Nagy Laszlo - Atomfizika

download Nagy Laszlo - Atomfizika

If you can't read please download the document

Transcript of Nagy Laszlo - Atomfizika

El osz o,,Haazembermag aratekint,el osz oratestetl atja,azazbizonyosanyag-mennyiseget,amelyetamag aenakmondhat. Dehogymegerthesse,hogymi isez, osszekell hasonltaniamindazzal, ami felettevan, esmindaz-zal, ami alattavan, hogypontoshat arait megismerhesse.Esnecsakak ozvetlen ul k ornyez o t argyakat nezze, hanem a teljes termeszetet fensegest okelyeben,melt os ag aban...Es ha m ar neml athatunk t obbet, sz alljon tov abb a kepzelet unk.Kepzelet unkelf aradt,deatermeszetkimerthetetlen ulgazdagmarad...Shamag ahoz tert az ember, gondoljameg, mi oamindenseghezkepest; l assamag at atermeszet egyfelrees okiszug aban... Mert mi azemberavegtelenben?Dehogyegymegmegd obbent obbcsod at l asson, keressealegkisebbetazismertt argyakban......es beleszed ul acsod akba, mert akicsinyseg csod ajanemkisebb,mint a nagys ag csod aja. Mert ki ne amulna el azon, hogy test unk,melyeszrevetlenavil agban, l athatatlanamindensegben,mostegyszerrehatalmaskolosszuss alesz; ujvil ag,vagymegink abbmindenasemmihezkepest,ahov aelnemerhet unk...Mertmiazemberatermeszetben?Semmi avegtelenhez kepest, min-denasemmihezkepest. Valamiasemmi esmindenk ozt,ak ozepen...PASCAL:GondolatokAmikorPascal afenti gondolatokataXVII. sz azadbanmegfogalmazta, megnemismertekazanyagszerkezetet, dekimerthetetlensegetm arsejtettek. Mam artudjuk,hogyazanyagatomokb olep ul fel. Azatomokatommagb olesak or ul ottelev oelekt-ronokb ol allanak. Az atommag tov abboszthat o protonokraes neutronokra, ame-lyeknek,mai ismereteink szerint bels o szerkezet ukvan: kvarkokb ol allanak. A j ov obenval oszn ulegazanyagmegmelyebbstrukt ur aitfogj ak felt arni.Azanyagszerkezetenekmerhetetlengazdags ag ab olazatomzikacsakastrukt uraegy adott szintjevel foglalkozik. Azt rja le, hogy az atommagok es az elektronok hogyan allnak osszeatomokk a. Azatommagszerkezete, illetveazegyesatomok osszekapcso-l od as anakm odjam arazikam aster uleteinekat argy atkepezik.Ez a k onyv a kolozsv ari Babes-Bolyai egyetemen a harmadeves zikus hallgat oknaktartott atomzika el oad asaimalapj ankesz ult. Az els o hat fejezet megertesehez ak ozepiskol aszikaesmatematikaismereteelegend o. Azutols oh aromfejezetk ovete-34sehezm aralapvet okvantummechanikaiismeretekissz uksegesek.Az atomzika k orebe tartoz o jelensegek t argyal as an al egyar ant t orekedtem a kserle-ti es az elmeleti megk ozeltesre. Igyekeztem hangs ulyozni, hogy e tudom any ag fejl odesecsakakserleti esazelmeletizikusokszorosegy uttm uk odese utj anlehetseges.Aj anlomeztak onyvetazikaszakosegyetemi hallgat okonkv ul akemiaszakosesm uszaki egyetemi hallgat oknakis, zikatan aroknak(k ul on ostekintettel afokozativizsg akra kesz ul okre), k ozepiskol as di akoknak, es mindenkinek, aki erdekl odik az atom-zikair ant.Aszerz oKolozsv ar,1997szeptemberTartalomjegyzek1 Azatomfogalomkialakulasa 71.1Okor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Ah okinetikusemelete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Kemia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Azelektron 112.1 Faradayt orvenyeiazelektrolzisre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Azelektronfelfedezese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Afajlagost oltesmeghat aroz asaaparabolam odszerrel . . . . . . . . . . 132.4 Azelektront oltesenekk ozvetlenmeghat aroz asa . . . . . . . . . . . . . 172.5 Azelektronelektrom agnesest omege essugara . . . . . . . . . . . . . . 193 Azatomokt omegeesmerete 213.1 Atomt omegegyseg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Azatomokt omegenekk ozvetlenmerese. Izot opok. . . . . . . . . . . . 213.3 T omegspektrogr afok est omegspektrometerek . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Azatomokmerete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Klasszikusatommodellek. Amagmodell 314.1 AThomson-modell. Atomokbomb az asaelektronokkal . . . . . . . . . 314.2 Atomokbomb az asaalfareszecskekkel. Abolyg omodell . . . . . . . . . 324.3 ARutherford-sz or as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Abolyg omodellhi anyoss agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Azelektromagneseshullamokreszecsketermeszete 415.1 Afeketetesth omersekletisug arz asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Afenyelektromoshat as. Afoton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Ar ontgensug arz as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4 ACompton-hat as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 Azatomokregi kvantumelmelete. Azelektronhullamtermeszete 616.1 Azatomokoptikaispektruma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2 ABohr-feleatommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3 Ahidrogenszer uatomokBohr-Sommerfeldmodellje . . . . . . . . . . . 676.4 Franck esHertzkserlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5 Azelektronhull amtermeszete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7256 TARTALOMJEGYZEK7 Ahidrogenatomkvantummechanikai lerasa 777.1 Az elektron mozg asa g ombszimmetrikus er oterben. Az impulzusmomen-tumsaj atertekei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 Ahidrogenatomradi alisSchr odinger-egyenlete. Azenergiasaj aterekeiesasaj atf uggvenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3 Azelektronmegtal alhat os agival oszn usege esazorbit alok . . . . . . . 827.4 Az elektronorbit alis mozg as ab ol sz armaz o m agneses nyomateka. Anorm alisZeeman-hat as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.5 Azelektronspinje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.6 A spin-p alya k olcs onhat as felklasszikusmodellje es a teljes impulzusmo-mentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.7 Ahidrogenatomrelativisztikuseskvantumelektrodinamikai ler as anakk ovetkezmenyei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998 At obbelektronosatom 1058.1 APauli-felekiz ar asielv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.2 Elektron-kongur aci ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.3 Azelektronimpulzusmomentumainakcsatol asa . . . . . . . . . . . . . 1118.4 Azatomgyengem agnesesterben. Azanom alisZeeman-hat as . . . . . 1148.5 Azatomer osm agnesesterben. APaschen-Backhat as . . . . . . . . . 1178.6 Azatomelektromosmez oben. AStark-hat as. . . . . . . . . . . . . . . 1188.7 Aperturb aci os esvari aci osm odszeralkalmaz asaaheliumalap allapot ara1208.8 AHartree-Fockm odszeralkalmaz asaaheliumatomra . . . . . . . . . . 1248.9 AHartree-Fockm odszeralkalmaz asat obbelektronosatomokeseten . . 1289 Atomi spektrumok 1319.1 Fotonelnyeleseskibocs at as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.2 Kiv alaszt asiszab alyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.3 Egy-elektron atmenetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.4 Ket-elektron atmenetek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.5 R ontgenspektrumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Univerzaliszikai alland ok 143Nev-estargymutat o 144K onyveszet 1471Azatomfogalomkialakulasa1.1OkorAz okori g or ogloz ofusokvoltakazels ok, akikak or ul ott uktal alhat osokfeleanyagtulajdons agait esszerkezetetegyszer u elvekalapj an pr ob alt ak magyar azni. Alapelv ukaz volt, hogy az anyag neh any egyszer u elemb ol all, es ezeknek a k ul onb oz o kombin aci oivezetnekazanyagsokfelesegehez.Empedoklesz (i.e. V. sz azad) vezette be a kes obb szeles k orben elfogadott negy ele-met, melyb ol minden anyagfajta felep ul. Ezeket az elemeket f oldnek, vznek, leveg onekest uzneknevezteel, mivel ezekazelterjedt,,anyagokj olmegk ul onb oztethet otulaj-dons agokkal rendelkeznek. Ilyenkevesfajta ept ok ofeltetelezesehezaz az elv vezetett,hogyavil agbonyolults agaegyszer ut orvenyek(ide ak)alapj anmagyar azhat omeg.Demokritosz akorabeli loz oaegyikalapvet okerdesere, az alland os agnakes av altoz asnak az ellentmond asos volt ara kereste a v alaszt. Spekulatve arra a k ovetkezte-tesrejutott, hogyadolgok alapvet o, alland o es or okreszecskekb ol allanak. Ezekoszt-hatatlanok, mert haoszthat oak lennenek,m ar nem lennenek or okelet uek,v altoz oakk av alhatn anak. Ezt az elgondol ast az is al at amasztotta, hogy egyes anyagok szagal athatatlanul terjedaleveg oben, ami ugyismagyar azhat o, hogymindentestnagyonkicsi, szemmel l athatatlanreszecskekb ol all, melyekk oz ul neh anylev alhat es nagyt avols agra eljuthat (es orrunkba ker ulve szagerzetet okoz). Ezeket az apr o reszecskeketatomnaknevezte el (amely g or og ul oszthatatlant jelent). Az atomokat vegtelen ulv altozatosalak unakesnagys ag unaktekintette, amelyekegym asbakapcsol odhatnak.Helyesenl attamegazt, hogyazatomok alland omozg asbanvannak, esazatomokatcsak az ,, ur, vagyis leg ures ter v alasztja el egym ast ol. Demokritosz vil agkepe mintegyel orevettiaXVIII.sz azadmechanisztikusvil agkepet.Plat on(i.e. 427-i.e. 347), az okoregyiklegnagyobbloz ofusa, nemfogadhattaelezt az elkepzelest aszab alytalanalak ues vegtelenv altozatoss ag uatomokr ol, merthi anyzottbel olearendez oelv, az,,idea, amelyPlat onloz o aj abank ozponti helyetfoglalel. Plat onmegtartottaazempedokleszi negyelemet,esegyadottelemmindenatomj atazonosnakteteleztefel. Anegytpus uatomnaknegyszab alyostestetfelel-tetettmeg: at uznekatetraedert,aleveg onekazoktaedert,avznekazikozaedertesa f oldnek a kock at. Tov abbmenvea gondolatmenetben, ezek a testek lapokb ol allanak,es mindenlap feloszthat odereksz og uh aromsz ogekre. Veg ul mindenanyagdereksz og u78 1. AZATOMFOGALOMKIALAKULASAh aromsz ogekb ol all, esezerta k ul onb oz oanyagfajt ak k olcs on osen atalakulhatnakegy-m asba.Termeszetesen, Plat on gondolatmenete mai szemmel t ul spekulatvnak t unik. Azon-baneszrekell venn unkbennealenyeget: ezazels okserlet azanyagfeleptesenekmatematikai ler as ara. Heisenberg, akvantummechanikaegyikmegalkot oja, hvtafelagyelmet arra, hogyPlat onatomelkepzelese j oval k ozelebb all amai felfog ashoz,mintaDemokritosze, mertcsakneh anyalapvet oelemi reszecskeletezik,esezeknemszil ard, v altozatlan ept ok ovek, hanem a megmarad asi t orvenyek tiszteletbentart as avalk olcs on osen atalakulhatnakegym asba. Ami pedigaleglenyegesebb: ezekareszcskekmatematikaiabsztakci okkal rhat okle,perszebonyolultabbakkal,mintPlat onh arom-sz ogei.Arisztotelesz Plat on tantv anya volt, de nem fogadta el sem az o geometriai szemle-letet,semademokritesziatomokat. Megtartottaaz empedokleszinegyalapelemet,deszerinte az anyag folytonos feleptes u es vegtelen ul oszthat o. Arisztotelesznek igen nagyhat asavoltak ozepkortudom any ara, ezertazatomelmeletegeszenaXVIII.sz azadignemfejl od otttov abb.1.2 Ah okinetikusemeleteAh omibenletenek amagyar azat aram ar aXVII. sz azadbanfelmer ult, hogyah o osszef uggesbehozhat oamozg assal. EzzelkapcsolatbanaXVIII.sz azadbanBernoullifeleleventiDemokritoszatomelmeletet. A g azok nyom as athelyesenannak tulajdont-ja,hogyazapr og azreszecskek utk oznekazedenyfal aval,er otgyakorolvaarra.James Waterson az 1840-es evek elejen m ar a h ot egyertelm uen az atomok mozg as a-hoz k oti. Megfogalmazza azt, hogy a test h omerseklete az ot alkot o reszecskekk ozepeskinetikus energi aj aval ar anyos. Kes obb, az1850-esevekveget ol kezdve, akinetikusg azelmeletrobban aszer ufejl odesenmegy at(els osorbanClausius, Maxwell esBoltz-mannmunk ass ag anakk osz onhet oen), esteljesenelfogadott av alikazafelfog as, hogyatestekkisreszecskekb ol, atomokb ol allanak.A kinetikus g azelmelet azonban az atomokat egyszer uen rugalmas goly okkent kezeli,nemfoglalkozikazokmin osegevelesstrukt ur aj aval. Azatomfogalomtov abbi fejl ode-sehezm astudom any agakjelentettekahajt oer ot.1.3 KemiaAkemikusokm ar aXVIII. sz azadbanmegk ul onb oztettekazelemesavegy ulet fo-galm at,essokelemetazonostottak. Avegy uletekletrej ottenekatanulm anyoz asaazegyszer uelemekb ol vezetett ahhozameggy oz odeshez, hogyegyadott elematomjaimindazonosakegym assal.ProustfogalmaztamegaXVIII.sz azadvegenaz alland os ulyviszonyokt orvenyet,amely kijelenti,hogy egy kemiai vegy uletben az azt alkot o elemeks ulyainak az ar anya alland o.DaltonaXIXsz.elejenvegzettkserleteinekalapj anfel alltjaat obbsz or oss ulyvi-szonyokt orvenyet. Eszerint haket elemt obbfele ar anybanegyes ulhet vegy ulette,1.3. KEMIA 9as ulyar anyokmindigegylegkisebbs ulyar anyegesz sz am ut obbsz orosei. Pl. (mair asm oddal)anitrogenesazoxigenak ovetkez ovegy uleteketalkothatja: N2O, NO,N2O3, NO2, N2O5. Ezekbenavegy uletekben1egysegnitrogenre vonatkoztatvaavegy ul ooxigent omegei ugyar anylanakegym ashoz, mintaz1:2:3:4:5. Daltoneztazemprikus t orvenyt az atomelmelet alapj an magyar azta: minden elem atomjai azonosak,esak ul onb oz oanyagoklegkisebbegysegei(molekul ak)csakkevesatomb ol allanak.Ehhez kapcsol od oanGay-Lussac meg allaptjaareag al og azokterfogati ar any at,majd Avogadro kimondja nevezetes t orvenyet: azonos nyom as, terfogat es h omersekletmellettak ul onb oz og azokazonossz am umolekul attartalmaznak. Ezasz amlenyegesszerepet j atszik a zik aban, mert kepet ny ujt az atomok, molekul ak mereter ol est omeger ol. Kserletileg ezt a fontos sz amot el osz or Loschmidt hat arozta meg 1865-ben.Kes obbertelmeztekazanyagmennyisegfogalm at, melyamolekulat omeggel ar anyosmennyiseg, es gy egy olyan alland o ertelmezhet o, mely f uggetlen a k uls o k or ulmenyek-t ol. Ezt az univerz alis alland ot Avogadro-sz amnak neveztekel, mely megadja b armelyanyag1kilom olj abantal alhat omolekul aksz am at. AzAvogadro-sz ammaielfogadottertekeNA= 6, 022 1026molekulakmol(1.1)Ezaz alland oteremtimegamennyisegikapcsolatot amikrovil ag es amakroszkopikustestekzik ajak oz ott. Mindenolyankepletbenszerepetj atszik, melymakroszkopikustulajdons agokat rleazatomok esmolekul aktulajdons againakalapj an.AXIX. sz azadvegen, az elektronfelfedezese ut ankider ult, hogyaz atomnemoszthatatlan, hanembels ostrukt ur aval rendelkezik. Ezert, haaz atomot megis azoszthatatlans agfel ol megk ozeltve akarj akdeni alni, azt szokt akmondani, hogyazatomazanyagazonreszecskeje,melykemiaim odszerekkel tov abbnemoszthat o.10 1. AZATOMFOGALOMKIALAKULASA2Azelektron2.1 Faradayt orvenyeiazelektrolzisreFaradayaz1830-asevekbenkserletilegvizsg altaazelektrolzisjelenseget. Az altalafel alltott mennyisegi t orvenyek kapcsolatot teremtenek a mikrozika vil ag aval, es segt-seg ukkelmeghat arozhat oazelemit oltesnagys aga.Az els o t orvenyszerint az elektrolzis folyam ankiv alasztott anyagmennyiseg az athaladtt oltesselar anyos,m = kQ, (2.1)ahol akazelektr odonkiv altanyagrajellemz o alland o. Am asodikt orvenyennekazanyag alland onakaz erteketadjamegk =1FAn, (2.2)ahol A a kiv alt anyag atomt omege (m olt omege), n a vegyerteke,mg Fegy univerz alis alland o,amitFaraday- alland onakneveztekel. Ennekerteke9, 65 107C/kmol.Haakett orvenytegyetlenkepletbefoglaljuk osszem =1FAnQ, (2.3)az gy kapott osszef uggest az atomelmelet alapj an meg lehet magyar azni. Feltetelezve,hogymindenugyanazonelemheztartoz oionugyanannyi qt oltestsz allt, 1kmol ion altalelsz alltottt oltesNAqlesz. Azmt omeg uionkiv al as avalelsz alltottt oltesQ =mANAq (2.4)lesz. Faradaym asodikt orvenyeb ol k ovetkezik, hogyazelsz alltott t oltes ar anyos avegyertekkel, ezertrhatjuk, hogyq =ne, ahol eazegyvegyertek uiont oltese.Igyebb olazelmeletimegfontol asb oliseljutunkaFaradayt orvenyeitler okeplethezm =1NAeAnQ, (2.5)aholaFaraday- alland ot ketm asik alland oszorzatahelyettesti.1112 2. AZELEKTRONAzelektrolzisnekafentlertertelmezeseStoney-t ol sz armazik(1874). Mivel azegyvegyertek uiont oltesenel kisebbt oltestnemeszleltek, eztazelemi t oltestStoneyel osz orazelektomoss agatomj anak,majdelektronnaknevezteel.Ertekemeghat aroz-hat oket,m arismert alland osegtsegevele =FNA= 1, 6 1019C. (2.6)A fenti ertek a mai ismereteinkett ukr ozi, a m ult sz azad vegen meg nem ismertek kell opontoss aggal az Avogadro-fele sz amot, de a nagys agrendeket m ar meg tudt ak becs ulni.2.2 AzelektronfelfedezeseAm ult sz azadkserleti zikusai sokat tanulm anyozt akaritktott g azokbankeltettelektromos kis uleseket. Azt eszleltek nagy legritkt as eseten, hogy a negatv elektr odb olegy l athatatlan sug arz as lep ki, egyes anyagokon uoreszcenci at okozva. Ezt elneveztekkat odsug arz asnak. Hosszas kserletezesut an a kat odsug arz as k ovetkez otulajdons agait allaptott akmeg:akat odb ollepki,mer olegesenakat odfel uletere;egyenesvonalbanterjed;m agnesesterbenelterthet o;tulajdons agaf uggetlenakat odanyag at ol;energi at esimpulzusthordoz.Akat odsugaraktermeszetet tekintve t obbfelteves fogalmaz odott meg. Tekintettek oket k ul onleges elektrom agneses hull amoknak es negatv molekul ak aram anak is. Veg ul1897-benJ.J. Thomsonadtameg aproblem ara a helyes v alaszt: a kat odsug arz asnegatvt oltes ureszecskekb ol all. Mivelasug arz astermeszetef uggetlenakat odanya-g at ol, Thomson feltetelezte, hogy ez a negatv reszecske amelyet elektronnak nevezettelmindenelematomj anakalkot oresze.Egyt olt ottreszecskefajlagost oltesetaBindukci oj uhomogenm agnesesmez obenlertk orp alyarsugar anaksegtsegevel meglehethat arozni,haismerj ukareszecskevsebesseget. Areszecskerehat oLorentz-er omindidigmer olegesareszecskep aly aj ara,teh atacentripet aliser oszerepetfogjabet oltenimv2r= evB, (2.7)ahonnanem=vrB. (2.8)Thomson meg 1897-ben az elektron fajlagos t olteset ket k ul onb oz o m odszerrel is megha-t arozta. Mindkett onekalapjaam agnesesmez obenval oeltertesmerese, azonbanva-lamilyenm odszerrelmegkelletthat arozniazelektronoksebesseget.2.3. AFAJLAGOSTOLTESMEGHATAROZASA... 13Az els o esetben merte az elektronok altal sz alltott t oltest es energi at (ami a felfog oelektr odrabecsap odvah ovealakul), es gymegegyegyenletetfeltudott rniazelekt-ronok sebessege es fajlagos t oltese k oz ott. Am asodik (pontosabb) m odszerrel azelektronokategym asramer olegeselektromosesm agnesesmez obevezette,amelyekel-lentetesir anyt as u eltertestokoztak. Ha ugy alltjuk be az Eelektromosterer osseg esaBm agnesesindukci oar any at, hogyareszecskeneszenvedjeneltertest, aze

