princıpio da Equivalencia,pode-se dar agora uma definicao em termos de uma base vetorial. Os refenciais lo-cais sao construıdos a partir dos elementos de uma base ortonormal nao-coordenada[29, 30, 31, 32, 33, 35, 36]

θa = eaµ (x) dxµ, (1.65)

cujos elementos eaµ (x) definem os referenciais locais quando satisfazem a relacao (1.62)e sao conhecidas com tetradas ou vierbein. As tetradas possuem uma inversa que satisfazas seguintes relacoes

eµa (x) eaν (x) = δµν ; eaµ (x) eµb (x) = δab. (1.66)

Portanto, com a definicao dos referenciais locais e sua inversa, iremos estabelecer queos ındices latinos indicarao as componentes de vetores ou tensores nos referenciais locaisenquanto que os ındices gregos indicarao as componentes de vetores ou tensores numsistema de coordenadas geral, ou melhor, do espaco-tempo. Iremos utilizar essa notacaoem todo o nosso trabalho.

Qualquer vetor ou tensor pode ser escrito em termos dos elementos da base nao-coordenada (1.65). Por exemplo, vamos tomar as seguintes componentes de tensores9

T µν = eµa eaν T

ab; T ab = eaµ e

νb T

µν . (1.67)

Ve-se, com a expressao (1.64), que os referenciais locais transformam-se como vetores.Qualquer mudanca de base devera ser realizada da forma

θa → θa′= Λa′

a (x) θa, (1.68)

9Vamos omitir a base dos tensores para nao prolongar a notacao.


onde as matrizes Λa′a (x) representam transformacoes que dependem de cada ponto do

espaco-tempo e deixam a forma canonica da metrica inalterada, ou seja,

ηa′b′ Λa′

a (x) Λb′

b (x) = ηab. (1.69)

Essas matrizes com ındices latinos promovem as chamadas Tranformacoes de Lorentz Lo-cais, enquanto que matrizes Λ com ındices gregos indicam Transfomacoes de Coordenadasno espaco-tempo. Pode-se exemplificar as transformacoes de Lorentz locais com

T a′µ′

b′ν′ = Λa′

a

∂xµ′

∂xµΛ bb′∂xν

∂xν′T aµbν . (1.70)

Tendo-se a lei de transformacao em maos, torna-se possıvel definir a derivada covariantedos referenciais locais. Para uma base nao-coordenada θa, defini-se as componentes daconexao um-forma como sendo ωab = ω a

µ b dxµ como

∇µθb = ω a

µ b θa. (1.71)

Apos alguns calculos, pode-se escrever a derivada covariante das componentes de um vetordado no referencial local como

∇µVa = ∂µV

a + ω bµ a V

b. (1.72)

Dessa forma, para um tensor podemos escrever a derivada covariante de suas componentesno referencial local como

∇µTab = ∂µ T

ab + T cb ω

aµ c − T ac ω c

µ b. (1.73)

Assim, tomando-se a expressao para a derivada covariante de um vetor num sistema decoordenadas geral, ou melhor, com ındices do espaco-tempo, e a expressao para a derivadacovariante no refencial local (1.72) podemos obter a expressao para as componentes daconexao um-forma em funcao das tetradas e das conexoes afins, ou seja,

ω aµ b (x) = −eνb∇µe

aν = −eνb

(∂µe

aν − Γλµν e

aλ

). (1.74)

Em geral essa expressao e muito boa para calcularmos as componentes das conexoesum-forma (1.74) quando se tem um espaco-tempo curvo sem torcao. Na ausencica detorcao, as conexoes afins Γλµν tornam-se os sımbolos de Christoffel que sao facilmente cal-culados via equacao (1.32). Contudo, na presenca de torccao, a expressao para a conexaoafim torna-se identica a (1.31). Nessa situacao torna-se melhor calcular as conexoes um-forma bem como as componentes do tensor de torcao via equacao de estrutura de Maurer-Cartan [30, 36]

T a = dθa + ωab ∧ θb, (1.75)

onde o operador d indica a derivada exterior, o sımbolo ∧ indica o wedge product10,T a = T aµν dx

µ ∧ dxν e chamada de torcao duas-forma e ωab = ω aµ b dx

µ e uma conexaoum-forma. No geral, o termo ω a

µ b e chamado de conexao de spin ou conexao um-forma.

10O wedge product entre duas um-formas e dado por dxµ∧dxν = 12 (dxµ ⊗ dxν − dxν ⊗ dxµ), enquanto

que a derivada exterior de uma um-forma e dada por dω = ∂µων dxµ ∧ dxν .


Para mais informacoes sobre derivada exterior e wedge product ver as referencias [30, 36].A relacao entre a torcao e o tensor de contorcao pode ser dada em termos dos referenciaislocais via expressao [41]

T a = Kab ∧ θb, (1.76)

onde tem-se uma relacao entre a torcao duas-forma e uma conexao um-forma associadaao tensor de contorcao, isto e, Ka

b = K aµ b dx

µ. A relacao entre a conexao um-forma Kµab

e o tensor de contorcao (1.33) e dada pela seguinte expressao [40]

Kµab = Kβνµ

[eνa (x) eβb (x)− eνb (x) eβa (x)

]. (1.77)

Portanto, fizemos ate esse momento uma breve revisao sobre como definir a derivadacovariante de um vetor diante de uma espaco-tempo curvo e na presenca da torcao e comodefinir os referenciais locais dos observadores que obedecem o princıcio da equivalencia darelatividade geral. Contudo, para estudarmos o comportamento de spinores num espaco-tempo curvo e na presenca da torcao, alguns requisitos a mais sao necessarios, pois osspinores tem algumas propriedades diferentes de vetores. Faremos esse estudo na proximasecao.

1.4 A Derivada Covariante de um Spinor

Para completar as ferramentas matematicas necesarias para o estudo da dinamicaquantica relativıstica e nao-relativıstica de partıculas neutras em um espaco-tempo curvoe na presenca de torcao, deve-se saber quais a caracterısticas dos spinores e como e adefinicao da derivada covariante para um spinor primeiramente. Nesta secao faremos umbreve estudo em como definir a derivada covariante de spinores, pois deixamos para oapendice A uma breve revisao de spinores de duas compomentes. Para uma revisao maisaprofundada sobre spinores na relatividade geral consultar as referencias [42, 43, 44, 45,46, 47, 48, 49].

Os spinores de Dirac no espaco-tempo curvo sao definidos como objetos de 4 com-ponentes que, sob o grupo das transformacoes locais de Lorentz (1.69), transformam-secomo

ψ (x)→ ψ′ (x) = S (Λ (x)) ψ (x) , (1.78)

enquanto seu hermitiano conjugado tranforma-se como

ψ† (x)→ (ψ′)†(x) = ψ† (x)S† (Λ (x)) , (1.79)

onde S (Λ (x)) e uma matrix 4×4 que e a representacao da matrix de Lorentz Λab (x) com

a retrica que detS = 1. Veja que esta e a extensao natural das matrizes spinoriais 2 × 2que estao definidas no apendice A. Escrevendo-se em termos das componentes spinoriaistem-se

ψA (x) → ψ′A (x) = SAB (x) ψB (x) , (1.80)

ψA (x) → ψ′A (x) = ψB (x)(S−1 (x)

)BA. (1.81)


Deve-se enfatizar que sob transformacoes de coordenadas no espaco-tempo, os spinorestransformam-se como escalares11, isto e, ψ′ (x′) = ψ (x).

As matrizes de Dirac constantes devem ser definidas em relacao ao referencial localdos observadores para termos suas expressoes em relacao ao espaco-tempo plano. Comodiscutido no apendice A, sem perda de generalidade, pode-se trabalhar nesta secao coma representacao reduzida das matrizes de Dirac12

γa = γa B′

A ou γa BA′ , (1.82)

que nos traz a mesma algebra spinorial para spinores de duas componentes e onde osındices A′, B′, C ′, ... indicam o hermitiano conjugado. Estas matrizes reduzidas continuamsatisfazendo a relacao de anticomutacao

γa B′

A′ γb TB′ + γb B′

A γa TB′ = 2ηab δ T

A , (1.83)

o que define a algebra de Clifford associada ao espaco-tempo de Minkowisky. Comoos spinores transformam-se como escalares diante de transformacoes de coordenadas noespaco-tempo e comum omitir os ındices spinorias e escrever a relacao de comutacao acimacomo

γa γb + γb γa = −2 ηab. (1.84)

Quando o espaco-tempo for curvo, as matrizes de Dirac deverao ser definidas em cadaponto do espaco-tempo. A expressao estas matrizes e facilmente obtida escrevendo emtermos dos referenciais locais, isto e,

γµ (x) = eµa (x) γa, (1.85)

onde a algebra de Clifford para essas matrizes e definida agora como

γµ (x) γν (x) + γν (x) γµ (x) = −2 gµν (x) , (1.86)

onde foram omitidos os ındices spinoriais para facilitar nossa leitura. Sob o grupo detransformacoes spinoriais (1.78), as matrizes de Dirac transformam-se como

(γ′)µ A′

A (x) = SA′B′(S−1

)BAγµ B′

B =[S γµ (x) S−1

] A′

A, (1.87)

enquanto que sob transformacoes de coordenadas, as matrizes γµ (x) transformam-se comoum 4-vetor contravariante, isto e,

(γ′)µ

=∂x′µ

∂xαγα (x) . (1.88)

Vamos tratar nesse momento da derivada covariante para um spinor no espaco-tempocurvo13. Tem-se que as transformacoes spinoriais (1.78) no espaco-tempo curvo dependem

11Para maiores detalhes ver apendice A.12Na referencia [48] e tomada a representacao 4× 4 das matrizes de Dirac.13Para maiores detalhes sobre a derivada covariante de um spinor no espaco-tempo de Minkowisky ver

apendice A.


de cada ponto onde sao realizadas. Assim, a derivada covariante de um spinor no espaco-tempo curvo deve ser dada por [49]

∇µ ψA (x) = ∇µ ψ

A (x) + ψB (x) Γ Aµ B, (1.89)

onde ∇µ corresponde as componentes da derivada covariante usual que definimos na secao1.1 para vetores. A derivada covariante de um spinor (1.89) transforma-se como um spinorem cada ponto do espaco-tempo, ou seja,

∇µ (ψ′)A

(x) = SAB (x) ∇µ ψB (x) , (1.90)

isto implica que o objeto Γ Aµ B transforma-se como

(Γ′)A

µ B = SAC Γ Cµ D

(S−1

)DB

+(∂µSAC

) (S−1

)DB, (1.91)

isto e, o objeto Γ Aµ B = Γµ nao se transforma como um spinor e e chamado de afinidade

spinoriais [49] ou conexao spinorial. Para um objeto que tenha tanto ındices do espaco-tempo quanto ındices spinoriais, a expressao mais geral para a derivada covariante ficadada por

∇µΨν AA′

BB′ = ∂µΨν AA′

BB′ +νµλ

ΨλAA′

BB′ + Ψν DA′

BB′ ΓA

µ D (1.92)− Ψν AA′

DB′ ΓDµ B +

(Γ†) A′

µ D′Ψν AD′

BB′ −(Γ†) D′

µ B′Ψν AA′

BD′ .

Usando a condicao (1.25) e a relacao de anticomutacao (1.86) obtem-se

∇µ

(γα γβ + γβ γα

)= 0, (1.93)

assim, uma condicao suficiente para que a equacao (1.93) seja satisfeita e que

∇µγα = ∇µγ

α BA′ = ∇µγ

α BA′ + γα D

A′ Γ BµD −

(Γ†µ) D′

A′γα BD′ = 0

= ∇µγα + γα Γµ − Γ†µ γ

α, (1.94)

onde os ındices spinoriais sao omitidos por conveniencia na ultima igualdade. Entao,multiplicando por γα pela esquerda e usando as propriedades das matrizes γα e a expressao(1.85), tem-se que a expressao para a conexao spinorial e dada por

Γµ =i

4ωµab (x) Σab = − i

4[eνb (x) ∇µe

cν (x) ηcb] Σab, (1.95)

onde os ındices spinoriais da conexao spinorial sao tambem omitidos por conviniencia eonde foi usada a expressao para a conexao de spin ωµab (x) dada em (1.74), com

Σab =i

2

(γa γb − γb γa

). (1.96)

A extensao para um espaco-tempo curvo e na presenca de torcao e feita usando omesmo procedimento adotado na secao 1.1, onde a conexao afim inclui os sımbolos deChristoffel e o tensor de contorcao (1.31). Com algumas manipulacoes algebricas ver-se-aa inclusao da conexao um-forma Kµab (x) na conexao spinorial, isto e,

Γµ =i

4[ωµab (x) +Kµab (x)] Σab. (1.97)

Portanto, temos agora em mao todas as ferramentas matematicas essenciais para dis-cutirmos o comportamento de partıculas neutras com momentos de dipolo eletrico emagnetico permanentes diante de um espaco-tempo curvo na presenca ou na ausenciade torcao e quando os referenciais locais forem inerciais ou nao.

Capıtulo 2

Dinamica das Partıculas Neutras

Neste capıtulo revisaremos a dinamica relativıstica de partıculas neutras que possuemmomentos de dipolo eletrico e magnetico permantes e em seguida faremos um revisaodo limite nao-relativıstico da equacao de Dirac no contexto do espaco-tempo curvo. Olimite nao-relativıstico da equacao de Dirac e obtido atraves da aproximacao de Foldy-Wouthuysen e sera aplicado em todos os contextos abordados durante nosso trabalho,ou seja, no contexto do espco-tempo curvo sem torcao, com torcao e quando tivermosreferenciais nao-inerciais.

2.1 A Dinamica Relativıstica de Particulas Neutras

O estudo da dinamica relativıstica de partıculas neutras, que possuem momento dedipolo magnetico permanente, deve ser baseado na dependencia em que as interacoeseletromagneticas dos nucleons possuem em relacao aos seus momentos de dipolo magnetico,pois a equacao de Dirac para partıculas livres ou interagindo com um campo eletro-magnetico externo preveem um momento de dipolo magnetico para neutrons sendo nulo.As interacoes eletromagneticas dos nucleons sao influenciadas pelas interacoes forte [50],onde estas mostram que o momento de dipolo magnetico do proton e de 1, 79µB enquantoque o momento de dipolo magnetico do neutron e −1, 91µB, sendo µB o magneton deBohr

µB =q~

2mpc, (2.1)

onde q e a carga do proton, mp a massa do proton e c a velocidade da luz no vacuo1.Portanto, no estudo da interacao do momento de dipolo magnetico de partıculas neutrascom o campo eletromagnetico deve-se abandonar o prıncipio do acoplamento mınimo[50, 51]

γµ∇µ −→ γµ (∇µ − q Aµ) , (2.2)

1Apenas nesta expressao e que deixamos c e ~ explıcitos. No que segue, sempre trataremos c = ~ = 1.

24

CAPITULO 2. DINAMICA DAS PARTICULAS NEUTRAS 25

e introduzir um acoplamento nao-mınimo na equacao de Dirac

γµ∇µ −→ γµ∇µ +µ

2Σµν Fµν , (2.3)

com µ = −κµB = 1, 91µB. De modo analogo, introduz-se outro acompamento nao-mınimopara o estudo da dinamica de partıculas neutras que possuem momento de dipolo eletricopermanente, pois estes determinam a parte real e imaginaria de uma mesma quantidadefısica [52, 53]. Este acoplamento sera

γµ∇µ −→ γµ∇µ − id

2Σµν γ5 Fµν . (2.4)

Assim, a dinamica relativıstica de partıculas neutras que possuem momentos de dipolomagnetico e eletrico permanentes que interagem com um campo eletrico e magneticoexternos, respectivamente, sera descrita pela equacao de Dirac no espaco-tempo curvocom a adicao dos dois termos de acoplamentos nao-mınimos dados em (2.3) e (2.4), istoe,

iγµ∇µψ +µ

2Σµν Fµνψ − i

d

2Σµν γ5 Fµνψ −mψ = 0, (2.5)

onde tem-se que µ e o momento de dipolo magnetico enquanto que d e o momento dedipolo eletrico. Os ındices µ, ν indicam os ındices do espaco-tempo. O tensor Fµν e otensor eletromagnetico cujas componentes sao definidas como

Fµν =~E, ~B

, Fµν = −Fνµ

F0α = Eα; Fαβ = −εαβγ Bγ, (2.6)

sendo (α, β, γ) os ındices espaciais do espaco-tempo 2. No espaco-tempo curvo, a derivadaordinaria ∂µ deve ser trocada pela derivada covariante ∇µ para abranger a geometria ou atopologia do espaco-tempo para se fazer o transporte paralelo de um vetor3. A definicaoda derivada covariante na equacao de Dirac e dada pela soma de dois termos

∇µ = ∂µ + Γµ, (2.7)

onde ∂µ continua sendo a derivada ordinaria em relacao a algumas das coordenadas doespaco-tempo como feito no espaco-tempo plano, Γµ e a conexao spinorial dada na ex-pressao (1.95) ou (1.97) (quando houver a presenca da torcao) e Σµν = eµa (x) eνb (x) Σab,com Σab sendo dada em (1.96). Os ındices latinos (a, b, c) indicam as componentes dosreferenciais locais e correspondem a 0, 1, 2, 3.

Lembrando-se que as matrizes γµ sao definidas em termos dos referenciais locias viaexpressao (1.85), ou seja,

γµ (x) = eµa (x) γa, (2.8)

2Usaremos apenas os ındices (α, β, γ) como ındices espaciais do espaco-tempo. Os demais ındices

denotados por letras gregas indicarao as quatro componentes do espaco-tempo.3E comum dizer que∇µ e a derivada covariante, porem essa notacao indica as componentes da derivada

covariante. Nao entraremos nos meritos dessa discussao aqui por nao termos essa finalidade, porem em

qualquer livro sobre relatividade geral essa questao de notacao pode ser facilmente esclarecida.


onde as matrizes γa sao as matrizes de Dirac definidas no espaco-tempo de Minkowisky,

γ0 = β =

(1 00 −1

), γi = β αi =

(0 σi

−σi 0

), (2.9)

com σi sendo as conhecidas matrizes de Pauli que satisfazem a relacao de anticomutacao(σi σj + σj σi) = 2 ηij. O tensor ηab = diag(−1, 1, 1, 1) e o tensor de Minkowsky cujoındices (i, j, k =, 1, 2, 3) representam os ındices espaciais dos referenciais locais 4. Paraterminarmos nossas definicoes sobre a equacao de Dirac no espaco-tempo curvo devemosdefinir a matrix γ5. Esta e definida como

γ5 =−i24

εµναβ γµ γν γα γβ = i γ0 γ1 γ2 γ3 = γ5 =

(0 11 0

), (2.10)

e por conveniencia, defini-se a vetor de spin ~Σ como sendo

~Σ =

(~σ 00 ~σ

). (2.11)

Para encerrarmos essa secao vamos usar a expressao (1.25), para escrevermos a equacaode Dirac (1.22) em termos dos referencias locais. A equacao de Dirac passa a ser escritacomo

iγa eµa (x)∇µψ +µ

2Fµν e

µa (x) eνb (x) Σabψ − id

2Σab eµa (x) eνb (x) γ5 Fµν = mψ. (2.12)

Dessa forma, temos todas as definicoes que nos serao necessaria para desenvolvermosnosso trabalho. Partiremos em todos os capıtulos seguintes da equacao de Dirac escritaem (2.12). E claro que, quando tratarmos do espaco-tempo curvo e com torcao deveremosfazer uma modificacao na derivada covariante, porem, a expresscao continua condessadana mesma forma.

2.2 Aproximacao de Foldy-Wouthuysen

Nesta secao apresentaremos o metodo do qual faremos uso para estudarmos a influenciada topologia do espaco-tempo, bem como dos efeitos nao-inerciais, sobre o comportamentode partıculas neutras no limite de baixas energias. O metodo utilizado neste trabalho foidesenvolvido por Foldy e Wouthuysen em 1950 [54] e consiste em dividir a Hamiltonianarelativıstica dada na equacao de Dirac em termos que apresentam propriedades bemdistintas. Dada a equacao de Dirac no espaco-tempo curvo (2.12), onde adotaremos deagora em diante a convencao c = ~ = 1. A intencao inicial e escrever a equacao de Diracna forma

i∂ψ

∂t= Hψ. (2.13)

4Iremos adotar os ındices (i, j, k) e apenas estes como sendo os ındices espaciais dos referenciais locais.

As demais letras latinas irao correr de 0 a 3.


Dessa forma, tomando-se a expressao para a Hamiltoniana H da equacao de Diracacima e a escrevendo como uma combinacao de termos, que sao chamados de termospares e ımpares, com a seguinte forma [54, 50, 51]

H = β m+ O + ε, (2.14)

onde os termos pares sao indicados pelo operador ε e os termos ımpares pelo operador O,enquanto que o termo β m e o termo restante da parte par da Hamiltoniana. A identi-ficacao dos termos pares e ımpares e feita de acordo com que os termos da HamiltonianaH satisfacam as relacoes

O β + β O = 0,

ε β − β ε = 0.(2.15)

Com a idenficacao dos termos pares e ımpares, deve-se promover uma transformacaounitaria sobre a Hamiltoniana dada por

H ′ = eiS H e−iS. (2.16)

A intencao dessa transformacao e de minimizar a quantidade de termos ımpares da Hamil-toniana e eliminar os termos pares. Na transformacao acima o operador S e dado por

S =i

2mβ O, (2.17)

onde este nao apresenta uma dependencia temporal explıcita no tempo. A dependenciatemporal de S ocorre se a Hamiltoniana tiver dependencia temporal. Para obter a ex-pressao nao-relativıstica para H ′, deve-se usar a definicao de funcao de um operador eexpandir a expressao para H ′ em series de 1/m. A expressao para essa expansao fica

H ′ =

1 + iS +

(iS)2

2!+ ...

H

1− iS +

(iS)2

2!+ ...

= H + i

[S, H

]+i2

2!

[S,[S, H

]]+ ...+

in

n!

[S,[S, ...,

[S, H

]...]]

+ ...

= H + i[S, H

]− 1

2

[S,[S, H

]]− i

6

[S,[S,[S, H

]]]+ ... (2.18)

Apos alguns calculos dos comutadores de S e H, ter-se-a uma expressao do tipo

H ′ = mβ + O′ + ε′. (2.19)

O proximo passo e promover uma nova transformacao unitaritaria usando

S ′ =i

2mβ O′ = − i

2mβ

(i

2mβ[O, ε

]− 1

3m2O3

), (2.20)

com isso se obtem uma nova Hamiltoniana H ′′ dada por

H ′′ = eiS′H ′ e−iS

′= mβ + ε′ +

1

2mβ[O′, ε′

]− [

13m2O′

3. (2.21)


Note-se que o termos proporcional a O′3

tem uma potencia maior que m−1, logo, pode-sedesprezar esse termo. Agora a Hamiltoniana H ′′ tem um expessao do tipo

H ′′ = mβ + ε′ + O′′, (2.22)

onde O′′ = 12mβ[O′, ε′

], porem, este operador possui termos de ordem maior que m−1.

Resta-nos ter que eliminar O′′. Aplica-se, entao, uma terceira transformacao unitariaonde tem-se outra nova Hamiltoniana H ′′′:

H ′′′ = eiS′′H ′ e−iS

′′, (2.23)

com o operador S ′′ sendo dado em funcao de O′′,

S ′′ = − i

2mβ O′′. (2.24)

Portanto, uma boa aproximacao para H ′′′ e dada pela seguinte expressao

H ′′′ ≈ mβ + ε′

≈ mβ +1

2mβ O2 − 1

3m3β O4 + ε− 1

8m2

[O,[O, ε

]]. (2.25)

Observa-se agora que se tem apenas termos pares na expressao para a Hamiltoniana e quepara se ter uma boa aproximacao para o limite nao-relativıstico basta tomar os termosda ordem de m−1 na Hamiltoniana (2.25). Sera com essa expressao que estudaremos ainfluencia da topologia do espaco-tempo e dos referenciais nao-inerciais sobre o compor-tamento das partıculas neutras no limite nao-relativıstico.

2.3 Dinamica Nao-Relativıstica para Partıculas Neu-

tras

Nesta secao sera demonstrada uma aplicacao da aproximacao de Foldy-Wouthuyssendistcutida na secao anterior. A aplicacao sera feita a partir da dinamica relativısticade uma partıcula neutra com momentos de dipolo magnetico e eletrico permanentes in-teragindo com o campo eletromagnetico externo no espaco-tempo plano. A partir doproximo capıtulo serao estudadas aplicacoes da aproximacao de Foldy-Wouthuyssen noespaco-tempo curvo na ausencia ou na presenca de torcao. O ponto de partida e escrevera equacao de Dirac (2.5) na forma (2.13). Desse modo, considerando-se ∇µ = ∂µ, pode-seescrever

i∂ψ

∂t= mβψ + ~α · ~pψ − iµβ ~α · ~E ψ + µβ~Σ · ~B ψ + dβ ~Σ · ~Eψ + idβ ~α · ~B ψ, (2.26)

onde pi = −i∂i. Para aplicar a aproximacao de Foldy-Wouthuyssen precisa-se que ostermos pares ε e ımpares O da equacao de Dirac (2.26) sejam identificados atraves dasrelacoes (2.15). Assim, tem-se que

O = ~α · ~p+ iµβ ~α · ~E − idβ ~α · ~B(2.27)

ε = µ β ~B · ~Σ + d β ~E · ~Σ.


Agora, substituindo os operadores dados em (2.27) na expressao (2.25), a expressaopara a Hamiltoniana nao-relativıstica, escrevendo H ′′′ = HNR, fica entao

HNR = β m+β

2m

[~p+ µ β (~Σ× ~E)− d β (~Σ× ~B)

]2

− µ2E2

2m− d2B2

2m

+µ

2m~∇ · ~E +

d

2m~∇ · ~B + d β ~Σ · ~E + µ β ~Σ · ~B. (2.28)

Observa-se na expressao (3.40) que essa e a Hamiltoniana da equacao de Schrodinger-Pauli para uma partıcula neutra com momentos de dipolo magnetico µ e eletrico d perma-nentes interagindo com o campo electromagnetico. O primeiro termo da equacao (3.40)corresponde a massa de repouso da partıcula neutra. No segundo termo de (3.40) nota-seque a interacao spin-orbita acopla-se com o momento linear da partıcula no limite nao-relativıstico. O terceiro e quarto termos correspondem a energia dos campos. O termoproporcional a ~∇· ~E e conhecido como sendo o termo de Darwin [50, 51]. Os dois ultimostermos de (3.40) correspondem a interacao entre os momentos de dipolos com os camposexternos.

Em [26, 27], Anandan mostrou que a funcao de onda de uma partıcula neutra commomentos de dipolo magnetico e eletrico adquire uma fase quantica nao-abeliana dadapela expressao

ψ = P ei∮

(aµ+bµ) dxµ ψ0, (2.29)

onde P e operador de ordenamento, ψ0 e solucao da equacao da equacao de Schrodinger-Pauli na ausencia de campos, enquanto que aµ e bµ sao campos de gauge que geram umafase quantica nao-abeliana. As expressoes para esses campos de gauge sao

aµ =(−µ~σ ·B, µ~σ × ~E

); bµ =

(−d~σ · ~E, −d~σ × ~B

). (2.30)

Portanto, essa expressao para a Hamiltoniana nao-relativıstica obtida atraves da aprox-imacao de FoldyWouthuyssem e um bom exemplo da aplicacao deste metodo e sera degrande interesse no desenvolvimento deste trabalho por recuperar os resultados obtidospor Anandan em [26, 27] possibilitando, assim, uma melhor analise de nossos resultados.

Capıtulo 3

FGQ no Espaco-Tempo da Corda

Cosmica

O estudo de fases geometricas gravitacionais analogas ao efeitos Aharonov-Bohm (AB)e Aharonov-Casher (AC) vem sendo atrativo nas ultimas decadas. O efeito gravitacionalanalogo ao efeito Aharonov-Bohm e tratado em [55, 56, 57]. Em 1981, Ford e Vilenkin[55], mostraram que uma partıcula que se mova em uma regiao do espaco-tempo onde otensor de Riemann e nulo apresenta efeitos nao-locais da curvatura do espaco-tempo nonıvel classico. Em 1987, Bezerra [56] e mostrado que, no espaco-tempo da Corda Cosmica,o transporte paralelo de um vetor e um spinor ao longo de uma curva fechada numa regiaoque nao haja curvatura presente gera uma precessao desse vetor/spinor em relacao a suaconfiguracao inicial. Essa precessao e representada atraves de uma matriz de holonomiacujo angulo de precessao e dado pelo deficit de angulo desse espaco-tempo. Portanto, esseefeito de precessao tem caracter puramente topologico e configura um efeito analogo aoefeito AB. Contudo, em 1986, Mazur [57] investigou uma fase gravitacional analoga aoefeito AB para a dinamica quantica relativıstica de partıculas na presenca de uma cordacosmica girante.

Em 1994, Anandan [58], aplicou a aproximacao WKB para estudar o surgimento defases topologicas e geometricas na funcao de onda de uma partıcula neutra devido apresenca de curvatura e torcao no espaco-tempo sem a aproximacao de campo fraco.Anandan tambem estudou o caso em que a partıcula neutra estava acelerada devido aacao de uma forca externa, excluindo a forca gravitational, e obteve que a funcao de ondaadquiria uma mudanca de fase devido a curvatura, a torcao e a aceleracao da partıcula,sendo esta ultima analoga a precessao de Thomas.

Estudos sobre fases geometricas gravitacionais analogas ao fase de Berry foram feitospor Cai e Papini, em 1989 [59] e em 1990 [60], onde obtiveram a forma covariante dafase de Berry atraves da aproximacao de campo fraco. Assumindo que o espaco-tempoe conformalmente plano, Lambiase e Papini [61], em 1998, estudaram a fase de Berrypara partıculas de spin 1/2. Outros trabalhos envolvendo a fase de Berry na presencade campo gravitacional foram feitos com o campo escalar: em 1995, Corichi e Pierri [62]no espaco-tempo da corda cosmica girante; em 1998, Mostafazadeh [63] atraves de uma

30

CAPITULO 3. FGQ NO ESPACO-TEMPO DA CORDA COSMICA 31

aproximacao relativıstica adiabatica; em 2000, Assis et al [64] no espaco-tempo de umacorda cosmica chiral.

O efeito gravitacional analogo ao efeito AC foi estudado por Anandan [65] em 1992e separadamente por Resnik [66] em 1995, onde consideraram a atracao gravitacionalentre uma partıculas de spin (classico) e uma haste massiva atraves da aproximacao decampo fraco. Assumindo que o espaco-tempo e curvo, uma discussao ampla sobre fasesgeometricas quanticas sem a aproximacao de campo fraco foi feita em 2001 por Alsing etal [67] e por Shen em 2004 [68] e em 2006 [69].

Neste capıtulo iniciaremos nosso estudo, foco de nosso trabalho nessa primeira parte,sobre o surgimento de fases geometricas na funcao de onda de partıculas neutras que pos-suem dipolos eletrico e magneticos permanentes diante de um espaco-tempo que possuicurvatura nao-nula. Nossa intensao e observar a influencia da topologia do espaco-temposobre a dinamica relativıstica de partıculas neutras e, em seguida, observar a influencia datopologia de defeitos lineares em solidos em sistemas analogos aos sistemas AC e HMWque estao inseridos na dinamica nao-relativıstica de partıculas neutras. Mostraremos noinıcio deste capıtulo o cenario da relatividade geral e a configuracao de campos eletricoe magnetico. Em seguida, traremos a discussao da dinamica relativıstica de partıculasneutras e o surgimento de fases geometricas relativısticas. Por fim, estudaremos o com-portamento de partıculas neutras no limite nao-relativıstico e discutiremos o surgimentode fases geometricas nao-relativısticas atraves de efeitos de interferencia.

A convencao de ındices que estabelecemos e a seguinte: os ındices (i, j, k) e apenasestes indicarao os ındices dos eixos espaciais dos referenciais locais. Os demais ındicescom letras latinas irao de 0 a 3. Para os ındices do espaco-tempo, adotaremos os ındices(α, β, γ) e apenas estes como sendos os ındices dos eixos espacias do espaco-tempo. Osdemais ındices indicados por letras gregas indicarao os quatro eixos do espaco-tempo.

3.1 Espaco-Tempo da Corda Cosmica e Configuracoes

dos Campos Externos

Iremos desenvolver nosso trabalho ao longo dessa secao com uma estrutura muitoconhecida do espaco-tempo. Escolhemos o espaco-tempo de uma corda cosmica. Ascordas cosmicas sao defeitos lineares que se supoe que surgiram atraves de transicoesde fase durante a evolucao do Universo envolvendo quebra de simetria [70, 71, 72]. Oelemento de linha que descreve esse espaco-tempo e

ds2 = −dt2 + dρ2 + η2ρ2dϕ2 + dz2, (3.1)

onde η = 1−4Gν e um parametro relacionado ao deficit de angulo e e definido no intervalo0 < η < 1, com ν sendo a densdidade linear de massa desse defeito topologico. O anguloazimutal e definido estar no intervalo 0 ≤ ϕ < 2π. O parametro relacionado ao deficitde angulo pode assumir valores nos quais η < 1 o que mostra um espaco-tempo conicocom curvatura positiva e pode assumir valores η > 1 que correspondem a um espaco-tempo anti-conico com um valor negativo para a curvatura [37, 73]. Comparando comos defeitos em solidos descritos pelos processos de Volterra que discutimos no capıtulo


1, a parte espacial do elemento de linha da corda cosmica (3.1) pode ser representadapela figura 1.4 de uma desclinacao positiva. Esse espaco-tempo possui uma singularidadeconica que e representada pelo tensor de curvatura abaixo

Rρ,ϕρ,ϕ =

(1− η)

4ηδ2(~r), (3.2)

com δ2(~r) sendo a funcao delta de Dirac em duas dimensoes. Este comportamento dotensor de curvatura e denominado de singularidade conica [74]. A singularidade conicamostra que a curvatura desse defeito topologio esta concentrada no eixo de simetria dacorda cosmica, tendo em todos os outros pontos do espaco-tempo um valor nulo para acurvatura.

Para finalizarmos essa secao vamos estabelecer as configuracoes dos campos eletricoe magnetico que iremos trabalhar nas proximas secoes. A primeira configuracao seradada assumindo que no eixo de simetria da corda cosmica ha uma distribuicao linear decargas eletricas λe. Esta distribuicao de cargas ira produzir campo eletrico radial dadopor [75, 76]

~E =λeηρ

ρ. (3.3)

A segunda configuracao sera dada assumindo que uma corrente eletrica uniforme I0

passa ao longo do eixo de simetria do defeito topologico. Essa corrente uniforme iraproduzir um campo magnetico azimutal dado por [76]

~B =I0

ηρϕ. (3.4)

A terceira configuracao sera dada por um campo magnetico constante B0 na direcaodo eixo-z do espaco-tempo, cuja expressao e

~B = B0 z. (3.5)

A quarta configuracao de campos sera dada assumindo que exista carga magnetica eque haja tambem uma distribuicao linear de cargas magneticas λm sobre eixo da cordacosmica. Esta distribuicao linear de cargas magneticas ira produzir um campo magneticoradial dado por [75]

~B =λmηρρ. (3.6)

A quinta configuracao e dada por um campo eletrico constante E0 ao longo do eixo zdo espaco-tempo, cuja expressao e

~E = E0 z. (3.7)

Podemos observar que no limite η → 1 teremos uma configuracao de campos produzi-dos por uma distribuicao linear de cargas eletricas e magneticas dada no espaco-tempode Minkowisky. Vamos seguir nosso trabalho nas proximas secoes tomando todas asconfiguracoes definidas acima. Iremos trabalhar a interacao com o momento dedipolo magnetico permanente µ com as configuracoes de campos dadas pelasexpressoes (3.3), (3.4) e (3.5), enquanto que iremos trabalhar a interacao domomento de dipolo eletrico permanente d com a configuracao de campos dadasnas expressoes (3.6) e (3.7). A escolha dos referenciais locais dos observadores seramostrada em cada secao.


3.2 Dinamica Relativıstica e Fases Geometricas Rel-

ativısticas I

Nesta secao vamos desenvolver a equacao de Dirac no espaco-tempo curvo (2.5) e(2.12) tendo como pano de fundo o defeito topologico dado pelo elemento de linha (3.1) econsiderando as configuracoes de campos radiais dadas nas expressoes (3.3) e (3.6) paraverificar o surgimento de fases quanticas relativısticas na funcao de onda da partıculaneutra. A caracterıstica da fase em ser geometrica ou topologica vem do comportamentodesta em ser local ou nao. Em geral, uma fase topologica e um efeito nao-local enquantoque a fase geometrica e um efeito local. Um discussao detalhada sobre o comportamentolocal e nao-local e feita na referencia [77], onde e mostrado que o efeito AB e nao-localdevido a nao haver a presenca do campo eletromagetico ao longo da trajetoria da partıculae por esse efeito depender apenas das quantidades fısicas que nao estao presentes nestatrajetoria. Dessa forma, a fase do efeito AB e considerada ser topologica e de formaidentica para o efeito DAB. Contudo, e mostrado que o efeito AC e local devido a presencade campo eletrico ao longo da trajetoria da partıcula, o que provoca interacoes locais.Assim, a fase depende do campo eletrico local ao longo da trajetoria da partıcula e deve serconsiderada uma fase geometrica. Com isso, o efeito HMW deve tambem ser consideradolocal e sua fase como sendo tambem geometrica.

Tendo definido o espaco-tempo no qual tomaremos como pano de fundo para nossoestudo, devemos definir os referenciais locais dos observadores como discutido no capıtuloanterior. Lembrando que os referenciais locais sao construıdos atraves das componentes dabase nao-coordenada θa = eaµ (x) dxµ, para o elemento de linha (3.1) faremos a seguinteescolha [75]:

θ0 = dt

θ1 = cosϕdρ− ηρ sinϕdϕ

θ2 = sinϕdρ+ ηρ cosϕdϕ

θ3 = dz, (3.8)

que podemos escrever, tanto a tetrada eaµ (x) como sua inversa eµa (x), na forma matricialcomo

eaµ (x) =

1 0 0 00 cosϕ −ηρ sinϕ 00 sinϕ ηρ cosϕ 00 0 0 1

, eµa (x) =

1 0 0 00 cosϕ sinϕ 00 − sinϕ

ηρcosϕηρ

0

0 0 0 1

. (3.9)

Com a informacao dos referenciais locais devemos calcular as conexoes um-forma ωab =ω aµ b dx

µ para podermos inserir a informacao sobre a topologia dos espaco-tempo maisadiante na equacao de Dirac. Essas conexoes um-forma podem ser obtidas via equacoesde estrutura de Maurer-Cartan (1.75). Observando a simetria do defeito (3.1) temos quenao ha nenhuma componente nao-nula para a torcao duas-forma T a e que ha apenas duascomponentes nao-nulas para a conexao um-forma

ω 1ϕ 2 = −ω 2

ϕ 1 = 1− η. (3.10)


Portanto, dada a escolha dos referenciais locais (3.8) ou (3.9) temos que as a conexaospinorial Γµ em (1.95) tem apenas uma unica componente nao-nula

Γϕ = −1

4(1− η)

[γ1, γ2

]=i

2(1− η) Σ3. (3.11)

Dessa forma, usando a conexao spinorial (3.11) e a configuracao de campos (3.3) e(3.6), a equacao de Dirac (2.12) torna-se [75]

i γt∂ψ

∂t+ i γρ

(∂ρ −

1

2

(1− η)

ηρ− µ β Eρ + d β Bρ

)ψ + i

γϕ

ηρ

∂ψ

∂ϕ

+ i γz∂ψ

∂z− µ ~Σ · ~B ψ − d ~Σ · ~E ψ −mψ = 0, (3.12)

onde definimos as matrizes γµ = eµa γa como sendo dadas por

γt = et a γa = γ0;

γρ = eρa γa = cosϕγ1 + sinϕγ2;

(3.13)γϕ = ηρ eϕa γ

a = − sinϕγ1 + cosϕγ2;

γz = eza γa = γ3.

Vamos discutir agora as fases geometricas relativısiticas adquirida pela funcao de ondadas partıculas neutras nesta dinamica quantica atraves da aplicacao do fator de fasemagnetico de Dirac [3, 4]. Esse metodo foi proposto em 1931 por Dirac [3] onde podemosobter a funcao de onda de uma partıcula decompondo esta em um produto entre a funcaode onda da partıcula na ausencia de campos e um fator de fase chamado de “fator defase magnetico”. Em 1980, Berry [4] mostrou que podemos obter a solucao exata paraa funcao de onda para o efeito Aharonov-Bohm aplicanda o fator de fase magnetico deDirac. Dessa forma, vamos considerar que o spinor ψ possa ser escrito da seguinte forma:

ψ = eiφψ0, (3.14)

onde φ e a fase adquirida pela funcao de onda e ψ0 e uma solucao da equacao de Diracna ausencia de campos, ou melhor, ψ0 e solucao da equacao

i γt∂ψ0

∂t+ i γρ

∂ψ0

∂ρ+ i

γϕ

ηρ

∂ψ0

∂ϕ+ i γz

∂ψ0

∂z= mψ0. (3.15)

Portanto, substituindo a equacao (3.14) em (3.12) obteremos tres contribuicoes inde-pendentes para a fase geometrica quantica relativıstica. A primeira e gerada pela geome-tria conica da corda cosmica [75]

φR1 = −1

2

∮(1− η) Σ3 dϕ = −π (1− η) Σ3, (3.16)

enquanto que a segunda contribuicao para a fase e gerada pela interacao do momento dedipolo magnetico permanente da partıcua neutra com o campo eletrico externo dado em(3.3)

φR2 = −µβ∮ (

~Σ× ~E)ϕdϕ = −2π µλe β Σ3, (3.17)


enquanto que a terceira contribuicao para a fase geometrica relativıstica e dada pelainteracao entre o momento de dipolo eletrico da partıcula neutra como o campo magneticoexterno dado em (3.6)

φR3 = dβ

∮ (~Σ× ~B

)ϕdϕ = 2π dλm β Σ3. (3.18)

Veja que cada contribuicao para a fase geometrica relativıstica e nao-dispersiva porquenao depende da velocidade da partıcula neutra e, consequentemente, nao depende darelacao de dispersao (energia) da partıcula neutra [24, 25].

Podemos observar que a primeira contribuicao na expressao para a fase geometricarelativıstica pode ser escrita da forma

φp =1

4

∮RµνδλJ

δλdτµν , (3.19)

com Jδλ = Lδλ + Σδλ sendo o momento angular da partıcula. Ou seja, ao substituirmos acomponente do tensor de curvatura dado em (3.2) na expressao para a fase (3.19) teremoscomo resultado

φp = −∮

1

2(1− η) Σ3 dϕ. (3.20)

Esta fase e identica a fase de Berry relativıstica proposta por Cai e Papini em [59, 60]para uma partıcula de spin 1/2 quando e usada a aproximacao de campo fraco para umcampo gravitacional. Atraves da expressao (3.16) mostramos que podemos obter o mesmoresultado para a fase geometria sem a necessidade de fazer a aproximacao de campo fraco.Portanto, enfatizamos que a fase relativıstica dada nas referencias [59, 60] e generica.

Outro ponto importante que devemos observar e quando substituımos na expressao(3.16) o valor do parametro η. Isto fara com que tenhamos a seguinte expressao para afase

φR1 =1

2(8πG) ν Σ3, (3.21)

onde obtemos o mesmo valor para a fase obtida por Resnik em [66] em seu estudo parao efeito gravitacional analogo ao efeito Aharonov-Casher. Portanto, alem de mostrarmosque podemos obter uma expressao geral para a fase geometrica relativıstica dada pelatopologia do espaco-tempo atraves da expressao (3.16), mostramos tambem que podemosobter o mesmo valor para a fase do efeito AC classico na dinamica quantica de umapartıcula neutra.

Por fim, tomando a combinacao das tres contribuicoes para a fase geometrica rela-tivıstica (3.16), (3.17) e (3.18) teremos a expressao

φA =

∮ [−µ β

(~Σ× ~E

)ϕ

+ d β(~Σ× ~B

)ϕ− 1

2(1− η) Σ3

]dϕ

(3.22)= −2π (µλe − d λm) β Σ3 − π (1− η) Σ3,

que e uma generalizacao da fase geometrica relativıstica de Anandan [26, 27] dadas napresenca de um defeito topologico. Notemos que no limite η −→ 1 recuperamos a fasegeometrica de Anandan no espaco-tempo plano dada na expressao (2.29).


Outro ponto que devemos dar importancia nas contribuicoes para a fase geometricarelativıstica (3.16) e (3.17) e que estas sao fases nao-abelinas, onde a matriz de spinmostra-se sempre alinhada com o eixo-3 dos referenciais locais dos observadores e, conse-quentemente, mostra que o spin da partıcula neutra esta sempre alinhado com o eixo-z doespaco-tempo. Podemos ver ainda que as contribuicoes para a fase geometrica relativıstica(3.16) e (3.17) nao dependem da velocidade da partıcula neutra, o que caracteriza ter umafase nao-dispersiva como mostrado em [24, 25].

Portanto, vimos nesta secao que a topologia do espaco-tempo da corda cosmica bemcomo as interacoes dos dipolos com os campos externos geram contribuicoes independentespara o surgimento de fases geometricas relativısticas na funcao de onda da partıculaneutra. Obtivemos que a contribuicao para a fase provinda da topologia do espaco-tempotem o mesmo valor da fase dada no efeito gravitacional analogo ao efeito Aharonov-Cashere quando combinamos as contribuecoes independentes, obtivemos uma generalizacao dafase geometrica relativıstica de Anandan dada pelo acrecimo de um novo termo dado pelatopologia do espaco-tempo [75].

Duas caracterısticas que devemos destacar dessas contribuicoes para a fase geometricarelativıstica: a primeira e que elas sao nao-abelinas, onde o spin da partıcula neutra estasempre alinhado com o eixo-z do espaco-tempo; a segunda caracterıstica e que essa fasegeometrica relativıstica e nao-dispersiva, isto e, nao depende da velocidade da partıculaneutra [75]. Dessa forma, devido a estas contribuicoes nao dependerem da relacao dedispersao esperamos que o mesmo valor para a fase geometrica seja obtido no limite debaixas energias.

