Mundo Geométrico

MUNDO GEOMETRICOLIBRO DE TEORÍA DE GEOMETRÍA

Dra. Gloria Bustamante

Segunda edición


MUN

DO G

EOM

ÉTRI

CO


Segunda edición

LIBR

O DE

TEO

RÍA

DE G

EOM

ETRÍ

A

El presente libro se realizó debido a la necesidad de tener un apoyo para los estudiantes y docentes en el estudio de la geometría plana, en todos los niveles del sistema educativo. Razón por la cual este libro comien-za del estudio de la geometría desde sus comienzo A.C. (Antes de Cristo) hasta la actualidad, donde se estudia-ron los términos primitivos como punto, recta y pla-no con sus diferentes teoremas y axiomas. Se realizó un estudio de los diferentes polígonos con todas sus propiedades y cálculo de áreas: haciendo énfasis en los triángulos realizando un estudio minucioso, estudian-do todos sus elementos, su clasificación y los diferentes criterios como los criterios de congruencia y seme-janzas, también se estudiaron los diferentes teoremas tales como Pitágoras, Thales, Stewart, de Apolonio y la ley del seno y coseno entre otros. Se estudió la cir-cunferencia y los tipos de recta que pasan por ella, los ángulos de la circunferencia, su posición relativa y la construcción de figuras planas conociendo algunos de los elementos, en todos los puntos estudiados se tienen problemas resuelto y propuestos para el mayor enten-dimiento de las personas que utilicen este libro y que sea un gran aporte.

FONDO EDITORIAL

UNERMB UNERMB

República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Nacional Experimental

Rafael María BaraltFONDO EDITORIAL

UNERMB UNERMB


Rafael María Baralt



Segunda edición


MUN

DO G

EOM

ÉTRI

CO


Segunda edición

LIBR

O DE

TEO

RÍA

DE G

EOM

ETRÍ

A


FONDO EDITORIAL

UNERMB UNERMB



UNERMB UNERMB



MUNDO GEOMÉTRICO

LIBRO DE TEORÍA DE GEOMETRÍA

A mis alumnos que siempreme brindaron su apoyo

Dra. Mayela Vilchez

Rectora

Dr. Miguel Sanchez

Vicerrector Académico

Ing. Yogri Castillo

Vicerrector Administrativo

Dra. Oda Gonzalez

Secretaria

M.Sc Victoria Martínez

Directora Programa Educación

FONDO EDITORIAL UNERMB.Colección: Una Asignatura un Libro.

El Fondo Editorial de la Universidad Nacional Experimental Ra-fael María Baralt (UNERMB) es un órgano universitario de difusión de información que brinda apoyo a las sociedades académicas y a la comunidad en general en materia de difusión y extensión. Su ob-jetivo primordial consiste en estimular y promover las publicaciones de los investigadores de nuestra universidad; así como también, de las comunidades en general para que sus progresos en materia de investigación puedan ser difundidos y compartidos con el resto de la sociedad.

En el caso particular de la colección “Una Asignatura un Libro” la misma tiene como propósito poner a disposición de los alumnos material bibliográfico de las asignaturas a precios accesibles; en este sentido, se publican compilaciones y producciones propias de los docentes referidas a las asignaturas relativas al pensum de es-tudio de nuestra universidad.

En nombre del Fondo Editorial de la UNERMB, agradecemos de manera especial el esfuerzo de la profesora Gloria Bustamante por su esfuerzo e interés en preparar esta guía de ejercicios en el área de geometría; tan útil, para nuestros estudiantes universita-rios y para todo aquel interesado en esa área de estudio.

Jorge Vidovic López Coordinador del Fondo Editorial - UNERMB

Dedicatoria 3

Prólogo 11

Introducción 13

HISTORIA DE LA GEOMETRÍA 15

Generalidades de la geometría 17

Definición de términos primitivos 19

Tipos de rectas 21

Operaciones con segmentos 25

Axiomas de incidencias 29

Axioma de orden 29

Ejercicios resueltos de términos primitivos 30

Ejercicios propuestos de términos primitivos 35

ÁNGULOS 38

Definición de ángulo 38

• Clasificación de ángulos de acuerdo a sus medidas 39

• Clasificación de acuerdo a su posición 41

Ángulos entre dos rectas paralelas 42

Teorema de tales 45

Principios de las rectas paralelas 45

Medidas de ángulos en diferentes sistemas 46

Ejercicios resuelto de ángulo en los diferentes sistemas 46

Sistema sexagesimal a sistema circular 46

Sistema circular a sistema sexagesimal 47

10

Operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal 49

Adición de ángulos en el sistema sexagesimal 50

Producto de un ángulo por un escalar 53

División de un ángulo entre un escalar 54

Ejercicios resueltos de reducción de ángulos 55

Ejercicios propuestos de ángulos 57

POLÍGONOS / CALCULO DE AREA 64

Elementos de un polígonos 64

Polígonos regulares e irregulares. 65

Clasificación de los polígonos de acuerdo a sus lados. 66

Estudios de los polígonos. 67

Ejercicios resuelto de polígonos. 72

Ejercicios propuesto de polígonos 75

TRIANGULOS 77

Elementos de un triángulo 77

Principios de los triángulos 79

Clasificación de los triángulos 80

• Clasificación de los triángulos de acuerdo a sus ángulos

80

• Clasificación de los triángulos de acuerdo a sus lados 82

Segmentos y puntos notables 83

Congruencia de triángulos 86

Criterios de congruencia de triángulos 87

Criterios de congruencia de triángulos rectángulos 89

• Teoremas fundamentales 90

• Teorema de Pitágoras 90

11

• Teorema de thales 91

• Teorema de Euclides 92

• Teorema de Stewart 93

• Teorema de Apolonio 93

• Teorema del seno 94

• Teorema del coseno 94

• Teorema de las Tangentes 95

Ejercicios resueltos de triángulos 96

Ejercicios propuestos de triángulos 98

PROPORCIONALIDADES YSEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 105

Tipos de proporcionalidades 106

Teorema de Thales 107

Principios de las proporcionalidades 108

Semejanza de triángulos 110

Criterios de semejanza de triángulos 110

Medidas proporcionales en un triángulo rectángulo 112

Teorema de Pitágoras 113

Ejercicios resueltos de semejanza de triángulos 113

Ejercicios propuestos de semejanza de triángulos 115

CIRCUNFERENCIA 117

Partes de una circunferencia 118

Circulo 120

Principios de la circunferencia 121

Posición relativa de la circunferencia 121

Ángulos en una circunferencia 123

Ejercicios resueltos de circunferencia 126

12

Ejercicios propuestos de circunferencia 129

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS 132

Ejercicios resueltos de figuras planas 132

Ejercicios propuestos de figuras planas 134

Bibliografía 136

13

Durante el devenir de su ejercicio profesional, la Dra. Gloria Leonor Bustamante, se ha preocupado por dejar un legado físico sobre su producción intelectual en el área de la matemática, es-pecíficamente en la rama denominada Geometría, que sirva de apoyo al proceso de enseñanza aprendizaje de la misma.

De allí, que se traza como meta la socialización del saber a través de la publicación de su primer texto denominado “Mundo Geométrico”, en el cual se presenta una síntesis histórica de esta rama del conocimiento matemático así como los aspectos teórico prácticos referentes a la resolución de problemas de la vida cotidiana en los que se requiera la aplicación de aspectos geométricos como el cálculo de áreas, la construcción o la de-mostración de teoremas y/o axiomas de las figuras planas.

14

La claridad y el progresivo grado de profundidad, con el que la autora presenta el contenido del mismo, aunado al notable éxito de la anterior edición y a la puesta en práctica que los docentes y estudiantes del Proyecto Matemática y Física de la Universi-dad Nacional Experimental “Rafael María Baralt”; ha conllevado a la preparación de esta segunda impresión con la cual se pre-tende seguir contribuyendo a la formación del profesional que necesita la nación en los actuales momentos.

Es por ello, que ante una comprobada praxis educativa y de investigación de la autora y de su eterna preocupación por op-timizar la enseñanza de la geometría en los distintos niveles educativos y la formación de los docentes de relevo en el área matemática, que se recomienda este libro muestra del amor, la dedicación y el esfuerzo profesional que se traducen en un res-petuoso y sincero legado a la ciencia matemática y a su continua aplicación en el hecho educativo y en la cotidianidad de la vida humana.

Para finalizar, quiero expresar mi agradecimiento sincero, la admiración y el honor que ha representado para mí prologar este extraordinario texto, augurándole a la Dra. Bustamante mu-cho éxito en esta segunda edición de su primogénita obra.

Dra. Gilsi Domínguez de Silva.Coordinadora del ProyectoMatemática y Física de la

Universidad Nacional Rafael María Baralt.

15

La geometría es una de las ciencias fundamentales en la construcción de conocimientos matemáticos, ayuda a obtener un beneficio positivo en los estudiantes; uno de los beneficios más importante, es que el estudiante utilice criterios, al escu-char, leer y pensar.

Cuando estudia geométrica deja de aceptar a ciegas propo-siciones e ideas y se le enseña a pensar en forma clara y crítica, antes de hacer conclusiones.

Se requiere que los estudiantes de geometría adquieran un lenguaje matemático y geométrico, para poder transmitir ese co-nocimiento y habilidades para analizar una situación o resolver un problema nuevo que se le pueda presentar.

16

El presente libro tiene como objetivo primordial, solventar los problemas que se les presenten a los estudiantes de geometría en la elaboración de ejercicios y que sirva como material de apo-yo.

Este libro desarrollo siguiendo los lineamientos del programa de geometría en la siguiente forma se inicia con una breve histo-ria de la geometría para que el estudiante tenga un breve cono-cimiento histórico del origen de la geometría, generalidades de la geometría y los términos primitivos para introducir un poco el lenguaje geométrico como son los teoremas, axiomas, elemen-tos generales como punto, plano recta y otros.

El estudio de ángulos para conocer todo lo referente a los ángulos como su clasificación de acuerdo a sus medidas y posi-ciones, además se realiza el estudio de ángulos entre dos rectas paralelas y una recta secante para estudiar los diferentes tipos de ángulos que se forman entre ellas.

Se realizo un estudio de los triángulos clasificándolos de acuerdo a sus lados y de acuerdo a sus ángulos, buscado sus puntos notables, criterios de congruencia y semejanza; y todo lo referente a triángulos

Luego se estudio la circunferencia y los polígonos para hallar su perímetro y su área.

Por último estudiamos las construcciones geométricas con re-gla y compás.

Para reforzar los conocimientos se realizaron una serie de ejercicio y se proponen otros para que el estudiante los realice, con ayuda de los conocimientos adquiridos.

17

TÉRMINOS GENERALESHISTORIA DE LA GEOMETRÍA

El origen de la geometría se encuentra en el mismo origen de la humanidad; el hombre primitivo a consecuencia de diferentes actividades prácticas, clasificaba de una manera inconciente los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuiti-vo de la geometría.

Las primeras civilizaciones llegaron obtener conocimientos geométricos a partir de la observación de la naturaleza y en una forma muy práctica.

Los egipcios cultivaron la Geometría de modo muy especial por tener una alta formación matemática: con la finalidad prác-tica que se utilizaba para calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos o recons-truirlas, después de las inundaciones; razón por la cual se cen-traron en el cálculo de área y nociones básicas de semejanza de triángulos.

De allí el nombre de Geometría que significa medida de la tierra que recibió esta ciencia. También se puede decir, aquel origen del término geometría es una descripción precisa del tra-bajo de los primeros geómetras, que se interesaban en proble-mas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.

18

Los egipcios poseían grandes conocimientos de geométricos, esto lo indica la construcción de grandes pirámides, templos y canales. El mayor aporte lo podemos ver en las fantásticas pirá-mides de Gizeh, en Egipto, la Esfínter y otras pirámides, cons-truidas con tal precisión que los errores de las medidas son infe-riores a la anchura de un dedo.

Los griegos introdujeron los problemas de construcción en lo que en ciertas líneas o figuras deben ser construidas utilizando sólo una regla de borde recto y un compás.

Estas transformaciones comenzaron con Tales de Mileto y Pitágoras culminando con Euclides con su famosa obra de los elementos.

Tales de Mileto en el siglo VII a. c fue el primer geómetra helénico y el más antiguo e ilustre de los siete sabios de la an-tigua Grecia. Thales fue el fundador de la escuela Jonica. Fue un astrónomo y filosofo. Sus estudios de Geometría le llevaron a resolver cuestiones como la igualdad de ángulos de la base de un triangulo Isósceles y el valor del ángulo inscrito y a de-mostrar los conocidos teoremas que llevan su nombre sobre la proporcionalidad de los segmentos determinando en dos rectas cortadas por un sistema de rectas paralelas.

Pitágoras de Samos en el siglo VI a.C., fue discípulo de Tha-les de Mileto pero se separo de la escuela jónica y fundó la escuela Pitágoras, a Pitágoras se debe la demostración del teo-rema que lleva su nombre y también se le atribuye a la escuela Pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triangulo y la construcción geométrica del polígono estrellado de cinco lados. El matemático Pitágoras

19

colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como ver-dades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecie-ron a partir de los trabajos sobre el llamado “postulado paralelo” de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos ex-traños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.

GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍALa geometría es la parte de la matemática que se encarga

de estudiar y solucionar problemas concretos en el mundo para la cual es necesario utilizar instrumentos como juegos geomé-tricos, compás, pantógrafo y un sistema de proposiciones axio-máticas que unen a los elementos punto, recta. Plano y otros formadores de las figuras geométricas.

La geometría esta formada por un conjunto de términos in-definidos que constituyen la base sobre la cual se sustenta las definiciones de todas las demás concepto geométricos.

20

La geometría tienen como propósito el estudio de las figuras desde el punto de vista de su forma, extensión y la relación que guardan entre si para ello es necesario tener conjunto de defini-ciones tales como:

Proposición: Es un enunciado, el cual puede ser verdadero o falsa.

Axioma: Son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos, es toda proposición que se acepta sin demostración, es Verdadera por si misma. Existen varios tipos de axiomas tales como axiomas de incidencia y orden.

Teorema: Es una proposición que debe ser demostrada para que pueda ser cierta. En los teoremas podemos distinguir dos parte la primera la hipótesis y la segunda la tesis; donde la hi-pótesis es la suposición de algo cierto y la tesis que queremos demostrar. Para realizar la demostración, consta de un conjunto de racionamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.

Demostración: Para demostrar un hecho, consiste en pro-barlo partiendo de verdades universales y evidentes (Axiomas) y siguiendo una serie de deducciones hasta establecer la veraci-dad donde se utilizan Axiomas, teoremas proposiciones previa-mente establecida.

Postulado: Es una proposición que se admite sin demostra-ción, aunque no tienen la evidencia del axioma.

Corolario: Es un teorema cuya verdad se deduce sencilla-mente de otro ya demostrado.

21

DEFINICIÓN DE LOS TÉRMINOS PRIMITIVOSLos griegos introdujeron los problemas de construcción, en

los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una serie de puntos en línea recta donde por dos se puede trazar una recta.

Arthur Cayley Estudio los primeros elementos de las figuras planas como son punto, línea y plano

Punto: Es una idea intuitiva que no se puede definir, solo po-demos dar idea, como una casa blanca, un avión en el cielo, una marca de un lápiz o una aguja en una hoja de papel y otros.

A B

C

A B C D E

Puntos coliniales son puntos que tienen una misma dirección y están uno detrás del otro.

Los puntos se denotan con letras mayúsculas tales como A, B, C...

22

Recta: Es una idea intuitiva que no se puede definir por ser un término primitivo, pero podemos decir que es un conjunto infinito de puntos coliniales que no tiene punto de origen ni punto final, nos da idea de recta las líneas del cuaderno, la intersección de dos paredes y otros.

Las rectas se denotan con letras minúsculas tales como: l, m, s , p y otros

A B C D E F G H

Semi-recta: es un conjunto infinito de puntos que tiene punto de origen y no tiene punto final

Dado un punto situado sobre una recta determina dos semi-recta opuesta (o sea en sentido contrario) y el origen es el punto dado. No posee longitud ya que es ilimitada.

A A

23

TIPOS DE RECTAS:

Las rectas se dividen de acuerdo a su posición y a su direc-ción en:

DE ACUERDO A SU POSICIÓN.

Rectas paralelas: son las rectas que no se cortan nunca lo que quiere decir que no poseen punto en común, se denota con ║.