Eesaev

Ber okegyenl osegeb olareszecskevsebessegemeghat arozhat ov =EB. (2.9)Elvegezve most a merest elektromos mez o hi any aban, a m agneses ter okozta eltertesb olesazelektronismertsebessegeb olafajlagost oltesmeghat arozhat o.Igy Thomsonnak siker ult az elektronfajlagos t oltesenek meghat aroz asa, es aztkapta, hogy ez h arom nagys agrenddel nagyobb a H+ion fajlagos t oltesenel (pontosabbmeresekszerint1836-szor). Mivelfeltetelezeseszerintaz elektronaz atomalkot oresze,kezenfekv onekt unt, hogy egy semlegesatom elektron lead as utj an v alik pozitv ionn a,teh at az elektron t oltese ugyanakkoramint az egyszeresent olt ott pozitv ione, csak el-lentetes el ojel u.Igy azt kapjuk, hogy az elektron t omege h arom nagys agrenddel kisebbahidrogenatomt omegenel.Azelektronfajlagost oltesenekmaelfogadott ertekeem= 1, 759 1011 Ckg. (2.10)Felhaszn alvaaz elektront oltesenekazerteket, az elektront omegere 9, 1 1031kgad odik,1836-szorkisebb ertek,mintahidrogeniont omege.2.3 A fajlagos t oltes meghatarozasa a parabolam odszerrelA parabolam odszert az elektron fajlagos t oltesenek meghat aroz as ara Kaufmann vezettebe el osz or 1901-ben. Kes obb Thomson ezt a m odszert k ul onb oz o ionok fajlagos t oltese-nekmeghat aroz as arahaszn alta, ezertThomson-feleparabolam odszernekishvj ak. Am odszer t argyal as ahoz el osz or ismertetj uk, hogyan ter ul el a t olt ott reszecske homogenelektromos esm agnesesmez okben.Elterteshomogenelektromosmez oben. Az Eintenzit as u homogen elektromosmez ot skkondenz atorlemezeksegtsegevel hozzukletre(2.1 abra). Aq t oltes u, mt omeg u reszecskeaz er ovonalakramer olegesenlep be az elektromosmez obe. Az elekt-rosztatikuser ok ovetkeztebenareszecskeneka =qEm(2.11)nagys ag u gyorsul asa lesz az Oy tengely ir any aban. Az eltertes merteke a kondenz ator-lemezekkel p arhuzamosanmertdt avols agmegteteleut any1=at22=qE2md2v20(2.12)14 2. AZELEKTRON2.1. abra: Elektroneltertesehomogenelektromosmez oben.lesz, ahol v0a reszecskesebessegenekOx ir any u, alland o komponense,mg t = d/v0azazid o,amgareszcskeakondenz ator-lemezekk oz ottmozog.Az elektromos mez ot elhagyvaareszecske egyenesvonal up aly anhalad, melysz ogetz arbeazeredeti mozg asir annyal, majdakondenz atorlemezekhezviszonytvalt avols agban lev o erny obe csap odik. A sebesseg Oy ir any u komponense ezen a szakaszon alland ovy= at =qEmdv0(2.13)Ah aromsz ogekhasonl os ag atfelhaszn alvavyv0=y2l. (2.14)Innenazy2eltertesrey2 =qEmv20dl (2.15)ad odik.Osszegezveazy1esazy2eltertest, azelektromosmez o altal okozottteljeseltertesyE= y1 +y2 =qEd2mv20(d + 2l) (2.16)lesz.Elterteshomogenmagnesesmez oben. At olt ottreszecskeazer ovonalakrame-r olegesenlepbev0sebesseggel aBindukci oj uhomogenm agnesesmez obe(2.2 abra).A2.7egyenletb olkifejezhet oannakak orp aly anakasugara,amelyenareszecskeam agnesesmez obenmozognifogR =mv0qB(2.17)2.3. AFAJLAGOSTOLTESMEGHATAROZASA... 152.2. abra: Azelektroneltertesehomogenm agnesesmez oben.Feltetelezz uk, hogya m agneses mez o dvastags agasokkal kisebb, mint ak orp alyasugara, ezertam agnesesmez okissz og ueltertestokoz. Enneky1line ariseltertesfelelmegam agnesesmez ob olval okilepeskor,aholy1R.FelrvaazOA

Dh aromsz ogbenaP uthagoraszteteletR2= (R y1)2+d2. (2.18)Elvegezveanegyzetreemelestelhanyagoljukazy21tagot. Inneny1 d22R. (2.19)Am agnesesteretelhagyvaareszecskeegyenesvonal up aly anmozog,majdbecsap odikam agnesesterszelet ollt avols agbanlev oerny obe. Az abraalapj anfelrhatjuk,hogytg =y2l; sin =dR; sin tg. (2.20)Innenazy2eltertesrey2ldR(2.21)ad odik. Am agnesesterokoztateljeseltertesyB= y1 +y2 d2R(d + 2l) =qBd2mv0(d + 2l) (2.22)lesz.16 2. AZELEKTRON2.3. abra: Aparabolam odszer.Aparabolam odszer. A reszecskenyal abotegyidej uleg ugyanolyan meret u, egym as-sal p arhuzamos homogen elektromos es m agneses mez obe vezetik(2.3 abra). Az elekt-romos mez ozir any u, mgam agnesesmez oyir any u eltertestokoz. Mivelaz eltertesmertekef uggareszecskesebesseget ol,esanyal abbank ul onb oz osebesseg uelektronoktal alhat ok, az erny on nem egy pont, hanem egy g orbe jelenik meg, amelynek k ul onb oz opontjaibak ul onb oz osebesseg ureszecskekcsap odnakbe.Atrjuka(2.16) esa(2.22)kifejezeseketyB= KqBmv0(2.23)zE= KqEmv20, (2.24)majdkik usz ob olj ukinnenav0sebessegety2BzE= KemB2E(2.25)Asz amt asokalapj anazerny onmegjelen og orbeparabolakellhogylegyen,mertzE= Cy2B. (2.26)Areszecskefajlagost oltesea(2.25)egyenletb ol ag orbeb armelypontj atfelhaszn alvakisz amthat o. Eztam odszertnemhaszn aljukpontosfajlagost oltesmeghat aroz asra,mertazerny onazreszcskeknyomaeleggeelmos odott.Az elektron t omegenek f uggese a sebessegt ol. A fent lert m odszerrel Kaufmannmeg a relativit aselmelet kidolgoz asa el ott meg allaptotta, hogy az elektron t omege n o asebessegn ovekedesevel. Elektronforr askent egy radioaktv izot opot haszn alt, amelyb ol2.4. AZELEKTRONTOLTESENEKKOZVETLENMEGHATAROZASA 172.4. abra: Azelektronnyal abnyomanemrelativisztikus(a)esrelativisztikus(b)esetben.a c fenysebesseghez k ozeli sebesseg u elektronok is kilepnek. A mereseket ketszer egym asut anvegezteel ugy,hogyazelektomosterer ossegir anyt as atellentetesrev altoztatta.Azt v arta, hogy ket, egym ast erint o parabolavet kap (2.4a abra). Ezzel szemben a 2.4b abr anl athat og orbeketkapta. L athat o, hogyag orbeknemfolytat odnakazorig oig,esmeghosszabbt asukhozh uzotterint okegym assal 2sz ogetz arnakbe, nemerintikegym ast, mint aparabol ak. Mivel m zE/y2BeszE/yB-nekyB=0-banvegeser-tekevan, yB 0(nagyonnagysebessegek) esetenazelektront omegevegtelenfeletart. Kaufmannmeresi eredmenyei ahibahat aronbel ulj ol egyeznekamaj olismert,relativisztikust omegn ovekedestmegad okeplettelm =m0

