Naidjate mémoire 2012

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

UNIVERSITÉ AMAR TELIDJI – LAGHOUAT

Faculté de Technologie - Département d’Électronique

Présenté en vue de l’obtention du diplôme de magister en génie électrique Option : physique photovoltaïque

MEMOIRE DE MAGISTER

Devant le jury composé

Dr Mouloud BOUZOUAD

:

Maître de conférences à l’Université de Laghouat Président

Pr Ibn Khaldoun LEFKAIER Professeur à l’Université de Laghouat Encadreur

M. Bachir HELIFA Enseignent chercheur à l’Université de Laghouat Co-encadreur

Pr Ali CHEKNANE Professeur à l’Université de Laghouat Examinateur

Dr Abdenacer GUIBADJ Maître de conférences à l’Université de Laghouat Examinateur

Année universitaire : 2011 – 2012

Développement d’un Code de Calcul pour l’Etude du Rayonnement Electromagnétique des Panneaux

Solaires en Champ Proche

Présenté par

Mohammed NAÏDJATE Ingénieur en électronique

Thème

« Il y a dans la création des cieux et de la terre et dans la succession de la nuit et du jour, des signes pour ceux qui sont doués d’intelligence »

Coran, sourate 3, verset 190.

ii

A mon père A ma mère

A mon frère et mes sœurs

iii

Remerciements

Les travaux présentés dans ce mémoire ont été effectués au sein du laboratoire des

sciences fondamentales à l’Université de Laghouat (LSF-UATL). J’exprime ici, ma vive

gratitude à Monsieur le Professeur Mohammed YOUSFI pour m’avoir accueilli dans son

laboratoire en m’offrant tous les moyens nécessaires au bon déroulement de mon travail.

J'adresse mes plus vifs sentiments de gratitude à mon directeur de mémoire

Monsieur Ibn Khaldoun LEFKAIER, Professeur à l’Université de Laghouat, pour la

confiance qu’il ma accordée en me proposant ce thème de recherche très intéressant et en

me faisant profiter de ses conseils judicieux et de sa grande compétence. Qu’il trouve ici

toute ma reconnaissance pour l’aide et le soutien constant qu’il m’a prodigués durant

toute ma période de travail.

Je suis très heureux de pouvoir exprimer ici mes remerciements très sincères à

Monsieur Bachir HELIFA, enseignent chercheur à l’Université de Laghouat et encadrant

de ce travail, qui m’a beaucoup encouragé et conseillé au cours de cette étude. Ces

longues heures de discussions et de réflexions passées en sa présence m’ont été très

instructives et furent un enrichissement tant humain que professionnel. Qu’il soit rassuré

de ma plus profonde reconnaissance.

Je suis particulièrement sensible à l'honneur que m'a fait le Dr. Mouloud

BOUZOUAD de l’Université de Laghouat en participant au jury et en acceptant d'en être

le président.

J’exprime à Monsieur Ali CHEKNANE, Professeur à l’Université de Laghouat, ma

reconnaissance pour avoir bien voulu s’intéresser à cette étude et honorai le Jury par sa

présence.

Je remercie très sincèrement Monsieur Abdenacer GUIBADJE pour avoir accepté de

participer à l’évaluation de ce travail.

Que tous les chercheurs du laboratoire LSF-UATL, en particulier Bachir BENTRIA,

Tahar DAHAM, Ahmed GUEDDOUH, Brahim LAGOUN, Ahmed NOURI, Nassim

MAHAMMEDI, Tayeb BENTRIA qui ont su m’entourer et m’encourager généreusement,

soient remerciés pour leur bonne humeur et leur soutien permanent.

iv

J’écris les dernières lignes de ce mémoire en pensant à mes parents. Ces leur encouragement et leur amoure qui m’ont conduit jusqu’à maintenant. Je leur dois une profonde gratitude et je les remercie pour tout.

v

Table des matières

Table des figures……………………………………………………………………..... viii Glossaire des notations……………………………………………………………........ xi Résumé………………………………………………………………………………..... xiii Introduction générale……………………………………………………………….. 01

Chapitre I – Cellules solaires et CEM I-1 Le solaire photovoltaïque : un marché en plein essor………………………………… 04

I-1.1 Un Coût réduit………………………………………………………………… 05 I-1.2 Un rendement qui ne cesse d'augmenter…………………………………….... 06

I-2 Compatibilité électromagnétique CEM…………………………………………..…… 07 I-2.1 Définitions…………………………………………………………………..… 07 I-2.2 Problème de CEM…………………………………………………………….. 08 I-2.3 Les Sources de perturbation…………………………………………………... 09 I-2.4 Le couplage…………………………………………………………………… 09 I-2.5 CEM et système photovoltaïque…………………………………………..….. 09

I-3 Solaire et cellule photovoltaïque……………………………………………………… 15 I-3.1 Le spectre solaire……………………………………………………………… 15 I-3.2 L’effet photovoltaïque………………………………………………………… 16

I-3.2.1 Historique………………………………………………………………. 16 I-3.2.2 Principe………………………………………………………………….17 I-3.2.3 L’interaction photon-semiconducteur………………………………….. 17 I-3.3.4 L’absorption……………………………………………………………. 18 I-3.2.5 Fonctionnement d’une cellule photovoltaïque…………………………. 19 I-3.2.6 Caractéristiques électriques d’une cellule photovoltaïque……………... 20 I-3.2.7 Structure des cellules photovoltaïques…………………………………. 21

I-3.3 Cellule solaire et système modélisé……………………………………………23 I-4 Conclusion…………………………………………………………………………….. 24

Chapitre II – SYSTEMES ELECTROMAGNETIQUES : Formulation & Mise en Equation

II-1 Champs et équations en Electromagnétisme…………………………………………. 26 II-1.1 Problématique – Système modélisé………………………………………….. 26 II-1.2 Equations de Maxwell……………………………………………………….. 27 II-1.3 Relations constitutives des matériaux……………………………………….. 28 II-1.4 Conditions de Passage……………………………………………………….. 28

vi

II-1.5 Conditions aux limites……………………………………………………….. 29 II-1.6 Hypothèses – Equations à résoudre………………………………………….. 30

II-2 Formulations Electromagnétiques……………………………………………............. 31 II-2.1 Potentiel vecteur et potentiel scalaire……………………………………....... 32

II-2.1.1 Le potentiel vecteur magnétique A……………………………………. 32 II-2.1.2 Le potentiel scalaire électrique V……………………………………... 32 II-2.1.3 Le potentiel vecteur électrique T……………………………………… 33 II-2.1.4 Le potentiel scalaire magnétique φ……………………………………. 33

II-2.2 Formulation A-V…………………………………………………………. 34 II-2.2.1 Condition de jauge…………………………………………………….. 35

II-2.3 Formulation A*…………………………………………………………........ 37 II-2.4 Formulation T-φ…………………………………………………………........ 38 II-2.5 Formulation E……………………………………………………………….. 39 II-2.6 Formulation H……………………………………………………………….. 40 II-2.7 Synthèse du Choix des Formulations………………………………………… 40

II-3 Mise en équation du problème……………………………………………………….. 41 II-3.1 Hypothèses 2D……………………………………………………………….. 42 II-3.2 Formulation A en 2D……………………………………………………........ 43

II-4 Conclusion……………………………………………………………………............. 44

Chapitre III – APPROXIMATION NUMERIQUE : Méthode des Eléments Finis

III-1 Généralités…………………………………………………………………………... 46 III-2 Approximation par la méthode des éléments finis………………………………….. 49

III-2.1 Discrétisation du domaine d’étude………………………………………….. 49 III-2.1.1 Formes d’éléments…………………………………………………… 50 III-2.1.2 Table de définition des nœuds………………………………………... 50 III-2.1.3 Table de définition des éléments……………………………………... 51

III-2.2 Discrétisation de l’équation…………………………………………………. 51 III-2.2.1 Approximation nodale………………………………………………... 52 III-2.2.2 Fonctions de forme…………………………………………………… 54 III-2.2.3 Quantités élémentaires……………………………………………….. 55

III-2.3 Assemblage…………………………………………………………………. 58 III-2.4 Résolution du système………………………………………………………. 60 III-2.5 Etude de convergence……………………………………………………….. 60

III-3 Implémentation de la méthode des éléments finis…………………………………... 61 III-3.1 Algorithme de Calcul……………………………………………………….. 61

vii

III-4 Conclusion…………………………………………………………………………... 63

Chapitre IV – Implémentation, Validation et Exploitation

IV-1 Introduction…………………………………………………………………………. 65 IV-2 Construction de la géométrie du système…………………………………………… 65

IV-2.1 Discrétisation de la géométrie……………………………………………… 66 IV-2.2 Conditions aux limites………………………………………………………. 68

IV-3 Résultats et analyses………………………………………………………………… 68 IV-3.1 Potentiel vecteur magnétique A…………………………………………….. 69 IV-3.2 Induction magnétique B…………………………………………………….. 70 IV-3.3 Champ électrique E…………………………………………………………. 72

IV-4 Application à l’évaluation des paramètres physiques………………………………. 72 IV-4.1 Effet de la fréquence………………………………………………………… 73 IV-4.2 Effet de contacte arrière…………………………………………………….. 76 IV-4.3 Effet de l’épaisseur de la cellule……………………………………………. 77 IV-4.4 Effet de l’intensité du courant………………………………………………. 78 IV-4.5 Calcul en champ proche : effet de la distance………………………………. 79

IV-5 Conclusion…………………………………………………………………………... 81

Conclusion générale………………………………………………………………….. 82

Bibliographie…………………………………………………………………………… 84

viii

Table des figures

I.1 – Evolution de la production mondiale de cellules photovoltaïques en MWc.......................................................................................................

05

I.2 – Tarif du kWh produit par l’énergie photovoltaïque............................... 06

I.3 – Progression des rendements des différentes filières.............................. 06

I.4 – Transmission des perturbations.............................................................. 08

I.5 – Quelques sources de perturbations électromagnétiques......................... 10

I.6 – Etude de l’impact de la foudre directe sur un module PV en utilisant un simulateur de foudre..........................................................................

11

I.7 – Banc d'essai utilisé pours mesuré les perturbations conduites et rayonnés par un panneau solaire............................................................

12

I.8 – Courant et champ rayonné pour un système photovoltaïque avec onduleur…….........................................................................................

12

I.9 – Modèle de calcul utilisé par W. Tomoyuki ........................................... 13

I.10 – Le satellite DEMETER.......................................................................... 13

I.11 – Structure d’une antenne planaire à base de cellule photovoltaïque et son diagramme de rayonnement............................................................

14

I.12 – Le satellite atmosphérique HELIOS...................................................... 15

I.13 – Variation spectrale de la puissance émise par le soleil.......................... 16

I.14 – Transitions inter-bandes d’électrons dans un semiconducteur.............. 18

I.15 – Coefficient d’absorption et profondeur de pénétration de semiconducteurs usuels utilisés en photodétection................................

19

I.16 – Principe de la cellule photovoltaïque..................................................... 19

I.17 – Caractéristique I(V) et schéma électrique équivalent d’une cellule photovoltaïque........................................................................................

20

I.18 – Composition d’une cellule photovoltaïque............................................ 21

I.19 – Différents types de contact : (a) face avant, (b) face arrière.................. 23

I.20 – Type de cellule photovoltaïque.............................................................. 23

II.1 – Problème électromagnétique type.......................................................... 26

ix

II.2 – Conditions aux limites........................................................................... 29

II.3 – Type de cellule photovoltaïque.............................................................. 42

II.4 – Approximation de la grille rectangulaire en grille circulaire................. 42

II.5 – Système tridimensionnel avec sa section transversale........................... 43

III.1 – Processus d’analyse utilisant un modèle numérique.............................. 47

III.2 – Eléments typiques.................................................................................. 50

III.3 – Elément triangulaire à trois nœuds avec leur numérotation locale........ 52

III.4 – Fonctions de forme (base linéaire)......................................................... 54

III.5 – Organigramme de résolution magnétodynamique par MEF.................. 62

IV.1 – Géométrie 2D du système sous Matlab.................................................. 66

IV.2 – Discrétisation du domaine...................................................................... 67

IV.3 – Conditions appliquées sur les frontières du domaine............................. 68

IV.4 – Distribution du potentiel vecteur magnétique 𝐴𝐴 obtenu par calcul....... 69

IV.5 – Distribution du potentiel vecteur magnétique 𝐴𝐴 obtenu par Comsol.... 70

IV.6 – Répartition des parties réelle et imaginaire du potentiel vecteur magnétique.............................................................................................

70

IV.7 – Distribution de l’induction magnétique B à 100kHz............................. 71

IV.8 – Champ vecteurs et isovaleurs de l’induction magnétique à 100kHz..... 71

IV.9 – Distribution du champ électrique E à 100kHz....................................... 72

IV.10 – Distribution du potentiel vecteur magnétique A pour différentes fréquences..............................................................................................

74

IV.11 – Effet de la fréquence sur l’intensité du rayonnement ........................... 75

IV.12 – Distribution du potentiel vecteur magnétique d’une cellule a contact arrière interdigité....................................................................................

76

IV.13 – Distribution du potentiel vecteur magnétique d’une cellule à plan de mass........................................................................................................

77

IV.14 – Effet de la fréquence sur l’intensité du rayonnement de la cellule sans et avec contacte arrière...........................................................................

77

x

IV.15 – Effet du l’épaisseur de substrat semiconducteur sur le rayonnement du la cellule Solaire................................................................................

78

IV.16 – Potentiel vecteur magnétique A en fonction de l’intensité de courant....................................................................................................

78

IV.17 – Induction magnétique calculé et mesuré ............................................... 79

IV.18 – Intensité de l’induction magnétique à différentes distances.................. 80

IV.19 – Intensité du champ électrique a différentes distances........................... 80

xi

Conventions Le manuscrit est partagé en chapitres (chap.) repères par un chiffre romain (chap.II).

Chaque chapitre est divisé en section (sect.) repérées par deux nombres séparés par un

point (sect.II.3). Chaque section est divisée en paragraphes (§) repérés par trois nombres

séparés par deux points (§ II.3.1).

Un terme apparait en italique la première fois qu’il est défini dans le texte. Les

équations sont numérotées continûment par chapitre ; elles sont repérées par deux nombres

placés entre parenthèses et séparés par un trait (II-19). Les figures et les tableaux sont

numérotés continûment par chapitre et repérés par deux nombres placés entre parenthèse et

séparés par un point précèdes de figure (figure I.5) ou tableau (tableau III.2).

Glossaire des notations et symbole

𝐴𝐴 potentiel vecteur magnétique T.m

𝐴𝐴∗ potentiel vecteur magnétique modifié T.m

Ae fonction approchée de 𝐴𝐴 sur un élément T.m

An valeur approchée de 𝐴𝐴 sur un nœud n T.m

ai paramètres de l’approximation

𝐵𝐵 induction magnétique T

𝐵𝐵𝑟𝑟 induction magnétique rémanente T

𝐷𝐷 densité de flux électrique C.m-1

𝐸𝐸 champ électrique V. m-1

f fréquence Hz

𝐻𝐻 champ magnétique A.m-1

I courant électrique A

𝐽𝐽 densité de courant électrique A.m-2

𝐽𝐽𝑠𝑠 densité de courant source A.m-2

xii

𝐽𝐽 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 densité de courants induits A.m-2

Ni les fonctions d’interpolation

𝑇𝑇 potentiel vecteur électrique A.m-1

V potentiel scalaire électrique V

𝑣𝑣 vecteur vitesse m.s-1

wi fonction de projection

φ potentiel scalaire magnétique A

ω pulsation rd.s-1

σ conductivité électrique S.m-1

ε permittivité électrique F.m-1

µ perméabilité magnétique H.m-1

v reluctivité magnétique : v =1/µ m.H -1

𝜌𝜌 densité de charges volumique C.m-3

Ω domaine d’étude

Г frontière du domaine Ω

xiii

: ملخـص

يهدف هذا العمل إلى تطوير برنامج حسابي يرتكز في أساسه على حل معدالت ماكسويل بطريقة العناصر المنتهية، قادر على إعطاء تقييم سلوكي للحقل الكهرومغناطيسي للخاليا الشمسية في المجال المحاذي لها.

و لقد استغل البرنامج المطور لدراسة أثر مختلف العوامل الفيزيائية و الهندسية على اإلشعاع الكهرومغناطيسي توافقا جيدا مع النتائج التجريبية المتوفرة و مع تلك التي Matlab. أظهرت نتائج التنفيذ في محيط لأللواح الشمسية

و خلصت إلى أنه في بعض الحاالت يمكن COMSOL Multiphysicsتحصلنا عليها باستخدام البرنامج التجاري .مشوش اثر اإلشعاعاتأن يكون لهذه

طريقة العناصر المنتهية. التوافق الكهرومغناطيسي، الكهرومغناطيسي، الحساب الخاليا الشمسية، – الكلمات الداللية

Abstract

The aim of this work is to develop computational code based on the resolution of Maxwell equations by finite elements method able to give an electromagnetic behavioral evaluation of solar cells in near field.

The developed program was used to evaluate the impact of the different physical and geometrical parameters on the EM radiation of solar panels. The implementation results obtained using MATLAB environment shows a good agreement with the experimental data available in the literature then with those simulated by a commercial software "COMSOL Multiphysics" and concluded that in some configurations, these radiations can be disturbing.

Keywords – Solar cells, computational electromagnetic, electromagnetic compatibility, finite element method.

Résumé

L’objectif de ce travail est de développer un code de calcul basé sur la résolution

des équations de Maxwell par éléments finis en vue d’une évaluation comportementale

du champ électromagnétique dans le voisinage proche des cellules photovoltaïques.

Le programme développé a été exploité pour évaluer l’impact des différents

paramètres physiques et géométriques sur le rayonnement des panneaux solaires. Les

résultats de l’implémentation sous environnement MATLAB montrent une bonne

concordance avec les résultats expérimentaux de la littérature puis à ceux obtenus par un

logiciel commercial : COMSOL Multiphysics. Ces résultats montrent que dans certaines

configurations ces champs peuvent être nuisibles.

Mots clés – Cellules Solaires, Calcul de Champ, Compatibilité Electromagnétique, Méthode des Eléments Finis.

Introduction générale

|01


La dernière décennie a été marquée par une large extension du domaine

photovoltaïque. Grâce aux progrès et avancées réalisées dans l’industrialisation et la

commercialisation des cellules photovoltaïques, les panneaux solaires sont appelés à se

proliférer considérablement à travers le monde. Aujourd’hui les panneaux solaires à

cellules photovoltaïques constituent le moyen le plus populaire de conversion de l’énergie

solaire en énergie électrique vue les avantages qu’offre cette énergie renouvelable sur

plusieurs plans tels que pérennité, écologie etc…

Cependant et jusqu'à nos jours, il y a peux d’études qui ont été faites sur la pollution

électromagnétique causée par ces panneaux solaires dans l’environnement proche et qui

peut contenir autant d’instruments et systèmes électroniques tels que capteurs, récepteurs...

Cette perturbation, ou interférence électromagnétique (IEM), peut aller du simple

désagrément, comme le crépitement dans un récepteur radio, à la perte de fonctionnalité

momentanée ou permanente d’un système.

Le travail présenté dans ce mémoire constitue une contribution à l’étude du

rayonnement parasite de panneaux solaires en zone proche dans la bande [1kHZ, 30 MHz].