3.3 Dinamica Relativıstica e Fases Geometricas Rel-

ativısticas II

Nesta secao iremos fazer os estudo do surgimento de fases geometricas relativısticaspara uma partıcula neutra com momento de dipolo magnetico permante interagindo comum campo magnetico externo dado na configuracao (3.4) na presenca do defeito topologico(3.1). Esse campo magnetico e gerado por uma correne eletrica uniforme I0 que passa aolongo do eixo de simetria do defeito. Tambem iremos considerar a interacao do momentode dipolo magnetico permanente com o campo magnetico uniforme dada em (3.5). Porfim, estudaremos a surgimento de fases geometricas relativısticas devido a interacao domomento de dipolo eletrico permanente com o campo eletrico uniforme dado em (3.7).Nossa escolha para os referenciais locais dos observadores neste caso sera

θ0 = dt; θ1 = dρ; θ2 = ηρ dϕ; θ3 = dz, (3.23)

que na forma matricial, as tetradas e sua inversa ficam escritas como

eaµ (x) =

1 0 0 00 1 0 00 0 ηρ 00 0 0 1

, eµa (x) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1

ηρ0

0 0 0 1

. (3.24)


onde temos que o eixo-0 do referencial local e paralela ao eixo-t do espaco-tempo, os eixo-1 do referencial local e paralelo ao eixo-ρ do espaco-tempo e assim por diante. Logo, asconexoes 1-forma ou conexoes de spin serao agora

ω 1ϕ 2 = −ω 2

ϕ 1 = −η, (3.25)

e a equacao de Dirac (3.12), para a configuracao de campo (3.4) e os referenciais locais,

i γ0 ∂ψ

∂t+ i γ1

(∂ρ +

1

2ρ

)ψ + i

γ2

ηρ

∂ψ

∂ϕ+ i γ3 ∂ψ

∂z− µ ~Σ · ~B ψ − d ~Σ · ~E ψ = mψ. (3.26)

Usando novamento o metodo do fator de fase de Dirac [3, 4] dada na expressao (3.14),teremos que ψ0 sera solucao da equacao de Dirac

i γt∂ψ0

∂t+ i γρ

∂ψ0

∂ρ+ i

γϕ

ηρ

∂ψ0

∂ϕ+ i γz

∂ψ0

∂z= mψ0, (3.27)

enquanto que a fase que a funcao de onda da partıcula neutra com momento de dipolomagnetico permanente interagindo com o campo magnetico externo adquire nessa dinamicaquantica sera dada por duas contribuicoes independentes para a fase geometrica rela-tivıstica. A primeira contribuicao e gerada pela topologia do defeito [78]

φR4 =1

2

∮ηΣ3 dϕ = η πΣ3, (3.28)

onde podemos ver que esta e equivalente ao que obtivemos na secao anterior na expressao(3.16). A segunda contribuicao e gerada pela interacao entre campo magnetico azimutal(3.4) com o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra [78]

φR5 = −µ β∫ τ

0

~Σ · ~B dt = −µ β∫ τ

0

Σi eiϕB

ϕ dt = −µI0τ β Σ2, (3.29)

com τ sendo o tempo em que a partıcula neutral gasta para dar uma volta em torno doeixo de simetria do defeito. Note-se agora que o spin da partıcula neutra e projetadosobre o eixo-2 dos referenciais locais dos observadores. Combinando as expressoes (3.28)e (3.29) teremos que a expressao que tambem generaliza a fase relativıstica de Anandanpara a partıcula com momento de dipolo magnetico permanente interagindo com o campomagnetico azimutal (3.4)

ΦA2 = η πΣ3 − µI0T β Σ2. (3.30)

Considerando agora que haja apenas o campo magnetico uniforme ao longo do eixo-zdado em (3.5) interagindo com o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra, temosque a terceira contribuicao para a fase geometrica relativıstica e

φR6 = −µ β∫ T

0

~Σ · ~B dt = −µ β∫ T

0

Σi eiz B

z dt = −µB0T β Σ3. (3.31)

Novamente considerando a combinacao de (3.28) e (3.31) obteremos a expressao para a faserelativıstica de Anandan para uma partıcula neutra com momento de dipolo magneticopermanente interagindo com o campo magnetico uniforme ao longo do eixo-z (3.5)

ΦA3 = η πΣ3 − µB0T β Σ3. (3.32)


Agora, vamos olhar para interacao entre o momento de dipolo eletrico permanente dapartıcula neutra e as configuracoes de campos dadas em (3.7). A interacao do momentode dipolo eletrico da partıcula neutra com o campo eletrico uniforme (3.7) dado ao longodo eixo-z fara com que haja a seguinte contribuicao para a fase geometrica relativıstica

φR7 = −d β∫ T

0

~Σ · ~E dt = −d β∫ T

0

Σi eiz E

z dt = −dE0 T β Σ3. (3.33)

onde a expressao para a fase relativıstica de Anandan neste caso sera dada pela com-binacao entre (3.28) e (3.33), ou seja,

ΦA4 = η πΣ3 − dE0 T β Σ3. (3.34)

Todas as contribuicoes para a fase geometrica realtivıstica que obtivemos em (3.28),(3.29), (3.31) e (3.33) sao analogas a fase mostrada por Anandan em [26, 27, 65], escritatambem na expressao (2.29).

Novamente podemos constatar que essas contribuicoes para a fase geometrica rela-tivıstica sao nao-abelinas [78]. Contudo, comparando com os resultados obtidos na secaoanterior, vemos que o spin da partıcula neutra nao esta mais alinhado com o eixo-z doespaco-tempo em todas as contribuicoes. A primeira e terceira contribuicoes dadas em(3.28) e (3.31) mostram que o spin e projetado sobre o eixo-3 dos referencias locais dosobservadores e, consequentemente, com o eixo-z do espaco-tempo da mesma forma obtidana secao anterior na expressao (3.16). Porem, a segunda contribuicao dada em (3.29)mostra que o spin da partıcula e projetado sobre o eixo-2 do referencial local dos ob-servadores e, consequentemente, com o eixo-ϕ do espaco-tempo [78]. Da mesma formapodemos estender essa analise para as fases geradas pela interacao entre o momento dedipolo eletrico e campos eletricos externos. Na contribuicao dada em (3.33) vemos que ospin e projetado sobre o eixo-3 do referencial local dos observadores.

Podemos ver tambem que as duas contribuicoes independentes para a fase geometricaquantica relativıstica (3.28), (3.29), (3.31) e (3.33) nao dependem da velocidade da partıculaneutra, o que configura uma fase geometrica quantica nao-dispersiva [78].

Portanto, vimos nesta secao que tanto a topologia do defeito quanto a interacao entreos campos magnetico e eletrico externos com os momentos de dipolo magnetico e eletricoda partıcula neutra contribuem para a surgimento de fases geometricas na dinamicaquantica relativıstica da partıcula neutra. As duas caracterısticas que destacamos sao: aprimeira e que as contribuicoes independentes para a fase geometrica relativıstica (3.28)-(3.33) mostram que o spin da partıcula neutra pode ser projetado sobre eixos distintosnos referenciais locais do observadores; a segunda caracterıstica e que estas contribuicoesnao dependem da relacao de dispersao [78]. Assim, tambem podemos esperar que omesmo valor para a fase geometrica seja obtido na dinamica nao-relativıstica da partıculaneutra. Na proxima secao discutiremos o comportamento da partıcula neutra no limitenao-relativıstico.

3.4 Dinamica Nao-Relativıstica


Agora passaremos a estudar o comportamento das partıculas neutras no limite debaixas energias. Como ja apresentado na secao 3.2, utilizaremos a aproximacao de Foldy-Wouthuyssen [54]. Nosso objetivo inicial e tomar a equacao de Dirac no espaco-tempoda Corda Cosmica (3.12) e escrever na forma dada pela equacao (2.13). Promovendoalgumas manipulacoes matematicas, a equacao de Dirac (3.12) torna-se

i∂ψ

∂t= mβψ + ~α · ~pψ − i~α · ~ξ + µβ

(−i~α · ~E + ~Σ · ~B

)ψ + dβ

(~Σ · ~E + i~α · ~B

)ψ, (3.35)

onde chamamos, nos referenciais locais dos observadores, pi = −i eαi ∂α; Ei = eαiEα;

Bi = eαiBα e definimos a quantidade ~ξ cujas componentes sao [75]

ξi = eαi Γα = −1

4eαi ωαjk Σjk =

i

2(1− α) Σ3 eϕi, (3.36)

e ainda definiremos o operador

~π = ~p+ iµβ ~E − idβ ~B − i~ξ. (3.37)

Veja que definimos todas as grandezas da equacao de Dirac (3.35) nos referenciais locaisdos observadores com a finalidade de podermos sempre trabalhar a equacao de Dirac noespaco-tempo curvo com a mesma algebra que envolve as matrizes de Dirac no espaco-tempo plano. Desse modo, podemos escrever a equacao de Dirac numa forma mais com-pacta

i∂ψ

∂t= mβψ + ~α · ~π ψ + µ β ~Σ · ~Bψ + d β ~Σ · ~E ψ. (3.38)

Note que na ausencia do defeito topologico, a equacao de Dirac (3.35) e o operador definidoem (3.37) tornam-se identicos as expressoes obtidas em [79].

A partir desse momento, podemos aplicar a aproximacao de Foldy-Wouthuysen naequacao (3.38). Como mostrado na secao 3.2, podemos escrever a equacao de Dirac comouma combinacao linear de termos pares e ımpares (2.14). Os termos pares e ımparessao identificados na equacao de Dirac (3.38) de acordo com uma das relacoes (2.15) quesatisfacam. Neste caso obtemos

O = ~α · ~π(3.39)

ε = µ β ~B · ~Σ + d β ~E · ~Σ.

Aplicando, entao, diretamente na expressao para a Hamiltoniana nao-relativısitica (2.25)ate a ordem de m−1 teremos a expressao [75, 78]

HNR = β m+β

2m

(~p+ ~Ξ

)2

− µ2E2

2m− d2B2

2m+

µ

2m~∇ · ~E +

d

2m~∇ · ~B

+ d β ~Σ · ~E + µ β ~Σ · ~B, (3.40)

onde introduzimos o vetor ~Ξ cujas componentes sao definidas nos referenciais locais dosobservadores e dadas como segue

Ξj = µ β (~Σ× ~E)j − d β (~Σ× ~B)j +1

2(1− η) Σ3 eϕj. (3.41)


A Hamiltoniana dada em (3.40) descreve o comportamento dos dipolos eletrico emagnetico na presenca de campos eletricos e magneticos externos e tambem com a pre-senca do defeito topologico (3.1). A influencia do defeito topologico na expressao (3.41)

torna-se clara devido a preseca do vetor ~Ξ no segundo termo da expressao [75, 78]. Setomarmos o limite η → 1, isto e, na ausencia do defeito, recuperamos as mesmas con-figuracoes da referencia [79] para o espaco-tempo plano.

Portanto, terminamos essa secao com a expressao para a Hamiltoniana nao-relativısticasem discutir em pormenores os efeitos das configuracoes de campos que estabelecemos em(3.3) e (3.6), e da topologia da corda cosmica (3.1). Faremos isso na proxima secao.

3.5 Fases Geometricas Nao-Relativısticas I

Vamos estudar nessa secao o surgimento de fases geometricas nao-relativısticas quandohouver interferencia entre as partıculas neutras. Os efeitos que surgiram no limite debaixas energias foram devido a configuracao de dipolos na presenca de um defeito topologicoe com a influencia de campos magneticos e eletricos externos. A partıcula neutra queconsideramos ate entao possuem momentos de dipolo eletrico e magnetico permanentes.Vamos continuar trabalhando com a configuracao dos campos eletrico e magnetico saodados por (3.3) e (3.6).

A expressao para a Hamiltoniana (3.40) tem sua forma similar a Hamiltoniana de umapartıcula quantica com um acoplamento mınimo de um campo de gauge Ξµ. Podemosescrever a equacao (3.40) na forma

H = − 1

2m

(~∇− i~Ξ

)2

+ Ξ0, (3.42)

onde Ξi e dado em (3.41) e Ξ0 e dado por

Ξ0 = −µ2E2

2m− d2B2

2m+

µ

2m~∇ · ~E − d

2m~∇ · ~B + d β ~Σ · ~E + µ β ~Σ · ~B. (3.43)

Para estudarmos o surgimento de fases geometricas nesse sistema devemos analisarquais termos da Hamiltoniana (3.40) ou (3.42) que contribuem para o surgimento defases na funcao de onda das partıculas. Dada a configuracao de campos (3.3) e (3.6),podemos ver facilmente que os quatro ultimos termos da expressao (3.43) sao nulos, naodando contribuicao alguma para a fase. Observando os dois primeiros termos de (3.43),temos que esses termos proporcionais a E2 e B2 sao locais (sao proporcionais a ρ−2) e naocontriburem para a fase como mostrado em [26, 27, 79]. Vemos tambem que o terceiro equarto termos de (3.43) sao porporcionais a distribuicao local de cargas ao longo do eixo

de simetria da corda, ou seja, ~∇ · ~E = 2 (λe/ρ) δ(ρ) e ~∇ · ~B = 2 (λm/ρ) δ(ρ), o que naoinfluencia tambem na fase da partıcula que se move numa trajetoria ρ 6= 0. Portanto,os termos que contribuem para a fase devem ser dados por (3.41). A fase geometricaquantica nao-relativıstica que a funcao de onde adquire nesse sistema pode ser obtidatambem atraves do fator de fase de Dirac [3, 4] como fizemos na expressao (3.14) para ocaso relativıstico, ou seja

ψ = eiΦ ψ0, (3.44)


onde ψ0 e solucao da equacao

i∂ψ0

∂t= − 1

2m∇2ψ0 −

µ2E2

2mψ0 −

d2B2

2mψ0. (3.45)

Contudo, antes de analisarmos a fase geometrica quanitica devemos considerar que adistribuicao de cargas esta concentrada ao longo do eixo de simetria do defeito topologico,o que deixa clara a configuracao dos campos em (3.3) e (3.6). Portanto, a fase geometricaquantica adquirida pela funcao de onda em nosso sistema sera [75]

ΦNR =

∮Ξµ dx

µ =

∮Ξi e

iµ dx

µ =

∫ 2π

0

Ξi eiϕ dϕ, (3.46)

onde consideramos apenas campos spinoriais de duas componentes. Podemos observarque a expressao para a fase (3.46) e gerada por tres contribuicoes independentes

ΦNR1 =

∮1

2(1− η)σ3 dϕ = (1− η) π σ3, (3.47)

onde a primeira contribuicao de (3.47) e gerada pela topologia do defeito. A segundacontribuicao e gerada pela interacao do momento de dipolo magnetico da partıcula neutracom o campo eletrico externo

ΦNR2 = µ

∮(~Σ× ~E)j e

jϕ dϕ = 2π µλe σ

3, (3.48)

e por fim, a terceira contribuicao e gerada pela interacao entre o momento de dipoloeletrico da partıcula neutra com o campo magnetico externo

ΦNR3 = −d∮

(~Σ× ~B)j ejϕ dϕ = −2π d λm σ

3. (3.49)

Podemos observar tambem que cada contribuicao para a fase geometrica nao-relativısticae nao-abeliana, onde o spin da partıcula neutra esta alinhado com o eixo-z do espaco-tempo de forma identica ao que obtivemos na dinamica quantica relativıstica.

Ao combinarmos as tres contribuicoes independentes para a fase geometrica nao-relativıstica dadas em (3.47) obteremos uma generalizacao da fase quantica de Anandannao-relativıstica (2.29) na presenca de um defeito topologico

ΦA = (1− η) π σ3 + (µλe − d λm) 2π σ3. (3.50)

A contribuicao do defeito topologico para a fase generalizada de Anandan e vista clara-mente pelo primeiro termo de (3.48). Se tomarmos o limite η → 1, veremos que o resultadoe o mesmo obtida em [28] na ausencia de defeitos.

Veja que, seguindo [77], a fase nao-relativıstica (3.46) (que coincide com a fase deAnandan (3.48)) e geometrica porque depende da interacao local dos campos eletrico emagnetico. Observemos tambem que essa fase nao-relativıstica e nao-dispersiva porquecada contribuicao independente (3.47), (3.48) e (3.49) nao depende da velocidade dapartıcula neutra. Observemos tambem que cada contribuicao independente (3.47), (3.48)e (3.49) tem o mesmo valor (em modulo) obtido em (3.16), (3.17) e (3.18) e, conse-quentemente, as fases de Anandan (3.22) e (3.50) tem mesmo valor em modulo, quandoconsideremos spinores de duas componentes.


Se considerarmos o caso em que a partıcula neutra nao possui momento de dipoloeletrico, ou seja, se tomarmos d = 0 em (3.46), obteremos o efeito analogo ao efeitoAharonov-Casher na presenca de um defeito topologico. A fase geometrica adquirida pelafuncao de onda torna-se [75]

ΦAC = i

∮ejϕ ξj dϕ+ µ β

∮ (~Σ× ~E

)ϕdϕ

= (1− η) π σ3 + 2π µλe σ3. (3.51)

Observe que ha uma contribuicao topologica para o efeito Aharonov-Casher devido apresenca do defeito dada pelo primeiro termo da fase ΦAC e que se tormarmos o limiteη → 1 teremos exatamente a fase geometrica de Aharonov-Casher [16].

Nosso proximo passo e considerar que a partıcula neutra nao possui momento de dipolomagnetico, ou seja, tomamos µ = 0 em (3.46). Neste caso obteremos um efeito analogoao efeito He-McKellar-Wilkens na presenca de um defeito topologico. A fase geometricaadquirida pela funcao de onda sera [75]

ΦHMW = i

∮ejϕ ξj dϕ− d β

∮ (~Σ× ~B

)ϕdϕ

= (1− η) π σ3 − 2π d λm σ3, (3.52)

onde novamente vemos a influencia do defeito atraves do primeiro termo de ΦHMW . Por-tanto, ha tambem uma contribuicao topologica na fase quantica (3.52). No limite η → 1recuperamos a fase geometrica de He-McKellar-Wilkens [20, 21]. Ambos os resultadosdados nas expressoes (3.51) e (3.52) demonstram a influencia da topologia do defeito nadinamica quantica de partıculas neutras na presenca de campos externos.

Por fim, se considerarmos a ausencia de campos externos em nossa configuracao, aindaobtemos uma mudanca de fase na funcao de onda devido a presenca do defeito (3.1). Afase adquirida e entao

Φ = (1− η) π σ3 =1

2(8πG) ν σ3. (3.53)

Vemos na primeira igualdade de (3.53) que essa fase e topologica e e a mesma obtidaem [80] quando e encontrada a matrix de holonomia para um spinor no modelo contınuopara uma camada de grafeno com um defeito topologico. Na segunda igualdade de (3.53),substituımos o valor do paramitro η novamemente e obtivemos o mesmo valor para afase do efeito gravitacional analogo efeito AC dado em [66], so que agora com a dinamicanao-relativıstica de uma partıcula neutra.

Portanto, obtivemos nesta secao que a funcao de onda de uma partıcula neutraadquiriu tres contriubicoes independenes para a fase geometrica durante a dinamicaquantica nao-relativıstica geradas pela topologia do defeito e pela interacao entre o mo-mentos de dipolo eletrico e magnetico com os campos magnetico e eletrico externos, re-spectivamente [75]. Duas caracterısticas devem ser enfatizadas: cada contribuicao in-dependente da fase e nao-dispersiva tendo os valores para cada contribuicao para a fasenao-relativıstica sao o mesmos que obtivemos no caso relativıstico e que cada contribuicaoindependente para a fase e nao-abeliana, onde o spin da partıcula neutra esta sempre al-inhado com o eixo-3 dos referenciais locais dos observadores e, consequentemente, com oeixo-z do defeito topologico [75].


Vimos que, no caso nao-relativıstico, a contribuicao para a fase dada pela topologiado defeito tambem tem o mesmo valor da fase do efeito gravitacional analogo ao efeitoAharnov-Casher e com a combinacao das tres contribuicoes independentes obtivemos umageneralizacao para a fase geometrica de Anandan nao-relativıstica. Por fim, estudamosdois casos especiais: O efeito AC e o efeito HMW na presenca de um defeito topologico.Vimos que a topologia do defeito fornece uma nova contribuicao para os efeitos AC eHMW, mantendo a caracterıstica da nao-dispersividade da fase e o alinhamento do spinda partıcula neutra com o eixo-z do defeito [75].

3.6 Fases Geometricas Nao-Relativısticas II

Nesta secao iremos estudar o surgimento de fases geometricas nao-relativısticas nafuncao de onda de uma partıcula neutra com momento de dipolo magnetico permanentequando esta esta intergindo com o campo magnetico externo (3.4). Devemos lembrar queesse campo magnetico e produzido por uma corrente eletrica constante I0 que passa aolongo do eixo de simetria do defeito topologico. Tomando as expressoes (3.40) e (3.41)para a Hamiltoniana nao-relativıstica, o campo magnetico externo (3.4) e os referenciaslocais (3.23) e (3.24), a equacao de Schrodinger-Pauli ficara

i∂ψ

∂t=

1

2m

(~p+ ~Ξ

)2

ψ + µ~σ · ~Bψ + d~σ · ~E ψ, (3.54)

onde ~σ sao as usuais matrizes de Pauli e as componentes do vetor ~Ξ serao agora [78]

Ξk = − 1

2ρσ3 δk2. (3.55)

Portanto, usando novamente o metodo do fator de fase de Dirac [3, 4], a funcao deonda da partıcula neutra adquire duas componentes independentes para a fase geometricaquantica nao-relativıstica. A primeira contribuicao e dada pela topologica do defeito [78]

φNR4 =

∮1

2ρσ3δi2 e

iϕ dϕ = −η π σ3, (3.56)

onde podemos notar que esta contribuicao e equivalente ao que obtivemos na secao ante-rior. A segunda contribuicao vem da interacao do momento de dipolo da partıcula neutracom o campo magnetico azimutal (3.4)

φNR5 = −µ∫ τ

0

~σ · ~B dt = −µ∫ τ

0

Bϕ ei ϕ (x) σi dt = −µ I0 τ σ2, (3.57)

onde τ e o tempo gasto pela partıcula neutra para dar uma volta ao redor do eixo desimetria do defeito. Note-se tambem que o spin da partıcula neutra e projetado sobreo eixo-2 dos referenciais locais dos observadores de forma identica ao caso relativıstico.Combinando as contribuicoes (3.56) e (3.57), teremos uma nova expressao para a fasenao-relativıstica de Anandan (2.29) quando o momento de dipolo magnetico da partıculaneutra interage com o campo magnetico azimutal na presenca do defeito topologico

φA2 = −η π σ3 − µ I0 T σ2. (3.58)


Considerando agora apenas o campo magnetico uniforme (3.5) dado ao longo do eixo-zinteragindo com o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra, temos que a terceiracontribuicao para a fase geometrica nao-relativıstica sera

φNR6 = −µ∫ T

0

~σ · ~B dt = −µ∫ T

0

σi eiz B

z dt = −µB0T σ3. (3.59)

Combinando as contribuicoes (3.56) e (3.59), a fase nao-relativıstica de Anandan (2.29)dada quando o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra interage com o campomagnetico uniforme dado ao longo do eixo de simetria do defeito topologico ficara

φA3 = −η π σ3 − µB0T σ3 (3.60)

Agora, olhando para interacao entre o momento de dipolo eletrico permanente dapartıcula neutra e as configuracoes de campos dadas em (3.7). Com a interacao entre omomento de dipolo eletrico da partıcula neutra com o campo eletrico uniforme (3.7) dadoao longo do eixo-z teremos a seguinte contribuicao para a fase geometrica nao-relativıstica

φNR7 = −d∫ T

0

~σ · ~E dt = −d∫ T

0

σi eiz E

z dt = −dE0 T σ3. (3.61)

Novamente, a fase nao-relativıstica de Anandan sera dada pela combinacao das con-tribuicoes (3.56) e (3.61), onde temos agora que o momento de dipolo eletrico da partıculaneutra interage com um campo eletrico unforme dado ao longo do eixo de simetria do de-feito

φA4 = −η π σ3 − dE0 T σ3. (3.62)

Podemos ver novamente que todas as contribuicoes independentes para a fase geometricaquantica nao-relativıstica (3.56), (3.57), (3.59) e (3.61) nao dependem da velocidade dapartıcula neutra sendo, entao, nao-dispersivas e que seus valores coincidem com os valoresrelativısticos (3.28), (3.29), (3.31) e (3.33). Vemos tambem que a contribuicoes para afase geometrica nao-relativıstica (3.56), (3.57), (3.59) e (3.61) sao nao-abelinas, de formaidentica ao que obtivemos na secao 3.3 para o caso relativıstico.

Podemos ver claramente que a contribuicao (3.56) (dada pela topologia do defeito) e(3.59) (dada pela interacao entre o campo magnetico uniforme ao longo do eixo-z como momento de dipolo magnetico) mostram que o spin da partıcula neutra e projetadosobre o eixo-3 dos referenciais locais dos observadores, enquanto que a contribuicao (3.57)dada pela interacao do campo magnetico azimutal externo com o momento de dipolomagnetico da partıcula neutra mostra que o spin e projetado sobre o eixo-2 do referenciallocal do observadores. Vemos tambem que a interacao entre o momento de dipolo eletricocom o campo eletrico uniforme ao longo do eixo-z fornece uma contribuicao para a fase(3.61) onde o spin e projetado sobre o eixo-3 dos referenciais locais dos observadores.Essas projecoes sobre dois eixos distintos nos referenciais locais dos observadores serao deimportancia fundamental quando discutirmos a implementacao da computacao quanticaholonomica.

Portanto, obtivemos nesta secao que a funcao de onda da partıcula neutra adquireuma fase geometrica nao-relativıstica dada por cinco contribuicoes independentes [78].A primeira contribuicao foi gerada pela topologia do defeito, enquanto que a segunda


foi gerada pela interacao entre o campo magnetico azimutal externo com o momento dedipolo magnetico da partıcula neutra. A terceira contribuicao foi gerada pela interacaoentre um campo magnetico uniforme ao longo do eixo-z do defeito com o momento dedipolo magnetico da partıcula neutra. A quarta contribuicao para a fase geometrica nao-relativıstica foi gerada pela interacao entre o momento de dipolo eletrico permanente dapartıcula neutra com um campo eletrico uniforme ao longo do eixo-z do defeito. Obtive-mos que essas contribuicoes para a fase nao-relativısticas nao dependem da relacao dedispersao e que seus valores coincidem com os valores obtidos no caso relativıstico. Porfim, vimos que cada contribuicao gera uma fase nao-abeliana, onde o spin da partıculaneutra e projetado sobre dois eixos distintos no referenciais locais dos observadores [78].

Terminamos, portanto, esse capıtulo obtendo contribuicoes independentes para fasesgeomeetricas relativısticas e nao-relativısticas provindas da topologia do defeito e dasinteracoes entre os momentos de dipolos com os campos eletrico e magnetico externos.Veremos na proxima parte da Tese que essas contribuicoes independentes podem serusadas para a realizacao da computacao quantica holonomica.

Capıtulo 4

FGQ no Espaco-Tempo de uma

Deslocacao Cosmica

O estudo de efeitos gravitacionais na presenca de torcao e um campo de grande inter-esse a varios anos [81, 82, 83, 92, 40]. Em 1973, Hehl [81] trabalhou classicamente o spine a torcao no contexto da relatividade geral. Uma revisao detalhada sobre fundamentosda relatividade geral com spin e torcao foi feita por Hehl et al [82] em 1976, enquanto quea apresentacao de ferramentas matematicas para o estudo da equacao de Dirac acopladacom torcao, no espaco tempo curvo, foi realizada por Audretsch [83] em 1981. Estudossobre a presenca da torcao em defeitos topologicos no espaco-tempo, mais especificamenteem cordas cosmicas com deslocacao, foram realizados em 1992 por Bekenstein [84], em1993 por Gal’tsov e Letelier [85], em 1994 por Tod [86] e em 1995 por Letelier [87].

Discussoes sobre aspectos fısicos da presenca da torcao foram apresentadas em [88,89, 90, 91]. Em 1994, Bagrov et al [88] formularam a base teorica para possıveis man-ifestacoes experimentais da torcao em baixas energias. Em 1997, Singh e Ryder [89]levaram a discussao dos efeitos da torcao em baixas energias no contexto da teoria deEinstein-Cartan-Dirac, onde o tensor de torcao e considerado ter apenas as componentesaxiais (antisimetricas). Em 1998, Ryder e Shapiro [90] estudaram a intercao de partıculasde spin 1/2 com o campo eletromagnetico externo na presenca de torcao. Os efeitos doacoplamento de fermions com torcao sobre os nıveis de energia do atomos feito teorica-mente e comparado com experimentos de Hughes-Drever foi realizado por Lammerzahl[91] em 1997. A formulacao da leis de conservacao num espaco-tempo com curvatura etorcao foi realizada por Kleinert [92] em 2000. O limite nao-relativıstico da equacao deDirac acoplada com a torcao no espaco-tempo de Minkowisky foi discutida em 2002 porShapiro [40].

Outros estudos referentes a torcao sao de defeitos em cristais atraves da formulacaoda geometria diferencial para descrever defeitos topologicos em um meio elastico [37,73, 93, 38]. Toda a informacao esta contida em quantidades geometricas tais como ametrica, o tensor de curvatura e o escalar de curvartura. O meio elastico e consideradosendo o limite do contınuo, logo, um cristal pode se considerado como uma variedadede Riemann-Cartan. Em geral, os defeitos topologicos correspondem a curvatura (de-

46

CAPITULO 4. FGQ NO ESPACO-TEMPO DE UMA DESLOCACAO COSMICA 47

sclinacao) e a torcao (deslocacao) da variedade. Dessa forma, a dinamica quantica deeletrons ou buracos em um cristal pode ser modelada pela dinamica quantica de umapartıcula em um espaco curvo e com torcao. Assim, em 1999, Aurell [94] estudou ainfluencia da torcao no movimento de eletrons de conducao em pontos quanticos tantoclassicamente quanto no contexto da dinamica quantica nao-relativıstica. No ano 2000,Furtado et al [95] estudaram o espalhamento quantico de eletrons em solidos na presencade deslocacoes e observaram a fase de Berry. Em 2001, Furtado et al [96] estudaramo espalhamento quantico de um eletron por uma deslacacao na presenca de um fluxomagnetico interno obtendo o efeito AB para estados ligados e a fase de Berry associada aessa dinamica quantica.

Neste capıtulo trabalharemos o surgimento de fases geometricas abelianas e nao-abelianas na funcao de onda de uma partıcula neutra que possui momentos de dipolosmagnetico e eletrico permanentes quando considerarmos a interacao destes momentos dedipolos com campos externos em um espaco-tempo com curvatura nao-nula e na presencade torcao. Nossa intencao e estudar a influencia da topologia de um espaco-tempo na pre-senca de torcao na dinamica relativıstica de uma partıcula neutra e estudar a influencia deuma deslocacao em solidos cristalinos em sistema analogos aos sistemas AC e HMW quese inserem na dinamica quantica nao-relativıstica de uma partıcula neutra. Comecaremosestudando o surgimento de fases nao-abelianas devido a interacao dos momentos de dipolomagnetico e eletrico da partıcula neutra com campos eletrico e magnetico externos, re-spectivamente, e devido a topologia do defeito tanto na dinamica quantica relativısticaquanto na nao-relativıstica. Em seguinda, estudaremos o surgimento de fases abelianasdevido a topologia do defeito nas dinamicas quanticas relativıstica e nao-relativıstica dapartıcula neutra.

A convencao de ındices que estabelecemos neste capıtulo e a mesma que fizemos noscapıtulo anteriores: os ındices (i, j, k) e apenas estes indicarao os ındices dos eixos espaciaisdos referenciais locais. Os demais ındices com letras latinas irao de 0 a 3. Para os ındicesdo espaco-tempo, adotaremos os ındices (α, λ) e apenas estes como sendos os ındices doseixos espacias do espaco-tempo. Os demais ındices indicados por letras gregas indicaraoos quatro eixos do espaco-tempo.

4.1 Fases Geometricas Nao-Abelianas Relativısticas

Nesta secao iremos estudar o surgimento de fases geometricas quanticas nao-abelianasque surgem na dinamica quantica relativıstica de uma partıcula neutra com momentode dipolo magnetico e eletrico permanentes interagindo com campos eletrico e magneticoexternos, respectivamente, na presenca de um defeito topologico. O defeito topologicocom o qual iremos trabalhar como pano de fundo e o espaco-tempo de uma corda cosmicana presenca de torcao, tambem chamado de deslocacao cosmica. O elemento de linha dedescreve a despiracao cosmica na presenca de torcao e dado por [86]

ds2 = −dt2 + dρ2 + η2ρ2dϕ2 + (dz + χdϕ)2 . (4.1)

Novamente, o parametro η e o mesmo que trabalhamos no capıtulo anterior quando naohavia torcao, isto e, η = 1−4Gν. Este parametro esta relacionado com o deficite de angulo


e esta compreendido no intervalo 0 < η < 1. O novo parametro que aparece no elementode linha (4.1) e o parametro χ que esta relacionado com a torcao do defeito. Se fossemoscomparar com a linguagem da cristalografia, este parametro estaria relacionado com ovetor de Burges1. Mesmo havendo a torcao, o angulo azimutal continua dentro do intervaloapresentado anteriormente, ou seja, 0 ≤ ϕ < 2π. A parte espacial do elemento de linha(4.1) da deslocacao cosmica pode ser representada, na linguagem de defeitos em solidosque discutimos no capıtulo 1, por uma despiracao. Isto corresponderia uma combinacaodas figuras 1.2 e 1.4 para formar essa despiracao. Outra caracterıstica importante e queessa geometria conica continua possuindo o mesmo tensor de curvatura que foi apresentadona expressao (3.2), ou seja,

Rρ,ϕρ,ϕ =

(1− η)

4ηδ2(~r), (4.2)

com δ2(~r) sendo a funcao delta em duas dimensoes. Com o cenario apresentado no ele-mento de linha (4.1) vamos, entao, definir os referenciais locais dos observadores. Nossaescolha sera [97]

θ0 = dt

θ1 = cosϕdρ− ηρ sinϕdϕ

θ2 = sinϕdρ+ ηρ cosϕdϕ

θ3 = dz + χdϕ, (4.3)

a qual podemos escrever na forma matricial junto com sua inversa para melhor visu-alizarmos sua componentes como

eaµ (x) =

1 0 0 00 cosϕ −ηρ sinϕ 00 sinϕ ηρ cosϕ 00 0 χ 1

, eµa (x) =

1 0 0 00 cosϕ sinϕ 00 − sinϕ

ηρcosϕηρ

0

0 χηρ

sinϕ − χηρ

cosϕ 1

. (4.4)

Passemos agora a trabalhar com as equacoes de estrutura de Maurer-Cartan dadas naexpressao (1.75) para calcularmos as conexoes um-forma ωab = ω a

µ b dxµ e as componentes

da torcao duas-forma T a = 12T aµν dx

µ ∧ dxν . As componentes nao-nulas da conexao um-forma continuam sendo as mesmas obtidas no capıtulo anterior

ω 1ϕ 2 = −ω 2

ϕ 1 = 1− η. (4.5)

enquanto que agora havera uma unica componente nao-nula para a torcao duas-formadada por

T 3 = dθ3 = χd (∂xϕdx+ ∂yϕdy) = χ (−∂y∂xϕ+ ∂x∂yϕ) dx ∧ dy, (4.6)

1O vetor de Burges indica a direcao em que e feita a deslocacao no material. Ele e definido quando

estabelecemos um caminho fechado dentro do cristal, feito atomo por atomo. Na ausencia de defeito,

podemos estabelecer que um circuito de modo que possamos fechar o circuito com doze passos passando

atomo por atomo, por exemplo. Contudo, na presenca de uma deslocacao, esses mesmos doze passos nao

fecham mais o circuito. Portanto, o vetor que aponta do ponto inicial ate o ponto final deste circuito e

denominado de vetor de Burges.


que ao usarmos a identidade d2ϕ = d2 arctan(yx

)= 2π δ (x) δ (y), obteremos

T 3 = 2π χ δ (x) δ (y) dx ∧ dy = 2π χ δ (ρ) δ (ϕ) dρ ∧ dϕ, (4.7)

Temos, portanto, toda a informacao sobre a topologia do defeito (4.1). Passaremos, entao,a trabalhar com a equacao de Dirac nesse espaco-tempo curvo e na presenca de torcao.

A expressao para a equacao de Dirac possui a mesma forma dada na expressao (2.12),com a ressalva que a derivada covariante deve mudar sua expressao para identificar aconexao afim correspondente a torcao, ou seja,

∇µ = ∂µ + Γµ +Kµ

= ∂µ +i

4ωµabΣ

ab +i

4KµabΣ

ab, (4.8)

onde Σab = i2

[γa, γb

]e definido de forma identica a da expressao (1.96). O objeto Kµab

esta relacionado com o tensor de contorcao [40] via expressao (1.33), isto e,

Kµab = Kβνµ

[eνa (x) eβb (x)− eνb (x) eβa (x)

]. (4.9)

Escrevendo o tensor de torcao em termos de suas componentes irredutıveis como feitoem (1.36) poderemos calcular todas as componentes da conexao Kµab dadas em (1.33) ou(4.9). A conexao Γµ tera o mesmo valor que obtido na expressao (3.11), ou seja,

Γϕ = −1

4(1− η)

[γ1, γ2

]=i

2(1− η) Σ3. (4.10)

Nesta secao iremos considerar novamente que o momento de dipolo magnetico perma-nente da partıcula neutra interaja com um campo eletrico produzido por uma distribuicaode cargas eletricas ao longo do eixo de simetria da deslocacao cosmica. Essa distribuicaode cargas eletricas ira produzir um campo eletrico radial dado por

~E =λeηρ

ρ, (4.11)

onde λe e a densidade linear de cargas eletricas. Tambem iremos considerar que o momentode dipolo magnetico permanente da partıcula neutra interaja com um campo magneticounforme dado pela expressao

~B = B0 z. (4.12)

Outro caso que iremos trabalhar nesta secao e a interacao do momento de dipoloeletrico permanente da partıcula neutra com um campo magnetico gerado por uma dis-tribuicao de cargas magneticas ao longo do eixo de simetria da deslocacao cosmica. Essadistribuicao de cargas magneticas produzira um campo magnetico radial dado por

~B =λmηρ

ρ, (4.13)

com λm sendo a distribuicao linear de cargas magneticas. Por fim, iremos considerar queo momento de dipolo eletrico permanente da partıcula neutra interaja com um campoeletrico uniforme dado por

~E = E0 z. (4.14)


Dessa forma, com as configuracoes de campos externos acima estabelecidas, a equacaode Dirac no espaco-tempo da deslocacao cosmica ficara

mψ = i γt∂ψ

∂t+ i γρ

(∂ρ −

1

2

(1− η)

ηρ− µβEρ + dβBρ

)ψ + i

γϕ

ηρ

(∂

∂ϕ− χ ∂

∂z

)ψ

(4.15)

+ i γz∂ψ

∂z+

1

8β S0 γ5 ψ − 1

8~Σ · ~S ψ − µ ~Σ · ~B ψ − d ~Σ · ~E ψ,

onde a conexao Kµ foi escrita em termos das componentes irredutıveis do tensor de torcao.Vemos que so escremos a equacao de Dirac em termos do 4-vetor axial. Isto ocorre devidoao uso da expressao (4.7) onde temos que so ha uma unica componente nao-nula para ascomponentes irredutıveis do tensor de torcao. Essa componente nao-nula e

S0 = εzρϕ0 Tzρϕ + εzϕρ0 Tzϕρ = − 2

ηρT 3

ρϕ = −4πχ

ηρδ (ρ) δ (ϕ) . (4.16)

Portanto, o 4-vetor axial possui a componente S0 6= 0 enquanto que ~S = 0. Con-siderando as configuracoes de campos (4.11) e (4.13), vemos que os ultimos tres termosda equacao (4.15) sao nulos devido a configuracao dos campos e a parte espacial do 4-vetoraxial Sν ser nula.

A definicao da matrizes γµ = eµa γa para este sistema e dada usando os referenciais

locais (4.4)

γt = et a γa = γ0;

γρ = eρa γa = cosϕγ1 + sinϕγ2;

(4.17)γϕ = ηρ eϕa γ

a = − sinϕγ1 + cosϕγ2;

γz = ez3 γ3 = γ3,

que sao indenticas as definidas no capıtulo anterior nas expressoes (3.13). Podemos agoradiscutir as fases geometricas relativısticas que sao adquiridas pela funcao de onda daspartıculas neutras nesta dinamica quantica. Novamente, vamos utilizar o metodo dofator de Fase de Dirac [3, 4] e considerar que o spinor ψ possa ser escrito como

ψ = eiφψ0, (4.18)

onde φ e a fase adquirida pela funcao de onda e ψ0 e solucao da seguinte equacao

i γt∂ψ0

∂t+ i γρ

∂ψ0

∂ρ+ i

γϕ

ηρ

(∂ψ0

∂ϕ− χ∂ψ0

∂z

)+ i γz

∂ψ0

∂z= mψ0. (4.19)

Dessa forma, substituindo a solucao (4.18) na equacao (4.15) iremos obter quatro con-tribuicoes independentes para a fase geometrica relativıstica [97]: a primeira contribuicaoe dada pela presenca de um deficit de angulo na deslocacao cosmica ou pela curvatura doespaco-tempo da deslocacao cosmica

φR1 = −∮

1

2(1− η) Σ3 dϕ = −π (1− η) Σ3. (4.20)

A segunda contribuicao e dada pela interacao entre o campo eletrico externo (4.11) como momentos de dipolo magnetico permanente da partıcula neutra

φR2 = −µ β∮ (

~Σ× ~E)ϕdϕ = −2π µλe β Σ3, (4.21)


enaquanto que a terceira contribuicao e dada pela interacao entre o momento de dipoloeletrico permanente da partıcula neutra com o campo magnetico externo (4.13)

φR3 = d β

∮ (~Σ× ~B

)ϕdϕ = 2π dλm β Σ3. (4.22)

A quarta contribuicao independente para a fase geometrica relativıstica e dada pelainfluencia da torcao no sistema atraves de um fluxo de torcao equivalente ao apontadopor Anandan em [58]. Usando as componentes irredutıveis (1.35) e o Teorema de Stokes2,teremos que o fluxo de torcao tera o valor [97]

φR4 =1

8

∮ei ϕ S

0 Σi dϕ =1

8

∮S0~Σ · ~dr =

1

8

∮S0 Σϕ ηρdϕ = π η χΣ2, (4.23)

onde definimos a matriz Σϕ = − sinϕΣ1 + cosϕΣ2 seguindo as expressoes (4.17).Novamente devemos observar que a primeira contribuicao para a fase geometrica rela-

tivıstica (4.20) e a fase relativıstica de Berry que foi proposta em [59, 60] para partıculas despin 1/2 usando a aproximacao de campo fraco para o espaco-tempo curvo. A expressaoe identica a (3.35) e (3.36), isto e,

φp =

∮1

2(1− η) Σ3 dϕ. (4.24)

Combinando as contribuicoes para a fase relativıstica (4.20), (4.21), (4.22) e (4.23),temos que a fase geometrica relativıstica adquirida pela funcao de onda da partıcula neutrapode ser escrita como

φA =

∮ [−µ β

(~Σ× ~E

)ϕ

+ d β(~Σ× ~B

)ϕ− 1

2(1− η) Σ3 +

1

8S0 Σi e

iϕ

]dϕ,

(4.25)= −2π (µλe − d λm) β Σ3 − π (1− η) Σ3 + π η χΣ2.

que tambem e uma generalizacao da fase geometrica apresenta por Anandan em [26,27], porem com um novo termo relacionado com a torcao presente no espaco-tempo dadeslocacao cosmica. Veja que tomando χ = 0 recuperamos a expressao para a faserelativıstica de Anandan (3.22) obtida no capıtulo anterior. Se tomarmos os limite η → 1e o valor χ 6= 0 teremos a fase relativıstica de Anandan obtida em um espaco-tempoplano, porem com a presenca de torcao. Na ausencia de torcao χ = 0, recuperamoscompletamente a fase relativıstica de Anandan no espaco-tempo plano como obtido em[79].

Outros dois casos que podemos estudar sao dados pela interacao do momento de dipolomagnetico permanente da partıcula neutra com o campo magnetico uniforme (4.12) e pelainteracao entre o momento de dipolo eletrico com o campo eletrico uniforme (4.14), ambosos campos dados ao longo do eixo-z do espaco-tempo da deslocacao cosmica. Dessa forma,temos que a interacao do momento de dipolo magnetico com o campo magnetico uniforme(4.12) fornecera a seguinte contribuicao para a fase geometrica relativıstica

φR5 = −µ β∫ τ

0

~Σ · ~B dt = −µ β∫ τ

0

Σi eiz B

z dt = −µB0τ β Σ3, (4.26)

2Para mais detalhes sobre o teorema de Stokes e o produto exterior ver referencia [36].


onde τ e o tempo gasto pela partıcula neutra para dar uma volta em torno do eixode simetria da despiracao cosmica. Combinando as contribuicoes independentes (4.20),(4.23) e (4.26) obteremos que a fase relatıvistica de Anandan ficara

ΦA2 = −π (1− η) Σ3 + π η χΣ2 − µB0τ β Σ3. (4.27)

A contribuicao para a fase geometrica relativıstica dada pela interacao entre o mo-mento de dipolo eletrico com o campo eletrico uniforme (4.14) sera

φR6 = −d β∫ τ

0

~Σ · ~E dt = −d β∫ τ

0

Σi eiz E

z dt = −dE0τ β Σ3, (4.28)

onde novamente τ e o tempo gasto pela partıcula neutra para dar uma volta em torno doeixo de simetria da despiracao cosmica. Novamente, a fase relativıstica de Anandan seradada pela combinacao de (4.20), (4.23) e (4.28), logo

ΦA3 = π (1− η) Σ3 + π η χΣ2 − dE0τ β Σ3. (4.29)

Podemos notar que as contribuicoes independentes para a fase geometrica relativısticadadas pelas expressoes (4.20), (4.21), (4.22), (4.23), (4.26) e (4.28) sao nao-abelianas.Vemos claramente que as contribuicoes (4.20), (4.21) e (4.22), (4.26) e (4.28) sao identicasas que obtivemos nas expressoes (3.16), (3.17), (3.18), (3.29) e (3.31) no capıtulo anterior,mostrando que o spin da partıcula neutra esta alinhado com o eixo-3 dos referenciaislocais dos observadores. Contudo, a nova contribuicao para a fase geometrica relativısticadada pela presenca da torcao (4.23) mostra-nos que o spin da partıcula neutra e projetadosobre o eixo-2 dos referenciais locais dos observadores.

Observemos tambem que a nova contribuicao para a fase geometrica relativıstica dadapela presenca da torcao (4.23) nao depende da velocidade da partıcula neutra, o que nosmostra que a torcao gera uma contribuicao para a fase nao-dispersiva de maneira identicaas constribuicoes (4.20), (4.21), (4.22), (4.26) e (4.28) ja discutidas no capıtulo anterior.

Portanto, vimos nesta secao que a presenca da torcao no espaco-tempo gera uma novacontribuicao para a fase geometrica relativıstica quando comparamos aos resultados docapıtulo anterior. Vimos que a contribuicao dada pela torcao gera uma fase nao-abeliana,onde o spin da partıcula neutra alinha-se com o eixo-2 dos referenciais locias dos ob-servadores [97]. Vimos tambem que essa nova contribuicao nao depende da relacao dedispersao, o que nos faz esperar que o mesmo valor para a fase seja obtido no regimede baixas energias da partıcula neutra. Vimos que as contribuicoes para a fase rela-tivıstica geradas pela curvatura do espaco-tempo e pela interacao entre os momentos dedipolo magnetico e eletrico da partıcula neutra com os campos eletrico e magneticos exter-nos, respectivamente, geram contribuicoes nao-dispersivas e nao-abelinas, onde o spin dapartıcula neutra permanece alinhado com o eixo-z do espaco-tempo de maneira identicaao que obtivemos no capıtulo anterior. Por fim, vimos que quando combinamos as qua-tro primeiras contribuicoes para a fase geometrica relativıstica (4.20), (4.21), (4.22) e(4.23), obtemos uma generalizacao para a fase relativıstica de Anandan e a combinacaodas contribuicoes (4.26) e (4.28) com (4.20) e (4.23) geram novas expressoes para a faserelativıstica de Anandan [97].

Iremos a estudar na proxima secao o surgimento de fases geometricas na dinamicaquantica nao-relativıstica de uma partıcula neutra com momentos de dipolos magneticoe eletrico permanentes interagindo com campo eletrico e magneticos externos, respectiva-mente, na presenca de um defeito topologico.


