Nagy K aroly Jav tott, b}ov tett v altozat (2020)zeus.nyf.hu/~mattan/faliujsag/osszefoglalo3.pdf ·...
58
A matematika alapjai NagyK´aroly 2014 Jav´ ıtott,b˝ov´ ıtett v´altozat (2020) Ny´ ıregyh´aziEgyetem Matematika ´ es Informatika Int´ ezet 1
Transcript of Nagy K aroly Jav tott, b}ov tett v altozat (2020)zeus.nyf.hu/~mattan/faliujsag/osszefoglalo3.pdf ·...
A matematika alapjai
Nagy Karoly
2014Javıtott, bovıtett valtozat (2020)
Nyıregyhazi EgyetemMatematika es Informatika Intezet
1
Tartalomjegyzek
1. Kijelenteslogika, ıteletkalkulus 2
2. A kijelenteslogika torvenyei 6
3. Logikai torvenyek alkalmazasa 1: diszjunktıv normalforma eskonjunktıv normalforma. 10
4. Logikai kovetkezmeny 12
5. A kijelentes logika muveleteirol 16
6. A predikatumlogika nyelve 18
7. Elsorendu nyelvek 21
8. A nyelv szemantikaja 29
9. Logikai torvenyek 33
10.Logikai torvenyek alkalmazasa 2: prenex alak. 38
11.Predikatumkalkulus 40
12.Gentzen-kalkulus 45
13.Formalis axiomatikus elmeletek 47
14.Naiv halmazelmelet nyelve (M+) 50
15.Zermelo-Fraenkel-fele axiomatikus elmelet 54
Irodalomjegyzek 57
1
1. Kijelenteslogika, ıteletkalkulus
1.1. Definıcio. Azokat a kijelento mondatokat, amelyekrol egyertelmuen ellehet donteni, hogy igazak-e vagy hamisak, kijelenteseknek nevezzuk. Azigaz, hamis ertekeket logikai ertekeknek nevezzuk es 1, (i)-el vagy 0, (h)-valjeloljuk. A legegyszerubb (tovabb nem bonthato) kijelenteseket atomi kije-lenteseknek nevezzuk. Az atomi kijelentesekbol osszetett kijelenteseketkeszıthetunk az ertekelesi alapelv figyelembe vetelevel. A kijelenteseket kije-lentesvaltozokkal jeloljuk. Ezek A,B,C . . . . Az A kijelentes logikai erteket|A|-val jeloljuk. Ezek szerint |A| = 1 vagy |A| = 0.
A kovetkezo elveket kell figyelembe venni:
ellentmodastalansag elve: egy kijelentes nem lehet egyszerre igaz is eshamis is.
a harmadik kizarasanak elve: egy kijelentes vagy igaz vagy hamis, har-madik lehetoseg nincs.
ertekelesi alapelv: az atomi kijelentesekbol (komponensekbol) osszetett ki-jelenteseket keszıtunk a logikai muveletek segıtsegevel, csak azokat amuveleteket tekintjuk logikai muveleteknek, amelyeknel a komponen-sek logikai ertekei az osszetett kijelentes logikai erteket egyertelmuenmeghatarozzak.
Pelda: A kovetkezo mondatok kozul melyik kijelentes?A jelenlegi francia kiraly Magyarorszagra erkezett tegnap.2 · 2 = 4.A zebra csıkos allat.Ez a mondat hamis.Milyen szınu a kabatod?Az 5 prımszam.
Logikai osszekotojelek:
Neve Jele Jelentesenegacio ¬ ,,Nem igaz, hogy . . . ”konjunkcio ∧ ,, . . . es . . . ”diszjunkcio ∨ ,, . . . vagy . . . ”implikacio ⊃ ,, Ha . . . , akkor . . . ”
2
1.2. Definıcio (Logikai osszekotojelek ertelmezese). Az (A ∧ B) for-mula pontosan akkor igaz, ha az A es a B egyszerre igaz.
Az (A ∨ B) formula pontosan akkor igaz, ha az A es B kozul legalabb azegyik igaz.
A ¬A formula pontosan akkor igaz, ha az A formula hamis.Az (A ⊃ B) formula pontosan akkor hamis, ha az A elotag igaz es a B
utotag hamis egyszerre.
Ez megadhato Quine-fele tablazatban is
A B (A ∧B) (A ∨B) (A ⊃ B) ¬A ¬B1 1 1 1 1 0 01 0 0 1 0 0 10 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1
Megjegyzes: A koznyelvben ketfele vagy van a megengedo vagy es a kizarovagy. A diszjunkcio a megengedo vagy.
1.3. Definıcio (Induktıv definıcio). Kijelentesvaltozokbol, logikai ossze-kotojelekbol es zarojelparokbol allo jelsorozatokat kijelenteslogikai formu-lanak nevezzuk, ha a kovetkezo szabalyok szerint kapjuk meg.
Bazis:
a.) Ha A kijelentesvaltozo, akkor A a kijelenteslogika formulaja.
Indukcios lepes:
b.) Ha A es B a kijelenteslogika formulaja, akkor (A ∧B); (A ∨B); (A ⊃B); ¬A; ¬B is kijelenteslogikai formulak.
Mas jelsorozatok nem formulak a kijelenteslogikaban.
Megjegyzes: A kijelenteslogika minden formulaja vagya) kijelentesvaltozovagyb) az indukcios lepes veges sokszori alkalmazasaval nyert formula.
Pelda: A kovetkezo jelsorozatok kijelenteslogikai formulak-e?¬(¬A) (nem, mert negacio nem rak maga kore zarojeleket),(AB) (nem, logikai osszekotojel hianyzik az A es a B kozott),A ∨B ⊃ C (nem, zarojelparok hianyoznak),((A ∧B) ⊇ C) (nem, nincs ilyen logikai osszekotojel ,,⊇”),(A ∧B) ⊃ (nem, implikacio utotagja hianyzik),A ⊃ B) (nem, a zarojel parja hianyzik),((A ⊃ C) ∧ (B ∨ ¬C)) (igen, felepıtheto az induktıv definıcioval).
3
Tovabbi logikai osszekotojelek:
Neve Jele Jelenteseekvivalencia ≡ ,,. . . pontosan akkor, ha . . . ”sem-sem muvelet ‖ ,, Sem . . . , sem . . . ”Scheffer-muvelet | ,,Nem igaz, hogy . . . es . . . ”Alternacio (kizaro vagy) ⊕ ,, . . . vagy . . . ”
Azaz
(A ≡ B) ((A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A)),
(A‖B) (¬A ∧ ¬B),
(A|B) ¬(A ∧B),
(A⊕B) ((A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧B)).
Quine-fele tablazatban
A B (A ≡ B) (A‖B) (A|B) (A⊕B)1 1 1 0 0 01 0 0 0 1 10 1 0 0 1 10 0 1 1 1 0
Megallapodasok rovidıtesekrol:
- Kulso zarojelek elhagyhatoak.
- Ekvivalencia, sem-sem muvelet, Scheffer-muvelet es alternacio hasznalata.
- Logikai osszekotojelek prioritasa: a prioritas no a kovetkezo sorrendben
≡ ⊃ ∧ ¬∨
- A ponthasznalat konvencioja: Azonos prioritas eseten a jobbrol allopont jeloli a zarojelen beluli leggyengebb logikai osszekotojelet. (Mi eztcsak az implikacio eseten fogjuk hasznalni.)
Pelda: Tekintsuk at a korabbi peldankat! Van-e a megadott peldak kozottolyan, amely a rovidıteseket figyelembe veve kijelenteslogikai formula lesz?
Igen, a A ∨B ⊃ C kifejezes formula lesz.Jelentese:
((A ∨B) ⊃ C).
4
Pelda:
a.)P ⊃ (Q ∨R ≡ ¬R ⊃ ¬P )
rovidıtett formula jelentese:
(P ⊃ ((Q ∨R) ≡ (¬R ⊃ ¬P )))
b.)P ⊃ (Q ∨R ⊃ .¬R ⊃ ¬P )
rovidıtett formula jelentese:
(P ⊃ ((Q ∨R) ⊃ (¬R ⊃ ¬P )))
c.)(P ⊃ Q ⊃ .R) ∨ P ⊃ Q
rovidıtett formula jelentese:
((((P ⊃ Q) ⊃ R) ∨ P ) ⊃ Q)
1.4. Definıcio. Egy kijelenteslogikai formula nyelvi interpretaciojan abenne szereplo kijelentesvaltozok konkret kijelentesekkel valo helyettesıtesetertjuk. Egy kijelenteslogikai formula interpretaciojan a benne szereplo ki-jelentesvaltozok logikai ertekenek megadasat ertjuk.
Megjegyzes: Az interpretacio megadasakor kivalasztunk a formula ertektab-lazatabol egy sort.
5
2. A kijelenteslogika torvenyei
2.1. Definıcio. A kijelenteslogika egy A formulaja logikai torveny vagy azo-nosan igaz formula, vagy tautologia, ha A igaz minden interpretacioban.
Jeloles: |= A.Az A formula logikailag ellentmondasos, vagy kontradikcio, ha minden
interpretacioban hamis.Az A formula kielegıtheto, ha van olyan interpretacio amelynel A igaz.Az A es B formulak logikailag ekvivalensek, ha az (A ≡ B) formula logikai
torveny.Jeloles: A ∼ B.
Pelda: Keszıtse el az A ≡ (B ∨ C ⊃ .C ⊃ ¬A) formula ertektablazatat!Dontsuk el, hogy kontradikcio-e, kielegıtheto-e, logikai torveny-e!
A B C (A ≡ ((B ∨ C) ⊃ (C ⊃ ¬ A)))1 1 1 0 1 0 0 01 1 0 1 1 1 1 01 0 1 0 1 0 0 01 0 0 1 0 1 1 00 1 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 10 0 0 0 0 1 1 1
5.) 1.) 4.) 3.) 2.)
A formula ertektablazatanak a fooszlopa az 5.) oszlop. Ez alapjan mondhat-juk, hogy a formula kielegıtheto, nem kontradikcio es nem logikai torveny.
Logikai torvenyek:
Asszociativitas:
1.) A ∧ (B ∧ C) ∼ (A ∧B) ∧ C,
2.) A ∨ (B ∨ C) ∼ (A ∨B) ∨ C.
Kommutativitas:
3.) (A ∧B) ∼ (B ∧ A),
4.) (A ∨B) ∼ (B ∨ A).
Disztributivitas:
6
5.) A ∧ (B ∨ C) ∼ (A ∧B) ∨ (A ∧ C),
6.) A ∨ (B ∧ C) ∼ (A ∨B) ∧ (A ∨ C).
Idempotencia:
7.) A ∧ A ∼ A,
8.) A ∨ A ∼ A.
Eliminacio:
9.) A ∧ (A ∨B) ∼ A,
10.) A ∨ (A ∧B) ∼ A.
De Morgan torvenyek:
11.) ¬(A ∨B) ∼ ¬A ∧ ¬B,
12.) ¬(A ∧B) ∼ ¬A ∨ ¬B.
Az implikacio tagadasa:
13.) ¬(A ⊃ B) ∼ A ∧ ¬B.
Ellentmondas az implikacioban:
14.) A ⊃ ¬A ∼ ¬A,
15.) ¬A ⊃ A ∼ A,
16.) |= ¬(A ≡ ¬A).
Logikai jelek kozotti osszefuggesek:
17.) A ∧B ∼ ¬(¬A ∨ ¬B),
18.) A ∨B ∼ ¬(¬A ∧ ¬B),
19.) A ⊃ B ∼ ¬(A ∧ ¬B),
20.) A ⊃ B ∼ B ∨ ¬A,
21.) A ∧B ∼ ¬(A ⊃ ¬B),
22.) A ∨B ∼ ¬A ⊃ B.
Kontrapozıcio torvenye:
7
23.) A ⊃ B ∼ ¬B ⊃ ¬A.
Ketszeres tagadas torvenye:
24.) ¬¬A ∼ A.
Elotagok felcserelese implikacioban:
25.) A ⊃ (B ⊃ C) ∼ B ⊃ (A ⊃ C).
Implikacio konjunktıv elotaggal:
26.) (A ∧B) ⊃ C ∼ A ⊃ (B ⊃ C).
Jeloles:Legyen C egy tetszoleges kijelentes valtozo.> := (C ∨ ¬C) ,,szabvany igaz”,⊥ := (C ∧ ¬C) ,,szabvany hamis”.
Kiszamıtasi torvenyek:
27.) A ∨ > ∼ >,
28.) A ∨ ⊥ ∼ A,
29.) A ∧ > ∼ A,
30.) A ∧ ⊥ ∼ ⊥,
31.) A ⊃ > ∼ >,
32.) A ⊃ ⊥ ∼ ¬A,
33.) > ⊃ A ∼ A,
34.) ⊥ ⊃ A ∼ >.
Azonossag torvenye:
35.) |= A ⊃ A.
