OBJETIVO: Comprender y aplicar los algoritmos de la multiplicación y división de fracciones. Comprender y aplicar las medidas de tendencia central para resolver problemas. INDICADOR: Realiza multiplicaciones y divisiones con fracciones Utiliza las medidas de tendencia central (media, moda y mediana) para resolver problemas en los que se requiere presentar o resumir el comportamiento de un conjunto de datos

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

Es muy importante tener en cuenta que:

cualquier número entero lo podemos escribir en forma de fraccionario simplemente

colocando en el denominador el uno (1), como se muestra en los ejemplos.

El 1 siempre lo podemos expresar como un fraccionario cuyo numerador es igual

al denominador. Las siguientes fracciones son iguales a la unidad.

CONCEPTUALIZACIÓN

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Para multiplicar fracciones se procede así:

Ejemplo:

Si se quiere multiplicar una fracción por un número natural se procede:

El natural se expresa en forma de fracción colocándole como denominador 1 y se hace el procedimiento aprendido anteriormente.

Cuando encontremos la expresión que nos indica que se tiene una fracción de otra, esto hace referencia a una multiplicación y se procede como tal. La figura nos lo muestra

MATEMÁTICAS - SEXTO GRADO GUIA 6

IMPORTANTE: Para realizar un buen trabajo debe leer en forma detenida y comprensiva los conceptos presentados y cada uno de los enunciados de las actividades propuestas para desarrollarlas de acuerdo a lo indicado (NO OLVIDE: se debe hacer los procedimientos o argumentar sus respuestas o resultados)

Imágenes tomadas de: https://www.youtube.com/watch?v=ACgrF_csYZc

No solo se puede realizar la multiplicación de fracciones a través de un proceso simbólico o aritmético también se puede hacer atreves de representación gráfica. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA MULTIPLICACIÓN: Vamos a representar la multiplicación 2/3 x 1/4 Primero representamos la fracción 2/3. Luego, representamos la fracción 1/4 con otro color, pero en la misma unidad. El resultado de la multiplicación está representado por la fracción que tiene los 2 tipos de representación. En este caso, la unidad quedó repartida en 12 partes y de ellas 2 tienen las 2 formas de selección, por tanto, el resultado es 2/12.

En forma aritmética procedemos:

2

3×

1

4=

2×1

3×4=

2

12

Para aclarar dudas sobre la multiplicación de fracciones puede ver videos, como: https://www.youtube.com/watch?v=BITOz1qd9Q0

Si se deben multiplicar números mixtos, lo primero que debemos hacer es expresar estos números en forma de fracciones y luego realicemos el procedimiento ya aprendido.

Se recomiendo ver el video: https://www.youtube.com/watch?v=CsVZQpdh_zU

Ejemplo: Usamos tres quintas partes del agua de un depósito que sólo contiene tres octavas partes de su capacidad total. Calcular

la fracción de agua que hemos usado con respecto a la capacidad del depósito. Este problema lo podemos resolver en forma gráfica: primero se grafica 3/8 y luego 3/5. La región del tanque que tiene

los 2 tipos de selección es la respuesta: 9/40

en forma simbólica: 𝟑

𝟓×

𝟑

𝟖=

𝟑×𝟑

𝟓×𝟖=

𝟗

𝟒𝟎

Rta: 9/40 es la fracción de agua que hemos usado con

respecto a la capacidad del depósito

𝟐

𝟏𝟐

3/8 3/8

3/5

9/40

Conclusión: para realizar la multiplicación de fracciones se puede realizar a través de la representación gráfica o mediante el algoritmo

DIVISIÓN DE FRACCIONES Si media torta circular compartió cierta cantidad de personas por partes iguales, se sabe que cada persona comió la sexta parte de la torta. ¿Cuántas personas consumieron la media torta? La región señalada en verde corresponde a la parte de la torta que se va a consumir, pero toda la torta la tenemos repartida en sextos. Nos preguntamos, ¿cuántos sextos hay en la media torta? Para saber cuántas personas consumieron la media torta debemos dividir:

𝟏

𝟐÷

𝟏

𝟔= 𝟑

Las divisiones de fraccionarios no siempre la realizamos en forma gráfica. Generalmente se realiza la división de fracciones en forma simbólica o aritmética. Una de estas formas requiere el uso del inverso multiplicativo o recíproco del divisor. INVERSO MULTIPLICATIVO: es el número que resulta de invertir las posiciones de los términos en una fracción determinada, es decir lo que era numerador en una fracción se convierte en el denominador de su recíproco y el denominador será el numerador.

Estos son otros ejemplos de inversos multiplicativos o recíprocos

Para dividir aritméticamente podemos:

1. Multiplicar en cruz: se multiplican los extremos (primer y último número que escribimos) y se ubica el resultado en el numerador y luego se multiplican los medios (los números que quedan en el centro de la escritura) y su resultado lo escribimos en el denominador de la fracción resultado.

En amarillo están señalados los extremos y en verde los medios.

