2

ÍNDICE PRESENTACIÓN DEL LIBRO 3 PRESENTACIÓN DEL MÓDULO 6

GLOSARIO 185 BIBLIOGRAFÍA 187

3

PRESENTACIÓN DEL LIBRO Apreciable alumno de bachillerato:

Te felicitamos por haber llegado hasta esta etapa de tu vida, en la que

has optado por continuar superándote dentro del Sistema de Educación Media

Superior del Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica. Te invitamos a

seguir tu preparación con nosotros para enfrentar los múltiples e intrincados

retos que te reserva la vida profesional.

Este libro pretende ser una herramienta para tal fin. En él encontrarás íconos

que te guiarán durante la lectura y reflexión individual, acompañándote en esta

hermosa aventura de construir aprendizajes significativos de manera personal y

colectiva con los compañeros y profesores. De esta manera, cada vez que

encuentres un icono podrás estar seguro del significado de lo contenido en la

página o el párrafo.

Ícono identificador de la unidad, mismo que avisa cuando

has comenzado a tratar una nueva unidad.

Ícono identificador de la introducción a la unidad.

Apartado en el cual encontrarás una breve reseña de lo

que tratará la unidad.

4

Ícono identificador del propósito que se persigue alcanzar

al final del estudio de la unidad.

Ícono identificador del sumario, que enlista los temas

principales que se tratarán en la unidad.

Ícono identificador del apartado en que se desarrollan los

temas.

Ícono identificador de ejercicios que te servirán para

consolidar lo aprendido.

Ícono identificador de respuestas esperadas de los

ejercicios propuestos.

Ícono identificador de ejemplos que te servirán para

aplicar los temas tratados.

En este libro encontrarás tres unidades, correspondientes al módulo de probabilidad y estadística:

5

6

¡Disfrútalo mientras aprendes, aprovecha este tiempo para estudiar y formarte, recuerda que muchas cosas no podrás recuperar; una de ellas es

el tiempo! ¡Suerte!

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica

7

PRESENTACIÓN DEL MÓDULO

“…Los alelos miembros de un par génico se segregan en el momento de formarse los gametos…” 1

La estadística descriptiva consiste en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos, con el fin de estudiar el comportamiento de una población o inferir sobre la misma. Este análisis es muy básico, pero fundamental en todo estudio.

Todo trabajo estadístico, ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas denominadas población.

En la probabilidad; la estadística interviene desarrollando técnicas o procedimientos, cuyo principal objetivo es contar con herramientas para la toma de decisiones. Por ejemplo, podría ser utilizada para predecir conforme a la ley remitida, la posibilidad de que un hijo sea más parecido a su padre o a su madre.

1 Tomado de una de las leyes de la biología: Segunda ley de Mendel.

8

UNIDAD 1 Estadística descriptiva.

9

Desde hace muchos años, la estadística ha tenido presencia en todos los ámbitos de estudio: economía, administración, ingeniería, etc.

La estadística descriptiva es una rama de las matemáticas que se encarga de la recolección, organización, análisis e interpretación de una serie de datos, con el fin de estudiar el comportamiento de las poblaciones o predecir el comportamiento de un fenómeno a fin de facilitar la toma de decisiones. Para ello en esta unidad trataremos en detalle los conceptos básicos de muestra, población y tipos de datos.

Los gráficos estadísticos cumplen con el propósito de presentar de manera visual el comportamiento de una serie de datos e inferir sobre su distribución. Los más usados son gráficas circulares, histogramas, polígonos de frecuencias y ojiva.

Los parámetros y estadísticos más importantes y utilizados para la inferencia de datos son: media, mediana, moda y cuartiles. Con ello se consigue predecir el comportamiento de los datos que describen una población a través del estudio de las tendencias.

10

1. Describirás el comportamiento de una serie de datos cuantitativos, por medio de la construcción de tablas de distribución de frecuencias y gráficas de diversos tipos, para realizar el análisis de la información.

1.1Estadística Descriptiva. 1.1.1 Definición. 1.1.2 Población. 1.1.3 Tipos de poblaciones. 1.1.4 Muestra. 1.1.5 Tipos de muestreo. 1.1.6 Tipos de muestra. 1.1.7 Tipos de experimentos. 1.1.8 Tipos de datos.

1.2Representación gráfica de datos. 1.2.1 Gráficas de tallo y hojas. 1.2.2 Distribuciones de frecuencia. 1.2.3 Tipos de tablas. 1.2.4 Frecuencias para datos agrupados. 1.2.5 Distribución acumulativa.

11

1.1Estadística descriptiva.

1.1.1 Definición.

Es el conjunto de métodos matemáticos que nos permiten agrupar, organizar y tratar la información, de tal manera que podamos hacer inferencias con respecto a las características o comportamiento de la población.

1.1.2 Población.

El conjunto de todos los elementos ( i x ) que podríamos encontrar en la realización de un experimento, se denomina población. En sentido estadístico, un elemento puede ser algo con existencia real (población tangible), como un automóvil o una casa; o algo más abstracto (población conceptual) como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo. Cabe señalar que un experimento es el instrumento a través del cual se obtienen los datos o elementos que constituyen la población, como pueden ser una encuesta, un juego de azar, etc.

A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico. Si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella los siguientes caracteres:

Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesión, Peso, Altura, Color de pelo.

De cada elemento de la población, podremos estudiar uno o más aspectos, cualidades o caracteres.

12

1.1.3 Tipos de poblaciones.

1.1.3.1 Según su tamaño.

Población finita: Cuando el número (n) de elementos que la forman es finito.

El número de alumnos de un centro de enseñanza, o grupo clase.

Población infinita: Cuando el número de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesen considerarse infinitos.

Si se realizase un estudio sobre los productos que hay en el mercado; Habrían tantos y de tantas calidades que esta población

podría considerarse infinita.

1.1.3.2 Según su elegibilidad.

Población base: Grupo de personas designadas por características personales, geográficas o temporales, elegibles para participar en el estudio.

Población muestreada: Población base con criterios de viabilidad o posibilidad para realizar el muestreo. La muestra es una porción de la población.

Población diana: Grupo de personas a las que va proyectado dicho estudio. La clasificación característica de los mismos, la hace modelo de estudio para el proyecto establecido.

13

1.1.3.3 Características de las poblaciones.

Cuando se lleva a cabo alguna investigación, deben tenerse en cuenta las características esenciales al seleccionar la población bajo estudio. Dentro de dichas características tenemos las siguientes:

Homogeneidad: Todos los miembros de la población deben tener las mismas características según las variables que se vayan a considerar en el estudio o investigación. Por ejemplo, si se fuera a investigar la incidencia de la drogadicción entre mujeres adolescentes, entonces hay que definir claramente las edades que comprenden la adolescencia y cuando se seleccione la población, asegurarse de que todas las personas entrevistadas sean de la edad determinada y del sexo femenino.

Tiempo: Período de tiempo donde se ubica la población de interés. Hay que determinar si el estudio es del momento presente o si se va a estudiar una población de cinco años atrás o entrevistar personas de diferentes generaciones.

Espacio: Lugar donde se ubica la población de interés. Un estudio no puede ser muy amplio y por falta de tiempo y recursos hay que limitarlo a un área o comunidad en específico.

Cantidad: Tamaño de la población. Es sumamente importante porque ello determina o afecta al tamaño de la muestra a seleccionar; la falta de recursos y tiempo también limita la extensión de la población a investigar.

14

1.1.4 Muestra.

La Muestra es el segmento de la población que será estudiada. Corresponde al grupo de elementos de los que se recopilan datos y realizan observaciones; siendo realmente un subconjunto de la población muestreada.

Al elegir una muestra, se espera que sus propiedades sean extrapoladas a la población. Este proceso permite ahorrar recursos, obteniendo resultados parecidos a los que se obtendrían si se realizase un estudio de toda la población.

Se define la muestra como un subconjunto fielmente representativo de la población.

Cabe mencionar que para que el muestreo sea válido y pueda realizarse un estudio fiable, debe cumplir ciertos requisitos. Dependiendo de las características, condiciones y tamaño de la muestra, se puede hablar de grados o niveles de confiabilidad.

15

1.1.5 Tipos de muestreo.

Un muestreo es la técnica para la selección de una muestra a partir de una población. Hay diferentes tipos de muestreo y el que se utilice para recopilar la información, dependerá de la representatividad de la población a analizar.

Aleatorio: Cuando se selecciona al azar la muestra y cada miembro tiene igual oportunidad de ser elegido.

Estratificado: Cuando se subdivide en estratos o subconjuntos, según las variables o características que se pretenden investigar. Cada estrato debe corresponder proporcionalmente a la población.

Sistemático: Cuando se establece un patrón o criterio al seleccionar la muestra.

Se quiere conocer el número de miembros que tienen las familias, por cada diez que se detecten, se entrevistará una al azar.

1.1.6 Tipos de muestra.

1.1.6.1 Muestra Aleatoria simple.

Una muestra aleatoria simple se selecciona de tal manera, que cada muestra posible del mismo tamaño y características, tenga igual oportunidad de ser elegida de la población.

Una muestra es aleatoria simple si:

1) Cada elemento de la población tiene la misma oportunidad de ser seleccionado.

2) Los resultados u observaciones se obtienen cuando se realizan experimentos; en los cuales, todos los elementos tienen la misma oportunidad de aparecer.

En una población finita se enumeran los elementos de la población de 1 a N y se asignan números aleatorios de tantas cifras según el valor de N. El valor del número aleatorio indicaría el elemento a seleccionar.

16

Cuando una población es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es imposible. Por lo tanto, ciertas modificaciones del muestreo aleatorio simple son necesarias. Los tipos más comunes de muestreo aleatorio modificado son sistemáticos, estratificados y de conglomerados.

Si la población consiste en toda la gente de un país, se puede primero seleccionar al azar algunas subdivisiones del país y después seleccionar la

muestra final entre la gente de estas subdivisiones.

1.1.6.2 Muestra de conveniencia.

Se seleccionan aquellos miembros de la población de fácil acceso. Se usa cuando se quieren obtener resultados rápidamente.

Ventajas: 1) Bajo costo de selección. 2) Se producen resultados rápidamente. 3) Puede usarse para conocer posiciones generales, usualmente extremas

de la población.

Desventajas: 1) Es muy poco probable que la muestra sea representativa de la población. 2) No se puede establecer su confiabilidad ni margen de error. 3) No se puede inferir la población en base a los resultados obtenidos.

1.1.6.3 Muestra aleatoria ponderada.

Cuando la población incluye un grupo muy pequeño pero esencial, hay el riesgo de que ningún miembro de ese grupo quede dentro de una muestra aleatoria. Tales grupos clave de usuarios de productos son, entre otros, gente con problemas visuales, auditivos o con la capacidad reducida del movimiento. Otras minorías a menudo significativas se originan de religiones, nacionalidades y lenguas.

17

1.1.6.4 Muestra aleatoria estratificada.

Primero dividimos la población en subpoblaciones o estratos, luego tomamos una muestra aleatoria simple de cada uno de estos estratos. La colección de todas las muestras de los estratos nos da como resultado una muestra estratificada. Los estratos se seleccionan de acuerdo con los valores conocidos de alguna variable de manera que hay poca variabilidad entre los miembros de un estrato particular, sin embargo hay grandes diferencias entre los distintos estratos.

1.1.6.5 Muestra agrupada.

Cuando la población se encuentra dividida, de manera natural, en grupos que se supone contienen toda la variabilidad de la población, pueden seleccionarse sólo algunos de estos grupos o conglomerados para la realización del estudio. Dentro de los grupos seleccionados se ubicarán las unidades elementales, podrían ser: Personas a encuestar, aplicándoseles el mismo instrumento de medición a todas las unidades, o sólo a algunas seleccionadas al azar. Este método tiene la ventaja de simplificar la recopilación de datos muestrales.

18

1.1.7 Tipos de experimentos. Pueden ser encuestas, entrevistas, juegos de

azar, información climática, conteos.

1.1.8 Tipos de datos. Los datos estadísticos son concisos,

específicos y capaces de ser analizados objetivamente por diferentes procedimientos. En función de sus características los datos se clasifican en cuantitativos y cualitativos; siendo los

cuantitativos la base fundamental del estudio de la estadística. El uso de la computadora ha hecho posible el almacenamiento y procesamiento de datos de una manera más eficiente. Se obtienen mediante un proceso que incluye el registro de resultados de las observaciones o variables, que adquieren una serie de valores en las mediciones sucesivas.

1.1.8.1 Los datos de características cuantitativas o numéricas.

Son aquellos que se pueden expresar numéricamente y se obtienen a través de mediciones y conteos. Un dato cuantitativo se puede encontrar en cualquier disciplina; psicología, contabilidad, economía, publicidad. Los datos de características cuantitativas y cualitativas se clasifican en:

1. Variables continuas: Son aquellas cuyos valores son sucesivos. Se obtienen en cualquier momento de un proceso.

1.5, 3.4, 2.8, …r, donde r es un elemento de los reales. 2. Variables discretas: Son aquellas que no aceptan valores fraccionarios

dentro de un determinado intervalo. Se generan a través de un proceso de conteo.

1, 2, 3, 4, …n, donde n es un elemento de los enteros.

19

1.1.8.2 Datos de características cualitativas o categóricas.

Los datos de características cualitativas son aquellos que no se pueden expresar numéricamente. Estos datos se deben convertir a valores numéricos antes de que se trabaje con ellos.

Si hacemos una base de datos de pacientes, las variables categóricas serían: sexo, estado civil, hábito de fumar.

Los datos de características cualitativas se clasifican en:

1. Datos nominales: Comprenden categorías, como el sexo, carrera en estudio, calificaciones. Las características mencionadas no son numéricas por su naturaleza, pero cuando se aplican, ya sea en una población o una muestra, es posible asignarle a cada elemento una categoría y contar el número que corresponde a cada elemento. De esta manera estas características se convierten en numéricas.

2. Datos jerarquizados: Es un tipo de datos de características cualitativas que se refiere a las evaluaciones subjetivas cuando los conceptos se jerarquizan según la preferencia o logro. Las posiciones de una competencia de atletismo se jerarquizan en: Primer lugar, segundo lugar, tercer lugar.

Tanto los datos nominales como los jerarquizados, que por su naturaleza no son numéricos, se convierten en datos discretos.

En el proceso de medición de estas variables, se pueden utilizar dos escalas:

Escalas nominales: Son una forma de observar o medir en la que los datos se ajustan por categorías

que no mantienen una relación de orden entre sí (color de los ojos, sexo, profesión, presencia o ausencia de un factor de riesgo o enfermedad).

Escalas ordinales: Cuando existe un cierto orden o jerarquía entre las categorías de las escalas utilizadas (grados de disnea, estadía de un tumor).

20

1.2 Representación gráfica de datos.

En muchas ocasiones la información proporcionada en una tabla es tan singular o importante que se decide presentar esos resultados de forma gráfica. Muchas veces, la representación gráfica nos permite obtener de una forma más rápida y clara la información que nos es útil, e inclusive nos permite hacer comparativos entre las diferentes clases.

Veamos primeramente algunos principios comunes en la construcción de gráficos:

En su gran mayoría los gráficos se inscriben en un sistema de ejes coordenados, siendo el circular o de sectores, una excepción. En uno de los ejes se representan las frecuencias observadas o los valores calculados a partir de los datos, mientras que en el otro se representa el criterio principal de clasificación. La escala relativa al eje donde se representan frecuencias debe comenzar en cero. De ser necesario, se puede interrumpir “adecuadamente” la escala dependiendo del tipo de gráfico. La longitud de un eje debe ser, aproximadamente, entre una medida y una medida y media, la del otro. Esta proporcionalidad es importante, pues garantiza la equivalencia entre gráficos. Cada eje debe ser rotulado indicando qué representa, y en caso de que corresponda, la unidad de medida usada. Un gráfico depende de la información que se quiera expresar y su construcción precisa del ordenamiento de los datos a través de un método tabular.

Componentes de un gráfico.

Un gráfico, está compuesto de las siguientes partes:

a. Identificación. b. Título. c. Cuerpo. d. Pie del gráfico.

21

1.2.1 Gráficas de tallo y hojas.

Es una técnica de recuento y ordenación de datos que permite de una manera rápida, obtener una representación visual del conjunto de datos. Para construirlo, se eligen uno o más dígitos iniciales para los valores de tallo, el dígito o dígitos finales corresponderán a las hojas, posteriormente, se enlistan los valores del tallo verticalmente en orden creciente, colocando a continuación cada dato observado junto al valor correspondiente de tallo. Se utiliza con grandes cantidades de información y constituye un método resumido de mostrar los datos. La desventaja de este método, es que no muestra información sobre frecuencias, sólo muestra los datos.

22

1. La siguiente distribución de frecuencias, corresponde a las edades de los 20 profesores de una escuela secundaria. Represéntala mediante una tabla de Tallos y Hojas.

34 25 33 41 28 27 42 38 37 23 29 36 35 44 32 28 26 30 42 36

En este caso, los tallos son los números 3, 2 y 4 que corresponden a las decenas y que de manera ordenada quedan como: 2, 3 y 4.

En la siguiente tabla, se colocan las hojas, que corresponden a las unidades y se van agregando según el orden en el que van apareciendo:

Tallos Hojas 2 5 8 7 3 9 8 6 3 4 3 8 7 6 5 2 0 6 4 1 2 4 2

Finalmente simplemente reordenamos las hojas también en orden creciente:

Tallos Hojas 2 3 5 6 7 8 8 9 3 0 2 3 4 5 6 6 7 8 4 1 2 2 4

Esta representación, proporciona más información que un histograma.

23

2. Con los siguientes datos, construye un diagrama de tallos y hojas. 36 25 37 24 39 20 36 45 31 31 39 24 29 23 41 40 33 24 34 40

Solución:

Ordenamos los datos quedando:

20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40 41 45

Tomamos como tallo las decenas y como “hojas” las unidades, quedando

TALLO HOJAS 2 0 3 4 4 4 5 9 3 1 1 3 4 6 6 7 9 9 4 0 0 1 5

3. Construye un diagrama de tallos y hojas con los datos que se tomaron de 35 alumnos, en relación con su estatura.

1.68 1.71 1.75 1.91 1.69 1.89 1.77 1.69 1.82 1.78 1.51 1.82 1.71 1.87 1.76 1.49 1.75 1.72 1.77 1.76 1.72 1.92 1.70 1.77 1.69 1.57 1.77 1.84 1.63 1.79 1.68 1.74 1.78 1.80 1.73

Solución: Ordenando los datos:

1.49 1.51 1.57 1.63 1.68 1.68 1.69 1.69 1.69 1.70 1.71 1.71 1.72 1.72 1.73 1.74 1.75 1.75 1.76 1.76 1.77 1.77 1.77 1.77 1.78 1.78 1.79 1.80 1.82 1.82 1.84 1.87 1.89 1.91 1.92

24

Recorriendo un lugar el punto decimal y tomando los enteros como “tallo” y las décimas como “hojas” queda:

TALLO HOJAS 14 9 15 1 7 16 3 8 8 9 17 1 1 2 2 3 4 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 18 0 2 2 4 7 9 19 1 2

4. De un radar para medir las velocidades en 45 automóviles, se obtuvieron los siguientes datos para realizar un diagrama de tallos y hojas.

