Netiesinė optika. Netiesinis poliarizuotumas Trečios eilės...

Netiesinė optika. Netiesinis poliarizuotumas

Trečios eilės netiesinės terpės

Antros eilės netiesinės terpės

Istorija

Pirmasis netiesinės optikos eksperimentas – antros harmonikos generavimas

Istorija

Netiesinis poliarizuotumas

Aptariant šviesos sklidimą dispersinėje terpėje nagrinėjome vandenilio

atomo elektrono judėjimą išoriniame elektriniame lauke.

Buvom gavę lygtį:

)(teErr

Urm

ef

Efektinis potencialas:

r=p

r0

Uef

r


Tuomet efektinį potencialą skleidėm Teiloro eilute iki antros eilės išvestinės:

.)(

,0)(

),(

.)(2

1)(

2

2

min

2

min

dr

prUd

dr

prdUprUU

prUrU

efef

efef

efef

Tokiu atveju gaunamas elektrono judėjimas išoriniame harmoniniame lauke

yra harmoninis, jo daţnis sutampa su išorinio elektrinio lauko stiprio daţniu.

Esant stipriems laukams, pasireiškia judėjimo anharmoniškumas, reikia

skleisti Teiloro eilute su daugiau narių. Judėjimo lygtyje atsiras netiesiniai

nariai.

...)(4

1)(

3

1)(

2

1)( 4

2

3

1

2

min prprprUrU efef


Tuomet iš Lagrandţo lygties gausime judėjimo lygtį:

./

,)(/...2 3

2

2

1

2

00

m

tmEexxxxx

jj

Kai nagrinėjom impulso sklidimą tiesinėje dispersinėje terpėje, rašėm

)exp()( 0 tiEtE

Kai lygtis netiesinė, reikia rašyti tikslią išraišką:

)cos()( 0 tEtE

Taigi, gaunam lygtį

,)cos(/2 0

3

2

2

1

2

00 tmEexxxxx

Tai yra anharmoninio osciliatoriaus lygtis.


)cos(/2 0

3

2

2

1

2

00 tmEexxxxx

Sprendţiame šią lygtį trikdţių teorijos pagalba.

...)2()1()0( xxxx

Nuliniu artiniu gauname ankščiau nagrinėtą harmoninio osciliatoriaus lygtį:

)cos(/2 0

)0(2

0

)0(

0

)0( tmEexxx

Jos sprendinys:

)cos(0

)0( tax

Pirmuoju artiniu gaunama lygtis:

)2cos(10

)1( tbbx

02 2)0(

1

)1(2

0

)1(

0

)1( xxxx

ir


Antruoju artiniu

022 3)0(

2

)0()1(

1

)2(2

0

)2(

0

)2( xxxxxx

Netiesiniai nariai šioje lygtyje yra šaltiniai daţnio bangoms. 3

Tokiu atveju poliarizuotumui gauname:

...)3cos()2cos()cos( 3210 tPtPtPPP

)1(̂ )2(̂ )3(̂ Tiesinis, kvadratinis, kubinis dielektrinio jautrio tenzoriai

arba

Paţymėta

Kai laukas pakankamai silpnas, į šioje eilutėje galime atmesti aukštesnius

narius. Poliarizuotumas susideda iš tiesinės bei netiesinės dalių:

...:ˆ:ˆ

,:ˆ

,

)3(

0

)2(

0

)(

)1(

0

)(

)()(

EEEEEP

EP

PPP

nt

t

ntt


Iki šiol buvo skaitoma, kad krentanti banga monochromatinė.

Tačiau bendru atveju spektro plotis baigtinis – impulsas.

Atvirkštinė Furjė transformacija:

dtetEE ti

)(

2

1)(

)()()(:),,(ˆ)(

)()(:),(ˆ)(

),(:)(ˆ)(

321321

)3(

03214

)3(

2121

)2(

0213

)2(

)1(

0

)1(

EEEP

EEP

EP

Ţymėsime

Atskiriems Furjė komponentams rašome

Rasime priklausomybę nuo laiko poliarizuotumų.