Bovıtes elotaggal:
36.) |= A ⊃ (B ⊃ A).
Az implikacio ondisztributivitasa:
37.) A ⊃ (B ⊃ C) ∼ (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C).
8
Esetelemzes (implikacio diszjunktıv elotaggal):
38.) (A ∨B) ⊃ C ∼ (A ⊃ C) ∧ (B ⊃ C).
Tranzitivitas:
39.) |= ((A ⊃ B) ∧ (B ⊃ C)) ⊃ (A ⊃ C).
Reductio ad absurdum:
40.) |= ((A ⊃ B) ∧ (A ⊃ ¬B)) ⊃ ¬A.Negacio az implikacios elotagban:
41.) |= A ⊃ (¬A ⊃ B).
A kizart harmadik torvenye:
42.) |= A ∨ ¬A.Az ellentmondas torvenye:
43.) |= ¬(A ∧ ¬A).
Pierce-torveny:
44.) |= ((A ⊃ B) ⊃ A) ⊃ A.
Megjegyzes: A kijelenteslogikai torvenyeket ertektablazattal bizonyıthatjuk.
Pelda: Bizonyıtsuk be a 40. Reduktio ad absurdum logikai torvenyt!
A B ((A ⊃ B) ∧ (A ⊃ ¬B )) ⊃ ¬A1 1 1 0 0 0 1 01 0 0 0 1 1 1 00 1 1 1 1 0 1 10 0 1 1 1 1 1 1
Megjegyzes: A kijelenteslogikai torvenyek ismereteben tovabbi megallapodasokatteszunk a rovidıtesekrol.
- Az asszociativitas miatt tobbtagu konjunkcio, diszjunkcio leırhato zarojeleknelkul.
- Az idempotencia torveny miatt beszelhetunk egytagu konjunkciorol,diszjunkciorol.
Megjegyzes: Az assziciativitas torveny miatt a konjunkcio es diszjunkcioeseteben nincs ertelme a ponthasznalat konvenciojanak. Az implikacio nemasszociatıv muvelet, ezert alkalmazzuk ra a ponthasznalat konvenciojat.
9
3. Logikai torvenyek alkalmazasa 1: diszjunktıv
normalforma es konjunktıv normalforma.
3.1. Definıcio. Egy kijelentesvaltozot vagy a negaltjat literalnak nevezzuk.Legyenek L1, L2, ..., Ln literalok (n ≥ 1). Az (L1 ∧ L2 ∧ ... ∧ Ln) alaku
formulakat elemi konjunkcionak, az (L1∨L2∨ ...∨Ln) alaku formulakat elemidiszjunkcionak nevezzuk.
Legyenek K1, K2, ..., Km elemi konjunkciok (ahol m ≥ 1), ekkor a (K1 ∨K2∨...∨Km) alaku formulakat diszjunktıv normalformanak (d.n.f.) nevezzuk.
Legyenek D1, D2, ..., Dm elemi diszjunkciok (ahol m ≥ 1), ekkor a (D1 ∧D2∧...∧Dm) alaku formulakat konjunktıv normalformanak (k.n.f.) nevezzuk.
Megjegyzes: Egy literal elemi konjunkcio es elemi diszjunkcio is (valasszunka definıcioban n = 1-t), de k.n.f. es d.n.f. is (valasszunk a definıciobann = m = 1-t) egyszerre.
Egy elemi konjunkcio d.n.f is (es k.n.f. is) es egy elemi diszjunkcio k.n.f.is (es d.n.f. is) (valasszunk a definıcioban m = 1-t (n = 1-t)).
3.1. Lemma. A kijelenteslogika minden formulaja konjunktıv normalformaraill. diszjunktıv normalformara hozhato, azaz logikailag ekvivalens valamelykonjunktıv normalformaval ill. diszjunktıv normalformaval.
Bizonyıtas: Megadunk egy algoritmust, amellyel mindig megkapjuk a d.n.f.illetve a k.n.f. alakot.
0.) A hianyzo zarojeleket kirakjuk.
1.) A logikai torvenyek segıtsegevel kicsereljuk az implikaciot es az ekviva-lenciat az ∧,∨,¬ jelekre.
2.) A de Morgan es a ketszeres tagadas torvenyeket tobbszor egymas utanalkalmazva elerjuk, hogy a negaciok csak a komponensekre vonatkoz-zanak.
3.) A disztributivitas torvenyeket hasznalva elerjuk azt, hogy a konjunk-ciok es a diszjunkciok a megfelelo sorrendben kovessek egymast.
4.) Egyszerusıtunk. (Hasznaljuk az idempotencia, az eliminacio es a kisza-mıtasi torvenyeket.)
10
Pelda: Hozzuk d.n.f. illetve k.n.f. alakra az (A ⊃ (B ∧¬C)) ⊃ C formulat!
((A ⊃ (B ∧ ¬C)) ⊃ C) ∼ C ∨ ¬(A ⊃ (B ∧ ¬C)) (kicsereljuk az ⊃-t)
∼ C ∨ ¬((B ∧ ¬C) ∨ ¬A) (kicsereljuk az ⊃-t)
∼ C ∨ (¬(B ∧ ¬C) ∧ ¬¬A) (de Morgan torv.)
∼ C ∨ ((¬B ∨ ¬¬C) ∧ ¬¬A) (de Morgan torv.)
∼ C ∨ ((¬B ∨ C) ∧ A) (ketszeres tagadas torv.)
∼ C ∨ (¬B ∧ A) ∨ (C ∧ A) (disztributivitas) d.n.f.
∼ C ∨ (¬B ∧ A) (eliminacio) d.n.f. alak
∼ (C ∨ ¬B) ∧ (C ∨ A) (disztributivitas) k.n.f.
11
4. Logikai kovetkezmeny
4.1. Definıcio. Jelolje Γ a kijelenteslogika veges sok formulajanak a hal-mazat, A pedig a kijelenteslogika egy formulajat. Azt mondjuk, hogy A logikaikovetkezmenye (szemantikai kovetkezmenye) a Γ-beli formulaknak (jeloles:Γ |= A), ha az A es a Γ-beli formulak minden olyan interpretacioja eseten,amikor az Γ-beli formulak mindegyike igaz, akkor az A is igaz lesz. Ha a Γa B1, B2, ..., Bn formulakbol all, ugy ezeket premisszaknak (felteteleknek), azA-t konkluzionak (zarotetelnek) nevezzuk.
Jelolesek: Γ |= A,B1, B2, ..., Bn |= A,B1, B2, ..., Bn
A,
B1
B2...Bn
AEzeket a formaciokat kovetkeztetesi semaknak is nevezzuk.
4.1. Tetel. Egy A formula pontosan akkor logikai kovetkezmenye a B1, B2,..., Bn formulaknak, ha a (B1 ∧B2 ∧ ... ∧Bn) ⊃ A formula logikai torveny.
Jelekkel: B1, B2, ..., Bn |= A akkor es csakis akkor, ha |= (B1 ∧ B2 ∧ ... ∧Bn) ⊃ A.
Pelda: Az ¬A ∨ B,C ⊃ ¬B formulaknak logikai kovetkezmenye-e a kovet-kezo formula?
a.) A ⊃ ¬Cb.) A ∨ ¬CA feladatot ertektablazattal oldjuk meg. Az ertektablazatban mindket
konkluziot feltuntetjuk.
A B C ¬A ∨B C ⊃ ¬B A ⊃ ¬C A ∨ ¬C1 1 1 1 01 1 0 1 1 1 11 0 1 0 11 0 0 0 10 1 1 1 00 1 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 00 0 0 1 1 1 1
12
a.) Az alahuzott sorokban a premisszak egyszerre igazak, a konkluzio isigaz. Tehat A ⊃ ¬C logikai kovetkezmeny.
b.) A 7. sorban a premisszak egyszerre igazak, a konkluzio pedig hamis.Tehat A ∨ ¬C nem logikai kovetkezmeny.
Megjegyzes: A definıcioval egyenerteku megfogalmazas: helyes a kovetkez-tetes, ha nincs olyan interpretacio, amelynel a premisszak mind igazak akonkluzio pedig hamis.
Pelda: Az A ⊃ (B ⊃ C),¬D ∨¬A,B formulaknak logikai kovetkezmenye-ea D ⊃ C formula?
Ertektablazattal 16 sort kellene ırnunk, ıgy most a megjegyzesunk figye-lembevetelevel fogjuk megoldani:
Tegyuk fel a megjegyzes ellenkezojet, azaz van olyan interpretacio, amikora P1, P2 es P3 premisszak egyszerre igazak es a K konkluzio hamis.
Ezt az interpretaciot keressuk.Tehat |P1| = |P2| = |P3| = 1 es |K| = 0.Vegyuk 0 = |K| = |D ⊃ C|-t, ez csak ugy lehet, ha |C| = 0 es |D| = 1.Vegyuk 1 = |P3|-t, amibol |B| = 1 adodik, majd tekintsuk 1 = |P2| =
|¬D ∨ ¬A|-t, amibol azonnal adodik, hogy |¬A| = 1 (hiszen |¬D| = 0), azaz|A| = 0.
Most tekintsuk a 1 = |P1| = |A ⊃ (B ⊃ C)|-t, ami teljesul (az |A| = 0,|B| = 1 es |C| = 0 logikai ertekeket ismerjuk).
Megtalaltuk a keresett interpretaciot. Ez |A| = 0, |B| = 1, |C| = 0 es|D| = 1. Ezen interpretacional |P1| = |P2| = |P3| = 1 es |K| = 0, ıgy nemlogikai kovetkezmenye a premisszaknak a zarotetel.
13
Nevezetes kovetkeztetesi semak:
Modus ponens:P ⊃ QPQ
Indirekt kovetkeztetesi semak:
¬P ⊃ Q¬P ⊃ ¬QP
P ⊃ QP ⊃ ¬Q¬P
¬P ⊃ Q¬QP
¬P ⊃ ¬QQP
P ⊃ Q¬Q¬P
P ⊃ ¬QQ¬P
Kontrapozıcio:P ⊃ Q¬Q ⊃ ¬P
Lancszabaly:P ⊃ QQ ⊃ RP ⊃ R
Diszjunktıv szillogizmus:P ∨Q¬PQ
Bizonyıtas: Csak nehanyat latunk be, a tobbi hasonloan megy.Eloszor az indirekt kovetkeztetesi semak kozul latjuk be a masodikat. A
tetelunket fogjuk hasznalni.((P ⊃ Q)∧ (P ⊃ ¬Q)) ⊃ ¬P formula logikai torveny, (lasd 40. Reductio
ad absurdum). Tehat a tetelunk miatt logikai kovetkezmeny.Masodszor a kontrapozıciot mutatjuk meg. A tetelunket fogjuk hasznalni.
14
Megmutatjuk, hogy a (P ⊃ Q) ⊃ (¬Q ⊃ ¬P ) formula logikai torveny.Tehat a tetelunk miatt logikai kovetkezmeny.
(P ⊃ Q) ⊃ (¬Q ⊃ ¬P ) ∼∼ ¬(P ⊃ Q) ∨ (¬Q ⊃ ¬P ) (impl. kifejezese diszjunkcioval)
∼ ¬(¬P ∨Q) ∨ (¬¬Q ∨ ¬P ) (impl. kifejezese diszjunkcioval)
∼ (¬¬P ∧ ¬Q) ∨ (¬¬Q ∨ ¬P ) (de Morgan torvenyek)
∼ (P ∧ ¬Q) ∨ (Q ∨ ¬P ) (kettos tagadas)
∼ (P ∧ ¬Q) ∨Q ∨ ¬P (asszociativitas, d.n.f.)
∼ (P ∨Q ∨ ¬P ) ∧ (¬Q ∨Q ∨ ¬P )) (disztributivitas, k.n.f.)
∼ (> ∨Q) ∧ (> ∨ ¬P )) (def. szabvany igaz)
∼ > ∧> (kiszamıtasi torvenyek)
∼ > (kiszamıtasi torvenyek).
(Lasd meg 23. Kontrapozıcio torvenye).Harmadszor a lancszabalyt mutatjuk meg. Szinten a tetelunket fogjuk
hasznalni.((P ⊃ Q)∧ (Q ⊃ R)) ⊃ (P ⊃ R) logikai torveny (lasd 39. Tranzitivitas).
Tehat a tetelunk miatt logikai kovetkezmeny.Utoljara a diszjunktıv szillogizmust bizonyıtjuk be. Ismet a tetelunket
szeretnenk hasznalni. Megmutatjuk, hogy a ((P ∨ Q) ∧ ¬P ) ⊃ Q formulalogikai torveny, ıgy a tetelunk miatt logikai kovetkezmeny lesz. Hozzuk k.n.f.alakra!
