NEKATERE POSEBNE VRSTE MATRIKizjavljam, da je diplomsko delo z naslovom Nekatere posebne vrste...
52
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo Diplomsko delo NEKATERE POSEBNE VRSTE MATRIK Mentorica: Kandidatka: doc. dr. Ajda Fošner Marta Butolen Maribor, 2010
Transcript of NEKATERE POSEBNE VRSTE MATRIKizjavljam, da je diplomsko delo z naslovom Nekatere posebne vrste...
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Oddelek za matematiko in računalništvo
Diplomsko delo
NEKATERE POSEBNE VRSTE
MATRIK
Mentorica: Kandidatka: doc. dr. Ajda Fošner Marta Butolen
Maribor, 2010
1
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
IZJAVA
Podpisana Marta Butolen, rojena 19. julija 1971, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, smer matematika – kemija, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom Nekatere posebne vrste matrik, pri mentorici doc. dr. Ajdi Fošner, avtorsko delo. V diplomskem delu uporabljeni viri in literatura so korektno navedeni, teksti niso napisani brez navedbe avtorjev.
Marta Butolen
Maribor, 2010
2
PROGRAM DIPLOMSKEGA DELA
Naslov diplomskega dela: Nekatere posebne vrste matrik Title: Some special types of matrices Diplomsko delo naj obravnava osnovne lastnosti diagonalnih, trikotnih, permutacijskih, Toeplitzovih in simetričnih n x n kompleksnih matrik. Pri vsaki vrsti matrik naj bo poudarek na posebnih lastnostih. Literatura: R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press. Cambridge, 1985. D. Kurepa. Viša algebra. Školska knjiga. Zagreb, 1965. E. M. Landesman, M. R. Hestens. Linear algebra for mathematics, science and
engineering. Practice – Hall International, 1992.
doc. dr. Ajda Fošner
Maribor, 22. 10. 2008
3
KRATEK POVZETEK VSEBINE V prvem delu diplomskega dela z naslovom Nekatere posebne vrste matrik so obravnavani osnovni pojmi matrik: osnovne lastnosti matrik, osnovne operacije z matrikami in računanje determinante matrik. Opisana je tudi enakost matrik, transponiranje in potenciranje matrik ter inverzna matrika. V drugem delu so zajete posebne vrste matrik: diagonalne matrike, trikotne matrike, simetrične matrike, simetrične Toeplitzove matrike in permutacijske matrike. Pri teh matrikah so navedene njihove posebne lastnosti. Posebej so dokazani osnovni izreki, ki vključujejo te matrike. KLJUČNE BESEDE: matrika, vrstica, stolpec, diagonala, transponirana matrika, inverzna matrika, determinanta, diagonalna matrika, trikotna matrika, zgornje trikotna in spodnje trikotna matrika, simetrična matrika, Toeplitzova matrika, permutacijska matrika. Math. Subj. Class. (2000): 51A20, 51M04.
SHORT SUMMARY
In the first part of the diploma, titled A few special types of matrices we discuss the basic concepts of matrices: basic qualities, basic operations with matrices and calculating matrix determinants. We also describe the matrix equality, transposition, inverse matrix. In the second part we discuss special types of matrices: diagonal matrices, triangular matrices, symmetrical matrices, symmetrical Toeplitz matrices and permutation matrices. We specify their special qualities. We focus on proves of basic theorems that involve these matrices. KEY WORDS: matrix, row, column, diagonal, transpose of matrix, inverse matrix, determinant, diagonal matrix, triangular matrix, upper and lower triangular matrix, symmetric matrix, Toeplitz matrix, permutation matrix.
4
Kazalo
1 MATRIKE ................................................................................................................... 6
1.1 Definicija matrike ..................................................................................................... 6
1.1.1 Enakost matrik ...................................................................................................... 7
1.1.2 Identična matrika .................................................................................................. 7
1.2 Osnovne operacije z matrikami ............................................................................... 8
1.2.1 Seštevanje matrik .................................................................................................. 8
1.2.2 Odštevanje matrik ................................................................................................. 9
1.2.3 Produkt matrike s skalarjem .................................................................................. 9
1.2.4 Množenje matrik ................................................................................................. 10
1.2.5 Potenciranje matrik ............................................................................................. 12
1.2.6 Transponiranje matrik ......................................................................................... 13
1.3 Determinanta matrike ............................................................................................ 14
1.3.1 Minor in kofaktor ................................................................................................ 15
1.3.2 Razvoj determinante ........................................................................................... 15
1.3.3 Determinanta matrik reda 2x2 ............................................................................. 16
1.3.4 Determinanta matrik reda 3x3 ............................................................................. 16
1.3.5 Determinanta matrik višjih redov ...................................................................... 17
1.4 Inverzna matrika .................................................................................................... 18
2 POSEBNE VRSTE MATRIK ............................................................................... 22
2.1 Diagonalne matrike ................................................................................................. 22
2.1.1 Definicija diagonalne matrike ............................................................................ 22
2.1.2 Determinanta diagonalne matrike ...................................................................... 23
2.1.3 Množenje diagonalnih matrik ............................................................................. 25
2.1.3.1 Množenje kvadratnih matrik z diagonalnimi matrikami ........................... 25
2.1.3.2 Množenje oziroma produkt dveh diagonalnih matrik ............................... 27
2.1.4 Bločno diagonalne matrike ................................................................................ 28
2.1.4.1 Bločne matrike ........................................................................................... 28
2.1.4.2 Definicija bločno diagonalne matrike ..................................................... ...29
2.1.4.3 Determinanta bločno diagonalne matrike .................................................. 30
2.1.4.4 Množenje bločno diagonalnih matrik......................................................... 31
2.1.4.4.1 Množenje kvadratnih matrik z bločno diagonalnimi matrikami ..... 31
2.1.4.4.2 Množenje bločno diagonalnih matrik .............................................. 33
5
2.2 Trikotne matrike ...................................................................................................... 35
2.2.1 Zgornje trikotna matrika ..................................................................................... 35
2.2.2 Spodnje trikotna matrika ..................................................................................... 37
2.3 Simetrične matrike .................................................................................................. 39
2.3.1 Definicija simetrične matrike .............................................................................. 39
2.4 Simetrične Toeplitzove matrike ............................................................................. 43
2.5 Permutacijske matrike ........................................................................................... 46
6
1 MATRIKE
1.1 Definicija matrike Matrika je pravokotna tabela realnih ali kompleksnih števil, razvrščenih v vrstice in stolpce. Matrike označujemo z velikimi tiskanimi črkami: A, B , C, D , X ... Na primer:
−
−=
215
111A ,
=
01
32B ,
=
3
0
2
5
H , [ ]947=C ,
−
−−
=
8103
402
115
D .
Matrika A ima 2 vrstici: 1, -1, 1 in 5, -1, 2 ter 3 stolpce:5
1,
1
1
−
−,
2
1.
Splošen zapis matrike:
A =
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2
n
n
i i in
m m m n
a a a
a a a
a a a
a a a
K
K
M M O M
L
M M O M
L
matrika A, z dimenzijo m × n.
Zapis matrike A v skrajšani obliki: A= i j m na
× .
Prvi podatek m pove število vrstic matrike, drugi podatek n pa število stolpcev matrike (m, n∈N). Oba skupaj določata dimenzijo matrike oziroma razsežnost matrike oziroma red matrike. Element aij(i∈m, j∈n) je element matrike, ki je na križišču i-te vrstice in j-tega
stolpca (i teče po matriki od zgoraj navzdol, j pa teče od leve proti desni strani matrike).
Urejena n-terka (ai1, ai2, ..., ain )(i∈m) je i-ta vrstica, urejena m-terica (a1j, a2j, ..., amj) (j∈n,) pa j-ti stolpec matrike A. Množico vseh matrik z m vrsticami in n stolpci označimo z Rm×n. Elementom Rm×n rečemo matrike reda m x n. Množico vseh matrik z enim stolpcem enačimo z množico vektorjev, to je Rm×1 ≡ Rm, množico R1×1 z R.
7
Matrikam iz množice Rn×n rečemo kvadratne matrike dimenzije n. Kvadratna matrika ima torej enako število stolpcev in vrstic (m = n). Zapišemo jo v simbolični obliki :
K =
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
.
V kvadratni matriki poznamo tudi pojem diagonale, ki jo tvorijo vsi elementi ija z
i = j. Torej elementi nnaaaa ,,,, 332211 K .
Diagonalni elementi v matriki Y =
−
−−
8103
402
115
so -5, 0, 8.
1.1.1 Enakost matrik Primerjamo lahko le matrike enakih razsežnosti. Definicija: Matriki A in B sta med seboj enaki, če se ujemata na vseh istoležnih mestih, t.j. če so vsi istoležni elementi oziroma koeficienti enaki in sta enakih dimenzij.
Zapis v simbolični obliki: dani sta matriki : ij m nA a
× = , ij m n
B b×
=
ijij baBA =⇔= , za vse i= 1, 2, ..., m in j= 1, 2, ..., n.
1.1.2 Identična matrika
Kvadratno matriko nI imenujemo identična (enotska) matrika, ki ima po
diagonali same enice, vsi ostali elementi pa so ničle. Kadar je iz besedila razvidno, zapisujemo nI kar z I (ali E).
