NALOGE IZ TRDNOSTI

Martin Jesenko

Ljubljana, 2009

NAPETOSTI

(1) Na sliki je skicirano ravninsko napetostno stanje.

(a) Koliksen je kot α, ce sta napetosti p = 42,4 MPa inq = 50 MPa. (53,13◦)

(b) Zapisi tenzor napetosti. (σx = 30 MPa, σy = 40 MPa,τxy = 30 MPa)

(c) Izracunaj glavni napetosti in smeri, v katerih stadosezeni. (4,59 MPa in 65,41 MPa, −40,27◦ in 49,73◦)

(c) Izracunaj najvecjo in najmanjso strizno napetosti insmeri, v katerih sta dosezeni. (±30,41 MPa, 4,73◦ in94,73◦)

(2) Palica je sestavljena iz treh delov. Debelina vseh treh delov je 5 cm, ostale dimenzije pa sooznacene na skici. Obremenimo jo s silo F = 10 kN. Izracunaj normalno in tangencialnonapetost v narisani ravnini. (1,25 MPa, −2,17 MPa)

(3) V obremenjenem materialu se pojavi napetostno stanje, ki ga podaja tenzor napetosti

t =

10 0 −40 −8 0

−4 0 4

MPa

(a) Izracunaj glavne napetosti. (−8 MPa, 2 MPa,12 MPa)

(b) Narisi Mohrove kroznice in oznaci, kateri pari(σ, τ) ustrezajo napetostim na razlicnih ravn-inah.

(c) Izracunaj vektor napetosti ~t na oznacenoravnino. (−5,888 MPa i − 6,144 MPa j +3,584 MPa k )

(c) Izracunaj se normalno in strizno napetost nato ravnino. (−0,623 MPa, 9,213 MPa)

(4) Znotraj obremenjenega materiala se pojavi ravninsko napetostno stanje.

1

(a) Dopolni sliko (narisi se strizno napetost na levo ploskev ternormalno in strizno napetost na spodnjo in desno ploskev).

(b) Izracunaj glavni napetosti in doloci smeri, v katerih se po-javita. (21,4 MPain −51,4 MPa, −7,97◦ in 82,03◦)

(5) Znotraj obremenjenega materiala se na majhnem kvadru pojavijo narisane napetosti.

(a) Dopolni sliko.

(b) Zapisi tenzor napetosti. (σy = 50 MPa, σz = −10 MPa, τxy = τyx = −30 MPa, ostalenapetosti so 0)

(c) Izracunaj napetostni vektor na narisano ravnino. Koliksni sta normalna in tangencialnanapetost? (−18 MPa i + 30 MPa j − 8 MPa k, 11,6 MPa, 34,0 MPa)

2

DEFORMACIJE

(1) Osnovna ploskev kocke z robom 100 mm se enakomerno deformira, kot kaze skica, deformacijv smeri osi z pa ni.

(a) Zapisi tenzor deformacije. (εx = −1 · 10−4, εy = 2 · 10−4, εxy = 9,998 · 10−5)

(b) Izracunaj ekstremne specificne normalne in tangencialne deformacije in smeri, v katerihso dosezene. (−1,081 · 10−5 in 2,081 · 10−5, −9,22◦ in 80,78◦)

(2) Deformacija nekega sredstva je podana z enacbami

x = X − 0,04 Y + 0,01 Z

y = Y

z = Z − 0,01 X + 0,02 Y

(a) Doloci vektor pomika ~u. (u = −0,04X + 0,01Z, v = 0, w = −0,01X + 0,02Y )

(b) Izracunaj infinitezimalni tenzor deformacije ε. (εxy = εyx = −0,02, εyz = εzy = 0,01,ostali so 0)

(c) Koliko je εyz? Kaj pomeni ta stevilka?

(c) V katero krivuljo se deformira premica Z = X, Y = 0? Obe skiciraj v koordinatnemsistemu.

(3) Pravokotnik ABCD se deformira na narisan nacin.

(a) Zapisi tenzor deformacije (v tockiA). (εx = 0,01, εy = 0,025, εxy =0,02819)

(b) Narisi Mohrov krog in iz njegarazberi glavni deformaciji in podkaterim kotom sta dosezeni.