1 v2/c2, (2.27)aholm0azelektronnyugalmit omege.2.4 Az elektron t oltesenek k ozvetlen meghatarozasaAz elektron t olteset k ozvetettm odon az elektrolzisrevonatkoz oFaraday- alland o erte-keb ol lehetettkisz amtani. Millikan1911-benolyankserletetvegzettel, melyb ol azelektront oltesek ozvetlen ul,azAvogadro-sz amismeretenelk ulvoltmeghat arozhat o.Millikanolajat porlasztott egyvzszintesenelhelyezked o skkondenz ator lemezeik oze. A porlaszt as k ovetkeztebena cseppekelektromosan felt olt odtek, ugy, hogy lead-tak vagy felvettek neh any elektront. A cseppek mozg as at mikroszk op segtsegevel lehetmeggyelni, es lehet merni azt az id ot, amg a csepp megtesz egy adott t avols agot, teh atk ul onb oz ok or ulmenyekk oz ottmeghat arozhat oacseppeksebessege.El osz or, a csepp sugar anak a meghat aroz asa erdekeben, a kiv alasztott csepp mozg a-s at csak tiszt an gravit aci os mez oben vizsg aljuk, nem kapcsolunk fesz ultseget a konden-z atorlemezekre. Acseppreasaj ats uly ankv ul hatazarkhimedeszi felhajt oer o(FA)esalegellen all as(Fg, 2.5a abra). Acsepp, kismeretemiatt, nagyongyorsaneleri ahat arsebesseget, amikor a r a hat o er ok kiegyens ulyozz ak egym ast, gy a csepp mozg asaegyenletesleszameggyelesalatt.18 2. AZELEKTRONa) b)2.5. abra: Az olajcseppekre hat o er ok elektromoster hi anyaban(a) es elektromos terben(b).G omb alak u test leveg oben val o lass u mozg asa eseten a legellen all asi er ore a Stokes-keplet ervenyesFg= 6rvg, (2.28)ahol r acseppsugara, vgasebessege, mgaleveg obels osurl od asi (viszkozit asi)egy utthat oja. Felrjukacsepprehat oer okegyens ulyi felteteletazegyenletesmozg assor anFg= GFA, (2.29)ahonnanazolajs ur useget-val esaleveg os ur useget0-valjel olvea6rvg=43r3( 0)g (2.30) oszef uggesrejutunk. Innenmeghat arozhat oacseppsugarar =

9vg2( 0)g. (2.31)Ezekut anr akapcsoljukafesz ultsegetakondenz atorlemezekre. Olyancseppetvizsg a-lunk, amelyazelektrosztatikus er ohat as arafelfelemozog. Atestrehat onegyer o,ebbenazesetbenis, egynagyonr ovidgyorsul asi szakasztlesz amtvakiegyens ulyozzaegym ast(2.5b abra)FE= G +FkFA. (2.32)AzFEelektrosztatikus er oes azFklegellen all as kepletet felhaszn alvaes aG FAhelyett(2.29)-b ol Fg-t rvaaztkapjuk,hogyqE= 6r(vg +vE), (2.33)2.5. AZELEKTRONELEKTROMAGNESESTOMEGEESSUGARA 19ahol Eazelektromosterer ossegesvEazelektomosmez ojelenletebenmertsebesseg.Innenacseppsugar anakakifejezesetfelhaszn alvaacseppt oltesemeghat arozhat oq= 9

23( 0)gvgE(vg +vE). (2.34)A kondenz atorlemezek k oz otti leveg ot r ontgensugarakkal ioniz alva a csepp t oltese meg-v altozik.Igyameresugyanannakazolajcseppnekak ul onb oz ot oltes allapotairaelve-gezhet o. Ezenkv ulamerestm as,k ul onb oz osugar ucseppekreiselvegeztek. Azered-menyegyertelm uvolt: azolajcseppt oltesemindigegylegkisebb ertek,azelemit oltesegesz sz am u t obbsz or ose. Evvel Millikan bebizonytotta, hogy a t oltes nem folytonosanv altoz o,hanemkvant altmennyiseg. Mivelacseppfelt olt odeseelektronlead assal vagyfelvetellel t ortenik, a legkisebb eszlelt t oltesv altoz as az elektron t oltesenek nagys ag avalazonosthat o. Ennekazelemit oltesnekaz ertekee = 1, 6 1019C. (2.35)Mindazon altal, nagyonkis meret ucseppekesetenafenti kepletb ol sz amtott t oltesnagyobbnakad odikazneerteknel. Ennekokaaz, hogyaStokes-keplet nagyonkiscseppekesetennem ervenyes. A legellen all astmegad okepletjavtott v altozataszerintFg=6rvg1 +Ar, (2.36)ahol a leveg omolekul ainak atlagos szabad uthossza, A pedig egy alland o. A mereseketk ul onb oz o nyom asonelvegezve az A alland o kik usz ob olhet o. Evvel a korrekci ovalazolajcseppt oltesemostm armindenesetbenpontosanazelemi t oltesegeszsz am ut obbsz or osenekad odik.2.5 Azelektronelektromagnesest omegeessugaraAz elektron mereter ol a mai napig sincsenek pontos adatok. Asz or asi kserletekeredmenyeinekd ont ot obbsege(megnagyonnagyenergi anis) azt sugallja, hogyazelektronpontszer ureszecske.Ez a feltetelezesazonban ellentmonda klasszikuselektrodinamik anak. Az elektront oltese k ovetkezteben elektrosztatikus, vagy ha mozg asban van, elektrom agneses mez othozletre. Ezamez oenergi athordoz,amelynekforr asaazelektron. At omeg-energiaekvivalencia k ovetkeztebenaz elektronnak elektrom agneses eredet u t omeggel kell hogyrendelkeznie.Azelektron altalletrehozottelektrosztatikusmez oenergi aj ataWe=

0E22dV (2.37)keplettel tudjukkisz amtani, ahol Eagener altterer ossege, 0aleg uresterpermit-tivit asa, es az integr alt a teljes terre kell kiterjeszteni. Feltetelezz uk, hogy a t oltes csakag ombalak unaktekintettelektronfel uletenhelyezkedikel. EkkorE = 0 ha r < RE =e40r2ha r R,20 2. AZELEKTRONahol Razelektronfeltetelezettsugara. A(2.37)integr al gyszferikuskoordin at akathaszn alvaegyszer uenkisz amthat oWe=

20d

0sin d

R02e216220r4r2dr =12e240R. (2.38)Afentieredmenynemv altozikmeglenyegesen, ham asfajtat olteseloszl asttetelez unkfel. Peld aul homogen t oltess ur useget tetelezve fel az elektron belsejeben a kepletben az1/2 szorz o helyett 3/5 fog szerepelni. Ezert, mivel a val odi t olteseloszl ast nem ismerj uk,nagys agrendik ovetkezteteseklevon asakorakepletel otiszorz otelszokt akhanyagolniWe e240R. (2.39)MivelazelektronleteklasszikusanegyWeenergi aj u mez oletenekfeletethet omeg,azelektronnyugalmi energi aj anaklegal abbWe-nekkell lennie. Azelektronnyugalmit omegenekazt areszet, amelyelektrom agneses eredet u, elektrom agneses t omegnekhvjukme=Wec2=e240Rc2(2.40)Lehetseges, hogyazelektrom agneseseredet ut omegenkv ulazelektronnakm asbels otulajdons agokb ol ad od o, intrinszek t omege (mi) is van. Ekkor az elektron teljes,kserletilegismerhet ot omegekettag osszegekent rhat ofelm = me +mi(2.41)Hafeltetelezz uk, hogymi=0, akkor me=m, es azelektronsugar anakertekeazelektront omegenekismereteben(2.40)-b olmegbecs ulhet oRe=e240mc2= 1, 7 1015m. (2.42)Az gykapott erteketnevezz ukazelektronklasszikuselektrom agnesessugar anak.Haazelektronnakintrinszekt omegeis van(mi>0), akkor azelektronsugaraR>Re. Hamegengedj uk, hogymilertekeketveheti fel,esf okvantumsz amnakhvjuk. Alehetsegesenergiaszintekreugyanazokatazertekeketkapjuk, mintaBohr-modellkeretenbel ulEn= me432220 h21n2. (7.25)Ahidrogenatomenergiaszintjei altal abanelfajultak, teh at egyenergia-saj atertekhezt obbsaj atf uggveny(amelyeket az n, l, mlkvantumsz amokkal jellemezhet unk) tar-tozik. El osz or, mivel aradi alisegyenlet nemf uggam agneseskvantumsz amt ol, egyadottnesl ertekeseten2l + 1ugyanolyanenergi aj ukvantum allapotunklesz. Eza(2l +1)-szeres elfajul as b armely g ombszimmetrikuser oter eseten fenn all. M asodszor, aCoulomb-potenci al jellegeb ol ad od oan, az energia-saj atertekek nem f uggenek a mellek-kvantumsz amt ol sem. Adott n eseten a mellekkvantumsz am 0 es n1 k oz ott v altozhat.Ezek alapj an kisz amthatjuk egy adott f okvantumsz ammal jellemzett energiaszint elfa-jults ag anakmerteketg =n1l=0(2l + 1) = 2n(n 1)2+n = n2, (7.26)vagyisegyadottenergi aj uelektronn2kvantum allapotbanlehet.Aradi alishull amf uggvenyek,amelyekazn esazlkvantumsz amokt olf uggenek,azLLaguerre-polinomoksegtsegevel fejezhet okkiRnl(r) = Nnlrlerna0L2l+1n+1

2rna0

. (7.27)Afentikifejezesbena0=40 h2me2(7.28)am arismertBohr-sug ar, mgNnlegynorm al asi tenyez o. Aradi alishull amf uggvenynorm al as atazal abbikifejezesadja

0R2nlr2dr = 1. (7.29)Peldakentmegadjukahidrogenatomneh anyradi alishull amf uggvenyetR10=2a3/20era0(7.30)R20=12a3/20

1 r2a0

er2a0(7.31)R21=126a3/20rer2a0. (7.32)A 7.1 abr an a ezeket a hull am uggvenyeket abr azoltuk a radi alis koordin ata f uggvenye-ben. Amint az abr anis l athat o, egyes hull amf uggvenyeknekcsom opontjaik, vagyiszerushelyeikisvannak. Acsom opontoksz amaaradi alishull amf uggvenyegyikjellem-z oje,amelyetaradi aliskvantumsz amadmegnr= n l 1 es nr= 0, 1, 2, . . . (7.33)82 7. AHIDROGENATOMKVANTUMMECHANIKAILEIRASA7.1. abra: Ahidrogenatomradi alishull amf uggvenyei.7.3 Az elektronmegtalalhat osagi val oszn usegeesazorbitalokAz elektron hull amf uggvenye a hidrogenatomban az el obbiek alapj an a k ovetkez okeppenrhat o(r, , ) = Rnl(r)lm()12eiml. (7.34)Amegtal alhat os agi val oszn usegs ur usegateregyadottpontj abanahull amf uggvenymodulusz anaknegyzeteP(r, , ) = ||2=12Rnl(r)22lm(). (7.35)7.3. AZELEKTRONMEGTALALHATOSAGIVALOSZINUSEGE... 83Amint l athat o, ez a val oszn usegs ur useg nem f ugg az azimut alis sz ogt ol, a -t ol. Ez aztjelenti, hogy egy kit untetett ir any letezeseeseten a megtal alhat os agi val oszn usegs ur u-segerreazir anyranezvehengerszimmetrikus.A7.2 abr anahidrogenatomalap esk ul onb oz ogerjesztett allapotaiban abr azoltukaz,,elektronfelh okmetszteit egy, af ogg olegesOztengelyt tartalmaz oskkal. Ahola,,felh os ur ubb(s otetebb), ott az elektrontart ozkod asi val oszn usege is nagyobb.L athatjuk, hogymivel azstpus uorbit alokesetebenahull amf uggvenynemf uggapol arissz ogt ol, azelektronfelh okg ombszimmetri at mutatnak. p, desf orbit alokesetenamegtal alhat os agi val oszn usegs ur useg-t olval of uggesetaz |Ymll(, )|2adjameg.Erdekes meggyelni, hogy az alap allapot (1s allapot) eseteben a val oszn usegs ur usegazatommaghelyenmaxim alis. Eztk onny ubel atni,mivel100=1a3/20era0(7.36)|100|2=1a30e2ra0, (7.37)teh ata |100|2azr = 0-banalegnagyobb.Mivel g ombi koordin atarendszerbena csak a radi alis koordin ata szerint dierenci a-lis terfogatelem, dV =4r2dr, n oasug arral, ez nemazt jelenti, hogyazelektronlegval oszn ubb t avols aga a magt ol 0. Ha a legval oszn ubb sugarat akarjuk kisz amtani,vagyis azt aradi aliskoordin at at, melynekszomszeds ag abanazelektronlegnagyobbval oszn useggeltart ozkodik,akkoraPr= |100|2dVdr=1a30e2ra04r2(7.38)kifejezes maximum at kell keresn unk. Egyszer uderiv al assal meg allapthat o, hogyahidrogen alap allapot aban a legval oszn ubb sug ar a0, vagyis megegyezik a Bohr-sug arral.A kemiai k otesek letrej ottenek szemleltetesehez es a hull amf uggvenyek szimmetri a-j anak tanulm anyoz as ahoz sok esetben elegend o a hull amf uggveny orbit alis reszevel fog-lalkoznunk. Ahull amf uggvenyorbit alisreszetpol arkoordin at akbanir anydiagramoksegtsegevel szokt ak abr azolni, ami azt jelenti, hogy egy adott , sz ogekkel jellemzettir anybafelmerjuka, helyenazorbit alishull amf uggve nymodulusz at.Igyazor-bit alokszemleletes, terbeli abr aj at kapjuk.Ezeknekazorbit aloknakametszeteil athat oka7.3 abr an.Az s orbit al g ombszimmetrikus. A h arom p orbit al k oz ul az ml= 0 esetet k ozvetle-n ul abr azoltuk, mert ez a hull amf uggveny val os. Mivelaz orbit alis hull amf uggvenynekazOztengelyir any abanvanmaxim aliserteke, ezerteztazorbit altpz-veljel olj uk. Ahull amf uggvenyel ojeletisfelt untett uk.Az Y11(, ) es az Y11 (, ) komplex orbit alis hull amf uggvenyekb ol val os, szemlele-tesen abr azolhat o orbit alokat alltunkel o. Ezeket px-el illetve py-al jel olj uk, att olf ugg oen, hogymelyiktengelymentenvanamaximumuk.px=12(Y11Y11 ) =

34 sin cos (7.39)84 7. AHIDROGENATOMKVANTUMMECHANIKAILEIRASA7.2. abra: Azelektronterbelimegtal alhat os agi val oszn usegs ur usegeahidrogenatom7.3. AZELEKTRONMEGTALALHATOSAGIVALOSZINUSEGE... 85k ul onb oz o allapotaiban. As otetebbsatroz asnagyobbval oszn usegs ur usegetjelent.86 7. AHIDROGENATOMKVANTUMMECHANIKAILEIRASA7.3. abra: Azs,p esadorbit alokir anydiagramjai.py= 12i(Y 11+Y11 ) =