Splošen zapis:
I=
=
=
sicer
ji
;0
;1
100
010
001
L
MOMM
L
L
.
8
Primer 1.1:
=
100
010
001
3I .
1.2 Osnovne operacije z matrikami
1.2.1 Seštevanje matrik Seštevanje je izvedljivo le med matrikami enake dimenzije. Pri seštevanju dveh matrik seštevamo istoležne elemente (obeh matrik) in rezultat je ponovno matrika enake dimenzije kot matriki, ki ju seštevamo.
Definicija: Vsota matrik ij m nA a
× = in ij m n
B b×
= je matrika C,
[ ]nxmijcC = ⇔ ijc ijij ba += za vsak ustrezen par indeksov i in j oziroma
zapisano na daljši način:
+++
+++
+++
=+
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BA
L
MOMM
L
L
2211
2222222121
1112121111
.
Ta definicija seveda dopušča posplošitev na poljubno končno število matrik enake dimenzije! Primer 1.2: Seštejmo podani matriki A in B:
−
−
=
1296
320
451
A in
−
=
01110
947
213
B , potem je
−
=+
122016
667
244
BA .
Pri seštevanju matrik veljajo naslednje lastnosti: ▫ A+B = B+A ( komutativnost ) ▫ A+(B+C) = (A+B)+C ( asociativnost ) ▫ A+O = O + A= A (nevtralni element pri seštevanju je ničelna matrika O-
matrika samih ničel) ▫ (A + B)T = AT + BT
▫ A+(-A)=(-A)+A= O.
9
Opomba: (-A) imenujemo nasprotna matrika matrike A in jo dobimo tako, da nasprotno predznačimo vse elemente matrike A oziroma –A= (-1)A. 1.2.2 Odštevanje matrik Pri odštevanju matrik prav tako odštevamo le matrike enakih dimenzij, tudi rezultat je matrika enake dimenzije kot matrike, ki jih odštevamo. Tudi tukaj odštevamo samo istoležne elemente danih matrik.
Definicija: Razlika matrik ij m nA a
× = in ij m n
B b×
= je matrika C,
C = [ ]nxmijc ⇔ ijc ijij ba −= za vsak ustrezen par indeksov i in j.
Primer 1.3: Odštejmo podani matriki A in B:
−
−
=
1296
320
451
A in
−
=
01110
947
213
B , potem je
−−
−−−
−−
=−
1224
1227
662
BA .
Pri odštevanju matrik veljajo naslednje lastnosti: ▫ A - A = O ▫ A - O = A (nevtralni element pri odštevanju je prav tako ničelna matrika) ▫ (A - B)T = AT - BT. Opomba: Pri odštevanju matrik zakon komutativnosti ne velja (velja samo pri seštevanju matrik). 1.2.3 Produkt matrike s skalarjem Definicija: Matriko poljubne dimenzije pomnožimo s skalarjem CaliR∈β tako, da vsak njen element pomnožimo s tem skalarjem. Splošen zapis:
[ ]mxnij
mnmm
n
n
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A ⋅=
=
⋅=⋅ β
βββ
βββ
βββ
ββ
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
21
22221
11211
.
10
Primer 1.4:
−==
43
255 Ainβ , potem je
−=⋅
2015
10255 A .
Lastnosti, ki veljajo pri množenju matrik s skalarjem so naslednje: ▫ 1 · A = I · A = A ▫ O · A = O ▫ α · A = A · α (komutativnost) ▫ α · (β ·A) = (α · β) · A (asociativnost) ▫ α · (A ± B) = αA ± αB (distributivnost glede na matrični faktor) ▫ (α ± β) · A = αA ± βA (distributivnost glede na skalarni faktor) ▫ (α · A)T = α · AT . Opomba: βα , sta poljubni (realni ali kompleksni) števili, A in B sta poljubni matriki enakega reda. 1.2.4 Množenje matrik Produkt obstaja natanko takrat, ko se ujema število stolpcev prve matrike s številom vrstic druge matrike (sicer produkt ni definiran). Če ima matrika A natanko toliko stolpcev, kolikor ima matrika B vrstic, lahko matriki A in B zmnožimo. Naj bosta A∈ Rm×n in B∈ Rn×p dve matriki. Potem zanju definiramo produkt:
=⋅
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
n
k
kpmk
n
k
kmk
n
k
kmk
n
k
kpk
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kpk
n
k
kk
n
k
kk
bababa
bababa
bababa
BA
112
11
12
122
112
11
121
111
L
MOMM
L
L
.
Produkt je matrika AB∈ Rm×p (dimenzijo določa št. vrstic prve matrike in št. stolpcev druge matrike).
(i, j)-ti element produkta AB je enak njinjijikj
n
k
ik babababa +++=∑=
L22111
.
11
V skrajšani obliki je ta zapis sledeč:
pxmpxnnxm CBA =⋅ , ∑=
⋅=n
k
kjikij bac1
.
Primer 1.5: Podani sta matriki A in B:
=
764
1581A ,
=
95
32
10
B .
Produkt bo nova matrika C, z dimenzijo 2x2.
==⋅
8547
7091CBA ; 91= 01⋅ + 51528 ⋅+⋅ .
Matrično množenje v splošnem ni komutativno: A· B ≠ B · A. Kadar obstajata oba produkta in sta enaka, pravimo da matriki komutirata (A· B = B · A). Lastnosti, ki veljajo pri množenju matrik A in B ter poljubnim številom R∈α so naslednje: ▫ BAAB )()( αα = (homogenost za vse RinRBRA nxpmxn ∈∈∈ α, )
▫ )()( BCACAB = (asociativnost za vse pxqnxpmxn RCinRBRA ∈∈∈ , )
▫ ACABCBA +=+ )( (desna distributivnost za vse nxpmxn RCBinRA ∈∈ , ) ▫ BCACCBA +=+ )( (leva distributivnost za vse nxpmxn RCinRBA ∈∈, )
▫ TTT ABAB =)( ▫ OAOOA =⋅=⋅ (O je ničelna matrika) ▫ AAIIA =⋅=⋅ (I je enotska matrika ustrezne dimenzije in je nevtralni element pri množenju matrik). Dokaz: a) Dokažimo, da velja prva lastnost: BAAB )()( αα = . Naj bo matrika A dimenzije m x n in matrika B dimenzije n x p. Tedaj imata matriki )(ABG α= in BAH )(α= dimenzijo m x p. Poleg tega je za vsak mogoči i in j
kj
n
k
ikkj
n
k
ikij babag ∑∑==
==11
αα
kjik
n
k
ij bah ∑=
=1
α . Torej je vselej ijij hg = in omenjena lastnost je dokazana.
12
b) Dokažimo še drugo lastnost: )()( BCACAB = . Naj bo A matrika dimenzije m x n, matrika B dimenzije n x p, matrika C pa dimenzije p x r. Označimo GAB = in HBC = . Matrika G ima dimenzijo m x p, matrika H pa n x r. Poleg tega je
kj
n
k
ikij bag ∑=
=1
in js
p
j
kjks cbh ∑=
=1
.
Postavimo še UGCCAB ==)( in VAHBCA ==)( . Potem sta U in V matriki dimenzije m x r in je za vsak i od 1 do m in vsak s od 1 do r
jskj
n
k
p
j
ikjs
p
j
ijis cbacgu ∑∑∑= ==
==1 11
jskj
n
k
p
j
ikks
n
k
ikis cbahav ∑∑∑= ==
==1 11
.
To dokazuje, da je matrično množenje asociativno. c) Dokažimo še eno lastnost in sicer distributivnost: BCACCBA +=+ )( . Matriki A in B naj imata dimenzijo m x n , matrika C pa dimenzijo n x p. Postavimo GCBA =+ )( in HBCAC =+ . Matriki G in H sta enake dimenzije: m x p, poleg tega pa je za vsak mi ,...,1= in pj ,...,1=
∑∑∑===
+=+=n
k
kjikkj
n
k
ikkjik
n
k
ikij cbcacbag111
)( ,
kj
n
k
ikkj
n
k
ikij cbcah ∑∑==
+=11
. Torej je vselej ijij hg = in omenjena lastnost res velja
(R. Jamnik, Matematika, LJ, 1980). 1.2.5 Potenciranje matrik Potenciranje matrik oziroma množenje matrike same s seboj je izvedljivo le v primeru, ko je matrika kvadratna, sicer množenje ni izvedljivo iz dimenzijskih razlogov. Na enak način kot pri množenju s skalarjem lahko za kvadratno matriko poljubnega reda definiramo potence: A
n = 44 344 21 Kkratn
AAAA−
⋅⋅⋅⋅ , )( Nn ∈ .
Pri potenciranju matrik velja adicijski izrek: mkmk AAA += , prav tako tudi, da kvadratna matrika A komutira s katerokoli svojo potenco: NkAAAA kk ∈= , .
13
1.2.6 Transponiranje matrik Matriki A priredimo transponirano matriko A
T tako, da v matriki A vrstice zapišemo v stolpce oziroma stolpce v vrstice. Za operacijo transponiranja velja, da dvakratno transponiranje vrne prvotno matriko, (AT)T = A. Splošen zapis:
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
,
=
mnnn
m
m
T
aaa
aaa
aaa
A
L
MOMM
L
L
21
22212
12111
.
