My proyecto terminado
-
Upload
carlos-eduardo-nunez -
Category
Education
-
view
1.115 -
download
3
description
Transcript of My proyecto terminado
UNIDAD DIDACTICA PARA EL APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE
THALES Y SU APLICACIÓN A LA SEMEJANZA EN LOS TRIÁNGULOS
MEDIANTE EL USO DEL SOFTWARE DIDACTICO CABRI II PLUS.
CARLOS ANDRES DIAZ HERNANDEZ
CARLOS EDUARDO MARTINEZ NUÑEZ
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS Y EDUCACION
LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA
VALLEDUPAR – CESAR
2011
UNIDAD DIDACTICA PARA EL APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE
THALES Y SU APLICACIÓN A LA SEMEJANZA EN LOS TRIÁNGULOS
MEDIANTE EL USO DEL SOFTWARE DIDÁCTICO CABRI II PLUS.
Asesores:
ISIDORO GORDILLO
LIC. MATEMÁTICAS E INFORMATICA
SAÚL ENRIQUE VIDES GOMEZ
Magister en Matemática Aplicada
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS Y EDUCACION
LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA
VALLEDUPAR – CESAR
2011
CONTENIDO
1. PLANTEAMENTO DEL PROBLEMA..............................................................................4
1.1. DESCRIPCION DEL PROBLEMA..............................................................................5
1.2. ELEMENTOS DEL PROBLEMA..................................................................................5
1.3. DELIMITACION DEL PROBLEMA..............................................................................5
1.4. FORMULACION DEL PROBLEMA.............................................................................6
2. JUSTIFICACIÓN................................................................................................................7
3. OBJETIVOS:......................................................................................................................9
3.1. GENERAL.......................................................................................................................9
3.2. ESPECIFICOS:..............................................................................................................9
4. METODOLOGÍA................................................................................................................9
4.1. Tipo de investigación....................................................................................................9
4.2. Población......................................................................................................................10
4.3. Técnicas de obtención de información.....................................................................10
4.4. Fases de la investigación...........................................................................................10
5. MARCO TEORICO..........................................................................................................10
5.1. RAZÓN DE SEGMENTOS.........................................................................................10
5.1.1. Definición 1...............................................................................................................11
5.1.2. Definición 2...............................................................................................................11
5.2. TEOREMA 1.................................................................................................................12
5.3. TEOREMA 2.................................................................................................................13
5.4. TEOREMA 3: TEOREMA DE THALES....................................................................14
5.5. TEOREMA 4................................................................................................................15
5.6. TEOREMA 5: TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULO............................................................................................................................15
5.7. TEOREMA 7.................................................................................................................17
5.8. TEOREMA 8.................................................................................................................19
5.9. TEOREMA 9.................................................................................................................19
5.10. TEOREMA 10...........................................................................................................20
5.11. TEOREMA 11...........................................................................................................21
5.12. TEOREMA 12...........................................................................................................22
5.13. TEOREMA 13: SEGUNDO TEOREMA DE THALES.........................................23
5.14. TRANSFORMACIÓN ISOMÉTRICA.....................................................................24
5.14.1. TRASLACIÓN......................................................................................................24
5.14.2. ROTACIÓN...........................................................................................................25
5.14.3. SIMETRÍA CENTRAL..........................................................................................25
5.14.4. SIMETRÍA AXIAL.................................................................................................25
5.15. TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA..........................................................26
5.15.1. HOMOTECIA........................................................................................................26
5.15.2. DEFINICIÓN 3......................................................................................................27
5.15.3. PROPIEDADES...................................................................................................27
5.15.4. EJES DE HOMOTECIA......................................................................................28
5.16. SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS........................................................................29
5.16.1. PROPIEDADES DE SEMEJANZA....................................................................30
6. ANEXO 1..........................................................................................................................31
ANEXO 2..................................................................................................................................32
ANEXO 3..................................................................................................................................33
ANEXO 4..................................................................................................................................35
7. PRESUPUESTO DEL PROYECTO..............................................................................36
8. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES............................................................................36
9. BIBLIOGRAFÍA................................................................................................................37
1. PLANTEAMENTO DEL PROBLEMA
El uso de las nuevas tecnologías hoy en día, facilita la realización de una gran
cantidad de actividades que antes generaban mayor tiempo y esfuerzo. El
campo de la educación no es la excepción, en particular en la enseñanza y
aprendizaje de la geometría, donde resulta reveladoramente importante su
empleo para potenciar la aprehensión de los conceptos fundamentales,
concretamente teoremas como el de Thales y su aplicación para determinar
cuándo dos o más triángulos son semejantes.
1.1.DESCRIPCION DEL PROBLEMA
En las instituciones educativas se presentan dificultades para comprender el
teorema de Thales y su aplicación a la semejanza de triángulos, debido a las
limitaciones que tienen las herramientas pedagógicas tradicionales. Es
evidente que actualmente hace falta incentivar el uso de las nuevas tecnologías
para potenciar el aprendizaje significativo de la Geometría.
1.2.ELEMENTOS DEL PROBLEMA
Se consideran elementos del problema en este proyecto:
La motivación de los estudiantes por el aprendizaje de la Geometría,
principalmente el teorema de Thales.
