Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas · del tipo , donde a y b son números...

CURSO DE ACTUALIZACIÓN Y NIVELACIÓN ALUMNOS DE NUEVO INGRESO

EN ARITMETICAS.

Manejos de los números reales

Santa María Huatulco Oax.

AGOSTO 2016

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL

CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO industrial y de servicios No.231

Curso de Actualización y nivelación para Alumnos de nuevo Ingreso en Aritmética.

2 SALINAS RUIZ

INDICE

CONTENIDO PAGINA

Propósitos generales………………………………………………………………………………… 3

Competencias. ……………………………………………………………………………………… 3

Objetivo del curso …………………………………………………………………………………. 3

Objetivos Fundamentales de la aritmética. ………………………………………………………. 3

Introducción. ………………………………………………………………………………………… 4

Números reales. …………………………………………………………………… 5

Números naturales. ……………………………………………………………………………….. 7

Ejercicios de números naturales. ……………………………………………………………….. 9

Números enteros. ………………………………………………………………………………….. 10

Ejercicios de números enteros. …………………………………………………………………… 12

Números Racionales. ……………………………………………………………………………… 13

Mínimo común múltiplo. …………………………………………………………………………… 15

Máximo Común Divisor. …………………………………………………………………………. 16 Ejercicios de números racionales. ……………………………………………………………….. 19

Ejercicios de aplicación de la aritmetica. ……………………………………………………….. 24

Ejercicios. aplicación lo que aprendiste. ……………………………………………………… 26


3 SALINAS RUIZ

PROPÓSITOS GENERALES.

Los propósitos generales de este curso son que el alumno:

Ubique los momentos clave en la historia de las matemáticas relacionadas con el desarrollo de la aritmética.

Resuelva operaciones básicas entre los números reales, e interprete problemas prácticos representándolos por medio de expresiones algebraicas.

Reconozca que la matemática está inmersa en un proceso histórico-social dinámico y complejo. Regresar al índice

COMPETENCIAS.

Al término de este curso, el alumno estará capacitado para:

Manipular todo tipo operaciones aritméticas, especialmente con fracciones, radicales y potenciación.

Enunciar las propiedades de los números reales.

Trabajar con las operaciones básicas entre los números reales.

Manejar las leyes de los exponentes.

Reconocer e interpretar problemas prácticos por medio del manejos de los números primos, m. c. m. y m. c. d. Regresar al índice

OBJETIVO DEL CURSO:

Dicho curso tiene como objetivo que el alumno se actualice poniendo en práctica las operaciones básicas tales como: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, números primos, mínimo común múltiplo y máximo común divisor en aritmética dentro de los números reales.

Al término de este curso esperamos que puedas ser capaz de:

1. Identificar números naturales, enteros, racionales e irracionales.

2. Representar números racionales e irracionales en la recta numérica.

3. Aplicar las propiedades de las distintas operaciones en los números reales.

4. Operar correctamente con números reales. Regresar al índice

OBJETIVOS FUNDAMENTALES DE LA ARITMETICA

1. Reconocer que una operación aritmética puede representar una amplia gama

de situaciones.

2. Manejar un repertorio de cálculos aditivos básicos.

3. Resolver problemas aplicando estrategias de conteo y procedimientos de

cálculo de sumas y restas orales o escritas.

4. Trabajar en forma grupal

5. Planificación y organización de los alumnos


4 SALINAS RUIZ

6. Ayudar a la concentración Regresar al índice

INTRODUCCIÓN

Para lograr un conocimiento profundo y amplio de este contenido es necesario que

puedas llegar a dominar la construcción matemática de los conjuntos numéricos, sus

operaciones y propiedades, como así también las aplicaciones de los mismos en

contextos no sólo matemáticos.

¿Por qué es importante el estudio de los números, sus operaciones y propiedades?,

porque es un medio muy útil para estimular y favorecer el desarrollo de tus

habilidades y capacidades intelectuales. No sólo pensando en adquirir agilidad

mental en los cálculos numéricos, sino específicamente en lograr una mejora en la

capacidad de razonamiento en situaciones problemáticas. Esto lo vas a lograr cuando

puedas transferir los contenidos aprendidos a otros contextos distintos de los

ejercitados.

En esta guía, te presentamos también algunas referencias históricas relacionadas con

los números para que puedas visualizar cómo han surgido algunos conceptos

matemáticos y cuáles han sido las razones para que el hombre se ocupara de ellos

con tanto interés.

Tras la primera Revolución del Hombre, la del Neolítico, cuando en tierras del

Próximo Oriente surgían las primeras civilizaciones de agricultores y las primeras

ciudades, también hizo su aparición una ciencia trascendental para el hombre: la

Aritmética.

Efectivamente, el hombre tuvo enseguida necesidad de contar, medir y calcular sus

pertenencias, ya fueran cosechas, campos, o el tiempo. Ahí empezaron en forma

rudimentaria los números y los usos de las cuatro reglas que más tarde se estudiarían

bien y teorizarían. El desarrollo de esta ciencia, la base primera de las matemáticas,

ya alcanzó notable desarrollo en la antigüedad, pero ha continuado su evolución

hasta nuestros días. De hecho la estadística, tan utilizada en la actualidad se comenzó

a usar masivamente a partir de la tercera década del Siglo XX.

