Neutron transzport
description
Transcript of Neutron transzport
Makai M: Neutrontranszport
2
Statisztikus fizika alapok
Vizsgáljunk egy N>>1 részecskéből álló rendszert!A részecske lehet:•atom•molekula•domain (nagyobb, bonyolultabb rész).
A részecskék közötti kölcsönhatás lehet:•közelhatás (ütközések adott szabályok szerint)•távolhatás (potenciáltér révén).
A részecskét leírhatjuk•klasszikusan (impuzus és hely, energia és idő, pálya stb.)• kvantumosan (felcserélési relációk, kizárási elv, hullám fv. stb.)
Makai M: Neutrontranszport
3
Klasszikus leírás
•mozgásegyenletek száma=szabadsági fokok száma. Ezek megoldásával minden egyes részecske mozgása leírható. A megoldás így kizárólag a kezdeti állapot függvénye. Mi történik, ha a kezdeti állapot csak kicsit változik meg? Káosz kialakulása pl. bolygórendszerekben.•A makroszkópikus test állapotát le lehet írni a statisztika törvé- nyeivel (pl. annak val.-ge, hogy az energia (E, E+dE) közé esik megadható.
Megfigyelés: a rendszer leírásához sokkal kevesebb változó kell, mint alkotóelemeinek száma.
Makai M: Neutrontranszport
4
Kvantumos leírás
•minden részecskére megoldandó a Schrödinger-egyenlet•a rendszer energiája „elkent”, mindig van kölcsönhatás•lényegében nincs stacionárius állapot, mert egy kis gerjesztés lecsengéséhez is igen hosszú idő kellene (th/E)•Schrödinger macskája (makroszkopikus fotonszám szuperpo- zíciója, C60 hullámviselkedése, rádiófrekvenciás szupravezető szuperpozíciós állapota)•a rendszer hullámfüggvénye nem építhető fel, mert a rendelke- zésünkre álló információ a szükségesnek csak töredéke•bevezethető viszont a sűrűségmátrix (ld. később).
Makai M: Neutrontranszport
5
Makroszkopikus állapotok szuperpozíciója BEK-ban
Makai M: Neutrontranszport
6
A makroszkopikus testek mozgását, viselkedését leíró törvényekáltalános jellege nem függ lényegesen a részecske leírásánakmódjától.
A statisztikus fizika tárgya:
egy sok részecskéből álló rendszer, jele: S.Minden rendszert felbonthatunk részrendszerekre, a részrend-szerek között kölcsönhatás van. Ha a rendszer egésze nem állkölcsönhatásban a külvilággal, akkor zárt rendszerről beszélünk. Az S1, S2, … részrendszerek közötti kölcsönhatások típusai:
•anyagáram (szigetelhető)•energiaáram (a gravitáció kivételével szigetelhető)•impulzusáram (szigetelhető)•impulzusmomentum (szigetelhető).
Makai M: Neutrontranszport
7
Klasszikus rendszer leírása
Legyen a vizsgált S rendszer szabadsági fokainak száma s. Ekkor S leírható a q1,…,qs általános koordinátákkal és a p1,…,ps általános impulzusokkal. A rendszer leírására tehát a (p,q) koordinátákból álló, 2s dimenziós fázistér (-tér) használható.Mivel a rendszer állapota a részecskék állapotainak direktszor-zata, a rendszer energiája gyakorlatilag folytonosnak tekinthető.Egy tetszés szerint kiválasztott részrendszer a rendszer többi ré-szével kcshatásban áll, ennek energiája sokkal nagyobb, mint azenergianívók távolsága.
Ezért feltehetjük, hogy elegendően hosszú idő után min-den állapotát elegendően sokszor veszi fel. Legyen
T
t
Tw
lim
Makai M: Neutrontranszport
8
Ahol t a pq infinitezimális fázistérfogatban eltöltött idő.Bevezetjük a (p,q) statisztikus eloszlásfüggvényt:
dpdqqpdw ),(
definíciója miatt a statisztikus átlagolás egy időbeni átlagolás-sal egyenlő (ergodikus rendszer):
dpdqqpfqpf ),(),(
dttf
Tf
T)(
1lim
Az állítások statisztikus jellegűek.