((P ∨Q) ∧ ¬P ) ⊃ Q ∼ ((P ∧ ¬P ) ∨ (Q ∧ ¬P )) ⊃ Q (disztributivitas)
∼ (⊥ ∨ (Q ∧ ¬P )) ⊃ Q (def. szabvany hamis)
∼ (Q ∧ ¬P ) ⊃ Q (kiszamıtasi torvenyek)
∼ ¬(Q ∧ ¬P ) ∨Q (impl. kifejezese diszjunkcioval)
∼ (¬Q ∨ P ) ∨Q (de Morgan torvenyek)
∼ ¬Q ∨ P ∨Q (k.n.f es d.n.f., asszociativitas)
∼ ¬Q ∨Q ∨ P (kommutativitas)
∼ > ∨ P (def. szabvany igaz)
∼ > (kiszamıtasi torvenyek).
15
5. A kijelentes logika muveleteirol
Attol fuggoen, hogy hany kijelentesvaltozo (komponens) szerepel a logikaimuveletben beszelhetunk egy-, ket-, n-valtozos logikai muveletrol.
Egy n-valtozos muvelet ertektablazata 2n sorbol all, hiszen n helyre va-lasztunk ket ertek (1 vagy 0) kozul ugy, hogy a sorrend szamıt (ismetlesesvariacioval szamolunk). Egy ilyen ertektablazat ırja le az n-valtozos lo-gikai muveletunket. Ahany egymastol kulonbozo ertektablazat van annyiegymastol kulonbozo logikai muveletunk van. Az ertektablazat 2n soranakminden helyere ket ertek kozul valaszthatunk ismet (ismetleses variaciovalszamolunk), ez 2(2n) lehetoseg. Tehat az n-valtozos logikai muveletek szama2(2n).
A lehetseges egyvaltozos muveletek szama 2(21) = 4. Ezek a kovetkezok:
A, ¬A, >( A ∨ ¬A), ⊥( A ∧ ¬A).
A ketvaltozos muveletek szama 222 = 16. Ezek a kovetkezok (ha avaltozok A,B):
A, ¬A, B, ¬B, >, ⊥, (A∧B), ¬(A∧B), (A∨B), ¬(A∨B),
(A ⊃ B), ¬(A ⊃ B), (B ⊃ A), ¬(B ⊃ A), (A ≡ B), ¬(A ≡ B)
Felvetodik a kovetkezo kerdes. Ha adott egy ismeretlen n-valtozos logi-kai muvelet ertektablazata, akkor meg lehet-e konstrualni egy olyan logikaimuveletet, amely logikailag ekvivalens az eredeti ismeretlen muvelettel, azaza megadott ertektablazat tartozik hozza.
A felvetett kerdesre a valasz igen, meg lehet konstrualni ilyen logikaimuveletet.
Eljaras a keresett n-valtozos muvelet elkeszıtesere: Kivalasztjuk azokata sorokat, amelyekben a logikai muvelet eredmenye 1. Minden egyes ilyensorhoz elemi konjunkciokat kepzunk oly modon, hogy az igaz komponensekvaltozatlanul es a hamis komponensek negalva szerepeljenek. A kapott elemikonjunkciokat diszjunkcioval kotjuk ossze. Az ıgy kapott d.n.f. ırja le akerdeses muveletet. Lehetosegunk van k.n.f. megkonstrualasara is.
16
Pelda: A megadott ertektablazathoz konstrualjon egy formulat!
A B C F (A,B,C) =? elemi konjunkciok1 1 1 01 1 0 1 (A ∧B ∧ ¬C)1 0 1 01 0 0 00 1 1 00 1 0 1 (¬A ∧B ∧ ¬C)0 0 1 1 (¬A ∧ ¬B ∧ C)0 0 0 0
Tehat a keresett haromvaltozos formula
F (A,B,C) ∼ (A ∧B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ ¬B ∧ C).
17
6. A predikatumlogika nyelve
Jelen fejezetben szeretnenk motivaciot nyujtani arra, hogy a kijelenteslogikanyelvetol elrugaszkodva egy sokkal altalanosabb nyelv fogalmat definialjunk.Termeszetesen ennek az ujabb nyelvnek a predikatumlogika nyelve is reszelehet. Igy ez a fejezet lehet, hogy tobb kerdest fog felvetni, mint amennyitkonkretan megvalaszol. De nem is a minden tekintetben korrekt valaszokmegtalalasa a celunk, hanem az, hogy megvilagıtsuk a kovetkezo fejezet fo-galmainak a jelenteset.
6.1. Definıcio. Egy tulajdonsagot, kapcsolatot, relaciot predikatumnak ne-vezunk. Amirol allıtunk valamit, azt individuumnak (individuumnev-nek) nevezzuk. A predikatumokat predikatumvaltozokkal (nagybetuk), az in-dividuumokat pedig kisbetukkel jeloljuk.
Beszelhetunk egy- es tobbvaltozos predikatumokrol. Tehat altalanosan ır-hatjuk P (a1, . . . , an), ahol n ≥ 0 (ahol P predikatumvaltozo, az a1, . . . , an in-dividuumnevek). A predikatumokat sokszor P (x1, . . . , xn) alakban is megad-hatjuk, ahol x1, . . . , xn individuumvaltozok. A kijelenteseket nullvaltozos pre-dikatumoknak is tekinthetjuk, jelolesuk kijelentesvaltozokkal (0-valtozos pre-dikatumvaltozokkal) tortenik. A P (b1, . . . , bn) (ahol b1, ..., bn individuumne-vek vagy individuumvaltozok valamelyike) n ≥ 0 kifejezest predikatumlogikaiatomi formulanak nevezzuk.
Itt fontos eszrevenni, hogy a kovetkezo muveleteket alkalmazhatjuk pre-dikatumokra:
Konkretizacio: a predikatum valtozoiba individuumneveket helyettesıtunk.Atjeloles: a predikatum individuumvaltozoit mas individuumvaltozokkal
helyettesıtjuk. Ezekrol a kovetkezo fejezetekben bovebben szo lesz.
6.2. Definıcio (Induktıv definıcio). A predikatumlogika formulaiBazis:
a.) Atomi formula a predikatumlogika formulaja.
Indukcios lepes:
c.) Ha A es B formula, akkor (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⊃ B), ¬A, ¬B ispredikatumlogikai formulak.
d.) Ha A formula es x individuumvaltozo, akkor ∀xA, ∃xA is predikatumlogikaiformulak.
Mas jelsorozatok nem formulak a predikatumlogikaban.
18
Pelda: Epıtse fel az induktıv definıcioval az ((A∧∀x∃yB(x, y)) ⊃ ¬∃xC(a, x))formulat!
((A ∧ ∀x∃yB(x, y)) ⊃ ¬∃xC(a, x))
(A ∧ ∀x∃yB(x, y))
∀x∃yB(x, y) ¬∃xC(a, x)
∃yB(x, y) ∃xC(a, x)
Bazis: A B(x, y) C(a, x)
Pelda: Formulak-e a kovetkezo kifejezesek?∀∀A(x, y); ∀A; ∀x, yA(x, y), ¬∃xB(x, y).
6.3. Definıcio. Predikatumlogikai formula interpretaciojan azt ertjuk, hogyhelyettesıtjuk a benne szereplo predikatumvaltozokat konkret predikatumokkal,az individuumnevekhez konkret individuumokat rendelunk hozza. (nyelvi in-terpretacio)
Pelda: Legyenek x, y individuumvaltozok.Legyen P (x, y) predikatum jelentese x az y gyermeke.Mit jelent a kovetkezo formula?
∀x∃yP (x, y)
Pelda: Fogalmazza meg a predikatumlogika nyelven a kovetkezo mondato-kat!
Pisti kek szemu. Pisti felesege kek szemu. Minden ember kek szemu. Vanolyan ember aki kek szemu.
Jelolesek:x, y individuumvaltozok (kesobb ember tıpusu valtozok),f(x) = x felesege (egyvaltozos fuggveny),a = Pisti, individuumnev (kesobb ember tıpusu konstans),P (x): x kek szemu (egyvaltozos predikatum).Ekkor a mondataink:
P (a)
P (f(x))
∀xP (x)
19
∃xP (x)
De az utobbi ket mondatot
∀yP (y), ∃yP (y)
alakban is megadhatjuk.
6.4. Definıcio. Legyen P (x) egy konkret egyvaltozos predikatum. ∀xP (x)pontosan akkor igaz, ha minden ,,a” individuum eseten P (a) igaz. ∃xP (x)pontosan akkor igaz, ha van olyan ,,a” individuum, amelyre P (a) igaz lesz.
Pelda: Fogalmazza meg a predikatumlogika nyelven a kovetkezo mondato-kat!
Mindenki szeret valakit.Pisti minden embert szeret.Pisti feleseget mindenki szereti.Hasznaljuk a korabbi pelda jeloleseit! Tovabba, legyenS(x, y): x szereti y-t (ketvaltozos predikatum).Ekkor a mondataink:
∀x∃yS(x, y)
∀yS(a, y)
∀xS(x, f(a))
Pelda: Az elozo pelda jeloleseivel mit jelentenek a kovetkezo formulak?
∀xS(x, y)
∃yS(x, y)
∀xS(x, x)
Jelentes:Mindenki szereti y-t.x szeret valakit.Mindenki szereti onmagat.
20
7. Elsorendu nyelvek
7.1. Definıcio. Az Ω =< Srt, Cnst, Fn, Pr > komponensekbol allo ren-dezett negyest elsorendu nyelvnek nevezzuk, ha teljesulnek a kovetkezok:
a.) Srt egy nem ures halmaz, elemei a nyelv tıpusai. Minden π ∈ Srttıpushoz szimbolumok megszamlalhato rendszere tartozik, melyeket πtıpusu valtozoknak nevezunk. Ezek: xπ1 , x
π2 , ... vagy csak egyszeruen:
x1, x2, ....
b.) Cnst az Ω nyelv konstansainak a halmaza (lehet ures halmaz is). Min-den c ∈ Cnst konstansnak valamely π tıpushoz kell tartoznia.
c.) Fn az Ω nyelv fuggvenyszimbolumainak (fuggvenyjeleinek) halmaza (le-het ures halmaz is). Minden f ∈ Fn fuggvenyjelnek meg kell adni azalakjat. Azaz f (π1,π2,...,πn→π) ahol π1, π2, ..., πn, π ∈ Srt tıpusok es n > 0.Ekkor f -t n-valtozos fuggvenyszimbolumnak nevezzuk.
d.) Pr nem ures halmaz, az Ω nyelv predikatumszimbolumainak (predika-tumbetuinek) halmaza. Minden P ∈ Pr predikatumszimbolumhoz hozza-rendeljuk az alakjat, azaz P (π1,π2,...,πn) ahol π1, π2, ..., πn ∈ Srt tıpusokes n ≥ 0. Ekkor P -t n-valtozos predikatumszimbolumnak nevezzuk. Han = 0, ugy a nullvaltozos predikatumbetut propozicionalis betunek isnevezzuk.
Pelda: Elsorendu logikai nyelvre
a.) A Geom nyelv:
Srt := pt, et, st,a pt tıpushoz tartozo valtozok: A, B, C, ...,
az et tıpushoz tartozo valtozok: a, b, c, ...,
az st tıpushoz tartozo valtozok: α, β, γ, ...,
Cnst := ∅ (konstans nincs),
Fn := ∅ (fuggvenyszimbolum nincs),
Pr := P (pt,pt), Q(pt,et), R(pt,st).
b.) Az Ar nyelv:
Srt := szt,az szt tıpushoz tartozo valtozok: x, y, z, ...,
Cnst := c (konstans a c),
21
Fn := f (szt→szt), g(szt,szt→szt), h(szt,szt→szt),Pr := P (szt,szt).
Pelda: Fogalmazza meg a kovetkezo mondatot a Ar nyelvben!Egy szam pontosan akkor oszthato 6-al, ha oszthato 3-al es 2-vel is.
Megjegyzes: A peldakent megadott nyelvekben meg csak szimbolumainkvannak, a szimbolumokat majd jelentessel fogjuk feltolteni (lasd a kovetkezofejezetet, a nyelv interpretaciojat). Igy az elozo pelda mondatat majd csakakkor tudjuk felırni a Ar nyelvben.Pelda: logikai nyelvre
a.) nullad-rendu logikai nyelv (a kijelenteslogika nyelve)
Ω =< ∅, ∅, ∅,Pr >
es minden P ∈ Pr predikatumbetu propozicionalis betu. (Tehat, nin-csenek tıpusok, konstansok es fuggvenyszimbolumok. Valamint mindenpredikatumbetu nullvaltozos, azaz kijelentesvaltozo.)
7.2. Definıcio. (Induktıv definıcio) az Ω nyelv π tıpusu termjei.Bazis:
a.) Az Ω-nyelv minden π tıpusu valtozoja π tıpusu term.
b.) Az Ω-nyelv minden π tıpusu konstansa π tıpusu term.
Indukcios lepes:
c.) Ha f ∈ Fn es az f fuggvenyszimbolum alakja f (π1,π2,...,πn→π) es ti pedigπi tıpusu termek (i = 1, 2, ..., n) akkor
f(t1, t2, ..., tn)
π tıpusu term.