La Aritmética es, con seguridad, la parte de las matemáticas de empleo más

generalizado e inmediato para el hombre; es obvio el uso universal de las cuatro

reglas o de los sistemas de medición. Sin embargo, la aparente sencillez y

conocimiento de la aritmética entra también en campos más complejos como la

radicación, la teoría de los números (reales, complejos, etc.), los logaritmos o las

derivadas, hasta alcanzar niveles de cálculo de la matemática superior.

Los conocimientos de las matemáticas han tenido una influencia determinante en la

Ciencia y Sociedad y en los avances científicos y tecnológicos; cuando el ser humano

se hizo sedentario, surgió la necesidad de contar sus bienes (pieles, flechas, cosechas,

etc.) para esto pudo utilizar “piedritas” o “rayitas” para simbolizar alguna cosa u

objeto de su propiedad.

Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo

que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en

cambio, habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el

cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema en


5 SALINAS RUIZ

Europa a partir del Siglo VII d.C. Por eso, nuestras cifras se llaman indo arábigas.

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NÚMEROS REALES. El conjunto que agrupa a todos los números exceptuando el

conjunto de números complejos se llama conjunto de números reales; a continuación se

muestran todos los conjuntos que componen el conjunto de los números reales.

esIrracionalN

PeriodiDecimalesN

ExactosDecimalesN

DecimalesoFraccionesN

NegativosEnterosN

Cero

CompuestosN

imosN

NaturalesopositivosEnterosN

EnterosN

RacionalesNrealesNumeros

.

cos.

.

.

.

.

Pr.

.

.

.


6 SALINAS RUIZ

¿Qué son los números naturales? Cuando el hombre tuvo la necesidad de contar, ordenar conjuntos y saber la cantidad de elementos que los conformaban, así aparecieron los números naturales. En otras palabras son los números que utilizamos para contar de manera natural.

Usaremos la letra ℕ para representar el conjunto de los números naturales.

¿Qué son los números enteros? Diremos que el conjunto de los números enteros es igual al de los números naturales unido por el cero con los inversos aditivos (Números negativos). Usaremos el símbolo

ℤ para representar dicho conjunto: ℤ ={..., −3, −2, −1, 0 , 1, 2, 3, ...} Según como hemos definido las cosas, cada elemento de los números naturales hace parte también del conjunto de los números enteros. Recuerda que cuando esto ocurre entre dos conjuntos decimos que uno está contenido en

el otro. En este caso podemos escribir ℕ⊆ℤ (los naturales están contenidos en los

enteros), es decir, ℕ es un subconjunto de ℤ. ¿Qué son los números racionales o fraccionarios? Llamaremos conjunto de números racionales o conjunto de números fraccionarios, al conjunto de todas las posibles expresiones

del tipo , donde a y b son números enteros

y b es diferente de cero.

También se puede decir que es el cociente de dos enteros. Representaremos este

conjunto por medio del símbolo ℚ.

Podemos describir el conjunto de los números racionales o fraccionarios por comprensión así:

ℚ ={ ℤ y b ≠0}

La anterior expresión debe ser leída así: "ℚ

es el conjunto de las expresiones , tales

que a y b son números enteros y b es diferente a cero. ¿Qué son números irracionales?

Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. El Conjunto de los Números Irracionales se simboliza por I.

I={√2, √3, , , , π, e, ϕ, etc. }

π (pi) = 3.141592 ... e (número de Euler) = 2,718281828459… ϕ (razón de oro) = 1,618033988749… Regresar al índice


7 SALINAS RUIZ

NUMEROS NATURALES.

OBJETIVOS: Resolverá a continuación ejercicios aritméticos que implican operaciones

con los números naturales, tales como: suma, resta, multiplicación, división, así como el

manejo de los signos de agrupación.

Suma

Conmutativa : si cambiamos el orden de los sumandos la suma

no varia:

4 + 3+ 2 = 9

2 +4 + 3 = 9

Asociativa : si efectuamos sumas parciales la suma no varía: (2 + 1) + (3 + 5) = 11

Cero elemento neutro: 12 + 0 = 12

Sucesión fundamental : se obtiene el siguiente número 8 + 1 = 9

Resta

No es conmutativa: si cambiamos el orden del minuendo y el sustraendo, la

resta varia

5 - 2 = 3

2 - 5 = - 3

Cero elemento neutro: 8 - 0 = 8

Multiplicación

Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. 2 x 3 = 6

3 x 2 = 6

Asociativa: sí sustituimos dos o más factores por su producto,

el producto final no varía.

( 2 x 3 ) x 4 = 24

2 x ( 4 x 3 ) = 24

Propiedad distributiva: Para multiplicar una suma

algebraica por un número natural se multiplica cada sumando

por dicho número natural y luego se suman los productos

parciales.

