Může teorie her přispět k pochopení příčin a cest

řešení současných problémů?

Radim Valenčík

Vysoká škola finanční a správní, Praha

Listopad 2012

Otázka, kterou považuji „zde a nyní“ za nejdůležitější:

Lze odpovědět některé významné současné otázky (tak významné, že na nich závisí

nejen další vývoj, ale i osud společnosti), jako jsou například otázky:

- Proč je korupce tak rezistentním jevem?

- Proč jsou institucionální prostředky boje s korupcí téměř neúčinné?

- Proč se korupci podařilo proniknout celým institucionálním systémem?

- A co s tím (tj. kdo a jak může příslušné problémy řešit)?

…apod.

bez toho, aniž bychom vědomě využili netriviální nástroje teorie her?

Dále se pokusím ukázat:

1. Že bez teorie her to nelze.

2. Že stávající nástroje, to, co je bezprostředně k dispozici, neumožňuje potřebnou odpověď dát.

3. Že lze příslušné nástroje vyvinout a lze poměrně dobře ukázat, na jakém základě. (Viz mj. diskuse Nash – Selten na 4

GM 2012.)

Výše nastolená otázka je tak významná, že si zaslouží formulovat možné falzifikace, např. a zejména tyto:

1. Problémy, o kterých se hovoří, se budou řešit, až budou lidé dostatečně naštvaní a až přijde někdo dostatečně

charismatický, kdo se za řešení vezme a ke komu se připojí.

2. Teoretický popis korupce a podobných jevů máme, zde již není do dále dodat (víme, že korupce vzniká v důsledku

zastoupení někoho při výkonu vlastnický práv a tam kde nepůsobí kontrolní funkce trhu a může docházet k dobývání renty…).

3. Teorie her je matematickou teorií, která se vyvíjí ve své vlastní logice, a tudíž od ní nelze chtít, aby byly její hlavní prvky

(vlastní teorie) rozvíjeny „na objednávku“; pokud její vývoj někdy dospěje k tomu, aby výsledky bádání v uvedené oblasti byly

aplikovatelné, tím lépe, ale nelze po ní chtít, aby „přenastavením parametrů“ některých modelů popsala nějaký zadaný reálný

problém.

4. Ostatně, není ani jasné, co to znamená „použití netriviálních nástrojů teorie her“, jak vyhodnotit efekt tohoto použití apod. –

jde o výpočet, inspiraci, schéma umožňující zatřídění problému či co?

K (oproti) tomu: Exaktní analýza anatomie, fungování a geneze struktur založených na vzájemném krytí porušování obecně

přijatých zásad.

(Ostatně modelově – zkusme si představit fikci: Skupina expertů z teorie her dostane za cíl formulovat odpověď na otázky spojené s korupcí. Mohou

k něčemu dospět zajímavému a využitelnému dospět?)

Z historie:

Tři navazující projekty GA ČR:

1. Efektivnost investování do lidského kapitálu 2003-2005,

2. Investování do sociálního kapitálu a efektivnost 2006-2007

3. Teorie redistribučních systémů 2009-2011

Ad 1.:

- Dokonale fungující kapitálový trh vytváří rovnost příležitostí

(Odsud komplex reforem systémů sociálního investování a sociálního pojištění)

- Nedokonalosti kapitálového trhu způsobuje investování do společenské pozice

(Odtud problém – jak odstraňováním nedokonalostí kapitálového trhu vytlačit fenomén pozičního investování)

Ad 2.:

Pozice je dána začleněním do sítí

(Odsud identifikování a popis sítí, nutnost vhodného modelu sítí – tj. popsat, jak vznikají efekty spojené se začleněním člověka do sítě, mj.

začleněním do sítě s využitím pozičního investování)

Ad 3: Teorie redistribučních systémů

1. Máme nějakou skupinu osob, které působí v nějakém systému. Plní nějakou roli a podle toho, jak je tato role plněna, jim připadnou

určité prostředky, které jsou následně nějakým způsobem mezi ně rozděleny.

2. Pokud je daná skupina osob „nezasíťována“, jsou vztahy mezi nimi neutrální (nikdo k někomu nechová nějaké antipatie či sympatie).

3. V rámci uvedené skupiny osob se mohou vytvářet koalice s cílem zvýhodnit ty, kteří jsou v koalici, na úkor těch, kteří v koalici nejsou.