Rasime tiesinį poliarizuotumą, atlikę Furjė transformaciją:

dePtP ti)(2

1)( )1()1(

11

)1(0)1(0)1( 1)()(2

)()(2

)( dtdetEdeEtPtititi

Paţymime – tiesinio

atsako funkcija )()(

2

11

)1()()1( 1 ttdetti

tai

)()()()()( 11

)1(

1011

)1(

10

)1( ttEtdttEttdttP

Jei -delta funkcija, t.y. nėra netiesinės dispersijos, tai integruoti

nereikia


Analogiškai gauname netiesinius poliarizuotumus:

Buvo

Kvadratinio atsako funkcija


Kubinio atsako funkcija


Panagrinėkime netiesinę izotropinę terpę. Dėl aukštos simetrijos

kvadratinis dielektrinis jautris lygus nuliui ir 0)2( P

Tokios terpės yra trečios eilės netiesinė terpės arba kubinės terpės.

Panagrinėsime šviesos impulso saviveiką tokioje terpėje.

..)(2

1),( )( jketAetrE rkti

Įrašome į

Rašysime skaliarus

vietoj vektorių-

tiesinė poliarizacija


Prielaida: kinta daug lėčiau nei

Kodėl 3/8

Trigubo daţnio komponentai, nesvarbūs saviveikai

Atsakas momentinis.


Netiesinis lūţio rodiklis.

Dėl terpės netiesiškumo kinta lūţio rodiklis. Atsiranda priedas,

priklausantis nuo intensyvumo.

Elektrinio lauko indukcijos vektorius:

čia


Įrašome

Į

gauname

Taikoma, kad A(t) kinta daug lėčiau nei tiesinio atsako funkcija –

beinercinis atsakas.


Buvo

Taigi


Dielektrinė skvarba

Tiesinis lūţimo

rodiklis


Laikysime, kad 0)Im()Im( )3()1(

Tuomet

2)3(

2

0

2

0

2 ||ˆ4

31 A

nnn

nnAn

nAn

nn 0

2)3(

2

0

0

2)3(

2

0

0 ||ˆ8

3||ˆ

4

31

2)3(

2

0

||ˆ8

3A

nn 1||ˆ

4

3 2)3(

2

0

An


Galima parašyti

InnAnnn I )(

20

2

20 ||2

1

I

Ann

nn I

2

||,

4

3 2

2)(

2

)3(

0

2

čia

20 ||2

Acn

I

Kadangi

0

2

0

)3(

00

2)(

24

3

cnnc

nn I tai

Vandenyje netiesinis lūţimo rodiklis lygus Wcm /102.3 216

netiesinis lūţimo rodiklis


Netiesinė Šrėdingerio lygtis

Maksvelo lygtys:

Netiesinėje izotropinėje terpėje:

Antroji lygtis:



Paveikiame rotoriumi



Lėtai kintančių amplitudţių artinys:

Banginė lygtis



Tiesinis atsakas inertinis.



Vėl laikysim, kad netiesinis atsakas beinertinis.

Banginėje lygtyje rašysime



A(t) lėtai kintanti funkcija palyginus su exp(i[...])



-grupinis greitis ir ggd koef.



Lėtai kintančių amplitudţių artinyje



Atmetus štrichus:

Tai yra netiesinė Šrėdingerio lygtis.

Aprašo grupinių greičių dispersiją ir saviveiką.

Su šia sąlyga buvo išvesta dispersinio plitimo lygtis

Dabar- lėtai kintančių amplitudţių sąlyga.

Analogija tarp šių dviejų sąlygų.

Per egzaminą netiesinės Šrėdingerio lygties išvedimo nereikės.


Netiesinė Šrėdingerio lygtis. Normavimas

Pradinė sąlyga

Lygtis su bedimensiniais kintamaisiais.


Panagrinėkime netiesinio nario įtaką, Laikysime, kad GGD neţymi,

tai yra nėra antro nario.