96 93 88 117 127 95 113 96 108 94 148 156 139 142 94 107 125 155 155 103 112 127 117 120 112 135 132 111 125 104 106 139 134 119 97 89 118 136 125 143 120 103 113 124 138

Solución:

Ordenando los datos

88 89 93 94 94 95 96 96 97 103 103 104 106 107 108 111 112 112 113 113 117 117 118 119 120 120 124 125 125 125 127 127 132 134 135 136 138 139 139 142 143 148 155 155 156

Elegimos los 2 primeros dígitos como “tallos” y el número restante será la hoja

TALLO HOJAS 8 8 9 9 3 4 4 5 6 6 7 10 3 3 4 6 7 8 11 1 2 2 3 3 7 7 8 9 12 0 0 4 5 5 5 7 7 13 2 4 5 6 8 9 9 14 2 3 8 15 5 5 6

25

1.2.2 Distribuciones de frecuencia.

Una tabla de distribución de frecuencia es un cuadro que consiste en la disposición conjunta, ordenada y normalmente totalizada, de las sumas o frecuencias totales obtenidas en la recopilación de los datos, referentes a las categorías o dimensiones de una o varias variables, relacionadas entre sí. Las tablas sistematizan los resultados cuantitativos ofreciendo una visión numérica, sintética y global del fenómeno observado. En ella, se culmina y concreta la fase clasificatoria de la investigación cuantitativa.

1.2.2.1 Tabla de entrada de datos.

Es una tabla en la cual sólo aparecen los datos que se obtuvieron de la investigación científica o del experimento. Es la más sencilla, utilizada cuando no se requiere mayor información acerca de los resultados de una serie de n repeticiones de algún experimento u observación aleatoria, suponiendo que las repeticiones son mutuamente independientes y se realizan en condiciones uniformes. El resultado de cada observación, puede expresarse de forma numérica.

El material estadístico consiste en n valores observados de la variable Xi.

Los valores observados se suelen registrar, en primer lugar en una lista. Si el número de observaciones no excede de veinte, los datos se registran en orden creciente de magnitud o por variable cualitativa.

Con los datos de esta tabla pueden hacerse diversas representaciones gráficas y calcular características numéricas como la media y la mediana.

26

1.2.3 Tipos de tablas.

1.2.3.1 Tablas de frecuencia.

Una tabla de frecuencia está formada por las categorías o valores de una variable y sus frecuencias correspondientes. Esta tabla es lo mismo que una distribución de frecuencias y se crea por medio de la tabulación y agrupación. Se realiza el mismo procedimiento de tabulación anteriormente descrito si el número de valores observados para la variable, se trabaja con una sola variable, descontando los repetidos. Si existen repetidos la frecuencia f es el número de repeticiones de un valor de x dado. Sin embargo, cuando el conjunto de datos es mayor, resulta laborioso trabajar directamente con los valores individuales observados y entonces se lleva a cabo, por lo general, algún tipo de agrupación como paso preliminar, antes de iniciar cualquier otro tratamiento de los datos. Las reglas para proceder a la agrupación son diferentes según sea la variable, discreta o continua; para una variable discreta suele resultar conveniente hacer una tabla en cuya primera columna figuren todos los valores de la variable x representados en el material, y en la segunda, la frecuencia f con que ha aparecido cada valor de x en las observaciones.

Estas clases de tablas son las más usadas y brindan mayor información sobre los datos que las tablas de entradas de datos, efectivamente. Una tabla de este tipo dará en forma abreviada, una información completa acerca de la distribución de los valores observados. Con estas se pueden utilizar más a fondo los métodos gráficos al igual que los métodos aritméticos.

Ejemplo:

1. La siguiente tabla muestra el número de artículos defectuosos que se detectaron en una línea de producción durante 30 días del mes de abril del 2006. Elabora la tabla de distribución de frecuencias respectiva.

4 5 4 5 6 7 6 5 4 7 8 7 8 6 7 5 6 8 7 9 8 7 4 6 7 8 9 4 6 7

27

Núm. artículos defectuosos

i x FRECUENCIAS

i f 4 5 5 4 6 6 7 8 8 5 9 2

TOTAL 30 FUENTE: Departamento de Producción, Cía. X, S.A.

1.2.3.2 Tablas de Frecuencias Relativas.

Resume la información contenida en un conjunto de datos, organizándolos según su clase y su frecuencia relativa, la cual se refiere al grado de representación porcentual de una clase con respecto al total.

Núm. artículos

i x Frecuencias

i f Frecuencias Relativas

i fr Frecuencias Relativas

porcentuales

% 4 5 0.17 17% 5 4 0.13 13% 6 6 0.20 20% 7 8 0.27 27% 8 5 0.17 17% 9 2 0.06 6%

Total 30 1.00 100% FUENTE: Departamento de Producción, Cía. X, S.A.

28

1.2.3.3 Tablas de Frecuencias Relativas Acumuladas.

Resume la información contenida en un conjunto de datos, organizándolos según su clase y frecuencia relativa, se refiere al grado de representación porcentual acumulado de cada una de las clases.

Núm. artículos

i x Frecuencias

i f

Frecuencias Relativas

i i

f fr n

=

Frecuencias Relativas

porcentuales

%

Frecuencias Relativas

Acumuladas

i fra 4 5 0.17 17% 17% 5 4 0.13 13% 30% 6 6 0.20 20% 50% 7 8 0.27 27% 77% 8 5 0.17 17% 94% 9 2 0.06 6% 100%

TOTAL 30 1.00 100% FUENTE: Departamento de Producción, Cía. X, S.A.

1.2.4 Frecuencias para datos agrupados.

Para una variable continua, o para aquellas variables cuyo rango sea exagerado, el procedimiento de ordenación es algo más complicado. Se debe establecer la elaboración de una tabla de datos agrupados, ya que si el número de la variable xi es muy extenso, sería poco práctico la elaboración de un tabular como el anterior.

1.2.4.1 Clases.

El primer paso consiste en establecer el número de clases que deberá tener la tabla, utilizando la ley de Sturges, que no es otra cosa más que una forma de seleccionar el número de clases que se utilizarán para la construcción de un histograma (es una metodología empleada con una frecuencia en los paquetes computacionales de estadística). Se establecen los límites de cada clase y se hace el cálculo de los n valores observados que pertenecen a dicha clase y que representa la frecuencia de clase correspondiente a dicho intervalo.

1.2.4.2 Límites de Clase.

Los límites de clase corresponden a los valores máximo y mínimo correspondientes a cada clase y que se denominan como el límite superior y el límite inferior respectivamente, estos valores delimitan los alcances de cada clase. Al agrupar los datos, se registrarán como un elemento más de la clase correspondiente, y la clase correspondiente, será aquella en la que el valor del dato esté dentro de los límites de alguna clase.

29

1.2.4.3 Intervalos de Clase.

Se refiere al tamaño de la clase, se determina como la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de cada clase, de manera convencional, los intervalos de clase para cada clase, son del mismo tamaño.

30

1. A fin de estudiar la posibilidad de la aplicación de instrumentos de medición, para un lote de fabricación, el departamento de ensamblado desarrolló un estudio para una muestra tomada de forma aleatoria, en donde se registran los diámetros de algunas piezas. Los resultados se presentan a continuación:

60 116 82 80 116 76 77 83 92 85 116 104 87 95 81 102 94 74 95 66 93 100 113 82 91 114 67 78 95 82 99 84 113 95 85 106 99 98 89 90 111 93 75 87 94 112 98 97 98 109

Solución:

Calcula primeramente el número de clases utilizando la regla de Sturges 2 y después obtén el tamaño de clase dividiendo el rango entre el número de clases.

Aplica la ley de Sturges

C = 3.3 (log n)+ 1 C = 3.3 (log 50) + 1 = 6.60 ≈ 7

NOTA: n representa el total de datos.

Calcula el rango de los datos.

Rango = Máx. – Mín. Rango = 116 – 60 = 56

Nota: Cuando el rango sea mayor a 20 elabora la tabla de datos agrupados, sino realiza una tabla considerando a la variable de forma independiente.

2 Metodología empleada en la determinación del número de intervalos de clase en una distribución de frecuencias ideal.

31

Calcula la amplitud de clases:

Se divide el rango entre el número de clases calculado a través de la ley de Sturges:

= − − − − − − − −− > 56 8 amplitud declase. 7

Se establecen los límites de cada clase.

Se inicia la primera clase con el número menor de los datos y se le va asignando la amplitud calculada, estableciéndose así la clase; la siguiente, inicia con el número inmediatamente posterior.

Nota: Cuando la variable tratada no sea continua, aunque la amplitud sea fraccionaria, se deberá redondear a fin de no complicar su elaboración.

Posteriormente se registran las frecuencias y se les da aplicación específica. A continuación se presenta la tabla de frecuencias relativas, de acuerdo a los diámetros de los instrumentos de medición.

Intervalo i f Frecuencia relativa.

i i

f fr n

=

60 ­ 68 3 0.06 69 ­ 77 4 0.08 78 ­ 86 10 0.20 87 ­ 95 14 0.28 96 ­ 104 9 0.18 105 ­ 113 6 0.12 114 ­ 122 4 0.08

∑ 50 1.00

32

Algunas especificaciones del procedimiento son:

El número de clases depende de la cantidad de datos u observaciones y de la amplitud general.

Muchas observaciones ⇒ permiten un mayor número de clases.

Pocos datos ⇒ no conviene hacer muchas clases. Buscar un balance entre la necesidad de resumir la información y mantener suficientes detalles para apreciar las características de los datos.

Partir de la amplitud general y probar con diferente número de clases hasta alcanzar un número de clases y un intervalo adecuado (rango / # clases). Decidir si usar clases iguales o desiguales. El número de clases recomendable está asociado con la cantidad de datos.

Un intervalo o clase está determinado por dos números a y b de manera que todos los mayores o iguales que a y menores que b pertenecen a dicho intervalo. Se simboliza por (a, b), donde a y b son los límites del intervalo o clase.

La frecuencia absoluta (f) de un intervalo o clase es el número de datos que pertenecen al mismo.

Una característica de este tipo de tablas es:

La marca de clase de un intervalo, i Mc , es el punto medio del intervalo. Su cálculo nos lo da la expresión:

+ =

2 i a b Mc

33

Límites reales de clase: Se obtienen sumando al límite superior de la clase el límite inferior de la clase contigua superior y dividiendo entre dos.

Retomando el ejemplo anterior

Intervalo Frecuencias

i f

Marca de

clase i Mc

Límite real de clase

i Li 60 ­ 68 3 64 68.5 69 ­ 77 4 73 77.5 78 ­ 86 10 82 86.5 87 ­ 95 14 91 95.5 96 ­ 104 9 100 104.5 105 ­ 113 6 109 113.5 114 ­ 122 4 118 122.5

∑ 50

Recomendaciones: Las clases deben ser exhaustivas y mutuamente excluyentes. Procurar que el número de clases oscile entre 5 y 10.

1.2.5 Distribución Acumulativa.

Como se había hecho mención con anterioridad un método gráfico, representa como ventaja el presentar de manera visual y de forma más clara la distribución de los datos. Existen varios tipos de gráficos, los cuales se encuentran clasificados, de acuerdo al tipo de variable y al fenómeno que pretenda explicar, esta clasificación se puede apreciar en el siguiente esquema:

34

1.2.5.1 Métodos gráficos para variables de tipo cualitativo.

Este tipo de variables no son susceptibles de ser medidas en valores numéricos, indican calidad o cualidades: sexo, país de origen, religión, etc. Para este tipo de variables los métodos gráficos a utilizar son: Barras y Diagrama circular.

1.2.5.1.1 Gráfica de Barras.

La siguiente tabla muestra el país de procedencia de las importaciones de tecnología aplicada a la industria textil durante el año 2006.

PAÍS DE PROCEDENCIA

IMPORTACIONES (MILLONES DE DÓLARES.)

JAPÓN 123 450 CHINA 96 500 TAIWAN 63 450 COREA 32 600 INDIA 16 350

0 20000 40000 60000 80000

100000 120000 140000

Millon

es de Dólares

JAPÓN CHINA TAIWAN COREA INDIA

País

IMPORTACIONES

35

1.2.5.1.2 Gráfica Circular.

La gráfica mostrada arriba con barras, se puede realizar en forma de una gráfica circular que también se conoce como de pay o de pastel:

IMPORTACIONES (MILLONES DE DÓLARES)

JAPÓN

CHINA

TAIWAN

COREA

INDIA

36

1. La secretaría de salud realizó el registro de las vacunas aplicadas a menores de diez años durante el año 2006. Los datos se muestran a continuación y se requiere expresar de manera porcentual, cuál fue la vacuna más aplicada.

Solución:

Nótese que la variable sujeta a estudio es cualitativa, es decir, expresa una condición de calidad o característica específica. Para la elaboración de un diagrama circular o de pastel se llevan a cabo los siguientes pasos:

a) Se forma al dividir un círculo en sectores circulares de manera que: Cada sector circular equivale al porcentaje correspondiente al dato o grupo que representa.

b) La unión de los sectores circulares forma el círculo y la suma de sus porcentajes es 100. Se Calcula el número de grados que corresponde a cada sector, esto se logra aplicando una regla de tres simple:

37

% → Grados 100% 360º

BCG 17% 61º

La unión de los sectores circulares forma el círculo y la suma de sus porcentajes es 100.

38

1.2.5.2 Métodos gráficos para variables de tipo cuantitativo.

Para este tipo de variables los gráficos a utilizar son los histogramas y los polígonos de frecuencias.

1.2.5.2.1 Histogramas. La secretaría de salud realizó el registro de las vacunas

aplicadas a

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de la variable, cuando la tabla sea de datos no agrupados. Cuando sean datos agrupados se representa el intervalo de clase.

Se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la base coinciden con los límites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase, que representamos en el eje de las abscisas. La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.

El histograma se usa para representar variables cuantitativas continuas que han sido agrupadas en intervalos de clase, la desventaja que presenta es que no funciona para variables discretas, de lo contrario es una forma útil y práctica de mostrar los datos estadísticos.

39

Para hacer un histograma seguimos los siguientes pasos:

Dividimos el rango de los datos n en intervalos o clases, que no se superpongan. Las clases deben ser excluyentes y exhaustivas. Tal y como se hizo en la tabla de datos. Contamos la cantidad de datos en cada intervalo o clase, es decir, la frecuencia. También podemos usar para cada intervalo la frecuencia relativa. Graficamos el histograma en un par de ejes coordenados representando en las abscisas los intervalos y sobre cada uno de ellos un rectángulo, cuya área es proporcional a la frecuencia relativa de dicho intervalo.

40

1. Se tiene la siguiente tabla de datos agrupados.

Variable i x i f Marca de clase i Mc

Límite real de clase

i Li i fr i fra

60 ­ 68 3 64 68.5 0.06 0.06 69 ­ 77 4 73 77.5 0.08 0.14 78 ­ 86 10 82 86.5 0.20 0.34 87 ­ 95 14 91 95.5 0.28 0.62 96 ­ 104 9 100 104.5 0.18 0.80 105 ­ 113 6 109 113.5 0.12 0.92 114 ­ 122 4 118 122.5 0.08 1.00

Como resultado de la distribución de frecuencias y su grado de representatividad, se derivan los siguientes histogramas.

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

0 2 4 6 8 10 12 14 16

1

CLASES O INTERVALOS

FRECUENCIAS

60 ­ 68 69 ­ 77 78 ­ 86 87 ­ 95 96 ­ 104 105 ­ 113 114 ­ 122

41

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS

0

0.1

0.2

0.3

60­68 69­77 78­86 87­95 96­104 105­113 114­122

Clases

Freecu

encias

Como resultado del histograma de frecuencias, la unión de marcas de clase (polígono de frecuencias), presentamos a continuación la distribución suavizada de los datos.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

60­68 69­77 78­86 87­95 96­104 105­113 114­122

Clase

Frecue

ncia

42

2. Teniendo los datos de los minutos que llegan tarde 30 autobuses, calcula: a) Rango. b) Número de intervalos. c) Amplitud. d) Tabla de frecuencia. e) Marcas de clase. f) Histograma. g) Polígono de Frecuencias. h) Ojiva.

Datos en minutos: 10 15 3 5 15 19 15 19 7 8 13 5 5 5 15 7 5 6 9 8 5 5 12 2 19 6 7 12 5 12

a) Rango:

19 2 17 Max Min R V V = − = − =

b) Número de intervalos:

1 3.3log( ) k n = +

1 3.3log(30) 1 3.3(1.47) 1 4.85 5.85 k = + = + = + =

Como k, se encuentra entre 5 y 6 se toma 6

K = 6

c) Amplitud:

17 2.8 6

R A k

= = =

subiéndolo a 3

A= 3

43

d)

Intervalos 2­5 5­8 8­11 11­14 14­17 17­20

Recorriendo media unidad anterior y los límites de los intervalos.

Intervalo Frecuencia

i f Frecuencia acumulada

i fa Frecuencia relative

i fr

Frecuencia relativa

acumulada

i fra

Marca de clase

i Mc

1.5­4.5 2 2 0.066 0.066 3

4.5­7.5 13 15 0.43 0.5 6

7.5­10.5 4 19 0.133 0.633 9

10.5­13.5 4 23 0.133 0.766 12

13.5­16.5 4 27 0.133 0.9 15

16.5­19.5 3 30 0.1 1 18

e)

Retardos de Autobuses

0

5

10

15

1.5­4.5 4.5­7.5 7.5­10.5 10.5­ 13.5

13.5­ 16.5

16.5­ 19.5

Marcas de clase

Tiem

po en minutos

44

f)

Retardo de Autobuses

0 5 10 15

1.5­4.5 4.5­7.5 7.5­10.5 10.5­ 13.5

13.5­ 16.5

16.5­ 19.5

Marcas de clases

Tiem

po en min.

h)

Retardos de Autobuses

0 5 10 15 20 25 30 35

0 1.5­4.5 4.5­7.5 7.5­10.5 10.5­ 13.5

13.5­ 16.5

16.5­ 19.5

Marcas de Clase

Tiem

po en min.

Observaciones:

No existen criterios óptimos para elegir la cantidad de intervalos. En general, entre 8 y 15 intervalos deberían ser suficientes. Muchos o muy pocos intervalos puede ser poco informativo. Se busca un equilibrio entre un histograma muy irregular y uno demasiado suavizado.

No es necesario que todos los intervalos tengan la misma longitud, pero es recomendable que así sea. Esto facilita la lectura.

El histograma representa la frecuencia o la frecuencia relativa a través del área y no a través de la altura.

45

1.2.5.2.2 Simetría o Sesgamiento.

Se manifiesta al trazar una vertical, en el diagrama de barras o histograma, de una variable. Cuando se transforma en eje de simetría. Decimos que la distribución es simétrica cuando la vertical divide el histograma de manera equivalente. En caso contrario, dicha distribución será asimétrica o diremos que presenta asimetría. Analizaremos las medidas de forma del histograma o

representación de datos, es decir, qué información nos aporta según la forma que tenga la disposición de datos. Las medidas de forma de una distribución se pueden clasificar en medidas de asimetría. Las cuales se presentan a continuación:

46

El coeficiente de asimetría más preciso es el de Fisher, que se define por:

3

1

3 3

( ) n

i i i

x x f

n S

α

=

−

=

∑

Según sea el valor de α3, diremos que la distribución es asimétrica a derechas o positiva; a izquierdas o negativa; o simétrica, o sea:

Si α 3 > 0 la distribución será asimétrica positiva o a derechas (desplazada hacia la derecha).

