1

Prirodzené čísla Napierove kostičky. Na princípe mriežkovej metódy násobenia sú založené tzv. Napierove kostičky1 (Napier’s Bones), používané kedysi pri násobení viacciferných čísel jednocifernými. Na každej paličke sú pod príslušnou cifrou uvedené všetky násobky tohto čísla (teda napr. na paličke označenej hore 4 sú postupne uvedené výsledky násobenia 4×0, 4×1, 4×2, … 4×9, pozri obrázok). Pri násobení čísla obsahujúceho cifru 4 číslom 7 nám z tejto paličky bude zaujímať políčko prislúchajúce súčinu 4 × 7, teda políčko

obr. je z http://auction-team.de/new_highlights/2003_05/oa/006.htm

Napíšte návod na používanie Napierových kostičiek. Genaillove-Lucasove tyčinky. V r. 1885 vyvinul francúzsky železničný inžinier Henri Genaille v spolupráci s matematikom Edouardom Lucasom zdokonalenie Napierových kostičiek, ktoré umožňovalo čítať výsledok násobenia priamo na paličkách. Napr. pri násobení 8563 × 4 použijeme paličky označené hore číslicami 8, 5, 6, 3, vľavo od nich položíme paličku nazvanú Index. Výsledok násobenia odčítame v riadku zodpovedajúcom na paličke Index číslu 4 nasledovne: začneme na paličke vpravo (označenej číslom

1 Sada 11 paličiek sa vyrábala aj z kosti, odtiaľ názov. Niekedy sa používa aj označenie Napierove tyčinky. Pri vyučovaní násobenia sa používali vo veľkej Británii ešte okolo r. 1960. Postup publikoval John Napier v r. 1617 v knihe nazvanej Rabdologia. (http://mathworld.wolfram.com/NapiersBones.html) John Napier bol škótsky matematik, známy najmä v súvislosti so zavádzaním logaritmov.

2 8 John Napier

(1550 – 1617) obrázok je z

http://www.electricscotland.com/history/other/joh

n_napier.htm

obrázok je z http://www.scienceandsocietyprints.com/barcode10327842.

aspx

2

3) horným číslom (to je 2), a postupujeme od neho doprava tak, ako ukazuju šípky. Výsledkom násobenia je číslo 34 252.

obrázok je z http://www.delphiforfun.org/Programs/Genailles_Rods.htm

Odčítajte z obrázku súčin 8563 × 3.

Nakreslite Genaillove-Lucasove tyčinky pre cifry 1 – 9 a vysvetlite, ako násobenie pomocou týchto tyčiniek funguje. ( http://www.mechrech.info/publikat/GenLucMult.pdf, komletný obrázok Genaille-Lucas Rulers: http://infohost.nmt.edu/~borchers/napier/lucas.pdf, obrázok priamo na vystrihnutie: http://www.projects.ex.ac.uk/trol/trol/trolha.pdf )

Roľnícka (tiež ruská alebo etiópska) metóda násobenia. Pod týmito názvami sa skrýva postup výpočtu súčinu, ktorý vyžaduje len násobenie a delenie dvomi: • jedno číslo napíšeme do stĺpca A, druhé do stĺpca B, • číslo v stĺpci A zdvojnásobíme, číslo v stĺpci B vydelíme 2 a výsledok zaokrúhlime nadol, • tento krok opakujeme tak dlho, kým v stĺpci B nedostaneme číslo 1, • ak sme v stĺpci B dostali párne číslo, príslušný riadok v obidvoch stĺpcoch prečiarkneme, • sčítame všetky neprečiarknuté čísla v stĺpci A, výsledok je hľadaný súčin. Ak použijeme uvedený algoritmus na výpočet 75 × 49, dostaneme

A B 75 49

150 24 300 12 600 6

1 200 3 2 400 1 3 675

Číslo 3 675 v poslednom riadku ľavého stĺpca je súčet 75+1 200+2 400, ten sa rovná hľadanému súčinu:

3

75 × 49 = 3 675 .

Vysvetlite, prečo funguje uvedený algoritmus.

Tento postup je upravená verzia egyptského násobenia, ktorým sa zaoberá úloha Egyptské násobenie (tá ukazuje vzťah tohto postupu a zápisu čísel v dvojkovej sústave). http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.peasant.html http://mathforum.org/library/drmath/view/57054.html http://encyclopedia.thefreedictionary.com/Russian%20peasant%20multiplication

Kalendár. Pripomeňme, že z rokov nedeliteľných 100 je prestupný každý rok deliteľný 4, z rokov deliteľných 100 sú prestupné len roky deliteľné 40. V roku 1987 pripadol 1. január na sobotu. Na aký deň pripadol 1. január v rokoch 1988, 1989? Kedy prvýkrát po roku 1987 pripadne 1. január opäť na sobotu? Pán Jozef našiel v roku 2004 starý nepoužitý kalendár z roku 1987. Keďže je veľmi šporovlivý, rozhodol sa, že kalendár nezahodí a počká si na rok, v ktorom 1. január opäť pripadne na sobotu. V ktorom roku bude môcť pán Jozef nájdený kalendár použiť?2 Skúste sformulovať všeobecné pravidlo určujúce, po koľkých rokoch môžeme prvýkrát použiť starý kalendár. Žiaci by mali postupne prísť na to, že odpoveď je rôzna pre prestupný rok, 1. rok po prestupnom roku, 2. rok po prestupnom roku a 3. rok po prestupnom roku. Je pravdepodobné, že žiaci budú mlčky predpokladať, že kalendár je z 20. alebo 21. storočia (výsledok pre kalendár z 19. storočia je totiž odlišný, pretože rok 1900 nie je prestupný, teda prechodom cez tento rok vznikne 7 za sebou nasledujúcich neprestupných rokov). Po koľkých rokoch môžeme tento kalendár použiť druhýkrát (tretíkrát)? Tu by sme žiakov mali viesť k tomu, aby využili svoje zistenia z predchádzajúceho kroku, teda aby nepočítali všetko úplne znovu od začiatku. Na základe predchádzajúcich zistení doplňte chýbajúci počet rokov v nasledujúcej vete: „Bez ohľadu na to, či je kalendár z prestupného alebo neprestupného roku, vždy ho môžeme znovu použiť po … rokoch.“ Aj tu mlčky predpokladáme, že kalendár je z 20. alebo 21. storočia. Bude odpoveď rovnaká pre starý kalendár z 19. storočia aj starý kalendár z 20. storočia? Túto otázku položíme len v prípade, že žiaci si neuvedomili, že rok 1900 nie je prestupný, čím sa niektoré výpočty zmenia. Skúste čo najpresnejšie sformulovať pravidlo určujúce, po koľkých rokoch možno znovu použiť starý kalendár, pričom toto pravidlo bude použiteľné pre obdobie 19. – 21. storočia. celá táto pasáž je spracovaná na základe myšlienky pochádzajúcej z www.tondering.dk/klaus/calendar.html

Rímske číslice

Chronogramy. Na starých budovách, podstavcoch sôch, slnečných hodinách občas nájdeme nápis, v ktorom sú zvýraznené (veľkosťou alebo farbou) niektoré písmená. Ak sú tieto 2 „Znovu použiť“ znamená len to, že 1. január pripadne v roku opätovného použitia na ten istý deň ako v pôvodnom. V roku opätovného použitia nemusia pohyblivé sviatky (napr. Veľká noc) pripadnúť na rovnaký dátum ako v pôvodnom roku. K určovaniu termínu Veľkej noci pozri poznámku Chyba! Záložka nie je definovaná..

4

písmená súčasne rímskymi číslami, môže to byť chronogram – teda v texte zašifrované číslo, ktoré spravidla udáva rok vzniku budovy či sochy alebo iný význačný dátum s nimi spojený. Číslo dostaneme, ak sčítame hodnotu všetkých zvýraznených rímskych číslic.3 Napr. v Hunyadyho sále Bojnického zámku sa nachádza latinský text

VLTIMVS EX PALFFY IOANIS LINEA NATVS RESTITVIT DE CVS IN RVPE ARCI SITAE

Ten oznamuje, že barokový portál, ktorým sa do sály vchádza, nechal na toto miesto preniesť gróf Ján Pálffy. Ak zrátame zvýraznené rímske číslice, dostaneme rok, kedy sa tak stalo.

Skontrolujte, že hľadaný rok je 1899. (http://www.zamky.sk/bojnice/prehliadka.htm) Slovenský chronogram pre rok 2006 by mohol mať napríklad podobu

Mimochodom, kedy odchádza vlak? ( http://www.zahadny-svet.ic.cz/modules.php?name=News&file=article&sid=18 ) Z chronogramu v nápise na podstavci sochy sv. Jána Nepomuckého v obci Mnichovice (ČR) zistite, odkedy túto sochu v obci majú. K VIetssI sLaVIe a pobozonostI sVatIho Jana tento obraz VihotoVItI DaL MatIeolän frantissek. ( http://www.mnichovice.info/Historie/Kulturnipamatkyazajimavosti/pamatky.html ) Chronogram umožnil napr. datovanie jednej z piesní v evanjelickej zbierke piesní Jána Glosiusa Pondelského4 (1670 - 1729). V texte článku o tejto zbierke sa uvádza: „… chronogram ukrytý v prvom verši latinskej piesne Coarctor o Deus nimis prezrádza rok vzniku 1707 “. ( http://www.snm.sk/old/pamiatky/pam_2003_1b.htm ) Napíšte názov piesne tak, aby bolo čitateľovi zrejmé, že ide o chronogram. Táto úloha nadväzuje na úlohu o pravidlách 1 – 5 o písaní rímskych čísel Aké najväčšie číslo môžeme podľa týchto pravidiel zapísať rímskymi číslicami ? 5

Ktoré číslo medzi 1 a 2000 má najdlhší zápis pomocou rímskych číslic ?

Nájdite najmenšie z čísel väčších ako 2000, ktoré má dlhší zápis.

3 Pre písanie a čítanie chronogramov doplníme ešte dohodu, že W (dvojité v) sa chápe ako dve písmená V, písmeno J sa môže chápať ako I, písmeno U ako V. 4 Pochádzal z Hrnčiarskej Vsi – Pondelka (okres Rimavská Sobota). 5 Odpoveď na túto otázku by sa zmenila, keby sme uviedli ďalšie pravidlá, napr.: • vodorovná čiara nad číslicou alebo časťou čísla zväčšuje príslušnú hodnotu 1 000-krát. Teda

napr. XV = 15 000, XXIVXVIII = 18 024. (http://www.factmonster.com/ipka/A0769547.html )

• porušenie pravidla 6 pred číslicou M alebo C nahrádzalo v stredoveku násobky čísel 1000 alebo 100, menšie číslo pred M alebo C v tom prípade označovalo násobok M alebo C. Napr. LLM označovalo 100 (LL) – násobok čísla M, teda 100 000, XVIIIMXXIV by označovalo číslo 18 024. (http://home.att.net/~numericana/answer/roman.htm#numeration )

(ďalšie pravidlá pre písanie veľkých rímskych čísel pozri na http://www.web40571.clarahost.co.uk/roman/howtheywork.htm )

5

Pri zápisoch rímskych číslic používame sedem znakov : I, V, X, L, C, D, M. Koľko čísel viete zapísať v rímskej sústave tak, že každý z týchto znakov použijete práve jedenkrát ? Ktoré z týchto čísel je najmenšie a ktoré najväčšie ?

Nájdite najmenšie a najväčšie číslo, ktorého zápis v rímskej sústave má práve 6 znakov.

( http://www.web40571.clarahost.co.uk/roman/quiz.htm )

Tento text nadväzuje na pravidlá pre písanie rímskych číslic uvedený v učebnici Pre číslice, ktoré sa odčítavajú, platia tieto pravidlá: 5. Možno odčítavať len číslice I, X, C. Napr.: číslo 45 nezapisujeme VD, číslo 950

nezapisujeme LM, číslo 80 nezapisujeme XXC. 6. Odčítavaná číslica nesmie byť menšie ako desatina číslice, ktoré za ňou bezprostredne

nasleduje (teda odčítavaná číslica môže byť buď jedna pätina alebo jedna desatina bezprostredne nasledujúcej číslice). Napr.: číslo 990 nezapisujeme XM, číslo 999 nezapisujeme IM, číslo 49 nezapisujeme IL.

7. Ak za číslicou, od ktorej sme odčítali, nasleduje ďalšia číslica, tak táto nasledujúca číslica musí byť menšia ako odčítaná číslica. Napr.: číslo 19 nezapisujeme IXX, 140 nemôžeme zapísať XCL, 100 nemôžeme zapísať XCX.

( http://home.hiwaay.net/~lkseitz/math/roman/numerals.shtml ) V texte učebnice sme uviedli, že možno použiť len 6 dvojíc rímskych číslic, z ktorých prvá je menšia ako druhá: IV, IX, XL, XC, CD, CM. Skontrolujte, či toto tvrdenie vyplýva z pravidiel 5 – 7. Niekedy sa uvádzajú ešte nasledujúce pravidlá: „Možno odrátavať len číslicu od číslice, teda nemožno odrátavať číslicu od čísla (napr. 190 nezapisujeme XCC)“. „Číslici, ktorá sa odčíta, musí bezprostredne predchádzať číslica aspoň 10-krát väčšia (teda napr. zápis LXC pre 140 je nesprávny).“ Vyplývajú tieto pravidlá z našich pravidiel 1 – 7? Zápis čísla 1400 v podobe DCM porušuje viacero uvedených pravidiel. Ktoré? Keby sme dnes mali vypočítať rozdiel dvoch čísel zapísaných rímskymi číslicami, asi by sme obidve čísla zapísali v našej desiatkovej sústave, našli by sme rozdiel a výsledok by sme opäť zapísali rímskymi číslicami. Rímski účtovníci tak samozrejme postupovať nemohli. Na stránke http://en.wikipedia.org/wiki/Roman_arithmetic možno nájsť nasledujúci algoritmus na výpočet rozdielu dvoch čísel zapísaných v rímskej sústave :

Odčítanie Príklad CXVI – XXIV = ?

krok opis príklad 1. odstrániť zápis pomocou odčítajúcich sa číslic IV → IIII 2. vylúčiť číslice, ktoré má menšenec6 zhodné s

menšiteľom CXVI – XXIIII → CV – XIII

3. nahradiť v menšencii jednotlivé cifry menšími číslicami, až dosiahneme cifry zhodné s ciframi v menšenci

CV − XIII → LLIIIII − XIII → LXXXXXIIIII − XIII

4. kroky 2 a 3 opakujeme tak dlho, kým z menšiteľa neodstránime všetky cifry

LXXXXXIIIII − XIII → LXXXXII

6 pripomeňme, že CXVI sa nazýva menšenec, XXIV menšiteľ

6

5. ak je to potrebné, použijeme zápis pomocou odčítajúcich sa číslic

LXXXXII → XCII

6. výsledok XCII Vypočítajte podľa uvedeného algoritmu rozdiel CLIX – XLVI. Námety o spôsobe zápisu zlomkov pomocou rímskych číslic sú na http://www.web40571.clarahost.co.uk/roman/howtheywork.htm

Číselné sústavy

Nasledujúca skupina úloh (od Mayské číslice po Zápis čísla v pozičnej sústave – interpretácia) je alternatíva k textu o pozičných číselných sústavách v učebnici. Cieľom je objaviť a pochopiť princíp pozičnej číselnej sústavy na príklade mayského zápisu čísel. Zdôrazňujeme, že cieľom nie je naučiť sa používať mayské číslice, cieľ je objaviť a pochopiť princíp pozičnej sústavy.