(c) Zgornjo domnevo potrdi zracunom. (−0,0117 in 0,0467,−37,55◦ in 52,45◦)

3

HOOKOV ZAKON(1) Jekleno plosco dimenzij 500 mm × 200 mm × 10 mm na stranskih ploskvah obremenimo s

silama F1 = 20 kN in F2 = 10 kN v narisanih smereh.

(a) Ce zelimo, da se debelina plosce ne spremeni, ali moramo na zgornjo in spodnjo ploskevdelovati s kaksno silo? Ce je odgovor pritrdilen, doloci s koliksno in v kateri smeri. (da,tlacno s silo 30 kN)

(b) Zapisi tenzorja napetosti in deformacije. (Ce je x-os v smeri F1: σx = 4 MPa, σy =−5 MPa, σz = −0,3 MPa, εx = 2,8 ·10−5, εy = −3,1 ·10−5, ostale napetosti in deformacijeso 0.)

(c) Izracunaj spremembo prostornine plosce. (−3 mm3)

Youngov modul jekla je 200 GPa, Poissonovo stevilo pa 0,3.

(2) V okvir iz nedeformabilnega materiala je vstavljen kvader iz aluminija z dimenzijami 50 mm×50 mm × 100 mm. Med kvadrom in okvirjem ni zracnosti. Na zgornjo ploskev kvadra delujetlacna sila F .

(a) Koliksna mora biti sila F , da ima po obremenitvi kvadraza 0,1 mm manjso visino? (199 kN)

(b) Zapisi tenzorja napetosti in deformacije. (Ce je x-osvodoravnica: σx = −27,9 MPa, σz = −79,7 MPa, εy =5,93 ·10−4, εz = −1 ·10−3, ostale napetosti in deformacijeso 0.)

(c) Koliksna je volumenska diletacija in za koliko se spremeniprostornina? (−4,61 · 10−4, −115 mm3)

(c) Po vseh porusitvenih hipotezah doloci primerjalnonapetost. (79,7 MPa, 79,7 MPa, 69,9 MPa, 74,7 MPa,70,0 MPa)

Youngov modul aluminija je 70 GPa, Poissonovo stevilo pa 0,35.

(3) V okvir iz nedeformabilnega materiala je vstavljen kvader iz aluminija z dimenzijami 200 mm×200 mm × 100 mm. Med kvadrom in okvirjem je zracnost δ = 0,01 mm. Potem temperaturopovecamo z 20◦C na 70◦C.

(a) Ali kvader zapolne okvir? (da)

(b) Izracunaj tenzor napetosti (uporabi enacbi za εx in εy

in ne pozabi na ucinek temperaturne spremembe.) (σx =−121,5 MPa, σy = −126,44 MPa, ostale so 0)

(c) Zapisi tenzor deformacije. (εx = 1 · 10−4, εz = 2,24 · 10−3,ostale so 0)

4

Youngov modul aluminija je 70 GPa, Poissonovo stevilo 0,35 in koeficient temperaturnegaraztezanja 24 · 10−6 1

◦C.

(4) Jeklen kvader dimenzij 100 mm × 25 mm × 80 mm na stranskih ploskvah obremenimo ssilama F = 10 kN in G.

(a) Koliksna mora biti sila G, ce zelimo, da stran-ica dolzine 100 mm ohrani svojo dolzino?(2,4 kN)

(b) Zapisi napetostni in deformacijski tenzor. (Ceje x-os na stranici dolzine 25 mm: σy =−1,2 MPa, σz = −4 MPa, εx = 7,8 · 10−6,εz = −1,82 · 10−5, ostale napetosti in defor-macije so 0.)

(c) Za koliko se podaljsata (skrajsata) ostali dvestranici. (visina se zmanjsa za 0,001456 mm,sirina pa podaljsa za 0,000195 mm)

Youngov modul je 200 GPa, Poissonovo stevilo pa 0,3.

(8) Kvader iz hrastovega lesa dimenzij 50 mm × 70 mm × 100 mm postavimo v nedeformabilniokvir, tako da med njim in okvirjem ni zracnosti. Vlakna lesa so postavljena navpicno. Privza-memo, da je les izotropicen v ravnini, ki je pravokotna na vlakna. V njej je Youngov modul1,7 GPa, Poissonovo stevilo pa 0,424. V smeri vlaken je Youngov modul 11,3 GPa, Poissonovostevilo med to smerjo in katero koli pravokotno smerjo pa je 0,35. Na zgornjo ploskev kvadradelujemo s silo 28 kN.