2. Multiplicar por el inverso multiplicativo o recíproco del divisor: Se transforma la división en una multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor, así:

Imágenes tomadas de: https://www.smartick.es/blog/matematicas/fracciones/division-de-fracciones/

Si vamos a dividir una fracción por un número natural, a éste lo debemos primero expresar en forma de fraccionario (poniéndole 1 en el denominador) y luego realizamos el procedimiento pertinente para la división de fracciones, como:

Al dividir números mixtos se debe proceder primero a convertirlos en fracciones y luego hacemos el procedimiento de la división como se ha explicado anteriormente, usando la forma que hayamos comprendido mejor. Ejemplos:

En conclusión, para dividir fracciones podemos proceder así:

Ó

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Para organizar los datos tenemos las tablas de frecuencias y los gráficos, pero hay unas medidas muy especiales que nos dan la oportunidad de analizar los datos alrededor de un valor central, las medidas de tendencia central. Las medidas de tendencia central son: la mediana, la moda y la media aritmética o promedio. Medía aritmética o promedio: generalmente nos referimos a ella simplemente como media, es el valor que obtiene sumando todos los datos y dividiendo por la cantidad de datos que se sumaron. Este valor sólo se puede calcular

cuando las variables son numéricas y se representa por �̅�.

Imágenes tomadas de: https://es.wikihow.com/dividir-fracciones-por-un-n%C3%BAmero-entero

51

3÷

1

2=

16

3÷

1

2=

16 × 2

3 × 1 =

𝟑𝟐

𝟑

Recordemos que, en estadística, la frecuencia hace referencia a las veces que se repite un determinado dato

3 veces 3 veces

Moda: hace referencia al dato que se repite el mayor número de veces, es decir será el dato que tiene mayor frecuencia

absoluta. La moda se puede hallar sin importar el tipo de variable, se representa como Mo Mediana: esta medida solo se puede hallar si las variables son numéricas, es el valor que se encuentra en la posición del centro cuando los datos se ordenan de menor a mayor. Si hay una cantidad par de datos se hace el promedio entre

los dos datos que ocupan las posiciones del centro. se representa por Me.

Ejemplo 1: imaginemos que le preguntamos a 7 estudiantes cuantas horas al día está dedicando a estudiar. Sus respuestas son: Calculemos la media:

�̅� =𝟓+𝟕+𝟔+𝟒+𝟑+𝟖+𝟕

𝟕=

𝟒𝟎

𝟕= 𝟓. 𝟕𝟏 esta media significa que cada estudiante podría utilizar 5.71 horas al día para

estudiar y se estarán utilizando la misma cantidad de horas entre todos. Para calcular la Moda debemos observar cuál es el dato que se encuentra el mayor número de veces, en este caso es el 7, entonces Mo=7 Para calcular la Mediana debemos primero ordenar los datos obtenidos y luego escoger el dato que ocupe la posición del centro:

3 4 5 6 7 7 8 Observamos que el dato que se encuentra en el centro es el 6 por tanto la Me = 6

En un grupo de datos podemos tener más de una Moda o ninguna. Y, también podemos tener una cantidad par de datos, en este caso para calcular la Mediana es necesario calcular el promedio entre los datos que ocupan el lugar del centro, veamos un ejemplo: Tenemos los datos:

Al ordenar los datos obtenemos:

4 5 5 5 6 7 8 9 9 9 Como vemos hay 2 datos, 5 y 9, que se presentan 3 veces, la mayor frecuencia, entonces decimos que Mo: 5 y 9. Y como hay 2 datos que ocupan las posiciones del centro, 6 y 7, para hallar la Mediana debemos hallar el promedio entre

estos, entonces Me = 𝟔+𝟕

𝟐=

𝟏𝟑

𝟐= 𝟔. 𝟓

Ejemplo 2: Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres y 6 hombres. Si el peso medio de las mujeres es 60 Kg y el de los hombres es 80 Kg, ¿cuál es el peso promedio de las personas que se encuentran en el ascensor? Al calcular el promedio debemos tener en cuenta que en este caso tenemos 10 datos (4 mujeres y 6 hombres), entonces el promedio debemos calcularlo así:

�̅� =60 + 60 + 60 + 60 + 80 + 80 + 80 + 80 + 80 + 80

10=

4 × 60 + 6 × 80

10=

240 + 480

10=

720

10= 𝟕𝟐

Es decir, el peso que está soportando el ascensor es como si llevara 10 personas de 72 kg.

Ejemplo 3: Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de niños de su consulta en el momento de

andar por primera vez: Calcular la moda, mediana y media Mo = 12 meses porque es el dato que tiene la mayor frecuencia, 16

Me = 𝟏𝟐+𝟏𝟐

𝟐=

𝟐𝟒

𝟐= 𝟏𝟐 porque por ser par la cantidad de datos se debe ubicar

los 2 lugares del centro, 25 y 26, para calcular su promedio.