Rectas perpendiculares: son las rectas que al cortarse for-man ángulos de 900. se denota con I

Rectas secante: son las rectas que solo se cortan en un solo punto. Y solo forman ángulos diferentes de 900 y se denota X

24

Rectas iguales o coincidentes: son las rectas que coincide en todos sus puntos. m= l

sm

n

DE ACUERDO A SU DIRECCIÓN

Rectas horizontales: un conjunto de rectas son horizontales si son paralelas al eje de la abscisa (eje de las X).

Rectas verticales: son las rectas que son paralelas al eje de la ordenada (eje de las Y).

Recta oblicuas: son las rectas que forman un ángulo dife-rente de 900 con el eje de las abscisas (eje de las X).

25

Plano: Es un conjunto de puntos no colineales, nos da idea de plano la pizarra, una pared, una mesa y otras cosas más.

Los planos se denotan con letras griegas tales como α, β, χ, δ, φ, ϕ, γ, λ, θ, ρ y otras letras griegas.

á

Semi-plano: Toda recta divide a un plano en dos semiplano de borde la recta que lo divide ( la recta pertenece a los dos semi-plano)

a2

a1

Puntos coplanares: Son los puntos que se encuentran en un mismo plano

A B

C

Rectas coplanares: que se encuentra en un mismo plano.

m

26 Dra. Gloria Bustamente

18

Segmento: Es un conjunto finito de puntos coliniales que tiene punto de

origen y punto final, y se denota AB que son el punto de origen (A) y el

punto final (B)

A B

Longitud de un segmento: Es el tamaño del segmento o sea es lo que

mide. Esta representado por un único número real y positivo que le

corresponde a cada segmento.

Segmentos congruentes: Dos o más segmentos son congruentes si y solo

si posee la misma longitud. AB = CD

A B

C D

Punto medio de un segmento: Es el punto que se encuentra entre dos

punto de un segmento y lo divide en dos partes congruentes.

Del segmento AB se tiene que el ponto medio es M, donde AM = MB

A M B

Dra. Gloria Bustamente

18



punto final (B)

A B






A B

C D




A M B

BA

Longitud de un segmento: Es el tamaño del segmento o sea es lo que mide. Esta representado por un único número real y positivo que le corresponde a cada segmento

Segmentos congruentes: Dos o más segmentos son con-gruentes si y solo si posee la misma longitud

A

C

B

D


18



punto final (B)

A B






A B

C D




A M B

A M B

27

A M B

Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento.

OPERACIONES CON SEGMENTOS:

Adición de segmentos:Para sumar dos o más segmentos trazamos una recta y un

punto sobre ella, luego se coloca la medida del primer segmento a la recta y donde termina se coloca el segundo segmento y así sucesivamente hasta terminar con los segmentos y el segmento resultante queda formado por la primera letra del primer seg-mento y la última letra del último segmento.


19

Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular que pasa por el punto

medio de un segmento.

● ● A M B


Adición de segmentos:

Para sumar dos o más segmentos trazamos una recta y un punto sobre ella,

luego se coloca la medida del primer segmento a la recta y donde termina se

coloca el segundo segmento y así sucesivamente hasta terminar con los

segmentos y el segmento resultante queda formado por la primera letra del

primer segmento y la última letra del último segmento.

Sumar AB + CD + EF

● ● ● ● ● ● A B C D E F

A B E F ● ● ● ● C D

AB + CD + EF = AF

A B C D E F

A B C DE F


19

Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular que pasa por el punto

medio de un segmento.

● ● A M B


Adición de segmentos:

Para sumar dos o más segmentos trazamos una recta y un punto sobre ella,

luego se coloca la medida del primer segmento a la recta y donde termina se

coloca el segundo segmento y así sucesivamente hasta terminar con los

segmentos y el segmento resultante queda formado por la primera letra del

primer segmento y la última letra del último segmento.

Sumar AB + CD + EF

● ● ● ● ● ● A B C D E F

A B E F ● ● ● ● C D

AB + CD + EF = AF


20

Sustracción de segmentos:

Para realizar la sustracción de segmentos debemos tener un segmento

mayor que otro, si el segmento minuendo es mayor que el sustraendo el

resultado será un segmento positivo y si el minuendo es menor que el

sustraendo el segmento tendrá sentido contrario. Entonces si AB > CD, y

restamos AB - CD = AD

A B C D

A B ● ● ● D C

pero si AB < CD la sustracción sería AB – CD = CA

A B C D

A B ● ● ● D C


20







A B C D

A B ● ● ● D C


A B C D

A B ● ● ● D C


20







A B C D

A B ● ● ● D C


A B C D

A B ● ● ● D C

Sustracción de segmentos:Para realizar la sustracción de segmentos debemos tener un

segmento mayor que otro, si el segmento minuendo es mayor que el sustraendo el resultado será un segmento positivo y si el minuendo es menor que el sustraendo el segmento tendrá sen-tido contrario.

A B C D

A B

C D

A BC D

A B

C D

29

Combinación de adición y sustracción de segmento.Si se dan varios segmentos, primero se deben sumar los seg-

mentos de signos iguales, luego a los resultados se le aplica la sustracción de segmentos de diferentes signos.

Ejemplo:

Dados los segmentos AB, BC, CD, EF, y GH. hallar (AB + BC + CD) – (EF + GH)

MULTIPLICACIÓN DE UN SEGMENTO POR UN ESCALAR:Para multiplica un segmento por un escalar (un número real

positivo), se obtiene construyendo una recta y un punto sobre ella y se lleva el segmento dado tantas veces como indique el escalar por el que se multiplica y resulta el segmento buscado. Tomando en la notación el punto de origen y el punto final.

Ejemplo:


21

Combinación de adición y sustracción de segmento.

Si se dan varios segmentos, primero se deben sumar los segmentos de

signos iguales, luego a los resultados se le aplica la sustracción de

segmentos de diferentes signos.

Ejemplo:

Dados los segmentos AB, BC, CD, EF, y GH. hallar (AB + BC + CD) – (EF

+ GH)

Multiplicación de un segmento por un escalar:

Para multiplica un segmento por un escalar (un número real positivo), se

obtiene construyendo una recta y un punto sobre ella y se lleva el segmento

dado tantas veces como indique el escalar por el que se multiplica y resulta

el segmento buscado. Tomando en la notación el punto de origen y el punto

final.

Ejemplo:

Dado el segmento AB multiplicarlo por 6

A B

A B A B A B ● ● ● ● ● ● ● A B A B A B

A

A B

A A A

A A

B B B

B BB

30

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO ENTRE UN ESCALAR:Para dividir un segmento entre un escalar se divide en tantas

partes iguales como indique el escalar. Para construirlo coloca-mos el segmento dado, por uno de los extremos trazamos una semirrecta en forma oblicua y colocamos tantos segmentos iguales del tamaño que se desee, como indique el escalar; luego trazamos un segmento desde el último punto de los segmen-tos hasta el otro extremos del segmento dado, para luego trazar segmentos paralelos por los puntos indicados en la recta y que corte el segmento dado.

Ejemplo:


22

División de un segmento entre un escalar:

Para dividir un segmento entre un escalar se divide en tantas partes iguales

como indique el escalar. Para construirlo colocamos el segmento dado, por

uno de los extremos trazamos una semirrecta en forma oblicua y colocamos

tantos segmentos iguales del tamaño que se desee, como indique el escalar;

luego trazamos un segmento desde el último punto de los segmentos hasta

el otro extremos del segmento dado, para luego trazar segmentos paralelos

por los puntos indicados en la recta y que corte el segmento dado.

Ejemplo:

Dividir el segmento AB en 6 partes iguales

A B

1

2

3

4

5

6

A

1

2

3

4

5

6

B

31

AXIOMA DE INCIDENCIA.Los axiomas de incidencia son aquellos que aseguran las con-diciones de existencia entre los puntos, rectas y planos; también indican como inciden unos conceptos en los otros. A1 Existen infinitos punto cuyo conjunto llamaremos espacio.A2 Los puntos del espacio se encuentran agrupados en conjun-tos parciales de infinitos puntos llamados planos y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados rectas.A3 Por dos puntos distintos pasa una y una sola recta.A4: Dado un plano y dos puntos distintos cualesquiera en el plano, existe una recta única que lo contiene.A5

: Dados tres puntos distintos, no alineados existe un plano úni-co que lo contiene.A6 : Si dos puntos distintos de una recta pertenece a un plano, la recta es un subconjunto de ese plano.A7: Si dos planos distintos se interceptan, su intersección es una recta.A8: Existen cuatro puntos no coplanares.AXIOMAS DE ORDEN.Estos axiomas ayudan a determinar la posición y orden que pre-sentan los puntos en las rectas y los planos. A1: A, B y C son puntos colineales distintos dos a dos, enton-ces, B está entre A y C.A2: Si B esta entre A y C, entonces, B esta entre C y A.A3: Si B esta entre A y C, entonces es falso que A esta entre B y C.

32

A4: La recta es un conjunto de puntos linealmente ordenado, abierto y denso. Linealmente ordenado: Índica que es posible definir una re-lación de orden entre puntos de una recta, relación que estaría explicitada por las frases “precede a” o “sigue a”.Abierto: Significa que un punto cualesquiera está entre otros dos, es decir, ningún punto es primero ni último.Denso: Significa que dado dos puntos cualquiera en la recta, siempre existe al menos uno entre ellos. A5: Entre dos puntos siempre existe un punto.A6: A cada par de punto A y B le asignamos un único número real llamado distancia entre A y B.


24

A1: A, B y C son puntos colineales distintos dos a dos, entonces, B está

entre A y C.

A2: Si B esta entre A y C, entonces, B esta entre C y A.

A3: Si B esta entre A y C, entonces es falso que A esta entre B y C.

A4: La recta es un conjunto de puntos linealmente ordenado, abierto y denso.

Linealmente ordenado: Índica que es posible definir una relación de orden

entre puntos de una recta, relación que estaría explicitada por las frases

“precede a” o “sigue a”.

Abierto: Significa que un punto cualesquiera está entre otros dos, es

decir, ningún punto es primero ni último.

Denso: Significa que dado dos puntos cualquiera en la recta, siempre existe

al menos uno entre ellos.

A5: Entre dos puntos siempre existe un punto.

A6: A cada par de punto A y B le asignamos un único número real llamado

distancia entre A y B.

AB 0: AB = 0 y AB = BA.

A7 Todo punto situado en una recta determina dos únicas

semirrectas de origen el punto y sentido contraria.

A7: Todo punto situado en una recta determina dos únicas se-mirrectas de origen el punto y sentido contraria.

EJERCICIOS RESUELTOS DE TÉRMINOS PRIMITIVOS

1.- Teorema 1: Dado tres puntos A, B y C, no coliniales, enton-ces, cualesquiera dos puntos de ellos son distintos.

Hipótesis: Los puntos A, B y C son no coliniales, es decir, no existe una recta que los contenga.

Tesis: A = B; A = C y B = C.

33

Demostración:Supongamos por el absurdo, que A = B, por el axioma existe

una recta l tal que B ∈ l y C ∈ l. Pero como A = B, entonces, A ∈ l por tanto, los puntos A, B y C son coliniales, lo cual es una contradicción, ya que niega la hipótesis. Como la contradicción proviene de considerar A = B se tendrá A = B, de igual forma se demuestra A = C y B = C.

2.- Teorema 2: Si dos rectas se interceptan, entonces la inter-

Solución:

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

B. C y D tal que AB + AC = 10 cm donde AC – AB = 2 cm y AM = 4CM . Calcular el valor de AC, AB, CM y AM.

sección es un punto.

Hipótesis: l1 y l2 rectas distintas tal que l1 ∩ l2 =Ф pero A, PЄ l1 y B ,PЄl2 , porque por dos puntos distintos pasas una y una sola recta, como P pasa por l1 y l2 entonces contradice que l1 ∩ l2 = Ф. Entonces PЄl1, l2 por lo tanto son rectas se interfecta en un punto.

3.- Dado un punto M, punto medio entre A y C, señalar sobre una recta XY cuatro puntos colineales A,

34


26

B. C y D t al que AB + AC = 10 cm donde AC – AB = 2 cm y

AM = 4CM . Calcular el valor de AC, AB, CM y AM.

Solución:

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

AB + AC = 10 cm AB + AC = 10 cm

AC - AB = 2 cm AB + (6cm) = 10 cm

2AC = 12 cm AB = 10 cm - 6 Cm

AC = 12 cm . AB = 4 cm 2 AC = 6 cm

AC = AM + MC por estar M entre A y C; como AM = 4CM lo

AC = 4CM + MC sustituimos en la ecuación.

AC = 5 CM y como AC = 6 cm lo sustituimos

6 cm = 5 CM

6 cm -- CM Sustituimos CM en la ecuación 5

AM = 4 CM

AM -- 4 6 cm AM -- 24 cm 5 5

por estar M entre A y C; como AM = 4CM lo sustituimos en la ecuación.Y como AC = 6 cm lo sustituimosSustituimos CM en la ecuación


27

4.- Sean O, A. B. C, O‟, A‟, B‟ y C‟ puntos colineales donde

O‟A + O‟B + O‟C = 0 y O‟A‟ + O‟B‟ + 0‟C‟ = 0

Demostrar que AA‟ + BB‟ + CC‟ = 0

Solución:

A B C O‟ A‟ B‟ C‟

OA = OO‟ - O‟A

OB = OO‟ – O‟B

OC = OO‟ – O‟C OA + OB + OC = 3OO‟ –O‟A – O‟B – O‟C OA + OB + OC = 3 OO‟ – (O‟A + O‟B +O‟C) donde O‟A+ O‟B+O‟C=0 por hip

OA +OB +OC = 3 OO‟ (1)

O‟A‟ = OA‟ – OO‟

O‟B‟ = OB‟ – OO‟

O‟C‟ = OC‟ – OO‟

O‟A‟+ O‟B‟ + O‟C‟ = OA‟ +OB‟ +OC‟ – 3 OO‟ como O‟A‟+O‟B‟+O‟C‟=0

Entonces O = OA‟ +OB‟+ OC‟ – 3 OO‟ despejando tenemos

3 OO‟ = OA‟ + OB‟ +OC (2)

tomando (2) y (1) restando tenemos que:

O A B C O’ A’ B’ C’

36

O M N


28

(2) OA„+ OB‟ +OC‟ = 3 OO‟

OA + OB + OC = 3 OO

(OA‟- OA) + (OB‟ – OB) + (OC‟ – OC) = 0

AA‟ + BB‟ + CC‟ = 0

Por ser OA‟ – OA = AA‟

OB‟ – OB = BB‟

OC‟ – OC = CC‟

5.- Sea M, N y O puntos colineales donde OM2 + ON2 = 2OM.ON.

Demostrar que MN2 = 0

Solución:

O M N

OM + MN = ON despejamos MN

MN = ON – OM elevamos al cuadrado cada miembro

MN2 = (ON – OM)2 se resuelve

MN2 = ON2 –2.ON. OM + OM2

MN2 = (ON2 + OM2) – 2.ON. OM por hipótesis sabemos que

OM2 + OM2 = 2.ON. OM entonces

MN2 = 2.ON. OM – 2 ON .OM entonces

MN2 = O


29

EJERCICIOS PROPUESTOS DE TERMINOS PRIMITIVOS

1.- Dados cuatro puntos colineales A, B, C y D, donde C es punto medio de

BD tal que AB + AC = 10 cm AC - AB = 2 cm.

Demostrar que: AD = 4 CD.

2.- Dados los puntos colineales, A, B, C, D y E de los cuales sabemos que:

B se encuentra se encuentra entre C y D; E es el origen de las

semirrecta EA y ER. A no se encuentra entre B y C; DB = 2 cm;

BE = 4 cm ; CA = 5 cm y DA = 8 cm.

Determinar EA y BC.

3.- Sea r una recta y P un punto, P Є r entonces existe un único plano

que contiene a r y a P.

4.- Sean dos rectas distintas ( r y s ) que se cortan entonces existe un único

plano que contienen a r y s.

5.- Si O, A y B son puntos colineales, entonces

OA2 + OB2 = AB2 + 2 OA OB

6.- Si O, A, B, C y P son puntos colíneales y 0A + 0B + OC = 0,

entonces PA + PB + PC = 3 PO.

EJERCICIOS PROPUESTOS DE TÉRMINOS PRIMITIVOS


30

7.- Sean A, B y C puntos no colineales ¿Cuántas rectas determinan?

Dibujelas

8.- En un haz de cinco rectas indicar cuantas semirrectas hay-

9.- Sean A, B, C y D puntos colineales y consecutivos AC = BD

Determinar que AB = CD; AC = AB + BC y BC.