Normuojame į netiesinį ilgį:

Ši lygtis sprendţiasi analiziškai.


Sujungiam kompleksiškai

Galima parašyti

Sprendinys

Laboratorinis darbas

Impulso savimoduliacija

Gauso impulso atvejis


Savimoduliacija.

Fazės pokytis

Daţnio moduliacija

Gauso impulsui


Savimoduliacija.

Koordinačių pradţioje daţnio moduliacija arti tiesinės.


Netiesinė Šrėdingerio lygtis normalios GVD atveju.

Netiesinė Šrėdingerio lygtis aprašo impulsų sklidimą netiesinėje terpėje,

pavyzdţiui šviesolaidyje. Joje įskaitoma grupinių greičių dispersija (antras

dispersijos teorijos artinys) bei netiesinis poliarizuotumas.

,0=-2

+2

12

2

AAt

Ag

z

Ai

g>0 ir 10 Normali GGD

22

d

=zLg

zt

Daţnio moduliacija dėl GGD:

•Dėl netiesiškumo impulso spektras labai išsiplečia,tuo tarpu GGD spektro

neplečia, tik sukuria daţnio moduliaciją, dėl ko impulso trukmė išauga.

• Formuojasi plokščios viršūnės impulsas su beveik tiesine daţnio mod.-a.

000 g

.1 2

0

00

dL

zz

impulso viršūnės amplitudė

didėja ir pasiekia maksimumą

kai

Šiame taške Gauso impulsas pilnai sufazuotas

0zz

(3) kreivė

,1 2

0

0min

.14 2

0max vaa

.arctan2

10

Moduliuotos fazės šviesos impulsų dispersinis sklidimas

t

plėtra

spūda spūda



Netiesinė Šrėdingerio lygtis normalios GVD atveju.

Skaitmeninis modeliavimas

amplitudė spektras

laikas daţnis

Plokščios viršūnės impulsą galima efektyviai suspausti panaudojus terpę

su neigiama GGD. Suspausto impulso trukmė /2Dėl fazinės savimoduliacijos spektro plotis platus, dėl to gaunami trumpi

Impulsai. Dviejų lygiagrečių gardelių sistema- neigiama GGD.


Šviesos impulsų spaustuvai.


Šrėdingerio solitonai

,0=-2

+2

12

2

AAt

Ag

z

Ai

Turime:

g0 ir 10

Anomali grupinių greičių dispersija.

Kai PPkr , solitonas sklinda nekeisdamas savo pavidalo:

Jeigu impulso galia P<Pkr, impulsas sklisdamas išplis ir solitonas nesusiformuos


Jeigu P>Pkr , tada impulsas pradţioje spausis, o po to formuosis

daugiasolitonis impulsas, kurio pavidalas periodiškai atsikartos



Solitonų

trauka

Solitonų

stūma

(animacijos) laikas

Solitonų sąveika priklauso nuo tarpusavio fazės.


Smūginės bangos

Trumpiems (femtosekundiniams) impulsams:

tuomet gautume lygtį:

0=-2

1

+

2

1

2

2

2

02

1t

AAiAA

t

Ag

t

AAβ

ui

z

Ai

Matome, kad efektyvus grupinis greitis priklauso nuo intensyvumo,

susidaro smūginė banga.


Smūginės bangos

(animacijos) laikas


Pluoštų fokusavimasis

Šviesos pluoštams lūţio rodiklis, o kartu ir fazinis greitis priklausys

nuo pluošto intensyvumo, kuris priklauso nuo skersinių koordinačių:

),()(

2 yxInn

cv

If

Tai reiškia, kad centrinė bangos fronto dalis, kur

intensyvumas maksimalus, atsiliks kraštinių dalių atţvilgiu.

zf

GVD koeficiento ţenklas

2010 )(n didėja didėjant daţniui

sugerties sričių

centriniai daţniai

n

cv

d

dn

n

c

d

dv2

Fazinis greitis – jo išvestinė neigiama

Skaidrumo srityje lūţio rodiklis

Normalioji fazinio greičio dispersija

d

dnturi minimumą, taškas A


d

du

uud

d

d

kdg

22

2 11

Grupinių greičių dispersijos koeficientas:

d

dnn

u

c )(

Minimumas taške B, paslinktas

į kairę taško A atţvilgiu.