(3 + 4 - 3 ) . ( 3 + 4 ) =

( 3.3 )+ (3.4) +( 4.3)

+(4.4)+( -3.3)+( -3.4) =

9 + 12 + 12 + 16 - 9 -

12 = 28

División

No es conmutativa 6 2 = 3

2 6 = 0,333


8 SALINAS RUIZ

No es asociativa ( 8 4) 2 = 1

8 ( 42 ) = 4

Propiedad distributiva: para dividir una suma algebraica por un

número natural

se divide cada sumando por dicho número natural y luego se suman

los cocientes parciales

( 4 + 8) 2 =

(4 2) +( 82)

2 + 4 = 6

No se puede:

2 ( 4 + 8 ) =

(2 4) +( 2 8)

0,5 + 0,25 = 0,75

Ejemplo:

80 - 2 + 35 - 3 -15 = (80 + 35) - (2+ 3 + 15) = 115 - 20 = 95

Radicación

No es conmutativa 2 3 ≠ 3 2

No es asociativa

2 1010 ≠ 22 1010

Distributiva con respecto a la multiplicación y la división

94 = 4 9

Potenciación

No es conmutativa 72 ≠ 2

7

No es distributiva con respecto a la suma y la resta

( 2 + 3 + 1)2 ≠ 22 + 32 + 12

( 7 - 2 )3 ≠ 73 - 33

Distributiva con respecto a la multiplicación y la división

( 2 . 4 )2 = 22 . 42

(10 : 5 )2 = 102 : 52

ORDEN DE LAS OPERACIONES

1. Se simplifica primero el contenido de los símbolos de agrupamiento más internos; luego los siguientes y así sucesivamente.

2. La multiplicación y la división se efectúan antes de la adición y sustracción. (en ambos casos, se procede de izquierda a derecha)

Evaluar cada expresión:

No se resta el 2 del 10, primero se efectúa la multiplicación. 2

8104210


9 SALINAS RUIZ

Simplifica primero lo que está entre paréntesis.

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EJERCICIOS DE NUMEROS NATURALES.

Realiza las siguientes suma y resta de números naturales.

1) 45 + 15 - 31 - 1 + 8 =

2) 81 - 9 + 48 - 31 + 5 - 3 =

3) 21 - 3 - 7 + 20 + 9 - 10 + 15 - 25 + 10 =

4) 348 + 25 - 22 - 15 + 9 - 3 =

Rea liza las siguientes: multiplicación, división y potenciación de números naturales.

1. {8 [ (4 – 3) ( 5 + 2 - 10 ) - 2( 4 - 5 )2 - 3 ] / 4} + 2 =

2. ((9)2 - 15 + 2) + { - 6 + [ (4 – 1) ( 12 - 9 ) /3 ] } - 3 =

3. (9) 1/3 + {- 5 [- 6 + (4 - 3)2 – ((1 - 2)3)2] - 5 } =

4. 10 - [ - 2 + ( (- 3)2 * (4)2 )1/2 + 1 - ( - 4 - 2 + (3)2 - 1 ) - 4 ] =

5. (6 - 4)1/2 - {4 [3 - (- 8 + 9 - 2 ) - 2 ]1/2} + 3 {(- 5- 8+ 15 ) }1/2 =

6. - {- 4}1/2{[- 3 + (1 - 6)2 + 5]}1/3 - 9 =

Rea liza las siguientes: operaciones con radicales de números naturales.

NOTA (OJO): Estos ejercicios resolverlos después de ver los números primos y

mínimos común múltiplo.

1. 1825

2. 5453

3. 8287

2

68

238

238

463822638

10

25

46522638


10 SALINAS RUIZ

4. 202745

5. 1267514775

En los siguientes ejercicios, suprimir los signos de agrupamientos tales como :

paréntesis, corchetes y llaves y efectuar las operaciones.

1) 18 - { 2 + [ 9 - ( 6 - 4 ) - 5 ] } Respuesta : 14

2) ( 4 + 8 - 3 + 9 ) - 4 - ( 4 + 7 - 3 - 2 ) + ( 12 + 5 - 2 ) Respuesta : 23

3 ) 15 - { 2 - [ 9 + ( 5 - 1 ) - ( 2 + 8 - 9 ) + 6 ] - 7 } +8 Respuesta : 46

4) { 12 + 12 - [ 5 + 1 - 2 + ( 2 - 4 + 8 - 2 )] - 3} – 3 Respuesta : 10

5) 26 + { 5 - [ 1 - ( 4 - 2 ) + 7 ] + ( 6 - 1 + 3 ) } + 4 Respuesta : 37

6) ( 4 - x + 2 ) - [ 1 - ( 2 + x - 1 ) - y ] + 3 - ( 2 + y + 3 ) Respuesta : 4

7) ( 15 - 3 ) - { 2 - [ 5 - ( 8 - 7 + 1 ) + 6 - 2 ] + 4 } Respuesta : 13 Regresar al índice

NUMEROS ENTEROS


con los números enteros, tales como: suma, resta, multiplicación, división, radicación,

potenciación, así como el manejo de los números primos, mínimo común múltiplo y máximo

común denominador.

Suma

Suma de números enteros de igual signo: Se suman y mantienen el mismo signo

a) (+ 3) + (+5) = 3 + 5 = 8 b) (- 4) + (- 6) = - 3 - 6 = - 9

El signo + delante de un paréntesis, corchete o llave indica que se mantiene el mismo signo.

Suma de números enteros de diferente signo

a) (+ 9) + (- 3) = 9 - 3 = 6 b) (- 9) + (+ 3) = - 9 + 3 = - 6

Resta

Resta de números enteros de igual signo

a) (+ 8) - (+ 5) = 8 - 5 = 3 b) (- 8) - (- 5) = - 8 + 5 = - 3

El signo - antes de un paréntesis, corchete o llave indica que hay que cambiar de signo.