Krajši zapis je pa sledeč: [ ]
nxmijaA = , [ ]mxnji
TaA = .
Primer 1.6: Poiščimo transponirano matriko AT podane matrike A:
=
197
1140
1262
531
A . Potem je
=
111125
9463
7021T
A in
=
197
1140
1262
531
)( TTA .
Pri transponiranju matrik veljajo naslednje lastnosti: ▫ AA TT =)( ▫ TT AA αα =)( ▫ TTT BABA ±=± )( ▫ TTT ABAB =)( .
Dokaz: Prve štiri lastnosti transponiranja matrik so dokaj očitne, zato jih ne bomo dokazovali. a) Dokazali pa bomo zadnjo lastnost: TTT ABAB =)( .
Naj bo matrika [ ]nxmijaA = in [ ]
pxnijbB = .
1. Če upoštevamo definicijo produkta matrik in definicijo transponiranke
neke matrike, lahko levo stran enačbe zapišemo kot
=TAB)( [ ] [ ]mxpji
T
pxmij
T
pxm
n
k
kjik ccba ==
∑
=1
.
14
2. Izračunajmo še desno stran enačbe TTT ABAB =)( . Po definiciji transponiranke neke matrike je: [ ] [ ]
nxpji
T
mxnji
T bBaA == , .
Po definiciji produkta matrik pa:
mxp
n
k
kijk
TTabAB
= ∑
=1
[ ]mxpjic= .
Iz točke 1 in točke 2 izhaja veljavnost enačbe TTT ABAB =)( (S. Indihar, M. Mastinšek, L. Arih, Matematika za ekonomiste-2. del, MB, 1999). Opomba: Če pomnožimo matriko s svojo transponirano matriko, je rezultat kvadratna matrika. Matrično množenje v splošnem ni komutativno: A· B ≠ B · A in to velja tudi za množenje s transponiranimi matrikami: AAAA TT ⋅≠⋅ .
1.3 Determinanta matrike Podano imamo realno kvadratno matriko reda n, npr. matriko A:
A =
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2
n
n
i i in
n n n n
a a a
a a a
a a a
a a a
K
K
M M O M
L
M M O M
L
= [ ]nxnija .
Priredili ji bomo število, ki ga imenujemo determinanta.
Determinanta kvadratne matrike je zgrajena iz elementov podane matrike, npr. matrike A, oznaka za determinanto je Adet . Zapis je sledeč:
== AAdet
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
= Ranxn
ij ∈ .
Determinanta matrike je torej preslikava: RRnxn → , ki realni ali pa kompleksni
kvadratni matriki priredi enolično realno ali pa kompleksno število.
15
1.3.1 Minor in kofaktor Minor je poddeterminanta determinante
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
,
ki jo dobimo tako, da izpustimo enako število vrstic in stolpcev. Če v determinanti izpustimo i-to vrstico in j-ti stolpec, potem dobljeni minor označimo z Mij . Če tako dobljeno determinanto pomnožimo z (-1)i+j, dobimo kofaktor, ki pa ga označujemo z znakom Aij: Aij = (−1)i+j Mij za i, j = 1, 2, . . . , n.
Primer 1.7: V determinanti
113
120
132
−
poiščimo nekaj minorjev in kofaktorjev!
311
1211 −=
−=M , 7
13
3223 −==M , 1
12
1331 ==M ,
3)3()1( 11
11 −=−−= +A , 7)7()1( 3223 =−−= +
A , 11)1( 1331 =−= +
A .
1.3.2 Razvoj determinante: Za determinanto
detA =
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
velja:
1.) razvoj determinante po i-ti vrstici:
detA ininiiii AaAaAa +++= ...2211 = ∑=
n
k
ikik Aa1
, za i = 1, 2, . . . , n
2.) je razvoj determinante po j-tem stolpcu:
detA njnjjjjj AaAaAa +++= ...2211 = ∑=
n
k
kjkj Aa1
, za j = 1, 2, . . . , n.
Izrek lahko interpretiramo tudi tako: Determinanta dane kvadratne matrike je enaka skalarnemu produktu poljubne vrstice z naborom pripadajočih kofaktorjev.
16
Torej z uporabo tega izreka pravimo, da razvijamo determinanto po neki vrstici. Lahko pa razvijamo determinanto tudi po poljubnem stolpcu, saj se vrednost determinante ne spremeni. Za razvoj determinante vzamemo tisto vrstico oziroma stolpec, ki ima največ ničel, saj k skalarnemu produktu prispevajo samo neničelni faktorji. V primeru, ko nimamo ničel v vrsticah in stolpcih, z operacijami, ki ne spremenijo vrednosti determinante, ustvarimo ničle v vrsticah oziroma stolpcih.
Primer 1.8: Z razvojem po prvem stolpcu izračunajmo determinanto
213
120
432
−
!
.2515010)5(13)10()1(0)5(12
12
43)1(3
21
43)1(0
21
12)1(2det 131211
−=−+−=−⋅⋅+−⋅−⋅+−⋅⋅=
−⋅+−
−⋅+−
−⋅= +++A
Pomni: Kvadratna matrika A je singularna, če je detA = 0 in nesingularna (regularna ali neizrojena), če je detA ≠ 0 .
1.3.3 Determinanta matrik reda 2x2 Determinanto izračunamo tako, da od produkta elementov oziroma koeficientov na glavni diagonali odštejemo produkt elementov, ki ne ležita na njej. Splošen zapis:
=
dc
baA , potem je bcadA −=det .
Primer 1.9: Dana je matrika
=
51
34C .
Potem je det 17320135451
34=−=⋅−⋅==C .
1.3.4 Determinanta matrik reda 3x3 Determinanto matrike reda 3 x 3 najlažje izračunamo z naslednjo tehniko:
1. na desni strani determinante dopišemo prvi in drugi stolpec; tako dobimo shemo treh troštevilčnih diagonal, ki padajo od leve proti desni in tri, ki se dvigajo od leve proti desni
2. izračunamo produkte vseh diagonal 3. spremenimo predznake rastočim diagonalam 4. seštejemo in odštejemo dobljene produkte.
17
Primer 2.0: Podana je matrika
−
−=
176
522
341
Y . Izračunajmo Ydet !
.17383536421202
)1(247516)2(3723654)1()2(1
76
22
41
176
522
341
det
=+−+++=
−⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅+−⋅−⋅=
−
−
−=Y
1.3.5 Determinanta matrik višjih redov
Determinante višjih redov lahko računamo s pomočjo determinant nižjih redov, t.i. poddeterminant (minorjev). Za izračun determinant kvadratnih matrik višjih redov veljajo naslednja pravila:
1. Če matriko transponiramo, se vrednost determinante ne spremeni: )det(det TAA = .
2. Determinanta matrike je enaka 0, če so vsi elementi vrstice oziroma stolpca enaki 0.
3. Determinanta matrike je enaka 0, če je ena vrstica mnogokratnik druge. 4. Determinanta matrike je enaka 0, če sta dve vrstici ali dva stolpca v
matriki enaka. 5. Če v matriki zamenjamo dve vrstici ali dva stolpca, se njena determinanta
pomnoži z (-1), absolutna vrednost determinante pa ostaja enaka. 6. Če eno vrstico oziroma en stolpec v matriki A pomnožimo s poljubnim
skalarjem α in dobimo matriko A', se s tem skalarjem pomnoži tudi
vrednost determinante: AA detdet α=′ .
7. Če h katerikoli vrstici prištejemo s poljubnim faktorjem pomnoženo neko drugo vrstico, se vrednost determinante ne spremeni.
8. Če matriko pomnožimo s skalarjem, potem velja: AA n det)det( αα = . 9. Če je v kaki vrstici ali v kakem stolpcu poljubne kvadratne matrike vsak
element vsota dveh števil, lahko njeno determinanto zapišemo kot vsoto determinant dveh matrik, ki se ujemata s prvotno matriko v vseh elementih, razen v opazovani vrstici ali stolpcu. Tu ima prva matrika prve sumande, druga pa druge.
Z upoštevanjem teh pravil dosežemo, da so elementi matrike čim manjši po absolutni vrednosti. S tem si olajšamo računanje determinante matrike.
18
Dokaz: a) Dokaz prve lastnosti izhaja neposredno iz izreka o razvoju determinante po i-ti vrstici ali po j-tem stolpcu. Glej poglavje 1.3.2 Izrek (o razvoju determinante, str. 15.) b) Dokaz lastnosti 4: Če sta v kvadratni matriki A poljubni vrstici enaki, na primer i-ta in k-ta, potem je
kjij aa = , j=1, 2,...,n. Zato lahko i-to in k-to vrstico zamenjamo in dobimo
matriko A'=A, torej je AA detdet =′ . Če upoštevamo 5. lastnost, ki pravi, da je zaradi zamenjave vrstic AA detdet −=′ , je torej AA detdet −= . Od tod pa izhaja, da je 0det =A . c) Dokazali bomo še šesto lastnost: AA detdet α=′ . Pomnožimo vse elemente i-te vrstice matrike A s številom α in izračunajmo determinanto nove matrike A' z razvojem po i-ti vrstici:
AAaAaAaA ik
n
k
ikikik
n
k
ikik
n
k
det)()(det111
αααα ====′ ∑∑∑===
(S. Indihar, M. Mastinšek, L. Arih, Matematika za ekonomiste-2. del, MB, 1999).