Le but de cette étude est de développer un code de calcul spécifique adapté à la résolution

de problèmes en basses fréquences, il permet une meilleure compréhension de l’interaction

champ électromagnétique et matériau semiconducteur, et une bonne maitrise des

applications qui peuvent en découler, nous citons par exemple :

- Domaine de CEM : la compatibilité électromagnétique des systèmes électronique et

électrotechnique.

- Domaine d’instrumentations : la mesure de champ EM par des capteurs à

semiconducteur.

- Domaine de CND : l’extraction sans contacte des paramètres électriques, magnétiques

et optoélectroniques.

- Domaine antennaire : l’étude des structures rayonnantes à base de matériaux

semiconducteurs.

Ce travail fera appel à des calculs en régime quasi-stationnaire, approximation et

discrétisation par une méthode numérique telle que les éléments finis et au calcul de

rayonnement en champ proche. Cette pluridisciplinarité procure donc un large spectre


|02

d’outils de simulation utilisés dans le domaine de calcul de champ numérique. Pour cela

les travaux se sont articulés autour de quatre chapitres.

Organisation du manuscrit

Dans le premier chapitre, nous abordons tout d’abord l’intérêt et les enjeux de

l’énergie solaire photovoltaïque. Nous rappelons quelques généralités sur les problèmes de

compatibilité électromagnétique. Ensuite, nous présentons une analyse bibliographique qui

regroupe les principaux travaux réalisés sur l’étude de la compatibilité électromagnétique

dans les systèmes photovoltaïques. Et nous terminons par une présentation de la cellule

solaire, source des radiations parasites qu’on veut déterminer.

Dans le chapitre 2, nous présentons les outils mathématiques utilisés dans la

modélisation de l’interaction « onde électromagnétique−semiconducteur ». Nous exposons

de manière synthétique les principales formulations développées pour le calcul de champ

dans les systèmes électromagnétiques, notre choix s’est porté sur la formulation A-V

axisymétrique, une formulation bien adapté à notre système.

Dans le troisième chapitre, nous exposons la méthode des éléments finis, méthode

retenue pour la résolution de la formulation choisie. Nous détaillons les différents outils et

techniques nécessaires à leur mise en œuvre. Et nous terminons par exposer l’algorithme

qui permet l’implémentation pratique de la méthode.

Le chapitre 4 est consacré à la présentation des résultats de l’implémentation du

modèle sous environnement MATLAB. Ces résultats seront confrontés tout d’abord aux

résultats expérimentaux de la littérature puis à ceux obtenus par un logiciel commercial :

Comsol Multiphysics.

Chapitre I Cellules solaires et CEM

Sommaire

-1 Le solaire photovoltaïque : un marché en plein essor ....................................................... 4

-1.1 Un Coût réduit… ..................................................................................................... 5

-1.2 Un rendement qui ne cesse d'augmenter… ............................................................. 6

-2 Compatibilité électromagnétique CEM ............................................................................. 7

-2.1 Définitions ............................................................................................................... 7

-2.2 Problème de CEM ................................................................................................... 8

-2.3 Les Sources de perturbation .................................................................................... 9

-2.4 Le couplage ............................................................................................................. 9

-2.5 CEM et système photovoltaïque ............................................................................. 9

-3 Solaire et cellule photovoltaïque ..................................................................................... 15

-3.1 Le spectre solaire .................................................................................................. 15

-3.2 L’effet photovoltaïque ........................................................................................... 16

-3.2.1 Historique ...................................................................................................... 16

-3.2.2 Principe .......................................................................................................... 17

-3.2.3 L’interaction photon-semiconducteur ........................................................... 17

-3.3.4 L’absorption .................................................................................................. 18

-3.2.5 Fonctionnement d’une cellule photovoltaïque .............................................. 19

-3.2.6 Caractéristiques électriques d’une cellule photovoltaïque ............................ 20

-3.2.7 Structure des cellules photovoltaïques .......................................................... 21

-3.3 Cellule solaire et système modélisé ...................................................................... 23

-4 Conclusion ....................................................................................................................... 24


|4

Dans ce chapitre, nous présentons tout d’abord l’intérêt et les enjeux de l’énergie

solaire photovoltaïque, une énergie qui présente tant d’avantages : gratuité de la source;

gisement inépuisable; éco-convivialité,... Cependant sur le plan de la compatibilité

électromagnétique (CEM), nous retenons quelques inconvénients dus aux panneaux

solaires, éléments de base de la production de cette énergie "dite propre " et sujet de notre

problématique. Ainsi, nous présentons les notions d’environnement et de compatibilité

électromagnétique, les principaux phénomènes de perturbations électromagnétiques

naturelles et artificielles sont décrits en donnant quelques exemples et en envisageant le

couplage des perturbations émises (conduites et rayonnées) à leurs « victimes ». Dans cette

section, nous présentons une analyse bibliographique qui regroupe les principaux travaux

réalisés sur l’étude de la compatibilité électromagnétique dans les systèmes

photovoltaïques.

Nous terminons le chapitre par la présentation de la cellule solaire, source des

radiations parasites qu’on veut déterminer. Ainsi, nous passons en revue la physique

photovoltaïque et nous décrivons le fonctionnement des cellules solaires, leurs

caractéristiques principales et nous exposons enfin le système "électromagnétique" à

modéliser : Cellule solaire.

I-1 Le solaire photovoltaïque : un marché en plein essor

La production directe d’électricité par des modules photovoltaïques, technique

séduisante par l’absence d’éléments mécaniques ou de fluides, connaît un développement

explosif. Avec une croissance soutenue de l’ordre de 40 % par an depuis plus de dix ans

(figure I.1), l’industrie photovoltaïque mondiale a produit en 2006 près de 2500 hectares de

modules [1]. Ceux-ci représentent une puissance crête de 2,5 GWc1

1 L’unité de mesure de la production de cellules et modules photovoltaïques est le watt-crête installé, qui

correspond à une puissance de 1 watt fournie dans les conditions standard (AM1.5).

et sont capables de

générer environ 2,5 TWh par an. Certes, la contribution actuelle de l’électricité solaire PV

à la production d’énergie, est encore négligeable. Il est vrai également que des incertitudes

subsistent sur l’insertion de cette forme d’électricité dans les réseaux qui auront à gérer son

intermittence et sa disponibilité aléatoire. Néanmoins, cette croissance rapide, témoin de la

confiance des utilisateurs et des investisseurs, a fini par attirer l’attention du monde de

l’énergie et enracine la conviction que le photovoltaïque figurera à coup sûr dans le

bouquet énergétique futur d’énergies propres.


|5

Figure I.1 – Evolution de la production mondiale de cellules photovoltaïques en

mégawatts-crête [1]

I-1.1 Un Coût réduit…

Les produits photovoltaïques commercialisés aujourd’hui sont déjà le résultat d’une

technique performante qui garantit des produits fiables. Le développement de la filière a

été longtemps freiné par un coût jugé excessif face aux énergies fossiles ou nucléaires.

Mais la prise de conscience se fait, lentement il est vrai, que nos sociétés doivent payer un

certain prix pour garantir un avenir supportable en termes de pollution et de sécurité, bref

de développement durable.

La figure I.2 montre l’évolution du coût du kWh produit par l’énergie

photovoltaïque. Trois facteurs contribuent à établir le prix du kWh :

le rendement énergétique.

le coût de fabrication du m2 de modules.

la durée de vie de ces modules.

Les deux premiers facteurs déterminent le prix du watt-crête (Wc), tandis que la

durée de vie permet une évaluation du coût du kWh.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006


|6

Figure I.2 – Tarif du kWh produit par l’énergie photovoltaïque [2]

I-1.2 Un rendement qui ne cesse d'augmenter…

L’augmentation des rendements focalise particulièrement l’intérêt des chercheurs. Le

graphique de la figure I.3 montre que toutes les filières continuent de progresser de façon

remarquablement continue depuis trente ans. Il n’y a pas eu de grandes ruptures dans cette

progression et les nouvelles filières suivent sensiblement la même pente que les anciennes.

Figure I.3 – Progression des rendements des différentes filières [2].

Des cellules moins coûteuses et plus performantes pour un marché en plein

expansion. Ces trois facteurs ont fait que les cellules photovoltaïques se sont multipliées

considérablement à travers le monde. Leurs applications se sont variées et touchent


|7

maintenant à plusieurs secteurs industriels (génie civil, automobile, télécommunication,

aérospatial,...). Cette utilisation de masse nous incite à poser la question suivante : Est-ce

cette émergence intensive des panneaux solaires dans les milieux citadins n’est sans

effet de pollution électromagnétique sur leur environnement ?

I-2 Compatibilité électromagnétique CEM

L’intérêt pour l’étude des perturbations est apparu dès les années 1920, débuts des

transmissions radiophoniques. La nécessité se fait alors sentir d’assurer l’immunité des

signaux radiodiffusés de faible amplitude contre des champs électromagnétiques parasites.

En 1934 est créé le Comité international spécial des perturbations radioélectriques CISPR.

Durant la deuxième guerre mondiale l’utilisation des appareils électroniques s'est accélérée

(radio, navigation, radar), les interférences se multiplient entre la radio et les systèmes de

navigation aérienne. Le CISPR continue son activité de recherche et propose des

techniques de mesures des perturbations et recommande des valeurs limites d'émission.

L’augmentation la plus significative des problèmes d’interférences est apparue avec

l’invention des composants électroniques à haute densité, tels que le transistor bipolaire

dans les années 1950, le circuit intégré dans les années 1960, et les puces à

microprocesseur dans les années 1970. Par ailleurs, le spectre fréquentiel utilisé devient

beaucoup plus large, afin de subvenir aux besoins croissants de transmissions

d'informations. De nos jours, l’environnement électromagnétique est devenu l’un des

paramètres à prendre en compte dans tout projet industriel faisant intervenir de

l’électronique du signal ou de puissance, au même titre que la gestion de la thermique ou la

gestion des contraintes mécaniques.

I-2.1 Définitions

Selon le lexique électrotechnique international [3], la CEM est la capacité d’un

dispositif, équipement ou système, à fonctionner de manière satisfaisante dans son

environnement électromagnétique sans introduire de perturbations intolérables pour

quoique ce-soit dans cet environnement. Cette définition est également celle adoptée par la

directive européenne sur la CEM. Elle est maintenant une discipline, celle d’améliorer la

cohabitation entre des éléments susceptibles d’émettre des perturbations

électromagnétiques et/ou d’y être sensibles.


|8

La CEM couvre donc tous les thèmes qui participent de près ou de loin à la

réalisation des deux principes fondamentaux cités précédemment. Parmi les domaines

couverts, on peut citer [4]:

la caractérisation de l’environnement électromagnétique (sources de

perturbations ou d’émissions électromagnétiques).

l’étude des mécanismes de couplage.

l’étude de l’immunité des équipements aux perturbations.

les méthodes et moyens de protection (les dispositifs de filtrage et

d’écrêtement des perturbations, le blindage, les règles d’ingénierie).

la normalisation.

I-2.2 Problème de CEM

Quelle que soit la complexité du système électrique et/ou électronique considéré,

toute situation d’interférence électromagnétique fait intervenir trois éléments différents

(figure I.4) [5]:

1. Source de perturbation qui émet de l’énergie électromagnétique.

2. Canal de couplage au travers duquel l’énergie de ces perturbations se propage.

3. Récepteur qui capte cette énergie, la traite et la superpose à sa fonction normale.

Figure I.4 – Transmission des perturbations

On parle d’interférence lorsque l’énergie transmise dépasse un niveau critique qui

entrave le bon fonctionnement de récepteur. Il y a trois moyens de réduire les perturbations

à un niveau acceptable :

1. Supprimer ou diminuer l’émission à la source.

2. Rendre le couplage le plus inefficace possible.

3. Rendre le récepteur moins susceptible aux émissions.

Source de perturbation

Canal de couplage

Victime (récepteur)


|9

I-2.3 Les Sources de perturbation

On peut distinguer deux grandes catégories de sources de perturbations

électromagnétiques (Figure I.5). Les sources de perturbations d’origine naturelle et les

sources de perturbations qui proviennent de l’activité humaine [4,5].

Parmi les sources de perturbations d’origine naturelles, nous pouvons citer :

la foudre.

les rayonnements cosmiques et en particulier solaires.

les décharges électrostatiques

Parmi les sources de perturbations qui découlent de l’activité humaine, on peut

distinguer deux catégories :

les sources de rayonnement électromagnétique volontairement crées par

l’homme : émetteurs radio, télévision, radar, téléphones portables, etc.

les sources de perturbation involontaires qui proviennent de l’utilisation de

l’électricité : lignes de transport d’énergie, éclairage fluorescent, moteurs

électriques, alimentations des systèmes électroniques, etc.

I-2.4 Le couplage

Le couplage d’une source à une victime peut se faire de deux manières

(Figure I.5) [5] :

1. Couplage par conduction : propagation d’une tension ou d’un courant sur des

conducteurs (fils véhiculant le signal, les commandes ou les alimentations).

2. Couplage par rayonnement : propagation d’un champ électromagnétique dans

un milieu (air, autres types de matériaux).

I-2.5 CEM et système photovoltaïque

Dans cette partie nous allons survoler les principaux travaux et recherches réalisés

dans le domaine de CEM en photovoltaïque tout en suivant l’ordre chronologique de leur

apparition.

La première étude qui a soulevé le problème de CEM en photovoltaïque est celle

présenté par C. B. Rogers (1981) [6] où il a étudié les problèmes qui peuvent poursuivre le

foudroiement des cellules solaires, généralement exposés à toutes agressions

atmosphériques.


|10

Figure I.5 – Quelques sources de perturbations électromagnétiques

Il montre que la foudre peut engendrer des champs magnétiques élevés de telle sorte que

les courants induits et la surtension apparaissent à la sortie du module PV ont une

influence néfaste sur les systèmes et l’appareillage connectés au panneau et même, par

fois, sur le panneau lui-même.

Depuis lors, plusieurs études ont été menées sur ce thème essayant de caractériser et

de modéliser ce phénomène ainsi que de proposer des méthodes et techniques de

protections plus sûres, efficace et surtout moins couteuses, pour une énergie dont le prix

déjà jugé excessif face aux énergies fossiles ou nucléaires. Parmi ces études, on trouve

parmi autres :

En 1993, Stern.H. J, Karner. H. C [7] présente un modèle de couplage inductif

entre les modules photovoltaïques suite à un coup de foudre direct. Il décrit aussi

certains aspects de conception du module en vue son influence magnétique. Dans

ce travail, il recommande l’utilisation des ossatures métalliques à forte conduction

telle que l’aluminium et des diodes by-pass et d'interconnexion à puissance élevé.

En 2001, H. Haeberlin [8] reproduit les expériences faite par [7] en utilisant un

simulateur de foudre plus puissant et plus large (1,25m×2.25m) qui permet


|11

d'exposer la structure entière du modules PV a l’effet de foudre en comparaison

avec les travaux antérieurs (40cm×50cm).

En 2002, une étude Européenne ESDEPS (EMC and Safety Design for

Photovoltaic Systems) [9] qui a pour mission l'amélioration et/ou la création de

normes relatives à la CEM et la sécurité des systèmes photovoltaïques (figure I.6).

En 2008, Hernandez. J. C [10] publie un article dont le but est de donner les

hypothèses essentielles à tenir compte lors de la conception et de l’installation des

panneaux solaires et qui peuvent améliorer l’immunité des systèmes

photovoltaïques contre la foudre et les problèmes de surtensions.

Figure I.6 – Etude de l’impact de la foudre directe sur un module PV en utilisant un simulateur de foudre [9]

Si les problèmes de CEM dans les systèmes photovoltaïques dus aux perturbations

d’origine naturelles telle que la foudre ont été pris en charge précocement et ce depuis la

fin des années 70. Les problèmes de CEM dont l’origine est due à des activités humaines

n’ont apparues qu’à la fin des années 90 avec la forte émergence de l’électricité solaire

dans les milieux urbains.

I-2.5.1 Panneaux solaire et rayonnement parasite

Un grand intérêt a été accordé ces dernières années à l’étude des perturbations

électromagnétiques dans les systèmes photovoltaïques. Parmi les premières études qui ont

révélé ce problème, c’est celle effectué par S.Tomita [11]. Depuis lors, de nombreux

travaux sur la caractérisation et la modélisation de ces perturbations ont été menés [12, 13,

14].

La figure I.7 présente une chaîne de mesure proposée par [9] pour étudier les

perturbations conduites et rayonnées par les panneaux solaires. Les deux capteurs en mode

commun et en mode différentiel sont utilisés pour mesurer les perturbations conduites,


|12

tandis que l’antenne circulaire est utilisée pour mesurer les perturbations rayonnées. Les

résultats expérimentaux de ces mesures (figure I.8) ont montré que le niveau des champs

rayonnés dépasse la limite d’immunité exigé lorsque l’onduleur est mis en marche. Il

suggère donc que l’onduleur, avec ses composants de commutation et de puissance, est la

source principale de perturbation dans les systèmes photovoltaïques.

Figure I.7 – Banc d'essai utilisé pours mesurer les perturbations conduites et rayonnés par un panneau solaire [9]

Figure I.8 – Courant et champ rayonné pour un système photovoltaïque avec onduleur (en rouge : limite d’immunité exigée par la directive VDE 0878-1) [9, 15]

Une autre approche a été présentée par W. Tomoyuki [12], où une étude

expérimentale et théorique de champ électromagnétique rayonné par les cellules solaires a

été menée afin d’éliminer l’effet antenne de la cellule solaire. La cellule est modélisée par

un fil conducteur de conductivité électrique limitée (figure I.9), et l'intensité de champ

rayonné par ce fil est calculée par la méthode des moments.


|13

Figure I.9 – Modèle de calcul utilisé par W. Tomoyuki [12]

Parmi les travaux intéressants qui s’inscrivent dans la contribution à l’étude du

rayonnement parasite de panneaux solaires, on cite aussi le travail présenté par H. Mourad

[16]. Il étudie, par la méthode PEEC, les perturbations dus aux panneaux solaires du

satellite DEMETER sur des sondes implantées sur ce dernier (figure I.10). Ce satellite a

pour mission d’étudier les perturbations de l’ionosphère associées à l’activité sismique ou

volcanique, mais aussi les variations de l’environnement électromagnétique liées à

l’activité humaine. D’où la nécessité d’éliminer toute source de perturbations

électromagnétiques qui peut affecter ces sondes.

En 2010, M. Drapalik [17] étudia la réaction des cellules photovoltaïques aux

champs électromagnétiques externes dans une gamme de fréquences qui s’étale de 10 Hz à

1 GHz. Ses résultats ont montré que les rayonnements captés par les cellules peuvent

perturber le point de fonctionnement maximal (MPP), ce qui pourrait affecter l’unité de

conditionnement d'énergie (ou le régulateur) du système photovoltaïque.

Figure I.10 – Le satellite DEMETER


|14

Récemment et contrairement aux travaux précédemment cités, d’autres travaux tirant

profit du comportement électromagnétique que présente les cellules solaires ont vu le jour.

Ainsi dans le domaine antennaire on a réussi d’intégrer des cellules photovoltaïques

comme récepteur d'ondes électromagnétiques dans les bandes VHF-UHF et d’appliquer

ces cellules solaires dans la structure des antennes planes [18].