Mayské číslice. Mayská civilizácia v Strednej Amerike zažila svoj najväčší rozkvet v tzv. klasickom období (cca 250 – 900 n.l.). Je známa veľkolepými stavbami, dosiahla pozoruhodné výsledky v astronómii a matematike. Keďže mnohé písomné pamiatky zničili v 16. storočí španielski dobyvatelia, nie je jasné, kedy Mayovia vytvorili svoj číselný systém. Ten – ako sa zdá – bol založený na počte prstov na rukách a nohách. Na zapisovanie čísel používali Mayovia nasledujúce znaky: • bodka označovala jeden (jeden prst), • čiarka označovala päť (všetky prsty jednej ruky alebo jednej nohy)

7

Stránka 48 z Drážďanského kódexu7, vľavo originál, vpravo reprodukcia z r. 1932 obrázky sú z http://www.tu-dresden.de/slub/proj/maya/maya.html ,

http://www.famsi.org/research/graz/dresdensis/thumbs_0.html

(obrázky mayských čísel sú z http://www.hanksville.org/yucatan/mayamath.html, prehľadný článok o mayskej civilizácii http://sk.wikipedia.org/wiki/Mayovia, http://www.civilization.ca/civil/maya/mmc01eng.html#menu , článok o mayskej matematike http://mathforum.org/k12/mayan.math/ , pozri tiež napr. http://www.niti.org/mayan/lesson.htm )

Prečítajte nasledujúce mayské čísla: 7 Drážďanský kódex je jeden z troch zachovaných mayských kódexov (Drážďanský, Parížsky, Madridský, okrem toho existuje ešte tzv. Grolierov fragment), ktoré unikli páleniu kníh španielskymi duchovnými v 16. st. Je to odpis staršieho mayského textu pozostávajúceho z mytologických a astronomických záznamov pochádzajúci asi z rokov 1200 – 1250. Vo Viedni ho v r. 1739 od súkromného majiteľa kúpil riaditeľ drážďanskej kráľovskej knižnice. Ako sa kódex dostal do Viedne, nie je jasné, pravdepodobne ho Hernán Cortés poslal ako dar španielskemu kráľovi, ktorý bol v tom čase aj rakúskym panovníkom.(http://www.tu-dresden.de/slub/proj/maya/mayaeng.html , mayské kódexy pozri http://www.lib.uci.edu/libraries/exhibits/meso/maya2.html , http://www.ancientworlds.net/aw/Article/443913 , obrázky všetkých kódexov na http://www.famsi.org/research/graz/index.html )

8

Zapíšte mayským zápisom číslo 17.

Zapíšte – bez toho, aby ste zisťovali, aké čísla predstavujú jednotlivé sčítance – mayskými číslicami nasledujúce súčty:

+

=

+

=

Aby ste výsledok zapísali správne, museli ste časť bodiek previesť na čiarky. Sformulujte pravidlo o prevode bodiek na čiarky, ktoré ste použili. (5 bodiek = 1 čiarka) Dvojúrovňový zápis. S prstami na rukách a nohách vystačíme po číslo 20. Keby sme pomocou bodiek a čiarok chceli zapísať číslo väčšie ako 20, napr. 294, bolo by čiarok pomerne veľa (koľko by bolo čiarok a koľko bodiek?) a zápis by bol neprehľadný. Možno ho však zjednodušiť: číslo 20 predstavuje všetky prsty jedného človeka, teda napr. číslo 32 si môžeme predstaviť ako

1 človek + 12 prstov číslo 63 sú vlastne

3 ľudia + 3 prsty. Stačí teda povedať počet ľudí a počet prstov, a číslo je určené. Pomocou ľudí a prstov vyjadrite číslo 294.

Ktoré číslo predstavuje 7 ľudí a 14 prstov? Práve takéto chápanie používa mayský zápis čísel. Napr. naše číslo „7 ľudí plus 14 prstov“ Mayovia zapísali tak, že nad znak pre číslo 14 (počet prstov) napísali znak pre 7 (počet ľudí):

Ktoré čísla vyjadrujú nasledujúce mayské zápisy?

Pri čítaní zápisov, ktoré používajú čísla v dvoch úrovniach (nižšia úroveň pre počet prstov, vyššia úroveň pre počet ľudí) by mohli nastať nejasnosti, keby sme si neboli istí, či zapísané znaky patria do nižšej alebo vyššej úrovne. Napríklad zápis

9

by mohol vyjadrovať „3 prsty“, ale aj „3 ľudia“. Tento problém8 odstránilo u Mayov používanie

symbolu9 , ktorý označuje nulu. Číslo 60 (= „3 ľudia“, t.j. „3 ľudia plus 0 prstov“) zapísali Mayovia takto

a číslo 3 (= „3 prsty“) takto10 Zapíšte číslo 20 mayskými číslicami.

Zapíšte mayskými číslicami – bez toho, aby ste zisťovali, aké čísla predstavujú jednotlivé sčítance – nasledujúce súčty:

+

+

+

+

+

+

Pokúste sa sformulovať všetky pravidlá, ktoré ste pri riešení tejto úlohy použili. (najprv sčítame čísla na nižšej úrovni (prsty s prstami), potom čísla na vyššej úrovni, pritom 5 bodiek = 1 palička, 4 paličky nižšej úrovne = 1 bodka vyššej úrovne,)

Vo filmovej rekonštrukcii pisár z tzv. klasického obdobia (cca 250 – 900) zaznamenáva v chráme v Yaxchiláne do kódexu astronomické údaje.

obrázok je z http://www.civilization.ca/civil/maya/mmc04eng.html

Pomocou zápisu používajúceho len jednu úroveň vieme zapísať čísla 0 až 19

8 Iný problém predstavuje napríklad zápis čísla 105 (ktorý je zameniteľný za zápis čísla 10), ale ten nie je pre náš výklad podstatný. 9 Časť odborníkov sa domnieva, že tento symbol predstavuje ruku zovretú v päsť (symbol pre „nič“). Používanie nuly patrí k významným výdobytkom mayskej matematiky. 10 Porovnajte toto vysvetlenie s opisom z odseku Ako to funguje ? Chvála nuly.

10

…

máme teda 20 znakov (prvý pre číslo 0, …, dvadsiaty pre číslo 19). Čísla nasledujúce za 19 vieme zapísať dvojúrovňovým zápisom:

…

Nájdite najväčšie číslo, ktoré možno zapísať dvojúrovňovým zápisom (v obidvoch úrovniach môžeme používať znaky pre čísla 0 – 19). Zapíšte toto číslo. Viacúrovňové zápisy. Dvojúrovňový zápis sme zvolili preto, aby zápis čísel väčších ako 19 bol prehľadný. Ak chceme túto prehľadnosť zachovať aj naďalej, budeme sa v dvojúrovňovom zápise musieť zastaviť pri čísle

pretože od neho väčšie čísla už nevieme zapísať ako kombináciu11 dvoch z 20 znakov, ktoré máme k dispozícii. Ktoré číslo predstavuje tento mayský zápis? Navrhnite zápis čísla o 1 väčšieho a zdôvodnite svoj návrh. Môžete sa inšpirovať touto úvahou: Veľa prstov12 sme si predstavili ako „ľudia + prsty“. Ak bolo „ľudí“ menej ako 20, dostali sme dvojúrovňový zápis. Ak bude „ľudí“ 20 alebo viacej, môžeme číslo predstavujúce počet ľudí zapísať opäť dvojúrovňovo. Dostaneme tak trojúrovňový zápis.

Zistite, ktoré čísla sú tu zapísané :

Skontrolujte správnosť nasledujúceho tvrdenia: „Ak niektorý z 20 znakov pre čísla 0 – 19 napíšeme v dvojúrovňovom mayskom zápise do vyššieho riadku, predstavuje tento znak 20-násobok svojej hodnoty.“

Zistite, koľkonásobok svojej hodnoty bude predstavovať znak zapísaný v trojúrovňovom mayskom zápise v najvyššom riadku. Ako by to bolo v štvorúrovňovom zápise?

(chceme žiakov priviesť k formulácii pravidla 012

23

3 202020 aaaa +×+×+× )

11 Na celú vec sa môžeme pozrieť aj kombinatoricky: Ak máme k dispozícii 20 znakov pre čísla 0 – 19, tak – ako je zrejmé – pomocou 1 znaku môžeme zapísať 20 rôznych čísel. Ak máme k dispozícii 2 znaky, môžeme dvojúrovňovým zápisom zapísať ďalších 19 × 20 = 380 čísel (vo vyššej úrovni môžeme použiť všetky znaky okrem znaku pre nulu, ku každému z týchto 19 znakov môžeme v nižšej úrovni pripojiť ľubovoľný z 20 znakov). Celkom teda môžeme jedno- a dvojúrovňovým zápisom zapísať 20 + 380 = 400 čísel (od 0 po 399). 12 Presnejšie 20 a viacej prstov.

11

Vypočítajte, aké čísla sú tu zapísané v mayskom zápise:

Sformulujte všeobecné pravidlo pre výpočet hodnoty čísla zapísaného mayským 4-úrovňovým zápisom. Viete také pravidlo sformulovať aj pre 5- alebo 6-úrovňový zápis?

Vzorček na čítanie mayských zápisov. Zhrňme, na čo sme prišli riešením predchádzajúcich úloh: • Číslo v dvojúrovňovom mayskom zápise sa rovná číslo v spodnom riadku plus 20-

násobok čísla v hornom riadku. Ak číslo v spodnom (prvom) riadku označíme Č1 a číslo v hornom (druhom) riadku Č2, môžeme to symbolicky zapísať

Č2×20 + Č1. • Číslo zapísané trojúrovňovým mayským zápisom

Č3 Č2 Č1

sa rovná Č3×400 + Č2×20 + Č1, tj. Č3×20×20 + Č2×20 + Č1.

• Číslo zapísané štvorúrovňovým mayským zápisom

Č4 Č3 Č2 Č1

sa rovná Č4×8 000 + Č3×400 + Č2 ×20 + Č1,

tj. Č4×20×20×20 + Č3×20×20 + Č2 ×20 + Č1. Napíšte podobný vzorček pre 5-úrovňový mayský zápis.

Ako sme videli, jednotlivé čísla mayského zápisu postupne násobíme číslami 1 (tým násobíme číslo Č1), 20 (číslo Č2), 400, 8 000, 160 000. Nájdite nasledujúce dve čísla v tejto postupnosti (tými by sme násobili čísla Č6 a Č7 v mayskom zápise) a sformulujte pravidlo na hľadanie ďalších čísel v tejto postupnosti. Pozičná číselná sústava so základom 20. Porovnajme teraz mayskú číselnú sústavu s desiatkovou sústavou, ktorú bežne používame v bežnom živote. Ak si v učebnici prečítame odseky Prirodzené čísla a desiatková pozičná sústava, Prečo desiatková ? a Prečo pozičná ?, a potom sa pozrieme na vzorčeky z predchádzajúceho odseku, vidíme, že mayská číselná sústava má nárok na označenie pozičná číselná sústava so základom 20.13 13 Pre tých, ktorí sa chcú vyjadrovať vznešene: sústava so základom 20 sa nazýva vigesimálna. (pozri http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Positional_numeral_systems a odkazy zo stránky http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal )

12

Vysvetlite, prečo sme mayskú číselnú sústavu nazvali • pozičná, • sústava so základom 20.

Ako by to bolo so základom 16. Predstavme si teraz, že by sme za základ číselnej sústavy namiesto 20-tky zvolili napr. číslo 16.

Vypočítajte čísla vyjadrené v pozičnej sústave so základom 16 nasledujúcimi viacúrovňovými zápismi:14

7 11 5 7 0 13

12 0 10 1 15 14 9 2

Prepíšte vzorčeky z odseku Vzorček na čítanie mayských zápisov tak, aby vyjadrovali zápis čísel

Č4 Č3 Č3 Č2 Č2 Č2 Č1 Č1 Č1

v sústave so základom 16. Ako vytvoriť mayský zápis. Teraz – keď už vieme prečítať aj veľké čísla v mayskom zápise – skúsme riešiť opačnú úlohu: prepísať dané veľké číslo do viacúrovňového mayského zápisu.

Zapíšte mayským zápisom nasledujúce čísla: • 223, 410. Zistite, ako súvisia čísla v hornom a dolnom riadku mayského zápisu

s delením 20-timi. • 961, 7 066.

Ak vydelíme 961 číslom 20, dostaneme 961 : 20 = 48, zvyšok 1. Vysvetlite, ako súvisí • číslo 1 so spodným riadkom mayského zápisu, • číslo 48 so zvyšnými dvomi riadkami tohto zápisu. (Všimnite si, že vaša odpoveď súvisí s úvahou, ktorú sme použili ako inšpiráciu pre zavedenie trojúrovňového zápisu v prvej úlohe odseku Viacúrovňové zápisy.)