1.4 Inverzna matrika Kvadratna matrika ima inverzno matriko (je obrnljiva) natanko tedaj, ko je njena determinanta različna od 0 (nesingularna matrika). Če matrika ni kvadratna, potem inverzna matrika ne obstaja. Oznaka za inverzno matriko je 1−A . Matrika 1−A je i n v e r z n a matrika matrike A, če velja: IAAAA =⋅=⋅ −− 11 (enotska matrika). Iz te zahteve avtomatično sledi, da je tudi 1−A kvadratna matrika reda n, saj drugače sploh ne bi obstajala oba produkta. Inverzno matriko dane kvadratne matrike A poiščemo oziroma izračunamo tako, da z recipročno vrednostjo determinante matrike A pomnožimo transponirano matriko kofaktorjev:
A =
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2
n
n
i i in
n n n n
a a a
a a a
a
a a a
a a a
K
K
M M O
L
M M O M
L
T
nnninn
ni
ni
AAAA
AAAA
AAAA
AA
=⇒ −
LL
MOMLMM
LL
LL
21
222221
111211
1
det
1.
19
=
T
nnninn
ni
ni
AAAA
AAAA
AAAA
LL
MOMLMM
LL
LL
21
222221
111211
nninnn
ni
ni
AAAA
AAAA
AAAA
LL
MOMLMM
LL
LL
21
222212
112111
.
Elementi 11A , 12A , …, nnA so kofaktorji elementov ija determinante kvadratne
matrike A. Za izračun inverzne matrike 1−A uporabljamo naslednji postopek:
1. izračunamo detA, 2. za vsak element matrike A izračunamo pripadajoči kofaktor in iz njih
sestavimo matriko kofaktorjev, 3. transponirano matriko kofaktorjev pomnožimo z recipročno vrednostjo
determinante matrike A.
Primer 2.1: Podani matriki X izračunajmo 1−X !
−=
113
222
141
X ; 328262242
13
22
41
113
222
141
det −=−+−+−=−=X
(ker je detX ≠ 0, obstaja 1−X ). Formula za izračun kofaktorja je: Aij = (−1)i+j Mij
44111
22)1( 11
11 =⋅=−
−= +A 331
11
14)1( 12
21 =⋅=−= +A
88113
22)1( 21
12 −=⋅−=−
−= +A 2)2(1
13
11)1( 22
22 −=−⋅=−= +A
4)4(113
22)1( 31
13 −=−⋅=−= +A 11)11(1
13
41)1( 32
23 =−⋅−=−= +A
10)10(122
14)1( 13
31 −=−⋅=−
−= +A
4)4(122
11)1( 23
32 =−⋅−=−
−= +A
6)6(122
41)1( 33
33 −=−⋅=−= +A
20
1−X
T
−−
−
−−
⋅−
=
6410
1123
484
32
1
−−
−−
−
⋅−
=
6114
428
1034
32
1.
Pri matrikah dimenzije 2 dobimo inverzno matriko tako, da: 1. izračunamo determinanto matrike 2. med seboj zamenjamo diagonalna elementa in spremenimo predznak izvendiagonalnima elementoma 3. preoblikovano matriko pomnožimo z recipročno vrednostjo determinante .
Primer 2.2: Izračunajmo 1−A podane matrike A!
=
53
27A , 29635det =−=A
−
−⋅=−
73
25
29
11A .
Lastnosti inverzne matrike:
1. Inverzna matrika inverzne matrike je enaka prvotni matriki: AA =−− 11)( .
2. Inverzna matrika transponirane matrike je enaka transponirani matriki inverzne matrike:
TT AA )()( 11 −− = . 3. Inverzno matriko produkta dveh matrik dobimo tako, da obe inverzni
matriki zmnožimo v obratnem vrstnem redu: 111)( −−− = ABAB
. Dokaz: a) Dokažimo prvo lastnost inverzne matrike:
AA =−− 11)( AAIAAAAAAAIA ===== −−−−−−−−−− ))(())(()()( 1111111111 (J. A. Čibej, Matematika za poslovneže-1. del, LJ, 2008).
b) Dokažimo še tretjo lastnost: 111)( −−− = ABAB
11111
111111111
))()((
))()(())(())(()()(−−−−−
−−−−−−−−−
==
====
ABABABAB
ABBAABABIBBABBBABIAB
(J. A. Čibej, Matematika za poslovneže-1. del, LJ, 2008). ALI: Za matriki AB in 11 −− AB preverimo veljavnost IAAAA =⋅=⋅ −− 11
IAAAIAABBAABAB ==== −−−−−− 111111 )())((
21
IBBIBBBAABABAB ==== −−−−−− 111111 )())(( (S. Indihar, M. Mastinšek, L. Arih, Matematika za ekonomiste-2. del, MB, 1999). Opomba: Dokaz 2. lastnosti se nahaja v poglavju 2.3 Simetrične matrike , str. 40.
22
2 POSEBNE VRSTE MATRIK
2.1 Diagonalne matrike
2.1.1 Definicija diagonalne matrike
Diagonalna matrika je kvadratna matrika, v kateri so vsi izvendiagonalni koeficienti enaki 0.
0=⇒≠ ijaji (i, j=1, 2, 3,...,n)
=
nna
a
a
D
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
.
Diagonalno matriko običajno označimo z ).,,,( 2211 nnddddiagD L=
Elementi Rdozadozadoza nnnn ∈.,...,.,. 22221111,.
Primer 2.3:
=
70000
09000
00600
000110
00004
D ; ).7,9,6,11,4(diagD =
Kadar so vsi diagonalni elementi matrike D pozitivna (nenegativna) realna števila, rečemo matriki pozitivna (nenegativna) diagonalna matrika. Primer pozitivne diagonalne matrike je enotska matrika oziroma identična matrika I. Primer 2.4:
=
1000
0100
0010
0001
4I .
Diagonalna matrika, kjer so vsi diagonalni elementi oziroma koeficienti enaki, se imenuje skalarna matrika ( nnddd === K2211 ). Skalarno matriko dobimo, če
enotsko matriko I pomnožimo s poljubnim skalarjem Ra ∈ .
23
Iaa
a
a
a
D ⋅=
⋅=
=
100
010
001
00
00
00
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
.
Primer 2.5:
47
1000
0100
0010
0001
7
7000
0700
0070
0007
ID ⋅=
⋅=
=
Kadar je torej nnddd === K2211 =1, je to identična oziroma enotska matrika I.
Opomba: Poseben primer pozitivne diagonalne matrike (tudi skalarne) je ničelna matrika (sestavljena je iz samih ničel) z oznako On. Vsaka diagonalna matrika je obenem zgornje trikotna in spodnje trikotna. Transponiranka diagonalne matrike je ista matrika: DDT = , npr:
−=
10000
0400
0010
0005
D ,
−=
10000
0400
0010
0005
TD .
2.1.2 Determinanta diagonalne matrike Determinanta diagonalne matrike je enaka produktu vseh njenih diagonalnih elementov. Izrek: Naj bo D poljubna diagonalna matrika:
=
nnd
d
d
D
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
.
Potem je determinanta diagonalne matrike D produkt vseh njenih diagonalnih elementov:
nndddD ⋅⋅⋅= K2211det =∏=
n
i
iid1
.
24
Primer 2.6: Podana je diagonalna matrika B. Izračunajmo detB!
−
=
30000
01000
00200
00040
00001
B , detB= 243)1(241 −=⋅−⋅⋅⋅ .
Dokaz: Naj bo D poljubna diagonalna matrika:
=
nnd
d
d
D
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
. Po pravilu za razvoj determinante je:
Torej je: nndddD ⋅⋅⋅= K2211det =∏=
n
i
iid1
.
Za obstoj inverzne matrike diagonalne matrike D velja enako pravilo kot za splošno matriko:
1−D obstaja natanko tedaj, ko je 0det ≠D . To pa je takrat, ko so vsi diagonalni elementi 0≠iid .
Lastnosti diagonalnih matrik D1 in D2:
1. D1 + D2 je diagonalna matrika 2. produkt 1Dα je diagonalna matrika, ∈α R
3. produkt D1D2 je prav tako diagonalna matrika.
nnnnnn
nnnnnnnn
nn
nn
nn
nn
nnnn
ddddd
dddddd
d
d
d
ddd
d
d
d
dd
d
d
d
dD
⋅⋅⋅⋅⋅=
−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅=
==⋅==
−−−−
−−−−−−
−−
−−
−−
)1)(1()2)(2(2211
)1)(1()2)(2()3)(3(2211
)1)(1(
)2)(2(
)3)(3(2211
44
33
221133
22
11
)0(
00
00
00
00
00
00
00
00
00
det
K
L
L
L
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
25
2.1.3 Množenje diagonalnih matrik 2.1.3.1 Množenje kvadratnih matrik z diagonalnimi matrikami Množenje poljubnih kvadratnih matrik z diagonalnimi matrikami poteka na dva načina in sicer:
A) množenje z leve strani B) množenje z desne strani.