Des applications autonomes comme dans les stations météorologiques ou les

systèmes de communication par satellite ont besoin d'une source d’énergie indépendante

généralement assuré par des panneaux photovoltaïques, une technologie qui se distingue

par sa fiabilité, pérennité et éco-convivialité. La combinaison d'antenne et cellules solaires

en un seul dispositif peut ouvrir des horizons à de nouveaux produits moins coûteux et

moins encombrants.

La figure I.11 donne un exemple de cette intégralité antenne-cellule solaire [19].

L’élément rayonnant (ou patch) de l’antenne, généralement en cuivre, a été remplacé par

une cellule solaire en silicium poly-cristallin. La bonne concordance entre le diagramme de

rayonnement (figure I.11) de l’antenne conventionnelle et celle à cellule solaire a permet

de confirmé que les cellules solaires peuvent être utilisées efficacement dans la conception

des antennes tout en assurant un double rôle : émission-réception des signaux et production

de l’électricité.

Figure I.11 – Structure d’une antenne planaire à base de cellule photovoltaïque et son diagramme de rayonnement [19]

Un exemple pratique de l’application des antennes planes à base de cellules

photovoltaïques est le satellite atmosphérique HELIOS développé par la NASA

(figure I.12). Les cellules ont pour mission d’assurer l’alimentation des propulseurs

électriques, les instruments de mesures et de contrôles et surtout la communication entre


|15

l’engin et la station terrestre, ce qui a permet un gain considérable dans le poids final de la

machine.

Figure I.12 – Le satellite atmosphérique HELIOS [19, 20]

I-3 Solaire et cellule photovoltaïque

I-3.1 Le spectre solaire

Outre sa variabilité au cours du temps, l’éclairement solaire est polychromatique et

subit l’influence de la couche atmosphérique traversée, tant pour son intensité que pour sa

composition spectrale. Il s’étend du proche ultraviolet au proche infrarouge, comme le

montre la figure I.13. Le spectre de l’énergie émise par le soleil est à peu près celui du

corps noir1

Cette irradiance est pondérée par divers facteurs à la surface de la terre : absorption

par les molécules des différentes couches de l’atmosphère, conditions climatiques, latitude

du lieu d’observation et saison. Des gaz comme l’ozone (O3), pour des longueurs d’ondes

inférieures à 0,3 μm, le dioxyde de carbone (CO2) et la vapeur d’eau (H2O), pour les

infrarouges au dessus de 2 μm, absorbent les énergies proches de leur énergie de liaison, ce

qui conduit à des «puits» dans le spectre solaire visible au sol. Par ailleurs, les poussières et

aérosols présents dans l’atmosphère conduisent à une absorption répartie quasiment sur

toute la gamme spectrale, ce qui conduit à une baisse globale de la puissance incidente.

Afin de comparer et d’unifier les performances des cellules photovoltaïques élaborées dans

les différents laboratoires du monde, il a été institué la notion d’Air Mass (AM). Elle

à ~6000 K, et cette énergie est maximale pour λ ~ 0,48 μm.

1 Introduit par le physicien Gustav Kirchhoff en 1860, un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre

électromagnétique ne dépend que de sa température.


|16

quantifie la quantité de puissance absorbée par l’atmosphère en fonction de l’angle θ du

soleil par rapport au zénith1

AM = 1cos(θ)

(I-1)

Le spectre standard le plus étudié est AM1.5G, G signifiant global car il tient compte

à la fois des radiations directes et diffuses, par opposition à AM1.5D qui ne tient compte

que des radiations directes. AM 1.5G donne une irradiance de 970 W/m², mais elle est

toujours arrondie à 1kW/m².

[21] :

Figure I.13 – Variation spectrale de la puissance émise par le soleil [21]

I-3.2 L’effet photovoltaïque

C’est le phénomène de transformation, par effet photoélectrique, des rayonnements

solaires en énergie électrique. La cellule de base pour la conversion directe des

rayonnements solaires est appelée photopile ou cellule photovoltaïque (PV).

I-3.2.1 Historique

L’effet photovoltaïque a été mis en évidence en 1839 par Becquerel en

illuminant une électrode plongée dans un liquide électrolyte; toutefois son

mécanisme n’est explicité qu’en 1912 par Albert Einstein ;

1 Le zénith est un des points d'intersection de la verticale d'un lieu donné et de la sphère céleste.


|17

Après la découverte de la photoconductivité du sélénium, en 1873 par Smith,

ce même effet a été observé sur un matériau solide par Adams et Day, en

1877;

La première cellule PV, construite en 1914, avait un rendement de 1%. Elle

était utilisée pour réaliser des posemètres pour la photographie;

En 1954 la production d’électricité par effet PV commence à se développer,

avec la réalisation d’une cellule solaire en silicium monocristallin d’un

rendement de 6% (une cellule solaire de 2 cm² a fournit une puissance

électrique de 0,005 W). Ce dernier augmenta rapidement pour atteindre, en

laboratoire, 14% en 1958;

Les applications ont démarré vers le début des années 1960 avec des

utilisations dans les satellites, les produits grand publique ainsi que les

systèmes de production de l’électricité pour des sites isolés;

Actuellement le rendement des panneaux solaires fabriqués industriellement

varie de 13 à 18% pour le silicium cristallin, 22 à 24% pour le GaAs, 16,4%

pour le CdTe à couches minces et de 7 à 8% et parfois jusqu’à 10% pour le

silicium amorphe;

I-3.2.2 Principe

L’effet photovoltaïque est dû à la création d’électrons ou de trous (défauts

d’électrons) mobiles dans un matériau absorbant les photons qui l’éclairent et à la

séparation des charges de signe opposé. Cette séparation fait apparaître une phototension et

peut fournir un photocourant, donc de l’énergie électrique, à un circuit extérieur.

Nous présentons ici les mécanismes de la génération de porteurs électroniques au

sein d’un semiconducteur sous l’impact de photons.

I-3.2.3 L’interaction photon-semiconducteur

L’écart entre les bandes de valence et de conduction, ou gap, représente une

caractéristique fondamentale des semiconducteurs. La figure I.14 présente les différentes

transitions possibles selon la nature du gap. Quand le minimum de la bande de conduction

et le maximum de la bande de valence coïncident dans l’espace des k, il s’agit d’un gap

direct. Les transitions inter bandes s’effectuent verticalement, et sont donc radiatives

(figure I.14 (a)). Ceci illustre le fonctionnement des semiconducteurs binaires III-V, tels

que le GaAs, beaucoup utilisés en optoélectronique. Dans le cas du silicium, le gap est


|18

indirect: les transitions électroniques entre les extrema des bandes sont obliques, donc non

radiatives puisqu’elles impliquent un changement du vecteur d’onde de l’électron. Les

électrons du sommet de la bande de valence peuvent toutefois être directement excités vers

le minimum relatif central de la bande de conduction grâce à un photon de plus grande

énergie (figure I.14 (b)). Notons que la valeur du gap indirect du silicium est de 1,12 eV à

300 K (ce qui correspond à une longueur d’onde de 1107 nm), cependant, celle du premier

gap direct vaut 3,4 eV (soit 365 nm).

Figure I.14 – Transitions inter-bandes d’électrons dans un semiconducteur [21,22] : (a) un semiconducteur à gap direct, (b) à gap indirect

L’interaction entre les photons et un semiconducteur se traduit par une

caractéristique essentielle du matériau dans le domaine photovoltaïque : l’absorption.

I-3.3.4 L’absorption

L’absorption de l’énergie lumineuse est quantifiée par le coefficient d’absorption

optique α, il traduit le nombre de photons absorbés par unité d’épaisseur du matériau en

fonction de leur longueur d’onde. Le coefficient d’absorption d’un matériau

semiconducteur varie avec l’énergie des photons incidents : il est proche de 0 si hν < Eg et

peut atteindre brutalement ou progressivement plus de 105 cm-1 si hν > Eg. De ce fait, les

photons de grande énergie seront toujours absorbés près de la surface éclairée, alors que

ceux d’énergie plus faible, mais toujours supérieure à Eg, seront absorbés en volume, plus

ou moins profondément suivant la variation de α avec hν [1].

La figure I.15 montre que, pour le silicium, la croissance de α avec la longueur

d’onde est graduelle, alors qu’elle est brutale pour l’arséniure de gallium.

hv

émission absorption

BC

BV

hv

(a)

BV

BC

absorption

hv transition non radiative

(b)

thermalisation


|19

Figure I.15 – Coefficient d’absorption et profondeur de pénétration de semiconducteurs usuels utilisés en photo-détection [1]

Cette interaction photon-électron au sein du semiconducteur se traduit finalement par

la génération d’une paire électron-trou aussi appelée excitons1

I-3.2.5 Fonctionnement d’une cellule photovoltaïque

.

Le principe de fonctionnement d’une cellule photovoltaïque est illustré sur la

figure I.16.

Figure I.16 – Principe de la cellule photovoltaïque : structure (à gauche) et diagramme de

bandes d’énergies (à droite) [23]

1 Paire électron-trou liée par attraction coulombienne, une image de l’électron gravitant autour du trou.

p n E

hv1

xp xc xn 0

Charge d’espace

Contact ohmique

Contact ohmique

3 2 1

hv2

hv3

hv1

hv2

hv3

E

n Charge

d’espace p

Ev

Ef

Ec


|20

Les photons incidents créent des porteurs dans chacune des régions 1, 2 et 3 (voir

figure I.16). Le comportement des ces porteurs libres diffère suivant le lieu de leur

création. Dans les zones électriquement neutres n et p, les photoporteurs minoritaires

diffusent, ceux qui atteignent la région de charge d’espace sont propulsés par le champ

électrique vers la région où ils deviennent majoritaires. Ces photoporteurs contribuent donc

au courant par leur diffusion, ils créent un photocourant de diffusion. Dans la zone de

charge d’espace, les paires électrons-trous créées par les photons sont dissociées par le

champ électrique, l’électron est propulsé vers la région de type n et le trou vers la région de

type p. Ces porteurs donnent naissance à un photocourant de génération. Ces deux

contributions s’ajoutent pour créer un photocourant résultant Iph qui contribue au courant

inverse de la diode.

I-3.2.6 Caractéristiques électriques d’une cellule photovoltaïque

La caractéristique de la cellule photovoltaïque est représentée sur la figure I.17. Le

photocourant est pratiquement indépendant de la tension de polarisation. Le courant total

est donné par [22, 23] :

𝐼𝐼(𝑉𝑉) = 𝐼𝐼𝑝𝑝ℎ − 𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑉𝑉) (I-2)

Avec, Iph : courant photogénéré et Iobs : courant à l’obscurité. Pour une cellule

photovoltaïque idéale, l’équation (I-2) peut être écrite sous la forme suivante :

𝐼𝐼(𝑉𝑉) = 𝐼𝐼𝑝𝑝ℎ − 𝐼𝐼𝑜𝑜(exp(qV / 𝐾𝐾𝐾𝐾) − 1) (I-3)

Où Is est le courant de saturation de la diode, q est la charge élémentaire, K est la constante

de Boltzmann et T est la température.

Figure I.17 – Caractéristique I(V) et schéma électrique équivalent d’une cellule photovoltaïque [21,23]

Vco Vm

Im

Icc

Iph

I

V

sous éclairement

à l’obscurité

Pm

Puissance utile

Iph Id Vd Rsh

Rs

Im

Vm


|21

Ainsi, dans une cellule photovoltaïque, deux courants s'opposent : le photocourant dû à

l’éclairement et le courant d'obscurité, similaire a celui d’une diode conventionnelle, qui

résulte de la polarisation du composant. La caractéristique d'une cellule photovoltaïque à

l’obscurité est identique à celle d'une diode. Sous éclairement, la caractéristique a l’allure

présentée sur la figure I.17. A partir de la caractéristique I(V) de la cellule photovoltaïque,

on déduit les paramètres électriques propres à la cellule et notamment :

ICC : courant de court-circuit.

VCO : tension en circuit ouvert.

Im : courant à la puissance maximale de fonctionnement de la cellule photovoltaïque.

Vm : tension à la puissance maximale de fonctionnement de la cellule photovoltaïque.

η : rendement de conversion. Il est par définition, la puissance électrique maximale fournie sur la puissance solaire incidente [21, 22, 23] :

𝜂𝜂 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑆𝑆

= 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑜𝑜𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑆𝑆

(I-4)

où, Pi : puissance d’éclairement reçue par unité de surface, S : surface de la cellule et FF :

facteur de forme, il indique le degré d'idéalité de la caractéristique, soit le rapport :

𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑚𝑚𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑜𝑜

(I-5)

I-3.2.7 Structure des cellules photovoltaïques

Bien que différentes structures soient envisageables pour l’élaboration des cellules

photovoltaïques, des parties similaires sont présentes dans chaque composant. La structure

d’une cellule photovoltaïque est présentée sur la figure I.18.

Figure I.18 – Composition d’une cellule photovoltaïque


|22

a) Passivation des faces avant et arrière

La surface des semiconducteurs contient une densité importante de défauts entraînant

des pertes non négligeables liées à la recombinaison en surface. La passivation consiste à

améliorer les qualités électroniques de la surface et du volume du matériau en neutralisant

les effets de ses défauts électriquement actifs. Diverses couches de passivation sont

utilisées en photovoltaïque mais les principales sont l’oxyde thermique de silicium (SiO2)

et le nitrure de silicium hydrogéné (SiNx:H).

b) Couche antireflet

Pour minimiser la réflexion de la lumière, une couche antireflet (CAR) est utilisée.

Le principe d’action des couches antireflet est basé sur l’interférence des faisceaux

lumineux dans les couches diélectriques minces (voir la figure I.18). Différentes CAR sont

utilisées en photovoltaïque : TiO2, SiO2, ZnS, MgF2, SiNx, etc.

c) Texturation de la surface

La texturation est utilisée pour diminuer la réflectivité de la surface de la cellule.

Cette opération vise à développer en surface un relief micrométrique, généralement de

forme pyramidale (figure I.18). La longueur d’onde de la lumière incidente étant inférieure

aux dimensions des structures réalisées.

Différents procédés sont utilisés pour texturer la surface du silicium : attaques

chimiques de la surface, texturation mécanique (laminage à froid sous un peigne dentelé),

texturation laser

d) BSF Le champ électrique arrière (BSF : Back Surface Field) consiste à créer une barrière

de potentiel (par exemple, jonction p+-p) sur la face arrière de la cellule pour assurer une

passivation. La barrière de potentiel induite par la différence de niveau de dopage entre la

base et le BSF tend à confiner les porteurs minoritaires dans la base (voir l’insertion sur la

figure I-18). Ceux-ci sont donc tenus à l’écart de la face arrière qui est caractérisée par une

vitesse de recombinaison très élevée.

e) Contacts face avant et arrière

Les contacts métalliques à l’émetteur et au substrat servent à collecter le courant de

porteurs photo générés. Les contacts doivent être ohmiques, la résistance des contacts est

un paramètre très important. La forte résistance des contacts augmente la résistance série

de la cellule et baisse le facteur de forme et le rendement.


|23

La figure I.19 montre quelques formes de contact ohmique souvent utilisées en

industrie photovoltaïque [22].

Figure I.19 – Différents types de contact : (a) face avant, (b) face arrière.

I-3.3 Cellule solaire et système modélisé

Le système cible de notre étude est une cellule solaire à base de silicium dont la

grille collectrice est de type circulaire. La structure de la cellule est donnée par la figure

I.20 :

Figure I.20 – Type de cellule photovoltaïque

grilles linaires grilles circulaires

(a)

(b)

Contact à plan métallique

Contact interdigité Contact à rubans (Bus barres)

Lame semi-conductrice

12 cm

Vue en plan Grille conductrice

Lumière

Couche antireflet

Vue en coupe

≈ 300µm

Contact arrière (métallisation)


|24

I-4 Conclusion

Dans ce chapitre, ont été présentés les problèmes de compatibilité électromagnétique.

Les notions d’environnement et de compatibilité électromagnétique, ainsi que les

principaux phénomènes de perturbations électromagnétiques naturelles et artificielles ont

été décrites en donnant quelques exemples et en envisageant le couplage des perturbations

émises (conduites et rayonnées).

Ensuite, nous avons présenté les principaux travaux apparus dans la littérature dans

le domaine de la compatibilité électromagnétique des systèmes photovoltaïques. L’état de

l’art présenté témoigne que dans certaines configurations, les cellules solaires peuvent

provoquer des perturbations électromagnétiques nuisibles et dépassant les limites

d’immunité recommandées.

La dernière partie du chapitre a été consacrée à la présentation de la cellule

photovoltaïque, élément de base sur le quel repose notre étude. Après avoir rappelé

quelques notions sur le rayonnement solaire, nous avons décrit le fonctionnement des

cellules solaires, leurs caractéristiques principales et nous avons exposé enfin la structure

de la cellule solaire.

Le prochain chapitre est dédié au développement mathématique du modèle approprié

qui décrit le mieux le comportement électromagnétique des cellules solaires.

Chapitre II SYSTEMES ELECTROMAGNETIQUES :

Formulation & Mise en Equation

Sommaire

-1 Champs et équations en Electromagnétisme ................................................................... 26

-1.1 Problématique – Système modélisé .......................................................................... 26

-1.2 Equations de Maxwell .............................................................................................. 27

-1.3 Relations constitutives des matériaux ...................................................................... 28

-1.4 Conditions de Passage .............................................................................................. 28

-1.5 Conditions aux limites .............................................................................................. 29

-1.6 Hypothèses – Equations à résoudre .......................................................................... 30

-2 Formulations Electromagnétiques ................................................................................... 31

-2.1 Potentiel vecteur et potentiel scalaire ....................................................................... 32

-2.2 Formulation A-V ..................................................................................................... 34

-2.3 Formulation A* ....................................................................................................... 37

-2.4 Formulation T-φ ....................................................................................................... 38

-2.5 Formulation E .......................................................................................................... 39

-2.6 Formulation H ......................................................................................................... 40

-2.7 Synthèse du Choix des Formulations ....................................................................... 40

-3 Mise en équation du problème ........................................................................................ 41

-3.1 Hypothèses 2D ......................................................................................................... 42

-3.2 Formulation A en 2D ................................................................................................ 43

-4 Conclusion ...................................................................................................................... 44

Chapitre II

|26


Dans ce chapitre, nous présentons de manière synthétique les principales

formulations développées pour la résolution des problèmes électromagnétiques tout en

spécifiant les limitations et les difficultés liées à chacune de ces formulations. Après une

synthèse sur les différentes formulations proposées, nous élisons un modèle mathématique

qui est le mieux adapté à la description du comportement de notre système.

II-1 Champs et équations en Electromagnétisme

L’étude de l’électromagnétisme revient généralement à résoudre les équations de

Maxwell, qui le premier a formulé les relations qui relient entre elles les grandeurs

électrique et magnétique. Cette résolution suit toujours le même schéma, résoudre ces

équations sous forme locale ou globale, en tenant compte des relations constitutives du

milieu, en présence des conditions limites et initiales adéquates.

II-1.1 Problématique – Système modélisé

Le type de système modélisé est représenté par la figure II.1. Une structure en

matériau semiconducteur (la charge) est soumise à l’action d’un champ électromagnétique

produit par une grille métallique (inducteur/source) où une densité de courant variable dans

le temps “Js” est imposée.

Figure II.1 – Problème électromagnétique type

charge

εc µc σc

source

Js Ωs

(Ωc)

air ε0 µ0 σ0

Гc

Г Ω

Chapitre II

|27


Les volumes occupés par la source et la charge sont désignés respectivement par Ωs

et Ωc. La région Ωc délimitée par la frontière Гc est caractérisée par une conductivité

électrique homogène, une perméabilité relative µr= 1 et une permittivité relative εr=11.9.