34 sin sin . (7.40)A d orbit alokat is hasonl okeppen abr azoltuk. Az ml= 0 esetbena hull amf uggvenyval os, ezertk ozvetlen ul abr azolhattuk. Ezad3z2r2 orbit al. Ajel oleslogik ajaazY02g ombf uggvenyar anyoss aga3 cos2 1=(3z2 r2)/r2-el. Arajzonl athat onegatvgy ur u k or ul oleliapozitvel ojel ureszt.Az ml= 1esetbenapxes apyorbit alokhoz hasonl oanszintenval os line ariskombin aci okat alltunkel odxz=12(Y 12Y12 ) =

154 sin cos cos (7.41)dyz= 12i(Y12+Y12 ) =

154 sin cos sin . (7.42)7.4. AZELEKTRONORBITALISMOZGASABOLSZARMAZOMAGNESES... 877.4. abra: K orp aly anmozg ot olt ottreszecskeimpulzusnyomatekaesm agnesesnyomateka.ml= 2esetebenaval osorbit alokak ovetkez oklesznekdx2y2 =12(Y22+Y 22) =

1516 sin2(cos2 sin2) (7.43)dxy=12i(Y22 Y 22) =

154 sin2 sin cos . (7.44)A fenti orbit alis hull amf uggvenyekt obbfele terbeli szimmetri aval rendelkeznek. Azorig oraval oinverzi ot tekintve ezekp arosakvagyp aratlanokatt ol f ugg oen, hogya(r)=(r)vagy(r)= (r). Meggyelhet o, hogyl =0esl =2esetenazorbit alokp arosak,mgl= 1esetenp aratlanok. Ezatulajdons ag altal anosanisbebi-zonythat oag ombf ugvenyekkepletenekfelhaszn al as aval, vagyisp arosorbit aliskvan-tumsz amesetenp aroshull amf uggvenyt, p aratlanl esetenp aratlanhull amf uggvenytkapunk.7.4 Az elektron orbitalis mozgasab ol szarmaz o mag-nesesnyomateka. AnormalisZeeman-hatasEgy mozg o t olt ott reszecske impulzusnyomateka es m agneses nyomateka k oz ott klasszi-kusanislevezethet o osszef uggesletezik. Tetelezz ukfel,hogy egyMt omeg u, qt oltes utest r sugar u k orp aly an egyenletesen kering (7.4 abra). A rendszer m agneses nyomatekaamozg ot oltesnekmegfelel oelektromos aramer ossegesak orbertter uletszorzata = IS=qT r2=qr2v =q2MMvr =q2ML, (7.45)ahol T akeringes peri odusa, vpedigasebessege. Am agnesesnyomatekesazLimpulzusnyomatekk oz otti osszef uggesvektori alisanisfelrhat o =q2M

L. (7.46)Ez a klasszikusan levezetett osszef ugges bizonyos korl atok k oz ott az atomi elektronokraisalkalmazhat o. m-el jel olveazelektronmagrendszerreduk altt omegetesgyelem-88 7. AHIDROGENATOMKVANTUMMECHANIKAILEIRASA7.5. abra: Am agnesesnyomatekesam agnesesindukci ovektorai.beveve,hogyazelektront oltese e,azt rhatjuk,hogy = e2m

L. (7.47)Aze/2mar anyoss agitenyez otgirom agnesesh anyadosnaknevezz uk.Ham agnesesnyomatekkal rendelkez oatomm agnesesmez obeker ul, energi ajafogf uggeni a m agneses nyomatek ir any at ol. A nyomtek u m agneses dip olus k olcs onhat asienergi ajaam agnesesmez ovelWm=

B= Bcos , (7.48)ahol

Bam agneses ter indukci oja, a

Bes altal k ozrez art sz og(7.5 abra). Ezak olcs onhat asi energiabefoly asoljaazelektronteljes energi aj at ami k ul onb oz o(pl.spektroszk opiai) m odszerekkel kimutathat o.Igyazenergiaf uggeni fogam agnesesnyomatek esazimpulzusnyomatekir any at ol.Amint azt m armegjegyezt uk, kit untetett ir anyhi any abanazimpulzusnyomatekir any szerintikvant alts aganem mutathat oki kserletileg. A k uls om agnesester ir anyaazonban m ar kit untetett ir anyt jelent. Egyezmenyesenezt a kit untetett ir anyt szokt akazOztengelynektekinteni. Azimpulzusnyomatekevvelatengellyela7.22kvant al asifeltetel ertelmebencsakj olmeghat arozottsz ogeketz arhatbe.Erdekes megjegyezni, hogy mg az impulzusmomentum Lzkomponensenek j ol meg-hat arozott ertekei(ml h)vannak,azLxesLymeghat arozatlanokmaradnak. Ezabb olatenyb ol k ovetkezik, hogyazLzesazLxvagyazLyoper atoroknemfelcserelhet ok.Vagym askeppmagyar azva, haaz

Lir anyapontosanmeghat arozottlenne, akkorazelektronnak egy, erre a vektorra mer oleges skban kene lennie, ami azt jelenti, hogy az ahelykoordin ata,melynekegysegvektoraaz

Lir anybamutat,pontosanmeghat arozott.AHeisenberg-felehat arozatlans agi osszef ugges k ovetkeztebenaz

L-el egyegyenesbees o impulzuskomponensbizonytalans ag anakvegtelennekkene lennie,ami adott, vegesmozg asi energi aj ureszecske esetenlehetelen. Teh at azLxesLykomponenseknemlehetnekmeghat arozottak.Az elektronimpulzusnyomatek anak viselkedese szemleletesenrhat o le az atomvektormodelljenekkeretenbel ul. Avektormodell egyfelklasszikus modell, amelyazelektronimpulzusnyomatek anakesm agnesesnyomatek anakt argyal as ahoznemezen7.4. AZELEKTRONORBITALISMOZGASABOLSZARMAZOMAGNESES... 897.6. abra: Azimpulzusmomentumlehetsegesir anyail = 2eseten.mennyisegek kvantummechanikai oper ator at haszn alja, hanem a klasszikus vektorokat.Ugyanakkoravektoroknagys ag anak esir any anakmeghat aroz as ahozgyelembevesziakvant al asiszab alyokat.Ebbena modellbenaz elektronm agneses nyomatekaes impulzusnyomateka j olmeghat arozott sz ogetz ar be am agneseser ovonalakkal,mik ozbenaz impulzusmomen-tum (m agneses momentum) vektor a ter ir anya k or ul precesszi os mozg ast vegez.Igy, akvantummechanik aval osszhangban,az Lz-nek meghat arozott ertekelesz,mga m asikket impulzusnyomatek-komponensnek nem. Id oben atlagolva az Lx es Ly ertekeit null atkapunk.A7.6 abr anazimpulzusmomentumk ul onb oz olehetsegeshelyzeteitesprecesszi osmozg as at abr azoltuk l =2 eseten. Ekkor az impulzusnyomatek modulusza L=

l(l + 1) h =6 h, esazLz ot erteketvehetfelaz

Lir anyainakmegfelel oen.Az impulzusnyomatek es a m agneses nyomatek k oz otti 7.47 osszef uggesb ol kifoly olaga m agneses nyomatek nagys aga es ir anya is kvant alt. A m agneses nyomatek modulusza =e2mL =e h2m

l(l + 1) (7.49)lesz,mgennekanyomateknakazOzir any uvet uletez= e2mLz= e h2mml= Bml(7.50)alakban rhat ofel,aholB,aBohr-felemagneton,egyuniverz alis alland o, es ertekeB= 9, 27 1024Am2(7.51)A7.48kifejezesalapj anam agnesesterrelval ok olcs onhat asienergiaWm=

B= zB= BBml(7.52)90 7. AHIDROGENATOMKVANTUMMECHANIKAILEIRASAalakbanrhat ofel, es am agneses kvantumsz amerteket ol f ugg. Ez ak olcs onhat asmegsz unteti egy energiaszintnek az mlszerinti elfajults ag at, minden egyes energiaszint2l+1 alszintre bomlikfel. Az energiszintek m agneses mez obenval o felhasad as atZeeman-hat asnaknevezz uk.Afenti,felklasszikuslevezetessel nyerterdmenyj ok ozeltessel megegyezikakvan-tummechanikai levezetessel kapott eredmennyel. Megis, a teljesseg kedveert, es ak ul onbsegekmegvil agt asavegettv azoljukakvantummechanikai m odszertis.AV skal arpotenci albanes az

Avektorpotenci alban mozg o elektron Hamilton-oper atoraak ovetkez okeppen rhat ofelH=12m( p + e

A)2+V (r). (7.53)Am agnesesindukci oesavektorpotenci alk oz otti altal anos osszef ugges

B=rot

A. Be-bizonythat o,hogyhomogenmez oeseten

A =12(

B r). (7.54)ElvegezveaHamilton-oper atorels otagj abananegyzetreemelestaztkapjuk,hogy( p +e

A)2= p2+e(

A p + p

A) +e2 A2= p2+ 2e

A p +e2

A2= p2+e(

B r) p +e24 (

B r)2= p2+e

B(r p) +e24 B2r2, (7.55)aholfelhaszn altuka p

A = i h

A +

A p =

A p (7.56)

A = 0 (7.57) osszef uggeseket.Aharmadiktag, ahol aBanegyzetenszerepel, azr2kicsinysege miatt nagyoner osm agnesesterekeseteniselhanyagolhat oam asodiktagmellett. Ezcsakakkorj atsziklenyegesszerepet, haazatomsaj atm agnesesnyomatekanulla, mertekkoram asodik tagban r p =L oper ator is null at eredmenyez. A B2-el ar anyos tag az atomdiam agneses tulajdons agaiertfelel, evvel ajelenseggel azonbanatov abbiakbannemfoglalkozunk.Afentiekalapj anazelektronHamilton-oper atoraak ovetkez okeppen rhat oH= p22m+e2m

BL +V (r) =H0+e2mBLz, (7.58)ahola

BOzir any u.A fenti kepletben a m agneses indukci ot tartalmaz o tagot perturb aci onak tekintj uk,esazenergiakorrekci otaperturb alatlanenergiaszintekhezviszonytvaperturb aci osz a-mt assalhat arozzukmeg.Amintm ar l attuk, aa perturb alatlan energiaszintlegal abb 2l +1-szeresenelfajult.Altal anosesetbenazelfajultszintekreaperturb aci osz amt aselegbonyolult,deebbenaz eseben igen egyszer uen kapjuk meg az eredmenyt, mert aH0es azLzoper atoroknak7.4. AZELEKTRONORBITALISMOZGASABOLSZARMAZOMAGNESES... 917.7. abra: Anorm alisZeeman-felhasad as.k oz ossaj atf uggveny-rendszer ukvan. Jel olj uk a perturb alatlansaj atf uggvenyeketml0-el. Azenergiakorrekci otels orend uperturb aci osk ozeltesbenazE(1)ml=e2mB< ml0|Lz|ml0>=e2mB hml(7.59)keplet adja. Amint l atjuk, ebbenak ozeltesbenakvantummechanikai sz amt asokugyanaztazeredmenyszolg altatj ak,mintaklasszikusm odszer(7.52keplet).A 7.7 abraaZeeman-felhasad astmutatjaketk ul onb oz oenergiaszinteseten. Aketszint k oz otti atmenet m agneses mez ohi any abanegy0frekvenci aj usznkepvonalateredmenyez. Mivel az atmenetekreervenyes aml=0, 1kiv alaszt asi szab aly, asznkepvonalm agnesesmez obenh aromvonalrahasadfel,amelyekfrekvenci ai1= 0e2mB hh= 0e4mB (7.60)2= 0(7.61)3= 0 +e2mB hh= 0 +e4mB. (7.62)Agyakorlatazonbanaztmutatja, hogyazilym odonlertZeeman-hat as(amelyetnorm alisZeeman-hat asnaknevez unk)csakneh anyatomesetebeneszlelhet o(pl. Ca,Hg). M as atomoksznkepe m agneses mez obenegeszenm askeppnez ki (7.8 abra).Mivel ezeketasznkepeketafentv azoltmodell alapj annemlehetmegmagyar azni, ajelensegetanom alisZeeman-hat asnaknevezik.Azeddiglertkvantummechanikaimodellnekazanom alisZeeman-hat assikertelenler as ankv ul m ashi anyoss agaisvan. Meggyeltekazt, hogyalegt obbsznkepvonal92 7. AHIDROGENATOMKVANTUMMECHANIKAILEIRASA7.8. abra: Neh anypeldaazanom alisZeeman-felhasad asra.nagyfelbont as uspektroszk oppal gyelvet obb, egym ashozk ozeli sznkepvonalb ol all,vagyis nomszerkezetet mutat. Pl. hidrogen eseten a Balmer sorozat H vonala (E3 E2 atmenet) els o k ozeltesben ket, egym ast ol 0,14 A-mel elv alasztott hull amhossz us ag uvonalb ol all. Azanom alisZeeman-hat asesasznkepvonalaknomszerkezetenekma-gyar azataazelmelett okeletestesetigenyli.7.5 AzelektronspinjeAnnak erdekeben, hogy az anom alis Zeeman-hat ast es a sznkepvonalak nomszerkeze-tet megmagyar azz ak, 1925-benGoudsmit es Uhlenbeckavval afeltetelezessel eltek,hogy az elektronnak egy saj at, intrinszek impulzusmomentumais van, amely f uggetlenaz orbit alis mozg ast ol. Mivel annak idejen ezt az elektron saj at tengely k or uli forg as a-naktulajdontott ak, eztazsaj atimpuzusnyomatekotspinnek(perd uletnek)neveztekel.A tov abbiakban a spin vektort