La implementación de la nueva tecnología como herramienta o instrumento
pedagógico para la apropiación y uso del teorema de Thales.
La exploración de los conceptos de congruencia y semejanza en los
triángulos.
1.3.DELIMITACION DEL PROBLEMA
El proyecto va dirigido a los grados octavo y noveno de la FUNDACION
ATENEO EL ROSARIO de la ciudad de Valledupar, donde se realizarán
actividades didácticas dentro de la sala de nuevas tecnologías.
1.4.FORMULACION DEL PROBLEMA
Según se encuentra registrado en un informe del DEPARTEMENTO DE
MÉTODO ATENEO, en la FUNDACIÓN ATENEO EL ROSARIO existen
antecedentes del efecto positivo del uso de estrategias y herramientas
pedagógicas en el aula de clases, en particular en la geometría, donde se
conocen proyectos tales como: tangram y relaciones espaciales.
También registra el informe que existen evidencias de uso del software
didáctico CABRI II PLUS, como lo fue una exposición para la semana de la
ciencia y tecnología en el 2010 a cargo de un grupo de estudiantes de los
grado octavo y noveno; quienes construían un bicicleta usando conceptos
fundamentales de geometría. Sin embargo, no existen evidencias de uso de
estrategias y herramientas pedagógicas para la enseñanza del teorema de
Thales y su empleo para la semejanza de triángulos, ni mucho menos el uso
del software CABRI II PLUS.
Se realizó una prueba en los estudiantes de grado noveno y se encontró
deficiencias en los conceptos de semejanza de polígonos (véase el anexo).
Algunos estudiantes no tienen claro el concepto de forma. Otros relacionan a
Thales con el teorema de Pitágoras. Los estudiantes presentan dificultad para
establecer relación de proporción entre números.
De las circunstancias expuestas con anterioridad, surge el siguiente
interrogante: ¿Será posible a través de actividades didácticas implementadas
bajo el software CABRI II PLUS potenciar la comprensión del Teorema de
Thales y su aplicación a la semejanza de triángulos?
2. JUSTIFICACIÓN
Se vive en un mundo de globalización de la economía, el cual demanda el uso
de las herramientas tecnológicas que facilitan el manejo eficaz de la
información y proporcionan condiciones propicias para el pleno desarrollo del
pensamiento, el análisis y la solución de situaciones problemas. Las nuevas
tecnologías están revolucionando las prácticas educativas en la mayoría de los
campos del saber. Acorde con esto, uno de los fines de la educación es
preparar al estudiante para corresponder y contribuir al desarrollo de la
sociedad. Con este objetivo se obtienen grandes beneficios al utilizar las
nuevas tecnologías en la enseñanza de la Geometría.
La demostración rigurosa de teoremas de la Geometría plana requiere
necesariamente de representaciones gráficas, bosquejos y construcciones
auxiliares. Resulta entonces muy útil el uso de las herramientas didácticas
para facilitar la construcción de dichas gráficas y así potenciar el proceso de
enseñanza y aprendizaje. La Geometría plana de por sí, goza de la virtud de
que la mayoría de sus conceptos pueden ilustrarse gráficamente. Aunque
haciendo uso de las herramientas tradicionales (reglas y compás) se puede
llegar a la comprensión de conceptos de Geometría, estas herramientas siguen
teniendo sus limitaciones.
La facilidad que brinda el software especializado en geometría para la
construcción, el análisis y la verificación de propiedades con la dinámica del
movimiento y la variación de parámetros en tiempo real, deja ver lo útil de
esta herramienta en comparación con los instrumentos tradicionales. Cabri II
Plus cumple con estas características a cabalidad. Este programa está
especialmente diseñado para la enseñanza e investigación en el campo de la
Geometría, además, es fácil de manejar y tiene las herramientas que se
necesitan para enseñar cualquier concepto fundamental de la misma.
Se presenta en este proyecto el teorema de Thales por dos razones. La
primera es que este teorema no es muy conocido; de hecho, en las escuelas
es más conocido el teorema de Pitágoras. Para los estudiantes Thales sólo fue
un filósofo, pero pocos conocen sobre los aportes que este erudito le hizo a la
geometría antes de Euclides.
La segunda razón, es porque este teorema ayuda a comprender mejor el
concepto de semejanza, dicho concepto está incluido en el pensamiento
espacial y geométrico de los estándares básicos fijados por el ministerio de
educación nacional para los grados octavo y noveno. Se sostiene que trabajar
o enseñar a utilizar Cabri es incentivar a los alumnos y maestros en el uso de
las nuevas tecnologías para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Aunque las herramientas tecnológicas por sí solas no garantizan el éxito en el
proceso enseñanza y aprendizaje, si facilitan el planeamiento de las
actividades para que sean más eficaces y surtan el efecto deseado para el
cual fueron concebidas mediante el modelo IAP (investigación – acción -
participación). Este tipo de investigación fomenta una mejor calidad en la
educación y al compartir estas experiencias con otros educadores, se
enriquece el análisis del teorema de Thales.