4.2 Fases Geometricas Quanticas Nao-Abelianas Nao-

Relativısticas

Vamos trabalhar nesta secao o limite nao-relativıstico da equacao de Dirac no espaco-tempo com curvatura nao-nula e na presenca de torcao e obter as fase geometricasquanticas nao-abelianas nao-relativısticas que sugem na funcao de onda da partıcula neu-tra devido a interacao entre os momentos de dipolo magnetico e eletrico com os camposeletrico e magnetico externos e a presenca do defeito topologico (4.1). A aplicacao daaproximacao de Foldy-Wouthuyssen [54] na presenca da torcao nao apresenta nenhumacaracterıstica especial em relacao ao mostrado na secao 3.2. Portanto, novamente quere-mos escrever a equacao de Dirac na forma (2.13). Tomando a equacao (4.15), poderemosreescrev e-la como

i∂ψ

∂t= mβψ + ~α · ~pψ − i~α · ~ξ +

1

8~Σ · ~S ψ − 1

8S0 γ5 ψ

+ µβ(−i~α · ~E + ~Σ · ~B

)ψ + dβ

(~Σ · ~E + i~α · ~B

)ψ, (4.30)

onde chamamos novamente pi = −i eαi ∂α; Ei = eαiEα; Bi = eαiBα e definimos a quanti-dade [75, 97]

ξi = eαi Γα = −1

4eαi (x) ωαjk Σjk =

i

2(1− η) Σ3 eϕi (x) , (4.31)

Todos esses definidos em termos das componentes dos referenciais locais. Por fim, definire-mos tambem o operador ~π de forma identica a expressao (3.37),

~π = ~p+ iµβ ~E − idβ ~B − i~ξ. (4.32)

Veja que novamente temos uma expressao identica ao operador ~π definido em [79] seconsiderarmos o espaco-tempo plano mesmo com a presenca da torcao. Portanto, vamosescrever a equacao de Dirac numa forma compacta como fizemos no capıtulo anterior

i∂ψ

∂t= mβψ + ~α · ~π ψ +

1

8~Σ · ~S ψ − 1

8S0 γ5 ψ + µ β ~Σ · ~Bψ + d β ~Σ · ~E ψ. (4.33)

A partir deste momento vamos realizar as transformacoes de Foldy-Wouthuyssenmostradas na secao 3.2. Lembrando que nessa aproximacao a Hamiltoniana da equacaode Dirac (4.33) tambem deve ser escrita como uma combinacao de termos pares e ımparesque satisfazem a relacoes dadas em (2.15), podemos identificar os termos pares e ımparespara a configuracao que ha a presenca de torcao como sendo

O = ~α · ~π − 1

8S0 γ5 (4.34)

ε = µ β ~B · ~Σ + d β ~E · ~Σ +1

8~Σ · ~S. (4.35)

Substituindo esses termos diretamente na Hamiltoniana (2.25), onde iremos tomaros termos ate a ordem de (m−1), termos que a Hamiltoniana nao-relativıstica para a


configuracao de dipolos no espaco-tempo curvo e na presenca de torcao sendo [97]

HNR = β m+β

2m

(~p+ ~Ξ′

)2

− µ2E2

2m− d2B2

2m+

µ

2m~∇ · ~E

+d

2m~∇ · ~B + d β ~Σ · ~E + µ β ~Σ · ~B +

1

8~Σ · ~S. (4.36)

Note-se que as componentes espaciais do 4-vetor axial sao nulas, ~S = 0, logo o ultimotermo da Hamiltoniana nao-relativıstica e nulo. Note-se tambem que definimos um novovetor ~Ξ′, cujas componentes sao dadas pela expressao [97]

Ξ′i = µ β(~Σ× ~E

)i− d β

(~Σ× ~B

)i+

1

2(1− η) Σ3 eϕi −

1

8Σi S

0. (4.37)

Portanto, o comportamento dos dipolos eletrico e magnetico na presenca de um defeitotopologico onde existe a atuacao de campos eletrico e magnetico externos e descrita pelaHamiltoniana nao-relativıstica (4.36). A presenca do defeito topologico torna-se evidentedevido ao dois ultimos termos da expressao (4.37), onde temos o deficit de angulo rela-cionado com o parametro η do penultimo termo e a presenca da torcao mostrada peloultimo termo.

Veja que se considerarmos a ausencia de torcao fazendo χ = 0, recuperamos tanto aexpressao para a Hamiltoniana nao-relativıstica (3.44) quanto a expressao para as com-

ponentes do vetor ~Ξ dada em (3.45) discutidas no capıtulo anterior. Se tomarmos o limiteη → 1, obteremos um comportamento para os dipolos descrito pela Hamiltoniana nao-relativısitica (4.37) diante de uma espaco-tempo plano, mas com a presenca da torcao.Por fim, se tomarmos o limite η → 1 e a ausencia da torcao (χ = 0), novamente recuper-amos o comportamento dos dipolos que interagem com campos externos no espaco-tempoplano sem torcao feito na referencia [79].

Vamos estudar neste momento o surgimento de fases geometricas na funcao de ondas denossas partıculas neutras quando estas sofrem efeitos de interferencia. A configuracao doscampos sera a mesma que adotamos em (4.11) e (4.13). Portanto, com essa configuracao decampos e com a topologia do defeito, vemos que os cinco ultimos termos da Hamiltoniananao-relativıstica (4.36) sao nulos. Assim, podemos escrever a equacao de Schrodinger-Pauli como

i∂ψ

∂t=

1

2m

(~p+ µ β ~Σ× ~E − d β ~Σ× ~B − i~ξ − 1

8S0~Σ

)2

ψ − µ2E2

8mψ − d2B2

8mψ. (4.38)

Novamente, a fase geometrica nao-relativıstica sera dada usando o metodo do fatorde fase de Dirac [3, 4], podemos escrever o spinor na forma ψ = eiφ ψ0, onde φ e a faseadquirida pela funcao de onda e ψ0 e solucao da equacao que segue

i∂ψ0

∂t=

1

2mp2ψ0 −

µ2E2

8mψ0 −

d2B2

8mψ0. (4.39)

Como ja discutimos no capıtulo anterior, os termos proporcionais a E2 e B2 naocontribuem para o surgimento de fases geometricas devido a serem termos locais [26, 27,79]. Se considerarmos inicialmente que µ = 0 e d = 0, teremos que a fase geometricanao-relativıstica sera dada pelo primeiro e ultimo termo da expressao (4.37). Tomandoapenas spinores de duas componentes, teremos duas contribuicoes independentes para a


fase geometrica nao-relativıstica [97]: a primeira contribuicao e dada pela curvatura dodefeito topologico

φNR1 =

∮ei µ (−iξi) dxµ = (1− η) π σ3, (4.40)

enquanto que a torcao presente no defeito gerara a segunda contribuicao para a fasegeometrica nao-relativıstica [97]

φNR2 = −1

8

∮S0 σϕ ηρ dϕ = −π η χσ2, (4.41)

onde usamos a expressao (1.35) e o teorema de Stokes para evoluir a segunda contribuicaoem (4.41)3, com σϕ = − sinϕσ1 + cosϕσ2. Veja que a contribuicao para a fase (4.40) ejustamente a contribuicao dada pelo deficit de angulo do defeito topologico identico aoobtido no capıtulo anterior (3.53), enquanto que (4.41) fornece-nos a contribuicao dadapela deslocacao ao longo do eixo-z. Podemos ver que a contribuicao para a fase geometricanao-relativıstica dada em (4.41) projeta o spin da partıcula neutra sobre o eixo-2 dosreferenciais locais dos observadores. Logo, vemos claramente que a torcao modifica afase da funcao de onda das partıculas neutras, mesmo se considerarmos que nao hajacurvatura no espaco-tempo. Para verificar isso basta tomar o limite η → 1 na expressaoacima. Mesmo tomando esse limite temos a contribuicao da torcao dada pela expressao(4.41). Observemos tambem que a fase geometrica nao-relativıstica obtida em (4.41)tem o mesmo valor (em modulo) da fase geometrica relativısitica (4.23) se considerarmosspinores de duas componentes, que e uma consequencia da nao-dispersividade da fase.

Agora vamos considerar que tanto µ quanto d sejam diferente de zero. Considerandoa configuracao de campos dada em (4.11), obteremos que a interacao entre o momento dedipolo magnetico e o campo eletrico gera uma contribuicao para a fase dada por [97]

φNR3 = µ

∮ (~σ × ~E

)iei ϕ dϕ = 2π µλe σ

3, (4.42)

enquanto que se considerarmos a configuracao de campos (4.13), teremos que a interacaodo momento de dipolo eletrico com o campo magnetico gerara a seguinte contribuicaopara a fase geometrica nao-relativıstica

φNR4 = −d∮ (

~σ × ~B)iei ϕ dϕ = −2π d λm σ

3. (4.43)

Tomando a combinacao das contribuicoes para a fase (4.40), (4.41) e (4.42) obteremoso efeito analogo ao efeito Aharonov-Cahser, onde o espaco-tempo tem a presenca decurvatura e torcao [97]. A expressao para a fase geometrica quantica desse efeito analogoe

ΦAC = 2π µλe σ3 + (1− η) π σ3 − π η χσ2, (4.44)

onde temos no segundo termo da expressao (4.44) mostra a contribuicao da curvatura dodefeito, enquanto que o terceiro termo mostra a contribuicao da torcao para o efeito AC.

3Para mais detalhes sobre o teorema de Stokes e o produto exterior ver referencia [36].


Note que no limite η → 1 e χ = 0 recuperamos a expresscao para o efeito Aharonov-Casher [16]. Da mesma maneira, se tomarmos apenas χ = 0 teremos o efeito analogo aoefeito Aharonov-Casher no espaco-tempo da corda cosmica como discutido no capıtuloanterior (3.51). Contudo, se tomarmos apenas o limite η → 1 teremos um efeito analogotambem ao efeito Aharonov-Casher so que no espaco-tempo plano, mas na presenca detorcao.

Agora, tomando a combinacao das contribuicoes para a fase (4.40), (4.41) e (4.43)obteremos um efeito analogo ao efeito He-McKellar-Wilkens, tendo o espaco-tempo apresenca de curvatura e torcao [97]. A expressao para a fase quantica desse efeito analogosera

ΦHMW = −2π d λm σ3 + (1− η) π σ3 − π η χσ2, (4.45)

onde segundo termo da expressao (4.45) mostra a contribuicao da curvatura do defeito,enquanto que o terceiro termos mostra a contribuicao da torcao para o efeito HMW.Observa-se que o efeito He-McKellar-Wilkens [20, 21] e recuperado se tormarmos o limiteη → 1 e χ = 0. Se tomarmos χ = 0 recuperaremos o efeito analogo ao efeito He-McKellar-Wilkens no espaco-temoo curvo como discutido no capıtulo anterior (3.52). Contudo, setomarmos o limite η → 1 considerando χ diferente de zero teremos o efeito analogo aoefeito He-McKellar-Wilkens no espaco-tempo plano, porem com a presenca da torcao.

Portanto, a expressao mais geral para a fase geometrica quantica nao-relativısticadadas com as configuracoes de campos (4.11) e (4.13), o que configura uma generalizacaoda fase de Anandan [26, 27] para o caso nao-relativıstico, pode ser escrita como

ΦA =

∮Ξµ dx

µ =

∮Ξi e

iµ dx

µ =

∫ 2π

0

Ξi eiϕ dϕ

(4.46)= (1− η) π σ3 − π η χσ2 + (µλe − d λm) 2π σ3,

onde podemos ver claramente nos dois primeiros termos a contribuicao da curvatura e datorcao. Vemos, entao, que a fase de Anandan nao-relativıstica adquire dois novos termosdados pela presenca de curvatura e torcao no defeito. Tomando χ = 0, podemos verfacilmente que recuperamos a expressao (3.50) obtida no capıtulo anterior. Se tomarmoso limite η → 1 e χ = 0 recuperaremos os mesmos resultados obtidos na referencia [28].Contudo, se tomarmos o mesmo limite, mas com χ 6= 0 teremos a influencia da torcao eda interacao dos campos com os dipolos na fase geometrica quantica nao-relativıstica.

Vamos considerar neste momento que o momento de dipolo magnetico permanente dapartıcula neutra interaja com o campo magnetico uniforme (4.12) dado ao longo do eixode simetria do defeito. Neste caso, usando as expressoes (4.36) e (4.37), a equacao deSchrodinger-Pauli fica

i∂ψ

∂t=

1

2m

(~p− i~ξ − 1

8S0~Σ

)2

ψ + µ β ~Σ · ~B ψ. (4.47)

Assim, usando o metodo do fator de fase de Dirac [3, 4], teremos que ψ0 sera solucao daequacao diferencial

i∂ψ0

∂t=

1

2mp2ψ0, (4.48)


onde a funcao de onda da partıcula neutra adquire as mesmas contribuicoes para afase geometrica nao-relativısticas dadas em (4.40) e (4.41) devido a presenca do defeitotopologico. Contudo, a interacao entre o momento de dipolo magnetico da partıcula neu-tra e o campo magnetico uniforme (4.12) fornecera a seguinte contribuicao para a fasegeometrica relativıstica

φNR5 = −µ∫ τ

0

~σ · ~B dt = −µ∫ τ

0

σi eiz B

z dt = −µB0τ σ3, (4.49)

onde τ e o tempo gasto pela partıcula neutra para dar uma volta em torno do eixo de sime-tria da deslocacao cosmica. Desse modo, combinando as expressoes (4.40), (4.41) e (4.49),teremos que a expressao a fase nao-relativıtica de Anandan envolvendo a configuracao decampos (4.12) e defeito topologico e

ΦA2 = (1− η) π σ3 − π η χσ2 − µB0τ σ3. (4.50)

Note-se que tomando χ = 0 obtemos uma expressao identica a fase nao-relativıstica deAnandan dada em (3.60) do capıtulo anterior. Note-se tambem que tomando o limiteη → 1, que a fase nao-relativıstica de Anandan (4.50) e influenciada pela torcao.

Agora, considerando a interacao entre o momento de dipolo eletrico com o campoeletrico uniforme (4.14) dado tambem ao longo do eixo-z do defeito e usando as expressoes(4.36) e (4.37), a equacao de Schrodinger-Pauli passa a ser

i∂ψ

∂t=

1

2m

(~p− i~ξ − 1

8S0~Σ

)2

ψ + d β ~Σ · ~E ψ. (4.51)

Assim, usando o metodo do fator de fase de Dirac [3, 4], teremos que ψ0 sera solucao daequacao diferencial

i∂ψ0

∂t=

1

2mp2ψ0. (4.52)

Novamente, a presenca do defeito fornece as contriuicoes para a fase geometrica nao-relativıstica dadas em (4.40) e (4.41), enquanto que a interacao entre o momento dedipolo eletrico da partıcula neutra e o campo eletrico uniforme (4.14) fornece a seguintecontribuicao para a fase geometrica nao-relativıstica

φNR6 = −d∫ τ

0

~σ · ~E dt = −d∫ τ

0

σi eiz E

z dt = −dE0τ σ3. (4.53)

Dessa forma, A expressao mais geral para a fase nao-relativıstica de Anandan envolvendoa configuracao de campos (4.14) e dada pela combinacao das expressoes (4.40), (4.41) e(4.53), ou seja,

ΦA3 = (1− η) π σ3 − π η χσ2 − dE0T σ3, (4.54)

onde temos que tomando χ = 0 obtemos uma expressao identica a fase nao-relativısticade Anandan (3.62). No limite η → 1 teremos que nao ha curvatura presente no defeito,porem a fase nao-relativıstica de Anandan (4.54) e influenciada pela presenca de torcao.


Observa-se que as expressoes para as fases geometricas (4.40), (4.41), (4.42), (4.43),(4.49) e (4.53) sao nao-dispersivas e possuem os mesmos valores (em modulo) que obtive-mos no caso relativıstico na secao anterior (se considerarmos spinores de duas compo-nentes), expressoes (4.20), (4.21), (4.22), (4.23), (4.26) e (4.28).

Note-se tambem que cada contribuicao para a fase geometrica nao-relativıstica dadasem 4.40), (4.41), (4.42), (4.43), (4.49) e (4.53)) e nao-abelina, com o spin da partıculaneutra estando alinhado com o eixo-3 do referenciais locais do observadores em (4.40),4.42), (4.43), (4.49) e (4.53), enquanto que em (4.41) ha o alinhamento com o eixo-2.

Portanto, vimos neta secao que a interacao entre os campos eletrico e magnetico comos momentos de dipolos diante de um espaco-tempo curvo e na presenca de torcao provocauma mudanca de fase na funcao de onda da partıcula neutra. Vimos que cada contribuicaopara a fase geometrica nao-relativıstica nao depende da relacao de dispersao e que cadauma destas e nao-abeliana [97]. De forma identica ao caso relativıstco, a interacao entre oscampos externos e os momentos de dipolos gerou quatro contribuicoes independents paraa fase geometrica quantica nao-relativıstica onde o spin da partıcula neutra e projetadosobre o eixo-3 dos referenciais locais dos observadores e, consequentemente, sobre o eixo-zdo defeito topologico. Do mesmo modo, a curvatura presente no defeito forneceu tambemuma contribuicao para fase onde o spin da partıcula neutra e projetado sobre o eixo-z dodefeito. Porem, a presenca de torcao gerou uma nova contribuicao para a fase geometricaonde o spin da partıcula e projetado sobre o eixo-2 dos referenciais locais dos observadores[97]. Veremos na proxima parte desta Tese que essas contribuicoes para a fase geometricaterao grande aplicacao na computacao quantica holonomica.

Por fim, como consequencia da topologia do defeito e da configuracao dos camposdadas em (4.11) e (4.13), pudemos obter efeitos analogos aos efeitos Aharonov-Cashere He-McKellar-Wilkens dados na presenca de torcao que coincidiram com a fase nao-relativıstica de Anandan. Com as configuracoes de campo (4.12) e (4.14) pudemos obteroutras duas novas expressoes para a fase nao-relativıstica de Anandan na presenca de umdefeito topologico.

4.3 Fases Geometricas Abelianas Relativısticas

Nesta secao iremos estudar o surgimento de fases geometricas abelinas na dinamicaquantica relativıstica de uma partıcula neutra com momento de dipolo magnetico perma-nente interagindo com um campo eletrico externo na presenca de um defeito topologico.Veremos que a surgimento da fase abeliana na funcao de onda da partıcula neutra e pro-duzido pelo tipo defeito que trabalharemos como pano de fundo. O defeito topologicocom o qual iremos trabalhar nesta secao e conhecido como deslocacao espiral [98], que ea distorcao de um cırculo em uma espiral. O elemento de linha que descreve esse defeitoe

ds2 = −dt2 + dρ2 + 2χdρdϕ+(χ2 + ρ2

)dϕ2 + dz2, (4.55)

onde χ e um parametro constante relacionado com a distorcao do defeito. Veja agoraque a torcao nao e mais posta sobre o eixo z como feito nas secoes anteriores para oespaco-tempo da deslocacao cosmica.


Figura 4.1: Defeito Topologico conhecido como deslocacao espiral [98]. A formacao desse defeito e

realizada atraves de uma translacao sobre o plano-ρϕ e “colando-se” as extremidades, o que promove a

distorcao de uma cırculo numa espiral. A barra escura indica a direcao do vetor de Burges. Note-se que

o vetor de Burges esta inserido no plano perpendicular ao eixo de simetria do defeito.

Agora, a torcao e posta sobre o plano, o que nos mostra que nao ha mais a simetriaaxial no sistema. Os referenciais locais dos observadores podem ser construıdos da seguinteforma

θ0 = dt; θ1 = dρ+ χdϕ; θ2 = ρ dϕ; θ3 = dz, (4.56)

onde podemos escrever as tetradas e sua inversa de forma mais explıcita em suas formasmatriciais, ou seja,

eaµ (x) =

1 0 0 00 1 χ 00 0 ρ 00 0 0 1

, eµa (x) =

1 0 0 00 1 −χ

ρ0

0 0 1ρ

0

0 0 0 1

. (4.57)

Ao resolveremos as equacoes de estrutura de Maurer-Cartan (1.75) encontraremos

T 1 = 2π χ δ (ρ) δ (ϕ) dρ ∧ dϕ; ω 2ϕ 1 = −ω 1

ϕ 2 = 1. (4.58)

Usando a decomposicao do tensor de torcao em suas componentes irredutıveis com fize-mos na expressao (1.35) no Capıtulo 1, veremos claramente que a componente da torcao2-formas da expressao (4.58) pode ser escrita em termos de uma das componentes irre-dutıveis do tensor de torcao, ou seja,

Tϕ = T ρϕρ = −T ρρϕ = −2π χ δ (ρ) δ (ϕ) , (4.59)

que fornece uma das componentes do 4-vetor traco T µ. Dessa forma, nao poderemos maisestudar a dinamica relativıstica da partıcula neutra como fizemos nas secoes anteriores,pois a vetor traco nao se acopla com fermions como demonstrado em [40]. Portanto, paraestudarmos os efeitos da influencia do defeito topologico (4.55) na dinamica quanticarelativıstica de uma partıcula neutra devemos fazer um acoplamento nao-mınimo

γµ∇µ → γµ∇µ + ν γµ Tµ, (4.60)


onde ∇µ continua sendo as componentes da derivada covariante de um spinor na ausenciade torcao, como definimos no capıtulo 1 e trabalhamos nas secoes anteriores deste capıtulo.O parametro ν e uma constante arbitraria do acoplamento nao-mınimo.

Novamente iremos considerar uma distribuicao de cargas eletricas estaticas sobre oeixo de simetria do defeito. Essa distribuicao de cargas eletricas estaticas produzira umacampo eletrico radial dado por

Eρ =λeρ, (4.61)

com λe sendo a densidade linear de cargas eletricas sobre o eixo de simetria do defeito.Portanto, a dinamica quantica relativıstica de uma partıcula neutra com momento dedipolo magnetico permanente interagindo com um campo eletrico externo na presenca dodefeito topologico (4.56) sera descrita pela equacao de Dirac

mψ = iγ0∂ψ

∂t+ iγ1

(∂

∂ρ+

1

2ρ− µβEρ

)ψ + i

γ2

ρ

(∂

∂ϕ− χ ∂

∂ρ− iν Tϕ

)ψ

+ iγ3∂ψ

∂z. (4.62)

Aplicando o metodo do fator de fase de Dirac [3, 4], iremos decompor novamente ospinor de Dirac como ψ = eiφψ0, com φ sendo a fase adquirida pela funcao de onda e ψ0

sendo a solucao da seguinte equacao de Dirac

mψ0 = iγ0∂ψ0

∂t+ iγ1

(∂

∂ρ+

1

2ρ

)ψ0 + i

γ2

ρ

(∂

∂ϕ− χ ∂

∂ρ

)ψ0 + iγ3∂ψ0

∂z. (4.63)

Com isso, obteremos duas contribuicoes independentes para a fase geometrica quanticarelativıstica. A primeira delas ja e conhecida, ela surge da interacao entre o momento dedipolo magnetico e o campo eletrico externo

φR1 = µ β

∮ (~Σ× ~E

)ϕdϕ = 2πµλΣ3, (4.64)

enquanto que a segunda contribuicao vem da topologia do defeito. Essa contribuicao edada por uma das componentes espaciais do vetor traco, Tϕ, cujo valor e [99]

φR2 = ν

∫~T · ~dr = ν

∫ ∫∂Tϕ∂xµ√−g dxµ ∧ dϕ = 2πνχ. (4.65)

Notemos que a segunda contribuicao para a fase geometrica relativıstica e abelianaao contrario da primeira contribuicao [99]. Isto se deve ao fato do vetor traco ter um

comportamento equivalente ao potencial vetor eletromagnetico ~A como mostrado em [40].Comparando com nossos resultados das secoes anteriores, obtivemos que o 4-vetor axialSµ gera uma fase relativıstica nao-abeliana. Portanto, a estrutura do defeito topologicodetermina se a fase sera abeliana ou nao-abelina [99].

Para finalizarmos essa secao devemos observar que tanto a fase nao-abeliana produzidapela interacao do campo eletrico com o momento de dipolo magnetico (4.64) quanto a faseabeliana produzida pelo defeito topologico (4.65) sao nao-dispersivas, pois nao dependemda velocidade da partıcula neutra [99].


4.4 Fases Geometricas Abelianas Nao-Relativısticas

Nesta secao iremos trabalhar o limite nao-relativıstico da equacao de Dirac (4.62) paraestudarmos a dinamica quantica nao-relativıstica da partıcula neutra com momento dedipolo magnetico permanente interagindo com o campo eletrico externo (4.61). Nova-mente iremos utilizar a aproximacao de Foldy-Wouthuyssen [54]. Dessa forma, vamosreescrever a equacao de Dirac (4.62) como

i∂ψ

∂t= mβψ + ~α ·

(~p− i~ξ + iµβ ~E − ν ~T

)ψ, (4.66)

onde definimos pk = −i eλk ∂k e ξk = i4eϕk ωϕab Σab. Os termos ımpares da equacao de

Dirac acima serao

O = ~α ·(~p− i~ξ + iµβ ~E − ν ~T

), (4.67)

onde os termos pares ε serao nulos. Entao, substituindo os termos pares (4.67) na ex-pressao para a Hamiltoniana nao-relativıstica (2.25) encontraremos [99]

HNR = mβ +β

2m

[~p− i~ξ + µβ

(~Σ× ~E

)− ν ~T

]2

+µ

2m~∇ · ~E +

µ2E2

2m. (4.68)

As fases geometricas nao-relativıstica para a partıcula neutra sao obtidas aplicandoo metodo do fator de fase de Dirac. Como discutido anteriormente, os termos ~∇ · ~E eµ2E2 sao termos locais e nao contribuem para a fase quantica. Dessa maneira, os termosque irao contribuir para a fase geometrica nao-relativıstica serao os termos que estaoacoplados com o operador momento na Hamiltoniana (4.68). Assim, considerando umspinor de duas componentes, temos que a primeira contribuicao para a fase geometricanao-relativıstica sera dado pela interacao entre o campo eletrico e o momento de dipolomagnetico da partıcula neutra

φNR1 = µ

∮ (~σ × ~E

)ϕdϕ = 2πµλσ3, (4.69)

enquanto que a segunda contribuicao sera dada pela topologia do defeito, que e represen-tada pelo vetor traco ~T ,

φNR2 = ν

∫~T · ~dr =

∫ ∫∂Tϕ∂xµ√−g dxµ ∧ dϕ = 2πνχ. (4.70)

Vemos, entao, que a contribuicao para a fase geometrica nao-relativıstica da topologiado defeito gera uma fase abeliana [99]. Vemos tambem que as duas contribuicoes indepen-dentes para a fase geometrica nao-relativıstica (4.69) e (4.70) sao nao-dispersivas e seusvalores coincidem com o caso relativıstico dado nas expressoes (4.64) e (4.65).

Concluımos esta secao enfatizando que a estrutura de como o defeito e formado deter-mina se a fase geometrica nao-relativıstica sera abeliana ou nao-abelina [99]. Vimos nasecao 4.4 que as contribuicoes para a fase geometrica nao-relativıstica geradas pelo deficitde angulo e pelo 4-vetor axial Sµ sao nao-abelinas, enquanto que a contribuicao a fasegeometrica nao-relativıstica produzida pelo 4-vetor traco T µ sao abelianas. Contudo, umacaracterıstica compartilhada por todas essas contribuicoes e que elas sao nao-dispersivas[99].

Capıtulo 5

FGQ em Referenciais Nao-Inerciais

Nas ultimas decadas, efeitos devido a referenciais nao-inerciais foram estudados tantona mecanica classica quanto na mecanica quantica. O efeito mais conhecido na Literaturadevido a rotacao em experimentos de interferencia e o efeito Sagnac [100]. Uma extensarevisao sobre o efeito Sagnac e experimentos relacionados a este efeito foi feito por Postem 1977 [101]. A influencia da rotacao vem sendo discutida em mecanica quantica nao-relativıstica de varias formas como, por exemplo, feito por Anandan em 1977 [102] atravesda interferencia de feixes coerentes e por Sakurai em 1980 [103] onde a funcao de onda deuma partıcula quantica sofre uma mudanca de fase devido a rotacao da Terra. Discussoesdetalhadas sobre o efeito Sagnac tanto no regime relativıstico quanto no regime nao-relativıstico tambem foram realizadas por Anandan em 1981 [104]. O aspecto relativısticotambem foi discutido por Iyer em 1982 [105] atraves da quantizacao de campos de Diracno espaco-tempo plano em referenciais nao-inerciais.

Dois efeitos de grande interesse em mecancica quantica devido a referenciais nao-inerciais foram apresentados por Page em 1975 [106], Werner et al em 1979 [107] e porMashhoon em 1988 [108]. Em [106, 107] foi mostrado que a funcao de onda de umapartıcula neutra quantica sofria uma mudanca de fase devido a rotacao da Terra ap-resentado um acoplamento entre o momento angular do movimento de um neutron emtorno do centro do planeta com a velocidade angular do planeta. Este acoplamento fi-cou conhecido na Literatura como acoplamento de Page-Werner et al. Ja em [108], osefeitos de interferencia em referenciais nao-inerciais em espaco-tempo plano apresentaramum acoplamento entre o spin de neutrons com a velocidade angular dos referenciais nao-inerciais e ficou conhecido como efeito Mashhoon.

Em 1990, Hehl and Ni [109] estudaram efeitos nao-inerciais na dinamica relativısticae nao-relativıstica de uma partıcula neutra no espaco tempo-plano considerando a acel-eracao e a rotacao como sendo uma pertubacao da metrica. Eles obtiveram efeitos tipoSagnac e acoplamentos spin-rotacao na dinamica relativıstica e o acoplamento de Page-Werner et al e efeito Mashhoon na dinamica nao-relativıstica. Em 1996, Soares e Tiomno[110] discutiram a origem do efeito Sagnac e Mashhoon atraves da aplicacao de trans-formacoes de Lorentz, mostrando que o efeito Sagnac tem sua origem relacionada aoefeito de arrasto do referenciais (dragging frames) no espaco-tempo enquanto que o efeitoMashhoon tem sua origem relacionada com os efeitos nao-inercias de referenciais trans-

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CAPITULO 5. FGQ EM REFERENCIAIS NAO-INERCIAIS 63

portados por Fermi-Walker, onde os efeitos de arrasto nao sao sentidos nesse referenciale a partıcula quantica comporta-se de maneira analoga a um giroscopio. Na presencade um campo gravitacional, atraves da aproximacao de campo fraco, os efeitos Sagnace o acoplamento spin-rotacao foram derivados tanto na dinamica relativıstica quanto nadinamica nao-relativıstica de uma partıcula de spin 1/2 por Anandan e Suzuki [111] em2003.

Neste capıtulo iremos estudar a surgimento de fases geometricas nas dinamicas rela-tivıstica e nao-relativıstica de uma partıcula neutra com momento de dipolo magneticopermanente interangido com campos eletrico e magnetico externos em referenciais nao-inerciais no espaco-tempo da corda cosmica. Nosso objetivo e estudar a influencia deefeitos nao-inercias na dinamica quantica relativıstica e nao-relativıstica de uma partıculaneutra, observando como efeitos nao-inercias podem modificar a fase de Anandan e atuarsobre sistemas analogos ao sistema AC e HMW. Para esse estudo, a configuracao doscampos que iremos adotar devera ser tal que nao haja torque sobre o momento de dipolomagnetico da partıcula neutra de forma identica ao adotado nos capıtulos anteriores. Essecapıtulos esta estruturado da seguinte forma: na secao 5.1 faremos nosso estudo de fasesgeometricas relativısticas adotando um referencial girante quando nossa partıcula neutrainterage com uma campo eletrico externo no espaco-tempo da corda cosmica; na secao 5.2estudaremos o surgimento de fases geometricas nao-relativısticas em referenciais girantesquando o a partıcula neutra interage com um campo eletrico externo na presenca de umadesclinacao; na secao 5.3 esturdaremos o surgimentos de fases geometricas relativısticasem referenciacias transportados por Femi-Walker quando a partıcula neutral interage comum campo magnetico externo no espaco-tempo da corda cosmica; por fim, na secao 5.4,estudaremos fases geometricas nao-relativısticas em referenciais transportados por Fermi-Walker quando a partıcula neutra interagir com um campo magnetico externo tambemna presenca de uma desclinacao.

A convencao de ındices que estabelecemos tambem sera: os ındices (i, j, k) e apenasestes indicarao os ındices dos eixos espaciais dos referenciais locais. Os demais ındices comletras latinas irao de 0 a 3. Para os ındices do espaco-tempo adotaremos os ındices (α, γ)e apenas estes como sendos os ındices dos eixos espacias do espaco-tempo. Os demaisındices indicados por letras gregas indicarao os quatro eixos do espaco-tempo.

5.1 Dinamica Relativıstica com Referenciais Girantes

na presenca de Defeitos Topologicos

Nesta secao iremos estudar o surgimento de fases geometricas quanticas na funcao deonda de uma partıcula neutra com momento de dipolo magnetico permanente interagindocom um campo eletrico externo na presenca de um defeito topologico quando os referen-ciais dos observadores adotados forem nao-inerciais. Diferentememnte dos capıtulos an-teriores, nao iremos considerar que a partıcula neutra possui momento de dipolo eletricopermanente por razoes que discutiremos mais adiante. Como ponto de partida desta secaoiremos tomar o elemento de linha da corda cosmica

ds2 = −dT 2 + dR2 + η2R2dΦ2 + dZ2, (5.1)


onde suas caracterısticas ja foram mensionadas anteriormente. Mudamos a notacao aquipor questao de conveniencia apenas. Neste momento, vamos fazer a seguinte mudanca decoordenadas

T = t; R = ρ; Φ = ϕ+ ω t; Z = z, (5.2)

onde ω e a velocidade angular constante do referencial em rotacao e deve satisfazer acondicao ωρ << 1. Com esta transformacao de coordenadas, o elemento de linha (5.1)fica

ds2 = −dt2 + dρ2 + η2ρ2 (dϕ+ ω dt)2 + dz2

(5.3)

= −(1− ω2η2ρ2

)dt2 + 2ωη2ρ2dϕ dt+ dρ2 + η2ρ2dϕ2 + dz2

Nesta secao queremos construir referenciais girantes para os observadores, ou seja,queremos que os eixos espaciais dos referenciais locais dos observadores girem, por exem-plo, em torno de um dos seus eixos locais. Para obtermos esse referencial, devemos ver seos referenciais locais dos observadores satisfazem ou nao a condicao

dθa ∧ θa = 0. (5.4)

Esta condicao e chamada na Literatura como condicao para um referencial livre de rotacao(free-rotation) [30]. Portanto, para que um referencial local seja girante, e necessario que

seus eixos espaciais locais(θ1, θ2, θ3

)nao satisfacam a condicao (5.4)1.

Contudo, antes de construirmos os referenciais locais dos observadores para estur-darmos o surgimento de fases geometricas e necessario que mais uma condicao sobre osreferenciais locais seja imposta. A escolha dos referenciais locais dos observadores deve sertal que nao haja torque sobre o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra quandoesta interage com campos externos [112], para que assim eliminemos efeitos classicos deprecessao sobre o momento de dipolo da partıcula neutra. Portanto, em nosso estudosobre o surgimento de fases geometricas em referenciais girantes, precisamos construir osreferenciais locais dos observadores de tal modo que a condicao (5.4) nao seja satisfeitapara os eixo espaciais locais e que a configuracao dos campos eletrico e magneticos exter-nos nesses referenciais locais nao gerem torque sobre o momento de dipolo da partıculaneutra. Dessa forma, nossa escolha para as tetradas e sua inversa sera [112]

eaµ (x) =

√

1− β2 0 − ωη2ρ2√1−β2

0

0 1 0 00 0 ηρ√

1−β20

0 0 0 1

; eµa (x) =

1√

1−β20 ωηρ√

1−β20

0 1 0 0

0 0

√1−β2

ηρ1

0 0 0 1

, (5.5)

onde definimos o parametro β = ωηρ. Note-se que o eixo-1 dos referenciais locais dosobservadores e paralelo ao eixo-ρ do espaco-tempo, enquanto que o eixo-3 e para ao eixo-z do espaco-tempo. Com os referenciais locais dos observadores estabelecidos podemos

1Caso os eixos espaciais locais satisfacam a condicao (5.4), esses referenciais sao chamados de referen-

ciais transportados por Fermi-Walker que discutiremos mais adiante neste capıtulo.


resolver a equacao de Maurer-Cartan (1.75) e obter as seguites componentes nao-nulaspara as conexoes de spin

ω 0t 1 = ω 1

t 0 = − ω2η2ρ√1− β2

; ω 1t 2 = −ω 2

t 1 = − ωη√1− β2

; (5.6)

ω 0ρ 2 = ω 2

ρ 0 =ωη

(1− β2); (5.7)

ω 0ϕ 1 = ω 1

ϕ 0 = − ωη2ρ√1− β2

; ω 1ϕ 2 = −ω 2

ϕ 1 = − η√1− β2

. (5.8)

Agora, considerando-se que haja uma distribuicao linear uniforme de cargas eletricasλe sobre o eixo de simetria da corda cosmica no referencial de repouso do observador(ω = 0), um campo eletrico radial e gerado por esta distribuicao de cargas eletricas que edado por

ERrf =

λeηR

, (5.9)

Entao, com o eixo-1 do referencial local sendo paralelo ao eixo-ρ do espaco-tempo, temosque E1 = e1

RERrf = λe/ηR. Contudo, nos referenciais nao-inerciais dos observadores, o

campo eletromagnetico e definido como

F µν = eµa (x) eνb (x) F ab. (5.10)

Portanto, as componentes dos campos eletrico e magnetico nos referenciais girantes (coro-tating) dos observadores dados em (5.5) ficam [112] (trocando R→ ρ)

Eρ =1√

1− β2

λeηρ

; Eϕ = 0; Ez = 0;

Bρ = 0; Bϕ = 0; Bz = 0. (5.11)

Vamos, entao, estudar a dinamica quantica relativıstica de uma partıcula neutra commomento de dipolo magnetico permanente interagindo com a configuracao de camposdada em (5.11), onde os referenciais dos observadores sao dados em (5.5). Lembrandoque a equacao de Dirac no espaco-tempo curvo e dada pela seguinte expressao

i γa eµa (x) ∂µψ + i γµ Γµψ +µ

2Fµν Σµν ψ = mψ, (5.12)

com Γµ sendo a conexao spinorial, cujas componentes nao-nulas sao

Γt = −1

2

ω2η2ρ√1− β2

α1 − i

2

ωη√1− β2

Σ3;

Γρ =1

2

ωη

(1− β2)α2; (5.13)

Γϕ = −1

2

ωη2ρ√1− β2

α1 − i

2

η√1− β2

Σ3.


Desta maneira, quando as cargas estao concentradas sobre o eixo de simetria da cordacosmica, a equacao de Dirac para uma partıcula neutra interagindo com um campo eletricoexterno com referenciais girantes no espaco-tempo da corda cosmica fica

mψ =i√

1− β2γ0 ∂ψ

∂t+ iγ2 ωηρ√

1− β2

∂ψ

∂t+ i γ1

(∂ρ − µ β Eρ +

1

2ρ

)ψ

(5.14)

+i√

1− β2

γ2

ηρ

∂ψ

∂ϕ− iγ2 ω2ηρ√

1− β2

∂ψ

∂ϕ+ i γ3 ∂ψ

∂z− 1

2

η

(1− β2)γ0 ~ω · ~Σψ,

onde podemos observar o aparecimento do termo ~ω · ~Σ que esta relacionado com aacoplamento spin-rotacao como apontado em [109]. Novamento podemos obter as fasesgeometricas quanticas relativısticas aplicando o metodo do fator de fase de Dirac [3, 4],expressao (3.14), onde ψ0 fica sendo agora solucao da equacao

mψ0 =i√

1− β2γ0 ∂ψ0

∂t+ iγ2 ωηρ√

1− β2

∂ψ0

∂t+ iγ1 ∂ψ0

∂ρ+

i√1− β2

γ2

ηρ

∂ψ0

∂ϕ(5.15)

− iγ2 ω2ηρ√1− β2

∂ψ0

∂ϕ+ i γ3 ∂ψ0

∂z.

A primeira contribuicao para a fase geometrica relativıstica e gerada pela topologiada corda cosmica [112]

ΦR1 =

∮1

2

η√1− β2

Σ3 dϕ. (5.16)

Note-se que tomado o limite η → 1, que significa que o defeito topologico esta ausente, estacontribuicao para a fase e devida ao referencial girante no espaco-tempo de Minkowisky.A segunda contribuicao vem da interacao entre a campo eletrico externo e o momento dedipolo magnetico da partıcula neutra

φR2 = −µβ∮ (

~Σ× ~E)ϕ√

1− β2dϕ, (5.17)

que surge devido ao acoplamento relativıstico de Aharonov-Casher em referenciais girantese no espaco-tempo da corda cosmica. No limite η → 1, obtemos o efeito Aharnov-Casherrelativıstico em referenciais girantes no espaco-tempo plano.

As contribuicoes dadas nas expressoes (5.16) e (5.17) sao identicas as contribuicoespara a fase geometrica relativıstica obtida nos capıtulos anteriores quando os referencias

eram inerciais, a menos de um fator de correcao (1− β2)1/2

devido a rotacoes dos refer-enciais locais dos observadores. Se tomarmos ω = 0, recuperaremos os mesmos valoresobtidos no referencial de repouso dos observadores que estudamos nos capıtulos anteriores.

A terceira contribuicao para a fase geometrica relativıstica e dada pelo acoplamentospin-rotacao [112]

φR3 = −η2

∮~ω · ~Σ√1− β2

dt, (5.18)


onde temos novamente o aparecimento do termo de correcao (1− β2)1/2

devido a rotacaodos referenciais locais dos observadores e a dependencia do parametro η que caracterizaa influencia da topologia do espaco-tempo da corda cosmica (defeito) nesta mudanca defase. A ultima contribuicao para a fase relativıstica que obtemos e [112]

φR4 =1

2

∮ (~Σ× ~E

)ϕ

(1− β2)3/2dϕ, (5.19)

onde definimos o vetor ~E = (ω2η2ρ) ρ, com ρ sendo um vetor unitario na direcao do eixo

ρ do espaco-tempo. Note-se que o vetor ~E comporta-se como um campo eletrico efetivoe produz uma mudanca de fase semelhante ao acoplamento relativıstico de Aharonov-Casher dado em (5.17). Se integrarmos a ultima contribuicao para a fase relativıstica(5.19) obteremos [112]

ΦR4 =ω2η2

(1− β2)3/2~A · ~Σ, (5.20)

onde ~A = A n, com A sendo a area perpendicular ao eixo de simetria da corda cosmica en sendo um vetor unitario perpendicular a area A. Portanto, obtivemos uma mudanca defase devido ao referencial girante sem fazermos da aproximacao de campo fraco. Podemosver que no limite η → 1 a mudanca de fase devido aos referenciais girantes e analoga aobtida por Anandan e Suzuki em [111] sem a utilizacao da aproximacao de campo fraco, a

menos de um fator de correcao de (1− β2)3/2

que surge devido a rotacao dos referenciaislocais dos observadores.

Portanto, vimos que podemos construir referenciais locais girantes para os obser-vadores de tal forma que nao haja torque sobre o momento de dipolo magnetico quandoeste interage com um campo eletrico externo na presenca de um defeito topologico. Vimosque todas as contribuicoes para a fase geometrica relativıstica dependem dos parametrosη e ω que indica a influencia da topologia do espaco-tempo da corda cosmica e dos ref-erenciais girantes dos observadores [112]. Podemos ver tambem que cada contribuicaoindependente da fase geometrica relativıstica nao depende da velocidade da partıculaneutra quando esta contorna o eixo de simetria da corda cosmica, o que caracteriza umafase quantica nao-dispersiva [112].

5.2 Dinamica Nao-Relativıstica com Referenciais Gi-

rantes na presenca de Defeitos Topologicos

Nesta secao iremos estudar o surgimento de fases geometricas quanticas na dinamicanao-relativıstica de uma partıcula neutra com momento de dipolo magnetico permanenteinteragindo com um campo eletrico externo na presenca de um defeito topologico obser-vado de um referencial girante (5.3). Para isso iremos adotar os mesmos referenciais locaispara os observadores dados na expressao (5.5) e a configuracao de campos dada em (5.11).


Para estudarmos o comportamento nao-relativıstico da partıcula neutra vamos escrever aequacao de Dirac (5.14) na forma

i∂ψ

∂t= Hψ. (5.21)

Desse modo, a equacao de Dirac (5.14) ficara na forma

i∂ψ

∂t+ iβ α2 ∂ψ

∂t=√

1− β2mβ ψ +√

1− β2 ~α · ~π ψ +1

2

η√1− β2

~ω · ~Σψ, (5.22)

onde definimos o vetor ~π = ~p+ iµβ ~E − i~ξ como nos capıtulos anteriores [75, 97, 112], ou

melhor, com pi = −i eλi ∂λ e com as componentes do vetor ~ξ sendo

ξk =i

2eϕk ωϕij Σij = − i

2ρΣ3 δk2. (5.23)

Desta vez nao iremos aplicar a aproximacao de Foldy-Wouthuyssen [54] para estudara dinamica quantica nao-relativıstica como fizemos nos capıtulos anteriores. Neste caso,torna-se mais conveniente estudar a dinamica quantica nao-relativıstica da partıcula neu-tra decompondo o spinor de Dirac de quatro componentes em suas componentes “grandes”e “pequenas” [50, 51]

ψ = e−imt(

ΦX

), (5.24)

onde iremos considerar Φ com sendo a componente “grande” e X a componente “pe-quena”. Assim, substiuindo (5.24) na equacao de Dirac (5.22) obteremos duas equacoesacopladas para Φ e X, onde a primeira equacao acoplada e

i∂Φ

∂t+ mΦ + iβ σ2 ∂X

∂t+mβ σ2X =

√1− β2

[m+ ~σ ·

(~p+ iµ ~E − i~ξ

)]X

+1

2

η√1− β2

~ω · ~σΦ, (5.25)

enquanto que a segunda equacao acoplada

i∂X

∂t+ mX + iβ σ2 ∂Φ

∂t+mβ σ2 Φ =

√1− β2

[m+ ~σ ·

(~p− iµ ~E − i~ξ

)]Φ

+1

2

η√1− β2

~ω · ~σ X. (5.26)

Temos que ω η ρ << 1, logo, fazendo a aproximacao√

1− β2 ≈ 1 − 12β2 + ..., podemos

reescrever (5.25) como

i∂Φ

∂t+

1

2mβ2 Φ− η

2~ω · ~σΦ +

1

4β2 ω η σ2 Φ = ~σ ·

(~p+ iµ ~E − i~ξ

)X

(5.27)

− 1

2β2 ~σ ·

(~p+ iµ ~E − i~ξ

)X −mβ σ2X − iβ σ2 ∂X

∂t.


Sendo X a componente “pequena”, podemos escrever (5.26) como

X =1

2m

[~σ ·(~p− iµ ~E − i~ξ

)− β2

2~σ ·(~p− iµ ~E − i~ξ

)−mβσ2

]Φ− i

2mβ σ2∂Φ

∂t.(5.28)

Dessa forma, substituindo a expressao (5.28) em (5.27), a Hamiltoniana nao-relativısitcaque descreve a interacao entre a partıcula neutra com momento de dipolo magnetico per-manente e o campo eletrico externo em referenciais girantes e na presenca de um defeitotopologico sera

HNR =1

2m

(~p+ ~Ξ

)2

+µ

2m~∇ · ~E − µ2E2

2m−mA0 −

η

2~ω · ~σ +

µλeηω2

4m+O

(β2

2m

),(5.29)

onde as componentes do vetor ~Ξ sao

Ξk = µ(~σ × ~E

)k− 1

2ρσ3 δk2 −mAk −

1

2

(~σ × ~E

)k, (5.30)

e onde temos usando a mesma notacao da referencia [111] para definit o 4-vetor Aµ e o

vetor ~E , cujas componentes nao-nulas sao

A0 =1

2η2 (~ω × ~r)2 =

1

2ω2η2ρ2; Aϕ = η (~ω × ~r)ϕ ,

(5.31)Eρ = ω2η2ρ.