Skontrolujte tento postup hľadania mayského zápisu čísla 7 066: • 7 066 : 20 = 353, zvyšok 6, • 353 : 20 = 17, zvyšok 13. Preto mayský zápis má tvar

17 13 6

Skontrolujte postup hľadania mayského zápisu čísla 112 117: • 112 117 : 20 = 5 605, zvyšok 17, • 5 605 : 20 = 280, zvyšok 5, • 280 : 20 = 14, zvyšok 0 Mayský zápis má teda tvar

14

14 V nasledujúcej kapitole sa dohodneme, ako zapísať takéto viacúrovňové zápisy do riadku.

13

0 5 17

Sformulujte všeobecný návod na prepis čísla do mayskej číselnej sústavy. Potom tento návod upravte pre číselnú sústavu so základom 16. Zápis čísla v pozičnej sústave – interpretácia. Pre obrázkovú interpretáciu zápisu čísla v pozičnej číselnej sústave sme si vybrali sústavu so základom15 7. Zápis čísla v tejto sústave si môžeme predstaviť ako opakované balenie po 7 kusov: najmenšie balenie je balíček obsahujúci 7 bodiek, väčšie balenie obsahuje 7 menších balíčkov, 7 týchto väčších balení tvorí 1 ešte väčšie balenie, atď. Teda vždy 1 balenie obsahuje 7 predchádzajúcich menších balení. Ukážme to na príklade čísla 129:

• 129 bodiek predstavujúcich číslo 129 najprv zlúčime do skupín po 7 bodkách16,

dostaneme tak 18 balení po 7 a zvýšia nám 3 bodky,

• 18 malých balení po 7 bodkách, ktoré sme dostali, teraz budeme opäť zlučovať do

skupín po siedmich, dostaneme tak 2 väčšie balenia, v každom je 7 malých balení po 7 bodiek, zvýšili nám 4 malé balenia po 7 bodiek,

• z 2 balení po 7 × 7 bodiek, ktoré sme dostali, už nevieme vytvoriť žiadne väčšie balenie17, preto náš proces balenia zastavíme.

129 bodiek sme teda zoskupili nasledovne: 2 väčšie balenia po 7 × 7 bodiek, 4 malé balenia po 7 bodiek, 3 bodky. Viacúrovňový zápis čísla 129 v sedmičkovej sústave je preto

2 4

15 Hoci sústavu so základom 7 tu používame ako hypotetický príklad, je možné, že sa niekedy skutočne používala. Podľa Bélu Lukácsa (Maďarská akadémia vied) z lingvistickej analýzy uralských jazykov (ku ktorým patrí aj maďarčina) možno usudzovať, že pred asi 2500 rokmi predchodcovia dnešných Maďarov používali sedmičkovú sústavu. ( http://en.wikipedia.org/wiki/Septenary , http://www.rmki.kfki.hu/~lukacs/big7.htm , http://www.rmki.kfki.hu/~lukacs/lukacs.html ) 16 Čitateľ si iste uvedomil, že obrázky sú inšpirované lienkou sedembodkovou (Coccinella septempunctata). 17 teda balenie po 7 × 7 × 7 bodiek

2 balenia po

7 × 7 bodiek

4 balenia po 7 bodiek

3 bodky

14

3 Je zvykom písať tieto zápisy do riadku zľava doprava (od najvyššej po najnižšiu úroveň):

2437 , index 7 odlišuje zápis v sedmičkovej sústave od zápisov v desiatkovej sústave. Teda skutočnosť, že číslo 129 má v sedmičkovej sústave zápis 243, zapíšeme

129 = 2437 . Egyptská metóda násobenia a dvojková sústava. Jednou z metód, ktoré sa pri násobení používali v dávnej histórii, je postup, ktorý sa spomína už v Moskovskom a Rhindskom papyruse (obidva pochádzajú zo 17. st. pr. n. l.). Vysvetlíme ho na jednoduchom príklade súčinu 45×52: • (pozri tabuľku vľavo) Do prvého riadku napíšeme čísla 1 a 52, do druhého riadku ich

dvojnásobok, do tretieho dvojnásobok čísel z druhého riadku, atď. To robíme, až kým v stĺpci pod číslom 1 dostaneme číslo, ktoré je väčšie ako polovica18 zo 45.

• (pozri tabuľku v strede) Z úvah o číselných sústavách (špeciálne o dvojkovej sústave) vieme, že každé prirodzené číslo možno napísať ako súčet mocnín dvojky.19 V tomto prípade

45 = 1 + 4 + 8 + 32. Riadky, ktoré zodpovedajú jednotlivým sčítancom (teda číslam 1, 4, 8, 32), zvýrazníme.

• (pozri tabuľku vpravo) Sčítame vyznačené čísla v pravom stĺpci strednej tabuľky. Ich súčet – číslo 2 340 – je hľadaný súčin 45×52:

45×52 = 2 340.

1 52 1 52 52 2 104 2 104 4 208 4 208 208 8 416 8 416 416

16 832 16 832 32 1 664 32 1 664 1 664

2 340

Zapíšte číslo 53 v dvojkovej sústave a na základe toho ho vyjadrite ako súčet mocnín dvojky. Potom použite egyptskú metódu20 násobenia na výpočet súčinu 53×65.

Na výpočet toho istého súčinu použite roľnícku metódu násobenia z úlohy Roľnícka (tiež ruská alebo etiópska) metóda násobenia. Porovnajte zápisy obidvoch výpočtov, potom vysvetlite, ako tieto metódy súvisia. Starovekí Egypťania samozrejme neuvažovali o nejakej dvojkovej sústave. Z empirických skúseností vedeli, že každé prirodzené číslo možno písať ako súčet mocnín dvojky. Pri hľadaní jednotlivých sčítancov postupovali nasledovne: Z mocnín dvojky, ktoré sú od daného čísla menšie, vybrali najväčšiu. Tú od daného čísla odrátali. Potom ten istý postup uplatnili na získaný rozdiel. To robili tak dlho, kým rozdiel nebol 0. (http://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egyptian_multiplication ) Vysvetlite, ako tento postup súvisí s hľadaním zápisu čísla v dvojkovej sústave. 18 Teda v nasledujúcom riadku by pod číslom 1 bolo už číslo väčšie ako 45. 19 Starovekí Egypťania samozrejme neuvažovali o nejakej dvojkovej sústave. Na konci tejto úlohy uvidíme, ako hľadali zápis čísla v tvare súčtu mocnín dvojky. 20 V texte učebnice sme uviedli hieroglyfy, ktorými sa v starovekom Egypte zapisovali čísla. Ak chcete, skúste nejaký jednoduchší výpočet zapísovať tak, ako by to pravdepodobne urobil v pisár z dôb starovekého Egypta. (príklad hieroglyfického výpočtu je napr. na stránke http://faculty.ed.umuc.edu/~swalsh/Math%20Articles/EgyptMultiply.html )

15

článok ukazujúci, že Russian peasant multiplikation súvisí s násobením v dvojkovej sústave http://everything2.com/index.pl?node_id=1109010

16

Desatinné čísla Táto úloha nadväzuje na úlohy z odseku O koľko sa líši číslo a jeho zaokrúhlená hodnota? Zaokrúhliť sčítance alebo až súčet? Podrobnejšie porovnajme dva možné postupy zaokrúhľovania pri sčítaní dvoch kladných desatinných čísel (1. postup: najprv zaokrúhliť, potom sčítať, 2. postup: najprv sčítať, potom zaokrúhliť). Budeme si všímať zaokrúhľovanie na celé čísla a preskúmame tieto tri prípady: 1. obidve desatinné čísla majú na mieste desatín cifru menšiu ako 5 (teda pri zaokrúhlení

sa obidva zaokrúhlia nadol) 2. pri zaokrúhľovaní na celé čísla sa obidva sčítance zaokrúhlia nahor, 3. jeden sčítanec sa zaokrúhli nahor, druhý nadol.

Uveďte niekoľko príkladov pre každý z uvedených troch prípadov a porovnajte výsledok prvého a druhého postupu pre každý z vašich príkladov. Potom rozhodnite o správnosti nasledujúcich domnienok (hypotéz), ktoré na základe svojich výpočtov vyslovil Janko, a svoje rozhodnutia zdôvodnite:

V prvom prípade sa výsledok prvého a druhého postupu vždy líšia o 1. V druhom prípade sa výsledok prvého a druhého postupu buď nelíšia, alebo sa líšia o 1. V treťom prípade sa výsledok prvého a druhého postupu nelíšia.

Opravte tie Jankove tvrdenia, ktoré nie sú správne. Potom doplňte chýbajúcu časť vety, ktorá opisuje, kedy sa výsledok prvého a druhého postupu nebudú líšiť: Výsledok prvého a druhého postupu sú rovnaké len v týchto troch prípadoch: 1. jeden sčítanec sa zaokrúhľuje nahor, druhý nadol, 2. obidva sčítance sa zaokrúhľujú nadol, pričom súčet cifier na mieste desatín v prvom

a v druhom sčítanci je menší ako 5, 3. obidva sčítance sa zaokrúhľujú nahor, pričom ... (súčet cifier na mieste desatín v prvom a druhom sčítanci je väčší alebo rovný 15 )

Upravte predchádzajúce podmienky pre prípad zaokrúhľovania na tisíciny.

Ako vidíme, druhým postupom (najprv sčítať, potom zaokrúhliť) získame niekedy rovnako presný, niekedy presnejší výsledok ako prvým postupom (najprv zaokrúhliť, potom sčítať). Inými slovami, prvým postupom nemôžeme dostať presnejší výsledok ako druhým. Je teda jasné, ktorý postupm odporúčame čitateľovi používať. Okrem zaokrúhlenia existuje ešte zanedbanie (anglicky truncation), pri ktorom zanedbáme všetky nasledujúce cifry za danou cifrou. Napr. zanedbaním na 2 desatinné miesta vznikne z čísla 3,567 číslo 3,56, z čísla 12,872 číslo 12,87. Kedy zanedbaním a zaokrúhlením na 2 desatinné miesta dostaneme rovnaký výsledok ? Porovnajte presnosť výsledkov, ktoré dostaneme zaokrúhlením a zanedbaním na 2 desatinné miesta. Táto úloha nadväzuje na úlohu Vodné a stočné z odseku Desatinné čísla. V nasledujúcej tabuľke je uvedená spotreba vody pri niektorých činnostiach:

sprchovanie 30 – 50 litrov kúpanie vo vani 80 – 120 litrov splachovanie 10 – 12 litrov umývanie riadu 20 – 40 litrov pranie 50 – 120 litrov umývanie auta 90 – 100 litrov polievanie 1 m2 záhrady 17 – 20 litrov

17

Na základe údajov z úlohy Vodné a stočné vypočítajte, koľko zaplatíme za spotrebu vody pri jednotlivých činnostiach uvedených v tabuľke. Táto úloha nadväzuje na úlohu Kalendár a prestupné roky. Planeta Merkúr sa otočí okolo vlastnej osi za 58,6 pozemského dňa. Koľko je to dní, hodín a minút ?

18

Úlohy nadväzaujú na úlohu Veľkosť topánok.. Meriame chodidlo. Navrhnite, ako by ste zmerali dĺžku svojho chodidla (tj. vzdialenosť od päty po koniec najdlhšieho prsta21).

Často sa odporúča tento postup: Sadnite si a položte nohu na hárok papiera, ktorý je väčší ako vaše chodidlo. Ceruzkou nakreslite na papier čo najpresnejší obrys vášho chodidla. Dbajte, aby ceruzka bola stále kolmá na papier a pri kreslení sa stále dotýkala nohy. Na nakreslenom obryse zmerajte vzdialenosť dvoch najvzdialenejších bodov (t.j. vzdialenosť od päty po koniec najdlhšieho prsta). Od takto získaného čísla odčítajte 5 mm. Zmerajte tak veľkosť obidvoch vašich chodidiel a zo získaných čísel zvoľte väčšie.22

Vysvetlite, prečo sa v uvedenom postupe odporúča na záver odčítať 5 mm.

(Meranie chodidla odporúčam ako domácu aktivitu, ktorú učiteľ zadá na predchádzajúcej hodine. Žiaci by mali do školy priniesť vystrihnuté obrysy, aby merania na nich urobili

v škole).

Zmerajte podľa uvedeného návodu dĺžku svojho chodidla. Potom vypočítajte, aké číslo topánok v stehoch k tejto dĺžke prislúcha. Veľkosť obuvi vo Veľkej Británii. Vo Veľkej Británii sa rozlišuje veľkosť obuvi pre deti a dospelých23. Používanou jednotkou dĺžky je 1 palec = 2,54 cm. V jednom z viacerých používaných systémov24 detské veľkosti siahajú od 0 po 13. Veľkosti 0 zodpovedá dĺžka kopyta 4 palce, nasledujúca celá veľkosť je väčšia vždy o ⅓ palca. Po detskej veľkosti 13 nasledujú veľkosti 1 až 12 pre dospelých. Veľkosť 1 zodpovedá dĺžke kopyta 8 ⅔ palca, nasledujúca celá veľkosť je väčšia vždy o ⅓ palca. V tomto systéme sa používajú aj polčíselné veľkosti (napr. 3½).

Vypočítajte, akej dĺžke obuvníckeho kopyta zodpovedá detská topánka veľkosti 10½.

Aké číslo topánok by ste si asi v uvedenom systéme číslovania kupovali vo Veľkej Británii?

Navrhnite pomôcku, ktorá by umožňovala • podľa dĺžky chodidla zistiť odporúčanú veľkosť topánky v stehoch • podľa dĺžky chodidla zistiť odporúčanú veľkosť topánky v britskom systéme číslovania • prevod medzi veľkosťami v stehoch a britským systémom.

Táto pomôcka by mala umožniť odpoveď na otázky typu „Ak nosím topánky 41, akú veľkosť topánok si mám kupovať v Británii?“, „Ak som si v Británii kupovala topánky dospelej veľkosti 3½, aké číslo v stehoch asi budem potrebovať?“

Rozhodnite, či vami navrhnutý prevod bude jednoznačný (teda či bude každej veľkosti v stehoch zodpovedať jediná veľkosť v britskom systéme, a naopak, každej veľkosti v britskom systéme jediná veľkosť v stehoch), svoju odpoveď zdôvodnite. Tieto úlohy nadväzaujú na úlohu Juliánsky kalendár. Vypočítajte, za ako dlhú dobu sa juliánsky kalendár odchýli od slnečného roka o 1 deň.

21 (http://en.wikipedia.org/wiki/EN_13402) Formálnu definíciu dĺžky chodidla nájdete napr. v európskom štandarde EN 13402. 22 http://www.i18nguy.com/l10n/shoes.html#notes Spravidla vraj praváci majú väčšiu ľavú nohu a naopak. 23 Niektoré systémy číslovania rozlišujú navyše pánske a dámske veľkosti. 24 Pozor, na internete nájdete veľké množstvo prevodov medzi európskych, anglickým (UK) a americkým (US) systémom číslovania, ktoré sa navzájom dosť podstatne odlišujú. Naše údaje sme čerpali zo stránky http://www.bata.com/tips/shoe_size_chart.php. Ovšem aj na nej je rozdiel medzi pánskymi a dámskymi veľkosťami – pánskemu číslu zodpovedá vždy o ½ čísla menšie dámske.