Si α 3 < 0 la distribución será asimétrica negativa o a izquierdas (desplazada hacia la izquierda).

Si α 3 = 0 la distribución puede ser simétrica; si la distribución es simétrica, entonces podremos afirmar que α3 = 0.

1.2.5.2.3 Ojivas de Frecuencia.

Las distribuciones de frecuencia acumulada y frecuencia relativa acumulada se presentan gráficamente con las ojivas de frecuencia acumulada y frecuencia relativa acumulada, que es una gráfica de segmentos de línea que une los puntos donde se cruzan los límites reales con las frecuencias acumuladas y relativas acumuladas de cada intervalo de clase.

47

48

2. Calcularás medidas de dispersión de un conjunto de datos, con base en el análisis de la información, para la solución de problemas.

1.3 Medidas de Tendencia Central. 1.3.1 Tendencia Central. 1.3.2 Medidas de Posición Central. 1.3.3 Tendencia Central para Datos Agrupados. 1.3.4 Medidas de Posición No Central. 1.3.5 Medidas de Variabilidad. 1.3.6 Coeficiente de variación.

49

1.3 Medidas de tendencia central. 1.3.1 Tendencia central.

Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos.

Las medidas de posición son de dos tipos:

a) Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos.

b) Medidas de posición no centrales: informan de cómo se distribuye el resto de los valores de la serie.

1.3.2 Medidas de posición central.

Las principales medidas de posición central son las siguientes:

1.3.2.1 Media.

Media: Es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:

a. Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:

1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ... ( ) n n x f x f x f x f x n

+ + + + =

Propiedades:

1) Si sometemos a una variable estadística x, a un cambio de origen y escala y = a + bx, la media aritmética de dicha variable x, varía en la misma proporción.

y a bx = +

2) La suma de las desviaciones de los valores o datos de una variable x, respecto a su media aritmética es cero.

1

( ) 0 n

i i i

x x f =

− = ∑

50

Ventajas e inconvenientes:

­ La media aritmética viene expresada en las mismas unidades que la variable. ­ En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución. ­ Es el centro de gravedad de toda la distribución, representando a todos los valores observados.

­ Es única. ­ Su principal inconveniente es que se ve afectada por los valores extremadamente grandes o pequeños de la distribución.

b) Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican estos resultados y al producto final se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra y “m” el número de resultados diferentes).

1 1 2

1 2 ( ... ) f f fm n n x x x x =

Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.

La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.

Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información.

Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.

c) Media ponderada de un conjunto de números: es el resultado de multiplicar cada uno de los números por un valor particular para cada uno de ellos, llamado su peso, obteniendo a continuación la suma de estos productos, y dividiendo el resultado de esta suma de productos entre la suma de los pesos más la masa según la característica de cada número inicial. Este "peso" depende de la importancia o significancia de cada uno de los valores.

51

Para una serie de datos

x = x1, x2, ..., xn

A la que corresponden los pesos

w = w1, w2,..., wn

La media ponderada se calcula como:

1

1

n

i i i n

i i

xw x

w

=

=

= ∑

∑

La media es la medida de tendencia central más utilizada y se calcula de forma diferente para cada uno de los datos, es decir, si los datos sujetos a estudio son datos no agrupados su cálculo se resume a un promedio.

52

1. La siguiente tabla muestra el número de artículos defectuosos que se detectaron en una línea de producción durante 30 días del mes de abril del 2006. Elabora la tabla de distribución de frecuencias respectiva.

4 5 4 5 6 7 6 5 4 7 8 7 8 6 7 5 6 8 7 9 8 7 4 6 7 8 9 4 6 7

190 6.33 30

i x x n

= = = ∑

O bien, puede calcularse a través de la ponderación, utilizando la misma tabla de datos:

FUENTE: Departamento de Producción, Cía. X, S.A.

6.3333 i i x f x

n = = ∑

Núm. artículos defectuosos

i x

Frecuencias

i f

Media

i i x f x

n = ∑

4 5 20 5 4 20 6 6 36 7 8 56 8 5 40 9 2 18

Total 30 ∑ 190

53

2. Tres alumnos de estadística realizaron un estudio y obtuvieron los siguientes datos:

Alumno Entrevistas realizadas

i f Medias obtenidas

x

A 100 34 B 50 37 C 200 35

Obtén la media ponderada

Media Ponderada = i i

i

x f x

f = ∑

∑

Media ponderada= ( ) ( ) ( ) 34 100 37 50 35 200 3400 1850 7000 12,250 35

100 50 200 350 350 + + + +

= = = + +

3. Un periódico contrata a 5 agencias para obtener los datos de las velocidades de los automóviles que pasan por la autopista México–Querétaro, obteniendo los siguientes datos:

Agencia i f i x

1 300 110 2 200 105 3 250 112 4 200 108 5 150 110

Obtén la Media Ponderada

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 110 300 105 200 112 250 108 200 110 150 300 200 250 200 150

33000 21000 28000 21600 16500 120,100 1100 1100

109.1818

x

x

x

+ + + + =

+ + + +

+ + + + = =

=

54

4. En una escuela con 4 grupos de 5° semestre se obtuvieron los siguientes datos para calcular la media ponderada del plantel:

Grupo i f i x

A 35 7.7 B 29 8.3 C 41 7.9 D 36 8.6

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 7.7 35 8.3 29 7.9 41 8.6 36 35 29 41 36

269.5 240.7 323.9 309.6 1143.7 141 141

8.11

x

x

x

+ + + =

+ + +

+ + + = =

=

1.3.2.2 Mediana.

Mediana: Es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores).

No presentan el problema de estar influido por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido).

En el caso de datos no agrupados, su cálculo requiere de los siguientes pasos:

1) Ordena los datos de forma ascendente. 2) Identifica si la serie de datos es par o impar.

3) Si es par utiliza las siguientes fórmulas: 2

2 2

2

n n x x Md

+ + =

Si la serie fuera impar: 12 n Md x + =

4) El resultado de la fórmula será el valor de posición del o los datos que representen la mediana.

55

4 5 4 5 6 7 6 5 4 7 8 7 8 6 7 5 6 8 7 9 8 7 4 6 7 8 9 4 6 7

Ordenando los datos:

4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9

Siendo la serie par: 30 32 2 2

Md y =

Md = 15 y 16

Se ubican los datos cuya posición sea: 6 y 7

Nota: Cuando los datos tienen un valor diferente, se promedian:

6 7 6.5 2

Md +

= =

56

1.3.2.3 Moda.

Es el valor que más se repite en la muestra, y en consecuencia, en una distribución de frecuencias, es el valor de la variable que viene afectada por la máxima frecuencia de la distribución. En distribuciones no agrupadas por intervalos se observa la columna de las frecuencias absolutas, y el valor de la distribución al que corresponde la mayor frecuencia, será la moda. A veces aparecen distribuciones de variables con más de una moda (bimodales, trimodales, etc.), e incluso una distribución de frecuencias que presente una moda absoluta y una relativa.

En el caso del ejercicio anterior: Mo = 7

1.3.3 Tendencia central para datos agrupados.

Su cálculo requiere el uso de fórmulas que ubiquen perfectamente el valor de los datos:

Media: i i Mc f x

n = ∑ , siendo i Mc = marca de clase o punto medio.

Clases o intervalos

I

Frecuencia i f

Marca de clase i Mc

Media x

60­68 3 64 192 69­77 4 73 292 78­86 10 82 820 87­95 14 91 1274 96­104 9 100 900 105­113 6 109 654 114­122 4 118 472

50 ∑ 4,604 50 ∑ 92.08 x =

57

Mediana: 2 i

i M d

n fa Md L I

f

− = +

Siendo:

i L = Límite inferior de clase.

i fa = Frecuencia acumulada anterior a la clase.

I = Intervalo de clase.

Md f = Frecuencia de la clase donde se encuentra la mediana.

58

1. Determina la mediana y la moda para la siguiente distribución de datos:

Ubica la clase donde se encuentre la mediana: 50 25

2 2 n

= =

Elige la clase donde se encuentra la mediana, buscando en i fa que es la acumulación de frecuencias en tabla.

50 17 2 86.5 9 14

Md

− = +

91 .6 Md =

Intervalos Frecuencia

i f Frecuencia acumulada anterior a la clase

i fa

Límite inferior de clase

i L 60 ­ 68 3 3 59.5 69 ­ 77 4 7 68.5 78 ­ 86 10 17 77.5 87 ­ 95 14 31 86.5 96 ­ 104 9 40 95.5 105 ­ 113 6 46 104.5 114 ­ 122 4 50 113.5

59

MODA: 1

1 2 o M Li I ∆ = + ∆ + ∆

Siendo: r1 Diferencia entre el dato más repetido y el anterior.

r2 Diferencia entre el dato más repetido y el siguiente.

Se ubica la clase con el dato más repetido

Aplica la fórmula:

MODA: 4 86.5 9

4 5 o M = + +

0 90.5 M =

60

1.3.4 Medidas de posición no central.

1.3.4.1 Fractiles: cuartiles, deciles y percentiles.

Los fractiles son aquellos valores de la variable, que ordenados de menor a mayor, dividen a la distribución en partes, de tal manera que cada una de ellas contiene el mismo número de frecuencias. Los fractiles más conocidos son:

a) Cuartiles (Qi)

Son valores de la variable que dividen a la distribución en 4 partes, cada una de las cuales engloba el 25 % de las mismas. Se denotan de la siguiente forma: Q1 es el primer cuartil que deja a su izquierda el 25 % de los datos; Q2 es el segundo cuartil que deja a su izquierda el 50% de los datos, y Q3 es el tercer cuartil que deja a su izquierda el 75% de los datos. (Q2 =50%)

b) Deciles (Di)

Son los valores de la variable que dividen a la distribución en las partes iguales, cada una de las cuales engloba el 10 % de los datos. En total habrá 9 deciles. (Q2 = D5 =50%)

c) Centiles o Percentiles (Pi)

Son los valores que dividen a la distribución en 100 partes iguales, cada una de las cuales engloba el 1 % de las observaciones. En total habrá 99 percentiles. (Q2 = D5 = P50 =50%)

Los cuartiles y percentiles no son medidas de tendencia central sino medidas de posición. El percentil es el valor de la variable que indica el porcentaje de una distribución que es igual o menor a esa cifra. Así, por ejemplo, el percentil 80 es el valor de la variable que es igual o deja por debajo de sí al 80% del total de las puntuaciones.

El percentil α% de la distribución de los datos es el valor por debajo del cual se encuentran el α % de los datos en la muestra ordenada.

61

Para calcularlo:

Ordenamos la muestra de menor a mayor.

Buscamos el dato que ocupa la posición ( ) 1 n fractil

α + (si este número no

es entero se promedian los dos adyacentes o se interpolan los dos adyacentes).

1. Tenemos 30 datos ordenados:

4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9

Se requiere el cálculo del tercer cuartil:

Datos: n=30 α=3 Fractil=cuartil=4

• Buscamos el dato de posición, utilizando: ( 1) 4 n α + = 3(30 1) 7.75

4 +

=

• Se ubica el dato 7ª y 8ª = cuyos valores son 5 y 5. • Se promedian = 5 • El valor cuartil es 5. • Se expresa: el 25 % de los datos van desde el valor 4, hasta el 5.

Busquemos ahora el percentil 80.

Datos: n=30 α=80 Fractil=percentil=100

• Buscamos el dato de posición, utilizando: ( 1) 100 n α + = 80(30 1) 24.8

100 +

=

• Se ubica el dato 24 y 25 = cuyos valores son 8 y 8. • Se promedian = 8 • El valor percentil es 8.

Se expresa: el 80 % de los datos van desde el valor 4, hasta el 8.

62

En el caso de datos agrupados, es necesaria la utilización de fórmulas, para obtenerlos de manera precisa, ya que estos se encuentran ubicados mediante intervalos.

Retomando el ejemplo de datos agrupados:

Calculemos: Tercer Cuartil

Datos: n=50 α=3 Fractil=cuartil=4

• Se ubica el dato que representa el tercer cuartil ( 1) 4 n α + =

3(50 1) 38.25 4

+ =

• Se aplica la fórmula:

No fa Q Li I fq

− = +

3 38.25 31 95.5 9

9 Q

− = +

lo cual infiere o expresa el resultado:

3 102.74 Q =

Con el fin de estudiar la posibilidad de la utilización de instrumentos de medición, para un lote de fabricación, el departamento de ensamblado desarrolló un estudio a una muestra tomada de forma aleatoria, en donde se registran los

Intervalos Frecuencia

i f Frecuencia acumulada anterior a la clase

i fa

Límite inferior de clase

i Li 60­68 3 3 59.5 69­77 4 7 68.5 78­86 10 17 77.5 87­95 14 31 86.5 96­104 9 40 95.5 105­113 6 46 104.5 114­122 4 50 113.5

63

diámetros de algunas piezas, donde el 75% de los instrumentos tienen diámetros que van desde el 60 y hasta el 102.74.

1.3.5 Medidas de variabilidad. Cálculo de varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.

1.3.5.1 Medidas de dispersión: Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos.

1.3.5.2 Varianza ( 2 s ): Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media al cuadrado. Se calcula como la suma de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor (frecuencia). La suma obtenida se divide por el tamaño de la muestra menos uno.

2

2 1

( )

1

n

i i i

f x x s

n =

− =

−

∑

donde i f =frecuencia / i x =dato / x =media / n = número total de datos.

La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.

1.3.5.3 Desviación estándar ( s ): Se calcula como raíz cuadrada de la varianza y es una medida de la distribución de los datos.

2

1

( )

1

n

i i i

f x x s

n =

− =

−

∑

64

1.3.6 Coeficiente de Variación.

Coeficiente de variación de Pearson (CV ): Se calcula como cociente entre la desviación típica y la media de la muestra.

100 s CV x

=

Su utilidad estriba en que nos permite comparar la dispersión o variabilidad de dos o más grupos.

Como medidas de variabilidad más importantes, conviene destacar algunas características de la varianza y de la desviación estándar: • Son índices que describen la variabilidad o dispersión y por tanto cuando los datos están muy alejados de la media, el numerador de sus fórmulas será grande y la varianza y la desviación típica lo serán también.

• Al aumentar el tamaño de la muestra, disminuye la varianza y la desviación típica. Para reducir a la mitad la desviación típica, la muestra se tiene que multiplicar por 4.

• Cuando todos los datos de la distribución son iguales, la varianza y la desviación típica son iguales a 0.

• Para su cálculo se utilizan todos los datos de la distribución; por tanto, cualquier cambio de valor será detectado.

65

1. Para los datos mostrados en la siguiente tabla de distribución de frecuencias, determina: a) La desviación estándar.

b) El coeficiente de variación.

Intervalos Frecuencia

i f Marca de clase

i Mc i i Mc f 2 ( ) i i Mc x f −

60 ­ 68 3 64 192 2365.45 69 ­ 77 4 73 292 1456.18 78 ­ 86 10 82 820 1016.06 87 ­ 95 14 91 1274 16.32 96 ­ 104 9 100 900 564.53 105 ­ 113 6 109 654 1,717.71 114 ­ 122 4 118 472 2,687.38

∑= 50 ∑= 4,604 ∑= 9,823.68

a) Determinamos la media:

4,604 50

i i Mc f x

n = = ∑

92.08 x =

Calculamos ahora la varianza: 2

2 ( ) 9,823.68 50

i i Mc x f s

n

− = = ∑

2 196.47 s =

Una vez obtenida la varianza, la desviación estándar se calcula con la raíz cuadrada de la misma:

196.47 s =

14.01 s =

66

b) Entonces el coeficiente de variación es:

100 s CV x

=

14.01 100 92.08

CV =

15.21% CV =

2. En una empresa se han producido 50, 55, 70, 65, 62, 75, 60, 55, 60, y 65 toneladas de producto, durante los últimos 10 meses. Calcula:

a) Media. b) Mediana. c) Moda. d) Decil 7.

Solución:

a) Media:

1 50 55 70 65 62 75 60 55 60 55 617 10 10

n

i i x

x n

= + + + + + + + + + = = =

∑

61.7 x =

b) Mediana:

Como n es par y ordenando los datos de menor a mayor

10 10 1 1 2 2 2 2

2 2

n n X X X X Md

+ + + + = =

5 6 60 62 122 61 2 2 2

X X Md + +

= = = =

1 50 2 55 3 55 4 60 5 60 6 62 7 65 8 65 9 70 10 75

67

c) Moda:

Los datos que más se repiten son:

55 = 2 ocasiones 60 = 2 ocasiones 65 = 2 ocasiones

Por lo que:

Mo= 55, 60, 65 siendo multimodal

d) Siendo par:

7 7(10) 7 10

D = =

El dato 7 es 65.

D7 = 65

3. Al medir el tiempo que tarda un balín en caer de cierta altura se registraron las siguientes mediciones en segundos:

3.8 3.6 4.2 3.6 3.7 4.1 3.9 4.4 4.0 4.1 3.7 4.3 4.1 3.8 3.9

Determina:

a) Media. b) Mediana. c) Moda. d) Varianza. e) Desviación Estándar. f) Coeficiente de variabilidad. g) Simetría. h) Sesgamiento.

68

Solución: a) Media:

1

n

i i x

x n

= = ∑

3.8 3.6 4.2 4.5 3.7 4.1 3.9 4.4 4.0 4.1 3.7 4.3 4.1 3.8 3.9 60.1 15 15

x + + + + + + + + + + + + + + = =

4.00 x =

b) Mediana:

1 15 1 16 2 2 2 n Md x x x + +

= = =

8 Md x =

El dato 8 es = 3.9

Md= 3.9

c) Moda:

Mo. 4.1, por ser el dato que más se repite.

1. 3.6 2. 3.6 3. 3.7 4. 3.7 5. 3.8 6. 3.8 7. 3.9 8. 3.9 9. 4.0 10. 4.1 11. 4.1 12. 4.1 13. 4.2 14. 4.3 15. 4.4

69

d) Varianza:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 2 2 2 2 2 1

( ) 3.6 4 3.6 4 3.7 4 ... 4.3 4 4.4 4 1 15 1

n

i i

x x s

n =

− − + − + − + + − + −

= = − −

∑

2 0.16 0.16 0.09 0.09 0.04 0.04 0.01 0.01 0 0.01 0.01 0.01 0.04 0.09 0.16 14

s + + + + + + + + + + + + + + =

2 0.5 0.036 14

s = =

e) Desviación estándar:

2 0.036 0.189 s s = = =

f) Coeficiente de variabilidad:

0.189 0.047 4

s CV x

= = =

g) Simetría: 3( ) 3(4 3.9) 3(0.1) 0.3

0.189 0.189 0.189 x Md AS s

− − = = = =

1.58 AS =

h) Sesgo: 4 x =

3.9 Md =

Como Md=3.9 se tiene sesgo nulo.