(a) Zapisi tenzorja napetosti in deformacije. (σx = σy =−0,7313 MPa, σz = −8 MPa, εz = −6,63 · 10−4, ostaleso 0)

(b) Doloci visino kvadra po tej obremenitvi. (99,9337 mm)

(c) Za koliko se spremeni prostornina kvadra? (−232,05mm3)

5

NATEG IN TLAK

(1) Aluminijasta palica s povrsino prereza 2000 mm2 in jeklena palica, katere prerez ima povrsino800 mm2, sta vpeti v steno, kot je narisano na skici. Pri 24◦C je razmak med njima 1,3 mm.Nato ju segrejemo do 94◦C.

(a) Pokazi, da se pri tej temperaturi palici stikata.Koeficienta temperaturnega raztezanja sta 23·10−6 1

◦Cpri aluminiju in 17,3 ·10−6 1

◦Cpri jeklu.

(b) Kaksni sta (vodoravni) reakciji v tockah B inC pri tej temperaturi? Youngov modul alu-minija je 75 GPa, jekla pa 190 GPa. (23,42kN)

(c) Koliksna napetost je pri tej temperaturi vvsaki palici? (23,4 MPa, 15,6 MPa)

(2) Vpeta palica z dolzino 3 m je sestavljena iz dveh delov. Prvi je iz aluminija in je dolg 1,75 m,njen prerez pa je kvadrat s stranico 25 mm. Drugi del je bakren, prerez pa je kvadrat s stranico20 mm. To palico segrejemo od 15◦C do 40◦C.

(a) S koliksno tlacno silo moramo delovati naprostem koncu palice, da bo njena dolzina os-tala enaka? (19,41 kN)

(b) Za koliko se pri tem podaljsa (skrajsa)posamezen del? (baker se podaljsa, aluminijpa skrajsa za 0,207 mm)

(c) Izracunaj napetost v posameznem delu.(−48,53 MPa, −31,06 MPa)

Youngov modul aluminija je 70 GPa, bakra pa 120 GPa, koeficienta temperaturnega raztezanjapa sta 23 · 10−6 1

◦Cpri aluminiju in 17 · 10−6 1

◦Cpri bakru.

(3) Na sliki je prikazano aluminijasto palicje.

(a) Izracunaj sile v palicah CE, EF in EG. Zavsako napisi, ali je natezna ali tlacna.

(b) Izracunaj napetost v palici CE in za kolikose raztegne (skrci). Presek palice je kvadrats premerom 3 cm, Youngov modul pa je 70GPa.

6

UPOGIB

(1) Prostolezec nosilec z dolzino 4 m in s prerezom narisane oblike obremenimo s silo 5 kN in zmomentom 1 kNm. Doloci velikost izmere a, da upogibne napetosti v nosilcu ne bodo presegle100 MPa. (vsaj 3,0 cm)

(10) Za nosilec, obremenjen s silo F = 5 kNdoloci enacbo upogibnice in izracunaj reak-cije v podporah. Pri tem je Youngov modulE = 200 GPa in vztrajnostni moment Iz =250 cm4.

7

STRIG

(1) Izracunaj najvecjo strizno silo, s katero sme biti obremenjenprofil krizne oblike, da strizne napetosti v njem ne bodo pre-segle 90 MPa. Nasvet: Skiciraj potek striznih napetosti in iznjega razberi, v katerih tockah je treba kontrolirati napetosti.(67,05 kN)

8

TORZIJA

(1) Vpet jeklen nosilec obremenimo prek vzvodov z dvojicama sil, kot je narisano na skici.

(a) Narisi diagram torzijskega momenta v nosilcu.

(b) Ali je v nosilcu presezena dopustna tangencialna napetost 100 MPa? (da, najvecja je110,7 MPa)

(2) Jeklen konzolno vpet nosilec je obremenjen z dvojicama sil F1 = 7 kN in F2 = 1 kN.