19

Bude juliánsky kalendár voči slnečnému roku popredu alebo pozadu ? Pravidlo určujúce, že prestupný v juliánskom kalendári bude každý 4. rok, sa spočiatku nedodržiavalo, namiesto toho v prvých rokoch existencie juliánskeho kalendára bol prestupný každý 3. rok. Prestupné roky boli 4525, 42, 39, 36, 33, 30, 27, 24, 21, 18, 15, 12, 9 pr. Kr. Aby napravil túto chybu, nariadil cisár Augustus, aby po roku 9 pr. Kr. nasledovalo obdobie, v ktorom nebudú žiadne prestupné roky. Ako ocenenie tohto kroku bol ôsmy mesiac v kalendári pomenovaný po ňom august. Skúste vypočítať, koľko rokov trvalo toto obdobie bez prestupných rokov. Do roku 8 po Kr., tento rok už bol opäť prestupný26 (niektorí autori tvrdia, že obdobie bez prestupných rokov bolo medzi 12 pr. Kr. po 4 po Kr., pričom rok 4 po Kr. bol už prestupný). Tieto úlohy nadväzaujú na úlohu Gregoriánsky kalendár. Európske krajiny neprešli – napriek ustanoveniam pápežskej buly Inter Gravissimas – na nový kalendár naraz. Napr. v Čechách a na Morave sa zmena uskutočnila v roku 1584 (po 6.1. nasledoval hneď 17.1.), v Uhorsku v r. 1587 (po 21.10. nasledoval 1.11.). Vypočítajte, koľko dní museli z kalendára vynechať krajiny, ktoré na gregoriánsky kalendár prešli v 18., resp. v 19. storočí.27 Ortodoxná cirkev v Grécku sa gregoriánsky kalendár rozhodla prijať až v 20. rokoch 20. storočia. Snažila sa pritom zlepšiť pravidlo na určovanie prestupných rokov, a to tak, že podmienku „násobok 400“ nahradila podmienkou „každý rok, ktorý po delení 900 dáva zvyšok 200 alebo 600, je prestupný rok“. Overte, že podľa tohto pravidla na každých 900 rokov pripadá 218 prestupných rokov. Akú aproximáciu dĺžky slnečného roka zavádza toto pravidlo? Je to v porovnaní s gregoriánskym kalendárom lepšia alebo horšia aproximácia? Prečítajte si nasledujúci článok. Potom skúste navrhnúť pravidlo pre zaraďovanie „prestupného týždňa“, o ktorom sa hovorí v článku. http://www.obroda.sk/clanok/25837/Vecny-kalendar-ma--prestupny-tyzden/ Kalendár, ktorý by sme mohli používať po celé roky, vytvoril americký fyzik Dick Henry. Podobné pokusy už boli, no nikdy sa neujali. V súčasnosti platí kalendár z roku 1582. Pápež Gregor vtedy zaviedol rok s 365 dňami a každé štyri roky nechal zaradiť prestupný rok, ktorý

25 O tom, či rok 45 pr. Kr. bol prestupný, sa vedú spory. 26 Pripomeňme, že po roku 1 pr. Kr. nasleduje rok 1 po Kr. (rok 0 neexistuje). 27 Špeciálny bol prípad Švédska. To sa rozhodlo urobiť prechod od juliánskeho ku gregoriánskemu kalendáru postupne. Vynechaním prestupných rokov počínajúc rokom 1700 a končiac rokom 1740 by sa odstránilo 11 prebytočných dní a od 1. marca 1740 by kalendár prešiel na gregoriánsky. Rok 1700 teda neurobili prestupným, nedopatrením ale roky 1704 a 1708 ponechali prestupné. Tým prestali byť v súlade aj s juliánskym aj s gregoriánskym kalendárom, preto sa rozhodli vrátiť sa k juliánskemu kalendáru. To dosiahli tak, že v prestupnom roku 1712 pridali ešte ďalší deň, takže február 1712 mal v Švédsku 30 dní. Prechod ku gregoriánskemu kalendáru potom uskutočnili tak, že po 17.2.1753 nasledoval 1. marec 1753. (www.tondering.dk/claus/calendar.html )

obrázok Gragora XIII. je z http://www.laurentianum.de/lfastr04.

htm

20

mal 366 dní. Problémom tohto kalendára je, že ani jedno z týchto čísel nie je deliteľné siedmimi, a preto daný dátum pripadá v inom roku na iný deň v týždni. Tento fakt iste poteší výrobcov kalendárov, ale s nimi Dick Henry, zdá sa, žiadne zľutovanie nemá. Jeho rok má 364 dní – teda rovných 52 sedemdňových týždňov. Mesiace v ňom majú 30 alebo 31 dní a ich dĺžka je volená tak, aby sa nový kalendár so starým gregoriánskym nerozchádzal o viac než päť dní. Po 31 dňoch by mal mať marec, máj, august, október a december, na ostatné mesiace ostáva po 30 dní. Aby nedochádzalo k nesúladu kalendára s ročnými obdobiami, ako pri ešte staršom juliánskom kalendáre, raz za päť alebo za šesť rokov by prišiel na rad jeden „prestupný týždeň“, ktorý by nebol súčasťou žiadneho mesiaca. Otázkou však zostáva, či sa tento nápad tentoraz ujme, alebo nie. (Národná obroda, 16. marca 2005) Histórii bicykla je venovaný súbor úloh História bicykla – draisina až História bicykla – prvé prevody a zrod moderného bicykla.

História bicykla – draisina. Bicykel je prvý mechanický masový dopravný prostriedok a po šijacom stroji druhý technický masový spotrebný tovar.

Za jedného z najstarších predchodcov28 dnešného bicykla sa považuje dvojkolka Karla Friedricha Draisa von Sauerbronn (1785 – 1851) z r. 1817. Pohyb sa dosiahol odrážaním nôh od zeme. Jedným z podnetov k vynálezu bolo údajne veľké vymieranie koní na prelome rokov 1816/1817 zapríčinené hladomorom29. (http://www4.karlsruhe.de/kultur/stadtgeschichte/biographien/drais/ )

( obrázok je z http://www.potku.fi/keposti/keposti112000/keposti112000_eng.htm )

Z obrázku skúske odhadnúť priemer kolesa draisíny 30 (tak sa nový vynález menoval).

28 Niektoré zmienky o predchodcoch bicykla dnes prinajmenšom časť historikov považuje za mystifikácie (napr. nákres pripomínajúci bicykel v Codex Atlanticus pripisovaný niektorému zo žiakov Leonarda da Vinciho, je údajne podvod zo 70. rokov tohto storočia, podobne dvojkolku francúzskeho grófa Mede de Sivrac z r. 1790 si vraj o storočie neskôr vymyslel francúzsky novinár Louis Baudry). http://de.wikipedia.org/wiki/Fahrrad, http://en.wikipedia.org/wiki/Bicycle 29 Veľmi chladný rok 1816 sa niekedy nazýva rok bez leta. V auguste v Európe nastúpili mrazy, dôsledkom ktorých bola neúroda. Za príčinu roku bez leta sa považuje výbuch sopky Tambora v Indonézii v apríli 1815. Tento výbuch bol jedným z 5 najväčších za posledných 10 000 rokov. (http://de.wikipedia.org/wiki/Jahr_ohne_Sommer, http://de.wikipedia.org/wiki/Tambora) 30 Odtiaľ pochádza dodnes používané slovo drezína.

21

obrázok je z http://cgi.ebay.ie/OLD-REPRODUCTION-DRAISIENNE-HOBBY-HORSE-BICYCLE-BIKE_W0QQitemZ6600348753QQcategoryZ22608QQcmdZViewItem#ebayphotohosting

Na internete sme našli tieto informácie o rýchlosti draisín: • „Dobový leták uvádza, že na dobrých cestách dosahuje draisina rýchlosť 8 – 9 míľ za

hodinu, teda toľko čo klusajúci kôň.“ • „12.6.1817 prešiel Drais na svojej dvojkolke trať 13 km (8 míľ) za menej ako hodinu.“ • „Prvý závod draisín sa uskutočnil už v r. 1819. Víťaz prešiel trať dlhú 10 km za 31 a pol

minúty.“ • „Na pretekoch draisín v Mníchove v roku 1829 sa zúčastnilo 26 pretekárov. 4,5 km dlhú

trať prešiel víťaz za 31 a pol minúty.“ • „Drais dosahoval rýchlosť 10 míľ za hodinu, víťaz mníchovských pretekov draisín

z roku 1829 rýchlosť 14 míľ za hodinu.“ • Víťaz spomienkových pretekov draisín, ktoré sa konali 24. apríla 2004 sa vo Florencii,

dosiahol priemernú rýchlosť 13,7 km/h. Komentár k tomuto podujatiu uvádza, že je to menej ako jeho predchodcovia z 19. storočia, ktorí dosahovali v priemere až 22 km/h.

( http://www.history-magazine.com/bicycles.html , http://www.cycledisciple.com/Asks/askWhyBikeinvented.htm , http://www.imss.fi.it/news/draisine/photos.html , http://www.t-mobile-team.com/cms/tmoteam/en/archive/news/templateId=renderInternalPage/yearID=2004/monthID=4/itemID=19986/id=13740.html )

Diskutujte o tom, ktorý z týchto údajov možno považovať za správny a ktoré sú asi chybné. Pri uvažovaní vám môžu pomôcť tieto informácie: • Internetová encyklopédia Wikipedia uvádza: „Pre bicykel sú typické rýchlosti 10 – 20

míľ za hodinu, t.j. 16 – 32 km/h. Na rýchlom pretekárskom bicykli primerane zdatný jazdec dosiahne 30 míľ, t.j. 50 km za hodinu na rovine na krátku dobu.“

• Za typickú rýchlosť bicyklovania viacero zdrojov pokladá rýchlosť asi 20 km/h. • http://www.sjf.sk/docs/2005/SZVJ.pdf Na stránkach Slovenskej jazdeckej federácie je

uvedené: Klus je dvojtaktný, diagonálny pohyb, dĺžka klusového kroku 1,50 – 2,20 m, rýchlosť 210 – 240 m/min.

• Svetový rekord v cezpoľnom behu mužov na 5 km z 31.5.2004 je 12:37.35, na 10 km z 26.8.2005 je 26:17:53 (obidva vytvoril Etiópčan Kenenisa Bekele).

K tejto úlohe sa môžete ešte vrátiť, aby ste uvedené rýchlosti porovnali s rýchlosťami ďalších predchodcov bicykla, o ktorých sa zmienime neskôr.

Pomerne častou príčinou chýb pri udávaní rýchlosti v anglicky písaných textoch je zámena rýchlosti v míľach za hodinu za rýchlosť v kilometroch za hodinu alebo naopak. Na základe výpočtov diskutujte o tom, či niektoré z chybných údajov o rýchlosti draisín mohli vzniknúť týmto spôsobom.

22

História bicykla – Macmillanova dvojkolka. Ďalším v rade predchodcov je pedálmi poháňaná dvojkolka31 škótskeho kováča Kirkpatricka Macmillana z r. 183932. Drevené kolesá boli pobité železom, riaditeľné predné koleso malo priemer 30 palcov (1 palec = 2,54 cm), zadné koleso s priemerom 40 palcov bolo poháňané šliapacími ojnicami (pákami) . (http://en.wikipedia.org/wiki/Kirkpatrick_MacMillan )

obrázok je z http://www.hnankman.nl/Hobbies/OldtimerBikes/macmillan1839.htm

Vypočítajte vzdialenosť, ktorú prešla Macmillanova dvojkolka pri jednej otáčke zadného kolesa.

Podľa niektorých zdrojov dosahoval Macmillan na svojej dvojkolke rýchlosť až 23 km/h (14 míľ za hodinu). (http://encarta.msn.com/encyclopedia_761559977_6/Bicycle.html) obrázok je z http://www.cycle-info.bpaj.or.jp/english/learn/bcc02.html

Vypočítajte dráhu, ktorú by pri tejto rýchlosti prešla dvojkolka za 1 minútu.

Koľko otáčok zadného kolesa (teda akú frekvenciu šliapania do pedálov) za minútu by musel Macmillan pri rýchlosti 23 km/h dosiahnuť ?

Vypočítanú frekvenciu nastavte na metronóme. Začínajúcim šprintérom sa odporúča, aby sa snažili aspoň minútu udržať frekvenciu 120 ot/min, špičkoví šprintéri súčasnosti dosahujú aj vyše 150 ot/min. Diskutujte na základe tejto informácie o tom, či je uvedený Macmillanov výkon pravdepodobný. ( http://ivelo.cz/cislo/2000-11/ukazka1 )

Zachoval sa údaj o „zúrivej“ rýchlosti 8 míľ za hodinu, v ktorej v júni 1842 Macmillan zrazil dievča, ktoré s davom zvedavcov očakávalo príjazd tohto „diabla na kolesách“. Dostal za to pokutu 5 šilingov. ( http://www.webscot.co.uk/greatscots/kirkpatrickmacmillan.htm http://patentpending.blogs.com/patent_pending_blog/2005/05/macmillans_bicy.html )

História bicykla – velocipéd . Ďalším krokom na ceste k dnešnému bicyklu bol velocipéd, poháňaný pedálmi upevnenými na prednom kolese. Vynález pohonu pedálmi sa pripisuje francúzskemu výrobcovi kočiarov Pierrovi Michauxovi a objav sa kladie do roku 1861. Michaux dva svoje velocipédy predviedol na svetovej výstave v Paríži v roku 1867 a od roku 1869 začal s ich továrenskou výrobou. Vyslúžili si prezývku Boneshaker, teda natriasač kostí. ( http://bclub.windsurfer.sk/index1.php?action=bikehistory ) obrázok je z http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Velociped.jpeg Prvé preteky velocipédov sa konali 31.5.1868 v parížskom Parc de Saint Cloud. Dráhu 1 200 m prešiel víťaz za 3‘50‘‘.