A) Najprej si bomo ogledali množenje matrik z diagonalnimi matrikami z leve
strani. Podani sta dve matriki A in D: (A je poljubna kvadratna matrika reda n, D je diagonalna matrika reda n)
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
,
=
nnd
d
d
D
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
.
Pri množenju z leve strani matriko A pomnožimo z matriko D z leve strani (najprej zapišemo matriko D, ki jo pomnožimo z matriko A):
=⋅
nnnnnnnnnn
n
n
adadad
adadad
adadad
AD
L
MOMM
L
L
21
22222222122
11112111111
.
Kot vidimo, je produkt AD ⋅ matrika, ki jo dobimo tako, da i-to vrstico iz matrike A pomnožimo z dii diagonalnim elementom iz matrike D, i=1,2,…,n . B) Pri množenju matrik z diagonalnimi matrikami z desne strani pa matriko A pomnožimo z matriko D z desne strani (najprej zapišemo matriko A, ki jo pomnožimo z matriko D):
=⋅
nnnnnn
nnn
nnn
adadad
adadad
adadad
DA
L
MOMM
L
L
222111
222222111
112221111
.
Produkt DA ⋅ je matrika, ki jo dobimo tako, da i-te stolpce iz matrike A pomnožimo z dii diagonalnim elementom iz matrike D, i=1,2,…,n .
26
Opomba: Pri množenju kvadratne matrike z diagonalno matriko z leve strani zapišemo matriko D na levo stran, pri množenju z desne strani pa zapišemo matriko D na desno stran. Primer 2.7: Podani sta matriki A in D. Izračunajmo produkt teh dveh matrik z leve strani, z desne strani ter poglejmo ali sta matriki komutativni!
=
514
123
321
A ,
=
400
030
002
D ;
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=⋅
20416
369
642
541444
132333
322212
AD ,
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=⋅
2038
466
1262
541342
142332
342312
DA
DAAD ⋅≠⋅ ⇒matriki nista komutativni! Da pri množenju matrik komutativnost ne velja, je zapisano že v poglavju 1.2, pri obravnavanih osnovnih operacijah z matrikami (1.2.4 Množenje matrik). Da sta matriki komutativni pri množenju z leve in desne strani, mora biti: a) diagonalna matrika skalarna ( nnddd === K2211 ) in A poljubna kvadratna
matrika b) v matriki A 0=ija za vse i in j, za katere je jjii dd ≠ v matriki D (in obratno).
Primer 2.8: Določimo takšno matriko A, da bosta matriki A in D komutativni (množenje z leve in desne strani)! Matrika D je podana. (V pomoč nam bo zgornja točka b.)
=
4000
0100
0020
0001
D ,
ker je: 0, 21122211 =⇒≠ aadd
0, 31133311 ≠⇒= aadd
0, 41144411 =⇒≠ aadd
0, 32233322 =⇒≠ aadd
0, 42244422 =⇒≠ aadd
0, 43344433 =⇒≠ aadd .
27
Ostale elemente matrike A izberemo poljubno.
=
6000
0309
0020
0507
A ;
=⋅
24000
0309
0040
0507
AD in
=⋅
24000
0309
0040
0507
DA .
Vidimo, da je produkt DAAD ⋅=⋅ , torej matriki A in D komutirata. 2.1.3.2 Množenje oziroma produkt dveh diagonalnih matrik Produkt dveh diagonalnih matrik je spet diagonalna matrika. Množenje izvedemo tako, da med seboj pomnožimo pripadajoče diagonalne elemente, t.j. iid element
iz prve matrike pomnožimo z iid elementom iz druge diagonalne matrike.
Primer 2.8: Izračunajmo produkt podanih diagonalnih matrik D inG !
=
400
030
002
D ,
=
500
020
001
G ;
=
⋅
⋅
⋅
=⋅
2000
060
002
5400
0230
0012
GD .
Če zamenjamo vrstni red množenja diagonalnih matrik, se produkt ne spremeni. Torej sta dve poljubni diagonalni matriki pri množenju komutativni:
DGGD ⋅=⋅ (kar je razvidno iz zgornjega primera 2.8). Diagonalno matriko pa lahko množimo tudi samo s seboj. Diagonalno matriko potenciramo tako, da potenciramo oziroma množimo njihove pripadajoče diagonalne elemente. Opomba: Vemo, da pri potenciranju kvadratne matrike A velja, da kvadratna matrika A komutira s katerokoli svojo potenco: AAAA kk = , Nk ∈ in da poljubni potenci iste matrike komutirata: mkkm AAAA = , Nmk ∈, . Primer 2.9: Potencirajmo matriko D iz zgornjega primera:
=
400
030
002
D ;
=2
2
2
2
400
030
002
D ,
=3
3
3
3
400
030
002
D ,
=n
n
n
nD
400
030
002
.
28
2.1.4 Bločno diagonalne matrike 2.1.4.1 Bločne matrike
Matrika, ki ima za elemente namesto skalarjev matrike z usklajenimi razsežnostmi, je bločna matrika. Medsebojni odnos razsežnosti je določen tako:
[ ]nxruv
rnrr
n
n
A
AAA
AAA
AAA
A =
=
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
, kjer je [ ]vu nxmijuv aA = ,
∈u 1,2,..., r in ∈v 1,2,..., n. Matrike 11A , 22A ,..., rnA so bloki.
Primer 3.0: Primer bločne matrike
[ ] [ ]
=
=
2221
1211
72682
3
750
941
AA
AAA .
Usklajenost razsežnosti blokov je tako dogovorjena, da dobimo »navadno« matriko, če »izbrišemo oglate oklepaje« v bločni matriki. Ker sta bločna matrika in pripadajoča navadna matrika določeni z isto urejeno množico skalarjev, ju označimo z istim simbolom. Zato bomo poenostavljeno rekli: bločna matrika je le poseben zapis »navadne« matrike. Primer 3.1: Bločna matrika iz primera 3.0 spremenjena v navadno:
=
7268
2750
3941
A .
Seveda lahko tudi obratni postopek izvajamo brez težav. Matriko A razdelimo z »vodoravnimi in navpičnimi črtami« na bloke. Primer 3.2: Matriko A iz primera 3.1 spremenimo v bločno matriko.
−−−−−−−−=
7268
2750
3941
A .
29
2.1.4.2 Definicija bločno diagonalne matrike Kvadratna matrika oblike
=
kkA
A
A
L
MOM
L
0
011
, v kateri je ii nxn
ii RA ∈ , i = 1,2,...,k in nnk
i
i =∑=1
,
se imenuje bločno diagonalna matrika. Tako matriko pogosto pišemo tudi kot kkAAAA ⊕⊕⊕= L2211 ,
krajši zapis pa je sledeč:
∑=
⊕k
i
iiA1
.
Primer 3.3:
66380000
120000
009000
000700
000063
000054
x
A
= ; ,63
5411
=A [ ]722 =A , [ ]933 =A ,
=
38
1244A ;
621124321 =+++=+++ nnnn .
K bločno diagonalnim matrikam spadajo tudi diagonalne matrike, ki so poseben primer bločno diagonalnih matrik, kjer so bloki oziroma matrike iiA , i = 1,2,...,k,
velikosti 1×1. Primer 3.4:
−=
1000
050
0012
A ; [ ]1211 =A , [ ]522 −=A , [ ]1033 =A .
30
2.1.4.3 Determinanta bločno diagonalne matrike Če izračunamo determinanto podani matriki A:
=
5000
0100
0041
0032
A
po pravilu za računanje determinante, postopek poteka tako:
251540
00
41
32
500
041
032
1
500
041
032
)1(1det 33 =−=⋅=−= +A .
V splošnem pa velja, da računamo determinanto za poljubno bločno diagonalno matriko po naslednji formuli:
∏∑==
=
⊕=
k
i
ii
k
i
ii AAA11
detdetdet .
Primer 3.5: Izračunajmo determinanto za zgoraj podano matriko A po formuli za izračun determinante bločno diagonalne matrike!
=
5000
0100
0041
0032
A ;
255155141
32detdetdetdetdet 332211
3
1
=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅== ∏=
AAAAAi
ii .
Vidimo, da sta vrednosti obeh determinant enaki, torej detA = 25. Če je 0det ≠A , potem za bločno diagonalno matriko A obstaja inverzna matrika
1−A (velja enak pogoj za obstoj inverzne matrike, kot pri kvadratnih matrikah). Da pa je 0det ≠A , morajo biti vse determinante posameznih blokov različne od 0.
31
2.1.4.4 Množenje bločno diagonalnih matrik
2.1.4.4.1 Množenje kvadratnih matrik z bločno diagonalnimi matrikami
Tako kot pri diagonalnih matrikah, poznamo tudi pri bločno diagonalnih matrikah množenje kvadratnih matrik z bločno diagonalnimi matrikami: A) z leve strani B) in z desne strani. A) Najprej si bomo ogledali množenje z leve strani. Podani sta dve matriki K in D: (K je poljubna kvadratna matrika , D je bločno diagonalna matrika)
=
kkkk
k
k
KKK
KKK
KKK
K
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
,
=
kkD
D
D
D
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
.