10.- Sean A, B, C, D y E puntos colineales donde AC = 4 cm ; si C es

el punto medio de BD y AE. Demostrar que D es punto medio de CE.

Hallar el valor de AB; CD; BE y AD.

11,. La coordenada de A es -2 y B es el punto medio de AC, Si

la coordenada se C es mayor que la de A y BC = 5cm. ¿Cuáles son las

coordenadas de B y C.?.

12.- Si M; N y P son tres puntos colineales. MN = 7 cm; NP = 9 cm;

MP = 2 cm. La coordenada de M es tres. Indicar cuales son las

coordenadas de N y P Si :a) La coordenada de M es menor que la de N

b) La coordenada de M es mayor de la de N.

13.- Si G, H y K son tres puntos de una recta. Las coordenadas de G y H

son 4 y -3 respectivamente. S i H esta entre G y K ; y GK = 13 cm

¿Cuál es la coordenada de K?


31

14.- La coordenada de B, es el punto medio de AC y es 5. Si la coordenada

de A es mayor que la de C y si BC = 9 ¿Cuáles son las coordenadas

de A y C?

15.- Si las coordenadas de P y Q son 4 y 10 respectivamente y M

biseca a PQ. ¿Cuál es la coordenada de M y cual es el valor de PQ y

PM.?

16.- Dado el segmento AB = 11 cm Hallar; a) 5 AB b) 1 AB c) 2AB 5 3 17.- Sea A, B y C puntos colineales. Si AB = 3 y BC = 5 Hallar AC y BC - AB.

18.- Sobre una recta, se colocan los puntos A, B, C y D de una forma

sucesivos de tal manera AC = BD = 3 cm y AD = 5 cm. ¿Cuál es la

distancia BC?.

19.- Dado AB = 5 cm, BC = 2 cm, CD = 1 cm, DF = 3 cm y FG = 2 cm.

Hallar: a) [ AB + BC +CD ] – [ DE + FG ]

B) [ AB + BC ] – [ CD + FG ]

20.- Dado el segmento AB = 11 cm.

hallar: a) 5AB

b) ⅜AB

c ) 1 AB 5

40

ÁNGULOS

DEFINICIÓN DE ÁNGULO: Es el lugar geométrico, formado por la abertura de dos semirrectas con el mismo origen denominado vértice las dos semirrectas que forman el ángulo se llaman la-dos del ángulo. También podemos decir que son la intersección de dos sumí planos en direcciones contrarias que tienen un pun-to común, donde los bordes de los sumí planos son los lados del ángulo.

Los ángulos se denotan con letras griegas como α β φ,… y otros también se denotan con la letra del vértice y un sombrerito Â, B, o también con los tres puntos que los forman y el vértice es la letra del centro ángulo A B C

A

B

O

También, se observa un ángulo cuando se toma una hoja de papel y se efectúan dos cortes en forma diagonal y cada punto forma un ángulo.

Bisectriz de un ángulo: Es la semirrecta de origen el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales se denota con la letra W.

41

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS:

Los ángulos se clasificar de acuerdo a su medida y su posición.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SUS MEDIDAS.

Ángulo nulo: es el ángulo que no posee abertura (su medida

es cero) O A B

Ángulos agudos son aquellos que miden menos de noventa

grados o sea que su medida es 00 < ∝ < 900.A

A

O

Angulo recto: es aquel que mide 900

A

O B

A

O B

Angulo obtuso es el que mide más de 900 y su medida

esta 900 ∝ < 180 0

42

Ángulo convexo: es aquel ángulo cuya medida es mayor que 00

y menor de1800.

Ángulo de un giro: es aquel ángulo que da la circunferencia

completa o sea que mide 3600.

Ángulos cóncavos: son aquellos que miden más de 1800 y

menos de 3600 entonces 1800 < α < 3600

Angulo llano: es el ángulo que mide 1800 y esta formado por dos semi - rectas opuestas

A O B

α

α

A

B

A

B

43

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN.

Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado común y los otros dos lados pertenecen a la mis-ma recta.

Bα

α + β = 1800

Ángulos Complementarios: dos ángulos son complementa-rios cuando Sumados miden 900

β

α

α + β = 900

Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando su suma es igual a 1800.

β α

β + α = 1800

44

Ángulos opuestos por el vértice: dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son las prolonga-ciones de los lados del otro ángulo, estos ángulos son iguales

Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos si tie-nen un lado común que lo separe a los otros dos.

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

1 2

S

l

m

3 4

5

7

6

8

45

Las rectas l y m son dos rectas paralelas y s es una recta se-cante que corta a las rectas l y m, formando así ocho ángulos; denominado de acuerdo a su posición de la siguiente manera:

Ángulos correspondientes: Dos ángulos son correspon-dientes si están al mismo lado de la recta secante y poseen el mismo sentido. Estos ángulos son congruentes.

< 1 ≅ < .5

< 2 ≅ < 6

< 3 ≅ < 7

< 4 ≅ < 8

Ángulos alternos internos: Son los ángulos que están en la parte interna de las rectas paralelas y uno a cada lado de la recta secante con sentido opuesto. Estos ángulos son congruentes.

< 3 ≅ < 5

< 4 ≅ < 6

46

Ángulos alternos externos: Son los ángulos que están en la parte externa de las rectas paralelas y uno a cada lado de la recta secante con sentido opuesto. Estos ángulos son congruentes.

< 1 ≅ < 7< 2 ≅ < 8

Ángulos opuestos por el vértice: Son los ángulos que se encuentran uno en la parte externa y otro en la parte externa de las rectas paralelas con sentidos opuestos y poseen el mismo vértice. Estos ángulos son congruentes.

< 1 ≅ < 3

< 2 ≅ < 4

< 5 ≅ < 7< 6 ≅ < 8

Ángulos conjugados: Son dos ángulos situados en un mismo semiplano respecto a la recta secante y pueden ser interno o

externos, los ángulos conjugados suman 1800 .

47

Ángulos conjugados internos

< 3 + < 6 = 1800

< 4 + < 5 = 1800

Ángulos conjugados externos

< 2 + < 7 = 1800

< 1 + < 8 = 1800

TEOREMA DE TALES (PARALELISMO)

Dos rectas l y s, distintas, coplanarias cortadas por una transversal (secante) son paralelas si y solo si, un par de ángu-los alternos internos, alternos externos o correspondiente son congruentes.

Principios de las rectas paralelas:

1.- Por un punto dado, exterior a una recta dada, se puede tra-zar una y solo una recta paralela a la recta dada.

2.- Si los lados de un ángulo son respectivamente paralelos a los lados de otro ángulo, los ángulos son iguales o suplemen-tarios.

3.- Si varias rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas, es también perpendicular a las otras.

48

MEDIDAS DE ÁNGULOS EN SUS DIFERENTES SISTEMAS.

Para medir los ángulos es necesario poseer un sistema de medidas para tal efecto se estudiara los sistemas sexagesimal y sistema circular. En el sistema sexagesimal se utiliza grado, minutos y segundo.

10 60’

1’ 60”

10 360”

En el sistema circular se utilizan pi radian (π)

1 π rad 1800,

como una circunferencia tiene 3600 que son 2 π rad

Reducciones de ángulos:


39

3.- Si varias rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas, es

también perpendicular a las otras.

MEDIDAS DE ÁNGULOS EN SUS DIFERENTES SISTEMAS.

Para medir los ángulos es necesario poseer un sistema de medidas

para tal efecto se estudiara los sistemas sexagesimal y sistema circular. En

el sistema sexagesimal se utiliza grado, minutos y segundo.

10 60‟

1‟ 60”

10 360”

En el sistema circular se utilizan pi radian (π)

1 π rad 1800,

como una circunferencia tiene 3600 que son 2 π rad

Reducciones de ángulos:

EJERCICIOS RESUELTOS DE REDUCCIONES DE ÁNGULOS

Del sistema sexagesimal al sistema circular ( radianes)

1. llevar 55º a radianes

180º -------

55º ------- X X = 55º = 11 1800 36 R = 11 36


40

2. Llevar 160º a radianes

180º -------

160º ------- X X = 160º = 8 180º 9 R = 160º = 8 9

3. Llevar 340º a radianes

1 ------ 180º

X ------ 340º

π9

17 340º R

917π

180340π

180º40º 1π X

Del sistema circular al sistema sexagesimal llevar

4. Llevar 7 a grados 2 180º -------

X ------- 7. X = 180º . 7/2 = 1260º = 630º = 2 2 1 vuelta y 2700

180°


41

5. Llevar 5 a grados 4

180º -------

X ------- 5 X = 180º . 5/4 = 900º = 225º 4 4

6. Llevar a grados 3 180º -------

X ------- X = 180º . /3 = 180º = 60º 3 3

OPERACIONES CON ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

I.- Dados los siguientes ángulos, ordenarlos y realizar las reducciones

necesarias.

1.) 32º 72' 68''

Solución:

32º 72' 68'' como 1' = 60''

+ 1' – 60''

32º 73' 8'' como 1º - 60'

1º 60'

33º 13' 8''

Entonces 32º 72' 68'' = 33º 13' 8''


42

2.) 3º 90' 99''

Solución: 3º 90' 99''

1' 60''

3º 91' 39''

1º 60'

4º 31' 39''

Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''

3.) 75º 59' 60''

75º 59' 60''

1' 60''

75º 60' 00

1º - 60'

76º 00' 00''

Entonces 75º 59' 60'' = 76º

ADICIÓN DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

4.) Dado los ángulos = 37º 15' 27'' y = 39º 56' 58''

Hallar +

Solución:

= 37º 15' 27''


41


180º -------

X ------- 5 X = 180º . 5/4 = 900º = 225º 4 4


X ------- X = 180º . /3 = 180º = 60º 3 3



necesarias.

1.) 32º 72' 68''

Solución:

32º 72' 68'' como 1' = 60''

+ 1' – 60''

32º 73' 8'' como 1º - 60'

1º 60'

33º 13' 8''

Entonces 32º 72' 68'' = 33º 13' 8''


41


180º -------

X ------- 5 X = 180º . 5/4 = 900º = 225º 4 4


X ------- X = 180º . /3 = 180º = 60º 3 3



necesarias.

1.) 32º 72' 68''

Solución:

32º 72' 68'' como 1' = 60''

+ 1' – 60''

32º 73' 8'' como 1º - 60'

1º 60'

33º 13' 8''

Entonces 32º 72' 68'' = 33º 13' 8''


42

2.) 3º 90' 99''


1' 60''

3º 91' 39''

1º 60'

4º 31' 39''

Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''

3.) 75º 59' 60''

75º 59' 60''

1' 60''

75º 60' 00

1º - 60'

76º 00' 00''

Entonces 75º 59' 60'' = 76º



Hallar +

Solución:

= 37º 15' 27''


42

2.) 3º 90' 99''


1' 60''

3º 91' 39''

1º 60'

4º 31' 39''

Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''

3.) 75º 59' 60''

75º 59' 60''

1' 60''

75º 60' 00

1º - 60'

76º 00' 00''

Entonces 75º 59' 60'' = 76º



Hallar +

Solución:

= 37º 15' 27''


42

2.) 3º 90' 99''


1' 60''

3º 91' 39''

1º 60'

4º 31' 39''

Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''

3.) 75º 59' 60''

75º 59' 60''

1' 60''

75º 60' 00

1º - 60'

76º 00' 00''

Entonces 75º 59' 60'' = 76º



Hallar +

Solución:

= 37º 15' 27''

52


42

2.) 3º 90' 99''


1' 60''

3º 91' 39''

1º 60'

4º 31' 39''

Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''

3.) 75º 59' 60''

75º 59' 60''

1' 60''

75º 60' 00

1º - 60'

76º 00' 00''

Entonces 75º 59' 60'' = 76º



Hallar +

Solución:

= 37º 15' 27''


43

= 39º 56' 58''

+ = 76º 71' 85'' se realizan las reducciones necesarias

1' 60''

76º 72' 25''

1º 60'

77º 12' 25''

Entonces + = 77º 12' 25''

5.) Si = 15º 5' 12'' y = 12º 54' 48'' cuál es el valor de +

Solución:

= 15º 5' 12''

= 12º 54' 48''

+ = 27º 59' 60''

+ = 27º 59' 60''

1' - 60''

o 27º 60' 00''

1º - 60'

28º 00' 00''

entonces + = 28º

6.) Dado = 26º 18' 40'' y = 15º 12' 20'' Hallar +

Solución:

= 26º 18' 40''


43

= 39º 56' 58''


1' 60''

76º 72' 25''

1º 60'

77º 12' 25''

Entonces + = 77º 12' 25''


Solución:

= 15º 5' 12''

= 12º 54' 48''

+ = 27º 59' 60''

+ = 27º 59' 60''

1' - 60''

o 27º 60' 00''

1º - 60'

28º 00' 00''

entonces + = 28º

6.) Dado = 26º 18' 40'' y = 15º 12' 20'' Hallar +

Solución:

= 26º 18' 40''

ADICIÓN DE ANGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

53


43

= 39º 56' 58''


1' 60''

76º 72' 25''

1º 60'

77º 12' 25''

Entonces + = 77º 12' 25''


Solución:

= 15º 5' 12''

= 12º 54' 48''

+ = 27º 59' 60''

+ = 27º 59' 60''

1' - 60''

o 27º 60' 00''

1º - 60'

28º 00' 00''

entonces + = 28º

6.) Dado = 26º 18' 40'' y = 15º 12' 20'' Hallar +

Solución:

= 26º 18' 40''


44

= 15º 12' 20''

+ = 41º 30' 60''

1' - 60''

41º 31' 00''

entonces + = 41º 31'

SUSTRACCIÓN DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

7.) Dado = 280 15' 12'' y = 12º 20' 15'' Hallar -

Solución:

= 28º 15' 12'' - = 12º 20' 15''

= 28º 15' 12'' 1' 60'' 28º 14' 72'' 28º 14' 72'' 1º 60' = 27º 74' 72'' - = 12º 20' 15'' - = 15º 54' 57'' Entonces - = 15º 54' 57''

8.) Dado = 330 24' 15'' y = 250 12' 25'' Hallar -

Solución:

= 33º 24' 15'' = 33º 24' 15'' - = 25º 12' 25'' 1' 60'' = 33º 23' 75'' = 33º 23' 75''

54


44

= 15º 12' 20''

+ = 41º 30' 60''

1' - 60''

41º 31' 00''



7.) Dado = 280 15' 12'' y = 12º 20' 15'' Hallar -

Solución:

= 28º 15' 12'' - = 12º 20' 15''


8.) Dado = 330 24' 15'' y = 250 12' 25'' Hallar -

Solución:

= 33º 24' 15'' = 33º 24' 15'' - = 25º 12' 25'' 1' 60'' = 33º 23' 75'' = 33º 23' 75''


44

= 15º 12' 20''

+ = 41º 30' 60''

1' - 60''

41º 31' 00''



7.) Dado = 280 15' 12'' y = 12º 20' 15'' Hallar -

Solución:

= 28º 15' 12'' - = 12º 20' 15''


8.) Dado = 330 24' 15'' y = 250 12' 25'' Hallar -

Solución:

= 33º 24' 15'' = 33º 24' 15'' - = 25º 12' 25'' 1' 60'' = 33º 23' 75'' = 33º 23' 75''

55


44

= 15º 12' 20''

+ = 41º 30' 60''

1' - 60''

41º 31' 00''



7.) Dado = 280 15' 12'' y = 12º 20' 15'' Hallar -

Solución:

= 28º 15' 12'' - = 12º 20' 15''


8.) Dado = 330 24' 15'' y = 250 12' 25'' Hallar -

Solución:

= 33º 24' 15'' = 33º 24' 15'' - = 25º 12' 25'' 1' 60'' = 33º 23' 75'' = 33º 23' 75''


45

- = 25º 12' 25'' - = 8º 11' 50'' entonces - = 8º 11'' 50''

9.) Dado = 54º 55' 56'' y = 25º 30' 35'' Hallar -

= 54º 55' 56'' - = 25º 30' 35'' - = 29º 25' 21'

PRODUCTO DE UN ÁNGULO POR UN ESCALAR

10) Dado un ángulo = 52º 15' 20'' Hallar 3

Solución:

4 = 4(52º 15' 20'') 4 = 208º 60' 80'' 1' - 60'' . 4 = 208º 61' 20'' 10 60‟ . 4 = 2090 1‟ 20‟‟ entonces 4 = 209º 1' 20‟‟