3. OBJETIVOS:
3.1.GENERAL
Contribuir a la enseñanza y aprendizaje del teorema de Thales y su aplicación
a la semejanza de triángulos, mediante el diseño e implementación de
unidades didácticas con el software geométrico didáctico CABRI II PLUS.
3.2.ESPECIFICOS:
Emplear nuevas tecnologías en el aula para potenciar el aprendizaje de la
geometría.
Diseñar actividades para la justificación del teorema de Thales y a través
del software didáctico CABRI II PLUS.
Diseñar actividades para la comprensión de concepto de semejanza de
triángulos aplicando el teorema de Thales con el software CABRI II PLUS.
4. METODOLOGÍA
4.1.Tipo de investigación
La investigación es de tipo cualitativo ya que los investigadores participan a
través de la interacción con los alumnos mediante unas actividades diseñadas
para analizar el impacto del uso de las nuevas tecnologías, particularmente el
uso del programa Cabri Geometre II Plus en la enseñanza y aprendizaje de
teoremas fundamentales de la geometría plana como es el caso del teorema de
Thales y su aplicación a la semejanza de triángulos.
4.2.Población
Conformada por los estudiantes del grupo octavo y noveno de la jornada de la
mañana de la FUNDACION ATENEO EL ROSARIO de la ciudad de
Valledupar.
4.3.Técnicas de obtención de información
Desarrollo de actividades didácticas en el aula de clases para observar de
manera directa todas las dificultades y fortalezas relacionadas con el Teorema
de Tales y su aplicación a la semejanza de triángulos seguidas de las guías
para su desarrollo con el software didáctico Cabri II Plus.
4.4.Fases de la investigación
Revisión bibliográfica.
Identificación de dificultades y fortalezas en los estudiantes de noveno 9º
grado.
Capacitación sobre el software Cabri II plus.
Diseño y elaboración de la secuencia de actividades.
Experimentación de la unidad didáctica.
Análisis y resultados.
Informe final.
5. MARCO TEORICO
5.1.RAZÓN DE SEGMENTOS
Un segmento u se puede tomar como unidad representativa de otros
segmentos los cuales se pueden expresar
una función del segmento u asignándole
cualquier número real. La razón entre
segmentos se define como la razón
numérica de los segmentos expresada en la
unidad convenida.
Expresado así:
PQRS
=mU (PQ )mU (RS )
, donde mu (PQ) es la medida de PQ y mu (RS) es la medida de
RS respecto a la unidad u como unidad de medida.
5.1.1. Definición 1
Dos pares de segmentos son proporcionales si la razón entre los mismos
segmentos de cada par son iguales, o al comparar la razón de los segmentos
con una combinación en particular da como resultado un mismo número real.
5.1.2. Definición 2
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y
los lados homólogos proporcionales.
Es decir:
Sean α n y α ' n los ángulos homólogos, ln y l 'n los segmentos homólogos
de dos polígonos; si se cumple que α n=α 'n, ln=k∗l 'n donde k∈R y lnl ' n
=k
dichos polígonos son semejantes. Si k=1 se dice que los polígonos son
congruentes
5.2.TEOREMA 1
Si varias paralelas son cortadas
transversalmente por dos rectas no paralelas, y
se forman en una de las rectas segmentos
congruentes también formaran segmentos
congruentes en la otra recta (ver grafica #2).
HIPÓTESIS: P, Q, R y S son puntos de L en los cuales pasan rectas paralelas,
que también interceptan a L’ en los puntos P’, Q’, R’ y S’;
m (PQ )=m (QR )=m(RS)
TESIS: m (P 'Q ' )=m (Q ' R ' )=m(R ' S ')
Construcción auxiliar: por P’, Q’, R’ y S’ se trazan P ' F ,Q' G, R ' H paralelos a
la recta a L
DEMOSTRACIÓN
1. m (PQ )=m (QR )=m(RS) Hipótesis
2. m (∡1 )=m (∡3 )=m(∡5) Correspondientes entre paralelas
3. m (∡2 )=m (∡ 4 )=m(∡6) Correspondientes entre paralelas
4. ΔP ' FQ' ≅ ΔQ 'GR≅ ΔR ' MS' ALA
5. m (P ' F )=m (Q' G )=m(R ' H ) Lados homólogos de triángulos congruentes
6. m (P ' F )=m (PQ ) Lados opuestos del paralelogramo
7. m (Q'G )=m (QR ) Lados opuestos del paralelogramo
8. (R ' H )=m (RS ) Lados opuestos del paralelogramo
9. m (P 'Q ' )=m (Q ' R ' )=m(R ' S ') Sustitución de 6), 7) y 8) en 5)
5.3.TEOREMA 2
La proyección paralela de la suma de dos segmentos de la recta L es igual a la
suma de las proyecciones paralelas de dichos segmentos sobre la recta L.