Pri množenju z leve strani najprej na levo stran zapišemo bločno diagonalno matriko D, ki jo pomnožimo z matriko K:
=⋅
kkkkkkkkkk
k
k
ADKDKD
KDKDKD
KDKDKD
KD
L
MOMM
L
L
21
22222222122
11112111111
.
Kot vidimo, je produkt KD ⋅ matrika, ki jo dobimo tako, da z diagonalnimi bloki matrike D, torej z bloki iiD , i = 1,2,…,k pomnožimo i-to vrstico blokov matrike
K. Bloki morajo biti enakih velikosti. Primer 3.6: Podani sta matriki K in D:
,
8657
2304
1321
2163
=K
=
7500
9800
0013
0042
D .
Izračunajmo produkt podanih matrik z leve strani! V matriki D vidimo, da imamo 2 bloka matrik:
=
13
4211D ,
=
75
9822D .
32
S tema dvema blokoma moramo pomnožiti bloke matrike K in sicer na sledeč način:
=
⋅
=⋅
10
10
1
3
13
421111 KD ,
=
⋅
=⋅
20
20
2
6
13
421211 KD ,
=
⋅
=⋅
6
14
3
1
13
421311 KD ,
=
⋅
=⋅
7
8
1
2
13
421411 KD .
Zdaj smo zaključili množenje prvega bloka 11D in začnemo množenje z drugim
blokom 22D :
=
⋅
=⋅
69
95
7
4
75
982122 KD ,
=
⋅
=⋅
35
45
5
0
75
982222 KD ,
=
⋅
=⋅
57
78
6
3
75
982322 KD ,
=
⋅
=⋅
66
88
8
2
75
982422 KD .
Dobljene produkte blokov vpišemo v matriko:
=⋅
66573569
88784595
762010
8142010
KD .
B) Množenje kvadratnih matrik z bločno diagonalnimi matrikami z desne strani pa poteka tako, da dobljeni produkt DK ⋅ predstavlja matrika, ki jo dobimo tako, da i-ti stolpec blokov matrike K pomnožimo z blokom iiD , i = 1,2,…,k.
Splošen zapis množenja z desne strani je sledeč:
=⋅
kkkkkk
kkk
kkk
DKDDDK
DKDKDK
DKDKDK
DK
L
MOMM
L
L
222111
222221121
122121111
.
Primer 3.7: Izračunajmo produkt matrik K in D iz primera 3.6 z desne strani ter poglejmo ali sta matriki komutativni.
,
8657
2304
1321
2163
=K
=
7500
9800
0013
0042
D ;
33
=
13
4211D ,
=
75
9822D ,
=
⋅
=⋅
68
1824
13
42
21
631111 DK ,
=
⋅
=⋅
3329
168
13
42
57
041121 DK ,
=
⋅
=⋅
3429
2318
75
98
13
212212 DK ,
=
⋅
=⋅
11088
4134
75
98
86
232222 DK ,
=⋅
110883329
4134168
342968
23181824
DK .
Ker DKKD ⋅≠⋅ , torej matriki K in D ne komutirata.
2.1.4.4.2 Množenje bločno diagonalnih matrik
Množenje bločno diagonalnih matrik med seboj poteka tako, da zmnožimo paroma pripadajoče si bloke iiA in iiB , ki pa morajo biti enakih velikosti. Produkt
dveh bločno diagonalnih matrik je spet bločno diagonalna matrika. Splošen zapis je sledeč: dani sta bločno diagonalni matriki A in B:
=
kkA
A
A
A
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
,
=
kkB
B
B
B
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
,
produkt BA ⋅ je enak:
=⋅
kkkk BA
BA
BA
BA
L
MOMM
L
L
00
00
00
2222
1111
34
in produkt AB ⋅ je enak:
=⋅
kkkk AB
AB
AB
AB
L
MOMM
L
L
00
00
00
2222
1111
.
Vidimo, da sta produkta pri splošnem zapisu enaka. Primer 3.8: Izračunajmo oba produkta podanih bločno diagonalnih matrik A in B in ju primerjajmo!
=
6700
1200
0042
0053
A ,
=
6600
3800
0011
0042
B ;
=⋅
579200
122200
00128
001711
BA in ABBAAB ⋅≠⋅⇒
=⋅
425400
263700
0095
002614
.
Iz zgornjega primera je razvidno, da v splošnem množenje bločno diagonalnih matrik ni komutativno (kakor tudi ni komutativno matrično množenje v splošnem). Pri bločno diagonalnih matrikah velja, da matriki komutirata natanko tedaj, ko komutirata iiA in iiB , i = 1,2,...,k, seveda pa mora biti vsak par ( iiA , iiB ) enake
velikosti. Tudi pri bločno diagonalnih matrikah lahko izvajamo potenciranje le teh in sicer potenciramo posamezne bloke iiA , i = 1,2,...,k.
Splošen zapis potenciranja je sledeč:
=
kkA
A
A
A
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
, potem je
=
n
kk
n
n
n
A
A
A
A
L
MOMM
L
L
00
00
00
22
11
.
35
Primer 3.9: Podano imamo bločno diagonalno matriko A:
=
6600
3800
0011
0042
A . Izračunajmo 2A !
⋅
==⋅
6600
3800
0011
0042
2AAA
=
548400
428200
0053
00128
6600
3800
0011
0042
.
2.2 Trikotne matrike
2.2.1 Zgornje trikotna matrika Matriko oblike
nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
L
MOMMM
L
L
L
000
00
0
333
22322
1131211
imenujemo zgornje trikotna matrika
in jo označimo z npr. A . Matrika je torej zgornje trikotna, če so vsi njeni elementi pod diagonalo enaki 0: ko je 0=⇒> ijaji .
Množico vseh zgornje trikotnih matrik v Rn×n označujemo z Zn. Primer 4.0:
A=
1100
970
813
.
Lastnosti zgornje trikotnih matrik A, B so sledeče:
1. BA + je zgornje trikotna matrika 2. produkt Aα je zgornje trikotna matrika, ∈α R
3. produkt AB je prav tako zgornje trikotna matrika.
36
Opomba: Matriko oblike
0000
000
00
0
3
223
11312
L
MOMMM
L
L
L
n
n
n
a
aa
aaa
imenujemo strogo zgornje trikotna matrika (vsi elementi pod diagonalo in tudi diagonalni elementi so same 0 oziroma 0=⇒≥ ijaji ).
Primer 4.1: Izračunajmo vsoto podanih zgornje trikotnih matrik BA , !
,
2000
7500
6230
3241
−=A
−
=
5000
8400
3270
4112
B ;
=+
7000
15900
90100
7153
BA ⇒ lastnost 1 velja.
Oglejmo si še na primeru, kaj se zgodi, kadar zgornje trikotno matriko transponiramo. Primer 4.2: Poiščimo transponiranko zgornje trikotne matrike A , ki je podana!
−=
11000
7800
92240
31271
A ;
−=
11793
082212
0047
0001
TA .
Ugotovimo, da je transponiranka zgornje trikotne matrike dejansko spodnje trikotna matrika in ta lastnost velja za transponiranje katerekoli zgornje trikotne matrike. Torej nam transponiranje spremeni zgornje trikotno matriko v spodnje trikotno matriko.
37
2.2.2 Spodnje trikotna matrika Matrika je spodnje trikotna, če so vsi njeni elementi nad diagonalo enaki 0: ko je
0=⇒< ijaji . Torej, če je oblike
nnnnn aaaa
aaa
aa
a
L
MOMMM
L
L
L
321
333231
2221
11
0
00
000
in jo označimo z npr. A .
S Sn označimo množico vseh spodnje trikotnih matrik v Rn×n . Primer 4.3:
=
4027
01119
00105
0003
A .
Opomba: Matriko oblike
0
00
000
0000
321
3231
21
L
MOMMM
L
L
L
nnn aaa
aa
a
pa imenujemo strogo spodnje trikotna matrika (vsi elementi nad diagonalo so ničle in prav tako tudi vsi diagonalni elementi oziroma 0=⇒≥ ijaij ).
Enake lastnosti kot za zgornje trikotni matriki veljajo tudi za spodnje trikotni matriki A in B:
1. BA + je spodnje trikotna matrika 2. produkt Aα je spodnje trikotna matrika, ∈α R
3. produkt AB je prav tako spodnje trikotna matrika.
Primer 4.4: Izračunajmo produkt podanih spodnje trikotnih matrik A in B :
,
754
061
003
=A
=
834
015
002
B ;
=
562661
0632
006
AB ⇒ lastnost 3 velja.
38
Če transponiramo spodnje trikotno matriko, nam ta operacija spodnje trikotno matriko pretvori v zgornje trikotno matriko. To lastnost nam nazorno prikaže naslednji primer 4.5. Primer 4.5: Transponirajmo podano spodnje trikotno matriko A !
.
20000
151400
6190
13853
=TA
Pri transponiranju produkta spodnje trikotnih matrik velja: nSBA ∈, , potem n
TTZBA ∈, ker n
TTZAB ∈⋅ , je potem
n
TTTTTSABABAB ∈== )())(( .