70

4. La siguiente lista corresponde a la temperatura de un paciente tomada cada 30 minutos a partir de las 5 de la mañana:

37, 37.5, 38, 38, 38.5, 39, 38, 38.5, 37, 36, 37.5, 38, 37, 37.5, 37

Calcula: a) Media. b) Moda. c) Varianza. d) Desviación estándar. e) Coeficiente de Variabilidad.

Solución:

a) Media:

n= 15

37 37.5 38 38 38.5 39 38 38.5 37 36 37.5 38 37 37.5 37 15

x + + + + + + + + + + + + + + =

564.5 37.63 15

x = =

b) Moda:

La moda es 38 por ser el dato que más se repite.

c) Varianza:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 37 37.63 37.5 37.63 38 37.63 ... 37.5 37.63 37 37.63

15 1 s

− + − + − + + − + − =

−

2 8.2335 0.5881 14

s = =

d) Desviación estándar:

2 0.5881 0.7668 s s = = =

e) Coeficiente de variabilidad:

71

0.7668 0.02 37.63

s CV x

= = =

5. Considerando los datos agrupados en la siguiente tabla: Intervalo Marca de Clase

i Mc Frecuencia

i f Frecuencia acumulada

i fa 17.5 – 20.5 19 2 2 20.5 – 23.5 22 6 8 23.5 – 26.5 25 14 22 26.5 _ 29.5 28 5 27 29.5 – 32.5 31 3 30

Determina:

a) Media. b) Mediana. c) Moda. d) Varianza. e) Desviación estándar. f) Coeficiente de Variabilidad.

72

Solución:

a) i i

f Mc x

n = ∑

(12 19) (6 22) (14 25) (5 28) (3 31) 30

x x x x x x + + + + =

38 132 350 140 93 753 30 30

x + + + + = =

25.1 x =

b) Mediana

Md = Li clase Mediana + ) 2 i

i

n fa Anterior clase mediana A

f Clase mediana

−

Para la clase mediana 30 15

2 2 n

= =

El dato 15 se encuentra en la clase 23.5­ 26.5

30 8 2 23.5 3 14

Md x − = +

15 8 7 23.5 3 23.5 3 14 4

Md − = + = +

( ) 23.5 0.5 3 23.5 1.5 Md = + = +

25 Md =

73

c) Clase modal:

Clase Mo = Li Clase modal + 1

2 1

d A d d

+

1 d = 3 f clase modal – 2 f clase anterior

2 d = 3 f clase modal – 4 f clase siguiente

El intervalo con mayor frecuencia es: 23.5 – 26.5

1 d = 14 – 6 = 8

2 d = 14 – 5 = 9

3 3 8 8 23.5 23.5

8 9 17 Mo x x = + = + +

23.5 (0.47)3 23.5 1.41 24.91 Mo = + = + =

24.91 Mo =

d) Varianza

Para varianza agregamos columnas en la tabla de datos:

Intervalo Marca de clase

i Mc

Frecuencia

i f Frecuencia acumulada

i fa

i Mc x − 2 ( ) i Mc x − 2 ( ) i i Mc x f −

17.5 – 20.5 19 2 2 ­6.1 37.21 74.42 20.5­23.5 22 6 8 ­3.1 9.61 57.66 23.5­26.5 25 14 22 ­0.1 0.01 0.14 26.5­29.5 28 5 27 2.9 8.41 42.05 29.5­32.5 31 3 30 5.9 34.81 104.43

( ) 2 2 1 278.7 278.7 1 30 1 29

n i i i

Mc x f s

n =

− = = =

− − ∑

2 9.61 s =

74

e) 2 9,61 s s = =

3.1 s = f)

3.1 25.1

s CV x

= =

0.1235 CV =

6. De la tabla de frecuencias siguiente obtén: a) Media. b) Mediana. c) Moda. d) Varianza. e) Desviación estándar. f) Coeficiente de Variabilidad.

Intervalo Marca de clase i Mc

Frecuencia

i f Frecuencia acumulada

i fa 15 – 19 17 2 2 19 – 23 21 3 5 23 – 27 25 17 22 27 _ 31 29 14 36 31 – 35 33 8 44 35 – 39 37 6 50

a) Media:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 17 3 21 17 25 14 29 8 33 6 37 50

x x x x x x x

+ + + + + =

34 63 425 406 264 222 1414 50 50

x + + + + + = =

28.28 x =

75

b) Mediana:

50 25 2 2 n

= =

El dato 25 se encuentra en el inter: 27­31

31 27 4 A Ls Li = − = − =

50 22 25 22 2 27 4 27 4 14 14

Md − − = + = +

3 27 4 27 0.214 4 27 0.857 14

Md = + = + • = +

27.857 Md =

c) Moda: La clase con mayor frecuencia es 23­27

1 d = 17 – 3= 14

2 d = 17­14 = 3

14 14 23 4 23 4 14 3 17

Mo = + = + +

( ) 23 0.82 4 23 3.294 Mo = + = +

26.294 Mo =

76

d) Varianza: Para la varianza agregamos columnas en tabla de datos

Intervalo Marca de clase i Mc

Frecuencia

i f i Mc x − 2 ( ) i Mc x − 2 ( ) i i Mc x f −

15 – 19 17 2 ­11.28 127.238. 254.476 19 – 23 21 3 ­7.28 52.998 158.994 23 – 27 25 17 ­3.28 10.758 182.886 27 – 31 29 14 0.72 0.518 7.252 31 – 35 33 8 4.72 22.278 178.224 35 – 39 37 6 8.72 76.038 456.228

( ) 2 2 1 1238.06 1238.06 1 50 1 49

n i i i

Mc x f s

n =

− = = =

− − ∑

2 25.26 s =

e) Desviación estándar: 2 25.26 s s = =

5.026 s =

f) Coeficiente de variabilidad: 5.026 28.28

s CV x

= =

0.177 CV =

77

1. Organización y Tratamiento de Datos Estadísticos. Imagina que hemos preguntado a un conjunto de N personas su opinión con respecto a la subvención que el gobierno de una capital ha concedido para la remodelación de una colonia. Las N respuestas se encuentran en una escala que va del 1 al 9, donde 1 representa un total desacuerdo con la subvención, mientras que 9, un acuerdo total. El resultado de la medición es el siguiente:

7 5 6 8 6 5 9 5 8 6 5 7 5 5 4 5 8 5 4 2 6 6 4 6 4 8 4 3 4 3 3 1 4 5 6 5 8 5 4 7 4 3 5 3 4 9 4 2

6 3 4 2 4 1 3 6 3 1 2 4 4 6 2 4 7 4 2 4 6 4 4 6 7 5 8 5 7 6 5 6 5 7 5 6 4 5 4 1 6 5 6 5 5 5 4 5 5 6 5 4 4 3 5 5 9 4 3 6 5 7 3 2 4 4 7 4 2 1 8 2 7 4 5 5 7 5 5 1 5 8 5 6 7 6 6 7 7 5 2 5

6 5 8 5 3 6 5 5

i. Organiza los datos. ii. Elabora una tabla de frecuencias. iii. Responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántas personas fueron encuestadas? b) ¿Cuál fue la respuesta más frecuente? (Moda) c) ¿Cuántas personas tienen, como máximo, una actitud de cuatro

puntos en la escala (es decir, cuántas personas se encuentran en desacuerdo con la subvención)?

d) Exprésalo en términos porcentuales. e) ¿Cuál fue la opinión del 75% de las personas encuestadas?

78

Solución:

i. Para organizar los datos se elabora la tabla de frecuencias de datos no agrupados, ya que el rango que presentan los mismos es de 9 unidades, lo que permite estudiar la variable de forma individual.

ii. Opinión

i x Frecuencia

i f Frecuencia acumulada

i fa

Frecuencia relativa

i fr

Frecuencia relative porcentual

%

Frecuencia relative acumulada

i fra

1 6 6 0.0413 4.13% 4.13%

2 11 17 0.0758 7.56 11.69

3 11 28 0.0758 7.56 19.25

4 30 58 0.2068 20.70 39.95

5 38 96 0.262 26.20 66.15

6 23 119 0.1586 15.86 82.01

7 14 133 0.0965 9.66 91.67

8 9 142 0.062 6.20 97.87

9 3 145 0.0206 2.07 99.9

iii. a) 145 b) 5 c) 58 personas d) 39.95%

79

e) En este caso se trata del cálculo del tercer cuartil:

3 3 3(145) 435 108.75 4 4 4 n Q = = = =

Se ubica el dato 108 y 109 y se interpolan sus respectivos valores: Los dos corresponden al valor de 6 en Xi. Por lo que el 75% de la muestra tiene una opinión que va del 1 y hasta el 6 de calificación en el desacuerdo.

2. Población tangible o conceptual. Defina la población y diga si es tangible o conceptual. Se recibe un cargamento de tornillos de un distribuidor. Para verificar si la remesa es aceptable con respecto a la fuerza de corte, un ingeniero selecciona 10 tornillos, uno por uno, del recipiente para probarlos.

Solución: Tangible.

3. Verdadero o falso. a) Una muestra aleatoria simple es garantía de que refleja exactamente a la

población de la que se extrajo.

Solución: Falso.

b) Una muestra aleatoria simple está libre de cualquier tendencia sistemática en diferir de la población de la que se extrajo.

Solución: Verdadero.

80

4. Media aritmética. De entre 100 números, 20 son cuatros, 40 son cincos, 30 son seises y los restantes sietes. Determina la media aritmética.

R.

i x i f i i x f

4 20 80

5 40 200

6 30 180

7 10 70

530 5.30

100 x = = ∑

5. Medidas de tendencia central. Si se desea obtener una indicación acerca de lo bien que ha estado bateando un jugador, ¿qué medida de tendencia central se debe observar?

Solución:

La media de bateo.

6. Completa el siguiente enunciado: La mediana es aquel punto bajo el cual______________________________

Solución:

La serie de datos se distribuye en un 50% de datos menores a la mediana y un 50% de datos mayores a ésta.

81

7. Varianza. Un hombre midió cuatro pizarrones y los resultados fueron 2, 2, 3 y 5 metros de longitud. Calcula la varianza de las longitudes.

Solución: 2 1.5 s =

82

8. De la siguiente serie de datos calcula: a) La Media. b) La Mediana. c) La Moda. d) La Varianza. e) La Desviación estándar. f) El Coeficiente de variabilidad.

12 17 17 18 19 11 16 14 17 16 15 14 18 13 17

Solución: a) 15.6 b) 8 c) 17 d) 5.5 e) 2.34 f) 0.15

9. De los siguientes datos obtén: a) La Media. b) La Mediana. c) La Moda.

69 73 82 83 90 64 76 59 77 86 90 84 83 88 81 95 83 92 91 83

Solución:

a) 81.45 b) 83 c) 83

83

10. De los siguientes datos agrupados obtenidos de las edades de los asistentes a un curso se obtuvieron los siguientes resultados

Intervalo Frecuencia

i f 23 ­ 27 11 28 – 32 19 33 – 37 23 38 – 42 22 43 – 47 14 48 – 52 7 53 – 57 4

Calcula:

a) La media. b) La mediana. c) La moda.

Solución:

a) 37.3 b) 31.91 c) 37

84

11. Al obtener los resultados de la calificación de los exámenes de matemáticas se apreciaron los siguientes datos agrupados:

Intervalos Frecuencia

i f 4.05 ­ 5.05 4 5.05 ­ 6.05 6 6.05 ­ 7.05 12 7.05 ­ 8.05 16 8.05 ­ 9.05 8 9.05 ­ 10.05 4

Calcula: a) La Media. b) La mediana. c) La moda. d) La Varianza. e) La desviación estándar. f) El coeficiente de variabilidad.

Solución:

a) 7.15 b) 7.18 c) 7.33 d) 1.79 e) 1.33 f) 0.187

85

UNIDAD 2 Manejo de la probabilidad para la solución de problemas.

86

En un lenguaje común nos referimos a la probabilidad cuando existe un evento que tiene cierto grado de incertidumbre. El significado etimológico es la posibilidad de que ocurra algo; sin embargo, en algunos problemas relacionados con las ciencias exactas y sociales, el estudio de la probabilidad adquiere mayor importancia, debido a que hay eventos que incluyen la toma de decisiones bajo un escenario de incertidumbre.

La probabilidad es la rama de las matemáticas cuyo propósito es predecir una situación a futuro en base a cálculos matemáticos y ya no en base al comportamiento de las poblaciones aplicando la combinación, permutación y leyes de probabilidad. En esta fase se establecen técnicas basadas en el cálculo combinatorio para eventos de interés específico.

87

1. Aplicarás las fórmulas del cálculo combinatorio para calcular probabilidades de eventos.

2.1Probabilidad. 2.1.1 Técnicas de Conteo. 2.1.2 Permutaciones. 2.1.3 Combinaciones. 2.1.4 Leyes de los Grandes Números.

2.2Reglas de la Probabilidad. 2.2.1 Espacios Muestrales y Eventos con Conjuntos. 2.2.2 Operaciones con Conjuntos. 2.2.3 Postulados de la Probabilidad. 2.2.4 Reglas Adicionales de la Probabilidad. 2.2.5 Probabilidades y Posibilidades. 2.2.6 Probabilidad Condicional. 2.2.7 Eventos Independientes. 2.2.8 Teorema de Bayes.

88

2.1Probabilidad.

La probabilidad es muy útil, ya que puede servir para desarrollar estrategias y tomar decisiones, dado que expresan cuán probable es un determinado evento.

2.1.1 Técnicas de Conteo. El análisis de los problemas de probabilidad

se facilita a través de métodos sistemáticos de conteo de los grupos y arreglo de los datos.

Las técnicas de conteo son aquellos principios que se usan para contar resultados que no se conocen o que son muy extensos Se les denomina técnicas de conteo a: los diagramas de árbol, las combinaciones y las permutaciones. Éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

2.1.1.1 Diagrama de árbol.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de ellos tiene un número finito de maneras de realizarse. Son una herramienta muy útil que sirve para representar gráficamente una manera del cómo se puede resolver un problema determinado.

El diagrama de árbol por lo regular siempre empieza con un círculo, de ahí se separan las ramas.

89

1. El jefe del departamento de Recursos Humanos de determinada compañía decide elegir de entre 5 candidatos a dos para el puesto de supervisor:

2. Si lanzamos dos veces una moneda, los posibles resultados y sus probabilidades pueden mostrarse en un diagrama de árbol.

90

3. Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces cuando mucho. En cada juego gana o pierde un Euro. El hombre empieza con un euro y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su dinero o si gana tres euros, esto es si llega a los cuatro euros. Dibuja el diagrama de árbol de los casos posibles que pueden ocurrir.

91

4. Se tiran cuatro monedas de forma consecutiva. Construye un diagrama de árbol de los posibles resultados obtenidos.

92

4. Mario y Enrique juegan en un torneo de frontón. Para ganar el trofeo existen dos formas; la primera es ganar dos juegos seguidos y la segunda, ganar tres juegos en total. Elabora el diagrama de árbol de los posibles resultados del torneo.

93

1. Construye el diagrama de árbol para determinar el número de permutaciones del conjunto , , a b c

2. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes entre 3 niños?

Solución: 1680.

3. Hay 12 bolas en una urna. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna, cuatro veces sucesivamente, todas sin sustitución?

Solución: 369600.

4. Una señora tiene 11 amigos de confianza. a) ¿De cuántas maneras puede invitar a cinco de ellos a comer? b) ¿De cuántas maneras podría invitarlos, si dos de ellos están casados y no

asiste uno sino asiste también el otro? c) ¿De cuántas maneras, si dos de ellos están peleados y no asiste uno si

asiste el otro?

Solución: a) 462 b) 210 c) 378

5. Dos equipos de baloncesto juegan un torneo. El primero en ganar dos seguidos o cuatro en total es el ganador. Construye un diagrama de árbol de los posibles resultados.

94

6. Halla la probabilidad de que al sacar una carta de un mazo de 52: a) Sea divisible entre 5. b) Sea un número primo. c) Sea un as.

Solución:

a) 1 5

b) 3 10

c) 1 5

7. Tres caballos a, b y c corren juntos, sus posibilidades de ganar son 1/2, 1/3 y 1/6 respectivamente. Si los caballos corren dos veces, encuentra la probabilidad de que el caballo b gane en ambas ocasiones.

Solución: 1/9

95

2.1.1.2 Principio de Multiplicación.

Si un experimento puede describirse como una secuencia de k pasos y en cada paso hay n1 resultados en el primer paso, n2 resultados en el segundo paso, n3 resultados en el tercer paso, y así sucesivamente, entonces el número de eventos que pueden ocurrir será,

(n1) • (n2) • (n3) • (n4) • • • • • • (nk)

1. Si cada uno de 5 trabajadores tienen la misma probabilidad de ser elegidos para un cierto puesto, determina:

a) La probabilidad de que A sea elegido:

= n P N

p (A) = 1 5

b) Probabilidad de que A y B sean elegidos:

p (A) p (B) = 1 1 1 5 5 25

=

2.1.1.3 Definición de Factorial.

El símbolo n! que se lee “n factorial se refiere al producto de todos los enteros desde n hasta 1.

! ( 1)( 2)( 3) n n n n n = − − −

Por definición: 0! = 1 (cero factorial es 1)

5 ! = 5 (4) (3) (2) (1)

4 ! = 4 (3) (2) (1)

3 ! = 3 (2)

2 ! = 2 (1)

96

2.1.2 Permutaciones.

Cada arreglo de datos donde el orden es importante y puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos contenidos en el grupo.

N = número de datos n= grupo tomado de N (n<N)

Caso 1: (n = N)

NPn = N!

1. Se tienen 6 máquinas de escribir y 6 personas para operar las máquinas, ¿de cuántas maneras se pueden asignar las personas a las máquinas?

Solución: 6P6 = 6! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 7 personas en un banco?

Solución. NPn = N!

P7 = 7∙6∙5∙4∙3∙2∙1

P7 = 5,040

Caso 2: ( n< N ) muestras ordenadas sin repetición.

En este caso cada observación se toma una sola vez, porque la unidad después de observada no se regresa a la población de donde proviene.

[ ] ! ( , )

! N P N n

N n =

−

N = número de elementos diferentes disponibles (población).

97

n = número de elementos tomados de N (muestra).

1. Un examen de candidatura consta de 5 partes que pueden obtenerse de un total de 10 temas. ¿De cuántas maneras se pueden escoger las 5 partes?

Datos:

N=10 n=5 P=?

Fórmula: [ ]

! ( , ) !

N P N n N n

= −

Sustitución: [ ] 10! (10,5) 30, 240

10 5 ! P = =

−

Respuesta: Se puede escoger de 30,240 maneras.

2. De cuántas maneras se pueden acomodar cuatro personas, de ocho elegibles, para conducir un trineo si: a) Cualquiera de ellos puede manejar. b) Uno de ellos es el conductor oficial y sólo él puede conducir.

Solución. a) Datos:

N=8 n=4 P=?

Fórmula: [ ]

! ( , ) !

N P N n N n

= −

( ) ( ) 8! 8 7 6 5 4! 8,4 8 7 6 5

8 4 ! 4! P

• • • • = = = • • •

−

( ) 8, 4 1,680 P =

98

b) Datos:

N=7 n=3 P=?

Fórmula: [ ]

! ( , ) !