Taške B GVD koeficientas

lygus nuliui


d

du

uud

d

d

kdg

22

2 11

0g 0

d

du

Turime anomaliąją grupinių greičių dispersiją.

0g 0d

du

Turime normaliąją grupinių greičių dispersiją.

0ggrupinių greičių dispersijos apskritai nėra.

Tai yra teisinga antrojo dispersijos teorijos artinio ribose.


Dėl anharmoniškumo atsiranda netiesiniai poliarizuotumo nariai.

Izotropinėje terpėje galėjome nepaisyti lyginių skleidimo narių.

Anizotropinėje terpėje jie nelygūs nuliui. Laikysime, kad kubinio

netiesiškumo nario galime nepaisyti, tuomet poliarizuotumas


Monochromatinės bangos atvejis:

..)(exp2

1jkrktiAeE

tuomet

tdtit

jkrktieAP

jktdrkttietAP

ijij

jiji

jiji

)exp()()(

..)(exp)(2

1

..)()(exp)(2

1

)1()1(

)1(

0

)1(

)1(

0

)1(

Monochrom. bangos sukurtas pirmos eilės poliarizuotumas yra to paties

daţnio kaip ir sklindanti banga.


Panagrinėkime trijų monochromatinių bangų kuriamą netiesinę poliarizaciją.

..)(exp2

1 )( jkrktiAeE lll

l

l

3,2,1l

Tuomet

Sumuojama

pagal

Buvo

Skirtingas sandaugas atitiks skirtingi jautriai:

),(,

),(,

)2(*

)2(

mlijkml

mlijkml

AA

AA

Sumos pagal m ir l.


Galioja perstatymo simetrijos, pavyzdţiui:

),(),( )2()2(

lmikjmlijk

Antros eilės poliarizuotumo vektoriaus komponentui gauname

..)()(exp),(4

)()(exp),(4

*)()()2(0

)()()2(0)2(

jkrkktiAAee

rkktiAAeeP

mlmlml

m

k

l

jmlijk

mlmlml

m

k

l

jmlijki

ml Kombinaciniai daţniai

Poliarizuotumo banga sklis greičiu

||,

ml

mlml

kkv

Poliarizuotumas į Maksvelo lygtis įeina kaip šaltinis. Kurs šių daţnių bangas:


332313

322212

312111

332313

322212

312111

0

0

0

2

2

2

2313

3212

3121

32313

32212

31211

Suminiai, dvigubi, skirtuminiai ir nuliniai daţniai.


Maksvelo lygtys:

0

00

Hdivt

DHrot

Ddivt

HErot

Elektrinės indukcijos lygtis:

PED

0 čia )2()1( PPP

2

)2(2

02

)1(2

02

2

2

2

2

0

1

t

P

t

P

t

E

vErotrot

t

DErotrot

Turime


Pozytyvi inerferencija

00 ,rt rkkti mlml

)()(exp Poliarizuotumas

sukuria bangą rktiaE

exp0

sklindančią faziniu greičiu ||/ kv f

rt

,

|| ml

mlp

kkv

Poliarizuotumas, sklindantis faziniu greičiu

sukuria bangą 1E

Pozytyvi interferencija bus tuomet, kai

pf vv

ml

ml

kkk


Kadangi c

nk

ir )(nn tai minėtos sąlygos bus išpildomos tik kai

kurioms daţnių kombinacijoms

Pavyzdţiui:

231321

123

123

,,

kkk

rezonansiniai daţniai

arba

321231

213

,,

rezonansiniai daţniai

Toliau laikysime, kad fazinis sinchronizmas pasiekiamas tik tokiems daţniams

231132213

123

,,

poliarizuotumo daţniai:

Anizotropinės terpės – ‘o’ ir ‘e’ bangos..