11) Dado = 18º 15' 10'' Hallar 5

Solución:

5 = 5(8º 10' 20'') 5 = 40º 50' 100'' 1' 60'' 5 = 40º 51' 40'' entonces 5 = 40º 51' 40''

4

PRODUCTO DE ÁNGULO POR UN ESCALAR


46

12) Dado = 8º 5' 4'' Hallar 6

Solución:

6 = 6(8º 5' 50'') 6 = 48º 30' 24''

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO ENTRE UN ESCALAR

13) Dado α = 155º 39' 46'' Hallar α 2 Solución:

155º 39' 46'' 2 15º 77º 49' 53'' 1º 60' 99' 19' 1' 60'' 106'' 06'' 0 14) Dado = 25º 65' 80'' Hallar 5 Solución:

Como = 25º 65' 80'' realizamos las reducciones necesarias en

= 25º 65' 80'' 1' 60'' 25º 66' 20'' 1º - 60' 26º 6' 20''

26º 6' 20'' 5 1º 60' 5º 13' 16'' 66' 16'


46

12) Dado = 8º 5' 4'' Hallar 6

Solución:

6 = 6(8º 5' 50'') 6 = 48º 30' 24''





= 25º 65' 80'' 1' 60'' 25º 66' 20'' 1º - 60' 26º 6' 20''

26º 6' 20'' 5 1º 60' 5º 13' 16'' 66' 16'


46

12) Dado = 8º 5' 4'' Hallar 6

Solución:

6 = 6(8º 5' 50'') 6 = 48º 30' 24''





= 25º 65' 80'' 1' 60'' 25º 66' 20'' 1º - 60' 26º 6' 20''

26º 6' 20'' 5 1º 60' 5º 13' 16'' 66' 16'



47

1' 60'' 80'' 30'' 0

15) Dado = 26º 12' 18'' Hallar 3 26º 12' 18'' 3 2º 120' 9º 44' 6'' 132' 12' 0' 18'' 0

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁNGULOS

1.- Calcular los ángulos de un triángulo Â, B y Ĉ en el siguiente caso:

Â = 3 B Ĉ = 450

Solución:

Como los ángulos internos de un triángulo es igual a1800. entonces

Â + B + Ĉ = 1800 donde Â = 3 B y Ĉ = 450

3 B + B + 450 = 1800 4 B = 1800 - 450 4 B = 1350

B -- 1350 . 4 B = 330 45‟

Â = 3 B

^

^

^

^

^

^

^ ̂

^


47

1' 60'' 80'' 30'' 0

15) Dado = 26º 12' 18'' Hallar 3 26º 12' 18'' 3 2º 120' 9º 44' 6'' 132' 12' 0' 18'' 0



Â = 3 B Ĉ = 450

Solución:


Â + B + Ĉ = 1800 donde Â = 3 B y Ĉ = 450

3 B + B + 450 = 1800 4 B = 1800 - 450 4 B = 1350

B -- 1350 . 4 B = 330 45‟

Â = 3 B

^

^

^

^

^

^

^ ̂

^


47

1' 60'' 80'' 30'' 0

15) Dado = 26º 12' 18'' Hallar 3 26º 12' 18'' 3 2º 120' 9º 44' 6'' 132' 12' 0' 18'' 0



Â = 3 B Ĉ = 450

Solución:


Â + B + Ĉ = 1800 donde Â = 3 B y Ĉ = 450

3 B + B + 450 = 1800 4 B = 1800 - 450 4 B = 1350

B -- 1350 . 4 B = 330 45‟

Â = 3 B

^

^

^

^

^

^

^ ̂

^


47

1' 60'' 80'' 30'' 0

15) Dado = 26º 12' 18'' Hallar 3 26º 12' 18'' 3 2º 120' 9º 44' 6'' 132' 12' 0' 18'' 0



Â = 3 B Ĉ = 450

Solución:


Â + B + Ĉ = 1800 donde Â = 3 B y Ĉ = 450

3 B + B + 450 = 1800 4 B = 1800 - 450 4 B = 1350

B -- 1350 . 4 B = 330 45‟

Â = 3 B

^

^

^

^

^

^

^ ̂

^


48

Â = 3 ( 330 45‟ ) Â = 990 135„ Â = 1010 15‟

2.- Tres semirrectas OA. OB y OC, forman alrededor del punto O tres

ángulos consecutivos congruentes <AOB = <BOC = <AOC. Demuestre

que las bisectrices de cada ángulo es una prolongación de lado.

Solución B D

E O A

C F

Como los tres ángulos son congruentes entonces cada uno tiene una

medida de 1200, por hipótesis hallamos la bisectriz de cada ángulo que

son OD, OE y OF. Ellas dividen a cada ángulo en dos ángulos

iguales entonces dada ángulo mide 600.

m < AOB + m< BOE = 1800 por ser ángulos adyacentes.

1200 + 600 = 1800 donde A, O y E son puntos coloniales.

Donde OE es prolongación de OA (son semirrectas opuestas)

m< BOC + m< COF = 1800 por ser ángulos adyacentes.


58


48

Â = 3 ( 330 45‟ ) Â = 990 135„ Â = 1010 15‟




Solución B D

E O A

C F










48

Â = 3 ( 330 45‟ ) Â = 990 135„ Â = 1010 15‟




Solución B D

E O A

C F










49

1200 + 600 = 1800 donde O, B y F son puntos colíneales donde OF

es prolongación de OB.

m< COA + m< AOD = 1800 Por ser adyacentes.

1200 + 600 = 1800 entonces C, O y D son colíneales donde

OD es prolongación de OA.

Entonces las bisectrices son semirrecta opuesta a uno de los lados del

ángulo.

3.-Dado un ángulo CAB, dibujamos CD perpendicular a AB que corta este

segmento en D. Completamos el rectángulo CDAF, prolongamos FC hasta E

y dibujamos la línea AE que corta a CD en H. Determinar el punto E de

manera que se cumpla que HE = 2AC. De esta forma el ángulo EAB es 1/3

del ángulo CAB.

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ÁNGULOS

1.- La medida de un ángulo es 240 más que la medida de su

suplementario. Hallar las medidas de cada ángulo.

2.- La medida de un ángulo es cinco veces la medida de su

complementario ¿Cuánto mide los ángulos?.

3.- Hallar el ángulo que es igual al doble de su suplementario

4.- Hallar el ángulo que es igual a la tercera parte de su complementario.

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ÁNGULOS

1.- La medida de un ángulo es 240 más que la medida de su suplementario. Hallar las medidas de cada ángulo.

2.- La medida de un ángulo es cinco veces la medida de su complementario ¿Cuánto mide los ángulos?.

3.- Hallar el ángulo que es igual al doble de su suplementario

4.- Hallar el ángulo que es igual a la tercera parte de su complementario.

5.- Hallar la medida de los ángulos de la figuras

60

A

B

C

D

O

A

B C

DO

5X2X 3X

6.-Probar que las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares.

7.-Probar que las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas.

8.-Probar que dos ángulos opuestos por el vértice son congruen-tes.

9.-Si <AOB y <BOC son complementarios y <DOC y <BOC son complementarios, entonces, <AOB = <DOC.

10.- Dada la figura, donde <BAD = 80º y <DCA = 30º con CD = DA . Hallar el <ABD.

A

D

C

B

61

A

G

B

D

O

E

X

D

E B

Y

C

O

A


51

C

D

A B

11.- Dada la figura, con EO ┴ AB y <AOG <BOD. Demostrar que

<GOE <DOE.

E

G D

A O B

12.- Dada la figura donde AO ┴ XY en O y EO, AO y BO son

bisectrices de los ángulos <XOD, <DOC y <COY,

respectivamente y <XOE + <YOC = 1200 . ¿Cuál es el valor de

cada ángulo?

A

D C

E B

X O Y


52

3.- Hallar el valor de X y Y en cada una de las figuras.

a) E A D b) G F E D X Y 450 Y 1050 600 550 X C B H A B C I AD ║ CB AG ║ BF y CD ║ BE

14.- Dada la siguiente figura donde AE es la bisectriz del <CAB; el

<ACD = 35º y el <ABC = 25º Hallar el valor de los ángulos α y β

A α β D C E B 15.- Demostrar que α + β + ∂ = 1800 si AE ║ BD y hallar el valor

de α, β y ∂.

E D 600

β

500 α ∂ A B C 16.- Dada la siguiente figura donde: AB ll EF, BC ll FD, CA ll DE,


52






de α, β y ∂.

E D 600

β



52






de α, β y ∂.

E D 600

β



52






de α, β y ∂.

E D 600

β



52






de α, β y ∂.

E D 600

β



52






de α, β y ∂.

E D 600

β



52






de α, β y ∂.

E D 600

β



52






de α, β y ∂.

E D 600

β



53

<ABC = 40º y el <FDE = 60º Hallar el valor de δ y Ω

A F D δ Ω C E B 17.- Hallar α y β en la siguiente figura donde AB ║ CD y CD ║ EF y el <BOF = 700 A B 320 β C O D 700 α E F

18.- Calcular el valor de cada uno de los ángulos en la siguiente figura.

D

E C

F X 600 X

450 300 A O B 19.- Calcular los ángulos si Â + B + Ĉ = 1800 y B = 2� Ĉ = 3 Â.

^

^

D

E

F

C

A

Ω

δ

BA

CO

D

FE

320

700

β

α

A

E

F C

B

D

O

45°

X X60°

30°


53




D

E C

F X 600 X


^

^


53




D

E C

F X 600 X


^

^

64


53




D

E C

F X 600 X


^

^ Dra. Gloria Bustamente

54

20.- Calcular los ángulos Â, B y Ĉ si Â = 3B Ĉ = 450 y

Â+ B + Ĉ = 1800

21.-Si Â + B = 900 y Ĉ - Â = 300 Calcular Â, B y Ĉ si

Â + B + Ĉ = 1800

22.- Si Â + B + Ĉ = 1800 ; Â – Ĉ = 300 y Â - B = 450

Calcular Â, B y Ĉ

23.- En el < BOC se traza la bisectriz OD si por un punto R que

pertenece a OD se dibuja una paralela a OB y se prolonga hasta

cortar a OC en J. Qué puede decir acerca del ΔORJ. Justifica tu

repuesta. Por R se traza un segmento RP, de tal manera que P

pertenece a OB y RP = OJ . Que puede decir acerca del

cuadrilátero PRJO. Justifica tu repuesta.

24.- Dado el triángulo ABG donde AW es la bisectriz del <CAB, CH es la

altura del vértice C, <CBA = 30º y <ACH = 50º. Hallar β y μ

: C β W μ ┌┐ A H B

^

^

^

^

^

^

^

^

^

65

B

W

C

A

β

μ

25.- Dado un ángulo <CAB, se traza el segmento CD perpendicular a AB en el punto D. Completamos el rectángulo CDAF, prolongamos FC hasta E y trazamos el segmento AE que corte al segmento CD en H. Si HE = 2AC. Demostrar que el ángulo <EAB = ⅓ <CAB.

66

POLÍGONOS

Los polígonos es el lugar geométrico del plano limitado por una línea poligonal cerrada que recibe el nombre de contorno.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO:

VÉRTICE: Son los puntos de intersección de dos segmentos consecutivos y se denotan con letras mayúsculas A; B, C y otras,

LADOS: están formados por los segmentos que constituyen el polígono. Estos segmentos unen los vértices consecutivos.

DIAGONAL DE UN POLÍGONO: Es el segmento que une dos vértices consecutivos del polígono.

El número de diagonal de un polígono se determina mediante la

relación. N0diag -- n(n-3) . Siendo n el número de lados del

polígono

APOTEMA: Es el segmento de recta que va desde el centro del polígono hasta el punto medio de uno de los lados.

Un polígono es convexo cuando está limitado por una poligo-nal convexa y si se traza un segmento entre dos pontos internos, el segmento resultante debe estar dentro del polígono.

2

67

Un polígono es cóncavo, cuando está limitado por una línea poligonal cóncava.

LOS POLÍGONOS PUEDEN SER REGULARES O IRREGULARES.

Los polígonos regulares: son los que tienen todos los lados y ángulos de la misma medida.

Polígonos irregulares: son los que tienen los lados de diferen-tes medidas.

Ángulos internos de un polígono: son los que están forma-dos por dos lados consecutivos Si = (n – 2).1800

Ángulo externo de un polígono: son los ángulos adya-centes a los internos que se obtiene al prolongar los lados en un mismo sentido. La suma de los ángulos externos es igual a 3600.

El número de lados de un polígono coincide con el número de vértices y el número de ángulos.

Perímetro de un polígono: Es la longitud de su contorno, o sea, la suma de la longitud de sus lados y se denota con la letra P.

P = AB + BC + CD +...............

68

Según el número de lados y reciben los siguientes nombres:Número de lados Nombre Tres Triángulo

Cuatro Cuadrilátero

Cinco Pentágono

Seis Hexágono

Siete Heptágono

Ocho Octágono

Nueve Eneágono

Diez Decágono

Once Endecágono

Doce Dodecágono

Apotema de un polígono regular: es el segmento perpendicu-lar trazado desde el centro del polígono a uno de los lados. La apotema es igual al radio de la circunferencia inscrita.

Área de un polígono regular: es igual al producto del semi - perímetro por su apotema.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS.

69

ESTUDIO DE POLÍGONOS

Triángulo: es un polígono de tres lados, tres vértices y tres ángulos internos y externos.

Cuadriláteros: Son polígonos convexos de cuatro lados. Los cuadriláteros se clasifican de acuerdo con el paralelismo de los lados opuestos en: paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Paralelogramo: Son cuadriláteros que tienen sus lados para-lelos dos a dos (todo cuadrilátero tiene iguales sus lados opues-tos), y se dividen en: cuadrado, rectángulo, rombo y romboides.

Propiedades de los paralelogramos:• Los lados opuestos son paralelos e iguales.• Las diagonales lo dividen en dos triángulos iguales.• Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.• Los ángulos continuos de un paralelogramo son suplementa-

rios

• Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

Cuadrado: es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos rectos.

A B

CD

l

l

l


59

Área de un polígono regular: es igual al producto del semi - perímetro por

su apotema.

ESTUDIO DE POLÍGONOS

Triángulo: es un polígono de tres lados, tres vértices y tres ángulos internos

y externos.

Cuadriláteros: Son polígonos convexos de cuatro lados. Los cuadriláteros

se clasifican de acuerdo con el paralelismo de los lados opuestos en:

paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Paralelogramo: Son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos

(todo cuadrilátero tiene iguales sus lados opuestos), y se dividen en:

cuadrado, rectángulo, rombo y romboides.

Propiedades de los paralelogramos:

Los lados opuestos son paralelos e iguales. Las diagonales lo dividen en dos triángulos iguales. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. Los ángulos continuos de un paralelogramo son suplementarios Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. Cuadrado: es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus

cuatro ángulos rectos.

A l B

l l

D l C

A = l2 P = AB + BC + CD + DA P = 4.l

l

70

Propiedades de los cuadrados

• Los ángulos del cuadrado son rectos.• Cada ángulo exterior, vale siempre un ángulo recto.• Las diagonales son iguales.• Las diagonales son perpendiculares.• Las diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices

une.

• Las diagonales forman triángulos iguales.

Rectángulo: es un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales (rectos) y sus lados continuos desiguales.

h

A B

CD a

A = b.h P = AB + BC +CD + DA

Propiedades de los rectángulos:

• Cada ángulo interno, vale in ángulo recto.• Cada ángulo exterior, vale un ángulo recto.• Las diagonales, forman dos pares de triángulos iguales.• Los lados continuos son de diferentes medidas.• Los lados paralelos son iguales.• Las diagonales se cortan en el punto medio.

71

Propiedades de los rombos:• Las diagonales son perpendiculares.

• Las diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.

• Las diagonales siempre forman cuatro triángulos iguales.

Romboides: Son los paralelogramos que tienen los lados y los ángulos continuos desiguales.

Rombos: son los paralelogramos que tienen los cuatro lados iguales y los ángulos continuos son desiguales.

A

B

C

D

A = d1. d2 . P = AB + BC +CD + DA2

A B

C D

A = b.h P = AB + BC + CD + DA

72

Propiedades de los romboides: • Los ángulos opuestos son iguales.

• Las diagonales forman triángulos iguales.

• Las diagonales bisecan los ángulos cuyos vértices unen.

• Las diagonales se bisecan.

Trapecios: es un cuadrilátero irregular donde tiene dos lados paralelos y se divide en: trapecio rectángulo, isósceles y esca-leno.