Megjegyzes: Minden term a kovetkezo ket alak egyiket veszi fel.
A.) Az Ω nyelv konstansa vagy valtozoja.
B.) Az indukcios lepes veges sokszori alkalmazasaval nyert termek.
22
Pelda: Az Ar nyelv nehany termje:x, y, z, ...f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ..., f(y), f(f(y)), f(f(f(y))), ...c, f(c), f(f(c)), f(f(f(c))), ...g(x, x), g(x, y), g(x, z), ..., g(x, f(x)), g(x, f(y)), g(x, f(z)), ...h(x, x), h(x, y), h(x, z), ..., h(x, f(x)), h(x, f(y)), h(x, f(z)), ...h(g(x, y), g(c, f(c))), ...Az utobbi term felepulese az induktıv definıcioval:
h(g(x, y), g(c, f(c)))
g(c, f(c))
g(x, y) f(c)
Bazis: x y c c
Pelda: A Geom nyelv termjei: A,B,C, ..., a, b, c, ..., α, β, γ, ...Nincs tobb term, mert nincs konstans, es nincsenek fuggvenyek.
7.3. Definıcio. (Az Ω nyelv atomi formulai) Ha a P ∈ Pr predikatumbetualakja P (π1,π2,...,πn) es ti pedig πi tıpusu termek (i = 1, 2, ..., n) akkor
P (t1, t2, ..., tn)
kifejezest atomi formulanak nevezzuk.Specialisan, ha P propozicionalis betu, ugy atomi formula.
Pelda: Az Ar nyelv nehany atomi formulaja:P (x, c), P (x, x), P (x, y), P (x, z), ...P (x, f(c)), P (x, f(x)), P (x, f(y)), P (x, f(z)), ...P (f(x), c), P (f(x), x), P (f(x), y), P (f(x), z), ...P (g(x, y), h(x, c)), ...
Pelda: A Geom nyelv nehany atomi formulaja:P (A,A), P (A,B), P (A,C), ..., P (B,A), P (B,B), P (B,C), ...Q(A, a), Q(A, b), Q(A, c), ..., Q(B, a), Q(B, b), Q(B, c), ...R(A,α), R(A, β), R(A, γ), ..., R(B,α), R(B, β), R(B, γ), ...
23
Az Ω nyelv szimbolumai:Logikai osszekotojelek:
jele neve jelentese∧ konjunkcio ,,es”∨ diszjunkcio ,,vagy”¬ negacio ,,nem igaz, hogy ...”⊃ implikacio ,,ha ..., akkor ...”
Kvantorok:
jele neve jelentese∀ univerzalis kvantor ,,minden”∃ egzisztencialis kvantor ,,letezik”
7.4. Definıcio. (Induktıv definıcio) az Ω nyelv formulai.Bazis:
a.) Minden atomi formula az Ω nyelv formulaja.
Indukcios lepes:
b.) Ha A es B az Ω nyelv formulaja, akkor
(A ∧B), (A ∨B), (A ⊃ B), ¬A
is az Ω nyelv formulaja.
c.) Ha A formula es x tetszoleges valtozo az Ω nyelvben, akkor a
∀xA, ∃xA
kifejezesek szinten formulak az Ω nyelvben.
Megjegyzes: Minden formula a kovetkezo ket alak egyiket veszi fel.
A.) Az Ω nyelv atomi formulaja.
B.) Az indukcios lepes veges sokszori alkalmazasaval nyert formulak.
Pelda: Formula-e az Ar nyelvben?
(P (x, c) ⊃ P (c, f(c)) (Nem, zarojel parja hianyzik.)
(P (x, c) ⊃ P (c, f(c))) ∧ ∃x (Nem, mert a kvantor utan formulatkell ırni, az hianyzik.)
24
∃xP (x) (Nem, mert A ketvaltozos predikatumbetu.)
∃P (x, x) (Nem, mert a kvantornak nincs valtozoja.)
∃x, yP (x, x) (Nem, mert a kvantornak csak egy valtozoja lehet.)
(P (x, c) ⊃ P (c, f(c))) ∧ ∃xP (x, f(c)) (Nem, kulso zarojel hianyzik.Megallapodas szerint viszont formula lesz, ha kirakjuk a kulso zarojele-ket.)
Ez utobbi azert formula, mert felepıtheto az induktıv definıcioval.Epıtsuk fel az induktıv definıcioval!
((P (x, c) ⊃ P (c, f(c))) ∧ ∃xP (x, f(c)))
(P (x, c) ⊃ P (c, f(c))) ∃xP (x, f(c))
Bazis: P (x, c) P (c, f(c)) P (x, f(c))
7.5. Definıcio. A termek es a formulak az Ω nyelv kifejezesei.Az A formula minden olyan reszet, amely maga is formula az A formula
reszformulajanak nevezzuk.A t term minden olyan reszet, amely maga is term a t term resztermje-
nek nevezzuk.
Pelda: ∀x(A(x) ∧ ¬∃yB(y)) formula reszformulai:
A(x), B(y), ∃yB(y), ¬∃yB(y), (A(x) ∧ ¬∃yB(y)), ∀x(A(x) ∧ ¬∃yB(y))
Mas jelsorozatok nem reszformulak.
7.6. Definıcio. (szemantikai definıcio) Egy A formulaban szereplo logikaiszimbolumok szamat logikai osszetettsegnek nevezzuk es l(A)-val jeloljuk.Minden atomi formula logikai osszetettsege 0.
Egy t termben szereplo fuggvenyszimbolumok szamat a t term funkci-onalis osszetettsegnek nevezzuk es l(t)-vel jeloljuk. Minden konstans,valtozo funkcionalis osszetettsege 0.
Megjegyzes: A logikai osszetettseg, s a funkcionalis osszetettseg fogalmainduktıv definıcioval is megadhato. (Lasd eloadas.)
Megallapodasok rovidıtesekrol:
- Hasznaljuk a kijelentes logika rovidıteseit.
25
- a logikai jelek prioritasa novekvo sorrendben:
∧ ∀≡ ⊃ ¬
∨ ∃
Pelda: Motivacios feladat: S(x, y) ketvaltozos predikatumbetu, jelentese: xszereti y-t. Mit jelentenek a kovetkezo mondatok?∀x∃yS(x, y) - Mindenki szeret valakit (kijelentes, zart mondat).∀z∃yS(z, y) - Mindenki szeret valakit (kijelentes, zart mondat).∀xS(x, y) - Mindenki szereti y-t (nyitott mondat, egyvaltozos).∃yS(x, y) - Az x szeret valakit (nyitott mondat, de egyvaltozos).S(x, y) - x szereti y-t (nyitott mondat, ketvaltozos)Mi tortent itt? Ezt a kerdest szeretnenk a kovetkezoekben megvalaszolni.
7.7. Definıcio. A ∀xA, ∃xA formulakban a ∀x, ∃x jelsorozatot kvantoroselotagnak, az x valtozot a kvantoros elotag valtozojanak, az A formulata kvantoros elotag hataskorenek nevezzuk.
7.8. Definıcio. (szemantikai definıcio) Azt mondjuk, hogy egy valtozo egyformulaban kotott elofordulasu, ha szerepel egy rajta hato kvantor hatas-koreben. Egy valtozo valamely elofordulasat egy formulaban szabadnak ne-vezzuk, ha nem kotott.
Egy valtozo a formula parametere (szabad valtozoja), ha van legalabb egyszabad elofordulasa.
Jeloles: Fv(A) az A formula szabad valtozoinak halmaza.
Megjegyzes: A valtozo kotott es szabad elofordulasa fogalom induktıv de-finıcioval is megadhato. (Lasd eloadas.)
Egy valtozo egy formulaban tobb helyen is szerepelhet, egyes elofordulasokszabadok, mas elofordulasok pedig kotottek lesznek.Pelda: A ∀x(P (x) ∨ Q(y)) formulaban a ∀x kvantoros elotag hataskore a(P (x)∨Q(y)) reszformula, ıgy x elofordulasa kotott lesz, mıg y elofordulasaszabad lesz.
7.9. Definıcio. Az Ω nyelv szabad valtozot tartalmazo formulait nyitottformulaknak, szabad valtozot nem tartalmazo formulait zart formulak-nak, mondatoknak nevezzuk.
7.10. Definıcio. Ha egy formulaban egy valtozo kotott, akkor at lehet jelolni,ha az atjeloles utan egyetlen reszformula szabad valtozoja sem valik kototte.Ilyenkor szabalyosan vegrehajtott kotott valtozo atjelolesrol beszelunk.
26
Ha az A es az A′ formulak csak szabalyosan vegrehajtott kotott valtozoatjelolesben kulonboznek egymastol, akkor kongruens formulaknak ne-vezzuk oket, ill. azt is mondjuk, hogy A az A′ variansa.
Jeloles: A ≈ A′.
Pelda: A ∀x(P (x) ∨Q(y)) formula kotott valtozo atjelolesei (vegyuk eszre,hogy x kotott valtozo es y szabad valtozo, ıgy csak x-t tudjuk atjelolni):
a.) ∀y(P (y)∨Q(y)) nem szabalyosan vegrehajtott kotott valtozo atjeloles(y valtozo szabad volt, s kotott lett, ıgy most y mindket elofordulasakotott).
b.) ∀z(P (z)∨Q(y)) szabalyosan vegrehajtott kotott valtozo atjeloles. (Vegyukeszre, hogy y valtozo szabad maradt!)
7.11. Definıcio. Azt mondjuk, hogy egy formula valtozo-tiszta, ha bennea kvantorok kulonbozo valtozokat kotnek meg es a kotott valtozok kulonbozneka szabad valtozoktol.
Pelda: Az elobbi ∀x(P (x) ∨Q(y)) formula valtozo-tiszta, de az atjelolesselkapott ∀z(P (z) ∨Q(y)) formula is az.Megjegyzes: Szabalyosan vegrehajtott kotott valtozo atjelolessel mindingtudunk valtozo-tiszta alakot kapni.
7.12. Definıcio. A formalis helyettesıtest megadhatjuk tablazattal
Θ :=
(x1 x2 ... xnt1 t2 ... tn
),
ahol a felso sorban valtozok, az also sorban termek szerepelnek. A Θ helyet-tesıtes soran az xi valtozoba helyettesıtjuk a ti termet.
A Θ helyettesıtes ertelmezesi tartomanya: Dom Θ := x1, x2, ..., xn,a Θ helyettesıtes ertekkeszlete: Rng Θ := t1, t2, ..., tn.
Megjegyzes: A formalis helyettesıtest induktıv definıcioval adjuk meg (lasdeloadas).
Fontos, hogy csak szabad valtozoba helyettesıthetunk.
7.13. Definıcio. A Θ helyettesıtes megengedett a K kifejezes szamara, haa helyettesıtes utan a helyettesıtett termek egyetlen szabad valtozoja sem valikkototte.
Ha az A formula eseten egy helyettesıtes nem megengedett, akkor az Aformula valamely A′ variansaval megengedette teheto. Ekkor szabalyos he-lyettesıtesrol beszelunk. Jeloles: [AΘ].
27
Pelda: A kovetkezo helyettesıtes megengedett-e? Ha nem akkor vegezzenszabalyos helyettesıtest!
(∀xA(x, y) ∧B(x))
(x y
f(x, y) g(x, z)
)Az x elso elofordulasa kotott ıgy oda nem helyettesıtek, y-ba es x masodikelofordulasaba helyettesıtem a megadott termeket. Lathato, hogy ha y-babehelyettesıtem a g(x, z) termet, akkor annak az x valtozoja kototte valik,mert az univerzalis kvantor megkoti. Tehat a megadott helyettesıtes nemmegengedett.
Szabalyos helyettesıtest hajtunk vegre, ennek soran az x kotott valtozotatjeloljuk w valtozora, majd ezutan helyettesıtunk.
(∀wA(w, y) ∧B(x))
(x y
f(x, y) g(x, z)
)∼ (∀wA(w, g(x, z)) ∧B(f(x, y))) .
28
8. A nyelv szemantikaja
8.1. Definıcio. Adott egy Ω elsorendu nyelv. Az Ω nyelv hordozoja egyolyan D fuggveny, amely minden π ∈ Srt tıpushoz hozzarendel egy nem uresDπ halmazt, melyet a π tıpus objektum tartomanyanak nevezunk. (Dπnem mas mint a π-tıpusu valtozok lehetseges ertekeinek a halmaza, azaz a πtıpusu ,,objektumok” halmaza.)