HIPÓTESIS: Rectas L y L’ transversales cortadas por rectas paralelas en los puntos P, Q y R de L y P’, Q’, R’ de L’
m(PQ)+m(QR )=m(PR) ;m(P'Q ')+m(Q' R' )=m(P' R ') ;pp (m (PQ ) )=m(P'Q');
pp (m (QR ) )=m(Q ' R ')
TESIS: pp(m (PQ+QR ))=pp(m (PQ ))+ pp(m (QR ))
DEMOSTRACIÓN
1. m (PR )=m(PQ)+m(QR ) Hipótesis
2. m (P' R ')=m(P'Q' )+m(Q' R' ) Hipótesis
3. pp (m (PQ ) )=m(P'Q') Proyección de paralela
4. pp (m (QR ) )=m(Q ' R ') Proyección de paralela
5. pp (m (PR ) )=m(P' R ') Proyección de paralela
6. pp (m (PR ) )=m(P'Q' )+m(Q' R' ) Sustitución de 2) en 5)
7. pp (m (PR ) )=pp (m (PQ ) )+ pp (m (QR ) ) de 3) y 4) en 6)
Si los segmentos PQ, QR, RS,.. de la recta L son congruentes, también lo
serán los segmento P 'Q' , Q ' R ', R ' S ',.. de la recta L’, y si la razón de las
longitudes entre dos segmentos de L es r, la razón entre los segmentos
proyectados en L’ también será r.
En general se cumple que la proyección paralela del segmento obtenido al
multiplicar la longitud del segmento PQ por cualquier número real r es el
segmento que se obtiene al multiplicar por r la longitud del segmento P 'Q' .
Simbólicamente, pp(r*PQ) = r*P 'Q' .
5.4.TEOREMA 3: TEOREMA DE THALES
Si varias paralelas son cortadas por dos
transversales forman segmentos homólogos en
cada recta que son proporcionales(ver figura #3).
HIPÓTESIS: Rectas paralelas pasan por los
puntos P, Q, R Y S de la recta L y P’, Q’, R’ y S’ de
la recta L’; L y L’ son transversales.
TÉSIS: m(PQ)m(RS)
=m(P 'Q')m(R' S ')
DEMOSTRACIÓN
Sea x un segmento tal que este contenido m veces en PQ y n veces en RS
1. m(PQ)=mx m es un número real y x es un segmento
2. m(RS)=nx n es un número real y x es un segmento
3.m(PQ)m(RS)
=mn
Dividiendo miembro a miembro y simplificando
4.m(P'Q ')m(R ' S ')
=mn
En las paralelas que son cortadas por dos transversales, la razón cualesquiera de una de ellas es igual a la razón correspondiente de la otra
5.m(PQ)m(RS)
=m(P 'Q')m(R' S ')
Ley transitiva de 3) y 4)
La figura #3 muestra que en la recta L se ha elegido el segmento u como
unidad de medida, cuya proyección en L’ es el segmento u’, de modo que la
medida del segmento PQ se puede representar en función del segmento
unidad u como mu(PQ) y la medina del segmento P 'Q' se puede representar
en función del segmento proyección unidad u’ como mu’(P 'Q'). Las
propiedades que hemos enunciado nos permiten afirmar según el Teorema de
Thales que las medidas deben ser iguales, ya que dichas medidas están
basadas en unidades que son proporcionales como proyecciones entre L y L’
y con segmentos en su misma recta.
5.5.TEOREMA 4
Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros
dos en segmentos proporcionales (figura #4).
HIPÓTESIS: Δ ABC; BC ∥ ln
TESIS: m(AL)m(LB)
=m(AN )
m(NC¿)¿
Construcción auxiliar: se traza la recta R paralela a BC, formando el segmento
ln y S∥BC en A.
DEMOSTRACIÓN
1.m(AL)m(LB)
=m(AN )
m(NC¿)¿Teorema de Thales
5.6.TEOREMA 5: TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE
TRIÁNGULO
Toda paralela a un lado de un triángulo determina con las
rectas a las que pertenecen los otros lados, un triángulo
semejante al dado.
HIPÓTESIS:Δ ABC; ML∥ AC
TESIS: Δ ABC∽ΔLBM
Construcción auxiliar: se traza Δ ABC; ML∥ AC
DEMOSTRACIÓN
1. m (∡B )=m (∡B ) Ley idéntica
2. m (∡2 )=m (∡ 4 ) Correspondientes entre paralelas
3. m (∡1 )=m (∡3 ) Correspondientes entre paralelas
4.m(BL)m(BA)
=m(BM )m(¿BC )¿
Teoremas de Thales
5.m(BM )m(BC)
=m(AN )m(AC¿)¿
Teoremas de Thales
6.m(BL)m(BA)
=m(BM )
m(BC¿)=m(AN )m(AC )
¿
Transitividad 4) y 5)
7. m (AM )=m (LM ) ANML es un paralelogramo
5.7TEOREMA 6
Toda paralela a un lado del triángulo cuyo vértice
opuesto es el origen de las las semirrectas que
contienen los otros dos lados, interceptan la paralela
formando un triángulo semejante al primero.