Opomba: poseben primer trikotnih matrik so diagonalne matrike, ki so opisane v poglavju 2.1. Determinanta trikotne matrike je produkt elementov glavne diagonale (enako kot pri diagonalni matriki): nnaaaaA ⋅⋅⋅⋅= K332211det za
=
nn
n
a
a
aaa
A
00
0 22
11211
L
MOMM
ML
L
ali
=
nnnn aaa
aa
a
A
L
MOMM
ML
L
21
2221
11 00
.
Primer 4.6: Za podano imamo matriko A izračunajmo determinanto matrike:
=
300
510
423
A , 9330030
51)1(3det 11 =⋅=++−= +
A .
;
2015613
01418
0095
0003
=A
39
2.3 Simetrične matrike 2.3.1 Definicija simetrične matrike
Matriko nxnRA∈ imenujemo simetrična matrika, če je TAA = (in obratno:
matrika A, za katero velja AAT = , je simetrična) oziroma simetrične matrike so tiste kvadratne matrike, pri katerih so elementi simetrični glede na glavno
diagonalo enaki. Torej je matrika simetrična, če za vsak i in j velja: jiij aa =
(enakost mora veljati za vse pare i, j od vključno 1 do vključno n). Za simetrične matrike je očitno značilno, da zamenjava obeh indeksov ne spremeni elementa. Torej lahko rečemo tudi tako: matrika je simetrična, kadar je j-ta vrstica enaka j-temu stolpcu ( =j 1,2,...,n). Splošen zapis simetrične matrike reda 4:
=
lkgd
khfc
gfeb
dcba
A .
Primer 4.7:
+
+
=
45
521
11
i
i
ii
A .
Primer 4.8: Podana je matrika A. Priredili ji bomo transponiranko in ugotovili ali je matrika A simetrična! a)
=
6931
9628
2335
1854
A , TTAAA ≠⇒
=
6921
9638
3235
1854
, torej matrika A ni simetrična.
b)
−
−
=
108543
85312
53409
41067
32971
A ;
−
−
=
108543
85312
53409
41067
32971
TA , ker je TAA = ,
je matrika A simetrična.
40
Izrek: Za poljubno matriko A sta matriki AAT in TAA vedno simetrični. Dokaz: Za dokaz uporabimo naslednjo lastnost transponiranja: TTT ABAB =)( in
preverimo ali je :AAT =
AAAAAA TTTTTT == )()( in
.)()( TTTTTT AAAAAA == Primer 4.9: Poglejmo, ali je produkt AAT simetrična matrika, če je podana matrika A:
=
643
452
321
A .
=
643
452
321T
A in
=
615029
504524
292414
AAT ⇒produkt je simetrična matrika.
Opomba: Vsaka diagonalna matrika je simetrična. Trditev: Če je matrika A simetrična, potem je 1−A tudi simetrična matrika. Dokaz: Zgornjo trditev dokažemo enako, kot 2. lastnost inverzne matrike:
TT AA )()( 11 −− = . Vemo, da velja IAAAA == −− 11 . Zdaj transponiramo enakost IAA =−1 in dobimo:
TT IAA =− )( 1 in upoštevamo pravilo za množenje produkta pri transponiranju
IIAA TTT ==− )( 1 . Enako postopamo tudi z drugim delom enakosti IAA =−1 .
TT IAA =− )( 1
IIAA TTT ==− )( 1
Zdaj primerjamo oba rezultata transponiranja:
IIAA TTT ==− )( 1 in IIAA TTT ==− )( 1 ter ugotovimo, da je matrika TA )( 1−
obratna oziroma inverzna matrika matrike TA . Zato je TT AA )()( 11 −− = (S. Indihar, M. Mastinšek, L. Arih, Matematika za ekonomiste-2. del, MB, 1999). ALI: Izhajamo iz definicije inverzne matrike: IAA =−1 . To enakost transponiramo: TT IAA =− )( 1 in dobimo: IAA TT =− )( 1 .
41
Zdaj dobljeno enakost množimo z 1)( −TA z leve strani: 11 )(/)( −− ⋅= TTT AIAA
IAAAA TTTT 111 )()()( −−− =
IAAI TT 11 )()( −− = 11 )()( −− = TT AA (J. A. Čibej, Matematika za poslovneže-1. Del, LJ, 2008).
Primer 5.0: Podani matriki A poiščimo 1−A in inverzno matriko transponirajmo. Nato še matriki A poiščimo njeno transponiranko in inverzno matriko transponiranke ter primerjajmo oba rezultata.
=
562
643
231
A ;
prvi del naloge: 1−A obstaja, če je det 0det ≠A , torej je potrebno najprej preveriti ta pogoj.
5453616363620
62
43
31
562
643
231
det −=−−−++==A , (detA ≠ 0, obstaja 1−A ).
Zdaj moramo oblikovati matriko kofaktorjev, formula za izračun kofaktorja je: Aij = (−1)i+j Mij .
16362056
64)1( 11
11 −=−=−= +A , 3)1215(1
56
23)1( 12
21 −=−−=−= +A ,
3)1215(152
63)1( 21
12 −=−−=−= +A , 145
52
21)1( 22
22 =−=−= +A ,
1081862
43)1( 31
13 =−=−= +A , 0)66(1
62
31)1( 32
23 =−−=−= +A ,
1081864
23)1( 13
31 =−=−= +A ,
0)66(163
21)1( 23
32 =−−=−= +A ,
59443
31)1( 33
33 −=−=−= +A ;
42
−
−
−
=
−
−
−−
−=
−
−
−−
−=−
102
05
1
5
3
25
3
5
16
5010
013
10316
5
1
5010
013
10316
5
11
T
A
−
−
−
=−
102
05
1
5
3
25
3
5
16
)( 1 TA ;
drugi del naloge:
=
562
643
231T
A , )0(5453616363620
62
43
31
562
643
231
)det( ≠−=−−−++==TA
Še enkrat oblikujemo matriko kofaktorjev:
16362056
64)1( 11
11 −=−=−= +A , 3)1215(1
56
23)1( 12
21 −=−−=−= +A ,
3)1215(152
63)1( 21
12 −=−−=−= +A , 145
52
21)1( 22
22 =−=−= +A ,
1081862
43)1( 31
13 =−=−= +A , 0)66(1
62
31)1( 32
23 =−−=−= +A ,
1081864
23)1( 13
31 =−=−= +A ,
0)66(163
21)1( 23
32 =−−=−= +A ,
59443
31)1( 33
33 −=−=−= +A ;
43
−
−
−
=
−
−
−−
−=
−
−
−−
−=−
102
05
1
5
3
25
3
5
16
5010
013
10316
5
1
5010
013
10316
5
1)( 1
T
TA .
Primerjamo še oba rezultata:
=
−
−
−
=−
102
05
1
5
3
25
3
5
16
)( 1 TA 1)( −TA .
2.4 Simetrične Toeplitzove matrike Definicija: Simetrična Toeplitzova matrika T je kvadratna matrika, torej dimenzije n x n, za katero velja:
=
012
1
2012
101
210
aaaa
a
aaaa
aaa
aaaa
T
n
n
L
OOOM
O
MO
L
.
Iz zapisa matrike T vidimo, da tvorijo elementi te matrike padajoče diagonale, ki so vzporedne h glavni diagonali. Elementi na posamezni diagonali so med seboj enaki:
11 ++=
jiij aa .
Simetrični Toeplitzovi matriki dimenzije 5x5 in 6x6 sta torej matriki, ki jih zapišemo v splošni obliki tako:
abcde
babcd
cbabc
dcbab
edcba
in
abcdef
babcde
cbabcd
dcbabc
edcbab
fedcba
.
44
Primer 5.1: Primeri Toeplitzovih matrik:
=
100
010
001
3I ,
=
3210
2321
1232
0123
B ,
=
749536
474953
947495
594749
359474
635947
T .
Opomba: Med Toeplitzove matrike spadajo tudi enotske matrike I, npr.:
=
10000
01000
00100
00010
00001
5I .
Na primeru 5.2 si oglejmo, kaj dobimo pri množenju poljubne matrike X s Toeplitzovo matriko T z leve in desne strani. Primer 5.2: Podani sta matriki X in T:
=
0100
1010
0101
0010
T ,
=
3223
0215
4320
1241
X .
=⋅
0215
7543
1456
4320
XT ,
=⋅
2552
2171
3632
2534
TX ⇒
ker produkta nista enaka, množenje z leve in desne strani ni komutativno ( TXXT ⋅≠⋅ ). Primer Toeplitzovih matrik sta tudi matriki B in F:
=
000
1
0
00
0010
LL
OOM
OOOM
MOO
L
B in
=
0100
0
0
01
000
L
OOOM
MOOO
MO
LL
F ,
ki jih imenujemo »backward shift « in »forward shift«.
45
Primer 5.3: Podani sta matriki B in F ter poljubna matrika X:
=
000
100
010
B ,
=
010
001
000
F ,
=
967
584
312
X .
Pomnožimo matriko X z B in F z leve in desne strani ter zapišimo ugotovitve!
