NA_04 - Lajes 2011- parte 2
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8. CONSIDERAES COMPLEMENTARES SOBRE LAJES DE EDIFCIOS 8.1. Cargas Parcialmente Distribudas em Lajes Armadas e uma Direo a) Distribuio de Cargas Supe-se que as cargas concentradas ou parcialmente distribudas se espraiem a 45o at o plano mdio da laje.
b) Largura til - bw O clculo dos esforos decorrentes calculado como se fosse uma viga de largura bw, adotando-se os valores:
Quando b lx Quando b < lx
bw = b (item a) bw = b + b, sendo b fornecido abaixo:
B1) B2) B3) B4) B5)
Para momentos fletores positivos Para momentos fletores negativos Para foras cortantes Para momentos fletores de lajes em balano Para foras cortantes em balano
b =b =
2a1(lx a1 ) b 1 lx lx a1(2lx a1 ) b 1 lx lx
b b = a11 lx b b = 1,5a11 lx b b = 0,5a11 lx
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Sendo a1 a distncia do centro da carga ao apoio cujo lado est a seo que se estudo e a2 a distncia do centro da carga borda mais prxima.
Caso a carga se estenda por toda a extenso (lx) da laje, as expresses acima ficam resumidas a: b1) Para momentos fletores positivos Para momentos fletores negativos Para foras cortantes Para momentos fletores de lajes em balano Para foras cortantes em balano
B2) B3) B4) B5)
l-b b = 2 3 b = (l - b ) 4
b = b = b =
1 (l - b) 2 3 (l - b) 4 1 (l - b) 4
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EXEMPLOS
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8.2. 8.2.1.
Lados com 2 Tipos de Apoio (Considerao de apoio / engastamento quando houver apoios diferentes no mesmo lado) Para a Determinao da Espessura da Laje a) Quando o comprimento do trecho engastado for igual ou superior a 2/3 do comprimento total, o clculo de d feito como se o lado fosse engastado. b) Quando o comprimento do trecho engastado for inferior a 2/3 do comprimento total, o clculo de d feito como se o lado fosse apoiado.
8.2.2.
Para o Clculo dos Momentos Fletores Positivos a) Quando o comprimento do trecho engastado for inferior a 2/3 do comprimento total, o clculo dos Momentos Positivos feito como se o lado fosse apoiado.
b) Quando o comprimento do trecho engastado for igual ou superior a 2/3 do comprimento total, o clculo dos Momentos Positivos feito como se o lado fosse engastado, a no ser quando o comprimento do trecho apoiado for significativo por exemplo, 2 metros. Em casos como esse, pode ser feita a simplificao ilustrada abaixo:
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8.2.3.
Para o Clculo dos Momentos Fletores Negativos a) Quando o comprimento do trecho engastado for igual ou superior a 1/3 do comprimento total, o clculo dos Momentos Negativos feito como se o lado fosse engastado. O Momento Negativo final no trecho contnuo ser obtido aps a compatibilizao deste momento com o obtido para a laje adjacente. Exemplo:
b) Quando o comprimento do trecho engastado for inferior a 1/3 do comprimento total, consideraremos esse lado como simplesmente apoiado. O Momento Negativo final no trecho contnuo ser ento 80% do momento de borda da laje adjacente. 8.3. Cisalhamento em Lajes Dispensa-se a colocao de armadura transversal para resistir aos esforos de cisalhamento em uma laje quando tivermos Vsd VRd1. A resitncia de projeto ao cisalhamento dada pela expresso abaixo:
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Na grande maioria dos casos essa armadura no necessria, pois o valor de Vsd inferior a VRd1. Quando, porm, Vsd for superior a VRd1, deve-se dispor uma armadura transversal para combater o cisalhamento, podendo esta ser composta por estribos ou barras dobradas. O clculo dessa armadura idntico ao de uma armadura transversal de vigas.
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8.4.
Aberturas em Lajes 8.4.1. Lajes Armadas em 1 Direo
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8.4.2. Lajes Armadas em Cruz
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8.5.