HIPÓTESIS: Δ ABC ; r semirrecta de origen B que contiene a AB ; s semirrecta
de origen B que contiene a BC ; t paralela a AC
TESIS: Δ ABC∽ΔLBM
Construcción auxiliar: t intercepta a r en L y s en M
DEMOSTRACIÓN
1.m (∡B )=m (∡B ) Propiedad idéntica
2.m (∡A )=m (∡ L ) Correspondientes entre paralelas
3.m (∡C )=m (∡M ) Correspondientes entre paralelas
4. ΔLBM Construcción
5.m(LB)m(AB)
=m(BM )
m(BC ¿)=m(ML)m(CA)
¿
∆ con lados proporcionales
6. ΔLBM∽ Δ ABC Definición de semejanza
7. Δ ABC∽ΔLBM Por carácter simétrico
5.7.TEOREMA 7
Toda paralela a un lado del triángulo en cuyos
extremos se originan semirrectas que se cortan en
el vértice opuesto y que contienen los otros dos
lados forma otro triángulo exterior que es
semejante al primero.
HIPÓTESIS: ΔABC ; r ∥AC
TESIS: ΔABC∽ΔBML
Construcción auxiliar: ΔNBO; ΔBLM s ∥AC ; segmento paralelo a MO que pasa por L en r y L’ es s; segmento paralelo a ln que pasa por M en r y M’ en s;m (NB )=m¿
DEMOSTRACIÓN
1. (∡1 )=m (∡5 ) Internos alternos
2. (∡2 )=m (∡4 ) Opuestos por el vértice
3. (∡3 )=m (∡6 ) Internos alternos
4.m(NB)m(AB)
=m(BO )m(BC )
=m(NO )m(CA)
∆ semejantes
5. m (NB )=m(BL) Por construcción
6.m(NO)m(OL)
=m(NB )m(BL)
Segmentos proporcionales entre paralelas
7. m (ML )=m(OL' ) Lados opuestos del paralelogramo
8.m(NO)m(ML)
=m(NB )m(BL)
De 6) y 7)
9.m(NO)m(NM ')
=m(OB )m(BM )
Segmentos proporcionales entre paralelas
10. m (NM ' )=m(ML) Lados opuestos del paralelogramo
11.m(NO)m(ML)
=m(OB)
m(BM ¿)¿De 9) y10)
12.m(NB)m(BL)
=m(NO)m(ML)
=m(OB )m(BM )
=1 Transitividad de 8) y 11)
13. ΔNBO ≅ ΔBML De 2), 2), 3) y 12)
14. ΔNBO∽ΔBML De 13)
15. ΔABC∽ΔNBO Teorema de Thales
16. ΔABC∽ΔBML Transitividad
5.8.TEOREMA 8
Dos triángulos que tienen dos lados respectivamente
proporcionales y el ángulo comprendido congruente,
son semejantes (FIGURA #8).
HIPÓTESIS:ΔABC ; ΔA ' B' C '; m (∡C ' )=m (∡C ' );m(CA)
m(C ' A ')=
m(CB)m(C ' B ')
ΔABC∽Δ A ' B' C '
Construcción auxiliar: trácese MN ∥ AB; que corta AC en M y CB en N y
m (CM )=m¿
DEMOSTRACIÓN
1. ΔABC∽ΔMNC MN ∥ AB
2.m(CA)m(CM )
=m(CB)m(CN )
ΔABC∽ΔMNC
3.m(CA)
m(C ' A ')=
m(CB)m(CN )
m (CM )=m¿ construcción
4.m(CA)
m(C ' A ')=
m(CB)m(C ' B ')
Hipótesis
5. m (CN )=m (C ' B ' ); La cuarta proporcional de 3) y 4) son iguales
6. ΔMNC ≅ ΔA ' B ' C ' LAL
7. ΔABC∽Δ A ' B' C ' Definición de semejanza
5.9.TEOREMA 9
Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente
iguales son semejantes (FIGURA #9).
HIPÓTESIS: Δ ABC y Δ A ' B ' C '; m (∡C )=m (∡C ' );
m (∡A )=m (∡A ' )
TESIS: Δ ABC∽Δ A ' B ' C '
Construcción auxiliar: Trácese MN ∥ AB; que corta AC en M y CB en N y m (CM )=m¿
DEMOSTRACIÓN
1. Δ ABC∽ΔMNC MN ∥ AB
2. m (∡C )=m (∡C ' ) Hipótesis
3. m (CM )=m¿ Construcción
4. m (∡A )=m (∡M ) Correspondientes entre paralelas
5. ΔMNC ≅ Δ A ' B ' C ' ALA
6. Δ ABC∽Δ A ' B ' C ' Definición de semejanza
5.10. TEOREMA 10
Dos triángulos que tienen tres lados proporcionales
son semejantes (FIGURA #10)
HIPÓTESIS: Δ ABC y ΔMNC ; m(AC )m(A ' C ')
=m(CB)m(C ' B ')
=m(BA )
m(B' A ')
TESIS: Δ ABC∽Δ A ' B ' C '
Construcción auxiliar: Trácese MN ∥ AB; que corta AC en M y CB en N y m (CN )=m¿
DEMOSTRACIÓN
1. Δ ABC∽ΔMNC MN ∥ AB
2.m(AC )m(A ' C ')
=m(CB)m(C ' B ')
=m(BA )
m(B' A ')Hipótesis
3.m(AC )m(CN )
=m(CB)m(CM )
=m(BA)m(NM )
∆ semejantes lados proporcionales
4.m(CB)m(C ' B' )
=m(CB)m(CM ) Y
m(BA)m(B ' A ')
=m ¿¿
Transitividad de 3) y 4)
5. m (CN )=m(C ' A' ) Por construcción
6. m (C ' B ' )=m ¿ Igualdad de 4)
7. m (B ' A ' )=m¿ Igualdad de 4)
8. ΔMNC ≅ Δ A ' B ' C ' LLL
9. Δ ABC∽Δ A ' B ' C ' Definición de semejanza
5.11. TEOREMA 11
Dos triángulos que tienen dos lados
respectivamente proporcionales y el ángulo
opuesto al mayor de ellos igual, son semejantes
(FIGURA #11).