Paţymėsim

rktiAeE

rktiAeE

rktiAeE

jkEEEE

333

)3()3(

222

)2()2(

111

)1()1(

)3()2()1(

exp

exp

exp

..2

1

tuomet

)()1(

0

))(1(

)()1(

0

))(1(

)3)(1()2)(1()1)(1()1(

)(

:)(ˆ

..2

1

j

njmn

j

m

j

j

j

EP

EP

jkPPPP

komponentams


Paţymėsime, kad kvadratiniame poliarizuotume daţnio

banga atsiranda du kartus, nariuose: 13

rkktiAAee kjijk

)()(exp),( 1313

*

13

)1()3(

13

)2(

bei

*3131

*

31

)3()1(

31

*)2( )()(exp),( rkktiAAee kjijk

kadangi

),(),(

),(),(

13

)2(

31

)2(

)2(*)2(

ikjijk

mlijkmlijk

tai antrasis narys sutampa su pirmuoju:

rkktiAAee jkikj

)()(exp),( 1313

*

13

)1()3(

13

)2(

Analogiška situacija ir su kitų daţnių bangomis.

..)()(exp),(4

)()(exp),(4

*)()()2(0

)()()2(0)2(

jkrkktiAAee

rkktiAAeeP

mlmlml

m

k

l

jmlijk

mlmlml

m

k

l

jmlijki


Turime

..)()(exp),(24

)()(exp),(24

)()(exp),(24

2323

*

23

)2()3(

23

)2(0

1313

*

13

)1()3(

13

)2(0

212121

)2()1(

21

)2(0)2(

jkrkktiAAee

rkktiAAee

rkktiAAeeP

kjijk

kjijk

kjijki

arba

)2()1(

21

)2(

0

)3)(2(

*)1()3(

13

)2(

0

)2)(2(

*)2()3(

23

)2(

0

)1)(2(

)3)(2()2)(2()1)(2()2(

),(

),(

),(

..2

1

kjijki

kjijki

kjijki

iiii

EEP

EEP

EEP

jkPPPP

čia

rktiAeE

rktiAeE

rktiAeE

333

)3()3(

222

)2()2(

111

)1()1(

exp

exp

exp

Buvo


Vektoriams:

)2()1(

21

)2(

0

)3)(2(

*)1()3(

13

)2(

0

)2)(2(

*)2()3(

23

)2(

0

)1)(2(

)3)(2()2)(2()1)(2()2(

),(ˆ

),(ˆ

),(ˆ

..2

1

kj

kj

kj

EEP

EEP

EEP

jkPPPP

1

2

3

atitinka

šiuos

daţnius

Turime:

)2()1(

21

)2(2

300

)3(

3

)1(2

300

)3(

2

2

3)3(

*)1()3(

13

)2(2

200

)2(

2

)1(2

200

)2(

2

2

2)2(

*)2()3(

23

)2(2

100

)1(

1

)1(2

100

)1(

2

2

1)1(

),(ˆ)(ˆ

),(ˆ)(ˆ

),(ˆ)(ˆ

EEEEc

Erotrot

EEEEc

Erotrot

EEEEc

Erotrot

2

)2(2

02

)1(2

02

2

2

1

t

P

t

P

t

E

vErotrot

Banginė lygtis


)(ˆ1)(ˆ )1(

jj 2

00 /1 c

Kadangi

tai

)2()1(

21

)2(

2

2

3)3(

32

2

3)3(

*)1()3(

13

)2(

2

2

2)2(

22

2

2)2(

*)2()3(

23

)2(

2

2

1)1(

12

2

1)1(

),(ˆ)(ˆ

),(ˆ)(ˆ

),(ˆ)(ˆ

EEc

Ec

Erotrot

EEc

Ec

Erotrot

EEc

Ec

Erotrot

Toliau laikysime, kad visos trys bangos sklinda z ašies kryptimi. Amplitudė

gali kisti dėl netiesinės sąveikos bei sugerties.