Le domaine global Ω qui contient aussi l’air représente le domaine de résolution du

problème électromagnétique où des conditions aux limites seront imposées sur sa

frontière Г.

L’objectif est d’évaluer la répartition spatiale du champ électrique 𝐸𝐸 et de l’induction

magnétique 𝐵𝐵 dans tout le domaine Ω.

II-1.2 Equations de Maxwell

En effectuant une synthèse des travaux réalisés dans le XIX siècle, James Clerk

Maxwell (1831-1879) a formulé une description complète des phénomènes

électromagnétiques vers 1865 [24]. Les équations de Maxwell lient les champs électriques

aux champs magnétiques. Ce sont des équations locales qui s’écrivent comme suit [25,26] :

𝛻𝛻 ∙ 𝐷𝐷 = 𝜌𝜌 (II-1)

𝛻𝛻 ∙ 𝐵𝐵 = 0 (II-2)

𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = − 𝜕𝜕𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 (II-3)

𝛻𝛻 × 𝐻𝐻 = 𝐽𝐽 + 𝜕𝜕𝐷𝐷

𝜕𝜕𝜕𝜕 (II-4)

Si la densité de charge ρ est nulle, l'équation (II-1) est remplacée par la loi de conservation

de courant exprimée par :

𝛻𝛻 . 𝐽𝐽 = 0 (II-5)

𝐸𝐸 : Le champ électrique [Volt/ mètre].

𝐵𝐵 : La densité de flux magnétique ou induction magnétique [Tesla ou (Weber/mèter²)].

𝐷𝐷 : La densité de flux électrique [Coulomb/ mètre²].

𝜌𝜌 : La densité de charges volumique [Coulomb/mètre3].

𝐻𝐻 : Le champ magnétique [Ampère/mètre].

𝐽𝐽 : La densité de courant électrique [Ampère/mètre²].

Pour déterminer les champs vecteurs 𝐸𝐸 ,𝐷𝐷 ,𝐻𝐻 ,𝐵𝐵 et 𝐽𝐽 , on est amené à résoudre ce

système d’équations (II-1:5) lié aux lois constitutives.

Chapitre II

|28


II-1.3 Relations constitutives des matériaux

Appelé aussi lois de comportement, se sont des fonctions qui lient les grandeurs

physique aux variables d’état du système. Selon sa nature et son environnement, le

matériau va répondre différemment aux sollicitations de ces champs [26].

𝐷𝐷 = 𝜀𝜀 𝐸𝐸 (II-6)

𝐵𝐵 = 𝜇𝜇 𝐻𝐻 + 𝐵𝐵𝑟𝑟 (II-7)

𝐽𝐽 = 𝜎𝜎 𝐸𝐸 + 𝜎𝜎 (𝑣𝑣 ∧ 𝐵𝐵 ) (II-8)

ε : La permittivité électrique (appelée aussi : constante diélectrique) [Farad/mètre].

µ : La perméabilité magnétique [Henry/mètre].

𝜎𝜎 : La conductivité électrique [ohm/mètre].

𝑣𝑣 : Le vecteur vitesse [mètre/seconde].

𝐵𝐵𝑟𝑟 : Induction magnétique rémanente [Weber/mèter² (ou Tesla)].

ε, µ, et 𝜎𝜎 généralement non linéaires et tensorielles tenant compte de l’effet de

l’anisotropie du milieu et la non linéarité entre champs et inductions, elles peuvent être

aussi des scalaires, modélisant alors le comportement de matériaux isotropes.

Dans l’équation (II-8) le terme 𝜎𝜎 𝐸𝐸 exprime la densité des courants résultant du

champ électrique 𝐸𝐸 (imposé et/ou induit) et le terme 𝜎𝜎 (𝑣𝑣 ∧ 𝐵𝐵 ) exprime la densité des

courants résultant du mouvement.

II-1.4 Conditions de Passage Aux interfaces entre deux milieux de propriétés différentes, Les grandeurs

électromagnétiques pourraient être discontinues. Les conditions de passage (ou de

transmission) permettent alors d'exprimer les relations entre les deux grandeurs sur ces

frontières (figure II.2) et qui doivent vérifier les conditions suivantes [27] :

(𝐸𝐸2 − 𝐸𝐸1) × 𝑛𝑛 = 0 (II-9)

(𝐵𝐵2 − 𝐵𝐵1) ∙ 𝑛𝑛 = 0 (II-10)

(𝐷𝐷2 − 𝐷𝐷1) ∙ 𝑛𝑛 = 𝜌𝜌𝑠𝑠 (II-11)

(𝐻𝐻2 − 𝐻𝐻1) × 𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 (II-12)

Chapitre II

|29


Figure II.2 – Conditions aux limites : composante tangentielle (a) et normale (b)

En notant 𝑛𝑛 la normale à l’interface orientée du milieu d'indice 1 vers celui d'indice 2

(figure II.2). 𝐾𝐾 et 𝜌𝜌𝑠𝑠 sont les densités de courant et de charge électriques portées par la

surface de séparation.

Ces conditions expriment que les composantes tangentielle du champ électrique et

normale de l’induction magnétique sont continues, et que les composantes tangentielle du

champ magnétique et normale de l’induction électrique sont discontinues par la présence

respective du courant surfacique et des charges superficielles.

Au-delà des milieux traversés par les champs, le domaine d'étude n'est pas infini et

nécessite l'emploi de conditions supplémentaires à ses frontières.

II-1.5 Conditions aux limites

Les valeurs d'un champ U aux frontières peuvent satisfaire principalement deux

conditions simples. Aux limites du domaine, ce champ peut être soit normal (domaine

symétrique) ce qui se traduit par [27]:

Condition de Neumann : 𝜕𝜕 𝑈𝑈𝜕𝜕 𝑛𝑛

= 0 (II-13)

Soit de valeur connue, ce qui se traduit par :

y

z

x

n

n

S0

x

y ε1, µ1, σ1

ε2, µ2, σ2

E1, H1, D1, B1

E2, H2, D2, B2

1

2

C0

y

z

x

n

gfy ε1, µ1, σ1

ε2, µ2, σ2

E1, H1, D1, B1

E2, H2, D2, B2

1

2

n

A0

A1

(a) –>

(b) –>

Chapitre II

|30


Condition de Dirichlet : U ∙ n = 0 (II-14)

Les conditions aux limites temporelles sont en général fixées à des valeurs nulles à

l'instant initial.

Les relations constitutives des matériaux, les conditions de passage, ainsi que les

conditions aux limites ne suffisent pourtant pas à assurer l'unicité d'une solution et

l'utilisation de jauges (que nous développons plus en détails au paragraphe II-2.2.1) est

nécessaire à la résolution des équations de Maxwell.

II-1.6 Hypothèses – Equations à résoudre

L’étude des systèmes électromagnétiques nécessite généralement l’utilisation d’un

modèle mathématique. Il est souvent obtenu sur la base de considérations physiques et

d’hypothèses simplificatrices sur les formes géométriques, sur le comportement des

matériaux, etc. Ce modèle, image approchée de la réalité, est en général basé sur des

équations dont la complexité et le nombre peuvent être très variables. Nous exposons ci-

dessous les hypothèses adéquates à notre système :

- Ces travaux sont limités à l’approximation des régimes lentement variables (régime

quasi-stationnaire), en conséquence, on omettra le courant de déplacement [28].

- La densité de charge totale considérée nulle (ρ=0).

- Les courants d’alimentation sont supposés produits par un générateur de courant

parfait et leur valeur doit être connue. Ainsi la quantité 𝜎𝜎 𝐸𝐸 peut être décomposée en

une partie imposée et connue Js et une partie due au champ électrique induit Jind.

- En outre, dans cette étude nous nous intéressons, en particulier, aux systèmes

électromagnétiques sans mouvement (𝑣𝑣 = 0 ) ce qui permit d’éliminer le terme

𝜎𝜎 (𝑣𝑣 ∧ 𝐵𝐵 ) dans l’équation (II-8)

- L’induction magnétique rémanente, peut être considérée comme nulle (𝐵𝐵𝑟𝑟 =0)

puisqu’il n’y a pas d’aimants permanents ni des corps ferromagnétique [29].

- En raison des faibles épaisseurs des différentes couches de la cellule devant la

longueur d’onde du travail, ce qui se traduit par un faible effet de peau, on peut

supposer que le courant n’existe qu’en volume (K =0) [29].

Avec ces hypothèses les équations à résoudre se réduisent aux :

Chapitre II

|31


𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = − 𝜕𝜕𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 (II-15)

𝛻𝛻 × 𝐻𝐻 = 𝐽𝐽 (II-16)

𝛻𝛻 ∙ 𝐵𝐵 = 0 (II-17)

𝛻𝛻 ∙ 𝐷𝐷 = 0 (II-18)

Les relations II-7 et II-8 deviennent :

𝐵𝐵 = 𝜇𝜇 𝐻𝐻 (II-19)

𝐽𝐽 = 𝜎𝜎 𝐸𝐸 (II-20)

De plus l’équation II-16 permet d’écrire :

𝛻𝛻 ∙ 𝐽𝐽 = 0 (II-21)

Cette équation implique la condition de continuité de la composante normale de la densité

de courant de conduction aux interfaces entre deux milieux de conductivités électriques

différentes :

(J2-J1) ∙ n = 0 (II-22)

II-2 Formulations Electromagnétiques

La résolution des équations de Maxwell, en tenant compte des conditions aux limites

et des conditions de passage entre deux milieux de propriétés différentes, permet l’analyse

des phénomènes électromagnétiques qui régissent le fonctionnement du dispositif étudié.

Toutefois une résolution économique impose une mise en forme de ces équations afin de

réduire le nombre d’inconnues et donc de simplifier les équations.

Nous pouvons classer les formulations électromagnétiques en deux groupes :

1- Celles qui utilisent des variables (inconnues) de type potentiel.

2- Et celles qui utilisent des variables de type champ.

Quand on parle d’une formulation “X” (X représente une ou plusieurs variables)

pour un problème donné, il s’agit de reformuler les lois d’électromagnétismes gouvernant

ce problème, les conditions aux limites, conditions de passage et la condition de jauge en

fonction de cette variable “X”.

Avant d’entreprendre le développement des formulations électromagnétique, il nous

a paru nécessaire de rappelé la notion de potentiel vecteur et potentiel scalaire.

Chapitre II

|32


II-2.1 Potentiel vecteur et potentiel scalaire

Dans les équations de Maxwell, le champ électromagnétique est caractérisé par deux

grandeurs qui sont le champ électrique et le champ magnétique. On montre que cette

manière de décrire un phénomène électromagnétique n’est pas unique, en particulier, on

utilise couramment deux autres grandeurs nommées potentiel vecteur et potentiel scalaire

qui vont aboutir alors un autre groupe d’équations portant sur ces nouvelles grandeurs et

rigoureusement équivalentes aux équations de Maxwell. Ce nouveau groupe d’équations se

prête à une résolution plus simple et moins couteuse en termes de calcul, et donc, est assez

fréquemment utilisé.

Pour introduire la notion du potentiel vecteur électrique/magnétique et la notion du

potentiel scalaire électrique/magnétique on a besoin principalement des équations de

Maxwell et aux deux identités vectorielles suivantes [30] :

• La divergence d’un rotationnel du vecteur U quelconque est toujours nulle :

𝛻𝛻 ∙ (𝛻𝛻 × 𝑈𝑈 ) = 0 (II-23)

• Le rotationnel d’un graduions d’un scalaire S quelconque est toujours nul :

𝛻𝛻 × (𝛻𝛻 𝑆𝑆) = 0 (II-24)

II-2.1.1 Le potentiel vecteur magnétique 𝑨𝑨

D’après la loi de conservation du flux magnétiques (𝛻𝛻 ∙ 𝐵𝐵 = 0) on peut dire que

l’induction magnétique 𝐵𝐵 n’est autre qu’un champ de rotationnels (II-23). En d’autres

termes, il est toujours possible de trouver un vecteur 𝐴𝐴 tel que :

𝐵𝐵 = ∇ × 𝐴𝐴 (II-25)

Le vecteur 𝐴𝐴 est appelée le potentiel vecteur magnétique [31].

II-2.1.2 Le potentiel scalaire électrique V

En injectant l’expression du potentiel vecteur (II-25) dans l’équation (II-15), on obtient :

𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = − 𝜕𝜕(∇ ×𝐴𝐴)𝜕𝜕𝜕𝜕

𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 + 𝜕𝜕(∇ ×𝐴𝐴)𝜕𝜕𝜕𝜕

= 0 𝛻𝛻 × (𝐸𝐸 + 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕

) = 0

Ce dernier appartient donc à un champ de gradient (II-24), on peut toujours trouver un

champ scalaire V telle que :

𝐸𝐸 + 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕

= − 𝛻𝛻 𝑉𝑉 (II-26)

Chapitre II

|33


Le champ scalaire V est appelé potentiel scalaire électrique [31].

De la relation (II-26), on déduit l’expression du champ électrique en fonction de

potentiel vecteur magnétique et potentiel scalaire électrique :

𝐸𝐸 = − 𝛻𝛻 𝑉𝑉 − 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕

(II-27)

En remplaçant cette dernière dans l’équation (II-20) :

𝐽𝐽 = − 𝜎𝜎𝛻𝛻 𝑉𝑉 − 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕

(II-28)

Cette nouvelle écriture rendre perceptible les deux éléments de la densité de courant, le

premier terme représente la densité des courant imposée Js (source, sollicitation…), tandis

que le second terme représente la densité des courant induite Jind.

II-2.1.3 Le potentiel vecteur électrique 𝐓𝐓

La loi de conservation du courant (II-21) permet d'introduire le potentiel vecteur

électrique 𝑇𝑇 . Sachant que la divergence d’un rotationnel est toujours nulle (II-23), on peut

dire que la densité de courant 𝐽𝐽 n’est autre qu’un champ de rotationnels que l’on appelle le

potentiel vecteur électrique 𝑇𝑇 [32] :

𝐽𝐽 = 𝛻𝛻 × 𝑇𝑇 (II-29)

II-2.1.4 Le potentiel scalaire magnétique φ

Similairement aux étapes suivies pour aboutir à la notion du potentiel scalaire

électrique. Dans l’équation (II-16), on substitue la densité de courant 𝐽𝐽 par l’expression

(II-29) :

𝛻𝛻 × 𝐻𝐻 = ∇ × 𝑇𝑇 𝛻𝛻 × (𝐻𝐻 − 𝑇𝑇 ) = 0

Le rotationnel de ce dernier étant toujours nul, ce qui permet de dire que le terme (𝐻𝐻 − 𝑇𝑇 ) dérive d’un champ de gradient :

𝐻𝐻 − 𝑇𝑇 = − 𝛻𝛻 𝜑𝜑 (II-30)

Où φ est un champ scalaire appelé le potentiel scalaire magnétique [31]. D’où, on peut

réécrire le champ magnétique sous la forme :

𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 − 𝛻𝛻 𝜑𝜑 (II-31)

Chapitre II

|34


II-2.2 Formulation A-V

Comme nous l’avons indiqué précédemment, les équations de Maxwell sont

rarement résolues telle quelle sont. On a généralement recours à la notion de potentiel qui

permet de rendre implicite certaines propriétés des champs. Dans ce paragraphe, nous

allons développer la formulation A-V dite aussi formulation électrique qui s’appuie sur le

potentiel vecteur magnétique 𝐴𝐴 et le potentiel scalaire électrique V.

D’après l’équation (II-27), le champ électrique 𝐸𝐸 peut être exprimé en fonction de

potentiel vecteur magnétique 𝐴𝐴 et le potentiel scalaire électrique V, en injectant cette

expression (II-27) dans (II-20) et en remplaçant le résultant dans (II-16) toute en tenant

compte de la relation (II-19) on trouve :

𝛻𝛻 × 1µ𝐵𝐵 = −𝜎𝜎 𝜕𝜕𝐴𝐴

𝜕𝜕𝜕𝜕− 𝜎𝜎𝛻𝛻 𝑉𝑉 (II-32)

La relation (II-25) permet d’écrire

𝛻𝛻 × 𝜈𝜈𝛻𝛻 × 𝐴𝐴 + 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜎𝜎 𝛻𝛻 𝑉𝑉 = 0 (II-33)

v est la reluctivité magnétique : v =1/µ.

En termes de 𝐴𝐴 et V, l’équation de conservation de la densité du courant (II-21) s’écrit :

𝛻𝛻 ∙ 𝜎𝜎(−𝑑𝑑𝐴𝐴𝑑𝑑𝜕𝜕− 𝛻𝛻 𝑉𝑉) = 0 (II-34)

Cette dernier impose, qu’aux interfaces où la conductivité électrique subit une

discontinuité, la condition de conservation de la composante normale de la densité du

courant s’exprime par :

𝜎𝜎2 −𝜕𝜕𝐴𝐴2

𝜕𝜕𝜕𝜕− 𝛻𝛻 𝑉𝑉2 − 𝜎𝜎1 −

𝜕𝜕𝐴𝐴1

𝜕𝜕𝜕𝜕− 𝛻𝛻 𝑉𝑉1 ∙ 𝑛𝑛 = 0 (II-35)

Aux interfaces où la perméabilité magnétique subit une discontinuité, la condition (II-12)

s’écrit :

𝜈𝜈2𝛻𝛻 × 𝐴𝐴2 − 𝜈𝜈1𝛻𝛻 × 𝐴𝐴1 × 𝑛𝑛 = 0 (II-36)

Les continuités de la composante tangentielle du champ électrique et la composante

normale de l’induction magnétique sont immédiates si les potentiels 𝐴𝐴 et V sont continus

[33].

Chapitre II

|35


Le système d’équation (II-33) et (II-34) associé aux conditions de passage

précédentes et à des conditions aux limites adéquates, admet une infinité de solution. En

effet, si le couple (𝐴𝐴, V) est solution, il existe une fonction scalaire quelconque f, telle que

le couple (𝐴𝐴′ , V’) défini par :

𝐴𝐴’ = 𝐴𝐴 + ∇ 𝑓𝑓

𝑉𝑉’ = 𝑉𝑉 − 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜕𝜕

est aussi solution pour ce système [33].

Pour assurer l’unicité de la solution, il est suffisant d’assurer celle du potentiel vecteur

magnétique 𝐴𝐴. En effet, si 𝐴𝐴 est fixé (unique), 𝛻𝛻 𝑉𝑉 l’est également et par conséquent V est

défini à une constante près qui peut être déterminée en définissant V en un point

quelconque de l’espace [34].

Pour assurer l’unicité de 𝐴𝐴. Il faut imposer une condition supplémentaire, appelée

condition de jauge.

II-2.2.1 Condition de jauge

Mathématiquement parlant, connaitre le rotationnel du vecteur 𝐴𝐴 ne suffi pas pour le

définir avec précision car il y a une infinité de vecteurs qui peuvent satisfaire le même

comportement rotationnel. L'analyse vectorielle montre, que pour assuré l’unicité d’un

vecteur il faut connaitre sont rotationnel et sa divergence au même temps [30]. S’appuient

sur cette identité vectorielle, deux conditions de jauge sont jaillit. La première est la jauge

de Coulomb (𝛻𝛻 ∙ 𝐴𝐴 = 0) elle est la plus simple et la plus utilisé [33]. la seconde est celle de

Lorenz (𝛻𝛻 ∙ 𝐴𝐴 = −µ𝜎𝜎𝑉𝑉) [33, 34] n’est pas moins intéressent mais elle est moins utilisé

[35, 36].