8.2. Definıcio. Az Ω elsorendu nyelv I interpretacioja (modellje) azI :=< D, ˆCnst, Fn, Pr > negyes, amely teljesıti a kovetkezoket:
a.) D : π 7→ Dπ, tehat a nyelv hordozoja D, minden π tıpushoz hozzarendeliaz objektum tartomanyat Dπ-t.
b.) ˆCnst : c 7→ c, azaz minden c ∈ Cnst π tıpusu konstansnak megfeleltetegy c ∈ Dπ π tıpusu objektumot.
c.) Fn : f 7→ f , azaz minden f ∈ Fn fuggvenyszimbolumnak egy konkretf fuggvenyt feleltet meg. Azaz, ha az f alakja f (π1,π2,...πn→π) ugy
f : Dπ1 ×Dπ2 × ...×Dπn → Dπ
alaku konkret fuggveny.
d.) Pr : P 7→ P , azaz minden P ∈ Pr predikatumszimbolumnak egy konkretP predikatumot feleltet meg. Azaz, ha az P alakja P (π1,π2,...πn) ugy
P : Dπ1 ×Dπ2 × ...×Dπn → 0, 1
alaku konkret fuggveny. Ha P propozicionalis betu, akkor P vagy 0vagy 1.
Megjegyzes: A nyelv modellje vagy interpretacioja a nyelv szimbolumait(jeleit) valodi tartalommal (jelentessel) tolti fel.
A 0, 1 szimbolumokat logikai ertekeknek nevezzuk, hasznaljuk meg ahamis, igaz elnevezeseket is.Pelda:
a.) A Geom nyelv modellje (a szimbolumokat jelentessel toltjuk fel):
a nyelv hordozojanak D-nek a megadasa:
Dpt a ter pontjainak halmaza,
Det a ter egyeneseinek halmaza,
Dst a ter sıkjainak halmaza.
29
ˆCnst, Fn nincs, mert Cnst = Fn = ∅ volt.
Pr megadasa:
P (A,B) (A = B) azaz az A pont egyenlo a B ponttal,
Q(A, e) (A ∈ e) azaz az A pont az e egyenesen van,
R(A,α) (A ∈ α) azaz az A pont az α sıkon van.
b.) A Ar nyelv N modellje:
a nyelv hordozojanak D-nek a megadasa:
Dszt N a termeszetes szamok halmaza,
ˆCnst megadasa:
c 0 ∈ N a nulla termeszetes szam, melyet egyszeruen csak 0-val isszoktunk jelolni (a 0 szimbolumhoz gyermekkorunkban hozzarendelteka nulla szamot).
Fn megadasa:
f(x) Sx azaz az x rakovetkezoje ,,x + 1” (de ez csak idezojelben,mert 1 sincs csak S0 ),
g(x, y) x+ y,
h(x, y) x · y.
Pr megadasa:
P (x, y) (x = y) azaz az x termeszetes szam egyenlo az y termeszetesszammal.
Megjegyzes: Az Ar nyelvnek mas modellje is van peldaul a Dszt Z( vagyR)-t is ırhattunk volna.
8.3. Definıcio. Cnst(D) Cnst⋃
(∪π∈SrtDπ) segıtsegevel uj nyelv adhatomeg, ez
Ω(D) < Srt, Cnst(D), Fn, Pr > .
Megjegyzes: Az Ω(D) az Ω-tol, csak uj konstansok jelenleteben kulonbozik.Peldaul az Ar nyelvben most mar leırhatjuk azt, hogy 2, eddig csak aztırhattuk le, hogy SS0.
Motivacios feladat: Tekintsuk az Ar nyelv N interpretaciojat. Milyenobjektum lesz a Dszt = N-ben a kovetkezo term.
a.) (SSSS0 + SS0) · SS0Ez a term a 12 termeszetes szamot jeloli.b.) SSSS0 + xA 4 + x nem jelol termeszetes szamot (nem objektum a Dszt-ben).
30
8.4. Definıcio. (Induktıv definıcio) az Ω nyelv ertekelt termjei. Legyenadott az Ω nyelv egy I interpretacioja, a t term I-beli erteket jelolje |t|I . Haa t tıpusa π, ugy |t|I a Dπ objektum tartomany egy objektuma.
Bazis:
a.) Ha c ∈ Cnst, ugy |c|I c.
b.) Ha a ∈ Dπ, ugy |a|I a.
Indukcios lepes:
c.) Ha a term alakja f(t1, t2, ..., tn) ahol a t1, t2, ..., tn mar ertekelt termek,a |t1|I , |t2|I , ..., |tn|I ertekekkel, ugy
|f(t1, t2, ..., tn)|I f(|t1|I , |t2|I , ..., |tn|I).
Pelda: Korabban felepıtettuk az Ar nyelvben a h(g(x, y), g(c, f(c))) termet.Mi a jelentese az Ar nyelv N interpretaciojaban?
(x+ y)(0 + S0)
(0 + S0)
(x+ y) S0
Bazis: x y 0 0
Megjegyzes: Valtozot tartalmazo termet nem lehet ertekelni. Az elozopeldankban is ez tortenik (0 + S0) erteke 1, de (x+ y)-nak nincs erteke, ıgya termnek sincs erteke.
Motivacios feladat: Tekintsuk az Ar nyelv N interpretaciojat. Mi lesz akovetkezo formulak logikai erteke?
a.) ∃x((x+ SS0) = SSSS0)
b.) ∃x((x+ SSSS0) = SS0)
c.) ((x+ SS0) = SSSS0)
d.) Az SSSSS0 szam paros.
Az a.) formula igaz, a b.) formula hamis, a c.) formulanak nincs logikaierteke, a d.) formula hamis. Vegyuk eszre, hogy a c.) formula nyitottmondat, az a.) b.) d.) formulak zart mondatok, ez utobbiaknak tudtukmegmondani a logikai erteket.Megjegyzes: Vegyuk eszre, hogy a formula logikai erteke fugg az inter-pretaciotol. Az Ar nyelv Z interpretaciojaban a b.) mondat igaz lesz, mıg aN interpretacioban hamis volt.
31
8.5. Definıcio. (Induktıv definıcio) az Ω nyelv ertekelt formulai. Le-gyen adott az Ω nyelv egy I interpretacioja. Ha az A az I-ben ertekelt for-mula akkor erteket |A|I-vel jeloljuk (|A|I = 1 vagy |A|I = 0). Az |A|I = 1-tI |= A-val is jeloljuk.
Bazis:
a.) Ha az A formula atomi formula, azaz P (t1, t2, ..., tn) alaku, ahol at1, t2, ..., tn mar ertekelt termek, a |t1|I , |t2|I , ..., |tn|I ertekekkel, ugy
|P (t1, t2, ..., tn)|I P (|t1|I , |t2|I , ..., |tn|I).
Valamint, P (|t1|I , |t2|I , ..., |tn|I) = 1 eseten azt mondjuk, hogy az atomiformula igaz I-ben, ellenkezo esetben (P (|t1|I , |t2|I , ..., |tn|I) = 0) aztmondjuk, hogy az atomi formula hamis I-ben.
Indukcios lepes:
b.) |A ∧ B|I = 1 pontosan akkor, ha |A|I = 1 es |B|I = 1 egyszerre tel-jesul.
c.) |A ∨ B|I = 1 pontosan akkor, ha |A|I = 1 vagy |B|I = 1 kozullegalabb az egyik teljesul.
d.) |A ⊃ B|I = 0 pontosan akkor, ha |A|I = 1 es |B|I = 0 egyszerreteljesul,
e.) |¬A|I = 1 pontosan akkor, ha |A|I = 0,
f.) |∀xA|I = 1 (ahol x π tıpusu valtozo) pontosan akkor, ha minden a ∈
Dπ eseten
∣∣∣∣A( xa
)∣∣∣∣I
= 1,
g.) |∃xA|I = 1 (ahol x π tıpusu valtozo) pontosan akkor, ha van olyan
a ∈ Dπ, hogy
∣∣∣∣A( xa
)∣∣∣∣I
= 1.
Megjegyzes:
a.) Nyitott mondatot nem ertekelunk.
b.) Az induktıv definıcioban meghatarozott logikai ertekek osszhangbanvannak a korabban tanultakkal. Lasd a Kijelentes logika es Predikatumlogika cımu fejezeteket!
32
9. Logikai torvenyek
9.1. Definıcio. Az Ω nyelv egy A formulaja logikai torveny vagy azonosanigaz formula, vagy tautologia, ha A igaz az Ω nyelv minden interpretaciojaban,minden ertekeles eseten.
Jeloles: |= A.Az A formula logikailag ellentmondasos, vagy kontradikcio, ha minden
interpretacioban, minden ertekeles eseten hamis.Az A formula kielegıtheto, ha van olyan I modell es abban olyan ertekeles,
amelynel A igaz.Az A es B formulak logikailag ekvivalensek, ha az (A ≡ B) formula logikai
torveny.Jeloles: A ∼ B.
9.2. Definıcio. Azt mondjuk, hogy az Ω nyelv A formulaja az A1, A2, ..., AkΩ-beli formulak Boole-kombinacioja, ha az A formula az A1, A2, ..., Ak for-mulakbol epul fel a ∧, ∨, ⊃, ¬ logikai jelek segıtsegevel, kvantorok alkal-mazasa nelkul (azonban A1, A2, ..., Ak-ban szerepelhetnek kvantorok).
Megjegyzes:
- Az A1, ..., Ak formulak tartalmazhatnak kvantorokat.
- A kijelenteslogika minden formulaja Boole-kombinacio.
- Az A1, ..., Ak komponensek logikai erteke egyertelmuen meghatarozza aBoole-kombinacio logikai erteket, ezt a formula Quine-fele tablazatabolis le lehet olvasni. Az A1, A2, ..., Ak formulak alatt kiırjuk a 0 es 1 osszeslehetseges kombinaciojat, ez 2k sor. Ez utan sorra elvegezzuk a logikaimuveleteket.
Pelda: ∀xA(x)∨∃yB(y) formula Boole-kombinacio, melynek komponensei:∀xA(x), ∃yB(y).
9.3. Definıcio. Az olyan Boole-kombinaciot, amelyhez tartozo Quine-feletablazatban a fooszlop csupa egyesekbol all propozıcionalis tautologianak ne-vezzuk.
9.1. Lemma. Ha egy Boole-kombinacio propozıcionalis tautologia, akkor lo-gikai torveny.
33
Megjegyzes: A fentiek osszhangban vannak a korabban tanultakkal, a ki-jelenteslogika torvenyei Boole-kombinaciok, sot propozicionalis tautologiak.Igy most is logikai torvenyek lesznek.
Tovabbi logikai torvenyek:Jeloles: A tovabbiakban A(x), A(x, y) azt jeloli, hogy az x ill. y fellephetA-beli szabad valtozokent, de nem feltetlenul az.
Egynemu kvantorok csereje:
45.) ∀x∀yA(x, y) ∼ ∀y∀xA(x, y),
46.) ∃x∃yA(x, y) ∼ ∃y∃xA(x, y).
Kvantor-csere implikacioban:
47.) |= ∀xA(x) ⊃ ∃xA(x),
48.) |= ∃y∀xA(x, y) ⊃ ∀x∃yA(x, y).
De Morgan-fele kvantoros torvenyek:
49.) ¬∀xA(x) ∼ ∃x¬A(x),
50.) ¬∃xA(x) ∼ ∀x¬A(x).
Kvantor kifejezese masik kvantorral:
51.) ∀xA(x) ∼ ¬∃x¬A(x),
52.) ∃xA(x) ∼ ¬∀x¬A(x).
Kvantorok egyoldali kiemelese (itt x nem szabad valtozo A-ban):
53.) (A ∧ ∀xB(x)) ∼ ∀x(A ∧B(x)),
54.) (A ∨ ∀xB(x)) ∼ ∀x(A ∨B(x)),
55.) (A ∧ ∃xB(x)) ∼ ∃x(A ∧B(x)),
56.) (A ∨ ∃xB(x)) ∼ ∃x(A ∨B(x)),
57.) (A ⊃ ∀xB(x)) ∼ ∀x(A ⊃ B(x)),
58.) (A ⊃ ∃xB(x)) ∼ ∃x(A ⊃ B(x)),
59.) (∀xB(x) ⊃ A) ∼ ∃x(B(x) ⊃ A),
60.) (∃xB(x) ⊃ A) ∼ ∀x(B(x) ⊃ A).
34
Kvantorok ketoldali kiemelese:
61.) (∀xA(x) ∧ ∀xB(x)) ∼ ∀x(A(x) ∧B(x)),
62.) (∃xA(x) ∨ ∃xB(x)) ∼ ∃x(A(x) ∨B(x)),
63.) |= (∀xA(x) ∨ ∀xB(x)) ⊃ ∀x(A(x) ∨B(x)),
64.) |= ∃x(A(x) ∧B(x)) ⊃ (∃xA(x) ∧ ∃xB(x)).
Fiktıv kvantorok torvenye (x nem szabad valtozo az A-ban):
65.) ∀xA ∼ A,
66.) ∃xA ∼ A.
Kongruens formulak ekvivalenciaja:
67.) Ha A ≈ B akkor A ∼ B.