(a) Kaksna reakcija se pojavi v konzoli(velikost in smer)? (5 kNm)

(b) Narisi diagram torzijskih momen-tov.

(c) Doloci (na 1 mm) potreben x, dabodo torzijske napetosti manjse oddopustne, ki je 90 MPa. (5 mm)

(c) Za koliksen kot se zasuka prostikonec nosilca? (1,27◦)

Strizni modul jekla je 80 GPa.

(3) Vpeto gred z debelino 8 cm obremenimo prek vzvodov z dvojicama sil, kot je narisano na skici.

(a) Narisi diagram torzijskega momenta v gredi.

(b) V katerih tockah gredi je torzijska napetostnajvecja? Koliksna je? (na plascu 1,5 m dol-gega dela, 29,84 MPa)

9

SESTAVLJENE NALOGE

(1) Po Huberjevi porusitveni hipotezi dimenzioniraj 4 m dolgookroglo gred, ki je konzolno vpeta in prek vzvoda dolzine 0,5 mobremenjena s silo F = 8 kN. Dopustna normalna napetost je140 MPa. (premer vsaj 1,33 dm)

(2) Jeklen nosilec dolzine 5 m konzolno vpnemo. Obremenimo ga s porazdeljeno silo q = 2,5 kNm

in momentom M0 = 5 kNm.

(a) Izracunaj reakcije v podporah in narisi diagrama strizne sile in upogibnega momenta.

(b) V prerezu, ki je 1 m od stene (kjer se zacne porazdeljena sila) izracunaj upogibne instrizne napetosti v tockah 1, 2 in 3.

(3) Lesen nosilec z dolzino 7 m sestavimo iz treh palic narisane oblike in ga obremenimo zenakomerno obremenitvijo q = 4 kN

min s silo F = 2 kN.

(a) Izracunaj reakcije in narisi diagrama strizne sile in upogibnega momenta. (Ay = 0,8 kN,Bx = 0, By = 9,2 kN)

(b) Doloci izmero a, da bo nosilec zdrzal upogibne napetosti. Dopustna normalna napetostje σdop = 10 MPa. (vsaj 4,7 cm)

(c) Koliksne strizne napetosti mora prenesti lepilo (pri najmanjsem dopustnem a). (499 kPa)

(4) Po Huberjevi porusitveni hipotezi doloci primeren C-profil za naslednji nosilec, ki je obremen-jen s silo F = 3 kN in momentom M = 2 kNm v oznacenih smereh. Dopustna normalnanapetost je σdop = 150 MPa. (C 200)

10

(5) Nosilec s prerezom narisane oblike podpremo in ga obremenimo s silo F = 4 kN, s porazdeljenosilo q = 1,5 kN

min z momentom M0 = 5 kNm.

(a) Narisi diagrama strizne sile in upogibnega momenta.

(b) Doloci izmero a (na cel centimeter), da upogibne napetosti v nosilcu ne bodo presegledopustne normalne napetosti 11 MPa. (4 cm)

(c) Izracunaj strizno napetost v tocki T v prerezu, ki je 1 m od levega roba. (135 kPa)

(6) Prostolezec nosilec dolzine 8 m sestavimo iz dveh palic in ga obremenimo s porazdeljeno siloq = 2 kN

min preko vzvoda s silo F = 5 kN.

(a) Narisi diagrame osne in strizne sile ter upogibnega momenta.

(b) Izracunaj upogibne napetosti v tockah ¬, ­ in ® v prerezu, ki je 3 m oddaljen od desnegaroba. (5,84 MPa, 1,88 MPa, 7,03 MPa)

(c) Koliksne strizne napetosti mora prenesti lepilo? (430 kPa)

(7) Nosilec s prerezom krizne oblike konzolno vpnemo in ga obremenimo s silo F = 8 kN podkotom 30◦ in s porazdeljeno silo q = 2 kN

m.

(a) Narisi diagrama strizne sile in upogibnega momenta.

(b) Doloci izmero a (na cel centimeter), da upogibne napetosti v nosilcu ne bodo presegledopustne normalne napetosti 120 MPa. (6 cm)

11

(c) Izracunaj strizno napetost v tocki T v prerezu, ki je 3 m od levega roba (pri najmanjsemdopustnem a). (431 kPa)

12