Une troisième jauge peut être utilisée au lieu des deux précédentes. Elle ne consiste

pas à fixé la divergence du potentiel vecteur mais à imposer la contrainte 𝑤𝑤 .𝐴𝐴 = 0, où w et

un champ de vecteurs arbitraires, dont les lignes ne se referment pas [37]. Cette jauge a été

utilisée avec succès avec des éléments d’arêtes [38], et elle ne peut être exploitée dans le

cas des éléments nodaux qu’en adoptant certaines modifications [39].

II-2.2.1.1 Formulation A-V avec la jauge de Coulomb

Il existe trois techniques pour introduire la jauge de Coulomb :

Chapitre II

|36


𝛻𝛻 ∙ 𝐴𝐴 = 0 (II-37)

Tout d’abord, et selon [40], elle est considérée comme une deuxième équation et l’on

résout le système (II-33) et (II-37).

La deuxième technique consiste à introduire (II-37) dans l’équation (II-34) [33] et le

système à résoudre devient l’équation (II-33) plus :

𝜎𝜎𝛻𝛻 ∙ 𝛻𝛻 𝑉𝑉 = 0 (II-38)

Il faut vite noté que l’équation (II-37) ne peut être obtenue que dans le cas où σ est

constante. Cependant, cette formulation peut être utilisée dans le cas ou la conductivité et

consente par morceaux [41].

La troisième technique consiste à ajouter dans (II-33) une expression de divergence

de 𝐴𝐴 faisant intervenir le coefficient de pénalité vp [35, 41] généralement pris égal à la

reluctivité [41], et à résoudre le système d’équations (II-34) et (II-38):

𝛻𝛻 × 𝜈𝜈𝛻𝛻 × 𝐴𝐴 − 𝛻𝛻 (𝑣𝑣𝑝𝑝𝛻𝛻 ∙ 𝐴𝐴) + 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕

+ ∇ V = 0 (II-39)

II-2.2.1.2 Formulation A-V avec la jauge de Lorenz

Compte tenu de la jauge de Lorenz

𝛻𝛻 ∙ 𝐴𝐴 = −µ𝜎𝜎𝑉𝑉 (II-40)

Le potentiel scalaire électrique peut-être exprimé par :

𝑉𝑉 = −𝛻𝛻 ∙𝐴𝐴µ𝜎𝜎

(II-41)

En remplaçant cette expression de V dans l’équation (II-33), les potentiels 𝐴𝐴 et V sont

découplés dans le système :

𝛻𝛻 × 𝜈𝜈𝛻𝛻 × 𝐴𝐴 + 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕− 𝜎𝜎∇ 𝛻𝛻

.𝐴𝐴µ𝜎𝜎 = 0 (II-42)

𝛻𝛻 ∙ 𝜎𝜎(𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝛻𝛻 𝑉𝑉) = 0 (II-43)

Ces équation peuvent être résolues successivement et si l’on ne s’intéresse qu’au champ

magnétique, il suffit de résoudre la première équation [42, 41].cependant, aux interfaces où

la conductivité électrique subit une discontinuité il faut imposer la condition [40] :

Chapitre II

|37


𝜕𝜕𝐴𝐴.𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝐾𝐾² 𝑉𝑉 (II-44)

Où K² est une constante positive.

II-2.3 Formulation A*

Une transformation du couple (𝐴𝐴, V), considérée par certains auteurs comme une

condition de jauge [42], permet de réduire le nombre d’inconnues de formulation A-V

(II-33 et II-34), tout en assurant l’unicité de la solution.

Cette formulation consiste à définir une nouvelle inconnue [43] :

𝐴𝐴∗ = 𝐴𝐴 + ∫∇ 𝑉𝑉 𝑑𝑑𝜕𝜕 (II-45)

𝐴𝐴∗ est appelé potentiel vecteur modifié.

A partir de (II-45), l’équation (II-33) devient :

𝛻𝛻 × 𝜈𝜈𝛻𝛻 × 𝐴𝐴∗ + 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝐴𝐴∗

𝜕𝜕𝜕𝜕= 0 (II-46)

En fonction de 𝐴𝐴∗, les conditions de passage (II-12) et (II-21) s’écrivent :

ν2∇ × A2∗ − ν1∇ × A1

∗ × n = 0 (II-47)

𝜎𝜎2 −𝜕𝜕A2

∗

𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜎𝜎1 −

𝜕𝜕A1∗

𝜕𝜕𝜕𝜕 ∙ n = 0 (II-48)

Cette dernière permet d’écrire :

𝜎𝜎2𝜕𝜕A2

∗

𝜕𝜕𝜕𝜕∙ n = 𝜎𝜎1

𝜕𝜕A1∗

𝜕𝜕𝜕𝜕∙ n (II-49)

Ceci implique que la composante normale de 𝐴𝐴∗ est discontinue. Ce qui n’est pas le cas

lorsque l’on utilise une méthode d’éléments finis nodaux ; en effet cette méthode impose la

continuité des composantes normale et tangentielle de l’inconnue. Ainsi la formulation A*

perd sont intérêt lorsque σ est discontinue. Toutefois cette contrainte peut être évitée en

utilisant des éléments d’arête qui imposent uniquement la continuité de la composante

tangentielle de l’inconnue.

Par ailleurs des problèmes de convergence se manifestent lorsque le terme en σ dans

l’équation (II-46) devient très petit par rapport à l’autre terme, ce qui peut se produire

lorsque la fréquence ou la conductivité électrique est faible. En effet la divergence

Chapitre II

|38


s’applique à ce terme, ce qui est lié à l’unicité de la solution. Dans ce cas on impose la

contrainte suivante [34] :

𝛻𝛻 ∙ 𝐴𝐴∗ = 0 (II-50)

Cette condition est introduite dans l’équation (II-46) par un terme de pénalité :

𝛻𝛻 × 𝜈𝜈𝛻𝛻 × 𝐴𝐴∗ − 𝛻𝛻 (𝑣𝑣𝑝𝑝𝛻𝛻 ∙ 𝐴𝐴∗ ) + 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝐴𝐴∗

𝜕𝜕𝜕𝜕= 0 (II-51)

A des faible fréquences, cette dernière est plus performante que l’équation (II-46) et ceci

de point de vue de la stabilité de la solution [34].

II-2.4 Formulation T-φ

En utilisant (II-19), (II-20), (II-29) et (II-31), l’équation (II-15) devient :

𝛻𝛻 × 1𝜎𝜎𝛻𝛻 × 𝑇𝑇 + µ 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑇𝑇 − 𝛻𝛻 𝜑𝜑 = 0 (II-52)

Une deuxième équation est nécessaire pour déterminer le potentiels T et φ, elle peut être obtenue à partir de l’équation de conservation du flux (II-17) :

𝛻𝛻 ∙ µ𝑇𝑇 − 𝛻𝛻 𝜑𝜑 = 0 (II-53)

De plus, il est nécessaire d’associer à ces équations les conditions aux limites appropriées

et d’assurer les conditions de passage entre deux milieux de propriétés différentes. Si les

potentiels 𝑇𝑇 et φ sont continus, les continuités de la composante normale de la densité du

courant et de la composante tangentielle du champ magnétique, sont immédiates [29, 33].

En revanche, il faut imposer les continuités des composantes tangentielle et normale

respectivement du champ électrique et de l’induction magnétique, soient les relations (II-9)

et (II-10) en termes de 𝑇𝑇 et φ :

1𝜎𝜎2∇ × T2 −

1𝜎𝜎1∇ × T1 × 𝑛𝑛 = 0 (II-54)

µ2𝑇𝑇2 − 𝛻𝛻 𝜑𝜑2 − µ1𝑇𝑇1 − 𝛻𝛻 𝜑𝜑1 ∙ 𝑛𝑛 = 0 (II-55)

Ainsi que la condition (II-21) à la surface d’une région conductrice en contacte avec une région isolante. Cette dernière est assurée par la condition :

𝑇𝑇 × 𝑛𝑛 = 0 (II-56)

Par analogie au cas de la formulation A-V, la formulation T- φ définie par les équations (II-

52) et (II-53) admet une infinité de solution. Des conditions de jauge sont également

Chapitre II

|39


imposées pour déterminer une solution unique. On a le choix entre la jauge de Coulomb

𝛻𝛻 ∙ 𝑇𝑇 = 0 ou la jauge de Lorenz 𝛻𝛻 ∙ 𝑇𝑇 = µ𝜎𝜎 𝜕𝜕𝜑𝜑/𝜕𝜕𝜕𝜕 [27]. Ces jauges sont introduites dans

la formulation de la même manière que dans la formulation A-V.

Une autre technique permet d’assure l’unicité de la solution tout en réduisant le nombre

d’inconnues. Elle consiste à imposer à 𝑇𝑇 la contrainte 𝑤𝑤 ∙ 𝑇𝑇 = 0 où 𝑤𝑤 est un champ de

vecteur dont les lignes de se referment pas [44]. Cette jauge est appliquée avec des

éléments d’arêtes.

II-2.5 Formulation E

A partir de (II-15) et (II-19), on peut écrire :

E Hvt

∂× =

∂∇ −

(II-57)

On introduit le rotationnel d’un coté et de l’autre de cette dernier équation, et en tenant compte de (II-16) et (II-20), on obtient :

( ) Ev Et

σ∂∇× ∇× = −

∂

(II-58)

Aux interfaces où la perméabilité magnétique subi une discontinuité, la continuité de la

composante tangentielle du champ magnétique exige :

𝑣𝑣2𝛻𝛻 × 𝐸𝐸2 + 𝑣𝑣1𝛻𝛻 × 𝐸𝐸1 = 0 (II-59)

La conservation de la composante normale de la densité du courant quand la conductivité

électrique est discontinue est vérifiée par :

𝜎𝜎2𝐸𝐸2 + 𝜎𝜎1𝐸𝐸1 = 0 (II-60)

Rappelons que :

*

E At

∂=

∂

(II-61)

Ceci permet de dire que la formulation E est équivalente à la formulation A*. Par

conséquent, les limites d’utilisation de la première ne sont autres que celle de la seconde.

En conclusion, la formulation E est beaucoup plus intéressante dans le cadre de la méthode

des éléments finis [33], quand on travaille avec des éléments d’arêtes.

Chapitre II

|40


II-2.6 Formulation H

Cette formulation a été étudiée et développée par Bossavit pour l'étude des courants

induits dans les dispositifs [45].

Compte tenu de (II-20), l’équation (II-16) devient :

1𝜎𝜎𝛻𝛻 × 𝐻𝐻 = 𝐸𝐸 (II-62)

Le rotationnel de cette équation, tenant compte de (II-15) et (II-19) procure

l’équation en champ magnétique 𝐻𝐻 :

( )1 0µH

Htσ

∂ ∇× ∇× + = ∂

(II-63)

Cette équation associée à des conditions aux limites adéquates admet une solution

unique. Cependant il faut assurer la continuité de la composante normale de l’induction

magnétique, soit en terme de 𝐻𝐻 :

µ2𝐻𝐻2 − µ1𝐻𝐻1 ∙ 𝑛𝑛 = 0 (II-64)

Cette relation, implique que la discontinuité de la composante normale de 𝐻𝐻 dans le

cas de discontinuité de perméabilité µ. Ceci la rend beaucoup moins intéressante dans le

cadre des éléments finis nodaux. En revanche, elle est bien adaptée aux éléments d’arêtes

puisque la continuité de la composante tangentielle de 𝐻𝐻 est vérifié [45].

II-2.7 Synthèse du Choix des Formulations

En fonction de la dimension et de la complexité du problème à traiter, le choix d'une

formulation dépend des capacités numériques de résolution, de mise en œuvre et de

précision. Le tableau suivant recense les principaux avantages et inconvénients des

différentes formulations présentés précédemment et pour un problème tridimensionnel :

Chapitre II

|41


Formulation Avantages Inconvénients

A-V

Méthode générale, facile à appliquer dans les régions non simplement connexes et tient compte des inducteurs quelque soit leur forme.

- Coûteuse en espace mémoire et temps de calcul

- Coûts (4 ou 3 inconnues)

T-Ω

- Espace mémoire requis faible.

- Adapté aux régions conductrices.

- Pose des difficultés dans les régions non sim-plement connexes.

- Coûts (4 inconnues)

E, A* - Espace mémoire requis

faible.

- Coûts (1 inconnue)

- Pose des difficultés dans

les régions non simplement connexes.

H - Espace mémoire requis

faible et bonne précision.

- Coûts (1 inconnue)

- Ne tient pas compte des inducteurs.

- Pose des difficultés dans les régions non simplement connexes.

Tableau II .1 : Avantage et inconvénient des formulations magnétodynamique précitées

Nous avons présenté les principales formulations magnétodynamiques souvent

utilisées à la modélisation des systèmes électromagnétiques en régime l’entement variable.

Tenant compte des avantages et des inconvénients de chaque formulation, notre

choix s’est porté sur la formulation A-V comme modèle mathématique pour décrire le

comportement électromagnétique de notre système, modèle générale, robuste et peut

s’adapté efficacement a notre problème.

II-3 Mise en équation du problème

Nous rappelons le système cible de notre étude constitué d’une cellule solaire à base

de silicium dont la grille collectrice est de type circulaire (figure II.3).

Chapitre II

|42


Figure II.3 – Type de cellule photovoltaïque

II-3.1 Hypothèses 2D

Un problème 3D peut être réduit en un problème 2D si la variable dont on veut

évaluer la variation est constante sur l’une des trois dimensions [46]. Cela est réalisé si le

système à grille rectangulaire est ramené à un système à grille circulaire. Cette

considération géométrique est légitime sur le plan électromagnétique [46]. Ainsi, la densité

de courant aura une seule composante orthoradiale suivent êφ (coordonnée cylindrique)

perpendiculaire au plan (r, z).

On peut alors effectuer une simplification au niveau de la formulation en potentiel

vecteur magnétique 𝐴𝐴 qui est invariant selon êφ. Ainsi, on satisfait naturellement la jauge

de Coulomb 𝛻𝛻 ∙ 𝐴𝐴 = 0. Par conséquent, le problème à résoudre consiste à chercher la

fonction scalaire A(r, z) pour en déduire la répartition du potentiel vecteur.

Figure II.4 – Approximation de la grille rectangulaire en grille circulaire

Lame semi-conductrice

12 cm

Vue en plan Grille conductrice

Lumière

Couche antireflet

Vue en coupe

≈ 300µm

Contact arrière (métallisation)

Chapitre II

|43


Nous notons que la grille circulaire (figure II.4) aura les mêmes dimensions (rayon

interne, rayon externe, largeur, épaisseur et nombre de tour) que celles de la grille

rectangulaire. Dans ce cas le système à étudier se présente comme suit :

Figure II.5 – Système tridimensionnel avec sa section transversale

Pour aller plus loin dans la définition du problème, il faut préciser le domaine

d’étude et les conditions aux limites. Comme domaine d’étude nous pourrons prendre toute

la section transversale (figure II.5), mais la présence d’un axe de symétrie permet de

réduire considérablement la zone d’étude et donc les efforts de calcul à venir. En effet, il

suffit de calculer sur la moitié de la section puis de reconstituer, grâce à la symétrie, la

distribution du potentiel vecteur magnétique sur toute la boite d’air.

II-3.2 Formulation A en 2D Tenant compte de la relation (II-28) et du comportement sinusoïdal des variables

d’état ( 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝑗𝑗𝑗𝑗), l’équation (II-33) se réécrit :

𝛻𝛻 × 𝜈𝜈𝛻𝛻 × 𝐴𝐴 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜎𝜎𝐴𝐴 = 𝐽𝐽𝑠𝑠 (II-65)

En deux dimensions, cette relation se réduit à

− 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜈𝜈 𝜕𝜕𝐴𝐴

𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜈𝜈 𝜕𝜕𝐴𝐴

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑧 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜎𝜎𝐴𝐴 = 𝐽𝐽𝑠𝑠 (II-66)

Cette équation et équivalente à l’équation de Helmholtz, aussi appelée équation elliptique :

−𝛻𝛻 𝑐𝑐𝛻𝛻 ∙ 𝑈𝑈 + 𝑎𝑎𝑈𝑈 = 𝑓𝑓 (II-67)

où c est appelé coefficient de diffusion, a coefficient d'absorption et f est le terme source.

En coordonnées cylindriques

Pour tirer profit de la symétrie de révolution du système (figure II.5), ce qui réduit

l’étude au plan (r, z) et par conséquent ( 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜑𝜑

= 0), nous projetons notre système dans un

Chapitre II

|44


repère cylindrique. Dans ce cas, la densité de courant J ne présente que la composante

orthoradiale J(0,Jφ,0) → A(0, Aφ, 0)

L’équation qui régi le système (II-66) s’exprime en coordonnées cylindrique sous la

forme :

− 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑧𝑧𝜈𝜈 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜑𝜑

𝜕𝜕𝑧𝑧 − 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑟𝑟𝜈𝜈 1

𝑟𝑟𝜕𝜕𝐴𝐴𝜑𝜑𝜕𝜕𝑟𝑟 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜎𝜎𝐴𝐴𝜑𝜑 = 𝐽𝐽𝑠𝑠 (II-68)

Il reste à résoudre cette équation dans les trois sous-domaines du système (air, grille

métallique et semiconducteur) :

Dans l’air

Il n’y a que le flux conservatif qui agit, le courant source et le courant induit sont

nuls :


𝜕𝜕𝑧𝑧 − 𝜕𝜕


𝑟𝑟𝜕𝜕𝐴𝐴𝜑𝜑𝜕𝜕𝑟𝑟 = 0 (II-69)

Dans la grille (inducteur)

Le système est supposé isolé, et rien que la densité de courant excitateur qui circule

dans la grille métallique :


𝜕𝜕𝑧𝑧 − 𝜕𝜕


𝑟𝑟𝜕𝜕𝐴𝐴𝜑𝜑𝜕𝜕𝑟𝑟 = 𝐽𝐽𝑠𝑠 (II-70)

Dans le semiconducteur (la charge)

Dans cette région, ce sont les courants induits générés par le champ inducteur qui se

manifestent :


𝜕𝜕𝑧𝑧 − 𝜕𝜕


𝑟𝑟𝜕𝜕𝐴𝐴𝜑𝜑𝜕𝜕𝑟𝑟 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜎𝜎𝐴𝐴𝜑𝜑 = 0 (II-71)

II-4 Conclusion

Au cours de ce chapitre, nous avons exposé les outils de base nécessaires à l’étude de

tout système électromagnétique. Puis, nous avons présenté une synthèse sur les principales

formulations utilisées pour le calcul de champ électromagnétique tout en donnant les

avantages et les inconvénients découlant de leurs utilisations ainsi que les différentes

techniques utilisées pour leurs mises en œuvre ce qui nous a permis, de développer une

formulation bidimensionnelle générale et robuste apte à simuler efficacement le

comportement de notre système.

Le chapitre suivant sera consacré à la résolution numérique du modèle mathématique

choisi.