(http://www.amazon.com/gp/product/customer-reviews/0300104189/002-8639393-7236829 , http://www.perumountainbike.com/historia-i.htm ,

31 Niektoré správy vraj hovoria o štvorkolke. 32 Niektoré zdroje uvádzajú rok 1840.

23

http://www.brainyhistory.com/events/1868/may_31_1868_57082.html , http://brunelleschi.imss.fi.it/biciclette/eladraisina.html )

Vypočítajte priemernú rýchlosť víťaza. História bicykla – vysoký bicykel. Pri jednom otočení prešiel velocipéd dĺžku rovnú obvodu kolesa, čo – pri malom priemere kolesa – bolo pomerne málo. Preto sa postupne začali zväčšovať predné kolesá, ich priemer sa pritom musel prispôsobiť dĺžke nohy jazdca.33 ( http://encarta.msn.com/encyclopedia_761559977_6/Bicycle.html, http://canberrabicyclemuseum.com.au/articles.htm#Cycle Development )

Maximálny prakticky použiteľný priemer predného kolesa dosiahol 60 palcov (asi 1,5 m). Aby zväčšovanie priemeru predného kolesa nezvyšovalo hmotnosť bicykla, mali zadné kolesá priemer len 40 – 46 cm. Vysoký bicykel mohol dosiahnuť rýchlosť až 20 míľ za hodinu (pretekárske modely, ktoré vážili menej ako polovicu, až 25 míľ za hodinu), za zvyčajnú cestovnú rýchlosť sa pokladalo 10 – 12 míľ za hodinu. ( http://www.gocollect.com/news/news_story.asp?id=700 http://telematics.ex.ac.uk/virvic/themes/transport/pennyfobj.htm http://hrsbstaff.ednet.ns.ca/starr/Andrea/History%20of%20the%20bicycle/high_wheeler_or_penny_farthing.htm )

obrázok nastupovania na vysoký bicykel je z http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Hochrad1.jpeg

Vypočítajte frekvenciu šliapania do pedálov, ktorá zodpovedá rýchlosti 12 míľ za hodinu pri priemere predného kolesa 1,5 m.

Čo sa týka výkonov na dlhé trate, v 80. rokoch 19. storočia vysoký bicykel (ako sa tento predchodca dnešných bicyklov nazýval) dokázal prejsť vzdialenosť 100 km za 4 hodiny a 23 minút. (http://www.bross.de/hist.html )

Vypočítajte priemernú rýchlosť, ktorá zodpovedá uvedenému výkonu.

Vysoký bicykel s pravdepodobne najväčším predným kolesom postavil v r. 1877 parížsky mechanik Victor Renard. Koleso malo priemer 3 m. (http://brunelleschi.imss.fi.it/biciclette/eladraisina.html)

Vypočítajte vzdialenosť, ktorú prešiel tento bicykel za jednu celé otočenie pedálov. Za prvého neoficiálneho svetového šampióna v hodinovke (teda dráhe, ktorú bicykel prejde za 1 hodinu)34 sa považuje Brit James Moore. Jeho rekord z roku 1873 má hodnotu 23 331 m a dosiahol ho na bicykli Ariel s priemerom predného kolesa 49’’. ( http://www.bikecult.com/bikecultbook/sports_recordsHour.html )

obrázok je z http://www.hnankman.nl/Hobbies/OldtimerBikes/ariel1871.htm

Vypočítajte priemernú frekvenciu pedálovania, ktorá

33 „Muž vysoký 5' 10" by mal mať predné koleso vysoké 54". Vysokí štíhli muži používali najväčšie kolesá.“ uvádza sa v jednom článku o vysokých bicykloch. ( http://www.virtual-knutsford.co.uk/frameset.php?main=/tourism/great_race.htm ) 34 Podrobnejšie o hodinovke pozri v 2. časti

24

zodpovedá tomuto výkonu. História bicykla – prvé prevody a zrod moderného bicykla. Vysoký bicykel nemožno v žiadnom prípade pokladať za bezpečný dopravný prostriedok. Stačil malý kamienok, aby jazda skončila pádom cez predné koleso na hlavu. Tí, ktorí neobľubovali nebezpečenstvo, museli počkať na bezpečnejšiu podobu bicyklovania. Tá prišla zakrátko. Predné koleso sa zmenšilo, toto zmenšenie bolo kompenzované reťazovým prevodom, aby sa zväčšila vzdialenosť, ktorú bicykel prejde za jedno otočenie pedálov. Stred pedálov bol pod osou predného kolesa, jazdec mohol sedieť nižšie a bicykel sa tak stal bezpečnejším. obrázok je z http://www.oldspokeshome.com/museum.php

Bicykel Kangaroo (teda Klokan) na obrázku mal predné koleso vysoké 38 – 40 palcov. Porovnajme ho s vysokým bicyklom, ktorého predné koleso má 60 palcov. Aký prevod musíme zvoliť, aby Kangoroo na jedno otočenie pedálov prešiel rovnakú vzdialenosť ako vysoký bicykel? Podstatným krokom na ceste k dnešnému bicyklu bolo umiestnenie pedálov do stredu rámu medzi dve kolesá a prenos sily pomocou reťaze na zadné koleso, ktoré uskutočnil v r. 1873 H. J. Lawson. Jeho bicykel mal rovnako veľké predné a zadné koleso s priemerom 23 palcov. ( http://bclub.windsurfer.sk/index1.php?action=bikehistory http://www.ingenious.org.uk/See/Transport/Roadtransport/?target=SeeMedium&ObjectID={C0B1C3F9-F45C-A7C6-FFCC-335B37EF8233}&viewby=images ) Na základe výpočtu porovnajte veľkosť kolesa Lawsonovho bicyklu so zadným kolesom veľkého bicykla. Za prvý bicykel moderného typu sa považuje Rover (pozri obrázok) z r. 1885, ktorý skonštruoval John Kemp Starley.

obrázok je z http://www.makingthemodernworld.org.uk/icons_of_invention/img/IM.1130_el.jpg

Na konci 19. storočia bolo technické usporiadanie bicykla už približne rovnaké ako dnes. ( http://www.sheldonbrown.com/gloss_ha-i.html )

25

Úlohy Prevody až Hodinovka – Ondřej Sosenka nadväzujú na úlohu Prevody na bicykli z kapitoly Počítame so zlomkami. Prevody. Z novinového článku: „Pri kupovaní bicykla sa rozhodujte podľa toho, či na ňom chcete dosahovať maximálne rýchlosti alebo či je pre vás dôležitejšia „pohodová“ jazda do kopca. Ak chcete jazdiť rýchlo, zvoľte na prednom prevodníku rozsah 28–38–48 zubov. To ale tiež predpokladá, že máte silné nohy – inak sa s takým prevodom budete zbytočne drieť a nadmerne zaťažovať chrbát. Ak používate bicykel len občas a nie ste príliš „našportovaní“, výhodnejší je prevodník 22–32–42 (alebo 44) zubov, ktorý vám umožní ľahšiu jazdu do kopca. Na rovinke síce nevyviniete takú rýchlosť, ale zato nemusíte do pedálov šliapať s takou silou. Počet zubov a ich rozsah na zadnom prevodníku sa v minulosti dosť menil. Dnes je zvyčajný rozsah 34 (alebo 32) – 11 zubov. Základné pravidlo znie: Ak máte prevody, tak ich používajte! Zdá sa vám to smiešne? Len keby sme tak často nevideli borcov, ktorí sa so zaťatými zubami snažia vyjsť strmé stúpanie s najťažším prevodom. Pokiaľ sa budete správať ako oni, riskujete opotrebovanie nilene svojej reťaze, ale predovšetkým chrbta.“ ( http://www.rodina.cz/clanek4181.htm )

Prvým krokom k moderným meničom prevodov boli dvojité pastorky zadného kolesa. Prehadzovalo sa tak, že jazdec zosadol, uvolnil krídlové matice zadného kolesa a obrátil celé koleso tak, aby sa požadované väčšie alebo menšie ozubené koliesko dostalo na stranu reťaze. V novembri 1927 prehral Tullio Campagnolo závody Gran Premio della Vittoria len preto, že nedokázal pri prechode cez horský priesmyk Croce D’Aune v snehu a daždi skrehnutými prstami uvoľniť matice zadného kolesa. (http://stoplusjedna.newtonit.cz/stare/200320/so20a00e.asp http://www.campyonly.com/history.html ) Ivan má na svojom bicykli 3-prevodník s počtom zubov 48–38–28 a na zadnom kolese kazetu s 10 pastorkami s počtom zubov 11–12–13–14–15–16–17–18–19–21. Koľko rôznych prevodov možno na tomto bicykli nastaviť ? Ktorý je z nich najťažší a ktorý najľahší ?

http://www.answers.com/topic/penny-farthing V anglicky hovoriacich krajinách sa spomienka na vysoký bicykel (pozri úlohu História bicykla – vysoký bicykel) uchovala pri udávaní prevodu v palcoch. Veľkosť prevodu v palcoch je priemer kolesa vysokého bicykla (teda bicykla s prevodom 1 : 1), ktorý pri jednej otáčke pedálov prejde rovnakú vzdialenosť ako bicykel pri danom prevode. Výsledok sa spravidla udáva v celých palcoch.

Vypočítajte pre bicykel s priemerom kolesa 26’’ veľkosť prevodu 46 na 16 v palcoch.

Najväčší používaný priemer kolesa veľkého bicykla bol 60 palcov. Vypočítajte, ktorému prevodu so 46 zubmi na tanieri prevodníka a priemerom kolesa 26 palcov táto veľkosť zodpovedá. Chudnutie na bicykli. Pani Anna na internete našla tieto rady: • „Aby ste sa vyhli naberaniu svalovej hmoty na zadku a stehnách, používajte ľahké

prevody aj pri jazde po rovine. Snažte sa bicyklovať tak, aby sa vaše nohy otočili okolo osi šliapania aspoň 80-krát za minútu. Ovšem pokiaľ chcete po rovinke ubiehať na najľahší prevod, tak radšej nechajte bicykel bicyklom a máčajte si nohy v lavóri s teplou vodou. Konečný efekt bude úplne rovnaký.“

• „Pre zoštíhlenie je vhodné bicyklovať rýchlo na ľahký prevod (po rovine) aspoň 40 minút.“

( http://www.zhubnu.cz/zhubnu/index.php?user_id=&uid=empty&pol=15&pod=clanek&id=51 http://www.cviceni.org/modules.php?name=phorum&id=120&view=0 )

26

Pani Anna použila prevod 38 na 16, jej bicykel mal kolesá s priemerom 27 palcov. Vypočítajte • vzdialenosť, ktorú prešla za 40 minút, ak po celú dobu šliapala frekvenciou 80 otáčok

pedálov za minútu, • jej rýchlosť. Šprint na bicykli vyžaduje vysokú kadenciu (teda počet otáčiek pedálov) a ťažké prevody.35 Na začiatok je dobré skúsiť čo len na minútu udržať kadenciu nad 100 otáčiek za minútu, napr. 120 (špičkoví šprintéri na bicykli dokážu aj vyše 150) a začať s veľmi ľahkým prevodom. Na zvýšení kadencie odborníci odporúčajú zapracovať pri jazde z mierneho kopca, pričom treba zaradiť o niečo ľahší prevod ako zvyčajne. Kto normálne v takom úseku používa prevod 53 na 15, mal by skúsiť napr. 53 na 19. ( http://ivelo.cz/cislo/2000-11/ukazka1 )

Vypočítajte dobu, za ktorú prejde cyklista na bicykli s 27-palcovými kolesami pri kadencii 120 ot/min a prevode 53 na 19 úsek dĺžky 100 m. Dráhové cyklistické disciplíny – hodinovka. Dráhové bicykle sa odlišujú napríklad od cestných absenciou bŕzd a pevným prevodom. Práve prevod je jedným z najdôležitejších parametrov; s akým pretekár odštartuje, s takým musí pretekať. Na dráhe sa preteká vo viacerých disciplínach. Jednou z nich je hodinovka, tu pretekár presne hodinu krúži po dráhe s cieľom prejsť čo najväčšiu vzdialenosť. ( http://www.praha-cyklistika.cz/cyklistika-disciplina-2-4.htm http://www.bikezone.cz/view.php?cisloclanku=2005031201 )

V článku o svetových rekordoch v hodinovke našiel Paľo aj tento text:

obrázok je z http://www.wolfgang-menn.de/hourrec.htm , resp. http://www.nando.net/newsroom/ap/oth/1995/oth/mor/arts/090696/4226mor.jpeg „V 80. rokoch sa začalo experimentovať s diskovými kolesami (tie sú výrazne aerodynamickejšie) a hodnota rekordu začala strmo stúpať. V roku 1996 doslova šokoval celý cyklistický svet Brit Boardman, ktorý na dráhe v Manchestri dokázal za hodinu prejsť nadľudských 56,375 km. Tu už končia všetky žarty, priemerná stíhačka v tomto pekelnom tempe vychádza na 4:16.“

Paľo neporozumel poslednej vete, preto si vyhľadal, čo znamená v cyklistike stíhačka: „Stíhačka jednotlivcov Dvaja závodníci stoja na rovinkách proti sebe a po štartovacom výstrele sa snaží jeden druhého na štvorkilometrovej trati dostihnúť. Začína sa kvalifikáciou, v ktorej proti sebe stoja pretekári približne rovnakej výkonnosti a meria sa čas, ktorý rozhodne o určení finálovej osmičky.“ ( http://www.ibike.cz/strucny-prehled-drahovych-disciplin-17.html )

Vypočítajte a vysvetlite, ako autor článku prišiel k hodnote 4:16 ?

Text pokračuje: „Po Boardmanovom pokuse zasiahla medzinárodná cyklistická únia UCI a rozhodla: Všetci pretekári musia mať rovnaké podmienky, aby výkony nerástli len zásluhou technického pokroku. Preto sa aktuálny svetový rekord zmenil na najlepší svetový výkon a

35 O ťažkých a ľahkých prevodoch sme hovorili v úlohe Prevody na bicykli v závere kapitoly Počítame so zlomkami.

27

za svetový rekord bol označený pokus Eddyho Merckxa, pretože on posledný mal pri rekorde bicykel klasickej konštrukcie. To nedalo spať opäť Boardmanovi a v roku 2000 sa pokúsil o prekonanie Merckxovho rekordu na velodrome v Bordeaux. Pokus bol úspešný, Chris rekord pokoril o 10 m výkonom 49 441 m.“

Vypočítajte, aká hodnota stíhačky by zodpovedala tomuto rekordu.

