Munka és energia
description
Transcript of Munka és energia
Munka és energia
Munka
• Ha állandó F erő hatására az erő irányában s úton elmozdul a test, akkor az erő munkája:
W = F·s [Nm = J]
• Ha állandó F erő hatására az elmozdulás szöget zár be erő irányával, akkor s úton az erő munkája:
W = F·s·cos
Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul.
Munka
• Általános definíció:
W = F·r·cosF·r
i
N
iiBAW rF
1
rFrF dWB
A
i
N
ii
NBA
1
lim
Emelési munka
• Függőlegesen mozgatunk egy testet.
• A nehézségi erő ellenében végez az F erő munkát.
• A mozgás egyenletes, az F erő nagysága ugyanakkora, mint a nehézségi erő:
F = m·g
We= m·g·h
Gyorsítási munka
• Ha egy kezdetben nyugvó testre állandó erő hat, a test egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végez.
• A test a mozgás során az erő irányába mozdul el, így munkavégzés történik.
F= m·a
We= m·a·s = m·a·½at2= ½ m·a2·t2= ½ m·v2
Lineáris erő ellenében végzett munka
• Lineáris erő: F ~ x
• Rúgó erő ellenében végzett munka:
F =D x
2
2
1DxDxdxFdxW
Energia• Energia Munkavégző képesség• Egy meghatározott A állapotban levő test
energiával rendelkezik, ha megfelelő körülmények között munkavégzésre képes.
• Energiáját azzal a munkával mérjük, amelyet a test végez, míg egy A állapotból a megállapodás szerint választott A0 állapotba jut, vagy azzal a munkával, amelyet a testre ható erők ellenében végeznünk kell, míg A0 -ból A-ba juttatjuk.
• Az energia mértékegysége megegyezik a munkáéval. [J]
Helyzeti (potenciális) energia
• Bármely magasságba felemelt testeknek van energiája.
• A gravitációs erő képes a felemelt testet mozgásba hozni.
• A helyzeti energia szempontjából alapállapotnak tetszőleges magasságot tekinthetünk.
E = mgh
Mozgási (kinetikus) energia
• Ha bármely test valamilyen v sebességgel mozog, annak energiája van. Alapállapotnak ebben az esetben a nyugalmi állapotot tekintjük.
Ekin= ½ m·v2
Rugalmas energia
• A kihúzott rugónak energiája van. Alapállapotnak ebben az esetben a test feszítés előtti állapotát tekintjük.
2
2
1DxE
Munkatétel
• Egy tömegpont kinetikus energiájának megváltozása megegyezik a ráható erők eredője által végzett munkával:
22
2
1
2
1AB
B
A
vv mmdW rF
Konzervatív erőtér
• A térnek azt a tartományát, amelyben az odahelyezett testekre erő hat, erőtérnek vagy mezőnek nevezzük.
• Az erőterek minden pontjához rendelhetünk egy fizikai mennyiséget, azt a munkát, amelyet az erőtér végez, miközben a test az adott pontból egy vonatkoztatási pontba jut. Ez a munka konzervatív erőterek esetén csak az erőtértől és a két pont megválasztásától függ.
• A vonatkoztatási pontot rögzítve már csak az erőtérnek és a vizsgált pontnak a függvénye.
Konzervatív erőtér
• Konzervatív erőtérnek nevezzük azt az időben állandó erőteret, amelyben tetszőleges zárt görbe mentén a végzett munka zérus
0 rF d
Konzervatív erőtér
• Konzervatív erők:– nehézségi erő– gravitációs erő– (elektromos erő)
• Nem konzervatív erők:– súrlódási erő– közegellenállási erő
A mechanikai energia megmaradásának tétele
• A mozgási, a helyzeti és a rugalmas energiát közös néven mechanikai energiának nevezzük.
• Egy konzervatív erőtérben mozgó tömegpont kinetikus és potenciális energiájának összege (összes mechanikai energiája) a mozgás folyamán állandó.