S-el, ennek Oz tengelyre es o vet uletet Sz-vel jel olj uk.Aspinheztartoz om agnesesnyomatekot, melyazelektronintrinszekm agneses nyo-mateka, s-eljel olj uk,esspin-m agnesesnyomateknaknevezz uk. EnnekazOzir any ukomponenseasz.Azelektronspinjerek ozvetlenkserleti bizonytekotszolg altatottam ar1921-benSternesGerlach altal elvegzett kserlet. Ezt ez ustatomokkal vegeztekel, amelynekak uls ohej anegyelektrontal alhat o, azis azs allapotban, teh at azatomorbit alisimpulzus es m agnesesnyomatekanulla. Az ez ustatom m agnesesnyomatek at gy teljesegeszebenazelektronspin-m agnesesnyomatekaadja.Amint az a 7.9 abr anl athat o, a kemenceb ol kilep o ez ustatomokat el osz or kol-lim alj ak, majd inhomogen m agneses mez obe vezetik. Az inhomogen m agneses mez obenam agnesesdip olusraFz= szBz(7.63)er ohat, haazOztengelytam agneseser ovonalakir any abanvett ukfel. Aklasszikuszikaszerintam agnesesdip olustetsz olegesir anyaba allhatbe, gyaszfolytonosanv altozhat. Akserlet azonbanazt mutatta, hogyazez ustatomokb ol all onyal abazinhomogen m agneses mez on val o athalad as ut an egyertelm uen ket nyal abra bomlik. Ez7.5. AZELEKTRONSPINJE 937.9. abra: AStern-Gerlachkserlet.aztjelenti,hogyasz-nekketlehetsegesertekevan,vagyisam agneseskvantumsz am,amelyaspinm agnesesnyomatekzkomponensetmeghat arozza,ket erteketvehetfel.M asreszt, ha a spint jellemz o kvantumsz amot (spinkvantumsz am) s-el jel olj uk,akkor (az orbit alis kvantumsz ammal anal og m odon) a m agneses spinkvantumsz am (ms)2s + 1 erteketvehetfel. Azelektronesetebenteh at2s + 1 = 2 =>s =12(7.64)esam agnesesspinkvantumsz amlehetsegesertekeims= 12. (7.65)Az elektron spinkvantumsz am anak erteket teh at egyszer uen abb ol a tenyb ol hat aroztukmeg,hogyazez ustatomokb ol all onyal abinhomogenm agnesesmez obenketnyal abrabomlottfel.Aspin erteke gyS =

s(s + 1) h =32 h (7.66)Sz= ms h = 12 h (7.67)lesz. Az, hogy a spinre is ugyanazok a kepletek ervenyesek,mint az orbit alis impulzus-nyomatekra, azimpulzusmomentum altal anoselmeleteb ol k ovetkezik. A7.10 abr ana94 7. AHIDROGENATOMKVANTUMMECHANIKAILEIRASA7.10. abra: Aspinimpulzusnyomateklehetsegesir anyai.spinvektorketlehetsegesir anyaesvet uletel athat o. Avektormodell alapj anezekavektorokisprecesszi osmozg astvegeznekakit untetettOztengelyk or ul.A spin-m agneses nyomatek mennyisegi meghat aroz asa arra az eredmenyre vezetett,hogy a girom agnesesar any a spin eseteben2-szer nagyobb,mint az orbit alis m agnesesnyomatekeseteben. Ennekalapj anazt rhatjuk,hogy s= em

S, (7.68)illetvesz= emSz= e hmms= e h2m= B. (7.69)Aspinimpulzusnyomatekesaspin-m agnesesnyomatekfentitulajdons agaiegzaktm odon a Dirac altal 1928-ban megalkotott relativisztikus kvantummechanika keretebent argyalhat ok.7.6. ASPIN-PALYAKOLCSONHATAS... 957.6 Aspin-palyak olcs onhatasfelklasszikusmodell-jeesateljesimpulzusmomentumAz atomok energiaszintjeinek nomszerkezetifelhasad asa az elektron saj at, es a p alya-mentimozg as ab ol sz armaz om agnesesnyomatekainakk olcs onhat as ab olsz armaztatha-t o. Eztak olcs onhat astspin-p alyak olcs onhat asnaknevezz uk.Az al abbiakban egy felklasszikusmodell alapj an mutatjuk be a spin-p alyak olcs on-hat ast, mely min osegileg helyes eredmenyt szolg altat. Mennyisegileg pontos ler as csakarelativisztikuskvantummechanikakeretenbel ullehetseges.Felklasszikus modell unkbentekints uk ugy, hogyazelektronk orp aly ankeringazatommag k or ul. Ha most ezt a mozg ast az elektron saj at rendszereben nezz uk, akkor aZe t oltes u atommag mozog az elektronhoz viszonytva, es ennek a mozg asnak k ovetkez-teben az elektron egy

Bindukci oj u m agneses mez ot ,,erez. Az elektron spin-m agnesesnyomatek anak k olcs onhat asi energi aja evvel az orbit alis mozg as altal gener alt m agnesesmez ovelWLS= s

B=em

S

B. (7.70)Am agnesesindukci onagys ag ataBiot-Savartt orvenyb olhat arozzukmegB=0Zev4r2, (7.71)ahol 0a leg ures ter m agneses permeabilit asa, v a mag sebessege az elektronhozviszonytva, razelektronp alyasugara. Azelektronorbit alisimpulzusnyomatekaazL = mvr alakbanrhat o, ahol a negatv el ojel azert szerepel, mert v a mag sebessege,amely ellentetes ir anyba mutat, mint az elektron maghoz viszonytott sebessege. InnenB= 0ZeL4mr3= Lmc21rZe40r2, (7.72)aholcafenysebesseg, 0pedigaleg uresterelektromospermittivit asa. BevezetveaV (r) =Ze40r(7.73)elektrosztatikuspotenci alt,am agnesesindukci oraaztkapjukhogyB=Lmc21rdVdr . (7.74)Ezt a kifejezest behelyettestvea 7.70 egyenletbe, megkapjuk a spin-p alya k ocs onhat asenergi aj at. Arelativisztikuskvantummechanikai sz amt asokazonbanehhezazered-menyhezviszonytva2-szerkisebberteketszolg altatnak, gyahelyesvegeredmenyWLS=e2m2c21rdVdr

S

L. (7.75)L athat o, hogy egy adott elektronp alyaeseten a spin-p alyak olcs onhat asi energia az

S

Lskal arisszorzaterteket ol, vagyisaketvektor altalk ozrez artsz ogt ol f ugg. Annak96 7. AHIDROGENATOMKVANTUMMECHANIKAILEIRASAerdekeben,hogy megvizsg aljuk, hogy ez a szorzat adott Ses L eseten milyen ertekeketvehetfel, tanulm anyozzukatov abbiakbanazelektronteljesipulzusnyomatek anakalehetsegesertekeit.Ateljesimpulzusnyomatekazorbit alisnyomatekesaspinvektori alis osszegekentrhat ofel

J=

L +

S. (7.76)Ateljesimpulzusnyomateknagys ag araesOztengelyreval ovet uleteream arismertkvant al asiszab alyokervenyesekJ=

j(j + 1) h, (7.77)aholjateljesimpulzusmomentumotjellemz okvantumsz am,illetveJz= mj h, (7.78)ahol az mjm agneses kvantumsz am j es +jk oz ott egyesevel v altozhat, 2j +1 lehetse-ges erteketvevefel.A7.76vektoregyenletetlevettj ukazOztengelyreJz= Lz +Sz, (7.79)majdfelhaszn alva mindegyikkomponensre akvant al asi feltetelt, am agneses kvan-tumsz amokk oz otti osszef uggeshezjutunkmj= ml +ms. (7.80)Atov abbiakbanmegvizsg aljuk, hogyadott l es s esetenaj kvantumsz ammilyenertekeketvehetfel,vagyisaz

L esaz

Segym assalmilyensz ogeketz arhatnakbe.Ajmaxim alis eretekeazmjmaximum avalleszegyenl o,amelyre rhat o,hogyjmax= max{ml} + max{ms} = l +s, (7.81)ugyanakkoraminim alis ertekazl ess kvantumsz amokk ul onbsegenekmoduluszaleszjmin= | max{ml} max{ms}| = |l s|. (7.82)Osszefoglalva|l s| j l +s, (7.83)aholjaminim alis esmaxim alis ertekk oz ottegyesevelv altozhat. Afentiegyenl otlen-segb ol azis bel athat o, hogymivel l egeszsz am, es egyelektronesetens=1/2, aj erteke feles sz amlesz, espedigj =l 1/2(hal =0, csaka+jel lehetseges).T obbelektronb ol all orendszereseten, amikorazsegeszsz amislehet, termeszetesenateljesimulzusnyomatekotjellemz okvantumsz amislehetegesz. Adottlessestenajkvantumsz am2s + 1 erteketvehetfel,hal s,illetve2l + 1 erteket,has l.A7.83 osszef ugges egzakt m odonaz impulzusnyomatekok osszead as anak kvan-tummechanikai elmeleteb ol k ovetkezik, de nagyonj ol illusztr alhat o a vektormodell7.6. ASPIN-PALYAKOLCSONHATAS... 977.11. abra: Aspin esp alyanyomatekokcsatol asal = 1 ess = 1/2eseten.segtsegevel is. A7.76egyenl osegalapj anah aromvektoregyh aromsz ogetkell hogyalkosson(7.11 abra). Ah aromsz ogoldalaira ervenyesnekkelllennieaz|L S| J L +S (7.84)egyenl otlensegnek,ahonnan gyelembeveve,hogy a kvantumsz amok csak egesz es felesertekeket vehetnekfel, k ovetkezika7.83egyenl otlenseg. Ezert a7.83 osszef uggesth aromsz og-egyenl otlensegnekishvjuk.K uls oer oterhi any abanazelektronteljesimpulzusnyomatekamegmarad omeny-nyiseg. Ugyanakkor a spin-p alya k olcs onhat as k ovetkeztebenaz

L es az

Snem marad-nakmegk ul on-k ul on. Ezertavektormodellalapj an ugy tekinthetj uk,hogy az

L esaz

S osszehangoltprecesszi osmozg astvegeza

Jk or ul(7.12 abra).Terj unkmost visszaaspin-p alyak olcs onhat as energi aj anak7.75kifejezesere, esvizsg aljukennekcsakaz

Les

Sviszonylagoshelyzetet ol val of uggeset.Irjukfeleztakifejezestegyszer ustveWLS= A

S

L h2, (7.85)ahol Aegyadott, n,l esskvantumsz amokkaljellemzettelektronp alyaeseten alland o.A skal aris szorzat f ugg a ket vektor altal k ozrez art sz ogt ol (

S

L = SLcos ), amelyet azimpulzumomentumok altal alkotott h aromsz ogb ol ki tudunk fejezni a Jf uggvenyeben.L2+S2+ 2SLcos = J2, (7.86)ahonnanSLcos =12(J2L2S2) =12 h2[j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)]. (7.87)Aspin-p alyak olcs onhat asi energiaezekalapj anadottn, l es sesetencsakateljesimpulzusmomentumjkvantumsz am at olf uggWLS=A2 [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)], (7.88)98 7. AHIDROGENATOMKVANTUMMECHANIKAILEIRASA7.12. abra: Az

L esaz

Sprecesszi osmozg asaamegmarad o

Jk or ul.esegyenergiaszintannyi alszintrehasadfel aspin-p alyak olcs onhat ask ovetkezteben,ah any erteketa jfelvehet. Haajket erteketvehetfel,mint pl. ahidrogenatom l = 0gerjesztettszintjei eseten, dublettr ol beszel unk.Altal anosesetbenanomszerkezetetmutat oenergiaszinteketmultiplettneknevezz uk.Ket szomszedos,j-vel illetvej 1-el jellemzett nomszerkezetienergiaszint k oz ottik ul onbsegEj,j1 =12Aj(j + 1) 12A(j 1)j= Aj (7.89)lesz. Ez a Lande-fele intervallumszab aly. Az energiak ul onbseg a ket szomszedos nom-szerkezeti szintk oz ott4, 5 105eVahidrogen2pszintjeeseten. Anomszerkezetifelhasad as n o a nagyobb rendsz am u atomok eseten, pl. a Na 3p szintje E= 2, 1 103eV-alhasadfel, amiakibocs atottfenyben6Ahull amhossz-k ul onbsegnekfelel mega3p 3s atmeneteseten. Ezaketegym ashozk ozeli,s argasznkepvonal igenjellemz oan atriumsznkepere.Abban az esetben, amikor az atom k uls o hej an egy elektron tal alhat o, vagy a k uls oelektronhejfelenel kevesbebet olt ott, A>0. Ekkornorm alismultiplettr ol beszel unk.Ellenkez oesetben, haahej felenel jobbanbet olt ott, A 0, esakkorkapunkminim alis energi at, haj minim alis, vagyis j = |l s| (norm alis multiplett esete).Haazelektronhej t obbmintfelenel bet olt ott, akkorA j= l => gJ= 1, esha l = 0 => j= s => gJ= 2.Haazatomotgyenge, Ozir any um agnesesmez obehelyezz uk, akkoram agnesesnyo-matekOzir any uvet uleteneklehetsegesertekeiJz= e2mgJJz= gJBmj(8.39)lesznek,ahonnanam agnesesmez ovelval ok ocs onhat asenergi ajaWB=

BJ= BJz= BgJBmj. (8.40)Mivel a teljes impulzusmomentumhoz tartoz o mjm agneses kvantumsz am 2j+1 erteketvehetfel j-t olj-ig,m agnesesmez obenazatomenergiaszintjei 2j + 1szintrehasad-nakfel. Afelhasad as mertekeBgJBlesz, amelyagJ-nkereszt ul f uggafelhasad oszintjellemz okvantumsz amait ol. Ezertazanom alisZeemann-hat asesetenegyatomk ul onb oz o energiaszintjei k ul onb oz o mertekben hasadhatnak fel, sok esetben bonyolultoptikaispektrumoteredmenyezve. Eset unkben,amikora8.26feltetelteljes ul,ak uls om agneses mez o okozta felhasad as merteke kisebb, mint a nomszerkezeti szintek k oz ottit avols ag.8.5 Az atomer os magneses terben. APaschen-BackhatasEr osm agnesesterbenam agneses momentumokk olcs onhat asi energi ajaam agnesesmez ovelnagyobb, mint a spin-p alyak olcs onhat as. Ebben az esetbena k uls o m agnesesmez o felszaktja az

S es az L k oz otti csatol ast. Ezert az atom teljes impulzusnyomatekaertelmetlenmennyiseglesz,a p alyanyomatek es a spin k ul on-k ul on lep k olcs onhat asbaam agneses mez ovel. Avektormodell szerint a

Lesa

Segym ast ol f uggetlen ul pre-cessz alnaka

Bk or ul(8.6 abra).Azelektronrendszer m agneses nyomatek anakk olcs onhat asi energi ajaam agnesesmez ovelazorbit alismomentumt ol esaspint olf ugg otagok osszegeleszWm=

B S

B L = BBml +BB2ms= BB(ml + 2ms). (8.41)Azadottlesskvantumsz amokkal jellemzettenergiaszintfelhasad asakorafelhasad asmerteke(aszomszedos, k ul onb oz oml + 2ms osszeggeljellemzettszintekk oz ottiener-giak ul onbseg)E= BB(8.42)118 8. ATOBBELEKTRONOSATOM8.6. abra: Az

L esaz

Sprecesszi osmozg asaer osm agnesesmez oben.lesz, ugyanolyan alak u, mint a norm alis Zeeman-hat as eseten. Ezt a jelenseget Paschen-Backhat asnaknevezz uk.Aspin-p alyak olcs onhat as mindenegyes l, s, ml+2ms-el jellemzett energiaszinteseten perturb aci okent kezelhet o. Mivel az