Chapitre III APPROXIMATION NUMERIQUE:

Méthode des Eléments Finis

Sommaire

-1 Généralités ...................................................................................................................... 46

-2 Approximation par la méthode des éléments finis .......................................................... 49

-2.1 Discrétisation du domaine d’étude ........................................................................... 49

-2.1.1 Formes d’éléments ............................................................................................ 50

-2.1.2 Table de définition des nœuds ........................................................................... 50

-2.1.3 Table de définition des éléments ....................................................................... 51

-2.2 Discrétisation de l’équation ..................................................................................... 51

-2.2.1 Approximation nodale ...................................................................................... 52

-2.2.2 Fonctions de forme ........................................................................................... 54

-2.2.3 Quantités élémentaires ...................................................................................... 55

-2.3 Assemblage .............................................................................................................. 58

-2.4 Résolution du système ............................................................................................. 60

-2.5 Etude de convergence .............................................................................................. 60

-3 Implémentation de la méthode des éléments finis .......................................................... 61

-3.1 Algorithme de Calcul ............................................................................................... 61

-4 Conclusion ...................................................................................................................... 63

Chapitre III

Approximation numérique : Méthode des éléments finis

|46

L’approche numérique permet d'effectuer des simulations numériques de

phénomènes physiques. Le calcul occupe une place stratégique avec la CAO (conception

assistée par ordinateur) et les autres technologies de simulation dans le développement d'un

système complexe qui touche à différents domaines de la physique. Cela concerne des

industries dans lesquels la sécurité est vitale : aéronautique, aérospatial, automobile,

navale, nucléaire… mais aussi d’autres projets d’envergure : contrôle de la pollution

thermique, électromagnétique, acoustique ou chimique.

Le calcul est indispensable lorsque l'on cherche à obtenir une solution optimisée pour

réduire les coûts et les délais de mise en œuvre. Grâce au calcul, même simplifié, on peut

tester plusieurs configurations pour optimiser le comportement d'un modèle à une

prestation donnée. Cela évite de multiplier les prototypes et les essais tests réels, les

supports physiques ne servent plus à chercher une solution, ils permettent de la valider.

La méthode des éléments finis (MEF) est à l’heure actuelle l’une des méthodes de

discrétisation les plus répandue pour la simulation numérique de phénomènes physiques.

Elle a l’avantage de traiter des géométries complexes avec une grande précision de calcul.

Elle offre également la possibilité d’intégrer facilement la non linéarité et l’anisotropie des

propriétés physiques des matériaux modélisés. Grace à leurs souplesses et grande

robustesses, les codes éléments finis font maintenant partie des outils couramment utilisés

lors de la conception et à l’analyse des produits industriels.

L'objectif de ce chapitre est d’exposer aussi simplement que possible, mais

néanmoins de manière rigoureuse, les bases essentielles sur lesquelles repose la méthode

des éléments finis, méthode retenue pour la résolution de la formulation choisie. Il s’agit

aussi de détailler les différents outils et techniques nécessaire à leur implémentation

pratique sur ordinateur.

III-1 Généralités De façon générale, les différentes étapes d’analyse d’un problème physique

s’organisent suivant le processus schématisé par la figure III.1. Nous partons d’un

problème physique. Le cadre précis de l’étude est défini par les hypothèses simplificatrices

qui permettent de déterminer le modèle mathématique approprié. La difficulté est de savoir

choisir parmi les lois de la physique, celles dont les équations traduiront avec la précision

voulue la réalité du problème physique. Un bon choix doit donner une réponse acceptable

pour des efforts de mise en œuvre non prohibitifs.

Chapitre III


|47

Figure III.1 – Processus d’analyse utilisant un modèle numérique

Dans le chapitre 2 et en se basant sur des considérations physiques, nous avons

formulé notre problème physique en équation aux dérivées partielles, que nous rappelons

ci-dessous :

−𝛻𝛻 𝑣𝑣𝛻𝛻 .𝐴𝐴 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐴𝐴 = 𝐽𝐽𝑠𝑠 (III-1)

Cette formulation ne peut être résolue de manière analytique pour des systèmes

électromagnétiques complexes. Il est donc nécessaire d'avoir recours à une méthode de

résolution numérique. Le paragraphe suivant donne un aperçu sur les principales méthodes

de résolutions utilisées dans le calcul numérique de champ électromagnétique :

Méthode des différences finis (MDF)

Les différences finis [47] sont basées sur l’approximation d’opérateurs différentiels.

Les équations aux dérivées partielles sont exprimées sous forme de différences finies. Elles

peuvent être formulées soit dans le domaine fréquentiel, soit dans le domaine temporel.

Beaucoup de variations sur le thème des différences finies ont été proposées. La méthode

des différences finies domaine temporel (FDTD) a pris beaucoup d’ampleur et est devenue

très populaire parmi les utilisateurs de logiciels électromagnétiques.

problème physique

équations aux dérivées partielles

Formulation intégrales

système d’équations algébriques

solution approchée

lois de la physique, science de l’ingénieur plus des hypothèses simplificatrices

méthode des résidus pondérés ou méthode variationnelle

approximation des fonctions inconnues par une méthode numérique telle que éléments finis

résolution numérique du système

formulation des

équations

transformation des équations

résolution numérique

Chapitre III


|48

Méthode des moments (MoM)

La méthode des moments (MoM Method of Moments) est une procédure numérique

qui transforme une fonctionnelle en un système d’équations linéaires. La MoM est connue

depuis longtemps dans d’autres disciplines de la physique. En 1915 déjà, un ingénieur

mécanicien russe nommé Galerkin propose une procédure numérique pour résoudre des

équations où l’inconnue est une fonction. Plus tard, les mathématiciens ont démontré que

l’approche Galerkin n’est qu’une spécialisation d’une classe de procédures dont le nom

générique est la méthode des moments. La MoM a été introduite pour la résolution des

problèmes liés aux antennes et à la diffusion électromagnétique d’objets dans les années

1960 par Harrington [48].

Méthode des intégrales de frontière (MIF)

Permet le passage d’équations différentielles de domaines à des équations intégrales

aux frontières de ces domaines. Elle est très utile lorsque le matériau est homogène et

linéaire. Ne nécessite pas un maillage volumique ce qui la rend très économique en taille

mémoire et temps de calcul. Elle est souvent couplée à la méthode des éléments finis.

Méthode des volumes finis (MVF)

La méthode des volumes finis est une méthode de discrétisation. Le domaine d'étude

est subdivisé en volumes élémentaires de telle sorte que chaque volume entoure un nœud

du maillage, l'équation est intégrée sur chacun des volumes élémentaires. Toutefois, la

méthode des volumes finis se base directement sur la forme dite forte de l'équation à

résoudre [38].

Méthode des éléments finis (FEM)

La méthode des éléments finis [49] appartient à cette classe des procédures

numériques qui peut transformer une relation fonctionnelle en un système d’équations

linéaires. La FEM a connu un grand développement depuis les années 1970 et est devenue

une méthode très populaire dans les nombreux domaines de la physique. Cette popularité

est probablement due à sa capacité de pouvoir s’appliquer à des structures complexes. La

MEF est une méthode rigoureuse qui offre des résultats avec une grande précision.

Pour la résolution de l’équation (III-1), notre choix s'est porté sur la méthode des

éléments finis, l'une des méthodes les plus puissantes utilisées pour la résolution des

systèmes d'équations aux dérivées partielles. Elle consiste à utiliser une approximation

simple des variables inconnues pour transformer les équations aux dérivées partielles en

systèmes algébriques.

Chapitre III


|49

III-2 Approximation par la méthode des éléments finis Dans cette partie, nous présentons les principes de base de la MEF en insistant sur

l’enchaînement des tâches qui assurent la cohérence du processus de calcul.

Le principe bien connu de la méthode est de discrétiser le domaine d'étude en de

multiples éléments puis de résoudre localement, dans chacun de ceux-ci, les équations

associées à la formulation retenue. Les inconnues élémentaires sont alors définies par une

combinaison linéaire, pondérée par des polynômes d'interpolation. La précision du calcul

est liée à la finesse du maillage et au degré de ces polynômes. Leurs coefficients ne

dépendent que de la géométrie et de sa discrétisation. Finalement, on obtient après

assemblage un système matriciel d'équations relatives à la structure à étudier et simple à

traiter numériquement.

Ainsi, l'approche par éléments finis réclame quatre étapes principales :

1. Discrétisation du domaine en un nombre d’éléments fini (le maillage).

2. Discrétisation de l’équation aux dérivées partielles pour un élément typique.

3. Assemblage de tous les éléments dans le domaine.

4. Résolution de système algébrique obtenu.

III-2.1 Discrétisation du domaine d’étude

L’opération de partition du domaine d’étude Ω en éléments e est appelé le maillage.

Elle doit respecter les deux règles suivantes (dites règles de conformité) [50]:

a- Deux éléments distincts ne peuvent avoir en commun que des points situés sur leur

frontière commune, si elle existe. Cette condition exclut le recouvrement de deux

éléments. Les frontières entre éléments peuvent être des points, des courbes ou des

surfaces.

b- L’ensemble de tous les éléments e doit constituer un domaine aussi proche que

possible du domaine donné Ω. Nous excluons en particulier les “trous” entre

éléments.

Lorsque la frontière du domaine Ω est constituée par des courbes ou des surfaces

plus complexes que celle qui définissent les frontières des éléments, une erreur est

inévitable. Cette erreur est appelée erreur de discrétisation géométrique. Elle peut être

réduite en diminuant la taille des éléments, ou en utilisant des éléments à frontière plus

complexe.

Chapitre III


|50

III-2.1.1 Formes d’éléments

La figure III.2 présente les formes de quelques éléments classiques correspondant à

des domaines à une, deux ou trois dimensions.

Les données géométriques générées par le processus de maillage sont souvent

organisée sous forme des tables (matrices), une écriture que se prête bien à la

programmation.

Figure III.2 – Eléments typiques [50, 51, 52] : (a) une dimension, (b) deux dimensions, (c) trois dimensions

III-2.1.2 Table de définition des nœuds

Les nœuds sont numérotés séquentiellement de 1 à n nœuds, chaque nœud est défini

par ses coordonnées dans un repère adapté au problème. Ces données sont stockées dans

une table de coordonnées globales. Pour un problème à deux dimensions, cette table se

présente sous la forme :

Élément linéaire Cubique Quadratique

Triangle à trois nœuds

(a)

Quadrilatéral Triangle à six nœuds

Rectangle à cinq nœuds

(c)

(b)

Tétraèdre à quatre nœuds

Hexaèdre à huit nœuds

Chapitre III


|51

Tableau III.1 : Table des coordonnées des nœuds du maillage

Ces nœuds vont servir de basse pour définir les éléments subdivisant le domaine.

III-2.1.3 Table de définition des éléments

Les éléments sont numérotés séquentiellement de 1 à E éléments, chaque élément

est défini par la liste des numéros de ses nœuds géométrique. Cette liste est stockée dans

une table dite table des connectivités :

Tableau III.2 : Table des connectivités

Où ne est le nombre maximum de nœuds par élément, et i1, i2, i3 … ine sont les numéros des

nœuds de l’élément ei (suivant la numérotation globale du tableau III.1).

Si le milieu discrétisé est inhomogène, une autre ligne s’ajoute au tableau (ligne

indexation), qui permet de localisé la région en la quelle l’élément fait partie.

III-2.2 Discrétisation de l’équation

A cette étape le système est traité d’une façon locale. Chaque élément ei de la

géométrie est résolu individuellement, ce qui conduit à une forme algébrique plus simple.

Numérotation locale des nœuds de l’élément « e »

(ne nœuds par éléments)

1

2

3

ne

….

i1

i2

i3

ine

1 2 ….. ei …. E

….

Numéro de l’élément « e » (E éléments)

Numéro du nœud

Coordonnées

1 2 3 ……………

n

X ……………

……………

Y

X1 X2 X3 Xn

y1 y2 y3 yn

Chapitre III


|52

III-2.2.1 Approximation nodale

Soit le potentiel vecteur magnétique 𝐴𝐴 dont on veut connaitre la distribution sur un

domaine bidimensionnel Ω. La solution approchée du problème (III-1) est donné par [52]:

( )1

, ( , )E

ie

i

A x y A x y=

≅ ∑ (III-2)

Où E est le nombre d’éléments dans le domaine Ω qui comporte n nœuds et 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑖𝑖 est

l’approximation de la fonction A dans l’élément « i ». La valeur approchée de potentiel A

associé à chaque nœud est noté par An.

Nous supposons que les éléments sont assez petits de telle sorte qu’on puisse

approximer la fonction 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑖𝑖 (III-2) correspondant à l’élément i par un polynôme de degré k

( )k∈ selon la précision souhaitée.

Prenant l’exemple d’un élément triangulaire à trois nœuds (voir figure III.3) où Ae1,

Ae2 et Ae3 sont respectivement les valeurs du potentiel Ae dans les nœuds 1, 2 et 3, et

choisissant un polynôme d’ordre un comme fonction d’interpolation :

𝐴𝐴𝑒𝑒(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎3𝑦𝑦 (III-3)

Soit sous forme vectorielle :

𝐴𝐴𝑒𝑒 = < 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 > 𝑎𝑎1𝑎𝑎2𝑎𝑎3

≡ ( 𝐴𝐴𝑒𝑒 = 𝑃𝑃.𝑎𝑎𝑖𝑖) (III-4)

Où P est une fonction connue linéairement indépendante, généralement appelée fonction de

base, ai sont les paramètres de l’approximation.

En fonction des coordonnées nodales, la relation (III-3) permet d’écrire :

𝐴𝐴𝑒𝑒1 = 𝐴𝐴𝑒𝑒(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎3𝑦𝑦1

𝐴𝐴𝑒𝑒2 = 𝐴𝐴𝑒𝑒(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎3𝑦𝑦2 (III-5)

𝐴𝐴𝑒𝑒3 = 𝐴𝐴𝑒𝑒(𝑥𝑥3,𝑦𝑦3) = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥3 + 𝑎𝑎3𝑦𝑦3

Ou sous forme matricielle

𝐴𝐴𝑒𝑒1𝐴𝐴𝑒𝑒2𝐴𝐴𝑒𝑒3

= 1 𝑥𝑥1 𝑦𝑦11 𝑥𝑥2 𝑦𝑦21 𝑥𝑥3 𝑦𝑦3

𝑎𝑎1𝑎𝑎2𝑎𝑎3

(III-6)

Chapitre III


|53

ai

Ni(x,y)

Figure III.3 – Elément triangulaire à trois nœuds avec leur numérotation locale

De cette dernière (III-6), on peut calculer les paramètres d’approximation ai en

fonction des valeurs nodales :


= 1 𝑥𝑥1 𝑦𝑦11 𝑥𝑥2 𝑦𝑦21 𝑥𝑥3 𝑦𝑦3

−1


(III-7)

Ou encore


= 1∆

(𝑥𝑥2𝑦𝑦3 − 𝑥𝑥3𝑦𝑦2) (𝑥𝑥3𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥1𝑦𝑦3) (𝑥𝑥2𝑦𝑦3 − 𝑥𝑥3𝑦𝑦2) (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3) (𝑦𝑦3 − 𝑦𝑦1) (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3) (𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2) (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥3) (𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2)


(III-8)

Où Δ=2S est le déterminent et qui est égale à deux fois la surface de l’élément [ref], il est

positif si les nœuds sont numérotées suivent le sens trigonométrique et négatif dans le sens

inverse.

En remplaçant les ai (III-8) dans (III-4), on obtient :

𝐴𝐴𝑒𝑒 =< 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 > 1∆

(𝑥𝑥2𝑦𝑦3 − 𝑥𝑥3𝑦𝑦2) (𝑥𝑥3𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥1𝑦𝑦3) (𝑥𝑥1𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥2𝑦𝑦1) (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3) (𝑦𝑦3 − 𝑦𝑦1) (𝑦𝑦1 − 𝑦𝑦2) (𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2) (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥3) (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)


(III-9)

On peut maintenant approcher le potentiel Ae dans chaque élément en fonction de ses

valeurs nodales en réarrangeant l’équation III-9 :

Chapitre III


|54

𝐴𝐴𝑒𝑒 = [𝑁𝑁1 𝑁𝑁2 𝑁𝑁3] 𝐴𝐴𝑒𝑒1𝐴𝐴𝑒𝑒2𝐴𝐴𝑒𝑒3

(III-10)

Où les Ni (x, y) sont des fonctions d’interpolation aussi appelées fonctions de formes [50,

51, 52].

Cette reformulation de fonction d’interpolation (III-3) est appelée approche

(interpolation) nodale puisqu’elle dépend des valeurs aux nœuds de la fonction inconnue A.

III-2.2.2 Fonctions de forme

La relation III-9 permet d’écrire :

3

1

( , ) ( , )ii

e eiA x y N x y A=

=∑ (III-11)

Dans ce cas, les Ni (x, y) ont pour expression :

𝑁𝑁1 = 12𝑆𝑆

[(𝑥𝑥2𝑦𝑦3 − 𝑥𝑥3𝑦𝑦2) + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3)𝑥𝑥 + (𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2)𝑦𝑦]


[(𝑥𝑥3𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥1𝑦𝑦3) + (𝑦𝑦3 − 𝑦𝑦1)𝑥𝑥 + (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥3)𝑦𝑦] (III-12)


[(𝑥𝑥1𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥2𝑦𝑦1) + (𝑦𝑦1 − 𝑦𝑦2)𝑥𝑥 + (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)𝑦𝑦]

L’approximation nodale possède la propriété fondamentale qui découle des relations

(III-5) et (III-12), comme Ae (xi, yi)=Aei les fonctions Ni vérifient [50, 51] :

𝑁𝑁𝑖𝑖𝑥𝑥𝑗𝑗 ,𝑦𝑦𝑗𝑗 = 0 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗1 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗

(III-13)

La figure III.4 donne une représentation des fonctions d’interpolation linéaires pour

un problème à deux dimensions (élément triangulaire) [51] :

Figure III.4 – Fonctions de forme (base linéaire)

Chapitre III


|55

Une fois les fonctions d’interpolations sont déterminées, nous pouvons les exploiter

pour approximer la variable Ae dans chaque élément. Il s’agit donc de construire ce qu’on

appelle les matrices et les vecteurs élémentaires.

III-2.2.3 Quantités élémentaires

Le calcul des matrices élémentaires passe par la réécriture du problème sous forme

intégrale, appelée aussi forme faible.

III-2.2.3.1 Formulation intégrale

En fait, la méthode des éléments finis n’utilise pas directement la forme différentielle

précédente (III-1), mais elle s’appuie sur une forme intégrale équivalente. On peut y

procéder de deux façons :

Soit à l’aide de la notion de fonctionnelle qui est souvent utilisée pour construire

directement une formulation intégrale. Dans ce cas en parle de la méthode variationnelle

telle que la méthode Rayligh-Ritz.

Ou bien en utilise la méthode des résidus pondérés qui, en utilisant des fonctions de

pondération, permet de passer d’un système d’équations aux dérivées partielles (EDP) à

une formulation intégrale. Le choix de la fonction de pondération conditionne le type de la

formulation intégrale :

- Formulation de type Galerkine.

- Formulation de type collocation par points ou par sous-domaines.

- Formulation de type moindres carrés.