Helyettesıteskor fellepo kvantorok:
68.) |= ∀xA ⊃ A
(xt
),
69.) |= A
(xt
)⊃ ∃xA.
Kvantor-hataskor atjeloles (x, y azonos tıpusu valtozo, y nem szabad valtozoA-ban):
70.) ∀xA ∼ ∀yA(xy
),
71.) ∃xA ∼ ∃yA(xy
).
Kvantor-redukcio (x, y azonos tıpusu valtozo):
72.) |= ∀x∀yA(x, y) ⊃ ∀xA(x, x),
73.) |= ∃xA(x, x) ⊃ ∃x∃yA(x, y).
Helyettesıtes ekvivalens formulakban:
74.) Ha A ∼ B, akkor A
(xt
)∼ B
(xt
).
35
Megjegyzes:
a.) ∀xA(x) ⊃ ∃xA(x) formula Boole-kombinacio, komponensei ∀xA(x),∃xA(x). Ertektablazata:
∀xA(x) ∃xA(x) ∀xA(x) ⊃ ∃xA(x)1 1 11 0 00 1 10 0 1
A Boole-kombinacio nem propozicionalis tautologia (lasd 2. sor azertektablazatban), pedig logikai torveny. Az ertektablazat nem veszifigyelembe a formula finom szerkezetet (jelenteset).
Nevezetesen |∀xA(x)|I = 1 es |∃xA(x)|I = 0 egyszerre nem allhat fenn.
b.) Ha kvantort tartalmazo formula ertektablazatanak fooszlopaban csupa1 all, akkor propozicionalis tautologia, tehat logikai torveny. Ha afooszlop 0-t is tartalmaz, akkor nem tudunk nyilatkozni, a formulalehet logikai torveny es nem logikai torveny is.
c.) Sokkal egyszerubb egy formularol megmutatni, hogy nem logikai torveny.Eleg megadni egy I interpretaciot es egy ertekelest, amikor a formulahamis lesz.
Pelda: Mutassuk meg, hogy a ∀xA(x) ⊃ ∃xA(x) formula logikai torveny!Meg kell mutatnunk, hogy minden modellben es benne minden ertekelesnel
igaz lesz.Rogzıtsunk egy tetszoleges I interpretaciot. Ekkor ket lehetoseg van
|∀xA(x)|I = 0 vagy |∀xA(x)|I = 1. Targyaljuk ezt a ket esetet!a. |∀xA(x)|I = 0 ebben az esetben ∃xA(x) logikai erteketol fuggetlenul
|∀xA(x) ⊃ ∃xA(x)|I = 1
az implikacio ertelmezese miatt.b. |∀xA(x)|I = 1, azaz (felteve, hogy x az π tıpusu valtozo) minden
a ∈ Dπ objektum eseten
∣∣∣∣A( xa
)∣∣∣∣I
= 1. A sok a objektumbol egy a′-
t kivalasztva, tudjuk mondani, hogy
∣∣∣∣A( xa′
)∣∣∣∣I
= 1. Ebbol van olyan a
36
objektum amelyre
∣∣∣∣A( xa
)∣∣∣∣I
= 1 (mert a′ ilyen). Tehat |∃xA(x))|I = 1.
Amibol|∀xA(x) ⊃ ∃xA(x)|I = 1
azonnal adodik.Mivel az I interpretacio tetszoleges volt, ıgy kijelenthetjuk, hogy minden
I interpretacioban vegigviheto a fenti gondolatmenet.Pelda: Mutassuk meg, hogy a ∃xA(x)∧ ∃xB(x) ⊃ ∃x(A(x)∧B(x)) formulanem logikai torveny (hasznaljuk a c.) megjegyzest)!
Megadunk egy I interpretaciot, amelyben a formula hamis lesz.I megadasa: Ar nyelv N interpretacio.A(x) (SS0|x), tehat x paros szam, B(x) ¬(SS0|x), tehat x paratlan
szam.Ekkor |∃xA(x)|I = 1, |∃xB(x)|I = 1 es |∃x(A(x) ∧ B(x))|I = 0, ıgy
|∃xA(x) ∧ ∃xB(x) ⊃ ∃x(A(x) ∧B(x))|I = 0.
Pelda: Mutassuk meg, hogy a ∃xA(x)∧ ∃xB(x) ⊃ ∃x(A(x)∧B(x)) formulakielegıtheto formula!
Megadunk egy olyan I interpretaciot es benne olyan ertekelest, amelybena formula igaz lesz.
I megadasa: Ar nyelv N interpretacio.A(x) (SSS0|x), tehat x oszthato 3-al, B(x) (SS0|x), tehat x oszt-
hato 2-vel.Ekkor |∃xA(x)|I = 1 (hiszen a 3, 6, 9, ... oszthato 3-al), |∃xB(x)|I = 1
(hiszen a 2, 4, 6, ... oszthato 2-vel) es |∃x(A(x)∧B(x))|I = 1, (a 6 olyan szam,amely oszthato 3-al es 2-vel) ıgy |∃xA(x)∧∃xB(x) ⊃ ∃x(A(x)∧B(x))|I = 1.
37
10. Logikai torvenyek alkalmazasa 2: prenex
alak.
Megjegyzes: Korabban a logikai torvenyeket diszjunktıv normalformara eskonjunktıv normalformara hozasnal hasznaltuk. A diszjunktıv normalformaes konjunktıv normalforma definıciojaban a literal az atomi formula vagy anegaltja lesz az Ω nyelvben. Igy a korabbi lemmank a kovetkezo alakban leszervenyes az Ω nyelvben.
10.1. Lemma. Az Ω nyelv minden kvantormentes formulaja konjunktıv nor-malformara ill. diszjunktıv normalformara hozhato, azaz logikailag ekvivalensvalamely konjunktıv normalformaval ill. diszjunktıv normalformaval.
Megjegyzes: Hasonloan a kijelentes logikaban megadott logikai kovetkezmenyfogalmat meg adhatjuk kvantort tartalmazo formulakra is. A definıcio akovetkezo lesz.
10.1. Definıcio. Jelolje Γ az Ω nyelv veges sok formulajanak a halmazat, Apedig az Ω nyelv egy formulajat. Azt mondjuk, hogy A logikai kovetkezmenye(szemantikai kovetkezmenye) a Γ-beli formulaknak (jeloles: Γ |= A), ha az Ωnyelv minden I interpretacioja, valamint az A es a Γ-beli formulak mindenolyan ertekelese eseten, amikor az Γ-beli formulak mindegyike igaz I-ben,akkor az A is igaz I-ben. Ha a Γ a B1, B2, ..., Bn formulakbol all, ugy ezeketpremisszaknak (felteteleknek), az A-t konkluzionak (zarotetelnek) nevezzuk.
10.2. Definıcio. Az Ω nyelv egy Q1x1Q2x2...QnxnA alaku formulajat, aholQ1, Q2, ..., Qn kvantorok (n ≥ 0) es A kvantormentes formula, prenex for-mulanak nevezzuk.
Specialisan a kvantormentes formula is prenex formula (lasd n = 0).
10.1. Tetel. Minden A formula prenex alakra hozhato, azaz van olyan pren-ex formula, amellyel A logikailag ekvivalens.
Bizonyıtas: Algoritmust adunk meg, amellyel mindig prenex alakot kapunk.
1.) A formulat valtozo-tiszta alakra hozzuk.
2.) A kvantoros de Morgan torvenyeket es a kvantorok egyoldali kiemelesetorvenyeket tobbszor egymas utan alkalmazva prenex formulat kapunk.
38
Megjegyzes: A kvantorok kiemelesenek sorrendje valtoztathato, ıgy a prenexalak kvantoros elotagja (prefixum) fugg az atalakıtas modjatol.Pelda: Hozza prenex alakra a ¬∃x∀yP (x, y) ⊃ ∃x∀yQ(x, y) formulat! Al-kalmazzuk az algoritmust, figyeljunk a hianyzo zarojelekre!
¬∃x∀yP (x, y) ⊃ ∃x∀yQ(x, y) ∼ (¬∃x∀yP (x, y) ⊃ ∃z∀wQ(z, w))
∼ (∀x∃y¬P (x, y) ⊃ ∃z∀wQ(z, w))
∼ ∃z∀w(∀x∃y¬P (x, y) ⊃ Q(z, w))
∼ ∃z∀w∃x∀y(¬P (x, y) ⊃ Q(z, w)).
Elobb hianyzo zarojelek, majd valtozo-tiszta alak szabalyosan vegrehajtottkotott valtozo atjelolessel, majd kvantoros de Morgan torvenyek (52, 51 sor-rendben), majd kvantorok egyoldali kiemelese (60, 59, 61, 62 sorrendben).
39
11. Predikatumkalkulus
Bevezetes: A szintaktikailag felepıtett logikai rendszereket logikai kalkulu-soknak is nevezzuk, azaz logikai kalkulus nem mas mint olyan formalis rend-szer, formalis eljaras (szabalyok gyujtemenye) melyek segıtsegevel logikaitorvenyeket kapunk. Egy logikai kalkulus kiindulo axiomakbol es levezetesiszabalyokbol all.
11.1. Definıcio. Rogzıtsunk egy Ω elsorendu nyelvet, a predikatumkalkulusaxiomai a kovetkezok:
1.) A ⊃ (B ⊃ A)
2.) (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))
3.) A ⊃ (B ⊃ (A ∧B))
4.) (A ∧B) ⊃ A
5.) (A ∧B) ⊃ B
6.) (A ⊃ C) ⊃ ((B ⊃ C) ⊃ (A ∨B ⊃ C))
7.) A ⊃ (A ∨B)
8.) B ⊃ (A ∨B)
9.) (A ⊃ B) ⊃ ((A ⊃ ¬B) ⊃ ¬A)
10.) ¬¬A ⊃ A
11.) ∀xA ⊃[A
(xt
)], x valtozo t vele azonos tıpusu term,
12.) ∀x(C ⊃ A(x)) ⊃ (C ⊃ ∀xA(x)), ahol x nem parameter a C-ben,
13.)
[A
(xt
)]⊃ ∃xA, x valtozo t vele azonos tıpusu term,
14.) ∀x(A(x) ⊃ C) ⊃ (∃xA(x) ⊃ C), ahol x nem parameter a C-ben.
Megjegyzes:
1.) A predikatumkalkulus minden axiomaja logikai torveny.
2.)
[A
(xt
)]helyett szoktunk egyszeruen csak A(t)-t ırni.
40
A Predikatumkalkulus levezetesi szabalyai: A,B tetszoleges formula,x tetszoleges valtozo.
Modus ponens szabaly:A, A ⊃ BB
Altalanosıtas szabalya:A∀xA
Megjegyzes: Barmely logikai torveny megkaphato, ,,levezetheto” az 1-14axiomakbol a megadott levezetesi szabalyokkal. Mit jelent az, hogy levezet-heto?
11.2. Definıcio. Legyen Γ az Ω nyelvbeli formulak tetszoleges veges hal-maza (lehet ureshalmaz is), azaz Γ = A1, ..., An, B pedig egy formula.Azt mondjuk, hogy a Γ formulahalmazbol a B formula levezetheto a pre-dikatumkalkulusban, ha megadhato egy D1, ..., Dm formulasorozat (m ≥1), ahol Dm = B es a D1, ..., Dm−1 sorozat tagjai
a.) vagy a predikatumkalkulus axiomai,
b.) vagy Γ-beli formulak, azaz hipotezisek (nyılt premisszak),
c.) vagy a megelozo tagokbol adodnak a levezetesi szabalyok alkalmazasaval.Fontos, hogy ha a ∀xC formulat a C formulabol nyerjuk az altalanosıtasszabalyaval, akkor teljesulnie kell a struktura feltetelnek (struktura fel-tetel: x nem lehet szabad valtozo egyik olyan hipotezisben sem, azazΓ-beli formulaban sem, amely megelozi a C tekintett elofordulasat.).
Jeloles: Γ ` B.
11.3. Definıcio. Legyen B az Ω nyelv egy formulaja. A B-t a predikatum-kalkulus levezetheto formulajanak nevezzuk, ha van hipotezis menteslevezetese, azaz levezetheto a Γ = ∅ halmazbol.
Jeloles: ` B.
11.4. Definıcio. A Γ ` A alakzatot szekvencianak nevezzuk. A Γ ` Aszekvencia megalapozasa alatt olyan levezetes megkonstrualasat ertjuk,amelyben A also formula es minden hipotezis Γ-beli.
41
11.1. Tetel (Dedukcio tetel). Legyen Γ egy tetszoleges veges formula hal-maz, A,B formulak.
Γ, A ` B pontosan akkor, ha Γ ` A ⊃ B.
11.5. Definıcio. Ha Γ ` A, akkor Γ |= A is teljesul, akkor azt mondjuk,hogy a kalkulus helyes a szemantikus rendszerre nezve.
Ha Γ |= A, akkor Γ ` A is teljesul, akkor azt mondjuk, hogy a kalkulusteljes a szemantikus rendszerre nezve.