A = (b1 + b2).h . P = AB + BC + CD + DA 2

Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos rectos.

A B

CD

Trapecio isósceles: si los dos lados no paralelos son iguales.

A B

CD

AD = BC

73

Trapecio escaleno: cuando no es rectángulo ni isósceles y tiene sus lados desiguales

A B

CD

Trapezoides: es si no existe ningún tipo de paralelismo. Los trapezoides se dividen en simétricos y asimétricos.

Trapezoides simétricos: son aquellos que tienen dos pares de lados continuos son iguales, pero el primer par de lados con-tinuos iguales es distinto del segundo

A

B

C

D

Propiedades de los trapezoides:• Las diagonales son perpendiculares.

• Las diagonales son bisectrices de los ángulos que las unen y se bisecan.

74

Trapezoide Asimétrico: son los cuadriláteros que tienen sus lados y ángulos diferentes, no tienen lados paralelos y una mitad es diferente de la otra.

1.- Dado un polígono ABCD es un trapecio donde m(Â) = 3 m(B); m (Ĉ) = 9 m(Â) + 50 ; m(D) = 2 m(Â) + 100.

A B

CD

EJERCICIOS RESUELTOS DE POLÍGONOS


63

Las diagonales son bisectrices de los ángulos que las unen y se bisecan. Trapezoide Asimétrico: son los cuadriláteros que tienen sus lados y

ángulos diferentes, no tienen lados paralelos y una mitad es diferente de la

otra. A

B

D C

EJERCICIOS RESUELTOS DE POLÍGONOS

1.- Dado un polígono ABCD es un trapecio donde m(Â) = 3 m(B) ;

m (Ĉ) = 9 m(Â) + 50 ; m(D) = 2 m(Â) + 100.

A B

D C

Solución:

La suma de los ángulos internos de un polígono convexo es igual a 3600

M(Â) + m(B) + m(Ĉ) + m(D) = 3600

3 m(B) + m(B) + 9 (3 m(B) ) + 50 + 6 m(B) + 100 = 3600

3 m(B) + m(B) + 27 m(B) + 6 m(B) + 150 = 3600

37 m(B) = 3600 - 150

37 m(B) = 3450

m(B) -- .36!00! . !37!

^ ^

^ ^ ̂

m(B) -- .36!00! . !37!

A

B

CD


64

m(B) = 90 19‟ 28‟‟

Entonces.

m(Â) = 3 m(B) m(Ĉ) = 9 m(Â) + 50

m!(Â) = 3 ( 90 19„28“) m(Ĉ) = 9 (270 58„ 24“) + 50

m(Â) = 270 58„24« m (Ĉ ) = 2510 45„36« + 50

m( Ĉ ) = 2560 45„ 36„

m(D) = m(Â) + 100

m(Ĉ) = 270 58„28“ + 100 m(Ĉ) = 370 58„28“

2.- Calcular el perímetro del polígono convexo dado

A AB = 8 cm

B BC = 6 cm

E CD = 4 c m DE = 5.5 cm

EA = 2.5 cm D C Solución:

P = AB + BC + CD + DE + EA

P = 8 cm + 6 cm + 4 cm + 5,5 cm + 2.5 cm

P = 26 cm.

2.- En el siguiente polígono convexo se cumple que los ángulos exteriores

son : β‟ = 410 5“ ∂‟ = 350 20„ ε‟ = 870 5„ 10“ θ‟ = 910 15“

Calcular el ángulo exterior α‟

75


64

m(B) = 90 19‟ 28‟‟

Entonces.

m(Â) = 3 m(B) m(Ĉ) = 9 m(Â) + 50

m!(Â) = 3 ( 90 19„28“) m(Ĉ) = 9 (270 58„ 24“) + 50

m(Â) = 270 58„24« m (Ĉ ) = 2510 45„36« + 50

m( Ĉ ) = 2560 45„ 36„

m(D) = m(Â) + 100

m(Ĉ) = 270 58„28“ + 100 m(Ĉ) = 370 58„28“


A AB = 8 cm

B BC = 6 cm

E CD = 4 c m DE = 5.5 cm



P = 8 cm + 6 cm + 4 cm + 5,5 cm + 2.5 cm

P = 26 cm.


son : β‟ = 410 5“ ∂‟ = 350 20„ ε‟ = 870 5„ 10“ θ‟ = 910 15“



64

m(B) = 90 19‟ 28‟‟

Entonces.

m(Â) = 3 m(B) m(Ĉ) = 9 m(Â) + 50

m!(Â) = 3 ( 90 19„28“) m(Ĉ) = 9 (270 58„ 24“) + 50

m(Â) = 270 58„24« m (Ĉ ) = 2510 45„36« + 50

m( Ĉ ) = 2560 45„ 36„

m(D) = m(Â) + 100

m(Ĉ) = 270 58„28“ + 100 m(Ĉ) = 370 58„28“


A AB = 8 cm

B BC = 6 cm

E CD = 4 c m DE = 5.5 cm



P = 8 cm + 6 cm + 4 cm + 5,5 cm + 2.5 cm

P = 26 cm.


son : β‟ = 410 5“ ∂‟ = 350 20„ ε‟ = 870 5„ 10“ θ‟ = 910 15“


AB = 8 cm

BC = 6 cm

CD = 4 cm

DE = 5.5 cm

EA = 2.5 cm


64

m(B) = 90 19‟ 28‟‟

Entonces.

m(Â) = 3 m(B) m(Ĉ) = 9 m(Â) + 50

m!(Â) = 3 ( 90 19„28“) m(Ĉ) = 9 (270 58„ 24“) + 50

m(Â) = 270 58„24« m (Ĉ ) = 2510 45„36« + 50

m( Ĉ ) = 2560 45„ 36„

m(D) = m(Â) + 100

m(Ĉ) = 270 58„28“ + 100 m(Ĉ) = 370 58„28“


A AB = 8 cm

B BC = 6 cm

E CD = 4 c m DE = 5.5 cm



P = 8 cm + 6 cm + 4 cm + 5,5 cm + 2.5 cm

P = 26 cm.


son : β‟ = 410 5“ ∂‟ = 350 20„ ε‟ = 870 5„ 10“ θ‟ = 910 15“


76


65

A α B E ε β

θ ∂ D C

Solución:

Hipótesis tesis

β‟ = 410 5“ α‟ = ?

∂‟ = 350 20„

ε‟ = 870 5„ 10“

θ‟ = 910 15“

Como sabemos que a suma de los ángulos externo de un polígono convexo es igual a 3600 β‟ + ∂‟ + ε +‟ θ +‟ α‟ = 3600 410 5 + 350 20„ + 870 5„ 10 + 910 15« + α‟ = 3600

2540 25‟ 30‟‟ + α‟ = 360 0

α‟ = 3600 - 2540 25‟ 30‟‟

α‟ = 1050 34‟ 30‟‟

EJERCICIOS PROPUESTOS DE POLÍGONOS

1.- ABCD es un trapecio donde la altura es igual a 7 cm AB = 5 cm;

BC = 9cm; CD = 11cm y DA = 9cm. Hallar el área y el perímetro.

A

E

D C

Bα

θ

ε

∂

β

77


65

A α B E ε β

θ ∂ D C

Solución:

Hipótesis tesis

β‟ = 410 5“ α‟ = ?

∂‟ = 350 20„

ε‟ = 870 5„ 10“

θ‟ = 910 15“


2540 25‟ 30‟‟ + α‟ = 360 0

α‟ = 3600 - 2540 25‟ 30‟‟

α‟ = 1050 34‟ 30‟‟





65

A α B E ε β

θ ∂ D C

Solución:

Hipótesis tesis

β‟ = 410 5“ α‟ = ?

∂‟ = 350 20„

ε‟ = 870 5„ 10“

θ‟ = 910 15“


2540 25‟ 30‟‟ + α‟ = 360 0

α‟ = 3600 - 2540 25‟ 30‟‟

α‟ = 1050 34‟ 30‟‟




A B

C

H

D


66

A B

H

D H C

2.- Si ABCD es un paralelogramo romboides Hallar X y Y; si AD = 5X;

AB = 2X; CD = Y. si su perímetro es igual a 84 cm.

3.- Calcular el área de una figura plana.

A

4cm B 4cm C D

2cm

H E

6cm G F 3cm

4.- Calcular el área de un triángulo cuyo lados miden 6, 8 y 12cm.2

5.- Hallar el lado de un cuadrado cuya área tiene un valor de 28.05 cm2

6.- Calcular el área de un hexágono regular cuyo lado mide 5cm.

78

4.- Calcular el área de un triángulo cuyo lados miden 6, 8 y 12cm.2

5.- Hallar el lado de un cuadrado cuya área tiene un valor de 28.05 cm2

6.- Calcular el área de un hexágono regular cuyo lado mide 5cm.

79

TRIÁNGULOS.

Triángulo es la intersección de tres semiplano que se inter-ceptan en tres puntos diferentes

C

A

B

ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO:

Vertice: es el punto de intersección de dos semiplano. Se deno-tan con letras mayúsculas A, B y C.

Lados: Son los segmentos de rectas que se unen con los vér-tices. Se denotan con letras minúsculas de acuerdo al ángulo opuesto a, b y c.

Angulos internos: son los ángulos formados por dos lados del triángulo y están ubicados en la parte interna, Se denotan con letras griegas α β y φ.

80

C

A

B

α

c b

φβ

Angulos externos: son los ángulos que están formados por un lado del triángulo y la prolongación del lado consecutivo, se encuentra en la parte externa del triángulo. Se denotan con las letras griegas con un apostrofe. α’ β ‘ y φ’ .

C

A

B

α

c b

φβ


68

parte externa del triángulo. Se denotan con las letras griegas con un apostrofe. α‟ β „ y φ‟ . ά A

c b ‟ φ‟ C

B a Β‟

PERIMÉRTRO DE UN TRIÁNGULO: es la suma de sus lados y se denota

con la letra p minúscula. AB + BC + CA .

ÁREA DE UN TRIÁNGULO: es el producto de la longitud de la base por la

longitud de la altura sobre dos.

A = b. h . 2

PRICIPIOS DE LOS TRIÁNGULOS.

α‟ A α

B β φ φ‟

β‟ C

Perimetro de un angulo: es la suma de sus lados y se deno-ta con la letra p minúscula. AB + BC + CA .

Área de un Triangulo: es el producto de la longitud de la base por la longitud de la altura sobre dos.

81

C

A

B

α

α

c b

φ φββ

PRINCIPIOS DE LOS TRIÁNGULOS.

1.- La suma de los tres ángulos interno de un triángulo es igual a 1800.

α + β + φ = 1800

2.- En un triángulo cualquiera la suma de dos ángulos internos es menor que 1800.

α + β < 1800 α + φ < 1800 β + φ < 1800

3.- La suma de los ángulos externo de un triángulo es igual a 3600

α’ + β’ + φ’ = 3600

4.- La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos internos no adyacente a él

α + β = φ’ φ + α = β’ β + φ = α’

5.- La suma de las medidas un ángulo interno con la medida de su externo (adyacente), es igual a 1800

α + α’ = 1800 β + β’ = 1800 φ + φ’ = 1800

82

6.- La medida de todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que la medida de cualquier ángulo interno no adyacente a él.

φ’ > β φ’ > α α’ > β

7.- Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia.


69

1.- La suma de los tres ángulos interno de un triángulo es igual a 1800. α + β + φ = 1800

2.- En un triángulo cualquiera la suma de dos ángulos internos es menor

que 1800.

α + β < 1800 α + φ < 1800 β + φ < 1800


α‟ + β‟ + φ‟ = 3600

4.- La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos

ángulos internos no adyacente a él

α + β = φ‟ φ + α = β‟ β + φ = α‟

5.- La suma de las medidas un ángulo interno con la medida de su externo

(adyacente), es igual a 1800

α + α‟ = 1800 β + β‟ = 1800 φ + φ‟ = 1800

6.- La medida de todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que la medida

de cualquier ángulo interno no adyacente a él.

φ‟ > β φ‟ > α α‟ > β

7.- Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor

que la diferencia.

AB + BC > CA ó AB - BC < CA

8.- En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.


69



que 1800.

α + β < 1800 α + φ < 1800 β + φ < 1800


α‟ + β‟ + φ‟ = 3600



α + β = φ‟ φ + α = β‟ β + φ = α‟



α + α‟ = 1800 β + β‟ = 1800 φ + φ‟ = 1800



φ‟ > β φ‟ > α α‟ > β


que la diferencia.




69



que 1800.

α + β < 1800 α + φ < 1800 β + φ < 1800


α‟ + β‟ + φ‟ = 3600



α + β = φ‟ φ + α = β‟ β + φ = α‟



α + α‟ = 1800 β + β‟ = 1800 φ + φ‟ = 1800



φ‟ > β φ‟ > α α‟ > β


que la diferencia.



8.- En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y vi-ceversa.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:

Los triángulos pueden cosificarse de acuerdo a sus ángulos y de acuerdo a sus lados.

Triángulo rectángulo: es el triángulo que posee un ángulo recto (900). El lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman cateto

A

B C

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS DE ACUERDO A SUS ÁNGULOS

83

Triángulo acutangulo: Son los triángulos que tienen sus tres ángulos agudo (menor de 90°)

A

BC

Triángulo Obtusangulo: Es aquel triángulo que posee un ángu-lo obtuso (más de 90°)

A

BC

Triangulo Isore ISORECTÁNGULO: es un triángulo rectángulo que sus catetos tienen la misma medida (catetos iguales),

C

A

B

84

CLASIFICACIÓN LOS TRIÁNGULOS DE ACUERDO A SUS LADOS:

Triángulo Escaleno: es el triángulo que posee sus tres lados de diferentes medidas o tamaño y sus tres ángulos tienen diferente medidas.

A

B C

Triánfulo Isósceles: Es el triángulo que posee dos lados de igual medidas, el lado diferente se llama base y los ángulos ad-yacente a la base son de igual medida. ( poseen dos lados y dos ángulos iguales).

En todo triángulo isósceles la altura, la mediana y la bisectriz respecto a la base son iguales y coincidentes.

A

B C

85

Triángulo Equilatero: es el triangulo que posee sus tres lados iguales y sus tres ángulos internos.( cada ángulo interno mide 600) A

B C

SEGMENTOS Y PUNTOS NOTABLES:

Ceviana es un segmento de recta que une un vértice de un trián-gulo con el lado opuesto a este o su prolongación. También se la conoce como transversal angular. Se puede decir que la me-diana, la altura o la bisectriz son cevianas o segmentos notables de un triángulo y la mediatriz es una recta notable. Los puntos notables de un triangulo son baricentro, ortocentro, Incentro y CircuncentroMediana: es el segmento de recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todos los triángulos poseen tres medianas. Se denota con una m minúscula y la letra del lado. ma, mb y mc

A

Ma

MB C

AM mediana de A

86

Donde BM = MC por ser M punto medio.

Baricentro: es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo. Se denota con la letra B, es el centro de gravedad de un triángulo.

A

B C

Altura: es el segmento de recta perpendicular trazado desde el vértice al lado opuesto al vértice o a su prolongación desde. La altura de un triángulo se denota con la letra h y la letra del lado correspondiente. ha, ha y hc

A

h B C

Ortocentro: es el punto de intersección de las tres altura de un triángulo y se denota con la letra O.

A

B C

87

Bisectriz: Es el segmento de recta que divide el ángulo interno de un triángulo en dos ángulos iguales y va desde el vértice del ángulo hasta el otro lado del triángulo. Se denota con la letra W y de subíndice el lado tales como wa, wb y wc.

BWa

C

A

B C

A

Incentro: es el punto de intersección de las tres bisectrices de los ángulos interno de un triángulo. Se denota con la letra I.

88

Mediatriz: Es la recta perpendicular trazada por el punto medio de los lados de un triángulo, Se denota con la letra mayúscula M y como subíndice la letra del lado correspondiente. Ma, Mb y Mc. A

B C

Circuncentro: es el punto donde se interfecta las mediatrices. Se denota con la letra C.

A

B C

En todo triángulo el circuncentro, baricentro y ortocentro están alineados siendo la distancia entre estos dos últimos puntos el doble de la distancia entre los dos primeros ( La recta que con-tiene estos puntos se llama (“Recta de Euler”).

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.

La congruencia de triángulos se reduce al estudio de sus lados y ángulos, es fácil comprender que toda congruencia es una igual-dad, en los triángulos indican que los segmentos y ángulos son iguales.