Critrio para Clculo e Detalhamento de Lajes em L (sem o auxlio de mtodos computacionais) 8.5.1. Clculo das armaduras de flexo
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8.5.2. Determinao da espessura da laje
8.5.3. Utilizao da tabelas de lajes com bordo livre
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8.6.
Armaduras nos Cantos das Lajes com Apoios Simples
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Esquema Tpico de Armao dos Cantos
8.7.
Cargas Concentradas em Lajes em Balano
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8.8.
Cantos de Marquises
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9.
EXERCCIO
Dada a planta de formas de um pavimento tipo, detalhar as armaduras das lajes. Dados: Concreto fck = 20MPa Ao CA-50A Cobrimento das armaduras- para lajes = 1 cm*; para vigas = 1,5 cm Carga acidental = 2 kN/m2 Revestimento de piso = 1 kN/m2 Paredes de 18 cm de espessura e 2,60 m de altura sobre todas as vigas, com peso especfico = 13kN/m3. Gradil de 1 m de altura e peso de 120 kgf/m na extremidade do balano
* O VALOR DO COBRIMENTO NO EST RESPEITANDO O MNIMO RECOMENDADO PELA NBR-6118/2003, mas vale toda a seqncia de clculo e dimensionamento.Fernando de Moraes Mihalik
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L1 lx = 284
h = 8
ly =
664
ly = 6,64 = 2,34 > 2 laje armada em 1 dire 2,84 lx g laje = 0,08 x 25 = 2,00 kN/m g revest = 1,00 kN/m 2,00 kN/m q= 2,00 + 1,00 + 2,00 p= x lx = 14,2 Mbx = p x lx = 8 L2 Mx = p 5,00
=
5,00 kN/m = = 2,84 kNm/m 5,04 kNm/m
x 8,07 14,2 5,00 x 8,07 8
h = 9 tabela 6 lx = 340
ly = 4,24 = 1,25 laje armada em cruz 3,40 lx g laje = 0,09 x 25 = 2,25 kN/m g revest = 1,00 kN/m 2,00 kN/m q= 2,25 + 1,00 + 2,00 p= Mx = x x My = p x y Mbx = p x x Mby = p x y p lx = lx = lx = lx = x 24,9 5,25 x 34,4 5,25 x 11,1 5,25 x 12,9 5,25
=
5,25 kN/m = = = = 2,44 kNm/m 1,76 kNm/m 5,47 kNm/m 4,70 kNm/m
11,6 11,6 11,6 11,6
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ly = 424
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L3 ly = 424
h = 9 tabela 6 lx = 324
ly = 4,24 = 1,31 laje armada em cruz 3,24 lx g laje = 0,09 x 25 = 2,25 kN/m g revest = 1,00 kN/m 2,00 kN/m q= 2,25 + 1,00 + 2,00 = 5,25 kN/m p= Mx = p x x My = p x y Mbx = p x x Mby = p x y L4 lx = 167
x 23,8 lx = 5,25 x 35 lx = 5,25 x 10,7 lx = 5,25 x 12,8
lx = 5,25
10,5 = 2,32 kNm/m 10,5 = 1,57 kNm/m 10,5 = 5,15 kNm/m 10,5 = 4,31 kNm/m
h = 8
laje em balano laje armada em 1 direo g laje = 0,08 x 25 = 2,00 kN/m
g revest = 1,00 kN/m 2,00 kN/m q= 2,00 + 1,00 + 2,00 = 5,00 kN/m p=
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carga vertical (V) na extremidade do balano: carga acidental vertical = 2,00 kN/m g gradil = 120,00 kgf/m = 1,20 kN/m 2,00 + 1,20 = 3,20 kN/m V= carga horizontal (H) na extremidade do balano: 0,80 kN/m carga acidental horizontal = 0,80 kN/m H= Mbx = p x lx + V x lx + H x h = 2 Mbx = 5,00 x 2,79 + 3,20 x 1,67 + 0,80 2 13,12 kNm/m Mbx =