HIPÓTESIS: Δ ABC y ΔMNC ; m (AC )>m¿;m (A ' C ' )>m ¿; m(AC )m(A ' C ')
=m(CB)m(C ' B ')
;
m (∡B )=m (∡B ' )
TESIS: Δ ABC∽Δ A ' B ' C '
Construcción auxiliar: Trácese MN ∥ AB; que corta AC en M y CB en N y m (CN )=m¿
DEMOSTRACIÓN
1. Δ ABC∽ΔMNC MN ∥ AB
2.m(AC )m(A ' C ')
=m(CB)m(C ' B ')
Hipótesis
3.m(AC )m(CN )
=m(CB)m(CM )
Lados homólogos de ∆ semejantes
4. m (CN )=m¿ Por construcción
5. m (CM )=m(C' B' ) Transitividad
6. m (∡B )=m (∡B ' ) Hipótesis
7. ΔMNC ≅ Δ A ' B ' C ' ALA
8. Δ ABC∽Δ A ' B ' C ' Definición de semejanza
5.12. TEOREMA 12
Los elementos homólogos de los triángulos
semejantes: alturas bisectrices y medianas, son
proporcionales a los lados homólogos y
proporcionales entre sí (FIGURA #12).
HIPÓTESIS: Δ ABC ∆≝¿; AD Y EH alturas
homólogas; BM y FN alturas homólogas
TESIS: m(AC)m(EG)
=m(AD)m(EH )
=m(BM )m(FN )
DEMOSTRACIÓN
1. Δ ADC∽ΔEHG Triángulos rectángulos con ángulos agudos igual
2. ΔCMB∽ ΔGNF Triángulos rectángulos con ángulos
agudos igual
3.m(AC )m(EG)
=m(AD)m(EH )
Triángulos semejantes lados proporcionales
4.m(CB)m(GF )
=m(BM )m(FN )
Triángulos semejantes lados proporcionales
5.m(AC)m(EG)
=m(AD)m(EH )
=m(BM )m(FN )
Igualdad entre 3) y 4)
5.13. TEOREMA 13: SEGUNDO TEOREMA DE THALES
El segundo teorema de Thales de Mileto es un teorema de
geometría particularmente enfocado a los triángulos
rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos.
Consiste en el siguiente enunciado:
Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB],
distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto (FIGURA #13).
HIPÓTESIS: Dado que los segmentos m(OA )=m(OC )=m(OB ) son todos radios
de la misma circunferencia, ∆OAC y ∆OCB son isósceles por lo cual se
puede decir que cada uno tiene por lo menos un par de ángulos iguales. De
modo que m (∡A )=m(∡1); (∡c )=m (∡1 )+m(∡2); m (∡B )=m(∡2)
TESIS: m (∡C )= π2
Construcción auxiliar: trácese un radio perpendicular al diámetro AB formando
los triángulos rectángulos ∆OAC y ∆OCB
DEMOSTRACIÓN
1. m (∡A )+m (∡B )+m (∡C )=π Suma de ángulos internos de un ∆
2. (∡c )=m (∡1 )+m(∡2) Hipótesis
3. m (∡A )=m(∡1) Hipótesis
4. m (∡B )=m(∡2) Hipótesis
5. m (∡1 )+m (∡2 )+[m (∡1 )+m (∡2 ) ]=π 2), 3) y 4) en 1)
6. 2m (∡1 )+2m (∡2 )=π Términos semejantes
7. [m (∡1 )+m (∡2 )]=π2
Dividiendo por 2
8. m (∡C )= π2
De 2)
Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la
bisectriz en dos segmentos iguales, por Pitágoras: AB ²=CA ²+CB ² .
En conclusión se forma un triángulo rectángulo.
5.14. TRANSFORMACIÓN ISOMÉTRICA
La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metrie
(medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de
isometrías: traslación, simetría y rotación.
Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano
que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura
inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.
5.14.1. TRASLACIÓN
Se llama traslación de un objeto m respecto a el
vector v⃗ a la isometría en que a cada punto de m del
plano le hace corresponder un punto m' del mismo plano, si A y A’ son puntos
tales que A pertenece a m y A’ pertenece a m’ entonces AA' es igual a v⃗
(figura #14).
5.14.2. ROTACIÓN
Una rotación, en geometría, es un movimiento
de cambio de orientación de un cuerpo, de
forma que, dado un punto cualquiera del
objeto, este permanece a una distancia
constante de un punto fijo o denominado
centro de rotación (FIGURA #15).
5.14.3. SIMETRÍA CENTRAL
La simetría central, en geometría, es una
transformación en la que a cada punto se le asocia
otro punto llamado imagen (FIGURA #16), que
debe cumplir las siguientes condiciones:
a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de
simetría.
b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.
Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura
con una rotación de 180 grados.
5.14.4. SIMETRÍA AXIAL
La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto a una recta
llamada eje, en la cual, a cada
punto de una figura se asocia a
otro punto llamado imagen
(FIGURA #17), que cumple con
las siguientes condiciones:
a) La distancia de un punto y su
imagen al eje de simetría, es la misma.
b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de
simetría.
5.15. TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA
El concepto de movimiento rígido se ha usado para definir de manera precisa la
noción de congruencia de figuras, que suele describirse de manera informal
como “figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma”. La noción
informal de figuras semejantes como las que tienen la misma forma puede ser
precisada utilizando las transformaciones del plano que se conocen como
homotecias y semejanzas.
5.15.1. HOMOTECIA
Una homotecia es una trasformación
geométrica que, a partir de un punto fijo,
multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación. Su
definición rigurosa es vectorial:
5.15.2. DEFINICIÓN 3
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea O un elemento (visto como
un punto) de E. La homotecia de centro O y de razón k, denotada hO,k envía un
punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:
O⃗M '=kO⃗M
Homotecia, de centro el punto O y razón el número real k ≠ 0, es una
transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′
tal que el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k. Si
k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen O que pasa por P.
5.15.3. PROPIEDADES
La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:
a. El alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A, B, C,
D, E y F) y (A', B', C', D’, E’ y F’) en la figura 19.
b. El paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas.
Además la homotecia conserva:
c. El cociente de longitudes: AEED
= A ' E 'E ' D '
en la figura 19
d. Los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la
figura 19.
e. La imagen de una recta es otra recta paralela.
f. Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
g. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde
a la identidad de E: todos los puntos son fijos)
h. Si k ≠ 0, hO,k admite como trasformación recíproca hO,1/k (cuando k = 0, no
es biyectiva)
i. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia
con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las
homotecias iniciales: hO,k o hO’,k’ = hO,k*k’.
j. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene
una homotecia de razón k•k' cuando k•k' ≠1, y una traslación. Se dice que
el conjunto de las homotecias y las translaciones forman un grupo.
k. k = - 1 corresponde a la simetría de centro O, o una rotación alrededor de
O de ángulo π radianes (180°)
l. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.
m. |k| < 1 implica una reducción.
n. K < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro
O con una homotecia sin inversión.
5.15.4. EJES DE HOMOTECIA
Dadas un par de circunferencias, estas siempre se pueden considerar como
homotéticas una de la otra. En la figura #19, la circunferencia S2 puede
considerarse homotética de S1 bien sea en la homotecia de razón positiva, con
centro en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1.
Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la
circunferencia S2 es homotética de la circunferencia S1, y la homotecia de
centro P3 en la que la circunferencia S3 es homotética a la circunferencia S2.
La composición de estas dos homotecias es la homotecia de centro en P2 que
transforma la circunferencia S1 en la circunferencia S3. Es por esta razón que
los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 son colineales.
En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia,
alineados tres a tres sobre
cuatro rectas. Estas rectas son
las llamadas ejes de homotecia
de las tres circunferencias
dadas.
5.16. SEMEJANZAS DE
TRIÁNGULOS
Una semejanza es la composición de una isometría (o sea, una rotación y una
posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la homotecia se puede
cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.
Diremos que una transformación es de semejanza si y sólo si es una secuencia
de homotecias (transformaciones de tamaño) y movimientos rígidos.
Para los triángulos, la forma sólo depende de sus ángulos (para el caso del
triángulo rectángulo, la forma de este depende del cociente base / altura).
En general según la definición 2 puede decir que: dos triángulos son
semejantes si sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son
proporcionales. Si dicha razón es igual a uno los triángulos son congruentes.
En la figura #20, los ángulos
correspondientes son ∡ A=∡A ' ,
∡B=∡B ' y ∡C=∡C '. Para denotar
que dos triángulos ∆ ABC y ∆ A ' B ' C ' son semejantes se escribe
∆ ABC ∆ A ' B' C ', donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos:
∡ A, ∡B y ∡C se corresponden con ∡ A ', ∡B' y∠∡C ' , respectivamente.
Dado que todos los triángulos equiláteros tienen sus ángulos internos sesenta
grados cada uno todos los triángulos equiláteros son semejantes. Si dos
triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales. La
razón es que siempre la suma de los ángulos internos de un triángulo es ciento
ochenta grados.
5.16.1. PROPIEDADES DE SEMEJANZA
Propiedad reflexiva, refleja o idéntica: Todo triángulo es semejante a sí
mismo.
Propiedad idéntica o simétrica: Si un triángulo es semejante a otro, aquel es
semejante al primero.
Propiedad transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es
semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.
Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos
triángulos es una relación de equivalencia.
6. ANEXO 1
1 2 3 40.0%
10.0%20.0%30.0%40.0%50.0%60.0%
1. ¿Qué sabes sobre Thales de
Mileto?1. ¿Qué sabes sobre Thales de Mileto?