La méthode des résidus pondérés consiste à annuler l’erreur commise sur le résidu,

en la pondérant sur le domaine par un nombre fini de fonctions wi. Ce qui correspond à des

équations sous forme intégrale représentées par [33]:

1

( ) 0 ( ) 0e

E

i ie

w EDP d w EDP dΩ Ω=

Ω = ⇔ Ω =∑∫ ∫ (III-14)

Où Ω est le domaine de résolution, Ωe est le domaine de l’élément e ( e1

Ω ΩE

e=

=

) et wi sont

des fonctions de projection pouvant être scalaires ou vectorielles. Dans le cas particulier où

les fonctions de pondération wi sont identique aux fonctions d’interpolation Ni la technique

et dite méthode de Galerkine. C’est cette technique qui sera employée pour le traitement de

l’équation étudiée.

Chapitre III


|56

a) Méthode de Galerkine

En injectant l’équation aux dérivées partielles (III-1), modèle mathématique de notre

système, dans (III-14) et en substituant les fonctions de pondération wi par les fonctions de

forme Ni (méthode de Galerkine), nous pouvons obtenir une formulation intégrale

appropriée au système étudié :

( )( ) 0si v A dJN j AωσΩ

∇ ∇− =⋅ + − Ω∫

(III-15)

Dans le cas axisymétrique (chapitre 2) l’équation précédente s’écrie :

1 0i s

A AN j A J drdz

r r r z zϕ ϕ

ϕν ν ωσΩ

∂ ∂ ∂ ∂− − + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫ (III-16)

Ou encore

1i i i s

A AN d N j A d N J d

r r r z zϕ ϕ

ϕν ν ωσΩ Ω Ω

∂ ∂ ∂ ∂− − Ω+ Ω = Ω ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫ ∫∫ ∫∫ (III-17)

L’application du théorème de Green sur le premier terme de l’équation ci-dessus donne :

1 1i ii

A A A AN NN d dr r r z z r r r z z

ϕ ϕ ϕ ϕν ν νΩ Ω

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂− − Ω = − + Ω ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫ ∫∫

( ) ( )1 cos , cos ,i i

A Av N n r N n z d

r r zϕ ϕ

Γ

∂ ∂ + + Γ ∂ ∂ ∫ (III-18)

cos(n, r) et cos(n, z) sont les cosinus directeurs de la normal à la frontière Г du domaine de

résolution Ω. L’équation peut être réécrite sous la forme :

1i i i

A A AN d N A d vN dГ

r r r z z nϕ ϕ ϕ

ϕν ν νΩ Ω Γ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − Ω = − ∇ ∇ Ω+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫ ∫∫ ∫

(III-19)

Pour notre système, les conditions aux limites sont homogènes. Par conséquent, le

terme sur la frontière s’annule. Dans ce cas, l’équation (III-17) devient :

i i i sN A d N j A d N J dϕ ϕν ωσΩ Ω Ω

∇ ∇ Ω+ Ω = Ω∫∫ ∫∫ ∫∫

(III-20)

L’intégrale sur Ω est la somme des intégrales sur Ωe (III-14). Ce qui permet traiter le

problème à l’échelle élémentaire puis faire un assemblage pour construire le système

global.

Chapitre III


|57

Au niveau de l’élément e, en tenant compte de la relation (III-11), l’équation III-20

permet d’écrire :

( ) ( )3 3 3 3 3

1 1 1 1 1e e

i j ej e i j ej e i s ei j e i j i

N N A d N j N A d N J dν ωσ= = Ω = = Ω = Ω

Ω + Ω = Ω

∇ ∇∑ ∑ ∑ ∑ ∑∫∫ ∫∫ ∫∫

(III-21)

Comme les valeurs nodales Aej sont indépendantes des variables spatiales, on peut

réécrire l’équation sous forme matricielle plus simple :

𝑀𝑀(𝑒𝑒)𝐴𝐴𝑛𝑛(𝑒𝑒) + 𝑅𝑅(𝑒𝑒)𝐴𝐴𝑛𝑛

(𝑒𝑒) = 𝐹𝐹(𝑒𝑒) (III-22)

Qui est un système d’équations linéaires simple. [M(e)] est appelé matrice élémentaire

masse, [R(e)] est la matrice élémentaire raideur, [F(e)] est le vecteur force et [𝐴𝐴𝑛𝑛(𝑒𝑒)] est le

vecteur inconnu, il représente les valeurs de potentiel vecteur magnétique sur les nœuds de

l’élément e :

𝐴𝐴𝑛𝑛(𝑒𝑒) =


(III-23)

III-2.2.3.2 Matrice masse élémentaire

La matrice masse [M(e)] est une matrice symétrique dont les éléments sont donnés par :

3 3( )

1 1 e

eij i j e

i j

M N N dν= = Ω

= ∇ ∇ Ω ∑∑ ∫∫

(III-24)

Dans le cas des fonctions de forme (III-12), elle est donné par :

𝑀𝑀12(𝑒𝑒) = 𝑀𝑀21

(𝑒𝑒) = 14𝑆𝑆

[(𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3)(𝑦𝑦3 − 𝑦𝑦1) + (𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥3)]


(𝑒𝑒) =1

4𝑆𝑆[(𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3)(𝑦𝑦1 − 𝑦𝑦2) + (𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)]


(𝑒𝑒) =1

4𝑆𝑆[(𝑦𝑦3 − 𝑦𝑦1)(𝑦𝑦1 − 𝑦𝑦2) + (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥3)(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)]

𝑀𝑀11(𝑒𝑒) = 1

4𝑆𝑆[(𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3)² + (𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2)²] (III-25)

𝑀𝑀22(𝑒𝑒) =

14𝑆𝑆

[(𝑦𝑦3 − 𝑦𝑦1)² + (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥3)²]

𝑀𝑀33(𝑒𝑒) =

14𝑆𝑆

[(𝑦𝑦1 − 𝑦𝑦2)² + (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)²]

Chapitre III


|58

III-2.2.3.3 Matrice raideur élémentaire

D’après (III-21) et (III-22) elle est défini par :

3 3( )

1 1 e

eij i j e

i j

R j N N dω σ= = Ω

= Ω ∑∑∫∫ (III-26)

Qui est une matrice symétrique. Dans le cas particulier des fonctions de forme

(III-12), les coefficients matriciels sont données par :

( ) 6

12

eij

S si i jR

S si i j

== ≠

(III-27)

III-2.2.3.4 Vecteur force élémentaire

Dit aussi vecteur source, il est défini à partir des relations (III-21) et (III-22) par : 3

1

( )

e

i i s ee

i

F N J d= Ω

= Ω ∑∫∫ (III-28)

En substituant les fonctions de forme par leurs expressions (III-12) et en intégrant sur

Ωe, on obtient : ( )

1( )

2( )

3

3

es

es

es

SF JF JF J

=

(III-29)

Le calcul des matrices élémentaires permet d’obtenir pour chaque élément les

systèmes d’équations élémentaires. Il ne reste que de les assembler pour construire le

système global.

III-2.3 Assemblage On appelle assemblage, l’opération de regrouper les matrices élémentaires dans une

seule matrice globale. La façon la plus simple pour assembler les matrices élémentaires est

de réécrire les systèmes élémentaires en fonction de toutes les composantes du vecteur

inconnu An (n inconnues pour n nœuds), puis simplement faire la somme (≡ somme des

intégrales III-14) de ces nouvelles matrices pour aboutir au système global.

En pratique, on ne procède pas de cette manière pour des raisons d’économie de

mémoire et de temps de calcul mais on fait un assemblage des matrices élémentaires en

utilisant les connectivités des éléments (tableau III.2). Les matrices globaux M(n x n),

Chapitre III


|59

R(n x n) et F(1x n) sont d’abord initialisées à des matrices nulles, ensuite à chaque

construction de matrice élémentaire, on localise avec la table des connectivités là où il faut

l’ajouter à la matrice globale. En effet, nous savons que les fonctions de formes Ni(x, y)

sont nulles sur les éléments qui ne possèdent pas le nœud ni (III-13). Par conséquent, pour

le vecteur F, la sommation ne porte effectivement que sur les éléments qui partagent ce

nœud. De même pour les matrice M et R, la sommation ne porte que sur les éléments qui

possèdent, à la fois, le nœud ni et le nœud nj [53]:

( )

i j

eij ij

e possédant n et nM M= ∑

( )

i j

eij ij

e possédant n et nR R= ∑ (III-30)

( )

i

ei i

e possédant nF F= ∑

Seuls les coefficients Mij et Rij correspondant à des nœuds appartenant au même

élément, sont non nuls. Cette propriété explique le caractère creux des matrices en

éléments finis [53].

Il convient de noter l’existence des techniques permettant d’optimiser le processus

d’assemblage, en tirant profit de la nature creuse des matrices, par l’élimination des termes

inutiles (termes nuls) et par conséquence les opérations inutiles, ce qui permet de réduire le

temps et l’espace mémoire requis. Parmi ces méthodes nous citons :

- la méthode des bandes.

- la méthode frontale.

Le système global résultant du processus d’assemblage est donné comme suit :

[𝑀𝑀][𝐴𝐴𝑛𝑛 ] + [𝑅𝑅][𝐴𝐴𝑛𝑛] = [𝐹𝐹] (III-31)

Conduit au système linéaire :

[𝐾𝐾][𝐴𝐴𝑛𝑛 ] = [𝐹𝐹] (III-32)

Où la matrice K, appelée matrice de rigidité, est la somme de la matrice masse M et la

matrice raideur R.

Nous disposons maintenant d’un système d’équations linières simple à traiter

numériquement. Toutefois, avant de résoudre le système, il faut appliquer les conditions

aux limites sur les nœuds appartenant à la frontière du domaine Г. Cette opération permet

Chapitre III


|60

de simplifier et diminuer le nombre des équations à résoudre, ce qui affectera le temps et

l’espace mémoire requis à la résolution.

III-2.4 Résolution du système

La matrice du système issu d’une discrétisation par élément finis admet, selon la

nature du problème, une variété de caractéristiques (linéaire, non linéaire, stationnaire, non

stationnaire…) qui conditionnent le choix des méthodes de résolution ainsi que leur

implémentation au niveau informatique : espace mémoire, temps de calcul, précision.

Pour un système linéaire, ce qui est le cas de notre système (III-32), les méthodes de

résolution peuvent être classées en deux catégories :

a)- les méthodes directes qui conduisent à la résolution en un nombre d’opérations

connu a priori :

b)- les méthodes itératives qui conduisent à la solution par une succession

d’amélioration d’une solution approchée, le nombre d’itérations nécessaires étant

difficile à prévoir et dépendant de la matrice K [50].

Pour la résolution de notre système (III-32), la capacité de calcul dont nous

disposons (serveur HP-Z800 : 64 Go de mémoire vive, doté de 12 processeurs cadencés à

3.33 GHz et agencés en parallèle) nous a permet la résolution directe du problème en

inversant la matrice de rigidité K :

[𝐴𝐴𝑛𝑛 ] = [𝐾𝐾]−1. [𝐹𝐹] (III-33)

III-2.5 Etude de convergence

Toute étude qui passe par une solution numérique approchée doit faire l’objet d’un

examen de convergence, assurant que l’écart entre la solution approchée et la solution

exacte tend vers valeur minimal, précision souhaitée (ou disponible), que l’on appelée

critère de convergence.

opération 1 opération 2 opération "n ” Solution

solution

approchée (initial) algorithme :

solution approchée teste de

convergence

Solution non

oui

Chapitre III


|61

Dans les calculs éléments finis la convergence peut être atteinte en augmentant le

degré des polynômes d’interpolation, en raffinant le maillage pour augmenté la précision

ou bien en cherchant une bonne adaptation du maillage au problème traité.

III-3 Implémentation de la méthode des éléments finis

Sur la base de ce qui précède, un code de calcul éléments finis a été développé. Ce

code de résolution magnétodynamique à pour vocation de calculer le champ

électromagnétique rayonné par les cellules solaire en zone proche. Il permettra aussi, après

validation, d’étudier l’influence des différents paramètres physiques et géométriques sur le

comportement électromagnétique des cellules solaires.

III-3.1 Algorithme de Calcul

La structure du programme développé est donnée par la figure III.5. Nous

distinguons principalement trois blocs principaux :

1. Le bloc d’entrée (préprocesseur) qui permet de charger :

- les données physiques nécessaires à la construction de la géométrie de la

cellule solaire.

- les propriétés physiques propres à chaque région du système.

- les données générées par le processus de maillage.

2. bloc solveur (processeur) qui est le noyau du programme, conçue sur le principe de

l’approximation nodales, après chaque calcul élémentaires, les résultats sont

accumulés, une boucle sur touts les éléments permet ainsi d’obtenir le système

linéaire dont la résolution et faite de manier directe.

3. Le bloc de sortie (post processeur) qui permet la visualisation et l’exploitation des

résultats obtenus. Ce bloc dispose d’un jeu complet de valeurs nodales du potentiel

vecteur magnétique a partir des quelles il est possible de déduire toutes

informations relatives au comportement électromagnétique du système.

Chapitre III


|62

Figure III.5 – Organigramme de résolution magnétodynamique par MEF

Données d’entrée du système

- Dimensions géométrique de chaque région du domaine - Caractéristiques physiques de chaque région : ε, µ, σ - Courant de sollicitation : intensité et fréquence

Construction de la géométrie

Génération du maillage et récupération des tables de connectivités et des nœuds

Triage des éléments par région, indexation et affectation des propriétés (ε, µ, σ) de chaque région

Initialisation des matrices globales M, R et F.

Calcul des matrices élémentaires Me, Re et Fe pour l’élément “e” (e=1,2,…..,E)

Assemblage des quantités élémentaires calculées aux matrices globales à l’aide de la table connectivités

Calcul de la matrice de rigidité global K=M+R et Introduction des conditions aux limites

non

oui Assemblage

Résolution du système [K] [A]= [F]

Calcul des champs : 𝐸𝐸 ,𝐵𝐵 …

Traitement de résultats, affichage et visualisation

Calcul divers

Processeur

Préprocesseur

Post processeur

Exploitation

Résolution

Acquisition

e = E ?

Chapitre III


|63

III-4 Conclusion

Au cours de ce chapitre, nous avons exposé la méthode des éléments finis, méthode

de résolution numérique parfaitement adaptée à la résolution du modèle magnéto-

dynamique choisi pour notre système.

Les bases essentielles sur lesquelles repose cette méthode ainsi que les différents

outils et techniques nécessaires à leur implémentation ont présenté.

Le prochain chapitre, est dédié à l’implémentation de la MEF ainsi qu’à

l’exploitation du code développé.

Chapitre IV Implémentation, Validation et

Exploitation

Sommaire -1 Introduction .............................................................................................................................. 65

-2 Construction de la géométrie du système ................................................................................ 65

-2.1 Discrétisation de la géométrie ........................................................................................... 66

-2.2 Conditions aux limites ...................................................................................................... 68

-3 Résultats et analyses ................................................................................................................ 68

-3.1 Potentiel vecteur magnétique A ........................................................................................ 69

-3.2 Induction magnétique B .................................................................................................... 70

-3.3 Champ électrique E ........................................................................................................... 72

-4 Application à l’évaluation des paramètres physiques .............................................................. 72

-4.1 Effet de la fréquence ......................................................................................................... 73

-4.2 Effet du contact arrière ..................................................................................................... 76

-4.3 Effet de l’épaisseur de la cellule ....................................................................................... 77

-4.4 Effet de l’intensité du courant ........................................................................................... 78

-4.5 Calcul en champ proche : effet de la distance ................................................................... 79

-5 Conclusion ............................................................................................................................... 81

Chapitre IV

|65

Implémentation, Validation et Exploitation

IV-1 Introduction

Dans le chapitre 2, nous avons développé une formulation magnétodynamique 2D

axisymétrique appropriée au fonctionnement de notre système. Pour sa résolution, notre

choix s’est porté sur la méthode des éléments finis qui a été détaillée au chapitre 3. Le

chapitre présent est consacré à l’exploitation et discussion des résultats obtenus après

implémentation de la méthode de résolution sous environnement MATLAB. Ces résultats

sont confrontés tout d’abord à des résultats expérimentaux cités dans la littérature, puis à

des résultats qu’on a obtenus par le logiciel commercial COMSOL Multiphysics.

Nous rappelons notre objectif, c’est l’évaluation de la répartition du champ

électromagnétique au voisinage des panneaux solaires en général et des cellules photo-

voltaïques en particulier. Les études réalisées dans ce domaine suggèrent [9, 12, 14, 15],

que le rayonnement des panneaux est dû, parmi autres, aux bruits générés dans la

circuiterie électronique et électrique du système photovoltaïque. Ces signaux parasites sont

souvent acheminés aux panneaux par conduction (perturbation conduite) [9], où ils seront,

selon leurs natures, diffusées ou rayonnées. Pour cela, nous avons adopté une

méthodologie où la cellule à étudier est excitée par différentes perturbations et nous

observons numériquement sa réaction vis-à-vis de ces perturbations.

IV-2 Construction de la géométrie du système

Dans le chapitre II, nous avons présenté le système électromagnétique modélisant

notre dispositif (figure II.5). La présence d’un axe de symétrie a permet de restreindre le

domaine d’étude à la moitié de la section transversale. Les n aspires constituant la grille

métallique dans lesquels circule un courant I peuvent être modélisés par un seul anneau

(de rayon interne r et externe R) sur le quel est appliquée une densité de courant Js donné

par [54] :

sn IJS

= (IV.1)

où S est l’aire de la section de l’anneau.

La structure est édifiée sur Matlab à l’aide de la matrice “g”, elle code les

caractéristiques géométriques des frontières des sous domaines. Les frontières sont

décomposées en « morceaux» élémentaires sur lesquelles on spécifie une condition au

bord. La matrice g (10 x n), où "n" est égale au nombre de morceaux, se limite aux

géométries à une ou deux dimensions.

Chapitre IV

|66


Pour Comsol la construction de la géométrie est beaucoup plus simple grâce à son

interface CAD (Computer Aided Design) qui permet de construire des structures

complexes à 1, 2 ou 3 dimensions.

La figure IV.1 illustre la géométrie du système bidimensionnelle élaborée sous

Matlab, la structure est composée de trois sous domaines ; une boite d’air de 8x10cm, la

charge (jonction semi-conductrice) 0,03x6cm et la source (grille métallique) 0,01x4,8cm.

Sans que cela affecte le comportement général du système [38], la source a été légèrement

décalé vers l’intérieur avec une distance b (figure IV.1) pour éviter l’effet de bord de la

charge.

Figure IV.1 – Géométrie 2D du système sous Matlab

Une fois que la géométrie est construite on passe à la discrétisation.

IV-2.1 Discrétisation de la géométrie

Pour générer le maillage, nous avons utilisé le manilleur de PDE Toolbox de Matlab

en utilisant la commande initmesh qui permet d’obtenir des maillages non conformes basés

sur la triangulation de Delaunay (figure IV.2-a).

Sur la figure IV.2, nous présentons les maillages obtenus par Matlab et Comsol.

r[m]

Semiconducteur métal

Air

z[m

]

300µm

100µm b=10mm

Chapitre IV

|67


Figure IV.2 – Discrétisation du domaine

Nous remarquons que la discrétisation est inhomogène, le nombre d’éléments est

bien élevé aux endroits où l’on a besoin de plus de précisions sur la solution (source et

charge). On peut constater aussi que le maillage généré par Comsol est plus régulier. En

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

r [m]

z [m

]

COMSOL

MATLAB

Chapitre IV

|68


effet, Comsol offre beaucoup plus de contrôle et de maniabilité concernant le type, la

forme et la précision (le pas) du maillage.

Les données générés du processus de maillage sont codées et stockées sous forme de

matrices.