N P N n N n

= −

( ) ( ) 7! 7 6 5 4! 7,3 7 6 5

7 3 ! 4! P

• • • = = = • •

−

( ) 7,3 210 P =

3. De A a B hay 6 caminos y de B a C existen 4. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C pasando forzosamente por B?

Solución.

[ ] ! ( , )

! N P N n

N n =

− De A a B.

( ) ( ) 6! 6! 6 5! 6,1 6

6 1 ! 5! 5! P

• = = = =

−

De B a C.

( ) ( ) 4! 4! 4 3! 4,1 4

4 1 ! 3! 3! P

• = = = =

−

Por lo tanto de A a C pasando por B.

( ) ( ) 6,1 4,1 6 4 24 P P • = • =

Formas de llegar de A a C pasando por B.

99

4. En el Distrito Federal las placas de automóvil tienen tres dígitos y tres letras mayúsculas. Si se consideran dígitos del 1 al 9 y el abecedario de 24 letras. ¿Cuántas placas pueden existir en la ciudad sin duplicarse?

Solución.

En lo referente a los dígitos:

Datos:

N=9 números posibles n=3 dígitos que pueden tener las placas. P=?

Fórmula: [ ]

! ( , ) !

N P N n N n

= −

( ) ( ) 9! 9! 9 8 7 6! 9,3 9 8 7

9 3 ! 6! 6! P

• • • = = = = •

− g

( ) 9,3 504 P =

En lo referente a las letras:

Datos:

N=24 letras posibles del abecedario. n=3 letras mayúsculas que pueden tener las placas. P=?

( ) ( ) 24! 24! 24 23 22 21! 24,3 24 23 22

24 3 ! 21! 21! P

• • • = = = = • •

−

( ) 24,3 12,144 P =

Por lo que las placas que pueden existir en la ciudad sin duplicarse es:

( ) ( ) 9,3 24,3 504 12,144 P • = •

( ) ( ) 9,3 24,3 6,120,576 P • =

100

1. Calcula las siguientes permutaciones: a. P(9,2) f. P (9,5) b. P (15,8) g.P (10,3) c. P (7,4) h.P (5,2) d. P (6,2) i. P (11,5) e. P (8,3) j. P (9,6)

Solución.

a. 72 b. 259459200 c. 840 d. 30 e. 336 f. 15120 g. 720 h. 20 i. 55440 j. 60480

101

2.1.3 Combinaciones. Es el número de diferentes formas en que se

pueden seleccionar n objetos de un total de N objetos distintos sin importar el orden. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

[ ] ! ( , )

! ! N C N n

n N n =

−

1. Se tiene un grupo de 15 máquinas troqueladoras. Se quieren elegir 4 al azar, sin importar cuáles sean. ¿De cuántas maneras pudieran elegirse?

Solución:

Datos:

N=15 n=4 C=?

Fórmula: [ ] ! ( , )

! ! N C N n

n N n =

−

[ ] 15! (15, 4)

4! 15 4 ! C =

−

15! (15, 4) 1,365 4!11!

C = =

102

2. ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité, compuesto de 2 mujeres y 4 hombres; de un grupo de 7 mujeres y 9 hombres?

Solución.

De las mujeres, es posible elegir de C(7,2) formas y de los hombres pueden elegirse C(9,4) formas, por lo tanto:

Para las mujeres:

7! 7! 7 6 5! 7 6 7 6 42 (7, 2) (2!)(7 2)! (2!)(5!) (2!)(5!) 2! 2 1 2

C • • • •

= = = = = = − •

(7, 2) 21 C = Formas de elegir una mujer.

Para los hombres:

9! 9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6 3024 (9, 4) (41)(9 4)! (4!)(5!) (4!)(5!) 4 3 2 1 24

C • • • • • • •

= = = = = − • • •

(9, 4) 126 C = Formas de elegir un hombre.

Por lo que el comité puede elegirse de:

(7, 2) (9, 4) 21 126 C C • = •

(7, 2) (9, 4) 2646 C C • = Formas de elegir el comité.

103

3. Una delegación de 9 asambleístas será seleccionada para asistir a una reunión. Si existen 16 asambleístas elegibles: a) ¿De cuántas formas se puede elegir la delegación? b) Si dos de los asambleístas son de un mismo partido y solamente van a

dicha reunión si ambos asisten al mismo tiempo.

Solución.

a) 16! 16! 16 15 13 12 11 10 9! (16,9)

(9!)(16 9)! (9!)(7!) 9! 7! C

• • • • • • = = =

− •

16 15 14 13 12 11 10 16 15 14 13 12 11 10 (16,9) 7! 7 6 5 4 3 2 1

C • • • • • • • • • • • •

= = • • • • • •

(16,9) 11,440 C =

b) Existen 2 opciones:

Si van: C(14,7)

14! 14! 14 13 12 11 10 9 8 7! 14 13 12 11 10 9 8 (14,7) 7!(14 7)! 7! 7! 7! 7! 7!

C x

• • • • • • • • • • • • • = = = =

− •

(14,7) 3, 432 C =

Si no van: C(14,9)

( ) ( ) 14! 14 14 13 12 11 10 9! (14,7)

9!(14 7)! 9! 5! 9! 5! C

• • • • • = = =

− •

14 13 12 11 10 14 13 12 11 10 (14,7) 5! 5 4 3 2 1

C • • • • • • • •

= = • • • •

(14,7) 2,002 C =

Por lo tanto:

( ) ( ) 14,7 14,9 3, 432 2002 C + = +

( ) ( ) 14,7 14,9 5,434 C + = Formas de elegir el comité.

104

4. Un estudiante realiza un examen en el cual debe elegir 10 preguntas de 13 posibles para alcanzar el 10 de calificación. a) ¿De cuántas formas puede elegir las respuestas del examen? b) Si las tres primeras son obligatorias ¿de cuántas formas puede alcanzar el

10?

Solución.

a) Datos:

N=13 n=10 C=?

Fórmula: [ ]

! ( , ) !

N P N n N n

= −

( ) ( )( ) ( )( ) 13! 13! 13 12 11 10! 13,10

10! 13 10 ! 10! 3! 10! 3! C

• • • = = =

− •

( ) 13 12 11 13 12 11 1,716 13,10 3! 3 2 1 6

C • • • •

= = = • •

( ) 13,10 286 C = Formas de alcanzar el 10 de calificación.

b) Datos:

N=10 N=7 C=?

Fórmula: [ ]

! ( , ) !

N P N n N n

= −

( ) ( ) ( )( ) 10! 10! 10 9 8 7! (10,7)

7! 10 7 ! 7! 3! 7! 3! C

• • • = = =

− •

10 9 8 10 9 8 720 (10,7) 3! 3 2 1 6

C • • • •

= = = • •

(10,7) 120 C = Formas de alcanzar el 10 de calificación.

105

1. Calcula las siguientes combinaciones: a. C(8,3) f. C(9,5) b. C(5,2) g. C(10,3) c. C(7,4) h. C(9,6) d. C(11,5) i. C(15,8) e. C(9,2) j. C(6,2)

Solución.

a. 56 b. 10 c. 35

d. 462 e. 36 f. 126 g. 120 h. 84 i. 6435 j. 15

106

2.1.4 Ley de los Grandes Números.

Se considera el primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

Básicamente el teorema establece que la frecuencia relativa de los resultados de un experimento aleatorio, tiende a estabilizarse en cierto número, que es precisamente la probabilidad cuando el experimento se realiza muchas veces.

Las consideraciones anteriores dan lugar a la siguiente definición:

Definición: La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles, es decir:

( ) números de casos favorables al suceso A p A números de casos posibles

=

2.2Reglas de la probabilidad.

2.2.1 Espacios muestrales y eventos con conjuntos.

Experimento. Es cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.

Espacio Muestral (S). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

107

1. Supongamos que el departamento de personal de una empresa da a conocer que existe una vacante para el puesto de supervisor. Han inscrito su candidatura los trabajadores A, B, C, D, E y F.

Solución.

S = A, B, C, D, E, F

S = 6

Cada uno de estos resultados se denomina suceso elemental (o punto muestral). Al conjunto de todos los sucesos elementales se le llama espacio muestral. Los subconjuntos del espacio muestral se llaman sucesos, son simples cuando constan de un solo suceso elemental y compuestos cuando están formados por más de uno.

2. Se sacan dos cartas al azar de una baraja de 52 cartas. Halla la probabilidad de sacar dos cartas de corazones.

Solución.

( ) ( ) 13, 2 78 1 ( ) 52, 2 1,326 17

C P a

C = = =

3. Si de un grupo de 12 alumnos, 4 son niñas. Calcula la probabilidad de: a) elegir 2 que sean niñas. b) elegir 2 que sean niños.

Solución.

a) ( ) ( ) 4,2 6 1 ( ) 12, 2 66 11

C P a

C = = =

b)

( ) ( ) 8, 2 28 14 ( ) 12, 2 66 33

C P a

C = = =

108

4. Se eligen al azar 3 dulces de 15; de los cuales 5 son de fresa. Halla la probabilidad de que:

a) Ningún dulce sea de fresa. b) Todos sean de fresa.

Solución.

a) ( ) ( ) 10,3 120 24 ( ) 15,3 455 91

C P a

C = = =

b) ( ) ( ) 5,3 10 2 ( ) 15,3 455 91

C P a

C = = =

5. En una moneda normal (no cargada, ni de doble cara) ¿Qué probabilidad tienes de obtener un sol?

número de caras de sol P(s) = número de caras de la moneda

1 ( ) 0.5 2

P s = =

6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 en un dado normal de seis caras?

número de caras del dado con número 3 P(3) = número de caras de dado

1 (3) 0.1666 6

P = =

109

7. ¿Cuál es la probabilidad de elegir un seis rojo en una baraja normal? Solución.

13 corazones rojos de los cuales sólo una carta es 6. 13 diamantes rojos de los cuales sólo una carta es 6. 13 picas negros. 13 tréboles negros.

Por lo tanto la probabilidad de elegir un 6 rojo es:

número de cartas con un 6 rojo P(6r) = número de cartas de la baraja

2 1 (6 ) 52 26

P r = =

110

Evento. Es el resultado de un experimento. Cuando

cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.

Evento Simple (E). Cada uno de los posibles resultados de un

experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple.

Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son eventos compuestos si se componen de

dos o más eventos simples.

2.2.2 Operaciones con Conjuntos.

Unión.

La unión de dos conjuntos A y B (se denota por A ∪ B), da como resultado el conjunto C formado por los elementos de A o B o ambos.

A ∪ B = C x / x ε A, x ε B ó x ε de ambos

FÓRMULA: P(A ∪ B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

111

Intersección.

La intersección de dos conjuntos A y B (se denota por A ∩ B) y da como resultado el conjunto C formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simultáneamente.

A ∩ B = C x / x ε A y x ε B

FÓRMULA = P(A) P(B)

Complemento. El complemento de un evento A, que denotamos A c , es el evento que consta de todos los resultados en el espacio muestral que no están contenidos en A.

FÓRMULA: 1 – P(A)

Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en común, su intersección será nula o vacía. En este caso A y B se dicen eventos mutuamente excluyentes.

A ∩ B = Φ

112

Diferencia. Si A y B son dos sucesos, se define su diferencia como:

A ­ B = A ∩ B c .

Se verifica entonces que:

A c = S ­ A.

113

1. Un grupo consta de 10 hombres y 20 mujeres. La mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tiene cabello claro. Halla la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre o tenga el cabello claro.

Solución.

A = la persona es hombre. B = la persona tiene el cabello claro.

número de hombres P(A) = número de personas

P(A) 10 1 30 3

= =

número de personas con el cabello claro P(B) = número de personas

P(A) 15 1 30 2

= =

∩ número de hombres con el cabello claro P(A B) =

número de personas

Si buscamos:

P(A) 5 1 30 6

= =

( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B = + − U I

( ) 1 1 1 3 2 6

P A B = + − U

( ) 2 3

P A B = U

114

2. Sean A y B eventos con ( ) ( ) 3 2 ,4 3

C P A B P A = = U y ( ) 1 4

P A B = U .

Halla: a) P(A) b) P(B) c) P(A∩B C )

Solución. a)

( ) ( ) 2 1 1 3

c P A P A = − = −

( ) 1 3

P A =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B = + − U I

Sustituyendo:

3 1 1 ( ) 4 3 4

P B = + −

3 1 1 ( ) 4 3 4

P B = − +

3 1 ( ) 4 12

P B = +

2 ( ) 3

P B =

c)

( ) ( ) ( ) 1 1 3 4

C P A B P A P A B = − = − I I

( ) 1 12

C P A B = I

115

3. Sean A y B eventos con 3 ( ) ,8

P A = 1 ( ) ,2

P B = y ( ) 1 4

P A B = I .

Halla: a) P(AUB) b) P(A C ) c) P(B C ) d) P(A C IB C ) e) P(A C UB C )

Reemplaza: a)

( ) 3 1 1 ( ) ( ) ( ) 8 2 4

P A B P A P B P B = + − = + − U I

( ) 5 8

P A B = U

b) 3 ( ) 1 ( ) 1 8

C P A P A = − = −

5 ( ) 8

C P A =

c) 1 ( ) 1 ( ) 1 2

C P B P B = − = −

1 ( ) 2

C P B =

d) 5 ( ) (( ) ) 1 ( ) 1 8

C C C P A B P A B P A B = = − = − I U U

3 ( ) 8

C C P A B = I

e) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 4

C C C P A B P A B P A B = = − = − U I I

3 ( ) 4

C C P A B = U

116

2.2.3 Postulados de la probabilidad.

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

Axioma 1.

La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera, se encuentra entre cero y uno.

0 > P(A) > 1

Axioma 2.

La probabilidad de que ocurra el espacio muestral es 1.

P(S) = 1

Axioma 3

Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, es decir que no tienen elementos en común, entonces:

P(A ∩ B) = 0

Si se tienen n eventos mutuamente exclusivos A1, A2, A3, ....., An, entonces:

P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

117

2.2.4 Reglas de Adicionales de la Probabilidad.

Teorema 1. Regla de la adición de probabilidades.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Teorema 2. Regla de Complementación.

La probabilidad de que el complemento de un evento ocurra está dada por la siguiente ecuación:

P(A c ) = 1 – P (A)

Teorema 3. Regla de diferenciación.

La probabilidad de que un evento dado ocurra sin que ocurra otro evento dado, pertenecientes al mismo espacio muestral está dada por:

P(A ­ B) = P(A) – P(A ∩ B)

2.2.5 Probabilidades y posibilidades.

Debemos hacer una diferenciación entre los conceptos de probabilidad y posibilidad, la posibilidad de que un evento ocurra se calcula como el cociente entre la probabilidad de que dicho evento ocurra, con respecto a la probabilidad de que no ocurra.

Si consideramos que la probabilidad de que ocurra el evento es p, entonces la probabilidad de que no ocurra es 1 – p, de esta manera:

1 p posibilidad p

= −

= P(A) p= − c P(A ) 1 p

118

2.2.6 Probabilidad Condicional.

Dos eventos son independientes, si la probabilidad de ocurra uno no depende de la ocurrencia del otro. La probabilidad condicional de un evento A, dado que ocurrió el evento B es:

( ) ( / ) ( )

P A B P A B P B

= I

2.2.7 Eventos Independientes.

Definición: Se dice que dos sucesos A y B son independientes si se verifica que P(A) = P(A/B).

Si por el contrario es distinto, diremos que son dependientes. A esto se le denomina: Independencia Estadística.

119

1.De acuerdo con la información proporcionada por el último censo en el año 2005, se encontraban inscritos 1,346,120 estudiantes en el nivel licenciatura en las universidades públicas del Distrito Federal, los cuales se presentan segregados por sexo y área de estudio en la siguiente tabla.

ÁREA ESTUDIO MUJERES HOMBRES TOTAL SALUD 79,510 53,420 132,930 EXACTAS 14,050 23,560 37,610 ADMINISTRATIVAS 312,560 285,478 598,038 INGENIERÍAS 138,450 342,547 480,997 EDUCACIÓN 38,910 57,635 96,545 TOTAL 583,480 762,640 1,346,120

Calcula, utilizando las leyes de probabilidad antes descritas, la probabilidad de los siguientes eventos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar de forma aleatoria un estudiante de nivel superior, este se encuentre en un área administrativa?

En este caso se trata de un evento simple, ya que intenta explicar una sola condición en el fenómeno sujeto a estudio.

( ) número de casos favorables del suceso A P A número de casos posibles

=

598,030 ( ) 0.4442 1,346,120

P x = =

es decir: 44.42%

120

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar de forma aleatoria un estudiante del nivel superior, este sea mujer?

En este caso se trata de un evento simple, ya que intenta explicar una sola condición en el fenómeno sujeto a estudio.

583, 480 ( ) 0.4334 1,346,120

P x = =

es decir: 43.34%

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar de forma aleatoria un estudiante de nivel superior, éste se encuentre en un área administrativa o de ciencias exactas?

En este caso se trata de un evento compuesto, ya que intenta explicar más de una condición en el fenómeno sujeto a estudio. En este caso se aplican las leyes de probabilidad de la unión ya que se intenta explicar el acontecimiento de una u otra condición. De acuerdo a los axiomas y teoremas antes mencionados, sabemos que:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Donde: A sería del área administrativa; B sería del área de ciencias exactas, por tanto, A ∩ B no existe, ya que no hay alumnos estudiando en dos áreas simultáneamente; por tanto:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

598038 37610 0 ( ) 1346120

P A B + −

∪ =

635648 ( ) 1346120

P A B ∪ =

P(A ∪ B) = 0.4722

es decir:, se tiene el 47.22% de probabilidad de elegir un alumno con las características antes mencionadas.

121

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar de forma aleatoria a un estudiante de nivel superior, este se encuentre estudiando en el área de la salud y sea mujer?

En este caso se trata de un evento compuesto, ya que intenta explicar más de una condición en el fenómeno sujeto a estudio. En este caso se aplican las leyes de probabilidad de la intersección ya que se intenta explicar el acontecimiento de una y otra condición de forma simultánea. En nuestro ejemplo, basta con identificar el dato que cumple con ambas condiciones y calcular su probabilidad como evento simple:

79510 ( ) 1346120

P A B = I

( ) 0.0590 P A B = I

Es decir, que corresponde al 5.90% de probabilidad.

e) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar de forma aleatoria a un estudiante de nivel superior, sea varón y se encuentre estudiando Ingeniería?

En este caso se trata de un evento compuesto, ya que intenta explicar más de una condición en el fenómeno sujeto a estudio. Se aplica la ley de probabilidad de la intersección ya que se intenta explicar el acontecimiento de una y otra condición de forma simultánea. De acuerdo a los axiomas y teoremas antes mencionados, tenemos:

342,547 ( ) 1346120

P A B ∩ =

( ) 0.2544 P A B ∩ =

Que corresponde al 25.44% de probabilidad de elegir a un alumno con las características antes mencionadas.

122

f) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar de forma aleatoria un estudiante de nivel superior, se encuentre estudiando ciencias exactas considerando que es mujer?