L es a

Smennyisegeknek csak az Oz ir any u(m agneses er ovonalakkal p arhuzamos) komponense marad meg, az erre mer oleges kom-ponensek atlagertekenullalesz, esaspin-p alyak olcs onhat asenergi ajaaWLS= ALzSz h2= Amsml(8.43)lesz.Nagyoner osm agnesesterbenam agnesesmez ovel val ok olcs onhat asi energiana-gyobblehetaspin-spinesap alya-p alyak olcs onhat asokn al is. Ebbenazesetbenm arcsakazegyeselektronokspinjenekesorbit alisimpulzusmomentum anakvanertelme,ezekmindegym ast olf uggetlen ul fognak precessz alnia

Bk or ul. A teljesk olcs onhat asienergiaekkorazegyeselektronokm agnesesmez ovel val ok olcs onhat asi energi aj anakaz osszegeleszWm= BB(imli + 2imsi). (8.44)8.6 Azatomelektromosmez oben. AStark-hatasHomogenelektrosztatikusmez obenazelektromosdip olusnakamez ovel val ok olcs on-hat asienergi ajaWE=

d

E (8.45)alakba rhat o. Azatomok

delektromosdip olus-nyomateka altal abannulla,deak uls oter null at ol k ul onb oz o dip olus-nyomatekot induk al. Egy elektronrendszer dip olus-8.7. APERTURBACIOSESAVARIACIOSMODSZER... 119nyomatekaazelektronok rihelyzetvektorait olf ugg

d = eiri, (8.46)esazOzir any u

Eterer osseggeljellemzettelektromosmez ovelak olcs onhat asienergiaWE= e

Eiri = eEizi(8.47)lesz,aholziazi-ikelektrtonzkoordin at aja.Irjukfelafentik olcs onhat asnakmegfelel okvantummechanikai oper atortVE= eEi zi, (8.48)ahol ezt a k olcs onhat ast perturb aci onak tekintj uk egy adott atomi energiaszinteseten.Aznesl kvantumsz amokkal jellemzettenergiaszintperturb alatlan allapotaitjel olj uk0nlm-val. Aszintenergi aj anakels orend uperturb aci oskorrekci ojaW(1)E=< 0nlm|VE|0nlm>= eEi< 0nlm| zi|0nlm> (8.49)lesz.Altal abanegyadottenergiszint j ol meghat arozottl orbit aliskvantumsz ammaljellemezhet o, ezert a 0nlmhull amf uggveny meghat arozott p aross ag u (p aros, ha l p aros,esp aratlan,halp aratlan). Mivelzip aratlanf uggveny,a(8.49)-benszerepl ointegr al,amelyetazegeszterreki kell terjeszteni, null ateredmenyez. Ezaztjelenti, hogyazatomokn al altal abannem eszlel unkline arisStark-hat ast,vagyisazE-velar anyoskor-rekci ojaazenergi anaknulla.Kivetel a hidrogenatom, ahol az energiaszintek l szerint is elfajultak, es egy adott en-ergiaszinthezrendelthull amf uggvenyak ul onb oz omellekkvantumsz am-ertekekkel ren-delkezhet.Igy ennek az energia allapotnak nem lesz meghat arozott p aross aga, es alkal-mazvaaperturb aci osm odszertezekreazelfajultszintekre, azels orend uperturb aci oskorrekci onull at ol k ul onb oz olesz. Teh at ahidrogenatomenergiaszintjei elektromosmez obenazE-vel ar anyosmertekbenhasadnakfel. Ezt ajelenseget line arisStark-hat asnaknevezz uk.At obbelektronos atomokesetebenak uls oelektomos mez ovel val ok olcs onhat ascsakm asodrend uperturb aci os k ozeltesbeneredmenyezi azmjszerint elfajult ener-giaszintekfelhasad as at. Bebizonythat o,hogyam asodren ukorrekci oW(2)E= (P+Qm2j)E2(8.50)alakbanrhat ofel. Azenergiaszintekeltol od asaesafelhasad asmertekeazelektro-mos terer ossegnegyzetevel ar anyos. Ez ajelensegaStark-hat as, vagyanegyzetesStark-hat as. Azelektromos mez ovel val ok olcs onhat as nemsz unteti megteljesenaszintek elfajul as at, mert a korrekci o m2j-t ol f ugg, gy a +mj-vel es a mj-vel jellemzett allapotoknakugyanazleszazenergi aja.A8.7 abr anaStark-hat ast szemleltetj ukan atriumatomn=3energiaszintjeieseten. Amintl atjuk,aj= 1/2szinteknemhasadnakfel,deeltol odnak, esaj= 3/2szintketalszintrehasadfel.AStark-hat ast altal abanbonyolultabb ertelmezni,mintaZeeman-hat ast,ezertazatomispektrumokkiertekelesenel ritk anhaszn alj ak.120 8. ATOBBELEKTRONOSATOM8.7. abra: AStark-hat asaNaatomesten.8.8. abra: Aheliumatomketelektronj anakamaghozviszonytottr1esr2helyzetvektorai,valamintaviszonylagoshelyzet uketmegad or12.8.7 Aperturbaci os esvariaci osm odszeralkalmaza-saaheliumalapallapotaraA k ovetkez o fejezetekben azt fogjuk tanulm anyozni, hogy a spin-p alya k olcs onhat as el-hanyagol as aval (nemrelativisztikus k ozeltesben) hogyan hat arozhat ok meg a t obbelek-tronos atomokenergiaszintjei es hull amf uggvenyei. Tanulm anyoz asunkat kezdj ukaheliumatommal,amelyenket,gyakranhaszn altk ozelt om odszertmutatunkbe.Modell unkben a He atommagot mozdulatlannak tekintj uk, es a rendszer Hamilton-oper ator anak afelr asakorcsakaketelektronmozg as at vessz ukgyelembe. A Hamil-ton-oper ator a8.8 abr anl athat ojel olesekkelak ovetkez okeppen rhat ofelH= h22m21 h22m22Ze240r1Ze240r2+e240r12, (8.51)aholgyelembevett ukazelektron-magesazelektron-elektronk olcs onhat asokat.Akepletekegyszer ustesevegett, vezess ukbeazatomzik abangyakranhaszn altatomi egysegeket. Az atomi mertekrendszerbenak ovetkez ouniverz alis alland ok8.7. APERTURBACIOSESAVARIACIOSMODSZER... 121erteketkonvencion alisan1-nekvessz uk h = 1; m = 1; e = 1; 40 = 1, (8.52)ahol m az elektront omege. Ezekbenaz egysegekbenahidrogenatomban a Bohr-p alyasugara(6.14)alapj ana0=1, ahidrogenalap allapoti energi aja(6.16)szerint E1=1/2. Azenergiamertekegysegeatomi egysegekbenahartree, 1hartree=27,2eV.A Bohr-p aly an kering oelektronsebessegeszintenegysegnyinekad odik, afenysebessegatomi egysegekben137. A8. fejezeth atralev oreszebenezeket azegysegeket fogjukhaszn alni.Ezekut an rjukfela8.51Hamilton-oper atortatomiegysegekbenH= 12211222Zr1Zr2+1r12. (8.53)AheliumatomrafelrtSchr odinger-egyenletH = E (8.54)azr12-t olval of uggesmiattnemoldhat omegpontosan.Az egyik k ozelt o m odszer, amit a megold asbanhaszn alhatunk, a perturb aci osm odszer. Aperturb alatlanHamilton-oper atoraketelektronnakazatommagk or ulif uggetlenmozg as at rjaleH0= 12211222Zr1Zr2, (8.55)mgazelektron-elektronk olcs onhat astperturb aci onaktekintj ukV=1r12. (8.56)AH0oper ator saj atf uggvenyei egyelektron-hull amf uggvenyek antiszimmetriz alt szor-zatakent rhat okfel(r1, r2, 1, 2) =12[a(r1)(1) b(r2)(2) a(r2)(2) b(r1)(1)], (8.57)ahol ri-vel a terbeli koordin at akat, mg i-vel a spinkoordin at akat jel olt uk az i elektroneseten. Azegyikelektronazaterbeli esazspin- allapotbantal ahat o,mgam asikab, allapotban.Foglalkozzunk a tov abbiakban csak a legalacsonyabb energi aj u allapottal. A helium-atom alap allapot aban a ket elektron terbeli hull amf uggvenye megegyezik (a = b = 1s),mgaspin allapotoknakaPauli-felekiz ar asielvertelmebenk ul onb ozni ukkell. Ebbenazesetbenaketelektron-rendszerterbeli esspin-hull amf uggvenyeszepar alhat o(r1, r2, 1, 2) = 1s(r1)1s(r2)12[(1)(2) (2)(1)]. (8.58)Mivel k ozeltes unkben a heliumatom Hamilton-oper atora f uggetlen a spint ol, a tov abbi-akbanahull amf uggvenyspint ol f ugg o, antiszimmetrikus reszevel nemfoglalkozunk.122 8. ATOBBELEKTRONOSATOMAterbeli koordin at akt ol f ugg operturb alatlanhull amf uggvenyegyszer uenaket, egy-elektronhull amf uggvenyszorzatalesz0(r1, r2) = 1s(r1)1s(r2). (8.59)Mivel a perturb alatlan Hamilton-oper ator felrhat o ket, egy-elektron oper ator ossze-gekentH0=H01+H02, (8.60)aH00= E00(8.61)Schr odinger-egyenletszepar alhat oket,egyelektronrafelrtSchr odinger-egyenletreH0i1s(ri) = Ei1s(ri); i = 1, 2 (8.62)vagyreszletesebbenkirva

122i Zri

1s(ri) = Ei1s(ri); i = 1, 2. (8.63)A fentiegyenletahidrogenszer uionrafelrtSchr odinger-egyenlet,amelyneksaj aterte-keit essaj atf uggvenyeitj olismerj uk(7.2fejezet). Azalap allapotraEi= Z22(8.64)1s(ri) =

Z3eZri. (8.65)Igyaheliumatomalap allapot anak energi ajanulladrend uk ozeltesbenE0= E1 +E2= Z2. (8.66)lesz.Sz amtsukkiazalap allapotenergi aj anakels orend uperturb aci oskorrekci oj atE(1)=< 0(r1, r2)|V |0(r1, r2) >= 1s(r1)1s(r2)1r121s(r1)1s(r2)dr1dr2. (8.67)Afenti hatszorosintegr al ahull amf uggvenyek8.65alakj atfelhaszn alvaanalitikusankisz amthat o. Akorrekci oertekeE(1)=58Z. (8.68)Aheliumatomalap allapot anakenergi ajaebbenak ozeltesbenE= Z2+58Z= 2, 750hartree = 74, 83eV (8.69)lesz. Akserletiertekennelkisebb,Ek= 2, 9033hartree = 79, 00eV. (8.70)8.7. APERTURBACIOSESAVARIACIOSMODSZER... 123Asz amt asokatelvegeztekmagasabbrend uperturb aci oskorrekci okatisgyelem-beveve. M asodrend uk ozeltesbenazenergia 2, 91hartree-nakad odott, mg13-ikk ozeltesbenazeredmeny 2, 90372433hartree. Ezazeredmenym arcsakazertk u-l onb ozikakserleti ertekt ol, mert ebbenamodellbennemvettekgyelembeamagmozg as at esarelativisztikushat asokat.Aperturb aci osm odszerenkv ul am asikgyakranhaszn altk ozelt om odszeraze-nergiaszintek es a hull amf uggvenyek meghat aroz as ara a vari aci os m odszer. A vari aci osm odszer eseten egy adott alak u pr obaf uggvenyt vezet unk be a hull amf uggveny k ozelte-sere. Ezeket a parametereket a vari aci os elv alapj an, az atom alap allapoti energi aj anakminimaliz al as avalhat arozhatjukmeg.Tekints unkpeldakent egyegyszer u, egyparametert ol ()f ugg o, szorzatalakbanfelrtpr obaf uggvenyt(r1, r2, ) = (r1, )(r2, ), (8.71)ahol az egyelektron-pr obaf uggvenyeknek hidrogenszer u alakjuk van. Vari aci os parame-ternekaztat oltesttekintj ukamelynekterebenazelektronokmozognak(ri, ) =

3eri. (8.72)Az allapotenergi ajaazE() =< |H| > (8.73)alakba rhat o,amelynekaminimum atkeress ukazf uggvenyeben.Afenti m atrixelemkisz amt as ahozfelhaszn aljuk, hogya(ri, )f uggvenyegymagt oltessel rendelkez ohidrogenszer uionrafelrt Hamilton-oper ator saj atf uggvenye2/2saj atertekkel

122i ri

(ri, ) = 22(ri, ). (8.74)Aheliumatom8.53Hamilton-oper ator at olym odonrjukfel, hogyafenti el ony ostulajdons agotfeltudjukhaszn alniH= 1221r11222r2+ 2r1+ 2r2+1r12. (8.75)Felhaszn alva a 8.74 saj atertek-egyenletet es a hull amf uggvenyek norm al as at, a m atrix-elemreaztkapjuk,hogy< |H| > = 2222+

3

2e2(r1+r2)

2r1+ 2r2+1r12

dr1dr2= 2+ 2( 2)3

e2rrdr +58= 2+ 2( 2) +58= 2278. (8.76)124 8. ATOBBELEKTRONOSATOMAzutols o,r12-t olf ugg ointegr alugyanolyantpus uvolt,minta(8.67).A fenti sz amt asb ol megkapott energia kifejezesenek a minimum at deriv al assal hat a-rozzukmegdEd= 2 278= 0, (8.77)ahonnan =2716; E=