állandóEEE potkin
Teljesítmény
• Teljesítmény az időegység alatt végzett munka
t
WP
s
JW
Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
• Lineáris erőtörvény, rugalmas erő: F=-Dx
• D a direkciós állandó
F = ma
-Dx = ma
axm
D
Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
• bevezetve: 2
m
D
xdt
xd 22
2
xa 2
Keressük az egyenlet megoldását!
az általános megoldás két független megoldás lineáris kombinációjaként állítható elő:
és
ahol B és C tetszőleges állandók, amelyeket a kezdeti feltételekből határozhatunk meg.
ttx sin)(1 ttx cos)(2
tCtBtx cossin)(
Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
A kezdeti feltételekből: ha t = 0 esetén a kezdeti kitérés és sebesség értéke x0 és v0, akkor:
x(t=0) = x0 = C
A sebességfüggvényt a kitérés idő szerinti differenciálásával kaphatjuk:
tCtBtvtx sincos)()(
Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
t = 0 esetén: Bvtv 0)0(
0v
B
txtv
tx
cossin)( 00
Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
C-t és B-t behelyettesítve:
ésBevezetve a
cos0 Av
sin0 Ax
jelöléseket:
sinsincoscossin
felhasználva:
tAtx sin)(
Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
tAtAtx cossinsincos)(
kapjuk:
A amplitúdó és a fázisszög (kezdőfázis)
A és a kezdeti feltételek (x0, v0) által meghatározottak:
2
202
0 v
xA 0
0
v
xtg
Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
tAtx sin)(
Pontrendszerek mechanikája
Pontrendszer a kettő, vagy ennél több tömegpont együttese
• n a pontrendszerhez tartozó tömegpontok száma
• m1, m2, … mn az egyes tömegpontok tömege.
• ri az mi tömegpont helyvektora
Pontrendszerek mechanikája
• Fi az i-dik tömegpontra ható eredő, függ a többi tömegpont helyétől, sebességétől:
• n db differenciál vektoregyenlet, megoldása nehéz
iinni mvvrr rF )...;,...( 11
Pontrendszerek mechanikája
• Az i-dik tömegpontra ható erőket a rendszer szempontjából külső és belső erőkre oszthatjuk fel
• Fij az i-dik tömegpontra a j-dik által kifejtett ún. belső erő, míg a pontrendszeren kívüli objektumok által mi-re kifejtett külső erőhatások eredőjét Fi jelöli.
• Nyilvánvalóan Fii = 0.
Pontrendszerek mechanikája
• az i-edik tömegpont mozgásegyenlete így:
• a pontrendszer mozgását leíró egyenleteket összeadva kapjuk:
ii
n
jiji m rFF
1
ii
iji
iji
i m rFF ,
Tömegközéppont
• Newton III. tv.-e értelmében: Fij=Fji ezért :
• A jobb oldalt átalakítva:
0,
ji
ijF
tkpö
ii
iiiö
iii m
m
mmm r
rr
tkp
ii
iii
m
mr
r
Tömegközéppont helyvektora
Tömegközéppont tétel
• Egy pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer teljes tömege ebben a pontban lenne egyesítve, és rá hatna a külső erők eredője. Ez a tömegközéppont tétele.
tkpöi
i m rF
Impulzustétel
• A jobb oldalt másként átalakítva:
• A pontrendszer teljes impulzusa:
• Impulzustétel: egy pontrendszer teljes impul-zusának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a rendszerre ható külső erők eredőjével:
i
i
i
ii
i
ii
ii dt
d
dt
md
dt
md IvrF
)()(
i
iII
i
i dt
dIF
Impulzusmegmaradás törvénye
• A pontrendszer belső erői tehát nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát.
• Az impulzustétel speciális esete az impulzusmegmaradás törvénye, amely kimondja, hogy egy zárt rendszer esetén, vagy ha a külső erők eredője 0 a rendszer teljes impulzusa időben állandó.
0i
iF I = const.
Ütközések• Az ütközések során általában két (v. több)
objektum kerül nagyon rövid ideig tartó intenzív kontaktusba.
• Az ütköző testeket egyetlen pontrendszernek tekintve elmondhatjuk, hogy az ütközés során a belső erők játszanak meghatározó szerepet, ezek azonban nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát.
Ütközések
• Az impulzusmegmaradás törvénye még külső erők jelenlétében is jó közelítéssel teljesül, ha közvetlenül az ütközés előtti és utáni időpillanatokat hasonlítjuk össze.
• ha t=0, akkor I is elhanyagolható• Az ütközések tárgyalása során tehát általában
érvényesnek tételezzük fel az impulzusmegmaradás törvényét.
ti )( FI
Ütközések
• Centrális ütközés: a két érintkező felületnek az ütközési ponthoz tartozó normálisa, az ütközési normális egybeesik a két pont tömegközéppontját összekötő egyenessel
• Egyenes vagy ferde ütközésről beszélünk aszerint, hogy közvetlenül az ütközés előtt a két golyó sebességvektora egy egyenesbe esik vagy nem.