En este caso se trata de un evento compuesto, ya que intenta explicar más de una condición en el fenómeno sujeto a estudio. Se aplica la ley de probabilidad de la condicional ya que se intenta explicar el acontecimiento de una característica, siempre y cuando se cumpla previamente con otra condición. De acuerdo a los axiomas y teoremas antes mencionados:

( ) ( / ) ( )

P A B P A B P B

= I

Despejando obtenemos 14050 ( ) 1346120

P A B = I

( ) 0.0104 P A B = I

583480 ( ) 1346120

P B =

( ) 0.4334 P B =

Considerando estos resultados, tenemos que:

0.01043 ( / ) 0.4334

P A B =

( / ) 0.0240 P A B =

Que corresponde al 2.40% de probabilidad.

123

g) Se quiere comprobar si influye el hecho de ser varón para elegir la carrera de Ingeniería. En este caso se trata del estudio de independencia estadística, ya que se quiere demostrar que un evento depende de la condición de otro. De acuerdo con los axiomas:

P(A) = P(A/B).

Sea A el hecho de ser varón

Sea B estudiar Ingeniería.

Entonces, por un lado:

762,640 ( ) 1346120

P A =

( ) 0.5665 P A =

Por otro:

( / ) ( )

A B P A B P B

= I

342547 1346120 ( / ) 762640 1346120

P A B =

0.2544 ( / ) 0.5665

P A B =

( / ) 0.4491 P A B =

Por tanto, encontramos que:

0.5665 ≠ 0.4491

Esto significa, que no existe influencia en el hecho de elegir la carrera de Ingeniería, aun siendo varón, puesto que los eventos son estadísticamente independientes.

124

2. Se lanzan 2 dados normales. Halla la probabilidad de que la suma de sus números sea, 10 o mayor si es que aparece un 5 en el primer dado.

Solución.

Si aparece un 5, el espacio muestral se reduce a:

( )( )( )( ) ( ) ( ) 5,1 5,2 5,3 5, 4 5,5 5,6 S =

a = La suma es 10 o más = ( ) 5,5 ,5,6

resultados que sumen 10 o más P = posibles resultados

2 1 6 3

P = =

3. Se lanza una moneda en 3 ocasiones. Halla la probabilidad P de que todas sean águilas si:

a) La primera de las monedas es águila. b) Una de las monedas es águila.

Solución.

a) Los posibles resultados son:

, , , a AAA ASA AAS ASS = (a=águila / b=sol)

De estos casos solo 1 de 4 son todas águilas por lo que:

1 4

P =

b) Los posibles resultados son:

, , , , , , b AAA ASA AAS ASS SSA SAA SSS =

De estos casos sólo 1 de 7 son águilas por lo que: 1 7

P =

125

4. Se escogen al azar dos dígitos del 1 al 9. Si la suma es par, halla la probabilidad de que ambos números sean impares.

Solución.

Para que la suma sea par deben de ser: a) dos números pares de (2,4,6,8) o b) dos números impares de (1,3,5,7,9)

Por lo que:

maneras de elegir 2 números impares P = maneras de elegir 2 números impares + maneras de elegir 2 números pares

(5,2) 10 10 5 (5, 2) (4, 2) 10 6 16 8 C P

C C = = = =

+ +

126

2.2.8 Teorema de Bayes.

Es una de las aplicaciones de la probabilidad condicional, en donde se pretende calcular la ocurrencia de un evento, dado que otro ya ha ocurrido.

La fórmula del teorema de Bayes es:

1 1 1

1 1 2 2 n n

P(A )P(B|A ) P(A |B) = P(A )P(B|A ) + P(A )P(B|A ) + ... + P(A )P(B|A )

Una forma más fácil de solucionarlo es a través de una tabla donde se calculen las probabilidades a posteriori de un evento.

127

1. Una empresa fabricante de pinturas, tiene dos máquinas, la máquina A elabora el 54% de la producción total, mientras que la B el 46%. Adicionalmente se sabe que producen con defectos; en la A el 7% de su producción es defectuosa, en la B el 10%. Si un día se elige al azar un galón de pintura con defecto, ¿que probabilidad hay de que haya sido elaborado por la máquina B?

Solución.

Ai P(Ai) P(B/A) A ∩ B P (A/ B) Máquina A 0.54 0.07 0.0378 Máquina B 0.46 0.10 0.0460 0.5489

0.0838

Es decir, existe un 54.89% de probabilidad de que un galón de pintura haya sido producido por la máquina B.

128

2. Tres máquinas a, b y c realizan el 70%, 20% y 10% de la producción. Si el porcentaje de defectos es de 4%, 3% y 1%, respectivamente y se toma al azar un producto. ¿Qué probabilidad hay de que sea un defecto de la máquina b?

Solución.

( ) ( / ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

p b P d b P b d P a P d a P b P d b P c P d c

= + +

(0.2)(00.3) 0.006 ( / ) (0.7)(0.04) (0.2)(0.03) (0.1)(0.01) 0.035

P b d = = + +

( / ) 0.17 P b d =

0.7

0.7

0.2

a

b

c

.04

.96

.03

.97

.99

.01

d

d

d

n

n

n

129

3. Se tienen 3 urnas A, B y C, las cuales contiene 3 bolas negras y 7 rojas , 4 negras y 6 rojas y 2 negras y 8 rojas, respectivamente. Calcula la probabilidad de que al tomar una bola sea una roja de la urna A.

Solución.

( ) ( / ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

P A P r A P A r P A P r A P B P r B P C P r C

= + + +

(1/ 3)(7 /10) 7 / 30 7 / 30 ( / ) (1/ 3)(7 /10) (1/ 3)(3 / 5) (1/ 3)(4 / 5) 7 / 30 1/ 5 4 /15 7 /10

P A r = = = + + + +

1 ( / ) 3

P A r =

1/3

1/3

1/3

A

B

C

7/10

2/5

3/5

4/5

1/5

3/10 n

n

n

r

r

r

130

4. Se tiene una moneda cargada de forma a = 1/31, s = 2/3; si sale águila se elige la urna A con 2 bolas negras y 3 rojas; si sale sol se elige la urna B con 7 negras y 3 rojas. Qué probabilidad hay de elegir una bola negra de la urna B.

Solución.

( ) ( / ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

P B P n B P B n P A P n A P B P n B

= +

(2 / 3)(7 /10) 7 /15 7 /15 ( / ) (1/ 3)(2 / 5) (2 / 3)(7 /10) 2 /15 7 /15 9 /15

P B n = = = + +

7 ( / ) 9

P B n =

1/3

2/3

A

B

2/5

3/5

3/10

7/10

n

n

r

r

131

2. Calcularás la esperanza matemática usando su fórmula para resolver problemas.

2.3Esperanza Matemática. 2.3.1 Definición de Esperanza Matemática.

132

2.3 Esperanza matemática.

Definición de Esperanza Matemática.

En estadística la esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicada por su valor. Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética de los mismos.

Valor esperado.

Sea X una Variable Aleatoria discreta. Se denomina esperanza matemática de X o valor esperado de X, que se denota como E(X) o bien como µ y se expresa con la siguiente ecuación:

( ) ( ) i i x

E X X f X = • ∑

Sea X una Variable Aleatoria continua con función de probabilidad ƒ(X) Entonces el valor esperado o esperanza matemática de E(X) está definida por:

( ) ( ) i i E x X f X dx +∞

−∞ = • ∫

En donde la ƒ(X) corresponde a la curva de la función de probabilidad.

133

1. Una empresa maquiladora compró 3 máquinas cuya procedencia puede ser Japonesa o Coreana. Se sabe también que existe la probabilidad de que la máquina sea japonesa en un 40% y Coreana en un 60%, tomando como característica el hecho de que se desee una máquina japonesa; calcula el valor esperado o la esperanza de que se de este hecho.

Solución.

Para resolver este problema, desarrollaremos los siguientes pasos:

­ Calcular el valor que puede adoptar la variable, de acuerdo a la característica estudiada, en este caso: máquinas japonesas: 0, 1, 2 y 3.

­ Calcular la probabilidad de cada caso o evento, utilizando para ello la ley de la multiplicación.

Si se compraron tres máquinas, calcular los posibles eventos a través de un diagrama de árbol. Y sus probabilidades.

134

De acuerdo con el diagrama anterior y sus probabilidades, se puede calcular la esperanza matemática.

Σ 1.2

De acuerdo a lo calculado, si se importan tres máquinas existe la esperanza de que sean 1.20 máquinas japonesas.

2. Una moneda cargada tal que 2 ( ) 3

P A = y 1 ( ) 3

P S = se lanza 3 veces. Las

posibilidades que conforman los puntos del espacio muestral son los siguientes:

, , , , , , , l AAA AAS ASA ASS SAA SAS SSA SSS =

Calcula la probabilidad de cada punto del espacio muestral.

Solución.

2 2 2 8 ( ) 3 3 3 27

P AAA = • • =

2 2 1 4 ( ) 3 3 3 27

P AAS = • • =

2 1 2 4 ( ) 3 3 3 27

P ASA = • • =

2 1 1 2 ( ) 3 3 3 27

P ASS = • • =

1 2 2 4 ( ) 3 3 3 27

P SAA = • • =

1 2 1 2 ( ) 3 3 3 27

P SAS = • • =

1 1 2 2 ( ) 3 3 3 27

P SSA = • • =

1 1 1 1 ( ) 3 3 3 27

P SSS = • • =

X 0 1 2 3 P(x) 0.216 0.144 0.096 0.064 E (X) 0 0.432 0.576 0.192

135

2 2 2 8 ( ) 3 3 3 27

P AAA = • • =

2 2 1 4 ( ) 3 3 3 27

P AAS = • • =

2 1 2 4 ( ) 3 3 3 27

P ASA = • • =

2 1 1 2 ( ) 3 3 3 27

P ASS = • • =

1 2 2 4 ( ) 3 3 3 27

P SAA = • • =

1 2 1 2 ( ) 3 3 3 27

P SAS = • • =

1 1 1 1 ( ) 3 3 3 27

P SSS = • • =

Sea X la variable que asigna a cada punto de L el mayor número de águilas que caigan. Así:

( ) 0 X SSS =

( ) 1, ( ) 1, ( ) 1, ( ) 1 X ASA X ASS X SAS X SSA = = = =

( ) 2, ( ) 2 X AAS X SAA = = vv

( ) 3 X AAA =

El conjunto imagen de X es X(L) = 0,1,2,3 . Calculamos la distribución f de X: 1 (0) ( ) 27

f P SSS = =

( ) 4 2 2 2 10 (1) , , , 27 27 27 27 27

f P ASA ASS SAS SSA = = + + + =

( ) 4 4 8 (2) , 27 27 27

f P AAS SAA = = + =

136

( ) 3 (3) 27

f P AAA = =

Esta información se tabula de la siguiente forma:

x i 0 1 2 3 ( ) i f x 1

27 1027

8 27

3 27

y calculamos la Esperanza matemática

1 1 8 2 ( ) ( ) 0 1 2 3 27 27 27 27 i i E x x f x x x x x = = + + + ∑

10 16 9 35 ( ) 1.29 27 27 27 27

E x = + + = =

3. Se selecciona al azar una muestra de 3 artículos de una caja que contiene 12, de los cuales 3 son defectuosos. Calcula el valor esperado E de los artículos defectuosos.

Solución.

El espacio muestral consta de C(12,3) = 220 muestras diferentes igualmente posibles de tamaño 3. También hay C(9,3) = 84 muestras sin artículo defectuoso 3 x C(9,2)=108 muestras con un artículo defectuoso C(3,2) x 9 = 27 muestras con 2 artículos defectuosos C(3,3) = 1 muestra con 3 artículos defectuosos. Así las posibilidades de elegir 0, 1, 2 y 3 artículos defectuosos

son: 84 108 27 1 , , , 220 220 220 220

, respectivamente. Por tanto el valor esperado E será:

84 108 27 1 108 54 3 165 0 1 2 3 220 220 220 220 220 220

E x x x x + + = + + + = =

0.75 E =

137

1. Un paquete puede ser enviado usando cuatro aerolíneas diferentes y cada aerolínea puede transportarlo por tres rutas distintas. ¿De cuántas maneras puede viajar el paquete? R. Es la regla mn, donde: m son las aerolíneas y n las rutas, entonces el paquete puede viajar de 12 maneras diferentes.

2. Hay 20 candidatos para ocupar tres cargos distintos. ¿De cuántas maneras diferentes se podrían ocupar los tres cargos? R. No importando el orden en el que los candidatos deban ocupar

determinado puesto, se trata de una combinación: 20C3 = 1,140.

3. Suponga que se han programado cinco vuelos distintos del transbordador espacial de la NASA, cada uno de los cuales requiere de un astronauta diferente. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden asignar a dichos vuelos 5 de los 100 mejores astronautas de la NASA? R. Debido a la condición de que ningún astronauta puede viajar más de una

vez, el orden sí importa; por tanto calculamos el número de permutaciones: 100P5 = 9,034,502,400.

4. Para realizar pruebas de resistencia se eligen 4 juntas metálicas (unidas por soldadura) de un lote de 25. ¿De cuántas formas se puede hacer la elección? R. Considerando que no importa el orden, calculamos las combinaciones:

25C4 = 12,650

138

5. Se contratan los servicios de una empresa consultora para determinar cuáles son las 3 mejores marcas fabricantes de monitores para computadoras. En el estudio se incluirá un total de 10 marcas. a) ¿De cuántas formas distintas puede llegar la empresa consultora al

ordenamiento final de las 3 mejores marcas? b) Si no importa el orden entre ellas, ¿de cuántas maneras diferentes puede

la empresa consultora designar a las 3 mejores marcas? R.

a) Considerando que importa el orden, calculamos las permutaciones: 10P3 = 720.

b) Considerando que importa el orden, calculamos las combinaciones: 10C3 = 120.

6. El espacio muestral que se obtiene del experimento de tirar en forma simultánea dos dados, anotando la suma de sus caras, se muestra en el siguiente conjunto: S = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 , Resuelve con él los siguientes ejercicios:

a) Al menos un 6. b) Es par mayor a 4. c) Es par o mayor a 4. d) Es par y es 9.

R.

a) 1 ( ) 0.090 11

P a = =

b) 4 ( ) 0.3636 11

P b = =

c) ( ) ( ) ( ) ( ) P x P a P b a b = + − I , entonces: 1 8 4 5 ( ) 0.45 11 11 11 11

P x = + − = = .

d) ( ) ( ) P x p a b = I , por tanto: ( ) 0 P x = .

139

7. Un juego de tiro al blanco, consiste en disparar desde una distancia prudencial, un rifle de alta precisión una sola vez. El blanco esta formado por un círculo de 40 cm de radio y tres círculos concéntricos de 10, 20 y 25 cm de radio respectivamente. El puntaje se distribuye de la siguiente manera:

Halle la probabilidad de que el jugador: a) Gane con 100 puntos. b) Obtenga hasta 50 puntos.

R.

a) 1 ( ) 0.25 4

P x = =

b) 3 ( ) 0.75 4

P x = =

140

8. En un espacio probabilístico se consideran los sucesos A y B cuyas probabilidades son P(A) = 0.3 y P(B) = 0.6, respectivamente. Calcula la probabilidad del suceso ( / ) P A B para el caso en el que ( ) P A B ∩ = 0.2

R.

( ) 0.20 ( / ) ( ) 0.60

P A B P A B P B

= = I

( / ) 0.3333 P A B =

9. De todos los estudiantes de una Universidad 70% son mujeres y 30% son hombres. Suponga que 20% de las mujeres y 25% de los hombres fuman cigarrillos. Cuál es la probabilidad de que si se elige un estudiante al azar, este sea: a) Una mujer fumadora. b) Un hombre fumador. c) Una persona fumadora.

R.

a) ( ) ( ) ( ) (0.70)(0.20) 0.14 P A B P A P B = = = I

b) ( ) ( ) ( ) (0.30)(0.25) 0.075 P A B P A P B = = = I

c) ( ) 0.14 ( / ) 0.20 ( ) 0.70

P A B P A B P B

= = = I

141

Los siguientes ejercicios involucran el Teorema de Bayes.

10. Cuando se suministra el suero de la verdad a un sospechoso, se sabe que es 90% confiable cuando la persona es culpable y 99% confiable, si es inocente. Si el sospechoso fue seleccionado de un grupo de sujetos de los cuales sólo el 5% han cometido un crimen y el suero indica que es culpable, ¿cuál es la probabilidad de que sea inocente?

R.

A i P(A i) P(B/A) A∩B P(B/A)

Culpable 0.90 0.95 0.855

Inocente 0.99 0.95 0.9405 0.5254

∑ 1.79

11. En el 8 % de los días laborables se presentan fallas de funcionamiento en un sistema de cómputo de una Universidad. Estas fallas son de tres tipos: hardware, software o electrónicas (alimentación) y nunca se presentan más de una de estas en un día. Por otro lado, el sistema debe suspender el servicio 73% de los días cuando se experimentan problemas de hardware, 12% de las veces cuando se presentan problemas de software y 15% del tiempo por fallas electrónicas. Históricamente, los ingenieros de mantenimiento han observado que una falla es consecuencia de un error humano en un 45%, 38% y 40% respectivamente. Determina cuál sería la causa menos probable de suspensión.

Ai P(Ai) P(B/A) P(A∩B) P(B/A)

Hardware 0.73 0.45 0.3285 0.7567

Software 0.12 0.38 0.0456 0.1050

Electrónica 0.15 0.40 0.060 0.1382

∑0.4341

142

12. El 45 % de los estudiantes de bachillerato de un instituto son alumnos de Ciencias y el 55 % restante de Letras. Se sabe que aprueban todas las asignaturas el 30 % de los alumnos de Ciencias y el 40 % de los alumnos de Letras. Si un alumno, elegido al azar, ha aprobado todas las asignaturas, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Letras?

Ai P(Ai) P(A∩B) P(B/A) P(A/B)

Ciencias 0.45 0.135 0.30

Letras 0.55 0.22 0.40 0.6197

143

UNIDAD 3 Manejo de las funciones de distribución estadísticas para la solución de problemas.

144

En esta unidad continuarás el análisis de probabilidades de un evento. La característica esencial es que para este fin se le asigna al fenómeno un valor, denominado variable discreta o continua, proporciona técnicas o herramientas para la toma de decisiones, en problemas cuya característica es la de poseer un cierto grado de incertidumbre.

Las funciones de distribución, son expresiones matemáticas que tratan de describir el comportamiento de las variables aleatorias. Existen algunos tipos de funciones de distribución bien clasificadas y estudiadas, que permiten determinar entre otras cosas el grado de confiabilidad de un experimento, lo cual es fundamental en la toma de decisiones.

145

1. Determinarás las medidas de tendencia central de variables aleatorias discretas y continuas, usando sus funciones de distribución para la solución de problemas de probabilidad.

3.1Distribuciones de Probabilidad. 3.1.1 Variables Aleatorias. 3.1.2 Clasificación de las Variables Aleatorias. 3.1.3 Funciones de distribución Discretas.

3.2Las medidas de tendencia central de una distribución de probabilidad.

146

3.1 Distribuciones de probabilidad.

La distribución de probabilidad es un modelo teórico que describe la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Enlista los resultados de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.

3.1.1 Variables aleatorias.

Dado un experimento aleatorio cualquiera cuyos sucesos elementales posibles pueden identificarse fácilmente mediante un número real, se denomina Variable Aleatoria X.

También se le llama variable de azar o variable estocástica y es la cantidad que puede tomar valores imprevistos.