2716

2= 2, 8477hartree (8.78)L atjuk, hogyakapottenergiaertekaheliumalap allapot arak ozelebbvanakserletiertekhez, mintazels orend uperturb aci osk ozelteseredmenye. Azparametert ugyertelmezhetj uk,mint azt az eektvt oltest, amelyet az elektron mozg asa sor an ,,erez.Amint l athat o, az erteke kisebb mint 2, mert a m asik elektron a mag t olteset reszbenle arnyekolja.M asalak u, t obbvari aci osparametert tartalmaz opr obaf uggvenyhaszn alat aval akapotteredmenypontosthat o. Hamegtartjukapr obaf uggveny8.71szorzatalakj at,de az energi at az egyelektron-hull amf uggvenyek teljes oszt aly anminimaliz aljuk, azenergi abaneljutunk a Hartree-Fockhat arhoz. AHartree-Fock m odszert, amely afenti minimaliz al astmegval ostja, ak ovetkez ofejezetekbenfogjuktanulm anyozni. AHartree-Fockhat ar ertekeEHF= 2, 8617hartree. (8.79)Haennel jobbk ozeltest szeretnenkelerni, apr obaf uggvenynektartalmazniakell azelektronokegym ashozviszonytotthelyzetetmegad or12koordin at at. Azilyentpus uhull amf uggvenyeket Hylleras-tpus uaknak nevezz uk. A legteljesebb vari aci os sz amt asta Hylleras-tpus u hull amf uggvennyel 1078 parameter bevezetesevel vegeztek, es azeredmeny, E= 2, 90372437, gyakorlatilag egybeesett a legjobb perturb aci os sz amt aseredmenyevel.T obb elektront tartalmaz o atom eseten azonban a magasabbrend u perturb aci os sz a-mt asok, vagy a Hylleras-tpus u hull amf uggvenyekhaszn alata gyakorlatilag lehetetlen-nev alnak.8.8 AHartree-Fockm odszeralkalmazasaahelium-atomraAHartree-Fockm odszer lenyege, hogyat obbelektronos rendszer hull amf uggvenyetegyelektronhull amf uggvenyekszorzat aval, vagy, aPauli-elvet is gyelembeveve, azezekb ol ossze alltott Slater-determin anssal k ozelti. Az egy elektron terbeli koordin at a-j at ol f ugg o hull amf uggvenyeket orbit aloknak is nevezik. Az elektronok mozg as at ebbenak ozeltesbenat obbielektron altalkeltett, atlagolt elektromosmez oben rjukle.Aheliumatomalap allapotaeseten,amintaztazel oz ofejezetbenl attuk,ahull am-f uggvenyterbelikoordin at akt olf ugg o reszeegyszer uszorzatalakj aba rhat o(r1, r2) = (r1)(r2). (8.80)8.8. AHARTREE-FOCKMODSZERALKALMAZASAAHELIUMATOMRA 125Az 1-es elektron, azatommagonkv ul, k olcs onhat asbanvanam asikelektron altalkeltett, (r2) t oltess ur useggel jellemzett elektronfelh ovel, melyet a Hartree-Fock k ozel-tesbenr ogztettnektekint unk. A2-eselektron altalkeltetteektvpotenci alazUe1(r1) =

(r2)r12dr2 =

(r2)1r12(r2)dr2(8.81)m odon rhat ofel. Mivel a2-eselektronterbeli megtal alhat os agi val oszn usegeg omb-szimmetrikus, azU1potenci al isg ombszimmetrikuslesz. Az1-eselektronHamilton-oper atora,am asikelektron altalletrehozottpotenci altr ogztettnektekintve gyHe1= 1221Zr1+Ue1(r1) (8.82)lesz. ASchr odinger-egyenletHe1(r1) = 1(r1) (8.83)gyegyreszecskenekg ombszimmetrikuser otebenval omozg as aravonatkozik. Ebbenaz esetbena hull amf uggvenyfelrhat oa radi alis es az orbit alis hull amf uggvenyekszor-zatakent,aholazorbit alisresztag ombf uggvenyekadj akmeg(r1) = R(r1)Ymll(1, 1). (8.84)Aradi alisegyenleta(7.8)ismertalakba rhat o12r21ddr1

r21ddr1

Zr1+l(l + 1)2r21+Ue1(r1)R(r1) = 1R(r1). (8.85)Afenti egyenlet, azonban a l atszat ellenere, nemegyszer u dierenci alegyenlet.Ugyanis az Ue1potenci al tartalmazzaakeresett (es az R) f uggvenyt. Az ilyentpus u egyenleteket az onkonzisztens ter m odszerevel oldjuk meg. Ez azt jelenti,hogyels ok ozeltesbenazUe1kisz amt as ahozegytetsz olegespr obaf uggvenyt(pl. egyhidrogenszer u ion 1s hull amf uggvenyet) haszn aljuk, megoldjuk a dierenci alegyenletet,es gy azR-reegyjobbk ozeltestkapunk. Azelj ar astaddigfolytajuk,amgahull am-f uggveny korrekci oja elhanyagolhat o lesz, teh at a dierenci alegyenlet megold asa konzisztenslesz a Ue1-ben szerepl o hull amf uggvennyel. Az gy kapott hull amf uggvenyeket Hartree-Fockorbit aloknaknevezz uk.A8.83egyelektronrafelrtScr odinger-egyenlet, amitHartree-Fockegyenletnekisnevez unk, avari aci oselvalapj anislevezethet o. Arendszer energi ajaHartree-Fockk ozeltesbenE =

(r1)(r2)

12211222Zr1Zr2+1r12

(r2)(r1)

< (r1)(r2)|(r2)(r1) >=2

122Zr

< | >+

1r12

< | >2, (8.86)lesz,aholelhagytukazelektronokravonatkoz oindexeket. Anevez obenahull amf ugg-venynorm ajajelenikmeg, amitaf uggvenymeghat aroz asael ottnemr ogzthet unk.126 8. ATOBBELEKTRONOSATOMAhhoz, hogyazenergi anakaf uggvenyekteljesoszt aly aranezveminimumalegyen,teljes ulniekellavari aci osfeltetelnekE< |= 0. (8.87)Avari aci otelvegezveaztkapjuk,hogy2

122Zr

| >< | > | >

122Zr

< | >2+2

1r12

| >< | >22 < | > | >

1r12

< | >4= 0. (8.88)Mostm argyelembevehetj uk, hogyaf uggvenyeknorm altak< | >= 1, (8.89)esezut anak ovetkez oegyenlethezjutunk

122Zr+

1r12

| >

122Zr

| >

1r12

| >= 0. (8.90)Eszrevessz uk, hogya

1r12

=

(r)1r12(r)dr = Ue(r) (8.91)m atrixelema8.81egyenlettel ertelmezetteektvpotenci al, es gyafenti egyenleta8.83egyenlettelekvivalenslesz122Zr+Ue(r)

| >=

122Zr

+

1r12

| > . (8.92)Afenti egyenletbenrak arr1-el, ak arr2-vel ishelyettesthet o. Azelektronenergi aja,amitorbit al-energi anaknevez unk,kettag osszegelesz = I +J12. (8.93)Az els o tag egy elektron mozg asi, es a maggal val o k ocs onhat asi energi aj at tartalmazza,m assz ovalezahidrogenszer uionbanegyed ulmozg oelektronenergi ajaI=

122Zr

=

(r)

122Zr

(r)dr. (8.94)A m asodik tag a ket elektron Coulomb k olcs onhat as anak energi aj at adja, ez az ugyne-vezettCoulomb-integr alJ12=

1r12

= (r1)(r2)1r12(r1)(r2)dr1dr2. (8.95)8.9. AHARTREE-FOCKMODSZERALKALMAZASATOBBELEKTRONOS...127Azorbit al-energiaegyelektronnakaz atomonbel uli (negatv) energi aj at adja, j ok ozeltesben. Ahhoz, hogy az atomot ioniz aljuk, legal abb akkora energi at kell atadnunkazelektronnak,hogyazenergi ajanull aran oj on,teh atszabadd av aljon. Azioniz aci osenergiaezertEION= (8.96)lesz. EzaKoopman-tetel.A heliumatom teljes energi aj at a 8.86 kifejezes adja, ahol gyelembeveve a norm al astesaz ujjel oleseketE= 2I +J12(8.97)lesz.Erdemesmegjegyezni, hogyaketelektronorbit al-energi ainak osszegenemleszegyenl o a ketelektron-rendszer energi aj aval, mert az osszegben ketszer vennenk -gyelembeazelektronokk olcs onhat asienergi aj at

1 +2= I1 +J12 +I2 +J12= 2I + 2J12= E +J12. (8.98)128 8. ATOBBELEKTRONOSATOM8.9 A Hartree-Fock m odszer alkalmazasa t obbelekt-ronosatomokesetenHa az atom t obb mint ket elektront tartalmaz, hull amf uggvenye m ar nemrhat o fel egy,csak a terbeli koordin at akt ol f ugg o, es egy, csak a spint ol f ugg o f uggveny szorzatakent.Ezert a 8.12 Slater-determin anst kell haszn alnunk. M asreszt, csak z art hej uato-mokkal foglalkozunk, amelyeknekteljes spinjenulla. Anylt hej uatomokesetenahull amf uggvenyt obbSlater-determin ansline ariskombin aci ojalesz, aspink ul onb oz oorient aci oinak esaJ,ateljesimpulzusmomentumk ul onb oz o ertekeinekmegfelel oen.Tekints unkegyatomot, amelyben2NelektronNorbit alt t olt be. Mindenor-bit alonket elektrontal alhat o, aspinket k ul onb oz oorient aci oj anakmegfelel oen. Aket lehetsegesspin- allapotot jel olj uk -val es -val, mga terbeli koordin at akt ol f ugg oorbit alokat i-vel, ahol i = 1, N. Az elektronrendszer hull amf uggvenye gy a k ovetkez oSlater-determin anssalfejezhet oki(1, 2, . . . , 2N) =1

(2N)!

1(1)(1) 1(1)(1) N(1)(1) N(1)(1)1(2)(2) 1(2)(2) N(2)(2) N(2)(2) 1(2N)(2N) 1(2N)(2N) N(2N)(2N) N(2N)(2N)

(8.99)Azelektronrendszerenergi aj atazE=< |H| > (8.100)m atrixelem adja, amely egy 32N-szeres integr alt jelent a terbeli koordin at ak szerint,es2N-szerestaspin-koordin at akszerint. ArendszerHamilton-oper atoraH= 122Ni=12i 2Ni=1Zri+2Ni=1j>i1rij. (8.101)Azenergiakisz amt as ahozaSlater-determin anstkifejtj ukazegyik, ai-iksorszerint.Aj(i),j= 1, Nf uggvenyekaH0i= 122i Zri(8.102)oper ator saj atf uggvenyei. Ha csakennekaz oper atornak a m atrixelemetsz amtjuk,az< |H0i| >=12N2Nj=1Ij(8.103)lesz,aholIj=< j|H0i|j>=

j(ri)

122i Zri

j(ri)dri. (8.104)8.9. AHARTREE-FOCKMODSZERALKALMAZASATOBBELEKTRONOS...129Az 1/(2N)-es faktor a hull amf uggveny norm al asi tenyez ojeb ol, a 2-es faktor a ket k ul on-b oz ospin allapotgyelembeveteleb ol ad odik,aholfelhaszn altuk ugyazorbit alokmintaspinf uggvenyekortonorm alts ag at.Figyelembevevemostm ara8.101Hamilton-oper atortalkot ot obbiH0i ,i = 1, 2Noper atort, valamint az elektron-elektron k olcs onhat asokat is, a rendszer teljes energi ajaak ovetkez oalakba rhat oE= 2Nj=1Ij +Ni=1Nj=1(2JijKij). (8.105)IttJij= i(r1)j(r2)1r12i(r1)j(r2)dr1dr2(8.106)am arismertCoulomb-integr al,mgKij= i(r1)j(r2)1r12j(r1)i(r2)dr1dr2(8.107)akicserel odesi integr al. Aheliumesetebenezaketkifejezesegyenl ovoltegym assal,mertcsakegyorbit alunkvolt.Hasonl okeppen, ahogyan a helium eseteben is megmutattuk, az elektron-orbit alokrafelrtHartree-Fockegyenletekazenergi arafelrtvari aci oselvb olvezethet okleEi= 0; i = 1, N (8.108)aholel kell tekinten unkaihull amf uggvenyeknorm alts ag at ol. Avari aci oselvalkal-maz asaak ovetkez oHartree-FockegyenletekhezvezetFii= ii; i = 1, N. (8.109)AzFiHartree-Fockoper atorazFi=H0i+Nj=1(2 JijKij) (8.110)alakba rahat o,aholJiji(r1) = i(r1)

j(r2)1r12j(r2)dr2(8.111)Kiji(r1) = j(r1)

j(r2)1r12i(r2)dr2. (8.112)A8.109egyenletrendszer Ndarabcsatolt dierenci alegyenletb ol all. Megoldaniszinten az onkonzisztens ter m odszerevel szokt ak, vagyis addig folytatj ak a i-k iteratvkisz amt as at, amgkonzisztens leszaCoulombes akicserel odesi integr alokkal.Igymegkapjukak ul onb oz oorbit alokontal alhat oelektronokhull amf uggvenyeit es aziorbit al-energi at. Azorbit alenergi aja

i= Ii +Nj=1(2JijKij) (8.113)130 8. ATOBBELEKTRONOSATOMlesz, esKoopmank ozeltesebenaziorbit alr olval oioniz aci oeneregi ajaEiION= i. (8.114)Azelektronokorbit al-energi ainak osszegeebbenazesetbensemleszegyenl oateljesenergi aval.Ha a 8.108 egyenletrendszert pontosan megoldjuk, az atom E energi aj ara a Hartree-Fockhat art(EHF)kapjuk. Mivel a2Nelektronb ol all orendszerhull amf uggvenyeta8.99 Slater-determin anssal k ozeltett uk, ez az energia nagyobb lesz a val odi, kserletilegmeghat arozott Eexpenergi an al. Akett ok oz otti k ul onbseget korrel aci os energi anaknevezz ukEkorr= EexpEHF, (8.115)esaztazelektronokk oz ottik olcs onhat ast,amelyetnemfoglal mag abaazUe atlagoltpotenci al,korrel aci onak.Haegyatomler asakorakorrel aci otisgyelembeakarjukvenni, akkoraSlater-determin ansn albonyolultabbalak uhull amf uggvenyekkel kelldolgoznunk.9Atomi spektrumokAlegt obbinform aci otazatomokszekezeter ol azatomokjellemz ospektrum ab ol vagysznkepeb ol nyerhet unk. Ebben a fejezetben az atomok optikai ameneteit fogjuk tanul-m anyozni, vagyis azokat az elektron atmeneteket, amelyekfotonkibocs at assal vagyelnyelessel j arnak.9.1 FotonelnyeleseskibocsatasBohr m asodik posztul atuma megadja az optikai atmenetek alkalm aval kibocs atott vagyelnyeltelektrom agnesessug arz asfrekvenci aj at=EmEnh. (9.1)Ezafeltetelaz atmenetkvantummechanikai tanulm anyoz as avalislevezethet o.Felrjukazatomelektronrendszerereazid ot olf ugg oSchr odinger-egyenleti h t =H. (9.2)Ennekazegyenletnekastacion arius( alland oenergi aj u) allapotot ler omegold asaibank ul onv alaszthatjukacsakazid ot olf ugg o, periodikusresztn= neiEn ht, (9.3)ahol ncsakaterbeli koordin at akt ol f ugg o, azn allapototjellemz ohull amf uggveny.Egyilyenstacion arius allapotbanegyelektronvalamely(q-valjel olt)koordin at aj anak atlagertekeid oben alland o< q>=

nqnd=

nqnd, (9.4)mert a hull amf uggveny id ot ol f ugg o resze elt unik (az elektronrendszer koordin at ainak osszessegetjel oli). Ezaztjelenti,hogyaz,,elektronfelh ok ozeppontjanemmozdulel,esazatomstacion arius allapotbannemsug aroz.131132 9. ATOMISPEKTRUMOKHaazelektronketstacion arius allapotk oz ottmegy at(n m), akkorarend-szer hull amf uggvenyet aket stacion arius allapotrajellemz ohull amf uggvenyline ariskombin aci ojakent rjukfel = an +bm. (9.5)Az atmenetel otta= 1esb = 0,mgaz atmenetut anazegy utthat oka = 0esb= 1lesznek. Azaesbebb ol k ovetkez oenf uggenekazid ot ol, defeltetelezz uk, hogyezekviszonylag lassan v altoznak. Az atmenet alatt az elektron koordin at aj anak atlagerteke< q >=