IV-2.2 Conditions aux limites

La figure IV.3 montre les conditions introduites au bord du domaine. Nous

supposons qu’à une certaine distance, généralement prise égale à la plus grande dimension

de dispositif à étudier [51], les champs peuvent être considérés comme nuls (condition de

type Dirichlet). Quant à l’axe de symétrie, et puisqu’il s’agit d’une symétrie de révolution,

la direction de champ vecteur 𝐴𝐴 est opposée d’un coté par rapport à l’autre ce qui implique

que le champ va s’annuler au voisinage sur l’axe.

Figure IV.3 – Conditions appliquées sur les frontières du domaine

IV-3 Résultats et analyses

Nous exposerons dans ce qui suit les résultats de calcul effectué. L’idée principale

été d’injecter une perturbation sur la structure de la cellule solaire et observer sa réaction,

une réaction qui se manifeste particulièrement dans le potentiel vecteur magnétique,

l’induction magnétique et le champ électrique. Les différentes réponses aux différentes

perturbations peuvent donner une idée générale sur le comportement électromagnétique

des cellules photovoltaïques.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

r

z

A =0

A =0

A =0

A =0

Chapitre IV

|69


IV-3.1 Potentiel vecteur magnétique A

Les figures IV.4 et IV.5 représentent respectivement la distribution du module du

potentiel vecteur magnétique 𝐴𝐴 calculé par le code élaboré et par Comsol. Ces résultats

ont été obtenus à une fréquence de 100kHz.

Nous remarquons qu’il y a, en général, un bon accord (grandeur et allure) entre le

résultat calculé et celui obtenu par Comsol. La légère différence dans la répartition du

champ délivrée par les deux codes peut être attribuée aux :

Fonctions d’interpolations (fonctions de forme) adoptées par chaque code.

Dans le notre, nous avons utilisé des fonctions d’interpolation linéaire d’ordre

un afin de minimiser au maximum le coût de calcul. Alors que, les fonctions

de forme utilisées sur Comsol sont des polynômes d’ordre deux (Lagrange-

quadratique).

Qualité de maillage utilisé par chaque code (fig-IV.2), ce qui peut affecter la

qualité de résolution.

Il reste à noter que les lignes des équipotentiels sont quasi elliptiques avec quelques

singularités sur le coté gauche de la courbe. Ces singularités sont principalement causés par

le changement abrupt (air-métal) de la conductivité électrique σ et à la faible épaisseur du

dispositif qui ne permet pas aux lignes de suivre ce changement brutal.

Figure IV.4 – Distribution du potentiel vecteur magnétique 𝐴𝐴 obtenu par calcul

Chapitre IV

|70


Figure IV.5 – Distribution du potentiel vecteur magnétique 𝐴𝐴 obtenu par Comsol

Sur la figure ci-dessous sont données les répartitions des parties réelle et imaginaire

du potentiel vecteur magnétique. La partie réelle traduit le terme source (𝐽𝐽𝑠𝑠 ), tandis que la

partie imaginaire traduit la diffusion due aux courants induits dans la charge (jωσ𝐴𝐴 ).

Figure IV.6 – Répartition des parties réelle et imaginaire du potentiel vecteur magnétique

IV-3.2 Induction magnétique B

La figure IV.7 illustre la répartition de l’induction magnétique 𝐵𝐵 dans

l’environnement proche de la cellule solaire sollicitée par un courant ayant une fréquence

de 100kHz.

Chapitre IV

|71


Figure IV.7 – Distribution de l’induction magnétique B à 100kHz

Figure IV.8 – Champ vecteurs et isovaleurs de l’induction magnétique à 100kHz

Cette distribution n’est autre que la circulation du potentiel vecteur magnétique

(𝐵𝐵 = ∇ × 𝐴𝐴). Nous remarquons que l’induction est confinée au centre de l’axe de symétrie,

où elle atteindra sa valeur maximale (0.37 mT).

Il est à noter que les lignes apparaissant sur la figure IV.7 représentent les isovaleurs

et non pas les lignes de champs. En effet, les lignes de champs (figure IV.8 sous forme de

vecteur) sont tangentielles aux lignes des équipotentiels (figure IV.4).

Chapitre IV

|72


IV-3.3 Champ électrique E

Sur la figure ci-dessous nous donnons la distribution du champ électrique 𝐸𝐸 à une

fréquence de 100kHz calculée dans les différentes régions du système. L’allure présentée

est similaire à celle du potentiel vecteur magnétique 𝐴𝐴 (figure IV.5). Ceci est dû au fait que

le champ électrique en régime harmonique, n’est que le potentiel vecteur à un facteur près

(de l’ordre 105). En effet, d’après l’équation (II-27) du chapitre 2 et sachant que le terme

(𝛻𝛻 𝑉𝑉) est nul dans l’air et dans la charge (c’est le terme source), la relation entre le champ

électrique et le vecteur potentiel se réduit à :

𝐸𝐸 = -jω𝐴𝐴 (VI-1)

Figure IV.9 – Distribution du champ électrique E à 100kHz

IV-4 Application à l’évaluation des paramètres physiques

Nous avons confrontés les résultats de calculs à ceux obtenus par Comsol, ce qui

nous a permet de valider le code développé.

Nous allons maintenant exploiter ce code pour évaluer l’impact des différents

paramètres physiques et géométriques sur le rayonnement de la cellule solaire, tout en

présentant conjointement les résultats simulés sous Comsol.

Chapitre IV

|73


IV-4.1 Effet de la fréquence

La figure IV.10 expose les cartes de champs obtenues par notre code et par Comsol

pour diverses fréquences. Il est à remarquer que le comportement électromagnétique de la

structure varie avec la variation de la fréquence :

Pour la même fréquence, nous constatons un léger écart dans la répartition du

champ délivrée par les deux codes (discuté au paragraphe IV.3.1).

Un effet écran apparait quand la fréquence augmente, cela est dû à l’effet de peau

qui est inversement proportionnel à la fréquence. En effet, avec l’augmentation de

la fréquence, la profondeur de pénétration du champ électromagnétique diminue

et devient comparable à l’épaisseur de la cellule (la charge).

Remarque : Nous mentionnons que les cartes de champs présentées sur la figure IV.10 ne

sont pas à la même échelle.

La figure IV.11 représente la réaction électromagnétique (potentiel vecteur

magnétique) d’une cellule solaire dans la plage de fréquences [1kHz – 30MHz].

Caractéristiques de la cellule solaire utilisée :

− Epaisseur : 300µm

− Conductivité du semiconducteur : σ=103 S/m,

− Intensité du courant d’excitation I=0.5A

La figure IV.11 montre un léger décalage entre les résultats calculés et ceux obtenus

par Comsol. Les deux courbes peuvent être divisé en trois phases : dans une première

phase, l’intensité reste constante autour de 1.2µA/m jusqu’à une fréquence d’à-peu-près

100kHz. Ensuite, nous constatons une décroissance graduelle du potentiel vecteur

magnétique où elle tombera, dans la troisième phase, vers une valeur presque nulle au

voisinage de 30MHz. Nous pouvons expliquer ceci par le fait qu’avec l’augmentation de la

fréquence, les courants de déplacement ne sont plus négligeables. L’énergie n’est plus

confinée à l’entourage proche de la cellule mais elle a plutôt tendance à se propager et

s’éloigner de la source, Ceci peut être aperçu sur la figure IV.10 (deux dernières cartes de

champs).

Chapitre IV

|74


Calculé Simulé sous Comsol

Figure IV.10 – Distribution du potentiel vecteur magnétique A pour différentes fréquences

10 kHz 10 kHz

1 MHz 1 MHz

10 MHz

30 MHz 30 MHz

10 MHz

Chapitre IV

|75


Figure IV.11 – Effet de la fréquence sur l’intensité du rayonnement : (a) échelle semi-logarithmique, (b) échelle logarithmique.

103 104 105 106 107

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4 code de calcul Comsol

Pote

ntiel

vecte

ur m

agné

tique

A [µ

T.m

]

Fréquence (Hz)

103 104 105 106 107

-30

-20

-10

0

10

code de calcul Comsol

Pote

ntiel

vect

eur m

agné

tique

A [d

B(µT

.m)]

Fréquence [Hz]

a

b

Chapitre IV

|76


IV-4.2 Effet du contact arrière

Les cartes de champs présentées sur les figures IV.12 et IV.13 représentent la

répartition du potentiel vecteur magnétique sur l’environnement proche d’une cellule à

contact arrière interdigité et à contacts par plan (chap.I figure I.19-b), cela pour deux

fréquences différentes (100kHz et 30MHz).

Sur la figure IV.12 nous remarquons que ; pour les basses fréquences (figure IV.12 à

gauche), le champ est confiné dans les zones interstitielles entre différents rubans

métalliques en raison de leur faible impédance. Nous constatons aussi que l’effet écran

apparait à des fréquences de quelque mégahertz (figure IV.12 à droite) alors qu’il apparait

à quelques dizaines de mégahertz pour la cellule sans contact arrière simulé au pré-avant.

La cellule à contact arrière plan (figure IV.13) présente le même comportement

qu’une cellule sans contact arrière (figure IV.10) mais avec un décalage en fréquence. La

figure IV.14 montre que le rayonnement dû à la cellule à contact arrière plan est le moins

intense, cela et est probablement dû aux pertes dissipées par le plan métallique sous effet

joule.

Figure IV.12 – Distribution du potentiel vecteur magnétique d’une cellule a contact arrière interdigité

100kHz

3 MHz

Chapitre IV

|77


Figure IV.13 – Distribution du potentiel vecteur magnétique d’une cellule à plan de mass

Figure IV.14 – Effet de la fréquence sur l’intensité du rayonnement de la cellule sans et avec contacte arrière

IV-4.3 Effet de l’épaisseur de la cellule

La figure IV-15 illustre l’influence de l’épaisseur de la couche semi-conductrice sur

le rayonnement total d’une cellule photovoltaïque ayant une conductivité d’ordre 103 S/m,

sollicité par un courant d’intensité 0.5A et de fréquence 100kHz.

Le calcul montre que l’intensité du champ à proximité de la cellule est

inversement proportionnel à l’épaisseur du substrat, on note que plus l’épaisseur augmente,

le champ diminue. Cette atténuation peut être élucidée par l’augmentation de la puissance

dissipée par effet Joule. En effet, à cause de l’effet de peau très important, le

semiconducteur et entièrement pénétré, plus l’épaisseur augmente plus grande sera la

densité de courant induite captée, ce qui induit des pertes thermiques plus importantes.

Pour les faibles épaisseurs, les champs peuvent traversés facilement la plaque semi-

conductrice engendrant une augmentation de la densité de champ au voisinage de la cellule

mince.

100kHz

3 MHz

103 104 105 106 1070,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

contact à plan contacts à rubans sans contact

pote

ntiel

vecte

ur (µ

T.m

)

fréquence (Hz)103 104 105 106 107

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4 contact à plan contacts à rubans sans contact

pote

ntie

l vec

teur

(µT.

m)

fréquence (Hz)

Comsol Code de

calcul

Chapitre IV

|78


Figure IV-15 – Effet de l’épaisseur du substrat semiconducteur sur le rayonnement de la

cellule Solaire

IV-4.4 Effet de l’intensité du courant

Pour étudier l’effet du courant circulant dans la grille sur l’intensité du champ

rayonné par la cellule, nous proposons de simuler le système précédemment défini (figure

IV.1) à une fréquence de 100kHz en la sollicitant par différentes intensités de courant. La

figure IV.16 représente le potentiel vecteur magnétique en fonction de l’intensité du

courant :

Figure IV.16 – Potentiel vecteur magnétique A en fonction de l’intensité du courant

La figure IV.16 montre une relation linéaire entre le courant et le champ diffusé,

chaque incrémentation de 1A en courant est compensée par une augmentation de 1µA/m en

potentiel vecteur, ce qui se traduit par une incrémentation de 330µT de l’induction 𝐵𝐵 et de

0 50 100 150 200 250 3001,068

1,070

1,072

1,074

1,076

1,078

Potentiel vecteur magnétique A [µT.m

]

Code de calcul COMSOL

Épaisseur du substrat semiconductrice [µm]

Pote

ntiel

vecte

ur m

agné

tique

A [µ

T.m

]

0,9435

0,9440

0,9445

0,9450

0,9455

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5


Intensité de courant [A]

Pote

ntiel

vect

eur m

agné

tique

A [µ

Wb/

m]

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-40

-30

-20

-10

0

10

20

30


Pote

ntiel

vect

eur A

[dB(

µWb/

m)]

Intensité de courant [A]

Chapitre IV

|79


0.73V/m du champ électrique 𝐸𝐸 . Une réponse linéaire similaire au formalisme décrit par

Biot-Savart [25].

IV-4.5 Calcul en champ proche : effet de la distance

La figure ci-dessous donne la variation du module de l’induction magnétique 𝐵𝐵 en

fonction de la distance :

Figure IV.17 – Induction magnétique calculé et mesurée

Les résultats expérimentaux [16] ont été obtenues pour un module a dix cellules en

silicium excité par un courant sinusoïdal (70 mA, 100kHz). Il est bien clair à partir de la

figure IV.17 que les résultats calculés s’approchent des résultats mesurés

expérimentalement, l’écart remarqué entre les résultats de mesures et ceux de calculs est

probablement du au couplage entre les cellules. En modélisation, le système est supposé

parfait, le champ total est la contribution de chaque cellule indépendamment (principe de

superposition).

Sur les figures IV.18 et IV.19 sont présentées les intensités de l’induction

magnétique et du champ électrique en fonction de l’étendue rayonnée par une cellule

solaire sollicité par un courant de 1 Ampère. Ces intensités sont comparées aux limites

d’immunité recommandées par les directives européennes, VDE 0878-1 [9] pour le champ

magnétique et EN 55022 [9] pour champ électrique.

La figure IV.18 montre que le champ magnétique dépasse la limite recommandée.

Nous constatons aussi, une atténuation d’à-peu-près 13dB à chaque éloignement de 10cm

par rapport à la cellule. Avec cette moyenne, le champ est supposé sous norme à partir

5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

mesure [ 16 ] calcul

Indu

ction

B[dB

µA/m

]

distance [cm]

Chapitre IV

|80


d’une distance de 80~100cm. Par ailleurs, des études expérimentales [14, 15] ont montré,

que dans certaines configurations, le champ magnétique subsiste nuisible même à un

intervalle de 3m et peut dépasser la limite imposée par la directive européenne

VDE 0878-1.

La figure IV.19 montre que la limite d’immunité est atteinte quand on dépasse les

40cm.

Figure IV.18 – Intensité de l’induction magnétique a différentes distances

Figure IV.19 – Intensité du champ électrique a différentes distances

105 106 107

-20

0

20

40

60

80

100

120

20cm

10cm

Indu

ction

mag

nétiq

ue B

[dBµ

A/m

]

Fréquence [Hz]

limite de la norme : VDE 0878-1

40cm

30cm

105 106 10730

40

50

60

70

80

9010cm

20cm

30cm

Cham

p éle

ctriq

ue E

[dBµ

V/m

]

Fréquence [Hz]

limite de la norme : EN 5502240cm

Chapitre IV

|81


IV-5 Conclusion

Dans ce quatrième chapitre nous avons abordé le calcul et l’étude des rayonnements

parasites dus aux cellules solaires.

Les calculs ont été effectués par exploitation du code développé et du logiciel

multiphysique : Comsol.

La comparaison des résultats donnés par chaque programme a montrée une bonne

concordance, ce qui nous a permet de valider notre code comme modèle de base approprié

à l’étude de notre système.

Le code validé est exploité pour l’étude de l’influence des différents paramètres

physiques et géométriques sur le rayonnement dû à une cellule solaire. Les résultats

obtenus montrent :

• L’intensité du champ parasite rayonné diminue avec l’augmentation de la

fréquence d’excitation alors que sa portée s’accroit.

• Un effet écran est remarqué a partir de quelques mégahertz, ce qui peu être

exploité comme blindage pour les dispositifs situé derrière le panneau.

• Les cellules à contact arrière par plan en comparaison aux autres types de

contacts offre un avantage du point de vue diminution du rayonnement parasite.

• Les intensités calculées du champ rayonné peuvent être nuisibles d’après les

limites d’immunités recommandées par les normes européennes de pollution

électromagnétique.

• L’effet de l’épaisseur du substrat semi-conducteur est inversement lié à

l’intensité du champ rayonné.

• Un comportement linéaire entre l’intensité du courant de sollicitation et du

champ rayonné.

Conclusion générale & perspectives

|82

Conclusion générale et perspectives

Dans ce travail, la problématique de la compatibilité électromagnétique a été posée :

les principaux phénomènes de perturbations électromagnétiques naturelles et artificielles

ont été décrits en donnant quelques exemples et en envisageant le couplage des

perturbations émises tout en insistant sur les systèmes photovoltaïques.

A cette fin, un code de calcul basé sur la résolution des équations de Maxwell par

éléments finis a été développé sous environnement Matlab, en vue d’une évaluation

comportementale du champ électromagnétique dans le voisinage proche des cellules

photovoltaïques.

Dans ce code a été implémentée, la formulation A-V axisymétrique, formulation élue

parmi les principales formulations magnétodynamiques existantes et qui représente le

mieux notre système. La résolution de la formulation A-V a été faite par la méthode des

éléments finis, méthode jugée générale et robuste.

La comparaison des résultats donnés par notre code et par Comsol a montrée une

bonne concordance, ce qui nous a permet de valider notre code comme modèle de base

approprié à l’étude de notre système.

Le code développé est exploité pour l’étude de l’influence des différents paramètres

physiques et géométriques sur le rayonnement parasite dû à une cellule solaire. Les

résultats obtenus montrent que :

L’intensité du champ parasite rayonné diminue avec l’augmentation de la

fréquence d’excitation alors que sa portée s’accroit.

Un effet écran est remarqué a partir de quelques mégahertz, ce qui peu être

exploité comme blindage pour les dispositifs situé derrière le panneau.

Les cellules à contact arrière par plan en comparaison aux autres types de

contacts offre un avantage du point de vue diminution du rayonnement parasite.

Les intensités calculées du champ rayonné peuvent être nuisibles d’après les

limites d’immunités recommandées par les normes européennes de pollution

électromagnétique.

Conclusion générale & perspectives

|83

L’effet de l’épaisseur du substrat semi-conducteur est inversement lié à

l’intensité du champ rayonné.

Un comportement linéaire entre l’intensité du courant de sollicitation et du

champ rayonné.

Recommandation

l’utilisation de dispositifs de filtrage et d’écrêtement entre le système

photovoltaïque et les panneaux solaires pour éliminer les signaux parasites

circulants dans les deux sens :

1. captées par le panneau et transmis vert le système par conduction.

2. générés par le système conduits vert le panneaux ou ils seront rayonnés.

Utilisation de blindage (magnétique surtout) pour les systèmes a proximité des

panneaux.

Exploiter l’effet d’écran présenté par les cellules solaires (pour f >3MHz) et

placer les instruments et les dispositifs derrière et non pas devant les panneaux.

Proposer aux fabricants de cellules solaires d’utiliser des oxydes transparents

(ITO, ZnO, SnO2…) au lieu d’une grille métallique conventionnelle afin de

minimiser les rayonnements dus aux changements d’impédance entre les lignes

de cette grille.

En perspective, nous envisageons d’étudier la structure 3D réelle sans approximation

en utilisant des signaux de sollicitations plus complexes (signaux pulsés par exemple).

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