Consideremos un espacio muestral E correspondiente a un experimento aleatorio, por ejemplo, lanzar un dado. A cada elemento del espacio muestral, es decir, a cada resultado del experimento, podemos asociarle un número, por ejemplo, la diferencia de las puntuaciones obtenidas. Estos valores numéricos asociados a cada resultado forman la variable aleatoria.

Los posibles resultados del experimento (sucesos elementales) son los siguientes:

• que salga 1

• que salga 2

• que salga 3

• que salga 4

• que salga 5

• que salga 6 Resulta sencillo asociar a cada suceso elemental con el número

correspondiente a la cara del dado que haya salido. Por tanto, la variable aleatoria X, será:

X = 1, 2, 3, 4, 5, 6

A cada valor de la variable aleatoria le corresponde una probabilidad. Por ejemplo, en el caso anterior, estas probabilidades serían de 1/6. Por el contrario, si dado un experimento aleatorio cualquiera, no resulta inmediata la asociación de un número para cada uno de los posibles sucesos elementales, se establece una correspondencia entre el conjunto de los posibles sucesos elementales y el conjunto de los números reales, de manera que a cada suceso elemental le corresponda un número real arbitrario y que a sucesos elementales distintos les correspondan números distintos.

147

Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los números reales que se hayan hecho corresponder a cada uno de los sucesos elementales. En una variable aleatoria el valor esperado está definido como:

0

( ) 0 (0) 1 (1) 2 (2) ... ( ) n

k kp k p p p np n µ

=

= + + + + = ∑

3.1.2 Clasificación de las Variables Aleatorias. Las variables aleatorias pueden ser continuas o discontinuas, éstas últimas también se denominan, discretas. Para variables continuas sólo tiene sentido asignar probabilidades en intervalos de valores. La probabilidad asociada a un valor particular de la variable aleatoria es cero.

3.1.2.1 Variable Aleatoria Continua.

Si X es una Variable Aleatoria Continua, puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo o dentro de un campo de variación dado. Una variable aleatoria es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo de números; esto es, si para algún a < b, cualquier número x entre a y b es posible. El área total bajo la curva de esta función es 1.

Ejemplo.

1. Sea el experimento aleatorio consistente en medir la altura que es capaz de saltar cada miembro de un conjunto de personas.

Solución.

En este experimento cada miembro del conjunto observado da lugar a un número, por lo que se toma como variable aleatoria al conjunto de las medidas de las alturas que son capaces de saltar las distintas personas. En el supuesto que una persona hubiera saltado 105 cm y otra 106 cm, no existiría ninguna razón para que otra no hubiera saltado un valor intermedio cualesquiera entre las dos anteriores; por ejemplo, 105.5 cm. Se trata entonces de una variable aleatoria continua.

148

3.1.2.2 Variable Aleatoria Discreta.

Una variable aleatoria es discreta si su conjunto de posibles valores es un conjunto discreto, toma un número finito de posibles valores numerables x1, x2, x3, ….., xn con probabilidades respectivas p1, p2, p3, ….., pn. Es decir, que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn = 1. En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria, es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad.

3.1.3 Funciones de Distribución Discretas.

Un modelo de probabilidad para una variable aleatoria X es una forma de distribución de probabilidad especificada que se supone refleja el comportamiento probabilístico de X. Los modelos de probabilidad se expresan en términos de parámetros relacionados con las características de la población y los métodos de muestreo. Los modelos de probabilidad pueden ser discretos o continuos dependiendo del tipo de variable que aplique.

3.1.3.1 Distribución de Probabilidad Binomial.

La distribución binomial es un caso particular de distribución de probabilidad de variable discreta. Para definirla debemos establecer en primer lugar un experimento aleatorio, a partir de él definir la variable aleatoria y finalmente calcular las probabilidades correspondientes. El experimento debe reunir las siguientes características. 1 Cada prueba debe presentar uno de dos posibles resultados que se repiten n

veces, llamados Éxito (E) y Fracaso (F) → S = E, F siendo E el evento de interés.

2 En cada prueba la posibilidad de Éxito es constante y se denomina “p”. P(E) = p → P(F) = 1 ­ p.

3 Las pruebas son independientes (el resultado de una prueba no influye en la siguiente). El muestreo es con reemplazo o sustitución. A cada prueba individual se le llama prueba o ensayo de Bernoulli.

149

Puede demostrarse, que la probabilidad de obtener k éxitos en las n pruebas, está dada por la siguiente fórmula:

( ) (1 ) k n k n px k p p k

− = = −

Un caso particular de la distribución binomial es cuando n = 1. Esta distribución suele denominarse Bernoulli de parámetro p, Be (p) = Bi (1, p).

O a través de la combinatoria, cuya fórmula es:

k n k n k C p q −

donde: n = número de veces que se lleva a cabo el experimento. k = probabilidad de éxito que se busca. p = porcentaje de éxito. q = porcentaje de fracaso 1 – p.

150

1. Una empresa dedicada a la venta de cosméticos afirma que cuando contacta a un posible cliente tiene un 65% de probabilidad de que sea un éxito. Si el procedimiento de contactar a un cliente se lleva a cabo 10 veces, calcula la probabilidad de que:

a) Sea exitoso las diez veces. b) De que sea exitoso 5 veces.

c) Que no sea exitoso.

Solución.

a) 10C10 (0.65) 10 (0.35) 0 = 0.01346, es decir: 1.34% de probabilidad. b) 10C5 (0.65) 5 (0.35) 5 = 0.0006, es decir: 0.06 % de probabilidad. c) 10C0 (0.65) 0 (0.35) 10 = 0.00002758, es decir: 0.00 % de probabilidad.

2. Se lanza una moneda normal 6 veces. Calcula la probabilidad de que caigan exactamente 2 águilas.

Solución.

Tenemos n = 6; llamamos éxito a las águilas y fracaso a los soles:

1 2

p =

1 1 1 1 2 2

q p = − = − =

2 k =

( ) ( ) ; , , k n k b k n p C n k xp q − =

Por lo tanto:

( ) ( ) 2 6 2 2 4 1 1 1 1 1 2;6, 6, 2 6, 2

2 2 2 2 2 b C x x C x x

− = =

1 1 1 15 2;6, 15 2 4 16 64

b x x = =

151

3. Se lanza 7 veces un dado corriente, se llamará éxito si, sale un 5 o 6. Calcula la probabilidad de que salga un 5 o 6 en tres ocasiones exactamente.

Solución.

5,6 2 1

1, 2,3,4,5,6 6 3 p = = =

1 2 1 1 3 3

q p = − = − =

3 k =

y

7 n =

( ) 3 4 1 1 2 1 16 3,7, 7,3 35

3 3 3 27 81 b C x x x x = =

1 560 3,7, 3 2187

b =

152

4. Se lanza 3 veces una moneda común. Calcula la probabilidad de: a) que salgan 3 soles. b) que salgan 2 soles. c) que salga 1 sol. d) que no salga ningún sol.

Solución.

Llamando éxito a sol tenemos:

1 1 1 ; 1 1 2 2 2

p q p = = − = − =

y

3 n =

a)

3 k =

( ) 3 0 1 1 1 1 1 3;3, 3,3 1 1

2 2 2 8 8 b C x x x x = = =

b) 2 k =

( ) 2 1 1 1 1 1 3 2;3, 3, 2 3

2 2 2 4 2 8 b C x x x x = = =

c) 1 k =

( ) 2 1 1 1 1 1 3 1;3, 3,1 3

2 2 2 2 4 8 b C x x x x = = =

d)

( ) 0 3 1 1 1 1 1 0;3, 3,0 1 1 1

2 2 2 8 8 b C x x x x x = = =

153

3.1.3.2 Distribución Hipergeométrica.

Considérese una población que consta de N elementos, tales que cada uno de ellos pertenece a la clase I o a la clase II. Sea Np el número de elementos que pertenecen a la clase I y N(1–p) es el número de elementos que pertenecen a la clase II. Si de una población de N elementos se toma una muestra aleatoria que conste de n(n<N) elementos sin que tenga lugar ningún reemplazo, entonces el número de elementos de la clase I en la muestra, tiene una Distribución Hipergeométrica.

Su cálculo se basa en la aplicación de la siguiente fórmula:

( ) ( ) , ( , ) ( )

( , ) C k x N C k n x

P x C N n

− − =

Donde:

N = población k = éxito en población

n = muestra x = probabilidad

1. Un profesor de cierta Institución ha recibido una lista de 14 alumnos que se encuentran en peligro de reprobar la materia de Estadística. En realidad 5 de ellos son los que corren este riesgo, suponiendo que el profesor elija al azar a 4 de ellos ¿Cuál es la probabilidad de que

dos de los elegidos sean los reprobados?

Solución.

DATOS: N =14 k =5 n =4 x =2

La probabilidad de que existan dos alumnos reprobados es del 0.3596 o del 35.96%.

( )( ) , ( , ) ( )

( , ) C k x N C k n x

P x C N n

− − =

( )( ) 5,2 14 (5, 4) 2 ( )

(14, 4) C C

P x C

− − =

( ) 2 14 (9, 2) ( ) 0.3596

(14, 2) C

P x C

− = =

154

2. En un evento de carreras de automóviles existe un reglamento de 10 violaciones por las que se suspende un equipo. Si el equipo Honda tiene 4 de estas violaciones al reglamento y el inspector revisa al azar 5 de los puntos marcados en el reglamento. ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre 3 de estas infracciones?

Solución.

Tenemos:

N = 10 violaciones en la lista. a = 4 violaciones que tiene el equipo honda. n = 5 puntos que selecciona el inspector. x = 3 violaciones al reglamento.

(4,3) (10 4,5 3) (4,3) (6,2) 4 15 60 ( 3) 0.238 (10,5) (10,5) 252 252

C xC C xC x P x C C

− − = = = = = =

3. El director de una escuela hace una inspección de exámenes entre sus alumnos para revisar quiénes aprobaron y quiénes no. Para ello selecciona un grupo de primer semestre, conformado por nueve estudiantes. Si conoce que cuatro no aprobaron el examen, ¿Cuál es la probabilidad que encuentre dos estudiantes reprobados al seleccionar cinco exámenes aleatoriamente?

Solución.

Tenemos

N = 9 alumnos del grupo. a = 4 alumnos no aprobados del grupo. n = 5 exámenes seleccionados al azar. x = 2 estudiantes reprobados.

( , ) ( , ) ( ) ( , )

C a x xC N a n x P x x C N n

− − = =

Sustituyendo:

(4, 2) (9 4,5 2) (4, 2) (5,3) 6 10 60 ( 2) 0.4761 (9,5) (9,5) 126 126

C xC C xC x P x C C

− − = = = = = =

155

4. De una fila de 10 tazas de café un catador prueba 4 al azar. Si la fila tiene 3 tazas de café de mala calidad, determina: a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 4 sean de buena calidad? b) ¿Qué al menos 2 sean de mala calidad?

Solución.

a) N = 10 tazas de café. a = 7 tazas de café de buena calidad. n = 4 tazas de café que son seleccionadas. x = 4 tazas de café de buena calidad.

(7, 4) (10 7, 4 4) (7, 4) (3,0) 35 1 35 ( 4) 0.1666 (10, 4) (10, 4) 210 210

C xC C xC x P x C C

− − = = = = = =

b) N = 10 tazas de café. a = 3 tazas de café de baja calidad. n = 4 tazas de café que se seleccionan. x1 = 2 tazas de café de baja calidad. x2 = 3 tazas de café de baja calidad.

(3, 2) (10 3, 4 2) (3, 2) (7, 2) 3 21 63 ( 2) 0.3 (10, 4) (10,4) 210 210

C xC C xC x P x C C

− − = = = = = =

(3,3) (10 3, 4 3) (3,3) (7,1) 1 7 7 ( 3) 0.033 (10,4) (10, 4) 210 210

C xC C xC x P x C C

− − = = = = = =

Sumando ambas:

( 2) ( 3) 0.3 0.0333 0.333 P x P x = = = = + =

156

3.1.3.3 Distribución de Poisson.

Muchos experimentos o problemas consisten en observaciones que podrían llamarse eventos discretos en un intervalo de tiempo continuo, es decir, no son el resultado de un número de pruebas sino puntos aleatorios en el tiempo o en el espacio, pues en una unidad de tiempo o espacio podría suceder un número infinito de pruebas pero regularmente el evento sucede muy pocas veces.

En estos experimentos sólo interesa el número de veces que se presenta el evento, por ejemplo, el número de accidentes, errores, entre otros, que suceden aleatoriamente en un lugar, en un cierto intervalo de tiempo.

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad que un número de eventos ocurra en un tiempo fijo, suponiendo que: 1 El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región

específicos, es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio disjunto.

2 La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es despreciable.

3 El promedio de sucesos de interés por unidad de tiempo o espacio se considera constante y lo llamamos “m”.

La expresión matemática de la distribución de Poisson para obtener X éxitos, dado que se esperan λ éxitos es:

( ) !

x e P x x

λ λ −

=

Donde:

P(x) = probabilidad de x éxitos dado el valor de λ

λ = esperanza del número de éxitos.

e = constante matemática, con valor aproximado 2.711828

x = número de éxitos por unidad.

157

1. En promedio un banco recibe 4 llamadas cada 5 minutos. El gerente desea conocer la probabilidad de recibir 6 llamadas en un minuto.

Solución.

e = Constante logarítmica = 2.71828

λ = Promedio 4 llamadas / 5 min = 0.8

x = probabilidad a calcular.

( ) !

x e P x x

λ λ −

=

0.80 6 2.71828 0.80 ( ) 6!

P x −

=

( ) 0.0001635 P x =

2. El número promedio de ventas de una empresa es de 5 productos cada 2 horas, se desea conocer la probabilidad de que en una hora determinada se realicen tres ventas.

Solución.

2.5 3 2.71828 2.5 ( ) 3!

P X −

=

( ) 0.2137 P X =

La probabilidad de que se realicen tres ventas en una hora es del 21.37%

158

3. Mediante la distribución de Poisson determina: a) p(2;1)

b) p 1 3; 2

c) p(2;0.7)

Solución.

Según la fórmula de Poisson:

( ; ) !

k e p k k

λ λ λ −

=

a)

2 2 1 1 0.367 0.367 (2;1) 0.183 2! 2 2 xe x p

−

= = = =

b) 3 1

2 1 0.6 1 0.6 1 0.075 8 8 2 3; 0.0125 2 3! 6 6 6

x xe p = = = = =

c) 2 0.7 0.7 0.49 0.496 0.243 (2;0.7) 0.121 2! 2 2 xe x p

−

= = = =

159

4. El 1.5% de los aficionados entra a un estadio de fútbol con un arma blanca. Calcula la probabilidad de encontrar a 6 aficionados con arma blanca en una población de 200 detenidos.

Solución.

n = 200 p = 0.015 λ =posibilidades de éxito np = Por lo tanto:

(200)(0.015) 3 np λ = = =

( ) 6 3 3 729 0.0497 36.23 6;3 0.050 6! 720 720 xe x p

−

= = = =

5. En un libro de 700 páginas existen 200 errores ortográficos. Calcula la probabilidad de encontrar: a) una página con 3 errores. b) una página con 1 error

Solución.

Tomando n = 200 errores y p = 1700

.

Tenemos que 1 200 200 0.285 700 700

np λ = = = =

a) 3 k =

( ) 3 0.285 (0.285) 0.023 0.752 0.0172 3;0.285 0.00288 3! 6 6 xe x p

−

= = = =

b) 1 k =

( ) 3 0.285 (0.285) 0.285 0.752 1;0.285 0.214 1! 1 xe x p

−

= = =

160

3.2Las Medidas de Tendencia Central de una Distribución de Probabilidad. Como ya sabemos, los estadísticos tales como

la media, la varianza y la desviación estándar, se utilizan para describir conjuntos de datos empíricos, obtenidos a partir del ejercicio de un experimento controlado o no. También sabemos que las distribuciones de probabilidad representan poblaciones teóricas, que son la contraparte de las muestras. Para describir estas distribuciones de probabilidad, los parámetros de la población como son la media, varianza y desviación estándar, se usan de la misma forma en que se usan los

estadísticos muestrales para describir las muestras.

Antes de hacer la descripción matemática de estos parámetros, definamos las siguientes variables:

x es la media de la muestra. s 2 y s son la variaza y la desviación estándar de la muestra, respectivamente. x , s 2 y s, se denominan estadísticos muestrales.

µ es la media de la población.

σ 2 es la varianza de la población.

σ es la desviación estándar de la población.

µ, σ 2 y σ se denominan parámetros de la población.

3.2.1La Media de una Distribución de Probabilidad. La media de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta,

se determina de la misma forma que se calcula la media de una distribución de frecuencias. Matemáticamente, la media de una variable aleatoria se determina multiplicando cada valor posible de x por su propia probabilidad y luego sumando todos los productos, es decir:

[ ] ( ) xP x µ = ∑

161

3.2.2La Desviación Estándar de una Distribución de Probabilidad.

La varianza de una variable aleatoria discreta se define de una manera muy parecida a la de la varianza de los datos muestrales, que es la media de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. Matemáticamente, podemos decir que la varianza s 2 , de una variable aleatoria discreta x se determina multiplicando cada valor esperado posible de la desviación al cuadrado con respecto a la media, (x–m) 2 , por su propia probabilidad y luego sumando todos los productos, es decir:

2 2 ( ) ( ) x P x σ µ = − ∑

La desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada de la varianza. 2 σ σ =

Ejemplo.

1. Determina la media, la varianza y la desviación estándar de la función de probabilidad: P(x) = x/20, para x = 1, 2, 3 ó 4.

Solución.

Primero determinamos la media utilizando la expresión vista más arriba:

[ ] ( ) xP x µ = ∑

1 2 3 4 1 2 3 4 20 20 20 20

µ = + + +

1 4 9 16 30 20 20

µ + + +

= =

1.5 µ =

162

Ahora determinamos la varianza:

2 2 ( ) ( ) x P x σ µ = − ∑

2 2 2 2 2 1 2 3 4 (1 3) (2 3) (3 3) (4 3) 20 20 20 20

σ = − + − + − + −

2 2 2 2 2 1 2 3 4 ( 2) ( 1) (0) (1) 20 20 20 20

σ = − + − + +

2 4 2 4 10 0 20 20 20 20

σ = + + + =

2 0.5 σ =

Finalmente, determinamos la desviación estándar:

2 0.5 σ σ = =

0.7 σ =

163

1. Dada la función de probabilidad: P(x) = (4­ x)/20, para x = 1, 2, 3 ó 4, determina la media y la desviación estándar. R.

0.5 µ = , 2 0.55 σ = y 0.74 σ =

2. Dada la función de probabilidad: P(x) = 0.4, para x = 1, 2, 3 ó 4, determina la media y la desviación estándar.

R.

4 µ = , 2 5.6 σ = y 2.36 σ =

164

2 Determinarás las medidas de tendencia central de variables aleatorias continuas, usando la función de distribución normal, para la solución de problemas.

3.3La Distribución Normal. 3.3.1Distribuciones Continuas. 3.3.2 Función de Densidad Simétrica. 3.3.3 La Distribución Normal. 3.3.4 Área Bajo la Curva Normal. 3.3.5Distribución Estándar Normal. 3.3.6Aplicaciones de Distribución Normal.