Ütközések
• Az ütközés során a találkozó testek deformálódnak, majd az ütközés után vagy visszanyerik eredeti formájukat (rugalmas ütközés), vagy a deformáció tartós marad (rugalmatlan ütközés).
• Ütközések általában bonyolult jelenségek!!!
• Mi csak a transzlációs mozgást végző homogén golyók ütközésével foglalkozunk.
Tökéletesen rugalmas ütközés
m1v1+m2v2 = m1u1+m2u2
• m1 és m2 tömegű testek sebessége ütközés előtt: v1, v2
• ütközés után: u1 , u2
222
211
222
211 2
1
2
1
2
1
2
1umumvmvm
Egydimenziós rugalmas ütközés
222111 vumuvm
22
222
21
211 vumuvm
A másodikat osztva az elsővel:
2211 uvuv
2121 uuvv
Egydimenziós rugalmas ütközés
• Speciális esetek: m1 = m2 akkor u1= v2 és u2= v1
221
21
21
211
2v
mm
mv
mm
mmu
121
12
21
122
2v
mm
mv
mm
mmu
Egydimenziós rugalmas ütközés
• Speciális esetek: m1 = m2 akkor u1= v2 és u2= v1
221
21
21
211
2v
mm
mv
mm
mmu
121
12
21
122
2v
mm
mv
mm
mmu
m2 >> m1 és v2 =0, akkor u2= 0, u1≈ v1
Ha az egyik test tömege jóval nagyobb mint a másik, akkor az gyakorlatilag mozdulatlan marad az ütközés során, míg a másik ugyanakkora sebességgel pattan vissza.
Tökéletesen rugalmatlan ütközés
Ebben az esetben a deformáció az ütközés után tartósan megmarad, a testek összetapadva egy közös sebességgel együtt mennek tovább,
u1 = u2 = u
m1v1+m2v2 = (m1+m2)u
21
2211
mm
mm
vv
u
A valóságos ütközések a rugalmas és rugalmatlan határeset közötti átmenetként értelmezhetők. A testek ugyan visszapattannak, de a deformáció egy része megmarad.
Hogy a valós ütközés milyen mértékben közelíti a tökéletesen rugalmas ütközést, azt egydimenziós esetben az ún. ütközési együttható fejezi ki:
12
21
vv
uuε
Ütközés
tökéletesen rugalmas ütközésnél 1, tökéletesen rugalmatlannál 0, egyéb esetben 1 > > 0.
Abban a speciális esetben, ha m2 >> m1 (pl. fal),
akkor , amelynek megnyilvánulásaként pl. egy pattogó labda egyre kisebb magasságra pattan fel, amíg végül megáll.
11 vu
Ütközés
Az i-dik tömegpontra vonatkozó mozgásegyenlet mindkét oldalát az ri helyvektorral balról
vektoriálisan megszorozva:
Forgatónyomaték:
Az impulzusmomentum tétele
iiij
ijiii m rrFrFr
FrM
ii
n
jiji m rFF
1
Az impulzusmomentum tétele
A jobboldalt átalakítva:
Impulzusmomentum: iiii m rrN
iiij
iji m rrMM
iiiiiiii dt
dm
dt
dm
dt
drrrrrr
Az impulzusmomentum tétele
Az összes i-re összegezve:
dt
d
dt
d
dt
d
ii
i
i
jiij
ii
NN
NMM
,
ahol N jelöli a pontrendszer teljes impulzusmomentumát.
Az impulzusmomentum tétele
• Ha a belső erők centrálisak, azaz a belső erők a tömegpontokat összekötő egyenesek irányába mutatnak, akkor a belső erők forgatónyomatékainak összege zérus.
• Tekintsük két tömegpont egymásra kifejtett forgatónyomatékainak az összegét. A hatás-ellenhatás törvénye alapján Fij = Fji,
0 ijjiijjiji FrrFrFr
Az impulzusmomentum tétele
• Az impulzusmomentum tétele szerint ha a belső erők centrálisak, akkor egy pontrendszer teljes impulzusmomentumának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a külső erők forgatónyomatékainak összegével.
dt
d
ii
NM
Impulzusmomentum megmaradás tétele
• Speciális eset:
Egy zárt rendszer esetén, vagy ha a külső erők forgatónyomatéka zérus, akkor a pontrendszer teljes impulzusmomentuma időben állandó.