Makai M: Neutrontranszport
9
Kvantumos leírás
Tekintsünk egy S1 alrendszert S-ben. Az alrendszer energianí-vóinak száma 10N1 szerint változik egy véges (energia)intervallumban. Itt N1 az S1-ben lévő részecskék száma. (Minden részecske külön energianívó-sorozattal rendelkezik, a rendszerbenezek „összefésülendőek”.)Bontsuk föl S-t S1 és S2 (makroszkopikus) alrendszerekre. A mak-roszkópikus alrendszerek lényegében függetlenek egymástól:
21 Legyen az S1 alrendszer koordinátája (p1,q1), a maradéké pedig(p2,q2). S hullámfüggvénye (p,q)=(p1,p2,q1,q2) függ mindkétrészrendszer koordinátáitól. Ekkor az S1-re vett átlagolás ígyírható:
Makai M: Neutrontranszport
10
221122112211* ),,,(ˆ),,,( dqdpdqdpqpqpfqpqpf
Legyen a 1 sűrűségmátrix:
222211*
2211111 ),,,(),,,(),( dqdpqpqpqpqpqq
Amivel az átlagolás:
111111 ''|),,,(ˆ111,1
dqdpqpqpff qpqp
segítségével tehát egy fizikai mennyiség átlagértéke meghatá-rozható.
Makai M: Neutrontranszport
11
Az S rendszer leírása:
1, (-tér) fázistér: p1,…,ps, q1,…,qs s: szabadsági fokok száma2, fázistér (-tér): p1,…,pN, q1,…,qN N-részecskék száma3, sűrűség függvény: f(r,v,t)drdv megadja az (r,r+dr) körüli tér-fogatban található (v,v+dv) sebességű részecskék számát.4, Ekvivalens rendszerek (Gibbs-sokaságok): végtelen sok olyanS rendszer konstruálható, amelynek állapota a (redukált)fázistérben azonos. A rendszer leírására használható mennyiségeksokaságra vett átlagok.
Makai M: Neutrontranszport
12
Példák statisztikus fizika eszközeivel leírható rendszerekre:
•ideális gáz: pontszerű részecskék, rugalmas bináris ütközések, visszaverődés a (merev) falról (szimmetriasík)•neutrongáz: neutron--mag ütközések, az ütközés leírása: magreakciók (szórás, befogás, hasadás), molekuláris káosz (ld. később).•Reális gázok: véges térfogatú részecskék, a részecskéknek erőtere van (van der Waals-erők).•Kvantumfolyadékok: Bose-gáz, fermionok, kvantumstatisztikák.
Makai M: Neutrontranszport
13
Legegyszerűbb statisztikus fizikai modell:klasszikus autonóm rendszerek
S-t a (-térben) fázistérben írjuk le, q1,…,qs koordinátákkal.S állapota a fázistér egy pontja, a pont változását
),...,( 1 si qqFt
q
írja le. Az egyenletben nem szerepelnek a koordináták deriváltjai.Tegyük fel, hogy qi(t1)=qi(t2), t1t2 fennáll minden i-re. Ekkorfennáll
12);()( ttcctqtq ii
Makai M: Neutrontranszport
14
aminek alapján a megoldás folytatható tetszőleges argumentumra.Minden olyan c szám, amire az előző egyenlet fennáll, egy ciklusidő.
Kapcsolódó kérdések:
1. Adott egy diff. egyenlet. Mikor létezik periódikus megoldása? (A lehetséges c számok egymás többszörösei.)2. Létezik-e zárt pályát leíró megoldás? (A lehetséges c számok halmaza korlátos.)
Makai M: Neutrontranszport
15
Tekintsük az állandó együtthatós egyenletet.Ekkor a rendszer lehetséges trajektóriáit osztályozni lehet az alábbimódon:Legyen az egyenlet alakja
Aqq Legyenek az A mátrix sajátértékei 1,…,s. Az általános megoldás
s
i
tii
iehctq1
)(
Ahol Ahi=ihi, i=1,…,s.
tii
iec Új jelölés:
Makai M: Neutrontranszport
16
A pálya alakulását s=2 esetén jól lehet ábrázolni, amennyiben a h1
és h2 vektorok időfüggő amplitudóit rajzoljuk az 1 ill. 2 tengelyre.
sii qqfq ,...,1i, 0 >0 <0
Makai M: Neutrontranszport
17
=0 Visszatranszformálás után(általános kép)
Makai M: Neutrontranszport
18
1<0, 2<0 1>0,2>0