Resta de números enteros de diferente signo.

a) (- 9) - (+ 2) = - 9 - 2 = - 11 b) (+ 9) - (- 2) = 9 + 2 = 11


11 SALINAS RUIZ

Cuando tienen diferente signo se restan y se coloca el signo del número de mayor valor

absoluto.

- 9 +5 = (9 - 5 = 4) el mayor es - 9 conservo su signo, entonces - 9 +5 = - 4

Cuando tienen igual signo se suman, ya sean positivos o negativo.

- 4 - 3 = (4 + 3= 7) entonces - 4 - 3 = - 7

La suma de dos números opuesto es igual a cero. 2 su opuesto es - 2 (+2) + (- 2) = 0

Multiplicación y división

Regla de signos

Multiplicación División

+ . + = + + + = +

- . - = + - - = +

- . + = - - + = -

+ . - = - + - = -

Potenciación

Se llama potencia enésima de un número entero a siendo n un número natural, al producto

de n factores iguales a a

an = a. a . a......

___n veces_____

Regla de los signos

22 = 2 . 2 = 4. Si la base es positiva y el exponente es par el resultado es positivo.

(-2)2 = - 2 . - 2 = 4. Si la base es negativa y el exponente es par el resultado es positivo

(2)3 = 2 . 2 . 2 = 8. Si la base es positiva y el exponente impar el resultado es positivo

(-2)3 = - 2 . - 2 . - 2 = - 8. Si la base es negativa y el exponente impar el resultado es

negativo.

Radicación de números enteros

xan xn = a

Regla de los signos

3814 Porque 34 = 81


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3814 Porque ( - 3)4 = 81

Las raíces de índice par y radicando positivo tienen dos resultados que son números de

igual valor absoluto y distinto signo.

4 81 No tiene solución entre los números enteros

Porque 34 = 81 Porque (-3)

4 = 81

Las raíces de índice par y base negativa no tienen solución entre los números enteros. Regresar al índice

EJERCICIOS DE NÚMEROS ENTEROS.

Realiza las operaciones de Sumas de números enteros.

a) ( + 5 ) + ( + 3 ) = b) ( - 8 ) + ( - 5 ) = c) ( - 3 ) + ( + 9 ) =

d) (- 2 ) + ( - 15) = e) ( - 1 ) + ( + 7 ) = f) ( - 5 ) + ( + 0 ) =

g) ( - 5 ) + ( + 5 ) = h) ( - 4 ) + ( - 4 ) =

Realiza las operaciones de restas de números enteros.

a) ( + 5 ) - ( + 3 ) = b) ( - 8 ) - ( - 5 ) = c)( - 3 ) - ( + 9 ) =

d) ( - 2 ) - ( - 15 ) = e) ( - 1 ) - ( + 7 ) = f) ( - 8 ) - ( + 0 ) =

g) (- 5 ) - ( + 5 ) = h) ( - 4 ) - ( - 4 ) =

Calcula los siguientes productos de números enteros.

a) ( - 8 ).( - 3 ) = b) ( + 12 ) . (+ 2 ) = c) ( - 7 ) . ( + 4 ) =

d) (+ 13 ) . ( - 3 ) = e) ( - 25 ) . ( - 5 ) =

Calcula los siguientes cocientes de números enteros.

a) ( - 21 ) ( - 7 ) = b) ( + 15 ) ( + 3 ) = c) ( - 18 ) ( + 3 ) =

d) ( + 63 ) ( - 9 ) = e) ( - 12 ) ( - 6 ) =

Desarrollar, aplicando la regla de potencia de un producto:

a) b) c)

d) e) f)

2

53 2

432 3

653

2

3.01.0 2

03.071.0 3

2.01.043


13 SALINAS RUIZ

g)

Calcula las operaciones con radicales de números enteros.

a) Efectuar = b) Efectuar = c) Efectuar =

d) Efectuar 3 a = e) Efectuar 36 a = f) Efectuar =

g) Efectuar 3 2 64 =

Regresar al índice

NÚMEROS RACIONALES


con los números racionales, tales como: suma, resta, multiplicación, división, radicación y

potenciación.

Números naturales Números enteros

Números negativos Números fraccionarios puros

Fracción Número decimal

4

1 propia es siempre < 1

4

1 = 0,25

2

7 impropia es siempre > 1

2

7 = 3, 5

10

1 es decimal

10

1 = 0,1

9

1 periódica

9

1 = 0,11111........

Números fraccionarios puros

El número fraccionario puro es un cociente entre dos números enteros, distintos de cero y

tales que el dividendo no sea múltiplo del divisor.