zktizAeE jjj

jj exp)()()(

)2()1(

21

)2(2

300

)3(

3

)1(2

300

)3(

2

2

3)3(

*)1()3(

13

)2(2

200

)2(

2

)1(2

200

)2(

2

2

2)2(

*)2()3(

23

)2(2

100

)1(

1

)1(2

100

)1(

2

2

1)1(

),(ˆ)(ˆ

),(ˆ)(ˆ

),(ˆ)(ˆ

EEEEc

Erotrot

EEEEc

Erotrot

EEEEc

Erotrot


Turime EEdivgradErotrot

)(

lygu nuliui (iš Maksvelo lygties),

neįskaitomas nunešimas

2

2

z

EErotrot

Taigi

)2()1(

21

)2(

2

2

3)3(

32

2

3

2

)3(2

*)1()3(

13

)2(

2

2

2)2(

22

2

2

2

)2(2

*)2()3(

23

)2(

2

2

1)1(

12

2

1

2

)1(2

),(ˆ)(ˆ

),(ˆ)(ˆ

),(ˆ)(ˆ

EEc

Ecz

E

EEc

Ecz

E

EEc

Ecz

E


Pirmajai lygčiai turime

zkkti

zktizkti

eAAeec

eAecz

eAe

2323

11

11

*

23

)2()3(

23

)2(

2

2

1

)(

1

)1(

12

2

1

2

)(

1

2)1(

),(ˆ

)(ˆ)(

arba

zkkktieAAeee

c

Aeec

Akz

Aik

z

A

123123*

23

)2()3(

23

)2()1(

2

2

1

1

)1(

1

)1(

2

2

11

2

11

12

1

2

),(ˆ

)(ˆ2

Fazinio sinchronizmo sąlyga gali būti tenkinama apytiksliai. Įveskime

123 kkkk


z

Ak

z

A j

j

j

2

2

Lėtai kintančių amplitudţių atveju

kzi

kzi

kzi

eAAiz

A

eAAiz

A

eAAiz

A

2133

*

1322

*

2311

Ir gauname

Terpė be nuostolių. Neįskaitėme bangų dispersijos bei difrakcijos.

Atsirastų išvestinės pagal laiką ir erdvines koordinates.

Fazinis sinchronizmas kolinearių bangų atveju

213 kkk

c

nk

jj

j

)(


Kad pasiektume fazinį sinchronizmą, turi būti tenkinamos sąlygos

lūţimo rodikliams. Tai pasiekiama anizotropinėse medţiagose.

Nagrinėsim netiesinius vienašius kristalus.

Antros harmonikos generacija.

2/321

Tuomet

)2(2)()(

)2(2)()(

111

111111

nnn

nnn

Galimos sąveikos

)2(2)()( 1101 e

o nnn

)2(2)()( 111 ee

o nnn

)2(2)()( 1011 nnn ee

)2(2)()( 10101 nnne

Neigiamas kristalas Teigiamas kristalas

I tipo

II tipo

oo-e

oe-e

ee-o

eo-o


xn

zn

en

on

)(en

xn

zn

en

on

oe nn oe nn

Neigiamas kristalas Teigiamas kristalas

Elipsės lygtis: 12

2

2

2

e

x

o

z

n

n

n

n

cos,sin e

z

e

x nnnn

222

0

2

0 cos)(

e

eoe

nnn

nnn


xn

zn

s

2/321

Paţymime:

)2()( 110 enn

)2(),2(),( 1210021001 ee nnnnnn

Turime: se

e

nnn

nnn

22

2

2

02

2

02

20201

cos

Iš čia

2

2

2

02

2

2

2

01

01

02arccose

es

nn

nn

n

n

I tipo sinchronizmas neigiamame kristale antros harmonikos generacijos

atveju:


2

2

2

02

2

2

2

01

01

02arccose

es

nn

nn

n

n

Turi būti nes 201 enn 202 enn

90,201 senn Nekritinis fazinis sinchronizmas

90s Kritinis fazinis sinchronizmas


Dinaminės lygtys, aprašančios antros harmonikos amplitudės augimą plokščių

monochromatinių bangų atveju:

2

133

3

*

111

Az

A

AAz

A

oo-e sąveika, neįskaitomi tiesiniai nuostoliai.