Ha mind a ketto teljesul, akkor adekvatnak nevezzuk.
11.2. Tetel. A predikatumkalkulus helyes.
11.3. Tetel (Godel-fele teljessegi tetel). A predikatumkalkulus teljes.
11.1. Kovetkezmeny. Γ ` A pontosan akkor, ha Γ |= A.
11.2. Kovetkezmeny. ` A pontosan akkor, ha |= A.
A termeszetes levezetes technikaja:Megjegyzes: Olyan szabalyok rendszere, amelyek megkonnyıtik a levezeteseket.A szabalyok ket tıpusba sorolhatok, strukturalis es logikai szabalyok.
Strukturalis szabalyok: Γ,∆ formulahalmaz, A,B,C formulak.
1.) Az azonossag torvenye:Γ, A ` A
2.) A bovıtes szabalya:Γ ` A
Γ, B ` A
3.) A permutalas szabalya:
Γ, B, C,∆ ` AΓ, C,B,∆ ` A
4.) A redukcio szabalya:Γ, B,B,∆ ` A
Γ, B,∆ ` A
5.) A vagas szabalya:Γ ` A; ∆, A ` B
Γ,∆ ` B
42
Megjegyzes: Az 1-5 szabalyok a levezetes megengedo szabalyai. Ez aztjelenti, hogy ha adva van a vonal feletti szekvencia levezetese, akkor meg-konstrualhato a vonal alatti szekvencia levezetese is, azaz a fenti szabalyokatmar igazolta helyettunk valaki a dedukcio-tetel es a levezetesi szabalyoksegıtsegevel.
Logikai szabalyok:
Bevezetes szabalyai Eltavolıtas szabalyaiImplikacio:
Γ, A ` BΓ ` A ⊃ B
Γ ` A; Γ ` A ⊃ B
Γ ` B
Konjunkcio:
Γ ` A; Γ ` BΓ ` A ∧B
Γ, A,B ` CΓ, A ∧B ` C
Diszjunkcio:
Γ ` AΓ ` A ∨B
;Γ ` B
Γ ` A ∨BΓ, A ` C; Γ, B ` C
Γ, A ∨B ` C
Negacio:
Γ, A ` B; Γ, A ` ¬BΓ ` ¬A
Γ ` ¬¬AΓ ` A
Univerzalis kvantor:
Γ ` A(y)
Γ ` ∀yA(y)
Γ ` ∀xA
Γ ` A(xt
)Egzisztencialis kvantor:
Γ ` A(xt
)Γ ` ∃xA
Γ, A(y) ` CΓ,∃yA(y) ` C
Megjegyzes:
1. Az univerzalis kvantor bevezetesenel y nem szabad valtozo Γ-ban, azegzisztencialis kvantor eltavolıtasanal y nem szabad valtozo Γ-ban esC-ben.
43
2. A felsorolt szabalyok megalapozasa nem bonyolult, az axiomak es alevezetesi szabalyok segıtsegevel konnyen igazolhatoak.
3. Minden logikai osszekotojelhez es kvantorhoz ket szabaly kapcsolodik,a bevezetes es az eltavolıtas szabalya. A bevezetes szabalya arra vo-natkozik, hogy hogyan bizonyıthatoak az adott logikai szimbolumokattartalmazo formulak. Az eltavolıtas szabalya arra vonatkozik, hogy ho-gyan lehet az ilyen szimbolumokat tartalmazo formulakat mas formulakbizonyıtasara hasznalni.
44
12. Gentzen-kalkulus
Bevezetes: A szintaktikailag felepıtett logikai rendszereket logikai kalkulu-soknak is nevezzuk, azaz logikai kalkulus nem mas mint olyan formalis rend-szer, formalis eljaras (szabalyok gyujtemenye) melyek segıtsegevel logikaitorvenyeket kapunk. Egy logikai kalkulus kiindulo axiomakbol es levezetesiszabalyokbol all.
12.1. Definıcio. Legyenek Γ = A1, ..., An es ∆ = B1, ..., Bm formulahalmazok (n,m ≥ 0). Ekkor a
> ∧ A1 ∧ ... ∧ An ⊃ B1 ∨ ... ∨Bm∨ ⊥
formulat sequentnek nevezzuk.Jeloles: A1, ..., An → B1, ..., Bm, roviden Γ→ ∆.
Legyenek Γ es ∆ formulak halmaza (lehet ures halmaz is), A es B formulak,x, y azonos tıpusu valtozok, t az x-el azonos tıpusu term.
A Gentzen-kalkulus axiomasemai:
A,Γ→ ∆, A
⊥,Γ→ ∆
A Gentzen-kalkulus levezetesi szabalyai:
(∧ →)A,B,Γ→ ∆
(A ∧B),Γ→ ∆(→ ∧)
Γ→ ∆, A; Γ→ ∆, B
Γ→ ∆, (A ∧B)
(∨ →)A,Γ→ ∆; B,Γ→ ∆
(A ∨B),Γ→ ∆(→ ∨)
Γ→ ∆, A,B
Γ→ ∆, (A ∨B)
(⊃→)Γ→ ∆, A; B,Γ→ ∆
(A ⊃ B),Γ→ ∆(→⊃)
A,Γ→ ∆, B
Γ→ ∆, (A ⊃ B)
(¬ →)Γ→ ∆, A
¬A,Γ→ ∆(→ ¬)
A,Γ→ ∆
Γ→ ∆,¬A
(∀ →)
A
(xt
),∀xA,Γ→ ∆
∀xA,Γ→ ∆(→ ∀)
Γ→ ∆, A
(xy
)Γ→ ∆,∀xA
(∃ →)
A
(xy
),Γ→ ∆
∃xA,Γ→ ∆(→ ∃)
Γ→ ∆, A
(xt
),∃xA
Γ→ ∆,∃xAMegjegyzes: (→ ∀) es a (∃ →) szabalynal y nem szabad valtozo Γ-ban es∆-ban.
45
12.2. Definıcio. Egy sequentet a Gentzen-kalkulusban levezethetoneknevezunk, ha
a.) vagy axioma,
b.) vagy van olyan levezetesi szabaly, amelyben a vonal alatti sequent, es avonal feletti sequent (sequentek) levezetheto (levezethetoek).
12.3. Definıcio. Ha Γ→ A, akkor Γ |= A is teljesul (minden A formulara),akkor azt mondjuk, hogy a kalkulus helyes a szemantikus rendszerre nezve.
Ha Γ |= A, akkor Γ → A is teljesul (minden A formulara), akkor aztmondjuk, hogy a kalkulus teljes a szemantikus rendszerre nezve.
Ha mind a ketto teljesul, akkor adekvatnak nevezzuk.
12.1. Tetel. A Gentzen-kalkulus helyes es teljes.
12.1. Kovetkezmeny. Γ→ A pontosan akkor, ha Γ |= A.Ekkor Γ = ∅-t valasztva.→ A pontosan akkor, ha |= A.
Pelda: Mutassuk meg, hogy a (A ⊃ B) ∧ (A ⊃ ¬B) ⊃ ¬A formula logikaitorveny! Belatjuk, hogy a Gentzen-kalkulus levezetheto sequentje.
A, B → A ax.sema B→ ¬A,B ax.sema
(→ ¬) (¬ →)
A, (A ⊃ ¬B)→ A ax.sema bi.)B → ¬A,A bii.)B,¬B → ¬A
(→ ¬) (⊃→)
a.) (A ⊃ ¬B)→ ¬A,A b.)B, (A ⊃ ¬B)→ ¬A
(⊃→)
(A ⊃ B), (A ⊃ ¬B)→ ¬A
(∧ →)
((A ⊃ B) ∧ (A ⊃ ¬B))→ ¬A
(→⊃)
→ ((A ⊃ B) ∧ (A ⊃ ¬B)) ⊃ ¬A
46
13. Formalis axiomatikus elmeletek
13.1. Definıcio. Formalis axiomatikus elmelet alatt olyan T :=< Ω, X >part ertunk, ahol Ω egy matematikai logikai nyelv es X az Ω-beli zart formulakhalmaza. Az X-beli formulakat a T elmelet nem logikai axiomainak ne-vezzuk. (X lehet ures halmaz is.)
13.2. Definıcio. Azt mondjuk, hogy az Ω nyelv egy A formulaja leve-zetheto a T elmeletben (A formula a T elmelet tetele, jele T ` A) hamegadhato Γ ⊂ X nem logikai axiomak veges rendszere ugy, hogy a Γ ` Aszekvencia igaz a predikatumkalkulusban.
13.3. Definıcio. Az Ω nyelv egy I interpretacioja (modellje) a T =< Ω, X >elmelet modellje, ha minden nem logikai axioma teljesul I-ben, azaz min-den A ∈ X formula eseten I |= A.
13.1. Tetel. Ha I a T elmelet egy interpretacioja es T ` B akkor I |= B isteljesul.
13.4. Definıcio. A T =< Ω, X > formalis axiomatikus elmelet ellentmon-dasos, ha letezik az Ω nyelvben olyan A zart formula, hogy T ` A es T ` ¬Aegyszerre teljesul. Ellenkezo esetben a T elmeletet ellentmondastalannaknevezzuk.
Megjegyzes: Ellentmondasos elmeletben minden allıtas (es az ellenkezoje is)levezetheto. Tegyuk fel, hogy A az a zart formula, amely az ellentmondastokozza, azaz T ` A es T ` ¬A. C legyen egy tetszoleges zart formula(C helyett ¬C-t is vehetunk), az implikacio eltavolıtasanak szabalyat (lasdmodus ponens is) ketszer alkalmazva megmutatjuk, hogy T ` C is teljesul.
` A ⊃ (¬A ⊃ C) ismert logikai torveny (41. szamu).
T ` A ⊃ (¬A ⊃ C) bovıtes szabalya.
Majd az implikacio eltavolıtasanak szabalyat alkalmazzuk ketszer.
T ` A ⊃ (¬A ⊃ C)T ` AT ` (¬A ⊃ C)
esT ` ¬A ⊃ CT ` ¬AT ` C
47
13.2. Tetel (Godel-tetele). Minden elsorendu matematikai logikai nyelvethasznalo ellentmondastalan elmeletnek van modellje.
Megjegyzes: Ellentmondasos elmeletnek nincs modellje.
13.5. Definıcio. A T =< Ω, X > formalis axiomatikus elmeletet teljesneknevezzuk, ha az Ω nyelv minden A zart formulaja eseten T ` A vagy T ` ¬Ateljesul.
Pelda: (Formalis axiomatikus elmeletre) AzAr elemi aritmetikai elmelet.Nyelve (Ω) az Ar nyelv.Nem logikai axiomak (X): (A formulak ele minden szabad valtozo szerint
univerzalis kvantort ırunk.)Az egyenloseg axiomai:
1.) x = x (minden szam egyenlo onmagaval)
2.) ((x = y) ∧ (x = z)) ⊃ (y = z) (tranzitivitas)
Peano-fele axiomak:
3.) Sx 6= 0 (a 0 egyetlen egy termeszetes szamnak sem a rakovet-kezoje)
4.) (Sx = Sy) ≡ (x = y)
5.) A(0) ∧ ∀x(A(x) ⊃ A(Sx)) ⊃ ∀xA(x) (a teljes indukcio elve)
Az osszeadas es a szorzas axiomai:
6.) x+ 0 = x
7.) x+ Sy = S(x+ y)
8.) x · 0 = 0
9.) x · Sy = x · y + x
Megjegyzes:
1. Az Ar nyelv modellje a termeszetes szamok halmaza a muveletekkel(osszeadas, szorzas) ellatva, ez egyben azAr elemi aritmetikai elmeletnekis modellje.
2. Az Ar elemi aritmetikai elmelet nem teljes.
48
Pelda: (Tovabbi peldak formalis axiomatikus elmeletre)
1. M+ naiv halmazelmelet.
2. Zermelo-Fraenkel-fele axiomatikus halmazelmelet (ZF illetve aZFC).
49
14. Naiv halmazelmelet nyelve (M+)
Az M+ nyelvben egyetlen tıpus van, ez a halmaz tıpus. Halmaz tıpusuvaltozok: x, y, z, ...
14.1. Definıcio. (szintaktikai definıcio) Az M+ nyelv termjei es formulai.Bazis:
a.) Minden valtozo term.
Indukcios lepes:
b.) Ha t, r termek, akkor (t ∈ r) kifejezes formula.
c.) Ha ϕ, ψ formulak, akkor (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ ⊃ ψ),¬ϕ is formula.
d.) Ha x valtozo es ϕ formula, akkor ∀xϕ,∃xϕ is formula.
e.) Ha x valtozo es ϕ formula, akkor a x|ϕ kifejezes term (absztrakcioterm).
Megjegyzes:
1. M+ nem elsorendu nyelv, mert a formulakat termek definialasara hasz-naljuk (lasd e.)), ezt elsorendu nyelvben nem lehet megtenni.