Fracción pura: adordeno

numerador

min4

1 Siempre es < 1.

4

1 = 0,25

4

4.02.01.0

2 3 224 32 53

4 16


14 SALINAS RUIZ

Fracción impura: adordeno

numerador

min2

5 Siempre es > 1

2

5= 2,5

Fracción aparente: adordeno

numerador

min4

8 es múltiplo del denominador

4

8= 2

Fracción decimal 10

1;

100

5;

1000

7

Suma de fracciones de igual denominador

a) 7

2 +

7

4 =

7

6

Sumo los numeradores Dejo el mismo denominador

2 + 4 = 6 7

b) 9

2 +

9

5+

9

1 =

9

8

Sumo los numeradores Dejo el mismo denominador

2 + 5 + 1 = 8 9

Suma de fracciones con distinto denominador

4

3 +

6

1=

Factoreo, m. c. m = 2 2 . 3 = 12; Divido 12 (m. c. m) por cada uno de los denominadores

12 4 = 3 . 3 = 9 126 = 2 . 1 = 2 12

9 +

12

2=

12

11

Número mixto 5

32

De número mixto a fracción 5 . 2 + 3 =5

13

De fracción a número mixto 13 5 = 2 resto = 3

De diferente denominador 3

2 - 4

1 = 12

8-

12

3=

12

5


15 SALINAS RUIZ

Encuentro m. c. m entre 3 y 4 = 12

123 = 4 4 . 2 = 8 12 4 = 3 3 . 1 = 3 Regresar al índice

Mínimo común múltiplo

El nombre de mínimo común múltiplo está hecho de las partes mínimo, común y múltiplo:

¿Qué es un "múltiplo"?

Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo multiplicas por 1, 2, 3, 4, 5, etc.) como en las tablas de multiplicar.

Aquí tienes ejemplos:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc...

Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc...

¿Qué es un "múltiplo común"?

Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:

Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...

Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...

¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40

(y 60, 80, etc. también)

¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.

Ejemplo 1: Encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ..., así:


16 SALINAS RUIZ

Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15.

Respuesta: 15

Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.

Ejemplo 2: Calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8

Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, ....

Entonces 24 es el mínimo común múltiplo (¡no podemos encontrar uno más pequeño!)

Hallar el m. c. m. de 18, 24 y 15

18 2 24 2 15 3 9 3 232 12 2 233 5 5 35 3 3 6 3 1 1 2 2

1

El m. c. m. de 18, 24 y 15 es (23)(32)(5) = 895 = 360 También se puede determinar la factorización prima de todos los números a la vez. E J E M P L O Hallar el m. c. m. de 200, 300 y 225

200 300 225 2

100 150 225 2 23

50 75 225 2

25 75 225 3 32

25 25 75 3

25 25 25 5 52

5 5 5 5

1 1 1 Regresar al índice

Máximo Común Divisor


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El Máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos números; se simboliza por m. c. d. o M.C.D., cuando los números son pequeños el MCD puede calcularse fácilmente; por el contrario si los números son grandes seguimos algunas reglas adecuadas. Como el M.C.D. de vario números tiene que ser divisor del menor de ellos, procederemos así: Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los demás será el M.C.D. Si no los divide, buscamos cuál es el mayor de los divisores del menor que los divide a todos y éste será el M.C.D. buscado. E J E M P L O

Hallar el M.C.D. de 18 12 y 6

SOLUCIÓN: El número 6 divide a 18 y a 12 luego 6 es el M.C.D. de 18, 12 y 6 E J E M P L O Hallar el M.C.D. de 20, 90 y 70 SOLUCIÓN: 20 no divide a 70, 10 es el mayor divisor de 20 que divide a 90 y a 70. E J E M P L O Hallar el M.C.D. de 48, 72 y 84

SOLUCIÓN: 48 no divide a los demás. De los divisores de 48, 24 no divide a 84; 12 divide a 72 y a 84. 12 es el M.C.D. de 48, 72 y 84.

M.C.D. por descomposición en factores primos a) Se anotan los números en un simple renglón. b) Se dividen todos los números entre factores primos comunes. c) El MCD es producto de los factores primos comunes tomados con su menor exponente.

E J E M P L O Hallar el M.C.D. de 48 y 72

48 72 2

24 36 2

12 18 2

6 9 3 El MCD = 233 = 83= 24

2 3 2

1 3 3

1

E J E M P L O Hallar el M.C.D. de 464, 812 y 870

464 812 870 2

232 406 435 2

116 203 435 2

58 203 435 2 El MCD = 229 = 58


18 SALINAS RUIZ

29 203 435 3

29 203 145 7

29 29 145 5

29 29 29 29

1 1 1

E J E M P L O Hallar el M.C.D. de 60, 150, 40 y 850

60 150 40 850 2

30 75 20 425 2

15 75 10 425 2

15 75 5 425 3 El MCD = 25 = 10

5 25 5 425 5

1 5 1 85 5

1 17 17

1 Regresar al índice

MULTIPLICACION Y DIVISION DE FRACCIONES

Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y se multiplican

los denominadores.

BD

AC

D

C

B

A Por ejemplo

8

2

2

1

4

2

Para dividir se multiplica por el reciproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado.

Por ejemplo:

Potenciación

Potencia 0

0

5

8

= 1

Potencia 1

1

8

5

=

8

5


19 SALINAS RUIZ

Potencia negativa

1

8

5

=

5

8

2

8

5

=

2

5

8

=

25

64

Base y exponente negativo

2

3

5

=

2

5

3

=

25

9

3

3

2

=

3

2

3

=

8

27

Base negativa, exponente par es siempre positivo

2

5

3

=

25

9

Base negativa exponente impar es siempre negativo

3

5

3

=

125

27

Producto de potencias de igual base

4

12

4

1

=

21

4

1

=

3

4

1

=

64

1

División de potencias de igual base

7

3

1

2

3

1

=

27

3

1

=

5

5

3

1=

243

1

Potencia de potencia

323

2

2

1

2

1x

=

6

2

1

=

6

6

2

1=

64

1

Radicación

Propiedad distributiva

( Se aplica con la multiplicación y división )

20

27

2

3

10

9

4

9

100

81

Raíz de índice par y radicando positivo tienen 2 resultados, que

son 2 números opuestos. 3

4

9

16 ;

3

4

3

4Y

Raíz de índice impar y radicando positivo tiene resultado

positivo 2

3

8

273

Raíz de índice impar y radicando negativo resultado negativo. 2

3

8

273

Raíz de índice par y radicando negativo carece de solución en

el campo de los números racionales.