Hodinovka – Graeme Obree. Zatiaľ najťažší zaznamenaný prevod použil pri svojom rekorde Graeme Obree: 17.7.1993 prešiel s prevodom 52 na 12 za 1 hodinu vzdialenosť 51 596 m.

Ak predpokladáme, že priemer kolies jeho bicykla bol 67 cm, aká bola Obreeho priemerná frekvencia (t.j. počet otáčok pedálov za minútu) pri tomto pokuse?

Obreeho frekvencia sa vymyká ostatným pokusom z posledných desaťročí, u ktorých je toto číslo vždy väčšie než 100.

Vypočítajte, o koľko metrov by sa zväčšila prejdená dráha, keby sa Obreemu podarilo dosiahnuť o 1 otáčku za minútu viacej ?

Hodinovka – Ondřej Sosenka. Súčasným držiteľom svetového rekordu mužov v hodinovke je český cyklista Ondřej Sosenka, ktorý 19.7.2005 na moskovskej dráhe Krylatskoje dosiahol výkon 49,700 km.

V novinovej správe sa hovorí: „Česká cyklistika má světového rekordmana! Jezdec stáje Aqua e Sapone - Adria Mobil Ondřej Sosenka zlepšil na moskevské dráze v Krylatském světový rekord v hodinovce: výkonem 49,700 km. O 259 m zlepšil dosavadní nejlepší výsledek Brita Chrise Boardmana, který ujel před pěti lety v Manchesteru 49,441 km. Český závodník předvedl v Krylatském mimořádný výkon - od začátku závodu překonával vlastní rozpis mezičasů, které mu měly přinést výsledek 49,666 km. Sosenka začal pokus hodně rychle. Oproti vlastnímu rozpisu měl po kilometru k dobru přes dvě a půl sekundy, oproti času Boardmana skoro tři. Prvních deset kilometrů zajel Sosenka za 12 minut a třísekundový náskok držel oproti času britského jezdce v následující desítce. Podstatné zrychlení v dalších deseti kilometrech znamenalo zvýšení náskoku až na dvanáct sekund. Po čtyřiceti kilometrech už jich měl k dobru osmnáct a účastníci pokusu na moskevské dráze začínali tušit, že vidí rekordní jízdu. Nasazené tempo dokázal Sosenka udržet až do výstřelu rozhodčích po šedesáti minutách, na metě dosavadního rekordu se ocitl zhruba 19 sekund před vypršením limitu. Přibližně stejně tolik by pak ještě potřeboval, aby dosáhl padesátikilometrové hranice. Rekordní jízdu absolvoval na italském kole od výrobce Franceska Mosera, jednoho z předchozích rekordmanů. Měl na něm převod 54x13, což znamená, že na jedno otočení pedály o 360 stupňů ujel rovných devět metrů. Boardman jel v Manchesteru převod 54x14 (8,2 m).“ ( http://www.sport.cz/06/10/59.html , http://sport.idnes.cz obrázok je z http://www.emol.com/fotos/1907_sosenka.jpg ) Vypočítajte priemer kolesa Sosenkovho bicykla. Akú priemernú frekvenciu dosiahol Sosenka pri svojom výkone? Vypočítajte jeho priemernú rýchlosť v posledných 19 sekundách. Keby Sosenka touto priemernou rýchlosťou pokračoval v jazde, koľko sekúnd by potreboval na dosiahnutie hranice 50 km, o ktorej sa hovorí v texte článku? O koľko by musel Sosenka zvýšiť svoju priemernú frekvenciu, aby sa mu podarilo za hodinu prejsť 50 km?

28

Úlohy Karáty a mincová miera až Lóty a kventlíky nadväzujú na úlohu Karáty.

Karáty a mincová miera. Karát súvisí so starou jednotkou hmotnosti drahých kovov – hrivnou36. Tá sa v prípade striebra sa delila na lóty a grény, v prípade zlata na karáty a grény:

1 lót = 18 grénov, 1 karát = 12 grénov striebro: 1 hrivna (marka) = 16 lótov = 288 grénov zlato: 1 hrivna (marka) = 24 karátov = 288 grénov .

( http://www.emuenzen.de/forum/muenzen-and-geschichte/33871-mark-lot-karat-und-gran-was-ist-das.html ) Existovalo viacero lokálnych hrivien37, ktoré sa líšili hmotnosťou, napr. • kolínska marka (233,856 g), ktorá bola od r. 1524 až do r. 1856 základnou jednotkou

používanou v nemeckom mincovníctve, • pražská hrivna (253,14 g), • budínska hrivna (245,538 g). ( pražská hrivna: http://www.livinghistory.cz/modules.php?name=News&file=article&sid=46 , budínska hrivna: http://www.converter.cz/slovenske-jednotky.htm , kolínska a ďalšie marky: http://www.muenzen-lexikon.de/lexikon/m/pm053.html ) V minulosti bola hodnota mince určená množstvom drahého kovu v nej.38 Toto množstvo určovala takzvaná mincová miera (nem. Münzfuß): • v prípade zlatých mincí sa spravidla uviedla rýdzosť kovu (v karátoch a grénoch) a počet

mincí, ktoré sa mali vyraziť z 1 hrivny zlata uvedenej rýdzosti (takáto hrivna sa nazývala hrubá, na rozdiel od jemnej hrivny, čo bola 1 hrivna rýdzeho zlata alebo striebra),

• pre strieborné mince sa spravidla uviedol počet mincí, ktorých celková hmotnosť tvorila jednu hrivnu (= hrubá krivna) a počet mincí, ktoré spolu obsahovali 1 hrivnu čistého striebra (= jemná hrivna).

( http://susi.e-technik.uni-ulm.de:8080/Meyers2/seite/werk/meyers/band/11/seite/0893/meyers_b11_s0893.html ) Podľa ríšskeho mincového nariadenia z r. 1559 sa z 1 kolínskej marky rýdzosti 23 karátov a 8 grénov malo raziť 67 ríšskych dukátov.

Dukát Rudolfa II., Praha 1589

obrázok je z http://www.ubs.com/4/auctions/ubs-64/02304h00.htm

Vypočítajte hmotnosť 1 ríšskeho dukátu a obsah rýdzeho zlata v ňom. Koľko dukátov by tvorilo 1 jemnú hrivnu? ( http://www.emuenzen.de/forum/muenzen-and-geschichte/33871-mark-lot-karat-und-gran-was-ist-das.html ) Meyers Konversationslexikon uvádza: 36 Používa sa aj názov marka. 37 Pritom delenie na lóty a karáty sa vzťahovalo na každú z nich, teda existovalo toľko rôznych (hmotnostných) lótov a karátov, koľko bolo rôznych hrivien. (http://www.numispedia.de/Karat ) 38 Netýkalo sa to drobných mincí. ( http://de.wikipedia.org/wiki/Kurantm%C3%BCnze , http://de.wikipedia.org/wiki/Scheidem%C3%BCnze )

29

„V r. 1559 predložil cisár Ferdinand I. ríšskemu snemu v Augsburgu mincový edikt, podľa ktorého sa mali raziť ríšske zlatky39 po 60 grajciarov, 9½ kusu z hrubej 14 8/9-lótovej kolínskej marky, z jemnej marky teda 10 zlatiek a 13½ grajciara.“ Ríšska zlatka bola – napriek svojmu názvu – strieborná minca. Vysvetlite a výpočtom skontrolujte údaj o jemnej marke uvedený v tomto texte. (http://susi.e-technik.uni-ulm.de:8080/Meyers2/seite/werk/meyers/band/11/seite/0891/meyers_b11_s0891.html ) Porovnajte uvedené informácie s údajmi, ktoré uvádzajú iné zdroje: • Jednu kolínsku marku rýdzosti 14 lótov a 16 grénov malo tvoriť 9½ ríšskej zlatky po 60

grajciaroch, teda jemná marka bola 10 zlatiek 12 ½ a 5/134 grajciara. (http://www.salzburgcoins.at/htdocs/AF05.htm )

• Obsah striebra v ríšskej zlatke bol 22,89 g. (http://www.numispedia.de/Reichsm%FCnzordnung ) • Celková hmotnosť ríšskej zlatky mala byť 24,63 g, pri rýdzosti 930/1000 teda mala

obsahovať 22,9 g čistého striebra. ( http://www.reppa.de/lex.asp?ordner=r&link=Reichsguld.htm )

Ríšska zlatka mesta Norimberk, 1613 obr. z http://www.reppa.de/lex.asp?ordner=r&link=Reichsguld.htm

Staré mince a jemná hrivna. Na minciach pochádzajúcich z 18. a 19. storočia je často uvedený údaj o jemnej hrivne40, napríklad na obrázku strieborného pruského toliara z r. 1830 vidno kruhový nápis

EIN THALER. XIV. EINE FEINE MARK (t.j. JEDEN TOLIAR. XIV. JEMNÁ HRIVNA). To znamená, že jemnú hrivnu (kolínsku marku) tvorilo 14 týchto toliarov. V literatúre sa v takom prípade niekedy hovorí o 14-toliarovej mincovej miere (nem. 14-Talerfuß).

obrázok je z http://cgi.ebay.ch/PREUSSEN-Ausbeute-Taler-1830-Th-251-

ERHALTUNG_W0QQitemZ8347035567QQcategoryZ7942QQcmdZViewItem Vypočítajte rýdzosť striebra, z ktorého je vyrobený zobrazený pruský toliar, ak viete, že hrubú kolínsku marku tvorilo 10½ toliara. ( http://susi.e-technik.uni-ulm.de:8080/Meyers2/seite/werk/meyers/band/11/seite/0893/meyers_b11_s0893.html )

39 nem. Reichsgulden, Reichsguldiner. 40 O jemnej a hrubej hrivne a kolínskej marke sme hovorili v úlohe Karáty a mincová miera.

30

V dobe napoleonských vojen dosadil Napoleon Bonaparte na mnohé európske tróny svojich príbuzných. Tak sa stal krčmárov syn a manžel Napoleonovej sestry Karolíny Joachim Murat veľkovojvodom z Bergu a Cleves (1806 – 1808) a najmladší Napoleonov brat Jérôme (latinsky Hieronymus) vestfálskym kráľom (1807 – 1813). Ich podoby sa tak zachovali aj na toliarových minciach týchto štátov.

obrázky sú z http://www.argenor.com/fr/vente-publique-03052006.php?categorie=34&debut=0

Vypočítajte, koľko čistého striebra by mali obsahovať zobrazené mince. Na základe toho odhadnite, aký mohol byť ich vzájomný výmenný kurz. Rozhodnite, či vieme zistiť rýdzosť striebra, z ktorého boli vyrobené, a svoju odpoveď zdôvodnite. ( Nie, na to by sme potrebovali ešte údaj o celkovej hmotnosti. Katalóg, z ktorého pochádzajú obidve mince, uvádza hmotnosť clévskeho toliara 19,55 g, hmotnosť vestfálskeho „konvenčného“ toliara 28,00 g). Vypočítajte, koľko rýdzeho zlata by mala obsahovať zobrazená minca saského kráľa Fridricha Augusta III z r. 1816.

obrázok je z http://www.argenor.com/fr/vente-publique-03052006.php?categorie=34&debut=0

Lóty a kventlíky. Preložte do dnešnej reči (vrátane údajov o hmotnosti mince a rýdzosti striebra použitého na jej razenie41) uznesenie českého snemu z r. 1547 „o minci“. Pomôžu vám tieto údaje:

pražská hrivna = 253,14 g 1 hrivna striebra = 16 lótov, 1 lót = 4 kventlíky, 1 kventlík = 4 peniaze

( kventlík a peniaz: http://www.reppa.de/lex.asp?ordner=q&link=Quentchen.htm , pražská hrivna: http://www.livinghistory.cz/modules.php?name=News&file=article&sid=46 ) „Item, nyníčko se mincuje na Horách Kutnách takto: na jednu hřivnu sazenu pražskou neb horskou vchází osm tolarův a tři čtvrti, a drží jedna hřivna čistého stříbra čtrnácte lotův, tři kvintíky, jeden peníz.

41 Dnes sa spravidla uvádza hmotnosť mince s presnosťou na stotiny gramu a rýdzosť striebra v tisícinách.

31

Item, proti tomu … takto jest nařízeno: že se na tento čas … až do patnácti let pořád zběhlých mincovati má, … aby na jednu hřivnu pražskú vcházelo … též osm tolaruov a tři čtvrti, a těch tolaruov jedna hřivna čistého stříbra čtrnácte lotuov jeden kvěntík, jeden peníz … držeti má.“ ( http://www.psp.cz/cgi-bin/dee/www/eknih/snemy/v020/1547/t016900.htm ) Rozhodnite, čím sa bude odlišovať toliar razený podľa novej mincovej miery od toliara z predchádzajúceho obdobia:

• hmotnosťou • rýdzosťou použitého materiálu • obsahom striebra Ďalšie podobné nariadenie z roku 1561 pozri na http://www.psp.cz/cgi-bin/eng/www/eknih/snemy/v030/1561/t003001.htm Nasledujúci súbor úloh (od Konvenčná mena po Korunová mena ) má spoločný názov

Peniaze našich pradedkov a prababiek – dukáty, toliare, zlatky a zaoberá sa mincami (dukáty, toliare, zlatky), ktorými sa na našom území platilo v 18. a 19. storočí.

Konvenčná mena (C.M.) 1750 – 1858. Menová reforma Márie Terézie z novembra 1750 zaviedla tzv. 20-zlatkovú mincovú mieru, teda

20 zlatiek obsahovalo kolínsku marku rýdzeho striebra, 42 pričom 2 zlatky tvorili toliar. Zlatka sa delila na 60 grajciarov:

1 toliar = 2 zlatky = 120 grajciarov.