89


77

Se dice que dos triángulos ΔABN y ΔA‟B‟C‟ son congruente si y solo si

sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Poseen la misma forma y

el mismo tamaño.

A A’ α α’ c b c’ b’

β ∂ β’ ∂’ B a C B’ a’ C’ ΔABC ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ ; BC = B‟C‟ ; CA = C‟A‟ α = α‟ β ═ β‟ ∂ ═ ∂‟ CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Para que dos triángulos sea congruentes es necesario que tengan sus tres

lados y sus tres ángulos, respectivamente iguales. No es necesario

comprobar todos los elementos, pues en muchos casos basta que se

cumplan la igualdad de algunos elementos, para que los demás sean iguales.

El conjunto de elementos que deben ser iguales para que los triángulos sean

congruentes da origen en cada caso a los criterios de congruencia de

triángulos, estos son:

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Para que dos triángulos sea congruentes es necesario que tengan sus tres lados y sus tres ángulos, respectivamente igua-les. No es necesario comprobar todos los elementos, pues en muchos casos basta que se cumplan la igualdad de algunos ele-mentos, para que los demás sean iguales.

El conjunto de elementos que deben ser iguales para que los triángulos sean congruentes da origen en cada caso a los crite-rios de congruencia de triángulos, estos son:

Todo triángulo es congruente en sí mismo, en el efecto por el carácter idéntico de la igualdad de los segmentos y ángulos. Los lados y ángulos de un triángulo son iguales a si mismo; razón por lo cual todo triangulo es igual a si mismo.

Se dice que dos triángulos ΔABN y ΔA’B’C’ son congruente si y solo si sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Po-seen la misma forma y el mismo tamaño.


78

Primer criterio (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes sii tienen sus tres lados iguales y

respectivamente ΔABC = ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ BC = B‟C‟ y CA = C‟A‟

A B‟ C‟

.

Segundo criterio. (L.A.L.)

Dos triángulos son congruente sii tienen dos lados iguales y el ángulo

comprendido entre ellos.

ΔABC ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ y AC = A‟C‟ α = α‟

A A‟ α α‟ B C B‟ C‟

Tercer criterio (A.LA-)

Dos triángulos son congruente si tienen un lado igual y los ángulos

adyacentes a dicho lado.

ΔABC ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ y α = α‟ β = β‟

Segundo criterio. (L.A.L.)Dos triángulos son congruente si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos.

Primer criterio (L.L.L.)Dos triángulos son congruentes sii tienen sus tres lados iguales y respectivamente ΔABC = ΔA’B’C’ AB = A’B’ BC = B’C’ y CA = C’A’

91


78




A B‟ C‟

.











79

C C‟

Α β α’ β’

A B A’ B’

CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:

A A‟ α α‟

B C B‟ C‟

Dos triángulos rectángulos son congruente sii:

Primer criterio (L.A.L): Tienen los catetos iguales.

ABC ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ BC = B‟C‟

Segundo criterio (A.L.A.) Tiene un ángulo agudo y el cateto adyacente al

ángulo

ABC ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ α = α‟

Tercer criterio (L.L.L.): Tiene un cateto y su hipotenusa iguales.

ΔABC ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ AC = A‟C‟


79

C C‟

Α β α’ β’

A B A’ B’


A A‟ α α‟

B C B‟ C‟





ángulo








78




A B‟ C‟

.










Tercer criterio (A.LA-)Dos triángulos son congruente si tienen un lado igual y los án-gulos adyacentes a dicho lado.

92


79

C C‟

Α β α’ β’

A B A’ B’


A A‟ α α‟

B C B‟ C‟





ángulo




TEOREMAS FUNDAMENTALES:

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras se cumple para los triángulos rectán-gulos.

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectán-gulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).


80

TEOREMAS FUNDAMENTALES:

TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras se cumple para los triángulos rectángulos.

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el

cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo

rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados

menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

B

a c

A b C

a2 = b2 + c2

TEOREMA DE THALES

Teorema para las semejanzas y proporcionalidades.

Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces

los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

93

TEOREMA DE THALES

Teorema para las semejanzas y proporcionalidades.

Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son propor-cionales.

AB --- BC DE EF

E

F

B

C

DA

94


81

AB --- BC DE EF

TEOREMAS DE EUCLIDES

El teorema de Euclides se utiliza para la proyección de los catetos sobre la

hipotenusa se utilizan dos teoremas secundarios: uno referido a un cateto (en

un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.

En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional

geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella

A

b h c

m n C H B a a.- Teorema de los catetos:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de

la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

b2 = m.a y c2 = n.a

b.- Teorema de la altura

En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (h) es

equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa

Por lo tanto,

h2 = m.n

a.- Teorema de los catetos:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al

producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto

sobre la hipotenusa”.

b2 = m.a y c2 = n.a

b.- Teorema de la altura

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la

hipotenusa (h) es equivalente al producto de las proyecciones

de los catetos en la hipotenusa

Por lo tanto,

h2 = m.n

TEOREMAS DE EUCLIDESEl teorema de Euclides se utiliza para la proyección de los catetos

sobre la hipotenusa se utilizan dos teoremas secundarios: uno

referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a

la altura.

En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media

proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su

proyección sobre ella

95

TEOREMA DE STEWART

Establece una relación entre la longitud de los lados de un trián-

gulo y la longitud de una ceviana.


82

TEOREMA DE STEWART

Establece una relación entre la longitud de los lados de un triángulo y la

longitud de una ceviana.

A c p b m n B D C a a(p2 + m.n) = b2.m - a2.n

TEOREMA DE APOLONIO.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana). Para todo triángulo la suma

de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual a la mitad del cuadrado

del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.

a

A

b

nD

B Cm

m

TEOREMA DE APOLONIO.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana). Para todo trián-

gulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es

igual a la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del

cuadrado de su mediana correspondiente.

ab

Cmc

Mc

nc

φ φ’

a2 + b2 = ½ c2 + 2Mc

96

TEOREMA DEL SENO (LEY DE SENO)

Se cumple para todos los triángulos que no sea rectángulos.

El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre

las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los

ángulos respectivamente opuestos. Si en un triángulo ABC, las

medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β y δ son respec-

tivamente a, b, c, entonces.


83

a2 + b2 = ½ c2 + 2Mc

TEOREMA DEL SENO (LEY DE SENO)

Se cumple para todos los triángulos que no sea rectángulos.

El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes

de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente

opuestos. Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los

ángulos α, β y δ son respectivamente a, b, c, entonces

A

b α c

β δ B a C

a --- b --- c . senα senβ senδ.

TEOREMA DEL COSENO (LEY DE COSENO)

Se cumple para todos los triángulos que no son rectángulos. El teorema

relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo

formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β y δ los ángulos, y a, b, c, los lados

respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

TEOREMA DEL COSENO (LEY DE COSENO)

Se cumple para todos los triángulos que no son rectángulos. El

teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con

el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β y δ los ángulos, y a, b, c, los

lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

A

α δ

β

B C

97

TEOREMA DE LAS TANGENTES.

El teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las lon-

gitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus

ángulos. a, b, y c son las longitudes de los tres lados del triángu-

lo, y α, β, y φ son los ángulos opuestos a estos tres lados respec-

tivamente. El teorema de la tangente establece que:


84

A

α β δ B C a2 = b2 + c2 - 2b.c. cosα b2 = a2 + c2 - 2a.c.cosβ c2 = a2 + b2 - 2a.c- cosδ


El teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los

tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos. a, b, y c son las

longitudes de los tres lados del triángulo, y α, β, y φ son los ángulos

opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la tangente

establece que:

A α β δ B C


84

A

α β δ B C a2 = b2 + c2 - 2b.c. cosα b2 = a2 + c2 - 2a.c.cosβ c2 = a2 + b2 - 2a.c- cosδ


El teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los

tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos. a, b, y c son las

longitudes de los tres lados del triángulo, y α, β, y φ son los ángulos

opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la tangente

establece que:

A α β δ B C

2a.b.cos

98

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIÁNGULOS

1.- Dado un cuadrilátero ABCD donde DR ┴ AC y BT ┴ AC. Demostrar que DR = BT.

Solución:

ABCD, es un paralelogramo donde AD = BC por ser lados para-lelos de un paralelogramo. <DAR = <BCR por ser alterno interno entre paralelas.<ARD = <CTR por ser ángulos recto entonces <ADR = <TCB.

Entonces Δ ADR = ΔBCT por el criterio A.LA. Entonces DR = BT.

2.- Si en un triángulo M es el punto medio de AC y N es el punto medio de CB y el segmento MN ║ AB. Demonstrar ∆ MCN .

∆DNB C

BA

M N

D

D C

BA

R

T

99

Solución:<DBN = <MNC por ser correspondientes entre paralelas MN ║ AB. BN = NC por ser N punto medio BC; <NCM = <DNB por ser ángulos correspondientes entre rectas paralelas, AC ║ DN.Luego Δ MCN Δ DNB por el criterio ALA.

3.- En un triángulo isósceles AH es la altura del lodo diferente demostrar que ΔABH ΔACH.

CHB

A

Solución:El < BHA = < CHA por ser ángulos rectos por ser BC AH.<ABH = <ACH por ser ángulos de la base de un triángulo isós-celes.Por ser la suma de tres ángulos internos de un triángulo es igual a 1800.Entonces <BAH = <CAH. AB = AC por ser lados iguales de triangulo isósceles.AH = AH por ser altura del triángulo.Entonces ΔBAH ΔCAH por el criterio LAL.

100

EJERCICIOS PROPUESTOS TRIÁNGULOS.

1.- Demostrar que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es igual a 1800

2.- La suma de dos ángulos interno de un triángulos es menor de 1800.

3.- Demostrar que la suma de los tres ángulos externo de un triángulo es igual a 3600.

4.- .Demostrar que el ángulo formado por la mediana y la altura de un triángulo rectángulo, trazada ambas desde el vértice del ángulo Â recto y es igual a <B - <C

5.- Dado un triángulo ABC tal que AB < AC, se toma sobre este último una longitud AD = AB con la cual resulta que el punto D equidista de los vértices B y C según esto. Demostrar que <B =<C ,

6.- En un triángulo rectángulo β = 320, cuál será el valor del ángulo <AIC formado por el punto de la intersección de las bisectrices de los ángulos <A y <C.

7.- Demostrar que un paralelogramo es rectángulo, si y solo si, sus diagonales son congruentes.

8.- Los segmentos AB y CD se bisecan en E. Demostrar que el triangulo Δ ACE ≅ Δ DBE.

101

9.- Demostrar que una diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.

10.- Demostrar si una recta pasa por el punto medio de un lado de un Triángulo y es paralelo a uno de los otros dos lados en-tonces corta al tercer lado en su punto medio.

11.- El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices

12.- Por los vértices de un trapezoide ABCD, se trazan para-lelas a las diagonales AC y BD. Demostrar que el cuadrilátero que resulta es un paralelogramo de doble área que el trape-zoide dado.

13.- En un paralelogramo A B C D, M y N son puntos medios de los lados AB y CD. Trazar la diagonal AC. Se trazan perpendi-culares a AC por M y N . Demostrar que los triángulos que se forman son que forman son congruentes.

14.- La bisectriz del ángulo diferente de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos congruentes.

15.- Si un punto en la base de un triángulo isósceles equidista de los puntos medios de los lados congruentes, el punto biseca a la base.

16.- En el triángulo ABC, tenemos que <ABC ≅ <ACB, si M es punto medio de AB y N es punto medio de AC, y AB = AC en-tonces ΔMBC ≅ ΔNCB.

102

TV

V P Q S


89

dos triángulos congruentes.

15.- Si un punto en la base de un triángulo isósceles equidista de los puntos

medios de los lados congruentes, el punto biseca a la base.

16.- En el triángulo ABC, tenemos que <ABC <ACB, si M es punto medio de AB y N es punto medio de AC, y AB = AC entonces

ΔMBC ΔNCB.

17.- Dada las siguientes figuras donde tememos RS = QT; PS = PT,

<RTP = <QSP demostrar que ΔRTP = ΔQPS P.

R S T Q

18.- En la figura RV = ST ; RQ = SP y <VRQ <TSP. Demostrar

que ΔRVQ ΔTSP.

. V T

R P Q S

19.- Si se tiene un triángulo ABC equilátero, donde BE = 2AB y el <BDE es recto. Probar que el triángulo ∆CAD es rectángulo en A.

A

B C

E

D

P

RR T Q

17.- Dada las siguientes figuras donde tememos RS = QT; PS = PT, <RTP = <QSP demostrar que ΔRTP = ΔQPS

103


89

dos triángulos congruentes.

15.- Si un punto en la base de un triángulo isósceles equidista de los puntos

medios de los lados congruentes, el punto biseca a la base.

16.- En el triángulo ABC, tenemos que <ABC <ACB, si M es punto medio de AB y N es punto medio de AC, y AB = AC entonces

ΔMBC ΔNCB.

17.- Dada las siguientes figuras donde tememos RS = QT; PS = PT,

<RTP = <QSP demostrar que ΔRTP = ΔQPS P.

R S T Q

18.- En la figura RV = ST ; RQ = SP y <VRQ <TSP. Demostrar

que ΔRVQ ΔTSP.

. V T

R P Q S

20.- Si AB ║ CD y AB = CD . Demonstrar que Δ AOB ≅ ΔCOD.

A B

CD

o

21.- Si BC = AD y DC = AB. Demostrar que Δ ABD ≅ Δ BCD.

B

A

C

D

22.- Si BD ┴ AC y B es el punto medio de AC. Demostrar que

ΔABD ≅ ΔBCD.

A

BD

C

104

23.- En el ΔABC tenemos que AB = AC; CE = CD; BF = BD y α = 600

¿Cuál es el valor del < EDF?. A

E

C D B

F

24.- Dados los puntos R, Q y S coliniales donde RQ = QP y RV = PT. Hallar el ángulo <SQP si <QRV = 250 y <VQT = 1000.

α

R V T P

QS

100°

25

25.- Sea D cualquier punto del lado AB, uno de los lados iguales en

un triángulo isósceles ABC. Se toma un punto F en la prolongación

del lado AC de modo que la intersección de DF con BC Es el

punto medio del segmento DF. Demostrar que CF = BO

105

26.-ABC es un triángulo isósceles tal que AB = AC. Se toma

un punto cualquiera G sobre AB y se toma un punto H en la

prolongación del lado AC de modo que BG = CH. Pruebe que GH

> BC.

27.- Dado un triángulo ABC tal que AB < AC; se toma este último

lado Una longitud AD = AB, con los cuales resulta que el punto

D equidista de los vértices B y C. Demostrar que B = 3C.

28.- Los triángulos ΔABC = ΔAED son rectángulos en B y E. Si M y N son puntos medios de AD y PC. Probar que ME NE.

M

A

BP N C

D

E

29.- Dada la figura donde PB ║ AD y BP es bisectriz del <ABC.

Demostrar que AB = DB

D

B

C

P

A

106

30.-Si se tiene el paralelogramo ABCD, AE ll CF. Demostrar que

ΔAED ΔBCF

B

CED

FA

31.- Considérese en el triángulo ABC; done AH es la aluta que parte desde el vértice A, si AW es la bisectriz del ángulo A. el <A es mayor que <C. Entonces el ángulo determinado por la altura (AH) y la bisectriz del ángulo

A, (WA) es igual a < HAW = <B - <C . 2

A

WB CH

107

SEMEJANZA PROPORCIONALIDADES Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULO.Segmentos Proporcionales:Dado los conjunto de segmentos S= [ AB, BC, CD,.] s’ = {A’B’, B’C’.C’D’…}Entre los dos conjunto existe una correspondencia biunívoca F ( a cada elemento se S le corresponde un elemento de S’)

ABBA CD

s s

A’BB’CC’D

Una proporcionalidad es una correspondencia, si conserva la igualdad, el orden y la suma entre los elementos de S y S’.


95

SEMEJANZA

PROPORCIONALIDADES Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULO.

Segmentos Proporcionales:

Dado los conjunto de segmentos S= [ AB, BC, CD,.]

s‟ = {A‟B‟, B‟C‟.C‟D‟…}

Entre los dos conjunto existe una correspondencia biunívoca F ( a cada

elemento se S le corresponde un elemento de S‟)

S S’

AB A’B

BA B’C

CD C’D’

Una proporcionalidad es una correspondencia, si conserva la igualdad, el orden y la suma entre los elementos de S y S‟.