A Hamiltoniana (5.29) descreve o comportamento nao-relativıstico de uma partıculaneutra com momento de dipolo magnetico permanente interagindo com um campo eletricoexterno na presenca de um defeito topologico (chamado desclinacao) com os referenciaisdos observadores sendo girantes. A influencia do referencial girante pode ser vista atravesdo acoplamento spin-rotacao dado pelo termo ~ω ·~σ, que e conhecido como efeito Mashhoon[108], pelos termos mA0, m ~A e ~σ× ~E que surgem diretamente da construcao dos referen-ciais locais dos observadores e que sao considerados como componentes de um campo degauge para os referenciais girantes em [111].

A influencia da topologia do defeito na dinamica quantica nao-relativıstica da partıculaneutra e vista na Hamiltoniana (5.29) atraves do parametro η presente no acoplamento

spin-rotacao, nos temos mA0, m ~A e ~σ× ~E . A outra contribuicao da topologia do defeito evista atraves do segundo termo da expressao (5.30). Podemos observar que ao tomarmoso limite η → 1, recuperamos o acoplamento spin-rotacao no espaco-tempo plano comoobtido na referencia [108] e o mesmo campo de gauge Aµ dado na referencia [111] atravesda aproximacao de campo fraco. Por fim, a interacao entre o campo eletrico externo eo momento de dipolo magnetico se faz presente na dinamica nao-relativıstica atraves doprimeiro termo da expressao (5.30).

Para obtermos as fases geometricas quanticas nao-relativıticas nesse referencial nao-inercial iremos, novamente, aplicar o metodo do fator de fase de Dirac [3, 4] dado na

expressao (3.14). Os termos proporcionais a ~∇ · ~E, E2 e mA0 sao termos locais e naocontribuem para a fase relativıstica como discutimos nos capıtulos anteriores. Portanto,os termos que contribuem para a fase geometrica nao-relativıstica sao o vetor ~Ξ e o termodo acoplamento spin-rotacao ~ω · ~σ. Entao, substituindo a expessao (3.14) na equacao de


Schrodinger-Pauli dada pela Hamiltoniana (5.29), teremos que ψ0 sera solucao da equacao[112]

− 1

2m∇2ψ0 −

µ2E2

2mψ0 +mA0ψ0 = 0. (5.32)

Assim, a funcao de onda da partıcula neutra ira adquirir cinco contribuicoes indepen-dentes para a fase geometrica quantica nao-relativıstica. A primeira contribuicao e dadapela topologia do defeito [112]

φNR1 =

∮(−iξk) ekϕ dϕ = −

∮1

2ρσ3 δ2k e

kϕ dϕ = −π η σ3, (5.33)

onde temos desprezado a contribuicao dada por termos da ordem de β2. A expressaopara a fase (5.33) da-nos um fluxo identico ao obtido nos capıtulos anteriores quandolevamos em conta apenas a contribuicao para a fase dada pelo deficit de angulo do defeitotopologico. Se somarmos 2π em (5.34) para remover efeitos de rotacoes arbitrarias sobreθ2 = e2

ϕ (x) dϕ quando realizamos o transporte paralelo dos referenciais locais ao longode uma curva fechada, esta contribuicao para a mudanca de fase torna-se

φ′NR1 = σ3

(−∮

1

2ρδ2k e

kϕ dϕ+ 2π

)= (1− η) π σ3 =

1

2

(8πGνσ3

), (5.34)

que fornece metado do valor do fluxo gerado pelo efeito Aharovov-Casher gravitacional(classico) dado em [65, 66], sem a necessidade da aproximacao de campo fraco. A se-gunda contribuicao para a fase geometrica nao-relativıstica e dada pela interacao entre omomento de dipolo magnetico da partıcula neutra e o campo eletrico externo

φNR2 = µ

∮ (~σ × ~E

)ϕdϕ = 2π µλe σ

3. (5.35)

que e identica a fase obtida no espaco-tempo plano em [16, 26, 27, 79] e no espaco-tempo curvo [75, 97]. A terceira contribuicao independente para a fase geometrica nao-

relativıstica e gerada pelo campo de gauge m ~A dado em (5.31)

φNR3 = −m∮Ak ekϕ dϕ = −2mη ~ω · ~A (5.36)

one A = πηρ2 e a area varrida pela trajetoria da partıcula neutra ao longo de uma curvafechada, perpendicular a direcao da velocidade angular ω. Esta fase e originada pelarotacao dos referenciais dos observadores e fornece o mesmo efeito de mudanca de fasedado pelo efeito Sagnac [101, 104, 111].

A quarta contribuicao independente para a fase geometrica nao-relativıstica e dadapelo vetor ~E definido em (5.31). Esta contriuicao fornece [112]

φNR4 = −1

2

∫ (~σ × ~E

)ϕdϕ = −ω2η2 ~A · ~σ. (5.37)

Esta mudanca de fase surge devido aos efeitos da rotacao dos referenciais locais dosobservadores e da topologia do defeito. Note-se que no limite η → 1, obtemos um resultadosimilar ao mostrado na referencia [111] atraves da aproximacao de campo fraco onde


esta mudanca de fase e analoga a aquela obtida na interferometria de neutrons devido ainteracao entre o o campo eletrico efetivo ~E e o momento de dipolo magnetico da partıculaneutra. Nosso resultado (5.37) e obtido sem fazermos a aproximacao de campo fraco.

A ultima contribuicao independente para a fase geometrica nao-relativıstica e fornecidapelo acoplamento spin-rotacao [112]

φNR5 =η

2

∫~ω · ~σ dt =

η τ

2~ω · ~σ, (5.38)

com τ sendo o tempo que a partıcula neutra gasta para percorre uma trajetoria fechadaao redor do eixo de simetria do defeito topologico. Note-se que esta contribuicao dependedo parametro η que demonstra a influencia da topologia do defeito no acopamento spin-rotacao. No limite η → 1 recuperamos a mudanca de fase conhecida como efeito Mashhoon[108].

Agora, lembrando que consideramos no inıcio deste capıtulo que ha uma distribuicaolinear de cargas ao longo do eixo de simetria do defeito, temos que a combinacao de todasas contribuicoes independentes para a fase geometrica nao-relativıstica fornece a seguintemudanca de fase

φAC = 2π µλe σ3 + (1− η) π σ3 − 2mη ~ω · ~A− ω2η2 ~A · ~σ +

ητ

2~ω · ~σ, (5.39)

isto e, obtemos um efeito analogo ao efeito AC em referenciais girante e na presenca deum defeito topologico [112]. Podemos ver facilmente que se ω → 0, recuperaremos o efeitoanalogo ao efeito AC no espaco-tempo curvo que discutimos nos capıtulos anteriores parareferenciais inerciais. Podemos ver tambem que tomando η → 1 e ω = 0 recuperaremoso efeito AC no espaco-tempo plano [16]. Contudo, se considerarmos η → 1 e ω 6= 0,teremos um efeito analogo ao efeito AC no espaco-tempo plano, mas em referenciaisgirantes. Observemos que a expressao para fase de Anandan que discutimos nos capıtulosanteriores coincide com a expressao obtida para o efeito analogo ao efeito AC dado em(5.39).

Por fim, podemos observar que cada contribuicao independente da fase geometricaquantica nao-relativıstica nao depende da velocidade da partıcula neutra, o que mostraque cada contribuicao independente e nao-dispersiva [112].

Portanto, vimos nesta secao que na dinamica quantica nao-relativıstica de uma partıculaneutra interagindo com um campo eletrico externo em referenciais girantes e na presencade um defeito topologico surge efeitos de interferencia que provocam mudanca de fase nafuncao de onda da partıcula neutra dados pela topologia do defeito, pela interacao entreo campo externo e o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra e pela rotacaodos referenciais do observadores. As contribuicoes dada pelo efeito de rotacao gerou umamudanca de fase identica ao efeito Sagnac, ao efeito Mashhoon e uma mudanca de faseanaloga a interacao entre o campo eletrico e o momento de dipolo magnetico de umapartıcula neutra. Todas essas contribuicoes independentes sao nao-dispersivas [112].


5.3 Dinamica Relativıstica com Referenciais Trans-

portados por Fermi-Walker na presenca de De-

feitos Topologicos

Nesta secao iremos estudar o surgimento de fases geometricas quanticas relativısticasna funcao de onda de uma partıcula neutra quando os referenciais locais dos observadoressao transportados via transporte de Fermi-Walker. Da mesma forma que na secao anterior,a partıcula neutra possui momento de dipolo magnetico permanente e ira interagir comcampos externos no espaco-tempo da corda cosmica. Deve-se observar que a escolha docampos eletrico e magnetico externos neste caso nao e uma escolha avulsa e sim feita paraque nao haja torque sobre o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra.

Novamente iremos tomar como pano de fundo o espaco-tempo da corda cosmica, ele-mento de linha (5.1), fazer a transformacao de coordenada (5.2) e escrever o elemento delinha nesse referencial nao-inercial como dado em (5.3), ou seja, o elemento de linha doespaco-tempo da corda cosmica fica sendo escrito como

ds2 = −dt2 + dρ2 + η2ρ2 (dϕ+ ω dt)2 + dz2. (5.40)

Contudo, nesta secao iremos ver a influencia dos efeitos nao-inerciais adotando umreferencial nao-girante, ou melhor, um referencial transportado via transporte de Fermi-Walker. Um referencial de Fermi-Walker e identico ao de um giroscopio, isto e, cadaeixo espacial nao sofre precessao em relacao aos outros quando transportados ao longo deum certo trajeto [29, 30, 34]. Dessa forma, devemos construir os referenciais locais dosobservadores de forma que satisfacam a condicao (5.4). Assim, nossa escolha sera

eaµ (x) =

1 0 0 00 1 0 0ωηρ 0 ηρ 0

0 0 0 1

; eµa (x) =

1 0 0 00 1 0 0−ω 0 1

ηρ1

0 0 0 1

, (5.41)

onde podemos notar que os eixos 1 e 3 dos referenciais locais sao paralelos aos eixos ρ e z,respectivamente. Duas questoes surgem entao quando mudamos os referenciais girantesque trabalhamos nas secoes anteriores para um referncial de Fermi-Walker: tendo em vistaque o efeito Sagnac e produzido por efeitos de rotacao, esse efeito ainda sera detectadoquando adotarmos um referencial de Ferm-Walker? E o efeito Mashhoon, que surge doacoplamento spin-rotacao, tambem sera detectado em um referencial de Fermi-Walker?Portanto, durante o desenvolvimento desta e da proxima secao responderemos claramenteessas duas questoes.

Com a escolha dos referenciais locais em maos, podemos resolver as equacoes deMaurer-Cartan (1.75) e obter as seguintes conexoes 1-forma nao-nulas

ω 1t 2 = −ω 2

t 1 = −ωη; ω 1ϕ 2 = −ω 2

ϕ 1 = −η. (5.42)

Utilizando as conexoes 1-forma (5.42), temos que a conexcao spinorial fica sendo

γµ Γµ =γ1

2ρ. (5.43)


De acordo com os referenciais locais dos observadores transportados por Fermi-Walker(5.41), tomando a conexao spinorial (5.43) e com a configuracao de campos dada em(5.55), a equacao de Dirac ficara [113]

mψ = i γ0 ∂ψ

∂t− iγ0 ω

∂ψ

∂ϕ+ i γ1

(∂ρ +

1

2ρ

)ψ + i

γ2

ηρ

∂ψ

∂ϕ+ i γ3 ∂ψ

∂z(5.44)

+ iµ~α · ~E ψ − µ ~Σ · ~B ψ.

Dessa forma, nas proximas duas sub-secoes iremos discutir o surgimento de fasesgeometricas quanticas relativısticas na funcao de onda de uma partıcula neutra no espaco-tempo da corda cosmica quando os referenciais locais dos observadores sao tranportadospor Fermi-Walker em duas configuracoes de campos distintas: na primeira iremos con-siderar que haja, no referencial de repouso dos observadores, uma distribuicao linear decargas eletricas ao longo do eixo de simetria da corda cosmica; no segundo caso iremosconsiderar que haja, no referencial de repouso dos observadores, uma corrente eletricauniforme passando ao longo do eixo de simetria da corda cosmica.

5.3.1 Primeiro caso relativıstico: interacao entre o momento de

dipolo magnetico e campo eletrico radial

Nesta subsecao iremos considerar que haja uma distribuicao linerar de cargas eletricasao longo do eixo de simetria da corda cosmica no referencial de repouso dos observadores.Essa distribuicao linear de cargas eletricas gera um campo eletrico radial dado por

ERrf =

λ

ηR, (5.45)

onde λ e a densidade linear de cargas eletricas. Note-se que esse campo e o mesmo dadonos capıtulos anteriores. Portanto, no referencial de repouso dos observadores podemosescrever o campor eletrico na forma E1 = e1

R (x) ERrf = λ

ηR. Contudo, quando temos que

os referenciais locais dos observadores sao transportados por Fermi-Walker, a configuracaode campos passa a ser

F µν = eµa (x) eνb (x) F ab. (5.46)

Dessa forma, tomando os referenciais locais (5.41) e trocando-se R → ρ, a configuracaode campos no referencial transportado por Fermi-Walker fica

Eρ = E1 =λ

ηρ; , Bz = −ωηρE1 −B3 = −ωλ. (5.47)

Assim, com a configuracao de campos (5.47), temos que nao ha torque sobre o mo-mento de dipolo magnetico da partıcula neutra. Logo, poderemos estudar a influencia dosefeitos nao-inerciais do referencial transportado por Fermi-Walker na dinamica quanticarelativıstica da partıcula neutra. A equacao de Dirac (5.44) torna-se

mψ = i γ0 ∂ψ

∂t− iγ0 ω

∂ψ

∂ϕ+ i γ1

(∂ρ +

1

2ρ− µλ

ηρβ

)ψ + i

γ2

ηρ

∂ψ

∂ϕ+ i γ3 ∂ψ

∂z

+ µλωΣ3 ψ. (5.48)


Usando o metodo do fator de fase de Dirac [3, 4], deveremos substituir a expressao(3.14) na equacao de Dirac (5.48), onde ψ0 sera solucao da seguinte equacao

i γ0 ∂ψ0

∂t− iγ0 ω

∂ψ0

∂ϕ+ i γ1∂ψ0

∂ρ+ i

γ2

ηρ

∂ψ0

∂ϕ+ i γ3 ∂ψ0

∂z−mψ0. (5.49)

Portanto, usando o fator de fase de Dirac, a funcao de onda da partıcula neutra adquiretres contribuicoes independentes para a fase geometrica quantica relativıstica. A primeiracontribuicao e dada pela topologia do espaco-tempo da corda cosmica [113]

φR1 =1

2

∮ηΣ3 dϕ = ηπΣ3. (5.50)

A segunda contribuicao para a fase geometrica relativısitca e dada pela interacaoentre o momento de dipolo magnetico permanente da partıcula neutra e o campo eletricoexterno

φR2 = −µβ∮ (

~Σ× ~E)ϕdϕ = −2πµλ β Σ3. (5.51)

A terceira contribuicao independente para a fase geometrica relativıstica e dada por

ΦR3 =η

2

∫ τ

0

~ω · ~Σ dt =1

2η ω τ Σ3, (5.52)

onde τ e o tempo gasto pela partıcula para dar uma volta em torno do eixo de simetriada corda cosmica. Essa contribuicao e gerada pelo acoplamento spin-rotacao [113]. Comodiscutido na referencia [110], a mudanca de fase devida ao acoplamento spin-rotacaosurge apenas devido a efeitos nao-inerciais dados pela escolha dos referenciais locais dosobservadores, isto e, esta mudanca de fase surge devido ao referencial de Fermi-Walkercaracterizar o comportamento da partıcula neutra de forma analoga ao comportamentode um giroscopio2 (classico) quando existe um movimento rotacional presente. Podemosver facilmente que no limite η → 1, obtemos a mesma mudanca de fase gerada peloacoplamento spin-rotacao no espaco-tempo plano como discutido na referencia [109] semtratamos a velocidade angular como uma flutuacao da metrica. Podemos ver tambem quecada contribuicao independente para a fase geometrica relativıstica (5.57), (5.58) e (5.59)nao dependem da velocidade da partıcula neutra, o que mostra que essas contribuicoessao nao-dispersivas.

Note-se que a fase relativıstica de Anandan ou fase geometrica relativıstica sera dadapela combinacao das contribuicoes (5.50), (5.51) e (5.52), isto e,

ΦAR1= −2πµλ β Σ3 + η πΣ3 +

1

2η ωτ Σ3, (5.53)

onde podemos que, no referencial transportado por Fermi-Walker, havera duas novascontribuicoes para a fase relativıstica de Anandan: uma dada pela topologia do defeitoe outra pelo acoplamento spin-rotacao. Note-se que tomando ω = 0, a expressao para afase de Anandan (5.53) torna-se equivalente a que obtivemos no capıtulo 3 na expressao

2um giroscopio mantem sempre sua direcao alinhada com a direcao da velocidade angular seja para

onde for deslocado, obedecendo a conservacao do momento angular.


(3.22). Tomando o limite η → 1 obtemos a expressao para a fase de Anandan devido apresenca de efeitos nao-inerciais dos referenciais dos observadores no espaco-tempo plano.

Por fim, devemos observar que nao ha uma mudanca de fase na funcao de onda analogaao efeito Sagnac [113]. Isto ocorre devido a nossa escolha dos referenciais locais dos ob-servadores serem referenciais de Fermi-Walker, ou seja, nao ha efeito algum visto nestecaso relacionado a efeitos de arrasto do espaco-tempo (dragging effects) com mostrado em[110]. O efeito Sagnac surgiu nas secoes anteriores porque os eixos espaciais dos referen-ciais locais dos observadores estao em rotacao junto ao espaco-tempo, caracterizando osefeitos de arrasto ou dragging effects. Como um referencial de Fermi-Walker nao possuiseus eixos espaciais em rotacao, os efeitos de arrasto do espaco-tempo nao sao produzi-dos. Porem, dado um alinhamento inicial dos eixos espaciais com a velocidade angular, oreferencial de Fermi-Walker mantera sempre esse alinhamento obedecendo a conservacaode momento angular e, consequentemente, obtemos na dinamica quantica o acoplamentospin-rotacao [113].

Portanto, vimos nesta secao que a funcao de onda da partıcula neutra adquire umafase geometrica relativıstica gerada pela topologia do espaco-tempo da corda cosmica,pela interacao entre o momento de dipolo magnetico e o campo eletrico radial e peloacoplamento spin-rotacao gerado pelos efeitos nao-inerciais dos referenciais de Fermi-Walker. Porem, nenhum efeito analogo ao efeito Sagnac e visto aqui devido a ausencia deefeitos de arrasto em referenciais de Fermi-Walker. Vimos que todas as contribuicoes paraa fase geometrica relativıstica sao nao-dispersivas e que a fase relativıstica de Anandanadquire um termo relacionado a topologia do espaco-tempo e outro termo devido aoacoplamento spin-rotacao [113].

5.3.2 Segundo caso relativıstico: interacao entre o momento de

dipolo magnetico e um campo magnetico azimutal

Agora, iremos considerar que haja uma corrente eletrica uniforme I0 passando atravesdo eixo de simetria da Corda Cosmica. Esta corrente eletrica uniforme produz um campomagnetico azimutal no referencial de repouso do observador (ω = 0) dado por [76]

BΦrf =

I0

ηR. (5.54)

Tomando B2 = e2Φ (x) BΦ

rf = I0, temos que as componentes do campo no espaco-tempocurvo sao dadas por (5.46). Portanto, levando em conta que os referenciais dos obser-vadores sao referenciais transportados por Fermi-Walker, as componentes nao-nulas doscampos magnetico serao

Bϕ = eϕ2 (x) B2 =1

ηρB2 =

I0

ηρ, (5.55)

onde fizemos a troca R → ρ e Φ → ϕ ao mudarmos do referencial de repouso dos obser-vadores para o referencial transportado por Fermi-Walker. Vemos que nao ha componentenao-nula para o campo eletrico.


Aplicando o metodo do fator de fase de Dirac [3, 4], devemos substituir a expressao(3.14) na equacao de Dirac (5.44), onde ψ0 sera solucao da seguinte equacao

i γ0 ∂ψ

∂t− iγ0 ω

∂ψ

∂ϕ+ iγ1∂ψ0

∂ρ+ i

γ2

ηρ

∂ψ0

∂ϕ+ i γ3 ∂ψ0

∂z= mψ0. (5.56)

Dessa forma, a funcao de onda da partıcula neutra adquire tres contribuicoes indepen-dentes para a fase geometrica quantica relativıstica. A primeira contribuicao independentee dada pela topologica do espaco-tempo da corda cosmica [113]

φR4 =1

2

∮ηΣ3 dϕ = π ηΣ3. (5.57)

A segunda contribuicao para a fase geometrica relativıstica e dada pela interacao entreo campo magnetico externo e o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra [113]

φR5 = −µ β∮~Σ · ~B dt = −µ β

∫ τ

0

Σi eiϕB

ϕ dt = −µI0 τ β Σ2, (5.58)

com τ sendo o tempo gasto pela partıcula neutra para dar uma volta ao redor do eixo desimetria da corda cosmica. A terceira contribuicao para a fase geometrica relativıstica e

φR6 = −η2

∫~ω · ~Σ dt = −ητ

2~ω · ~Σ, (5.59)

que e gerada pelo acoplamento spin-rotacao [113]. Podemos ver facilmente que cadacontribuicao para a fase geometrica relativıstica (5.57), (5.58) e (5.59) e nao-dispersiva.

Novamente, podemos obter a expressao para a fase relativıstica de Anandan ou fasegeometrica relativıstica. Combinando as expressoes (5.57), (5.58) e (5.59), teremos

ΦAR2= −µI0 τ β Σ2 + π ηΣ3 +

1

2η ω τ Σ3, (5.60)

que, como no caso anterior (5.53), a fase relativıstica de Anandan adquire um termorelacionado a topologia do espaco-tempo e outro devido ao acoplamento spin-rotacao. Nolimite η → 1 temos a expressao para a fase de Anandan no espaco-tempo plano ondeha a influencia dos efeitos nao-inerciais. Novamente vemos a ausencia de efeito analogoao efeito Sagnac devido a ausencia de efeitos de arrasto quando os referenciais locais dosobservadores sao referenciais de Fermi-Walker [113].

Portanto, vimos nesta secao que a funcao de onda da partıcula neutra adquiriu umafase geometrica relativıstica gerada pela topologia do espaco-tempo da corda cosmica,pela interacao entre o momento de dipolo magnetico e o campo magnetico azimutal epelo acoplamento spin-rotacao gerado pelos efeitos nao-inerciais dos referenciais de Fermi-Walker. Novamente, nenhum efeito analogo ao efeito Sagnac foi visto aqui devido aausencia de efeitos de arrasto em referenciais de Fermi-Walker. Tambem vimos que todasas contribuicoes para a fase geometrica relativıstica sao nao-dispersivas e que a fase rela-tivıstica de Anandan adquireiu um novo termo relacionado ao acoplamento spin-rotacao[113].


5.4 Dinamica Nao-Relativıstica com Referenciais Trans-

portados por Fermi-Walker na presenca de De-

feitos Topologicos

Neta secao estudar o comportamento nao-relativıstico de uma partıcula neutra con-siderando que os referenciais locais dos observadores sao referenciais de Fermi-Walkerdados em (5.41). Novamente, a partıcula neutra possui momento de dipolo magneticopermanente e interage com um campo magnetico externo na presenca de um defeitotopologico. Vamos aplicar a aproximacao de Foldy-Wouthuyssen [54] para obter o limitenao-relativıstico da equacao de Dirac (5.44). Dessa forma, vamos reescrever a equacao deDirac (5.44) como

i∂ψ

∂t= mβ ψ + ~α ·

(~p− i~ξ + iµβ ~E

)ψ − η ~ω · ~Lψ + µ β ~Σ · ~B ψ, (5.61)

onde definimos pi = −i eλi ∂λ, Lz = − iη∂∂ϕ

e ξi = − i2ρ

Σ3 δi2, com o ındice λ indicando as

coordenadas espaciais do espaco-tempo e o ındice i indicando as componentes espaciaisdos referenciais locais dos observadores. Portanto, apos substituir cada termo da equacaode Dirac (5.61) na expressao (2.15), teremos como termos ımpares e pares

O = ~α ·(~p− i~ξ + iµβ ~E

)(5.62)

ε = −η ~ω · ~L+ µ β ~Σ · ~B.

Desta maneira, substituindo os termos ımpares e pares na expressao (2.25), a equacaode Schrodinger-Pauli ficara [113]

i∂ψ

∂t= mβ ψ +

β

2m

[~p− i~ξ + µβ

(~Σ× ~E

)]2

ψ − µ2E2

2mψ +

µ

2m~∇ · ~E ψ

(5.63)− η ~ω · ~Lψ + µβ ~Σ · ~B ψ.

Podemos observar na Hamiltoniana nao-relativıstica (5.63) que surge um termo pro-

porcional a ~ω · ~L que e um termo analogo a o termo de Page-Werner et al. [106, 107]na presenca de uma desclinacao [113]. Podemos observar ainda a influencia da topologia

do defeito na dinamica nao-relativıstica da partıcula neutra atraves do termo −i~ξ queobtivemos nos capıtulos anteriores.

Novamente iremos considerar os casos em que ha uma distribuicao linear de cargaseletricas e uma corrente eletrica uniforme, ambos ao longo do eixo de simetria do defeitotopologico e no referencial de repouso dos observadores.

5.4.1 Primeiro caso nao-relativıstico: interacao entre momento

de dipolo mangetico e campo eletrico radial


Iremos considerar novamente uma distribuicao linear de cargas eletricas sobre o eixo desimetria do defeito topologico no referencial de repouso dos observadores. Como ja vimosna secao anterior, a configuracao de campos quando os referenciais locais dos observadoressao transportados por Fermi-Waker e dada em (5.47). Assim, substitutindo a configuracaode campos (5.47) na equacao de Schrodinger-Pauli (5.63) e usando o metodo do fator defase de Dirac [3, 4], teremos que ψ0 sera solucao da equacao

i∂ψ0

∂t= − 1

2m∇2ψ0 −

µ2E2

2mψ0 +

µ

2m~∇ · ~E ψ0 − η ~ω · ~Lψ0. (5.64)

Portanto, a funcao de onda da partıcula neutra adquire tres contribuicoes indepen-dentes para a fase geometrica quantica nao-relativıstica. A primeira contribuicao e dadapela topologia do defeito [113]

φNR1 =

∮(−iξk) ekϕ dϕ = −πη σ3, (5.65)

onde escrevemos a fase em termos de um spinor de duas componentes. A segunda con-tribuicao para a fase geometrica nao-relativıstica e dada pela interacao entre o campoeletrico externo e o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra

φNR2 = µ

∮ (~σ × ~E

)ϕdϕ = 2πµλσ3. (5.66)

A terceira contribuicao independente para a fase nao-relativıstica e dada pelo acopla-mento spin-rotacao [113]

φNR3 =η

2

∫ τ

0

~ω · ~σ dt =1

2η ω τ σ3, (5.67)

que constitui em uma mudanca de fase analoga ao efeito Mashhoon [108] para umapartıcula neutra com momento de dipolo magnetico permanente na presenca de umadesclinacao. Da mesma forma que no caso relativıstico, essa contribuicao para a fasegeometrica nao-relativıstica tem sua origem nos efeitos nao-inerciais do referencial deFermi-Walker, mostrando tambem o comportamento quantico da partıcula neutra deforma analoga a de um giroscopio na mecanica classica como demonstrado em [110].Contudo, se tomarmos o limite η → 1 recuperamos a mesma mudanca de fase dada peloefeito Mashhoon no espaco-tempo plano [108]. Novamente, vemos que nao ha contribuicaoalguma para a mudanca de fase analoga ao efeito Sagnac devido a ausencia de efeitos dearrasto (dragging effects) sobre os referenciais locais dos observadores.

Combinando as tres contribuicoes para a fase geometrica quantica nao-relativıstica ecomparando com o efeito Aharonov-Casher [16], obteremos um efeito analogo ao efeitoAC dado pela topologia do defeito e pelos efeitos nao-inerciais

φAC = 2πµλσ3 − πη σ3 +1

2η ω τ σ3, (5.68)

onde o terceito termo de (5.68) e a nova contribuicao para o efeito analogo ao efeito AC[113]. Note-se que se tomarmos ω = 0 recuperaremos o efeito analogo ao efeito AC dadona presenca de uma desclinacao como obtido em (3.51). No limite η → 1 tambem teremoso efeito analogo ao efeito AC dado em um referencial nao-inercial e que tomando η → 1 e


ω = 0 recuperaremos o efeito AC original. Veja-se que a expressao para a fase de Anandannao-relativıstica coincide com a expressao para a fase AC dada em (5.68).

Comparando (5.68) com (5.39), vemos que em (5.39) ha dois termos a mais devido asefeitos nao-inerciais analogos ao efeito Sagnac. Como o efeito Sagnac nao se manisfestaquando os referenciais locais dos observadores sao transportados por Fermi-Walker devidoa ausencia de efeitos de arrasto nestes referenciais, naturalmente esses dois termos naoaparecem na expressao (5.68).

Por fim, devemos observar que as tres contrbuicoes para a fase geometrica quanticanao-relativıstica (5.65), (5.66) e (5.67) nao dependem da velocidade da partıcula neutrae, portanto, sao nao-dispersivas [113].

Portanto, vimos nesta secao que o surgimento de uma fase geometrica nao-relativısticagerada pela topologia do espaco-tempo da corda cosmica, pela interacao entre o momentode dipolo magnetico e o campo eletrico radial e pelo acoplamento spin-rotacao geradopelos efeitos nao-inerciais dos referenciais de Fermi-Walker. Vimos que na dinamicanao-relativıstica nao ha efeito algum analogo ao efeito Sagnac devido a ausencia deefeitos de arrasto em referenciais de Fermi-Walker. Todas as contribuicoes para a fasegeometrica nao-relativıstica obtidas aqui foram nao-dispersivas e que a fase analoga afase da Aharonov-Casher adquire um termo relacionado a topologia do defeito e outrotermo devido ao acoplamento spin-rotacao coincidindo com a expressao para a fase nao-relativıstica de Anandan [113].

5.4.2 Segundo caso nao-relativıstico: interacao entre o momento

de dipolo magnetico e um campo magnetico azimutal

Consideraremos novamente que haja uma corrente eletrica uniforme passando peloeixo de simetria do defeito no referencial de repouso dos observadores. A configuracaodos campos quando os referenciais locais dos observadores forem transportados por Fermi-Walker e dada em (5.54). Logo, para obtermos as fases geometricas nao-relativısticasfaremos novamente o mesmo procedimento da aplicacao do fator de fase de Dirac [3, 4]. Aosubstituirmos a solucao (3.14) na equacao de Schrodinger-Pauli dada pela Hamiltoniana(5.63), termos que ψ0 e solucao da equacao

i∂ψ0

∂t= − 1

2m∇2ψ0 − η ~ω · ~Lψ0. (5.69)

Logo, a funcao de onda da partıcula neutra ira adquirir tres contribuicoes indepen-dentes para a fase geometrica quantica nao-relativıstica. A primeira contribuicao e dadapela topologia do defeito [113]

φNR1 =

∮(−iξk) ekϕ dϕ = −π η σ3. (5.70)

A segunda contribuicao e dada pela interacao entre o campo magnetico externo (5.55)e o momento de dipolo magnetico permanente da partıcula neutra [113]

φNR4 = −µ∫~Σ · ~B dt = −µ

∫ τ

0

σi eiϕB

ϕ dt = −µ I0 τ σ2. (5.71)


A terceria contrbuicao para a fase geometrica nao-relativıstica e dada pelo acoplamentospin-rotacao [113]

φNR3 =1

2

∫η ~ω · ~σ dt =

η τ

2~ω · ~σ, (5.72)

onde no limite η → 1 obteremos o efeito Mashhoon [108]. Observemos que nas tres con-tribuicoes independentes para a fase geometrica quantica nao-relativıstica (5.70), (5.71)e (5.72) nao ha dependencia da velocidade da partıcula neutra, o que nos mostra quecada contribuicao gera uma fase nao-dispersiva. Notemos tambem que os valores (emmodulo) para fase geometrica nao-relativıstica coincidem com as que obtivemos no casorelativıstico (5.57), (5.58) e (5.59), quando consideramos spinores de duas componentes,como consequencia da nao-dispersividade da fase.

A expressao para a fase nao-relativıstica de Anandan, que coincide com a fase geometricanao-relativıstica, sera obtida ao combinarmos as expressoes (5.70), (5.71) e (5.72), ou seja,

ΦANR= −µ I0 τ σ

2 − π η σ3 +1

2η ωτ σ3, (5.73)

onde vemos que, como no caso relativısitco, ha dois novos termos para a fase nao-relativıstica de Anandan dados pela topologia do defeito e pelo acoplamento spin-rotacao[113]. Novamente nao constatamos nenhum termo referente ao efeito Sagnac devido aausencia de efeitos de arrasto em referenciais de Fermi-Walker. Tomando o limite η → 1temos que a fase nao-relativıstica de Anandan e dada pela interacao entre o momento dedipolo magnetico da partıcula neutra e o campo eletrico e pelo acoplamento spin-rotacaogerado pelos efeitos nao-inerciais do referencial de Fermi-Walker.

Parte II

Computacao Quantica Holonomica

(CQH) na Presenca de Defeitos

Topologicos

81

Introducao

A computacao quantica vem sendo nas ultimas decadas um dos assuntos de grandeinteresse na comunidade academcica internacional. A possibilidade de se produzir umcomputador quantico foi discutida por Di Vincenzo [114, 115] em 1995, por Sleator eWeinfurter [116], Loyde [117] e Barenco et al [118] tambem em 1995 e Steane [119] em1998. Os aspectos mais gerais sobre a computacao quantica foram reunidos em 2000 porNielsen e Chuang [120], por Bouwmeester, Ekert e Zeilinger [122] e em 2006 por Vedral[181].

Um dos ramos de estudo da computacao quantica foi proposta em 1999 por Zanardi eRasetti [123], sendo tambem desenvolvido em 1999 por Pachos et al [124] e com maioresdetalhes matematicos em 2001 por Pachos e Zanardi [125] usando fases goemetricas nao-abelinas trabalhadas por Wilczek e Zee [7]. Esse ramo ficou conhencido como computacaoquantica holonomica. Sua proposta estava baseada em realizar a computacao quanticaatraves de fases de Berry generalizadas, isto e, atraves de holonomias nao-abelianas3. Aestrutura da computacao quantica holonomica esta baseada na aproximacao adiabaticaonde devemos definir parametros de controle vinculado a uma variedade M. Assim, asportas quanticas sao geradas em um espaco vetorial degenerado CN correspondente a umafamılia de Hamiltonianas

F =H (λ) = U (λ) H0 U

† (λ) ;λ ∈M, (5.74)

where U (λ) e uma tranformacao unitaria e λ e parametro de controle. A acao de cadaporta quantica dada via computacao quantica holonomica sobre um estado inicial |ψi〉 edescrita pelo operador unitario U (λ) que leva para o estado final

|ψf〉 = U (λ) |ψi〉 = e−iE0 t ΓΞ |ψi〉 , (5.75)

onde o termo e−iE0 t e conhecida como fase dinamica, que pode ser omitida da expressao(6.16) se redefinirmos os nıveis de energia tomando E0 = 0. O termo ΓΞ ∈ U (n) e chamadade holonomia ou fase geometrica nao-abeliana4. A expressao para a holonomia e dadapor

ΓΞ = P exp

(i

∮Ξµ dx

µ

), (5.76)

3Holonomias sao transformacoes unitarias que, quando aplicadas em um vetor, fornecem toda in-

formacao geometrica referente ao transporte paralelo deste vetor ao longo de uma curva fechada.4Temos que para esta holonomica corresponder a uma fase geometrica nao-abeliana, a dimensao do

grupo deve ser n > 1. Caso n = 1 esta fases geometrica torna-se abeliana e identica a fase de Berry [123].

82

83

onde P e o operador de ordenamento e Ξµ e uma conexao 1-forma ou tambem chamado depotencial de gauge. Diante da proposta de Zanardi e Raseti [123], essa conexao 1-forma eadiabatica. Contudo, como mostrado por Aharonov e Anandan [8], a conexao Ξµ tambempode ser obtida durante uma evolucao cıclica sem a necessidade de se fazer a aproximacaoadiabatica. Entao, vamos considerar em nosso estudo da computacao quantica holonomicatomando Ξµ como sendo a conexao 1-forma para uma evolucao cıclica qualquer. Portanto,a computacao quantica holonomica nada mais e que o transporte paralelo de estadosquanticos que pertencem a CN realizados atraves da conexao Ξµ. Outras discussoes sobrea aplicacao de fases geometricas e a computacao quantica holonomica foram feitas em2002 por Margolin et al [126] e a estabilidade da computacao quantica holonomica em2003 por Kuvshinov e Kuzmin [127].

Diversas aplicacoes da computacao quantica holonomica pode ser encontrada facil-mente na literatura. Pachos e Chountasis [128] implementaram a computacao quanticaholonomica em computadores opticos em 2000, Recati et al [129] aplicaram em sistemascom atomos neutros em 2002, Pachos [130] em armadilhas ionicas tambem em 2002. Arealizacao de portas quanticas arbitrarias na computacao quantica holonomica foi tra-balhada em 2003 por Niskanen et al [131]. Implementacoes da computacao quanticaholonomica em juncos Josephson foram discutidas por Cholascinski [132] em 2004, porZhang et al [133] em 2005 e por Feng e Zhang [134] em 2008.

A proposta desta parte da tese e trabalhar a computacao quantica holonomica napresenca de defeitos topologicos diante de uma evolucao cıclica usando a aproximacao deAharonov-Anandan [8]. Iremos mostrar que a presenca de defeitos topologicos permiteconstruirmos portas quanticas universais para um q-bit e dois q-bits quando usamos asfases geometricas obtidas a partir so metodo do fator de fase de Dirac de forma semelhanteao aplicamos o transporte paralelo de um spinor em torno do defeito topologico. Arealizacao da computacao quantica holonomica na presenca de defeitos e trabalhada aquiem dois sistemas. O primeiro esta associado a dinamica quantica da partıcula neutra commomentos de dipolos magnetico e eletrico permanentes interagindo com campos externosna presenca de defeitos topologicos. O segundo sistema esta associado a uma unica camadade grafite conhecida como grafeno.

Capıtulo 6

CQH para Partıculas Neutras

A computacao quantica com partıculas neutras foi proposta em 2002 por Ericsson eSjoqvist [135], usando a configuracao do efeito Aharonov-Casher. A computacao quanticae implementada atraves da interacao entre momento de dipolo magnetico da partıculaneutra µ e o campo eletrico produzido por uma carga eletrica q. A base computacionale formada pelo estado |0〉 = |µ (a) q (b)〉, com o momento de dipolo magnetico estandolocalizado num ponto a e a carga eletric estando localizada no ponto b, e pelo estado|1〉 = |q (a)µ (b)〉, com a carga eletrica estando localizada agora no ponto a e o momentode dipolo magnetico estando localizado no ponto b. A implementacao deste modelo e feitaquando a partıcula no ponto b contorna a partıcula no ponto a.

Outro modelo para a computacao quantica com partıculas neutras foi proposta em2003 por Ionicioiu [136] usando fase topologicas abelinas e nao-abelianas. A implemetacaoda computacao quantica usando fases abelianas e equivalente ao proposto em [135]. Con-tudo, no caso nao-abeliano, a configuracao estatica de cargas eletricas e trocada por umsimples capacitor fazendo com que o momento de dipolo magnetico interaja com umcampo eletrico estatico. Vimos nos capıtulos 3 e 4 que a funcao de onda da partıculaneutra sofre uma mudanca de fase quando o momento de dipolo magnetico interage comum campo eletrico dada por

ψ = ei∮(~σ× ~E)·d~r ψ0. (6.1)

Entao, pela proposta dada em [136], se a partıcula neutra move-se na direcao x e foremcolocados campos eletricos orientados nas direcoes y e z ao longo da trajetoria da partıculaneutra. Assim, a mudanca de fase dada em (6.16) fornecera transformacoes do tipo

U (α, θ, β) = eiα σz

eiθ σy

eiβ σz

= Rz (α) Ry (θ) Rz (β) . (6.2)

Portanto, alternando o campo eletrico nas direcoes y e z, podemos realizar qualquerrotacao sobre o momento de dipolo da partıcula neutra e gerar um conjunto de portasquanticas universais para um q-bit1.

1Para maiores detalhes sobre a implementacao de um conjunto universal de portas quanticas ver

apendice B

84

CAPITULO 6. CQH PARA PARTICULAS NEUTRAS 85

Neste capıtulo iremos trabalhar a computacao quantica holonomica para partıculasneutras com momento de dipolo magnetico permanente interagindo com um campo magneticoexterno na presenca de defeitos topologicos. Iremos trabalhar com a dinamica quanticanao-relativıstica de uma partıcula neutra que trabalhamos na secao 3.6, onde obtivemosas fases geometricas quanticas nao-relativıstica da partıcula neutra.

6.1 Implementacao de um conjunto universal de por-

tas quanticas para um q-bit na configuracao de

Aharonov-Casher

Nesta secao iremos construir um conjunto de portas quanticas universais para umq-bit usando a configuracao de Aharonov-Cahser na presenca de um defeito topologico.Como foi visto nos capıtulos 3 e 4, a configuracao de Aharonov-Casher e dada por umadistribuicao de cargas eletricas uniforme ao longo do eixo de simetria do defeito topologicoque gera um campo eletrico radial onde este campo interage com o momento de dipolomagnetico das partıculas neutras. O defeito com que iremos trabalhar nesta secao e deuma deslocacao, cujo elemento de linha e

ds2 = dρ2 + ρ2dϕ2 + (dz + χdϕ)2 , (6.3)

que corresponde a parte espacial do elemento de linha do espaco-tempo da deslocacaocosmica2 dado em (4.1), mas tomando o limite η → 1. Para esse defeito, podemosreescrever a parte espacial dos referenciais locais dos observadores (4.3) como

θ1 = cosϕdρ− ρ sinϕdϕ; θ2 = sinϕdρ+ ρ cosϕdϕ; θ3 = dz + χdϕ (6.4)

A base computacional para nosso sistema difere da referencia [135]. Os estados logicosou base computacional aqui sao dados pelas projecoes do momento de dipolo magnetico dapartıcula neutra sobre o eixo de simetria do defeito topologico, que podemos representarpor [137]

|0L〉 = |µ+〉 ; |1L〉 = |µ−〉 , (6.5)

onde (µ+, µ−) sao as projecoes do momento de dipolo paralelas e anti-paralelas ao eixode simetria do defeito, respectivamente.

A configuracao inicial de nosso sistema e dado pelo estado |ψ〉 = a |0L〉+b |1L〉, onde apartıcula neutra com momento de dipolo magnetico µ que ira contornar o eixo de simetriado defeito contendo uma densidade de carga linear λe. Veremos a partir de agora que comessa configuracao inicial poderemos fazer rotacoes arbitrarias sobre o momento de dipolomagnetico da partıcula neutra.

2Note-se que quando discutimos implementacao da computacao quantica holonomica torna-se mais

adequado adotar a linguagem usada para descrever defeitos lineares em cristais solidos, pois assim teremos

uma descricao mais proxima do material que se pode usar em um laboratorio.


Vamos considerar o sistema representado na figura 6.1. Neste sistema, um feixe departıculas neutras e divido por um divisor de feixe, criando dois feixes de partıculas neutrasque sao direcionados a passar por duas regioes distintas, regioes 1 e 2. Na regiao 1, aoinves de termos uma ditribuicao linear de cargas como dado no sistema AC, trocamosessa distribuicao linear de cargar por um campo eletrico gerado por um capacitor deplacas parelelas como sugerido na referencia [136]. Note que nao ha a presenca de defeitotopologico e que o campo deve ser perpendicular a trajetoria das partıculas e ao eixo-zdo referencial do laboratorio. Na regiao 2, consideramos que ha um cristal solido comuma deslocacao tipo helice representada pelo elemento de linha(6.3), onde estabelecemosque o eixo-z das regioes 1 e 2 sejam paralelos ao eixo-z do laboratorio. Assim, quandoas partıculas neutras passarem por essas duas regioes, a funcao de onda das partıculasira adquirir contribuicoes independentes para a fase como estudamos na secao 4.2. Cadacontribuicao para a fase gera uma holonomia dada pelas expressoes3

U1 (χ) = e−iπχσ2

; U2 (ζ) = eiζ σ3

, (6.6)

onde definimos o parametro ζ = 2πµλ, com λ sendo a intensidade do campo eletrico. Emgeral, o valor do parametro χ relacionado com a deslocacao em um cristal solido podeser conhecida previamente no laboratorio usando tecnicas de cristalografia. Portanto,podemos sempre verificar o valor do parametro χ e fazer a escolha apropriada do materialantes de montar o sistema dado na figura 6.1. Dessa forma, a Computacao QuanticaHolonomica no sistema AC pode ser implementada no sistema AC na presenca de umdefeito topologico utilizando as holonomias dadas em (6.6), onde temos dois parametros decontrole: o parametro χ que esta relacionado com a deslocacao e o parametro ζ relacionadocom a intensidade do camppo eletrico. Note que o parametro χ e um parametro de controleno sentido em que podemos verificar previamente seu valor e selecionar o material comum valor apropriado antes de montar o sistema da figura 6.1.

Dessa forma, deixe-nos fazer as seguintes escolhas para os parametros de controle: χ =1/4 e ζ = π/2. Substituindo esse valores para os parametros de controle nas holonomias(6.6) teremos [137]

U1 = U1 (1/4) U2 (π/2) = e−iπ4σ2

e−π2σ3

= e−iπ2

1√2

(1 11 −1

), (6.7)

o que configura uma porta quantica para um qbit chamada de porta Hadamard [117, 120],a menos de um fator de fase global de −π/2. A atuacao dessa porta logica faz com queseja criada uma superposicao dos estados logicos (6.5). Agora, se tomarmos os valorespara os parametros de controle como sendo χ = 2 e ζ = −π/8 teremos [137]

U2 = U1 (2) U2 (−π/8) = e−i2π σ2

e−iπ8σ3

= e−iπ8

(1 00 ei

π4

), (6.8)

o que configura uma porta quantica para um qbit chamada de porta π/8 [117, 120], amenos de um fator de fase global de −π/8. A atuacao dessa porta logica sobre os estadoslogicos (6.5) faz com que se o estado dos sistema for |0L〉 nada aconteca, mas que hajauma mudanca de fase de π/8 se o estado do sistema for |1L〉. Como demonstrado em

3Observe que como nao temos uma desclinacao presente neste caso, o segundo termo da expressao

para a fase (4.44) sera nulo.