.konst0 NN
Mdt
d
Merev testek mechanikája
• Az olyan pontrendszereket, ahol a tömegpontok közti távolságok a mozgás folyamán nem változnak, merev testeknek nevezzük.
• Egy merev test helyzetét 6 független adat határozza meg, azaz egy merev test szabadsági fokainak száma 3n helyett csupán s = 6. (n a tömegpontok száma.)
Merev testek mechanikája
• A merev test alapvető mozgásai:– transzláció: a test minden pontja egyidejűleg
egymással párhuzamos, egyenes vonalú pályán mozog.
– rotácó: egy meghatározott egyenes, a forgástengely pontjai helyzetüket változatlanul megtartják, a test többi pontjának pályái pedig a forgástengelyre merőleges síkban fekvő körívek.
Merev testek mozgása
• A merev testek mozgására érvényesek mindazok az általános tételek, amelyeket a pontrendszerek esetében levezettünk. A tömegközéppont tétele és az impulzusmomentum tétele:
tkpöi
i m rF i
i dt
dNM
Merev test forgása rögzített tengely körül
Legyen z a forgástengely
mi körmozgást végez
ri merőleges vi-reiiii m vrN
iiii vrmN
i
i
N i
N iz
r i
v i
m i
Z
l i
iiiizi vrmN cos,
Merev test forgása rögzített tengely körül
ii lv
2, iizi lmN
i
i
N i
N iz
r i
v i
m i
Z
l i
iiiizi vrmN cos,
iii lr cos
Merev test forgása rögzített tengely körül
i i
iiziz ΘlmNN 2,
i
iilm 2
az adott forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték
Merev test forgása rögzített tengely körül
Θβdt
dωΘ
dt
dNM z
z
M
Mechanikai hullámok
• Mechanikai hullámról beszélünk akkor, ha egy rugalmas közeg egyensúlyi állapotát valamiképpen megbolygatva az előidézett zavar tovaterjed a közegben.
• A hullámok terjedése során a közegrészecskék egyensúlyi helyzetük körül rezegnek, azaz átlagos elmozdulásuk zérus.
Mechanikai hullámok
Ha a közeg részecskéi a terjedési irányra merőleges mozogást végeznek, akkor transzverzális hullámról van szó.
Mechanikai hullámok
Ha a közeg részecskéi a terjedés irányában rezegnek, akkor longitudinális hullámról beszélünk,
A longitudinális hullámoknál sűrűsödések és ritkulások terjednek tova.
Harmonikus hullámok matematikai leírása
• Egy harmonikus rezgést végző hullámforrás szinuszos (harmonikus) hullámok megjelenéséhez vezet, amelyeket amplitúdójuk, hullámhosszuk, frekvenciájuk ill. sebességük jellemez.
• A hullám amplitúdóját a közegrészecskék maximális kitérése adja meg, míg hullámhossznak () a hullám azonos fázisban rezgő szomszédos pontjainak távolságát nevezzük. Ha a részecskék rezgésideje T, akkor nyilvánvalóan a hullám T idő alatt távolságot tesz meg.
Harmonikus hullámok matematikai leírása
Tcfc
Harmonikus hullámok matematikai leírása
0000 sinπ2π2
sin,
tkxt
Txtx
π2
k
ahol
a hullámszám,
T
π2 pedig a rezgő részecskék
körfrekvenciáját jelöli
Általában interferenciáról beszélünk akkor, ha két vagy több hullám egy adott térrészben találkozik.
Az eredő hullám a szuperpozíció elve alapján szerkeszthető meg, azaz a tér egyes pontjaiban a jelenlevő rezgések összeadódnak.
Hullámok találkozása, interferencia
Szűkebb értelemben akkor beszélünk interferenciáról, ha a két hullám összegződése időben állandó hullámképet (intenzitáseloszlást) hoz létre.
Ilyet csak azonos frekvenciájú és állandó fáziskülönbséggel találkozó hullámok adhatnak, ezeket nevezzük koherens hullámoknak.
Hullámok találkozása, interferencia
Interferencia
Ha a találkozó hullámok fáziskülönbsége 0, 2, 4, …stb. akkor maximális erősítés,
ha , 3, … stb. esetén maximális gyengítés, egyenlő amplitúdóknál pedig kioltás jön létre.