II harmonika

I harmonika

Laboratorinis darbas Nr XX:

Antrosios harmonikos generacija

2

133

3

*

111

Az

A

AAz

A

Šios lygtys turi analizinį sprendinį. Sumodeliuosim šias lygtis pirmuoju

Oilerio metodu ir palyginsime sutapimą su analiziniu sprendiniu.

31

Normavimas:

II h

I h

)/tanh( nLz

)/cosh(/1 nLz

Antrosios harmonikos generacija

2

133

3

*

111

Az

A

AAz

A

Šias lygtis galima modeliuoti ir aukštesniais Oilerio metodais.

Optimaliausias – 4-as Oilerio metodas arba Runge-Kutta metodas.

Reikia naudoti Matlab funkciją ode45(@funk,[0 zgal],[x10 x20 x30 x40]).

[0 zgal] – integruojama nuo 0 iki zgal

X10, x20,...-pradinės sąlygos.

@funk – funkcija, kuri aprašoma to paties pavadinimo faile (funk.m)

Joje įrašomos lygtys.

Be to prieš integruojant uţduodamas tikslumas:

options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5 1e-4]);

Matlab Help raktaţodis: ODE::defined

Šiuo atveju tai yra 4 paprastos dif. lygtys (ode).

X(1), X(2), X(3), X(4) – 4 kintamieji,

Atitinkantys Re(A1), Im(A1), Re(A3), Im(A3)


Antros harmonikos generacija

Tai yra suminio daţnio generacijos atskiras atvejis.

(2)


Suminio daţnio generacija ir parametrinis stiprinimas

(2)

1

2

3

Suminio dažnio generacija Parametrinis stiprinimas


3

*

21 AAi

z

A

3

*

12 AAi

z

A

213 AAi

z

A

Parametrinis stiprinimas

1001 | AA z

0| 02 zA

3003 | AA z

00

2

zz

A

Plokščios bangos

ω3= ω1 +ω2

Stiprinama signalinė banga A1, imdama energiją iš

kaupinimo A3. Generuojama skirtuminio daţnio

šalutinė banga A2. Po tam tikro sklidimo nuotolio

procesas pereina į suminio daţnio (3-os) bangos

generaciją.

3

*

21 AAi

z

A

3

*

12 AAi

z

A

213 AAi

z

A

Parametrinė generacija

0| 01 zA

0| 02 zA

3003 | AA z

00

2

zz

A

00

1

zz

A

(2)

2

3

1

klasikinis aprašymas bejėgis!

ω3= ω1 +ω2

Parametrinė generacija: kvantmechaninis aprašymas

Skaičiaus operatorius: n=a+a

<n1,2 (t)>≠0, net kai <n1,2 (0)>=0

Fotonai atsiranda iš kvantinių triūkšmų!

Parametrinė generacija

Kaupinimas (A3) – Gauso pluoštas

Signalas (A1) - triukšmas

3

*

21 AAi

z

A

3

*

12 AAi

z

A

213 AAi

z

A

Parametrinis stiprinimas

(2)

1

2

3

1001 | AA z

0| 02 zA

3003 | AA z

00

1

zz

A

Plokščios bangos

)exp( 11 imA

)exp( 22 imA

)exp( 33 imA

m3= m1 +m2

ω3= ω1 +ω2

ω3

ω1

ω2

A. Beržanskis et al.,Conversion of topological charge of optical

vortices in a parametric frequency converter, Opt. Commun.,

(1997).

m1

m2

m3

m3= m1 +m2

(2)

1

2

3

m3

m1 m2

Suminio dažnio generacija Parametrinis stiprinimas

ω3= ω1 +ω2

Tribangė sąveika: optiniai sūkuriai

K. Dholakia, N. B. Simpson, M. J. Padgett, L Allen., Second-

harmonic generation and the orbital angular momentum of light,

Phys. Rev. A (1996).