17 grajciarov Márie Terézie, Kremnica43 1753 (vľavo)

Toliar Jozefa II., Kremnica 1782 (vpravo) obrázky sú z http://katalogus.numismatics.hu/product_info.php/cPath/31_38_41/products_id/759

http://katalogus.numismatics.hu/product_info.php/cPath/31_38_41/products_id/1015

Okrem zlatiek a grajciarov boli v obehu ešte zlaté dukáty s hmotnosťou 3,49 g, ktoré sa razili z dukátového zlata44. Reforma stanovila pomer ceny zlata a striebra na 1:14,56. Vypočítajte, aký by mal byť kurz dukátu voči zlatke pri tomto pomere ceny zlata a striebra. (4 zlatky 17 grajciarov)

42 Teda jemná kolínska marka = 20 zlatiek. O kolínskej marke (233,856 g) a jemnej marke sme hovorili v úlohe Karáty a mincová miera. 43 Kremnickú mincovňu môžeme identifikovať podľa veľkých písmen K.B. (sú nad číslicou XVII). Okrem K.B. (= Körmöczbánya) sa pre kremnickú mincovňu používalo aj písmeno B (na toliarovej minci je pod obrazom Madony dole v krúžku). Ďalšie mincovne bývalej monarchie boli vo Viedni (A), Prahe (C), Alba Iulii (E. alebo GY.F. = Gyula-Fehérvár, dnes v Rumunsku), Baia Mare (G alebo NB = Nagybánya, dnes v Rumunsku), Miláne (M), Benátkach (B) a Záhrebe (Z). Táto pomerne rozsiahla sieť sa na konci monarchie zredukovala len na mincovne vo Viedni a Kremnici. (http://oliver.hyperlink.cz/numismatics/loadframe.html?bohemia_konven_1848_gold.html) 44 To zodpovedalo ríšskemu mincovému nariadeniu z r. 1559, podľa ktorého sa z 1 kolínskej marky rýdzosti 23 karátov a 8 grénov malo raziť 67 ríšskych dukátov. Výnimkou boli kremnické dukáty, ktoré sa až do r. 1765 razili zo zlata rýdzosti 23 karátov a 9 grénov. ( http://www.snm.sk/old/pamiatky/Pam_TEXT_98_2.htm ). ( http://www.zlate-mince.cz/Default.htm?http&&&www.zlate-mince.cz/ZRAK1915_Dukat.htm )

32

V r. 1753 k rovnakej menovej úprave pristúpilo dohodou – konvenciou – na krátky čas aj susedné Bavorsko, preto sa táto mena spravidla označuje ako konvenčná (skratka C.M. = Conventions-Münze). V platnosti zostala viac ako 100 rokov45. Podľa mincového poriadku z r. 1754 bol toliar zo striebra rýdzosti13 lótov a 6 grénov.46 12.1.1786 stanovil dvorský patent cisára Jozefa II. nový kurz dukátu voči zlatke :

1 dukát = 4 zlatky 30 grajciarov, tento kurz bol úradný až do r. 1858.

Dukát Františka II., Kremnica 1792 obrázok je z http://www.ubs.com/4/auctions/ubs-64/02902h00.htm

( http://www.mince.cz/temp.asp?vID=82 , http://www.bilyujezd.cz/bu/kronika/pr03.html#d0e1385 , http://samba.fsv.cuni.cz/~pulpan/BA.rtf , http://www.beethoven-haus-bonn.de/sixcms/list.php?page=museum_internetausstellung_seiten_de&article_id=7777&skip=16 , http://www.austrian-mint.com/website/mtthist.html ) Vypočítajte, akému pomeru ceny zlata a striebra zodpovedal kurz dukátu voči zlatke stanovený cisárom Jozefom. (1:15,29 až 1:15,30, závisí to od toho, či obsah zlata v dukáte uvažujeme 3,49 × 0,986 = 3,44114, alebo len 3,44 g) V Bavorsku platil v r. 1842 tento kurz rakúskych mincí voči rýnskej zlatke po 60 grajciarov, používanej v Bavorsku47: 1 dukát = 5 rýnskych zlatiek 30 grajciarov,

1 zlatka C.M. = 1 rýnska zlatka 13½ grajciara. Výpočtom skontrolujte, či tento kurz zodpovedá úradnému kurzu zlatky voči konvenčnému dukátu v Rakúsku. Rozhodnite, či na zodpovedanie tejto otázky potrebujete poznať obsah striebra v rýnskej zlatke, a svoju odpoveď zdôvodnite. ( http://home.fonline.de/rs-ebs/geschichte/gulden/gulden7.htm )

45 V r. 1811, teda v dobe napoleonských vojen, nadmerné vydávanie papierových peňazí (spôsobené potrebou financovať armádu) viedlo k štátnemu bankrotu, odvtedy sa dočasne namiesto konvenčnej meny používala menej hodnotná viedenská mena (W.W. = Wiener Währung), v r. 1816 sa monarchia vrátila ku konvenčnej mene. ( http://www.mince.cz/temp.asp?vID=82 , http://www.beethoven-haus-bonn.de/sixcms/list.php?page=museum_internetausstellung_seiten_de&article_id=7777&skip=16 ) 46 Rovnakú rýdzosť a obsah striebra majú aj toliarové mince z konca obdobia konvenčnej meny, teda z doby panovania Františka Jozefa I. O lótoch a grénoch sme hovorili v úlohe Karáty a mincová miera (1 lót = 18 grénov, 1 hrivna (marka) = 16 lótov = 288 grénov, pritom kolínska marka = 233,856 g). ( http://oliver.hyperlink.cz/numismatics/loadframe.html?bohemia_konven_1848_gold.html ) 47 V Bavorsku platila od r. 1837 24½-zlatková mincová miera (predtým – od r. 1776 – 24-zlatková mincová miera), teda 24½ rýnskej zlatky obsahovalo 1 kolínsku marku rýdzeho striebra. Mince boli zo striebra rýdzosti 0,900 (zvyšok tvorila meď). Kurz 1 zlatka C.M. = 1 rýnska zlatka 13½ grajciara presne zodpovedá pomeru obsahu striebra v zlatke konvenčnej meny a rýnskej zlatke. ( http://susi.e-technik.uni-ulm.de:8080/Meyers2/seite/werk/meyers/band/11/seite/0891/meyers_b11_s0891.html , http://home.fonline.de/rs-ebs/geschichte/gulden/gulden3.htm )

33

Nasledujúci graf zobrazuje pomer ceny zlata a striebra (počet kg striebra za 1 kg zlata)48 v rokoch 1750 – 1860. Z grafu určte obdobia, v ktorých bol úradný kurz dukátu výhodnejší (alebo menej výhodný) v porovnaní s pomerom ceny zlata a striebra.

Pomer ceny zlata a striebra 1750 - 1860

14

14,25

14,5

14,75

15

15,25

15,5

15,75

16

16,25

16,5

Rakúska mena (ö.W.) 1857 – 1892. Ďalšia menová reforma na našom území vstúpila do platnosti 1. novembra 1857 na základe dohody Rakúska s 27 nemeckými štátmi združenými v colnej únii. Zaviedla sa jednotná strieborná mena nazvaná rakúska (ö.W. = österreichische Währung)49. Jej základom bol už desatinný systém:

45 zlatiek ö.W. obsahovalo 1 colnú libru (500 g) striebra 1 zlatka ö.W. = 100 grajciarov ö.W.,

pričom platil prevod 1 zlatka C.M. = 1,05 zlatky ö.W. ( http://www.mince.cz/temp.asp?vID=82 ) V rakúskej časti ríše sa zlatka nazývala florin (skratka fl) uhorskej časti ríše forint (Frt).

20 grajciarov ö.W. (vľavo), štvrť zlatky ö.W. (vpravo) obrázky sú z http://oliver.hyperlink.cz/numismatics/loadframe.html?bohemia_konven_1848_gold.html

Vypočítajte, aký prevod medzi grajciarmi C.M. a grajciarmi ö.W. vyplýva z prevodu medzi zlatkami.

48 Konkrétne číselné údaje pre jednotlivé roky uvádzame v prílohe. 49 V češtine sa niekedy používa skratka r.č. (= rakouského čísla).

34

Podľa internetovej encyklopédie Wikipedia predstavovalo zavedenie novej meny znehodnotenie meny o 4,97%. Výpočtom skontrolujte a vysvetlite, ako prišli na toto číslo. (Tento údaj sa nezíska z porovnania kurzov, ale z porovnania obsahu striebra.) ( http://en.wikipedia.org/wiki/Austrian_florin ) Okrem mincí pre domácu potrebu sa razili ešte tzv. spolkové mince: zlatá koruna a polkoruna, strieborný dvojtoliar a toliar, obidve z kovu rýdzosti 0,900. Údaje o jemnej hrivne boli uvedené na minci (Pfund = 500 g).

Spolkový toliar (vľavo) a spolková koruna (vpravo) obrázok je z http://oliver.hyperlink.cz/numismatics/loadframe.html?bohemia_konven_1848_gold.html

Spolkový toliar bol v Prusku rovnocenný s bývalým pruským toliarom razeným v 14-toliarovej mincovej miere50 (t.j. 14 pruských toliarov tvorilo jemnú kolínsku marku), pritom 2 spolkové toliare mali hodnotu 3 zlatiek ö.W. Na základe výpočtu rozhodnite, či to zodpovedá obsahu striebra v uvedených minciach. ( http://www.geldgeschichte.de/Deutschland_1793_1871.aspx , http://www.moneytrend.at/bop/kluetz/pdf/kluetz%20285.pdf )

Aký hrubý bol dukát. Naďalej sa razili aj zlaté dukáty a strieborné toliare s podobizňou Márie Terézie51, nie však už ako súčasť peňažnej sústavy, ale ako tzv. obchodné mince52.

50 S týmto pojmom sme sa stretli v úlohe Staré mince a jemná hrivna. O kolínskej marke (233,856 g) a jemnej marke sme hovorili v úlohe Karáty a mincová miera. 51 Strieborný toliar bol veľmi dôležitou mincou v obchode s Levantou (časti Turecka, Libanonu a Sýrie), preto sa tejto minci hovorí aj levantský toliar. Toliar s obrazom Márie Terézie sa stal jednou z najobľúbenejších a najznámejších strieborných mincí arabskej oblasti. Aby bolo možné uspokojiť veľký dopyt zo Stredného východu, povolil Jozef II. po smrti cisárovnej Márie Terézie, aby sa toliar s uvedením roku 1780 razil naďalej. Toliar v svojej podobe z r. 1780 zostal až do 20. storočia uznávaným platidlom a bol dokonca neoficiálnou menou viacerých severoafrických štátov. V Rakúsku bol oficiálnym platidlom len do 31.10.1858. Na základe patentu Františka Jozefa z r. 1857 a súčasne platných zákonov Rakúskej republiky sa táto minca razí dodnes ako obchodná. ( http://www.austrian-mint.com/website/mtt.html ) 52 Obchodná minca je minca z drahého kovu určená na obchodovanie s drahými kovmi. Nie je súčasťou sústavy zákonných peňazí a jej hodnota je určená cenou drahého kovu. ( http://www.cnb.cz/www.cnb.cz/cz/faq/faq_defin_ban_stat.html )

35

florén, Ján Luxemburský (1310 – 1346), Praha (vľavo hore),

dukát, Rudolf II., Kremnica 1587 (vpravo hore), 4-dukát, František Jozef I., Viedeň 1863 (vľavo dole), dukát, František Jozef I., Alba Iulia 1869 (vpravo dole)

obrázky sú z http://www.ubs.com/4/auctions/ubs-64/01074h00.htm , http://katalogus.numismatics.hu/product_info.php/cPath/31_38_41/products_id/782 ,

http://www.ubs.com/4/auctions/ubs-64/02531h00.htm , http://www.ubs.com/4/auctions/ubs-64/02930h00.htm

Dukáty zdedili svoj stredoveký „design“ po svojich predchodcoch53, preto sú veľmi tenké v porovnaní s modernými mincami: dukát má hrúbku 0,8 mm, štvordukát 0,7 mm. V nasledujúcej tabuľke sú uvedené údaje o dukáte a štvordukáte, ako ich na svojej web-stránke uvádza rakúska mincovňa54 MÜNZE ÖSTERREICH:

dukát štvordukát priemer 19,75 mm 39,5 mm zliatina 986/14 Au/Cu 986/14 Au/Cu celková hmotnosť 3,4908960 g 13,9635840 g obsah zlata 3,4424109 g 13,7696436 g

53 Vzorom pre zlaté mince sa stal zlatý „fiorino d’oro“ (3,54 g skoro rýdzeho zlata, 96 kusov z 1 florentského funtu (339,54 g) zlata) razený vo Florencii od r. 1252; z jeho mena pochádza označene floren, florin aj uhorský forint. V r. 1284 nasledovalo benátske zecchino (3,4 – 3,5 g zlata rýdzosti 0,986 – 0,999), ktoré dalo meno dukátu. Jedna z najrozšírenejších verzií o pôvode slova dukát totiž tvrdí, že vznikol z posledného slova nápisu na zecchine, ktorý znel: Sit tibi Christe datus quem tu regis iste ducatus (Tebe, Kriste, nech je dané toto vojvodstvo, ktorému panuješ). V r. 1325 kráľ Ján Luxemburský povolal do Čiech odborníkov z Lombardie, aby začal s razením vlastných zlatých mincí podľa predlohy florénov. Ich obraz zachovával úplne taliansku predlohu (na líci obraz heraldickej ľalie, na rube postava sv. Jána Krstiteľa). Reforma uhorského baníctva a mincovníctva realizovaná počas vlády Karola Róberta z Anjou sa opierala o české skúsenosti. V r. 1325 sa aj v Uhorsku začali raziť zlaté mince podľa vzoru florénu (prvá písomná zmienka o uhorskom floréne pochádza z Moravy z r. 1326). Aj ony sa spočiatku riadili florentskou predlohou. Od čias panovania Ľudovíta I. (1342 – 1382) bol na líci obraz sv. Ladislava a na rube zemský znak, neskôr Madona. Z jednej budínskej hrivny (245,54 g) zlata rýdzosti 23 karátov a 9 grénov sa malo raziť 69 mincí. Jedným z hlavných producentov sa stala kremnická mincovňa založená v r. 1328, ktorá funguje nepretržite dodnes. Prvá písomná zmienka o kremnických florénoch pochádza z r. 1335. Kremnickí minciari získali svoj fortieľ od majstrov, ktorých povolal Karol Róbert z Kutnej Hory. Uhorské dukáty sa načas stali hlavnou obchodnou mincou strednej a severnej Európy a pojem uhorský (od konca 17. st. kremnický) dukát sa používal v reči na označenie skutočne kvalitnej zlatej mince. V 17. storočí sa na dukátoch objavilo ryhovanie, ktoré malo zabrániť zmenšovaniu ich hmotnosti opilovávaním (tým sa totiž zmenšil obsah zlata v minci, a tým aj jej skutočná hodnota). ( http://it.wikipedia.org/wiki/Fiorino , http://it.wikipedia.org/wiki/Ducato_%28moneta%29 , http://www.moneytrend.at/moneytrend/inhalt.php?nr=22&spl=1&spr=2&kat=9 , http://www.muenzen-lexikon.de/lexikon/z/pz011.html , http://www.moneytrend.at/buch_weege/pdf/MZ-GEWICHTE-FEINGEHALT1.pdf , http://www.muenzen-lexikon.de/lexikon/d/pd213.html , http://sweb.cz/numismatic/historie.htm http://mek.oszk.hu/01900/01967/html/index449.html , http://www.snm.sk/old/pamiatky/Pam_TEXT_98_2.htm ) 54 Od roku 1920 razí viedenská mincovňa dukáty s letopočtom 1915 ako investičné zlato s rýdzosťou 23⅔ karátu. Tieto dukáty patria k veľmi obľúbeným investičným minciam. ( http://www.zlate-mince.cz/Default.htm?http&&&www.zlate-mince.cz/ZRAK1915_Dukat.htm )