(an +bm)q(an +bm)d (9.6)lesz. Behelyettestveaz id ot ol is f ugg o hull amf uggvenyek9.3 alakj at, azt kapjuk,hogy< q> = |a|2

nqnd+|b|2

mqmd+ba

meiEm htqeiEn htnd+ab

neiEn htqeiEm htmd= |a|2< q >n+|b|2< q >m+ba

mqndeiEmEn ht+ab

nqmdeiEmEn ht, (9.7)ahol nesmakoordin ata atlagerteketjel olikastacion ariusnilletvem allapotban. Bevezetj ukaba

mqnd= Mei(9.8)jel olest, esevvela< q> atlagertekegyszer ubbalakba rhat o< q>= |a|2< q>n+|b|2< q >m+2M cos

EmEn ht +

. (9.9)Haafenti kifejezesbencsakazels oket taglenne, azelektronkoordin at ajaazaesbegy utthat ok altal meghat arozott m odon, lassan atmennen-b ol m-be.Azonban a harmadik tag az atmenet alatt (amikor ugy a mint b k ul onb oznek null at ol),egygyors,=EmEn h(9.10)k orfrekvenci aj urezgesthozbe. Mivel azelektronkoordin at aj anak atlagertekeennekmegfelel oenaz atmenet alatt =(Em En)/hfrekvenci aval rezeg, az atomilyenfrekvenci aj usug arz ast bocs at ki vagynyel el. Visszakaptuk teh at a 9.1 Bohr-felefrekvenciafeltetelt.Mgegyjellemz ooptikai atmenetegyikstacion arius allapotb ol am asikba108sideigtart,addigakibocs atott(vagyelnyelt)sug arz asfrekvenci ajal athat ofenyeseten1015Hz nagys agrend u. Okkal mondhattuk teh at, hogy az a es a b id oben lassan v altoz of uggvenyek.9.2. KIVALASZTASISZABALYOK 1339.2 Kivalasztasi szabalyokAz el obbi fejezetben bebizonytottuk, hogy ha egy atom az egyik stacion arius allapotb ola m asikba megy at, az atmenet alatt egy elektron valamely koordin at aj anak az atlager-teke nagy frekvenci aj u rezg omozg ast vegez, ami elektrom agneses sug arz as kibocs at as a-val vagyelnyelesevel j ar. Ezatetel azonbancsakakkorervenyes, ha9.9kifejezesbenakoszinuszf uggvenyegy utthat ojanemnulla, vagyisa(9.8)-benszerpl om atrixelemk ul onb ozikzer ot ol. Haqmn=

mqnd= 0, (9.11)az atom az adott atmenet sor an nem bocs at ki vagy nyel el elektrom agneses sug arz ast.Azilyen atmenetekcsakm as reszecskekkel val ok olcs onhat as utj anlehetsegesek, esoptikailagtiltott atmenetekneknevezz uk oket. Haqmn=

mqnd = 0, (9.12)az atmenetetoptikailagmegengedettneknevezz uk.Az, hogya9.11m atrixelemertekenullavagynem, azatomkezdeti esvegs osta-cion arius hull amf uggvenyenekszimmetriatulajdons agait olf ugg.Altal anos szab alyokatfogalmazhatunk meg, amelyek megszabj ak, hogy az optikai atmenetek milyen allapotokk oz ottlehetsegesek. Ezekakiv alaszt asiszab alyok.Egyilyenkiv alaszt asi szab alylevezetesenekerdekebentekints unkegyolyanato-mot, amelynekak uls ohej ancsakegyelektronvan, esvizsg aljukcsakennekazegyelektronnakalehetsegesoptikai atmeneteit(egy-elektron atmenetek).Ugytekintj uk,hogyazatombels o,z arthejainazelektronokhull amf uggvenyeaz atmenetsor annemv altozik. A k uls o elektron allapot at ler o, terbeli koordin at akt ol f ugg o hull amf uggvenytazn, l, mlkvantumsz amokkaljellemezhetj uk.Tekints ukanlml n

l

m

l(9.13) atmenetet. Vizsg aljukmegazxkoordin ata(9.11)-hezhasol om atrixelemetazadott atmenetesetenx =

nlmlxn

l

m

ldr. (9.14)G ombi koordin at akbandolgozunk, esk ul onv alasztjukahull amf uggvenyradi alis, aesasz ogt olf ugg o reszetnlml= Rnl(r)lml()ml(), (9.15)azazazYmllg ombf uggvenyta-t olesa-t ol f ugg oreszszorzat arabontva rjukfel.Felhaszn aljuk,hogyx = r sin cos (9.16)dr = r2sin drdd, (9.17)es gyam atrixelemeth aromintegr alszorzatakent rhatjukfelx =

0r3RnlRn

l dr

0sin2lmll

m

ld

20cos mlm

ld. (9.18)134 9. ATOMISPEKTRUMOKFoglalkozzunkcsakaszerinti integr allal. Tudjuk, hogyhanorm altf uggveny,akkorm

l=12eim

l(9.19)ml=12eiml, (9.20)esfelhaszn aljukacos =12(ei+ei) (9.21) osszef uggest. Azintegr al gyak ovetkez okeppenalakul

20cos mlm

ld =14

20[ei(mlm

l1)+ei(mlm

l+1)]d. (9.22)Azml m

l 1=kmindigegeszsz am. Azexp(ik)f uggvenyintegr alja0-t ol 2-igpedigmindenegeszk-ranull ateredmenyez, kivevehak=0. Ezertkijelenthetj uk,hogy az x m atrixelem csak azokra a m agneses kvantumsz amokra k ul onb ozik null at ol,amelyekremlm

l1 = 0, (9.23)vagyisam agneseskvantumsz amcsakazm

lml= ml= 1 (9.24)ertekkel v altozhat. Az elektron teh at csak ezekben az esetekben rezeghet az x ir anyban,amierreazir anyramer olegesfenykibocs at astteszlehet ove.Az ykoordin ata m atrixelemet kisz amtva ugyanezt a feltetelt kapjuk, teh at az y

m atrixelem csak ml= 1 eseten k ul onb ozhet null at ol. A z koordin ata m atrixelemere(z= r cos )pedigak ovetkez okifejezestkapjukz =

nlmlzn

l

m

ldr=

0r3RnlRn

l dr

0sin cos lmll

m

ld

20mlm

ld. (9.25)A-t olf ugg ointegr al

20mlm

ld =12

20ei(m

lml)d (9.26)csakakkorlesznull at olk ul onb oz o,haam agneseskvantumsz amv altoz asaml= 0. (9.27)Teh at az elektron csak akkor rezeghet az Oz kit untetett tengely ir any aban, erre mer ole-ges ir any usug arz ast bocs atvaki, haaz atmenetkor am agneses kvantumsz amnemv altozik.9.3. EGY-ELEKTRONATMENETEK 135Osszefoglalva,egyadottnlml n

l

m

loptikai atmenetcsakakkorlehetseges, haam agneseskvantumsz amv altoz asaml= 0, 1, (9.28)amintaztanorm alisZeeman-hat ast argyal asakorm aremltett uk. M agnesesmez obenaml=0-nakmegfelel osznkepvonal am agneseser ovonalak, teh atazOztengelyir any abannemeszlelhet o, mg aml=1-nekmegfelel o sznkepvonalak mindenir anyb olval ovizsg alatn almegjelennek.Megvizsg alvaa9.18esa9.25integr alok-t olf ugg oreszet,estudva, hogylml=Pmll(cos ), az altal anostott Legendre-polinomok tulajdons againak felhaszn al as aval be-bizonythat o,hogy am atrixelemekcsakabban az esetbenk ul onb ozhetneknull at ol, haamellekkvantumsz amv altoz asal = 1. (9.29)A radi alis koordin ata szerinti integr al nem vezet semmilyen kiv alaszt asi szab alyhoz,aznf okvantumsz amegyoptikai atmenetkorb armekkoraertekkelv altozhat.Ha gyelembevesz uk a spin-p alya k olcs onhat ast is, a sz amt asok azt mutatj ak, hogyoptikai atmenet csak azon nomszerkezeti szintek k oz ott lehetseges, amelyeknel a teljesimpulzusmomentumotjellemz okvantumsz amlegt obbegysegnyivel v altozikj= 0, 1. (9.30)Ket-vagyt obbelektronos atmenetekreak ovetkez okiv alaszt asiszab alyokad odnakj = 0, 1 (9.31)mj= 0, 1. (9.32)LScsatol aseseten, amikorap alyanyomatekesaspink ul onkezelhet o, ezeketkiege-szthetj ukal = 0, 1 (9.33)s = 0 (9.34)feltetelekkel.9.3 Egy-elektronatmenetekAmintaztm aremltett uk, azatomi elektronok allapot ar ol, alehetsegesenergiaszin-tekr ol alegpontosabbinform aci okat azatomok altal kibocs atott vagyelnyelt elekt-rom agneses sug arz as spektrum ab ol nyerj uk. A7. fejezetbensokat hivatkoztunkahidrogenspektrum ara.Abr azoljuk most m ar a hidrogenatomk ul onb oz o allapotaik oz ottilehetseges atmeneteketakiv alaszt asiszab alyokismereteben.A9.1diagramonahidrogenatomkvantum allapotainakenergi ait abr azoltuk. Azenergia nullszintjetaz atom alap allapot aban vett uk fel. Ha elhanyagoljuka spin-p alya136 9. ATOMISPEKTRUMOK9.1. abra: A hidrogenatom energiadiagramja es az egyes kvantum allapotok k oz otti lehetseges atmenetek.k olcs onhat ast, az allapot energi aja csak a f okvantumsz amt ol f ugg. Az atmenetek beraj-zol asakor gyelembevett uk,hogy l = 1, de mivelaz energiaszinteklszerintelfajul-tak, ennekahidrogenneka6.1 altal anostottBalmer-keplet altal lertspektrum abannincsjelent osege.Aspin-p alyak olcs onhat ast, amelymegsz unteti ajszerinti elfajul ast, esazl sze-rintielfajul astismegsz untet okvantumelektrodinamikaihat asokatcsakazn = 2 esazn = 3szintekreszemleltett uk. A kinagytvaberajzolt atmenetekaBalmer-sorozatHvonal anakanomszerkezetetadj ak. Figyelembeveve, hogyl= 1esj= 0, 1,aHvonalhetnomszerkezeti vonalb ol all. Ezeketkseletilegissiker ultkimutatni.Hasonl om odonadhat okmegalehetsegesoptikai atmenetekazalk alifemekesetenis, amelyeknek a k uls o hej an egy elektron tal alhat o. Fontos k ul onbseg az energiaspekt-rumbanviszont, hogyabels o, z art hejakonlev oelektronokelektrosztatikus hat asamegsz untetiazenergiaszinteknekamellekkvantumsz amszerintielfajul as at.A 9.2 abr an a n atriumatom energiszintjeinekdiagramj at rajzoltuk fel.Osszehason-lt askeppenjobboldalonahidrogenatomenergiaszintjeitisfelt untett uk. J oll athat o,hogy az azonos f okvantumsz ammal jellemzett allapotok energi aja n o az l n ovekedesevel.Ismert atmenet an atriumbana3p3s, amelyelenks argaszn usznkepvonalateredmenyez. Hagyelembevessz uka3pszintnek(az abr annemfelt untetett)nom-szerkezeti felhasad as at a magasabb energi aj u 32P3/2, es az alacsonyabb energi aj u 32P1/29.4. KET-ELEKTRONATMENETEK 1379.2. abra: An atriumatomenergiadiagramja esazegyeskvantum allapotokk oz ottilehetseges atmenetek.szintekre, ket, egym ast ol = 6 A hull amhosszk ul onbseggelelv alasztott sznkepvona-lat kapunk, amelyekm ar egy egyszer u spektroszk oppalis j ol meggyelhet ok. Nagyobbrendsz am ualk alifemeknelezanomszerkezeti felhasad asj ovalnagyobbmertek u.9.4 Ket-elektronatmenetekHa az atomk uls o hej anket elektrontal alhat o, ezek k olcs onhat asa lenyegesen be-foly asoljaaz egyes energiaszintekk oz otti atmeneteket. Akkor is, hacsakaz egyikelektront gerjesztj uk, az arnyekol asi potenci al lenyeges v altoz asa miatt a m asik allapotaismegv altozik.Ha a ket elektron impulzusmomentumaiaz LScsatol as szerint kapcsol odnak ossze,akkor, amintazta9.2fejezetbenemltett uk, aket-elektronrendszertjellemz okvan-138 9. ATOMISPEKTRUMOK9.3. abra: Aheliumatomenergiadiagramjaesalehetsegesoptikai atmenetek.tumsz amokraak ovetkez okiv alaszt asiszab alyokervenyesekl = 0, 1 (9.35)j = 0, 1 (9.36)s = 0, (9.37)de a j= 0 j= 0 atmenet nem lehetseges. Fontos megjegyezni, hogy optikai atmenetsor an a rendszer spin- allapota nem v altozhat. Ha az atmenetben csak egy elektron veszreszt (egyszeres, es nem ketszeres gerjesztesr ol van sz o), akkor a mellekkvantumsz amravonatkoz okiv alaszt asiszab alyszigor ubbl = 1. (9.38)A 9.3 abr an a legegyszer ubb ketelektronos atom, a helium energiadiagramj at t untet-t uk fel. A gerjesztett allapotok mind egy-elektron gerjesztest jelentenek,teh at a m asik9.5. RONTGENSPEKTRUMOK 139elektron as 1s alap allapotban marad. A ketszeresen gerjesztett allapotoknak az ( abr annemfelt untetett)energi ajaazegyszeresioniz aci osenergi an alnagyobb.Aszinglett allapotok(s = 0) esatriplett allapotok(s = 1)k oz ottnemlehetsegesazoptikai atmenet. AHeatomalap allapota(11S0)k otelez oenszinglett allapot,mertmindketelektronaz1sorbit alonvan,esaPauli-felekiz ar asi elvertelmebenazegyikelektronaz ms=+1/2, mgam asikaz ms= 1/2 allapotbankell hogylegyen.Haaheliumatomot valamilyenm odon(pl. t olt ott reszecskevel val o utk ozessel) egytriplett allapotbagerjesztj uk, akkoratriplett allapotb ol nemfogoptikai atmenettelszinglett alap allapotba atmenni. Ezert aheliumnaklegalacsonyabbenergi aj u, 23S1tiplett allapota hossz uelet u, metastabil allapot. Innenaz alap allapotba csakegyn