4. Toto zvýhodnění má podobu prostředků, které si hráči mezi sebe mohou rozdělit. Zde vznikají dvě otázky:

- Čím je dáno (jak popsat) množství prostředků, které si hráči mezi sebe mohou rozdělit.

- Jakým způsobem (podle jakých pravidel či na základě jakých zákonitostí) si budou prostředky dělit.

5. Pokud v daném systému působí sociální sítě, budeme je chápat jako jednostrannou či vzájemnou afinitu některých hráčů v daném

systému, přičemž jedna a tatáž síť může působit v řadě sociálních systémů.

6. Tyto systémy budeme nazývat redistribučními systémy, protože v nich dochází k rozdělení a přerozdělení prostředků v důsledku

působení řady faktorů, např.:

- Vytváření koalic v daném systému.

- Vzniku sociálních sítí uvnitř systému.

- Promítání role sítí mezi různými redistribučními systémy do jednotlivých redistribučních systémů.

Za základ analýzy můžeme zvolit to, co N-M nazývají jednoduchou majoritní hrou tří hráčů a návazně pak vytvářením koalic

různé síly.

Jednoduchá majoritní hra je hra s nulovým součtem, kdy pokud dva hráči vytvoří koalici, získají společně nějakou výplatu

(např. rovnou 1) a druhý tuto částku ztratí. Postavení hráčů v této hře je symetrické. N-M ukazují:

- V uvedeném případě musí každý hráč nabídnout druhému výplatu 1/2, protože jinak by zbytečně ztrácel část výplaty, nebo

by se ocitl mimo koalici.

- Symetrické řešení hry je tvořeno třemi prvky množiny výplat, které jsou vnitřně i vnějšně stabilní množinou (N-M množinou).

- Platí mj. to, že výplata každého z hráčů musí být v každé vítězné koalici stejná.

Případ toho, co je nazváno koalice různé síly, se liší jen mírnou modifikací výplat. Dvoučlenné vítězné koalice si mohou

postupně rozdělit částky a, b, c, třetí hráč ztrácí (má zápornou výplatu tutéž částku). I zde platí, že:

- Výplata každého z hráčů musí být v každé vítězné koalici stejná.

- Symetrické řešení hry je tvořeno třemi prvky množiny výplat, které jsou vnitřně i vnějšně stabilní množinou (N-M množinou).

- Tím je určena i velikost výplat.

Pro potřeby popisu chování hráčů v redistribučních systémech se více hodí případ s nenulovým součtem, kdy

hráč mimo koalici získává výplatu rovnou 0. I zde platí:

- Výplata každého z hráčů musí být v každé vítězné koalici stejná.

- Symetrické řešení hry je tvořeno třemi prvky množiny výplat, které jsou vnitřně i vnějšně stabilní množinou (N-

M množinou).

- Tím je určena i velikost výplat.

B x + y = 5

x + z = 4

y + z = 3

x = 3

3 4 y = 2

z = 1

C A

5

Zadejme afinitu B →A (Interpretace B „má rád“ A)

Jako ochotu B za koalici s A „zaplatit“ částku rovnou 1 (protože z této koalice má „potěšení“)

Zaveďme y podvojná výplata hráče B, která se rovná původní výplata y a výnos z uzavření koalice s hráčem A, k němuž má hráč B sympatie

(pokud tento výnos nazveme s, pak y* = y + s, kde v našem případě je s = 1.

Podívejme se, jak se nám modifikuje původní soustava rovnic v námi uváděném jednoduchém případě

B x + y* = 6

x + z = 4

y* + z = 3

x = 3,5

3 4 y* = 2,5

z = 1,5

y = 0,5

C A

5

Podobně lze modelovat vnější vliv v podobě možnosti hráče ze systému odejít – a to jako minimální výplatu, kterou je příslušnému hráči nutno

dát, což modifikuje příslušnou soustavu rovnic.

K tomu stačí zavést x = x – r, kde r je minimální částka, kterou musí hráč A dostat, aby se zúčastnil hry (neodešel mimo systém).

Řešení najdeme, pokud zadáme hru s následujícími parametry a z x vypočítáme x.