x
1,00 =
Compatibilizao dos momentos negativos: 5,04 + 4,70 = 4,87 kNm/m M1-2 = maior 2 0,8 x 5,04 = 4,03 kNm/m 5,04 + 4,31 = 4,67 kNm/m 2 0,8 x 5,04 = 4,03 kNm/m 5,47 + 5,15 = 5,31 kNm/m 2 0,8 x 5,47 = 4,37 kNm/m
M1-3 = maior
M2-3 = maior
M3-4 = no h equilbrio = Mbalano =
13,12
kNm/m
NUNCA SE FAZ EQUILBRIO QUANDO SE TRATA DE LAJE EM BALANO: O MOMENTO A SER CONSIDERADO O DO BALANO
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Esquema - Momentos finais nas lajes (kNm/m)
Clculo das Armaduras de Flexo Concreto: fck = 20MPa = 200 kgf/cm2 = 0,20 tf/cm2 = 2,0 kN/cm2 fc= 0,85 fcd = 0,85 x 2,0 / 1,4 = 1,21 kN/cm2
Momentos Positivos Laje L1 h = 8 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 2,84 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk 15,32 na tabela = Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,15 x h =
6 cm 284 kNcm/m 100 x 36 x 284 k3 = 0,338 0,338 x 10 0,15 x 8 = Adotamos =
1,21 =
15,39
284 = 1,60 cm/m 6 1,20 cm/m 5,0 C/ 12
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Laje L 2 h = 9 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 2,44 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk na tabela = 22,60 Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,10 x h =
7 cm 244 kNcm/m 100 x 49 x 244 k3 = 0,333 0,333 x 10 0,10 x 9 = Adotamos =
1,21 =
24,41
244 = 1,16 cm/m 7 0,90 cm/m 5,0 C/ 17
My = 1,76 kNm/m = 176 kNcm/m k6 = b x d x fc = 100 x 49 x 1,21 = 33,73 Mk 176 29,88 k3 = 0,330 na tabela = Asnec = 0,330 x 176 = 0,83 cm/m k3 x Mk = 10 10 7 d Asmin = 0,10 x h = 0,10 x 9 = 0,90 cm/m Adotamos 5,0 C/ 20 Laje L 3 h = 9 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 2,32 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk 22,60 na tabela = Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,10 x h =
7 cm 232 kNcm/m 100 x 49 x 232 k3 = 0,333 =
1,21 =
25,69
0,333 x 232 = 1,10 cm/m 10 7 0,10 x 9 = 0,90 cm/m Adotamos 5,0 C/ 18 My = 1,57 kNm/m = 157 kNcm/m k6 = b x d x fc = 100 x 49 x 1,21 = 37,79 Mk 157 29,88 k3 = 0,330 na tabela = Asnec = 0,330 x k3 x Mk = 10 10 d 0,10 x h = 0,10 x 9 = Adotamos 157 = 0,74 cm/m 7 0,90 cm/m 5,0 C/ 20
Asmin =
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Momentos Negativos Lajes 1 e 2 h = 8 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 4,87 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk 8,72 na tabela = Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,10 x h =
6 cm 487 kNcm/m 100 x 36 x 487 k3 = 0,353 0,353 x 10 0,10 x 8 = Adotamos =
1,21 =
8,97
487 = 2,87 cm/m 6 0,80 cm/m 8,0 C/ 17
Lajes 1 e 3 h = 8 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 4,67 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk 8,72 na tabela = Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,10 x h =
6 cm 467 kNcm/m 100 x 36 x 467 k3 = 0,353 0,353 x 10 0,10 x 8 = Adotamos =
1,21 =
9,35
467 = 2,75 cm/m 6 0,80 cm/m 8,0 C/ 17