�̅� =1𝑥9 + 4𝑥10 + 9𝑥11 + 16𝑥12 + 11𝑥13 + 8𝑥14 + 1𝑥15

50=

610

50= 𝟏𝟐. 𝟐

Para aclarar las dudas que hayan surgido, se recomienda ver videos como: https://www.youtube.com/watch?v=fOuRqk1nzgY

Algunas páginas consultadas:

https://actividadeseducativas.net/multiplicacion-de-numeros-fraccionarios-para-quinto-grado-de-primaria/ http://www.ceiploreto.es/sugerencias/ceibal/Multiplicacion_division_de_fracciones/cmo_se_multiplica.html https://www.youtube.com/watch?v=qK5BD-_TaFI

https://www.smartick.es/blog/matematicas/divisiones/problemas-con-division-de-fracciones/

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/plan_choco/05_mat_b1_s5_est.pdf

Vamos a aprender Matemáticas, libro del estudiante. Mineducación. Bogotá, 2017

Basándose en la información aquí suministrada, DESARROLLE LAS ACTIVIDADES DE ESTA GUÍA. Cada

actividad de la guía debe ser desarrollada con procedimientos y/o justificaciones, con excelente presentación, puede desarrollarla en su cuaderno de matemáticas, y las fotos que envíe de la actividad resuelta deben ser nítidas y en posición vertical.

Meses Niños

9 1

10 4

11 9

12 16

13 11

14 8

15 1

Imagen tomada de https://ar.pinterest.com/pin/579768152008536327/visual-search/

Listos para realizar un buen trabajo…ANIMO, continuamos comprometidos para sacar el

segundo periodo de la mejor forma

HOJAS DE TRABAJO

MATEMÁTICAS

ACTIVIDAD 1: Debe incluir los procedimientos o justificación, razón por la cual se sugiere

resolver en el cuaderno

I. Resuelva utilizando la representación gráfica

II. Realice las siguientes multiplicaciones de fracciones..

III. Realice las siguientes divisiones

1. 𝟑

𝟏𝟎÷

𝟓

𝟔 4. 𝟖

𝟐

𝟑÷

𝟏𝟑

𝟑

2. 𝟕

𝟖÷

𝟑

𝟒 5.

𝟏𝟐

𝟑𝟐÷ 𝟓

𝟐

𝟒

3. 𝟒𝟏

𝟐÷

𝟏

𝟒

IV. Resolver cada una de las siguientes situaciones

1.

2. Un labrador ha divido un terreno en 8 parcelas iguales. ¿Cuántas parecelas

contienen los 𝟑

𝟒 del campo?

3. ¿Cuantas botellas de 𝟑

𝟒 de litro se pueden llenar con 60 litros de agua?

4. En el colegio hay 80 balones, si 𝟑

𝟓 son de futbol,

𝟏

𝟒 son de boloncesto y el resto son

de voleibol. ¿Cuantos balones de Voleibol hay en el colegio?

Nombre del Estudiante Curso Sede Jornada

Correo electrónico: Nombre Director de Curso:

Correo electrónico de

docentes de área:

Castañeda Carlos (607): cacastaneda@educacionbogota.edu.co Morales Harold (606): hmorales@educacionbogota.edu.co

Gómez Martha Stella (601, 602, 603, 604 y 605): msgomez1@educacionbogota.edu.co

V. Resolver cada una de las situaciones planteadas

1. Se tiene las notas de 11 alumnos en un examen de matemáticas: 10; 12; 09; 12; 08; 14; 12; 10; 11; 12; 08. Para estos datos encuentre: a. La moda b. La mediana c. La media o promedio

2. A los estudiantes de quinto grado de un colegio, se les preguntó cuantos hermanos

tiene. Sus respuestas fueron organizadas en la tabla de datos

a. ¿Cuantos estudiantes respondieron la encuesta? b. ¿Cuál es la moda en estos datos?

VI. De acuerdo a la información dada, resuelva las preguntas planteadas

Para la clase de Ciencias, cada uno de los estudiantes puso a germinar un grano de fríjol. Luego de dos semanas, cada uno midió la altura de su planta en cm; los resultados se muestran a continuación:

1. ¿Cuál es el promedio de crecimiento de las plantas? 2. ¿Cuántas plantas crecieron más que el promedio? 3. ¿Cuál es la mediana de los datos? 4. ¿Los datos tienen moda? ¿cuál es y por qué?

VII. Realice lo planteado

El profesor Catalino organizó en una tabla los resultados de la evaluación bimestral de matemáticas. La nota máxima es 5 y para aprobar se requiere una nota mínima de 3.

Escriba F o V según el caso. Haga las operaciones necesarias en el cuaderno y justifique allí sus respuestas.

ACTIVIDAD 2: UN POCO MÁS DE LÓGICA (MALOMA)

Realizar cada una de los planteamientos propuestos.

1. Al copiar el dibujo se cometieron 8 errores, indique cuáles son:

2. Mueva 2 fichas de tal manera que cada grupo de fichas sume 15