Podívejme se, jak se nám modifikuje původní soustava rovnic v námi uváděném jednoduchém případě

B x* + y = 4

x + z = 3

y + z = 2

x* = 2,5

3 y = 1,5

2 2 z = 0,5

x = 3,5

C A

4

Vytvořili jsme tak velmi jednoduchý nástroj umožňující postihnout některé důležité aspekty sociálních sítí.

Jeden průběžný důležitý závěr:

Všimněme si, že mimořádně významnou roli zde hraje informovanost hráčů:

- Pokud je třetí hráč informován o afinitě ostatních dvou hráčů, může roli této afinity kompenzovat a vznik každé

z koalic je opět stejně pravděpodobný.

- Pokud o afinitě není třetí hráč informován, je tím vznik koalice „proti němu“ predeterminován.

Uvedená schémata umožňují „zviditelnit“ to, co není vidět.

Umožňují např. řešit otázku, jakou částku se vyplatí hráči investovat do vytvoření afinity s jiným hráčem apod.

(To vše ještě není nic objevného.)

V této fázi analýzy redistribučních systémů je nutné vzít v úvahu ještě jeden prvek, totiž to, že se všichni tři hráči mezi sebou mohou

dohodnout

V tomto případě musíme mnohem větší pozornost věnovat tomu, o co se vlastně hráči dělí.

Nejdříve ovšem zavedeme pojem očekávaná průměrná výplata. Pak ve hře s výplatami v rámci koalic jsou očekávané průměrné výplaty (x´, y

´, z´) následující:

x + y = 5 x = 3 x´ = 2

x + z = 4 y = 2 y´ = 4/3

y + z = 3 z = 1 y´ = 2/3

Představme si případ, kdy jsou možné jen 4 stavy:

- Všichni tři hráči zvolí společnou dohodu (jedná se jen o jeden jediný bod v prostoru). Pak má každý určitou výplatu a existuje i součet těchto

výplat (dejme tomu 10).

- Nebo uzavřou dva hráči koalici a třetímu hráči dají výplatu rovnou 0. Tyto koalice jsou možné celkem 3. Přiřaďme jim součty výplat např. 4,

5, 6, přičemž tím, která koalice vznikne, je dáno i rozdělení výplat mezi příslušné dva hráče (jedná se opět vždy o jeden bod v třírozměrném

prostoru, přesněji na příslušných plochách, kdy jedna ze souřadnic se rovná 0).

Tím, že se výše uvedený systém ocitne (ponechejme zatím stranou otázku, jak, tj. jak se příslušná hra bude hrát) v jednom ze stavů, je dán

jak součet výplat, tak i rozdělení výplat.

Pokles součtu výplat v případě situací, kdy je některý z hráčů diskriminován (tj. rozdíl mezi součtem výplat 10 a součtem výplat rovným

postupně 4, 5, 6), lze nazvat „náklady diskriminace“. A celkem si lze udělat představu o reálných situacích, kdy k tomu dochází.

Není problém si představit spojitou situaci, kdy případu diskriminace jednoho z hráčů odpovídá určitá linie s proměnným součtem výplat a kdy

jsou možné i případy nikoli plné diskriminace třetího hráče (tj. může mít výplatu větší než 0), tj. kdy množina (rozdělení) výplat je kompaktní a

konvexní.

Marek Hudík:

Předpokládali jsme, že výkon organizace je maximální jestliže x = a a klesá jestliže .Jaká je interpretace vektoru a? Proč se mění celková částka I se způsobem rozdělení? Budeme zde

uvažovat dvě možné odpovědi na tyto otázky, inspirované literaturou o efektivnostních mzdách (efficiency wages) a z oblasti experimentální teorie her.

 (1) Férovost a tradice. Důležitou interpretací se zdá být ta, která přisuzuje vektoru a vyjádření představy férového rozdělení nebo rozdělení, které se ustálilo tradicí. Potom náš předpoklad,

že x = a maximalizuje I bude platit jestliže:

(i) Všichni hráči uznávají danou normu, jako něco co má být buď proto, že je to správné (férovost) nebo proto, že to tak bylo vždy (tradice).

(ii) Pokud dojde k odchýlení od rozdělení daného normou, hráči budou společné úsilí „sabotovat“ ve snaze potrestat ostatní, někdy dokonce bez ohledu na to, zda tím potrestají i sami sebe.

Například, v případě se třemi hráči, utvoří-li dva hráči koalici a nabídnou třetímu podíl 1 Kč, diskriminovaný hráč může odmítnout a všichni obdrží 0.