Figura 6.1: Representacao do qbit no sistema AC na presenca de uma deslocacao. Um feixe de

partıculas neutras incidentes e dividido em dois por um divisor de feixe, fazendo com que estes dois novos

feixes passem por duas regioes distintas. Na regiao 1 consideramos que ha apenas um campo eletrico

gerado por um capacitor de placas parelelas sem a presenca de defeito topologico, onde este campo e

perpendicular a trajetoria das partıculas. Na regiao 2 consideramos que ha um cristal solido com uma

deslocacao tipo helice representada pelo elemento de linha(6.3). Em cada uma das regioes, a funcao de

onda das partıculas neutras sofre uma mudanca de fase. No final, os feixes recombinam-se.

[120], com essas duas portas quanticas temos um conjunto universal de portas para umqbit porque podemos realizar qualquer rotacao sobre os estados logicos (6.5) com precisaoarbitraria4.

Outros dois casos que podemos observar sao dados pela escolha dos parametros decontrole como sendo χ = 1 e λ = π/2 que nos fornece [137]

U3 = U1 (1) U2 (π/2) = e−iπ σ2

eiπ2σ3

= e−iπ2

(1 00 −1

), (6.9)

que configura uma porta quantica para um qbit chamada de porta Z-Pauli [120], a menosde um fator de fase global de −π/2. Essa porta atua nos estados logicos (6.5) fornecendouma fase quando o estado do sistema for |1L〉 e nao alterando em nada quando o estadodo sistema for |0L〉. Fazendo-se a escolha dos parametros de controle com sendo χ = 1/2e λ = 2π teremos [137]

U4 = U1 (1/2) U2 (2π) = e−iπ2σ2

ei 2π σ3

= e−iπ2

(0 −ii 0

), (6.10)

o que configura uma porta quantica para um qbit chamada porta Y -Pauli [120], a menosde um fator de fase global de −π/2. A atuacao de porta logica sobre os estados logicos(6.5) e fazer com que os estados do sistema sejam invertidos e que haja uma mudanca defase de ±π/2. E claro que, com as portas logicas (6.9) e (6.10) temos um conjunto de

4Ver apendice B para maiores detalhes sobre o conjunto de portas quantica universais para um qbit


portas que permite a realizacao da computacao quantica para um qbit, pois podemos teruma mudanca de fase dada pela (6.9) e a inversao de bit dada por (6.10).

Outro modo de realizarmos a Computacao Quantica Holonomica nos sistema AC econsiderando que haja uma distribuicao de cargas eletricas sobre o eixo de simetria dodefeito topologico (6.3). Vimos na secao 4.2 que a interacao entre o campo eletrico externoe o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra e que a topologia do defeito geraramduas contribuicoes independentes para a fase geometrica quantica nao-relativıstica. Essascontribuicoes independentes para fase geometrica quantica nao-relativıstica que obtivemosem (4.44) fornece-nos a seguinte holonomia

U1 (ω, χ) = eiφAC = eiπ ωσ3−iπχσ2

, (6.11)

onde ω = 2µλe e onde devemos lembrar que a fase geometrica quantica nao-relativısticagera um efeito analogo ao efeito AC e que coincide com a expressao para a fase nao-relativıstica de Anandan5 dada em (4.46). Dessa forma, os parametros ω e χ serao nos-sos paremetros de controle, pois temos a liberdade de controlar a intersidade do campoeletrico modificando o valor de ω e por podermos ter o conhecimento previo do valordo parametro χ em solidos cristalinos. Portanto, para implementarmos a computacaoquantica holonomica nessa confuguracao de AC na presenca de um defeito topologicoprecisamos fazer escolhas convenientes para os parametros ω e χ. Em geral, deve-se obterpreviamente o valor de χ em um solido cristalino antes de pormos a distribuicao de cargaseletricas ou colocar ao longo da trajetoria da partıcula neutra varios arranjos do materialcontendo defeitos com χ 6= 0 [137].

Vamos agora construir um conjunto de portas quanticas universal para um q-bit us-ando essa configuracao de AC na presenca de defeitos topologicos. Tomando a formulade Zassenhaus

eA+B = eA eB e−12

[A,B], (6.12)

onde A e B sao matrizes. Aplicando a formula de Zassenhaus (6.12) na holonomia (6.11),para o caso em que os parametros de controle sao χ << 1 e ζ << 1, teremos

U1 (ω, χ) ≈ eiω σ3

e−iπχσ2

eiωπχσ1

. (6.13)

Usando agora a definicao de funcao de uma matrix, eA =∑∞

i=0An

n!, a expressao (6.13)

torna-se

U1 (ω, χ) ≈ q0 I + q1 iσ1 − q2 iσ

2 + q3 iσ3, (6.14)

onde os parametros

q0 = cosω cos πχ cosωπχ+ sinω sin πχ sinωπχ;

q1 = cosω cos πχ sinωπχ− sinω sin πχ cosωπχ;(6.15)

q2 = cosω sin πχ cosωπχ+ sinω cos πχ sinωπχ;

q3 = sinω cos πχ cosωπχ− cosω sin πχ sinωπχ.

5As expressoes para a fase AC (4.44) e a fase de Anandan (4.46) tornam-se identicas ao considerarmos

d = 0 em (4.46).


Portanto, temos com as expressoes (6.14) e (6.15), que podemos realizar qualquerrotacao sobre os estados logicos (6.5) no sistema Aharonov-Casher na presenca de umadeslocacao [137]. Isto constitui um conjunto universal de portas quantica para um q-bit[120] implementadas a partir de uma fase nao-abeliana. Os parametros de controle quepermitem a realizacao de qualquer rotacao sao a intensidade do campo eletrico e o valordo parametro que descreve a deslocacao.

Devemos notar que tomando a transformacao de dualidade ~E → ~B e µ → d temosum bom exemplo de implementacao da computacao quantica holonomica para partıculasneutras com momento de dipolo eletrico permanente na configuracao de campos de He-McKellar-Wilkens na presenca de uma deslocacao. Esse exemplo nao e real porque naoexistem cargas magneticas na natureza, porem essa discussao pode se tornar util em outrossistemas que envolvam transformacoes de dualidade.

Portanto, obtivemos nesta secao um conjunto de portas quanticas universais para umq-bit construıdas a partir do efeito analogo ao efeito AC obtido na presenca de um defeitotopologico linear. A implementacao computacao quantica foi alcancada atraves da escolhaprevia apropriada para a intensidade do campo eletrico e do parametro relacionado coma deslocacao, onde a base computacional considerada era formada pelo conjunto campoeletrico/momento de dipolo magnetico [137]. Temos tambem que, atraves da dualidadeentre os efeito AC e HMW, podemos obter um conjunto de portas universais para umq-bit na configuracao de HMW na presenca de um defeito topologico.


tas quanticas para um q-bit na presenca de um

campo magnetico azimutal

Nesta secao vamos construir portas quanticas que implementam um conjunto de portasquanticas universais para um q-bit atraves da interacao do momento de dipolo magneticoda partıcula neutra com um campo magnetico azimutal e pela presenca de um defeitotopologico na dinamica nao-relativıstica da partıcula neutra. Fizemos no Capıtulo 3uma breve apresentacao do espaco-tempo da corda cosmica, onde a parte espacial destedefeito topologico e conhecida como desclinacao. Para discutirmos a construcao de portasquanticas para partıculas neutras iremos usar a descricao dos defeitos topologicos linearesdada cristais solidos. Assim, uma desclinacao e representada pelo elemento de linha

ds2 = dρ2 + η2ρ2dϕ2 + dz2, (6.16)

onde o parametro η esta relacionado com o deficit de angulo e e definido como η = 1± Φ2π

,com Φ sendo o setor angular removido ou inserido no solido para gerar o defeito. Oangulo azimutal varia no intervalo 0 ≤ ϕ < 2π e o parametro relacionado ao deficit deangulo pode assumir valores no intervalo 0 < η < ∞, onde geramente pode-se assumirque para valores maiores que 1 correspondem a um anti-cone com curvatura negativa[37, 38, 73]. Contudo, no desenvolvimento deste trabalho iremos adotar sempre o intervalo0 < η < 1. Esse defeito continua tendo o mesmo valor para o tensor de curvatura (3.2)


dado no Capıtulo 3. Vamos entao adotar nossos referenciais locais de forma identica aoque estabelecemos na expressao (3.23) do Capıtulo 3, ou melhor,

θ1 = dρ; θ2 = ηρ dϕ; θ3 = dz. (6.17)

Vimos na secao 3.6 que podemos considerar um sistema formado por uma correnteeletrica uniforme I0 que passa ao longo do eixo de simetria da desclinacao representada em(6.16). Desse modo, vimos que a topologia do defeito gerou uma contribuicao para a fasegeometrica quantica nao-relativıstica da partıcula neutra, bem como a interacao entre ocampo magnetico externo e o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra. Essasduas contribuicoes independentes foram dadas nas expressoes (3.56) e (3.57). Vimos que afase geometrica nao-relativıstica e dada pela combinacao das contribuicoes independentes(3.56) e (3.57) e que a expressao para a fase geometrica nao-relativıstica coincide coma fase nao-relativıstica de Anandan φA2 dada em (3.58). Desse modo, usando a fase deAnandan (3.58), teremos a seguinte holonomia [138]

U2 (η, λ) = eiφA2 = e−iη π σ3−iζ τ2

, (6.18)

onde definimos ζ = µ I0 τ por conveniencia. Desta forma, para implementarmos a com-putacao quantica holonomica precisaremos apenas fazer as escolhas apropriadas para osvalores dos parametros η e ζ. A escolha do valor do parametro η esta relacionado como valor do deficit de angulo que devemos remover do solido para construir o defeito, en-quanto que a escolha do parametro ζ implica no valor da intensidade da corrente eletricaI0 que passa ao longo do eixo de simetria do defeito. Portanto, temos dois parametros decontrole para implementarmo a computacao quantica holonomica.

Novamente, a base computacional para nosso sistema difere da referencia [135]. Osestados logicos que forma nossa base computacional neste caso tambem sao dados pelasas projecoes do momento de dipolo magnetico da partıcula neutra sobre o eixo de simetriado defeito [138], onde representaremos por

|0L〉 = |µ+〉 ; |1L〉 = |µ−〉 , (6.19)

sendo I0 a intensidade da corrente eletrica uniforme que passa sobre o eixo de simetriado defeito, enquanto que (µ+, µ−) as projecoes do momento de dipolo magnetico sobre oeixo de simetria da desclinacao.

A configuracao inicial de nosso sistema e dado pelo estado |ψ〉 = a |0L〉+b |1L〉, onde apartıcula neutra com momento de dipolo magnetico µ que ira contornar o eixo de simetriada desclinacao contendo uma corrente eletrica uniforme I0. Veremos a partir de agora quecom essa configuracao inicial poderemos fazer rotacoes arbitrarias sobre os estados logicos(6.20) de acordo como manipulemos a intensidade da corrente e de nosso conhecimentoprevio do valor do parametro η da desclinacao. O valor do parametro η relacionado aodeficit de angulo surge em cristais solidos atraves de transicoes de fase ou de algumaquebra de simetria da rede cristalina, porem seu valor pode ser conhecido previamente.Veremos no proximo capıtulo que em materias como o grafeno, a escolha do parametro η esimples de ser visualizada porque esta associada a construcao de cones de grafite. Assim,podemos tratar o parametro η como um dos parametros de controle para a implementacaoda computacao quantica holonomica atraves da escolha previa do material que tenha ovalor de η que necessitamos. Desse modo, tomando uma corrente eletrica que passe sobre


o eixo de simetria do defeito, podemos considerar como parametros de controle tanto aintensidade da corrente quanto o parametro relacionado ao deficit de angulo do defeito.

Para implementarmos a computacao quantica holonomica, iremos aplicar a formulade Zassenhaus (6.12) em (6.18) para o caso em que os parametros de controle sao η << 1e ζ << 1 e escrever

U2 (η, ζ) ≈ e−iη π σ3

e−iζ τ2

e−iηπζ σ1

. (6.20)

Agora, tomando a definicao de funcao de uma matrix novamente, eA =∑∞

i=0An

n!, a ex-

pressao (6.20) ficara

U2 (η, ζ) ≈ α0 I + α1 iσ1 − α2 iσ

2 + α3 iσ3, (6.21)

onde os parametros αi dados acima sao

α0 = cos ηπ cos ζ cos ηπζ + sin ηπ sin ζ sin ηπζ;

α1 = sin ηπ sin ζ cos ηπζ − cos ηπ cos ζ sin ηπζ;(6.22)

α2 = cos ηπ sin ζ cos ηπζ + sin ηπ cos ζ sin ηπζ;

α3 = cos ηπ sin ζ sin ηπζ − sin ηπ cos ζ cos ηπζ.

Vemos com as expressoes (6.24) e (6.25) que podemos realizar qualquer rotacao ar-bitraria sobre os estados logicos (6.20). Dessa forma, temos um conjunto de portasquantica universais de um q-bit que sao implementadas a partir de uma fase nao-abeliana,fazendo as escolhas previas apropriadas da intensidade da corrente eletrica e do parametrorelacionado ao deficit de angulo [138].

Portanto, vimos que podemos implementar a computacao quantica holonomica atravesda utilizacao da fase de Anandan que surge na dinamica quantica nao-relativıstica deuma partıcula neutra com momento de dipolo magnetico permanente interagindo comum campo magnetico azimutal na presenca de um defeito topologico linear descrito pelosprocessos de Volterra. O defeito topologico escolhido nesta secao foi uma desclinacao eo campo magnetico foi gerado por uma corrente eletrica uniforme que passa atraves doeixo de simetria deste defeito topologico. A base computacional considerada agora foiformada pelo conjunto corrente eletrica/momento de dipolo magnetico e os parametrosde controle que permitiram a implementacao da computacao quantica holonomica foram aintensidade da corrente eletrica e o parametro relacionado com o deficit de angulo presentena desclinacao [138].


tas quanticas para um q-bit atraves da topologia

de uma despiracao

Nesta secao apresentaremos uma proposta de implementacao da computacao quanticaholonomica usando apenas defeitos topologicos lineares descritos por processos de Volterra.


Nossa proposta esta baseada nas fases topologicas geradas pela presenca de curvatura etorcao no defeito topologico chamado despiracao. O defeito topologico com o qual iremostrabalhar nesta secao e chamado de despiracao na descricao de defeitos lineares em solidoscristalinos e seu elemento de linha e

ds2 = dρ2 + η2ρ2dϕ2 + (dz + χdϕ)2 , (6.23)

que e justamente a parte espacial da deslocacao cosmica (4.1). Os parametros 0 < η < 1esta associaldo ao deficit de angulo enquanto que o parametro χ > 0 esta relacionado como vetor de Burges. Novamente, iremos tomar os referenciais locais dos observadores comofizemos em (4.3), ou seja, tomaremos apenas a parte espacial

θ1 = cosϕdρ− ηρ sinϕdϕ; θ2 = sinϕdρ+ ηρ cosϕdϕ; θ3 = dz + χdϕ. (6.24)

Neste caso, podemos considerar que as partıculas neutras possuam ou um momento dedipolo magnetico permanente como fizemos na secao anterior ou podemos considerar queas partıculas neutras possuam momento de dipolo eletrico permanente. Em solidos, porexemplo, podemos considerar um par eletron-buraco com sendo uma partıcula neutra comum momento de dipolo eletrico permanente. Desse modo, os estados logicos convenientespara formarem a base computacional devem ser dados pelas projecoes do momento dedipolo eletrico sobre o eixo de simetria do defeito [139], isto e,

|0L〉 = |µ+/d+〉 ; |1L〉 = |µ−/d−〉 , (6.25)

onde |µ+/d+〉 e |µ−/d−〉 sao justamente as projecoes paralela e antiparalela dos momentosde dipolo magnetico e eletrico sobre o eixo de simetria do defeito toplogico, respectiva-mente. Podemos, entao, considerar que o estado inicial de nosso sistema e dado por|ψ〉 = a |0L〉+ b |1L〉, onde a partıcula neutra com momento de dipolo eletrico permanente~d ira contornar o eixo e simetria do defeito topologico. Ao passar em torno do eixo desimetria do defeito, a funcao de onda da partıcula neutra adquire uma fase geometricaquantica como discutimos nos capıtulos 3 e 4 atraves da aplicacao do metodo do fator defase de Dirac.

Vimos na secao 4.2 que a presenca da curvatura fornece uma contribuicao para afase geometrica nao-relativıstica dada pela expressao (4.40), enquanto que a presenca datorcao fornece uma contribuicao dada pela expressao (4.41). Desse modo, aplicando-se ometodo do fator de fase de Dirac, essas contribuicoes independentes para a fase geometricanao-relativıstica fornece-nos a seguintes holonomia

U1 (η, χ) = eiφ = eiπ(1−η)σ3−iπχσ2

. (6.26)

Desse modo, para implementarmos a computacao quantica holonomica atraves dedefeitos topologicos presentes em cristias deveremos usar como parametros de controle osparametros do defeito η e χ. Vamos mostrar agora como podemos realizar uma rotacaoarbitraria sobre os estados logicos (6.25) usando a holonomia (6.26). Usando a formula deZassenhaus (6.12) para o caso em que η << 1 e χ << 1, podemos fazer uma aproximacaoe escrever a holonomia (6.26) na forma

U1 (η) ≈ eiπ(1−η)σ3

e−iπηχσ2

ei ζ σ1

, (6.27)


com ζ = (1− η) π2 ηχ. Usando novamente a definicao de funcao de uma matriz, eA =∑∞i=0

An

n!, poderemos escrever (6.27) na forma

U1 (η) ≈ β0 I + β1 iσ1 − β2 iσ

2 + β3 iσ3, (6.28)

where the parameters βi are defined as

β0 = cos [π (1− η)] cos πηχ cos ζ + sin [π (1− η)] sin πηχ sin ζ;

β1 = cos [π (1− η)] cos πηχ sin ζ − sin [π (1− η)] sin πηχ cos ζ;(6.29)

β2 = cos [π (1− η)] sin πηχ cos ζ + sin [π (1− η)] cos πηχ sin ζ;

β3 = sin [π (1− η)] cos πηχ cos ζ − cos [π (1− η)] sin πηχ sin ζ.

Portanto, vemos nas expressoes (6.28) e (6.29) que podemos realizar qualquer rotacaosobre os estados logicos (6.25) de acordo com o valor dos parametros η e χ. Para imple-mentarmos uma rotacao especıcifica devemos ter o conhecimento previo dos valores dosparametros η e χ relacionados ao defeito e aplicar o numero de vezes que for necessario atransformacao unitaria (6.28) sobre os estados logicos (6.25) [139]. Porem, como veremosno proximo capıtulo, existe materias como o grafeno que permitem que possamos fazera escolha apropriada do parametros de controle para obter um valor determinado para afase.


tas quanticas para um q-bit na presenca de um

campo magnetico uniforme

Nesta secao iremos construir um conjunto de portas quanticas universais para partıculasneutras atraves de uma nova configuracao de campos, mas considerando que haja presenteum defeito dado por uma dislocacao como feito na secao anterior. Neste caso nao teremosmais a configuracao de AC, porem teremos uma maneira simples de implementar a com-putacao quantica para partıculas neutras com momento de dipolo magnetico peremante.Novamente, iremos considerar o defeito topologico dado por uma dislocacao

ds2 = dρ2 + ρ2dϕ2 + (dz + χdϕ)2 , (6.30)

e onde iremos considerar novamente os referenciais locais dos observadores sendo

θ1 = cosϕdρ− ρ sinϕdϕ; θ2 = sinϕdρ+ ρ cosϕdϕ; θ3 = dz + χdϕ. (6.31)

Neste caso iremos considerar que haja um campo magnetico externo ~B = B0 z, ondeB0 e uma constante. Dessa forma, a base computacional mais apropriada e formada pelasprojecoes do momento de dipolo magnetico da partıcula neutra sobre o eixo de simetriado defeito topologico, que iremos representar por [138]

|0L〉 = |µ+〉 ; |1L〉 = |µ−〉 , (6.32)


onde temos novamente que (µ+, µ−) representam as projecoes do momento de dipolomagnetico paralela e anti-paralela ao eixo de simetria do defeito, respectivamente.

Vimos na secao 4.2 que tanto a interacao entre o campo magnetico uniforme quantoa presenca do defeito topologico geraram duas contribuicoes independentes para a fasegeometrica nao-relativıstica da partıcula neutra. Para estudarmos a implementacao daComputacao Quantica Holonomica neste caso consideraremos um experimento de inter-ferometria diferente das secoes anteriores. Vamos considerar que um feixe de partıculasneutras passe por um divisor de feixe como mostrado na figura 6.2. O feixe e entao di-vidido em dois, onde estes passam por duas regioes diferentes as quais chamaremos deregioes 1 (sem defeitos) e 2 (com defeitos).

Figura 6.2: Interferometria de partıculas neutras que possibilita a implentacao da Computacao Quantica

Holonomica. Um feixe incidente de partıculas neutras passa por um divisor de feixe gerando dois novos

feixes de partıculas neutras. Um dos feixes passa pela regiao 1 onde ha a presenca de uma campo

magnetico uniforme, enquanto que o outro feixe passa pela regiao 2 onde ha a presenca de um material

solido contento uma deslocacao. Em cada regiao, a funcao de onda das partıculas neutras sofre uma

mudanca de fase diferente. Ao passarem por essas duas regioes, os feixes recombinam-se.

Quando a partıcula neutra passa pela regiao 1 do interferometro, o momento de dipolomagnetico da partıcula neutra interage com o campo magnetico uniforme. Assim, a fasenao-relativıstica de Anandan que obtivemos em (4.50) reduz-se a (4.49) porque nao hadefeitos presentes nesta regiao. Contudo, quando a partıcula neutra passa pela regiao2 do interferometro, ha a presenca da deslocacao (6.30) e ausencia de campo. Dessaforma, a fase nao-relativıstica de Anandan (4.50) reduz-se ao segundo termo relacionadocom o parametro da deslocacao. Portanto, temos em cada regiao duas fases de Anandandistintas que nos fornece duas holonomias independentes, ou seja,

U1 (λ) = e−iλ σ3

; U2 (χ) = e−iχπ σ2

, (6.33)

onde definimos o parametro λ = µB0τ . Assim, neste caso temos que os parametros decontrole que possibilitarao a implementacao da Computacao Quantica Holonomica parapartıculas neutras serao os parametros λ e χ, onde o parametro de controle λ correspondea controlarmos a intensidade do campo magnetico e o parametro χ corresponde a termoso conhecimento previo da intensidade da deslocacao no material.


Vamos entao construir neste momento portas quanticas para um q-bit essa configuracaode campo manetico externo e defeito topologico. Nossa primeira escolhas para os parametrosde controle sera λ = π/2 e χ = 1/4. Assim, teremos [138]

U5 = U2 (1/4) U1 (1/2) = e−iπ4τ2

e−iπ2σ3

= e−iπ2

1√2

(1 11 −1

), (6.34)

que representa uma porta quantica Hadarmard [120], a menos de um fator de fase globalde −π/2. Agora vamos escolher χ = 1 e λ = π/3, logo

U6 = U2 (1) U1 (1/3) = e−iπ τ2

e−iπ3σ3

= ei2π3

(1 0

0 ei2π3

), (6.35)

que corresponde a uma porta quantica de fase [120], a menos de um fator de fase global de2π/3 [138]. Portanto, com as portas quanticas (6.34) e (6.35) podemos realizar qualquerrotacao arbitraria sobre os estados logicos (6.32), o que constitui um conjunto de portasquanticas universal para um q-bit de acordo com a referencia [117, 120, 122].

Obervemos que fazendo a transformacao µ→ d e B0 → E0, obtemos o mesmo conjuntode portas quanticas para um q-bit so que para uma partıcula neutra com momento dedipolo eletrico permanente interagindo com um campo eletrico externo na presenca deuma dislocacao [139].

Portanto, vimos nesta secao que com um experimento de inteferometria pudemos fazercom que dois feixes de partıculas neutras passassem por regioes distintas onde localizamosum campo magnetico uniforme e um material solido contendo um defeito topologico.Desse modo, a funcao de onda das partıculas neutras sofreram uma mudanca de fasediferentes em cada regiao, ou seja, teremos duas expressoes distintas para a fase de Anan-dan. Assim, ao recombinarmos os dois feixes e com a devida escolhas dos parametrosde controle pudemos construir duas portas quanticas para um q-bit que implementamqualquer rotacao sobre os estados logicos (6.32). As escolhas apropriadas dos parametrosde controle estao associadas ao conhecimento previo do parametro do defeito e a mod-ulacao da intensidade do campo magnetico externo [138]. Por fim, vimos que com umatransformacao de dualidade podemos tambem construir um conjunto de portas quanticasuniversais para um qubit com partıculas neutras com momento de dipolo eletrico perma-nente [139].

6.5 Implementacao de portas quanticas para dois q-

bits

Nesta secao iremos discutir se ha a possibilidade de construirmos ou nao portasquanticas para dois q-bits para partıculas neutras que apresentamos nas secoes anteri-ores. Nosso primeiro ponto de discusao e considerar que uma fonte emita um par departıculas neutras emaranhadas como momentos opostos. Podemos representar o estadoemaranhado dessas duas partıculas neutras atraves de um estado singleto

|ψ〉 =1√2

(|↑↓〉 − |↓↑〉) . (6.36)


Cada partıcula emaranhada representada no estado singleto (6.36) move-se em umaregiao distinta, que chamaremos de regioes 1 e 2, onde estas irao interagir ou nao com umaconfiguracao de defeito e campo externo [137, 138, 139]. Por exemplo, podemos considerarque na regiao 1 haja a presenca de defeito e campo externo, enquanto que na regiao 2 naohaja. Neste caso, nao existe a possibilidade de implementacao de portas para dois q-bitsporque a fase nao-abelina adquirida pela funcao de onda da partıcula neutra na regiao 1promove apenas rotacoes locais sobre o spin da partıcula 1, ou seja, realiza apenas trans-formacoes locais. E bem conhecido na Literatura que transformacoes locais nao geramnem afetam o emaranhamento entre partıculas [120, 122, 121], porem o emaranhamentopode afetar a fase geometrica das partıculas emaranhadas6 [140]. Contudo, quando apartıcula 1 sofre uma rotacao, a correlacao inicial e aparentemente quebrada devido amudanca na direcao do eixo de medida de spin. Entao, para se manter a correlacao despins inicial perfeita, a direcao dos eixos de medidas de spin da partıcula 2 deve ser cor-rigida nos referenciais locais do observador de acordo com a rotacao sofrida pela partıcula1. Essa correcao dos eixos de medidas de spin nos referenciais locais dos observadorestambem e vista no estudo de correlacoes EPR relativısticas na presenca de um campogravitacional [141, 142, 143], onde os spins das partıculas do par EPR sao precessionadosdevido ao movimento acelerado das partıculas, da geometria do espaco-tempo e da posicaodos observadores. Portanto, o que temos nesse caso e que ha uma aparente quebra nascorrelacoes EPR iniciais, mas com a devida correcao dos eixos de medidas de spins nosreferenciais locais dos observadores, a correlacao perfeita e recupera.

Para se obter portas para dois q-bits na Computacao Quantica Holonomica e necessarioque haja alguma forma de interacao entre as partıculas para que se observe o emaran-hamento [123, 144, 145]. Por exemplo, pode-se considerar que quando as partıculas estaomuito proximas uma das outras, elas possam interagir e a descricao dessa interacao sejaidentica a interacao de Heisenberg entre spins em solidos [144, 145]. Dessa forma, paraobtermos portas para dois q-bits em nosso sistema de partıculas neutras com momentode dipolo magnetico permanente, podemos considerar que as partıculas neutras interajamvia interacao dipolo-dipolo, onde essa interacao e descrita por

HD1, 2 =

µ1µ2

r3[~σ1 · ~σ2 − 3 (~σ1 · n) (~σ2 · n)] , (6.37)

onde n e um vetor unitario na linha reta que une duas partıcuas neutras e r e a distanciaque separa essas duas partıculas neutras. Cada partıcula passara por regioes diferentesonde, por exemplo, uma regiao tera a presenca da configuracao de defeito e campo externoe a outra regiao nao ou com ambas as regioes tendo a presenca de defeito e campo externo7.

6Nao iremos entrar em detalhes aqui de como o emaranhamento afeta a fase geometrica, pois nao e o

objetivo desta Tese discutir emaranhamento na presenca de defeitos topologicos lineares. Esse e um dos

objetivos futuros que esta em nossas perspectivas, pois requer um estudo amplo sobre emaranhamento

na presenca de defeitos topologicos linerares.7Nao iremos discutir em detalhes a implementacao de portas logicas quanticas para dois q-bits aqui.

Nossa intencao e mostrar que ha a possibilidade de implementacao desde que haja uma forma de interacao

entre as partıculas neutras. Como discutiremos no final desta Tese, a implementacao de portas quanticas

para dois q-bits na presenca de defeitos lineares requer um estudo mais detalhado de como os defeitos

topologicos lineares sao vistos diante da interacao dipolo-dipolo para, assim, discutir a implementacao de


Portanto, vimos nesta secao que a implementacao de portas quantica para dois q-bitspara partıculas neutras com momento de dipolo magnetico permanente pode ser obtida aoconsiderarmos duas partıculas neutras ou dois feixes de partıculas neutras que interagementre si via interacao dipolo-dipolo [137, 138, 139].

portas para dois q-bits. Esse e um dos estudos apontado nas perspectivas desta Tese.

Capıtulo 7

Computacao Quantica Holonomica

no Grafeno

Nos ultimos anos, um dos temas que mais vem sendo estudado na area de materiacondensada e o grafeno [154, 153, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152]. Grafeno e o nomedado a uma unica camada plana de atomos de carbono. A banda de estrutura do grafenoconsiste aproximadamente de uma banda de conducao (vazia) e uma banda de valencia(totalmente preenchida). A aproximacao do contınuo do grafeno e realizada atraves domodelo do vizinho mais proximo ou the tight-binding model. Nessa aproximacao, umaunica camada de grafite tem sua estrutura representada por uma rede hexagonal ou porduas subredes triangulares chamadas de subrede A e subrede B. Nessas subredes, oseletrons livres podem passar de uma para uma outra vizinha sem interagir uns com osoutros e com isso serem transportados livremente ao longo da rede total. Estudos sobre aspropriedades eletronicas de estruturas de carbono que antecederam os estudos do grafenoforam feitos por Di Vincenzo e Mele [146] em 1984 e por Gonzales at al [147] em 1992,[148] em 1993. Direcionado para o grafeno, diversos estudos foram realizados sobre aspropriedade eletronicas quando a estrutura planar dos atomos de carbono e modificadapela presenca de curvatura. A presenca de curvatura nessas camadas planares de carbonoocorre devido a presenca de defeitos topologicos como discutidos na parte anterior destetrabalho. Interessantes estudos sobre a influencia de defeitos topologicos nas propriedadeseletronicas do grafeno foram realizados por Lammert e Crespi [149] em 2000 e [150] em2004, e por Cortijo e Vozmediano [151] em 2007 e [152] em 2008. Duas interessantesrevisoes sobre o grafeno foram feitas por Gusynin et al [153] em 2007 e por Pachos [154]em 2008.

Nao e nossa intensao nesse capıtulo discutir em detalhes as propriedades eletronicasdo grafeno seja na presenca ou na ausencia de defeitos topologicos. Nossa intencao emostrar uma aplicacao a computacao quantica holonomica usando os fluxos quanticosque surgem no grafenos devido a presenca de defeitos. Dessa forma, iremos apresentaragora as informacoes mais importante sobre o grafeno que possibilitarao nossa aplicacao acomputacao quantica holonomica sem discutir a fundo o modelo do vizinho mais proximoou the tight-binding model. No modelo do vizinho mais proximo para o grafeno, a Hamil-

98

CAPITULO 7. COMPUTACAO QUANTICA HOLONOMICA NO GRAFENO 99

Figura 7.1: Estrutura planar de uma unica camada de grafite conhecida como grafeno. Vertices em cinza e branco

indicam as subredes A e B.

toniana que descreve as propriedades eletronicas do grafeno pode ser dada na seguinteforma [154]

H = −J∑i,j

(a†i aj + a†j ai

), (7.1)

onde J e a taxa de transicao entre uma subrede uma subrede vizinha, o operador a†icria um eletron num ponto i enquanto que o operador aj destroi um eletron no pontoj. Para determinarmos o espectro da Hamiltoniana (7.1) devemos fazer uso da estruturaperiodica apresentada no grafeno atraves de suas subredes. Seguindo a revisao da re-ferencia [154], essa periodicidade permite-nos aplicar uma transformada de Fourier quereduz esse sistema a um problema de autovalores. Tomando a transformada de Fouriera (k) =

∑j e

ik·j aj, teremos [154]

H = −J∫ ∫

d2k(a†A (k) , a†B (k)

)( 0∑3

j=1 eik·vj∑3

j=1 eik·vj 0

)(aA (k)aB (k)

). (7.2)

Dessa forma, aplicando a Hamiltoniana (7.2) em um problema de autovalores iremosobter que o espectro de energia dos eletrons no grafeno, para um dado valor do momento,e dado pela expressao [153, 154]

ε (k) = ±J

√√√√1 + 4 cos2

(kxa

2

)+ 4 cos

(kxa

2

)cos

(√3kya

2

), (7.3)

onde o parametro a = 1, 4o

A e a distancia entre dois atomos vizinhos mais proximos. Umacaracteristica importante do grafeno e que a relacao de dispersao (7.3) torna-se linear

[153] proxima aos pontos de Fermi K = ±2πa

(13, 1√

3

), ou seja,

ε (k) = ±~ vF |p| , (7.4)

com o vetor de onda p = (p1, p2) sendo medido no ponto de Fermi K e com a velocidade

de Fermi1 sendo vF =√

3aJ2~ . O valor experimental medido para a velocidade de Fermi e

1Pontos de Fermi indicam os locais onde ha a concentracao de eletrons livres para conducao, ou seja,

localiza as bandas de conducao em um material. A velocidade de Fermi corresponde a velocidade do

eletron nas bandas de conducao.


vF ≈ 106m/s. Dessa forma, essa caracterıstica que o grafeno apresenta permite que suadescricao possa ser mapeada, proxima aos pontos de Fermi, atraves da equacao de Diracpara fermions sem massa em (2 + 1) dimensoes [153, 154]. Portanto, a Hamiltoniana paradescrever o grafeno pode ser reescrita como

H = −i~ vF (σx∂x + σy∂y) , (7.5)

onde as matrizes σi sao as matrizes de Pauli que atuam sobre as subredes A e B. Oscorrespondentes estados sao determinados pela direcao do vetor de onda K e pelos ındicesdas subredes A,B, que poderemos denota-los como

|ψ〉 =

|K+A〉|K+B〉|K−A〉|K−B〉

, (7.6)

onde se pode constatar que o espaco dos nıveis de Fermi e quadrimensional. Por con-venienia iremos escolher esses estados da base considerando K− = −K+, onde o eixo xesta ao longo da direcao de K+. Portanto, a Hamiltoniana (7.5) descreve a transferenciade eletrons da subrede A para a B e vice-versa e, atraves dessa expressao, poderemos verfacilmente a influencia de defeitos topologicos sobre a estrutura eletronica do grafeno.

Defeitos topologicos no grafeno podem ser gerados, de maneira conceitual, atraves deprocessos de “cortagem e cologem” que sao conhecidos na Literatura como processos deVolterra 2. Tomando a estrutura hexagonal do grafeno mostrada na figura (7.1), podemoscortar um setor com uma angulo de π/3 e colar os lados opostos. Ao colarmos, iremosconstruir um cone de grafeno e obter duas equacoes que podem ser interpretadas comofluxos de campos de gauge fictıcios atraves do apice do cone. Um desses fluxos medeo deficit de angulo dos cones quando um vetor/spinor e transportado paralelamente emtorno do apice do cone e e gerado pela variacao dos referenciais locais. Esse fluxo produzidopelo deficit de angulo e dado por [149, 150]∮

ωµ dxµ = −π

6σz. (7.7)

O segundo fluxo que surge quando retiramos esse setor de π/3 e descreve a misturaentre as componentes K+ e K−, que e chamado de fluxo de K spin ou isospin. A expressaopara esse fluxo e ∮

Aµ dxµ =

π

2τ y, (7.8)

onde as matrizes τ i sao as matrizes de Pauli que atuam apenas no subespaco do isospinK.

Neste capıtulo iremos inicialmente mostrar uma descricao geometrica destes dois fluxosquanticos que surgem no grafeno quanto ha a presenca de defeitos topologicos em suaestrutura e em seguida iremos mostra uma aplicacao de como essa descricao geometricapode implementar a computacao quantica holonomica no grafeno. Portanto, na secao7.1 iremos usar a teoria de Kaluza-Klein para dimensoes extras para dar uma descricaogeometrica que abranja os subespacos distintos das subredes A/B e do isospin K. Nasecao 7.2 iremos implementar da computacao quantica holonomica no grafeno.

2Essa descricao de “cortagem e cologem” na formacao de defeitos foram discutidas na primeira parte

deste trabalho.


7.1 Descricao geometrica dos fluxos no grafeno

Nesta secao iremos mostrar uma descricao geometrica para os dois fluxos quanticos(7.7) e (7.8) que a funcao de onda de um eletron que tunela de uma subrede para outraadquire quando ha a presenca de defeitos na rede cristalina. Ja e bem conhecido naLiteratura que o fluxo quantico (7.6) pode ser obtido atraves de uma descricao geometrica[80]. Em [80] e construıda a matriz de holonomia que descreve o fluxo quantico (7.7)quando um spinor e transportado paralelamente ao redor do apice do cone de grafite. Oefeito do transporte do spinor em torno do apice do cone de grafite e analogo ao efeitoAharonov-Bohm [2]. Contudo, uma aproximacao geometrica para o fluxo quantico (7.8)pode ser realizada atraves da teoria de Kaluza-Klein [155, 156, 157, 158, 159, 160], istoe, podemos descrever o grau de liberdade referente ao isospin via teoria de Kaluza-Klein[161]. Dentro deste metodo, iremos adicionar uma dimensao coordenada extra y no espaco-tempo. Na aproximacao do contınuo de uma folha conica de grafeno, introduziremos umadimensao extra y na metrica como3 [161]

ds2 = −dt2 + dρ2 + η2ρ2 dϕ2 + (dy +Mϕ ρ dϕ)2 , (7.9)

onde o parametro η esta relacionado com o deficit ou excesso do setor angular que podeser removido ou inserido para formar o defeito. Como uma folha de grafeno possui umasimetria hexagonal, podemos relacionar o parametro η com o numero de setores removidosde uma unica camada de grafeno da seguinte maneira

η = 1− nΩ

6, (7.10)

onde os valores de η pertecentes ao intervalo 0 < η < 1 significa que removemos um setorde uma camada de grafeno para formar o defeito, enquanto que os valores pertencentes aointervalo 1 < η < ∞ significa que inserimos um setor em uma camada de grafeno paraforma o defeito. O numero inteiro nΩ indica o numero de setores que sao removidos ouinseridos em uma camada de grafeno para a construcao dos cones de grafeno.

Com a dimensao extra y, obtivemos que o grau de liberdade de isospin fica presenteno elemento de linha do grafeno conico na aproximacao do contınuo. O termo Mϕ queintroduzimos no elemento de linha (7.9) corresponde ao campo de gauge que acopla ageometria conica do grafeno com grupo de gauge isospin. Desta forma, a expressao paraa unica componente nao-nula do campo de gauge Mµ deve ser [161]

Mϕ =nΩ

2Σ3, (7.11)

onde Σ3 e uma das matrizes de spin que definimos em (2.11).Da mesma forma que discutimos na primeira parte da Tese, para estudarmos a dinamica

quantica de fermions sem massa em uma camada de grafeno, devemos definir os spinoreslocalmente como fizemos para partıculas neutras no espaco-tempo curvo. Portanto, nateoria de Kaluza-Klein, a base nao-coordenada onde definimos os referenciais locais dosobservadores deve ser definida como

θA = eAA (x) θA, (7.12)

3Uma breve introducao a teoria de Kaluza-Klein e feita no apendice C.


onde o ındice A = µ, y indica os ındices do espaco-tempo µ = t, ρ, ϕ e a dimensao extra y.Os ındices A = a, 5 indica os referenciais locais dos observadores, com a = 0, 1, 2. Assim,as componentes desta base nao-coordenada devem satisfazer a relacao

gAB (x) = eAA (x) eBB (x) ηAB, (7.13)

com ηAB = diag (−1, 1, 1, 1, 1). Vamos estabelecer que θµ = dxµ and θy = dy como nasreferencias [159, 160]. Desta maneira, podemos escolher que os referenciais locais dosobservadores eA

A(x) e sua inversa eAA (x) sejam

eAA =

(eaµ 0Mϕ 1

), eAA =

(eµa 0

−eϕaMϕ 1

), (7.14)

onde a trıade eaµ (x) e sua inversa eµa (x) satisfazem a condicao usual

gµν (x) = eaµ ebν ηab, (7.15)

com ηab = diag (−1, 1, 1, 1) sendo o tensor de Minkowsky. Vamos escolher que nossa trıadee sua inversa sejam [161]

eaµ =

1 0 00 1 00 0 ηρ

, eµa =

1 0 00 1 00 0 1

ηρ

. (7.16)

Neste momento, passaremos a discutir a equacao de Dirac para fermions sem massana teoria de Kaluza-Klein. A expressao para a equacao de Dirac torna-se

i γA(∂A +

i

4ωABC (x) ΣBC

)ψ = 0, (7.17)

onde ΣBC = i2

[γB, γC

], com as matrizes de Dirac γA satisfazendo a relacao

γA, γB

=

−2ηAB, e com o termo ωABC (x) satisfazendo as equacoes de estrutura de Maurer-Cartan[159, 160]

dθA + ωAB ∧ θB = 0. (7.18)

Tomando as expressoes (7.14) e (7.16), teremos que as unicas componentes nao-nulas daconexao 1-forma ωAB serao

ω21 = −ω1

2 = −ω 1ϕ 2 dϕ = η dϕ,

(7.19)ω5

1 = −ω15 = −ω 1

ϕ 5 dϕ =nΩ

2Σ3 dϕ.

Desta maneira, podemos escrever a equacao de Dirac para fermions sem massa (7.17)como

i γa eµa (∂µ −Mµ ∂y) Ψ + i γ5 ∂yΨ +i

2

γ1

ρΨ +

nΩ

4

γ5

ηρΨ = 0, (7.20)

com γ5 = i γ0 γ1 γ2 γ3. Devido a coordenada possuir a propriedade de periodicidade,podemos considerar que um spinor de Dirac tem a seguinte forma

Ψ (xµ, y) =∞∑

l=−∞

e2πil yL Ψl (x

µ) , (7.21)


onde L e uma escala da dimensao extra. Assim, a equacao de Dirac (7.20) passa a ter aforma

i γa eµa

(∂µ −

2πil

LMµ

)Ψl − i γ5 2πl

LΨl +

i

2

γ1

ρΨl +

nΩ

4

γ5

ηρΨl = 0. (7.22)

Agora, para descrevermos fermions sem massa na teoria de Kaluza-Klein, vamos nosconcentrar no modo zero da expasao de Kaluza-Klein [159], isto e,

Ψ0 (xµ) ≡ ψ (xµ) . (7.23)

Desta forma, a equacao de Dirac (7.22) torna-se

i γ0 ∂ψ

∂t+ i γ1

(∂ρ +

1

2ρ

)ψ + i

γ2

ηρ

∂ψ

∂ϕ+nΩ

2

γ5

ηρψ = 0. (7.24)

Vamos, entao, aplicar o metodo do fator de fase de Dirac [3, 4], onde a expressao (3.14)fica sendo dada em termos das coordenadas do espaco-tempo, ou seja,

ψ (xµ) = eiφ ψ0 (xµ) , (7.25)

onde φ continua sendo a fase quantica que a funcao de onda do fermion sem massaadquire nesta dinamica quantica e ψ0 (xµ) e solucao para a usual equacao de Dirac parauma partıcula sem massa

i γµ ∂µ ψ0 = 0. (7.26)

Temos, entao, que a funcao de onda do fermion sem massa adquire duas contribuicoesindependentes para a fase quantica. A primeira contribuicao e dada pela topologia dodefeito

φ1 =1

2

∮η dϕΣ3, (7.27)

que e identica a expressao para holonomias obtidas na referencia [80] para cones de grafiteatraves da aplicacao do transporte spinoral em um spinor que descreve um fermion semmassa, ou seja, atraves da aplicacao da seguinte transformacao unitaria sobre o spinor dofermion sem massa

U1 (C) = P exp

[−1

4

∮ωϕab γ

a γb dϕ

]. (7.28)

Considerando spinores de duas componentes e escrevendo o parametro η em termo donumero de setores removidos ou inseridos nΩ, a matriz de holonomia (7.28) fica

U1 (nΩ) = cos(nΩ

6π)

+ iσ3 sin(nΩ

6π). (7.29)

Veja que a holonomia (7.29) e a descricao geometrica da fase quantica (7.27), pois apli-camos a definicao de transporte paralelo de um spinor ao longo de uma curva fechada emtorno do defeito topologico. A segunda contribuicao independente para a fase quantica edada por

φ2 = −∮nΩ

4γ0 Σ2 dϕ, (7.30)


que tambem coincide com a expressao para o transporte spinrial

U2 (C) = P exp

[−1

2

∮ωϕ 51 γ

5 γ1 dϕ

], (7.31)

que, considerando novamente spinores de duas componentes, a matriz de holonomia (7.31)torna-se identica a matriz de holonomia sugerida nas referenicas [149, 150]

U2 (nΩ) = cos(nΩ

2π)− iσ2 sin

(nΩ

2π). (7.32)

Podemos ver que as fase quanticas obtidas atraves da teoria de Kaluza-Klein temduas contribuicoes distintas: uma esta relacionada a topologia do defeito onde os conesde grafite sao construıdos e a outra contribuicao esta relacionada com a parte de isospin dografeno, que representamos aqui como sendo a coordenada extra da teoria de Kaluza-Klein[161]. As fases quanticas adquiridas pela funcao de onda de fermions sem massa atravesda teoria de Kaluza-Klein sao identicas aos fluxos quanticos apontados nas referencias[149, 150]. Podemos observar que as duas contribuicoes independentes para a fase quantica(7.27) e (7.30) que obtivemos atraves do metodo do fator de fase de Dirac podem serobtidas na teoria de Kaluza-Klein atraves de holonomias como feito em [80]. Dessa forma,mostramos que o fluxo quantico (7.8) pode ser descrito geometricamente atraves da matrizde holonomia gerada pelo transporte spinorial [161].

Na proxima secao iremos estudar a implementacao de portas quantica para um q-bitno grafeno associada a estrutura dos defeitos topologicos que formam os cones de grafite.Essa implementacao e alcancada usando a descricao geometrica das fase quanticas (7.27)e (7.30), ou seja, usando as matrizes de holonomia (7.29) e (7.32) que obtivemos nestasecao.