Antros harmonikos generacija

(2)

m 2m

LG01 m=1 LG0

2 2m=2

Eksperimentas:

λ=1064nm λ=532nm

J. Arlt, K. Dholakia, L. Allen, and M. J. Padgett, Parametric

down-conversion for light beams possessing orbital angular

momentum, Phys. Rev. A (1999).

Parametrinė šviesos generacija

(2)

m m/2 ??

Eksperimentas: λ=532nm λ=1064nm

LG01 m=1

LG02 m=2

Judesio

kiekio

momentas

PŠG

neišsilaiko

kaip stebimas

dydis!?

A. Mair, A. Vaziri, G. Wiehs, A. Zeilinger, Entanglement of the

orbital angular momentum states of photons, Nature (London)

(2001).

Parametrinė generacija: pavienių fotonų LG0m modų

m3 m1

m2

A. Mair, A. Vaziri, G. Wiehs, A. Zeilinger, Entanglement of the

orbital angular momentum states of photons, Nature (London)

(2001).

lpump= l1 +l2, pvz.: 1=2+(-1)

1=1+0

1=0+1

Judesio kiekio momentas PŠG išsilaiko!

Parametrinė generacija: pavienių fotonų LG0m modų

Klasikiniu atveju stebima LG modų superpozicija.

Intensyvumo skirstinys: m=0 m=1

Beselio-Gauso modos

J. Durnin, Exact solutions for nondifracting beams. The scalar

theory. JOSA A. , (1987):

A(r,φ)=Jm(βr)exp(im φ)exp(-r2/d2)

Beselio-Gauso modos

Judesio kiekio momento srautas/energijos srautas:

L/cP =m/ω

K. Volke-Sepulveda et al., Orbital angular momentum of a high-

order Bessel light beam, Journal of Optics B, (2002):

Parametrinis šviesos stiprinimas: skersinio fazinio

sinchronizmo integralas:

|)()()()/exp(|2121213

0

22 dxxJqxJpxJgxxT mmmmmmm

Topologinio krūvio tvermės dėsnis: m3= m1+m2

Jei kaupinimo bangos m3=1, tai kuri pora m1 , m2 bus

efektyviausiai stiprinama???

Parametrinė šviesos generacija kaupinant

Beselio-Gauso moda

Kaupinimas: m3= 1

m1=1, m2=0 m1=2, m2=-1

Stiprinimas efektyviausias, kai m1=m3 , m2=0 arba m1=0 , m2=m3!

Patvirtinta eksperimentu. Klasikinių laukų atveju galima patikrinti

judesio kiekio momento tvermės dėsnį.

Šalutinės bangos stiprinimas, kai kaupinama m3=1 eilės

Beselio-Gauso moda: spektrai

m1=0, m2=1 m1=1, m2=0 m1=2, m2=-1

Split-step Fourier metodas

Šiuo metodu sprendţiamos netiesinės diferencialinės lygtys su

dalinėmis išvestinėmis.



Formalus sprendinys:

Paţymėkime


Skleidimas Teiloro eilute:

Tuo tarpu eksponenčių sandaugai turime:

tikslumu šios dvi išraiškos sutampa


Apytiksliai galioja:

Vietoj

rašome


Paţymime

Tai yra tokios lygties sprendinys:

Panašiai

lygties sprendinys


Sprendinys:

Sprendţiama RK4 metodu. -prad.sąlyga.


Simetrizuotas ‘split-step Fourier’ metodas:

Tikslesnis, nes eksponenčių skleidiniuose sutampa daugiau narių: iki

Laboratorinis darbas: Išspręsti netiesinę Šrėdingerio

lygtį šiuo metodu.

Netiesinė optika. Netiesinis poliarizuotumas Trečios eilės...

Documents

Transcript of Netiesinė optika. Netiesinis poliarizuotumas Trečios eilės...