9

4∃


20 SALINAS RUIZ

Se simplifican la raíz y la potencia. 4

1

4

12

.

Regresar al índice

Ejercicios de números racionales

Reducir a fracción impropia los siguientes números mixtos

3

4

1; 1

5

2 ; -4 7

2; -2

3

2; -5

7

3

Reducir a números mixtos las siguientes fracciones impropias

6

17 ;

2

5 ;

7

24 ;

11

13 ;

5

34 ;

3

7 ;

4

9 ;

8

27 ;

13

36;

9

41

Sumar los siguientes números racionales

a) 6

5 +

3

2 +

5

3 +

27

4 +

9

8 = b)

11

5 +

33

1 + 1 +

3

2+2 =

c ) 16

9 +

12

7 +

8

5 +

2

1 +

6

5+

4

1= d )

12

5 +

18

7 + 4 +

6

1 +2 =

e) 5

1 +

4

3 +

2

1 +

3

2 = f)

2

12 +

4

33 +

5

14 =

Restar los siguientes números racionales

Restar los siguientes números

a) -7

3-

6

5= b) -

35

4 -

9

4 = c)

8

5 -

12

7= d) 1 4 -

16

9

=

Resolver


21 SALINAS RUIZ

a) 1/2 - [ 2/7 - 3/4 - ( 5/14 + 1 ) + ( 1/4 + 1/7 - 3/4 ) + 2

= R: 19/28

b) 11/15 - 1/3 - { 2/5 - 5/6 - [ 3/4 - 1/2 - ( 7/30 + 4/5 - 1 ) + 1/4 ] } - 1

= R:3/10

c) 9 - ( 6/7 + 7 ) + [ 2 - 1/2 - ( 7 - 1/2 ) ] + 3

= R: -6/7

d) 2/3 - [ - 1/2 + 1 - ( 3/4 - 5/12 - 1/2 ) - 2 ] - 1/4 - { - 1 + [ 2/3 - ( 2 6 - 1 4 )]}

= R: 3

e) 5/6 + [ - 1/3 - 1 - ( - 3/2 + 1 3 - 4/9 ) - 2 - ( 7/18 - 1 + 4/9 )

] = R: - 31/18

f) 2 - [ - 4/5 - ( 4 - 7 ) + 1/9 - ( 10/9 - 6 ) ] + 2 - 1

= R: - 21/5

g) - 1 - { - 1/2 + 3/4 + [ - 2 + 5/6 - ( 1/3 - 1 ) ] - 1/6 } - 1/3

= R: - 11/12

h) 2 - { 1/3 + 5/6 - 1 + [ 3/4 - 3 - ( 7/3 + 1 - 1/2 ) - 5/4 ] + 2 }

= R: 37/6

i) 47/50 + 1 - { 3/25 - 1/5 + [ 3/2 - ( 9/10 - 1/2 ) - ( 3/5 - 1/10 ) - 4/25 ] }

= R: 29/50

j) 5 + { - 1/2 - 2 - [ 3/4 - 5/6 + ( - 1 + 1/3) ] + 5/4 } + 1

= R: 11/2

k) 1/7 + { 1/3 - [ 1/4 + ( 1/5 - 1/6 ) + 1/7 ] + 7 }

= R: 141/20

l) 2 - ( 1/2 + 5 ) - [ 4 - 2/3 - ( 9 + 1/8 ) ]

= R: -1 8

m) 4 - [ ( 4/3 - 5/4 ) + 3/60 = R: 119/30

n) ( 1/4 - 1 ) - ( 3/4 + 1/2 - 5/8 ) = R: - 1/8

Hallar por descomposición en factores primos, el m. c. m. de:

1. 32 y 80

2. 46 y 69

3. 18, 24 y 40

4. 32, 48 y 108

5. 5, 7, 10 y 14


22 SALINAS RUIZ

6. 2, 3, 6, 12 y 50

7. 100, 500, 700 y 1000

8. 14, 38, 56 y 114

9. 13, 19, 39 y 342

10. 15, 16, 48 y 150

11. 14, 28, 30 y 120

12. 96, 102, 192 y 306

13. 108, 216, 432 y 500

14. 21, 39, 60 y 200

15. 81, 100, 300, 350 y 400

16. 98, 490, 2401 y 4900

17. 91, 845, 1690 y 2197

18. 529, 1058, 1587 y 5290

19. 841, 1682, 2523 y 5887

20. 5476, 6845, 13690, 16428 y 20535 Regresar al índice

Problemas tipos sobre aplicaciones de Máximo Común Divisor (M.C.D.)

1.- Se tienen tres varillas de 60 cms., 80 cms y 100 cms de longitud respectivamente. Se

quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre ni falte nada. Di tres

longitudes posibles para cada pedazo.