Es decir: AB = AC → A‟B‟ = A‟C‟ (igualdad) AB > BC → A‟B‟ > B‟C‟ (orden) AB < BC → A‟B‟ < B‟C (orden) AC = AB +BC → A’B’ = A’B’ + B’C’ (suma)

En tal caso se dice que los segmentos son proporcionales y se

pueden escribir: AB -- BC -- CD --…………= K, Ұ K ε R K ≠ 0 A‟B‟ B‟C‟ C„D„

RAZON: Es el cociente entre dos cantidades, es decir, dividir la primera

cantidad entre la segunda cantidad: es importante que el estudiante

entienda que una razón es el cociente de cantidades de medidas semejantes.


95

SEMEJANZA

PROPORCIONALIDADES Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULO.

Segmentos Proporcionales:

Dado los conjunto de segmentos S= [ AB, BC, CD,.]

s‟ = {A‟B‟, B‟C‟.C‟D‟…}

Entre los dos conjunto existe una correspondencia biunívoca F ( a cada

elemento se S le corresponde un elemento de S‟)

S S’

AB A’B

BA B’C

CD C’D’

Una proporcionalidad es una correspondencia, si conserva la igualdad, el orden y la suma entre los elementos de S y S‟.

Es decir: AB = AC → A‟B‟ = A‟C‟ (igualdad) AB > BC → A‟B‟ > B‟C‟ (orden) AB < BC → A‟B‟ < B‟C (orden) AC = AB +BC → A’B’ = A’B’ + B’C’ (suma)

En tal caso se dice que los segmentos son proporcionales y se

pueden escribir: AB -- BC -- CD --…………= K, Ұ K ε R K ≠ 0 A‟B‟ B‟C‟ C„D„

RAZON: Es el cociente entre dos cantidades, es decir, dividir la primera

cantidad entre la segunda cantidad: es importante que el estudiante

entienda que una razón es el cociente de cantidades de medidas semejantes.

RAZON: Es el cociente entre dos cantidades, es decir, dividir la primera cantidad entre la segunda cantidad: es importante que el estudiante entienda que una razón es el cociente de cantidades de medidas semejantes.

Es decir

En tal caso se dice que los segmentos son proporcionales y se pueden escribir:

(igualdad)(orden)(orden)(suma)

108

a . -- k Razónb

Constante de proporcionalidad (k) es el valor de una razón y es

un número real. Proposición: es la igualdad de dos razones

a . -- c . ó a: b = c: d b d

se lee a es a b como c es a d. Donde a y d son extremo de la

proporción, b y c son medios de la proporción.

TIPOS DE PROPORCIONES:

1.- Cuarta proporcional: Se llama cuarta proporcional de tres

cantidades a, b y c, a un valor x que cumple la condición

a . -- c . ó a . b = c . x b x

2.- Tercera proporcional: Se llama tercera proporcional de dos

cantidades a y b, a un valor x que cumple la condición.

a . -- b . ó a . b = b . x b x Cuando la tercera proporcional ocupa la posición de un extremo los medios deben ser iguales..

3.- Media proporcional: Se llama media proporcional de dos valores a y d, a un valor x, que cumple la siguiente condición.

a . -- x . ó a . x = x . d x d

109

Siempre ocupa la posición de los medios.También. Se dice: Si los dos medios de una proporción son iguales, cualquiera de ellos se denomina medio proporcional entre el primer término y el cuarto.

4.- Serie de razones iguales: Dada una serie de razones iguales: a . -- c -- e. -- g . …… b d f h

Se cumple que la suma de todos los numeradores es a los denominadores, como un numerador cualquiera es a su denominador. a . + c . + e .+ g … . -- a . -- c . -- e . -- g . -- b + x + b + x… b d f h

TEOREMA DE TALES.

Sean m y m’ son dos rectas transversales a un conjunto de restas

paralelas l1, l2, l3, …..ln, entonces los segmentos determinado sobre

m, son proporcionales a los determinados sobre m’ Si l1 || l2 || l3 || …..|| ln debe cumplirse que: AB .-- BC -- CD . …… A’B’ B’C C‘D

m m

A’A

B’B

C’CD

t

110

PRINCIPIOS DE LAS PROPORCIONALIDADES:

1.- Toda recta paralela a un lado de un triángulo determina sobre los otros dos lados o sus prolongaciones segmentos que son proporcionales

P Q

A

CB

Si l ║ BC→ AP -- PBAQ QC

2.- Si una recta determinada sobre dos lados de un triángulo o sus prolongaciones segmentos proporcionales, entonces es pa-ralela al tercer lado.

A

Q

P CB

v

Si AQ QC → l ║ ABBP BC

111

3.- El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad..Si M1 es punto medio de AB y M2 es punto medio de BC, enton-ces

M1M2 ║ AC Λ M1M2 -- AC .2

B

A C

M1M2

4.- La bisectriz de un ángulo en un triángulo, divide al lado opues-to en dos segmentos proporcionales a los lados continuos.

A BW es bisectriz del ángulo α AB -- AW α α BC WC

2 2

B W C

112

SEMEJANZA DE TRIÁNGULO:Dos triángulos son semejantes si y solo si, sus lados correspon-dientes son proporcionales y sus ángulos son congruentes.

A

B C

A

B C

Intuitivamente dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma aunque no necesariamente del mismo tamaño.

AN -- BC -- CA -- k

ΔABC ~ΔA’B’C’ A’B’ B’C’ C’A’ α = α’ : β = β’ y ∂ = ∂’

Donde K es ka razón de semejanza.La congruencia de triángulo es un caso particular de semejanza dondeK = 1.

CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO:Primer criterio (AA)Dos triángulos son semejantes si y solo si tienen dos ángulos son congruentes.

113

A’

α

β’

C’

A

α

β

CB

ΔABC ~ ΔA’B’C’ → α = α’ β = β’

Segundo criterios (L.A.L.)Dos triángulos son semejantes si y solo si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales

ΔABC ~ ΔA’B’C’ → α = α’ AB -- AC . A’B’ A’B’

Tercer criterio (L.L.L.)Dos triángulos son semejantes si y solo si, tienen son tres lados proporcionales.ΔABC ~ ΔA’B’C’ → AN -- BC -- CA A’B’ B’C’ C’A’

114

Principios:

1.- Dos triángulos rectángulos son semejantes si y solo si: tienen un ángulo agudo igual.(AA).

2.- Dos triángulos isósceles son semejantes si y solo si: tienen igual el ángulo opuesto a la base (LLL).

3.- Todos los triángulos equiláteros son semejantes (LLL).

4.- Dos triángulos, si tienen sus lados proporcionales son semejantes.(AA).

5.- En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triángulos dado en otro dos semejantes a él y semejante entre si.

ΔABC ~ ΔABH ~ ΔACH

MEDIAS PROPORCIONALES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

1.- En todo triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que su pie determina sobre la hipotenusa. ΔABC es rectángulo en B. BC es la hipotenusa del ΔABCAH altura correspondiente a la hipotenusa BC.Se cumple: BH . -- AH . AH BC

B H C

A

115

2.- En todo triángulo rectángulo, cualquiera de los catetos es medio proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre la hipotenusa.BC -- AB BC -- ACAB BH AC HC

TEOREMA DE PITÁGORASEn todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2A

H CB

EJERCICIOS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO1.- Dado un triángulo rectángulo donde N es el punto medio de la hipotenusa y el segmento MN es paralelo al lado AB y MN

AC en N. Demostrar que el Δ ABC ~ Δ CMN.


103

2.- En todo triángulo rectángulo, cualquiera de los catetos es medio

proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre la

hipotenusa.

BC -- AB BC -- AC AB BH AC HC

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma

de los cuadrados de los catetos.

A a2 = b2 + c2

B H C

EJERCICIOS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO

1.- Dado un triángulo rectángulo donde N es el punto medio de la hipotenusa

y el segmento MN es paralelo al lado AB y MN I AC en N. Demostrar que

el Δ ABC ~ Δ CMN.

B M

A N C

Solución:

116


104

El < BCA = <MNC = 900

<ACB = < MCN es un ángulo común

Como <ABC + <BAC + <ACA = 1800 y <NMC +<MNC + <NCM =1800 por

ser ángulos internos de los triángulos ΔABC y ΔMNC entonces,

<ABC + <BCA + <CAB = <NMC + <MNC + <NCM por ser igual a 1800

entonces tenemos que <ABC = <NMC por demostración.

Entonces, ΔABC ~ ΔMNC por el criterio AAA

AB -- BC -- CA . MN MC NC

2.- En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo

agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el

doble producto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.

B

c h a m n

A H C

Solución:

Probaremos en el ΔABC que a2 = b2 + c2 - 2bm.

Por el teorema de Pitágoras en el ΔABH por ser recto en H ya que h es

altura se tiene c2 = h2 + m2 y en el ΔCBH tenemos que a2 = h2 + n2


104

El < BCA = <MNC = 900

<ACB = < MCN es un ángulo común

Como <ABC + <BAC + <ACA = 1800 y <NMC +<MNC + <NCM =1800 por

ser ángulos internos de los triángulos ΔABC y ΔMNC entonces,

<ABC + <BCA + <CAB = <NMC + <MNC + <NCM por ser igual a 1800

entonces tenemos que <ABC = <NMC por demostración.

Entonces, ΔABC ~ ΔMNC por el criterio AAA

AB -- BC -- CA . MN MC NC

2.- En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo

agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el

doble producto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.

B

c h a m n

A H C

Solución:

Probaremos en el ΔABC que a2 = b2 + c2 - 2bm.

Por el teorema de Pitágoras en el ΔABH por ser recto en H ya que h es

altura se tiene c2 = h2 + m2 y en el ΔCBH tenemos que a2 = h2 + n2

Solución:

2.- En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.

117

Solución:Probaremos en el ΔABC que a2 = b2 + c2 - 2bm. Por el teorema de Pitágoras en el ΔABH por ser recto en H ya que h es altura se tiene c2 = h2 + m2 y en el ΔCBH tenemos que

a2 = h2 + n2

Despejando h2 en cada una de las ecuaciones.h2 = c2 - m2 h2 = a2 – n2 donde b = m + n a2 – n2 = c2 – m2 despejando n = b – m

a2 – ( b – m)2 = c2 – m2

a2 – (b2 - 2bm + m2 ) = c2 – m2

a2 – b2 + 2bm – m2 = c2 – m2

a2 = b2 – 2bm + m2 + c2 – m2

a2 = b2 + c2 – 2bm era lo que queríamos demostrar

EJERCICIOS PROPUESTOS SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

1.- Los triángulos Δ ABC y Δ AED son rectángulos en B y E. Si M y N son puntos medios de AD y PC. Probar que ME I NE.


105

Despejando h2 en cada una de las ecuaciones.

h2 = c2 - m2 h2 = a2 – n2 donde b = m + n

a2 – n2 = c2 – m2 despejando n = b – m

a2 – ( b – m)2 = c2 – m2

a2 – (b2 - 2bm + m2 ) = c2 – m2

a2 – b2 + 2bm – m2 = c2 – m2

a2 = b2 – 2bm + m2 + c2 – m2

a2 = b2 + c2 – 2bm era lo que queríamos demostrar

EJERCICIOS PROPUESTOS SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

1.- Los triángulos Δ ABC y Δ AED son rectángulos en B y E. Si M y N

son puntos medios de AD y PC. Probar que ME I NE.

A

M E

B P N C

D

118

2.- Dado el triángulo Δ ABC donde M y N son punto medios de los lados AB y CB. Demostrar que MN║ CA y MN = AC . 23.- La altura de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, forma dos triángulos rectángulos semejantes entre si y también son semejantes al triángulo dado.

4.- Demostrar que dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

5.- Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

6.- Si una recta determina sobre dos lados de un triángulo o sus prolongaciones segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado e igual a la mitad.

7.-Dado el trapecio ABCD donde AB║ CD y AF ┴ BE en F, y

BC ┴ DC en C. Demostrar que ΔABF ~ ΔBCE..


106

2.- Dado el triángulo Δ ABC donde M y N son punto medios de los lados AB y CB. Demostrar que MN║ CA y MN = AC . 2 3.- La altura de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, forma dos triángulos

rectángulos semejantes entre si y también son semejantes al triángulo dado.

4.- Demostrar que dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un

ángulo agudo igual.

5.- Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

6,. Si una recta determina sobre dos lados de un triángulo o sus

prolongaciones segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer

lado e igual a la mitad.

7.-Dado el trapecio ABCD donde AB║ CD y AF ┴ BE en F, y BC ┴ DC

en C. Demostrar que ΔABF ~ ΔBCE..

A B

F

D E C

119

8.- El segmento que une los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e Igual a la mitad

9.- Dado un triángulo ΔABC y PQ ║ BC Demostrar que el ΔABC ~ ΔAPQ.


107

8.- El segmento que une los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e

Igual a la mitad

9.- Dado un triángulo ΔABC y PQ ║ BC Demostrar que el ΔABC ~ ΔAPQ. A

P Q

C B

10.- Si AD ┴ AB y DC ┴ AD. Demostrar que AB -- AD . DC BC


107

8.- El segmento que une los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e

Igual a la mitad

9.- Dado un triángulo ΔABC y PQ ║ BC Demostrar que el ΔABC ~ ΔAPQ. A

P Q

C B

10.- Si AD ┴ AB y DC ┴ AD. Demostrar que AB -- AD . DC BC

CIRCUNFERENCIACircunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro, también podemos decir, que es el conjunto de puntos que están a igual distancia de un punto dado llamado centro.

120

PARTES DE UNA CIRCUNFERENCIA:CIRCUNFERENCIA


108

CIRCUNFERENCIA

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan

de un punto fijo llamado centro, también podemos decir, que es el conjunto

de puntos que están a igual distancia de un punto dado llamado centro.

PARTES DE UNA CIRCUNFERENCIA:

Radio … …….cuerda

Circunferencia……. ……arco

diámetro

.recta secante

… recta tangente

T

recta exterior

Radio: es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con

cualquier punto de ella. Se denota con la letra r.

Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, es la

cuerda de mayor longitud está conformado por dos radios. Se denota con la

letra D y es D = 2r.

Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos cualquiera de la

circunferencia.

Radio: es el segmento de recta que une el centro de la circunfe-rencia con cualquier punto de ella. Se denota con la letra r.

Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunfe-rencia, es la cuerda de mayor longitud está conformado por dos radios. Se denota con la letra D y es D = 2r.

Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos cualquie-ra de la circunferencia.

Arco de la circunferencia: es el conjunto de puntos de la cir-cunferencia que se encuentra entre dos puntos dados. Se deno-ta con un arco sobre los puntos AB.

Recta secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

121

Recta Tangente: es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto y este punto se llama punto de tangencia y se de-nota con la letra T. El radio corta a la recta tangente en el punto de tangencia en forma perpendicular.

Recta Exterior: es la recta que no corta a la circunferencia en ningún punto.

Longitud de la circunferencia: es el entorno de la circunfe-rencia. Se denota con la letra L y es L = 2π r.

Interior de la circunferencia: es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al centro es menor que el radio.

Exterior de una circunferencia: es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al centro es mayor que el radio.

Ángulo central: es todo ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la circunferencia.

Arco menor: cuando la medida del ángulo central que lo sub-tiende es menor de 1800

Arco mayor: cuando la medida del ángulo central que lo sub-tiende es mayor a 1800.

Semi-circunferencia: es aquel arco cuya medida del ángulo central es igual a 1800, o sea es un ángulo llano. (es media cir-cunferencia).

122

CÍRCULO:Es el conjunto de los puntos internos de una circunferencia y su entorno.

Sector Circular

Sector circular: es la porción del círculo limitada por dos radios, lados de un ángulo central y el arco correspondiente.

Corona circular: es el lugar geométrico comprendido entre dos circunferencias concéntricas de diferentes radios

Área de un círculo: es la superficie cerrada en una circunferencia.

Ao = π r2 donde π = 3.141º6…Semi círculo: es el sector circular comprendido entre un diámetro y la semicircunferencia correspondiente

123

Área del círculo: corresponde al valor de la superficie encerrada en una circunferencia. Se denota por A = π r2

PRINCIPIOS DE UNA CIRCUNFERENCIA.Todo diámetro divide a la circunferencia o el círculo en dos partes iguales. Un diámetro perpendicular a una cuerda, biseca la cuerda y sus arcos correspondientes.La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. (es el diámetro).Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su punto de tangencia.

POSICIÓN RELATIVA DE LAS CIRCUNFERENCIAS.Circunferencias concéntricas: son las que tienen el mismo centro. Si O1 = O2 y r1 ≠ r2 C1 y C2.