7.2 Implementacao de um conjunto de portas quanticas

para um q-bit no grafeno

Nesta secao iremos estudar a implementacao de portas quanticas para um q-bit as-sociada a estrutura de defeitos topologicos no grafeno. Vimos na secao anterior que adescricao geometrica dos fluxos quanticos ou fases geometricas no grafeno sao dados pelasHolonomias. Vimos que ao transportarmos paralelamente um spinor em torno do eixo desimetria do defeito, a holonomia associada e dada pela expressao (7.29)

U1 (η) = cos [(1− η)π] + iσ3 sin [(1− η) π] , (7.33)

onde, por conveniencia, reescrevemos a expressao (7.29) em termos do parametro η queesta relacionado com o deficit de angulo do defeito. O segundo fluxo quantico e dadopelo isospin K, onde mostramos na secao anterior que usando a teoria de Kaluza-Kleinpodemos descrever esse fluxo quantico geometricamente atraves das expressoes (7.30) e(7.32). Contudo, para implementarmos a computacao quantica devemos trocar a matrizσ2 por τ 2 para enfatizar o subespaco do isospin e levar em conta o grau de liberdade de


translacao de um vetor da rede (l,m), que depende apenas da diferenca l−m (mod3) comomostrado em [149, 150]. Assim, a holonomia associada ao isospin K pode ser reescritacomo

U2 (nΩ) = Tl−m

[cos(nΩ

2π)− i τ 2 sin

(nΩ

2π)], (7.34)

com Tl−m correspondendo a translacao do vetor (l,m). O termo Tl−m da-nos duas ex-pressoes diferentes para a holonomia do isospin K correspondendo a l = m or l 6= m.Entao, substituindo o numero de setores removidos nΩ pelo parametro η na expressao(7.34), teremos para l = m

U2 (η) = cos [3π (1− η)]− iτ 2 sin [3π (1− η)] , (7.35)

enquanto que para l 6= m teremos

U2 (η) = e−iπ6σ3 (

cos [3π (1− η)]− iτ 2 sin [3π (1− η)]). (7.36)

A realizacao de portas quanticas para um q-bit em cones de grafeno e feita atraves daescolha apropriada do parametro de controle como estipulado pela computacao quanticaholonomica [123, 124, 125]. Para os cones de grafeno, o parametro de controle e oparametro η que indica o defıcit de angulo e tem seu valor estipulado no intervalo 0 < η < 1como na Corda Cosmica [162].

A escolha apropriada para o parametro η indica a quantidade de setores numa camadade grafeno que podemos remover ou inserir. Assim, a construcao de uma porta quanticacom cones de grafeno esta diretamente associada a construcao dos cones de grafeno, ouseja, de quantos setores numa camada de grafeno retiramos ou inserimos para construir umcone especıfico [162]. Como ja vimos anteriormente, o grafeno possui dois tipos de fluxosquanticos distintos que sao representados geometricamente pela holonomias U1 (η) e U2 (η)dadas nas expressoes (7.33), (7.35) e (7.36). Entao, para que construamos uma portaquantica usando a holonomia U1 (η), precisamos de uma configuracao de cones de grafenoespecıfica que faca com que a holonomia U2 (η) seja igual a matriz identidade. Por outrolado, para construirmos portas quanticas envolvendo a holonomia U2 (η), precisaremos deoutra configuracao de cones em que a holonomia U1 (η) seja igual a matriz identidade.

A configuracao que permite a construcao de portas quanticas utilizando a holonomiaU1 (η) e feita tomando valores para o parametro η que promova um numero par de se-tores removidos de uma camada de grafeno na construcao do cone de grafeno envolvidoentre duas camadas de grafeno sem defeitos topologicos presentes [162]. Contudo, a con-figuracao que permite o uso da holonomia U2 (η) e feita atraves da aplicacao dos chamadosmulticones de grafeno [80], onde tomaremos dois cones: um que tenha um fluxo gerado porum cone construıdo a partir de setores da camada de grafeno removido e outro cone quetenha um fluxo inverso, gerado a partir de um cone construıdo com a insercao de setoresna camada de grafeno, isto e, com excesso de setores. Ambos os cones estao envolvidospor duas camadas de grafeno sem defeitos. Portanto, a presenca de dois cones com fluxosopostos promove um fluxo quantico nulo vinculado a holonomia U1 (η).

Contudo, para implementarmos a computacao quantica no grafeno precisamos doespaco logico, ou seja, precisamos definir a base logica computacional. Desde que o espacodos nıveis de Fermi e quadrimensional, iremos introduzir os seguintes estados logicos deduas componentes [162]

|0L〉 = |K+, A/B〉 ; |1L〉 = |K−, A/B〉 , (7.37)


onde temos que as matrizes σi atuam no subespaco A/B dos estados logicos na formaI ⊗ σi (com I sendo a matrix identidade 2 × 2) que fornece uma mudanca de fase deacordo com a transferencia de eletrons entre as subredes A e B. As matrizes τ i atuamno subespaco de K-spin dos estados logicos na forma τ i ⊗ I, que fornece a mistura entreos pontos de Fermi K+ e K−. Desde que σi e τ i estao relacionados a subespacos logicosdistintos, eles nao interferem entre si e nenhuma perda de informacao e esperada paraesses q-bits sugeridos.

O primeiro caso que iremos estudar corresponde a tomarmos o parametro de controlecom o valor η = 1/3 e com l = m. Neste caso, obtemos U2 (1/3) = 1 e a porta quanticapara um q-bit associada sera [162]

Q1 = U1 (1/3) =

(1 0

0 e−i4π3

), (7.38)

o que corresponde a uma porta de fase para um q-bit [120]. De forma identica, se escol-hermos η = 2/3 com l = m, teremos

Q2 = U1 (2/3) =

(1 0

0 e−i2π3

)(7.39)

o que corresponde a outra porta de fase para um q-bite a menos de um fator de faseconstante ou global. Note-se que estas portas quanticas nao mudam os pontos de Fermi,mas fornecem uma mudanca de fase nos estados logicos (7.37) dependendo da transferenciade eletrons entre as subredes A e B.

Observe que a porta de fase Q1 requer que nΩ = 4 setores da camada de grafenosejam removidos antes de construirmos um cone de grafeno, enquanto que a porta de faseQ2 requer a remocao de nΩ = 2 setores da camada de grafeno antes da construcao docone [162]. Na figura 7.2, mostramos uma camada de grafeno na presenca de um defeitotopologico (desclinacao), ou melhor, na presenca de um cone de grafeno construıdo apartir de dois setores de π/3 removidos o que representa a construcao da porta quanticade fase Q2.

Figura 7.2: Porta quantica para um q-bit conhecida como porta de fase Q2 dada na expressao (7.39). Essa porta

quantica e implementada com um cone de gafeno construıdo com dois setores removidos (cinza). Pode-se ver como os

defeitos distorcem a rede do grafeno. A seta indica a direccao do movimento de um eletron quando este passa em torno do

defeito topologico.

O segundo caso que iremos estudar e com a escolha do parametro de controle sendoη = 5/6 e com l = m. Agora usaremos dois cones de grafeno com fluxos opostos entre


duas comadas de grafeno sem defeitos. Como foi mostrado por Furtado et al em [80], ocomportamento dos dois cones e identico ao comportamento de um multicone onde temosque neffΩ =

∑mi=1 n

iΩ para informar o numero de setores que sao removidos no multicone.

A representacao deste defeito topologico numa camada de grafeno pode ser vista na figura7.3, onde temos um dipolo de defeito conico formando uma dislocacao, ou seja, um parpentagono-heptagono [152]. Neste caso, a porta quantica para um q-bit associada sera[162]

QS = U2 (5/6) = e−iπ2

(0 −ii 0

), (7.40)

onde esta porta quantica representa uma porta de troca e de mudanca de fase [120] queatua nos estados logicos (7.37) trocando os pontos de Fermi K± e forncendo uma mudancade fase.

Portanto, uma porta de troca e mudanca de fase pode ser implementada se constru-irmos um cone de grafeno apos removermos neffΩ = 1 setores da camada de grafeno, amenos de um fator de fase global de π/2. Se escolhermos η = 1/2, obteremos a mesmaporta quantica para um q-bit, mas com neffΩ = 3 setores removidos da camada de grafenoe a menos de um fator de fase global de π/2. Da mesmo forma, se escolhermos η = 1/6,teremos novamente esta porta a partir de um cone construıdo com neffΩ = 5 setoresremovidos, a menos de um fator de fase global de −π/2.

Figura 7.3: Porta quantica para um q-bit conhecida como porta troca e mudanca de fase QS dada na expressao (7.40).

Esta porta quantica e implementada com um cone de grafeno construıdo com um setor removido e por um outro cone

construıdo com um setor inserido. O resultado do conjunto dos defeitos e identico ao comportamento de multicones onde

o fluxo atraves destes cones irao se cancela. A seta indica a orientacao do movimento de um eletron que passa em torno do

multicone.

O terceiro caso que iremos apresentar esta relacionado com a situacao em que l 6= m.Vamos entao tomar η = 1/3. Para estas escolhas obtemos a seguinte porta quantica paraum q-bit [162]

Qz = e−iπ6σ3

U1 (1/3) = eiπ2

(1 00 −1

)(7.41)

onde a expressao (7.41) representa a conhecida porta Z-Pauli [120]. Note-se que estaporta quantica atua nos estados logicos (7.37) de acordo com a transferencia de eletronsentre as subredes A e B, sem mudar os pontos de Fermi.

Esta porta quantica pode ser construıda com um cone de grafeno sendo posto entreduas camadas de grafeno sem defeitos, onde o numero de setores removidos para a con-strucao deste cone e nΩ = 4, a menos de um fator de fase global de π/2. De maneira


identica, se tomarmos η = 2/3 com l 6= m obtemos a mesma porta quantica, porem ocone de grafeno e construıdo com nΩ = 2 setores removidos (a menos de um fator defase global). A ilustracao desta porta quantica e idenditica a figura 7.1 feita para a portaquantica Q2 dada na expressao (7.39).

Portanto, sugerimos nesta secao uma maneira de implementar a computacao quanticaholonomica atraves da utilizacao dos fluxos quanticos associados com as propriedadesde defeitos topologicos lineares no grafeno. A implementacao da computacao quanticaaqui esta baseada na real possibilidade de incorporar defeitos topologicos lineares (de-sclinacoes) na estrutrura do grafeno de maneira controlavel o que permite a modificacaodas propriedades geometricas das camadas necessarias para criar portas logicas quanticasespecıficas [162]. Para cada cone ou multicone em uma camada de grafeno ha uma fasequantica especıfica adquirida pela funcao de onda das partıculas que se deslocam em tornodo defeito topologico. Estas fases quanticas sao equivalentes a fase de Aharonov-Anandan[8] que permite a realizacao de portas quanticas elementares para um q-bit sem utilizar aaproximacao adiabatica para implementar a computacao quantica holonomica. O espacode controle M tornou-se a estrutura dos defeitos topologicos lineares inseridos em umacamada de grafeno que, neste caso, a estrutura e dada por desclinacoes e sao represen-tadas pelo parametro de controle η. Mais precisamente, o parametro de controle estaligado ao numero de setores que podem ser removidos ou inseridos em uma unica camadade grafeno para criar uma configuracao conica especıfica [162]. Em particular, mostramosque um cone de grafite construıdo com nΩ = 4 setores removidos e equivalente a umaporta de fase para um q-bit. E pela combinacao de diferentes estruturas de defeitos nascamadas de grafeno, pudemos construir portas para um q-bit como a porta Z-Pauli ea porta de troca e mudanca de fase QS. Contudo, nao pudemos realizar a computacaoquantica universal porque nao foi possıvel estabelecer portas para dois q-bits.

Parte III

Quantizacao de Landau para

Partıculas Neutras na Presenca de

Defeitos Topologicos

109

Introducao

Nesta parte da tese iremos discutir a quantizacao de Landau nas dinamicas quanticasrelativıstica e nao-relativıstica de uma partıcula neutra que possui momento de dipolomagnetico permanente. Vimos na primeira parte da tese que trabalhamos tambem comuma partıcula neutra que possui momento de dipolo eletrico permanente, porem veremosque quantizacao de Landau para uma partıcula neutra com momento de dipolo eletricopermenente pode ser obtida por uma transformacao de dualidade. Faremos inicialmenteuma breve introducao da quantizacao de Landau e nos proximos capıtulos estudaremos aquantizacao de Landau partıculas neutras na presenca de defeitos topologicos.

Os nıveis de Landau sao nıveis de energia degenerados que surgem como consequenciada quantizacao de orbitas de uma partıcula carregada na presenca de um campo magnetico.Para estudar o surgimento dos nıveis de Landau basta considerar uma partıcula carregadamovendo-se em um plano perpendicular ao campo magnetico. A Hamiltioniana que de-screve essa dinamica e dada por

H =1

2m

(~p− q ~A

)2

, (7.42)

onde ~A e o potencial vetor eletromagnetico, q a carga da partıcula e onde novamenteestamos tomando c = ~ = 1. O campo magnetico esta relacionado com o potencial vetorvia a usual expressao derivada do eletromagnetismo, ou seja, ~B = ~∇× ~A. Se obsevarmosa liberdade de construirmos campos de calibre ou gauge no eletromagnetismo, temosa liberdade de escolher a forma do potencial vetor de tal modo que a Hamiltonianapermanecera invariante perante a essa escolha. Um bom exemplo e escrever o potencialvetor no chamado gauge simetrico. O potencial vetor sera dado por ~A = B0

2(−y, x, 0) e o

campo magnetico sera constante e dado na direcao do eixo-z. Dessa forma, resolvendo aequacao de Schrodinger encontraremos que os nıveis de Landau serao

En,l = ω

(n+|l|+ l + 1

2

)+

k2z

2m, (7.43)

com ω = qB/m sendo chamada de frequancia de cıclotron. Em relacao ao cıclotrondevemos obsevar que os nıveis de Landau sao independentes da direcao de revolucao e docentro da orbita correspondente do movimento classico.

Diante da presenca de defeitos topologicos, os nıveis de Landau estudados em [163, 164,165, 166] apresentaram uma caracterıstica particular. Nesses trabalhos foram estudadasa dinamica quantica nao-relativıstica de uma partıcula carregada na presenca de umacampo magnetico externo e na presenca tambem de defeitos topologicos como desclinacoes

110

111

e deslocacoes. Em 1994, Furtado et al [163] estudaram a influencia de uma desclinacaosobre o espectro de um eletron na presenca de uma campo magnetico. Em 1999, Furtadoe Moraes [164] estudaram a influencia de uma deslocacao sobre um eletron movendo-sena presenca de um campo magnetico. Com o mesmo foco, em 2001, Marques et al [165]estudaram os nıveis de Landau para um eletron na presenca de uma distribuicao contınuade desclinacoes, deslocacoes e despiracoes e, em 2008, Silva Neto e Furtado [166] estudaramos nıveis de Landau na presenca de uma densidade de deslocacoes. Os resultados obtidonesses trabalhos apresentaram a seguinte caracterıstica: a presenca dos defeitos toplogicosquebraram a degenerescencia infinita dos nıveis de Landau (7.43). Essa quebra foi geradadevido ao acoplamento da curvatura do defeito conico com o momento angular no casoda desclinacoes e do acoplamento do vetor de Burges com o momento angular no caso deuma deslocacao.

A quantizacao de Landau para uma partıcula neutra que possui momento de dipolomagnetico permanente foi proposta por M. Ericsson e S. Sjoqvist em 2001 [167]. Elesestudaram os nıveis de energia que surgem em um sistema quantico semelhante ao sistemaproposto por Aharonov e Casher [16], para os quais denominaram de nıveis de Landauanalogos. Para surgir os nıveis de Landau analogos eles estabeleceram tres condicoes aserem satisfitas pela configuracao do campo eletrico: A primeira condicao e que nao hajatorque algum sobre o dipolo magnetico; A segunda e que as equacoes da eletrostatica sejamsatisfeitas, isto e,

∂ ~E

∂t= 0; ~∇× ~E = 0; (7.44)

A terceira condicao e o gauge escolhido para o campo eletrico faca com que surja umcampo magnetico efetivo uniforme rotulado por ~BAC. Com a imposicao dessas condicoes,M. Ericsson e S. Sjoqvist mostraram que os nıveis de Landau surgem da interacao domomento de dipolo magnetico da partıcula neutra com o campo eletrico externo de talforma que o alinhamento do momento de dipolo era mantido igual a sua configuracaoinicial, como no sistema proposto por Aharonov e Casher em [16], e obtiveram que osnıveis de energia analogos aos nıveis de Landau possuiam uma degenerescencia infinitacomo dada em (7.43) para partıculas carregadas. Seguindo essa ideia e baseados no efeitoHe-McKellar-Wilkens, em 2006, L. R. Ribeiro at al [168], estudaram os nıveis de energiaanalogos aos nıveis de Landau para uma partıcula neutra que possui momento de dipoloeletrico permanente que interage com um campo magnetico externo com o espaco-temposendo plano. Uma caracterıstica importante demonstrada em [168] e que os nıveis deLandau analogos que surgem para o efeito He-McKellar-Wilkens sao duais ao nıveis deLandau analogos para o efeito Aharonov-Casher obtido em [167]. No mesmo ano de2006, Furtado et al [169] analizaram os nıveis de Landau para uma partıcula neutra commomento de dipolo eletrico induzido numa configuracao particular de campos eletrico emagnetico confinando a partıcula neutra num plano.

A quantizacao relativıstica de Landau para particulas carregadas eletricamente foidiscutida primeiramente por Jackiw [170] e Balatsky et al [171], onde ambos consideraramum sistema contendo um fluxo de campo magnetico passando atraves de um plano. Outrasdiscussoes sobre a quantizacao relativıstica de Landau foram feitas por Haldane [172] como efeito Hall quantico, por Nersesyan at al [173] com estados de spin nematicos e porBeneventano e Santangelo [174] em trabalhos com temperatura finita.

Nossa intencao nessa parte da Tese e estudar o surgimento do nıveis de energia

112

analogos aos nıveis de Landau para uma partıcula neutra que possui um momentos dedipolo magnetico permanente interangindo com um campo eletrico externo na presencade um defeito topologico linear. Queremos observar, por exemplo, se a degenerescenica in-finita caracterıstica da quantizacao de Landau e mantida, tanto na dinamica relativısticaquanto na dinamica nao-relativıstica, quando um defeito topologico linear estiver pre-sente. Comecaremos estudando a quantizacao de Landau para partıculas neutras noregime nao-relativıstico na presenca de um defeito topologico chamado despiracao. Emseguida, iremos estudar a quantizacao de Landau para partıculas neutras no regime rela-tivıstico no espaco-tempo plano em dois casos distintos: o primeiro no chamado gauge deLandau e o segundo no gauge simetrico. Por fim, iremos estudar a quantizacao de Lan-dau para partıculas neutral no regime relativıstico nos espaco-tempo de uma deslocacaocosmica.

Capıtulo 8

Quantizacao Nao-Relativıstica de

Landau

Neste capıtulo iremos trabalhar a quantizacao de Landau na dinamica nao-relativısticade uma partıcula neutra que possui momento de dipolo magnetico permanente. Naovamos considerar neste capıtulo que essa partıcula neutra possua momento de dipoloeletrico. Faremos essa consideracao posteriormente para que nao haja confusao em relacaoa notacao e configuracao dos campos eletrico e magnetico, que devem ser feitos de maneiradiferentes em cada um caso. Neste capıtulo estudaremos a quantizacao de Landau emdois casos: o primeiro caso da-se quando adotamos referenciais inerciais e o segundo casoquando adotamos os referencias nao-inerciais que construımos nas secoes 5.1 e 5.2.

8.1 Quantizacao Nao-Relativıstica de Landau na Pre-

senca de Defeitos Topologicos

Nesta secao iremos estudar a quantizacao de Landau nao-relativıstica para uma partıculaneutra com momento de dipolo magnetico permanente interagindo com um campo eletricoexterno na presenca de um defeito topologico. A estrutura do defeito topologico comque trabalharemos nesta secao e a mesma que ja trabalhamos quando estudamos fasesgeometricas quanticas no espaco-tempo curvo e na presenca de torcao. Assim, o elementode linha que descreve nosso pano de fundo sera de uma deslocacao cosmica

ds2 = −dt2 + dρ2 + η2ρ2dϕ2 + (dz + χdϕ)2 , (8.1)

onde sabemos que a parte espacial do elemento de linha (8.1) corresponde a uma des-piracao na linguagem da Fısica do Estado Solido. Lembremos que o parametro η e umparametro relacionado com o deficit de angulo e o parametro χ esta relacionado coma torcao. Da mesma forma que estudamos as fases geometricas quanticas e tambem

113

CAPITULO 8. QUANTIZACAO NAO-RELATIVISTICA DE LANDAU 114

necessario construir um referencial local para os observadores onde os spinores seraodefinidos [35, 36]. Os referenciais locais serao definidos atraves das componentes de umabase nao-coordenada. As componentes da base nao-coordenada, que sao chamadas detetradas, serao as mesmas que escolhemos na expressao (4.3) ou (4.4).

A dinamica nao-relativısitica dessa partıcula neutra que possui momento de dipolomagnetico permante foi obtida atraves da aplicacao da aproximacao de Foldy-Wouthuyssen[54]. Vamos considerar que o momento de dipolo magnetico esta inicialmente orientadoparalelamente ao eixo-z do defeito topologico. Dessa forma, podemos escrever a expressao(3.44), considerando d = 0, como

i∂ψ

∂t= mψ +

1

2m

(~p+ ~Ξ

)2

− µ2E2

2m+

µ

2m~∇ · ~E + µ n · ~B, (8.2)

onde devemos ressaltar que o primeiro termo do lado direito da equacao corresponde a en-ergia de repouso da partıcula neutra, enquanto que os quatro ultimos termos correspondea Hamiltoniana nao-relativıstica de Schrodinger-Pauli. O vetor unitario n indica a ori-entacao do momento de dipolo magnetico e o vetor ~Ξ foi introduzido quando estudamosas fases geometricas quanticas e a expressao para suas componentes e (4.37)

Ξj = µ (n× ~E)j +1

2(1− η)σ3 eϕj −

1

8S0 σj. (8.3)

Para estudarmos os nıveis de Landau devemos tomar a equacao nao-relativıstica deSchrodinger-Pauli e procurar uma configuracao para o campo eletrico para a qual acondicao estabelecida pelas equacoes (7.44) seja satisfeita. Vamos considerar que os mo-mentos de dipolo estejam sempre alinhados com o eixo-z do defeito topologico e escolherque o campo eletrico seja dado pela seguinte expressao

~E =λ ρ

2ρ, (8.4)

com λ sendo a densidade de carga linear. Veja que com esta configuracao, o campoeletrico satisfaz a condicao imposta pelas equacoes (7.44) e produz um campo magneticouniforme efetivo paralelo ao eixo de simetria do defeito. Esse campo magnetico produzidochamaremos de campo magnetico efetivo de Aharonov-Casher [176]:

~BAC = ~∇× ~Ξ = µλ z. (8.5)

Portanto, a expressao para a equacao de Schrodinger-Pauli na presenca do defeitotopologico (8.1) com a configuracao de campo (8.4) passa a ser

Eψ = − 1

2m

[∂2ψ

∂ρ2+

1

ρ

∂ψ

∂ρ+

1

η2ρ2

(∂

∂ϕ− χ ∂

∂z

)2

ψ +∂2ψ

∂z2

]− i

2m

µλ

η

(∂ψ

∂ϕ− χ∂ψ

∂z

)− i

2m

(1− η)

η2ρ2

(∂ψ

∂ϕ− χ∂ψ

∂z

)+µ2λ2

8mρ2 ψ +

1

8m

(1− η)2

η2ρ2ψ +

µλ

2mψ

+µλ

4mη(1− η) ψ. (8.6)

Note-se que estamos tomando apenas as componentes de spin up quando escrevemos aequacao (8.6). A solucao mais geral para a equacao acima e dada pela expressao

ψ (ρ, ϕ, z) = eilϕ eikz R (ρ) , (8.7)


com l = 0±1,±2,±3, ... e k sendo uma constante. Dessa forma, substituindo na expressao(8.6) teremos

E R = − 1

2m

(R′′ +

1

ρR′)

+1

2m

ζ2

η2ρ2R +

k2

2mR +

ωζ

2ηR +

mω2

8ρ2R +

ω

2R, (8.8)

onde definimos as quantidades [176]

ζ = (l − χk) +1

2(1− η) ; ω =

µλ

m. (8.9)

Por conveniencia faremos uma mudanca de variavel dada pela seguinte expressao1:

ξ =mω

2ρ2. (8.10)

Esta mudanca de variavel resultara numa nova expressao para a equacao (8.8) dada por

ξ R′′ +R′ +

(β − ζ2

4η2ξ− ξ

4

)R = 0, (8.11)

onde chamamos o parametro β corresponde a [176]

β =Eω− k2

2mω− ζ

2η− 1

2, (8.12)

e a solucao para a equacao (8.11) pode ser escrita como

R (ξ) = e−ξ2 ξ|ζ|2η F (ξ) . (8.13)

Assim, substituindo a solucao (8.13) na equacao (8.11), obteremos

ξd2F

dξ2+

(|ζ|η

+ 1− ξ)dF

dξ+

(β − |ζ|

2η− 1

2

)F = 0, (8.14)

onde a equacao (8.14) e a equacao para uma funcao hipergeometrica confluente, isto e,

F (ξ) = F(−[β − 1

2− |ζ|

2η

], |ζ|η

+ 1; ξ)

e a funcao hipergeometrica confluente degenereda.

A funcao hipergeometrica confluente ou serie hipergeometrica confluente e definida como[175]

F (a, c;x) = 1 +a

c

x

1!+a (a+ 1)

c (c+ 1)

x2

2!+ . . . =

∞∑m=0

(a)m(c)m

xm

m!, (8.15)

com c 6= 0,−1,−2, . . . e onde o ultima igualdade da serie hipergeometrica confluente eescrito em termos dos sımbolos de Pochhammer

(a)m = a (a+ 1) (a+ 2) . . . (a+m− 1) =(a+m− 1)!

(a− 1)!,

(8.16)(a)0 = 1.

1Note-se que estamos usando mesma letra grega que trabalhamos nos capıtulos anteriores para as

fases goemetricas quanticas. Porem, agora a letra ξ nao possui correspondencia alguma com os capıtulos

sobre fases geometricas quanticas.


Para que a solucao radial (8.13) seja normalizada e necessario que esta tenda para zeroquando ξ → ∞ ou ρ → ∞. No limite assintotico, a funcao hipergeometrica confluente(8.15) e dada por

F (a, c;x→∞) ≈ ex

xc−aΓ (c)

Γ (a), (8.17)

onde Γ (a) = (a− 1)! e a funcao gamma [175]. Para que a solucao radial (8.13) seja entaonormalizavel, e necessario que a funcao hipergeometrica confluente torne-se nula no limiteassintotico. Isto ocorre apenas quando Γ (a) → ∞. Portanto, o parametro a da funcaogamma deve ser zero ou um numero inteiro negativo, ou seja, a = 0,−1,−2, ... = −ν, poispela definicao da funcao gamma temos Γ (−ν) = ±∞. Assim, tomaremos o parametroa como sendo um numero inteiro negativo −ν, a funcao hipergeometrica torna-se umpolinomio e parte radial da funcao de onda (8.13) torna-se normalizavel. Desse modo,observando o argumento da funcao hipergeometrica (8.13) referente a parametro a daexpressao (8.17), poderemos escrever

ν = β − 1

2− |ζ|

2η. (8.18)

Portanto, substituindo a expressao (8.12) em (8.18), os nıveis de energia para adinamica nao-relativıstica de uma partıcula neutra na presenca do defeito topologico (8.1)serao [176]

Eν,l = ω

(ν +|ζ|2η

+ζ

2η+ 1

)+

k2

2m, (8.19)

com ν = 0, 1, 2, ... e l = 0,±1,±2, .... Esses sao os nıveis de energia associados a umapartıcula neutra que possui momento de dipolo magnetico permanente interagindo comum campo eletrico externo na presenca de um defeito topologico que possui curvaturae torcao. Os termos escritos entre parenteses sao conhecidos como nıveis de Landau,enquanto que o ultimo termo e uma contribuicao dada pela energia cinetica do movimentolivre ao longo do eixo z do espaco-tempo. Podemos ver claramente que os nıveis de energiasao independentes do centro da orbita de um movimento classico de um cıclotron, o queconcorda com os resultados obtidos em [167, 165, 168, 169]. Alem disso, eles nao dependemda orientacao da revolucao devido a definicao da frequancia angular ω = µλ/m, o quedifere do resultado de [168] que leva em conta a orientacao da revolucao quando discutema supersimetria.

Podemos ver claramente na expressao (8.19) com a topologia e a torcao influenciamna configuracao dos nıveis de energia para a dinamica da partıcula neutra. Por exemplo,se considerarmos a ausencia da torcao fazendo χ = 0, teremos que a topologia do espaco-tempo ira quebrar a degenerescencia infinita dos nıveis de Landau obtida em [168] paraum espaco-tempo plano devido ao parametro η nao ser um numero inteiro. Dessa forma,temos que a expressao para os nıveis de Landau fica sendo

Eν,l = ω

(ν +|γ|2η

+γ

2η+ 1

)+

k2

2m, (8.20)

com γ = l+(1− η) /2. Contudo, esse resultado obtido aqui concorda com o sistema dadoem [165] onde um campo magnetico externo e configurado numa secao conica e que a


topologia do defeito faz com que a degenerescencia infinita, caracterıstica dos nıveis deLandau, seja quebrada.

Se considerarmos agora que o espaco-tempo e plano fazendo η → 1, porem com apresenca da torcao χ 6= 0 temos que esta ultima tambem uma quebra a degenerescenciainfinita dos nıveis de Landau obtidas em [168] em um espaco-tempo plano devido aoacoplamento entre a torcao e o momento angular l. A expressao para os nıveis de Landautorna-se

Eν,l = ω

(ν +|l − χk|

2+

(l − χk)

2+ 1

)+

k2

2m, (8.21)

onde temos novamente que o resultado obtido aqui concorda com [165] onde um campomagnetico externo e configurado diante de um defeito topologico chamado de deslocacao eonde a degenerescencia infinita dos nıveis de Landau e quebrada devido a um acoplamentodo vetor de Burges com o momento angular. Por fim, devemos enfatizar que tomando olimite η → 1 e tomando χ = 0 recuperamos o espaco-tempo plano na ausencia da torcaoonde a degenerescecia infinita dos nıveis de Landau e recuperada concordando com osresultados de [168].

Portanto, estudamos nesse capıtulo a quantizacao de Landau na dinamica quanticanao-relativıstica de uma partıcula neutra que possui momento de dipolo magnetico per-manente na presenca de um defeito topologico. Esse estudo foi feito a partir do limitenao-relativıtico da equacao de Dirac no espaco-tempo curvo e na presenca de torcao re-alizado atraves da aproximacao de Foldy-Wouthuyssen. Com o limite nao-relativısticoda equacao de Dirac, pudemos ter a expressao exata para a equacao de Schrodinger-Pauli na presenca de uma despiracao. Com isso estabelecemos que o momento de dipolomagnetico da partıcula neutra estivesse alinhado com o eixo de simetria do defeito e ado-tamos uma configuracao para o campo eletrico que satisfizesse as condicoes (7.44). Comessa configuracao adotada, vimos que foi produzido um campo magnetico efetivo uniformeparalelo ao eixo de simetria do defeito topologico que chamamos de campo magnetico efe-tivo Aharonov-Casher. Por fim, trabalhamos a equacao de Schrodinger-Pauli e vimos aque tanto curvatura quanto a presenca da torcao do defeito escolhido influenciaram aquantizacao de Landau para partıculas neutras fazendo com que houvesse a quebra dadegenerescencia dos nıveis de energia [176].

8.2 Quantizacao Nao-Relativıstica de Landau em Ref-

erenciais Girantes e na presenca de um Defeito

Topologico

Vimos no capıtulo 5 que efeitos nao-inerciais provindos de referenciais girantes e naogirantes (referencias transportados por Fermi-Walker) podem ser detectados em efeitos deinterferencia de partıculas neutras com momento de dipolo magnetico permanente, mesmosem haver torque sobre o momento de dipolo da partıcula neutra. Nesta secao iremosmostrar que a quantizacao de Landau para partıculas neutras, nos moldes estabelecidos


por M. Ericsson e S. Sjoqvist [167], e possıvel tambem em referenciais girantes e napresenca de um defeito topologico. Nossa intencao e observar a influencia de efeitos nao-inerciais na quantizacao de Landau nao-relativıstica para partıcula neutras na presencade um defeito topologico linear.

Para estudarmos a quantizacao de Landau nao-relativıstica para partıculas neutrascom momento de dipolo magnetico permanente na presenca de um defeito topologico, de-vemos tomar o mesmo procedimento realizado no capıtulo 5 quando estudamos a dinamicaquantica nao-relativıstica para uma partıcula neutra. O elemento de linha que trabalhare-mos nessa secao sera o de uma corda cosmica (5.1)

ds2 = −dT 2 + dR2 + η2R2dΦ2 + dZ2, (8.22)

onde devemos lembrar que a parte espacial de (8.22) correponde a uma desclinacao nadescricao de Volterra para defeitos em cristais. Inicialmente iremos considerar que noreferencial de repouso dos observadores, o campo eletrico seja

ERrf =

λR

2. (8.23)

Fazendo a transformacao de coordenadas (5.2) e tomando os referenciais locais dadosna expressao (5.5), com E1 = e1

RERrf = λR/2, a configuracao de campos nos referenciais

girantes passam a ser

Eρ = eρ1E1 =

1√1− β2

λρ

2, (8.24)

onde fizemos a troca R → ρ. Vemos claramente que nao ha torque sobre o momento dedipolo da partıcula neutra com a configuracao de campos (8.24), logo a quantizacao deLandau para partıculas neutras estabelecida em [167] e perfeitamente possıvel. Porem,a quantizacao de Landau para partıculas neutras com momento de dipolo magneticopermanente como estabelicido em [167] nao e possıvel quando os referenciais locais dosobservadores sao transportados por Fermi-Walker (5.41) porque havera torque sobre o mo-mento de dipolo da partıcula neutra2. Assim, iremos focar apenas a influencia dos efeitosnao-inercias sobre a quantizacao nao-relativıstica de Landau para partıculas neutras nosreferenciais girantes (5.5).

Com a condicao de ausencia de torque sobre o momento de dipolo satisfeita, pode-mos tambem ver que a condicoes da eletrostatica tambem sao satisfeitas para a con-figuracao de campos (8.24). Desse modo, temos duas das condicoes estabelecidas em[167] satisfeitas, restando apenas uma para discutirmos. A ultima condicao e que haja

um campo magnetico efetivo ~BAC uniforme. Vimos na secao 5.2, que na Hamiltoniananao-relativıstica ha um vetor ~Ξ cujas componentes sao dadas pela expressao (5.30)

Ξk = µ(~σ × ~E

)k− 1

2ρσ3 δk2 −mAk −

1

2(~σ × ~ε)k , (8.25)

2Para ver que ha torque sobre o momento de dipolo da partıcula neutra, basta escrever primeiro a

configuracao de campos no referencial transportado por Fermi-Walker (5.41) e verificar que surge um

campo magnetico nao uniforme ao longo do eixo de simetria do defeito que ira produzir torque sobre o

momento de dipolo.


onde as componentes nao-nulas do 4-vetor Aµ e do vetor ~ε foram definidas em (5.31) como

A0 = −1

2ω2η2ρ2; Aϕ = ω; ερ = ω2η2ρ. (8.26)

Desse modo, sendo o campo magnetico efetivo dado por ~BAC = ~∇ × ~Ξ, teremos aosubstituir o campo eletrico (8.24) em (8.25) que

~BAC = ~∇× ~Ξ =(µλσ3 − 2mωη − ω2η2 σ3

)z, (8.27)

ou seja, temos um campo magnetico efetivo uniforme ao longo do eixo de simetria dodefeito topologico. Portanto, com a configuracao de campos (8.24) dada nos referenciaisgirantes (5.5), obtemos todas as condicoes estabelecidas em [167] para a quantizacao deLandau para partıculas neutras.

Partiremos agora para a obtencao dos nıveis de Landau que surgem na dinamicaquantica nao-relativıstica da partıcula neutra em referenciais girantes. Fazendo o mesmoprocedimento feito na secao 5.2 para obter o limite nao-relativıstico da equacao de Dirac3,a equacao de Schrodinger-Pauli em referenciais girantes e na presenca de uma desclinacaoe [177]

i∂φ

∂t= − 1

2m

[∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂

∂ρ+

1

η2ρ2

∂2

∂ϕ2+

∂2

∂z2− 2ω2 ∂

2

∂ϕ2

]φ− i µλ

2m

σ3

η

∂φ

∂ϕ+

i

2m

σ3

ηρ2

∂φ

∂ϕ(8.28)

+µλ

4mφ+

1

8mρ2φ+

µ2λ2

8mρ2 φ+ iω

∂φ

∂ϕ− µλ

2ωηρ2 σ3φ+

ω2η2

8mφ+O

(ω2ρ2

).

Podemos ver que φ e autofuncao de σ3, cujos autovalores sao s = ±1. Assim, comφ = (φ+ φ−)T , podemos escrever as equacoes para φ+ e φ− numa forma mais compactacomo σ3φs = sφs. Desta maneira, poderemos escrever a solucao da equacao de Schodiger-Pauli (8.28) na forma

φs = e−iEt ei(l+12)ϕ eikz Rs (ρ) . (8.29)

Entao, substituindo a solucao (8.29) na equacao diferencial de segunda ordem (8.28),obteremos a seguinte equacao radial

E Rs = − 1

2m

(dR2

s

dρ2+

1

ρ

dRs

dρ

)+

1

2m

ζ2s

η2ρ2Rs + s

µλ

2m

ζsηRs +

µλ

2mRs −

ω2ζ2s

mRs

(8.30)

− sω2η

mζsRs +

ω2η2

8mRs +

µ2λ2

8mδ2s ρ

2Rs − ω(l +

1

2

)Rs,

onde definimos os seguintes parametros

ζs = l +1

2(1− s) +

s

2(1− η) ; δ2

s = 1− 4smωη

µλ. (8.31)

3Primeiro escrevemos o campo eletrico (8.24) na equacao de Dirac (5.22) e, em seguida, tomamos o

mesmo procedimento feito entre as equacoes (5.24) e (5.28) para obter o limite nao-relativıstico.


Contudo, como nao ha torque sobre o momento de dipolo da partıcula neutra, podemostomar k = 0 na equacao (8.30). Agora, considerando a mudanca de variaveis

ξ =µλδs

2ρ2, (8.32)

entao a equacao (8.30) torna-se

ξd2Rs

dξ2+dRs

dξ− ζ2

s

4η2ξRs −

ξ

4Rs + βsRs = 0, (8.33)

onde o novo parametro βs escrito na equacao (8.33) e

βs =m

µλδs

[E + ω (l + 1/2)− µλ

2m− s µλ

2m

ζsη

+ω2ζ2

s

m+ s

ω2η

mζs −

ω2η2

8m

]. (8.34)

A solucao para a equacao diferencial de segunda ordem (8.33) e dada na seguinte forma

Rs (ξ) = e−ξ2 ξ|ζs|2η Fs (ξ) . (8.35)

Portanto, substituindo (8.35) na equacao diferencial de segunda ordem (8.33), obteremos

ξd2Fsdξ2

+

[|ζs|η

+ 1− ξ]dFsdξ

+

[βs −

|ζs|2η− 1

2

]Fs = 0, (8.36)

que e a equacao hipergeometrica confluente Fs (ξ) = F[−(βs − |ζs|2η

− 12

), |ζs|η

+ 1, ξ].

Para que a funcao de onda (8.35) seja normalizavel, devemos impor a condicao que o

parametro −(βs − |ζs|2η

− 12

)seja igual a um numero inteiro negativo, −n, transformando

entao a serie hipergeometrica em um polinomio. Dessa forma, teremos

n = βs −|ζs|2η− 1

2, (8.37)

que ao usarmos as expressoes (8.31) e (8.34) obteremos

En,l =µλ

m

√1− 4s

mωη

µλ

(n+|ζs|2η

+1

2

)+ s

µλ

m

ζs2η

+µλ

2m− ω2ζ2

s

m− sω

2η

mζs

+ω2η2

8m− ω (l + 1/2) (8.38)

que sao os nıveis de energia correnpondentes a quantizacao de Landau para partıculasneutras com momento de dipolo magnetico permanente iteragindo com um campo eletricoexternso na presenca de uma desclinacao em referenciais girantes [177]. E facil verificar quetomando ω → 0, recuperamos a expressao para a quantizacao de Landau para partıculasneutras na presenca de uma desclinacao em um referencial inercial dada na expressao(8.20)

En,l =µλ

m

(n+|ζs|2η

+ sζs2η

+ 1

). (8.39)


Da mesma maneira que em um referencial inercial, a presenca do defeito topologico nosnıveis de energia quebra a degenerescencia infinita caracterıstica dos nıveis de Landau. Ainfluencia dos efeitos nao-inerciais nos nıvies de Landau e dada pelo surgimento de quatronovos termos na expressao (8.38) quando comparamos com a expressao no referncialinercial (8.39) e pela mudanca na frequencia do cıclotron. A frequencia do cıclotron nosreferenciais girantes passa a ser [177]

$AC =µλ

m

√1− 4s

mωη

µλ, (8.40)

onde podemos notar tambem que, devido ao efeitos nao-inercias, o defeito topologico faz-se presente na expressao da frequencia do cıclotron. Contudo, tomando ω = 0, vemosfacilmente que a frequecia do cıclotron passa a ser ωAC = µλ/m como dada em (8.39) emrefernciais inerciais.

Um fato interessante e que os efeitos nao-inercias nao quebram a degenerescenciainfinita dos nıveis de Landau [177]. Para verificarmos essa afirmacao basta tomarmos olimite η → 1 na expressao (8.38) para os nıves de energia e obter

En,l =µλ

m

√1− 4s

mω

µλ

(n+

∣∣l + 12

(1− s)∣∣

2+

1

2

)+ s

µλ

2m

[l +

1

2(1− s)

]+µλ

2m

− ω2

m

[l +

1

2(1− s)

]2

− sω2

m

[l +

1

2(1− s)

]+ω2

8m− ω (l + 1/2) , (8.41)

onde podemos ver que para cada valor de n temos infinitos valores para o numero quanticol [177]. Portanto, apenas a presenca de um defeito topologico quebra a degenerescenciainfinita dos nıveis de Landau. Temos ainda nesse limite que a frequencia do cıclotron(8.40) fica [177]

$′AC =µλ

m

√1− 4s

mω

µλ. (8.42)

Portanto, nesta secao estudamos a quantizacao de Landau para partıculas neutras commomento de dipolo magnetico permanente que interagia com um campo eletrico externopresenca de uma desclinacao em referenciais girantes. Vimos que os efeitos nao-inerciaisfornecidos pelo referencial forneceu uma nova expressao para a frequencia do cıclotron enovos termos para os nıveis de energia sem quebrar a degenerescencia infinita dos nıveisde energia caracterıstica da quantizacao de Landau [177]. A quebra da degenerescenciainfinita dos nıveis de Landau, em referenciais girantes, foi dada pelo presenca do defeitotopologico de forma identica ao obtido na secao anterior quando os referencias eraminerciais.

Capıtulo 9

Quantizacao Relativıstica de Landau

Neste capıtulo iremos trabalhar a quantizacao relativıstica de Landau para partıculasneutras com momento de dipolo magnetico permanente interagindo com um campo eletricoexterno no espaco-tempo de Minkowisky e, em seguida, no espaco-tempo da delocacaocosmica. Nossa intencao e observar se no regime relativıstico surge a quantizacao de Lan-dau para partıculas neutra, apresentando, por exemplo, a caracterıtica da degenerescenciainfinita dos nıveis de energia. Para este estudo, a configuracao de campos queiremos adotar no regime relativıstico deve satisfazer as mesmas condicoes im-postas na referencia [167] e trabahada no capıtulo anterior para a dinamica quanticanao-relativıstica da partıcula neutra. Iremos estudar a quantizacao relativıstica de Landauno espaco-tempo Minkowisky com duas configuracoes de campos distintas: a primeira seradada pelo gauge de Landau e a segunda pelo gauge simetrico. Estudaremos a quantizacaorelativıstica de Landau no espaco-tempo da deslocacao cosmica considerando apenas ogauge simetrico.

9.1 Quantizacao Relativıstica de Landau no Espaco-

Tempo de Minkowisky no Gauge de Landau

Nesta secao, iremos estudar a quantizacao relativıstica de Landau para uma partıculaneutra com momento de dipolo magnetico permanente no espaco -tempo de Minkowiskyonde a configuracao inicial de campos que iremos adotar sera dada no conhecido gaugede Landau. A configuracao do campo eletrico neste gauge fica sendo dada por

~E = λ (x, 0, 0) , (9.1)

com λ sendo uma constante. Devemos observar que essa configuracao de campos obedeceas condicoes impostas em [167]. Dessa forma, a equacao de Dirac nessa configuracao decampos deve ser escrita como [178]

iγ0∂ψ

∂t+ iγ1

(∂

∂x− µAAC

x

)ψ + iγ2∂ψ

∂y+ iγ3∂ψ

∂z−mψ, (9.2)

122

CAPITULO 9. QUANTIZACAO RELATIVISTICA DE LANDAU 123

onde definimos o campo de gauge AACx = λx β. Observemos que a configuracao de

campos (9.1) produz um potencial vetor de Aharonov-Casher para os nıveis de Landau eum campo magnetico efetivo

~BAC = ~∇× ~AAC = µλ z. (9.3)

Podemos escrever a equacao de Dirac (9.2) na seguite forma

i∂ψ

∂t= H ψ, (9.4)

onde a Hamiltoniana da equacao (9.4) e escrita na forma

H = −iγ0γ1

(∂

∂x− µAACx

)− iγ0γ2 ∂

∂y− iγ0γ3 ∂

∂z+mγ0. (9.5)

Vamos considerar que a solucao da equacao de Dirac (9.2) e dada na forma

ψ = e−iEt(φχ

). (9.6)

Entao, subtituindo (9.6) em (9.2) obteremos duas equacoes acopladas para φ e χ, onde aprimeira equacao acoplada e

(E −m)φ = ~σ · ~pχ− iµλ x σ1χ, (9.7)

enquanto que a segunda equacao acoplada e

(E +m)χ = ~σ · ~pφ+ iµλ x σ1φ. (9.8)

Eliminando χ na equacao (9.8) e considerando que o momento de dipolo magnetico dapartıcula neutra esta alinhado com o eixo-z, teremos a seguinte equacao diferencial desegunda ordem(

E2 −m2)φ =

(px

2 + py2 + pz

2)φ+ µλφ+ 2µλxσ3 pyφ+ µ2λ2 x2φ. (9.9)

Podemos ver que φ e autofuncao de σ3, cujo autovalores sao s = ±1, isto e, sendoφ = (φ+ φ−)T temos que σ3φ+ = φ+ e σ3φ− = −φ−. Assim, com a finalidade de resolver aequacao (9.9) para φ+ e φ−, vamos escrever estas componentes em uma forma compacta φsonde σ3φs = s φs. Podemos ver tambem que a equacao (9.9) nao depende das coordendasϕ e z, logo, podemos escrever as solucoes da equacao (9.9) em funcao dos autovalores dosoperadores py = −i∂y e pz = −i∂z. Dessa forma, iremos escrever a solucao para a equacaodiferencial de segunda ordem como

φs = C eipyy eikz ζs (x) , (9.10)

onde py e k sao constantes e C e um spinor constante. Substituindo a solucao (9.10) naequacao (9.9) teremos

(E2 −m2 − k2 − µλ

)ζs (x) =

[p2x + µ2λ2

(x± py

µλ

)2]ζs (x) , (9.11)


com a lado direito da equacao (9.11) sendo analogo a Hamiltoniana de um osciladorharmonico unidimensional com seu mınimo localizado em x0 = ∓ py

µλ. Portanto, os nıveis

de energia relativısticos para a partıcula neutra com momento de dipolo magnetico per-manente interagindo com o campo eletrico (9.1) serao [178]

E2ν = m2 + k2 + 2µλ

(ν +

1

2

)+ µλ, (9.12)

onde ν = 0, 1, 2, 3, .... Podemos ver que os nıveis de energia nao dependem de dos au-tovalores py, o que nos mostra que esses nıveis de energia tem degenerescencia infinita.Portanto, os nıveis de energia relativısticos obtidos na expressao (9.12) sao os nıveis deLandau relativısticos para um partıcula neutra com momento de dipolo magnetico per-manente interagindo com uma configuracao de campos estabelecida pelo gauge de Landau[178]. As autofuncoes da equacao diferencial de segunda ordem serao

φs (x, y, z) = Ceipyy eikz ζs

(x± py

µλ

), (9.13)

com ζ±

(x± py

µλ

)= Hν(x± py

µλ) sendo os polinomios de Hermite. Para obtermos as solucoes

apropriadas da equacao de Dirac (9.2) devemos substituir a solucao (9.10) ou (9.13) naequacao (9.8). Dessa maneira, as solucoes da equacao (9.7) determinarao as componentesdo spinor de Dirac paralelas ao eixo-z, enquanto que a solucoes fornecidas pela equacao(9.8) serao as componentes do spinor de Dirac antiparalelas ao eixo-z. Portanto, assolucoes referentes a energias positivas da equacao de Dirac (9.2) serao [178]

ψ+ = C e−iEt eipyy eikz

Hν(x+ py

µλ)

0k

(E+m)Hν(x+ py

µλ)

ipy+iµλ x

(E+m)Hν(x+ py

µλ)− i 2ν

(E+m)Hν−1(x+ py

µλ)

, (9.14)

que sao as componentes paralelas ao eixo-z, enquanto que a componentes antiparelelas aoeixo-z serao

ψ− = C e−iEt eipyy eikz

0

Hν(x− pyµλ

)ipy+iµλ x

(E+m)Hν(x− py

µλ)− i 2ν

(E+m)Hν−1(x− py

µλ)

− k(E+m)

Hν(x− pyµλ

)

. (9.15)

A partir da expressao (9.12) podemos obter os nıveis de Landau analogos nao-relativısticosaplicando a expansao de Taylor. Para isso, vamos reescrever a expessao (9.12) na forma

Eν = m

√1 + 2

µλ

m2

(ν +

1

2

)+µλ

m2+k2

m2, (9.16)

que, ao expandirmos ate a primeira ordem, encontraremos

Eν = m+µλ

m

(ν +

1

2

)+µλ

2m+

k2

2m, (9.17)


onde o primeiro termos corresponde a massa de repouso da partıcula neutra e os ter-mos restantes correspondem aos nıveis de Landau analogos nao-relativısticos para umapartıcula neutra no gauge de Landau [178]. Vemos tambem que os nıveis de Landauanalogos nao-relativısiticos nao dependem do autovalor py, o que nos mostra tambemdegenerescencia infinita.