2.- Un padre da 80 centavos, a otro 75 centavos y a otro 60 centavos, para repartir entre los

pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad

que podrán dar a cada pobre y cuantos son los pobres socorridos? R: 5 centavos y 43

pobres.

3.- Se tienen tres cajas que contienen 1600 libras, 2000 libras y 3392 libras de jabón

respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del mismo peso y el mayor

posible ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja? R: 16 lbs; en la 1ª

100; en la 2ª 125; en la 3ª 212

4.- Un hombre tiene tres rollos de billetes de banco. En uno tiene $4500, en otro $5240 y en

el tercero $6500. Si todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible,

¿cuánto vale cada billete y cuántos billetes hay en cada rollo? R: $20; en el 1º 225; en el 2º

262; en el 3º 325

5.- Se quieren envasar 161 kilos, 253 kilos y 207 kilos de plomo en tres cajas, de modo que

los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa

cada pedazo de plomo y cuántos caben en cada caja? R: 23 kilos; en la 1ª 7; en la 2ª 11; en

la 3ª 9

6.- Se tienen tres extensiones de 3675, 1575 y 2275 metros cuadrados de superficie

respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la superficie de

cada parcela apara que el número de parcelas de cada una sea el menor posible? R: 175 m2


23 SALINAS RUIZ

Resuelve los ejercicios que se indica como producto de números racionales

a) 5

6

4

2

3

4xx = b) 54

2

5xx = c)

6

134

2

14 =

d)

5

14

3

13

4

32 = e)

4

32

3

25

7

6= f) 25

7

34

=

g)

3

1

4

5

2

3

6

73 = h)

3

16

5

32

2

4= i)

2

5

4

3

73

6

13

2

5=

Resuelve los ejercicios que se indica como cociente de números racionales

a) 5

42

4

15 = b)

3

22

3

4

7

9 = c)

3

2

4

6

2

3

5

4 =

d) 57

42 = e)

7

6

3

53 = f)

6

14

5

22 =

g) 7

25

3

42

4

31 =

Resuelve los ejercicios que se indica como cociente y potencia de números racionales

a)

7

6

1

÷

5

6

1

= b)

4

3

2

÷

3

2 = c) 10

3 ÷ (10)

-3 =

d) ( - 2 )- 7

÷ ( - 2 )- 9

= e)

4

2

1

÷

2

2

1

= f)

65

3 ÷

65

3 =

g)

1

3

1

÷

3

3

1

= h)

25

1

÷ 5

1=

Resuelve los ejercicios de potencia de igual base de números racionales

a)

7

2

1

2

2

1

2

2

1

= b)

2

3

2

5

3

2

3

2 =

c)

4

3

1

2

3

1

3

1 = d) ( - 2 ) . ( - 2 ) . ( - 2 ) =

Resuelve los ejercicios de potencia de potencia de números racionales


24 SALINAS RUIZ

a)

32

2

3

= b)

05

28

7= c)

01

2

2

1

=

d) 12210

= e)

43

7

2

= f) 0211

=

Resuelve los ejercicios de potencia de números racionales

a)

1

9

7

= b)

3

8

5

= c)

0

7

5

=

d) (- 3 ab)3

÷ (4 xy) = e) (5m n ) ÷ ( 6a3b

4c)

3 = f) 3

- 4 =

g) (- 4) - 3

= h) (- 9 ) - 3

= i) (- 6 ) - 1

=

j)

7

2

1

=

k)

3

5

a = l)

23

b = m)

2

3

2

=

n )

3

2

1

= o)

8

n

m =

Realiza los siguientes ejercicios de radicación de números racionales

a) 900

625= b) 3

27

8= c)

4

4

81

1296= d)

64

643

=

e) 3

729

27= f) 3

4

3

4096

19683= g) 3

15625

64=

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ARITMETICA.

1.- Un comerciante compró 30 trajes a $20 pesos cada uno. Vendió 20 trajes a $18 cada

uno. ¿A cómo tiene que vender los restantes para no perder?.

2.- Un capataz contrata a un obrero ofreciéndole $5 cada día que trabaje y $2 por cada día

que, a causa de la lluvia, no pueda trabajar. Al cabo de 23 días el obrero recibe $91 ¿Cuántos

días trabajó y cuantos no trabajó?

3.- Un hacendado lleva al Banco tres bolsas con dinero. La 1ª y la 2ª juntas tienen $350; la 2ª

y la 3ª juntas $300, y la 1ª y la 3ª juntas, $250 ¿Cuánto tiene cada bolsa?


25 SALINAS RUIZ

4.- Un depósito se puede llenar por dos llaves. Una vierte 150 litros en 5 minutos y la otra

180 litros en 9 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito, estando vacío y

cerrado el desagüe, si se abren a un tiempo las dos llaves, sabiendo que su capacidad es de

550 litros?

5.- Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324 m2 ¿Cuánto costará cercarlo si el metro

de malla cuesta 380 pesos?

6.- Una alberca tiene dos surtidores de agua. El primer surtidor (solo) llena la alberca en 12

horas y el segundo surtidor (solo) la llena en 6 horas, si los dos surtidores de agua se abren

al mismo tiempo, ¿En que tiempo se llenará la alberca?.