1. El que invento el teorema de Pitágoras
2. Un guerrero griego de la antigüedad
3. Un filósofo y matemático4. Un emperador romano
1. Es la igualdad entre dos razones2. Es la igualdad de dos
expresiones matemáticas3. Es una relación directamente
proporcional4. Es una relación inversamente
proporcional1 2 3 4
0.0%5.0%
10.0%15.0%20.0%25.0%30.0%35.0%40.0%45.0%
2. ¿Qué es una proporción?
2. ¿Qué es una pro-porción?
1 2 3 40.0%
10.0%20.0%30.0%40.0%50.0%60.0%70.0%80.0%
3. ¿Cuándo dos polígonos son semejantes?
3. ¿Cuándo dos polígonos son seme-jantes?
1. Cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño
2. Cuando los ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales
3. Cuando tienen el mismo color y la misma textura
4. Si son iguales
ANEXO 2
1 2 3 40.0%5.0%
10.0%15.0%20.0%25.0%30.0%35.0%40.0%45.0%
5. ¿De qué habla el Teorema de Thales?
5. ¿De qué habla el Teo-rema de Thales?
1 2 3 40.0%
10.0%20.0%30.0%40.0%50.0%60.0%70.0%80.0%
4. ¿Qué son polí-gonos congruentes?
4. ¿Qué son polígonos congruentes?
1. Son las que se parecen2. Son los que tienen el mismo color3. Son los triángulos4. Cuando tienen la misma forma y el
mismo tamaño
1. La proporción de los segmentos homólogos generados por paralelas secantes a dos rectas
2. Del teorema de Pitágoras3. La proporción de segmentos de
una circunferencia4. La hipotenusa al cuadrado es igual a
la suma de los catetos elevados al cuadrado
1. 3/12=9/42. 3/9=12/43. 3/9=4/124. 12/9=3/4
1 2 3 40.0%5.0%
10.0%15.0%20.0%25.0%30.0%35.0%40.0%45.0%50.0%
6. La relación entre los números 12, 9, 3 y 4
obedece a la proporción
6. La relación en-tre los números 12, 9, 3 y 4 obe-dece a la pro-porción
ANEXO 3
7. FIGURAS
CATEGORIAS
a b c D
1 y 2 85,7% 0,0% 0,0% 14,3%
1 y 3 14,3% 0,0% 0,0% 85,7%
1 y 4 57,1% 0,0% 14,3% 28,6%
2 y 3 0,0% 16,7% 0,0% 83,3%
2 y 4 33,3% 16,7% 0,0% 50,0%
3 y 4 0,0% 16,7% 50,0% 33,3%
1 20.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
8. FIGURAS
8. FIGURAS
1. Confundió formas2. No confundió formas
1 2 3 4 5 60.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
70.0%
80.0%
90.0%
abcd
7. FIGURAS
a) Si las figuras tienen la misma formab) Si las figuras tienen el mismo tamañoc) Si las figuras tienen la misma forma y el
mismo tamañod) Si las figuras no tienen ni la misma forma
ni el mismo tamaño
ANEXO 4
7. PRESUPUESTO DEL PROYECTO
DESCRIPCIÓN COSTO ($)
IMPRESIÓN DE PROYECTO, FOTOCOPIAS ELABORACION
DE LAS GUIAS Y PAPELERIA EN GENERAL
50.000
HORAS EN INTERNET 30.000
OTROS GASTOS ADICIONALES 20.000
ASESORES 5’000.000
TOTAL 5’100.000
8. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
9. BIBLIOGRAFÍA
ACTIVIDADES AÑO 2010 AÑO 2011
1. VISITA AL COLEGIO Y PLANTEAMIENTO DEL
PROBLEMA
2. ELABORACIÓN DEL MARCO TEORICO
3. ENTREGA DE ANTEPROYECTO
4. OBSERVACIONES
5. DISEÑO Y PLANEACIÓN DE ACTIVIDADES
6. OBSERVACIONES
7. EJECUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES
8. OBSERVACIONES
9. ANALISIS E INTERPRETACIÓN
10. INFORME FINAL
MESES 1,2 3,4 5,6 7,8 9,1 11,12 1,2 3,4 5,6
AUSUBEL-NOVAK-HANESIAN (1983), Psicología Educativa: Un punto
de vista cognoscitivo .2° Ed.TRILLAS México
CHEVALLARD Y. (1992), Concepts fondamentaux de la didactique:
Perspectives aportées par une approche anthropologique. Recherches en
Didactique des Mathématiques, 12 (1) 73-112.
Estándares básicos de matemáticas y lenguaje edición 2004.Ministerio
De Educación Nacional.
GODINO J. D. y BATANERO C. (1994), Significado institucional y
personal de los objetos matemáticos. Recherches en Didactique des
Mathématiques,14 (3) 325-355
GODINO J. D. (2002), Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición
matemática. Recherches en Didactique des Mathématiques. 22 (2/3) 237-
284.
Lineamientos curriculares de matemáticas.2002.Moreno s. Ministerio De
Educación Nacional.
Montero G.1992, Matemática constructiva 1996 edit. Libros & libros
Martínez p 1997 Pensamiento matemático moderno. edit libros y libros
Fuentes F. Castanñez O. Gordillo I. 2010 Geometría plana de Euclides
al Cabri