165

3.3 La Distribución Normal.

La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades.

3.3.1 Distribuciones Continuas.

La variable aleatoria es continua si puede tomar los infinitos valores de un cierto intervalo [a, b] (a y b pueden ser infinitos). Una distribución de

probabilidad de variable continua debe asignar una probabilidad a cualquier intervalo de valores de la variable aleatoria. Esta asignación se hace con ayuda de dos funciones, una función de densidad f(x) y una función de distribución F(x). Veamos el significado de estas funciones.

3.3.2 Función de Densidad Simétrica.

La función de densidad es simétrica y con forma de campana. Tiene como característica que la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre en el intervalo [a, b] es igual al área bajo la curva en ese intervalo. Está completamente determinada por dos parámetros, media y desviación estándar, denotadas generalmente por µ y σ que determinan la curva en forma de campana.

( ) E x µ =

2 var( ) x σ =

166

1. Se lanza 12 veces una moneda. Determina la probabilidad de que el número de águilas que salga esté entre 4 y 7 inclusive.

Solución. Tenemos:

1 2

p =

1 12 6 2

np x µ = = =

1 1 12 12 3 1.73 2 2 4

npq x x σ = = = = =

El número de águilas buscado es: (4 7) P x ≤ ≤ pero para la aproximación usamos: (3.5 7.5) P x ≤ ≤ .

Transformamos las unidades en unidades estándar según la formula:

x t µ σ −

=

3.5 en unidades estándar = (3.5 ) 3.5 6 1.45 1.73

µ σ − −

= = −

7.5 en unidades estándar = (7.5 ) 7.5 6 0.87 1.73

µ σ − −

= =

Entonces:

(3.5 7.5) ( 1.45 0.87) P x P x ≤ ≤ = − ≤ ≤

(3.5 7.5) 0.4265 0.3078 P x ≤ ≤ = +

(3.5 7.5) 0.7343 P x ≤ ≤ =

167

2. Halla la probabilidad de que entre 10000 dígitos al azar, el dígito 5 aparezca entre 950 y 1000 veces inclusive.

Solución.

Tenemos: 1 10

p =

1 10000 1000 10

np x µ = = =

1 9 90000 10000 900 30 10 10 100

npq x x σ = = = = =

(950 1000) P x ≤ ≤

pero para la aproximación usamos:

(949.5 1000.5) P x ≤ ≤

Transformamos las unidades en unidades estándar según la fórmula:

x t µ σ −

=

949.5 en unidades estándar = (949.5 ) 949.5 1000 1.68 30

µ σ

− − = = −

1000.5 en unidades estándar = (1000.5 ) 1000.5 1000 0.016 30

µ σ

− − = =

Entonces:

(949.5 1000.5) ( 1.68 0.016) P x P x ≤ ≤ = − ≤ ≤

(949.5 1000.5) 0.4535 0.004 0.4575 P x ≤ ≤ = + =

168

3. Un dado normal se lanza 180 veces. Encuentra la probabilidad de que el lado 3 salga: a) entre 29 y 32 veces inclusive. b) entre 31 y 35 veces inclusive.

Solución.

a) (29 32) P x ≤ ≤

o por el dato continuo:

(28.5 32.5) P x ≤ ≤

Tenemos: 1 6

p =

1 180 30 6

np x µ = = =

1 5 900 180 25 5 6 6 36

npq x x σ = = = = =

Transformamos las unidades en unidades estándar:

28.5 en unidades estándar = (28.5 ) 28.5 30 0.3 5 s

µ − − = = −

32.5 en unidades estándar = (32.5 ) 32.5 30 0.5 5 s

µ − − = =

Entonces:

(28.5 32.5) ( 0.3 0.5) P x P x ≤ ≤ = − ≤ ≤

(28.5 32.5) 0.1179 0.1915 0.3094 P x ≤ ≤ = + =

169

b) (31 35) P x ≤ ≤

o por el dato continuo: (30.5 35.5) P x ≤ ≤

Transformamos las unidades en unidades estándar:

30.5 en unidades estándar = (30.5 ) 30.5 30 0.1 5 s

µ − − = =

35.5 en unidades estándar = (35.5 ) 35.5 30 1.1 5 s

µ − − = =

Entonces:

(30.5 35.5) (0.1 1.1) P x P x ≤ ≤ = ≤ ≤

(30.5 35.5) 0.3643 0.0398 0.3245 P x ≤ ≤ = − =

170

3.3.3 La Distribución Normal.

La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene destacar:

1. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

2. La curva normal es asintótica al eje de las abscisas. Por ello, cualquier valor entre ­ ∞ y + ∞, es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

3. Es simétrica con respecto a su media µ. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media y un 50% de observar un dato menor.

4. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación estándar s. Cuanto mayor sea σ, más aplanada será la curva de la densidad.

5. El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo µ +/­ 1.96 σ.

6. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros µ y σ. La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de µ la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de abertura de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

171

3.3.4 Área Bajo la Curva Normal.

El área encerrada bajo la curva y el eje de las abscisas es la unidad, es decir representa la probabilidad del suceso seguro. En porcentaje sería 100%. Además:

• En el intervalo (μ ­ σ, μ + σ) está el 68.26% del área total.

• En el intervalo (μ ­ 2σ, μ + 2σ) está el 95.44%.

• En el intervalo (μ ­ 3σ, μ + 3σ) está el 99.73%.

La probabilidad de obtener un valor x entre a y b es: el área entre la curva, el eje 0X y las ordenadas a y b.

Para diferentes valores de µ la distribución se desplaza, pero no se modifica su forma.

3.3.5 Distribución Estándar Normal.

Para diferentes valores de 2 σ , la distribución no se desplaza; se modifica su forma, determinando el grado de aplanamiento de la curva.

Para determinar las áreas bajo la curva de la función de densidad normal se requiere integrar la ecuación anterior. Desafortunadamente no existe una solución exacta para la integral, por lo que su evaluación solamente puede obtenerse utilizando métodos de aproximación. Por esta razón, se aprovechó la propiedad de transformación de cualquier curva normal a la normal estándar utilizando una nueva variable aleatoria Z llamada variable aleatoria normal estándar.

Si X ~ N (µ, σ 2 ) entonces X puede transformarse en Z.

X Z µ σ −

=

Cuando µ = 0 y σ = 1, la distribución se conoce con el nombre de normal estándar. Aplicamos la fórmula anterior y entonces la variable aleatoria Z tendrá una distribución estándar normal µ = 0 y σ = 1. Se dice que se ha tipificado la variable X.

La distribución normal es uno de los métodos probabilísticos más importantes y utilizados en la toma de decisiones. A continuación se presentan algunos ejemplos.

172

1. Las ventas de la Compañía “Electroganga S.A.”, durante el año del 2007 tuvieron un promedio de $36,500.00 mensuales con una desviación estándar de $5,500.00. El gerente de la empresa a fin de poder decidir si invierte presupuesto en una campaña publicitaria desea conocer:

a) El rango de ventas que representan el 95% de las ventas totales.

b) La probabilidad de que las ventas de la empresa sean mayores a $ 29,000.00

c) La probabilidad de que las ventas de la empresa sean mayores a $ 26, 500.00

d) La probabilidad de que las ventas de la empresa sean menores a $ 29, 000.

e) La probabilidad de que las ventas de la empresa se encuentren entre los $ 26, 000.00 y $ 36, 000.00

Solución.

a) De acuerdo a la distribución normal el intervalo que representa ser el 95.44% del área bajo la curva, se encuentra con la siguiente fórmula:

μ + 2 σ = 36,500.00 ­ 2(5,500.00) = 25,500.00

μ + 2 σ = 36,500.00 + 2(5,500.00) = 47,500.00 Las ventas que representan el 95% del total van desde los $25,500.00 hasta los $47,500.00

173

b) En el caso del cálculo de probabilidades, se lleva a cabo el siguiente procedimiento:

i. Uso de la fórmula de estandardización:

X Z µ σ −

=

μ = 35,500.00 s = 4,600.00 P (x > 29,000.00)

29000 35500 1.4130 4600

Z −

= =

ii. Una vez encontrado el resultado de la fórmula, hay que ubicar este en la tabla de estandardización de Z, el valor encontrado representa en términos de probabilidad, la distancia entre X y la media.

Z 0.00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.2 0.38493 0.38686 0.38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39617 0.39796 0.39973 0.40147 1.3 0.40320 0.40490 0.40658 0.40824 0.40988 0.41149 0.41308 0.41466 0.41621 0.41774 1.4 0.41924 0.42073 0.42220 0.42364 0.42507 0.42647 0.42785 0.42922 0.43056 0.43189 1.5 0.43319 0.43448 0.43574 0.43699 0.43822 0.43943 0.44062 0.44179 0.44295 0.44408 1.6 0.44520 0.44630 0.44738 0.44845 0.44950 0.45053 0.45154 0.45254 0.45352 0.45449 1.7 0.45543 0.45637 0.45728 0.45818 0.45907 0.45994 0.46080 0.46164 0.46246 0.46327 1.8 0.46407 0.46485 0.46562 0.46638 0.46712 0.46784 0.46856 0.46926 0.46995 0.47062

Valor en tablas: 0.42073

El valor en tablas indica, en términos de probabilidad, la distancia que existe entre el valor buscado y la media. De esta manera se puede inferir sobre el fenómeno que interesa.

174

iii. Trazar la curva de la distribución normal.

De acuerdo a lo que se pide: P(x) = 0.4207 + 0.5 = 0.9207

La probabilidad de que las ventas sean mayores a $29,000.00 es del 92.07%.

c) La probabilidad de que las ventas de la empresa sean mayores a $ 26,500.00

En el caso del cálculo de probabilidades, se lleva a cabo el siguiente procedimiento:

i. Uso de la fórmula de estandardización:

X Z µ σ −

=

μ = 36, 500 σ = 5, 500 P (x > 26, 500)

26500 36500 3.8181 5500

Z −

= =

175

ii. Una vez encontrado el resultado de la fórmula, hay que ubicar este en la tabla de estandarización de Z, el valor encontrado representa en términos de probabilidad, la distancia entre X y la media.

Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 3.5 0.49977 0.49978 0.49978 0.49979 0.49980 0.49981 0.49981 0.49982 0.49983 0.49983 3.6 0.49984 0.49985 0.49985 0.49986 0.49986 0.49987 0.49987 0.49988 0.49988 0.49989 3.7 0.49989 0.49990 0.49990 0.49990 0.49991 0.49991 0.49992 0.49992 0.49992 0.49992 3.8 0.49993 0.49993 0.49993 0.49994 0.49994 0.49994 0.49994 0.49995 0.49995 0.49995 3.9 0.49995 0.49995 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49997 0.49997 4.0 0.49997 0.49997 0.49997 0.49997 0.49997 0.49997 0.49998 0.49998 0.49998 0.49998

Valor en tablas: 0.49993

iii. Se traza la distribución normal: 36500

iv. De acuerdo a lo que se busca: 0.4993 + 0.50 = 0.9993 v. La probabilidad de que las ventas sean mayores a $26,500.00 es del 99.93%.

d) La probabilidad de que las ventas de la empresa sean menores a $29,000.00 i. Primero realizamos el cálculo de Z con la siguiente ecuación:

X Z s

µ − =

μ = 36,500 σ = 5,500 P (x < 29, 000)

29000 36500 1.3636 5500

Z −

= =

176

ii. Una vez encontrado el resultado de la fórmula, hay que ubicar este en la tabla de estandardización de Z, el valor encontrado representa en términos de probabilidad, la distancia entre X y la media.

Valor en tablas: 0.4131

iii. Trazar la curva de la distribución normal.

iv. De acuerdo a lo que se busca: 0.50 – 0.4131 = 0.0.0869 v. La probabilidad de que las ventas sean menores a $ 29,000.00 es del

8.69%.

e) La probabilidad de que las ventas de la empresa se encuentren entre los $ 26, 000.00 y los $ 36, 000.00

1 26000 36500 1.9090

5500 Z

− = = −

2 36000 36500 0.0909

5500 Z

− = = −

Se buscan valores en tablas: 0.4719 y 0.3186

177

De acuerdo a lo que se pide: 0.1523, es decir el 15.23%.

2. Halla el área bajo la curva normal que se encuentra entre z = 0 y z =1.2

Solución.

Ve hacia abajo en la columna encabezada por z de la tabla anexa hasta alcanzar el valor 1.2. Buscando sobre esa fila hacia la derecha, hasta la columna encabezada por 0, tenemos:

En la tabla se encuentra el resultado de z=1.2 que es 0.3849 a lo que se le va a restar el valor de z=0 pero como es cero, entonces:

0.3849 – 0 = 0.3849

El resultado es 0.3849 que es el área pedida y representa la probabilidad de que z esté comprendida entre 0 y 1.2, denotado por P0 ≤ z ≤ 1.2

Z=0 Z=1.2

178

3. Halla el área bajo la curva normal que se encuentra entre z = ­ 0.68 y z = 0. Solución.

El área pedida que es el área entre z=­0.68 y z=0 es igual al área comprendida entre z = 0 y Z = 0.68, por simetría.

Para hallar el área entre z = 0 y z = 0.68, se procede como antes, de arriba hacia abajo en la columna encabezada por z hasta el valor 0.6. Entonces por esa fila hacia la derecha hasta la columna encabezada por 8.

El resultado 0.2517 es el área pedida y representa (al igual que en el ejercicio anterior) la probabilidad de que z esté entre 0.68 y 0, denotado por:

P ­0.68≤ z ≤ 0 = 0.2517 – 0 = 0.2517

Z= ­0.68 Z=0

179

4. Halla el área bajo la curva normal que se encuentra entre z = ­ 0.46 y z = 2.21.

El área pedida será el área entre z = ­ 0.46 y z= 0 más el área entre z = 0 y z = 2.21; por lo tanto:

(área entre z = 0 y z = 0.46) + (área entre z = 0 y z = 2.21)

[P ­0.46 ≤ z ≤ 0 = 0.1772] + [P0≤ z ≤ 2.21 = 0.4864]

0.1772 + 0.4864= 0.6636

5. Halla el área bajo la curva normal que se encuentra entre z = 0.81 y z= 1.94.

El área pedida será el área de z = 1.94 menos z= 0.81; por lo tanto:

(área entre z = 0 y z = 1.94) ­ (área entre z = 0 y z = 0.81)

[P 0≤ z ≤ 1.94 = 0.4738] ­ [P 0≤ z ≤ 0.81 = 0.2910]

0.4738 ­ 0.2910= 0.1828

Z= ­0.46 Z=0 Z= 2.21

Z= 0 Z=0.81 Z= 1.94

180

3.3.6 Aplicaciones de la Distribución Normal.

3.3.6.1 Distribución Binomial.

1. Un supervisor de producción sabe que el 8% de las piezas producidas en cierto proceso tiene defectos. Si se examinan 10 en un proceso productivo Cuál es la probabilidad de que:

a) Ninguna pieza tenga defectos. b) Máximo tres, tengan defectos.

R.

a) 0 10 0 10 (0.08) (0.92) 0.4343 C =

b) 0 10 0 10 (0.08) (0.92) 0.4343 C =

1 9 10 1(0.08) (0.92) 0.3777 C = 2 8

2 10 (0.08) (0.92) 0.1478 C =

3 7 3 10 (0.08) (0.92) 0.034 C =

P (X) = ∑ 0.9938

2. Se reparten unas invitaciones sabiendo que sólo el 40 % asistirán al acto. Se seleccionan al azar 10 invitados. Calcula: a) La probabilidad de que sólo tres de esos diez invitados acudan al acto. b) La probabilidad de que acudan los diez.

R.

a) 3 7 3 10 (0.40) (0.60) 0.2149 C =

b) 10 0 10 10(0.40) (0.60) 0.000104 C =

181

3.3.6.2 Distribución Hipergeométrica.

1. De un conjunto de 10 trabajos: 6 trabajos administrativos y 4 académicos, se selecciona una muestra de tamaño 4. Determina:

a) La probabilidad de elegir un trabajo administrativo. b) La probabilidad de elegir un trabajo académico.

R.

a) ( ) 0.1142 P x =

b) ( ) 0.3809 P x =

2. Una compañía recibe un pedido de 25 artículos. Debido a que la inspección es cara, decide tomar una muestra de 7 artículos, aceptando el pedido si no hay más de 6 artículos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptada una remesa con tres artículos defectuosos?

R. ( ) 0.1612 P x =

182

3.3.6.3 Distribución de Poisson.

1. Sea X una variable aleatoria que representa el número de tareas que recibe un servidor Web en un intervalo de 5 minutos. Calcula las probabilidades cuando la variable tome los valores 0, 1 y 2.

R. Si X = 0, ( ) 0.0067 p X =

Si X = 1, ( ) 0.00028 p X =

Si X = 2, ( ) 0.08422 p X =

2. Un canal de comunicación transmite impulsos a una tasa de 12 impulsos cada 2 segundos. Encuentra la probabilidad de que:

a) Se transmitan en 1 segundo dos impulsos. b) En un segundo no haya impulsos. c) En un segundo haya al menos un impulso.

R.

a) ( ) 0.0446 p X =

b) ( ) 0.0024 p X =

c) ( ) 0.00148 p X =

P (X) = 0.01727

183

3.3.6.4 Esperanza Matemática.

1. Un vendedor de coches estima las siguientes probabilidades para el número de unidades que vende en una semana:

Número de coches 0 1 2 3 4

Probabilidad 0.22 0.35 0.25 0.1 0.08

Determina el número esperado de coches que venderá en una semana.

R. ( ) 1.47 E X =

2. Una compañía tiene los datos históricos de ventas diarias, con probabilidades asignadas, mediante la siguiente distribución de probabilidad:

Ventas 4 5 6 7

Probabilidad 0.35 0.25 0.22 0.18

a) Calcula el valor esperado. b) La varianza. c) La desviación estándar.

R.

a) ( ) 5.23 E X =

b) 2 1.2371 σ =

c) 1.1122 σ =

184

3.3.6.5 Distribución Normal.

1. La vida útil de una marca de focos sigue una distribución normal cuya media es de 1200 horas y con desviación estándar 250 horas.

a) ¿Qué proporción de focos tiene un tiempo de vida inferior a 1050 horas? b) ¿Qué proporción de focos tiene un tiempo de vida superior a 1450 horas?

R.

a) Valor en tablas: 0.2258, 27.42%. b) Valor en tablas: 0.3413, 18.87%.

2. El peso de los paquetes de harina que produce cierta fábrica sigue una distribución normal: de media 105 g y de desviación estándar 5 g. Calcula el porcentaje de paquetes con peso inferior a 112 g, explicando cómo se ha obtenido el porcentaje.

R. X Z µ

σ −

=

112 105 1.4 5

Z −

= =

Valor en tablas: 0.4192 R = 91.92%

185

3. Las estaturas de cierta población se distribuyen según una normal de media 168 y desviación estándar 8. Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga una estatura de: a) 190 cm como máximo. b) Mayor a 190 cm

R. a) 99.70 % b) 30.00 %

4. Las notas de cierto examen se distribuyen según una distribución normal cuya media es 5.4 y desviación estándar 1.2. ¿Qué porcentaje de estudiantes se puede esperar que obtengan calificaciones de entre 5 y 7?

R. 53.75%