 Pokud nyní tuto úvahu aplikujeme na původní tezi, podle které je a interpretováno jako odměňování podle (potenciální) výkonnosti, pak je onou normou, kterou hráči uznávají verze

distributivní spravedlnosti: „každému podle potenciální výkonnosti“. Tato norma ovšem vyžaduje, aby příspěvky jednotlivých hráčů ke společnému cíli byly identifikovatelné, což však většinou

splněno není. Cílem však bylo ukázat, že i když opustíme tezi, že „čím více dokáže organizace ocenit výkony svých zaměstnanců, tím je její výkon větší”, samotný model může zůstat

nezměněn, neboť lze zvolit jakoukoli jinou normu, kterou hráči uznávají jako spravedlivou nebo tradiční.

 (2) Výživa. Původní modely, které pracovaly s hypotézou efektivnostních mezd, byly rozpracovány pro rozvojové země. Zde byla interpretace taková, že výkon pracovníků závisí na jejich

zdraví a výživě; pokud tedy mzda není dostatečná k tomu, aby udržela pracovníky v dobré kondici, je možné jejich výkon zvýšit zvýšením mzdy. Tato „objektivistická“ interpretace se liší od

ostatních tím, že nepracuje s motivacemi jedinců, nýbrž s jejich fyzickými charakteristikami (jako bychom uvažovali místo lidských bytostí stroje). Potom lze a interpretovat jako vektor

takových výplat, které zajišťují optimální fyzickou a psychickou zdatnost hráčů. Je evidentní, že toto vysvětlení je omezeno pouze na specifické případy, pro které bylo vyvinuto.

 

Poznámka RV: Lze i v důsledku degresivně rostoucího charakteru užitkové funkce, apod. (Srov. Moulin 1988.)

Další strana: Návrh na formalizaci z dílny M. Hudíka

Koordinační (koaliční hra) je obecně charakterizována následovně (Rubinstein – Osborne, 1982, definice 268.2): - množina N hráčů - množina X důsledků - funkce V (charakteristická funkce), která přiřazuje každé neprázdné množině (koalici) množinu - pro každého hráče jsou definovány preference i na množině X. Řešením tohoto typu her je potom jádro (core), které je definováno takto (Rubinstein –

Osborne, 1982, definice 268.3): Jádro koaliční hry , ( i) je množina všech

pro které neexistuje koalice S a vektor takové, aby platilo pro všechna . Nyní reformulujeme redistribuční model jako výše charakterizovanou koordinační hru: - máme N hráčů, - množina X je určena rovnicemi (1) a (2):

-

- preference hráčů jsou konkretizovány tak, že platí: x i x’ . Nyní nás bude zajímat, za jakých podmínek existuje jádro této hry. Ptáme se tedy, jestli existuje rozdělení takové, že není pro hráče výhodné vytvářet žádné koalice. Pro jednoduchost podmínku odvodíme pro nejjednodušší případ se 3 homogenními hráči. Předpoklad

homogenity zajišťuje, že . Potom:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.1) je jádrem tehdy, když .

S N( )V S Xi N

, ,N V X

( )x V N ( )y V S iy x

i S

1 1

: 1,... : 1; ( )n n

Ni i i

i i

X x R i n x x a R a x

( ) : \ : 1jV S x X j N S x

i ix x

1 2 3 0a a a a

0 0 0( ) ( , , )V N a a a

12 0 0( ) ( , ,1)V S

13 0 0( ) ( ,1, )V S

23 0 0( ) (1, , )V S

0 0a

(S, d) kde S vyhovuje rovnici

S(x, y, z) = 0

(je kompaktní, konvexní)

d jsou průměrnou očekávanou výplatou hráčů v nekoaliční hře (vyplývá z předpokladu, resp. axiomu plné symetrie), tj. 2/3 hodnot výplaty v

případě, že hráč je ve vítězné koalici.

Za arbitrární řešení této hry vezmeme obdobu Raiffova sekvenčního řešení, kde za di v navazující sekvenční hře vezmeme odpovídající

hodnoty vycházející z průměrné očekávané výplaty příslušné navazující hry 1. typu.

Podle mého názoru (který je nutné empiricky testovat) se jedná o nejvhodnější koncept, který umožňuje zkoumat, jak se budou hráči chovat v

podmínkách, kdy existují náklady diskriminace, tj. když dochází k poklesu výkonnosti systému v případě, že je některý hráč diskriminován.