Množenje z leve:
=
⋅
=⋅
000
967
584
967
584
312
000
100
010
XB ,
=
⋅
=⋅
584
312
000
967
584
312
010
001
000
XF .
Ugotovimo, da se pri množenju matrike X s Toeplitzovo matriko z leve strani vrstice matrike X premaknejo oziroma dvignejo. Množenje z desne:
=
⋅
=⋅
670
840
120
000
100
010
967
584
312
BX
=
⋅
=⋅
096
058
031
010
001
000
967
584
312
FX
Pri množenju matrike X s Toeplitzovo matriko z desne strani pa ugotovimo, da se premaknejo stolpci matrike X. Produkta z leve in desne strani tudi nista enaka, torej matriki B, F ne komutirata z matriko X.
46
2.5 Permutacijske matrike Permutacijska matrika je kvadratna matrika, ki ima v vsakem stolpcu in vsaki vrstici natanko eno enico, vse ostale vrednosti pa so nič. Primer 5.4:
=
100
001
010
P .
Opomba: Med permutacijske matrike spadajo tudi enotske matrike I. Množenje s takimi matrikami povzroči permutacijo vrst ali stolpcev množene matrike. Če pomnožimo matriko P z matriko A, dobimo:
=
⋅
=⋅
511
321
142
511
142
321
100
001
010
AP .
Ugotovimo, da je produkt permutacija vrst množene matrike A, kajti prva vrstica matrike A je na drugem mestu, druga vrstica matrike A je na prvem mestu, medtem, ko je tretja vrstica ohranila svoj položaj. Če zamenjamo vrstni red množenja matrik P in A, dobimo:
=
⋅
=⋅
511
124
312
100
001
010
511
142
321
PA .
Pri tem produktu pa ugotovimo, da se je zamenjal položaj stolpcev v matriki A in sicer: prvi stolpec matrike A je na drugem mestu, drugi stolpec je na prvem mestu, tretji stolpec ni spremenil svojega položaja. Na splošno: levo množenje permutacijske matrike P Є R
nxn z matriko A Є Rnxm,
permutira vrsto matrike A, medtem, ko desno množenje matrike A Є Rmxn s
permutacijsko matriko P Є Rnxn permutira stolpec matrike A.
Iz zgornjega primera tudi ugotovimo, da množenje s permutacijskimi matrikami z leve in desne strani ni komutativno (tudi na splošno množenje matrik ni komutativno). Torej APPA ⋅≠⋅ . Poskusimo izračunati še determinanto za permutacijsko matriko P iz zgornjega primera 5.4:
47
=
100
001
010
P ; 1100000
00
01
10
100
001
010
det −=−−−++==P .
Primer 5.5: Izračunajmo determinanto podane matrike P: a)
=
1000
0100
0010
0001
P , 11111det =⋅⋅⋅=P ;
b)
=
001
100
010
P , 1000010
01
00
10
001
100
010
det =−−−++==P .
Na osnovi primerov ugotovimo, da je determinanta permutacijskih matrik
1± (natanko ena vsota je neničelna). Za zgornjo ugotovitev bomo podali le skico dokaza: 1det ±=P . Vzemimo permutacijsko matriko reda n:
=
0000
10
01
0
10
0001
MM
MMMM
MMMM
MMMMM
MMMM
MM
P .
Vemo,da ima permutacijska matrika v vsaki vrstici in vsakem stolpcu natanko eno enico, ostali elementi matrike so 0. Zato je smiselno uporabiti za dokaz razvoj determinante po i-ti vrstici ali po j-tem stolpcu (saj so vsi drugi členi v skalarnem produktu enaki 0-za ničelne elemente v determinanti sploh ni treba računati kofaktorejev). Recimo,da vzamemo razvoj determinante po j-tem stolpcu:
detA njnjjjjj AaAaAa +++= ...2211 = ∑=
n
k
kjkj Aa1
, za j = 1, 2, . . . , n.
Če zdaj uporabimo razvoj determinante po prvem stolpcu za permutacijko matriko, vidimo, da je
48
000
10
01
00
1
)1(1det 111111
MM
MMM
MMM
MMM
MMMM
+−== AaP .
S prvim korakom smo prišli do računanja poddeterminante reda (n-1). Za izračun te poddeterminante postopek ponovimo in dobimo:
00
1
0
1
)1(11
000
10
01
00
1
)1(1det 22111111
MM
MMM
MMM
MMM
MM
MMM
MMM
MMM
MMMM
+−+ −⋅=−== nAaP .
V drugem koraku se je računanje poddeterminante znižalo na red (n-2). Če s postopkom nadaljujemo, se poddeterminanti red postopoma znižuje vse do reda 3 in nato do reda 2:
.1det)1()1()1(01
10)1(1)1(1
00
1
0
1
)1(11
000
10
01
00
1
)1(1det
22
22111111
±=⇒−−⋅−=−⋅⋅−=
−⋅=−==
−+−+
+−+
P
AaP
ninnin
n
KK
MM
MMM
MMM
MMM
MM
MMM
MMM
MMM
MMMM
Opomba: Ker je 0det ≠P , potem obstaja tudi inverzna matrika matrike P. Za izračun 1−P potrebujemo matriko kofaktorjev. Kofaktorje še izračunamo (za primer 5.5 b):
0)00(100
10)1( 11
11 =−=−= +P 0)00(1
00
01)1( 12
21 =−−=−= +P
1)10(101
10)1( 21
12 =−−=−= +P 0)00(1
01
00)1( 22
22 =−=−= +P
0)00(101
00)1( 31
13 =−=−= +P 1)10(1
01
10)1( 32
23 =−−=−= +P
49
1)01(110
01)1( 13
31 =−=−= +P
0)00(110
00)1( 23
32 =−−=−= +P
0)00(100
10)1( 33
33 =−=−= +P
=
=
=−
010
001
100
001
100
010
1
1
det
1
333231
232221
1312111
TT
PPP
PPP
PPP
PP .
Permutacijsko matriko P še transponirajmo:
=
001
100
010
P ,
=
010
001
100T
P .
Ugotovimo, da je TPP =−1 in ta lastnost velja za vse permutacijske matrike. Primer 5.5: Zapisali bomo permutacijsko matriko P, ki izhaja iz podane permutacije π : a)
=
35241
54321π ,
=
00100
10000
00010
01000
00001
πP .
b)
=
6721453
7654321π ,
=
0100000
1000000
0000010
0000001
0001000
0010000
0000100
πP .
50
c)
=
1234
4321π ,
=
0001
0010
0100
1000
πP .
Primer 5.6: Zapisali bomo permutacijo π , ki izhaja iz podane permutacijske matrike P: a)
=
01000
00100
00001
10000
00010
πP ,
=
43152
54321π .
b)
=
00000010
01000000
00001000
00000001
10000000
00010000
00000100
00100000
πP ,
=
27418536
87654321π .
c)
=
001
100
010
πP ,
=
132
321π .
Primer 5.7: Zmnožimo podani matriki P (dimenzije m x m) in A (dimenzije m x
n):
=
010
100
001
P ,
=
63
24
15
A .
=
⋅
=⋅
24
63
15
63
24
15
010
100
001
AP .
51
3 LITERATURA
1. Arih, L., Mastinšek, M. in Vukman, J. (1995). Matematika I 2.del. Maribor: Ekonomsko–poslovna fakulteta.
2. Butinar, B. (1998). Matematika 2.del. Maribor: Fakulteta za kemijo in
kemijsko tehnologijo.
3. Čibej, A. J. (1997). Matematika za poslovneže 1. del. Ljubljana: Univerza v Ljubljani.
4. Grasselli, J. in Vadnal, A. (1994). Linearna algebra, Linearno
programiranje. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.
5. Horn, R. A. in Johnson, C. R. (1985). Matrix analysis. Cambridge:
Cambridge University Prees. 6. Indihar, S., Mastinšek, M. in Arih, L. (1999). Matematika za ekonomiste
2.del. Maribor: Ekonomsko-poslovna fakulteta.
7. Jamnik, R. (1981). Matematika. Ljubljana: Partizanska knjiga.
8. Križanič, F. (1972). Vektorji, matrike, tenzorji. Ljubljana: Mladinska knjiga.
9. Kurepa, D. (1965). Viša algebra. Zagreb: Školska knjiga.
10. Landesman, E. M. in Hestens, M. R. (1992). Linear algebra for
mathematics, science and engineering. Practice – Hall International.
11. Mitrinović, D. S. in Mihajlović, D. (1962). Linearna algebra, Analitička geometrija, Polinomi. Beograd: Građevinska knjiga.
12. Muzić, Z. P. (1974). Determinante, matrice, vektori, analitička geometrija
za studente tehničkih fakulteta. Beograd: Građevinska knjiga.
13. Omladič, V. (1997). Uporaba linearne algebre v statistiki. Ljubljana: Fakulteta za družbene vede.
14. Schmidt, K. in Trenkler, G. (1998). Moderne Matrix-Algebra. Springer-
Verlag Berlin Heidelberg.
15. Vidav, I. (1994). Višja matematika I. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.
16. Vidav, I. (2003). Algebra. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in
astronomov Slovenije.