Circunferencias congruentes: son aquella circunferencia que tienen radios iguales. r1 = r2 y o1 = o2 entonces C1 = C2

124

Circunferencias exteriores: cuando los puntos de una circun-ferencia son exteriores a la otra circunferencia.

Circunferencias Interiores: cuando los puntos de una de las circunferencia son puntos internos de la otra circunferencia. Y pueden ser concéntricas cuando tienen en mismo centro y ex-céntricas cuando están dentro de la circunferencia pero con cen-tros diferentes.

Circunferencias secantes: son aquellas circunferencias que tienen dos puntos comunes.

Circunferencias Tangentes: son aquellas que tienen un punto en común, denominada punto de tangencia y se denota con la letra T.

125

Circunferencias tangentes exteriores: cuando tiene un punto en común y los demás puntos son externos.

Circunferencias tangentes interiores: cuando tienen un punto en común y los demás puntos son internos a una circunferencia.

ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA,

Ángulo Central: es el ángulo cuyo centro está en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un ángulo central es igual al arco que lo subtiend θ = AB

θ

A

B

126

Ángulo inscrito: es el ángulo cuyo vértice está sobre la circun-ferencia y sus lados son cuerdas.. Un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que lo subtiende. Θ -- AB .

2

ΘO

A

B

Ángulo semi-inscrito: es aquel cuyo vértice está en la circun-ferencia y un lado es una cuerda y el otro lado un segmento tangente es igual a la mitad del arco que lo contienen. Θ -- AT .

Θ

AT

2

127

Ángulo interior: es un ángulo cuyo vértice se encuentra dentro de la circunferencia o sea que es un punto interno en una circunferencia, diferente del centro. Su medida es igual a la semi suma de los arcos interceptados por dicho ángulo y el de su opuesto por el vértice.


114

Ángulo inscrito: es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas.. Un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que lo subtiende. Θ -- AB . 2 A Ɵ O B Ángulo semi-inscrito: es aquel cuyo vértice está en la circunferencia y un lado es una cuerda y el otro lado un segmento tangente .es igual a la mitad del arco que lo contienen. Θ -- AT . 2 . T A

Ángulo interior: es un ángulo cuyo vértice se encuentra dentro de la

circunferencia o sea que es un punto interno en una circunferencia, diferente

del centro. Su medida es igual a la semi suma de los arcos interceptados por

dicho ángulo y el de su opuesto por el vértice.

Θ -- AB + CD . A B 2

C D

A

C D

B

Ángulo exterior: es el ángulo cuyo vértice es un punto ex-terior de la Circunferencia y sus lados pueden ser: rectas secan-tes, rectas tangentes o una recta secante y una tangente.. Su medida es igual a la semi diferencia de los arcos limitados por sus lados. Θ -- AB – CD

A

CΘ

DB

2

128

EJERCICIO RESUELTOS DE CIRCUNFERENCIA1.- Dada la circunferencia de centro O, desde el punto A exterior se traza la recta secante ABC de modo que AB = r también por A se traza otra recta secante AOD que pasa por el centro de la circunferencia. Demostrar que el <COD = 3 < BAO


115

Ángulo exterior: es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la Circunferencia y sus lados pueden ser: rectas secantes, rectas tangentes o una recta secante y una tangente.. Su medida es igual a la semi diferencia de los arcos limitados por sus lados. Θ -- AB – CD . 2 A

C

θ

D B

EJERCICIO RESUELTOS DE CIRCUNFERENCIA

1.- Dada la circunferencia de centro O, desde el punto A exterior se traza la

recta secante ABC de modo que AB = r también por A se traza otra recta

secante AOD que pasa por el centro de la circunferencia. Demostrar que

el <COD = 3 < BAO.

C

D

B O

E

A

Solución:Hipótesis AB = r OC = OD = OB = r; por se O centro de la circunferencia.Demostración:Los triángulos ΔABO y ΔBOC son isósceles por hipótesisBA = BO = r por hipótesis OB = OC por ser radio de la circunferencia.En ΔABO el < BAO = < BOA por ser triángulo isósceles entonces el <CBO = <BAO + < BOA por ser ángulo exterior al ΔABO entonces <CBO = 2 <BAO.El ΔBOC es isósceles por lo tanto <CBO = < BCO = 2<BAO como el < COD es un ángulo exterior al ΔAOC entonces el <COD = <BAO + <BCO Como <BCO = 2<BAO entonces tenemos que <COD = <BAO + 2<BAC → <COD = 3<BAO.

Tesis<COD = 3 <BAO

129


116

Solución:

Hipótesis Tesis

AB = r <COD = 3 <BAO

OC = OD = OB = r; por se O centro de la circunferencia.

Demostración:

Los triángulos ΔABO y ΔBOC son isósceles por hipótesis

BA = BO = r por hipótesis

OB = OC por ser radio de la circunferencia.

En ΔABO el < BAO = < BOA por ser triángulo isósceles entonces

el <CBO = <BAO + < BOA por ser ángulo exterior al ΔABO entonces

<CBO = 2 <BAO.

El ΔBOC es isósceles por lo tanto <CBO = < BCO = 2<BAO como el

< COD es un ángulo exterior al ΔAOC entonces el <COD = <BAO + <BCO

Como <BCO = 2<BAO entonces tenemos que <COD = <BAO + 2<BAC →

<COD = 3<BAO.

2.- Demostrar que todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la

semidiferencia de los arcos limitados por sus lados..

A

C Θ E D B

2.- Demostrar que todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos limitados por sus lados..


117

Solución:

Trazamos el segmento AD, luego resulta el ΔAED donde tenemos que el < ADB = AB por ser ángulo inscrito y el < CAD = CD por ser ángulo 2 2 inscrito en una circunferencia, entonces, <ADB es ángulo exterior al ΔAED por lo tanto < ADB = <CAD + <CED como <CAD = CD y 2 y < ADB = AB 2 entonces < CED = <ADB - <CAD

< CED -- AB - CD → θ -- AB - CD 2 2 2

3.- La perpendicular trazada desde el centro de una circunferencia a una

cuerda, biseca a la cuerda y a los arcos que los subtiende.

Solución:

Hipótesis Tesis

Sea la circunferencia de centro o AM = MB

OQ l . AB AQ = BQ

AP = PB

130

3.- La perpendicular trazada desde el centro de una circunfe-rencia a una cuerda, biseca a la cuerda y a los arcos que los subtiende. Solución:


117

Solución:


< CED -- AB - CD → θ -- AB - CD 2 2 2



Solución:

Hipótesis Tesis


OQ l . AB AQ = BQ

AP = PB


117

Solución:


< CED -- AB - CD → θ -- AB - CD 2 2 2



Solución:

Hipótesis Tesis


OQ l . AB AQ = BQ

AP = PB


117

Solución:


< CED -- AB - CD → θ -- AB - CD 2 2 2



Solución:

Hipótesis Tesis


OQ l . AB AQ = BQ

AP = PB

P

O

BMA


118

P

O

A M B

Q

Se trazan los radios AO y OB.

Los <AMO = <BMO = 90º por ser OQ ┴ AB por hipótesis.

AO = OB por ser radio de la circunferencia.

OM = OM por ser lado común, entonces los ∆AOM ≈ ∆ BOM por ser

triángulos rectángulos y tener un cateto y sus hipotenusas iguales. Entonces

se tiene que AM = MB entonces M es el punto medio de AB

<AOM = <MOB por ser opuestos a lados iguales de triángulos congruentes.

Entonces AQ = QB por ser arcos de ángulos centrales e iguales.

AP = <POA por ser Angulo central

BP = <POB por ser Angulo central

Como los <POA = <POB por ser ángulos adyacentes y miden 90º; entonces

queda demostrada la tesis.

EJERCICIOS PROPUESTOS CIRCUNFERENCIA.

1.- Hallar el valor de los ángulos α y β, el arco AB en cada uno de los

seguientes casos.

131

EJERCICIOS PROPUESTOS CIRCUNFERENCIA.1.- Hallar el valor de los ángulos α y β, el arco AB en cada uno de los siguientes casos.


119

C 1300 (a) B (b) D A E 800 B α 320 T β α 1000 B β A C (d) c) 380 A E F D 860

G β B 1050 720

D 290 α β C C B A 1050

E B 350 β 560 A A D B 700 α β C F D


120

2.- Sean dos circunferencias tangentes interiores en T, si AD y CD son rectas secantes cualquiera trazadas por T . Probar que AC ll BD y AT -- CT . BT DT A B T D C 3.-Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia si sus ángulos opuestos son suplementario. 4.- Demostrar que los segmentos tangentes desde un punto externo a una circunferencia son congruentes y forma ángulos congruentes con la recta que pasa por el punto y el centro de la circunferencia. A O P B 5.- En una circunferencia OA es igual al diámetro y AB es igual al radio de la circunferencia dada y <BAE = 200. Hallar el valor de ángulo <COD.

3.-Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia si sus ángulos opuestos son suplementario.

4.- Demostrar que los segmentos tangentes desde un punto externo a una circunferencia son congruentes y forma ángulos congruentes con la recta que pasa por el punto y el centro de la circunferencia.


120

2.- Sean dos circunferencias tangentes interiores en T, si AD y CD son rectas secantes cualquiera trazadas por T . Probar que AC ll BD y AT -- CT . BT DT A B T D C 3.-Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia si sus ángulos opuestos son suplementario. 4.- Demostrar que los segmentos tangentes desde un punto externo a una circunferencia son congruentes y forma ángulos congruentes con la recta que pasa por el punto y el centro de la circunferencia. A O P B 5.- En una circunferencia OA es igual al diámetro y AB es igual al radio de la circunferencia dada y <BAE = 200. Hallar el valor de ángulo <COD.

133

5.- En una circunferencia OA es igual al diámetro y AB es igual al radio de la circunferencia dada y <BAE = 200. Hallar el valor de ángulo <COD.


121

C B O A D 6.- Si e traza una recta tangente exterior a dos circunferencia de diferentes

radios, y los radios esta separados por una distancia mayor que su suma.

. .

O O’

7.- Demostrar que en toda circunferencia, si dos cuerdas iguales se cortan,

los segmentos de una cuerda son respectivamente iguales a los segmentos

de la otra cuerda.

8.- Demostrar que la perpendicular trazada desde el centro de la

circunferencia a una cuerda, biseca la cuerda y los arcos que los subtiende.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS

6.- Si e traza una recta tangente exterior a dos circunferencia de diferentes radios, y los radios esta separados por una distancia mayor que su suma.


121

C B O A D 6.- Si e traza una recta tangente exterior a dos circunferencia de diferentes

radios, y los radios esta separados por una distancia mayor que su suma.

. .

O O’

7.- Demostrar que en toda circunferencia, si dos cuerdas iguales se cortan,

los segmentos de una cuerda son respectivamente iguales a los segmentos

de la otra cuerda.

8.- Demostrar que la perpendicular trazada desde el centro de la

circunferencia a una cuerda, biseca la cuerda y los arcos que los subtiende.


7.- Demostrar que en toda circunferencia, si dos cuerdas iguales se cortan, los segmentos de una cuerda son respectivamente iguales a los segmentos de la otra cuerda.8.- Demostrar que la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia a una cuerda, biseca la cuerda y los arcos que los subtiende.

134


Las construcciones son lugares geométricos de una figura cono-ciendo una o varias condiciones geométricas restrictivas.Lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que satisfa-cen una o más condiciones dadas.Para determinar el lugar geométrico seguimos los siguientes pa-sos:

α) Construimos una figura de análisis.β) Localizamos varios puntos que satisfagan las condicio-

nes dadas.χ) Trazamos una o varias líneas rectas o curvas que pase

por los puntos.δ) Formar una conclusión referente al lugar geométrico y

describir con exactitud la figura geométrica que repre-senta la conclusión.

e) Probar la conclusión demostrando que la figura satisface las característica del lugar geométrico.

EJERCICIOS RESUELTOS DE CONSTRUCCIONES DE FIGURAS PLANAS

1.- Construir una circunferencia de razón a/b sobre el segmento AB. (Circunferencia de Apolunio). Solución:


123

P

A X B Q

a) dado el segmento AB

b) Dado un punto P fuera de AB.

c) Unimos los punto A y B con P

d) Hallamos la bisectriz de los ángulos internos y externo al ángulo de vértice

P.

e) Esas dos bisectrices deben formar un ángulo de 900.

f) Prolongamos el segmento AB hasta que corte la bisectriz del ángulo

externo.

g) Hallamos el punto medio de RQ que será el centro de la Circunferencia.

h) Trazamos una circunferencia de diámetro RQ y que pase por P.

i) este es la circunferencia de Apolonio.

2.- Dado el segmento AB y un ángulo comprendido 00 < α < 1800,. Trace

el arco capaz de α sobre AB

Solución:

135

a) dado el segmento AB b) Dado un punto P fuera de AB.c) Unimos los punto A y B con Pd) Hallamos la bisectriz de los ángulos internos y externo al ángulo de vértice P.e) Esas dos bisectrices deben formar un ángulo de 900.

f) Prolongamos el segmento AB hasta que corte la bisectriz del ángulo externo.

g) Hallamos el punto medio de RQ que será el centro de la Circunferencia.h) Trazamos una circunferencia de diámetro RQ y que pase por P.i) este es la circunferencia de Apolonio.

2.- Dado el segmento AB y un ángulo comprendido 00 < α < 1800. Trace el arco capaz de α sobre ABSolución:


124

O

A B

a) Construimos el segmento AB.

b) Trazamos la mediatriz del segmento AB.

c) En el extremo A del segmento AB, trazamos el ángulo dado en la parte

inferior.

d) Trazamos en la parte superior del segmento AB, y por el punto A una

recta perpendicular al lado del ángulo de tal manera que corte la mediatriz

del segmento AB.

e) El punto de corte de la mediatriz del segmento AB y la recta

perpendicular es el centro de la circunferencia que forma el arco capaz del

ángulo dado.

EJERCICIOS PROPUESTOS CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS

1.- Construir una circunferencia que pasa por tres puntos no colineales.

2.- Construir un triángulo conociendo sus tres lados.

136

a) Construimos el segmento AB.b) Trazamos la mediatriz del segmento AB.c) En el extremo A del segmento AB, trazamos el ángulo dado en la parte inferior.d) Trazamos en la parte superior del segmento AB, y por el punto A una recta perpendicular al lado del ángulo de tal manera que corte la mediatriz del segmento AB.e) El punto de corte de la mediatriz del segmento AB y la recta perpendicular es el centro de la circunferencia que forma el arco capaz del ángulo dado.

EJERCICIOS PROPUESTOS CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS

1.- Construir una circunferencia que pasa por tres puntos no colineales.2.- Construir un triángulo conociendo sus tres lados.3.- Construir un triángulo isósceles ∆ABC conociendo su base y la altura.4.- Construir un triángulo ABC conociendo A, ha, Wa.

5.- Construir un cuadrilátero ABCD conociendo AB, BC, la diagonal AC y los ángulos < ADB y <DBC.6.- Construir un paralelogramo ABCD conociendo AB, AC y β.7.- Construir una circunferencia conociendo su diámetro.8.- Construir un arco capaz en el segmento AB y con un <600

9.-Construir un arco capaz en el segmento AB y con un < 1300.10.-Construir un pentágono.11.- Construir un octágono.

12.-Construir un rombo conociendo sus diagonales.13.- Trazar una tangente interior a dos circunferencias de radios iguales.14.- Construir un triángulo conociendo dos lados y un ángulo opuesto a un lado dado.

138

BIBLIOGRAFÍA

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BALLESTER C. (1995) Geometría. Fondo Editorial. CNAMEC. Caracas.

CLEMENS S. Y O’DAFFER P. (2002) Geometría. Aplicaciones y solución de problemas. Editorial Iberoamericana. España,

DURAN, D.(2000) Geometría Euclidiana Plana. Ediluz Maracaibo- Venezuela.

GOMËZ, A. (1990) Geometría Instituto Universitario del Mejoramiento Profesional del Magisterio.

HEMMERLING, E. (1991) Geometría Elemental. Editorial, Limusa. México

JAMES, N.(1997) Sigma (El mundo de la Matemática) Tomo I Grijalbooo. Barcelona.

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139

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VIEDMA, J, (1992) Lecciones de geometría intuitiva . Editorial McGraw-Hill, Mexico.

Este libro fue impreso en los talleres de Grafifor,C.A.

el mes de Septiembre del año 2013. Se emplearon

tipos Arial 12. Consta de un tiraje de 1000 ejemplares



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