Portanto, vimos nesta secao que a interacao entre o momento de dipolo magneticoda partıcula neutra com o campo eletrico externo dado no gauge de Landau promovea quantizacao de Landau relativıstica para partıculas neutras, onde os nıveis de energiatem degenerescenia infinita [178]. Vimos tambem que, aplicando a expansao de Taylor,pudemos recuperar os nıveis de energia correspondentes a quantizacao nao-relativıtica deLandau dada no gauge de Landau.

9.2 Quantizacao Relativıstica de Landau no Espaco-

Tempo Plano no Gauge Simetrico

Nesta secao iremos trabalhar a quantizacao de Landau para partıculas neutras commomento de dipolo permanente no espaco-tempo plano interagindo com o campo eletricoexterno sendo dado no gauge simetrico. Nesse gauge, o campo eletrico externo sera dadopor

~E =λ

2(x, y, 0) , (9.18)

com λ sendo uma densidade linear de carga e com x e y podemos ser medidos em relacaoao eixo de simetria de um cilindro. Novamente podemos observar que essa configuracaode campos obedece as condicoes impostas em [167]. Tomando novamente Ψ = e−iEt ψ (x)e a configuracao de campos (9.18). a equacao de Dirac fica

iγ0∂ψ

∂t+ iγ1

(∂

∂x− µAAC

x

)ψ + iγ2

(∂

∂y− µAAC

y

)ψ + iγ3 ∂

∂zψ −mψ = 0, (9.19)

onde definimos as componentes do vetor AACx = λ

2x β e AAC

y = λ2y β que atuam como um

potencial vetor de Aharonov-Casher. Esse potencial vetor produz um campo magneticoefetivo

~BAC = ~∇× ~AAC = µλ z. (9.20)

Usando a simetria cilındrica do problema, podemos reescrever a equacao de Dirac(9.19) em coordenadas curvilıneas. Neste caso, podemos fazer a tranformacao de coor-denadas x = ρ cosϕ and y = ρ sinϕ e usar a mesma formulacao adotada para estudara equacao de Dirac no espalo-tempo curvo com fizemos nos capıtulos 3, 4 e 5. Assim,vamos escrever a equacao de Dirac (9.19) na forma

iγ0∂ψ

∂t+ iγ1∂ψ

∂ρ+ i

γ2

ρ

∂ψ

∂ϕ+ iγ3∂ψ

∂z+

1

2ργ1 ψ + i

µλ

2ρ α1 ψ −mψ = 0, (9.21)


onde as matrizes γ0, γ1, γ2, γ3 sao as matrizes de Dirac no espaco-tempo de Minkowisky,identicas as que definimos nos capıtulos 2, 3, 4 e 5 nos referenciais locias dos observadores.O termo 1

2ργ1 aparece na equacao acima devido a termos uma conexao spinorial Γµ nao-

nula em coordenadas curvilıneas, de forma identica ao que vimos nos capıtulos 3, 4 e 5.Agora, iremos escrever a equacao de Dirac (9.21) na forma

i∂ψ

∂t= Hψ, (9.22)

com a Hamiltoniana da equacao acima sendo dada por

H = −iγ0γi∂iψ −1

2ργ0γ1 − iµλ

2ρ γ0α1 +mγ0. (9.23)

Vamos, entao, tomar a solucao da equacao de Dirac (9.21) ou (9.22) na forma adotadaem (9.6)

ψ = e−iEt(φχ

). (9.24)

Substituindo (9.24) na equacao de Dirac (9.21) ou (9.22) obteremos duas equacoes acopladaspara φ e χ, sendo a primeira equacao acoplada dada por

(E −m)φ = −iσi ∂iχ− iσ1

2ρχ− iµλ

2ρ σ1 χ, (9.25)

enquanto que a segunda equacao acoplada fica sendo

(E +m)χ = −iσi ∂iφ− iσ1

2ρφ+ i

µλ

2ρ σ1 φ. (9.26)

Eliminando χ em (9.26) e considerando que o momento de dipolo da partıcula neutra estaalinhado com o eixo-z, encontraremos a seguinte equacao diferencial de segunda ordempara φ (

E2 −m2)φ = −∂

2φ

∂ρ2− 1

ρ

∂φ

∂ρ− 1

ρ2

∂2φ

∂ϕ2− ∂2φ

∂z2+µλ

2φ+ i

σ3

ρ2

∂φ

∂ϕ+

1

4ρ2φ

(9.27)

− iµλ σ3 ∂φ

∂ϕ+µ2λ2

4ρ2 φ.

Podemos ver que φ e autofuncao de σ3, cujos autovalores sao s = ±1, logo podemosescrever φ como

φ (x) =

(φ+ (x)φ− (x)

), (9.28)

onde σ3φ+ = φ+ e σ3φ− = −φ−. Com a finalidade de resolver a equacao (9.27) tanto paraφ+ quanto para φ−, iremos escrever estas componentes em uma forma compacta φs, ondeσ3 φs = s φs. Dessa maneira, vamos tomar as solucoes da equacao diferencial de segundaordem (9.27) na forma

φs (x) = C ei(l+12)ϕ eikz Rs (ρ) (9.29)


onde k e uma constante, C e um spinor constante e l e um numero inteiro. Portanto,substituindo (9.29) na equacao diferencial de segunda ordem (9.27), obteremos[

d2

dρ2+

1

ρ

d

dρ− ξ2

s

ρ2− µ2λ2

4ρ2 − sµλ ξs − µλ+

(E2 −m2 − k2

)]Rs (ρ) = 0 (9.30)

onde definimos o parametro ξs = l+ 12

(1− s). Agora, fazendo uma mudanca de variaveisdo tipo

τ =µλ

2ρ2, (9.31)

a equacao (9.29) ficara[τd2

dτ 2+

d

dτ+

(βs −

ξ2s

4τ− τ

4

)]Rs (τ) = 0, (9.32)

onde o parametro βs e escrito como

βs =1

2µλ

(E2 −m2 − k2

)− s l

2− 1

4(1 + s) . (9.33)

A solucao da equacao (9.32) tem a forma

Rs (τ) = e−τ2 τ

|ξs|2 Fs (τ) . (9.34)

Substituindo (9.34) em (9.32), obteremos a equacao

τd2Fsdτ 2

+ (|ξs|+ 1− τ)dFsdτ

+

(βs −

|ξs|2− 1

2

)Fs = 0, (9.35)

onde temos que a equacao (9.35) e a equacao para uma funcao hipergeometrica confluente

Fs (τ) = Fs

(−[βs − |ξs|2

− 12

], |ξs|+ 1; τ

). Seguindo a discussao sobre a normalizacao da

funcao de onda feita nas equacoes (8.17) e (8.18) no capıtulo anterior, os nıveis de energiarelativısticos que correspondem ao analogo relativıstico dos nıveis de Landau para umapartıcula neutra com momento de dipolo magnetico permanente serao [178]

E2n = m2 + k2 + 2µλ

(n+|ξs|2

+ξs2

+ 1

), (9.36)

onde n = 0, 1, 2, 3, . . . e ξs = l + 12

(1− s). Podemos ver facilmente na expressao (9.36)que os nıveis de Landau relativısticos para uma partıcula neutra possuem degenerescenciainfinita como no caso anterior para o gauge de Landau [178]. As autofuncoes radiais serao

Rn,l (ρ) =

(µλ

2

) |ξs|2

e−µλ4ρ2 ρξs F

(−n, |ξs|+ 1;

µλ

2ρ2

). (9.37)

Substituindo (9.37) em (9.29) obteremos as solucoes para a equacao diferencial desegunda ordem (9.27), porem, em geral nao sao solucoes da equacao de Dirac (9.21).Para obtermos as solucoes da equacao de Dirac (9.21), a solucao (9.27) deve ser solucaodas equacoes acopladas (9.25) e (9.26). Sendo χs = (χ+ χ−)T , se quisermos obter as


componentes do spinor de Dirac paralelas ao eixo-z do espaco-tempo devemos considerars = +1 e φ− = 0 na equacao (9.26). Desse modo, teremos

ψ+ = C f+ F

(−n, |l|+ 1;

µλ

2ρ2

)10k

(E+m)

i(E+m)

(µλρ− |l|

ρ+ l

ρ

)

(9.38)

+ C f+i n µλρ

(E +m) (|l|+ 1)F

(−n+ 1, |l|+ 2;

µλ

2ρ2

)0001

.

Para obtermos as componentes do spinor de Dirac antiparalelas ao eixo-z do espaco-tempo,devemos considerar s = −1 e φ+=0 na equacao (9.26). Assim,

ψ− = C f− F

(−n, |l + 1|+ 1;

µλ

2ρ2

)01

i(E+m)

(µλρ− |l+1|

ρ− l+1

ρ

)− k

(E+m)

(9.39)

+ C f−i n µλρ

(E +m) (|l + 1|+ 1)F

(−n+ 1, |l + 1|+ 2;

µλ

2ρ2

)0010

,

onde definimos

fs = e−iEt ei(l+1/2)ϕ eikz(µλ

2

) |ξs|2

e−µλ4ρ2 ρ|ξs|. (9.40)

Neste momento, vamos analisar o limite nao-relativıstico dos nıveis de Landau rela-tivısticos usando a expansao de Taylor. Para isso, iremos reescrever a expesssao (9.36)como

En = m

√1 +

2µλ

m2

(n+|ξs|2

+ sξs2

+ 1

)+k2

m2, (9.41)

Aplicando, entao, a expansao de Taylor ate primeira ordem, obteremos

En ≈ m+µλ

m

[n+|ξs|2

+ sξs2

+ 1

]+

k2

2m, (9.42)

onde o primeiro termo do lado direito da expressao (9.41) corresponde a massa de re-pouso da partıcula neutra e os termos restantes correspondem aos nıveis nao-relativısticosanalogos aos nıveis de Landau para uma partıcula neutra com momento de dipolo magneticopermanente [178]. Podemos ver claramente que os nıveis de energia nao-relativısticos


(9.42) possuem uma degenerescencia infinita e concordam com os resultados obtidos em[167].

Portanto, vimos nesta secao que a interacao entre o momento de dipolo magneticopermanente da partıcula neutra com um campo eletrico externo dado no gauge simetricopromove a quantizacao relativıstica de Landau para partıculas neutras, onde os nıveisde energia sao infinitamente degenerados [178]. Vimos tambem que, com a aplicacao daexpansao de Taylor, podemos recuperar os nıves de energia correspondentes a quantizacaode Landau nao-relativıstica, onde estes tambem sao infinitamente degenerados.

9.3 Quantizacao Relativıstica de Landau na Presenca

de Defeitos Topologicos

Nesta secao iremos estudar a quantizacao relativıstica de Landau para partıculas neu-tras com momento de dipolo magnetico permanente interagindo com um campo eletricoexterno no espaco-tempo da despiracao cosmica. Nossa intencao e observar se a quan-tizacao relativısitca de Landau para particıculas neutras e possıvel diante de um espaco-tempo curvo e na presenca de torcao e se a caracterıstica da degenerescencia infinita dosnıveis de energia e mantida. O elemento de linha do defeito topologico escolhido e omesmo da expressao (8.1), ou seja,

ds2 = −dt2 + dρ2 + η2ρ2dϕ2 + (dz + χdϕ)2 . (9.43)

A configuracao do campo eletrico externo sera dado no gauge simetrico, onde o campoeletrico e

~E =λ ρ

2ρ, (9.44)

com λ sendo uma distribuicao linear de carga e onde podemos ver que as condicoes decampo estabelecidas em [167] sao satisfeitas, pois sendo ~AAC = γ0 ~E, e produzido umcampo magnetico efetivo

~BAC = ~∇× ~AAC = µλ z. (9.45)

Como ja discutido nos capıtulos 1 a 4, os spinores devem ser definidos localmenteno espaco-tempo curvo e na presenca de torcao para que estes sejam transformados viatransformacoes locais de Lorentz. Dessa maneira, tomando os referenciais locais definidosnas expressoes (4.3) e (4.4), vamos reescrever a equacao de Dirac (4.15) com a configuracaode campos (9.44), logo

iγt∂Ψ

∂t+ iγρ

[∂

∂ρ− 1

2

(1− η)

ηρ− µλ

2ρ γ0

]Ψ + i

γϕ

ηρ

[∂

∂ϕ− χ ∂

∂z

]Ψ + iγz

∂Ψ

∂z= mΨ,(9.46)

onde usamos a mesma definicao da matrizes γµ dadas em (4.17). Vamos, entao, tomaruma solucao da equacao (9.46) do tipo

Ψ = e−iEt(φυ

). (9.47)


Substitundo (9.47) na equacao de Dirac (9.46) obteremos duas equacoes acopladas paraφ e υ, onde a primeira equacao acoplada sera

(E −m)φ =

[−iσρ ∂

∂ρ− iσ

ϕ

ηρ

(∂

∂ϕ− χ ∂

∂z

)− iσz ∂

∂z+i

2

(1− η)

ηρσρ − iµλ

2ρ σρ

]υ,(9.48)

enquanto que a segunda equacao acoplada sera

(E +m) υ =

[−iσρ ∂

∂ρ− iσ

ϕ

ηρ

(∂

∂ϕ− χ ∂

∂z

)− iσz ∂

∂z+i

2

(1− η)

ηρσρ + i

µλ

2ρ σρ

]φ,(9.49)

onde chamamos as matrizes ~σ nas equacoes (9.48) e (9.49) como

σρ = cosϕσ1 + sinϕσ2 ; σϕ = − sinϕσ1 + cosϕσ2 ; σz = σ3. (9.50)

Portanto, eliminando υ na equacao (9.49) e considerando que o momento de dipolomagnetico da partıcula neutra esta alinhando com o eixo-z do espaco-tempo, obteremosa seguinte equacao diferencial de segunda ordem

(E2 −m2

)φ = −∂

2φ

∂t− 1

ρ

∂φ

∂ρ− 1

η2ρ2

(∂

∂ϕ− χ ∂

∂z

)2

φ− ∂2φ

∂z2− iσ3 µλ

η

(∂

∂ϕ− χ ∂

∂z

)φ

(9.51)

− iσ3 (1− η)

η2ρ2

(∂

∂ϕ− χ ∂

∂z

)φ+

1

4

(1− η)2

η2ρ2φ+

µλ

2φ+

µλ

2ηφ+

µ2λ2

4ρ2φ.

Podemos ver que φ e autofuncao de σ3 com autovalores sendo s = ±1, logo, podemosescrever novamente

φ (x) =

(φ+ (x)φ− (x)

), (9.52)

onde σ3φ+ = φ+ e σ3φ− = −φ−. Com a finalidade de resolver a equacao (9.51) tanto paraφ+ quanto para φ−, iremos escrever estas componentes em uma forma compacta φs, ondeσ3 φs = s φs. Vemos tambem que a equacao (9.51) nao depende das coordenadas ϕ e z,logo, podemos escrever a solucao para a equacao diferencial de segunda ordem (9.51) emfuncao dos autovalores dos operadore Jz − i∂ϕ + σ3

2e pz = −i∂z. Desta maneira, vamos

tomar as solucoes de (9.51) na forma

φs (ρ, ϕ, z) = C ei(l+ 1

2−σ

3

2

)ϕeikz Rs (ρ) , (9.53)

onde l = 0,±1,±2, ..., k e uma constante e C e a amplitude do spinor constante. Substi-tuindo (9.53) em (9.51), obteremos

d2

dρ2Rs (ρ) +

1

ρ

d

dρRs (ρ)− ζ2

s

η2ρ2Rs (ρ)− µ2λ2

4ρ2Rs (ρ)

(9.54)

+

(E2 −m2 − k2 − sµλ

ηζs − µλ

)Rs (ρ) = 0,

onde definimos o parametro

ζs = (l − χk) +s

2(1− η) +

1

2(1− s) . (9.55)


Neste momento, faremos uma mudanca de variaveis

τ =µλ

2ρ2, (9.56)

logo, a equacao (9.54) tornar-se-a[τd2

dτ 2+

d

dτ+

(βs −

ζ2s

4η2τ− τ

4

)]Rs (τ) = 0, (9.57)

com o parametro βs sendo dado por

βs =1

2µλ

(E2 −m2 − k2

)− s ζs

2η− 1

2. (9.58)

A solucao da equacao radial (9.57) e dada na forma

Rs (τ) = e−τ2 τ

|ζ|2η Fs (τ) , (9.59)

e substituindo (9.59) em (9.57), obteremos

τd2Fsdτ 2

+

(|ζs|η

+ 1− τ)dFsdτ

+

(βs −

|ζs|2η− 1

2

)Fs = 0, (9.60)

onde a equacao (9.60) e a equacao para uma funcao hipergeometrica confluente, ou seja,

Fs (τ) = F(−[βs − |ζs|2η

− 12

], |ζ|η

+ 1; τ)

. Seguindo, novamente, a discussao sobre a nor-

malizacao da funcao de onda feita nas equacoes (8.17) e (8.18) do capıtulo anterior, osnıveis de energia relativısticos que correspondem ao analogo relativıstico dos nıveis deLandau para uma partıcula neutra com momento de dipolo magnetico permanente serao[179]

E2n = m2 + k2 + 2µλ

[n+|ζs|2η

+ sζs2η

+ 1

], (9.61)

onde n = 0, 1, 2, . . . e ζs e dado em (9.55). Podemos ver que a presenca do defeitotopologico na expessao para os nıveis de Landau relatıvisticos quebra a degenerescenciainfinita obtida no espaco-tempo de Minkowisky [179], como mostrado na secao anterior.Podemos observar que no limite η → 1, os nıveis de Landau relativısticos (9.61) saodefinidos no espaco-tempo plano, mas na presenca de torcao [179]

E2n = m2 + k2 + 2µλ

(n+

∣∣l − χk + 12

(1− s)∣∣

2η+

(l − χk + 1

2(1− s)

)2η

+ 1

), (9.62)

onde temos que a degenerescencia infinita dos nıveis de Landau e quebrada devido apresenca da torcao, mostrada pela presenca do parametro χ. Agora, se considerarmosχ = 0 e η 6= 1, os nıveis de Landau relativısticos serao dados no espaco-tempo comcurvatura nao-nula e na ausencia de torcao [179]

E2n = m2 + k2 + 2µλ

(n+

∣∣l + s2

(1− η) + 12

(1− s)∣∣

2η+l + s

2(1− η) + 1

2(1− s)

2η+ 1

).(9.63)


Novamente, a degenerescencia infinita e quebrada devido a presenca do parametro ηrelacionado com o deficit de angulo na expressao (9.63). Contudo, tomando o limiteη → 1 e χ = 0, teremos a ausencia do defeito e a degenerescencia infinita e recuperada,tendo a mesma expressao obtida em (9.36).

Para obtermos as solucoes da equacao de Dirac (9.46), devemos primeiro reecrever aexpressao (9.53) na forma

φs = C ei(l+ 1

2−σ

3

2

)ϕeikz

(µλ

2

) |ζs|2η

e−µλ4ρ2 ρ|ζs| F

(−n, |ζs|

η+ 1;

µλ

2ρ2

), (9.64)

onde as solucoes (9.64) deverao satisfazer as equacoes (9.48) e (9.49) para que tenhamosa expressao para a solucao da equacao de Dirac (9.46). Assim, sendo υs = (υ+ υ−)T naequacao (9.49), se quisermos obter as componentes do spinor de Dirac paralelas ao eixo-zdo espaco-tempo devemos considerar s = +1 e φ− = 0 na equacao (9.49). Dessa maneira,teremos

Ψ+ = f+ F

(−n, |ζ+|

η+ 1;

µλ

2ρ2

)10k

(E+m)

i eiϕ

(E+m)

(µλρ− |ζ+|

ηρ+ ζ+

ηρ

)

(9.65)

+ f+i eiϕ

(E +m)

nµλρ(|ζ+|η

+ 1)F (−n+ 1,

|ζ+|η

+ 2;µλ

2ρ2

)0001

.

Agora, para obtermos as componentes do spinor de Dirac antiparalelas ao eixo-z doespaco-tempo devemos considerar s = −1 e φ+ = 0 na equacao (9.49). Desse modo,

Ψ− = f− F

(−n, |ζ−|

η+ 1;

µλ

2ρ2

)01

i e−iϕ

(E+m)

(µλρ− |ζ−|

ηρ− ζ−

ηρ

)− k

(E+m)

(9.66)

+ f−i e−iϕ

(E +m)

nµλρ(|ζ−|η

+ 1)F (−n+ 1,

|ζ−|η

+ 2;µλ

2ρ2

)0010

,

e onde definimos o parametro fs em (9.65) and (9.66) como sendo

fs = C e−iEt ei(l+12− s

2)ϕ eikz(µλ

2

) |ζs|2η

e−µλ4ρ2 ρ|ζs|. (9.67)

Por fim, vamos analisar o limite nao-relativıstico dos nıveis de Landau relativısticosanalogos para uma partıcula neutra com momento de dipolo magnetico permanente. Va-mos entao reescrever a expressao (9.61) na forma

En = m

√1 + k2 + 2µλ

(n+|ζs|2η

+ζs2η

+ 1

), (9.68)


onde definimos o parametro ζs em (9.55). Aplicando a expansao de Taylor na expressao(9.68), ate primeira ordem, teremos

En ≈ m+k2

2m+µλ

mn+

µλ

m

∣∣(l − χk) + s2

(1− η) + 12

(1− s)∣∣

2η(9.69)

+µλ

m

[s

(l − χk + s

2(1− η) + 1

2(1− s)

)2η

+ 1

],

onde o primeiro termo do lado direito da expressao (9.69) corresponde a massa de repousoda partıcula neutra e os termos restantes constituem a expressao nao-relativıstica paraos nıveis de Landau analogos [179]. Podemos observar que a expressao para o limitenao-relativıstico do nıveis de Landau analogos dada em (9.69) recuperam os resultadosobtidos no capıtulo anterior, mais especificamente na expressao (8.19).

Portanto, estudamos nessa secao a quantizacao relativıstica de Landau para partıculasneutras diante de um espaco-tempo curvo e na presenca de torcao. A configuracao docampo externo que possibilitou essa quantizacao de Landau foi dada no gauge simetrico.Vimos que a presenca do defeito topologico quebrou a degenerescencia infinita dos nıveis deenergia de forma analoga ao caso nao-relativıstico [179]. Por fim, aplicamos a expansao deTaylor e recuperamos a expressao para os nıveis de energia da quantizacao de Landau nao-relativıstica para partıculas neutras que obtivemos no capıtulo anterior, onde a presencado defeito topologico linear faz com que a degerescencia infinita dos nıveis de energia sejaquebrada.

Conclusoes e Perspectivas

134


Esse trabalho foi estruturado em tres partes: na primeira parte, que compreende oscapıtulos de 1 a 5, estudamos o surgimento de fases geometricas quanticas para partıculasneutras com momentos de dipolo eletrico e magnetico permanentes interagindo com cam-pos magnetico e eletrico externos na presenca de defeitos topologicos; na segunda parte,que compreende os capıtulos 6 e 7 estudamos implementacao da computacao quanticaholonomica para partıculas neutras na presenca de defeitos topologicos e na terceira parteestudamos, capıtulos 8, 9 e 10, estudamos a quantizacao de Landau para partıculas neutrasna presenca de defeitos topologicos tanto relativisticamente quanto nao-relativisticamente.

No capıtulo 3 estudamos o surgimento de fases geometricas tanto na dinamica rela-tivıstica quando na dinamica nao-relativıstica de uma partıcula neutra com momentos dedipolo magnetico e eletrico permanentes no espaco-tempo da corda cosmica. Consider-amos tres configuracoes de campos interagindo com os momentos de dipolo magnetico:um campo eletrico radial, um campo magnetico azimutal e um campo magnetico uni-forme ao longo do eixo de simetria do defeito. Vimos que, tanto na dinamica relativısticaquanto na dinamica nao-relativıstica da partıcula neutra, a funcao de onda da partıculaneutra adquiriu contribuicoes independentes para a fase geometrica quantica provindasda topologia do defeito e da interacao entre o campos externos e o momento de dipolomagnetico. Consideramos tambem duas configuracoes de campos interagindo com o mo-mento de dipolo eletrico: um campo magnetico radial produzido por cargas magneticase um campo eletrico uniforme ao longo do eixo de simetria do defeito. Neste caso vi-mos que a funcao de onda da partıcula neutra adquiriu tambem contribuicoes indepen-dentes para a fase geometrica provindas tambem da topologia do defeito e da interacaoentre o momento de dipolo eletrico e os campo externos. Duas caracterısticas foramencontradas em todos o casos: todas as contribuicoes para fase foram nao-abelianas etodas essas contribuicoes nao dependiam da velocidade da partıcula neutra, ou seja, to-das as contribuicoes independentes foram nao-dispersivas. Dos resultados obtidos nestecapıtulo destacamos: obtivemos com a contribuicao para a fase dada pela topologia doespaco-tempo da corda cosmica o mesmo valor dado no efeito gravitacional analogo aoefeito Aharonov-Casher tanto relativisticamente quanto nao-relativisticamente; Obtive-mos uma generalizacao para a fase de Anandan tanto no caso relativıstico quanto nonao-relativıstico; na dinamica nao-relativıstica, obtivemos que a presenca da topologia dodefeito gerou efeitos analogos aos efeitos AC e HMW.

No capıtulo 4 estudamos o surgimento de fases geometricas para partıculas neutrasno espaco-tempo da despiracao cosmica e de uma dislocacao espiral. Nestes casos haviaa presenca de torcao no espaco-tempo. Primeiro consideramos o espaco-tempo da des-piracao cosmica onde duas configuracoes de campos interagia com o momento de dipolomagnetico e duas configuracoes de campos interagia com o momento de dipolo eletrico.Para a interacao com o momento de dipolo magnetico tomamos um campo eletrico radiale um campo mangetico uniforme ao longo do eixo de simetria do espaco-tempo e para ainteracao com o momento de dipolo eletrico tomando um campo magnetico radial pro-duzido por cargas magneticas e um campo eletrico uniforme ao longo do eixo de simetriado espaco-tempo. Obtivemos que a funcao de onda da partıcula neutra adquiriu seiscontribuicoes independentes para a fase geometrica tanto no caso relativıstico quanto nocaso nao-relativıstico, onde todas as contribuicoes foram nao-dispersivas e nao-abelianas.Dessas contribuicoes independentes, quatro foram geradas pela interacao entre os campoexternos e os momentos de dipolos, uma gerada pela curvatura do espaco-tempo e a uma


gerada pela presenca da torcao. As contribuicoes dadas pela interacao campo-dipolo ecurvatura sao as mesmas que obtivemos no capıtulo 3 no espaco-tempo da corda cosmica.Porem, a contribuicao gerada pela presenca de torcao nao so gerou um novo termo paraa fase como tambem apresentou um caracterıstica bem particular: o spin da partıculaneutra alinha-se com o eixo-2 dos referenciais locais dos observadores diferentemente doque obtivemos na interacao campo-dipolo e curvatura onde o spin alinha-se com o eixo-3. Devemos destacar que ao combinarmos quatro das seis contribuicoes independentes,obtivemos a generalizacao para a fase de Anandan na presenca de torcao tanto no casorelativıstico quanto no nao-relativıstico. Outro destaque sao os efeitos analogos aos efeitosAC e HMW onde obtivemos um novo termo dado pela presenca de torcao.

Quando consideramos o espaco-tempo de uma dislocacao espiral obtivemos o surg-imento de duas contribuicoes independentes para a fase geometrica. A primeira con-tribuicao foi gerada pela interacao entre um campo eletrico radial e o momento de dipolomagnetico permanente da partıcula neutra, onde esta contribuicao e nao-dispersiva e nao-abeliana. Porem, a presenca de torcao neste espaco-tempo gerou uma contribuicao parafase geometrica que e nao-dispersiva e abeliana. Devido a esta nova contribuicao serabelina, nao observamos efeitos analogos ao efeitos AC e HMW devido a estes terem fasesnao-abelianas.

No capıtulo 5 estudamos o surgimento de fases geometricas quando os referenciaislocais dos observadores eram girantes e quando referenciais locais do observadores eramtransportados por Fermi-Walker. Inicialmente construımos referenciais girantes para osobservadores de tal modo que a interacao entre um campo eletrico exteno e o momento dedipolo magnetico da partıcula neutra diante destes referenciais nao gerava torque sobreo momento de dipolo. Na dinamica quantica relativıstica da partıcula neutra, obtivemosquatro contribuicoes independentes para a fase geometrica relativıstica: uma dada pelatopologia do espaco-tempo da corda cosmica, outra dada pela interacao entre um campoeletrico exteno e o momento de dipolo magnetico da partıcula neutra e as outras duasdadas pelos efeitos da rotacao dos referenciais locais dos observadores. Nas contribuicoesdadas pelos efeitos nao-inerciais, obtivemos uma mudanca de fase devido ao acoplamentospin-rotacao e pela topologia do espaco-tempo enquanto que a outra mudanca de fase foidada pela interacao entre um campo eletrico efetivo e o momento de dipolo magnetico.Esta interacao entre o campo eletrico efetivo e o momento de dipolo e um efeito analogo aoefeito Aharonov-Casher em referenciais girantes. Vimos tambem que todas essas quatrocontribuicoes para a fase geometrica relativıstica sao nao-dispersivas e que no limite η → 1recuperamos resultados para a fase geometrica em referenciais girantes, mas no espaco-tempo plano.

Quando estudamos a dinamica quantica nao-relativıstica da partıcula neutra em ref-erenciais girantes e na presenca de um defeito topologico, obtivemos cinco contribuicoesindependentes para a fase geometrica e um efeito analogo ao efeito AC em refenciais gi-rantes. A primeira contribuicao para a fase geometrica foi dada pela topologia do defeitoque ainda forneceu um fluxo similar ao do efeito AC gravitacional. Na segunda con-tribuicao obtivemos uma mudanca de fase devido a interacao entre o momento de dipolomagnetico e o campo eletrico externo. Na terceira contribuicao obtivemos um efeitoanalgo ao efeito Sagnac. Na quarta contribuicao obtivemos uma mudanca de fase dadapela interacao entre o momento de dipolo magnetico e um campo eletrico efetivo geradopelos efeitos da rotacao dos referenciais locais dos observadores. A quinta contribuicaofoi dada pelo acoplamento spin-rotacao e pela topologia do defeito, que no limite η → 1


da-nos o efeito Mashhoon. Vimos que todas essas contriubicoes para a fase geometricasao nao-dipersivas e que quando consideramos uma distribuicao linear de cargas sobre oeixo de simetria do defeito temos um efeito analogo ao efeito AC em referenciais girantes.

Ainda no capıtulo 5 estudamos as dinamicas quanticas relativıstica e nao-relativısticada partıcula neutra quando os referenciais locais dos observadores foram transportadospor Fermi-Walker. Estudamos o surgimento de fases gemetricas em duas configuracoesde campos distintas: uma onde havia um campo eletrico radial e outra onde havia umcampo magnetico azimutal. Ambos os campos interagiam com o momento de dipolomagnetico da partıcula neutra na presenca de um defeito topologico. No caso relativısticovimos que a funcao de onda da partıcula neutra adquiriu tres contribuicoes independentespara a fase geometrica: uma dada pela topologia do espaco-tempo da corda cosmica,outra dada pela interacao entre os campos externos e o momento de dipolo magnetico dapartıcula neutra e outra dada pelos efeitos nao-inercias do referencial de Fermi-Walker quegerou uma mudanca de fase dada pelo acolplamento spin-rotacao. Observamos que todasas contribuicoes para a fase geometrica relativıstica sao nao-dispersivas e que nenhumefeito analogo ao efeito Sagnac foi obtido por causa da ausencia de efeitos de arrasto emreferenciais de Fermi-Walker. Em ambos os casos, vimos que a expressao para a fasegeometrica relativıstica coincidia com a expressao para a fase relativıstica de Anandan.

Estudamos a dinamica quantica nao-relativıstica da partıcula neutra quando os refer-enciais dos observadores foram referenciais de Fermi-Walker aplicando a transformacao deFoldy-Wouthuyssen e consideramos a mesma configuracao de campos do caso relativıstico.Vimos que a funcao de onda da partıcula neutra adquiriu tres contribuicoes independentespara a fase geometrica dadas pela topologia do defeito, pela interacao entre o momento dedipolo magnetico e os campos externos e pelo acoplamento spin-rotacao dado pelos efeitosnao-inerciais dos referenciais de Fermi-Walker. Quando tomamos o limite η → 1, vimosque a mudanca de fase dada pelo acoplomento spin-rotacao tornava-se identica ao efeitoMashhoon. Observamos que cada contribuicao para a fase e nao-dispersiva que a expressaopara fase geometrica nao-relativıstica coincide com a expressao para fase nao-relativısticade Anandan. Quando consideramos apenas uma distribuicao de cargas eletricas sobre oeixo de simetria do defeito, obtivemos um efeito analogo ao efeito Aharonov-Casher emum referencial nao-inercial e na presenca de um defeito topologico. No limite η → 1,obtivemos um efeito analogo ao efeito AC em um referencial nao-inercial. Observamostambem que nenhum efeito analogo ao efeito Sagnac foi obtido na dinamica quantica nao-relativıstica da partıcula neutra devido a ausencia de efeitos de arrasto em refereciais deFermi-Walker.

No capıtulo 6 estudamos a implementacao da Computacao Quantica Holonomicapara partıculas neutras na presenca de defeitos topologicos. Vimos que utizando asfases geometricas nao-abelinas obtidas na dinamica quantica nao-relativıstica de umapartıcula neutra na presenca de defeitos topologicos poderıamos implementar portaslogicas quanticas para um qbit. No primeiro caso estudado foi com a configuracao decampos do Efeito AC na presenca de uma dislocacao. Assim, com as escolhas apropri-adas da intensidade do campo eletrico e do parametro que constitui o defeito pudemosconstruir portas para um qbit, onde a base computacional adotada era formada conjuntoprojecao do momento de dipolo magnetico sobre o eixo de simetria do defeito. No se-gundo caso consideramos um campo magnetico azimutal gerado por um corrente eletricaconstante que passava sobre o eixo de simetria de uma desclinacao, onde a base computa-cional adotada foi novamente formada pelas projecoes do momento de dipolo magnetico


permante da partıcula neutra. No terceiro caso vimos que com a escolha apropriada dosparametros que constituem uma despiracao poderıamos construir portas quanticas paraum qbit usando as contribuicoes independentes para a fase geradas pela curvatura e pelatorcao, onde a base computacional estabelecida era dada pelas projecoes do momentode dipolo magnetico sobre o eixo de simetria da despiracao. O quarto caso estudado naimplementacao de portas quantica para um qbit foi considerando um sistema formadoum campo magnetico uniforme na presenca de uma dislocacao, com a base computa-cional sendo dada pelas projecoes do momento de dipolo ao longo do eixo de simetria dadislocacao.

Porem, estudamos tambem a implementacao de portas quanticas para um qbit parauma partıcula neutra com momento de dipolo eletrico permanente. Neste caso, tomandoa configuracao de HMW para os campos na presenca de uma dislocacao, atraves da duali-dade entre os efeitos AC e HMW, forneceu um exemplo de implementacao da computacao.Tambem estudamos o caso em que ha um campo eletrico uniforme na presenca de umadislocacao. Neste caso obtivemos tambem um conjunto de portas universal para um qbit.

Por fim, estudamos no capıtulo 6 a implementacao de portas quantica para dois qbits.Vimos que para que haja a implementacao de portas quanticas para dois qbits e necessarioque exista alguma interacao entre as partıculas neutras. Como as partıculas neutras estu-das neste trabalho possuiam momento de dipolo magnetico ou eletrico permanente, paraque haja a implementacao de porta para dois qbits deve-se considerar que as partıculasneutras interajam entre si via interacao dipolo-dipolo. Com isso, tornou-se possıvel obteruma forma de implementar um conjunto de portas quanticas universais para partıculasneutras na presenca de defeitos topologicos lineares.

No capıtulo 7 estudamos fizemos uma pausa no estudo de fases para partıculas neu-tras e trabalhamos com grafeno. Neste capıtulo utilizamos a Teoria de Kaluza-Kleinpara dimensoes extras para dar uma descricao geometrica para o subespaco de isospincorrespondente aos pontos de Fermi no grafeno. Com essa descricao geometrica pude-mos mostrar o fluxo quantico adiquirido pela funcao de onda no grafeno pode ser obtidoatraves do metodo do fator de fase de Dirac ou atraves de holonomias. Em seguida,estudamos um modo de implementar portas logicas quanticas para um q-bit no grafenousando os fluxos quanticos gerados pelos cones de grafite.

No capıtulo 8 estudamos a quantizacao nao-relativıstica de Landau para partıculasneutras na presenca de defeitos topologicos em referenciais inerciais e nao-inercias. Con-sideramos primeiro referenciais inerciais e vimos que a presenca de defeitos topologicosquebram a degenerescencia infinita dos nıveis de Landau. Quando consideramos que osreferenciais fossem girantes (nao-inerciais), vimos que os efeitos nao-inerciais nao que-braram a degenerescencia infinita dos nıveis de Landau, mas promoveram uma mudancana frequencia do cıclotron e gerou novos termos para os nıveis de Landau.

No capıtulo 9 estudamos a quantizacao relativıstica de Landau para partıculas neu-tras tanto na ausencia quanto na presenca de defeitos topologicos. No primeiro casoconsideramos um espaco-tempo plano sem defeitos e obtivemos que os nıveis de energiarelativısticos correspondentes aos estados ligados possuıam degenerescencia infinita car-acterıstica dos nıveis de Landau e ao tomarmos o limite nao-relativıstico recuperamos amesma expressao para os nıveis de Landau para partıculas neutras conhecidos na Lit-eratura. Quando consideramos o espaco-tempo da despiracao cosmica obtivemos quea presenca desse defeito quebrou a degenerescencia infinita dos nıveis de Landau rela-tivısticos e quando tomamos o limite nao-relativıstico obtivemos os mesmos resultados


obtidos no capıtulo anterior.

As perspectivas de desenvolver novos trabalhos a partir deste trabalho de Tese deDoutoramento estao relacionadas com cada uma das partes as quais dividimos essa Tese deDoutoramento. Com a primeira parte da Tese temos a perspectiva de estudar o surgimentode fases geometricas no limite ultra-relativıstico usando a aproximacao de Cini e Touschek[180]. Esse estudo tem uma particularidade dada pela aproximacao de Cini-Touschekdevido a necessidade de se definir uma direcao preferencial no limite para altas energiasde partıculas de spin 1/2. Dessa forma, e uma proposta interessante ver o surgimento defases geometricas tanto considerando o espaco-tempo de Minkowisky quanto considerandoo espaco-tempo curvo com a ausencia ou presenca de torcao.

Outro ponto de interesse e estudar sistemas de partıculas neutras emaranhadas napresenca de defeitos topoloogicos lineares e campos externos. Com esse estudo torna-seinteressante estudar tambem o surgimento de fases geometricas em sistemas emaranhadose ver como emaranhamento afeta a fase geometrica [140].

Outro ponto esta no estudo feito em [141, 142, 143], onde foi mostrado que duaspartıculas relativısticas emaranhadas que estejam em movimento acelerado no espaco-tempo da corda cosmica tem seus spins precessionados quando os observadores fazemsuas medidas. Essa precessao de spins ocorre devido ao movimento das partıculas, atopologia do espaco-tempo e a posicao dos observadores. Contudo, essa precessao despins nao esta vinculada a fases geometricas. Assim, dado um sistema com partıculasneutras relativısticas com momento de dipolo magnetico ou eletrico permanente que este-jam emaranhadas, torna-se interessante estudar o surgimento de fases geometricas devidopresenca de defeitos topologicos lineares e na presenca de campos externos e ver como oemaranhamento de partıculas relativısticas afetam a fase geometrica.

Outro ponto de estudo esta em usar a nocao de transporte paralelo vinculada a fasesgeometricas para ver a quantificacao do emaranhamento em sistemas com emaranhamentode muitos corpos [181]. Ha tambem o interesse em estudar o emaranhamento na presencade defeitos atraves da descricao de Volterra para defeitos topologicos; estudar efeitosquanticos devido a presenca de defeitos em sistema quanticos interagentes como descritospelos modelos de Ising e Heisemberg.

Um ponto que envolve a primeira parte desta Tese com as outras duas partes estaem estudar o surgimento de fases em nıveis de Landau e a implentacao da computacaoquantica holonomica com os nıveis de Landau. Com relacao a computacao quanticaholonomica que discutimos na segunda parte desta Tese de Doutoramento, podemos tercomo perspectiva estudar sua implememtacao em juncoes Josesphon em supercondutoresquando ha a interacao dipolo-dipolo presente no sistema [182].

Com a terceira parte desta Tese de Doutoramento temos a perspectiva de estudara quantizacao de Landau tanto para partıculas carregadas quanto para partıculas neu-tras com momentos de dipolo magnetico e eletrico permanentes na presenca de umdeslocacao espiral que apresentamos no capıtulo 4 quando estudamos o surgimento defases geometricas abelianas. Esse estudo pode ser realizado tanto na dinamica quanticarelativıstica quanto na dinamica quantica nao-relativıstica.

Por fim, e interessante estudar efeitos analogos ao efeito Aharonov-Bohm para esta-dos ligados [183] para partıculas neutras, estudar aneis quanticos usando a configuracaode campos dos sistema de Aharonov-Casher, ambos feitos tanto na ausencia quanto na


presenca de defeitos topologicos. Estudos sobre espalhamento tambem podem ser feitoscom partıculas neutras e tambem no grafeno na presenca de defeitos.

Apendice A

Spinores na Relatividade Geral

Vamos estudar nesse apendice um pouco da geometria e da algebra de spinores classi-camente e depois estender as definicoes para os conceitos quanticos atraves da equacao deDirac. O inıcio desse capıtulo ira introduzir a geometria e a algebra de spinores de duascomponentes seguindo as notacoes do livro texto [47, 48]. Em seguida, iremos seguir areferencia [49] para introduzirmos a algebra de spinores na equacao de Dirac no contextoda Relatividade Geral.

A.1 A Esfera de Riemann

Para podermos definir as matrizes de spin e suas transformacoes iremos fazer usode uma transformacao muito conhecida chamada de projecao estereografica. Essa trans-formacao faz uma correspondencia um-a-um entre as coordenadas de uma esfera (a esferade Riemann) com um plano complexo C. A esfera de Riemann, matematicamente, erepresentada pela equacao

x2 + y2 + z2 = 1. (A.1)

Assim, tomando um ponto P sobre a esfera d Riemann, descrito pela pelas coordenadas(t, s, y, z), pode ser projetado em um ponto P ′ no plano complexo C, descrito pelascoordenadas (T,X, Y, Z), atraves de uma coordenada estereografica

ξ = X + i Y, (A.2)

onde, por conveniencia, adotamos que o ponto P possuıa coordenadas (1, x, y, z) enquantoque o ponto P ′ possuıa coordenadas (1, X, Y, 0). Dessa forma, podemos escrever (A.2)como

ξ =x+ iy

1− z, (A.3)

141

APENDICE A. SPINORES NA RELATIVIDADE GERAL 142

Figura A.1: Esfera de Riemann.

ou podemos escrever em coordenadas polares esfericas (θ, φ) como

ξ = eiφ cosθ

2, (A.4)

onde aplicamos a transformacao padrao de coordenadas cartesianas para coordenadasesfericas

x = sin θ cosφ; y = sin θ sinφ; z = cos θ. (A.5)

Para podermos definir as matrizes de spin e preferıvel que representemos o parametroξ em um par de componentes complexas da seguinte forma

ξ =ζ

η. (A.6)

A razao para escrevermos a equacao (A.6) vem para resolvermos o problema que ocorrecom uma coordenada infinita que representa o polo norte da esfera de Riemann1. Outrosaspecto interessante em introduzirmos essas componentes complexas vira mais afrentedeste capıtulo quando o par (ζ, η) for tratado como as componentes do vetor de spin.Contudo, dada a relacao (A.3), podemos inverte-la e escrever tanto em funcao de ξ comodo par (ζ, η):

x =ξ + ξ

ξξ + 1=ζη + ζη

ζζ + ηη; y =

i(ξ − ξ

)ξξ + 1

=i(ζη − ζη

)ζζ + ηη

; z =ξξ − 1

ξξ + 1=ζζ − ηηζζ + ηη

. (A.7)

Vamos entao aplicar uma transformacao linear complexa sobre as componentes ζ e η

ζ → ζ ′ = aζ + bη

η → η′ = cζ + dη, (A.8)

onde a, b, c, d ∈ C e (ad− bc 6= 0). Sem perda de generalidade podemos tomar (ad− bc = 1)e definir a matrix de spin S como sendo

S =

(a bc d

), ad− bc = 1. (A.9)

1Para maiores detalhes sobre o polo norte da esfera de Riemann ver as referencias [47, 48].


Com essa matrix podemos fazer qualquer transformacao de spin que desejarmos(ζ ′

η′

)= S

(ζη

). (A.10)

Este grupo de transformacoes lineares e chamado de grupo linear especial comumentereferido como SL (2,C).