7.- Se sabe que el producto de tres números enteros positivos es 180. Si se sabe que dos de

los números son iguales, ¿Cuál es el menor que puede tomar la suma de los tres números?.

8.- ¿Cuál es el menor numero natural por el que debemos multiplicar 504 para obtener un

cuadrado perfecto?.

Números Reales

El conjunto de números racionales y el de los irracionales constituye el conjunto de los

números reales.

2 = 1,41421356237309............... No es una expresión decimal periódica, no puede

expresarse como un número racional.

Número irracional: Son números de infinitas cifras decimales no periódicos y que en

consecuencia no pueden representarse por un número racional.

Entre los números irracionales se encuentran las raíces cuadradas de los números que no son

cuadrados perfectos, el número π que establece la relación entre la longitud de la

circunferencia y su diámetro y el número e que se eligió como base en los primeros sistemas

de logaritmos.

π = 3,14159265358979 .............

e = 2,71828182845904............

Operaciones con números reales

Propiedades de la radicación

Reducir a mínimo común índice

6 5a ; 4 2 y 3 2x

El m. c. m de los índices 6, 4 y 3 es 12. Luego, 12 es el mínimo común índice buscado.

Como 12 ÷ 6 = 2. Luego el exponente de multiplicarse también por 2


26 SALINAS RUIZ

6 5a = 26 25 a = 12 10a

Como 12 ÷ 4 = 3

4 2 = 34 3131 22 = 12 32

Como 12÷ 3 = 4

3 2x = 43 42 x = 12 8x

Extraer los factores fuera del radical

Se realiza el cociente entre el exponente del número o letra que se está dentro de la raíz y el

índice de la raíz.

cba 789 = cbba 6823 = 3 bcba 34

Introducción de factores dentro del radical

Se realiza la multiplicación entre el exponente del factor que se desea introducir y el índice

de la raíz

(x2)( 3 a ) = 3 32xa = 3 6ax

Multiplicación de radicales

Se reduce a mínimo común índice los radicales. En este caso: 2 . 3 = 6

5 3 28 cabba

6 33baba

6 2423 2 cbacab

5 6 2426 33 8 cbaba = (5)(8) 6 24233 cbaba = 40 6 275 cba = 40 b 6 25 cba

División de radicales

El m. c. m es de 4 y 6 es 12

4 22 yx 6 25 yx = 12 3632 yx 12 410 yx


27 SALINAS RUIZ

Al tener ambas el mismo exponente, se dividen:

12410

3632

yx

yx= 12

34610

8 yx

= 124

8

yx

Regresar al índice

APLICA TODO LO QUE APRENDISTE DE LOS NÚMEROS REALES.

Extraer fuera del signo radical todos los factores posibles

a) 5 7464 yx

b) 3 96 yx c) 4 401.0 y d)

3264125

16

zmx

e)

zab 95200

Introducir los factores dentro del radical

a) 3 a3b

3

ab9

1 b) 4

43

2

3

3

2

m

ymxy c)

z

ax

2

7 32

54

39

a

Resolver las siguientes operaciones con radicales

1) 18 72 + 2 98 =

2) 12 45 - 8 80 =

3) 2 128 - 18 + 4 32 =

4) 3 1083

2 - 3 32

4

1 + 3 500

5

3 - 3 4 =

5) 332

aa

- a a20 - 5

25

3a

a + 4 a180 =

6) 2 3 16 - 3 543

1 + 3 25

5

2 =

7) 2 33a - a a48 + a

a75

2

1 - 33

3

1a

=


28 SALINAS RUIZ

8) 12 + 75 - 27 - 48 =

9) 32 + 2 64 + 3 8 =

10) 654ya + ya832 + ya418 =

11) 720a + a 545a + 13

3125

1a

a=

Resolver las siguientes Multiplicaciones con radicales

1) 5 328 am 5 44 am 5 2 am =

2) 4 3125 yx 4 325 yx 4 xy =

3)

5 348 mba am2

1 =

4) 3 xy 4 2x 5y =

5)

3 2381 ba 4 227 ba =

6) 3 4352 =

7) 2 2210 =

8) (5 3 + 2 5 )2 =

Resolver las siguientes Divisiones con radicales

1) 2 5 xy

- 3 52

1

x =

2) 4 236 xm

4 3 xm

3)

8 33 2 baab =

4) 4 326 45 yxyx =

5) 65

3

524

3

1

27

1

a

mam =


29 SALINAS RUIZ

Realiza los siguientes ejercicios de radicación de números fraccionarios.

a) 900

625= b) 3

27

8= c)

4

4

81

1296= d)

64

643

=

e) 3

729

27= f) 3

4

3

4096

19683= g) 3

15625

64=

Ejercicios

a) 5

2

3

1

7

1 = b)

5

1

2

13

5

32 = c)

2

1

2

1

5

32

=

d)3

1

7

2

2

3

x = e)

3

12

4

13

= f)

2

32

12

3

23 x

= g) 2

1

4

13

4

1

2

3

x

x

= h)

4

1

2

1

53

22

i) 3

24

2

1

2

1

4

1

= j) 3

1

2

8

4

= k)

4

3

3

32

64

216

=

l)

3

1

2

6

8

125

343

=

Suma y Resta de Radicales


30 SALINAS RUIZ

- Multiplicación de radicales.


31 SALINAS RUIZ

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Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas · del tipo , donde a y b son números...

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