Ve hrách typu Tragédie společného a od nich odvozených se doposud zabývaly pouze případy, kdy hráč, který zjistí porušení pravidel jiným

hráčem, má tři možnosti, jak na toto zjištění reagovat:

- Neučinit nic (což má své důvody).

- Začít porušovat pravidla rovněž.

- Oznámit porušení pravidel ostatním hráčům, z čehož pak vyplývá trest pro hráče porušujícího pravidla.

Případ, kdy hráč, který zjistil porušení pravidel jiným hráčem, začne hráče porušujícího pravidla vydírat, krýt a protěžovat, doposud v rámci

standardní teorie her není zkoumán. Zčásti je to dáno tím, že model, kterým bychom příslušnou situaci chtěli popsat, není jednoduché

sestavit. Není ani zřejmé, kam by takový model bylo možné zařadit, resp. o kterou část teorie se opřít a jaký aparát využít. Již proto, že se zde

musí uvažovat vztahy mezi různými „jednotkami“, tj. v našem případě tím, co jsme nazvali redistribučními systémy. Porušování pravidel v

jednom systému „přeskočí“ do jiných systémů a zde má protěžování hráčů konkrétní podobu predeterminování vzniku koalic.

Navíc je zřejmé, že se nový prvek (krytí, vydírání a protěžování hráče) netýká jen dvojice hráčů, že tyto prvky budou mít tendenci se řetězit.

To znamená, že budou vznikat struktury založené na vzájemném krytí porušování obecně přijatých zásad, které budou hrát velmi významnou

roli ve společenském dění.

Toto je naprosto klíčový model. Realita se stává zvrácenou a začínají platit úplně jiná pravidla než v situacích,

kdy struktury založené na vzájemném krytí porušování obecně přijatých zásad nepůsobí.

(Mj. již proto, že zde působí „místo trestu povýšení, místo povýšení trest – to naprosto rozvrací stávající systém

morálky, institucí apod. Toto je ovšem sdělení v popularizované podobě. Pro pochopení toho, co s tím, je nutné

mít exaktní popis toho, o co jde.)

Jen namátko případ z poslední doby: „Když šéf jednoho z odborů ministerstva zahraničních věcí odhalil, že se na úřadě předražovaly zakázky

až o desítky milionů, čekala ho místo pochvaly výpověď. Ministr Karel Schwarzenberg o problémech věděl a nechal věc prošetřit. Policie však

případ odložila.“

Hypotéza: Vztahy spřízněnosti, které vedou k vytváření struktur založených na vzájemném porušování obecně

přijatých zásad mají tendenci dominovat oproti všem ostatním vztahů spřízněnosti, tj. mají tendenci rozrůstat se,

prorůstat do různých redistribučních systémů a podřizovat si ostatní vztahy spřízněnosti.

1. Nezbytnou podmínkou stability struktury založené na vzájemném krytí porušování obecně přijatých zásad je to, aby měla jádro

vyjednávání vlivu dosahovaného prostřednictvím pákových a synergických efektů této struktury.

2. Toto jádro vyjednávání vlivu se vytváří spontánně, přičemž klíčovou roli hraje schopnost hráčů, kteří jádro vytvářejí, vyjednat a dodržet

společně přijatelné rozdělení efektů dosahovaných prostřednictvím pákových a synergických efektů struktury založené na vzájemném

krytí porušování obecně přijatých zásad.

Rozlišme: Primární redistribuční systémy jsou ty, které jsme uvažovali doposud; sekundární pak ty, které v podobě jádra vyjednávání vlivu jsou

nutnou podmínkou stability a schopnosti přežívání struktur založených na vzájemném krytí porušování obecně přijatých zásad, kteréhožto porušení

se dopouštějí v primárních redistribučních systémech hráči vytvářející tyto struktury. Pak:

1. V primárních redistribučních systémech je vytváření koalic a rozdělení výplat predeterminováno vztahy spřízněnosti, kterým mají tendenci

dominovat vztahy založené na vzájemném krytí (vydírání a protěžování) spojené s působením struktur založených na vzájemném krytí porušování

obecně přijatých zásad. Tj. vztah mezi vyjednáváním diskriminujících koalic a společně přijatelné rovnováhy zde není podstatný, je zastíněn či

přehlušen tím, co predeterminuje tvorbu diskriminujících koalic.