A.2 O Espaco de Spin

Vamos tratar agora em definir os espaco de spin. Sejam os vetores de spin ~ζ, ~η, etc.Estes vetores sao elementos de um espaco vetorial chamado de espaco de spin, S. O espacode spin S e definido como um espaco vetorial bidimensional sobre o campo complexo C.Neste espaco vetorial existe uma duas-forma [ , ] com as seguintes propriedades:

1. Um produto interno anti-simetrico. Este pode ser representado da seguinte maneira[~ζ, ~η]

= −[~η, ~ζ]. (A.11)

2. Este produto interno e bilinear. Podemos ver a bilinaridade do produto internoatraves das seguintes relacoes:[

λ~ζ, ~η]

= λ[~ζ, ~η],[

~ζ + ~η, ~φ]

=[~ζ, ~φ]

+[~η, ~φ], (A.12)

onde λ ∈ C. Portanto, a bilinearidade e mostrada acima, pois as equacao (A.11)mostra a linearidade no primeiro argumento do produto interno enquanto que asequacoes (A.12) implicam na linearidade do segundo argumento do produto interno.

3. Este produto interno e nao degenerado. Para vermos essa propriedade vamos tomarum vetor de spin ~κ = λ~η. Das equacoes (A.11) e (A.12) segue que[

~ζ,~κ]

= 0. (A.13)

Alem do mais a condicao necessaria e suficiente para que dois vetores de spin sejamlinearmente independentes e que[

~ζ, ~η]

= 0⇒ ~ζ = 0, (A.14)

para todo ~η ∈ S, ou que [~ζ, ~η]6= 0, (A.15)

para todo ~ζ, ~η ∈ S. Portanto, as equacoes (A.13), (A.14) e (A.15) mostram-nos anao degenerescencia do espaco de spin S.


Nesse momento vamos construir uma base para S, chamada de base de spin. Sejamdois vetores de spin arbitrarios o e ι tal que o produto interno entre eles seja dado por

[o, ι] = − [ι, o] = 1, (A.16)

onde usamos a expressao (A.11). Com isso, vamos definir que as componentes de algum

vetor de spin ~ζ ∈ S sejam dadas por

~ζ = ζ0 o+ ζ1 ι, (A.17)

onde temos que as componentes ζ0 e ζ1 sao dadas por

ζ0 =[~ζ, ι], ζ1 =

[~ζ, o], (A.18)

e onde vamos adotar a convencao2

o = (1, 0) , ι = (0, 1) . (A.19)

Dessa forma, podemos expressar o produto interno de dois vetores de spin arbitrariosem termos da base (A.19) como

[~κ, ~η] = κ0 η1 − κ1 η0, (A.20)

onde escrevemos os vetores em termos de suas componentes, ou seja, ~κ = κ0 o + κ1 ι e~η = η0 o+ η1 ι e usamos a definicao do produto interno da base de spin (A.16).

A.3 Algebra Spinorial

Nesta secao vamos introduzir a algebra que envolve os spinores de duas componentes.Dado a representacao do spinor em termos da base de spin na expressao (A.17), vamosdefinir os ındices spinorais A,B,C... = 0, 1 que representarao as componentes do vetor despin em relacao a base de spin, isto e,

ζA =(ζ0, ζ1

). (A.21)

Dessa maneira, para cada elemento de S devemos construir um conjunto infinito de copiasisomorficas, porem distintas, de S que denominaremos de SA,SB, .... Logo, definimosoutros spinores ζB e ζC de tal forma que cada um pertenca a um desses espacos distintos,ou seja, ζA ∈ SA, ζB ∈ SB e assim por diante.

Vamos agora denotar o espaco dual de S por S∗. Para este espaco podemos construirum conjunto infinito de copias isomorficas de S∗, mas distintas tambem, que nomearemos

2Veja que na expressao (A.6) dissemos que as componentes complexas ζ e η formariam as componentes

do vetor de spin. Contudo, para facilitar nossa leitura, daqui por diante iremos adotar como componentes

de spin a convencao dada na expressao (A.18). Em nenhum momento perdemos a generelidade das

expressoes, basta que facamos a identificacao ζ → ζ0 e η → ζ1.


de SA,SA, .... Dessa maneira, cada elemento do espaco dual e representado por ζA ∈ SA,ζB ∈ SB e assim por diante.

Para cada elemento ζ ∈ S podemos identificar [ζ, ] ∈ S∗ tal que [ζ, ] seja uma tran-formacao linear [ζ, ] : S → C, isto e, para cada ζA ∈ SA, temos que ζA e uma trans-formacao linear ζA : SA → C. Entao, temos que o objeto ζA η

A ∈ C e chamado deproduto interno ou contracao.

Dada a definicao do espaco dual acima, temos que a representacao para um spinorpode ser dada pela valencia do spinor (p, 0; r, 0). Assim, a representacao para um spinorζA fica sendo (1, 0; 0, 0). Enquanto que para o spinor ζA sua representacao fica sendo(0, 0; 1, 0). Spinores de ordens maiores (p, 0; r, 0), com p ındices contravariantes e r ındicescovariantes sao dados por χAB...FGH...K , ou seja, sao transformacoes bilinares do tipo χAB...FGH...K :SA × SB × ...× SF × SG × SH × ...× SK → C.

Contudo, um spinor do tipo (p, 0; r, 0) nao pode representar o tipo mais geral despinor porque nao definimos ainda a operacao de conjugacao complexa sobre ele. Um fatointeressante e que o complexo conjugado de um elemento ζA ∈ SA nao pertence ao espacovetorial SA.3 Para indicar que um elemento pertece a um espaco vetorial conjugado, vamosescrever ζ ∈ S, enquanto que seu dual fica sendo [ζ, ] ∈ S∗.

Portanto, dado um elemento ζA ∈ SA, o complexo conjugado deste spinor e escrito daseguinte forma

ζA 7−→ ζA = ζA′ ∈ SA′ , (A.22)

onde on ındice A′ indica o complexo conjugado do ındice A, enquanto que SA′ indica ocomplexo conjugado de SA. Podemos observar que o espaco vetorial conjugado SA′ naoe isomorfico ao espaco vetorial SA. Seja κA = α ζA + β ηA, onde α, β ∈ C e ζA, ηA ∈ SA.O complexo conjugado de κA sera

κA = α ζA + β ηA = α ζA′+ β ηA

′ 6= α ζA′+ β ηA

′. (A.23)

Portanto, vemos na expressao acima que SA′ e anti-isomorfico a SA. Notemos tambemque se aplicarmos por duas vezes a conjugacao complexa sobre um spinor recuperaremos

sua configuracao inicial, isto e, ζA′ = ζA. Um observacao que deve ser feita agora e queha uma excessao em relacao a conjugacao complexa. Esta excessao e em relacao ao spinorde Levi-Civita que definiremos mais tarde.

Portanto, com a conjugacao complexa de um spinor definida temos que a forma maisgeral para um spinor e representada por (p, q; r, s), onde o spinor possui p contravari-antes ındices A, ..., C, q contravariantes ındices S ′, ..., U ′, r covariantes ındices F, ...,K es covariantes ındices W ′, ..., Y ′, ou melhor, podemos escrever como χA...CS

′...U ′

F...KW ′...Y ′ .Contudo, devemos dar uma atencao especial nesse momento em relacao a ordem dos

ındices spinoriais. Devido a S e S serem espacos vetoriais distintos e nao serem isomorficos,a ordem dos ındices A e A′ torna-se irrelevante. Por exemplo, se tomarmos um spinor(1, 1; 1, 1), cujas componentes sao χAB

′

CD′ , entao

χAB′

CD′ = χB′AD′C = χB

′ AD′ C . (A.24)

3Para ver a prova que o complexo conjugado de um elemento ζA nao pertence a SA ver as referencias

[47, 48].


Entretanto, os espacos vetoriais S e S∗ sao duais. Isto implica que nao a ordem dosındices deve permancer intacta, pois

τABCD 6= τBACD 6= τA BC D 6= τABDC . (A.25)

De mameira similiar, a regra da pela expressao (A.25) aplica-se para um spinor do tipo(0, 2; 0, 2), cujas componentes sao τA

′B′

C′D′ . A primeira vista, as relacoes (A.24) e (A.25)podem nao ser clara nossa para nos, contudo, estas se tornarao mais faceis de entenderquando definirmos o spinor de Levi-Civita na proxima secao.

A.4 O spinor de Levi-Civita

Vamos agora definir o objeto geometrico εAB ∈ SAB que e denominadado de spinor deLevi-Civita. Esse spinor e definido atraves das relacoes[

~ζ, ~η]

= εAB ζA ηB = −

[~η, ~ζ], (A.26)

onde usamos as relacoes (A.11). Vemos claramente que este spinor e anti-simetrio, ouseja,

εAB = −εBA. (A.27)

O spinor de Levi-Civita tem a propriedade de permanecer invariante perante a trans-formacoes de spin [44], isto e,

ε = SεSt = SεS† =(S−1

)tεS−1 =

(S†)−1

ε(S)−1

, (A.28)

onde St, S† e S sao a transposta, hermitiano conjugada e complexo conjugada de S,respectivamente.

Com o spinor de Levi-Civita podemos baixar ındices spinoriais de forma analoga aotensor metrico gµν (x) na relatividade geral, isto e,

ζB = ζA εAB, (A.29)

e onde podemos ver atraves da expressao (A.26) que ζB = εAB ζA e o dual de ηB, ou

melhor, [~ζ, ~η]

= εAB ζA ηB = ζB η

B. (A.30)

Perceba que se abrirmos a soma das componentes na expressao (A.30)[~ζ, ~η]

= ζ0 η0 + ζ1 η

1, (A.31)

e compararmos com a expressao (A.20), obtemos a seguinte relacao entre as componentesζA e suas componentes duais ζA

ζ0 = ζ1, , ζ1 = −ζ0. (A.32)


Estas relacoes acima entre as componentes e suas duais sugerem que exista um elementoεAB ∈ SAB tal que

ζA = εAB ζB. (A.33)

Veja que as relacoes (A.29) e (A.33) sao inversas entre si, o que nos permite definir osımbolo de Kronecker bidimensional como sendo

εAB εCB = δCA = ε C

A , (A.34)

e similarmente, se permutarmos os ındices de εAB teremos

εAB εCB = −εBA εCB = δCA = −εCA, (A.35)

onde definimos dois novos objetos ε CA e εCA como consequencia da antisimetria do spinor

de Levi-Civita dado em (A.27). Veja que a posicao dos ındices e o sinal sao mantidos emε CA enquanto que estes sao trocados em εCA mostrando a diferenca entre as permutacoes

de ındices, discutido em (A.24) e (A.25). Em geral, torna-se mais atrativo dispensar osımbolo de Kronecker e trabalhar com o sımbolo ε C

A . Veja que obtemos a relacao

ε CA = −εCA, (A.36)

e consequentemente obtemos que o elemento εAB tambem e antisimetrico, ou seja,

εAB = −εBA, (A.37)

quando usamos a relacao (A.27) junto a (A.35). Portanto, temos que as regras de levan-tamento e abaixamento de ındices para spinores sao baseadas na aplicacao dos spinoresεAB e εAB ou da utilizacao de ε C

A ou εCA, por exemplo

ψABMN = εAC ψ BMNC = −εCA ψ BMN

C = ε AC ψCBMN , (A.38)

e tambem

ψABCD = −εDM ψABCM = ψABCM εMD = −ψABCM εMD. (A.39)

Finalizamos esta secao com o conhecimento de como devemos fazer o levantamento eabaixamento de ındices spinoriais. Vimos que o procedimento e identico ao que fazemoscom tensors no espaco-tempo plano ou curvo, isto e, para levantarmos ou baixarmosındices de um tensor no espaco-tempo plano usamos o tensor metrico de Minkowiskyηab, no espaco-tempo curvo usamos o tensor metrico gµν (x), enquanto que para spinoresusamos o spinor de Levi-Civita εAB.

A.5 Base de diadicas

Vamos agora estudar a construcao de uma base chamada de diadicas. Esta base eanaloga aos referenciais locais que construımos a partir de uma base nao-coordenada de


um-formas cujos elementos eaµ chamamos de tetradas. Para defirmos as diadicas vamostomar a base spinorial o, ι que definimos em (A.16) e (A.19). Usando (A.26) teremos que

[o, ι] = εAB oA ιB = oA ι

A = 1,

[ι, o] = εAB ιB oA = ιA o

A = −1,

[o, o] = εAB oB oA = oA o

A = 0,

[ι, ι] = εAB ιB ιA = ιA ι

A = 0. (A.40)

As componentes dos spinores da base spinorial oA, ιA ∈ SA formam uma diadica noespaco de spin. As diadicas podem ser escritas como elementos ε A

a ∈ SA tal que os ındicesa = 0, 1, ...n ∈ C, isto e, os ındices a indicam escalares que pertencem a C e nao vetorespertencentes a um espaco vetorial Sa.4 Portanto, de forma analoga aos referenciais locaisque construımos atraves das tetradas vamos construir um spin frame cujas componentes,tomando a = 0, 1, sejam

ε A0 = oA; ε A

1 = ιA. (A.44)

Para a base dual temos que a diatica pode ser escrita como ε aA . O produto da diadica

seu correspondente na base duas ira nos fornecer

δ ba ≡ ε b

a = ε Aa ε b

A =

(1 00 1

), (A.45)

assim, usando as relacoes (A.40) temos que

ε 0A = −ιA, ε 1

A = 0A. (A.46)

Tomando a condicao de ortonormalizacao dada em (A.40) podemos escrever o spinorde Levi-Civita em termos das componentes das diadicas, ou seja

εab = εAB εA

a ε Bb =

(oA o

A oA ιA

ιA oA ιA ι

A

)=

(0 1−1 0

). (A.47)

4Seja Xa um vetor qualquer pertencente a um espaco vetorial Sa e seja uma base deste espaco vetorial

dada por δa0 , δa1 , ..., δ

an. Podemos escrever Xa como a seguinte combinacao linear

Xa = X0 δa0 +X1 δa1 + ...+Xn δan = Xa δaa, (A.41)

onde os ındices a = 0, 1, ..., n denotam a dimensao do espaco com dimensao n. As componentes Xa

sao escalares pertecentes a C e um vetor pertecente a Sa. Dessa forma, os ındices a,b, ... indicam

numeros pertencentes ao conjunto dos numeros complexos e irao se comportar como escalares perante

transformacoes de spin. De forma identica as tranformacoes de spin, temos uma base dual δaa onde

Xa = Xa δaa , (A.42)

e onde temos a indentidade

Xa Ya = Xa Ya. (A.43)


A inversa da matrix (A.47) e facilmente obtida pela relacao(−εacEab

)= ε b

c , logo aexpressao para a inversa e

Eab =

(0 −11 0

), (A.48)

que escrevendo em termos da relacao (A.34) temos εab = −Eab e consequentemente

εab = εab =

(0 1−1 0

), (A.49)

e

εab = εAB ε aA ε b

B . (A.50)

Portanto, para um spinor ζA ∈ SA podemos escreve-lo em termos da diadica como

ζA = ζa ε Aa = ζ0 ε A

0 + ζ1 ε A1 = ζ0 oA + ζ1 ιA, (A.51)

onde cada componente fica sendo dada por ζ0 = −ιA ζA e ζ1 = oA ζA. Para um spinor

ζA ∈ SA temos

ζA = ε aA ζa = ε 0

A ζ0 + ε 1A ζ1 = −ζ0 ιA + ζ1 oA, (A.52)

onde cada componente fica ζ0 = ζA oA e ζ1 = ζA ι

A. Comparando (A.51) e (A.52) temosa seguinte relacao entre as componentes covariantes e contravariantes do spinor

ζ0 = −ζ1; ζ1 = ζ0. (A.53)

Para finalizarmos esta secao devemos repassar toda analise de diadicas para o complexoconjugado dos ındices spinoriais. Em particular iremos definir o complexo conjugado deε Aa ∈ SA como sendo ε A′

a′ ∈ SA′, onde teremos que

oA = oA′= oA

′; ιA = ιA

′= ιA

′, (A.54)

e consequentemente obteremos

ε A′

0′ = oA′; ε A′

1′ = ιA′. (A.55)

Portanto, a extensao para o complexo conjugado e simples e poderemos definir nossospin frame em relacao ao complexo conjugado de suas componentes.

A.6 Conexao entre tensores e spinores

Nesta secao queremos mostrar a conexao entre tensores e spinores. Vimos nas secoesanteriores que os spinores fazem parte do grupo SL (2,C) enquanto que tensores estudadosna relatividade restita fazem parte do grupo de Lorentz L (4). Estes dois grupos nao saoisomorficos entre si, mas existe um homomorfismo entre eles que permite a definicao de


quantidades chamadas de sımbolos de Infeld-van der Waerden que deixam clara a relacaoentre tensores e spinores escritos em suas respectivas bases [47, 48].

Os sımbolos de Infeld-van der Waerden sao representados por quatro matrizes her-mitianas 2 × 2 e sao escritos como σaAB′ , ou seja, eles possuem um ındice que indica oespaco-tempo de Minkowisky a, um que indicam o spinor A e outro que indica o complexoconjugado B′. Dessa forma, os sımbolos de Infeld-van der Waerden sao dados por [47, 48]

σ0AB′ =

1√2

(1 00 1

); σ1

AB′ =1√2

(0 11 0

);

σ2AB′ =

1√2

(0 i−i 0

); σ3

AB′ =1√2

(1 00 −1

), (A.56)

que sao justamente as matrizes de Pauli e a matrix identidade mais um fatos de 2−1/2. Ob-serve que estamos mantendo a notacao de ındices que usamos no formalismo das tetradas,ou seja, os ındices latinos a, b, c, ... referem-se ao espaco-tempo de Minkowisky (local-mente), enquanto que os ındices gregos µ, ν, ... referem-se ao espaco-tempo curvo estudadona relatividade geral.

As leis de tranformacao de coordenadas que os sımbolos de Infeld-van der Waerdenobedecem sao as mesmas para tensores e spinores. O ındice a tranformam-se como umvetor no espaco-tempo de Minkowisky, enquanto que os indices A e B′ transformam-secomo spinores. Dessa forma, temos que o ındice a tranforma-se como um escalar peranteas transformacoes de spinores e os ındices spinoriais A e B′ transformam-se como escalaresperante transformacoes de vetores no espaco-tempo [47, 48, 49].

A relacao entre os sımbolos de Infeld-van der Waerden e o tensor metrico de Minkowiskyηµν e definida como

ηab = εAB εA′B′ σAA′

a σ BB′

b , (A.57)

ou, equivalentemente,

ηab σaAA′ σ

bBB′ = εAB εA′B′ , (A.58)

onde introduzimos as seguintes relacoes [47]

σ AA′

a σbAA′ = δba; σaAA′ σBB′

a = ε BA ε B′

A′ . (A.59)

Assim, podemos escrever um spinor equivalente a um tensor T αβab como

T CC′DD′

AA′BB′ = T cdab σaAA′ σ

bBB′ σ

CC′

c σ DD′

d , (A.60)

e consequentemente,

T cdab = T CC′DD′

AA′BB′ σ AA′

a σ BB′

b σcCC′ σdDD′ . (A.61)

Com isso, o spinor equivalente ao tensor metrico pode ser obtido a partir da expressao(A.58):

ηAA′BB′ = ηab σaAA′ σ

bBB′ = εAB εA′B′ , (A.62)

e

ηAA′BB′ = ηab σ AA′

a σ BB′

b = εAB εA′B′ . (A.63)


Em geral e conveniente dispensar os sımbolos de Infeld-van der Waerden e escrever ospinor equivalente ao tensor metrico como

ηab = εAB εA′B′ ; ηab = εAB εA′B′ , (A.64)

e, seguindo essa convencao, o delta de Kronecker fica sendo escrito como

δab = ε BA ε B′

A′ . (A.65)

Devemos ainda enfatizar uma equacao alternativa que e frequentemente usada no lugarda igualdade (A.57). Podemos rearranjar a expressao (A.57) e deixa-la da seguinte forma

σ Aa A′ σ

A′

bB + σ Ab A′ σ

A′

aB = εAB ηab, (A.66)

que corresponde a um anticomutador que define a algebra de Clifford para matrizes 2×2.Para finalizarmos esta secao vamos tomar o complexo conjugado dos sımbolos de

Infeld-van der Waerden. Para um spinor qualquer χ BB′

AA′ , seu complexo conjugado edado por

χ BB′AA′ = χ B′B

A′A , (A.67)

entao, se este for igual a seu complexo conjugado, o spinor e considerado ser real, isto e,

χ B′BA′A = χ B′B

A′A , (A.68)

veja que a ordems dos ındices spinoriais e mantida em (A.68) para o spinor ser real. Paraum spinor ser Hermitiano, este deve satisfazer a seguinte relacao [47, 48]

χ CD′AB′ = χ DC′

BA′ , (A.69)

observe que o termo Hermitiano e reservado para spinores com ındices diferentes, enquantoque real e reservado para a relacao entre os spinores da forma (A.67) e (A.68) e seuscorrespondentes conjugados5. Para os sımbolos de Infeld-van der Waerden temos

σaAB′ = σaA′B = σaBA′ , (A.70)

ou seja, como os matrizes de Pauli sao hermitianas, os sımbolos de Infeld-van der Waerdensao hermitianos.

A.7 Forma spinorial da derivada covariante

A derivada covariante6 de um spinor pode ser definida facilmente a partir dos sımbolosde Infeld-van der Waerden como

∇a = σ AA′

a ∇AA′ , (A.71)

5Para melhor discussao sobre a terminologia entre spinores reais e Hermitianos ver a referencia [48].6As propriedades da derivada covariante tais como a linearidade e regra de Liebniz nao serao discutidas

nesse apendice para nao ficar mais extenso. Para maiores informacoes sobre estas propriedade ver as

referencias [47, 48].


onde vamos omitir os sımbolos de Infeld-van der Waerden por conviniencia a partir deagora. Tomando um spinor do tipo χ CF ′

DE′ , podemos escrever

∇a : χ CF ′

DE′ 7−→ ∇AA′χCF ′

DE′ . (A.72)

Lembrando que base spinorial e dada pelas diadicas ε Aa =

(oA, ιA

), com sua base dual

sendo ε aA , enquanto que ε A′

a′ e ε a′

A′ sao a base e a base dual para o complexo conjugado deum spinor, vamos calcular a derivada covariante do spinor ζB. Para isso, vamos escreverprimeiro as componentes da derivada covariante ∇AA′ em termos das diadicas,

ε Aa ε A′

a′ ∇AA′ = ∇aa′ . (A.73)

Entao, a derivada covariante do spinor ζB sera

ε Aa ε A′

a′ ∇AA′ζB = ∇aa′

(ζb ε B

b

)= ε B

b ∇aa′ζb + ζb∇aa′ε

Bb , (A.74)

multiplicando ambos os lados da expressao acima por ε cB teremos

ε cB ε A

a ε A′

a′ ∇AA′ζB = ∇aa′ζ

c + ζb Γ caa′b , (A.75)

onde definimos os coeficientes spinoriais de rotacao de Ricci [47, 48], tambem conhecidoscomo coeficientes de spin, como sendo

Γ caa′b = ε c

B ∇aa′εB

b = −ε Bb ∇aa′ε

cB , (A.76)

onde a segunda igualdade da equacao (A.76) calculando a derivada covariante do deltade Kronecker (A.45). Agora se tomarmos a derivada covariante do spinor de Levi-Civitadada na expressao (A.47) poderemos verificar que os coeficientes de spin sao simetricosnos dois ultimos ındices, ou seja,

Γaa′bc = Γaa′cb (A.77)

Agora, vamos calcular a derivada covariante do spinor ηB e dos complexos conjugadosζB′, ηB′ . Usando o mesmo procedimento feito anteriormente para calcularmo a derivada

covariante do spinor ζB, obtemos para estes

ε Bc ε A

a ε A′

a′ ∇AA′ηB = ∇aa′ηc − ηb Γ baa′c ,

ε c′

B′ εA

a ε A′

a′ ∇AA′ζB′ = ∇aa′ζ

c′ + ζb′ Γc′

aa′b′ , (A.78)

ε B′

c′ ε Aa ε A′

a′ ∇AA′ηB′ = ∇aa′ηc′ − ηb′ Γb′

aa′c′ ,

onde Γb′

aa′c′ e o complexo conjugado dos coeficientes de spin, cuja expressao e facilmenteobtida

Γc′

aa′b′ = ε c′

B′ ∇aa′εB′

b′ = −ε B′

b′ ∇aa′εc′

B′ (A.79)

Usando os sımbolos de Infeld-van der Waerden poderemos escrever os coeficientes despin como

Γ cab = σ AA′

a ε aA ε a′

A′ Γ caa′b , (A.80)


isto e, poderemos escrever os coeficientes de spin em termos dos ındices do espaco-tempode Minkowisky e consequentemente obter uma relacao entre os coeficientes de spin e asconexoes afim do espaco-tempo, os sımbolos de Christoffel7. O termo correspondente aoespaco-tempo curvo aparece quando trocarmos o ındice latino a por um ındice grego µque indica o espaco-tempo curvo, isto e, usando as relacoes (A.45) e (A.71) poderemosreescrever (A.75) e (A.78) como

∇aζB = ∂aζ

B + ζC Γ BaC ,

∇aηB = ∂aηB − ηC Γ CaB ,

(A.81)∇aζ

B′ = ∂aζB′ + ζC

′Γ

B′

aC′ ,

∇aηB′ = ∂aηB′ − ηC′ Γ C′

aB′ ,

onde usamos a propriedade que ∇a comuta com a contracao dos ındices spinoriais [47, 48].Contudo, se tomarmos o Hermitiano conjugado dos spinores ζA e ηB, a derivada covarianteficara sendo

∇ ζ† = ∇aζA′ = ∂ζA

′+(Γ†a) A′

B′ζB′

(A.82)∇ η† = ∇aηB′ = ∂ηB′ −

(Γ†a) D′

B′ηD′ , (A.83)

com os ındices A′, B′, C ′, ... denotando os ındices do complexos conjugados de formaidentica ao feito anteriormente, porem vemos que a ordem entre os coeficientes de spin eos spinores adjuntos e diferente do que estabelecemos para os spinores conjugados. Comisso, podemos mostrar uma propriedade importante dos coeficientes de spin: seu tracoe nulo. Considerando que a derivada covariante do spinor de Levi-Civita e nula [44] eusando (A.28) teremos

∇aε = ∇a

(SεSt

)= 0⇒ Γta = εΓaε⇒ Tr (Γa) = 0. (A.84)

Para finalizar esta secao, vamos escrever a expressao para a derivada covariante noespaco-tempo curvo. No espaco-tempo curvo, a derivada covarinte de um spinor seraescrita usando os referenciais locais que definimos na secao 1.2, logo,

∇µ = eaµ (x) ∇a. (A.85)

Com isso temos em maos parte da base que foi usada na secao 1.3 na discussao daderivada covariante de um spinor. Agora, para completarmos essa base precisamos definiras matrizes de Dirac em termos dos ındices spinoriais para, assim, compreendermos bemo que foi feito para obter a expressao para a conexao spinorial.

A.8 Matrizes de Dirac

Seguindo a referencia [48], podemos definir qualquer spinor para um espaco-tempo de ndimensoes. Para um espaco-tempo de dimensao par, os spinores podem ser decompostos

7Para maiores detalhes sobr as relacoes entre os sımbolos de Infeld-van der Waerden e os sımbolos de

Christoffel consultar a referencia [48]


em objetos menores, ou seja, em spinores reduzidos cuja dimensao do espaco de spin

correspondente e 2(n2−1), enquanto que a dimensao do espaco de spin composto (nao-reduzido) e N = 2

n2 . Vamos tratar apenas de n = par nesta secao, pois o espaco-tempo

que adotamos ao longo deste trabalho tem n = 4 dimensoes ou 3 + 1 dimensoes.Vamos comecar escrevendo a algebra de Clifford da qual as matrizes de Dirac obedecem

γaγb + γbγa = 2ηab, (A.86)

onde γa sao matrizes N ×N e onde a = 0, ..., n. As matrizes de Dirac sao definidas como

γa = γa σρ , (A.87)

onde cada ındice ρ, σ refere-se a um espaco de spin Sρ,Sσ cuja dimensao e N = 2n2 . Com

essa notacao spinorial, a equacao (A.86) fica sendo escrita da seguinte forma

γa σρ γb τσ + γb σρ γa τ

σ = 2ηab δ τρ . (A.88)

Podemos, entao, decompor o espaco de spin Sρ em uma soma direta de espacos despin reduzidos SR e SR′ , ou seja, Sρ = SR ⊕ SR′ . Cada espaco de spin reduzido temdimensao N = 2

n2−1. Assim, podemos representar as matrizes (A.87) como

γa σρ =

(0 γa S′

R

γa SR′ 0

), (A.89)

onde tomando ρ = R⊕R′ e σ = S⊕S ′. Com a notacao adotada em (A.89) torna-se maisatrativo trocar os ındices ρ e σ pelos correspondentes ındices R ou R′, S ou S ′, tendoem vista que estamos projetando no espaco de spin reduzido. As matrizes γa S′

R e γa SR′

satisfazem a mesma algebra dada em (A.88), isto e,

γa S′

R γb TS′ + γb S′

R γa TS′ = 2 ηab δ T

R , (A.90)

ou tambem

γa SR′ γ

b T ′

S + γb SR′ γ

a T ′

S = 2 ηab δ T ′

R′ . (A.91)

Com a representacao das matrizes de Dirac com ındices spinoriais sendo dadas porγa σρ podemos entao escrever a equacao analoga a equacao de Dirac

γa σρ ∇a ψ

ρ +mψσ = 0, (A.92)

ou trabalhar com a representacao reduzida, γa S′R ou γa S

R′ , e reescrever (A.92)

γa SR′ ∇aψ

R′ +mψS = 0, (A.93)

onde os ındicesA′, B′, C ′, ... referem-se agora aos Hermitianos conjugados dos spinores.Em geral, omitimos os ındices spinoriais da equacao de Dirac devido a estes ındicestransformarem-se como escalares perante transformacoes de coordenadas no espaco-tempoou transformacoes de coordenadas locais. Porem, a forma da equacao de Dirac dada em(A.93) e a que adotamos na secao 1.3 para mantermos a uniformidade das expressoesque utilizamos para spinores de duas componentes quando discutimos a expressao para aconexao spinorial.

Portanto, fizemos neste apendice uma breve introducao sobre spinores de duas com-ponentes. Definimos os spinores, a algebra spinorial, a base spinorial e a conexao entrespinores e tensores, alem de definirmos a derivada covariante de um spinor e as matrizesde Dirac em termos dos ındices spinoriais.

Apendice B

Introducao a Computacao Quantica

Este apendice e direcionado a fazer uma breve revisao sobre a computacao quantica.Mostraremos como podemos definir um q-bit e como podemos realizar a construcao deportas quanticas para um ou dois qbits. Na primeira secao deste apencide dedicaremospara a definicao de um q-bit e a construcao de portas quanticas para um q-bit. Na segundasecao iremos discutir a construcao de portas quanticas para dois q-bits.

B.1 Portas Quanticas para 1 q-bit

O conceito fundamental tanto para a computacao classica e o bit, isto e, a computacaoe realizada atraves de um sistema que possui dois valores distintos “0” e “1”. De maneiraanaloga, a computacao quantica possui o bit quantico, chamado de qubit ou simplesmenteq-bit [120]. Para construir um q-bit, basta que se tome um sistema com dois estados |0〉e |1〉. A principal diferenca entre bits e q-bits e que os q-bits podem ser definidos comoum combinacao linear dos estados |0〉 e |1〉, isto e, um q-bit pode ser escrito como umasuperposicao dos estados |0〉 e |1〉 da seguinte forma

|ψ〉 = a |0〉+ b |1〉 , (B.1)

onde a e b sao numeros complexos que satisfazem a igualdade |a|2+|b|2 = 1. Os estados |0〉e |1〉 sao denominados como sendo os estados da base computacional ou estados logicos.Portanto, um q-bit nada mais e que um vetor construıdo na base (|0〉 , |1〉), onde porconvencao

|0〉 =

(10

), |1〉 =

(01

). (B.2)

Portas quanticas sao transformacoes unitarias que tem a finalidade de promover rotacoessobre o estado |ψ〉. As rotacoes sao feitas em torno dos eixos x, y, z na esfera de Bloch,figura B.1, atraves da atuacao das matrizes de Pauli sobre a base (|0〉 , |1〉). Portanto,

155

APENDICE B. INTRODUCAO A COMPUTACAO QUANTICA 156

Figura B.1: Esfera de Bloch. Projecao de um estado arbitrario para um q-bit |ψ〉 na esfera de Bloch. No polo norte da

esfera de Bloch localiza-se o estado |0〉 e no polo sul o estado |1〉. Os angulos θ e ϕ constituem os angulos polar e azimutal,

respectivamente.

uma rotacao na direcao do vetor unitario n = (nx, ny, nz) e dada pelo operador unitario

Rn = e−iθ2n·~σ = cos

θ

2I − i (nxσ

x + nyσy + nzσ

z) sinθ

2, (B.3)

onde I e a matrix identidade 2× 2 e onde usamos a definicao de funcao de uma matriz,eA =

∑∞k=0

Ak

k!, na ultima igualdade da expressao (B.3). Portanto, vemos que tomando o

parametro θ = π obteremos a matrizes de Pauli [120]

X ≡ σx =

(0 11 0

), Y ≡ σy =

(0 −ii 0

), Z ≡ σz =

(1 00 −1

), (B.4)

que constituem portas quanticas para um q-bit, chamadas de X-Pauli, Y -Pauli e Z-Pauli,respectivamente. Dois exemplos de portas quanticas para um q-bit que podemos construiratraves da expressao para rotacoes arbitrarias sao

Rx

(π2

)= e−i

π2σx =

1√2

(1 −i−i 1

),

(B.5)

Ry

(π2

)= e−i

π2σy =

1√2

(1 −1−1 1

),

que sao rotacoes de π2

em torno do eixo x e y, respectivamente. Outros exemplos de portasquanticas para um q-bit que sao bem conhecidadas na Literatura [120] sao

S =

(1 00 eiϕ

); H =

1√2

(1 11 −1

); T =

(1 00 eiπ/4

), (B.6)

onde S e conhecida como porta de fase, H como porta Hadarmard e T como porta π/8[120]. Note-se que combinando a rotacao em π/2 sobre o eixo y (B.5) com a porta Z-Pauli(B.4) teremos a porta Hadamard dada em (B.6).

Seguindo a referencia [120], vamos enunciar um teorema de grande utilidade no estudode computacao quantica.


Teorema B.1.1 Seja U uma transformacao unitaria sobre um q-bit simples. Existem

numeros reais α, β, γ e δ tais que

U = eiαRz (β)Ry (γ)Rz (δ) . (B.7)

Portanto, podemos decompor qualquer transformacao unitaria sobre um q-bit em rotacoessobre o eixo z e sobre o eixo y, a menos de um fator de fase global α. A demonstracaodesse teorema esta feita em detalhes na referencia [120].

B.2 Portas Quanticas para 2 q-bits

Esta secao sera dedicada a fazermos uma breve introducao a construcao de portasquanticas para dois q-bits. No caso em que ha dois q-bits correlacionados, o espaco vetorialpassa a ser quadrimensional, onde a base computacional passa a ser (|00〉 , |01〉 , |10〉 , |11〉).Um estado geral para dois q-bits pode ser escrito nessa base atraves da superposicao

|Ψ〉 = a |00〉+ b |01〉+ c |10〉+ d |11〉 , (B.8)

onde |a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2 = 1. A notacao dos estados da base de dois q-bits tambeme encntrada como |00〉 ≡ |0〉 |0〉 ≡ |0〉 ⊗ |0〉, onde ⊗ indica o produto tensorial entre doisvetores de subespacos vetoriais distintos. Tomando a convencao (B.2) tem-se que

|00〉 =

1000

, |01〉 =

0100

, |10〉 =

0010

, |11〉 =

0001

. (B.9)

As operacoes quanticas que atuam sobre os estados de dois q-bits sao chamadas deoperacoes controladas. As operacoes controladas sao transformacoes unitarias que at-uam sobre dois q-bits correlacionados, um chamado de q-bit de controle e o outro sendochamado de q-bit alvo. A acao da operacao controlada e realizada da seguinte forma: se oq-bit de controle for “1”, entao a transformacao unitaria U e aplicada sobre o q-bit alvo;caso o q-bit de controle seja “0”, entao nada acontece com o q-bit alvo.

Um exemplo bem conhecido na Literatura e a porta nao-controlado (CNOT), que efrequentemente representado por Cij. A atuacao da porta CNOT e dada por |c〉 |t〉 →|c〉 |t⊗ c〉, ou seja, se o q-bit de controle i for |1〉, o estado do q-bit alvo j sera trocado.Caso contrario, nada acontece. Podemos representar essa porta para dois q-bits na formamatricial

Cij =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

. (B.10)

Outra maneira de representar essa porta quantica para dois q-bits e usando as operacoesX-Pauli e Z-Pauli em cada q-bit individual [?], isto e,

Cij =1

2Ii ⊗ (Ij +Xj) +

1

2Zi ⊗ (Ij −Xj) . (B.11)


Outras operacoes controladas bem conhecidas na Literatura sao a porta de Troca Sij,que atua como Sij |c t〉 = |t c〉

Sij =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

, (B.12)

e a porta Z-controlada, CZij , que atua como uma porta Z-Pauli sobre o q-bit alvo se o

estado do q-bit de controle for |1〉 e mantem o estado do q-bit alvo inalterado se o estadodo q-bit de controle for |0〉.

CZij =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

. (B.13)

Essas suas ultimas portas controladas tambem podem ser escritas em termos dasoperacoes para um q-bit X-Pauli, Y -Pauli e Z-Pauli. A porta de Troca fica entao [?]

Sij =1

2(Ii ⊗ Ij +Xi ⊗Xj + Yi ⊗ Yj + Zi ⊗ Zj) , (B.14)

enquanto que a porta Z-controlada ficar escrita como [?]

CZij =

1

2(Ii ⊗ Ij + Ii ⊗ Zj + Zi ⊗ Ij − Zi ⊗ Zj) . (B.15)

Portanto, com essa breve introducao a computacao quantica poderemos trabalhartranquilamente a construcao de portas quanticas para um e para dois q-bits atraves dedefeitos topologicos e da interacao entre momentos de dipolos e campos magneticos eeletricos externos.

B.3 Conjunto de Portas Universais

Nesta secao mostraremos que podemos construir um conjunto de portas quanticaspara um e dois q-bits que permitem que se faca qualquer rotacao de um q-bit na esferade Bloch e se possa manipular dois q-bits que interagem entre si. O conceito de univer-salidade na computacao quantica esta relacionado com o uma operacao unitaria qualquer(uma rotacao) que pode ser construıda com precisao arbitraria por um circuito quanticoevolvendo somente aquelas portas [120]. O conjunto de portas quanticas universais maisconhecido na Literatura e formado pelas portas Hadamard, porta de fase, porta T eCNOT.

Vamos entao mostrar que as portas Hadamard e T constituem um conjunto de portasquanticas universal para um q-bit. Para isso, considere-se a porta T e a porta construıdapela combinacao HTH. A combinacao HTH resulta em

HTH =1

2

(1 + eiπ/4 1− eiπ/41− eiπ/4 1 + eiπ/4

)=eiπ/8

2

(cos π

8−i sin π

8

−i sin π8

cos π8

), (B.16)


que nada mais e que uma rotacao de π/4 radianos em torno do eixo x da esfera de Bloch,ou seja, HTH = Rx (π/4). Sendo a porta quantica T uma rotacao de π/4 radianos emtorno do eixo z da esfera de Bloch, pode-se gerar uma rotacao na direcao de um vetorarbitrario ν com a combinacao

Rν (θ) = Rz (π/4) Rx (π/4) = e−iπ8σz e−i

π8σx

=[cos

π

8I − i Z sin

π

8

] [cos

π

8I − iX sin

π

8

](B.17)

= cos2 π

8I − i

[cos

π

8X + sin

π

8Y + cos

π

8Z]

sinπ

8,

que corresponde a uma rotacao em torno de um eixo ~ν =(cos π

8, sin π

8, cos π

8

)da esfera

de Bloch, sendo o angulo θ definido por cos θ2

= cos2 π8. Portanto, usando a portas

quanticas Hadamard e π/8 pode-se obter uma rotacaoRν (θ). Aplicando-se, entao, Rν (θ)diversas vezes, tem-se uma boa aproximacao para uma rotacao qualquer Rν (α) compreciscao arbitraria. Nao iremos mostrar a prova desta ultima afirmacao aqui para naonos estendermos muito. Maiores detalhes sobre a aplicacao repetida de Rν (θ) para obteruma rotacao qualquer Rν (α) com precisao arbitraria, consultar a referencia [120].

Dessa forma, como a porta CNOT atua sobre dois q-bits interagentes e as portasHadamard, π/8 e a porta de fase sendo aplicadas diversas vezes produzem rotacoes comprecisao arbitraria, entao, temos que esse conjunto de portas quantica servem para realizarqualquer operacao para a implementacao da computacao quantica.

Apendice C

Dimensoes Extras: Teoria de

Kaluza-Klein

A ideia de utilizar dimensoes extras na relatividade geral foi proposta por Th. Kaluza[155] em 1921 com a finalidade de unificar a gravitacao e o eletromagnetismo. Kaluzaadotou a hipotese que o Universo poderia possuir outras dimensoes espaciais alem dasdimesoes x, y, z que sao compactadas em um espaco mınimo, isto e, em um espaco taopequeno que facilmente escapa a deteccao. Desse modo, Kaluza considerou um espaco-tempo pentadimensional ou um espaco-tempo em (4 + 1) dimensoes, onde era imposta adimensao espacial extra que todas derivadas em relacao a quinta dimensao fossem nulas.Assim, nenhuma grandeza fısica dependeria da coordenada extra.

A contribuicao dada por O. Klein [156] em 1926 foi em compactificar essa dimensaoextra proposta por Kaluza. A compactificacao significa que ao inves de termos maisuma teoria com a dimensao sendo infinita, pode-se mudar a teoria de modo que estadimensao extra tenha um comprimento finito e que deva ser periodica. A compactificacaoe feita assumindo que a dimensao extra tem a topologia de um cırculo de raio muitopequeno. Assim, a dimensao extra tem a propriedade de ser periodica, ou seja, sendo ya dimensao extra e T o perıodo, entao y′ = y + T . Assim, as tres dimensoes espaciaisx1, x2, x3 sao consideradas como dimensoes estendidas e qualquer dimensao espacial extrae considerada pequena e circular, ou seja, compacta. Nessa dimensao extra, os camposfısicos dependem da periodicidade da dimensao extra e podem ser expandidos em modosde Fourier1 [157, 158].

A teoria de Kaluza-Klein e uma forma de escrever a relatividade geral em dimensoesmaiores que as 4 ou (3 + 1) estabelecidas por Einstein. A dimensao ou dimensoes extrasque sejam consideradas pela teoria de Kaluza-Klein deve sempre ter a topologia de umcırculo, cujo raio deve se considerando sendo muito pequeno. O elemento de linha para o

1Nota: Com a expansao do campo eletromagnetico em modos de Fourier tornou-se possıvel ter uma

explicacao teorica para a quantizacao da carga eletrica. Para maiores detalhes ver referencia [157].

160

APENDICE C. DIMENSOES EXTRAS: TEORIA DE KALUZA-KLEIN 161

espaco-tempo em (4 + 1) dimensoes e escrito na forma [157, 158, 159, 160]

ds2 = gAB dxA dxB

(C.1)= gµν dx

µ dxν + (dy + κAµ (x) dxµ)2 ,

onde os ındices gregos µ, ν indicam as coordenadas do espaco-tempo, a coordenada y indicaa dimensao extra onde a periodicidade da coordenada extra e dada aqui no intervalo 0 ≤y ≤ l, onde y′ = y+2πl. κ e uma constante conhecida como constante de Kaluza que temdimesao de (massa)−1 ou comprimento de modo que o termo κAµ (x) seja adimensional.O termo Aµ (x) e o potencial de gauge do eletromagnetismo e tem unidade de massaou de (comprimento)−1 e satisfaz as transformacoes de gauge abelianas discutidas narelatividade geral em (3 + 1) dimensoes, ou seja

Aµ → A′µ = Aµ + ∂µε. (C.2)

Sem perda de generalidade, o campo de gauge Aµ (x) pode ser considerado comonao-abeliano, ou seja, ele ira satisfazer a transformacoes de gauge nao-abelinas ou trans-formacoes de gauge de Yang-Mills [157]

Aaµ → Aa

µ′ = Aa

µ + ∂µεa + Cabc ε

bAcµ, (C.3)

onde os ındices a,b, c indicam que os campos de gauge sao nao-abelianos.E interessante notar que os spinores sao definidos na relatividade geral localmente

atraves das componentes de uma base nao-coordenada chamadas tetradas ou vierbein,isto e, θa = eaµ (x) dxµ. Da mesma forma, quando estamos trabalhando com a teoria deKaluza-Klein, os spinores devem continuar sendo definidos localmente onde a base nao-coordenada fica senda dada por θA = eAA (x) θA e as componentes da base nao-coordenada(funfbein) satisfazem a relacao

gAB (x) = eAA (x) eBB (x) ηAB, (C.4)

com os ındices A,B = µ, y indicando os ındices do espaco-tempo µ = x0, x1, x2, x3 ey sendo a dimensao extra. Os ındices A, B = a, 5 indicam os referenciais locais dosobservadores, onde a = 0, 1, 2, 3. Dessa forma, a expressao para a derivada covariante deum spinor na teoria de Kaluza-Klein deve ser escrita como

∇A = ∂A + ΓA = (∂µ + Γµ) + (∂y + Γy) , (C.5)

onde a conexao spinorial tem a mesma forma que discutimos no capıtulo 1, expressao(1.97)

Γµ =i

4ωµAB ΣAB; Γy =

i

4ωyAB ΣAB, (C.6)

onde ΣBC = i2

[γB, γC

]e com as matrizes de Dirac γA satisfazendo a relacao

γA, γB

=

−2ηAB, ηAB = diag (−1, 1, 1, 1, 1). O termo ωABC (x) satisfaz as equacoes de estrutura deMaurer-Cartan [159, 160]

dθA + ωAB ∧ θB = 0. (C.7)

APENDICE C. DIMENSOES EXTRAS: TEORIA DE KALUZA-KLEIN 162

Devido a periodicidade da coordenada extra, pode-se escrever o spinor de Dirac emtermos dos modos de Fourier, ou seja,

Ψ (xµ, y) =∞∑

l=−∞

e2πil yL Ψl (x

µ) = Ψ0 (xµ) + e±2πi yL Ψ±1 (xµ) + . . . , (C.8)

onde L e uma escala da dimensao extra e Ψl (xµ) sao os modos massivos. Em especial, o

modo Ψ0 (xµ) corresponde a fermions sem massa que utilizamos na descricao do grafenofeita na secao 7.1. Em outros estudo, o modo zero corresponde a fermions sem cargaeletrica [160].

Portanto, com esta breve introducao sobre a teoria de Kaluza-Klein somos capazes deestudar a aplicacao do teoria de Kaluza-Klein no grafeno. O grafeno tem uma propriedadevinda de sua relacao de dispersao que nos permite estudar efeitos quanticos atraves daequacao de Dirac para um fermion sem massa em (2 + 1) dimensoes. Ao considerarmosuma dimenao extra para no grafeno, poderemos dar uma descricao geometrica para oK-spin e estudar a equacao de Dirac para um fermion sem massa em (3 + 1) dimensoes.

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