36

Na základe výpočtu rozhodnite, či údaj o hrúbke dukátu je v súlade s týmito údajmi. ( http://www.zlate-mince.cz/Default.htm?http&&&www.zlate-mince.cz/ZRAK1915_Dukat.htm , http://www.austrian-mint.com/website/gold/dukaten.html )

Latinská menová únia. V r. 1867 Rakúsko podpísalo predbežnú dohodu o pristúpení k tzv. Latinskej menovej únii, ktorú v r. 1865 vytvorili Francúzsko, Belgicko, Taliansko a Švajčiarsko (1868 sa pripojilo Grécko). Členské štáty vytvorili jednotnú menu

1 franc (100 centimes) = 1 franken (100 rappen) = = 1 lira (100 centisimi) = 1 drachme (100 lepta),

ich mince mali jednotné rozmery, rýdzosť a obsah drahého kovu. Napr. zlatá minca v hodnote 5 frankov mala priemer 17 mm, hmotnosť 1,6129 g a rýdzosť 0,900, strieborná minca v hodnote 5 frankov priemer 37 mm, hmotnosť 25 g a rýdzosť 0,900. Mince s rovnakými parametrami razili aj viaceré nečlenské štáty (Vatikán, Rumunsko, Švédsko, Španielsko, Fínsko, Monako, Srbsko, Bulharsko)55. Hoci Rakúsko k únii napokon nepristúpilo, vydalo obchodné mince v hodnote 20 a 10 frankov, ktoré platili (v rokoch 1870 – 1892) 8, resp. 4 zlatky. ( http://www.khm.at/system2.html?/static/page344.html , http://www.numispedia.de/Lateinische_M%FCnzunion , http://www.rene-finn.de/bibliographie.html )

20 frankov / 8 zlatiek (forintov), Kremnica 1871 (vľavo), 10 frankov / 4 zlatky (floriny), 1885 obrázky sú z http://www.ubs.com/4/auctions/ubs-64/02935h00.htm,

http://www.cgb.fr/monnaies/vso/v07/v070256.html Na základe výpočtu • skontrolujte, že mince Latinskej menovej únie vychádzali z pomeru ceny zlata

a striebra 1:15,5 , • rozhodnite, či tomuto pomeru zodpovedá aj kurz, ktorý bol vyznačený na uvedených

rakúskych obchodných minciach.56 V článku o Latinskej menovej únii sa možno dočítať: „Stabilita meny, založenej na pevnom pomere ceny zlata a striebra, bola narušená výraznými výkyvmi na voľnom trhu. Bohaté nálezy zlata v zámorí a prechod Nemecka (1871) a následne ďalších zemí na zlatú menu spôsobili dramatický pokles ceny striebra na svetovom trhu. Problémov s tým spojených sa menová únia nedokázala nikdy úplne zbaviť, aj keď obmedzila a napokon zastavila razenie strieborných 5-frankových mincí.“ (citát voľne podľa René Frank: Goldmünzen des 19. und 20. Jahrhunderts, Money Trend, jún 2006, pozri http://www.rene-finn.de/bibliographie.html) Na základe grafu pomeru ceny zlata a striebra v rokoch 1857 – 1892 odhadnite, kedy prvýkrát po vzniku Latinskej menovej únie sa na trhu prejavili výraznejšie zmeny v cene striebra. (v článku sa uvádza, že zmeny nastali asi od r. 1873)

55 Na začiatku prvej svetovej vojny tak razilo 16 štátov mince, ktoré boli vzájomne konvertibilné. ( http://www.rene-finn.de/bibliographie.html ) 56 Obsah striebra a zlata v rakúskych minciach je uvedený v úlohe Rakúska mena (ö.W.) 1857 – 1892.

37

Pomer ceny zlata a striebra 1857 - 1892

14,515

15,516

16,517

17,518

18,519

19,520

20,521

21,522

22,523

23,524

1857

1859

1861

1863

1865

1867

1869

1871

1873

1875

1877

1879

1881

1883

1885

1887

1889

1891

Rakúsky zlatý dukát bol po roku 1858 obchodnou mincou, teda jeho cena bola určená cenou zlata, ktoré obsahoval. V roku 1858 bol pomer ceny zlata a striebra57 1:15,38, tomu zodpovedá cena

1 zlatý dukát = 3,441 g zlata = 52,926 g striebra =

45500

926,52 zlatiek = 4 zlatky 76 halierov,

teda

1 zlatý dukát =

45500

38,15441,3 ⋅ zlatky. (*)

Zdôvodnite jednotlivé kroky tohoto výpočtu. Rozhodnite, či je vypočítaná hodnota vyššia alebo nižšia ako do r. 1858 platný úradný kurz 1 dukát = 4 zlatky 30 grajciarov C.M. (4,5 × 1,05 = 4,725, teda úradnému kurzu a prevodu medzi konvenčnou a rakúskou menou zodpovedá cena dukátu 4 zlatky 72,5 haliera rakúskej meny)

(obrázok je z http://www.ubs.com/4/auctions/ubs-64/02554h00.htm )

57 teda cena 1 kg zlata bola rovnaká ako cena 15,38 kg striebra

38

Anička sa pozrela na vzťah (*) a tvrdí: „Cenu dukátu dostanem, ak pomer ceny zlata a striebra vynásobím číslom 0,30978 a výsledok zaokrúhlim na stotiny.“ Rozhodnite, či má Anička pravdu a svoju odpoveď zdôvodnite. Janko pokračuje: „Ak má Anička pravdu, tak potom graf pomeru ceny zlata a striebra možno ľahko prerobiť na graf ceny dukátu v rakúskych korunách. Stačí len zmeniť mierku na zvislej osi: každé číslo na zvislej osi treba vynásobiť Aničkinou konštantnou.“ Rozhodnite, či má Janko pravdu a svoju odpoveď zdôvodnite. Korunová mena 1892 – 1918. Posledná menová reforma v 19. storočí na našom území sa uskutočnila v r. 1892. Základnou jednotkou novej meny vyhlásenej 11. augusta 1892 bola koruna, ktorá sa delila na 100 halierov, pritom platilo

3280 korún obsahuje 1 kg zlata, 1 koruna = 100 halierov = 2 zlatky ö.W.

( http://www.mince.cz/temp.asp?vID=82 , http://www.vwl.uni-muenchen.de/ls_komlos/credibility.pdf ) Na území Uhorska sa halier nazýval fillér. Nemecko zaviedlo novú menu – marku, ktorá bola krytá zlatom58 – v roku 1871. Pri určení obsahu zlata sa vychádzalo v pomeru ceny zlata a striebra 1:15,5. Podľa toho zodpovedala zlatá 10-markovka hodnote 3 ⅓ spolkového toliara:

55,5555g striebra (= 3⅓ spolkového toliara) : 3,5842g zlata (= 10 mariek) = 15,5 : 1 Na základe výpočtu rozhodnite, či je tento pomer rovnaký ako pomer zlatky a koruny v Rakúsku v r. 1892. ( http://de.wikipedia.org/wiki/Goldmark )

Odkiaľ pochádza „pětka“ a šesták. Aj po zavedení novej meny zostali dlhú dobu v obehu staré papierové peniaze (korunové bankovky prišli do obehu až v r. 1900), teda 10 korún reprezentovala 5zlatková bankovka. To je dôvod, prečo sa ešte dnes občas v Čechách 10korunáčka nazýva pětka. ( http://www.mince.cz/temp.asp?vID=82 ) Ďalším dlho používaným názvom bolo označenie šesták (zachované napr. v názve šestákového mariáša) pre dvadsaťhaliernik. Pojmom šesták sa pôvodne (pred rokom 1858) označovala 6-grajciarová minca. Vysvetlite, ako sa tento názov preniesol najprv na desaťhaliernik a potom na dvadsaťhaliernik. (6 grajciarov C.M = 6 × 1,05 ≅ 10 rakúskych grajciarov = 20 rakúskych halierov.)

obrázok je z http://oliver.hyperlink.cz/numismatics/loadframe.html?bohemia_konven_1848_gold.html Potom diskutujte o úplnosti nasledujúcich vysvetlení: • Šesták bol vtedy stále ešte bežný názov pre dvadsaťhaliernik, hoci zo vtedajšej

korunovej meny je tento názov nepochopiteľný. Slovo ostalo z čias, keď jedna zlatka

58 Preto mince s najvyššími nominálnymi hodnotami (10 a 20 mariek, dočasne aj 5 mariek) mali zodpovedajúci obsah zlata.

39

mala šesťdesiat grajciarov, a šesť grajciarov, šesták, bola jedna desatina tejto základnej mince. ( http://www.zahorskemuzeum.sk/zahorie/c5_03.htm )

• Túto mincu s pôvodnou hodnotou šesť začali raziť v roku 1664 za čias Leopolda I. Ale inflácia už vtedy robila svoje... Takmer o dvesto rokov neskôr sa ako šesták označoval desaťgrajciar a napokon dvadsaťhaliernik. ( Soňa Hudecová-Podhorná: Šesták na každý pád http://www.slovakradio.sk/radioinet/spolocnost/myslienky/030510peniazky.html )

• Ještě můj tatínek tak říkal dvacetníku. Nechápal jsem, jaká může být souvislost mezi dvacítkou a šestkou. Až později jsem se dovzdělal. Šesták býval původně rakouskouherskou mincí v hodnotě šest krejcarů. Pak se tento název přenesl i na deset krejcarů. A nejen to - později se tak začalo říkat i dvacetihaléřům. (publicista Rudolf Křesťan, http://www.radioservis-as.cz/archiv03/0903/09pub1.htm)

40

Príloha (pomer ceny zlata a striebra v rokoch 1687 - 1918) (údaje sú z http://eh.net/hmit/goldprice/ )

Rok Rok Rok Rok 1687 14,94 1716 15,09 1745 14,98 1774 14,62 1688 14,94 1717 15,13 1746 15,13 1775 14,72 1689 15,02 1718 15,11 1747 15,26 1776 14,55 1690 15,02 1719 15,09 1748 15,11 1777 14,54 1691 14,98 1720 15,04 1749 14,80 1778 14,68 1692 14,92 1721 15,05 1750 14,55 1779 14,80 1693 14,83 1722 15,17 1751 14,39 1780 14,72 1694 14,87 1723 15,20 1752 14,50 1781 14,78 1695 15,02 1724 15,11 1753 14,54 1782 14,42 1696 15,00 1725 15,11 1754 14,48 1783 14,48 1697 15,20 1726 15,15 1755 14,68 1784 14,70 1698 15,07 1727 15,24 1756 14,94 1785 14,92 1699 14,94 1728 15,11 1757 14,87 1786 14,96 1700 14,81 1729 14,92 1758 14,85 1787 14,92 1701 15,07 1730 14,81 1759 14,15 1788 14,65 1702 15,52 1731 14,94 1760 14,14 1789 14,75 1703 15,17 1732 15,09 1761 14,54 1790 15,04 1704 15,22 1733 15,18 1762 15,27 1791 15,05 1705 15,11 1734 15,39 1763 14,99 1792 15,17 1706 15,27 1735 15,41 1764 14,70 1793 15,00 1707 15,44 1736 15,18 1765 14,83 1794 15,37 1708 15,41 1737 15,02 1766 14,80 1795 15,55 1709 15,31 1738 14,91 1767 14,85 1796 15,65 1710 15,22 1739 14,91 1768 14,80 1797 15,41 1711 15,29 1740 14,94 1769 14,72 1798 15,59 1712 15,31 1741 14,92 1770 14,62 1799 15,74 1713 15,24 1742 14,85 1771 14,66 1800 15,68 1714 15,13 1743 14,85 1772 14,52 1801 15,46 1715 15,11 1744 14,87 1773 14,62 1802 15,26

Rok Rok Rok Rok 1803 15,41 1832 15,73 1861 15,50 1890 19,75 1804 15,41 1833 15,93 1862 15,35 1891 20,92 1805 15,79 1834 15,73 1863 15,37 1892 23,72 1806 15,52 1835 15,80 1864 15,37 1893 26,49 1807 15,43 1836 15,72 1865 15,44 1894 32,56 1808 16,08 1837 15,83 1866 15,43 1895 31,60 1809 15,96 1838 15,85 1867 15,57 1896 30,59 1810 15,77 1839 15,62 1868 15,59 1897 34,20 1811 15,53 1840 15,62 1869 15,60 1898 35,03 1812 16,11 1841 15,70 1870 15,57 1899 34,36 1813 16,25 1842 15,87 1871 15,57 1900 33,33 1814 15,04 1843 15,93 1872 15,63 1901 34,68 1815 15,26 1844 15,85 1873 15,93 1902 39,15 1816 15,28 1845 15,92 1874 16,16 1903 38,10 1817 15,11 1846 15,90 1875 16,64 1904 35,70 1818 15,35 1847 15,80 1876 17,75 1905 33,87 1819 15,33 1848 15,85 1877 17,20 1906 30,54 1820 15,62 1849 15,78 1878 17,92 1907 31,24 1821 15,95 1850 15,70 1879 18,39 1908 38,64 1822 15,80 1851 15,46 1880 18,05 1909 39,74 1823 15,84 1852 15,59 1881 18,25 1910 38,22 1824 15,82 1853 15,33 1882 18,20 1911 38,33 1825 15,70 1854 15,33 1883 18,64 1912 33,62 1826 15,76 1855 15,38 1884 18,61 1913 34,19 1827 15,74 1856 15,38 1885 19,41 1914 37,37 1828 15,78 1857 15,27 1886 20,78 1915 40,48 1829 15,78 1858 15,38 1887 21,10 1916 30,78 1830 15,82 1859 15,19 1888 22,00 1917 24,61 1831 15,72 1860 15,29 1889 22,10 1918 21,00

41