MáximoComún Divisor y

Mínimo Común Múltiplo

Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas

Prof. Yuitza T. Humarán Martínez Prof. Carlos Molinares

Adaptada por Prof. Caroline Rodríguez

Máximo Común Divisor El Máximo Común Divisor de dos o más números

naturales es el divisor común más grande para estos números.

Ejemplo : Determinar el divisor común máximo de 36 y 8 Divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Divisores de 8 son 1, 2, 4, 8 Divisores comúnes de 8 y 36 son 1,2, 4 Divisor común de 8 y 36 más grande es 4

Notación

El Máximo Común Divisor de a y b lo denotaremos, MCDiv(a, b).

Ejemplo: “El máximo común divisor de 8 y 36” se denota o

representa MCDiv(36,8). MCDiv(36,8)=4.

Máximo Común Divisor – Método de división

1. Alinear horizontalmente los números a los que se les va a calcular el Máximo Común Divisor.

2. Trazar un segmento vertical a la izquierda de todos ellos.

3. Proceder a aplicar el método de la división simultáneamentea dichos números.

Máximo Común Divisor – Método de división (cont)

4. Se repite el paso anterior a los resultados de las divisiones realizadas

5. El proceso termina cuando solamente el 1 sea el divisor común de todos los números a la derecha

6. El Máximo Común Divisor es la multiplicación de los divisores a la izquierda del segmento vertical.

Ejemplo - Determinar MCDiv(36, 28)

36 28

36 28 18 14 9 7

Con 9 y 7 no encontramos divisor común distinto a 1. Por lo tanto detenemos el proceso.

Con 18 y 14 el divisor común es el 2. 𝟏𝟏 ÷ 𝟐 = 𝟗 𝟏𝟏 ÷ 𝟐 = 𝟕

Con 36 y 28 el divisor común es el 2.

𝟑𝟑 ÷ 𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟏 ÷ 𝟐 = 𝟏𝟏

36 28 18 14

2

2

2

2

2

El Máximo Común Divisor de 36 y 28 es el producto de los divisores escritos a la izquierda del segmento vertical. O sea 2 x 2; es decir, 4

Ejemplo - Determinar MCDiv(36, 28)

36 28 18 14 9 7

2

2

El MCDiv (36 , 28) es el producto de los divisores escritos a la izquierda del segmento vertical.

El MCDiv (36 , 28) = 2 x 2 = 4

Ejemplo - Hallar MCDiv(420, 390)

420 390

420 390 42 39 14 13

Un divisor común es el 3. 𝟏𝟐 ÷ 𝟑 = 𝟏𝟏 𝟑𝟗 ÷ 𝟑 = 𝟏𝟑

Un divisor común es el 10. 𝟏𝟐𝟒 ÷ 𝟏𝟒 = 𝟏𝟐 𝟑𝟗𝟒 ÷ 𝟏𝟒 = 𝟑𝟗

420 390 42 39

10

10 3

10

3

Con 14 y 13 no encontramos divisor común distinto a 1. Por lo tanto detenemos el proceso.

El MCDiv (420 , 390) es el producto de los divisores escritos a la izquierda del segmento vertical.

El MCDiv (420 , 390) = 30

Ejemplo - Hallar MCDiv(180, 252, 594) 180 252 594 180 252 594

2 90 126 297

180 252 594 2 90 126 297 3 30 42 99

180 252 594 2 90 126 297 3 30 42 99 3 10 14 33

El MCDiv (180 , 252, 594) es el producto de los divisores escritos a la izquierda del segmento vertical.

El MCDiv (180 , 252, 594) = 18

Subconjuntos de los Naturales

Hay números naturales mayores cuyos únicos divisores son el 1 y él mismo.

Ejemplo El número natural 2 - Sus únicos divisores son 1 y

2 El número natural 11 - Sus únicos divisores son 1

y 11

Números primos

Los números primos son aquellos números mayores que 1 y que sólo tienen como divisor al 1 y a ellos mismos.

¡Ojo! El número 1 no es primo. Números naturales que no son primos son

llamados Compuestos.

Ejemplos de Números Compuestos

Factorización prima

Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo número compuesto se puede factorizar

en forma única usando números primos. Ejemplo 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 La factorización donde todos los factores son

números primos se le llama Factorización Prima.

Métodos del árbol o de la rama

Consiste en derivar pares de “ramas” desde el número a factorizar. En las ramas se colocan un par de factores del

número, colocando siempre un factor primo en el extremo izquierdo.

Se repite el proceso con el extremo derecho de la rama, hasta llegar al 1.

La factorización prima se compone del producto de los números primos que aparecen en las ramas de la izquierda

Factorización prima - ejemplo 90

2 45

15 3

5 3

1 5

La factorización prima de 90 es 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ó 𝟐 ∙ 𝟑𝟐 ∙ 𝟓

Factorización prima - método de división Escribir el número a factorizar a la derecha de un

segmento vertical Escribir a la izquierda del segmento el divisor primo del

número El resultado de dividir al número entre su divisor primo

se escribe a la derecha del segmento y justo debajo del número al cual se dividió.

Este procedimiento se repite sobre cada resultado obtenido de las divisiones hasta llegar a obtener 1 en el lado derecho.

Método de división – ejemplo

120 2 120 2 120

60

2 120

2 60

2 120

2 60

30

2 120

2 60

2 30

2 120

2 60

2 30

15

2 120

2 60

2 30

3 15

2 120

2 60

2 30

3 15

5

2 120

2 60

2 30

3 15

5 5

2 120

2 60

2 30

3 15

5 5

1

La factorización prima de 120 es 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ó 𝟐𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓

Práctica

Usar el método del árbol o de la división para hallar la factorización prima de

Método alterno que usa factorización prima

Cálculo del MCDiv(a,b) utilizando factorizaciones primas Determinar las factorizaciones primas de los

números. El MCDiv(a,b) está dado por la multiplicación de

todos los factores primos comunes. Si no hay primos comunes, el MCDiv(a,b) = 1.

Ejemplo

Hallar el Máximo Común Divisor de 112 y 126: Las factorizaciones primas son: 112 = 2x2x2x2x7 126= 2x3x3x7 El Máximo Común Divisor es 2x7= 14.

Ejemplo(cont)

Hallar el Máximo Común Divisor de 235 y 475

235 = 5 x 47 475 = 5 x 5 x 19 El Máximo Común Divisor es 5.

Mínimo común múltiplo Anteriormente mencionamos que 5|35

implicaba que 35 es un múltiplo de 5 por que 5x7=35.

El conjunto de naturales que múltiplos de 5 consiste de {0, 5, 10, 15, 20, 25, …}.

En ocasiones es necesario hallar el mínimo común múltiplo de 2 números.

Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12

Mínimo común múltiplo – método de factorización prima Paso 1 Expresar cada número como el

producto de factores primos. Step 2 El mínimo común múltiplo contiene

cada factor primo diferente una cantidad de veces igual a la cantidad mayor de veces que aparece en cualquiera de las factorizaciones.

Ejemplo

Hallar el mínimo común múltiplo de 48 y 84. Hallar la factorización prima de los números 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 84 = 2 x 2 x 3 x 7

el mínimo común múltiplo es x 3 x 7 2 x 2 x 2 x 2 = 336

Ejemplo

Hallar el mínimo común múltiplo de 12, 18, y 28. Hallar la factorización prima de los números 12 = 2 x 2 x 3 18 = 2 x 3 x 3 28 = 2 x 2 x 7

el mínimo común múltiplo es

x 3 x 3 2 x 2 = 252 x 7