2. x|ϕ term kiolvasasa: az ,,osszes olyan x-k halmaza, amelyre a ϕteljesul.”
3. x|ϕ termben az x kotott valtozo, tehat a x| szimbolum kvan-torkent viselkedik.
Jelolesek:(x 6∈ y) ¬(x ∈ y),(x ⊆ y) ∀z((z ∈ x) ⊃ (z ∈ y)),(x = y) (x ⊆ y) ∧ (y ⊆ x),(x 6= y) ¬(x = y),(x ⊂ y) (x ⊆ y) ∧ (x 6= y).
Nem logikai axiomak (X megadasa):
A.) Meghatarozottsagi axioma:
(x = y) ∧ (x ∈ z) ⊃ (y ∈ z)
50
B.) Absztrakcio axioma: ϕ tetszoleges formula M+-ban
(z ∈ y|ϕ(y)) ≡ ϕ(z)
Megjegyzes: Az M+ elmeletben levezetheto formulakat a naiv halmazelmelettorvenyeinek (teteleinek) nevezzuk.
Jeloles: M+ ` A, .AFogalmak:
1.) Nem rendezett par fogalma:
x, y z| (z = x) ∨ (z = y)
14.1. Lemma. .(u ∈ x, y) ≡ (u = x) ∨ (u = y).x ∈ x, y.y ∈ x, y.x, y = y, x.(x, y = u, v) ≡ ((x = u) ∧ (y = v)) ∨ ((x = v) ∧ (y = u))
2.) Az egyelemu halmaz fogalma:
x z|z = x
14.2. Lemma. .(u ∈ x) ≡ (u = x).x ∈ x.(x = y) ≡ (x = y).(x = u, v) ≡ ((x = u) ∧ (x = v))
3.) Az ures halmaz fogalma:
∅ x|x 6= x
14.3. Lemma. .∀z(z 6∈ ∅).∅ 6= ∅.∀u(∅ ⊆ u)
4.) Ket halmaz metszete, unioja, kulonbsege:
x ∩ y z|(z ∈ x) ∧ (z ∈ y)
x ∪ y z|(z ∈ x) ∨ (z ∈ y)
x\y z|(z ∈ x) ∧ (z 6∈ y)
51
14.4. Lemma. .u ∈ x ∩ y ≡ (u ∈ x) ∧ (u ∈ y).u ∈ x ∪ y ≡ (u ∈ x) ∨ (u ∈ y).u ∈ x\y ≡ (u ∈ x) ∧ (u 6∈ y)
5.) A korlatozott kvantor fogalma:
(∀x ∈ y)ϕ(x) ∀x((x ∈ y) ⊃ ϕ(x)) minden y-beli x-re a ϕ(x) teljesul.
(∃x ∈ y)ϕ(x) ∃x((x ∈ y)∧ϕ(x)) van olyan y-beli x elem, amelyre
ϕ(x) teljesul.
14.5. Lemma. .¬(∀x ∈ y)ϕ(x) ≡ (∃x ∈ y)¬ϕ(x).¬(∃x ∈ y)ϕ(x) ≡ (∀x ∈ y)¬ϕ(x)
6.) Halmazrendszerek unioja es metszete:
∪x z : (∃u ∈ x)(z ∈ u)
∩x z : (∀u ∈ x)(z ∈ u)
Alaptulajdonsaga:.(z ∈ ∪x) ≡ (∃u ∈ x)(z ∈ u),.(z ∈ ∩x) ≡ (∀u ∈ x)(z ∈ u).
7.) Az univerzalis halmaz fogalma:
U x|x = x
14.6. Lemma. .∀z(z ∈ U)
8.) Az altalanos komplementer fogalma:
x U\x
14.7. Lemma. .(z ∈ x) ≡ (z 6∈ x).x ∪ y = x ∩ y.x ∩ y = x ∪ y
9.) A hatvanyhalmaz fogalma:
Px z|z ⊆ x
14.8. Lemma. .(u ∈ Px) ≡ (u ⊆ x).∅ ∈ Px
52
10.) Kituntetett vegtelen halmaz fogalma (ω):
Az x halmaz rakovetkezoje: Sx x ∪ x.Egy halmazt progresszıvnek nevezzuk, ha elemkent tartalmazza az ures
halmazt es minden elemevel egyutt a rakovetkezojet is tartalmazza. Azaz
Prog(x) (∅ ∈ x) ∧ (∀z ∈ x)(Sz ∈ x).
A kituntetett vetelen halmaz ω az osszes progresszıv halmazbol allo halmaz-rendszer metszete:
ω ∩x : Prog(x).
14.9. Lemma. .∅ ∈ ω,.((z ∈ ω) ⊃ (Sz ∈ ω)),.P rog(x) ⊃ (ω ⊆ x).
11.) Kijelolessel definialt halmaz fogalma:
x ∈ y|ϕ(x) x|(x ∈ y) ∧ ϕ(x)
14.10. Lemma. .u ∈ x ∈ y|ϕ(x) ≡ (u ∈ y) ∧ ϕ(u)
12.) Russell-fele halmaz fogalma:
R x|(x 6∈ x)
Alaptulajdonsaga:.u ∈ R ≡ u 6∈ u
u = R-t helyettesıtve:.R ∈ R ≡ R 6∈ R
Ellentmondasra jutottunk, ezt az ellentmondast Russell-fele paradoxonnak(antinomianak) is nevezik.Megjegyzes:
1.) Az M+ naiv halmazelmelet ellentmondasos, ıgy benne barmely formulalevezetheto.
2.) Az M+ naiv halmazelmelet ellentmondasos, ıgy nincs modellje.
3.) A Russell-fele paradoxon fo oka az, hogy ilyen R halmaz nem letezik,megis tudtuk definialni.
53
15. Zermelo-Fraenkel-fele axiomatikus elmelet
Az ZF+ nyelvben egyetlen tıpus van, ez a halmaz tıpus. Halmaz tıpusuvaltozok: x, y, z, ...
15.1. Definıcio. (szintaktikai definıcio) Az ZF+ nyelv termjei es for-mulai.
Bazis:
a.) Minden valtozo term.
Indukcios lepes:
b.) Ha t es z term, akkor (t ∈ z) formula.
c.) Ha ϕ, ψ formulak, akkor (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ ⊃ ψ),¬ϕ is formula.
d.) Ha x valtozo es ϕ formula, akkor ∀xϕ, ∃xϕ is formula.
e.) A ∅ es ω szimbolumok termek.
f.) Ha t es z term, akkor t, z szinten term.
g.) Ha t term, akkor Pt es ∪t is term.
h.) Ha ϕ formula, t term, x olyan valtozo, amely nem parameter t-ben,akkor a x ∈ t : ϕ kifejezes term.
i.) Ha ϕ formula, t term, x es y olyan valtozok, amelyek nem parameterekt-ben, akkor a y : x ∈ t, (x⇒ y), ϕ kifejezes term.
Megjegyzes: 1. A ZF+ nyelvben ∅, ω, P t,∪t nem definialtak, a nyelv alap-szimbolumai.
2. A Zermelo-Fraenkel-fele axiomatikus elmelet reszletes targyalasa meg-talalhato [1]-ben. Itt csak az elmelet axiomait fogalmazzuk meg.
A ZF axiomatikus elmelet nem logikai axiomai (X megadasa):
1. Meghatarozottsagi axioma:
∀x∀y∀z((x = y ∧ x ∈ z) ⊃ y ∈ z)
2. Az ures halmaz axiomaja:
∃u∀z(z /∈ u)
Ez alapjan az axioma alapjan letezik ures halmaz, jeloljuk ∅-vel.
54
3. Paraxioma:∀x∀y∃u∀z((z ∈ u) ≡ (z = x ∨ z = y))
Azaz barmely ket halmazhoz letezik olyan halmaz, amelyhez mindkethalmaz hozzatartozik elemkent es tobb eleme nincs. Ezt x, y-al fog-juk jelolni. Ennek segıtsegevel megadhato az egyelemu halmaz fogalma.
4. Unio-axioma: Barmely halmazrendszerhez letezik olyan halmaz, amelymindazokat es csak azokat a halmazokat tartalmazza elemkent, ame-lyek a rendszer legalabb egy halmazanak elemei (ezt a halmazt ∪x-eljeloljuk).
∀x∃u∀z((z ∈ u) ≡ (∃v ∈ x)(z ∈ v))
Ennek a segıtsegevel megadhato ket halmaz unioja.
5. Hatvanyhalmaz-axioma: Minden halmazhoz van olyan halmaz, amely-nek elemei az adott halmaz reszhalmazai. Jele: Px.
∀x∃y∀z((z ∈ u) ≡ (z ⊆ x)),
ahol z ⊆ x ∀u((u ∈ z) ⊃ (u ∈ x)).
6. Vegtelen halmaz axiomaja: Letezik olyan halmaz, amelynek eleme az∅ es minden y eleme eseten y ∪ y (ez az y rakovetkezoje) is eleme ahalmaznak.
7. Reszhalmaz-axioma (a kijeloles axiomaja): Minden x halmaz es ϕ tu-lajdonsag eseten letezik egy olyan u halmaz, amelyhez x-nek pontosanazok az elemei tartoznak, amelyekre a ϕ tulajdonsag teljesul.
∀x∃u∀z((z ∈ u) ≡ (z ∈ x) ∧ ϕ(z))
(itt ϕ(z) tetszoleges formula, amelyben u nem szabad valtozo). Jeloles:u = z ∈ x : ϕ(z). (Ebbol az axiomabol levezetheto, hogy nemletezik univerzalis halmaz. Ennek a segıtsegevel definialhato ket halmazmetszete, kulonbsege.)
8. A helyettesıtes axiomaja: Ha a v halmaz x elemehez hozza van rendelveegy z elem (valamely ϕ fuggveny altal), akkor letezik olyan u halmaz,amelynek elemei a hozzarendelt z elemek.
∃u∀z((z ∈ u) ≡ (∃x ∈ v)(ϕ(x, z) ∧ ∀y(ϕ(x, y) ⊃ (z = y))))
(itt ϕ(z) tetszoleges formula, amelyben u, v nem szabad valtozo).
55
9. Regularitasi axioma (fundaltsag axiomaja): Ha x nem ures halmaz,akkor x-ben van olyan z elem, hogy z ∩ x = ∅ (minden nem ureshalmaznak van az ∈-tartalmazasra nezve legkisebb eleme).
10. Kivalasztasi axioma (AC): Ha egy x nem ures halmaz elemei paronkentdiszjunkt, nem ures halmazok, akkor letezik olyan z kivalaszto halmaz,amelynek x minden elemevel pontosan egy kozos eleme van.
Megjegyzes: a. A ZF elmelet az 1-9 axiomakkal rendelkezik. Az AC fugget-len a ZF elmelettol, azaz ZF 0 AC es ZF 0 ¬AC (amennyiben ellent-mondastalan). Az 1-10 axiomak a ZFC elmelet axiomai. Azaz a ZF elmeletetkiegeszıtve az AC axiomaval ujabb elmeletet kapunk, ezt jeloljuk ZFC-vel.
b. Sem a ZF sem a ZFC elmeletrol nem sikerult belatni, hogy ellent-mondasos, de a korabbi ismert antinomiak nem lepnek fel.
c. Ha a ZF elmelet ellentmondastalan, akkor a ZFC is az, es a ZFC-bennem vezetheto le sem a kontinuum hipotezis, sem a tagadasa.
A termeszetes szamok megadasa:Tekintsuk az alabbi, halmazokbol allo sorozatot:
∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ...
Tehat az elso tag ures halmaz, a masodik tag egy elemu halmaz, a harmadiktag ket elemu halmaz, es ıgy tovabb. Ha bevezetjuk a korabban hasznaltS(x) x ∪ x ,,rakovetkezo” operaciot, ugy minden tag az elotte allotagbol keletkezik az S operacio segıtsegevel. Legyenek a termeszetes szamoka fenti sorozat tagjai. Az ıgy definialt ω-ra teljesulnek a Peano-fele axiomak(lasd korabban).
A rendezes megadasa:(m < n) (m ∈ n),(m ≤ n) (m ∈ Sn).
56
Irodalomjegyzek
[1. ] Dragalin Albert, Buzasi Szvetlana, Bevezetes a matematikai logikaba,Kossuth Egyetemi Kiado, Debrecen, 1997.
[2. ] Pasztorne Varga Katalin, Varteresz Magda, A matematikai logikaalkalmazasszemleletu targyalasa, Panem Kiado, Budapest 2003.
[3. ] Sashalmine Kelemen Eva, A matematikai logika es a halmazelmeletelemei, EKTF Lıceum Kiado, Eger 1996.
[4. ] Urban Janos, Matematikai logika, Muszaki Konyvkiado, 1983.
[5. ] Ruzsa Imre, Logikai szintaxis es szemantika, Akademiai Kiado, Bu-dapest, 1988.
57