2. V sekundárních redistribučních systémech hraje klíčovou roli přechod od vyjednávání diskriminujících koalic k vyjednávání společně přijatelné

rovnováhy a dodržení této rovnováhy. Proto i analýza vztahu mezi vyjednáváním diskriminujících koalic a společně přijatelné rovnováhy je zde

podstatná, protože s jejím využitím lze „zviditelnit“ to, co jinak zůstává skryto.

The basic case comes in § 21: The Simple Majority Game of Three Persons. The following are the most important passages and paragraphs from which they were taken: “Each player, by a personal move,

chooses the number of one of the two other players. Each one makes his choice uninformed about the choices of the two other players. … If two players have chosen each other’s numbers we say that they form

a couple. Clearly there will be precisely one couple, or none at all. If there is precisely one couple, then the two players who belong to it get one-half unit each, while the third (excluded) player correspondingly

loses one unit. If there is no couple, then no one gets anything… Since each player makes his personal move in ignorance of those of the others, no collaboration of the players can be established during the

course of the play.“ [8, pp. 222-223.] As thoroughly described, the game may end up either in two players receiving ½ each and the third player -1, or in each player obtaining 0. This is one of the simplest three-

person games, yet it can be extended into a more complex one. In § 21.3., the authors stress that “the game is wholly symmetric with respect to the three players” [8, p. 224]. This statement will prove very

important. The authors are rather specific in claiming that any potential agreement among the players will always be reached outside the basic game (i.e. it would be an outcome of another game). As a follow-up,

the authors take the first step and extend the basic (elementary) model of the simple majority game of three persons (§ 22.1.2.): “…let us now consider a game in which each coalition offers the same total return,

but where the rules of the game provide for a different distribution. For the sake of simplicity, let this be the case only in the coalition of players 1 and 2, where player 1, say, is favored by an amount ε… If the

couple 1,2 forms, then player 1 gets the amount ½+ε, player 2 gets the amount ½–ε ,and player 3 loses one unit. If any other couple forms (i.e. 1,3 or 2,3) then the two players which belong to it get one-half unit

each while the third (excluded) player loses one unit. – What will happen in this game ? – …Prima facie it may seem that player 1 has an advantage, since at least in his couple with player 2 he gets more ε than

in the original, simple majority game. – However, this advantage is quite illusory. If player 1 would really insist on getting the ε in the couple with player 2, then this would have the following consequence: The

couple 1,3 would never form, because the couple 1, 2 is more desirable from 1’s point of view; the couple 1, 2 would never form, because the couple 2,3 is more desirable from 2’s point of view; but the couple

2,3 is entirely unobstructed, since it can be brought about by a coalition of 2,3 who then need pay no attention to 1 and his special desires. Thus the couple 2,3 and no other will form; and player 1 will not get

½+ε nor even one-half unit, but he will certainly be the excluded player and lose one unit. – So any attempt of player 1 to keep his privileged position in the couple 1,2 is bound to lead to disaster for him. The best

he can do is to take steps which make the couple 1,2 just as attractive for 2 as the competing couple 2,3. That is to say, he acts wisely if, in case of the formation of a couple with 2, he returns the extra ε to his

partner.“ [8, p. 226] This point cannot be overstressed. It explains in depth why the players in the winning coalition have to share their payoff equally. If one of them wanted more, he would find himself outside the

coalition and end up losing, rather than profiting (in a zero-sum game). We will further extend the model described in the book and address a case of different amounts that can be gained at the expense of the

third player if the two remaining players form a coalition. The problem is described in paragraph 22.2., entitled Coalition of Different Strength and can be briefly summarised as follows: Let’s assume there are

amounts a, b, c (a = what players 2 and 3 may get from player 1, etc.). If player 1 wanted payoff x, then players 2 and 3, after subtracting payoff x, must be left with more than or as much as players 2 and 3

would obtain from player 1 if 2 and 3 cooperated, i.e. (c–x)+(b–x)>a. This means x<(–a+b+c)/2. Thus player 1 may count upon obtaining the maximum payoff of α=(–a+b+c)/2, and likewise players B and C may

expect obtaining payoffs β=(a–b+c)/2 or γ=(a+b–c)/2. [8, p.228]