Lajes 2 e 3 h = 9 cm adotando d = h - 2 cm = Mx = 5,31 kNm/m = k6 = b x d x fc = Mk 10,48 na tabela = Asnec = k3 x Mk 10 d Asmin = 0,10 x h =
7 cm 531 kNcm/m 100 x 49 x 531 k3 = 0,347 0,347 x 10 0,10 x 9 = Adotamos =
1,21 =
11,21
531 = 2,63 cm/m 7 0,90 cm/m 8,0 C/ 19
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Lajes 24 e 3 (balano) h = 8 cm adotando d = h - 2 cm = 6 cm Mx = 13,12 kNm/m = 1312 kNcm/m k6 = b x d x fc = 100 x 36 x 1,21 = Mk 1312 k6 = muito baixo; vamos aumentar 1 cm a altura da L4; alterando para 9 cm, teremos: h = 9 cm adotando d = h - 2 cm = 7 cm k6 = b x d x fc = 100 x 49 x Mk 1312 4,51 0,399 na tabela = k3 = Asnec =
3,33
(k6 limite para ao CA-50A: pela tabela, para yd = 2,07 por mil, k6=3,75)
1,21 =
4,54
k3 x Mk 0,399 x 1312 = 7,48 cm/m = 10 10 7 d Asmin = 0,15 x h = 0,15 x 9 = 1,35 cm/m 6 Adotamos 8,0 C/ (embora no esteja dentro do espaamento recomendvel, vamos adot-lo) Observao: Caso refizssemos o clculo do momento fletor, vejam no que daria: g laje = 0,09 x 25 = 2,25 kN/m g revest = 1,00 kN/m 2,00 kN/m q= 2,25 + 1,00 + 2,00 p=
=
5,25 kN/m
carga vertical (V) na extremidade do balano: carga acidental vertical = 2,00 kN/m g gradil = 120,00 kgf/m = 1,20 kN/m 2,00 + 1,20 = 3,20 kN/m V= carga horizontal (H) na extremidade do balano: 0,80 kN/m carga acidental horizontal = 0,80 kN/m H= Mbx = p x lx + V x lx + H x h = 2 Mbx = 5,25 x 2,79 + 3,20 x 1,67 + 2 Mbx = 13,46 kNm/m Armadura de distribuio: Laje L1
0,80
x
1,00
=
1/5 Asprinc = 1/5 x 1,60 = + 0,32 cm/cm Asdistr = 0,9 cm/cm Adotamos 5,0 C/ 30
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DESENHOS DE ARMAO
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L1 / L2: a = 340 = 85 cm L1 / L3: a = 324 = 81 cm = adotaremos por igualdade 85 cm L2 / L3: a = 340 = 85 cm L4 / L3: a = 324 = 81 cm apenas para o lado da L3; do lado da L4 deve ser estendido at a extremidade do balano. As distrib L3: 1/5 7,48 = 1,5 cm2/m : adotado 6,3 c/21 Armadura de borda: Adotada 5 c/25; comprimentos: considerados a = 1/5 284 60 cm para a L1, e a= 1/5 340 70 cm para as demais. Fernando de Moraes Mihalik
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TABELAS DE FERROS E RESUMOS DAS ARMAESARMADURA POSITIVATABELA DE FERROS POSIO QUANT DIAM 1 2 3 4 5 6 9 55 25 17 23 16 5 5 5 5 5 5 COMPRIMENTO (m) UNIT. TOTAL 6,87 61,83 3,01 165,55 3,58 89,5 4,42 75,14 3,42 78,66 4,35 69,6 RESUMO DIAMETRO PESO LINEAR COMPRIMENTO (mm) (kg/m) (m) 5 0,16 540,28 6,3 0,25 8 0,40 10 0,63 12,5 1,00 TOTAL (SEM PERDAS) PESO (kg) 86,4
86,4
ARMADURA NEGATIVATABELA DE FERROS POSIO QUANT DIAM 1 2 3 4 5 6 37 22 55 8 48 39 8 8 8 6,3 5 5 COMPRIMENTO (m) UNIT. TOTAL 1,83 67,71 1,84 40,48 2,91 160,05 3,36 26,88 0,96 46,08 1,07 41,73 RESUMO DIAMETRO PESO LINEAR COMPRIMENTO (mm) (kg/m) (m) 5 0,16 87,81 6,3 0,25 26,88 8 0,40 268,24 10 0,63 12,5 1,00 TOTAL (SEM PERDAS) PESO (kg) 14,0 6,7 107,3
128,1
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